Đang tải... (xem toàn văn)
(I) vectơ–không là vectơ có độ dài bằng 0 (II) vectơ–không là vectơ có nhiều phương. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác vectơ–không thì cùng phương với nhau B. Hai vectơ cùn[r]
(1)(2)MỤC LỤC
CÁC ĐỊNH NGHĨA
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 3
B – BÀI TẬP 3
I - CÁC VÍ DỤ 3
II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4
TỔNG, HIỆU CỦA HAI VECTƠ 12
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 12
B – BÀI TẬP 12
I - CÁC VÍ DỤ 12
II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 14
TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ 36
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 36
B – BÀI TẬP 36
I - CÁC VÍ DỤ 36
II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 39
DẠNG TOÁN: ĐẲNG THỨC VÉCTƠ 39
DẠNG TỐN: TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ 54
DẠNG TỐN: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM 62
TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 64
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 64
(3)CÁC ĐỊNH NGHĨA A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB
Giá của vectơ đường thẳng chứa vectơ
Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB
Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu
Hai vectơ đgl cùng phương giá chúng song song trùng
Hai vectơ phương cùng hướng hoặc ngược hướng
Hai vectơ đgl bằng nhau chúng hướng có độ dài
Chú ý:
+ Ta cịn sử dụng kí hiệu a b, ,
để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ 0 phương, hướng với vectơ
+ Mọi vectơ 0 nhau.
B – BÀI TẬP
I - CÁC VÍ DỤ
Dạng 1: Xác vectơ, phương hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0
là AB BA,
Ví dụ 1: Cho điểm A, B, C, D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm
Hướng dẫn giải:
Có 10 cặp điểm khác {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}
Do có 20 vectơ khác
Ví dụ 2: Cho điểm A vectơ a khác 0 Tìm điểm M cho AM phương a
Hướng dẫn giải:
Gọi giá a
Nếu AM
cùng phương a
đường thẳng AM//
Do M thuộc đường thẳng m qua A //
Ngược lại, điểm M thc m AM
cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ nhau Ta dùng cách sau:
A
D C
B o
+ Sử dụng định nghĩa:
| | | |
, hướng a b
a b a b
+ Sử dụng tính chất hình Nếu ABCD hình bình hành
,
AB DC BC AD
,… (hoặc viết ngược lại)
a
(4)E F D B A C K I N M D A C B
+ Nếu a b b c , a c
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F trung điểm BC, CA, AB Chứng minh: EF CD Hướng dẫn giải:
Cách 1: EF đường trung bình ABC nên EF//CD,
EF=
2 BC=CD EF=CD EF CD
(1) EF
hướng CD (2)
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành
EF=
2 BC=CD EF//CD EFDC hình bình hành
EF CD
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN, K giao điểm DM CN
Chứng minh: AM NC DK, NI
Hướng dẫn giải:
Ta có MC//AN MC=ANMACN hình bình hành
AM NC
Tương tự MCDN hình bình hành nên K trung điểm
của MD DK
=KM Tứ giá IMKN hình bình hành,
suy NI
=KM
DKNI
Ví dụ 5: Chứng minh hai vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu)
Hướng dẫn giải:
Giả sử ABAC
Khi AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng B, C thuôc nửa đường thẳng góc
A BC
(trường hợp điểm cuối trùng chứng minh tương tự) Ví dụ 6: Cho điểm A vectơ a Dựng điểm M cho:
a) AM
=a;
b) AM
phương a có độ dài |a|
Hướng dẫn giải:
Giả sử giá a
Vẽ đường thẳng d qua A d//
(nếu A thuộc d trùng ) Khi có hai điểm M1 M2 thuộc d
cho: AM1=AM2=|a
| Khi ta có:
a) AM1
=a
b) AM1
=AM2
phương với a
a
(5)II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.Với hai điểm phân biệt A, B ta có vectơ có điểm đầu điểm cuối A B?
A 2. B 1. C 3. D 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
đó ,
AB BA.
Câu 2. Cho tam giác ABC Có thể xác định vectơ ( khác vectơ không ) có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ?
A 2 B 3 C 4 D 6
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 3.Cho lục giác ABCDEF có tâm O Số vectơ hướng với vectơ BC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác ?
A 4. B 3.
C 2. D 6.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
AO , OD , AD , FE .
Câu 4. Cho tam giác ABC Có thể xác định vectơ (khác vectơ-khơng) mà có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ?
A 6. B 3.
