Hệ thống lý thuyết và công thức giải nhanh bài tập toán lớp 101112 Hệ thống lý thuyết và công thức giải nhanh bài tập toán lớp 101112 Hệ thống lý thuyết và công thức giải nhanh bài tập toán lớp 101112 Hệ thống lý thuyết và công thức giải nhanh bài tập toán lớp 101112 Hệ thống lý thuyết và công thức giải nhanh bài tập toán lớp 101112
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÀI LIỆU BỔ TRỢ KIẾN THỨC THI http://tailieugiaovien.vn THPT QUỐC GIA Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 1/138 MỤC LỤC Chuyên đề 1: Lượng giác…………………………………………………………….…… 03 Chuyên đề 2:Tổ hợp – Xác suất……………………………………………………….……08 Chuyên đề 3:Nguyên hàm – tích phân - ứng dụng…………………………………….……09 Chuyên đề 4:Phương pháp tọa độ không gian Oxyz…………………………….……12 Chuyên đề 5:Khảo sát hàm số toán……………………………………….…… 27 Chuyên đề 6:Mũ-logarit…………………………………………………………….……….38 Chuyên đề 7:Số phức………………………………………………………………… …….42 Chun đề 8:Hình học khơng gian………………………………………………… ……….45 Chuyên đề 9:Đại số-Phương trình-Hệ phương trình…………………………………………57 Chuyên đề 10: Bất đẳng thức………………………………………………………….…… 62 Chuyên đề 11:Phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy……………………………………63 CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC TOÙM TẮTGIÁO KHOA A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Đơn vị đo góc cung: Độ: 180 o 10 180 rad rad = 180 Radian: (rad) x O y 1800 rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thông dụng: Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 2 3 5 Radian 4 1800 3600 2 II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghóa: y (điểm ngọn) B (tia ngọn) http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 4/138 y O O x x A (điểm gốc) t t M AB k 2 (tia gốc) (Ox, Oy) k 2 (k Z) y B Đường tròn lượng giác: C O A x Số đo số cung lượng giác đặc biệt: D A 2k 2k B C 2k D - 2k A, C k y t B, D k u B u' III Định nghóa hàm số lượng giác: 1 R x Đường tròn lượng giác: C A O x' A: điểm gốc 1D x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) t' y'Oy : trục sin ( truïc tung ) y' ' t At : trục tang u'Bu : trục cotang Định nghóa hàm số lượng giác: a Định nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= Gọi P, Q hình chiếu vuông góc M x'Ox vàø y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu t y t Trục sin Trục cotang U B u' M Q x' O P T t u A x cos OP sin OQ tan AT cot BU b Các tính chất :Với ta có : 1 sin hay sin ; 1 cos hay cos tan xác định k , k Z;cotg xác định k sin( k 2 ) sin ;cos( k 2 ) cos (k Z ) tan( k ) tan ;cot( k ) cot c Tính tuần hoàn : IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: 00 Góc Hslg sin cos tan cot || 300 3 3 450 2 2 600 900 1200 2 3 3 2 1 2 || 1350 3 2 -1 -1 1500 5 3 -300 1800 3600 2 0 -1 0 || || 3 - -450 - 600 -900 -1 2 2 -1 - || http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 6/138 3 3 -1 - 3 V.Bảng dấu giá trị lượng giác I: III: II: 00 900 sin Cosin Tang cotang 3 Góc phần tư + + + + 900 1800 3 IV: 2 1800 2700 + - 2700 3600 + + + - VI Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Cung đối nhau: Cung buø : cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cos( ) cos