Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan - Toán học

Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số trên có cực đại, cực tiểu tạo thành.. Một tam giác vuông.[r]

4

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

CHUYÊN ĐỀ 1:

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN

6 Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

Bài toán hàm số vấn đề liên quan thuộc loại bản, để giải tốt phần em nên lưu ý đến bước toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Trong chương trình thi Tuyển Sinh đại học chỉ đề cập đến ba dạng hàm số cơ hàm số bậc ba, hàm trùng phương phân thức bậc bậc Cuốn tài liệu trình bày mẫu bước bài toán khảo sát, ngồi tốn liên quan phân theo dạng Đó tốn:

- Bài toán khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số

- Bài tốn vềtính đơn điệu hàm số

- Bài toán vềđiều kiện nghiệm phương trình, hệ phương trình( trình bày chi tiết trong chương 2)

- Bài toán sựtương giao đồ thị hàm số

- Bài toán cực trị hàm số

- Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

- Bài toán vềcác điểm đặc biệt

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dưới trình bày mẫu cách khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số ba dạng hàm số hàm đa thức bậc ba, hàm trùng phương hàm phân thức bậc bậc

Hàm đa thức bậc ba

Cho hàm số  

2

yx  x  m xm ,mlà tham số thực Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m1

Trình bày:

Khi m1ta có hàm số yx32x21 + Tập xác định: 

+ Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'3x24 ;x y x'( )0x0hoặc x Hàm sốđồng biến khoảng ; 0và 4;

3

 



 

 ; nghịch biến khoảng

4 0;

3

 

 

 

- Cực trị: Hàm sốđạt cực đại x0;yCÐ 1, đạt cực tiểu 4; CT 27 x y   - Giới hạn: lim ;

7

- Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

1; 0 0;1 Hàm trùng phương

Cho hàm số yx42m1x2m, mlà tham số thực Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m1

Trình bày:

Khi m1, ta có hàm số yx44x21 + Tập xác định D

+ Sự biến thiên:

8

Hàm số nghịch biến khoảng  ; 2và 0; ; đồng biến khoảng

 2; 0và  2;

- Cực trị: Hàm sốđạt cực tiểu x  2;yCT  3,đạt cực đại x0;yCÐ 1 - Giới hạn: lim lim

xyxy 

- Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

Đ 0;1  2 ; ;  2 3; 0

Hàm bậc nhất bậc nhất

Cho hàm số

1 x y

x

 



Khảo sát biến thiên vẽđồ thị  C hàm số cho

9

+ Tập xác định: D\ 1

+ Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

 2

1

0,

y x D

x

   



Hàm sốđồng biến khoảng  ; 1và  1;  - Giới hạn tiệm cận: lim lim 2;

xyxy tiệm cận ngang y2

 1

lim ,

x

y

  

 

 1

lim ;

x

y

  

  tiệm cận đứng x 1 - Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

1 ;

 



 

  0;1

10

Hàm số f x( )đồng biến khoảng a b; khi f '( )x 0, x a b;  Hàm số f x( )nghịch biến khoảng a b; khi f '( )x 0, x a b; 

Ta thường biến đổi bất phương trình f x'( )0thành hai vế vế hàm xcòn vế chứa tham số m

Có hai dạng bất phương trình sau

 

 ;

( ) ( ), ; ( ) ( )

x a b

f x g m x a b g m f x



    

 

 ;

( ) ( ), ; ( ) m ax ( )

x a b

f x g m x a b g m f x



    

Trong g m( )là hàm số theo tham số m

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho hàm số 1 1 3 2

y m x mx  m x

Tìm tất giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến tập xác định

Lời giải:

+ Tập xác định D

Ta có  

'

y  m x  mx m

Vậy hàm số đồng biến tập xác định

     

2

1

' 0,

2

'

m m

y x m

m m

m m m

  

 

 

     

  

      

 



Vậy m2là giá trị cần tìm

Bài 2.Cho hàm số y mx x m

 



Tìm tất giá trị tham số mđể hàm số nghịch biến khoảng ;1

Lời giải:

+ Tập xác định D\m Ta có

 

2

4

' m

y

x m

 



Hàm số nghịch biến khoảng xác định y'0m2 4 0  2 m2

Để hàm số nghịch biến khoảng ;1thì ta phải có m 1 m1

11 Bài 3. Cho hàm số yx33x2 mx4

Tìm tất giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến khoảng ; 0

Lời giải:

+ Tập xác định D Ta có y'3x26x m

Hàm sốđồng biến khoảng ; 0

   

 