C 2. D 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
vì có vectơ : AB , BA
, AC , CA , BC
, CB
Câu Cho ngũ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác
A 10 B 13 C 14 D 16
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A B, ta xác định hai vectơ khác vectơ-không ,
AB BA Mà từ năm
đỉnh A B C D E, , , , ngũ giác ta có cặp điểm phân biệt có 10 vectơ thỏa mãn yêu cầu toán
Câu 6.Cho lục giác ABCDEF Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác
A 20 B 12 C 14 D 16
Hướng dẫn giải:
(6)Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A B, ta xác định hai vectơ khác vectơ-không ,
AB BA Mà từ sáu
đỉnh A B C D E F, , , , , lục giác ta có 10 cặp điểm phân biệt có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu
toán
Câu 7.Cho tam giác ABC Gọi M N P, , trung điểm BC CA AB, , Có vectơ
khác vectơ - khơng phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho
A 5 B 6 C 7 D 8
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Các vectơ khác vectơ không phương với
MN NM AB BA AP PA BP PB, , , , , , .
Câu 8.Cho tam giác ABC Gọi M N P, , trung điểm BC CA AB, , Có vectơ
khác vectơ - khơng hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho
A 3 B 4 C 6 D 5
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Các vectơ khác vectơ - không hướng với
AB , ,
AP PB NM . Câu 9.Mệnh đề sau ?
A Có vectơ phương với vectơ B Có hai vectơ phương với vectơ C Có vơ số vectơ phương với vectơ D Khơng có vectơ phương với vectơ
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 10 Khẳng định sau đúng ?
A Hai vectơ a b gọi chúng hướng độ dài B Hai vectơ a b gọi chúng phương độ dài
C Hai vectơ ABvà CD gọi tứ giác ABCD hình bình hành D Hai vectơ a b gọi độ dài
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 11.Cho vectơ a, mệnh đề sau ? A Có vô số vectơ u mà a u
B Có vectơ u mà a u C Có vectơ u mà ua D Khơng có vectơ u mà a u
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 12.Cho hai vectơ không phương a vàb Khẳng định sau :
A Khơng có vectơ phướng với hai vectơ
a vàb
B Có vơ số vectơ phướng với hai vectơ a
b
C Có vectơ phướng với hai vectơ a
b, 0
D Cả A, B, C sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
(7)A Được gọi vectơ suy biến
B Được gọi vectơ có phương tùy ý C Được gọi vectơ khơng, kí hiệu 0 D Làvectơ có độ dài không xác định.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 14.Chọn khẳng định khẳng định sau: A Vectơ đoạn thẳng có định hướng.
B Vectơ khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau
C Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài D Cả A, B, C
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 15. Mệnh đề sau đúng:
A Hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác 0
hướng B Hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác 0
phương C Hai vectơ phương với vectơ thứ ba phương
D Hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba hướng
Hướng dẫn giải:
Chọn B
A Sai hai vectơ ngược hướng B Đúng
C Sai thiếu điều kiện khác
D Sai thiếu điều kiện khác
Câu 16. Xét mệnh đề :
(I) vectơ–khơng vectơ có độ dài (II) vectơ–khơng vectơ có nhiều phương Mệnh đề ?
A Chỉ (I) đúng B Chỉ (II) đúng C (I) (II) đúng D (I) (II) sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 17.Khẳng định sau sai ?
A Hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác vectơ–khơng phương với nhau B Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ–khơng hướng với nhau C Ba vectơ khác vectơ-khơng đơi phương có hai vectơ hướng D Điều kiện cần đủ để a b
a b
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 18.Cho điểm phân biệt A, B, C Khi đẳng thức sau nhất? A A, B, C thẳng hàng AB AC phương
B A, B, C thẳng hàng AB BC phương C A, B, C thẳng hàng
AC BC phương D Cả A, B, C đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
(8)A Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng ABcùng phướng với
AC
B Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng với M,
MA phương với AB
C Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng với M, MA phương với AB
D Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng
AB= AC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 20.Theo định nghĩa, hai vectơ gọi phương A giá hai vectơ song song trùng nhau.
B hai vectơ song song trùng nhau. C giá hai vectơ song song.
D giá hai vectơ trùng nhau.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Vì theo định nghĩa hai vectơ phương Câu 21.Chọn câu sai câu sau
A Độ dài vectơ 0 0; Độ dài vectơ PQ
PQ
B Độ dài vectơ AB AB BA
C Độ dài vectơ a ký hiệu a
D Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ đó.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Sai PQ
PQ
hai đại lượng khác Câu 22.Khẳng định sau ?
A Hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác vectơ-khơng phương. B Hai vectơ phương với vectơ thứ ba phương.
C Vectơ-khơng vectơ khơng có giá.
D Điều kiện đủ để hai vectơ chúng có độ dài nhau.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
áp dụng tính chất hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với Câu 23.Khẳng định sau
A Hai vectơ hai vectơ có hướng độ dài. B Hai vectơ hai vectơ có độ dài nhau.
