Tích phân & ứng dụng

§2 TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân - Cho hàm số f ( x ) liên tục K a, b  K Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) K F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân f ( x ) từ a đến b kí hiệu b  f ( x ) dx Khi a b b a a I =  f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a ) , (a cận dưới, b cận trên) - Đối với biến số lấy tích phân, chọn chữ số khác thay cho x nghĩa là, b b a a I =  f ( x ) dx =  f ( t ) dt = = F ( b ) − F ( a ) (không phụ thuộc biến mà phụ thuộc cận) Tính chất tích phân (1) (3) b a a b  f ( x ) dx = − f ( x ) dx  f ( x ) dx = b b a a a   f ( x )  g ( x )dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx  b b a a (2)  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx, với k  a b b (5) a (4) b c b a a c  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx b b b b b a a a a a f  ( x ) dx = f ( x ) ,  f  ( x ) dx = f  ( x ) ,  f  ( x ) dx = f  ( x ) , a Dạng toán Tích phân & tính chất tích phân Nhóm Tích phân BT 1.Tính tích phân sau: a) Tính 3 1  ( 3x − x + 5)dx = ( x − x + 5x ) = 14 − = 20 b) Tính  ( 4x − 3x + 10 ) dx = −2 (x ) c) Tính + x dx = d) Tính  x ( x + 1) dx = e) Tính dx  (1 + x ) = 1  f) Tính   x +  dx = x 2 3  g) Tính   −  dx = x x  1 h) Tính  e3 x dx = 2018  i) Tính x dx = j) Tính dx  x+6 = dx  − 3x = k) Tính 1 l) Tính  ( x + 1) dx = m) Tính  (1 − 3x ) 10 dx = n) Tính dx  ( x − 1) = dx = o) Tính  (1 − x ) m e p) Tìm số thực m thỏa mãn x +1 dx = e − −1 m  ( x + 5) dx = q) Tìm số thực m thỏa mãn r) Tìm số thực m thỏa mãn  m2 ( − x3 ) dx = −549 2 s) Tìm số thực m thỏa mãn  (3 − 2x ) m m t) Tìm số thực m thỏa mãn  ( 3x dx = 122 − 12 x + 11) dx = u) Tìm số thực m thỏa mãn   m2 + ( − 4m ) x + x3  dx =  xdx BT Tính tích phân sau:  a) Tính  sin xdx =  a b) Biết  sin x cos xdx = Tìm a m c) Có số nguyên m  ( 0; 2018 ) thỏa  cos xdx = 0 2   cos  3x −  d) Tính 2   dx =   e) Biết I =  sin xdx = a + b với a, b  Tính giá trị P = ab + b − a  f) Tính dx   cos x =  − sin x a + b −c với a, b, c  Tính P = a + b3 + abc  sin x dx = g) Biết  h) Tính   cos dx = a + b với a, b  Tính giá trị P = ab − a + b x sin x  i) Tính  tan  xdx =  j) Tính  cot xdx =   k) Tính  sin xdx =   l) Tính  cos xdx =   m) Biết  sin x sin xdx = a + b ; với a, b số nguyên Tính a + b 10  n) Tính  sin x sin xdx =  o) Tính  sin x cos xdx =  p) Tính  sin x cos xdx =  q) Tính  cos 3x cos xdx =  r) Tính  cos x cos xdx =  s) Tính  sin xdx = BT Tính tích phân sau: x − 1dx = a −1 với a  Tính a − b3 b − xdx = a− b với a, b số nguyên dương Tính P = ab + a + b a) Biết  b) Biết  c) Biết  3x − 5dx = a − 53 b với a, b số nguyên Tính P = a.b + a − b d) Tính  − 4xdx = −1 e) Biết  −5 f) Tính  dx = − 3x 4dx = x +1 + x −1 −2 g) Tính 2dx = a − b với a, b số nguyên dương P = ab + a + b 2x −1  xdx = x + − 3x +  h) Tính  i) Tính xdx = x + + 3x + j) Biết dx = a − b − c với a, b, c  x + x x +1  ( x + 1)  ( x + 3) dx = x − x x+3 dx = x + + ( x + 1) x + k) Tính  ( x + 2) l) Tính + Tính P = a + b + c Nhóm Tích phân hàm số hữu tỷ BT Tính tích phân sau: dx  3x − = a ln b với b  Tính S = a a) Biết + b 2x + dx = a ln + b với