Wavelet và ứng dụng trong nén tín hiệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - TRIỆU MẠNH HỒN WAVELET VÀ ỨNG DỤNG TRONG NÉN TÍN HIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ CHUYÊN NGÀNH: ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG Hà Nội – 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - TRIỆU MẠNH HOÀN WAVELET VÀ ỨNG DỤNG TRONG NÉN TÍN HIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ CHUYÊN NGÀNH: ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN PHƯƠNG Hà Nội – 2004 MỤC LỤC Chương Giới thiệu 1.1- Khái quát lịch sử 1.2- Động lực, mục tiêu phạm vi 1.3- Khái quát nội dung luận văn Chương Sóng phân tích sóng đa phân giải 2.1 Tại lại cần phân tích đa phân giải? 2.2 Biến đổi sóng Biến đổi Fourier 2.2.1 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 2.2.2 Biến đổi sóng 10 Chương Lý thuyết sóng 13 3.1 Sóng trực giao 13 3.1.1 Sự biểu diễn miền thời gian 13 3.1.2 Sự biểu diễn miền Fourier: 17 3.1.3 Sóng trực giao Daubechie 18 3.2- Sóng lưỡng trực giao 20 3.2.1- Sự biểu diễn miền thời gian 20 3.2.2 Biểu diễn miền Fourier 21 3.3 Biến đổi sóng trực giao rời rạc 22 3.4 Biến đổi sóng rời rạc lưỡng trực giao 26 Chương Đánh giá tích phân sóng 30 4.1 Các hệ số hàm phân giải sóng 31 4.2 Mô men hàm phân giải sóng 34 4.3 Các hệ số kết nối 36 Chương Ngoại suy sóng toán biên 42 5.1 Sự ngoại suy sóng cho phương trình possion chiều 43 5.1.1 Ngoại suy sóng đường biên trái 46 5.1.2.Ngoại suy sóng đường biên phải 52 5.2 Sự hội tụ 55 5.3 Các vấn đề ổn định 57 Chương Biến đổi sóng rời rạc không hiệu ứng biên 59 6.1 Bài toán biên 59 6.2 Ngoại suy sóng với chuyển đối sóng rời rạc 62 6.2.1 Ngoại suy biên trái 64 6.2.2 Ngoại suy biên phải: 70 6.3- Sự lựa chọn tham số ngoại suy 75 6.4 Lược bỏ dư thừa biến đổi sóng rời rạc ngoại suy 76 6.5 Biến đổi ngược sóng rời rạc ngoại suy giảm 78 6.5.1 Sự khôi phục hệ số biến đổi 78 6.5.2 Thuật toán tái tạo đa phân giải 81 Chương Ứng dụng kỹ thuật nén ảnh 83 7.1 Giới thiệu 83 7.2 Ảnh hưởng biến đổi đến mã hoá ảnh 85 7.3 Cấp phát bit lượng tử hoá 90 Chương Kết luận 96 8.1 Những đóng góp luận văn 96 8.2 Hướng nghiên cứu 99 CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1: Sơ đồ ngun lý biến đổi Fourier thời gian ngắn Hình 2.2: Lấy cửa sổ thời gian tương lai tín hiệu, x[n+m] Hình 2.3: Phân chia đồng dạng mặt phẳng thời gian - tần Hình 2.4: Mặt phẳng thời gian – tần số biến đổi sóng 11 Hình 2.5: Băng lọc cấu trúc biến đổi sóng rời 12 Hình 3.1: Đồ thị luồng tín hiệu khai triển giai đoạn biến đổi sóng rời rạc 24 Hình 3.2- Biến đổi sóng rời rạc chiều 25 Hình 3.3 Biến đổi sóng rời rạc ngược chiều 27 Hình 5.1: Daubechies-6 mở rộng hàm phân giải lời giải đường biên trái 46 Hình 5.2: Daubechies - mở rộng tham số theo phân giải lời giải đường biên phải 52 Hình 5.3: Hoạt động hội tụ phương pháp ngoại suy sóng cho điều kiện biên Dirichlet tuý 56 Hình 5.4: Hành động hội tụ phương pháp ngoại suy sóng cho Neumann hỗn hợp điều kiện Dirichlet 57 Hình 6.1 Daubechies-6 hàm phân giải kết hợp với liệu mức m xung quanh bên trái 64 Hình 6.2 Daubechies-6 hàm phân giải kết hợp với liệu mức m-1 xung quanh bên trái 65 Hình 6.3 Daubechies-6 hàm phân giải liên kết với liệu phân giải quanh bên phải 71 Hình 6.4 Các hàm phân giải Daubechies-6 