Đối cos sin( ) sin tan( ) tan Buø sin cot( ) cot cot( ) cot Cung phuï : Cung cos( sin( tan( cos( ) sin ) cos ) cot Phụ chéo sin( tan( ) sin ) cos ) cot sin cos cos trừ sin Hơn ) tan Cung : cos( ) cos ; sin( ) sin ; tan( ) =tan ;cot( ) cot( ) tan VI Công thức lượng giác: cot( cot Các hệ thức bản: cos2 sin2 ;tan = Công thức cộng : sin cos ; cot = ; tan2 = ; cos sin cos2 cot 2 = sin2 ; tan cot = cos( ) cos cos sin sin ; sin( ) sin cos sin cos ;tan( ) = tan tan tan tan Coâng thức nhân đôi: cos 2 cos2 sin cos2 sin cos4 sin sin 2 sin cos tan 2 tan tan Công thức nhân ba: cos cos 3 4cos3 3cos cos 3 cos http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 8/138 sin 3 3sin 4sin Công thức hạ baäc: cos2 sin cos 2 cos 2 ; sin ; 2 6.Công thức tính sin ,cos ,tan theo t tan ; sin sin sin 3 cos 2 cos 2 t2 cos ; t2 tan 2t ; t2 tan 2t t2 Công thức biến đổi tích thành tổng : cos( ) cos( ) 2 sin sin cos( ) cos( ) sin cos sin( ) sin( ) cos cos Công thức biến đổi tổng thành tích : cos cos cos sin sin 2sin cos cos sin( ) tan tan cos cos Các công thức thường dùng khác: cos sin cos( ) sin( ) 4 cos sin cos( ) sin( ) 4 ; cos cos 2sin ;sin sin cos sin sin sin( ) ; tan tan cos cos cos 4 cos 4 6 cos sin cos sin B PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Định lý bản: ( Quan trọng ) u = v+k2 u = -v+k2 u = v+k2 u = -v+k2 sinu = sinv cosu = cosv tanu = tanv u = v+k cotu = cotv u = v+k ( u; v biểu thức chứa ẩn k Z ) (u;v k ) (u;v k ) II Các phương trình lượng giác bản: Dạng 1: sinx = a ; cosx = a ; tanx = a ; cotx = a * Gpt : sinx = a (1) Neáu a pt(1) vô nghiệm ( a R ) x = +k2 Nếu a ta đặt a = sin ta có : (1) sinx=sin (k Z ) x = ( - )+k2 * Gpt : cosx = a (2) Nếu a pt(2) vô nghiệm x = +k2 Nếu a ta đặt a = cos ta có (2) cosx=cos (k Z ) x = +k2 http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 10/138 * Gpt: tan x = a (3) ( pt có nghiệm a R ) Đặt a = tan (3) tan x = tan x = + k ( k Z ) * Gpt: cot x = a (4) ( pt có nghiệm a R ) Đặt a = cot (4) cotx = cot x = +k ( k Z ) Các trường hợp đặc biệt: sin x 1 x = sin x x = cosx = x = Dạng 2: Cách giải: k 2 ; sinx = x = k ; cosx 1 x = k 2 ( k Z ) k 2 + k ; cos x x = k 2 a sin2 x b sin x c 0; a cos2 x b cos x c a tan2 x b tan x c 0; a cot x b cot x c ( a 0) Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)Ta phương trình : at bt c (1)Giải phương trình (1) tìm t, suy x ( Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)) Dạng 3: a cos x b sin x c (1) ( a;b 0) a2 b2 pt a b c (2) (1) cos x sin x 2 2 a b a b a b2 a b Đặt cos sin với 0;2 : a2 b2 a2 b2 c c (2) cosx.cos + sinx.sin = cos(x- ) = 2 a b a b2 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (3) Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x Chú ý : Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a2 b2 c2 d Dạng 4(phương trình đẳng cấp) a sin2 x b sin x.cos x c cos2 x (a;c 0) cos2 x cos2 x Cách giải 1: p dụng công thức hạ bậc : sin2 x cos2 x 2 (1) công thức nhân đôi : sin x.cos x sin x thay vaøo (1) ta biến đổi pt (1) dạng Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang )Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt : a tan2 x