a, b  Tính P = a + 2b + 2a − 2b 2− x  b) Biết 2x −1 dx = a + b ln với a, b  Tính P = ab − a + b x +1  c) Biết x2 d) Biết  dx = a + ln b với a, b  Tính S = 2a + b + 2b x +1 x3 a e) Biết  dx = + b ln + c ln 2, với a, b, c  Q Tính S = 2a + 4b + 3c x+2 3x + x − f) Biết  dx = a ln + b, với a, b  Tính giá trị S = a + 4b x−2 −1 x2 + x + b 3 x + dx = a + ln với a, b số nguyên Tính S = a − 2b g) Biết x  ( x + 1) h) Tính dx = dx = i) Tính x  ( x + 2) j) Biết x 3x − a dx = 3ln − với a, b  + 6x + b P = 2a + 2b − ab + a phân số tối giản Tính giá trị biểu thức b   k) Biết   −  dx = a ln + b ln với a, b  Tính S = a + b − ab x + x +  0 l) Biết x dx = a ln + b ln + c ln với a, b, c  Q Tính S = −2a + b + 3c −x x m) Biết dx = a ln + b ln với a, b, c  Tính S = a + b − ab + 3x n) Biết xdx  ( x + 1)( x + 1) = a ln + b ln + c ln với a, b, c  Tính S = a + b + c 1 o) Biết x dx = a ln + b ln với a, b  Tính S = a + b − 5x + p) Biết  −2 x 2 q) Biết x 2 r) Biết x − 2x dx = a ln + b ln với a, b  Tính a − 3ab + 3x + x −1 dx = a ln + b ln với a, b  Tính P = ab + 3a − a + 4x + s) Biết dx = a ln + b ln + c ln với a, b, c  Tính 2a + b + 2c + 3x − 1 a  x ( x + 1) dx = + ln b với a, b  + a phân số tối giản Tính a + 2b b nhóm Tính chất tích phân b BT Bài tốn sử dụng tính chất  c b b b a c a a f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx,  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx a a) Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn  0;10 thỏa mãn 10  f ( x ) dx = 10 Tính P =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Lời giải tham khảo 10 10 0 Ta có: =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx 10 10 6  =  f ( x ) dx + +  f ( x ) dx  P =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = b b) Cho  a f ( x ) dx = b  c  f ( x )dx = 2 c f ( x ) dx = với a  b  c Tính I =  f ( x ) dx a c) Cho hàm y = f ( x ) liên tục f ( x ) dx = 2017, f ( x ) dx = 2018 Tính  thỏa mãn 4  f ( x ) dx = d) Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục  thỏa  f ( x ) dx = f ( x ) dx = Tính  f ( x ) dx = e) Biết f ( x ) hàm số liên tục  thỏa mãn f ( x ) dx = 4,  f ( t ) dt = −3 Hãy tính 2   f ( v ) − 3 dv = f) Cho f ( x ) dx = 10  4 2  g ( x ) dx = Tính tích phân I =  3 f ( x ) − 5g ( x ) dx 4 g) Cho  f ( x ) dx = 5,  f ( t ) dt = −2  g ( u ) du = Tính I =   f ( x ) + g ( x )  dx −1 −1 −1 h) Cho tích phân   4 0  f ( x ) dx = a Tính tích phân I =  f ( x ) dx = Tính  f ( x ) dx =  −1   f ( x ) + 2sin x  dx 2 −1 −1  g ( x ) dx = −2 Tính tích phân I =   x + f ( x ) − 3g ( x )dx −1 −1  f ( x ) dx = 10  f ( x ) dx = Tính  f ( x ) dx k) Cho l) Cho dx theo a j) Cho cos x   i) Biết f ( x ) cos x −  f ( x ) dx = Tính   x − f ( x )  dx = m) Cho 2  f ( x ) dx =  e x − f ( x )  dx = ea − b Tìm a b b BT Bài tốn sử dụng tính chất  a f  ( x ) dx = f ( x ) b a b b a a = f ( b ) − f ( a ),  f  ( x ) dx = f  ( x ) ,… a) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đoạn 1; 2 , f (1) = f ( ) = Tính  f  ( x ) dx Lời giải tham khảo Sử dụng tính chất định nghĩa có  f  ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f (1) = − = 1 b) Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục 1; 4 , f (1) =  f  ( x ) dx = Tính f ( ) c) Cho f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 1;3 , f ( 3) =  f  ( x )dx = Tính f (1) d) Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm cấp hai đoạn 1;3 , f  (1) = f  ( 3) = m Tìm m để  f  ( x ) dx = e) Biết f (1) = 12, f  ( x ) hàm số liên tục 1; 4  f  ( x ) dx = 17 Tính f ( ) f) Cho hàm f ( x ) có đạo hàm  −3;5 , f ( −3) = f ( ) = Tính  −3 f  ( x ) dx g) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp  −3; 2 , f  ( −3) = f  ( ) = Tính giá trị tích phân  −3 f  ( x ) dx = BT Tính tích phân phương pháp đổi biến hàm ẩn:  a) Cho f ( x ) liên tục  f ( x ) dx = 2017 Tính I =  f ( sin x ) cos xdx 0 Lời giải tham khảo Đặt t = sin x  dt = cos xdx  cos xdx = dt Đổi cận Khi I = x =  t =     x =  t = 1 1 2017 f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  20 20 Cần nhớ: Đổi biến phải đổi cận b) Cho  f ( x ) dx = 16 Tính tích phân I =  f ( x ) dx c) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn 2017  f ( x ) dx = Tính tích phân d) Cho  e) Biết  1  f ( 2017 x ) dx f ( x ) dx = Tính I =  f ( x ) dx f ( 3x − 1) dx = 20 Tính I =  f ( x ) dx f) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục khoảng 1; 2 thỏa mãn  f ( x) f ( x)  f  ( x ) dx = 10 dx = ln Biết hàm số f ( x )  0, x  1; 2 Tính f ( ) g) Cho hàm f ( x ) có đạo hàm 1; 2 , f ( ) = f ( ) = 2018 Tính I =  f  ( x ) dx   h) Cho hàm số f ( x ) liên tục có  f ( x ) dx = Tính I =   f ( x ) − sin x  dx i) Cho tích phân  f ( x ) dx = a Hãy tính tích phân I =  x f ( x + 1) dx theo a j) Cho f ( x ) liên tục thỏa  f ( x ) dx = x   f ( sin x ) cos xdx = Tính tích phân I =  f ( x ) dx  k) Cho hàm số f ( x ) liên tục có  f ( tan x ) dx =  x2 f ( x ) x2 + dx = Tính tích phân I =  f ( x ) dx l) Cho f ( x ) hàm liên tục a  Giả sử với x   0; a  , ta có f ( x )  a dx + f x ( ) f ( x ) f ( a − x ) = Tính I =  BT Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần hàm ẩn: a) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm 1; 2 thỏa f (1) = 0, f ( ) =  f ( x ) dx = 1 I =  x f  ( x ) dx Lời giải tham khảo 2  u = x  du = dx Chọn   I = xf ( x ) −  f ( x ) dx = f ( ) − f (1) − =  dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) b Lưu ý: Tùy vào toán mà ta cần chọn u dv cho  vdu đơn giản a Tính b) Cho hàm số f ( x ) có nguyên hàm F ( x ) 1; 2 , F ( ) =  F ( x ) dx = Tính I =  ( x − 1) f ( x ) dx c) Cho hàm f ( x ) liên tục 0 f ( ) = 16,  f ( x ) dx = Tính I =  x f  ( x ) dx d) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn  0; 2 thỏa mãn  f ( x ) dx = f ( ) = Tính tích phân I =  f  ( x ) dx e) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa  f  ( x ).ln  f ( x ) dx = f (1) = 1, f ( )  Tính f ( )  0;1 f) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn thỏa  ( x + 1) f  ( x ) dx = 10 f (1) − f ( ) = Tính tích phân I =  f ( x ) dx g) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện 1  x f  ( x ) dx = 12 f (1) − f (1) = −2 Tính tích phân I =  f ( x ) dx 0 h) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  xe f ( x) f x f  ( x )dx = f ( 3) = ln Tính I =  e ( ) dx 0 i) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa f (1) = 4,  xf ( x ) dx = 223 Tính tích phân 10 I =  x f  ( x ) dx 1 j) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa f (1) = 0,  x f ( x ) dx = Tính Tích phân I =  x3 f  ( x ) dx k) Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;3 thỏa f ( 3) = 5461  x f ( x ) dx = 120 Tính tích 3 phân I =  x f  ( x ) dx b l) Cho hàm số f ( x ) thỏa  x f  ( x ) dx = 4, f  ( a ) = −2, f  (b ) = với a, b số thực dương a 4a 9b f ( a ) = f ( b ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + 3b + 2a + m) (Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT câu 50 năm 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 1 0 x f ( x ) dx = Tính  0;1 thỏa f (1) = 0,   f  ( x ) dx =  f ( x ) dx u = f ( x )  du = f  ( x ) dx 1  Cách giải Ta có: =  x f ( x ) dx Chọn  3 dv = x dx  v = x  1 1 1 Suy ra: =  x f ( x ) dx = x3 f ( x ) −  x3 f  ( x ) dx   x f  ( x ) dx = −1 3 30 0 1 0   x f  ( x ) dx = −7   x3 f  ( x ) dx = −   f  ( x )  dx   f  ( x )  dx =  ( ) 2 x f ' ( x ) +  f  ( x )  dx =   f  ( x ) 7 x + f  ( x )  dx = k  x3 + f  ( x ) =  f  ( x ) = −7 x3  f ( x ) =  f  ( x ) dx = −  x 3dx = − x + C 7 x4 + Vì f (1) =  − + C =  C =  f ( x ) = − 4 4 Vậy   x4   x5  f ( x ) dx =   − +  dx =  − + x = 4  20  0 u = f ( x )  du = f  ( x ) dx 1  Cách giải Ta có =  x f ( x ) dx Chọn  3 dv = x dx  v = x   Suy ra: 1 1 1 =  x f ( x )dx = x3 f ( x ) −  x f  ( x ) dx   x f  ( x ) dx = −1 3 30 0 1    f  ( x )  dx = 0   Ta lại có: 2  x f  ( x ) dx = −14 ⎯⎯ →   f ' ( x ) + x  dx = 0  1   ( x3 ) dx =  1    f  ( x ) + x  dx  0  f  ( x ) = −7 x Mà  f  ( x ) + x       f  x + x3  dx =    ( ) 0 Ta có: f ( x ) =  f  ( x ) dx = −  x 3dx = − x + C 7 x4 Vì f (1) =  − + C =  C =  f ( x ) = − + 4 4 Vậy   x4   x5  f ( x ) dx =   − + dx =  − + x = 4  20  0 n) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa f (1) = 4,   f  ( x )  dx = 36 1 0 xf ( x ) dx = Tính tích phân  f ( x ) dx o) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  0; 2 thỏa f ( ) = 3,   f  ( x )  dx = 2 0 x f ( x ) dx = Tính tích phân 2  f ( x ) dx p) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa f (1) = 4,   f  ( x ) dx = 1 0 xf ( x ) dx = − Tính tích phân  f ( x ) dx q) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  0; 2 thỏa f ( ) = 6,   f ' ( x ) dx = 2  xf ( x ) dx = 17 Tính tích phân 2  f ( x ) dx BT Cho hàm số f ( x ) liên tục lẻ đoạn  − a; a  Chứng minh: I = a  f ( x ) dx = −a a Chứng minh Ta có I =  a f ( x ) dx =  −a −a a f ( x ) dx +  f ( x ) dx Xét tích phân 0  f ( x ) dx −a  x = −a → t = a Đặt x = −t  dx = − dt Đổi cận:  x = → t = Do f ( x ) hàm số lẻ liên tục  − a; a  nên f ( − x ) = − f ( x )  f ( −t ) = − f ( t )   −a 0 a a a a a 0 f ( x ) dx = −  f ( −t ) dt = −  − f ( −t )  dt =  f ( t ) dt = −  ff ( t ) dt = −  f ( x ) dx a  Vậy I = −a a a 0 f ( x ) dx = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = (đpcm) a) Cho f ( x ) hàm số lẻ thỏa mãn  −2 f ( x ) dx = Tính tích phân I =  f ( x ) dx 2017  b) Tính tích phân I = x 2019 x + 2018dx −2017  c) Tính tích phân I =  sin x − + x 2018 dx  d) Biết sin x  − 1+ x + x a − b với a, b số nguyên dương Tính T = ab