Về một cấu trúc vị nhóm mới và mã

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - HỒ NGỌC VINH VỀ MỘT CẤU TRÚC VỊ NHÓM MỚI VÀ MÃ Chuyên ngành: Đảm bảo tốn học cho máy tính hệ thống tính tốn Mã số: 62.46.35.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - HỒ NGỌC VINH VỀ MỘT CẤU TRÚC VỊ NHĨM MỚI VÀ MÃ Chun ngành: Đảm bảo tốn học cho máy tính hệ thống tính tốn Mã số: 62.46.35.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Đỗ Long Vân PGS TS Phan Trung Huy Hà Nội – 2012 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, chưa công bố cơng trình khoa học khác Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả trước đưa vào luận án Hà Nội, ngày 22 tháng 05 năm 2012 Hồ Ngọc Vinh -1- MỤC LỤC Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ MỞ ĐẦU CHƯƠNG : KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 12 1.1 Một số khái niệm 12 1.1.1 Cấu trúc đại số 12 1.1.2 Đồng cấu 13 1.1.3 Từ ngôn ngữ 14 1.1.4 Ngơn ngữ quy Otomat hữu hạn 15 1.2 Mã tính chất mã 21 1.2.1 Mã vị nhóm tự 21 1.2.2 Thủ tục Sardinas-Patterson kiểm tra tính chất mã 25 CHƯƠNG : MÃ LUÂN PHIÊN 27 2.1 Tích khơng nhập nhằng 27 2.2 Mã luân phiên 30 2.3 Đặc trưng mã luân phiên 36 CHƯƠNG : -NGÔN NGỮ CHÍNH QUY VÀ OTOMAT MỞ RỘNG 47 3.1 Từ định biên 47 3.2 -ngơn ngữ quy 53 3.3 Vị nhóm biểu diễn -ngôn ngữ 65 -2- -3- CHƯƠNG : MÃ VỚI TỪ ĐỊNH BIÊN 71 4.1 Mã với từ định biên 71 4.2 Thuật toán kiểm tra -mã 80 4.3 Thuật toán kiểm tra -mã chặt 89 4.4 Thuật toán xác định độ trễ giải mã cho -mã 96 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 109 -4- DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Từ viết tắt Giải nghĩa LC Lớp mã thông thường LALT Lớp mã luân phiên LWLALT Lớp mã luân phiên yếu trái LWRALT Lớp mã luân phiên yếu phải LEALT Lớp mã luân phiên chẵn L C Lớp -mã L WLC Lớp -mã yếu trái L WRC Lớp -mã yếu phải L SC Lớp -mã chặt SPC Thủ tục kiểm tra -mã (the Sardinas−Patterson for Codes of bounded words) Thủ tục kiểm tra MSPC -mã mở rộng (the Modification of Sardinas−Patterson for Codes of bounded words) SPSC Thủ tục kiểm tra -mã chặt (the Sardinas−Patterson for Strict Codes of bounded words) DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Các Overlap hai phân tích từ w 31 Hình 2.2 Hai phân tích w (XY)+ (XY)+ X –1 37 Hình 2.3 Các lớp thương Ui , Vj hai phân tích 42 Hình 2.4 Quan hệ lớp mã xét A* 43 Hình 3.1 -otomat đa định A đoán nhận L 58 Hình 3.2 -otomat A mở rộng bão hịa từ A 58 ∼ Hình 3.3 Otomat A đốn nhận ngơn ngữ b*a 64 Hình 3.4 -otomat A sinh otomat A 64 Hình 4.1 Phân bậc lớp mã 80 Hình 4.2 -ngơn ngữ có độ trễ giải mã hữu hạn d 96 Hình 4.3 Các lớp cắt Vd Vd +1 99 -5- MỞ ĐẦU Lý thuyết mã bắt nguồn từ lý thuyết thông tin C E Shannon khởi xướng [27] đặt móng tốn học cho lý thuyết thơng tin đại Do nhu cầu thực tiễn, lý thuyết mã phát triển theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn hướng nghiên cứu liên quan đến mã độ dài cố định, điển hình mã sửa sai, ứng dụng để phát sửa lỗi xuất kênh truyền tin; hay hướng nghiên cứu khác có liên quan đến mã độ dài biến đổi, nghiên cứu Schüzenberger Một số toán nghiên cứu lý thuyết mã là: tính chất liên quan đến phân tích từ thành dãy từ thuộc tập cho trước; tính chất khơng nhập nhằng ngôn ngữ quan hệ với mã; mã mối quan hệ với đại số, tổ hợp từ, lý thuyết ngơn ngữ hình thức otomat Bảo mật thông tin