C Hai vectơ hai vectơ có giá độ dài. D Hai vectơ hai vectơ có phương độ dài.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
HS nhớ định nghĩa hai vectơ
Câu 24.Cho lục giác ABCDEF, tâm O Khẳng định sau nhất? A AB ED B AB OC
C AB FO D Cả A, B, C đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 25.Cho hình vng ABCD Khi : A
AC BD B
(9)C AB BC
D ,
AB ACcùng hướng
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 26.Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, M điểm Mệnh đề sau ? A ,
M MA MB B M MA MB MC, C ,
M MA MB MC D ,
M MA MB
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 27. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD DA Trong khẳng định sau, tìm khẳng định sai:
A
MN QP B
MQ NP C
PQ MN D MN = AC
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 28.Cho tam giác ABC Mệnh đề sau sai:
A AB BC B ACBC C
AB BC
D ,
AC BC không phương
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 29.Cho tam giác ABC, cậnh Mệnh đề sau ? A ACa B
AC BC C
AB a
D ,
AB BCcùng hứơng
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 30.Gọi C trung điểm đoạn thẳng AB Hãy chọn khẳng định khẳng định sau : A CA CB B vaø AC
AB phương
C vaø CB
AB ngược hướng D
AB CB
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 31.Cho lục giác ABCDEF tâm O Khẳng định là:
A Vectơ đối
AF DC B Vectơ đối AB ED
C Vectơ đối
EF CB D Vectơ đối AO FE
Hướng dẫn giải:
Chọn A A Đúng B Sai
AB EDlà hai vecto nhau.
C Sai
EF CB là hai vecto nhau.
D Sai
AO FE hai vecto nhau
Câu 32.Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đúng? A
AD BC. B BC DA . C
AC BD. D
(10)Hướng dẫn giải:
Chọn A
AD BC (Tính chất hình bình hành)
Câu 34.Cho hình chữ nhật ABCD Khẳng định sau ? A AB DC . B AC DB
C AD CB
D AB AD .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
vì :
AB DC
AB DC AB DC
Câu 35.Cho hình thoi ABCD Đẳng thức sau A BCAD B
AB CD C
AC BD D
DA BC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
HS vẽ hình, thuộc định nghĩa hai vectơ Câu 36.Cho AB khác
điểm C Có điểm D thỏa AB CD
?
A Vô số B điểm. C điểm. D điểm
Hướng dẫn giải:
Chọn A
HS biết độ dài hai vectơ Câu 37.Chọn câu sai:
A PQ PQ
B Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ đó. C Độ dài vectơ a
kí hiệu a
D AB AB BA
Hướng dẫn giải:
Chọn A
HS phân biệt vectơ độ dài vectơ
Câu 38.Cho hình bình hành ABCD có tâm O Vectơ OB với vectơ sau ? A DO B OD C CO D
OC.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 39.Để chứng minh ABCD hình bình hành ta cần chứng minh: A AB DC B AB CD C
AB CD
D Cả A, B, C sai.
Câu 40.Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi P, Q, R trung điểm AB, BC, AD Lấy điểm làm điểm gốc điểm vectơ Tìm mệnh đề sai :
A Có vectơ
(11)C Có vectơ
BO D Có vectơ OP
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 41.Tứ giác ABCD hình AB DC
A Hình thang B Hình thàng cân C Hình bình hành D Hình chữ nhật
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 42.Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng : A ,
AB AC phương. B AB AC, hướng. C AB BC . D ,
AB CB ngược hướng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 43.Cho tam giác ABC.Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC.Hỏi cặp vec tơ sau hướng?
A
AB MB B MN CB C MA MB D AN CA
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 44.Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC BD hình bình hành ABCD.Đẳng thức sau đẳng thức sai?
A
OB DO B AB DC C OA OC D CB DA
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 45. Cho ba điểm M N P, , thẳng hàng, điểm N nằm hai điểm M P Khi cặp vectơ sau hướng?
A
MN PN B MN MP C MP
PN D NM NP
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 46. Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C, D, O Bằng vectơ AB ; OB
A ,
AB AC OB AO B AB OC OB DO , C ,
AB DC OB AO D ,
AB DC OB DO
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 47.Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt Nếu AB BC có nhận xét ba điểm A, B, C A B trung điểm AC B B nằm AC
C B nằm AC D Không tồn tại
Hướng dẫn giải:
Chọn A
B trung điểm AC
Câu 48.Cho tam giác ABC có trực tâm H, D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC Khẳng định sau đúng?
A HA CD AD CH . B
HA CD AD HC. C
HA CD
AC HD. D
HA CD
(12)Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có : Vì D đối xứng với B qua O nên D thuộc đường trịn tâm (O) AD // DH (cùng vng góc với AB)
AH // CD (cùng vng góc với BC) Suy ADHC hình bình bành
Vậy
HA CD
AD CH . O
H
D
C B
(13)TỔNG, HIỆU CỦA HAI VECTƠ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1 Tổng hai vectơ
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC
Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB AD AC
Tính chất: a b b a
;
a b c a b c
;
a 0 a
2 Hiệu hai vectơ
Vectơ đối a vectơ b
cho a b0 Kí hiệu vectơ đối a a.
