Phức koszul và lý thuyết bội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM VĂN BẢN PHỨC KOSZUL VÀ LÝ THUYẾT BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM VĂN BẢN PHỨC KOSZUL VÀ LÝ THUYẾT BỘI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Dương Quốc Việt HÀ NỘI - 2013 Lời nói đầu Lý thuyết Bội lý thuyết quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số Nó phát triển từ khái niệm bội nghiệm đa thức việc đếm số bội giao Hình học đại số Trong khoảng kỷ qua, phát triển theo nhiều cách thức tên tuổi lớn Toán học giới Kết bật Lý thuyết Bội viết lên Jean-Pierre Serre năm 1965 “Algèbre locale Multiplicités” mối liên hệ bội đặc trưng Euler-Pointcaré phức Koszul: Cho R−module hữu hạn sinh M dãy x R hệ bội M Gọi H• (x , M ) đồng điều Koszul x với hệ số M I = (x ) ideal R Khi đó, đặt (−1)i l(Hi (x , M )) χ(x , M ) = i theo định lý Serre ta có   e(I, M ) x hệ tham số M, χ(x , M ) = 0 với trường hợp khác Năm 1958, báo “Codimension and multiplicity”, M Auslander D A Buchsbaum chứng minh phiên định lý Serre vành Noether, đồng thời đưa mô tả rõ ràng cho khái niệm bội D G Northcott năm 1968 “Lessons on rings, modules, and multiplicii ties” giới thiệu khái niệm “bội hình thức (multiplicity symbol)”, phát triển cách hệ thống lý thuyết bội từ tính chất hình thức khái niệm Liên quan đến đặc trưng Euler-Pointcaré, với j ≥ 0, đặt χj (x , M ) = (−1) i−j l(Hi (x , M )) i≥j gọi đặc trưng Euler-Pointcaré phần Ta có kết quan trọng xem xét đặc trưng này, χj (x , M ) ≥ với j ≥ Serre chứng minh χj (x , M ) ≥ với j > Việc chứng minh mệnh đề trường hợp j = (được trình bày “On the vanishing of Tor in regular local rings” S Lichtenbaum năm 1966) giúp ta đưa tiêu chuẩn khác cho module Cohen-Macaulay Mục đích luận văn hệ thống lại cách chi tiết số kết Lý thuyết bội, đó, nội dung chứng minh định lý Serre Để làm điều này, luận văn tiến hành theo chương: Chương 1: Trình bày phức Koszul, tính chất phức Koszul đồng điều Koszul, chuẩn bị kiến thức cần thiết để định nghĩa đặc trưng Euler-Pointcaré phức Koszul Chương 2: Trình bày hàm Hilbert, bội hình thức tính chất bội hình thức Trong đó: Mục 2.1 trình bày hàm Hilbert, đa thức Hilbert module phân bậc tính chất liên quan Mục 2.2 nói bội module hữu hạn sinh, bội hình thức số kết Lý thuyết bội, có định lý Serre hệ Đây nội dung luận văn Để hồn thành luận văn này, nhận hướng dẫn, bảo nhiệt ii tình, sâu sắc PGS TS Dương Quốc Việt Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc đến người thầy Tôi xin cảm ơn thầy cô Hội đồng phản biện đọc cho ý kiến quý báu Ngồi ra, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Bộ môn Đại số, khoa