hướng nghiên cứu nhiều người quan tâm nhằm xây dựng hệ mật mã với độ an toàn cao, chưa có hệ mật mã có độ an tồn tuyệt đối Đây động lực quan trọng thúc đẩy liên tục phải cải tiến, nghiên cứu xây dựng hệ mã mới, khía cạnh lý thuyết thực hành Mã truyền thống định nghĩa dựa phân tích xâu văn mã hóa thành tích từ thuộc mã, tích hai từ phép nối ghép xâu Gần đây, xu hướng nghiên cứu lý thuyết mã tác giả đưa vào xét yếu tố điều khiển, nhập nhằng, đa trị để mở rộng khái niệm tích, từ cho phép xây dựng lớp mã Phân tích zigzag [34] tiếp cận mở rộng khái niệm tích, đề xuất M Anselmo vào đầu năm 1990 Trong khai triển tích zigzag chứa bước lùi khử từ, dẫn đến khái niệm mã zigzag (còn gọi Z-mã) Các vấn đề mã truyền thống -6- -7đồng cấu mã, kiểm tra tính chất mã nghiên cứu cho trường hợp Z-mã Đỗ Long Vân, B L Saec, I Litovsky, M Madonia S Salemi, T Sportelli (xem [23], [28], [29]) Đến cuối năm 1990, xuất hướng mở rộng khái niệm tích khác, đề xuất A Salomaa - tích trộn có điều khiển (shuffle on trajectory ), đó, tích hai từ x, y phép trộn chữ theo thứ tự điều khiển xâu bit t (tổng quát hơn, xâu điều khiển từ bảng chữ ký tự), dẫn đến lớp mã theo tích trộn (được gọi T-mã) Các đặc trưng đại số tích trộn mã theo tích trộn nghiên cứu A Salomaa, A Kadrie, A Mateescu, G Rozenberg (xem [33], [20], [21]) Trong [5], P T Huy, V T Nam đề xuất hình thức mã mới, mã cặp hai ngôn ngữ (mã luân phiên, mã luân phiên chẵn) dựa vào phân tích ln phiên hai ngơn ngữ bảng chữ thiết lập số tính chất sở ban đầu hai lớp mã Mã luân phiên, mã luân phiên chẵn phát triển mở rộng tự nhiên, không tầm thường mã truyền thống Trong mã truyền thống ngôn ngữ X chữ mã ln phiên, mã ln phiên chẵn cặp {X,Y} hai ngôn ngữ mà chúng không thiết phải mã truyền thống Mặt khác, X mã truyền thống {X, X} mã luân phiên chẵn Như mã luân phiên, mã luân phiên chẵn mở rộng thực mã truyền thống, hứa hẹn khả ứng dụng rộng rãi khả thúc đẩy phát triển nghiên cứu mới, sâu sắc ngơn ngữ nói chung, lý thuyết mã nói riêng Mã từ định biên đề xuất luận án nảy sinh từ nhu cầu nghiên cứu, xây dựng thuật toán kiểm định mã luân phiên, mã luân phiên chẵn Thật ra, thể số hệ mã luân phiên, mã luân phiên chẵn cụ thể xuất sử dụng từ lâu thực tiễn việc biểu diễn thông tin máy tính, phơng chữ Unicode, mã sửa sai,… chưa đề cập nghiên cứu lý thuyết mã trước -8đây Đó gợi ý ban đầu động lực cho việc nghiên cứu mã luân phiên, mã luân phiên chẵn mặt lý thuyết phận Lý thuyết mã nói riêng Ngơn ngữ hình thức nói chung Từ cơng trình P T Huy, V T Nam, câu hỏi tự nhiên đặt hệ gồm bốn điều kiện (trong Định lý 2.3.4) có thiết yếu hay khơng?; xây dựng tiêu chuẩn cần đủ để kiểm tra mã luân phiên đơn giản hay không? Một kết luận án điều kiện đặc trưng mã luân phiên Định lý 2.3.4 nêu độc lập, nghĩa thiết yếu, thể khó khăn cần thiết lập thuật toán để kiểm tra cặp ngơn ngữ quy cho trước có mã ln phiên hay không dùng định lý Các tiếp cận mở rộng khái niệm tích gợi mở hướng nghiên cứu luận án Trong đó, yếu tố biên từ đưa vào làm sở xây dựng loại tích theo biên dạng từ (tích biên từ định biên) từ đề xuất, nghiên cứu lớp mã theo tích Với lớp mã mới, luận án cho ta câu trả lời khẳng định câu hỏi thứ hai nhờ đưa mô tả khác mã luân phiên, luân phiên chẵn dựa từ định biên cho phép biểu diễn mã luân phiên cách đơn giản, giảm độ phức tạp thuật toán kiểm định mã luân phiên so