Lý thuyết rủi ro ứng dụng trong bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THÚY HỒNG LÝ THUYẾT RỦI RO ỨNG DỤNG TRONG BẢO HIỂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THÚY HỒNG LÝ THUYẾT RỦI RO ỨNG DỤNG TRONG BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI KHỞI ĐÀM PGS TS TỐNG ĐÌNH QUỲ HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu, kết nghiên cứu đƣợc trình bày luận án hoàn toàn trung thực chƣa đƣợc công bố công trình khác TẬP THỂ HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU SINH PGS.TS Bùi Khởi Đàm Nguyễn Thị Thúy Hồng PGS.TS Tống Đình Quỳ i LỜI CẢM ƠN Luận án đƣợc hồn thành Trƣờng Đại học Bách khoa Hà Nội, dƣới hƣớng dẫn PGS.TS Bùi Khởi Đàm PGS.TS Tống Đình Quỳ Tác giả xin đƣợc bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tình hƣớng dẫn, bảo, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu viết luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội, Lãnh đạo Viện Toán Ứng dụng Tin học, Viện đào tạo Sau đại học – Trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội, tập thể thầy giáo, cô giáo Viện Toán Ứng dụng Tin học, động viên, giúp đỡ, tạo nhiều điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô mơn Tốn ứng dụng thƣờng xun giúp đỡ việc trau dồi, mở rộng thêm kiến thức khoa học, tạo điều kiện để tác giả nghiên cứu tốt giúp tác giả hoàn thành thủ tục bảo vệ luận án Cuối cùng, tác giả xin gửi lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình, họ hàng, bạn bè thân thiết, ngƣời hiểu đứng bên cổ vũ tác giả Hà Nội, 10 /2015 NCS: Nguyễn Thị Thúy Hồng ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN a.s Sự hội tụ hầu chắn Sự hội tụ thep phân phối D   Sự hội tụ theo trung bình bậc p L   P Sự hội tụ theo xác suất P   𝒢 ( ,  ) Biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma E ( ) Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ (  ) Hàm Gamma LN (  ,  ) Biến ngẫu nhiên có phân phối Loga chuẩn 𝒩(0,1) Biến ngẫu nhiên chuẩn tiêu chuẩn ℕ Tập hợp số tự nhiên ℝ Tập hợp số thực iii DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN ÁN Bảng Trang Bảng 34 Bảng 60 Bảng 61 Bảng 65 iv MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG iii LUẬN ÁN DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN ÁN iv MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Xây dựng không gian xác suất Kolmogorov 1.1.1.1 Đại số 1.1.1.2   đại số 1.1.1.3 Không gian đo 1.1.1.4 Định nghĩa hàm tập 1.1.1.5 Độ đo xác suất 1.1.1.6 Khơng gian xác suất Kolmogorov 1.1.2 Tính chất xác suất 10 1.1.3 Xác suất có điều kện 11 1.2 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất v 11 1.3 Kỳ vọng phƣơng sai biến ngẫu nhiên 12 1.3.1 Trƣờng hợp rời rạc 12 1.3.2 Trƣờng hợp liên tục 12 1.4 Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 13 1.4.1 Hội tụ theo xác suất 13 1.4.2 Hội tụ hầu chắn 13 1.4.3 Hội tụ trung bình 14 1.4.4 Hội tụ theo phân phối 14 1.5 Quá trình ngẫu nhiên 14 1.5.1 Định nghĩa ký hiệu 14 1.5.2 Phân phối hữu hạn chiều 15 1.5.3 Tính chất họ phân phối hữu hạn chiều 16 1.6 Xích Markov 16 1.6.1 Tính Markov 16 1.6.2 Ma trận xác suất chuyển 17 1.6.3 Phƣơng trình Chapman - Kolmogorov 18 1.6.4 Phân phối hữu hạn chiều 19 1.6.5 Xích Markov có hữu hạn trạng thái 20 1.7 Mơ thí nghiệm ngẫu nhiên máy tính 1.7.1 Sơ lƣợc phƣơng pháp Monter-Carlo vi 21 21 1.7.2 Thể đại lƣợng ngẫu nhiên CHƢƠNG CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT RỦI RO 2.1 Các cơng thức tính xác xác suất rủi ro 2.1.1 Cơng thức tính xác xác suất rủi ro cho mơ hình 23 25 25 28 rủi ro có dãy tiền thu dãy tiền chi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, ngận giá trị nguyên không âm 2.1.2 Cơng thức tính xác xác suất rủi ro cho mơ hình 35 rủi ro có dãy tiền thu chi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov 2.2 Ƣớc lƣợng xác xác suất rủi ro cho mơ hình rủi ro có dãy tiền 44 chi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên khơng âm, độc lập, phân phối có phân phối liên tục CHƢƠNG ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP MONTE-CARLO TÍNH 49 XÁC SUẤT RỦI RO 3.1 Giới thiệu 49 3.2 Phƣơng pháp Monte-Carlo tính xấp xỉ giá trị kỳ vọng đánh 51 giá sai số 3.3 Phƣơng pháp Monte-Carlo tính xác suất rủi ro 3.3.1 Trƣờng hợp số tiền chi trả bảo hiểm lãi suất vii 57 58 dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối 3.3.2 Trƣờng hợp mơ hình rủi ro có dãy lãi suất phụ thuộc 62 Markov KẾT LUẬN CHUNG 67 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA 71 LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 PHỤ LỤC PSEUDOCODE MÔ PHỎNG CÁC KẾT QUẢ CỦA 78 LUẬN ÁN viii KẾT LUẬN CHUNG Luận án đạt kết chủ yếu sau đây: Trong việc nghiên cứu số mơ hình rủi ro với thời gian hữu hạn, luận án đưa cơng thức tính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) thời gian hữu hạn, cho mô hình rủi ro, khơng có tác động lãi suất trường hợp: - Trường hợp, dãy biến ngẫu nhiên ( X i )i1 (Yi ) i1 đại diện cho số tiền chi trả thu bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập Dãy ( X i )i 1 độc lập với dãy (Yi )i 1 Khi ta có cơng thức tính xác xác suất khơng rủi ro thời gian hữu hạn P (Tu  t  1)            P (Tu  t  1)    qk(1)1 qk(2) qk(tt ) kt 1  pi(1) pi(2) pi(t t )     k1 0 i  k  u  0( ki1ki i1t ) M  0i1 1i2 1k2 u   k0 0    0i  i k u    t t   Kết thể nội dung định lý 2.1 - Trường hơp riêng, dãy biến ngẫu nhiên ( X i )i1 (Yi ) i1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối cơng thức tính xác xác suất khơng rủi ro thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) cho hệ 2.1        P (Tu  t  1)   qk1 qk2  k1 qkt  kt 1    pi1 pi2 pit  ( ki  ki1 )  M  i1  k1  u  1i t  0i1  i2  k2 u  k0    i   i  k u   t t  67           Bên cạnh đó, chúng tơi đưa ví dụ số, minh họa cho cơng thức này, điều thể bảng - Khi không tồn số M thỏa mãn điều kiện định lý 2.1 ta có ước lượng xác suất không rủi ro khoảng thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) bất đẳng thức  0 ( ki  ki 1 )  M 1i t k0 0 qk qk  k qk  k t t 1         pi pi pi )   P Tu  t  u   00ii i k kuu     0i  i  k u  1 1 t 2 t t    ( ki  ki 1 )  M 1i t k0   qk qk  k qk k ( t t 1 i1  k1  u  i1  i2  k2  u pi pi pi )   t  i1   it  kt  u Kết thể nội dung nhận xét 2.2 - Khi trình chi trả bảo hiểm, thu bảo hiểm, ( X i )i1 (Yi )i 1 tương ứng xích Markov rời rạc, nhất, nhận giá trị ngun, khơng âm Khi đó, cơng thức tính xác xác suất khơng rủi ro thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) cho            P (Tu  t  1)    qk1 qk1 , k2  k1 qkt1  kt2 ,kt  kt1  pi1 pi1 ,i2 pit 1 ,it    i  k  u  0( ki1ki i1t )  M  0i1 1i2 1k2 u   k0     0i   i  k u    t t   Kết thể nội dung định lý 2.2 - Khi trình chi trả bảo hiểm, thu bảo hiểm ( X i )i1 (Yi )i 1 dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương (không thiết phải nguyên), độc lập, phân phối nhận hữu hạn giá trị Khi đó, cơng thức tính xác xác suất khơng rủi ro thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) cho 68   qn1 qn2 qnt     pm1 pm2 pmt  , n1 ,n2 , , nt 1  1m1  g1 1m2 g2 1mt gt  N P(Tu  t  1)   đó:   g1  max m1 : xm1  xM & xm1  u  yn1 ,   g  max  m2 : xm2  xM & xm2  u   ( ynk  xmk }  yn2  ,   k 1 ……… t 1   gt  max mt : xmt  xM & xmt  u   ( ynk  xmk }  ynt    k 1 Kết thể nội dung định lý 2.3 Trong việc nghiên cứu mơ hình rủi ro có dãy số tiền chi trả bảo hiểm ( X i )i1 dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối có phân phối liên tục, cịn dãy số tiền thu bảo hiểm tất định, tuyến tính theo thời gian Ta có ước lượng xác suất rủi ro khoảng thời gian hữu hạn (với sai số nhỏ tùy