Giải bài tập Xác suất thống kê chi tiết Đại học Bách Khoa Hà Nội

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC School of Applied Mathematics and Informatics Xác suất thống kê Giải tập đề cương Nhóm ngành MI2020 Nguyễn Quang Huy 20185454 Mục lục Lời mở đầu Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Quan hệ phép tốn kiện Giải tích kết hợp 1.2 Định nghĩa xác suất 1.3 Xác suất điều kiện Công thức cộng, nhân xác suất Công 1.4 Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes 3 13 24 Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất 2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 2.3 Một số luật phân phối xác suất thông dụng 34 34 47 55 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 71 71 78 thức Bernoulli Lời mở đầu Xác suất thống kê lĩnh vực mà thấy thú vị đặc biệt nhức não Nhiều dù đọc lời giải mà khơng hiểu người ta viết gì, biết kết sai mà khơng biết sai đâu Và thân người sợ, sợ môn khoa học không chắn Thật trùng hợp với mơn đại cương cô giáo kiểm tra chấm điểm đề cương, học kì đặc biệt, mà tất người làm việc nhà qua Internet Chắc khơng có điều kiện này, khơng làm đề cương kiên nhẫn để gõ hết lại tập Trong q trình hồn thiện đề cương, có lúc bận q, có lúc gặp biến cố học tập cơng việc, có lúc lười học chán đời nên khơng lần nghĩ bỏ dở Nhưng nhờ kí ức khơng vui, mà nhận khởi đầu tốt đẹp nên cố gắng để kết thúc thật mỹ mãn Và định hồn thành thứ mà bắt đầu cịn dang dở, kết quả, trang mà bạn đọc Trong tài liệu giải đủ tập Xác suất thống kê nhóm ngành 1, mã học phần MI2020 chương 1, 3, khơng giao làm chương 4, Tuy nhiên, cịn nhiều chỗ học chưa kỹ lắm, khơng ghi chép đầy đủ, chữa tập lớp nên có nhiều làm sai, nhiều làm không hay Rất mong bạn đọc bỏ qua không ném đá Xin cảm ơn bạn Nguyễn Minh Hiếu, tác giả template chia sẻ cho phép sử dụng mẫu LATEX Con nhà người ta nghĩ xin thơi Lời cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Thu Thủy, cô giáo dạy Xác suất thống kê Em xin cảm ơn dạy em, ln tận tình hướng dẫn, giúp đỡ quan tâm đến em Thật may mắn em tiếp xúc với cô Học với cơ, em có thêm nhiều động lực, em học hỏi rất nhiều từ phong cách làm việc chuyên nghiệp cô Một lần nữa, em cảm ơn nhiều Kính chúc ln sức khỏe vui vẻ Hà Nội, ngày tháng năm 2020 Nguyễn Quang Huy Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Quan hệ phép tốn kiện Giải tích kết hợp Bài tập 1.1 Một hộp có 10 cầu kích cỡ đánh số từ đến Từ hộp người ta lấy ngẫu nhiên ghi lại số đó, sau trả lại vào hộp Làm lần ta thu dãy số có chữ số Có kết cho dãy số đó? Có kết cho dãy số cho chữ số khác nhau? Số kết cho dãy 105 Số kết cho dãy có chữ số khác 10.9.8.7.6 = 30240 Bài tập 1.2 Có bạn Hoa, Trang, Vân, Anh, Thái, Trung ngồi quanh bàn tròn để uống cà phê, bạn Trang Vân khơng ngồi cạnh Có cách xếp bạn bàn tròn tất ghế khơng phân biệt? Có cách xếp bạn bàn tròn tất ghế có phân biệt? Số cách xếp để Trang Vân không ngồi cạnh 5! − 2.4! = 72 Số cách xếp ghế có phân biệt 6! − 6.2.4! = 432 Ta thấy 432 = 6.72 Bài tập 1.3 Từ tú lơ khơ 52 rút ngẫu nhiên khơng quan tâm đến thứ tự Có khả xảy trường hợp đó: át; có át; có át; có đủ loại rơ, cơ, bích, nhép Chỉ có khả có át cách chọn cịn lại Có cách lấy át, có C48 Như vậy, số cách lấy để có át × C48 = 69184 3 Số cách chọn từ C52 Số cách để chọn khơng có át C48 (khơng lấy thứ tự) 3 Suy số khả C52 − C48 = 76145 = 13 Tương tự với loại rơ, bích, nhép Suy số khả Số cách lấy C13 13 = 28561 Bài tập 1.4 Có 20 sinh viên Có cách chọn sinh viên (khơng xét tới tính thứ tự) tham gia câu lạc Văn sinh viên tham gia câu lạc Toán trường hợp: sinh viên tham gia nhiều câu lạc bộ; sinh viên tham gia hai câu lạc cách Chọn học sinh tham gia câu lạc Văn có C20 Do sinh viên tham gia lúc câu lạc bộ, nên số cách chọn sinh viên tham gia câu lạc Toán C16 Số khả 4 C20 C16 = 8817900 Chọn học sinh tham gia câu lạc Văn có C20 cách Do sinh viên tham gia lúc câu lạc bộ, nên số cách chọn sinh viên tham gia câu lạc Toán C20 Số khả 4 C20 C20 = 23474025 Bài tập 1.5 Cho phương trình x + y + z = 100 Phương trình cho có nghiệm: nguyên dương; nguyên không âm Ta đánh dấu trục số từ số đến 100 100 số cách đơn vị Khi đó, ta có 99 khoảng số liên tiếp Nếu chia đoạn thẳng [1, 100] điểm chia nằm đoạn ta có phần có độ dài Có thể thấy ta có song ánh tốn chia đoạn với tốn tìm nghiệm ngun dương phương trình x + y + z = 100 Như vậy, số nghiệm phương trình số cách chia, 99 2 Sử dụng ý Đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + a, b, c ∈ Z+ a + b + c = 103 Do số nghiệm x, y, z 102 Bài tập 1.6 Thực phép thử tung xúc xắc, ghi lại số chấm xuất Gọi x, y số chấm xuất tương ứng xúc xắc thứ thứ hai Ký hiệu không gian mẫu W = (x, y) | ≤ x, y ≤ Hãy liệt kê phần tử kiện sau: A : "tổng số chấm xuất lớn 8"; B : "có xúc xắc mặt chấm"; C : "con xúc xắc thứ có số chấm lớn 4"; A + B, A + C, B + C, A + B + C, sau thể thơng qua sơ đồ V enn; AB, AC, BC, ABC, sau thể thông qua sơ đồ V enn A = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6) B = (2, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) C = (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) A + B, A + C, B + C, A + B + C AB = ∅ AC = (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) BC = (5, 2), (6, 2) ABC = ∅ 1.2 Định nghĩa xác suất Bài tập 1.7 Số lượng nhân viên công ty A phân loại theo lứa tuổi giới tính sau: Giới tính Nam Nữ Dưới 30 120 170 Từ 30 đến 40 260 420 Trên 40 400 230 Tuổi Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên người cơng ty được: nhân viên độ tuổi 30 – 40; nam nhân viên 