với thuật toán kiểm tra trực tiếp hệ điều kiện Định lý 2.3.4 Từ việc nghiên cứu lớp mã từ định biên, cho phép ta nhận sơ đồ phân bậc tổng quát lớp mã xét (xem thêm Hình 4.1), mã truyền thống, mã luân phiên -mã chặt lớp mã cực tiểu Luận án tập trung nghiên cứu giải vấn đề sau: 1) Xem xét thiết lập số tính chất với đặc trưng cần đủ lớp mã dựa tích luân phiên 2) Đề xuất khái niệm từ định biên, từ xây dựng hình thức tích (tích biên) tập từ định biên A* - 96 - 4.4 Thuật toán xác định độ trễ giải mã cho -mã Khái niệm độ trễ giải mã xuất từ năm 1959 E.N.Gilbert E.F.Moore [12] Đây hướng mở rộng mã prefix, mã prefix mã có độ trễ Định lý mã có độ trễ hữu hạn M P Schützenberger chứng minh đầy đủ [26], theo đó, mã hữu hạn cực đại mã prefix (có độ trễ 0) có độ trễ giải mã vô hạn Trong phần đưa vào khái niệm độ trễ giải mã -mã, mối quan hệ -ngơn ngữ có độ trễ giải mã hữu hạn với -mã đề xuất thuật toán cho phép xác định xác độ trễ giải mã cho -mã cho mã luân phiên + Định nghĩa 4.4.1 Cho X ⊆ A \ε -ngôn ngữ không chứa θ Ta nói rằng, X có độ trễ giải mã hữu hạn d (với d số nguyên dương) ∀x0 , x1 , , xd , x′∈X, ∀z ∈A* , x0 x1 xd z ∈x′.X * ⇒ x0 = x′ (4.40) Dễ thấy hệ thức (4.40) thoả mãn với d với d′≥ d Nếu X có độ trễ giải mã hữu hạn số nguyên nhỏ thoả hệ thức (4.40) gọi độ trễ giải mã X (xem Hình 4.2) x0 x1 xd z x′ Hình 4.2 -ngơn ngữ có độ trễ giải mã hữu hạn d Tương tự mã thông thường, kết sau cho ta mối liên hệ -ngôn ngữ có độ trễ giải mã hữu hạn với tính chất -mã + Mệnh đề 4.4.2 Nếu X ⊆ A \ε có độ trễ giải mã hữu hạn X ∈ L Ngược lại không C Chứng minh Giả sử X có độ trễ giải mã hữu hạn d X ∉ L C Khi đó, θ ∉ X theo Định nghĩa 4.1.1, tồn -từ x ≠ θ thuộc X * có hai phân tích khác X: - 97 x = x1.x2 xn = x1′ x2′ xm′ (x1 ≠ x1′) (4.41) với m, n ≥ 1, x1, x2, , xn, x1′, x2′, , xm′ ∈X Chọn y ∈X, từ hệ thức (4.41) suy x.y d = x1.x2 xn.y d = x1′ x2′ xm′ y d ∈x1′ X * Theo Định nghĩa 4.4.1, suy x1 = x1′, mâu thuẫn Vì vậy, X ∈ L C Ngược lại, ta xét ví dụ sau: Cho X = { (0, aa, 0), (1, ba, 1), (1, bb, 0), (1, baa, 1), (1, bba, 0) } ∈ L C khơng có độ trễ giải mã hữu hạn Bởi vì, ∀d ≥ 0, x = (1, bb, 0), x′ = (1, bba, 0), y = (0, aa, 0) d x.y ∈X d+1 -từ prefix thực x′.y ∈X d+1  Tương tự mã truyền thống, nảy sinh câu hỏi đặt “Trên lớp -mã chiều ngược lại Mệnh đề đúng?”, hướng nghiên cứu lý thú tác giả nghiên cứu thời gian tới Từ Định nghĩa 4.4.1 Mệnh đề 4.4.2, ta có tính chất sau: + Tính chất 4.4.3 Nếu X ⊆ A \ε -mã có độ trễ giải mã hữu hạn d tập khác rỗng X có độ trễ giải mã hữu hạn bé d + Tính chất 4.4.4 Nếu X ⊆ A \ε -mã -từ x′, x0 , x1 , , xd ∈X cho x0 ≠ x′ x0 x1 xd < p≠ x′ z, với z ∈X * X có độ trễ giải mã bé d+1 * Thuật toán xác định độ trễ giải mã cho Input: Cho X ⊆ A + \ε -mã: -mã không chứa θ , X Output: Độ trễ giải mã X Các bước thực thuật toán: B0 U = {e } + { (i, ε ,i) | i ∈B }, V0 = X + B1 V1 = X –1 V0 − X + − U If V1 = ∅ Then n = goto B4 Else n = -ngơn ngữ quy - 98 B2 (Loop) Biết Vn xác định Vn+1 sau Vn+1 = X –1 Vn − X + B3 If Vn+1 = ∅ Then goto B4 Else If (Vk = Vn+1) ( ∃k ∈ {1,…,n}) Then goto B5 Else n = n +1, goto B2 B4 Thông báo “X -mã có độ trễ giải mã hữu hạn d=n” Kết thúc B5 Thông báo “X -mã có độ trễ giải mã vơ hạn” Kết thúc Tính đắn thuật tốn dựa bổ đề mệnh đề sau: + Bổ đề 4.4.5 Cho X ⊆ A \ε Vd, Vd+1 xác định thuật toán + Với d ≥ 0, ∀z ∈A : z ∈Vd+1 tồn m ≥ 0, x0 , , xd , y0 , , ym ∈X cho: x0 xd z = y0 ym , với x0 ≠ y0 (4.42) Chứng minh (⇒) Ta chứng minh khẳng định: ∀z ∈Vd+1 tồn m ≥ 0, x0 , , xd , y0 , , ym ∈X cho thỏa (4.42) Ta chứng minh quy nạp theo d − Với d = 0, lấy z ∈V1 tùy ý, z ∈(X –1 X + − X + − U) Nghĩa tồn -từ x0 ∈X cho x0 z = y0 ym ∈X + Trường hợp m=0: ta có x0 z = y0 Theo giả thiết z ∉U = {e } + {(i, ε , i) | i ∈B }, suy x0 ≠ y0 Trường hợp m >0: x0 = y0 , z = y1 ym ∈X +, mâu thuẫn với giả thiết z ∈V1 Suy x0 ≠ y0 Vậy, khẳng định với d = − Giả sử khẳng định với d< k, k >0 Ta chứng minh khẳng định với d = k Thật vậy, lấy z ∈Vd+1 , nghĩa z ∈X –1 Vd Khi tồn -từ x ∈X, cho: z′ = x.z ∈Vd Theo giả thiết quy nạp z′ thỏa biểu thức (4.42) Nghĩa là, tồn m ≥ 0, x0 , , xd –1 , y0 , , ym ∈X cho - 99 x0 xd–1 z′ = y0 ym , với x0 ≠ y0 (4.43) Thay z′ = x.z vào hệ thức (4.43), ta có: x0 xd –1 x.z = y0 ym , với x0 ≠ y0 (4.44) Vậy, khẳng định với d = k Từ đó, theo quy nạp ta suy khẳng định với d ≥ (⇐) Ngược lại, ta chứng minh khẳng định: x0 xd z = y0 ym x0 ≠ y0, với m ≥ 0, x0 , , xd , y0 , , ym ∈X z ∈Vd +1 Ta chứng minh quy nạp theo d − Với d = 0, ta có x0 z = y0 ym , với x0 ≠ y0 , x0 , y0 , , ym ∈X, suy z ∈ X –1 X + Mặt khác, với X -mã, suy z ∉ X + z ∉ U Do z ∈ (X –1 X + − X + − U) = V1 − Tiếp theo, giả sử khẳng định với d< k, k ≥ Ta chứng minh + khẳng định với d = k Nghĩa là, với -từ z ∈A , m ≥ 0, x0 , , xd , y0 , , ym ∈X, x0 xd z = y0 ym x0 ≠ y0 Ta phải chứng minh z ∈Vd+1 Hình 4.3 Các lớp cắt Vd Vd+1 + Thật vậy, đặt z′ = xd z ∈A (xem Hình 4.3), ta có biểu thức: x0 xd –1 z′ = y0 ym x0 ≠ y0 Theo giả thiết quy nạp, suy z′ = x d z ∈Vd Do đó, z = x –1 z′ ∈X –1 Vd Mặt khác, z ∈X +, ta có x0 xd z = y0 ym , với x0 ≠ y0 , mâu thuẫn Do đó, z ∉ X + Nghĩa z ∈(X –1 Vd − X + ) = Vd+1 Vậy, khẳng định với d ≥  - 100 - + Định lý 4.4.6 Cho X ⊆ A \ε Khi X có độ trễ giải mã hữu hạn d Vd+1 = ∅ , Vi+1 ≠ ∅ , ∀i < d Chứng minh (⇐) Chứng minh khẳng định: Vd+1 = ∅ , Vi+1 ≠ ∅ , ∀i < d, X có độ trễ giải mã hữu hạn d Phản chứng, giả sử X khơng có độ trễ giải mã hữu hạn d Khi đó, có ba trường hợp : + X có độ trễ giải mã k < d + X có độ trễ giải mã k > d + X có độ trễ giải mã vô hạn a) Trường hợp X có độ trễ giải mã k < d Với X có độ trễ k, theo định nghĩa ta có: x0 xk z = y0 ym , với x0 = y0 Mặt khác, k+1 < d+1 suy Vk+1 ≠ ∅ Theo Bổ đề 4.4.5, suy x0 xk z = y0 ym , với x0 ≠ y0 , mâu thuẫn Do đó, X khơng có độ trễ giải mã k < d b) Trường hợp X có độ trễ giải mã k > d Vì d < k, suy ∃m ≥ 0, x0, , xd , y0, , ym ∈X, z ∈A* cho: x0 … xd z = y0 ym , với x0 ≠ y0 (4.45) Theo Bổ đề 4.4.5, suy z ∈Vd+1, mâu thuẫn Do đó, X khơng có độ trễ giải mã k > d c) Trường hợp X có độ trễ giải mã vơ hạn Với k, tồn ∃m ≥ 0, x0, , xk , y0, , ym ∈X, z ∈A* cho x0 … xk z = y0 ym , với x0 ≠ y0 Với k = d, suy Vd+1 ≠ ∅ , mâu thuẫn Do đó, X khơng có độ trễ vô hạn Từ mâu thuẫn trên, suy X phải có độ trễ giải mã hữu hạn d - 101 (⇒) Chứng minh khẳng định: X có độ trễ giải mã hữu hạn d Vd+1 = ∅ Vk+1 ≠ ∅ , với k < d Phản chứng, giả sử X có độ trễ giải mã hữu hạn d Vd+1 ≠ ∅ Vk+1 = ∅, ∀k < d + Nếu Vd+1 ≠ ∅ , theo Bổ đề 4.4.5, với -từ z ∈Vd+1 tùy ý, tồn m ≥ 0, x0 , , xd , y0 , , ym ∈X cho: x0 xd z = y0 ym , với x0 ≠ y0 Từ x0 xd z = y0 ym ∈ y0 X *, suy x0 xd z ∈ y0 X * Theo giả thiết, X có độ trễ giải mã hữu hạn d, suy x0 = y0 , mâu thuẫn Do đó, Vd+1 = ∅ + Nếu Vk+1 = ∅ , với k < d đó, theo