Đang tải... (xem toàn văn)
Böôùc 3: Hình chieáu vuoâng goùc cuûa A chính laø giao ñieåm cuûa d vaø maët phaúng P..[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP TRONG KHƠNG GIAN
Bài tốn 1: Cho hai mặt phẳng (P1) (P2) có phương trình:
(P1): A1x + B1y + C1z + D1 = vaø (P2): A2x + B2y + C2z + D2 =
Với A1: B1: C1 A2: B2: C2 điểm MO (xo; yo; zo) không thuộc (P1) (P2) Lập phương trình mặt phẳng
phân giác góc tạo (P1), (P2) chứa điểm MO góc đối đỉnh
Phương pháp thực hiện: Gọi P mặt phẳng thỏa mãn điều kiện tốn M (x; y; z) (P)
M MO phía với (P1)
M MO phía với (P2)
d (M, (P1) = d (M1, (P2))
(A1x + B1y + C1z + D1) (A1xO + B1yO + C1zO + D1) >O
(A2x + B2y + C2z + D2) (A2xO + B2yO + C2zO + D2) >O
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2
A x B y C z D A x B y C z D
A B C A B C
Từ hệ ta có phương trình mặt phẳng (P) cần tìm
Bài tốn 2: Lập phương trình mặt phẳng phân giác góc nhị diện (A,BC,D)
Phương pháp thực hiện: Gọi (P) mặt phẳng phân giác cần tìm Khi đó, điểm M (x; y; z) (P):
M A phía với (BCA)
M D phía với (ABC) d (M, (ABC) = d (M, (BCD)) Từ hệ ta có phương trình mặt phẳng cần tìm
Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A vng góc với hai đường thẳng (d1)
và (d2) cho trước
Chú ý: Bài tốn cịn phát hiểu dạng khác “Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A song song với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d1)”
Phương pháp thực hiện:
Cách 1: - Bước 1: Xác định VTCP (d1), (d2)
- Bước 2: Gọi u VTCP đường thẳng (d), ta có:u1u&u2 u
1
[ ; ]
u u u
- Bước 3: Viết phương trình (d) thỏa
Qua A
Và có VTCP u
Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1) thỏa:
Qua A (P1) (d1)
- Bước 3: Khi (d) giao tuyến (P1) (P2)
- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa: Qua A
(2)Chú ý: Nếu ta chọn cách lập phương trình tổng qt,rồi từ đưa phương trình tham số tắc , cịn cách lập phương trình tham số tắc
Bài tốn 4: Lập phương trình đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng (d1) cắt đường thẳng
(d2)
Chú ý: Bài tốn cịn phát biểu dạng: “Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A vng góc với vectơ (hoặc song song với mặt phẳng) cắt đường thẳng (d1)”
Phương pháp thực hiện: Ta thực ba cách sau: Cách 1: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1) thỏa
Qua A vaø (d1) (P1)
- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa
Qua A vaø (d2) (P2)
- Bước 3: Kết luận
* Nếu (P1) (P2): Bài tốn có vơ số nghiệm
* Nếu (P1) (P2): Gọi (d) giao tuyến (P1) (P2):
+ d // d2 tốn vơ nghiệm
+ Còn lại, ta kết luận d đường thẳng cần dựng. Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) thỏa:
Qua A (d1) (P)
- Bước 2: Xác định giao điểm B (d2) (P)
* Nếu không tồn giao điểm Kết luận vô nghiệm
* Nếu có vơ số giao điểm (d2 (P2)) Kết luận có vơ số đường thẳng (P) qua A cắt (d2) * Nếu có nghiệm nhất, ta thực bước 3.
- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) thỏa Qua A cóVTCP AB
Cách 3: Được thực (d2) cho dạng tham số
- Bước 1: Giả sử (d) cắt (d2) B, tọa độ B thỏa phương trình tham số (d2), từ suy
AB Xác định tọa độ u1
VTCP (d1)
- Bước 2: Vì (d) (d1) AB u. 0
=> tọa độ điểm B.