Tốn Tin thầy khác giảng dạy, hướng dẫn, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 09 năm 2013 Người thực Phạm Văn Bản iii Mục lục Lời nói đầu i Danh mục ký hiệu v Phức Koszul 1.1 Lũy thừa đại số 1.2 Định nghĩa phức Koszul 1.3 Các tính chất phức Koszul Lý thuyết bội 21 2.1 Hàm Hilbert - Samuel 21 2.2 Lý thuyết bội 29 Tài liệu tham khảo 44 iv Danh mục ký hiệu R Vành giao hốn, có đơn vị = (R, m) Vành địa phương Noether với ideal cực đại m M M =( Lũy thừa tensor R−module M M) / x∧y i M Đại số ngồi M Tích M Lũy thừa ngồi thứ i M K• (f ) Phức Koszul dạng tuyến tính f K• (f, M ) = K• (f ) ⊗R M Phức Koszul f với hệ số M H• (f ) Đồng điều Koszul f H• (f, M ) Đồng điều Koszul f với hệ số M H • (f ) = H • (K • (f )) Đối đồng điều Koszul f H • (f, M ) = H • (K • (f, M )) Đối đồng điều Koszul f với hệ số M grade(I, M ) Bậc M I H(M, n) Hàm Hilbert module phân bậc M HM (t) Chuỗi Hilbert module phân bậc M ∆ Toán tử số gia PM (X) Đa thức Hilbert module phân bậc M e(M ) Bội module phân bậc M grI (R) Vành phân bậc liên kết R theo ideal I grI (M ) Module phân bậc liên kết M theo ideal I v χIM (n) Hàm Hilbert - Samuel M theo ideal I e(I, M ) Bội M theo I R+ (I) = ∞ i i i=0 I t Vành Rees ∞ i i i=0 I M t R+ (I, M ) = λ(I, M ) Độ trải giải tích I theo M λ(I) = λ(I, R) Độ trải giải tích I e(x , M ) Bội hình thức χ(x , M ) Đặc trưng Euler đồng điều Koszul H• (x , M ) Kq (R) Phạm trù R−module hữu hạn sinh, mà có số chiều không q χj (x , M ) Đặc trưng Euler phần M theo x vi Chương Phc Koszul ă Phc Koszul ln u xut hin "Uber die Theorie der algebraischen Formen" (1890) Hilbert: sau chứng minh định lý syzygy, Hilbert xác định phép giải tự k[X1 , , Xn ]−module k Phức Koszul K• (x ) cơng cụ hữu hiệu để tìm hiểu tính chất dãy x = x1 , , xn phần tử vành R Ta tính grade(I, M ) thơng qua đồng điều K• (x ) ⊗ M I ideal sinh x Hơn nữa, phức Koszul vừa có cấu trúc phức, lại vừa có cấu trúc đại số Để nhấn mạnh điều này, ta giới thiệu cách tổng quát phức Koszul từ dạng tuyến tính Các kết phức Koszul chương đưa từ [4] Để thuận tiện cho bạn đọc, xin lũy thừa đại số 1.1 Lũy thừa đại số Cho R vành, M R−module Chúng ta xét R vành phân bậc với phân bậc tầm thường Đặt M ⊗i lũy thừa tensor thứ i M , nghĩa tích tensor M ⊗ M ⊗ · · · ⊗ M i nhân tử M , với i > 0, R ứng với i = Lũy thừa tensor có dạng R−module phân bậc ∞ M ⊗i M= i=0 Tương ứng ((x1 , , xm ), (y1 , , yn )) → x1 ⊗ · · · ⊗ xm ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yn sinh ánh xạ R−song tuyến tính từ M ⊗m × M ⊗n → M ⊗(m+n) , mở rộng M× M làm cho M có cấu trúc R−đại số phân bậc kết hợp Đại số tensor đặc trưng tính phổ dụng: Cho ánh xạ R−tuyến tính ϕ : M → A với A R−đại số, tồn đồng cấu R−đại số φ : M → A mở rộng ϕ, đây, đồng M M ⊗1 Đại số M đại số lớp thặng dư M / M= ideal sinh phần tử x ⊗ x, x ∈ M Do phần tử nên Tích ideal sinh M kế thừa cấu trúc R−đại số phân bậc M ký hiệu x ∧ y Nói chung, M khơng giao hốn, nhiên, có tính chất thay phiên: x ∧ y = (−1)(deg x)(deg y) y ∧ x với phần tử x, y ∈ x ∧ x = với phần tử x, deg x lẻ Cho x1 , , xn ∈ M π hoán vị {1, 2, , n} Khi xπ(1) ∧ · · · ∧ xπ(n) = σ(π)x1 ∧ · · · ∧ xn M Mệnh đề 2.17 Cho R vành Noether, J ⊂ I ideal thực R, M R−module hữu hạn sinh Các điều kiện sau tương đương a J ideal rút gọn I theo M b R+ (I, M ) R+ (J)−module hữu hạn sinh Chứng minh: a ⇒ b Giả sử I n+1 M = JI n M R+ (I, M ) sinh R+ (J) phần tử có bậc bé n, nên module hữu hạn sinh b ⇒ a Ta chọn tập phần tử x1 , , xr R+ (I, M ) Gọi n bậc lớn phần tử xi này, cho x ∈ I n+1 M Tồn phần tử ∈ J bi , với bi = n + − deg xi cho r x= xi i=1 Từ xi ∈ J b+i I n+1−bi M ⊂ JI n M nên suy x ∈ JI n M Hay I n+1 M ⊂ JI n M Bao hàm ngược lại tầm thường Do đó, I n+1 M = JI n M hay J ideal rút gọn I theo M Định nghĩa 2.18 Cho (R, m) vành địa phương Noether, I ideal thực R M R−module hữu hạn sinh Số λ(I, M ) = dim(R+ (I, M )/mR+ (I, M )) = dim(grI (M )/m grI (M )) gọi độ trải giải tích I theo M Đặt λ(I) = λ(I, R) gọi độ trải giải tích I Mệnh đề 2.19 Với giả thiết Định nghĩa 2.18 ta có µ(J) ≥ λ(I, R) với ideal rút gọn J I theo M Nếu thêm giả thiết R/m hữu hạn sinh tồn ideal rút gọn J I theo M cho µ(J) = λ(I, M ) Chứng minh: Ta có module R+ (I, M )/mR+ (I, M ) module hữu hạn sinh J i /mJ i mà vành nhân tử k[X1 , , Xm ] R+ (J)/mR+ (J) = i≥0 31 với m = dimk J/mJ = µ(J) Do ta có dim(R+ (I, M )/mR+ (I, M )) ≤ m hay µ(J) ≥ λ(I, R) Bây ta đặt A = R+ (I)/a, a triệt R+ (I)−module R+ (I, M )/mR+ (I, M ) Ideal a phân bậc chứa mR+ (I) Do đó, A R/m−đại số nhất, dim A = λ(I, M ) Từ R/m vô hạn, định lý tiêu chuẩn hóa Noether nói tồn phần tử y1 , , yd ∈ A bậc 1, d = λ(I, M ) cho A B−module hữu hạn sinh với B = k[y1 , , yd ] Nó kéo theo R+ (I, M )/mR+ (I, M ) B−module phân bậc hữu hạn sinh Với yi ta chọn zi ∈ I zi tạo ảnh yi qua phép chiếu tắc I → R+ (I)/a Đặt J = (z1 , , zd ) µ(J) = λ(I, M ) R+ (I, M )/mR+ (I, M ) module hữu hạn sinh R+ (J)/mR+ (J) Khi đó, theo bổ đề Nakayama phiên phân bậc ta có R+ (I, M ) R+ (J)−module hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 2.17 J ideal rút gọn I theo M Nhận xét 2.20 Cho (R, m, k) vành địa phương Noether I ideal thực R, J gọi ideal rút gọn cực tiểu I J ideal rút gọn I J khơng có ideal rút gọn thực khác Nếu k vơ hạn ta có kết sau: Cho J ideal rút gọn I, giả sử J có hệ sinh cực