chứng minh bước suy X phải có độ trễ giải mã hữu hạn k, mâu thuẫn với giả thiết d bé Do đó, Vk+1 ≠ ∅ , ∀k < d  Ví dụ 4.4.7 Giả sử X = { (0, ab, 1), (1, bba, 0) } Theo thuật toán trên, dễ thấy V1 = ∅ Suy X -mã có độ trễ giải mã hữu hạn d = Ví dụ 4.4.8 Giả sử X = { (0, a, 0), (0, aab, 0) } Theo thuật toán trên, ta có: V1 = { (0, ab(a + aab)*, 0) }, V2 = { (0, b(a +aab)*, 0) } V3 = ∅, suy X -mã có độ trễ giải mã hữu hạn d = Ví dụ 4.4.9 Giả sử X = { (0, aa, 0), (0, ba, 0), (0, b, 0) } Theo thuật toán trên, ta có: V1 = {(0, a, 0)} + {(0, a, 0)}.X + = {(0, a, 0)}.X * V2 = X –1 ({(0, a, 0)}.X * ) − X + = {(0, a, 0)}.X * − X + = {(0, a, 0)}.X * Với V1 = V2, suy X -mã có độ trễ giải mã vơ hạn - 102 Nhận xét 4.4.10 Trong trường hợp X toán xác định độ trễ giải mã cho -ngơn ngữ quy, thuật -mã luôn dừng sau không 2|P| bước lặp thực hiện, với P vị nhóm hữu hạn thỏa X X + Thật vậy, theo giả thiết X dựng -ngơn ngữ quy Ta xây -tồn cấu ϕ : A* → P, với P vị nhóm hữu hạn, cho ϕ thỏa đồng thời X, X + , { e, (0, ε , 0), (1, ε , 1)} Vì ϕ -tồn cấu, ta có ϕ –1 bảo tồn với phép tốn Boole, phép lấy thương trái, thương phải tập P Do ta kết luận tất tập Vn , i =1,2, định nghĩa thuật toán thỏa ϕ Nghĩa Vi = ϕ –1 (Ki) với Ki ⊆ P tùy ý, i =1, ,n Mà số tập P 2|P |, suy số tập Vi không lớn 2|P | tập Vì M hữu hạn tập tất tập P có cỡ 2|P | Do đó, thuật tốn xác định độ trễ giải mã cho -mã dừng sau không 2|P | bước thực Vậy, độ phức tạp thuật toán xác định độ trễ giải mã cho -mã trường hợp xấu cỡ O (2|P| ) Định nghĩa 4.4.11 Cho X, Y ⊆ A+ Cặp {X,Y} gọi có độ trễ giải mã hữu hạn d -ngơn ngữ (X ∪Y ) có độ trễ giải mã hữu hạn d, với + + X = { (0, w, 1) ∈A | w ∈X } Y = { (1, w, 0) ∈A | w ∈Y } Từ Định lý 4.1.13, Nhận xét 4.4.10 Định nghĩa 4.4.11, ta có hệ sau: Hệ 4.4.12 Tồn thuật toán xác định độ trễ giải mã cho mã luân phiên chẵn có độ phức tạp cỡ O (2|P | ), với P vị nhóm hữu hạn thỏa (X ∪ Y ) KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án liên quan đến lớp mã xây dựng dựa tích ln phiên, tích biên cấu trúc vị nhóm mới: Đề xuất hai lớp mã dựa phân tích luân phiên (mã luân phiên yếu trái, mã luân phiên yếu phải) thiết lập số tính chất tích khơng nhập nhằng, mã ln phiên chẵn, mã luân phiên yếu trái (yếu phải), mã luân phiên Thiết lập hệ gồm điều kiện cần đủ để hai ngôn ngữ X, Y mã luân phiên chẵn (Định lý 2.3.1), mã luân phiên yếu trái yếu phải (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3); thiết lập hệ gồm điều kiện cần đủ để hai ngôn ngữ X, Y mã luân phiên (Định lý 2.3.4) Đề xuất cấu trúc vị nhóm tập từ định biên A* với tích biên đưa vào khái niệm -ngơn ngữ quy, -otomat, -đốn nhận Chỉ mối quan hệ không tầm thường ngôn ngữ đoán nhận A* -đoán nhận A* (Mệnh đề 3.3.4), mối quan hệ -đoán nhận được, vị nhóm -ngơn ngữ quy (Định lý 3.3.8) Đề xuất bốn lớp mã dựa tích biên : -mã yếu phải -mã chặt -mã, -mã yếu trái, Thiết lập mối quan hệ mã, mã luân phiên chẵn -mã (Định lý 4.1.13), mã luân phiên yếu trái (yếu phải) -mã yếu trái (yếu phải) (Định lý 4.1.14, Định lý 4.1.15), mã luân phiên -mã chặt (Định lý 4.1.16) Từ đó, đưa phân bậc tổng quát lớp mã xét (Hình 4.1) - 103 - - 104 Thiết lập hai thuật toán kiểu Sardinas-Patterson mở rộng sang từ định biên để kiểm tra -ngôn ngữ quy cho trước có -mã hay khơng, -mã chặt hay khơng Từ đó, hệ quả, ta có hai thuật tốn để kiểm tra cặp ngơn ngữ quy