Đa tạp cát tuyến của đa tạp veronese và đa tạp segre

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Phạm Anh Vinh ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Phạm Anh Vinh ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS Đoàn Trung Cường Hà Nội – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Đồn Trung Cường Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Phạm Anh Vinh LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đồn Trung Cường, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy thuộc phịng Đại số, Viện Tốn học giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Ngồi ra, q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu quý thầy cô, anh chị bạn bè Viện Tốn học Việt Nam Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Phạm Anh Vinh Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục hình vẽ đồ thị Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số 1.2 Không gian tiếp xúc 13 Đa tạp cát tuyến tính chất 22 2.1 Đa tạp nối đa tạp 22 2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s 29 Đa tạp Veronese Định lý Alexander-Hirschowitz 39 3.1 Đa tạp Veronese 39 3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz 45 Đa tạp cát tuyến đa tạp Segre 58 4.1 Đa tạp Segre 58 4.2 Đa tạp cát tuyến đa tạp Segre 64 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 1.1 Đường cong X = V (x3 − y ) 16 1.2 Đường cong Y = V (x3 −x2 −x−1−y) 17 2.1 Hợp nối điểm đường 23 thẳng P2 2.2 Đường cát tuyến đường tròn 29 2.3 Đường thẳng cắt đường conic hai 30 điểm 3.1 Giuseppe Veronese (1854-1917) 40 3.2 Đường cubic xoắn 43 4.1 Corrado Segre (1863-1924) 59 4.2 Hyperbolic paraboloid 62 MỞ ĐẦU Đa tạp cát tuyến chủ đề nhà hình học đại số trường phái Ý nghiên cứu từ kỉ 19 Gần quan tâm nhà hình học đại số đa tạp cát tuyến tăng nhanh Đa tạp cát tuyến có ứng dụng số chuyên ngành toán học thống kê đại số, đồng thời có ứng dụng rộng rãi nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống khoa học máy tính, sinh học Thơng thường việc tính tốn với đa tạp cát tuyến khó Do đó, nhiều tốn thay cho việc xét đa tạp cát tuyến đa tạp bất kỳ, người ta hạn chế xét đa tạp cát tuyến số đa tạp đặc biệt đa tạp Veronese, đa tạp Grassmannian, đa tạp Segre, đa tạp Segre-Veronese Đa tạp cát tuyến thứ s đa tạp đại số X ⊂ PN bao đóng Zariski hợp tất khơng gian tuyến tính qua s điểm X kí hiệu σs (X) Tính tốn số chiều σs (X) câu hỏi việc nghiên cứu đa tạp cát tuyến Bằng việc xem σs (X) hợp nối X với σs−1 (X), ta chứng minh dim σs (X) ≤ (s dim X + s − 1, N ), giá trị (s dim X + s − 1, N ) gọi chiều kì vọng σs (X) Ta nói đa tạp X s- khuyết số chiều σs (X) khác với số chiều kì vọng đa tạp Đối với đa tạp Veronese, Alexander Hirschowitz đưa phân loại đa tạp khuyết Trong đó, kết