2

;0

' 0, ;0 ( ) , ;0 ( )

x

y x m f x x x x m f x

 

            

Ta có f x'( )6x6, f x'( ) 0 x 1 Lập bảng biến thiên hàm số f x( )suy

 ;0

min ( ) ( 1)

x  f x  f   

Vậy giá trị cần tìm mlà m 3

Bài 4.Cho hàm số y2x33 2 m1x2 6m m 1x1

Tìm tất giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến khoảng 2;

Lời giải:

+ Tập xác định D

Ta có y'6x26 2 m1x6m m 1 có  2m124m m 11

'

1 x m y

x m

 

  

 



Suy hàm sốđồng biến khoảng ;mvà m 1;  Vậy hàm sốđồng biến khoảng 2; m 1 2 m1

Bài 5. Cho hàm số yx42mx2 3m1

Tìm tất giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến khoảng 1; 2

Lời giải:

+ Tập xác định D

Ta có y'4x34mx4x x 2m

+ Nếu m0 y'0, x 1; 2m0thỏa mãn

+ Nếu m 0 y'0có nghiệm phân biệtx  m x, 0,x m

Hàm số đồng biến khoảng  m; ,  m; Vậy hàm số đồng biến khoảng

12 Bài 6.Cho hàm số    

1 2

yx   m x  m xm

Tìm tất giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến khoảng 0;

Lời giải:

+ Tập xác định D

Ta có y'3x22 2  m x  2 m

Hàm sốđồng biến khoảng 0;

   

2

' 2 0, 0;

y  x   m x m  x 

   

2

3x 2x m 4x 0, x 0;

        

 

 

2

0;

3 2

( ) , 0; ( )

1 x

x x

f x m x m f x

x  

 

       



Ta có  

 

2

2

2 1 73

'( )

12

x x

f x x x x

x

   

       



Lập bảng biến thiên hàm số f x( )trên 0;suy

0; 

1 73 73 ( )

12

x  f x f

   

  

 

Vậy 73

m  giá trị cần tìm Bài 7. Cho hàm số 2

3

y x  x mx

Tìm tất giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến khoảng ;1

Lời giải:

+ Tập xác định D Ta có y'x24xm

Vậy hàm sốđồng biến khoảng ;1khi y'x24xm0,  x  ;1

 

 

2

;1

( ) , ;1 max ( )

x

m f x x x x m f x

 

         

Ta có  

 ;1

'( ) 0, ;1 max ( ) (1)

x

f x x x f x f

 

        

Vậy m3 giá trị cần tìm

Bài 8. Cho hàm số yx33mx23x3m4

Tìm tất giá trị tham số mđể hàm số nghịch biến đoạn có độdài

Lời giải:

13

Ta có y'3x22mx1

Vậy hàm số nghịch biến đoạn có độdài chỉkhi phương trình y'0có nghiệm x x1, 2thỏa mãn x1x2 1

Điều tương đương với

 

2

2

1 2

1 '

(*)

1

m m

x x x x x x

 

   

 



 

    

 

 

Theo định lý Vi – ét ta có

1

2

x x m

x x

 

 

 

, thay vào (*) ta dược

2

1

2 4

m

m m

 



  



  



Vậy m  

 

 

là giá trị cần tìm

Bài 9. Cho hàm số yx3m1x22m23m2x m 2m1 Tìm tất giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến 2; Lời giải:

+ Tập xác định D

Ta có y'3x22m1x2m23m2 

Hàm sốđồng biến 2;khi y'0, x

     

2

( ) 2 0, 2;

f x x m x m m x

          

Vì tam thức f x( )có  ' 7m27m 7 0,m

Nên f x( )có hai nghiệm phân biệt: 1 '; 2 '

3

m m

x     x    

Vậy

1

( ) x x

f x

x x

 

  

 

Vậy hàm sốđồng biến khoảng ;x1 , x2; Vậy hàm sốđồng biến

trên đoạn 2;

 2

2

5 3

2 '

2

2

'

m m

x m m

m m

m

 

  



          

  

  

 



Vậy 2;3 m  

14 Bài 10.Cho hàm số  1 3 2

3

y mx  m x  m x

Tìm tất giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến 2;

Lời giải:

+ Tập xác định D

Ta có y'mx22m1x3m2

Vậy hàm số đồng biến khoảng 2;khi

     

2

' 0, 2;

y mx  m x m   x 

 

 

2 2;

6

( ), 2; m ax ( )

2 x

x

m f x x m f x

x x  



       

 

Ta có  

 