tiểu x1 , , xn Khi đó, J ideal rút gọn cực tiểu I phần tử x1 , , xn độc lập đại số I n = λ(I) Hệ 2.21 Cho (R, m) vành địa phương Noether có trường lớp thặng dư vơ hạn, M R−module hữu hạn sinh I ideal xác định M Khi đó, tồn hệ tham số x M cho (x) ideal rút gọn I theo M Đặc biệt, e(I, M ) = e((x), M ) Ở ta thấy việc tính bội e(I, M ) module hữu hạn sinh M theo ideal xác định I rút gọn thành trường hợp I sinh hệ tham số M Sự thuận tiện việc rút gọn trở lên rõ ràng 32 bội module M theo ideal sinh hệ tham số mô tả giới hạn đồng điều Koszul H• (x , M ) Chúng ta tiếp cận mục tiêu việc giới thiệu bội hình thức e(x , M ) Cho (R, m) vành địa phương Noether M R−module hữu hạn sinh Một dãy phần tử x = x1 , , xn m gọi hệ bội M l(M/(x )M ) hữu hạn, hay (x ) ideal xác định M Bổ đề 2.22 Cho (R, m) vành địa phương Noether, x dãy phần tử R, → M → M → M → dãy khớp R−module hữu hạn sinh Khi dãy x hệ bội M x hệ bội M M Chứng minh: Tính khớp dãy M /(x )M → M/(x )M → M /(x )M → cho ta kết l(M /(x )M ) ≤ l(M/(x )M ) ≤ l(M /(x )M ) + l(M /(x )M ) Do đó, x hệ bội M M ta suy x hệ bội M Ngược lại, l(M/(x )M ) < ∞ l(M /(x )M ) < ∞ Theo Bổ đề ArtinRees tồn số nguyên m cho (x )m M ∩ M ⊂ (x)M l(M /(x )M ) ≤ l(M /(x )m M ∩ M ) ≤ l(M/(x )m M ) nên l(M/(x )M ) < ∞ l(M /(x )M ) < ∞ Ta suy điều cần chứng minh Hệ 2.23 Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R−module hữu hạn sinh x = x1 , , xn hệ bội M Khi x = x2 , , xn hệ bội M/x1 M (0 : x1 )M 33 Chứng minh: Ta có x (M/x1 M ) = x (M/x1 M ) x (0 : x1 )M = x (0 : x1 )M Từ dãy khớp x −→ M −→ M −→ M/x1 M → x hệ bội M ta suy x hệ bội M/x1 M từ x hệ bội M/x1 M Phần lại chứng minh tương tự Hệ cho ta cách định nghĩa đệ quy bội hình thức: Định nghĩa 2.24 Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R−module hữu hạn sinh x = x1 , , xn hệ bội M Nếu n = l(M ) < ∞, ta đặt e(x , M ) = l(M ); n > 0, ta đặt e(x , M ) = e(x , M/x1 M )− e(x , (0 : x1 )M ) với x = x2 , , xn Ta gọi e(x , M ) bội hình thức Từ nhìn đầu tiên, ta có cảm giác bội hình thức phụ thuộc vào thứ tự phần tử dãy x Tuy nhiên, điều không theo định lý Chú ý đồng điều H• (x , M ) phức Koszul hệ bội x M có độ dài hữu hạn Do đó, ta xem xét đặc trưng Euler đồng điều Koszul (−1)i l(Hi (x , M )) χ(x , M ) = i Bổ đề sau cho ta tính chất đặc trưng này: Bổ đề 2.25 Cho (R, m) vành địa phương Noether x = x1 , , xn dãy phần tử m Khi đặc trưng Euler xác định, có tính chất sau a χ(x, −) có tính chất cộng tính dãy khớp ngắn, tức với dãy khớp ngắn → M → M → M → cho x hệ bội M , ta có χ(x, M ) = χ(x, M ) + χ(x, M ); 34 b Nếu x1 M = χ(x, M ) = c Nếu x1 M −chính quy χ(x, M ) = χ(x2 , , xn , M/x1 M ) Chứng