tính tốn số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre đa tạp Segre-Veronese đạt số trường hợp đặc biệt Mục đích luận văn trình bày lại cách hệ thống số kết chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Veronese đa tạp Segre, đồng thời tính tốn số ví dụ minh hoạ Luận văn chia làm ba chương sau: Chương 1: Chương dành để nêu tóm tắt số khái niệm tính chất đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh không gian tiếp xúc để phục vụ cho việc trình bày chương sau Chương 2: Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất hợp nối đa tạp xạ ảnh Trong đó, tính chất liên quan đến khơng gian tiếp xúc đa tạp hợp nối Định lý 2.1.10 xem tính chất quan trọng Trong tiết chương này, chúng tơi trình bày đa tạp cát tuyến, trường hợp đặc biệt đa tạp hợp nối Đồng thời, cuối chương, phát biểu Bổ đề Terracini (Định lý 2.2.11) Đây kết tiếng việc nghiên cứu số chiều đa tạp cát tuyến Từ Bổ đề Terracini, ta dẫn đến hệ quan trọng Mệnh đề 3.2.4 Định lý 4.2.5, cho ta mối quan hệ số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Veronese đa tạp Segre với giá trị hàm Hilbert lược đồ điểm kép Chương 3: Trong chương này, chúng tơi trình bày đa tạp Veronese Trong đó, Mệnh đề 3.1.4 cho ta cấu trúc tường minh không gian tiếp xúc đa tạp Veronese Trong tiết hai, phát biểu chứng minh Định lý Alexander - Hirschowitz phân loại đa tạp cát tuyến khuyết (Định lý 3.2.8 Định lý 3.2.9) Chương 4: Chương dành để trình bày đa tạp cát tuyến đa tạp Serge Kết chương kết chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre (các định lý 4.2.5, 4.2.13) Trong tồn luận văn này, ln ký hiệu k trường đóng đại số Với n ≥ 0, ta ký hiệu An , Pn không gian afin, không gian xạ ảnh k CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm sở hình học đại số đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc minh hoạ khái niệm số ví dụ Tài liệu tham khảo chương sách [1] [2] 1.1 Đa tạp đại số Tập không điểm đa thức f ∈ A := k[x1 , , xn ] V (f ) = {P ∈ An |f (P ) = 0} ⊆ An Nếu T tập A, ta định nghĩa tập không điểm T V (T ) = {P ∈ An |f (P ) = với f ∈ T } Một tập Y An gọi tập đại số tồn tập T ⊆ A cho Y = V (T ) Những tập đại số thoả mãn tính chất sau - Nếu X, Y hai tập đại số X ∪ Y tập đại số - Nếu {Xα }α∈∧ họ tập đại số - Tập ∅ An tập đại số α∈∧ Xα tập đại số Với tính chất này, lớp tập đại số thoả mãn tiên đề tập đóng tô pô không gian afin An , gọi tô pô Zariski Tập mở tô pô phần bù tập đại số Định nghĩa 1.1.1 Một đa tạp đại số afin (hay đa tạp afin) tập đóng bất khả quy An , nghĩa là, tập khơng hợp hai tập đóng thực Với tập đa thức T ⊆ A, ký hiệu I iđêan sinh T Khi V (T ) = V (I) Ngược lại, với tập Y ⊆ An , ta định nghĩa iđêan Y A I(Y ) = {f ∈ A|f (P ) = với P ∈ Y } Mối quan hệ iđêan tập không