40 tuổi; nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống Gọi A "lấy nhân viên độ tuổi 30 − 40" P (A) = 17 260 + 420 = = 0.425 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 40 Gọi B "lấy nam nhân viên 40 tuổi" P (B) = 400 = 0.25 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 Gọi C "lấy nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống" P (C) = 170 + 420 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 0.3688 Bài tập 1.8 Một kiện hàng có 24 sản phẩm, số có 14 sản phẩm loại I, sản phẩm loại II sản phẩm loại III Người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất sản phẩm đó: có sản phẩm loại I sản phẩm loại II; có sản phẩm loại I; có sản phẩm loại III Ta tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Số trường hợp đồng khả C24 Số cách lấy sản phẩm loại I C14 Số cách lấy sản phẩm loại II C81 Số kết cục thuận lợi C14 C81 Suy P (A) = C14 C81 C24 0.2740 Để sản phẩm chọn có sản phẩm loại I, có khả loại I, loại I, loại II, loại III Dễ dàng tính P (B) = C14 + C14 C10 C24 0.4368 Ta tính xác suất sản phẩm khơng có sản phẩm loại III: P (C) = Do đó, ta có P (C) = − P (C) C22 C24 0.6884 0.3116 Bài tập 1.9 Có 30 thẻ đánh số từ tới 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để: tất thẻ mang số chẵn; có số chia hết cho 3; có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có số chia hết cho 10 10 Sử dụng công thức xác suất cổ điển Số kết cục đồng khả chọn 10 thẻ n = C30 10 Gọi A "tất thẻ mang số chẵn" số kết cục thuận lợi cho A m = C15 10 C15 Có P (A) = 10 9.995 × 10−5 C30 Gọi B "có số chia hết cho 3" Có P (B) = 5 C20 C10 10 C30 0.13 Gọi C kiện cần tính xác suất Dễ tính số kết cục thuận lợi cho C C31 C12 C15 Suy P (C) = C31 C12 C15 10 C30 0.1484 Bài tập 1.10 Việt Nam có 64 tỉnh thành, tỉnh thành có đại biểu quốc hội Người ta chọn ngẫu nhiên 64 đại biểu quốc hội để thành lập ủy ban Tính xác suất để: ủy ban có người thành phố Hà Nội; tỉnh có đại biểu ủy ban Gọi A "có người từ Hà Nội" Ta có 64 C126 P (A) = − P (A) = − 64 C128 Gọi B "mỗi tỉnh có đại diện" ta có P (B) = 0.7520 264 64 C128 Bài tập 1.11 Một đồn tàu có toa đánh số I, II, III, IV đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu Mỗi người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để: toa I có người, toa II có người toa III có người; toa có người, toa người, toa có người; toa có người Lần lượt chọn người xếp vào toa đầu, người xếp vào toa II người xếp vào toa III, ta có C3 C2 C1 15 P (A) = 63 = 0.0146 1024 Có chọn người xếp vào toa, chọn người xếp vào toa khác, cuối cho người cịn lại vào toa Ta có P (B) = 45 C63 × × C32 × × C11 × = 128 0.3516 Gọi C "mỗi toa có người", xảy khả Khả thứ có toa người, toa lại người Khả thứ có toa người toa người Theo cơng thức