X, Y cho trước mã ln phiên chẵn, mã ln phiên hay khơng, có độ phức tạp thấp so với hai thuật toán thiết lập trực tiếp dựa vào Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.4 xét mục 2.3 Chương Thiết lập thuật toán xác định xác giá trị độ trễ giải mã -mã xét mối quan hệ độ trễ giải mã -mã Hướng nghiên cứu phát triển luận án Luận án đề xuất bốn lớp mã tập từ định biên, với tập biên B = {0, 1} Hướng mở rộng: nghiên cứu bốn lớp mã với tập biên mở rộng B = {0, 1, 2, } định nghĩa phép tích biên bí mật, nhằm làm tăng tính chất nhập nhằng -ngôn ngữ ; mã luân phiên cho k ngôn ngữ {X1, X2, , Xk} (trường hợp k = xét luận án) Sự tồn thuật tốn kiểm tra -ngơn ngữ quy cho trước có -mã yếu trái (yếu phải) hay khơng (tương tự thuật tốn MSPC, SPSC), thuật toán xác định độ trễ giải mã cho -mã yếu trái (yếu phải), cho -mã chặt (tương tự thuật toán xác định độ trễ giải mã cho -mã) xem xét cơng trình khoa học tác giả sau luận án Bài toán kinh điển phân lớp mã, tính cực đại mã truyền thống mở rộng cho trường hợp -mã lớp -mã mã luân phiên Ngoài ra, nghiên cứu khả ứng dụng thực tiễn độ mật -mã tính nhập nhằng đa trị hướng tỏ hữu ích lý thú TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Đình Diệu (1977) Lý thuyết otomat thuật toán NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Đình Hân, Hồ Ngọc Vinh, Phan Trung Huy, Đỗ Long Vân (2011) Thuật toán xác định tính chất mã ngơn ngữ quy Tạp chí Tin học điều khiển học, Tập 27, Số 1, pp 1-8 [3] Phan Trung Huy (1992) Đa tạp vị nhóm hữu hạn đa tạp ngơn ngữ từ vô hạn Luận án Tiến sĩ, Thư viện Quốc gia, Viện Toán học Việt Nam [4] Phan Trung Huy, Vũ Thành Nam (2002) Một số độ đo nhập nhằng mã Tạp chí Tin học điều khiển học, Tập 18, Số 3, pp 253-261 [5] Phan Trung Huy, Vũ Thành Nam (2004) Mã luân phiên mã tiền ngữ cảnh Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ VII “Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin Truyền thông”, Đà Nẵng 18 - 20 tháng 8/2004 pp 188-197 Tiếng Anh [6] M Anselmo (1990) Decidability of zigzag codes Theoretical Computer Science, Vol 74, pp 341-354 [7] M Anselmo, M Madonia (2003) Covering Problems from a Formal Language Point of View, Procs DLT 2003, LNCS 2710, Z Esik, Z Fulop (Eds.) pp.122-133 - 105 - - 106 [8] M Anselmo, M Madonia (2005) A Language - Theoretic approach to Covering problems Journal of Automaton, Languages and Combinatorics, Vol 10, Issue 1, pp 3-24 [9] J Berstel, D Perrin (1985) Theory of Codes Academic Press Inc., NewYork [10] J Devolder, M Latteux, I Litovsky, and L Staiger (1994) Codes and infinite words Acta Cybernetica, Vol 11, No 4, pp 241-256 [11] S Eilenberg (1974) Automata, languages and Machines Vol A, Academic Press, New York and London [12] E N Gilbert, E F Moore (1959) Variable length binary encodings Bell System Technical Journal, Vol 38, pp 933-967 [13] J E Hopcroft, J D Ullman (1969) Formal languages and their relation to Automaton Addison-Wesley Publishing Company [14] J E Hopcroft, J D Ulmann (1979) Introduction to Automata Theory Language and Computation Addision Wesley Publishing Company [15] P T Huy (2001) On Ambiguities and Unambiguities Related with ω–Languages Invited Report in International Conference "Combinatorics and Applications", Hanoi 3-5/12/2001 [16] P T Huy, D L Van (2000) On Non-Ambiguous Büchi V-automata Proceedings of the Third