nối với liệu phân giải m-1 quanh bên phải 71 Hình 7.1 Ảnh Barbara 84 Hình 7.2 Ảnh Barbara 85 Hình 7.3 Biến đổi khối băng lọc tương đương 86 Hình 7.4 Ảnh hưởng Block 88 Hình 7.5 Biến đổi wavelet rời rạc bốn mức bank lọc đa phân giai tương đương 89 Hình 7.6 Các phân bố điển hình điều chỉnh hệ số băng 90 Hình 7.7 Đánh giá chất lượng cảm nhận 94 CÁC TỪ VIẾT TẮT CWT : Biến đổi sóng liên tục DCT : Biến đổi Cosin trực tiếp DFT : Biến đổi Fourier DWT : Biến đổi sóng rời rạc ICWT : Biến đổi sóng liên tục ngược IDFT : Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDWT : Biến đổi sóng rời rạc ngược LPC : Mã hoá dự đoán tuyến tính JPEG : Nhóm chun gia ảnh STFT : Biến đổi Fourier thời gian ngắn Phụ lục Chương trình tính hệ số phổ theo phương pháp phổ đồ % function a = daub(Na) % % Generate filter coeffcients for the Daubechies orthogonal wavelets % a = filter coeffcients of Daubechies' orthonormal compactly supported % wavelets % Na = length of filter function a = daub(Na) K = Na=2; L = Na=2; N = 512; % Use a 512 point FFT by default k = 0:N-1; % Determine samples of the z transform of M1(z) = R(z) R(1/z) on the unit circle z = exp(j*2*pi*k=N); tmp1 = (1 + z.^(-1)) = 2; tmp2 = (-z + - z.^(-1)) = 4; % sin^2(w=2) M1z = zeros(1,N); 20 vec = ones(1,N); for l = 0:K-1 M1z = M1z + vec; vec = vec * tmp2 * (L + l) = (l + 1); end M1z = * M1z; % M1(z) has no zeros on the unit circle, so use the complex cepstrum to find % its minimum phase spectral factor M1zhat = log(M1z); m1hat = ifft(M1zhat); % Real cepstrum of ifft(M1(z)) % (= complex cepstrum since M1(z) real, +ve.) m1hat(N=2+1:N) = zeros(1,N=2); % Retain just the causal part m1hat(1) = m1hat(1) = 2; % Value at zero is shared between % the causal and anticausal part Rz = exp(fft(m1hat)); % Min phase spectral factor of M1(z) Az = Rz * tmp1.^L; a = real(ifft(Az)); a = a(1:Na)'; Chương trình tính hệ số kết nối đối số với sóng trực giao bàng Matlab %function[omega,alpha, beta,gamma] = concoeffs2(a,r) % % Calculate the rth derivative two-term connection coeffcients for % the orthogonal wavelets described by the filter a[k] % a = wavelet filter, sum(a) = % r = sum of the derivatives of the scaling functions % e.g r = gives % omega[n] = = - = , % alpha[n] = = - = , % beta[n] = = - = , % gamma[n] = = beta[-n] % % Note: works even if the filter has an odd number of coeffcients, % e.g when filter is symmetric about origin function [omega,alpha,beta,gamma] = concoeffs2(a,r) [N,dum] = size(a); M = * N - 3; % Number of connection coeffcients (depends on a) n = M + N - 1; m = n + N - 1; % = * M + b = (-1).^(0:N-1)' * a(N:-1:1); % Calculate filter coeffcient matrices Aa = [a; zeros(n-N,1)]; for i = 1:M-1 Aa(2:n,i+1) = Aa(1:n-1,i); Aa(1,i+1) = Aa(n,i); end Batmp = [a(N:-1:1); zeros(m-N,1)]; for i = 1:n-1 Batmp(2:m,i+1) = Batmp(1:m-1,i); Batmp(1,i+1) = Batmp(m,i); end ind = [0; 1] * ones(1,M); ind = ind(:); ind(m) = 0; ind = ind * ones(1,n); Ba = zeros(M,n); Ba(:) = Batmp(ind); Ab = [b; zeros(n-N,1)]; for i = 1:M-1 Ab(2:n,i+1) = Ab(1:n-1,i); 87 véctơ sở Các đặc tính véctơ (các cột P) đem lại mã hoá ảnh quan sát tốt? Chúng phải trơn (smooth) đối xứng (hoặc phản đối xứng) Tính trơn kiếm chế nhiễu vùng với bất biến Tính đối xứng cho phép sử dụng phần mở rộng