- Bước 3: Lập phương trình (d) thỏa Qua A cóVTCP AB
Chú ý: Cách dẫn đến lập phương trình tổng qt đường thẳng (d), sau đưa tắc hay tham số , cịn ta sử dụng cách đưa lập phương trình tắc tham số
Bài tốn 5: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A cắt hai đường thẳng (d1 (d2)
Bài tốn cịn mở rộng ta thay điều kiện điểm A điều kiện: - (d) // (d3) cắt (d1) (d2) là:
- (d) (P) cắt (d1) (d2) (trong d3 đường thằng, (P) mặt phẳng cho trước) Phương pháp thực hiện:
Cách 1: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1) thỏa
Qua A vaø (d1) (P1)
- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa
Qua A (d2) (P2)
- Bước 3: Kết luận d giao (P1) (P2)
+ Nếu (P1) song song trùng (P2) vơ nghiệm
+ Nếu d // d1 d // d2 vơ nghiệm
(3)Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa d1
- Bước 2: Xác định giao điểm B (d2) (P)
+ Nếu không tồn giao điểm, kết luận vô nghiệm
+ Nếu có vơ số nghiệm, kết luận tốn có vơ số nghiệm chùm đường thẳng (P) qua A
+ Nếu có nghiệm nhất, ta thực bước 3: - Bước 3: Lập phương trình (d) qua A có VTCP AB
Lưu ý: ta cân kiểm chứng (d) không song song với (d1)
Cách 3: - Bước 1: Giả sử (d) cắt (d1) (d2) theo thứ tự B C Khi tọa độ B, C theo thứ tự thỏa mãn
phương trình tham số (d1) (d2)
- Bước 2: Từ điều kiện A, B, C thẳng hàng ta xác định tọa độ B, C - Bước 3: Lập phương trình (d) qua A B
Bài tốn 6: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A, vng góc với (d1)và nằm mặt phẳng (P) - Bước 1: Lập phương trình (đường thẳng) mặt phẳng (Q) thỏa:
(Q) : qua A
(Q) (d1)
(Q) : qua A coù VTCPu
- Bước 2: Khi (d) giao tuyến (P) (Q)
Bài tốn 7: Lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo
Cách 1: - Bước 1: Gọi d đường vng góc chung (d1) (d2), VTCP a
(d) thỏa mãn:
1 & [ ; ]1
a a a a a a a
- Bước 2: Gọi P1 mặt phẳng chứa (d) (d1) đó:
(P1) qua M1 (d1)
(P1):
qua M1 (d1)
=> (P1)
có cặp VTCP a1&a
ø VTPT n1[ ; ]a a1
- Bước 3: Gọi (P2) mặt phẳng chứa (d) (d2), đó:
(P2) qua M2 (d2)
(P2):
qua M2 (d2)
=> (P2)
có cặp VTCP a2 &a
VTPT n2 [ ; ]a a2
- Bước 4: Phương trình (d) giao tuyến (P1) (P2)
Cách 2: - Bước 1: Gọi A, B theo thứ tự chân đường vng góc chung với (d1) (d2)
- Bước 2: Từ suy tọa độ A, B theo phương trình tham số (d1) (d2) - Bước 3: Từ điều kiện:
(d) (d1)
1
AB a
1
. 0
AB a
=> t
=> tọa độ A, B (d) (d2)
2
AB a
2
. 0
AB a
u
Bước 4: Khi phương trình đường vng góc chung (d) cho qua A có VTCP AB
Chú ý: Nếu (d1), (d2) chéo vng góc, ta cịn thực sau:
- Bước 1: Dựng mặt phẳng (P1) thỏa
(d1) (P1)
(d2) (P1)
- Bước 2: Dựng mặt phẳng (P2) thỏa
(d2) (P2)
(d1) (P2)
- Bước 3: Phương trình (d) giao tuyến (P1) (P2)
Bài tốn 8: Lập phương trình đường thẳng (d1) hình chiếu (d) mặt phẳng (P)
a) Nếu (d) (P) ta có hình chiếu vuông góc (d) lên (P) giao điểm (d) (P)
(4)- Bước 1: Lấy điểm A (d), từ xác định tọa độ điểm HA hình chiếu vng góc A lên (P)
- Bước 2: Phương trình đường thẳng (d1) cho : (d1)// (d) & qua HA
c) Nếu (d) cắt (P) ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm I (d) (P)
+ Bước 2: Lấy điểm A (d), từ xác định tọa độ điểm HA hình chiếu vng góc A lên (P)
+ Bước 3: Phương trình (d1) cho bởi: qua HA VTCP IHA
hình chiếu vuông góc A lên (P)
Bài tốn 9: Xác định tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P)
Caùch 1: - Xác định VTPT n mặt phẳng (P)
- Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (P) - Hình chiếu vng góc H A lên (P) giao điểm (d) (P)
Cách 2: - Xác định VTPT n
mặt phẳng (P).- Giả sử H (x; y; z) hình chiếu vng góc A lên (P), suy ra:
//
H P H P
AH P AH n
Tọa độ H
Bài tốn 10: Viết phương trình đường thẳng d2 đối xứng với đường thẳng d1 cho trước qua mặt phẳng (P)
cho trước
Phương pháp thực hiện: a.Nếu d1 P , ta có d1d2
b.Nếu d1// (P), ta thực bước sau:
Bước 1:Lấy điểm A(d1), từ xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua (P). Bước 2:Phương trình d2 xác định: qua B d2//d1
c.Nếu d1 cắt (P), ta thực bước sau:
Bước1: Xác định tọa độ giao điểm I d1 với (P)
Bước 2: Lấy điểm A(d1), từ xác định tọa độ giao điểm A1 đối xứng với A qua (P)
Bước 3: Phương trình d2 lập VTCP IA1
qua A1
Bài tốn 11: Xác định tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng d Phương pháp thực hiện:
Caùch 1:
Bước 1: Xác định VTCP a
đường thẳng d
Bước 2: Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d, suy tọa độ H thỏa mãn phương trình tham số d
Bước 3: Ta có điều kiện:AH ( )d AH a AH a. 0
tọa độ H
Caùch 2:
Bước 1: Xác định VTCP a
đường thẳng d
Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P)thỏa mãn : qua A vng góc với d Bước 3: Hình chiếu vng góc A giao điểm d mặt phẳng P
(5)