2

2

2

2

'( ) 3

2

x x

f x x x x

x x

 

         

 

Lập bảng biến thiên hàm số f x( )trên 2;ta suy

2; 

2 m ax ( ) (2)

3

x  f x  f 

Vậy

m giá trị cần tìm

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Cho hàm số 1 2  2 3 1

y m x  m x  m xm Tìm giá trị tham số mđể hàm sốđồng biến tập xác định 1.2. Cho hàm số

4 x m y

x m

 

 Tìm giá trị tham số mđể hàm số nghịch biến

khoảng 1;

1.3. Tìm giá trị tham số mđể hàm số yx3m1x24x3nghịch biến tập xác định

1.4. Cho hàm số y x33x2mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

nghịch biến khoảng 0;

1.5. Cho hàm số    

3 12

y x  m x  m x đồng biến hai khoảng  ; 1

và 2;

1.6. Cho hàm số yx33x2mxm Tìm m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài

1.7. Cho hàm số  

4

y x  m x mx Tìm m để

15 b. Hàm sốđồng biến 0;

c. Hàm số nghịch biến đoạn 1; 2

 



 

 

d. Hàm sốđồng biến đoạn có độ dài

1.8. Tìm m để hàm số  1 3 2

3

y mx  m x  m x đồng biến khoảng 2, 1.9. Tìm để hàm số  

3

yx  x  m x m nghịch biến khoảng 1,1 1.10. Tìm m để hàm số 3 2

3 m

y  x mx  m x đồng biến  1.11. Tìm m để hàm số 2 1  1

3

y mx  m x  m xm đồng biến khoảng

, 02,

1.12. Cho hàm số y x42mx2m2 Tìm m để

a. Hàm số nghịch biến 1,

b. Hàm số nghịch biến khoảng 1, 0  2, 3

1.13. Cho hàm số y x x m

 

 Tìm m để

a. Hàm số nghịch biến khoảng xác định b. Hàm sốđồng biến khoảng 0,

KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PT, HPT

Phương pháp:

Xét hàm số f x( )liên tục miền D

- Nếu f x( )đơn điệu tăng đơn điệu giảm Dkhi phương trình f x( )0nếu có nghiệm nghiệm

- Nếu tồn a b, D thỏa mãn f a f b( ) ( )0khi phương trình f x( )0có nghiệm

 

0 ,

x  a b

BÀI TẬP MẪU

Bài Chứng minh phương trình x5x22x 1 0có nghiệm thực

16

Phương trình tương đương với : x5 x12  0 x0 Với x 0 x12 1 Khi để phương trình có nghiệm x5  1 x1

Vậy ta xét nghiệm phương trình khoảng 1, Ta xét hàm số f x( )x5x2 2x1liên tục 

Ta có f x'( )5x42x 2 2x42x  3x420, x 1,

Do hàm số f x( )đơn điệu tăng 1, Do có nghiệm phương trình cho

có nghiệm Mặt khác ta lại có

(1) 3; (2) 23 (1) (2)

f   f   f f  Vậy phương trình cho có nghiệm thực nhất. Bài 2. Chứng minh phương trình x.2x 1có nghiệm thực khoảng 0,1

Lời giải :

Xét hàm số f x( )x.2x1 khoảng 0,1

Ta có '( ) 2x ln 2x 1x ln 2 0, 0,1

f x  x  x   x Nên hàm số f x( )đơn điệu tăng

khoảng 0,1

Mặt khác ta lại có f(0) 1; (1) 1f   f(0) (1)f   1 Từđó suy phương trình cho có nghiệm khoảng 0,1

Bài 3. Chứng minh phương trình

 12

x

e

x x

 

có nghiệm thực đoạn 1,1

 

 

 

Lời giải :

Phương trình tương đương với : ex x x 12 Với 1,1

2 x  

 ta lấy logarit tự nhiên hai vế phương trình ta

 

ln ln (*)

x x x 

Ta xét hàm số f x( )xlnx2 lnx1 liên tục đoạn 1,1

 

 

 

Ta có

 

2

1 2 1

'( ) 0, ,1

1

x x

f x x

x x x x

   

        

    Nên f x( )đơn điệu giảm doạn

1 ,1

 

 

  Mặt khác ta có

1

(1) ln 0; ln 2 ln

2 2

f    f        

Từđó suy phương trình (*) có nghiệm 1,1

 

 

17

Bài 4. Chứng minh phương trình xx1 x1xcó nghiệm thực dương

Lời giải :