điểm mô tả Định lý không điểm Hilbert sau Định lý 1.1.2 (Định lý không điểm Hilbert) [1, Định lý 4.6] Cho iđêan I ⊂ A Nếu đa thức f ∈ A thỏa mãn f (P ) = với P ∈ V (I), f r ∈ I với số nguyên r > Định lý khơng điểm Hilbert cho ta mối quan hệ quan trọng đa tạp afin An với iđêan nguyên tố vành đa thức A Ta thấy rõ điều thơng qua hệ sau Hệ 1.1.3 Nếu J iđêan A, I(V (J)) = J Khi có tương ứng 1-1 iđêan tập đại số Qua tương ứng đa tạp afin tương ứng với iđêan nguyên tố Hơn nữa, iđêan cực đại tương ứng với điểm đóng Dưới số ví dụ tập đại số bất khả quy (hay đa tạp afin) Ví dụ 1.1.4 (a) Tập An bất khả quy tương ứng với iđêan 0, nguyên tố A 59 Các tensơ tạo thành tập sinh V , tức tensơ T ∈ V viết tổ hợp tuyến tính tensơ bản; theo nghĩa tensơ giống đơn thức vành đa thức Hình 4.1: Corrado Segre (1863-1924) Một câu hỏi tự nhiên là: với tensơ T cho trước giá trị nhỏ s cho T = s i=1 Ti , Ti tensơ bao nhiêu? Giá trị s nhỏ gọi hạng tensơ T Để tìm hiểu tốn phương diện hình học, ta dẫn đến khái niệm đa tạp Segre đa tạp cát tuyến đa tạp Segre Đặt S j = k[x0,j , , xnj ,j ], j = , t, A = k[x0,1 , , xn1 ,1 , , x0,t , , xnt ,t ] Nếu ta xem S j vành N-phân bậc với j = , t, vành A trở thành vành Nt -phân bậc Nếu ta chọn sở {e0,i , , eni ,i } cho không gian véctơ Vi , i = 1, , t, có tương ứng − đường thẳng qua gốc tọa độ siêu phẳng qua gốc tọa độ sau        Tập đường thẳng Tập siêu phẳng  → ,      qua gốc tọa độ   qua gốc tọa độ  60 (λa0,i , , λani ,i ), λ ∈ k → V (a0,i x0,i + · · · + ani ,i xni ,i ) Do ta xem điểm [a0,i : : ani ,i ] thuộc PVi [Li ], với Li dạng tuyến tính thuộc S1j , j = , t Và ta đồng V1 ⊗ · · · ⊗ Vt với A1 , = (1, , 1) Định nghĩa 4.1.2 Với không gian véctơ cho trước V1 , , Vt , ánh xạ Segre định nghĩa ánh xạ τt : PV1 × × PVt → P(V1 ⊗ · · · ⊗ Vt ) ∼ = P(A1 ), ([L1 ], , [Lt ]) → [L1 ⊗ · · · ⊗ Lt ] = [L1 Lt ], với Lj ∈ S1j , j = 1, , t Nếu không gian véctơ thỏa mãn dim Vi = ni + 1,i = 1, , t ta kí hiệu ảnh ánh xạ Segre V(n1 , ,nt ) = τt (Pn1 × × Pnt ) Đặc biệt, V(n1 , ,nt ) ⊂ P(V1 ⊗ · · · ⊗ Vt ) = PN , N + = t i=1 (ni + 1) dim(V(n1 , ,nt ) ) = n1 + · · · + nt Đồng thời, khơng tính tổng quát, ta giả sử n1 ≤ ≤ nt Bằng cách chọn sở thích hợp khơng gian véctơ Vi , ta viết ánh xạ Segre theo tọa độ sau Pn1 × × Pnt → PN [a0,1 : : an1 ,1 ] × [a0,2 : : an2 ,2 ] × × [a0,t : : ant ,t ] → [a0,1 a0,2 a0,t : a0,1 a0,2 a1,t : an1 ,1 an2 ,2 ant ,t ] Bổ đề 4.1.3 Ảnh ánh xạ Segre đa tạp xạ ảnh, gọi đa tạp Segre tích Segre PV1 , , PVt Trước vào chứng minh Bổ đề, xét số ví dụ sau 61 Ví dụ 4.1.4 Xét ánh xạ Segre sau τ2 : P1 × P1 → P3 , ([x0 : x1 ], [y0 : y1 ]) → [x0 y0 : x0 y1 : x1 y0 : x1 y1 ] Ta V(1,1) = τ2 (P1 × P1 ) đa tạp Trước hết, ta cần chứng minh V(1,1) = V (z0 z3 − z1 z2 ) =: Y ⊂ P3 Dễ thấy V(1,1) ⊆ V (z0 z3 − z1 z2 ) Ngược lại, xét điểm P = [z0 : z1 : z2 : z3 ] ∈ Y , ta thấy zi , i = 0, 1, 2, phải khác khơng Do ta có trường hợp sau: • Nếu z0 = P = τ2 (([z0 : z2 ], [z0 : z1 ])) • Nếu z1 = P = τ2 (([z1 : z3 ], [z0 : z1 ])) • Nếu z2 = P = τ2 (([z0 : z2 ], [z2 : z3 ])) • Nếu z3 = P = τ2 (([z1 : z3 ], [z2 : z3 ])) Do đó, V(1,1) tập đại số Cuối cùng, ta cần chứng minh Y = V(1,1) tập bất khả quy tôpô Zariski Với điểm A thuộc P1 × P1 , xét phủ mở afin U A Giả sử U = D(x0 ) × D(y0 ) Khi đó, U ∼ = A2 = A1 × A1 ∼ ảnh điểm A qua ánh xạ τ2 nằm phủ mở D(z0 ) Y Suy ánh xạ τ2 xác định U sau τ2 : A2 → V (z1 z2 − z3 ) ⊂ A3 (a, b) → (a, b, ab), V (z1 z2 − z3 ) (mặt hyperbolic paraboloid) đồng phôi với D(z0 ) ∩ Y Dễ thấy ánh xạ đẳng cấu Hơn nữa, A2 bất khả quy nên ta suy D(z0 ) ∩ Y bất khả quy Tương tự ta có D(zi ) ∩ Y bất khả quy với i = 1, 2, Từ suy Y bất khả quy Do đa tạp 62 Hình 4.2: Hyperbolic paraboloid Ví dụ 4.1.5 Với t = 3, xét ánh xạ Segre sau: τ3 : P1 × P1 × P1 → P7 , ([x0 : x1 ], [y0 : y1 ], [z0 : z1 ]) → [x0 y0 z0 : x0 y0 z1 : x0 y1 z0 : x0 y1 z1 : : x1 y0 z0 : x1 y0 z1 : x1 y1 z0 : x1 y1 z1 ] Tương tự ví dụ trước, ta V (1,1,1) = τ3 (P1 × P1 × P1 ) = V (z0 z3 − z1 z2 , z0 z7 − z2 z5 , z2 z4 − z6 z0 , z1 z2 − z3 z0 , z1 z4 − z0 z5 ) =: Y ⊂ P7 Dễ thấy τ3 (P1 × P1 × P1 ) ⊆ Y Ngược lại, xét điểm P = [z0 : z1 : z2 : z3 : z4 : z5 : z6 : z7 ] ∈ Y , ta thấy zi , i = 0, , phải khác khơng Do ta có trường hợp sau: • Nếu z0 = P = τ3 (([z0 : z4 ], [z0 : z2 ], [z0 : z1 ])) • Nếu z1 = P = τ3 (([z1 : z5 ], [z1 : z3 ], [z0 : z1 ])) • Nếu z2 = P = τ3 (([z2 : z6 ], [z0 : z2 ], [z2 : z3 ])) 63 • Nếu z3 = P = τ3 (([z3 : z7 ], [z1 : z3 ], [z2 : z3 ])) • Nếu z4 = P = τ3 (([z0 : z4 ], [z4 : z6 ], [z4 : z5 ])) • Nếu z5 = P = τ3 (([z1 : z5 ], [z5 : z7 ], [z4 : z5 ])) • Nếu z6 = P = τ3 (([z2 : z6 ], [z4 : z6 ], [z6 : z7 ])) • Nếu z7 = P = τ3 (([z3 : z7 ], [z5 : z7 ], [z6 : z7 ])) Suy τ3 (P1 × P1 × P1 ) = Y , tức tập đại số Cuối cùng, lập luận tương tự Ví dụ 4.1.4, ta kết luận τ3 (P1 × P1 × P1 ) đa tạp Chứng minh Bổ đề 4.1.3 Đầu tiên để V(n1 , ,nt ) = τt (Pn1 × × Pnt ) tập đại số, ta chứng minh V(n1 , ,nt ) = V ( zI zJ − zK zL |I + J = K + L ) := Y ⊂ PN , số I = (i1 , , it ) thỏa mãn ≤ ij ≤ nj với j = 1, , t tương ứng với tọa độ đơn thức ai1 ,1 ai2 ,2 ait ,t Thật vậy, dễ thấy X ⊂ Y Ngược lại, ta xây dựng ánh xạ ngược sau: Với điểm P = [ : z(i1 , ,in ) : ] thuộc Y tọa độ z(i1 , ,in ) = 0, ψ:Y Pn1 × · · · × Pnt , [ : z(i1 , ,in ) : ] → , [ : z(i1 , ,k, ,in ) : ], đó, ta viết tọa độ điểm vị trí Pnj với ≤ k ≤ nj Ánh xạ chiếu không phụ thuộc vào z(i1 , ,in ) , giả sử tồn (i1 , , in ) khác thỏa mãn z(i1 , ,in ) = Khi với ≤ j ≤ t, điểm Pnj , z(i1 , ,k, ,in ) z(i1 , ,k , ,in ) = z(i1 , ,k , ,in ) z(i1 , ,k, ,in ) với k, k ∈ {0, , nj }, nên ta có [ : z(i1 , ,k, ,in ) : ] = [ : z(i1 , ,k, ,in ) : ] Do đó, ψ ánh xạ ngược τt , nên ta suy V(n1 , ,nt ) = Y Cuối cùng, ta cần chứng minh Y tập bất khả quy tôpô Zariski Với 64 điểm A thuộc Pn1 × · · · × Pnt , xét phủ mở afin U A Giả sử U = D(y0,1 ) × × D(y0,t ) Khi đó, U ∼ = An1 +···+nt ảnh = An1 × × Ant ∼ điểm A qua ánh xạ τt nằm phủ mở D(z0 ) Y Suy ánh xạ τt xác định U sau τt : An1 +···+nt → V ⊂ AN , (a1,1 , , an1 ,1 ; ; a1,t , , ant ,t ) → ( , aki11,1 akitt,t , ), ≤ ij ≤ nj , kj ∈ {0, 1} với j = 1, , t V = V ( zI zJ − zK zL |I + J = K + L ) đồng phôi với D(z0 ) ∩ Y Dễ thấy ánh xạ đẳng cấu Hơn nữa, An1 +···+nt bất khả quy nên ta suy D(z0 ) ∩ Y bất khả quy Tương tự ta có D(zi ) ∩ Y bất khả quy với i = 1, , N Từ suy Y bất khả quy Do đa tạp Trong nghiên cứu số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre, việc tìm hiểu khơng gian tiếp xúc đa tạp Segre quan trọng, tương tự với đa tạp Veronese Cùng với Bổ đề Terracini, ta đưa tiêu chuẩn thuận tiện cho việc tính tốn số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre sau Mệnh đề 4.1.6 [13, lemma 1.3] Giả sử V(n1 , ,nt ) đa tạp Segre xét P = [L1 Lt ] ∈ V(n1 , ,nt ) Li ∈ S1i với i = 1, , t dạng tuyến tính Khi  TP (V(n1 , ,nt ) ) = t  L1 Lj−1 Mj Lj+1 Lt  : Mj ∈ S1j , j = 1, , t  j=1 4.2 Đa tạp cát tuyến đa tạp Segre Tiếp theo, ta đề cập đến số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre Vì việc tìm hạng tensơ tensơ T đề cập phần đầu có liên 65 quan mật thiết đến số chiều không gian cát tuyến nên ta muốn tìm hiểu số chiều không gian cát tuyến đa tạp Segre Giống trường hợp đa tạp Veronese, ta có khái niệm chiều kì vọng đa tạp cát tuyến đa tạp Segre Với V(n1 , ,nt ) = τt (Pn1 × × Pnt ), ta có số chiều kì vọng σs (V(n1 , ,nt ) ) t t ni + s − 1, s i=1 (ni + 1) − i=1 Chúng ta mong muốn có kết tương tự Định lý AlexanderHirschowitz cho trường hợp đa tạp Segre Tuy nhiên, đến có số kết chứng minh Ví dụ, Catalisano, Geramita Gimigliano σs (V(n1 , ,nt ) ) ln có số chiều kì vọng, trừ trường hợp gồm thành phần Trước hết ta xét trường hợp đơn giản nhất, đa tạp cát tuyến đa tạp Segre V(n1 ,n2 ) = τ2 (Pn1 × Pn2 ) Khơng tổng qt, ta giả sử n1 ≤ n2 Ví dụ 4.2.1 Ta xét đa tạp Segre V(1,1) Ta đồng P3 với không gian xạ ảnh liên kết với không gian véctơ ma trận cỡ × Sử dụng phép đồng ta viết ánh xạ Segre sau τ2 : P1 × P1 → P3 ,   a0 b0 a0 b1  [a0 : a1 ] × [b0 : b1 ] →   a1 b0 a1 b1 Do V(1,1) tập ma trận cỡ × cóhạng  iđêan định z0 z1  nghĩa V(1,1) sinh định thức ma trận   z2 z3 66 Ví dụ 4.2.2 Bây ta xét trường hợp tổng quát cho V(n1 ,n2 ) ⊂ P(n1 +1)(n2 +1)−1 Ta xem P(n1 +1)(n2 +1)−1 không gian xạ ảnh liên kết với không gian véctơ ma trận cỡ (n1 + 1) × (n2 + 1) Khi ta viết ánh xạ Segre sau τ2 : Pn1 × Pn2 → P(n1 +1)(n2 +1)−1 ,    a0     [a0 : · · · : an1 ] × [b0 : · · · : bn2 ] →    b0 · · · bn2   an    a0 b0 · · · a0 bn2    = · · ·      an1 b0 · · · an1 bn2 Do ta thấy phần tử V(n1 ,n2 ) tương ứng với ma trận hạng cỡ (n1 + 1) × (n2 + 1) Định lý 4.2.3 Ta có khẳng định sau: dim σs (V(n1 ,n2 ) ) = s(n1 + n2 + − s) − 1, với s ≤ n1 Ta chứng minh định lý cách sử dụng kết sau chiều đa tạp định thức Bổ đề 4.2.4 [14, Proposition 1.1] Cho trước số tự nhiên m n s ≤ min{m, n} Ta xét Vs tập hợp gồm tất ma trận cỡ m × n với hạng khơng vượt q s Khi Vs đa tạp afin dim Vs = s(m + n − s) Chứng minh Định lý 4.2.3 Theo Ví dụ 4.2.2, ta đồng V(n1 ,n2 ) = t2 (Pn1 × Pn2 ) với không gian xạ ảnh liên kết với không gian ma trận cỡ 67 (n1 + 1) × (n2 + 1) có hạng Do ta có σs (V(n1 ,n2 ) ) = {[P1 + · · · + Pk ]|Pi ma trận cỡ (n1 + 1) × (n2 + 1) có hạng với i = 1, , s} = {[P ]|P ma trận cỡ (n1 + 1) × (n2 + 1) có hạng ≤ s} = P(Vs ) Do theo bổ đề trên, ta có dim σk (V(n1 ,n2 ) ) = dim Vs − = k(n1 + + n2 + − s) − = s(n1 + n2 + − s) − Ta có điều phải chứng minh Bổ đề Terracini công cụ quan trọng việc tìm hiểu số chiều đa tạp cát tuyến Tuy nhiên việc áp dụng trực tiếp Bổ để Terracini gặp nhiều khó khăn Vì chúng tơi trình bày kết sau hệ Bổ đề Terracini Và vận dụng dễ dàng Định lý 4.2.5 [13, Lemma 1.3] Ta có khẳng định sau: dim σs (V(n1 , ,nt ) ) = H(Z, 1) − 1, Z ⊂ V(n1 , ,nt ) tập gồm s điểm kép tổng quát P1 , , Ps V(n1 , ,nt ) , với j = (j1 , , jt ) ∈ Nt , H(Z, j) hàm Hilbert Z , tức H(Z, j) = dimk Aj − dimk (m21 ∩ ∩ m2s )j , mi iđêan tương ứng Pi , với i = 1, , s vành đa thức A Chú ý 4.2.6 a) Để thuận tiện cho việc kí hiệu, thay V(n1 , ,nt ) Vn với n = (n1 , , nt ) σs (V(n1 , ,nt ) ) Vns b) Đặt E(Vn ) = min{s|σs (Vn ) = PN } Vì t dim σs (Vn ) ≤ s t ni + s − 1, i=1 (ni + 1) − i=1 68 nên ta có chặn cho E E(Vn ) ≥ t i=1 (ni + 1) n1 + · · · + nt + Đặt J = {r = (r1 , , rt )|0 ≤ ri ≤ ni } Một điểm tọa độ (co-ordinate point) Pn1 × · · · × Pnt điểm Pr = Pr1 × · · · × Prt , Prj = [0 : : : : 0] điểm tọa độ thứ rj Pnj Định nghĩa 4.2.7 Cho trước r1 = (r1,1 , rt,1 ) r2 = (r1,2 , rt,2 ) J , ta nói khoảng cách Hamming (Hamming distance) r1 r2 l (r1,1 − r1,2 , , rt,1 − rt,2 ) có l thành phần khác không Mệnh đề 4.2.8 Giả sử Pr1 , , Prs s điểm tọa độ Pn1 × · · · × Pnt Giả sử pi iđêan Prj , Z lược đồ định nghĩa s i=1 p Khi H(Z, 1) = |{r ∈ J|r có khoảng cách Hamming ≤ với r1 , , rs }| Chứng minh Xét s = 1, giả sử Pr = Pr1 × · · · × Prt , Prj = (0 : : : : : : 0) ∈ Pnj với ≤ j ≤ t Khi ta có rj IP2r = (x0,1 , , xr1 ,1 , , xn1 ,1 ; ; x0,t , , xrt ,t , , xnt ,t )2 Gọi Z lược đồ xác định iđêan Ta có IZ iđêan đơn thức, H(Z, 1) số đơn thức có bậc (1, , 1) mà khơng nằm IZ Ta thấy yj ∈ / IP2r có nhiều thành phần j = (j1 , , jt ) khác r = (r1 , rt ) Dễ thầy điều tương đương với j có khoảng cách Hamming ≤ với r Với s > 1, giả sử R = {r1 , , rs } , IZ = r∈R IPr Khi , ta có đơn thức yj ∈ / Iz có r ∈ R cho yj ∈ / IP2r , tức j có khoảng cách Hamming ≤ với r 69 Để dễ hình dung, ta trình bày kết thơng qua việc chơi trị chơi, "sử dụng qn xe bàn cờ t-chiều" Bây ta xét Ar = {0, 1, , r}, "bàn cờ" tập A = An1 × · · · × Ant Ta liên kết tập X = {Pr1 , , Prs } gồm điểm tọa độ Pn1 × · · · × Pnt với tập vị trí R = {r1 , , rs } A, gọi tập xe (rook set) liên kết với X Định nghĩa 4.2.9 Với A trên, xét R ⊂ A Ta định nghĩa tập sinh R, kí hiệu R , tập hợp gồm tất phần tử thuộc A nhận việc thay đổi nhiều tọa độ phần tử R (đó vị trí A bị "tấn công" quân xe đặt R) Ta phát biểu lại Mệnh đề 4.2.8 sau Mệnh đề 4.2.10 Giả sử Pr1 , , Prs s điểm tọa độ Pn1 × · · · × Pnt , R tập xe liên kết với X Xét Z Mệnh đề 4.2.8 Khi H(Z, 1) = | R | Mệnh đề hiệu cho nói đa tạp cát tuyến Vns Định nghĩa 4.2.11 (1) Một tập xe R gọi hoàn hảo (perfect) phần tử R nhận từ phần tử R (2) Một tập xe R gọi phủ xe (rook covering) R = A (3) Một tập xe R gọi phủ xe hoàn hảo thỏa mãn (1) (2) Từ Mệnh đề 4.2.10, ta có hệ trực tiếp sau Hệ 4.2.12 Giả sử R ⊆ A tập xe với |R| = s Khi đó: (1) Nếu R phủ xe, E(Vn ) ≤ s 70 (2) Nếu R tập xe hoàn hảo, dim Vns = s (n1 + · · · + nt + 1) − với s ≤ s (3) Nếu R phủ xe hoàn hảo, E(Vn ) = s (vì Vns = PN ) Chứng minh (1) Vì R phủ xe ta có R = A Do theo Mệnh đề 4.2.10, ta có H(Z, 1) = | R | = |A| = dim Vns = H(Z, 1) − = t i=1 (ni t i=1 (ni + 1) Suy + 1) − = N , nên E(Vn ) ≤ s (2) Vì R hồn hảo nên với tập R ⊂ R với |R | = s , tồn phần tử r ∈ R cho ta nhận phần tử R từ r Do ta có | R | = s (n1 + · · · + nt + 1) (3) Vì R phủ xe hồn hảo nên từ hai phần trên, ta có dim Vns = N dim Vns = s (n1 + · · · + nt + 1) − < N với s < s Cho nên E(Vn ) = s Định lý 4.2.13 Cho Vns ⊂ PN Khi đó: (1) Nếu t = 2, s ≥ n1 + 1, dim Vns = N ; (2) Với t = 2, s ≤ n1 , ta có dim Vns = s(n1 + n2 + 1) − s2 + s − 1; (3) Với t ≥ 3, s ≤ n1 + 1, ta có dim Vns = s(n1 + n2 + · · · nt + 1) − Chứng minh (1) Với s = n1 +1, ta ln có phủ xe tầm thường, phần tử nằm đường chéo với |R| = s Do ta có dim Vns = N (2) Với s ≤ n1 , ta xét R gồm s điểm nằm đường chéo Khi ta có | R | = s(n1 + n2 + 1) − s(s − 1) (có s(s − 1) vị trí bị trùng) (3) Với t ≥ s ≤ n1 + 1, từ s điểm nằm đường chéo chính, ta ln xây dựng tập xe R gồm s phần tử ln hồn hảo Do theo Hệ 4.2.12, ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4.2.14 Theo mệnh đề trước, với t = s = 2, ta có dim σ2 (P1 × P1 × P1 ) = 2(1 + + + 1) − = = dim P7 Vì σ2 (P1 × P1 × P1 ) = P7 71 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số vấn đề sau: - Giới thiệu hợp nối đa tạp gồm có khái niệm tính chất - Trình bày đa tạp cát tuyến đa tạp xạ ảnh, đưa