Tính chất cơ bản của phân thức

Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử; Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh.. Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?[r]

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính chất phân thức

* Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức phân thức phân thức cho Ta có:

A A M B  B M với M đa thức khác đa thức

* Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho Ta có:

: : A A N B B N với N nhân tử chung A B Quy tắc đối dấu

* Nếu đổi dấu cà tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho Ta có:

A A

B B

 



* Nếu đổi dấu tử mẫu đồng thời đổi dấu phân thức phân thức phân thức cho Ta có:

   



A A A

B B B

IL BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN A.DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Phương pháp giải: Thực theo hai bước:

Bài 1: Tìm đa thức A thỏa mãn đẳng thức sau: a 32 2, 2;

2

A x x

x

x x



  

 

b  

2

5 5

,

x y x y

x y A

   

c

2 8 2 16 1

, 0,

2

x x x

x x

x A

    



d ,

2

y x x y x

x A

 

 



Bài 2: Tìm ba đa thức A B C, , thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:

2 , 1,

3 27

A B C

x x

x  x  x  x   

Bài 3: Tìm ba đa thức A B C, , thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:

 

2

1

,

4 4

A x B C

x

x x x x



   

   

Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu đề Phương pháp giải: Thực theo hai bước:

Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp tùy theo yêu cầu đề bài;

Bước Sử dụng tính chất phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa phân thức thỏa mãn yêu cầu

Bài 4: Tìm phân thức có tử thức đa thức 2x có giá trị phân thức

  

2

12 12

, 2,

6

x x

x x

x x

   

 

Bài 5: Biến đổi phân thức

4x3 thành phân thức có mẫu thức đa thức

2

4x  x giá trị

Bài 6: Biến đổi cặp phân thức x

x 

16, 1, 0,

3

x

x x x

x

    

 thành cặp phân thức có

cùng tử thức phân thức ban đầu Dạng 3: Tính giá trị phân thức Phương pháp giải: Thực theo ba bước:

Bước Phân tích tử thức mẫu thức phân thức thành nhân tử; Bước Rút gọn phân thức;

Bước Thay giá trị biến vào phân thức tính Bài 7: Tính giá trị phân thức sau:

a 22 3,

2

x x

A x

x x

 

 

  3x 1

b 2 , 2;

5

x

B x x

x x



  

 

2 4 0

x  

Bài 8: Với giá trị x thỏa mãn

2x 7x 3 , tính giá trị phân thức sau:

a

2

2

2

x x

x x  

 

b

3

27

2

x

x x

  

Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức Phương pháp giải: Thực theo hai bước:

Bước Phân tích từ thức mẫu thức phân thức thành nhân tử; Bước Rút gọn phân thức, từ suy điều phải chứng minh Chú ý: Trong nhiều trường hợp, sử dụng định nghĩa hai phân thức nhau: A C

B D A.D = B.C

a 3;

4

a a

a a

 

  với x4;x8

b

 

2

2

9 3

;

3 2

x x x

x x x x

  

    với

2 1;

3 x  x

Bài 10: Cho cặp phân thức

2

1

3

x

x x



 

2

2

2

x x

x x  

  với x  1;2;4 a Hai phân thức có ln hay khơng?

b Tìm giá trị cụ thể x để hai phân thức Dạng 5: Toán nâng cao

Bài 11: Cho hai phân thức A B

C

D Chứng minh có vơ số cặp phân thức mẫu có dạng '

A E

' C

E thỏa mãn điều kiện

' '

;

A A C C

E  B E  D

HƯỚNG DẪN

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau rút gọn phân thức ta có

a) 2 2

2

A x

A x

x  x  

b)     

   

5

3

3

x y x y x y

A x y

x y

  

   



c)  

2 8 2 ( 8)

2

2

x x x

A x x

x A

 

   



d) (y )

2

y x x

A x

x A

      

Bài 2:

  , 1,

3 ( 3)(x 1) ( 3)

A B C

x x x  x   x  x x  

 , 1,

1 (x 1)

A B C

x x x x

    

   Chọn

2

1 9;

A  C x  x B x 

Tương tự ta rút gọn chọn A x   2 B (x1)(x2);Cx1x22x4

Bài 4:

     

2

12 12 3(2 1) 1

A , 2,

6 5 5

x x x x x

x x

x x x x x x

          

     

Bài 5:

  

2

1

1

4 4

B B

B x x  x  x  x x    Vậy phân thức cần tìm 2

4

x x x

   Bài 6:

  

   

2

4

4 16

2 4

x x

x x

x x x x x

 

   

  Và ta giữ nguyên biểu thức thứ

2 16 1

, , 0,

3

x

x x x

x

    

 Bài 7:

2

2 3

2 1

x x x

A

x x x

  

 

  

Thay

3

x   A

b) ta có 4 0 2( )

2( ) x loai x

x tm

       



2

5

x B

x x x



 

  

Với

5 x   B 

Bài 8:

2

3

2 1

2 x

x x

x       

a) 1;1

x có x3là thỏa mãn A  

b) x 1;3 ta nhận

x 43

6 B

 

Bài 9:

a) 3;

4

a a

a a

 

  ta xét tích chéo  

2

3 ( 8) 24

a a a  a ; a4a6a22a24 hai

phân thức không

b)

    

2

2

9 3 3 3( 1)

;

3 2 1 1

x x x x x

x x x x x x x x x

    

  

        

Bài 10:

  

  

2

1

1

3 4

x x

x x

x x x x x

 

 

 

     ;

  

  

2

1

2 3

2 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

 