cổ điển ta có 195 C63 × × 3! + C42 × C62 × C42 × 2! = P (C) = 46 512 0.3809 Bài tập 1.12 Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Một xúc xắc có số chấm mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6, xúc xắc cịn lại có số chấm mặt 2, 3, 4, 5, 6, Tính xác suất: có xúc xắc mặt chấm; có xúc xắc mặt chấm; tổng số chấm xuất Số kết cục đồng khả 6.6 = 36 P (A) = 1.4 + 5.2 36 P (B) = − 5.4 36 0.3889 0.4444 Để số chấm xuất tổng tập kết cục thuận lợi phải {(1, 6), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} suy m = Do ta có P (C) = 36 0.1944 Bài tập 1.13 Trong thành phố có khách sạn Có khách du lịch đến thành phố đó, người chọn ngẫu nhiên khách sạn Tìm xác suất để: người khách sạn khác nhau; có người khách sạn Mỗi người có cách chọn khách sạn để Do số trường hợp đồng khả xảy 53 Gọi A "mỗi người khách sạn khác nhau" Số kết cục thuận lợi cho A 5.4.3 = 60 Từ có P (A) = 60 = 0.48 53 Gọi B "có người khách sạn" Có C32 cách để chọn người Có cách để họ chọn khách sạn Người lại số lại Số kết cục thuận lợi cho B, theo quy tắc nhân, C32 × × C2 × × Suy P (B) = 3 = 0.48 Bài tập 1.14 Một lớp có tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người tổ III có 15 người Chọn hú họa nhóm sinh viên gồm người Tính xác suất để nhóm có sinh viên tổ I Biết nhóm có sinh viên tổ I, tính xác suất để nhóm có sinh viên tổ III Gọi A "trong nhóm có sinh viên tổ I" Ta có C12 C25 1840 P (A) = = C37 4403 0.4179 Bài tập 3.7 Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp gồm bi đỏ, bi xanh bi vàng Gọi X, Y số bi xanh, bi vàng bi lấy Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) Dễ thấy X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0, 1, 2, Bảng phân phối xác suất đồng thời (X, Y ) Y C33 C12 C32 C41 C12 C31 C42 C12 C43 C12 C51 C32 C12 C31 C51 C41 C12 C51 C42 C12 C31 C52 C12 C52 C41 C12 0 C53 C12 0 X Rút gọn ta bảng Y 220 55 110 55 44 11 22 22 11 0 22 0 X 77 3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Bài tập 3.8 Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời fX,Y (x, y) =    kx, < y < x < 1,   0, trái lại Tìm số k X Y có độc lập khơng? Ta giải hệ phương trình     kx ≥ 0, < y < x <    kx dxdy = +∞ −∞ +∞ −∞ ⇒     k ≥ 0,    dx x 0 kx dy = ⇒k=3 Thử lại Hàm mật độ xác suất biên fX (x) fX (x) = +∞ −∞ fX,Y (x, y) dy = x      3x dy, < x < 1, 0, trái lại =    3x2 , < x < 1,   0, trái lại Hàm mật độ xác suất biên fY (y) fY (y) = +∞ −∞     fX,Y (x, y) dx =    y 3x dx, < y < 1, 0, trái lại 3 − y , < x < 1, = 2   0, trái lại     Vì fX,Y (x, y) = fX (x) fY (y) với < y < x < nên X, Y không độc lập Bài tập 3.9 Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời      k x2 +    0, trái lại fX,Y (x, y) =  xy , < x < 1, < y < 2, Tìm số k Tìm hàm phân phối đồng thời