lý thuyết rủi ro ứng dụng trong bảo hiểm

1 MỞ ĐẦU Bảo hiểm là biện pháp chia sẻ rủi ro của một người hay một số người cho cả cộng đồng những người có khả năng gặp rủi ro cùng loại, bằng cách mỗi người trong cộng đồng góp một số tiền nhất định vào một quỹ chung và từ quỹ chung đó bù đắp thiệt hại cho thành viên trong cộng đồng không may bị thiệt hại do rủi ro đó gây ra. Bảo hiểm được xem như là một cách thức chuyển giao rủi ro tiềm năng một cách công bằng từ một cá thể sang cộng đồng thông qua phí bảo hiểm. Bảo hiểm góp phần bảo đảm cho các quá trình tái sản xuất và đời sống xã hội được diễn ra bình thường. Ngày nay, bảo hiểm đã trở thành một ngành kinh doanh hết sức phát triển và dần trở nên một khái niệm quen thuộc với hầu hết mọi người. Ở nhiều quốc gia, mua bảo hiểm từ lâu đã là một việc làm không thể thiếu đối với người dân. Ở Việt Nam, bảo hiểm xuất hiện dưới hình thức sơ khai vào khoảng năm 1880. Những năm gần đây, ngành bảo hiểm, tài chính đã thực sự trở thành ngành kinh tế giữ vai trò trọng yếu, có vai trò điều chỉnh và thúc đẩy hoạt động của các ngành kinh tế khác và đã trở thành nơi tập trung của các ý tưởng, xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực tế khác nhau. Các vấn đề của bảo hiểm, tài chính đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học nói chung và lý thuyết xác suất và thống kê toán học nói riêng. Hiện nay, chúng ta đang được chứng kiến sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà kinh tế, tài chính và toán học, nhằm mục đích ứng dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, phân tích và tìm hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có các đề xuất và giải pháp phù hợp với quy luật. Trong cuộc sống sinh hoạt nói chung cũng như trong những hoạt động sản xuất, kinh doanh phục vụ cuộc sống, con người luôn gặp phải những tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ, ngẫu nhiên xảy ra, gây thiệt hại về tài 2 sản, con người Các tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ ấy gọi là rủi ro. Các công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần rủi ro cho chủ thể, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro (có thể dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản). Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm xảy ra rủi ro là nhu cầu cấp thiết đặt ra, đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Năm 1903, một công trình của Lundberg, F. đã đặt nền móng cho lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm, tiếp theo đó, Cramer, H. và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Mô hình cơ bản đầu tiên là mô hình rủi ro của Cramer – Lundberg, mô hình này thường liên quan đến các trường hợp chi trả bảo hiểm bình thường, và chưa được nghiên cứu nhiều cho các trường hợp phải chi trả bồi thường bảo hiểm lớn. Trong thời gian gần đây Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) được nghiên cứu và phát triển mạnh, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, kinh tế, tài chính. Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết này quan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại (hay xác suất rủi ro - Ruin Probability) trong các mô hình rủi ro. Đối với các mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập, chẳng hạn như ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro của tác giả Cramer – Lundberg với giả thiết về dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Chủ đề này cũng được rất nhiều tác giả khác quan tâm, thể hiện trong các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Asmussen [9], Buhlman, H. [12], De Vylder, F.E. [20], [21], [22], Embrechts, P. [24], Ignatov [30], [31], Kluppelberg, C. [24], Lèfèvre, Cl. [19], [40], Loisel, S. [19], Mikosch, T.[24], Grandell, J.[28], Hipp, C. [29], 3 Schmidli, H. [29], Marceau, M. [20], Musiela, M. [35], Nyrhinen, H. [36], Rutkowski, M. [35], Paulsel, J. [37]. [38], Picard, Ph. [40], Schmidt, K.D. [43], … Ngoài ra, còn có một số công trình nghiên cứu mô hình rủi ro có xét đến tác động của yếu tố lãi suất như: Bùi Khởi Đàm [11], Cai, J. [13], [14], [15], [17], Dickson, D. C M. [15], [16], [23] Gaier, J. [26], Grandist, P. [26], Kluppelberg, C. [32], Stadtmuller, U. [32], Konstantinides, D. G. [33], Tang, Q. H. [33], Tsitsiashvili, G. S. [33], Sundt, B. [44], [45], Teugels, J.L. [44], [45], Tang Q. [46], [47], [48], Yang, H. [51], [53], Zhang, L. H. [53], Yuen, K. C. [54], [55], Wang, G. [54], [55], Wates, H.R. [23], Wu, R. [54],… Bên cạnh đó, một số tác giả xét mô hình rủi ro với giả thiết dãy số tiền thu bảo