b tan x c Đây pt dạng biết cách giải k có phải nghiệm (1) không? a(cos x sin x) b sin x.cos x c (1) Chuù ý: Trước chia phải kiểm tra xem x d Dạng 5: (phương trình đối xứng) Cách giải :Đặt t cos x sin x cos( x ) với - t t2 1 2 t 1 Thay vaøo (1) ta phương trình : at b c (2) Do (cos x sin x )2 2sin x.cos x sinx.cosx= Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: cos( x ) t tìm x Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : a(cos x sin x) b sin x.cos x c Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt cho dạng pt lượng giác biết b Phương pháp 2: Biến đổi pt cho dạng tích số Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau ñaây: http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 12/138 A=0 A.B B=0 hoaëc A.B.C A=0 B=0 C=0 c Phương pháp 3: Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ.Một số dấu hiệu nhận biết :Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa) CHUN ĐỀ 2:TỔ HỢP-XÁC SUẤT VẤN ĐỀ1: NHỊ THỨC NEWTON A.Kiến thức n Công thức khai triển: a+b Cnk a nk bk Cn0 a n Cn1a n1b Cnk a nk bk Cnn 1abn 1 Cnnbn n k 0 nk k Số hạng tổng quát: Tk 1 C a b / Cnk11 Cnk1 Cnk Tính chất: 1/ Cnk Cnnk k n 1 k n 3/ Cn0 Cn1 Cnn 2n VẤN ĐỀ 2: XÁC SUẤT Quy tắc cộng: Một công việc thực hai hành động Nếu hành động thứ có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc đó có m+n cách hồn thành Quy tắc nhân: Một cơng việc hoàn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách đó có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc 3.Hoán vị: Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập A gọi hoán vị n phần tử đó Kí hiệu: Pn n! n n 1 n 2 3.2.1 Quy ước 0!=1 Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử n 1 Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập A xếp theo thứ tự đó gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho.Kí hiệu: Ank n! n n 1 n k 1 n k ! ; Ann Pn Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho.Kí hiệu: Cnk n! k ! n k ! Tính chất: 1/ Cnk Cnnk 6.Nhị thức Niu-tơn / Cnk11 Cnk1 Cnk 1 k n 3/ Cn0 Cn1 Cnn 2n n Công thức khai triển: a+b Cnk a nk bk Cn0 a n Cn1a n1b Cnk a nk bk Cnn 1abn 1 Cnnbn n k 0 nk k Số hạng tổng quát: Tk 1 C a b 7.Xác suất k n + định nghĩa: P A n A , n A số phần tử tập A, n số phần tử không gian mẫu n + P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng): Nếu A, B xung khắc + P(AB) = P(A) P(B) (công thức nhân) : Nếu A, B độc lập + P( A ) - P( A) + P , P , P A 1, A http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 14/138 CHUYÊN ĐỀ 3:NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG A.BẢNG NGUYÊN HÀM Đạo hàm Hàm sơ cấp Hàm hợp Nguyên hàm Hàm sơ cấp Hàm hợp x n x n ' u n.u '.u n ' n 1 ' ' 1 x x ' x x u' 1 u u ' u' u u cos2 x ' cot x sin x u du x a dx ' e u '.e a ' u '.a ln a u ' x x u u ln | x | x u u' ln | u | u ' ' ln a u 1 C 1 1 1 u' cos2 u u' ' cot u sin u tan u e e a ' a ln a x x 1 C 1 1 u du ln | u | C x dx ln | x | C ' x ' 0du C du u C sinu u '.cosu e x dx e x C ' cosu u '.sin u ax ' ' x dx s inx cosx ' cosx sin x tan x 0dx C dx x C n 1 e du e u C a 0, a 1 u a du u C au C a 0, a 1 ln a cos xdx sin x c sin xdx cos x c cos udu sin