dx = BT 10 Cho hàm số f ( x ) liên tục chẵn đoạn  − a; a  Chứng minh rằng: a  −a a f ( x ) dx =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx −a Chứng minh: I = a a a −a −a  1+ b −a a −a a f ( x ) dx =  f ( x ) dx −a −a  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = A + B x = −a  t = a   f ( x ) dx Đặt x = −t  dx = −dt Đổi cận  x =  t = 0 Xét A = x a dx =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx a Ta có I = f ( x) a −a Do f ( x ) hàm số chẵn liên tục  − a; a  nên f ( − x ) = f ( x )  f ( −t ) = f ( t ) a a a a 0 Khi đó: A = −  f ( −t ) dt =  f ( −t ) dt =  f ( − x ) dx =  f ( x ) dx = B a Suy A = B = a I nên I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx (đpcm) −a −a f ( x) a Chứng minh: I =  1+ b x a dx = −a a f ( x ) dx =  f ( x ) dx với  b  a  −a +  x = −a  t = a Đặt x = −t  dx = − dt Đổi cận  x =  t = f ( −t ) a a f (t ) bt f ( t ) bx f ( x) I = − dt =  dt =  dt =  dx 1 + b−t + bt 1+ bx a −a + −a −a bt −a a a Cộng vế cho I  I =  bx f ( x ) + bx −a a I = a dx + f ( x)  1+ b x a dx = −a  −a (b x + 1) f ( x ) 1+ bx a dx =  f ( x ) dx −a a f ( x ) dx =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx (đpcm) −a −a a) Cho hàm số f ( x ) hàm chẵn liên tục , thỏa mãn I =  f ( x ) dx = Tính A =  f ( x ) dx −3 Tính B =  f ( 3x ) dx −1  Tính C =  cos x f ( 3sin x ) dx − b) Cho f ( x ) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn  −6; 6 Biết  f ( x ) dx = −1  f ( −2 x ) dx = Tính I =  f ( x ) dx −1 c) Cho f ( x ) hàm số chẵn liên tục đoạn  −1;1 thỏa mãn  f ( x ) dx = Tính tích phân −1 I= f ( x) 2 −1 x +1 dx d) Tính tích phân I = x 2018  e x + dx −3 e) Tính tích phân I =  ( 2018 −1 x dx + 1)( x − )  f) Tính tích phân I = cos x dx x +1  2917 −  g) Tính tích phân I =  − sin x + cos x dx 6x + BT 11 Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục đoạn  a; b  Chứng minh rằng: b 1) Nếu  f ( x ) dx = k b  f ( a + b − x ) dx = k a a 2) Nếu f ( a + b − x ) = − f ( x ) b  f ( x ) dx = a 3) Nếu f ( a + b − x ) = f ( x ) b  x f ( x ) dx = a a+b f ( x ) dx a b Hướng dẫn chứng minh b Chứng minh: Nếu  f ( x ) dx = k b  f ( a + b − x ) dx = k a a Đặt t = a + b − x  dt = − dx Đổi cận: x = a  t = b x = b  t = a Suy b a b a b a  f ( a + b − x ) dx = − f (t ) dt =  f ( x ) dx = k Chứng minh: Nếu f ( a + b − x ) = − f ( x ) (đpcm) b  f ( x ) dx = a Đặt t = a + b − x  dt = − dx Đổi cận: x = a  t = b x = b  t = a Suy b a b a b a  f ( a + b − x ) dx = − f (t ) dt =  f ( x ) dx Mà f ( a + b − x ) = − f ( x ) nên ta có b b b b a a a a  f ( a + b − x ) dx = − f ( x ) dx =  f ( x ) dx   f ( x ) dx = (đpcm) a+b Chứng minh: Nếu f ( a + b − x ) = f ( x )  x f ( x ) dx = f ( x ) dx a a b b Đặt t = a + b − x  dt = − dx Đổi cận: x = a  t = b x = b  t = a Khi b b a b a b a  xf ( x ) dx = − ( a + b − t ) f ( a + b − t ) dt =  ( a + b − t ) f ( a + b − t ) dt =  ( a + b − x ) f ( a + b − x ) dx a f ( a +b − x ) = f ( x ) = b b a a ( a + b )  f ( x ) dx −  xf ( x ) dx b b b a a a Suy 2 x f ( x ) dx = ( a + b )  f ( x ) dx   x f ( x ) dx = 2018  f ( x ) dx = f ( x ) a) Cho tích phân a+b f ( x ) dx (đpcm) a b hàm số liên tục đoạn 1; 2018 Tính tích 