hiểm, đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc: Như m- phụ thuộc của tác giả Bùi Khởi Đàm. [1], [2], [3], [10], Nguyễn Huy Hoàng. [1], [2], [3], [10], dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp một, hoặc là xích Markov như Albrecher, H. [8], Cai, J. [18], Dickson, D. C M. [18], Gerber, H. U. [27], Muller, A. [34], Pfug, G. [34], Promislow, S. D. [39], Valdez, E. A. [49], Mo, K. [49], Xu, L. [50], Wang, R. [50], Yang, H. [52], Zhang, L. H. [52],… Tính toán xác suất rủi ro là bài toán rất quan trọng trong ngành bảo hiểm. Đây là bài toán khó và cho đến nay vẫn được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Các nghiên cứu về đề tài này thường được thực hiện theo những cách tiếp cận sau: - Ước lượng xác suất rủi ro bằng các bất đẳng thức (như bất đẳng thức Cramer-Lundberg). - Dùng kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo để tính xác suất rủi ro. - Phương pháp tính đúng (như công thức Picard- Lefèvre tính xác suất rủi ro)… 4 Với những lý do nói trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiên cứu của luận án là các mô hình rủi ro trong bảo hiểm, thời gian rời rạc với các dãy biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov. Ngoài ra, các mô hình còn xét tới tác động của yếu tố lãi suất, với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Luận án đã đánh giá xác suất thiệt hại cho mô hình này. Đóng góp chính của luận án là tìm ra công thức tính xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro khi dãy số tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, có phân phối bất kỳ (trường hợp riêng là dãy biến ngẫy nhiên độc lập cùng phân phối) và mở rộng công thức tính chính xác xác suất này cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Bên cạnh đó, bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình rủi ro có số tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục cũng được đưa ra. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5] (xem danh mục công trình khoa học đã công bố của luận án). Luận án đã thu được các kết quả mới sau đây: a. Trong mô hình rủi ro có dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập Lần đầu tiên đưa ra được công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro này (trước đó, các tác giả Claude Lefevre và Stephane Loissel (2008) chỉ đưa ra công thức tính chính xác cho mô hình cổ điển khi dãy tiền thu là tất định, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức). Phương pháp tiếp cận (tính toán) trực quan, cho phép mở rộng đối với các mô hình mà dãy thu, dãy chi là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. 5 b. Trong mô hình rủi ro có dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên liên tuc. Luận án đã đưa ra được bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro cho mô hình khi dãy tiền thu là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối và có phân phối liên tục. c. Áp dụng phương pháp Monter Carlo tính xác suất rủi ro Chúng tôi nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, hữu hạn, khi có tác động của yếu tố lãi suất, dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm trong mô hình được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Đồng thời chúng tôi còn xem xét mô hình rủi ro tổng quát hơn khi có tác động của lãi suất là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, phụ thuộc Markov. Qua việc hoàn thành bản luận án, chúng tôi cũng hy vọng được góp phần vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết về các mô hình rủi ro trong bảo hiểm và tài chính, với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov (đặc biệt là tính được chính xác xác suất rủi ro trong bảo hiểm) và các ứng dụng của chúng vào thực tiễn. Nội dung của luận án bao gồm 3 chương và 1 phụ lục, được cấu trúc như sau: Chương 1 được dành cho việc trình bày các khái niệm, các kết quả cơ bản về xác suất, xác suất điều kiện, biến ngẫu nhiên, phân phối của biến ngẫu nhiên, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính. Chương 2 là đóng góp chính của luận án. Trong chương này, chúng tôi mở rộng mô hình rủi ro trong [19]. Chúng tôi tìm ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho các mô hình rủi ro tương ứng. Chúng tôi đã mở rộng công thức Picard- Lefèvre (xem [40]) cho xác suất rủi ro (không rủi ro) với mô hình rủi ro mà 6 quá trình thu, chi là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc. Kết quả này là mở rộng đáng kể kết quả trước đó của Claude Lefèvre và Stephane Loisel (xem [19]). Trong bài báo này các tác giả chỉ xét mô hình rủi ro trong đó quá trình