u c sin udu cos u c cos2 x dx tan x c sin x dx cot x c ax b ax b e dx a e c 1 ax b dx a ln | ax b | c cos u du tan u c sin u du cot u c sin ax b dx a cos ax b c http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 16/138 log a | x | ' x.ln a log a | u | ' u' u.ln a cos ax b dx a sin ax b c B KiÕn thøc 1.Công thức Niutơn - Laipnit:Cho F(x) nguyên hàm hàm f(x) đoạn a; b Ta cã: b f ( x)dx F ( x) ba F (b) F (a) a b Chó ý: Tích phân f ( x)dx phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số tích a b phân Vì ta cã thÓ viÕt: b b F(b) – F(a) = ( f ( x)dx f (t )dt f (u )du a a a C¸c tÝnh chất tích phân: Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục khoảng K a,b,c ba ®iĨm cđa kho¶ng K Ta cã: a f ( x)dx 0 * TÝnh chÊt 1: a b * TÝnh chÊt 2: a f ( x)dx f ( x)dx a b b b a a * TÝnh chÊt 3: kf ( x)dx k f ( x)dx, k R b * TÝnh chÊt 4: b a * TÝnh chÊt 5: b f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx a a b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx b * TÝnh chÊt 6: NÕu f(x) 0, x a; b f ( x)dx a b b a a * TÝnh chÊt 8: NÕu f ( x) g ( x), x a; b f ( x)dx g ( x)dx b * TÝnh chÊt 9: NÕu m f ( x) M , x a; b m(b a) f ( x)dx M (b a) a C:CáC PHƯƠNG PHáP TíNH TíCH PHÂN Loại 1:Sử dụng bảng công thức nguyên hàm b Loại 2:Tích phân hữu tỷ I a f x dx g x x 1 1 C., ( 1) dx ln ax b C ax b a 1 -NÕu bËc f x bËc g x th× ta chia đa thức Công thức áp dụng x dx -NÕu bËc f x bậc g x ta sử dụng ph-ơng pháp hệ số bất định ax b A B ax b A B ; x x1 x x2 x x1 x x2 x x0 x x0 x x0 2 b Loại Ph-ơng pháp đổi biến số: I f u x u ' x dx a Dạng 1:Đặt t u x dt u ' x dx ;§ỉi cËn x a t u a ; x b t u b ,Từ ta đ-ợc tích phân u b f t dt F t | míi I u b u a http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 18/138 u a *một số thủ thuật đặt b Dạng u x dx f a t u x t D¹ng u x a v x dx b b a b sin x dx f cos x e v x dx u x a a f ln x dx x n x.cos xdx a b a t f ln x t tan x t cot x m lỴ t=cosx m chẵn Hạ bậc m=0 n chẵn âm t=tanx cos x cos x cos x n=0 m chẵn âm t=cotx n chẵn t=sinx Dạng 2: đặt x u t dx u ' t dt Dấu hiệu Dạng a2 x2 n chẵn a2 x2 x a tan t; t ; 2 x2 a2 a x ; x ; \ {0} sin t 2 x a sin t; t ; 2 Loại 4: Ph-ơng pháp tích phân phần Nu u(x) v v(x) l hai hàm số có đạo hàm liêm tục đoạn [a;b] b b b b a a a a b b u x v ' x dx u x v x |a v x u ' x dx hay udv uv |a vdu Cách đặt b b D¹ng a U f cot x dx sin x t u x a đặt f tan x dx cos2 x t f cos x sin x m b t v x b sin b sin x f x dx cos x f x b f x e dx x a b a f x ln x f x dx log c x ln x log x c x cos a x sin x x dx sin x cos x dx V dx cos2 x sin x f x dx e x dx D:øng dông tÝch phân loại 1:Tính diện tích hình phẳng *Din tớch S hình phẳng giới hạn đường:Đồ thị hàm số y f x liên tục đoạn [a;b], b trục hoành Ox hai đường thẳng x=a,x=b : S | f x | dx a * Diện tích S hình phẳng giới hạn đường:Đồ thị hàm số y f x , y g x liên tục b đoạn [a;b], trục hoành Ox hai đường thẳng x=a,x=b là: S | f x g x | dx a CHÚ Ý: b +Nếu đoạn [a;b], hàm số f(x) khơng đổi dấu thì: | f x | dx a b f x dx a +Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân.Ta theo bước sau: -Giải phương trình :f(x)=0 f(x)-g(x)=0 đoạn [a;b].Giả sử tìm nghiệm c,d(c