    

a) Hai phân thức không với x b) ta xét

4

x x

x x

   

 

7 x

Bài 11:

Với hai phân thức A AD B BDvà

C CB

D  BD , để ta thấy ta nhân tử mẫu hai phân thức với đa thức M 0 ta ln mẫu số EBD M Do có vơ số đa thức M nên ta có vơ số phân thức mẫu hai phan thức cho

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước

Bài 1: Hãy điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau: a)  

2

5 5

3

x y  x  y

với x y;

b)

3

2

2

4

a a

a a

 

  với a 2

a)

2

6

4

b b b

b A

 

 với

3 ; b 

b)

n m m n

m A

 



 với m2

Bài 3: Dùng tích chất phân thức, tìm đa thức A biết:

2

2

2

x xy y A

x y y x

  



 

Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu đề Bài 4: Cho phân thức 42

5 x x



 Biến đổi phân thức cho thành phân thức có tử thức đa thức A12x29 x

Bài 5: Biến đổi phân thức

  

2

8

4 15

x x

x x

 

  thành phân thức có tử thức

A  x

Bài 6: Dùng tích chất phân thức để biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức có tử thức:

a) x

1 x

x 

b)

4 x

x 

2

25

2

x x

  Dạng 3: Tính giá trị phân thức

Bài 7: Tính giá trị phân thức: a) 22

2

x

x x



  với x 1 x1 b)

2

3

1

x x

x 

 với x 1 x 2

Bài 8: Tính giá trị phân thức:

2

1

2

x

x x



  với

1 1;

2

x x 3x 1

Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức

Bài 9: Cho cặp phân thức

 

2

9

3 2

x

x x x



  

2

3 3

1

x x

x  

 với x1

Bài 10: Cho hai phân thức

2 5 6

3

y y y  



2

2

6

y y y  

 với y2

y Cặp phân thức có hay khơng?

Dạng 5: Toán nâng cao Bài 11: Cho cặp phân thức

2

1

3

x

x x



 

2

2

2

x x

x x  

  với x 1;x2 x4 a) Hai phân thức có ln hay khơng?

b) Tìm giá trị cụ thể x để hai phân thức

Bài 12: Tính giá trị phân thức: a)

2

1

2

x

x x



  với x1

x 2x 1 3;

b)

2

3 10

4

x x

x x

 

  với x2;x3

2 8 15 0.

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Bài 1:

a) Ta có:           

2 2 2

5

5 5

3 3

x y

x y x y x y x y

x y x y x y



      

  

b) Ta có:   

2

3 2

2

2

2

4 2

a a

a a a

a

a a a a



    

   

Bài 2:

a) Ta có:  

      

2

2

2

3 3

6

2

4 3 3

b b b b

b b b

A b

b b b b b

 

      

    

b) Ta có:  

2 2

m n

n m m n

A m

m m m

 

      

  

Bài 3: Ta có:

       

       

2

2

2

3

2

2

y xy x y x y x y x y x

x xy y

A x y

x y x y y x y x y x y x

         

         

     

Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu đề Bài 4:

Ta có:  

 

2

2

4 3

4 12

5 3 15

x x

x x x

x x x x x



   

  

Bài 5:

Ta có:

          

2

2 4 2 2 1

8 2 1

4 15 2 15 2 15 15 15

x x x

x x x x

x x x x x x x x

  

       

       

Bài 6:

a) Ta có:  

  

3

3 3

2 2

x x

x x x x x

 

 

Ta có:  3 3

5 15

x

x x

x x x



   

b) Ta có:    

 

2

5

5 25

4 20

x x

x x

x x x x x

 

   

 

Ta có:

2 25

2

x x

 

Dạng 3: Tính giá trị phân thức Bài 7:

a) Ta có:  

 2

2

2

2 2

2 1

x x

A

x x x x

 

  

   

Thay x1 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 2 1 1 A

x

  

 

b) Ta có:  

  

2

3

3 3

1 1

x x

x x x

B

x x x x

 

  

   

Thay x 2 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được:  

 

3

2

1

x B

x



  

   Bài 8:

Ta có: 1 x   x

Ta có:   

  

2

1

1

2 1 2

x x

x x

C

x x x x x

 

 

  

    

Thay

x ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức C ta được:

1

1 3

4

2 1 1

3 x

C x

 

   

 

Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức Bài 9:

Ta có:

     

2 2

3

9 9

3 2 3 2 3

x

x x x

x x x x x x x x x x x



  

   

Ta có:  

  

2

3

3

3 3

1 1

x x

x x

x x x x x

 

   

      2 Từ    1 ,

 

2

2

9 3

3 2

x x x

x x x x

  

 

   

Bài 10:

Ta có:   

 

2 5 6 2 3 3

3 3

y y

y y y

y y

 

    

   1

Ta có:   

 

2 3 2 1

2 3

6 3

y y

y y y

y y

 

  

 

   2

Từ    1 , 2 2

3 6

y y y y

y y

   

 

 

Bài 11:

a) Ta có:   

  

2

1

1

3 4

x x

x x

x x x x x

 

   

      1

Ta có:   

  

2

3

2 3

2 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

 

      2 Từ    

2

2

1

1 ,

3

x x x

x x x x

  

 

    b) Với x 1;x2 x4

thì

2

2

1 3

3 4

x x x x x

x x x x x x

    

  

     

 1 2  4 3 3 2 7 12 4 10

2

x x x x x x x x x x

               

Vậy

x hai phân thức cho

Bài 12:

b) Loại trường hợp x = thay x = kết