đối xứng để xử lý viền ảnh Chúng phải phân rã thành zero cách trơn tru hai đầu: hàm sở DCT không phân rã thànhh zero Điều tạo nên không liên tục khối (các ảnh con) ảnh nén Do tượng blocking xuất ảnh khơi phục(Hình 7.4) Các lọc thơng dải thơng cao phải khơng có rị rỉ DC (leakage) Các băng tần số cao lượng tử hoá khắt khe Nó địi hỏi băng thơng thấp phải chứa tất thông tin DC Mặt khác, đáp ứng thông dải thông cao với ω = khơng zero, thấy tượng ô bàn cờ (checkerboard) Một dạng tương đương trạng thái rị rỉ DC nhận thấy lọc thông thấp: H0(2kπ/M) = δ(k) với k=0 Đối với bank lọc pha tuyến tính khơng trực giao, lượng tín hiệu khơng trì Tạp âm lượn tử hoá băng khuếch đại bank lọc tổng hợp Giả sử lỗi lượng tử hố khơng 93 tương quan định nghĩa Bk = α k ∑ f k (n) , phương sai lỗi khôi phục n M −1 σ = ∑ Bk σ k , với Bk thường nằm khoảng 0,9αk đến 1,1αk k =0 hệ thống thực tế, có lý giả thiết Bk =1 (như bank lọc trực giao) Từ bk σk, tính tốn bước lượng tử hố ∆k Lỗi lượng tử hố lớn cho băng thứ k là: ∆k = ckσk/2bk, ck = lựa chọn hợp lý Bước lượng tử hoá ∆k thường chọn là: ∆k = max (2Tk, ∆k,min) với bk > ∆k = 2Xk,max + ε với bk = (7.6) Ở Xk,max giá trị phi zero lớn nhất, bk,max số bit cực mã hoá hệ số chuẩn phi zero, ∆k,min bước lượng tử hoá tối thiểu để đảm bảo bk,max không bị vượt để mã hoá Xk,max Bảng Huffman mã hoá đường sở liên tục có kích thước giới hạn trì nhỏ Bảng lượng tử hố truyền Do ∆k phải lớn giá trị δk nhỏ mà không lượng tử hố zero Tóm lại:  X   k ,max  ∆k,min = max  ,δ ; ε ≥δ k k b  k ,max −1  Trường hợp đặc biệt bk = biểu thức (7.6) đảm bảo tất hệ số lượng tử hố zero khơng bit gán Điều kiện ε ≥ δk cần thiết để giữ cho tất hệ số chuẩn ~yk = làm tròn (yk/∆k) nhỏ 0,5 Phương sai kênh băng thấp phụ thuộc nhiều vào tín hiệu Sự phân bố gần đồng Giá trị ∆1 tính từ (7.6) lớn lượng tử hoá đồng hiệu cho phân bố đồng (hơn Gaussian) Lỗi cân thích hợp việc thay đổi tỷ lệ 94 phương sai băng thông thấp σ~ = c1σ 12 trước cấp phát bit, c1 xác định dựa vào kinh nghiệm khác tất tín hiệu, khoảng 1,5 ảnh Lenna Đánh giá chất lượng cảm nhận (perceptual) mã hoá ảnh dựa Wavelets : a6 a5 a3 a a a1 a3 a2 a1 a0 Hình 7.7 : Đánh giá chất lượng cảm nhận Cần phải biết tối thiểu hố lỗi bình phương không đảm bảo kết thu tối ưu mặt cảm nhận Với tốc độ bit thấp trunb bình, mắt người có độ nhạy thấp dẫn đến bỏ tần số cao Cần phải bổ sung thêm tạp âm lượng tử hoá băng sử độ nhạy cảm mắt người Nhưng chất lượng cảm nhận phức tạp tóm tắt sơ đồ bỏ sung hiệu đơn giản cho tạp âm lượng tử hoá ước luượng trước cấp phát bit Các băng tần số thấp trung bình cấp phát nhiều bit hơn, tạp âm tần số cao tăng lên Trọng số chọn lựa cho GenLOT M kênh w = [aM-1 a 1]T, mở rộng cho hai chiều W = w.wT Đây ảnh khôi phục dùng GenLOT chiều dài 48 với a =1 a = 95 Do PSNR cực đại với a =1, trọng số thoả hiệp chất lượng cảm nhận giới hạn lỗi ảnh khôi phục Với tốc độ thấp, chất lượng cảm nhận không quan trọng Sơ đồ trọng số đơn giản, hiệu độc lập với ảnh Nó khơng đảm bảo kết thu tối ưu cảm nhận Việc đo lường chắn chất lượng cảm nhận (và trọng số tốt nhất) vấn đề nghiên cứu 96 Chương Kết luận Trong nhận xét kết luận chúng ta, tổng kết đóng góp cơng việc này, đưa định hướng nghiên cứu 8.1 Những đóng góp luận văn Cơng việc bao gồm đóng góp mặt lý