Asian Mathematical Conference 2000, Diliman, Philippines 23-27 October 2000, pp 224-233, World Scientific 2002 [17] S Julia, I Litovsky, B Patrou (1996) On codes, ω-codes and ω-generators Information Processing Letters, Vol 60(No.1), pp 1-5 [18] G Lallement (1979) Simigroups and combinatorial applications John Wiley & Sons Inc - 107 [19] Aldo de Luca (1976) A note on Variable Length Codes Information and Computation, Vol 32, No 3, pp 263-271 [20] A Mateescu, G D Mateescu, G Rozenberg, A Salomaa (1997) Shuffle–Like Operations on ω–words New Trends in Formal Languages, Lecture Notes in Computer Science, Vol 1218, pp 395411 Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [21] A Mateescu, G Rozenberg, A Salomaa (1998) Shuffle on Trajectories: Syntactic Constraints Theoretical Computer Science, Vol 197, pp.1-56 [22] M Madonia, S Salemi, T Sportelli (1999) Covering submonoids and covering code Journal of Automaton, Languages and Combinatorics, Vol 4, No 4, pp 333-350 [23] M Madonia, S Salemi, T Sportelli (1991) On z-submonoids and zcode R.A.I.R.O Theoretical Informatics and Applications, Vol 25, No 4, pp 305-322 [24] J E Pin, P Weil (1997) Polynomial closure and unambiguous products Theory of Computing Systems 30, pp 383-422 [25] A A Sardinas, C W Patterson (1953) A Necessary and Sufficient Condition for the Unique Decomposition of Coded Messages IRE Intern Conv Record 8, pp 104-108 [26] M P Schützenberger (1966) On a question concerning certain free submonoids Journal of Combinatorial Theory, Vol 1, No 4, pp 437-442 [27] C E Shannon (1949) Communication Theory of Secrecy Systems Bell Systems Technical Journal, Vol 28, pp 656–715 [28] D L Van, B L Saec, and I Litovsky (1992) On coding morphisms for zigzag codes Theoretical Informatics and Applications, Vol 26, No 6, pp 565-580 - 108 [29] D L Van, B L Saec, and I Litovsky (1993) Stability for the Zigzag Submonoids Theoretical Computer Science, Vol 108, No 2, pp 237-249 [30] D L Van, N H Lam, P T Huy (1993) On Codes of Bi-Infinite Words Acta Cybernetica, Vol 11, No 1-2, pp 97-110 [31] D L Van, K V Hung, P T Huy (2005) Codes and LengthIncreasing Transitive Binary Relations Theoretical Aspects of Computing - ICTAC 2005, Vol 3722, pp 29-48 [32] P Weil (1985) Groups, codes and unambiguous automata Theoretical Aspects of Computer Science, 2nd ann Symp., Saarbrcken/Ger 1985, Lect Notes Comput Sci 182, pp 351-362 Tiếng Pháp [33] K Ahmad (2002) Quelques problèmes de mélanges contrôlés Thèse de doctorat, Université de Nice - Sophia Antipolis [34] M Anselmo (1991) Automates et codes zigzag R.A.I.R.O Theoretical Informatics and Applications, Vol 25, No 1, pp 49-66 [35] J E Pin (1982) Variété des Languages Infinis et variété de semigroupes Thèse Docteur d’Etat DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Năm 2009 Hồ Ngọc Vinh, Vũ Thành Nam, Phan Trung Huy (2009) Mã với hình thức tích Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ XII “Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin truyền thơng”, Biên Hịa 6/8/2009, pp 186-197 Hồ Ngọc Vinh, Phan Trung Huy, Đỗ Long Vân (2009) -ngơn ngữ quy mã Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ IV “Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ thông tin” (FAIR 2009), Hà nội 25 26/12/2009, pp 13-22 Năm 2010 Hồ Ngọc Vinh, Phan Trung