BÀI tập sử DỤNG bđt AM GM (cauchy schwarz)

Bài tập sử dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu, chọn điểm rơi, đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân với các bài từ vận dụng đến vận dụng cao trong đó các bài có trong đề thi chuyên và HSG cấp tỉnh.

I Sử dụng BĐT AM-GM Bài 1: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  Chứng minh xy  x  y   Bài 2: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  Chứng minh x3 y  x3  y   Bài 3: Cho c  , a, b  c Chứng minh c(a  c)  c(b  c)  ab Bài 4: Cho x,y,z,t số thực dương CMR: x3 y3 z3 t3    1 x3  yzt y  3ztx z  3txy t  3xyz Bài 5: Cho a,b,c,d số thực không âm thỏa mãn  a  b  c  b  c  d  c  d  a  d  a  b   Chứng minh rằng: a b c d    2 bcd cd a d ab abc Bài 6: Cho số thực không âm a,b,c CMR: a) a3  b3  ab(a  b) b) 1 1  3   (a, b, c  0) 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc c)  a  b  (b  c)(c  a)  (a  b  c)(ab  bc  ca ) d) (a  b)(b  c)(c  a)  8abc e)Cho (a  b)(b  c)(c  a)  CMR: ab  bc  ca  Bài 7: a) Cho số thực dương a,b, c cho a  b  c  ab  bc  ca  CMR a2  b2  c2  b)Cho số thực dương a,b cho: 1 1   CMR: Q    2 2 a b a  b  2ab b  a  2a b c) Cho số thực dương a,b cho a  b  c  CM:  a  b2           10 b a a b  a b 1 d) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Tìm GTNN P  2a  bc  2b  ac  2c  ab e) Cho số thực không âm a,b cho a2  b2  Tìm GTLN P  ab a  b2 II KĨ THUẬT CÔ-SI CHỌN ĐIỂM RƠI Bài 1: Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức y  x  2x a b Bài 2: Cho a  10, b  10, c  1000 Tính GTNN biểu thức P  a   b   c  Bài 3: Cho a, b, c  0, a  b  c  Chứng minh c ab  bc  ca  Bài 4: 1) Cho x  1, y  Chứng minh x y   y x   xy Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm    2) x  0, y  0, x  y  Tìm GTNN biểu thức A  1   1    x  y  Bài 5: Cho số thực a  Tìm GTNN biểu thức A  a  a Bài 6: Cho số thực a  Tìm GTNN biểu thức A  a  a2 Bài 7: Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a  b  Tìm GTNN biểu thức A  ab  Bài 8: Cho số thực a  Tìm GTNN biểu thức A  a  ab 18 a a Bài 9: Cho số thực dương a,,b,c thỏa mãn a  2b  3c  20 Tìm GTNN A  a  b  c    2b c Bài 10: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn ab  12; bc  CMR (a  b  c)         a b c  abc 12 1 121 Phân tích: Dự đốn GTNN A đạt ab  12, bc  a  3; b  4; c  Khi áp dụng Cauchy cho nhóm sau:  a b  a c   b c  a c b  , , , ; ; , , , , , , ,   18 24 ab   ac   16 bc   12 abc  Bài 12: Cho số thực dưng a,b tùy ý Tìm GTNN biểu thức: A  ab ab  ab a  b Bài 13: 1) Cho số thực dương a,b,c tùy ý Tìm GTNN biểu thức a b c bc ca ab      bc ca ab a b c a b c b  c c  a a  b  b  c c  a a  b  15 B           b  c c  a a  b 4a 4b 4c 4 a b c  1 1 2) Cho a, b  0, a  b  Tìm GTNN P  2  ,Q  2 a b 2ab 1 a  b 2ab 1 1 R   4ab, S  3   2 a b 2ab a  b a b ab 1 1 1   3) Cho x, y, z  0;    Tìm GTLN P  x y z 2x  y  z x  y  z x  y  2z A III.KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG TRUNG BÌNH NHÂN ab  bc  ca  Bài 1: Cho a, b, c  o; a  b  c  Chứng minh Bài 2: Cho a, b, c  0; a  b  c  Chứng minh a  b  b  c  c  a  18 Bài 3: Cho a,b,c dương a  b  c  Chứng minh Bài 4:Cho a,b,c số dương a  b  2c   b  c  2a   c  a  2b   3 1 1 1    CMR:   1 a b c 2a  b  c a  2b  c a  b  2c Bài 5: Cho số thực dương a,b,c CMR: Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG a b c   2 bc ac ba GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm Bài 6: Cho a,b,c dương a  b  c  CMR: Bài 7: Cho số thực dương a,b,c CMR: ab a  b  6c 2 bc  b  c  6a 2 ca  c  a  6b 2 ab bc ac   1 c  ab a  bc b  ac Bài 8: Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  CMR a b  c  b c  a  c a  b   2 2 a  bc b  ac c  ab Bài 9: Cho a,b,c dương a  b  c  CMR: a b3  Bài 10: Cho a,b,c dương a  b  c  CMR:  b c3   c  a3  bc ac ab    a  bc b  ca c  ab Bài 11: 1)Cho a,b,c dương a  b  c  CMR: ab c 3  bc a 3  ca b 3  2) Cho x,y số thực dương thỏa mãn x  y  CM x y  x  y   3) a) Cho số a,b không âm thỏa mãn a2  b2  CMR: a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   b) Với ba số dương x,y,z thỏa mãn x  y  z  Tìm GTLN biểu thức Q x y z   x  x  yz y  y  zx z  z  xy 4)Cho x,y,z số thực dương CMR x2 y2 z2   1 x  yz y  zx z  xy 5)Cho x, y  0; x  y  Chứng minh  x  y   5 xy 6)Cho số a,b,c số dương thỏa mãn a  b  c  CMR: a 2b  b c  c a  7)Cho x, y  Chứng minh : x  y3    x2  y  ( x  1)( y  1) 9a 2b c  2a 2b c 8 8) Cho x, y, z  0; xy  yz  xz  Tìm GTLN P  x  y  z 9)Cho x, y, z  0; x  y  z  Tìm GTNN P  x  y  z 10) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a2  2b2  3c2  Tìm GTLN P  2a3  3b3  4c3 Bài 12: Cho số thực dương a,b,c,d thảo mãn abc  bcd  cda  dab  Tìm GTNN P   a  b  c   9d IV.KỸ THUẬT AM-GM NGƯỢC DẤU a3 b3 c3 d3 abcd   Bài 1: CMR với số thực dương a,b,c,d ta có: 2  2  2 a b b c c d d a Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm Bài 2: CMR với số thực không âm a,b,c a  b  c  ta có: a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a Bài 3: CMR với số thực không âm a,b,c a  b  c  ta có: a2 b2 c2   1 a  2b3 b  2c c  2a Bài 4: Cho a, b, c  0; a  b  c  CMR: a 1 b 1 c 1   3 b2  c2  a  Bài 5: Cho a, b, c, d  0; a  b  c  d  CMR a 1 b 1 c 1 d 1    4 b2  c2  d  a  Bài 6: Cho a, b, c, d  0; a  b  c  d  CMR 1 1    4 b 1 c 1 d 1 a 1 Bài 7: Cho số thực dương a,b,c Tìm GTLN P  bc ac ab   a  bc b  ac c  ab a3 b3 c3 a bc    Bài 8: Cho số thực dương a,b,c CM: 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Bài 9: Cho số thực dương a,b,c a  b  c  Chứng minh V abc abc abc    a  abc b  abc c  abc Bài 10: Cho số thực dương a,b a  b  Tìm GTNN M  a2 b2  a 1 b 1 1 a  b2  c2     Bài 11: Cho số thực dương a,b,c a, b, c  CM 2a 2b 2c 2 Bài 12: Cho số thực dương x,y,z xyz  Chứng minh x4 y y4 z z4x    2 x 1 y 1 z 1 Bài 13: Cho số thực dương a,b,c a  b  c  Chứng minh a b c    b  16 c  16 a  16 16 1     9  a 1 b 1 c 1  Bài 14: Cho a, b, c  Chứng minh a  b  c   b(a  c)  c(a  b)   Bài 15: Cho a, b, c  0; a  b  c  Chứng minh a b c    b  ab c  bc a  ac a  b3 b3  c c  a   9 Bài 16: Cho a, b, c  0; a  b  c  Chứng minh ab  bc  ac  Bài 17: Cho x, y, z  0; x  y  z  Tìm GTNN biểu thức P  Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG x y z   2  y  z  x2 GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm ...  Bài 5: Cho số thực a  Tìm GTNN biểu thức A  a  a Bài 6: Cho số thực a  Tìm GTNN biểu thức A  a  a2 Bài 7: Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a  b  Tìm GTNN biểu thức A  ab  Bài. .. bc  ca  Bài 1: Cho a, b, c  o; a  b  c  Chứng minh Bài 2: Cho a, b, c  0; a  b  c  Chứng minh a  b  b  c  c  a  18 Bài 3: Cho a,b,c dương a  b  c  Chứng minh Bài 4:Cho a,b,c... 2b  c a  b  2c Bài 5: Cho số thực dương a,b,c CMR: Chuyên đề BĐT-Bồi dưỡng HSG a b c   2 bc ac ba GV: Nguyễn Thị Bảo Trâm Bài 6: Cho a,b,c dương a  b  c  CMR: Bài 7: Cho số thực