khái niệm chiều kì vọng tính khuyết đa tạp cát tuyến Đồng thời hệ thống lại tính chất quan trọng đa tạp cát tuyến - Trình bày đa tạp Veronese, đưa khái niệm ví dụ cụ thể Sau đó, chứng minh cách tường minh, rõ ràng Định lý Alexander-Hirschowitz trường hợp n = tính khuyết đa tạp Veronese - Trình bày đa tạp Segre, đưa khái niệm ví dụ cụ thể đa tạp Segre Đồng thời, chứng minh số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre số trường hợp riêng Tài liệu tham khảo [1] Ngô Việt Trung, Nhập mơn Đại số giao hốn Hình học đại số, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội, 2012 [2] R Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer-Verlag New York 1977 [3] K Hulek, Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library 20, American Mathematical Society, 2003 [4] B Adlandsvik, Joins and higher secant varieties, Math Scand 61 (1987), 213-222 [5] L Chiantini and C Ciliberto, On the dimension of secant varieties J Eur Math Soc 12 (2010), 1267-1291 [6] E Carlini, N Grieve and L Oeding, Four lectures on secant varieties, Connections between algebra, combinatorics and geometry, Springer Proc Math Stat 76 (2014), 101–146 [7] A Bernardi, E Carlini, M.V Catalisano, A.Gimigliano, and A Oneto, The Hitchhiker guide to: Secant Varieties and Tensor Decomposition, Mathematics 6(12) (2018), 314 [8] F.L Zak, Tangents and Secants of Varieties Transl Math Monogr 127, American Mathematical Society (1993) 72 73 [9] J Harris, Algebraic Geometry: A First Course Graduate Texts in Mathematics 133 Springer-Verlag New York 1992 [10] L Chiantini and C Ciliberto, Weakly defective varieties Trans Amer Math Soc 354 (2002), 151-178 [11] J Alexander and A Hirschowitz, Polynomial interpolation in several variables, J Algebraic Geom (1995), 201-222 [12] M.C Brambilla and G Ottaviani, On the Alexander-Hirschowitz theorem, J Pure Appl Algebra 212 (2008), 1229-1251 [13] M.V Catalisano and A.V Geramita and A Gimigliano, Ranks of tensors, secant varieties of Segre varieties and fat points, Linear Algebra and its Applications 355 (2002), 263-285 [14] W Bruns and U Vetter, Determinantal rings, Lecture Notes in Mathematics 1327, Springer-Verlag, 1988 ... đa tạp cát tuyến khó Do đó, nhiều tốn thay cho việc xét đa tạp cát tuyến đa tạp bất kỳ, người ta hạn chế xét đa tạp cát tuyến số đa tạp đặc biệt đa tạp Veronese, đa tạp Grassmannian, đa tạp Segre, ... số chiều kì vọng đa tạp Đối với đa tạp Veronese, Alexander Hirschowitz đưa phân loại đa tạp khuyết Trong đó, kết tính tốn số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre đa tạp Segre -Veronese đạt số trường...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Phạm Anh Vinh ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE Chuyên ngành