thuyết lẫn thực tế Ở làm bật khía cạnh đáng kể đóng góp luận văn Chúng ta nghiên cứu việc sử dụng sóng cho giải pháp cân vi sai phần tử cân thông thường Nghiên cứu bao gồm phát triển hai cách tiếp cận phân cấp cho việc giải phương trình đa kích cỡ sóng con-Galerkin Cách tiếp cận thứ dựa việc sử dụng cấu trúc sóng lưỡng trực giao thích ứng Dahlke Weinreich đưa Ở đây, đóng góp chủ yếu mặt lý thuyết chứng mà xây dựng ma trận sóng con-galẻkin đa kích cỡ chéo cho phương trình điều hồ kích cỡ Thực tế đến bỏ qua 97 tác giả xây dựng nguyên bản; mục đích họ để đưa ma trận với cấu trúc đường chéo khối Chúng ta thực giải pháp phân cấp dựa tiếp cận sóng lưỡng trực giao thích ứng so sánh giá trị đặc điểm hội tụ với việc bổ xung sóng trực giao khơng thích ứng Tuy nhiên, nhận thấy rằng, mặt hạn chế chủ yếu với cấu trúc lưỡng trực giao thích ứng áp dụng cho lớp có giới hạn đề khó khăn Thứ hai cách tiếp cận phân cấp dựa ý tưởng điều kiện tiên chéo đề xuất Beylkin , có phạm vi ứng dụng rộng rãi Chúng ta nghiên cứu hiệu ứng điều kiện ban đầu chéo số điều kiện ma trận Sóng con-Galerkin đa mức cho vấn đề mơ hình kích cỡ Sau thực giải pháp lặp lại phân cấp cho vấn đề chứng minh nó, địi hỏi O(L) hoạt động cho L điểm Chúng ta thực phương pháp sóng conGalerkin nhiều kích cỡ cao Thực tế có kết trình bày cho phương trình sóng hai kích thước khơng gian Những chứng minh đưa vào giải đường biên phương trình vi phân ban đầu vi sai dẫn đến phát triển phương pháp ngoại suy sóng Phương pháp ngoại suy sóng xem giải pháp cho vấn đề sóng khoảng giới hạn, đóng góp việc nghiên cứu Chúng ta sử dụng ý tưởng ngoại suy sóng để phát triển phương pháp bậc cao cho điều kiện biên tiếp cận Sóng con-Galerkin Chúng ta thực phương pháp cho vấn đề giá trị biên hai điểm, nghiên cứu hội tụ thuộc tính ổn định Chúng ta phương pháp áp dụng cho biên kích thước cao hơn, điểm biên khơng cần trùng khớp với điểm lưới 98 Chúng ta mở rộng phương pháp ngoại suy sóng cho vấn đề giá trị ban đầu Kết quả, sử dụng phương pháp sóng conGalerkin để phân chia kích thước tạm thời Hai vấn đề ứng dụng điều kiện ban đầu, xây dựng sơ đồ tích phân thời gian ổn định Sơ đồ phát triển miền lớn ổn định tuý (tuyệt đối) Chúng ta thể đặc tính hội tụ bậc cao xác định số moment biến đổi sóng Chúng ta thực phương pháp cho tốn mơ hình kết trình bày số Chúng ta mở rộng ngoại suy sóng tiến tới nhiều khoảng chia việc phát triển chuyển đổi sóng khơng liên tục cho số liệu dài có giới hạn, mà thực tế mở thông hiệu ứng biên Chúng ta thiết kế việc chuyển đổi Sóng khơng liên tục ngoại suy để vận hành cách xác số liệu ĐIều có nghĩa số liệu đầu vào tương ứng với đa thức bậc p-1 ( với p số momént biến sóng con, hệ số truyền thơng thấp tương ứng với đa thức bậc p-1, hệ số truyền đạt thông cao xấp xỉ Chúng ta thực phương pháp đối chiếu với cách tính tốn thơng thường, chẳng hạn mở rộng đối xứng xoắn tròn Chúng ta trình bày ứng dụng ví dụ cho số liệu hình ảnh Cuối cùng, chứng minh việc sử dụng sóng cho ứng dụng sử lý số liệu ậ đây, đóng góp chủ yếu cơng cụ mềm để nén số liệu hình ảnh phân cấp Chúng ta so sánh việc thực thuật tốn sóng với chuẩn JPEG nhận thấy rằng, việc tính tốn sóng thường làm tốt dựa biến đổi fourier Chúng ta minh hoạ việc sử dụng phần mềm cho việc biến đổi luỹ tiến