Mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NGỌC QUỲNH MỐI LIÊN HỆ ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NGỌC QUỲNH MỐI LIÊN HỆ ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC Chun ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG HÀ NỘI, 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Lê Ngọc Quỳnh ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS TSKH Sĩ Đức Quang Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ tri ân lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy hết lòng dạy dỗ, giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến GS TSKH Đỗ Đức Thái giúp đỡ lời khuyên quý báu Giáo sư trình hồn thành luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thành viên seminar hình học phức Bộ mơn Hình học, Khoa Toán - Tin, đặc biệt ThS Hà Hương Giang quan tâm giúp đỡ tận tình suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, phòng Sau đại học phòng ban chức trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ mà tác giả nhận suốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm mơn Tốn phịng ban chức trường Đại học An Giang anh chị, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ Nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận án Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người thân tin tưởng, thương yêu, động viên giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU vi MỞ ĐẦU 1 TỔNG QUAN 1.1 Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ 1.2 Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt 1.3 Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt 1.4 11 Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược họ siêu phẳng di động khơng tính bội 12 SỰ PHỤ THUỘC TỰA PHÂN TUYẾN TÍNH CỦA HAI HÀM PHÂN HÌNH CĨ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI CÁC CẶP HÀM NHỎ 16 2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình mặt phẳng phức 17 2.2 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ 19 iv SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH VỚI BỘI BỊ NGẮT 35 3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức 36 3.2 Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình 42 TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI BỘI BỊ NGẮT 55 4.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 56 4.2 Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình 60 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG KHƠNG TÍNH BỘI 71 5.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 72 5.2 Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình 74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 85 NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 v MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong tồn luận án, ta thống số kí hiệu sau • PN (C): khơng gian xạ ảnh phức N − chiều • z = |z1 |2 + · · · + |zn |2 1/2 với z = (z1 , , zn ) ∈ Cn • B(r) := {z ∈ Cn : z < r} hình cầu mở bán kính r Cn • S(r) := {z ∈ Cn : z = r} mặt cầu bán kính r Cn √ −1 c • d = ∂ + ∂, d := (∂ − ∂): toán tử vi phân 4π • vn−1 := (ddc z )n−1 , σn := dc log z ∧ (ddc log z )n−1 : dạng vi phân • O(1): đại lượng bị chặn • O(r): đại lượng vơ bé bậc với r r → +∞ • o(r): vơ bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0}, r > • “|| P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn • E dr < +∞ S: lực lượng tập hợp S • Rf : Trường tất hàm phân hình nhỏ (tương ứng với hàm phân hình f ) C • R{ai }qi=1 : Trường nhỏ M (trường tất hàm phân hình Cn ) chứa C tất aik /ail với ail = = (ai0 : · · · : aiN ) (1 ≤ i ≤ q) ∗ ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna, hay thường gọi Lý thuyết phân bố giá trị, xây dựng R Nevanlinna [19] vào năm 1926 cho trường hợp hàm phân hình biến phức Sau báo ông công bố, lý thuyết mở rộng nghiên cứu sâu sắc cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức nhiều nhà toán học A Bloch, H Cartan, H J Weyles, L Ahlfors, W Stoll, J Noguchi số tác giả khác Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna trở thành lý thuyết quan trọng toán học thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới với nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc công bố Những kết lý thuyết Nevanlinna ứng dụng việc nghiên cứu nhiều vấn đề hình học phức giúp cho việc hình thành lên nhiều hướng nghiên cứu nghiên cứu tính nhất, tính hữu hạn, phụ thuộc đại số tính suy biến đại số ánh xạ phân hình Đặc biệt, năm gần đây, H Fujimoto ([10], [11]), G Dethloff, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang ([6], [7], [15], [23], [24], [36], [37], [40]), Z Chen Q Yan [3] nhiều tác giả khác thu kết quan trọng tính nhất, hữu hạn suy biến ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với điều kiện ảnh ngược họ siêu phẳng Tuy nhiên, kết hầu hết liên quan đến tính hay hữu hạn ánh xạ phân hình cần điều kiện 2N + siêu phẳng Việc nghiên cứu mối liên hệ ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược siêu phẳng trường hợp số siêu phẳng (cố định di động) vấn đề cịn mẻ, có kết cơng bố Vì lí trên, lựa chọn đề tài “Mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức” Cụ thể, tập trung nghiên cứu mối quan hệ đại số ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C), đồng thời đưa kết suy biến đại số ánh xạ tích hai ánh xạ phân hình vào PN (C) Mục đích đối tượng nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu hàm phân hình mặt phẳng phức C đưa định lý v s ph thuc ta phõn tuyn tớnh (ta Măobius) hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ Tiếp theo áp dụng lý thuyết Nevanlinna để nghiên cứu toán phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình nhiều biến vào khơng gian xạ ảnh phức dựa điều kiện đặt ảnh ngược họ siêu phẳng cố định di động cho trước Đối tượng nghiên cứu hàm phân hình C ánh xạ phân hình nhiều biến từ Cn vào khơng gian xạ ảnh PN (C) Phương pháp nghiên cứu Dựa sở phương pháp nghiên cứu kĩ thuật truyền thống hình học phức lý thuyết phân bố giá trị, cố gắng đề xuất kĩ thuật nhằm giải vấn đề đặt luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh phức Đồng thời, luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, phần kết luận kiến nghị, danh mục cơng trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan đến luận án tài liệu tham khảo, luận án bao gồm năm chương: Chương I Tổng quan Chương II Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ Chương III Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt Chương IV Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt Chương V Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược họ siêu phẳng di động khơng tính bội Luận án viết dựa báo, có cơng bố tạp chí International Journal of Mathematics, Kodai Mathematical Journal, Complex Variable and Elliptic Equation nhận đăng tạp chí Asian-European Journal of Mathematics với dãy tăng ≤ i1 < · · · < il ≤ λ, ta có fi1 (z0 ) ∧ · · · ∧ fil (z0 ) = Theo Định lý thứ hai cho vị trí tổng qt, ta có µf1 ∧···∧fλ (z0 ) ≥ λ − (l − 1) Do q−1 min{1, ν(f (z0 )} ≤ d ≤ i ,gj ),≤kj j=0 Nếu z0 ∈ β∈T [N +1,q] {z|gβ(1) (z) d µf ∧···∧fλ (z0 ) λ−l+1 ∧ · · · ∧ gβ(N +1) (z) = 0}, ta có q−1 q−1 (z0 )} min{1, ν(f i ,gj ),≤kj min{1, ν(f (z0 )} i ,gj ) ≤ j=0 j=0 ≤q µgβ(1) ∧···∧gβ(N +1) (z0 ) β∈T [N +1,q] Vậy, với z ∈ A ∪ λ i=1 I(fi ), ta có q−1 min{1, ν(f (z)} ≤ i ,gj ),≤kj j=0 d µf ∧···∧fλ (z) λ−l+1 +q µgβ(1) ∧···∧gβ(N +1) (z) β∈T [N +1,q] Như Mệnh đề 5.2.4 chứng minh Từ Mệnh đề 5.2.4, ta suy q−1 N [1] (r, ν(f )≤ i ,gj )≤kj || j=0 d Nf ∧···∧fλ (r) + q λ−l+1 d ≤ λ−l+1 = Ngβ(1) ∧···∧gβ(N +1) (r) β∈T [N +1,q] λ N +1 T (r, fi ) + q i=1 T (r, gβ(i) ) β∈T [N +1,q] i=1 d T (r) + o( max T (r, fi )) 1≤i≤λ λ−l+1 76 λ i=1 T (r) = T (r, fi ) Do đó, ta có: dλ T (r) ≥ || λ−l+1 λ q−1 q−1 N [1] (r, ν(f ) + o(T (r)) i ,gj )≤kj i=1 j=0 kj + [1] N (r, ν(f ) − T (r, fi ) + o(T (r)) i ,gj ) kj kj ≥ i=1 j=0 λ λ q−1 q−1 ≥ N [1] ) (r, ν(f i ,gj ) − j=0 i=1 j=0 λ ≥ i=1 = q T (r, fi ) − N (N + 2) q − N (N + 2) q−1 j=0 q−1 j=0 T (r) + o(T (r)) kj T (r) + o(T (r)) kj T (r) + o(T (r)) kj Cho r → +∞, ta q−1 j=0 dλ q − ≥ kj N (N + 2) λ − l + Điều mâu thuẫn Vậy, họ {f1 , · · · , fλ } phụ thuộc đại số C, tức là, f1 ∧· · ·∧fλ = Định lý chứng minh Định lý 5.2.5 Giả sử f1 , · · · , fλ : Cn → PN (C) ánh xạ phân hình khác N {gj }q−1 j=0 siêu phẳng di động P (C) vị trí tổng quát thỏa mãn T (r, gj ) = o(max1≤i≤λ T (r, fi )) (0 ≤ j ≤ q − 1) Cho kj (0 ≤ j ≤ q − 1) số nguyên dương hay +∞ Giả sử (fi , gj ) ≡ với ≤ i ≤ λ, ≤ j ≤ q − 1, điều kiện sau thỏa mãn 0 i) min{1, ν(f } = · · · = min{1, ν(f } với ≤ j ≤ q − 1, ,gj )≤kj λ ,gj )≤kj ii) dim (f1 , gj1 )−1 (0) ∩ (f1 , gj2 )−1 (0) ≤ n − với ≤ j1 < j2 ≤ q − 1, iii) tồn số nguyên l, ≤ l ≤ λ, cho với dãy tăng ≤ i1 < · · · < il ≤ λ, fi1 (z) ∧ · · · ∧ fil (z) = với điểm z ∈ q−1 j=0 (f1 , gj )−1 (0) Giả sử rank R{gj } f1 = · · · = rank R{gj } fλ = m + 1, với m số nguyên dương Nếu q−1 q λq < − (∗), f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ m(2N − m + 2) q(λ − l + 1) + λ(m − 1) j=0 kj + − m 77 Nhận xét: λ(2N m − m2 + m + 1) λ−l+1 λ(N + N + 1) Ta thấy bất đẳng thức thỏa mãn với q > vế phải bất λ−l+1 đẳng thức đạt cực đại m = N Do đó, trường hợp d = k0 = · · · = kq−1 = i) Với k0 = · · · = kq−1 = +∞ điều kiện (*) trở thành q > +∞ kết Định lý 5.2.5 tốt kết Định lý 5.2.1 ii) Với λ = l = k0 = · · · = kq−1 = +∞, ta với f1 , f2 thỏa mãn điều kiện (i) − (iii) Định lý 5.2.5 q > N (N + 2) rank R{gj } f1 = rank R{gj } f2 Thật vậy, giả sử có a0 , · · · , aN ∈ R{gj } không đồng thời khơng thỏa f2i P ≡ ∪1≤j≤q−1 (f1 , gj )−1 {0}, P ≡ f1i ≡ Đặt P = 0≤i≤N 0≤i≤N q−1 Tf2 (r) ≥ N (r, νP0 ) N [1] (r, ν(f ) + o(Tf2 (r)) ,gj ) + o(Tf2 (r)) ≥ j=0 q−1 N [1] (r, ν(f ) + o(Tf2 (r)) ≥ ,gj ) = j=0 q Tf (r) + o(Tf2 (r)) N (N + 2) Cho r → +∞, ta q ≤ N (N + 2) (mâu thuẫn) Vậy P ≡ 0, rank R{gj } f1 ≥ rank R{gj } f2 Tương tự, ta có rank R{gj } f1 ≤ rank R{gj } f2 Do rank R{gj } f1 = rank R{gj } f2 Từ Định lý 5.2.5 nhận xét trên, ta có Định lý sau Hệ 5.2.6 Giả sử f1 , f2 : Cn → PN (C) ánh xạ phân hình khác N {gj }q−1 j=0 siêu phẳng di động P (C) vị trí tổng quát thỏa mãn T (r, gj ) = o(max1≤i≤2 T (r, fi )) (0 ≤ j ≤ q−1) Giả sử (fi , gj ) ≡ với ≤ i ≤ 2, ≤ j ≤ q−1, điều kiện sau thỏa mãn 0 i) min{1, ν(f } = min{1, ν(f } với ≤ j ≤ q − 1, ,gj ) ,gj ) ii) dim (f1 , gj1 )−1 (0) ∩ (f1 , gj2 )−1 (0) ≤ n − với ≤ j1 < j2 ≤ q − 1, iii) f1 = f2 q−1 j=0 Supp ν(f ,gj ) 78 Nếu q > 2N + 2N + 2, f1 ≡ f2 Chứng minh Định lý 5.2.5 Ta cần chứng minh cho trường hợp λ ≤ N + Tương tự [8], ta có khẳng định sau Mệnh đề 5.2.7 Giả sử hi : Cn → PN (C) (1 ≤ i ≤ p ≤ N + 1) ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn hi := (hi0 : · · · : hiN ) Cho : Cn → PN (C)∗ (1 ≤ i ≤ N + 1) siêu phẳng di động có biểu diễn rút gọn := (ai0 : · · · : aiN ) Đặt ˜ i := ((hi , a1 ) : · · · : (hi , aN +1 )) Giả sử a1 , · · · , aN +1 vị trí tổng quát cho h (hi , aj ) ≡ (1 ≤ i ≤ p, ≤ j ≤ N + 1) Cho S tập giải tích túy (n − 1) chiều Cn cho S ⊂ (a1 ∧ · · · ∧ aN +1 )−1 {0} Khi h1 ∧ · · · ∧ hp = S ˜1 ∧ · · · ∧ h ˜ p = S h Chứng minh ˜ ∧· · ·∧ h ˜ p } ≡ S, tồn z0 ∈ S cho h ˜ (z0 )∧· · ·∧ h ˜ p (z0 ) = (⇒) Giả sử {h ˜ (z0 ), · · · , h ˜ p (z0 )} độc lập tuyến tính C, tức ma Điều có nghĩa họ {h trận sau có hạng p    A=     =  a10 (z0 ) ··· (h1 , a1 )(z0 ) (h1 , aN +1 )(z0 ) · · · ··· aN +10 (z0 ) · · · (hp , a1 )(z0 ) (hp , aN +1 )(z0 )   a1N (z0 ) aN +1N (z0 )     ·   h10 (z0 ) · · · h1N (z0 ) · · ·       hp0 (z0 )     hpN (z0 ) Do ma trận  h (z ) · · ·  10    h1N (z0 ) · · ·  hp0 (z0 )     hpN (z0 ) có hạng p, tức là, h1 (z0 ) ∧ · · · ∧ hp (z0 ) = Từ suy h1 ∧ · · · ∧ hp ≡ S Điều mâu thuẫn 79 (⇐) Ta thấy ma trận sau có hạng ≤ p − với z ∈ S   (h1 , a1 )(z) · · · (hp , a1 )(z)     A=    (h1 , aN +1 )(z) · · · (hp , aN +1 )(z) Mặt khác, ta có    A=  a10 (z) ··· aN +10 (z) · · · a1N (z) aN +1N (z)       ·   h10 (z) · · · h1N (z) · · ·  hp0 (z)     hpN (z) Do họ {ai } vị trí tổng quát S ⊂ (a1 ∧ · · · ∧ aN +1 )−1 {0}, nên suy ma trận   h (z) · · · hp0 (z)  10        h1N (z) · · · hpN (z) có hạng ≤ p − với z ∈ S, tức h1 ∧ · · · ∧ hp ≡ S Mệnh đề 5.2.7 chứng minh Ta tiếp tục chứng minh Định lý 5.2.5 Giả  sử f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ Với  λ số = j0 < j1 < · · · < jλ−1 ≤ N cho ma (f1 , gj0 ) · · · (fλ , gj0 )      (f1 , gj1 ) · · · (fλ , gj1 )   không suy biến trận        (f1 , gjλ−1 ) · · · (fλ , gjλ−1 ) Đặt J = {j0 , · · · , jλ−1 }, J c = {0, , q − 1} \ J  (f1 , gj0 ) · · · (fλ , gj0 )    (f1 , gj1 ) · · · (fλ , gj1 ) BJ =     (f1 , gjλ−1 ) · · · (fλ , gjλ−1 ) Ta chứng minh mệnh đề sau 80         Mệnh đề 5.2.8 Nếu BJ khơng suy biến, tức det BJ ≡ 0 ( {ν(f } − min{1, ν(f }) ,gj ),≤kj i ,gj ),≤kj j∈J 1≤i≤λ q−1 (λ − l + 1) min{1, ν(f } ≤ µf˜1 ∧···∧f˜λ ,gj ),≤kj + j=0 tập Cn \ (A ∪ (fi , gjλ−1 )) A = λ i=1 I(fi ) ∪ (gj0 ∧ · · · ∧ gjλ−1 )−1 (0)), f˜i := ((fi , gj0 ) : · · · : 0≤i