minh: a Bởi tính chất cộng tính hàm độ dài, tổng thay phiên độ dài module đồng điều dãy khớp dài · · · → Hi (x , M ) → Hi (x , M ) → Hi (x , M ) → · · · Từ ta suy χ(x , M ) = χ(x , M ) + χ(x , M ) b Đặt x = x2 , , xn Nếu x1 M = Hi (x , M ) = Hi (0, x , M ) ∼ = Hi (x , M ) ⊕ Hi−1 (x , M ) với i (theo Mệnh đề 1.21) Do (−1)i (l(Hi (x , M )) + l(Hi−1 (x , M ))) = χ(x , M ) = i c Nếu x1 phần từ M −chính quy theo Hệ 1.13 Hi (x , M ) ∼ = Hi (x , M/x1 M ) ta suy điều cần chứng minh Từ Bổ đề 2.25 ta có kết quan trọng sau Định lý 2.26 (Auslander - Buchsbaum) Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R−module hữu hạn sinh x hệ bội M Khi e(x, M ) = χ(x, M ) Chứng minh: Cho x = x1 , , xn x = x2 , , xn Nếu n = ta có χ(x , M ) = l(M ) = e(x , M ) Nếu n > 0, ta χ(x , M ) = χ(x , M/x1 M ) − χ(x , (0 : x1 )M ) 35 (2.1) Dãy tăng module M ⊂ (0 : x1 )M ⊂ (0 : x21 )M ⊂ · · · dừng M module Noether Gọi a số nguyên cho (0 : xa1 )M = a (0 : xa+1 )M Khi ta có x1 phần tử quy N = M/(0 : x1 )M x hệ bội (0 : xa1 )M Xét biểu đồ giao hoán với dòng cột khớp sau / 0   (0 : x1 )M (0 : x1 )M  x1 0 / / (0 : xa1 )M / (0 : xa1 )M /  C  /  / M x1  x1  / M  M/x1 M / / N  / / N  N/x1 N    0 0 Từ Bổ đề 2.25 a ta có χ(x , N/x1 N ) = χ(x , M/x1 M ) − χ(x , C) χ(x , C) = χ(x , (0 : x1 )M ), χ(x , N/x1 N ) = χ(x , M/x1 M ) − χ(x , (0 : x1 )M ) (2.2) Áp dụng Bổ đề 2.25 a c ta χ(x , N/x1 N ) = χ(x , N ) = χ(x , M ) − χ(x , (0 : xa1 )M ) (2.3) Bằng cách quy nạp theo i, từ Bổ đề 2.25 a b., từ dãy khớp i i i−1 → (0 : xi−1 )M → (0 : x1 )M → (0 : x1 )M /(0 : x1 )M → ta suy χ(x , → (0 : xi1 )M ) = với i Điều với (2.2) (2.3) ta suy χ(x , M ) = χ(x , M/x1 M ) − χ(x , (0 : x1 )M ) 36 Nếu dãy x hệ sinh tối tiểu ideal I đồng điều Koszul H• (x , M ) phụ thuộc vào ideal (x ) Bởi Định lý 2.26, ta có lập luận tương tự cho bội hình thức Định lý 2.27 (Serre) Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R−module hữu hạn sinh, x = x1 , , xn hệ bội M I ideal sinh x Khi χ(x, M ) =   e(I, M ) x hệ tham số M ,  0 với trường hợp khác Cùng với Định lý 2.26 ta thấy: Với hệ tham số x M số e(x , M ), e((x ), M ) χ(x , M ) giống Chứng minh: Đặt K• = K• (x , M ) phức Koszul, với số nguyên m ta (m) đặt K• phức K• → I m Kn → I m+1 Kn−1 → · · · → I m+n K0 → (m) Ta có K• khớp với m đủ lớn: Với số nguyên i cố định, chu trình (m) thứ i Zi (K• ) = Zi (K• ) ∩ I m+n−i Ki Theo Bổ đề Artin-Rees ta có Zi (K• ) ∩ I m+n−i Ki = I · (Zi (K• ) ∩ I m+n−i−1 Ki ) với m đủ lớn Ta chọn m0 đủ lớn cho đẳng thức đồng thời xảy với i m ≥ m0 n (m) Cho m ≥ m0 z ∈ Zi (K• ), z = xi zi với zi ∈ Zi (K• ) ∩ i=1 I m+n−i−1 Ki Đặt e1 , , en sở K1 (x , R) với dx (ei ) = xi với n i = 1, , n dx vi phân K• (x , R) Khi w = i=1 dx ,M (w) = z Do (m) K• thực khớp Từ dãy khớp phức → K•(m) → K• → K• /K•(m) → 37 ei zi ∈ I m+n−i−1 Ki+1 (m) ta suy H• (K• ) ∼ = H• (K• /K• ), χ(x , M ) = (m) tính khớp K• n i=0 (m) (m) (−1)i l(Hi (K• /K• )) Tuy nhiên, từ độ dài Ki /Ki = n i l(M/I m+n−i M ) hữu hạn với i ta có n n (−1) i l(Hi (K• /K•(m) )) (m) (−1)i l(Ki /Ki = ) i=0 i=0 với m đủ lớn n χ(x , M ) = = (−1)i n i χIM (m + n − i − 1) = ∆n χIM (m − 1) i=0   e(I, M ) dim M = n,  0 dim M < n; theo Mệnh đề 2.14 tính chất hàm ∆ giảm bậc hàm đa thức Cho (R, m) vành địa phương Noether I ideal xác định R Với số nguyên q, ta đặt Kq (R) phạm trù đầy đủ phạm trù M(R) R−module hữu hạn sinh, mà có số chiều khơng q q Ta định nghĩa eq (I, M ) =   e(I, M ) dim M = q  0 dim M < q Hệ 2.28 Bội eq (I, M ) hàm cộng tính phạm trù Kq (R), nghĩa eq (I, M ) = eq (I, M ) + eq (I, M ) với dãy khớp → M → M → M → Kq (R) Chứng minh: Khơng tính tổng quát, ta giả sử trường thặng dư R/m vơ hạn M dãy khớp có chiều q Theo Hệ 2.21 tồn hệ tham số x = x1 , , xq M cho (x ) ideal rút gọn I theo M eq (I, M ) = e(I, M ) = χ(x , M ) Ngoài ta, (x ) ideal rút gọn I theo M M nên ta có eq (I, M ) = χ(x , M ) eq (I, M ) = χ(x , M ) đó, theo Bổ đề 2.25 Định lý 2.26 ta suy điều cần chứng minh 38 Hệ 2.29 Cho (R, m) vành địa phương Noether, I ideal xác định R M R−module hữu hạn sinh có chiều khơng q q Khi eq (I, M ) = l(Mp )eq (I, R/p), p với tổng thực tất ideal nguyên tố p cho dim R/p = q Chứng minh: Module M có lọc = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mr−1 ⊂ Mr = M cho Mi /Mi−1 ∼ = R/pi với i = 1, , r Hiển nhiên dim R/pi ≤ q Do đó, từ r hệ trước ta có eq (I, M ) = eq (I, R/pi ) Tổng thực hạng i=1 tử thỏa dim R/pi = q Cố định ideal nguyên tố p thỏa dim R/p = q, đó, số số nguyên i thỏa eq (I, R/pi ) = eq (I, R/p) với độ dài Mp , điều dễ thấy tính chất địa phương hóa p Ta thu điều cần chứng minh Như trường hợp đặc biệt quan trọng kết trước, ta có Hệ 2.30 Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R−module hữu hạn sinh có hạng dương, I ideal m−nguyên sơ R Khi e(I, M ) = e(I, R) rank M Đặc biệt, e(M ) = e(R) rank M Chứng minh: Đặt r = rank M , ta có Mp ∼ = Rpr với ideal nguyên tố p thỏa dim R/p = d Đặc biệt, M có chiều lớn e(I, M ) = ed (I, M ), d = dim R Theo Hệ 2.29 ta có e(I, M ) = l(Mp )e(I, R/p) = p rl(Rp )e(I, R/p) = e(I, R) rank M, p đây, tổng thực ideal nguyên tố p thỏa dim R/p = d 39 Một kết Định lý 2.26 là: Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R−module hữu hạn sinh x hệ bội M Khi χ(x , M ) = i (−1) i l(Hi (x , M )) ≥ Với j ≥ 0, ta định nghĩa đặc trưng