Nguyên lý dirichlet trong các bài toán sơ cấp

Nguyên lý dirichlet trong các bài toán sơ cấp Nguyên lý dirichlet trong các bài toán sơ cấp Nguyên lý dirichlet trong các bài toán sơ cấp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ĐÀO THỊ KIM OANH NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ĐÀO THỊ KIM OANH NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHAN HUY KHẢI Hà Nội - 2011 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý Dirichlet 1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng 1.3 Nguyên lý Dirichlet mở rộng cho tập hữu hạn 1.4 Nguyên lý Dirichlet tập vô hạn phần tử 1.4.1 Tập phần tử khoảng đường thẳng 1.4.2 Tập phần tử miền phẳng giới hạn đường cong phẳng khép kín 1.4.3 Tập phần tử khối ba chiều giới hạn mặt cong phẳng 10 Nguyên lý Dirichlet 2.1 Nguyên lý Dirichlet 2.2 Nguyên lý Dirichlet 2.3 Nguyên lý Dirichlet toán số học toán trùng lặp toán chia hết toán số học khác 12 13 15 23 Nguyên lý Dirichlet 3.1 Các toán khoảng cách 3.2 Các tốn diện tích 3.3 Các tốn tơ màu 3.4 Nguyên lý Dirichlet tốn hình học tổ hợp tốn hình học khác 29 29 33 37 43 Nguyên lý Dirichlet toán khác 4.1 Nguyên lý Dirichlet toán chứng minh thức 4.2 Nguyên lý Dirichlet toán dãy số 4.3 Nguyên lý Dirichlet số toán 4 4 6 47 bất đẳng 47 53 57 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo nhiệt tình PGS.TS Phan Huy Khải Thầy định hướng, gợi mở ý tưởng sâu sắc hiệu quả, tận tình bảo giúp đỡ tác giả mặt để hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn sâu sắc tới Thầy Cũng tác giả xin gửi lời cám ơn tới tồn thầy khoa Tốn-Cơ-Tin học giảng dạy, dìu dắt, trang bị kiến thức suốt trình học tập khoa Qua tác giả bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình bạn bè thân thiết, người dành quan tâm, động viên để tác giả hoàn thành tốt luận văn Hà nội, ngày 10 tháng 11 năm 2011 Học viên Đào Thị Kim Oanh MỞ ĐẦU Nguyên lý Dirichlet phát biểu lần nhà toán học người Pháp P L Dirichlet (1805 − 1859) sau: "Nếu nhốt n + thỏ nhốt vào n chuồng có thỏ bị nhốt vào chuồng" Tổng quát nhốt n thỏ vào k lồng mà phép chia nk m dư tồn lồng chứa m + thỏ trở lên Nguyên lý Dirichlet dạng phương pháp phản chứng, khẳng định tồn không tồn kiện Mặc dù đơn giản nguyên lý Dirichlet áp dụng công cụ hiệu để giải nhiều toán phức tạp số học, hình học tổ hợp nhiều tốn khác tốn học Chính vậy, từ lâu thi học sinh giỏi toán quốc gia quốc tế, nguyên lý Dirichlet thường xuyên khai thác Tuy nhiên kiến thức phần lại không viết nhiều sách hầu hết giáo viên, học sinh phổ thơng vấn đề mẻ Vì tơi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo nhỏ giúp ích cho bạn học sinh trình học tập thầy q trình giảng dạy Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu làm sáng tỏ áp dụng nguyên lý Dirichlet toán sơ cấp Luận văn gồm bốn chương : Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Nguyên lý Dirichlet toán số học Chương Nguyên lý Dirichlet tốn hình học tổ hợp Chương Ngun lý Dirichlet tốn khác Q trình