chi trả bảo hiểm có phân phối nhị thức, còn quá trình thu thì giả thiết đơn giản là quá trình tất định, tuyến tính theo thời gian. Chúng tôi đã mở rộng mô hình khi dãy số tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ (hệ quả là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối). Thuật toán được thiết lập để tính toán kết quả số, minh họa cho công thức tính chính xác suất rủi ro khi hai dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Bên cạnh đó, chúng tôi còn mở rộng công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hỉnh rủi ro khi dãy tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Luận án còn đưa ra được ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình khi dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục. Chương 3 nghiên cứu mô hình rủi ro được xét với thời gian rời rạc khi có tác động của yếu tố lãi suất. Trong chương này phương pháp Monte- Carlo được áp dụng để tính xác suất rủi ro khi xét mô hình rủi ro có tác động của lãi suất. Lãi suất được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Một vài ví dụ số minh họa cho mô hình được đưa ra. Cuối cùng là phụ lục phần code các chương trình tính. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: - Đại hội toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang (8/ 2013) - Xêmina tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội. 7 - Hội thảo khoa học tại trường Đại học Công nghiệp Việt Trì (10/ 2011) - Hội thảo khoa học tại trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội (5/ 2013). Các kết quả chủ yếu của luận án đã được đăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5] (xem trong danh mục công trình khoa học đã công bố của luận án). 8 Chƣơng 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN   nhiên, quá trình xích Markov và  tính ( n). [4], [5], [6], [7] và [42]. 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Xây dựng không gian xác suất Kolmogorov Xét  là một tập tùy ý khác  . Ký hiệu () là tập hợp gồm tất cả các tập con của  . 1.1.1.1 Đại số. Lớp A ()   được gọi là một đại số nếu: A1)  , A A2) \,A A A    AA A3) , , .A B A B A B     A A A Ta nhận thấy , ,A B A B A B A B      nên trong A3) chỉ cần đòi hỏi một trong hai điều kiện. 1.1.1.2   đại số. Lớp A ()   được gọi là một   đại số nếu nó là đại số và ngoài ra: A4) Từ , 1,2, n AnA suy ra 1 n n A    A , 1 n n A    A . Ở đây cũng như A3) chỉ cần đòi hỏi một trong hai hệ thức. Hệ thức kia tự động được thỏa mãn 9 1.1.1.3 Không gian đo. Cặp   ,  A , trong đó    bất kỳ, còn A là một   đại số các tập con của  được gọi là một không gian đo. Trong lý thuyết xác suất, người ta gọi:  là biến cố chắc chắn, tập  được gọi là biến cố không. Và nếu A  A thì A được gọi là biến cố đối của biến cố A. 1.1.1.4 Định nghĩa hàm tập. a) Hàm tập P: A   + gọi là hữu hạn cộng tính nếu ( ) ( ) ( )P A B P A P B   với mọi ,,AB A và .AB   b) Hàm tập P: A   + gọi là   cộng tính nếu 1 1 ( ). ii i i P A P A          với mọi , i A  A ij AA  với ,ij  * và ij . 1.1.1.5 Độ đo xác suất. Hàm tập hợp P xác định trên đại số A được gọi là độ đo xác suất nếu p1) ( ) 0,PA ,A  A p2) ( ) 1,P  p3) Nếu với i  * và , i A  A ij AA  với ,ij  * thỏa ij sao cho 1 i i A    A thì 1 1 ( ). ii i i P A P A          1.1.1.6 Không gian xác suất Kolmogorov. Ta gọi bộ ba   ,,P A là một không gian xác suất Kolmogorov nếu: a)   là tập hợp tùy ý có các phần tử ký hiệu là  ; hay    b) A là   đại số các tập con của  ; c) P là độ đo xác suất hay gọi là xác suất trên A , Tập  được gọi là không gian các biến cố sơ cấp Mỗi   được gọi là một biến cố sơ cấp. Mỗi A  A được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. ()PA là xác suất của biến cố A. 10 P được gọi là xác suất trên A . Ví dụ 1.1 Khi  là tập hữu hạn   12 , , , n a a a và 1 ( ) ; 1,2, , i P a i n n  thì ( ) . A PA  1.1.2 Tính chất của xác suất Mệnh đề 1.1 Trên không gian xác suất   ,,P A ta có: 1. ( ) 0P  . 2. Nếu   12 , , , n A A A là một họ hữu hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi xung khắc thì 1 1 ( ). n n kk k k P A P A        Mệnh đề 1.2 Giả sử A, B là các biến cố ngẫu nhiên bất kì, khi đó: 1. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB    . 2. Nếu AB thì ( ) ( )P A P B . 3. Với AA thì 0 ( ) 1PA và   1 ( )P A P A . Mệnh đề 1.3 Trong không gian xác suất   ,,P A cho họ biến cố ngẫu nhiên   ,1 n An thỏa mãn điều kiện: 1. 12 n A A A    2. 1 k k A    Khi đó, ( ) 0 ( ) n P A n   . Hệ quả 1.1 1. Nếu   ,1 n Bn là họ các biến cố thỏa 1 nn BB   và 1 n n BB   thì ( ) ( ) ( ) n P B P B n   . 2. Nếu   ,1 n Cn là họ các biến cố thỏa 1 nn CC   và 1 n n CC   thì ( ) ( ) ( ) n P C P C n   . [...]