Vectơ đối
là 0
a b a b
3 Áp dụng
+ Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB 0
+ Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
B – BÀI TẬP
I - CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD
a) Tìm tổng NC MC AM CD AD NC ; ;
b) Chứng minh : AMANABAD
Hướng dẫn giải:
a) + Vì MC AN nên ta có NC MC
= NC AN =AN NC
=AC +Vì CD BA nên ta có
AM CD
= AM BA =BA AM
=BM
+Vì NC AM
nên ta có AD NC
= AD AM =AE, E đỉnh hình bình hành AMED
b) Vì tứ giác AMCN hình bình hành nên ta có AM AN AC
Vì tứ giác ABCD hình bình hành nên AB AD AC
Vậy AM AN AB AD
Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF tâm O
Chứng minh: OA OB OC OD OE OF 0
Hướng dẫn giải:
(14)0; 0;
OA OD OB OE OC OF
đpcm
Ví dụ 3: Cho ngũ giác ABCDE tâm O
a) Chứng minh vectơ OA OB OC OE ;
phương OD
b) Chứng minh AB EC
phương
Hướng dẫn giải:
a) Gọi d đường thẳng chứa OD d trục đối xứng
ngũ giác Ta có OA OB OM , M đỉnh
hình thoi AMBO M thuộc d Tương tự OC OE ON
, N d Vậy OA OB
OC OE phương OD
vì giá d
b) AB EC vng góc d AB//EC AB
//EC
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm AB, AC, BC
a) Tìm AM AN MN NC MN PN BP CP; ; ;
b) Phân tích AM theo hai vectơ MN MP;
Hướng dẫn giải:
a)AM AN
= NM MN NC
=MN MP
=PN(Vì NC MP
) MN PN
=MN NP
=MP
BP CP
=BP PC =BC
b)AM NP MP MN
Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có BAD=600 cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo
Tính |AB AD |;|BA BC OB DC |;| |
Hướng dẫn giải:
Vì ABCD hình thoi cạnh a BAD =600 nên AC=a
và BD=a Khi ta có :
| | 3
AB AD AC AB AD AC a
| | 3
BA BC CA AB AD CA a
| | a OB DC DO DC CO OB DC CO
Ví dụ 6: Cho hình vng ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo
Tính |OA CB |; | AB DC CD DA |;| |
Hướng dẫn giải:
B
A C
(15)Ta có AC=BD=a 2; OA CB CO CB BO Do đó | | a OA CB BO
|AB DC | |AB | | DC| 2 a (vì AB DC )
Ta có CD DA CD CB BD
|CD DA
|=BD=a
Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp:
1) Biến đổi vế thành vế
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức biết 3) Biến đổi đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh
Ví dụ7: Cho bốn điểm A,B,C,D Chứng minh rằng:
CD
AB ADCB (theo cách)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB
Cách 2: (sử dụng hiệu)
AB AD CB CD DB DB
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Ví dụ 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:AB BE CF AE BF CD
Hướng dẫn giải:
VT =AB BE CF AE ED BF FE CD DF =AE BF CD ED DF FE
= AE BF CD
(vì ED DF FE 0
)=VP đpcm
Ví dụ 9: Cho điểm A, B, C, D, E Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB
Hướng dẫn giải:
Ta có DC CD ; CE EC
nên
VT = AC DE DC CE CB
=AC DE CD EC CB
=AC CD DE EC CB AB =VP đpcm
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, AC, BC Chứng
minh với điểm O ta có: OA OB OC OM ON OP
Hướng dẫn giải:
VT =OA OB OC
=OM MA ON NB OP PC
(16)Mà NB NM NP
MA NB PC
=MA NM NP PC NA NC 0
VT=OM ON OP
=VP đpcm
(17)DẠNG 1: VÉC TƠ VÀ ĐẲNG THỨC VÉCTƠ Câu 1.Câu sai câu sau đây:
A Vectơ đối 0
a vectơ ngược hướng với vectơ a có độ dài với vectơ a
B Vectơ đối 0 vectơ 0
C Nếu MN vectơ cho với điểm O ta ln viết MN OM ON D Hiệu hai vectơ tổng vectơ thứ với vectơ đối vectơ thứ hai.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 2.Tìm khẳng định khẳng định sau : A Vectơ đối vectơ
a vectơ ngược hướng với vectơ a có độ dài với vectơ a.
B Vectơ đối vectơ
vectơ
C
a – b = a + (–b)
D Cả A, B, C đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu Cho tam giác ABC D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB Hệ thức ? A AD BE CF AB AC BC
B
AD BE CF AF CE BD
C
AD BE CF AE BF CD
D
AD BE CF BA BC AC
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 4.Cho hình bình hành ABCD Câu bào sau sai: A
AB AD AC B
BA BD BC C
DA CD D 0
OA OB OC OD
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 5.Cho tam giác ABC M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB
(I) 0
AM BN CP (1) (II) 0
GA GB GC ( ) Câu sau đúng:
A Từ (1) (2) B Từ (2) (1)
C ( 1) ( 2) D Cả ba câu
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 6.Cho hình vẽ với M,N,P trung điểm AB,AC, BC Khẳng định sau đúng? A
AM MP MN
B
AM MP MN
C
AM MN MP
D
(18)Hướng dẫn giải:
Chọn A
AM MP MN NP
Câu 7.Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau ? A
AB AD AC. B
BA AD AC . C AB AD CA . D
AB AC BC.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 8. G trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức sau đúng? A GA GB GC 0. B 0
AG BG CG .