Euler phần M theo x : (−1)i−j l(Hi (x , M )) χj (x , M ) = i≥j Theo Serre, tất đặc trưng Euler phần không âm Ta chứng minh kết với χ1 (x , M ) Định lý 2.31 (Serre) Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R−module hữu hạn sinh x hệ bội M a χ1 (x, M ) ≥ 0, hay tương đương với l(M/xM ) ≥ χ(x, M ) b Giả sử thêm x hệ tham số M Khi đó, điều kiện sau tương đương: i χ1 (x, M ) = 0; ii H1 (x, M ) = 0; iii Hi (x, M ) = với i ≥ 1; iv x M −dãy; v M Cohen-Macaulay Chứng minh: Cho x = x1 , , xn , ta chứng minh a quy nạp theo n: Nếu n = χ1 (x1 , M ) = l(H1 (x1 ; M )) điều cần chứng minh tầm thường Cho n > 1, đặt x = x1 , , xn Chú ý χ(x , M ) = l(M/x M )−χ1 (x , M ), χ1 (x , M ) = χ1 (x , M/x1 M ) + χ(x , (0 : x1 )M ) 40 (2.4) theo (2.1) Theo giả thiết quy nạp χ1 (x , M/x1 M ) ≥ từ điều kiện χ(x , (0 : x1 )M ) ≥ nên ta suy điều cần chứng minh b Sự tương đương mệnh đề ii đến v chứng minh dựa điều kiện Cohen-Macaulay M x hệ tham số M iii ⇒ i dựa vào định nghĩa đặc trưng Euler phần Chúng ta cần chứng minh chiều i ⇒ v Giả sử χ1 (x , M ) = 0, từ (2.4) ta có χ1 (x , M/x1 M ) = χ(x , (0 : x1 )M ) = Bằng quy nạp, ta giả sử M/x1 M Cohen-Macaulay với chiều n − 1, ta cần (0 : x1 )M = Đặt M1 = M/(0 : x1 )M , áp dụng bổ đề rắn vào biểu đồ giao hoán / (0 : x1 )M x1 /  (0 : x1 )M / M x1 /  M / M1 / x1  M1 / / 0 ta thu dãy khớp ϕ → (0 : x1 )M − → (0 : x1 )M → (0 : x1 )M1 → ψ → M/x1 M → M1 /x1 M1 → → (0 : x1 )M − Dễ thấy ϕ đẳng cấu Ta chứng minh ψ đồng cấu Thật vậy, ta có dim(0 : x1 )M ≤ n − χ(x , (0 : x1 )M ) = Mặt khác, dim R/p = n − với p ∈ Ass(M/x1 M ) M/x1 M Cohen-Macaulay Do đó, ta suy Hom((0 : x1 )M , M/x1 M ) = Ta thu đẳng cấu M/x1 M ∼ = M1 /x1 M1 (0 : x1 )M ∼ = (0 : x1 )M1 Từ (2.1) ta χ1 (x , M ) = l(M/x M ) − χ(x , M/x1 M ) + χ(x , (0 : x1 )M ), 41 đó, từ phương trình tương tự cho M1 đẳng cấu ta χ1 (x , M1 ) = χ1 (x , M ) = Lặp lại lập luận trên, ta thu dãy module Mn định nghĩa cách đệ quy Mn = Mn−1 /(0 : x1 )Mn−1 với Mn /x1 Mn ∼ = (0 : x1 )Mn−1 = Mn−1 /x1 Mn−1 (0 : x1 )Mn ∼ Xét dãy M → M1 → · · · → Mn−1 → Mn tồn cấu tắc Một lập luận quy nạp đơn giản nhân (0 : xn1 )M Do M module m+1 Noether nên tồn số nguyên m cho (0 : xm )M )M = (0 : x1 tồn cấu tắc Mm → Mm+1 phải đẳng cấu, đó, (0 : x1 )Mm = Khi (0 : x1 )M ∼ = (0 : x1 )M1 ∼ = ··· ∼ = (0 : x1 )Mm = nên ta suy M Cohen-Macaulay Từ Hệ 2.30 Định lý 2.31 ta tiêu chí cho module CohenMacaulay sau: Hệ 2.32 Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R−module hữu hạn sinh có hạng dương, I ideal sinh hệ tham số R a l(M/IM ) ≥ e(I, R) rank M b M Cohen-Macaulay l(M/IM ) = e(I, R) rank M c Giả sử R Cohen-Macaulay, M Cohen-Macaulay