... cho việc tính xác suất rủi ro trong thời gian hữu hạn  ( u , T ) , ta sẽ tính xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) , điều đó được thể hiện trong định lý sau đây Định lý 2.1 ([2], [5] phần các công trình đã công bố của tác giả) Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là u  ℕ*, tại cuối mỗi thời kỳ t (t =1, 2,…), thặng dư của công ty là biến ngẫu nhiên t trong đó X i , Yi , được... (2.3) dưới dạng: U t  u  Vt  S t trong đó t Vt   Y là tổng số tiền thu bảo hiểm của công ty bảo hiểm tính cho i i 1 đến thời kỳ t t St   X tổng số tiền chi trả bảo hiểm của công ty bảo hiểm tính i i 1 cho đến thời kỳ t Mục đích là tính xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) : Nghĩa là, cho đến cuối thời kỳ t, công ty vẫn không xảy ra rủi ro Hiển nhiên ta có quan hệ của các... nhưng mô hình rời rạc trực quan và dễ áp dụng hơn trong nhiều trường hợp thực tế Bây giờ chúng tôi xin giới thiệu mô hình rủi ro rời rạc 25 Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm về một dịch vụ tài chính nào đó Khách hàng là những người mua chứng từ đó Công ty bảo hiểm có số vốn ban đầu là u  ℕ*, thu được của khách hàng một số tiền mua bảo hiểm với phí suất c  0, trên một đơn... không rủi ro với thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) giảm Điều này là phù hợp với kết quả của hệ quả 2.1 ở trên Nhận xét 2.3 Trong phần trên, chúng tôi đã đưa ra được công thức tính chính xác xác suất không rủi ro (tương ứng rủi ro) , thời gian hữu hạn cho mô hình rủi ro rời rạc, khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ Trong. .. cho việc tính xác suất rủi ro trong thời gian hữu hạn  (u , T ) ở trên, ta sẽ đặt mục tiêu là tính xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) cho mô hình rủi ro (2.1) nêu trên Các tác giả Claude Lefèvre và Stephanne Loisel đã đưa ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình (2.1) khi dãy ( X i ) i 1 có phân phối nhị thức, điều đó được thể hiện trong mệnh đề sau đây Mệnh...  P ( X 1  u  1) Ta nhận thấy, trong mô hình rủi ro ở trên, các tác giả Claude Lefèvre và Stephanne Loisel đã đưa ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình (2.1) khi dãy tiền thu bảo hiểm là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối nhị thức Nhưng trong thực tế, thì dãy tiền thu bảo hiểm cũng là dãy 27 biến ngẫu nhiên,... suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn (2.4) ở định lý 2.1 Vậy định lý đã được chứng minh □ Ta nhận thấy, trong trường hợp đặc biệt, khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối thì định lý trên vẫn còn đúng, điều đó được thể hiện qua hệ quả sau đây Hệ quả 2.1 ([1], [2] và [5] phần các công trình đã công bố của tác giả) Giả sử công ty bảo hiểm có vốn... đây, ta sẽ xét mô hình rủi ro khi mà số tiền thu bảo hiểm, chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ 2.1.1 Công thức tính chính xác xác suất rủi ro, cho mô hình rủi ro có dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, nhận giá trị nguyên, không âm Bây giờ, chúng ta khảo sát hoạt động của công ty bảo hiểm mà việc hạch toán... rủi ro trong bảo hiểm (thời gian rời rạc) với giả thiết dãy các số tiền thu, đòi trả bảo hiểm là độc lập; đồng thời, luận án còn nghiên cứu các mô hình này trong trường hợp có xét đến tác động của lãi suất Các nội dung, cũng như các kết quả nghiên cứu mà tác giả đã đạt được về các vấn đề này, sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo 24 Chƣơng 2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT RỦI RO Trong chương này,... đó trong khoảng thời gian (0, t] thì số chi trả bảo hiểm sẽ là S t  X 1  X 2   X t 26 Bây giờ, nếu ta giả thiết là, trước một thời kỳ t  T chưa xảy ra rủi ro và T u là thời kỳ đầu tiên xảy ra rủi ro, thì rõ ràng giữa T u và t giả thiết ở trên có quan hệ: Tu  t  1 (vì ít nhất phải sau một đơn vị thời gian, mới có thể xảy ra rủi ro) Như vậy Tu  t  1 có nghĩa là: Cho đến thời kỳ t, rủi ro chưa . bảo hiểm lớn. Trong thời gian gần đây Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) được nghiên cứu và phát triển mạnh, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, kinh tế, tài chính. Một trong. triển lý thuyết về các mô hình rủi ro trong bảo hiểm và tài chính, với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov (đặc biệt là tính được chính xác xác suất rủi ro trong bảo hiểm) . của luận án. Trong chương này, chúng tôi mở rộng mô hình rủi ro trong [19]. Chúng tôi tìm ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho các mô hình rủi ro tương ứng. Chúng tôi