ý)  (1) (u, t )   (u , t ) ta có lim   (u, t )   (1) (u, t )    0 n Kết thể nội dung định lý 2.4 Trong việc áp dụng phương pháp Monte Carlo để ước lượng xác suất rủi ro Khi xét mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc, có tác động lãi suất, luận án sử dụng phương pháp Monte Carlo để ước lượng xác suất rủi ro  (u, T ) cho mơ hình rủi ro có tác động yếu tố lãi suất, số tiền thu bảo hiểm giả định số, cụ thể sau: - Dãy số tiền chi trả bảo hiểm X , X , , X T dãy biến ngẫu nhiên khơng âm, độc lập, có phân phối mũ phân phối loga chuẩn Lãi suất i1 , i2 , , iT dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn Xác suất rủi 69 ro thời gian hữu hạn  (u, T ) ước lượng theo thuật tốn 3.2 ví dụ mô số minh họa đưa bảng bảng tương ứng - Dãy số tiền chi trả bảo hiểm X , X , , X T dãy biến ngẫu nhiên độc lập, X t , t  1, 2, , T có phân phối Gamma tịnh tiến dạng   Y ( ,  ) Dãy lãi suất i1 , i2 , , iT xích Markov Xác suất rủi ro thời gian hữu hạn  (u, T ) ước lượng theo thuật toán 3.4 ví dụ mơ số minh họa giới thiệu bảng Các kết luận án cơng bố cơng trình [1], [2], [3], [4], [5], (xem danh mục cơng trình khoa học công bố luận án) Hướng nghiên cứu luận án cịn nhiều tốn mở chưa giải quyết, luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu phát triển sau: a Tính xác xác suất rủi ro cho mơ hình rủi ro nhị thức tổng qt với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc: m- phụ thuộc, phụ thuộc Copula b Ước lượng xác suất rủi ro mơ hình rủi ro có tác động lãi suất cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc: m – phụ thuộc, phụ thuộc Copula vv c Tính xác sác xuất rủi ro cho mơ hình rủi ro có dãy thu, chi trả bảo hiểm (khi có tác động lãi suất) dãy biến ngẫy nhiên liên tục Tác giả hy vọng toán sớm giải tương lai 70 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Thị Thúy Hồng (2013), Tính xác xác suất phá sản bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, Báo cáo Đại hội Tốn học Tồn quốc lần thứ 8, Nha Trang 2013 [2] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Thị Thúy Hồng (2014), Xác suất phá sản với mơ hình rủi ro nhị thức tổng qt hóa, Vietnam Journal Mathematical Applications, Vol 12, N.1, pp 25 – 42 [3] Bui Khoi Dam and Nguyen Thi Thuy Hong (2014), Finite time ruin probabilities for risk models with sequences of independent and continuously distributed random variables, J Stat Appl Pro Lett 1, No 3, 2014, pp 87 – 93 [4] Nguyễn Thị Thúy Hồng (2012), Ứng dụng phương pháp Monte Carlo để tính xác suất phá sản bảo hiểm, Vietnam Journal Mathematical Applications, Vol 10, N.1, 2012, pp 35 – 52 [5] Nguyen Thị Thuy Hong (2013), On finite-time ruin probabilities for general risk models, East-West J of Mathematics, Vol 15, N.1, pp 86 – 101 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hồng (2006), Một định lý mơ hình đổi dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc yếu, Tạp chí Kinh tế phát triển, Số đặc san Khoa Toán kinh tế, tr 93 – 95 [2] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008), Đánh giá xác suất thiệt hại trình rủi ro với gia số phụ thuộc, Tạp chí ứng dụng Tốn học, Tập VI, số 1, tr 93 – 104 [3] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008), Ước lượng xác suất thiệt hại số mơ hình rủi ro, thời gian rời rạc với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, Tạp chí ứng dụng Tốn học, Tập VI, số 2, tr 49 – 64 [4] Đặng Hùng Thắng (2005), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Quý Hỷ (2004) Phương pháp mô số Monte Carlo, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng (phần I), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Duy Tiến, Vũ viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục 72 Tiếng Anh [8] Albrecher, H.