Huy, Đỗ Long Vân (2010) Mở rộng mã thuật toán kiểm định mã luân phiên mã từ định biên Tạp chí Tin học điều khiển học, Tập 26, Số 4, pp 301-311 Hồ Ngọc Vinh, Nguyễn Đình Hân, Phan Trung Huy (2010) Mã với từ định biên Độ trễ giải mã Tạp chí Cơng nghệ Thơng tin Truyền thơng, Tập V-1, Số (24), pp 46-56 Ho Ngoc Vinh, Vu Thanh Nam, Phan Trung Huy (2010) Codes based on unambiguous products International Conference on Computational Collective Intelligence - Technologies and Applications (ICCCI 2010), Kaohsiung, Taiwan, Nov 10-12, 2010 Lecture Notes in Computer Science, Vol 6423, pp 252-262 Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Ho Ngoc Vinh, Phan Trung Huy (2010) Codes of Bounded Words Proceedings of the 3rd International Conference on Computer and Electrical Engineering (ICCEE 2010), Chengdu, China, Nov 16-18, 2010, Vol 2, pp 89-95 IEEE Xplore 2010 - 109 - - 110 Nguyễn Đình Hân, Đặng Quyết Thắng, Hồ Ngọc Vinh (2010) Tính tốn độ trễ giải mã otomat Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ XIII “Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin truyền thông”, Hưng Yên 19 - 20 tháng 8/2010 pp 321-332 Năm 2011 Nguyễn Đình Hân, Hồ Ngọc Vinh, Phan Trung Huy, Đỗ Long Vân (2011) Thuật tốn xác định tính chất mã ngơn ngữ quy Tạp chí Tin học điều khiển học, Tập 27, Số 1, pp 1-8 Nguyễn Đình Hân, Đặng Quyết Thắng, Hồ Ngọc Vinh, Phan Trung Huy (2011) Độ nhập nhằng ngôn ngữ Ứng dụng Tạp chí Cơng nghệ Thơng tin Truyền thơng (Nhận đăng) 10 Hồ Ngọc Vinh, Vũ Thành Nam, Phan Trung Huy, Đỗ Long Vân (2011), Một phân bậc mã lớp mã mở rộng Kỷ yếu Hội nghị khoa học kỷ niệm 55 năm thành lập Trường ĐH Bách khoa Hà nội, 10/2011, pp 23-32 11 Hồ Ngọc Vinh, Đặng Quyết Thắng, Phan Trung Huy, Đỗ Long Vân (2011) Từ định biên otomat đa định Báo cáo Hội nghi toàn quốc lần thứ Ứng dụng Toán học, Hà nội 23 - 25/12/2010 12 Ngô Thị Hiền, Phan Trung Huy, Kiều Văn Hưng, Hồ Ngọc Vinh (2011), Một cách tiếp cận tìm bao đầy cho số loại mã mở rộng Báo cáo Hội thảo Quốc gia thứ XIV “Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ Thông tin Truyền thông”, Cần thơ - 8/10/2011 Năm 2012 13 Nguyen Dinh Han, Ho Ngoc Vinh, Dang Quyet Thang, Phan Trung Huy (2012), Algorithms for testing of codes and -codes Proceedings of the International Conference on Computing and Communication Technologies Research, Innovation, and Vision for the Future (IEEERIVF 2012), Ho Chi Minh City, February 27-March 01, 2012, pp.45-50 14 Nguyen Dinh Han, Ho Ngoc Vinh, Phan Trung Huy (2012), An Extension of Codes by Unambiguity of Languages Proceedings of the Eighth International Conference on Intelligent Information Hiding and Multimedia Signal Processing (IIHMSP-2012), July 18 - 20, 2012, Piraeus-Athens, Greece (Nhận đăng) ... vào vị nhóm N thỏa mãn điều kiện (1.1) ϕ (1M) = 1N (1.2) với 1M đơn vị M , 1N đơn vị N Đặc biệt, hai nửa nhóm M, N nhóm đồng cấu nửa nhóm từ M đến N đồng cấu vị nhóm đồng cấu nhóm từ M đến N Một. .. ) Một vị nhóm gọi nhóm phần tử khả nghịch 1.1.2 Đồng cấu Một cách tổng quát, đồng cấu hai cấu trúc đại số ánh xạ bảo tồn phép tốn Nghĩa là, đồng cấu nửa nhóm ánh xạ ϕ từ nửa nhóm M vào nửa nhóm. .. A* → M đồng cấu vị nhóm (ta xem đồng cấu vị nhóm ϕ tồn cấu khơng ta thay M vị nhóm ϕ (A*) M) Nếu L ⊆ A* thỏa mãn ϕ –1 (ϕ(L)) = L ta nói L thỏa đồng cấu vị nhóm ϕ Vậy L thỏa đồng cấu ϕ ⇔ ∃N ⊆