l(M/IM ) = l(R/I) rank M 42 Kết luận Luận văn trình bày số kết phức Kozsul lý thuyết Bội, trình bày cụ thể hai chương Chương 1: Trình bày kết phức Koszul: xây dựng cách tổng quát phức Koszul dạng tuyến tính dãy phần tử vành thông qua khái niệm lũy thừa ngồi đại số ngồi; tính chất quan trọng phức Koszul đồng điều Koszul Các kết đáng ý chương Định lý 1.16 Định lý 1.17 liên quan đến mối liên hệ đồng điều Koszul với hàm tử dẫn xuất Ext bậc module ideal Chương 2: Trình bày hàm Hilbert Lý thuyết bội như: khái niệm hàm Hilbert, chuỗi Hilbert, bội module phân bậc; hàm Hilbert - Samuel, bội hình thức module hữu hạn sinh theo ideal xác định; tính chất quan trọng bội hình thức Các kết quan trọng chương định lý Hilbert (Định lý 2.3) hàm Hilbert, định lý Auslander - Buchsbaum (Định lý 2.26) định lý Serre (Định lý 2.27 Định lý 2.31) mối liên hệ bội hình thức với đặc trưng Euler đồng điều Koszul H• (x , M ) mối liên hệ module Cohen-Macaulay với đặc trưng Euler phần 43 Tài liệu tham khảo [I] TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập môn Đại số giao hốn Hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [2] Dương Quốc Việt (2008), Lý thuyết Chiều, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [II] TÀI LIỆU TIẾNG ANH [3] M F Atiyah I G MacDonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press [4] M Auslander D A Buchsbaum (1958), "Codimension and multiplicity", Ann of Math, 68: 625–657 [5] Winfried Bruns Udo Vetter (1998), "A Remark on Koszul Complexes", Contributions to Algebra and Geometry, 39(2): 249254 ă rgen Herzog (1993), Cohen - Macaulay Rings, [6] Winfries Bruns Ju Cambridge University Press [7] D Eisenbud (1996), Commuative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Springer 44 [8] Bogdan Ichim Udo Vetter (2006), "Generalized Koszul complexes", An St Univ Ovidius Constanta, 14(2): 61–72 [9] D G Northcott (1968), Lessons on rings, modules, and multiplicities, Cambridge University Press [10] Paul C Roberts (1998), Multiplicities and Chern Classes in Local Algebra, Cambridge University Press [11] Jean-Pierre Serre (2000), Local Algebra and Multiplicities, Springer 45 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM VĂN BẢN PHỨC KOSZUL VÀ LÝ THUYẾT BỘI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC... tiết số kết Lý thuyết bội, đó, nội dung chứng minh định lý Serre Để làm điều này, luận văn tiến hành theo chương: Chương 1: Trình bày phức Koszul, tính chất phức Koszul đồng điều Koszul, chuẩn... Danh mục ký hiệu v Phức Koszul 1.1 Lũy thừa đại số 1.2 Định nghĩa phức Koszul 1.3 Các tính chất phức Koszul Lý thuyết bội 21 2.1 Hàm Hilbert