(1998), Dependent risks and ruin probabilities in Insurance IIASA Interim Report, IR – 98 – 072 [9] Asmussen, S (2000), Ruin probabilities, World Scientific, Singapore [10] Bui Khoi Dam (2005), Renewal sequenses of dependent random variables, Vietnam J Math Vol, 1, pp 73 – 83 [11] Bui Khoi Dam and Phung Duy Quang (2014), Finite – time ruin probabilities in a generalized risk processes under interest force, accepted Mathematica Aeterna Vol.4, No4 [12] Buhlman, H (1970), Mathematical methods in risk theory, Berlin Heidelberg - New York Springer [13] Cai, J (2002), Discrete time risk models under rates of interest, Probability in the Engineering and Informational Sciences, 16, pp 309 – 324 [14] Cai, J (2002), Ruin probabilities with dependent rates of nterest, Journal of Applied Probability, 39, N0 2, pp 312 – 323 [15] Cai, J and Dickson, D C M (2003), Upper bounds for ultimate Ruin probabilities in the sparre Andersen model with interest, Insurance: Mathematics and Economics, 32, pp 61 - 71 [16] Cai, J and Dickson, D C M (2004), Ruin probabilities with a Markov chain interest model, Insurance: Mathematics and Economics, 35, pp 513 - 525 [17] Cai, J (2007), On the time value of absolute ruin with debit interest, Journal of Applied Probability, 39, pp 343 – 359 [18] Cai, J and Dickson, D.C.M ( 2002), Ruin probabilities with a Markov chain interest model, Res Pap, N.101, ISBN 073402196, U Melboune Viet 3010, Australia 73 [19] Claude Lefèvre and Stephane Loisel On finite – time ruin probabilities for classical risk models, Scandinavian Actuarial Journal, 2008, 1, pp 41-60 [20] De Vylder, F E and Marceau, M., 1996, Classical numerical ruin probabilities, Scandinavian Actuarial Journal, 2, pp.109-123 [21] De Vylder, F E., 1997, La formule de Picard et Lefèvre pour la probabilité de ruine en temps finite, Bulletin Francais d’Actuariat, 1, pp 30-41 [22] De Vylder, F E., 1999, Numerical finite-time ruin probabilities by the Picard-Lefèvre formula, Scandinavian Actuarial Journal, , pp 375-386 [23] Dickson, D.C.M and Wates, H.R (1996) Ruin problem: Simulation or calculation? B.A.J, III, pp 727 – 470 [24] Embrechts, P., Kluppelberg, C and Mikosch, T (1997), Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin [25] Fishman, George S (1996), Monte Carlo: Concepts, algorithms and applications, Springer- Verlag, New York [26] Gaier, J and Grandist, P (2004), Ruin Probabilities and investment under interest force in the presence of regularly varying tails, North American Actuarial Journal, 11, pp 159 – 169 [27] Gerber, H U (1982), Ruin theory in the linear model, Insurance: Mathematics and Economics, 1, pp 177 – 184 [28] Grandell, J (1992), Aspects of risk theory, Springer, New York [29] Hipp, C and Schmidli, H (2004), Asymptotics of ruin probabilities for controlled risk processes in the small claim case, Scandinavian Actuarial Journal, pp 321 – 335 [30] Ignatov, Z G., Kaishev, V K and Krachunov, R S., 2001, An improved finite-time ruin probability formula and its Mathematica 74 implementation, Insurance: Mathematics and Economics, 29, 375386 [31] Ignatov, Z G., and Kaishev, V K., 2004, A finite-time ruin probability formula for continuous claim severities, Journal of Applied Probability, 41, 570-578 [32] Kluppelberg, C and Stadtmuller, U (1998), Ruin probabilities in the presence of heavy – tails and interest rates, Scandinavian Actuarial Journal, pp 49 – 58 [33] Konstantinides, D G., Tang, Q H and Tsitsiashvili, G S (2002), Two – sided bounds for ruin probability under constant interest force, Journal of Mathematical Sciences, Vol 123, N0 1, pp 3824 – 3833 [34] Muller, A and Pfug, G (2001), Asymptotic ruin probabilities for risk processes with dependent increments, Insurance: Mathematics and Economics, 728, pp – 