X Y 78 Ta giải hệ phương trình           k x2 + +∞ +∞      k     xy ≥ 0, x2 + −∞ −∞    0 Bài tập 3.10 Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất đồng thời fX,Y (x, y) =      x2 y , + < 1, 6π     0, trái lại Tìm hàm mật độ xác suất biên X, Y Tìm xác suất để (X, Y ) nằm hình chữ nhật O(0, 0); A(0, 1); B(1, 2); D(2, 0) Hàm mật độ xác suất biên fX (x) fX (x) = +∞ −∞          fX,Y (x, y) dy =  √  − 9−x2       79 2√ 9−x2 dy, −3 < x < 3, 6π 0, trái lại Rút gọn ta √ − x2 , −3 < x < 3, fX (x) =  9π   0, trái lại     Hàm mật độ xác suất biên fY (y) fY (y) = +∞ −∞ 3√ 4−y 2          fX,Y (x, y) dy =  √ − 4−y 2       Rút gọn ta     dx, −2 < y < 2, 6π 0, trái lại √ − y2 , −2 < y < 2, fY (y) = 2π    0, trái lại Dễ thấy hình chữ nhật OABD nằm trọn miền hình elip Xác suất để (X, Y ) nằm hình chữ nhật fXY (x, y) dxdy = 0≤x≤2; 0≤y≤1 dx 0 x2 y + ≤ 1 dy = 6π 3π Chú ý: Trong đề tọa độ điểm B bị nhầm Để hình chữ nhật, tự sửa lại B(2, 1) Bài tập 3.11 Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y ) có hàm mật độ xác suất fX,Y (x, y) =    kx2 , − ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ x2 ,   0, trái lại Tìm k Tìm hàm mật độ xác suất biên fX (x), fY (y) Tính P Y ≤ Ta giải hệ phương trình              −1 ≤ x ≤ kx ≥ 0,   ≤ y ≤ x2 +∞ +∞      kx2 dxdy     =1       ⇒     k ≥ 0, x2 kx dy = dx −1 ⇒k= −∞ −∞ 80 Thử lại Hàm mật độ xác suất biên fX (x)    x4 , −1 ≤ x ≤ 1, +∞ x dy, −1 ≤ x ≤ 1, fX,Y (x, y) dy = fX (x) = = 2  −∞    0, trái lại  0, trái lại      x2 Hàm mật độ xác suất biên fY (y) fY (y) = +∞ −∞ fX,Y (x, y) dx = Rút gọn ta  √ − y       x dx + −1       0, trái √ y x dx, ≤ y ≤ 1, lại 5 √ − y y, ≤ y ≤ 1, fY (y) =  3   0, trái lại     Ta tính P Y ≤ Kí hiệu D miền dùng hàm mật độ đồng thời dùng hàm mật độ biên D = (x, y) ∈ R2 | −1 ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ x2 P Y ≤ = fXY (x, y) dxdy = D∩ y≤ P Y ≤ = −∞ fY (y) dy = √1 10 √ − 10 dx 5 √ − y y 3 dy x dy 0.3959 0.3959 Bài tập 3.12 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời      , < y < x < 1, x    0, trái lại fX,Y (x, y) =  Tìm hàm mật độ xác suất biên X, Y Tìm hàm mật độ xác suất có điều kiện f1 (x | y), f2 (y | x) 81 Hàm mật độ xác suất biên fX (x)   1, < x < 1, +∞ dy, < x < 1, fX,Y (x, y) dy = fX (x) = = x   −∞   0, trái lại  0, trái lại     x  Hàm mật độ xác suất biên fY (y) fY (y) = +∞ −∞   − ln y, < y < 1, dx, < y < 1, = fX,Y (x, y) dx =  y x  0, trái lại   0, trái lại      Các hàm mật độ điều kiện − , < y < x < 1, fXY (x, y) fX (x | y) = =  x ln y fY (y)   0, trái lại     , < y < x < 1, fXY (x, y) fY (y | x) = = x fX (x)   0, trái lại     Bài tập 3.13 Một linh kiện điện tử có thời gian hoạt động X biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất fX (x) = λe−λx , x > 0, λ > Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên thời gian hoạt động mạng gồm linh kiện loại mắc song song/mắc nối tiếp Tính kỳ vọng, phương sai thời gian hoạt động mạng Gọi X1 , X2 biến ngẫu nhiên thời gian hoạt động link kiện mạch Gọi Y, Z biến ngẫu nhiên thời gian hoạt động mạng lắp song song mạng lắp nối tiếp Khi ta có Y = max(X1 , X2 ) > 0, Z = min(X1 , X2 ) > Từ tính FY (y) = P (Y < y) = P (X1 < y) P (X2 < y), = y −∞ fX (x) dx = y λ e−λx dx (vì X1 , X2 độc lập) −λy = 1−e 82 Như FY (y) =    − e−λy   0, trái lại , y > 0, Tương tự ta có FZ (z) = − P (Z ≥ z) = − P (X1 ≥ z) P (X2 ≥ z), =1− +∞ z (vì X1 , X2 độc lập) fX (x) dx = − e−2λz Như FZ (z) =    − e−2λz , z > 0,   0, trái lại Từ hàm phân phối ta tìm hàm mật độ xác suất fY (y) =    2λe   0, trái lại 1−e −λy −λy , y > 0, fZ (z) =    2λe−2λz , z > 0,   0, trái lại Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên Y E[Y ] = = = E[Y ] = = +∞ −∞ +∞ y fY (y) dy 2λy e−λy dy − +∞ 2λy e−2λy dy Γ(2) − Γ(2) = λ 2λ 2λ +∞ −∞ +∞ y fY (y) dy 2λy e−λy dy − +∞ 2λy e−2λy dy = Γ(3) − Γ(3) = λ 4λ 2λ Suy V [Y ] = E[Y ] − E[Y ] 83 = 4λ2 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên Z +∞ E[Z] = = −∞ 1 Γ(2) = 2λ 2λ +∞ E[Z ] = = z fZ (z) dz = −∞ z fZ (z) dz = 1 Γ(3) = 2 4λ 2λ +∞ 2λz e−2λz dz +∞ 2λz e−2λz dz Suy V [Z] = E[Z ] − E[Z] = 4λ2 Bài tập 3.14 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập với có phân phối [0, 2] Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên Z = X + Y ; T = XY ; U = X − Y Tính P (−1 ≤ Y − X ≤ 1) Vì X Y độc lập nên ta có hàm mật độ đồng thời (X, Y ) , (x, y) ∈ D, fXY (x, y) =    0, trái lại     D = {0 ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ 2} (a) Xét Z = X + Y Ta có ≤ Z ≤ Hàm phân phối xác suất Z FZ (z) = P (Z < z) = fXY (x, y) dxdy = {x+y4 (b) Xét T = XY có ≤ T ≤ Hàm phân phối T xác định sau: Nếu t ≤ FT (t) = Nếu < t ≤  FT (t) =  dx 0 dy + x 2 dx  dy  = t t + t ln − t ln Nếu t > FT (t) = Vậy FZ (z) =    0,    1 t ≤ 0, t + t ln − t ln       1, t , < t ≤ 4, t>4 (c) Xét U = X − Y ta có −2 ≤ U ≤ Từ hàm phân phối U xác đính sau: Nếu u ≤ −2 FU (u) = Nếu −2 < u ≤ FU (u) = u+2 dy = (2 + u)2 x−u dx 1 u2 Nếu < u ≤ FU (u) = − (2 − u) = − + 2u + 4 Nếu u > FU (u) = Vậy FU (u) = 85    0,     1    (2 + u) , u ≤ −2, −2 < u ≤ 0,    (−u2 + 4u + 4), < u ≤ 2,       1, u>2 Ta có P (−1 ≤ Y − X ≤ 1) = P (X − ≤ Y ≤ X + 1) x+1 = dx dy + dx 0 = x−1 dy Chú ý: Ta tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập từ hàm mật độ ban đầu phương pháp tích chập Xét lại toán Giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Đặt Z = X + Y , ta có cơng thức sau Nếu X, Y biến ngẫu nhiên rời rạc pZ (z) = pX (x) pY (z − x) x Nếu X, Y biến ngẫu nhiên liên tục fZ (z) = +∞ −∞ fX (x) fY (z − x) dx ≤ x ≤ ≤ z − x ≤ 2 Kết hợp hai bất đẳng thức lại, biểu thức dấu tích phân khác với Ta thấy fX (x) fY (z − x) khác max{0, z − 2} ≤ x ≤ min{2, z} Suy min{2, z} − max{0, z − 2} , ≤ z ≤ 4, fZ (z) =    0, trái lại     Tương tự với biến T = X − Y , ta có cơng thức: Nếu X, Y biến ngẫu nhiên rời rạc pT (t) = pX (x) pY (x − z) x Nếu X, Y biến ngẫu nhiên liên tục fT (t) = +∞ −∞ fX (x) fY (x − z) dx 86 Bài tập 3.15 Hai người A B hẹn gặp cổng trường khoảng từ 7h00 đến 8h00 Gọi X Y thời gian đến điểm hẹn người A B khoảng thời gian Giả sử X Y độc lập có phân phối [7; 8] Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời X Y Với quy ước đợi vịng 10 phút, tìm xác suất để người gặp Hàm mật độ xác suất X fX (x) =    1, x ∈ [7, 8],   0, trái lại Tương tự ta có hàm mật độ Y Hàm phân phối đồng thời FXY (x, y) FXY (x, y) =  x y    dudv,    −∞ −∞      x y dudv,  7       8    dudv,  x < 0; y < ≤ x, y ≤ x > 8; y > Rút gọn ta     0, x < 0; y < FXY (x, y) = (x − 7)(y − 7), ≤ x, y ≤    1, x > 8; y > Ta quy Khi đó, xác suất cần tính P |X − Y | ≤ P |X − Y | ≤ = dxdy D∩ |X−Y |≤ = = 87 Ta có 6 11 36 x+ dx dy + 6 x+ dx x− 6 dy + dx x− dy Bài tập 3.16 Cho X Y hai biên ngẫu nhiên độc lập, X ∼ N (5; 12 ), Y ∼ N (3; 0.22 ) Tìm P (X + Y < 5, 5) Tìm P (X < Y ); P (X > 2Y ) Tìm P (X < 1; Y < 1) Ta có X + Y ∼ N (5 + 3, 12 + 0.22 ) ∼ N (8, 1.04) Suy P (X + Y < 5.5) = 0.5 + φ 5.5 − √ 1.04 = 0.5 − φ(2.45) 0.0072 Ta có X − Y ∼ N (5 − 3, 12 + 0.22 ) ∼ N (2, 1.04) Suy 0−2 P (X < Y ) = 0.5 + φ √ 1.04 = 0.5 − φ(1.96) = 0.025 Ta có X − 2Y ∼ N (5 − × 3, 12 + × 0.22 ) ∼ N (−1, 1.16) Suy 0+1 P (X > 2Y ) = 0.5 − φ √ 1.16 0.8212 Vì X, Y độc lập nên ta có P (X < 1; Y < 1) = P (X < 1) P (Y < 1)    −  1−3  = 0.5 + φ 0.5 + φ 0.02 =0 Bài tập 3.17 Trọng lượng người chồng tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng 70kg độ lệch chuẩn 9kg, trọng lượng người vợ tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng 55kg độ lệch chuẩn 4kg Hệ số tương quan trọng lượng vợ chồng Tính xác suất vợ nặng chồng Gọi X, Y "trọng lượng chồng" "trọng lượng vợ" ta có X ∼ N (70, 9), Y ∼ N (55, 4) Xác suất cần tính P (X < Y ) Ta biết X − Y biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có E[X − Y ] = E[X] − E[Y ] = 15 88 Để tính phương sai, sử dụng cơng thức sau V [X + Y ] = V [X] + V [Y ] + cov(X, Y ) Suy V [X − Y ] = V [X] + V [Y ] − cov(X, Y ) = 92 + 42 − × = 89 Như X − Y ∼ N (15, 89) Khi P (X < Y ) = 0.5 + φ − 15 √ 89 = 0.5 − φ(1.59) 0.0559 Chú ý: Công thức V [X + Y ] = V [X] + V [Y ] khơng cịn X, Y không độc lập Bài tập 3.18 Biến ngẫu nhiên liện tục X có hàm mật độ xác suất fX (x) Tìm hàm mật độ xác suất gY (y) biến ngẫu nhiên Y nếu: Y = X + 1, −∞ < x < ∞ Y = 2X, −a < x < a Ta có FY (y) = P (Y = X + < y) = P (X < y − 1) = FX (y − 1), −∞ < y < ∞ Đạo hàm hàm hợp, suy gY (y) = FY (y) = fX (y − 1), −∞ < y < ∞ Ta có FY (y) = P (Y = 2X < y) = P X < y = FX y , −2a < y < 2a Đạo hàm hàm hợp, suy gY (y) = FY (y) = 89 y fX , −2a < y < 2a 2 Bài tập 3.19 Giả sử trường đại học, sinh viên đạt điểm X kiểm tra khiếu toán học điểm Y kiểm tra khiếu âm nhạc số khoảng từ đến Giả sử X Y phân phối theo hàm mật độ sau fX,Y (x, y) =      (2x + 3y), < x, y < 1,     0, trái lại Tính tỷ lệ sinh viên đại học đạt điểm cao 0,8 kiểm tra khiếu toán Giả sử điểm số sinh viên kiểm tra khiếu âm nhạc 0,3 Tính xác suất để điểm anh kiểm tra khiếu toán học lớn 0,8 Giả sử điểm số sinh viên kiểm tra khiếu tốn 0,3 Tính xác suất để điểm anh kiểm tra khiếu âm nhạc lớn 0,8 Gọi A "điểm cao 0.8 thi Tốn" Ta có 33 dy P (A) = P (X > 0.8) = (2x + 3y) dx = 125 0.8 0.264 Cho Y = 0.3, ta có P (X > 0.8 | Y = 0.3) = 0.8 (2x + 0.9) dx = 0.216 Cho X = 0.3, ta có P (Y > 0.8 | X = 0.3) = 0.8 (0.6 + 3y) dy = 0.264 Bài tập 3.20 Một mảnh đất phẳng có hình tam giác vng với bờ phía nam dài 200m, bờ phía đơng dài 100m Ta quan tâm đến điểm mà hạt giống rơi từ cao xuống tiếp đất Giả sử hạt giống nằm ranh giới mảnh đất với tọa độ X Y phân bố bề mặt tam giác vng Tìm c với c giá trị hàm mật độ xác suất điểm nằm ranh giới mảnh đất Tìm hàm mật độ xác suất biên X Y Tìm hàm mật độ xác suất Y biết X = x tính P (0, ≤ Y ≤ 0, | X = 0, 5) 90 Vì tọa độ X Y phân bố bề mặt tam giác vng nên ta phải có fXY (x, y) = S S = 10000 diện tích tam giác vng +∞ +∞ 1 fXY (x, y) dxdy = Như vậy, c = = Điều suy từ S 10000 −∞ −∞ Từ hình vẽ, ta thấy miền tam giác vuông D = (x, y) ∈ R2 | ≤ x ≤ 200; ≤ y ≤ y= x x 100 C A X=x 200 Hàm mật độ xác suất biên fX (x) +∞ fX (x) = fX,Y (x, y) dy =            −∞ x x   , ≤ x ≤ 200, dy, ≤ x ≤ 200, 20000 = 10000   0, trái lại 0, trái lại  Hàm mật độ xác suất biên fY (y)  2y      +∞ fY (y) = −∞ fX,Y (x, y) dx =      y   , ≤ y ≤ 100, dx, ≤ y ≤ 100, 10000 =  5000  0, trái lại 0, trái lại  Biết X = x, Y biến ngẫu nhiên phân phối AC (xem hình vẽ) Sử dụng tính chất +∞ −∞ +∞ −∞ fY |X (y | x) dxdy = suy fY |X (y | x) = , X>0 x Ta có 0.25 P (0.1 ≤ Y ≤ 0.7 | X = 0.5) = fY |X (y | 0.5) dx = D∩{0.1≤Y ≤0.7} 91 0.1 dx = 0.6 0.5 ... (A B) Bài tập 1.36 Một tổ có 15 sinh viên có sinh viên học giỏi mơn "Xác suất thống kê" Cần chia làm nhóm, nhóm sinh viên Tính xác suất để nhóm có sinh viên học giỏi mơn "Xác suất thống kê" Gọi... 0.5026 Bài tập 1.59 Trong học kỳ I năm học 2018 - 2019, sinh viên phải thi học phần Xác suất để sinh viên thi đạt học phần lần thi 0,8 Nếu thi không đạt học phần phải thi lại học phần Tính xác suất. .. phép tính xác suất 1.1 Quan hệ phép tốn kiện Giải tích kết hợp 1.2 Định nghĩa xác suất 1.3 Xác suất điều kiện Công thức cộng, nhân xác suất Công 1.4 Công thức xác suất đầy