thực đề tài thời gian nhiều hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót; mong thầy cơ, anh chị học viên đóng góp ý kiến lượng thứ Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý Dirichlet Định lý Nếu nhốt n + thỏ nhốt vào n chuồng có thỏ bị nhốt vào chuồng 1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng Định lý Nếu nhốt n thỏ vào m lồng mà phép chia lồng chứa k + thỏ n m > k tồn Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh phản chứng Thật giả sử trái lại lồng thỏ chứa số thỏ nhỏ k + số thỏ lồng ≤ k Khi suy tổng số thỏ ≤ m.k Điều vô lý có n thỏ Vậy giả thiết phản chứng sai, nguyên lý Dirichlet mở rộng chứng minh Nhận xét : Nguyên lý Dirichlet thực chất định lý tập hợp Chúng ta có phát biểu khác nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp hữu hạn phần tử mở rộng cho tập vô hạn 1.3 Nguyên lý Dirichlet mở rộng cho tập hữu hạn Cho A tập hữu hạn phần tử Kí hiệu |A| số lượng phần tử thuộc A Khi ta có định lý sau: Định lý Cho A,B hai tập hợp = ∅ có số phần tử hữu hạn mà |A| > |B| phần tử A tương ứng với phần tử B tồn phần tử A mà tương ứng với phần tử B Định lý Nếu A,B tập hợp hữu hạn |A| > k|B| k số tự nhiên phần tử A tương ứng với phần tử B tồn k + phần tử A mà chúng tương ứng với phần tử B Chứng minh k = hiển nhiên Để chứng minh mệnh đề giả sử phần tử B tương ứng với nhiều k phần tử A Khi |A| ≤ k|B| trái với giả thiết |A| > k|B| Định lý (Nguyên lý Dirichlet cho tập hữu hạn) Cho tập hữu hạn S = ∅ S1 , S2 , S3 , , Sn tập S cho |S1 | + |S2 | + + |Sn | > k.|S| Khi tồn phần tử x ∈ S cho x phần tử chung k + tập Si với i = 1, 2, , n Định lý Định lý tương đương Nguyên lý Dirichlet (mở rộng) nguyên lý Dirichlet cho tập hữu hạn tương đương Chứng minh Thật chứng minh thuận, giả sử S có m phần tử x1 , x2 , , xn Xét tập X = {(xi , Sj ), i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n} Hiển nhiên |X| = S1 + S2 + + Sn > k|S| = k.m Ta phân bố phần tử tập X vào m hộp 1, 2, , m sau : Nếu xi ∈ Sj (xi , Sj ) phân vào hộp i với i = 1, 2, , m j = 1, , n Khi theo nguyên lý Dirichlet tồn hộp i có k + phần tử Từ suy tồn phần tử xi phần tử chung k + tập Si với i = 1, 2, , n Ngược lại chứng minh đảo, kí hiệu n phần tử j = 1, 2, , n Ta phân bố phần tử j = 1, 2, , n vào m hộp Hi , i = 1, 2, , m Kí hiệu S = {Hi |i = 1, 2, , m}, Sj = {Hi |j ∈ Hi } với j = 1, 2, , n Hiển nhiên |Sj | = với j |S| = m Suy |S1 | + |S2 | + + |Sn | > k.m > k.|S| Theo nguyên lý Dirichlet cho tập hữu hạn tồn phần tử Hi chung k + tập Sj , tức tồn hộp Hi chứa k + phần tử 1.4 Nguyên lý Dirichlet tập vô hạn phần tử Nguyên lý Dirichlet tập vơ hạn phần tử hay cịn gọi dễ nhớ nguyên lý Dirichlet với độ đo Đối với độ dài, diện tích, thể tích có nguyên lý tương tự nguyên lý Dirichlet tập hợp theo nghĩa Ta tạm gọi nguyên lý nguyên lý Dirichlet độ dài, diện tích, thể tích Ta có khái niệm sau: Khái niệm Một tập hợp mặt phẳng gọi bị chặn tồn hình trịn chứa tồn điểm tập hợp Nếu khơng tồn hình trịn tập hợp gọi tập hợp khơng