2018 phân I =  f ( 2019 − x ) dx b) Cho tích phân  f ( x ) dx = 10 f ( x ) hàm số liên tục đoạn  −1; 2 Tính tích phân −1 I =  f (1 − x ) dx −1 c) Cho f ( x ) hàm số liên tục  a; b  thỏa b b a a  f ( x ) dx = Tính  f ( a + b − x ) dx  d) Biết  ln (1 + tan x ) dx =  e) Biết  x sin xdx = f) Biết a b với a, b, c  c Tìm phần nguyên a + 2 + 10b − c   0  xf ( sin x ) dx = 2 Tính tích phân I =  f ( sin x ) dx  g) Biết a a ln c với phân số tối giản c  Tính a + 9b − c b b   f ( sin x ) dx = Tính tích phân I =  xf ( sin x ) dx  sin n xdx  0 sin n x + cos n x = với n  h) Chứng minh  i) Tính tích phân + xdx  sin x + BT 12 Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục a  −a f ( x ) dx = thỏa mãn mf ( − x ) + nf ( x ) = g ( x ) a g ( x ) dx m + n −a  − • Hệ quả: Nếu f ( x ) liên tục  0;1   2 − •   x f ( sin x ) dx =  x f ( cos x ) dx =   −  f ( sin x ) dx  2 −  f ( cos x ) dx   a) Cho f ( x ) liên tục  f ( x ) dx thỏa f ( − x ) + 2017 f ( x ) = cos x Tính I = − thỏa f ( x ) + f ( − x ) = b) Cho f ( x ) liên tục 3 3 − 2 Tính I =  f ( x ) dx + x2 −2 thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = + cos x , x  Tính tích c) Cho hàm số f ( x ) liên tục phân I =  f ( x ) dx a +T với f ( x ) hàm xác định, liên tục  f ( x ) dx = k BT 13 Cho tích phân tuần hồn với a chu kỳ T tích phân T a +T 0  f ( x ) dx =  f ( x ) dx = k a +T T a +T a a T Chứng minh: Ta có I = a +T Xét J =  T x = T → t = f ( x ) dx Đặt t = x − T Đổi cận  x = a + T → t = a a +T Khi đó: J =  a +T  a a a a 0 f ( x ) dx =  f ( t + T ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx T I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx T a T a 0 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx = k (đpcm) Lưu ý: Hàm số f ( x ) có chu kỳ T f ( x + T ) = f ( x ) với T số dương nhỏ a + a) Cho tích phân I =  f ( x ) dx = 2018 với f ( x ) a  với chu kỳ  Tính tích phân I =  f ( x ) dx b) Tính tích phân I = 5 sin xdx x + sin x   cos 2017 c) Tính tích phân I =  − cos xdx hàm xác định, liên tục tuần hồn Nhóm Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối BT 14 Tính tích phân sau: a) Tính tích phân I =  x − x dx Ta có: x − x =  x = x = Bảng xét dấu x − x đoạn  0; 2 :  x3 x   x3 x  Suy ra: I =  ( − x + x ) dx +  ( x − x ) dx =  − +  +  −  =  20  21 b) Tính tích phân I =  x − x dx c) Tính tích phân I =  x + x − dx d) Tính tích phân I =  x3 − x + xdx  e) Tính tích phân  cos x sin xdx 2 f) Tính tích phân I =  − cos xdx  g) Tính tích phân I =  tan x + cot x − 2dx  h) Tính tích phân I =  x − 2− x dx −1 i) Tính tích phân I =  x − x + dx −2 ... Tính tích phân I =  x − x dx c) Tính tích phân I =  x + x − dx d) Tính tích phân I =  x3 − x + xdx  e) Tính tích phân  cos x sin xdx 2 f) Tính tích phân I =  − cos xdx  g) Tính tích phân. .. tích phân −1 I= f ( x) 2 −1 x +1 dx d) Tính tích phân I = x 2018  e x + dx −3 e) Tính tích phân I =  ( 2018 −1 x dx + 1)( x − )  f) Tính tích phân I = cos x dx x +1  2917 −  g) Tính tích. .. a + a) Cho tích phân I =  f ( x ) dx = 2018 với f ( x ) a  với chu kỳ  Tính tích phân I =  f ( x ) dx b) Tính tích phân I = 5 sin xdx x + sin x   cos 2017 c) Tính tích phân I =  −