C GA GB GC . D GA GB GC 0.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 9.Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt O, khẳng định sau đúng? A 0
OA OC . B
AB CD. C
BC BA BO. D
AC BD
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 10.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Khẳng định sau sai? A
AB AC CA B
AB AD AC
C 2
AB AC AO D 0
OA OB OC OD .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
AB AC CA Tổng hai vectơ đoạn thẳng
Câu 11.Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đúng? A
AB BC DB. B
AB BC AC. C
AB BC CA. D
AB BC BD.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
vì
AB BC AB AD DB
Câu 12.Cho hình bình hành ABCD, tâm O Đẳng thức sau đúng? A
CO OB BA. B 0
CO OB .
C
CO OB AB. D
CO OB CB.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đáp án:
CO OB OA OB BA
D C
B A
D C
(19)Câu 13.Cho hình bình hành ABCD, tâm O Đẳng thức sau đúng? A DA DB BA . B DA DB AB . C DA DB OD OC . D 0
DA DB .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
DA DB BA (hiệu hai vectơ)
Câu 14.Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt O Mệnh đề sau sai? A
AC BD
B OA OB BA . C
AD AB AC. D
AB DC.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
HS chọn A biết hình bình hành có đường chéo không Câu 15.Trong phát biểu sau, phát biểu sai ?
A Nếu O trung điểm AB OA OB. B Nếu ABCD hình bình hành AB AC AD . C Với ba điểm I, J, K ta có : IJ JK IK
D Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 16.Cho điểm A, B, C, O Đẳng thức sau ? A OA CA CO
B AB AC BC . C AB OB OA
D OA OB BA
Hướng dẫn giải:
Chọn A Quy tắc trừ
Câu 17.Cho bốn điểmM, N, P, Q Đẳng thức đẳng thức sau đúng? A NP+MN=QP+MQ . B PQ+NP=MQ+MN .
C MN+PQ=NP+MQ . D NM+QP=NP+MQ .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
NP+MN=QP+MQ⇔MN+NP=MQ+QP⇔MP=MP (đúng)
Câu 18.Cho tứ giác ABCD có hai dường chéo cắt O Kết phép tính
BO+DC−BA−AC :
A DO . B 0D .C OB . D AB .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
vì BO+DC−BA−AC=AO+DC+CA=DC+CA+AO=DO
Câu 19.Cho tam giác ABC I, J, K trung điểm cạnh BC, CA, AB Xét mệnh đề:
(I) 0
AB BC AC (II) KB JC AI (III) 0 AK BI CJ Mệnh đề sai là:
A Chỉ (I) B (II) (III) C Chỉ (II) D (I) (III)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
(20)A
GA GC GD BD B
GA GC GD DB C 0
GA GC GD D
GA GC GD CD
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 21.Cho hình bình hành ABCD, M điểm tùy ý Khẳng định sau đúng: A
MA MB MC MD B
MB MC MD MA C
MC CB MD DA D
MA MC MB MD
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 22.Cho sáu điểm A, B, C, Đ, E, F Để chứng minh
AD BE CF AE BF CD, học sinh tiến hành sau :
(I) Ta có
AD BE CF AE ED BF FE CD DF
(II) Ta lại có 0
DF FE ED DD
(III) Suy
AD BE CF AE BF CD
Lập luận hay sai ? Nếu sai sai từ giai đoạn ?
A Sai từ (I) B Sai từ (II)
C Sai từ (III) D Lập luận đúng
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 23.Cho tam giác ABC, I trung điểm BC Xét mệnh đề sau: (I) AB AI IB (II)
AI AB AC (III)
AC BI AI Mệnh đề là: A Chỉ (I) B (I) (III)
C Chỉ (III) D (II) (III)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 24.Tổng
MN PQ RN NP QRbằng: A
MR B MP C
MQ D MN
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 25.Với bốn điểm A, B,C, Đ, khơng có điểm thẳng hàng Chọn câu đúng: A ABCD hình bình hành AB DC
B ABCD hình bình hành
AB AD AC C ABCD hình bình hành
AD BC D Cả câu đúng
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Khi tổng
OA OB OC OD : A 0
B AC BD C
CA BD D
CA DB
Hướng dẫn giải:
(21)Câu 27.Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm O M trung điểm BC, A’, B’ điểm đối xứng A, B qua O Xét mệnh đề :
(I) ABBA (II) HA CB (III) MH MA Mệnh đề :
A Chỉ (I) B (I) (III) C (II) (III) D (I), (II) (III)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 28.Cho hình bình hành ABCD có tâm O Khẳng định sai là: A
AO BO BC B
AO DC BO C
AO CD BO D
AO BO DC
Hướng dẫn giải:
Chọn B
A Đúng
AO BO AO OD AD BC.