bị chặn Khái niệm Một điểm P gọi điểm biên tập hợp A mặt phẳng, hình trịn tâm P có chứa điểm thuộc A điểm không thuộc A Tập hợp tất điểm biên A gọi biên A Khái niệm Một điểm P gọi điểm tập hợp A mặt phẳng tồn hình trịn tâm P mà nằm trọn A 1.4.1 Tập phần tử khoảng đường thẳng Ta kí hiệu d(I) độ dài của khoảng I ⊂ R Định lý (Nguyên lý Dirichlet cho đoạn thẳng) Cho A khoảng giới nội, A1 , A2 , ., An khoảng cho Ai ⊂ A(i = 1, 2, , n) d(A) < d(A1 ) + d(A2 ) + + d(An ) Khi có khoảng số khoảng có điểm chung Chứng minh Thật vậy, giả sử khơng có cặp khoảng cho n có điểm chung Khi đó, d( i=1 Ai ) = d(A1 ) + d(A2 ) + + d(An ) > n d(A) Mặt khác, từ Ai ⊂ A(i = 1, 2, , n) suy d( i=1 Ai ) ≤ d(A) Các bất đẳng thức mâu thuẫn với Vậy có hai khoảng số khoảng có điểm chung Một cách phát biểu khác dễ nhớ hơn: Trên đường thẳng cho đoạn AB có độ dài a số đoạn Ai Bi (i = 1, n) có tổng độ dài b, đó: - Nếu b < a bên đoạn AB có điểm M nằm bên ngồi tất đoạn Ai Bi - Nếu b > a đoạn AB chứa tất đoạn Ai Bi tồn hai đoạn Ai Bi có điểm chung Tổng quát : - Nếu b < ka bên đoạn AB tồn điểm M không thuộc k − đoạn - Nếu b > ka đoạn AB chứa tất đoạn Ai Bi có k + đoạn Ai Bi có điểm chung Phát biểu trừu tượng phát biểu tổng quát sau: Định lý (Nguyên lý Diric mà chúng thoả mãn bất đẳng thức sau: √ < x − y < + 3 xy Lời giải: Ta xét bậc ba số số cho x1 , x2 , , x11 Từ điều √ kiện xi ∈ [1, 1000] cho suy ≤ xi ≤ 10, (i = 1, , 11) Ta chia khoảng [1, 1000] 10 phần 52 √ √ √ Có tất 11 số x1 , x2 , , x11 Theo nguyên lý Dirichlet suy có số 11 khoảng nằm đoạn nhỏ Giả sử số √ √ xi , xj (xi = xj ) xj > xi Ta có √ √ < xj − xi ≤ < 10 √ √ ⇒ < ( xj − xi )3 < 13 ⇒ < xj − xi − 3 x2j xi + 3 x2i xj < ⇒ < xj − xi < + 3 x2j xi − 3 x2i xj √ √ √ ⇒ < xj − xi < + 3 xi xj ( xj − xi ) √ √ Mà < ( xj − xi ) < nên √ < xj − xi < + 3 xi xj tức chọn số x y thỏa mãn √ < x − y < + 3 xy Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tốn 4.9 Cho số thực Chứng minh chúng chọn hai số, chẳng hạn x y , cho: √ x−y 0≤ ≤ + xy Lời giải: Gọi số cho kí hiệu x1 , x2 , , x7 Ta biểu diễn số dạng xi = tan αi , αi số khoảng (− π2 , π2 ), i = 1, Chúng ta chia đoạn thành đoạn có độ dài tức π6 Theo nguyên lý Dirichlet ta có hai số α1 , α2 , , α7 nằm đoạn Kí hiệu hai số αi αj (αj > αi ) ≤ αj − αi ≤ π Vì hàm tan tăng khoảng (− π2 , π2 ) nên ta có: √ xj − xi π tan αj − tan αi ≤ tan(αj − αi ) = = ≤ tan = + tan αj tan αi + xj xi Vậy ta có điều phải chứng minh ... 10 Nguyên lý Dirichlet 2.1 Nguyên lý Dirichlet 2.2 Nguyên lý Dirichlet 2.3 Nguyên lý Dirichlet toán số học toán trùng lặp toán chia hết toán số học khác 12 13 15 23 Nguyên lý. .. 29 33 37 43 Nguyên lý Dirichlet toán khác 4.1 Nguyên lý Dirichlet toán chứng minh thức 4.2 Nguyên lý Dirichlet toán dãy số 4.3 Nguyên lý Dirichlet số toán ... dụng nguyên lý Dirichlet toán sơ cấp Luận văn gồm bốn chương : Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Nguyên lý Dirichlet toán số học Chương Nguyên lý Dirichlet toán hình học tổ hợp Chương Nguyên