12 [35] Musiela, M and Rutkowski, M (1997), Martingale methods in Financial Modeling, Springer [36] Nyrhinen, H (2001), Finite and infinite ruin probabilities in a stochastic economic environment, Stochastic processes and their Applications, 92, pp 265 - 285 [37] Paulsel, J (2002), On Cramer – like asymptotics for risk processes with stochastic return on investment, The Annals of Applied Probability, Vol 12, N0 4, pp 1247 – 1260 [38] Paulsel, J (2008), Ruin models with investement income, arXiv: 0806.4125v1 (math PR), 25, Jun 2008 [39] Promislow, S D (1991), The probability of ruin in a process with dependent increments, Insurance: Mathematics and Economics, 10, pp 99 – 107 75 [40] Picard, Ph and Lefèvre, Cl., (1997), The probability of ruin in finite time with discrete claim size distribition, Scandinavian Actuarial Journal, pp 58–69 [41] Ramlau – Hansen, H., (1888), A solvency study in non-life insurance Part Solvency margin requirements, Scandinavian Actuarial Journal, pp 35-59 [42] Ralf Korn, Elke Korn, and Gerald Kroisandt (2010), Monte Carlo methods and models in finance and insurance, Chapman & Hall/CRC Financial Mathematics Series [43] Schmidt, K.D (1995), Lectures on Risk Theory, Technische Universitat Dresden [44] Sundt, B and Teugels, J.L (1995), Ruin estimates under interest force, Insurance: Mathematics and Economics, 16, pp – 22 [45] Sundt, B and Teugels, J.L (1997), The adjustment function in ruin estimates under interest force, Insurance Mathematics and Economics 19, pp 85 – 94 [46] Tang Q (2004), The ruin probabilities of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp 229 - 240 [47] Tang Q (2005), Asymptotic ruin probabilities of the renewal model with constant interest force and reguler variation, Scandinavian Actuarial Journal, 1, pp – [48] Tang Q (2005), The finite time ruin probability of the compound Poisson model with constant interest force, Journal of Applied Probability, 42, pp 608 – 619 [49] Valdez, E A and Mo, K (2002), Ruin probabilities with dependent claims, Working paper, The University of New South Wales [50] Xu, L and Wang, R (2006), Upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive risk model with Markov chain interest rate, 76 Journal of Industrial and Management optimization, Vol N0 2, pp 165 – 175 [51] Yang, H (1999), Non-exponetial bounds for ruin probability with interest effect included, Scandinavian Actuarial Journal, 1, pp 66 – 79 [52] Yang, H and Zhang, L H (2003), Martinganle method for ruin probability in an autoregressive model with constant interest rate, Probability in the Engineering and Informational Sciences, 17, pp 183 – 198 [53] Yang, H and Zhang, L H (2006), Ruin problems for a discrete time risk model with random interest rate, Mathematical Method of Operations Research, 63, pp 287 – 299 [54] Yuen, K C., Wang, G and Wu, R (2006), On the renewal risk processes with stochastic interest, Stochastic Processes and their Applications, 116, pp 1496 – 1510 [55] Yuen, K C., Wang, G.(2005), Some ruin problems for a risk processes with stochastic interest, North American Actuarial Journal, 9, pp 129 – 142 77 Phụ lục PSEUDOCODE MÔ PHỎNG CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN A Pseudocode mô kết bảng Dữ liệu: - Các mảng p, q: Chuỗi xác suất P, Q - Các biến t, u, M - Biến tạm Sp: Chứa thông tin tổng tích dãy p ứng với lần tính tích dãy q - Biến KQ: Chứa kết tính tốn cuối - Mảng k, i: Chứa thông tin số k[n], i[m] với n = t, m = t Chương trình chính: Bắt đầu Nhập liệu cho t, u, M, p, q; Khởi tạo liệu cho mảng k (k[n] = với n = t; Gọi thủ tục DayK(1); Kết thúc chương trình; Thủ tục DayK(n): //Thủ tục dùng để sinh liệu cho số k ứng với lần tính tốn tích dãy q Bắt đầu Nếu n = { Lặp k[1] = 1; k[1]