B Sai
AO DC BO DC BO AO BO OA BA.
C Đúng
AO CD BO CD BO AO BA.
D Đúng
AO BO DC AB DC
Câu 29.Cho hình bình hành ABCD,với giao điểm hai đường chéo I Khi đó: A
AB IA BI B
AB AD BD C AB CD 0 D 0
AB BD
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Vì AB CD hai vectơ đối nên AB CD 0.
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án A sai AB IA IA AB IB BI .
Phương án B sai AB AD ACBD (quy tắc hình bình hành)
Phương án D sai 0
AB BD AD .
C OA OC : sai chúng ngược hướng. Câu 30. Hãy chọn mệnh đề sai:
Từ
AB CD suy ra:
A AB CD phương B AB
CD hướng.
C
AB CD
D ABDC hình bình hành
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Từ AB CD suy ABDC hình bình hành khẳng định sai bốn điểm A B C D, , , nằm đường thẳng
Các mệnh đề lại mệnh đề từ định nghĩa hai vectơ
Câu 31. Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai?
A AB DC . B OB DO . C OA OC . D CB DA.
(22)Chọn C
Phân tích phương án: A
AB DC: chúng hướng độ dài. B
OB DO: chúng hướng độ dài. D
CB DA: chúng hướng độ dài. Câu 32. Cho hình bình hành ABCD Câu sau sai?
A
AB AD AC. B
BA BC BD. C
DA CD. D 0
OA OB OC OD .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
A Đúng theo quy tắc hình bình hành B Đúng theo quy tắc hình bình hành
C Sai
DA CB.
D Đúng O tâm hình bình hành ABCD
Câu 33 Cho điểm A, B, C, O Đẳng thức sau đúng: A
OA CA CO B
AB AC BC C
AB OB OA D
OA OB BA
Hướng dẫn giải:
Chọn A
A
OA CA CO CO CA OA CO CA AO
B sai
AB AC BC AB AC BC mà
AB AC CB
C sai
AB OB OA AB OB OA AB BO OA mà
AB BO AO
D sai
OA OB BA OB OA BA mà
OB OA AB Câu 34.Cho tứ giác ABCD Tìm mệnh đề đúng: Từ
AB CD suy ra:
A AB CD hướng B AB
CD độ dài.
C ABDC hình bình hành D AB DC 0
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Từ
AB CD
AB CD CD Phân tích:
Phương án A sai
AB
CD ngược hướng.
Phương án C sai ABCD hình bình hành
Phương án D sai 2 0
AB DC AB .
Câu 35. Nếu MA MB MC 0 khẳng định đúng?
A M đỉnh hình bình hành MCBA
B M đỉnh hình bình hànhMCAB
C M trọng tâm tam giác ABC
D M đỉnh hình bình hành MACB
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: 0 0
(23)Vậy M đỉnh hình bình hành MCBA Phân tích phương án nhiễu:
Phương án B : Sai HS chuyển vế không đổi dấu
0
MA MB MC BA MC MC BA
Phương án C : Sai HS nhầm với đẳng thức
MA MB MC
Phương án D : Sai HS dùng sai quy tắc cộng
0
MA MB MC MA MC MB AC MB
Câu 36 Cho ba điểm A, B, C Đẳng thức sau ? A
AB CB CA B
BC AB AC C
AC CB BA D
CA CB AB
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 37.Cho ba điểm A, B, C Đẳng thức sau sai ? A
CA BA BC B AB = CB – CA
C
BC AC BA D
AB BC CA
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 38 Cho ba điểm I, J, K Đẳng thức sau sai ? A IJ JK IK
B Nếu I trung điểm JK IJ vectơ đối IK
C JK IK IJ D
KJ KI IJ
K tia đối IJ
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 39.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? A AB BC BD 0 B 0
AC BD CB DA C 0
AD DA D OA BC DO 0
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 40.Cho ABC, vẽ bên ngồi tam giác hình bình hành ABEF, ACPQ, BCMN Xét mệnh đề :
(I)
NE FQ MP (II) EF QP MN
(III)
AP BF CN AQ EB MC Mệnh đề :
A Chỉ (I) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D (I) (II)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 41.Cho hình bình hành ABCD Mệnh đề sau ? A 0
DA DB DC B 0
DA DB CD C 0
DA DB BA D 0
DA DB DA
Hướng dẫn giải:
Chọn A
(24)A M trung điểm BC B M trung điểm AB C M trung điểm AC D ABMC hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 43.Cho vectơ
AB điểm C Có điểm D thỏa mãn AB CD 0
A 1 B 2
C 0 D Vô số
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 44.Cho tam giác ABC điểm M thỏa MA MB MC 0 Mệnh đề sau ? A M trọng tâm tam giác ABC
B M trung điểm AB C ABMC hình bình hành D ABCM hình bình hành
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 45 Khẳng định sau sai ?