hình ảnh qua mạng băng hẹp 99 Hơn để thực tiêu mô tả trên, phát triển thư viện phần mềm sóng có mục đích chung thông thường Thư viện bao gồm số thuật tốn nhanh, gồm: Thuật tốn cho tính tốn hệ số lọc theo sóng trực giao Daubechies, sóng lưỡng trực giao thích ứng Dahlkewainrich Các thuật toán sử dụng phép tính dựa cepstrum mà lấy điều kiện thuật lợi thuật toán dựa FFT cho việc tính tốn sóng Battle-Lemariae phát triển Các thuật toán cho hàm khoảng lưỡng trực giao trực giao sóng từ hệ số lọc chúng Các thuật tốn cho tính tốn tích phân mơ tả chương 4: (a) Hàm phân giải hệ số sóng hai kích thước (b) Các momént hàm phân giải (c) Các hệ số nối cho sóng trực giao lưỡng trực giao Các thuật tốn cho hàm phân giải mở rộng sóng hai kích cỡ Các thuật tốn cho truyền sóng khơng liên tục lưỡng trực giao trực giao một, hai ba kích cỡ Một phiên song song DWT trực giao thực 8.2 Hướng nghiên cứu Cơng việc chúng nói đến mang lại vài hội cho việc nghiên cứu Trong việc phân tích mơ hình hố số, ví dụ, phát triển chứng minh tính khái niệm khác cho sơ đồ phân giải phân cấp vấn đề biên Trong kết đưa 100 ra, nhiều khái niệm hợp thánh phân tích độ phân giải đầy đủ vấn đề giới thực Chúng ta tin tưởng sơ đồ phân cấp lặp lại, thực tế hứa hẹn đáng kể cho phân tích hệ thống có độ phân giải lớn Việc tính tốn lưỡng trực giao thích ứng xuất thiếu tính linh hoạt cho việc sử dụng phân tích 2D 3D, dẫn đến giải pháp hiệu cho vấn đề kích cỡ Chúng ta tin phương pháp ngoại suy sóng có tiềm đáng kể, đặc tính chung dễ thực nó, xảy cách tự nhiên từ khả tính tốn xấp xỉ đa thức cho hàm phân giải Trong giải pháp vấn đề giá trị biên, song song việc tính tốn ngoại suy sóng thoe phương pháp sóng Galerkin, tính tốn ngoại suy Kreiss cho phương pháo khác có giới hạn Chúng ta mong điều thực xứng đáng phạm vi hiểu biết tác giả Đối với giá trị ban đầu, việc tính tốn ngoại suy sóng dẫn đến kích thích khả kích cỡ thời gian đa phân giải Một lần nữa, hướng nghiên cứu thêm Việc tính tốn ngoại suy sóng chuyển đổi sóng khơng liên tục đưa để có ứng dụng đáng quan tâm q trình sử lý hình ảnh video Ví dụ, áp dụng cho biên miền bất thường ảnh, để thay đổi đột ngột cảnh chuỗi video, cho phép việc nén có lựa chọn Truyền đạt sóng khơng liên tục ngoại suy phép tính ngược lượng tử hố hệ số địi hỏi việc nghiên cứu thêm Trong tình này, cần thiết để sử dụng chiến lược lưu giữ luân phiên cho hệ số truyền đạt để thực đề án 101 Cuối cùng, phần mềm nén số liệu phân cấp minh hoạ tiềm xem xét thêm phát triển Hơn để tiến tới biến đổi hình phác hoạ thành hình chiều có thể, muốn khai thác đặc tính sóng để cung cấp khả tương tác phóng phân tích ảnh Cuối hy vọng phần mềm nâng cao để xử lý số liệu ảnh ... tiếp cận truyền thống tích chập vịng mở rộng đối xứng Chương 7: Ứng dụng phân tích đa phân giải vào nén tín hiệu Xét tín hiệu cụ thể trường hợp tín hiệu ảnh tĩnh Chương 8: Chương cuối cùng, tổng...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - TRIỆU MẠNH HỒN WAVELET VÀ ỨNG DỤNG TRONG NÉN TÍN HIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ CHUYÊN NGÀNH: ĐIỆN... việc tương tự xử lý tín hiệu số từ có biến đổi sóng rời rạc ngày Có nhiều tác giả đóng góp vào phát triển lý thuyết sóng ứng dụng nó, việc liệt kê nằm phạm vi phần giới thiệu Một vài mốc lịch sử