A
a vectơ đối b
a b B
a b ngược hướng điều kiện cần để b vectơ đối a
C
b vectơ đối a b = –a
D
a b hai vectơ đối a + b = 0
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 46.Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F phân biệt Mệnh đề sau sai ? A 0
AB DF BD FA B BE CE CF BF 0 C
AD BE CF AE BF CD D
FD BE AC BD AE CF
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 47.cho tam giác ABC, I, J, K trung điểm AB, BC, CA Mệnh đề sau sai ? A , ,
JK BI IA ba vectơ nhau
B Vectơ đối
IK CJ JB C Trong ba vectơ , ,
IJ AK KC có hai vectơ đối D
IA KJ
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 48.Nếu MN vectơ cho với điểm O ta ln có : A MN OM ON B
MN ON OM
C
MN OM ON D
MN NO MO
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 49.Cho hình bình hành ABCD Khi tổng
CB CD bằng: A
(25)Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 50.Cho ba điểm A,B,C phân biệt Đẳng thức sau đẳng thức sai? A
AB BC AC B CA AB BC C
BA AC BC D
AB AC CB
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 51.Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt Khi đó, AB DC BC AD véc tơ sau đây?
A 0 B BD C AC D 2DC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 52. Cho hình bình hành ABCD với I giao điểm đường chéo Khẳng định sau
khẳng định sai?
A IA IC 0 B AB DC C
AC BD D
AB AD AC
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 53.Gọi M trung điểm đoạn AB.Khẳng định sau khẳng định sai?
A MA MB 0 B
1
MA AB
C MA MB D AB 2MB
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 54.Trên đường thẳng MN lấy điểm P cho MN 3MP Hình vẽ sau xác định vị
trí điểm P?
A. B
C D
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 55.Cho điểm B nằm hai điểm A và C, với AB2a, AC6a Đẳng thức đẳng thức đúng?
A 2
BC AB B BC 4AB C BC 2AB D BC 2BA
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 56. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, AC, BC Hỏi MP NP vec tơ nào?
A
AM B PB C AP D MN
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 57.Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM Khẳng định sau sai? A 2 0
GA GM B 0
GA GB GC C 2
AM MG D 0
AG BG CG
Hướng dẫn giải:
Chọn C
(26)A OA OC OE 0 B BC FE AD C
OA OB OC EB D AB CD FE 0
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 59. Cho ABC với G trọng tâm Đặt CA a ,
CB b Khi đó, AG biểu diễn theo hai
vectơ
a b là
A
a b
AG B
a b
AG C
a b
AG D
a b
AG
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 60.Cho tam giác ABC I thỏa IA3IB Đẳng thức sau đẳng thức đúng?
A CI CA 3CB B
CI CB CA
C
1
CI CA CB
D CI 3CB CA
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 61.Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O giao điểm AC BD, phát biểu đúng? A
OA OB OC OD B ACBD C 0
OA OB OC OD
D AC AD AB Chọn D
Hướng dẫn giải:
Câu 62.Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Câu sau đúng?
A 2
GB GC GM B 2
GB GC GA
C 2
AB AC AG D
GA GB GC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 63.Phát biểu sai? A Nếu
AB AC
AB AC
B
AB CD A B C D, , , thẳng hàng. C Nếu 3AB7AC 0 A B C, , thẳng hàng. D AB CD DC BA .
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 64.Điều kiện điều kiện cần đủ để điểm O trung điểm đoạn AB A OA OB B
OA OB C
AO BO D OA OB 0
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 65.Trong khẳng định sau tìm khẳng định sai:
A a b b a B ( )
(27)C 0
a a a D
a b a b
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 66.Cho điểm A B C D, , , Đẳng thức sau đúng? A
OA CA CO B BC AC AB 0 C
BA OB OA D
OA OB BA
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 67.Cho tam giác ABC Để điểm M thoả mãn điều kiện MA MB MC 0 M phải thỏa mãn mệnh đề nào?
A M điểm cho tứ giác ABMC hình bình hành
B M trọng tâm tam giác ABC
C M điểm cho tứ giác BAMClà hình bình hành
D M thuộc trung trực AB
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 68.Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt Tính uAD CD CB DB
A uAD
B u 0
C u CD
D u AC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
uAD CD CB DB AD DC CB BD AC CD AD
Câu 69.Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đúng?
A BA BCDC CB. B BA BC DC BC. C BA BC DC AD
D BA BCDC CA.
Hướng dẫn giải: Đáp án A Chọn A
BA BC DC CA DC DC CA DA CB
Câu 70.Cho điểm A, B, C, D Đẳng thức sau đúng? A AB CD AD CB
B AB CD AD BC
C AB CD AC BD
D AB CD DA BC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
AB CD AD CB AB AD CB CD DB DB
Câu 71.Cho điểm A, B, C, D, E, F Đẳng thức sau đúng? A AB CD FA BC EF DE 0
B AB CD FA BC EF DE AF
C AB CD FA BC EF DE AE
D AB CD FA BC EF DE AD
Hướng dẫn giải:
D C
(28)Chọn A
0
AB CD FA BC EF DE AB BC CD DE EF FA AC CE EA
Câu 72.Cho hình bình hành ABCD, gọi G trọng tâm tam giác ABC Chọn mệnh đề A GA GC GD BD B GA GC GD DB
C GA GC GD 0
D GA GC GD CD
Hướng dẫn giải:
Chọn A HS tính
0
GA GC GD GA GC GB BD BD BD
Câu 73.Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N trung điểm đoạn BC AD Tính tổng NC MC
A AC
B NM C CA D MN
Hướng dẫn giải:
Chọn A HS tính
NC MC NC AN AN NC AC
Câu 74.Cho tam giác ABC đều, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chọn mệnh đề A OA OB CO
B OA OC 0 C OA OB AB
D OA OB OC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Do tam giác ABC đều, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên O trọng tâm tam giác ABC. Khi đó:
0
OA OB OC OA OB OC OA OB CO
Câu 75.Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy điểm E F cho AE EF FC, BE cắt AM N Chọn mệnh đề đúng.
A NA NM 0
B NA NB NC 0
C NB NE 0
D NE NF EF
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Trong tam giác BCE có MF đường trung bình nên MF/ /BE MF/ /NE N trung điểm AM
nên NA NM 0
Câu 76.Cho tam giác ABC Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB Hệ thức ?
A AD BE CF AF CE BDuuur uur uur uur uur uuur . B AD BE CF AB AC BC
uuur uur uur uuur uuur uuur C AD BE CF AE AB CDuuur uur uur uuur uuur uuur . D AD BE CF BA BC ACuuur uur uur uuur uuur uuur .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có AD BE CF AF FD BD DE CE EF
(29)
AF CE BD FD DE EF AF CE BD FF
uur uur uuur uur uuur uur uur uur uuur uur
AF CE BD
uur uur uuur r
AF CE BD
uur uur uuur
Câu 77. Cho hình chữ nhật ABCD Khẳng định sau sai ? A AB BD CB CD
uuur uuur uur uuur
B AB AD BC CD uuur uuur uuur uuur C AB AD CB CD
uuur uuur uur uuur
D.
AD AC CDuuur uuur uuur .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
AB BD AD CB CD CA
uuur uuur uuur uur uuur uuur
A sai
Câu 78.Cho tam giác ABC M điểm cho MA MB MC 0uuur uuur uuur r Khi điểm M là
A đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM. B đỉnh thứ tư hình bình hành ACMB C đỉnh thứ tư hình bình hành CAMB D đỉnh thứ tư hình bình hành ABMC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có : MA MB MC 0uuur uuur uuur r BA MC 0uuur uuur r BAuuur MCuuur đối
nhau
Vậy M đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM
Câu 79 Nếu ADABAC mệnh đề đúng?
A DA=DB+DC . B A, B, C ba điểm thẳng hàng. C AD phân giác tam giác BCD D A D đối xứng với qua BC
Hướng dẫn giải:
Chọn A
DA=DB+DC⇔DA=DA+AB+DA+AC⇔AD=AB+AC
CÒN NHIỀU TÀI LIỆU THẦY CÔ MỞ LINK XEM TIẾP NHÉ
https://docs.google.com/document/d/1tCnHq5DDHje-tU2MPVS6JWPKJQCWhMAgWb6yHFjyFzA/edit Hoặc nhắn tin địa gmail thầy để gửi tài liệu xem Đt : 0912801903
Câu 80.Cho hình lục giác ABCDEF, tâm O Đẳng thức sau đúng?
A AF+FE+AB=AD . B AB+BC+CD=BA+AF+FE . C AB+BC+CD+DE+EF+FA=6|AB| . D AB−AF+DE−DC=0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
(30)Câu 81 Cho tam giác ABC có trực tâm H, D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC Khẳng định sau đúng?
A HA CD AD CH . B HA CD
AD HC
. C HA CD
AC=HD . D HA CD AD HC OB OD
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có : Vì D đối xứng với B qua O nên D thuộc đường tròn tâm (O)
AD // DH (cùng vng góc với AB) AH // CD (cùng vng góc với BC) Suy ADHC hình bình bành Vậy HA CD
AD CH
.
O H
D
C B
A O
F
E D
C B
https://docs.google.com/document/d/1tCnHq5DDHje-tU2MPVS6JWPKJQCWhMAgWb6yHFjyFzA/edit