Điều kiện : x0

Lấy logarit tự nhiên hai vế phương trình ta : x1 ln xxlnx10 Xét hàm số f x( )x1 ln xxlnx1 khoảng 0,

Ta có

 

1

'( ) ln ln( 1) ln

1 1

x x x x

f x x x

x x x x x

   

       

    

Xét hàm số

   

2

( ) ln , 0;

1

x x

g x x

x x x



 

    

 

 

Ta có g x'( ) 21 x



  , nên hàm số g x( )đơn điệu giảm khoảng 0, Mặt khác ta có

 

2

lim ( ) lim ln

1

x x

x x

g x

x x x

 

    

    

     

 

Vậy g x( )0, x 0, Từ

suy f '( )x 0, x 0, Vậy f x( )là hàm đơn điệu tăng khoảng 0, Mặt khác ta có (1) ln 0, lim ( ) lim ln

1

x x x

x

f f x x

x

 

  

       



 

 

 

Từđó suy phương trình f x( )0có nghiệm x01, Ta có đpcm

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Chứng minh phương trình x510x39x 1 0có nghiệm thực phân biệt 1.2. Chứng minh phương trình 4x4x211có ba nghiệm thực phân biệt 1.3. Chứng minh với nguyên dương n phương trình

2 2

n 2012 n 2004

xx x  x  x   có nghiệm thực 1.4. Chứng minh phương trình :

 2011  

1 1 3

x  x x x  x  x  có nghiệm thực 1.5. Chứng minh phương trình :

*

1 1

0,

1 n n

xx  x   x n   ln có nghiệm thực thuộc khoảng 0,1 1.6. Chứng minh phương trình : lgxsinxcó nghiệm thực đoạn

3 , 2

 

 

 

 

18

2

tan tan tan

2 2n

x  x  x 

     

      

     

      có nghiệm thực khoảng 0, 4

1.8. Cho n2 ,k k Chứng minh phương trình :

   

1 n n 2012n

n x   n x    

1.9. Chứng minh với m phương trình sau ln có nghiệm

   

3 2

3 1

x  m x  m  x m  

1.10. Chứng minh phương trình x33x2 1 0có ba nghiệm phân biệt

1

x x x thỏa mãn

   

1

1

2 2 27

x x

x x x

 

 

   

 

1.11. Chứng minh với A B C, , ba góc tam giác phương trình sau ln có nghiệm phân biệt

2 2

3 sin sin sin

2 2

x x A B C

  

1.12. Chứng minh với m hệ sau ln có nghiệm

   

 

2008 2008

2

( ) ( )

4

f x f y

x m y

  

 

  

 

, f x( )x23x2 x22x3

BÀI TỐN VỀ SỰTƯƠNG GIAO

Phương trình hồnh độgiao điểm hai đường congy f x( )và yg x( )

Khi sốgiao điểm hai đường cong số nghiệm phương trình (*)

Trong kì thi Tuyển sinh Đại học Cao đẳng xét toán giao điểm đường thẳng với đồ

thị hàm số bậc ba, hàm trùng phương đồ thị hàm phân thức bậc bậc Kiến thức cần vận dụng:

Hai đường cong tiếp xúc nhau:

Hai đường cong  C :y f x( )và  C' :yg x( )tiếp xúc hệphương trình:

0

0

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

 



 

có nghiệm x0 Tương giao với hàm đa thức bậc ba:

(i) Xét phương trình: yax3bx2cx d 0 (*),a0

Khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt chỉkhi đồ thị hàm số

19

3

0

yax bx cxd có hai điểm cực trị thỏa mãn yCDyCT 0

i.1- Nếu phân tích phương trình (*) thành

  

1 2

( ) (1)

x x

a x x x px q

g x x px q

 

     

  



Khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt chỉkhi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác x1

2

0

4 ( ) a

p q

g x

  

    

 



i.2-Định lý Vi-ét

1

1 2 3

1

(1)

(2)

(3)

b

x x x

a c

x x x x x x

a d

x x x a



   

  

  

  

 



Một số biến đổi thường dùng:

 2  

2 2

1 3 2 3

x x x  x x x  x x x x x x

 3   

3 3

1 3 3 2

x x x  x x x  x x x x x x

i.3- Phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp cố cộng x1x3 2x2thay vào (1) suy

3 b x

a

  , lúc thay ngược vào phương trình (*) ban đầu tìm giá trị tham số cần tìm

Tuy nhiên chưa phải điều kiện cần đủdo với giá trị tham số tìm cần giải lại phương trình xem phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng hay khơng Lúc

mới chấp nhận giá trị tham sốđó hay khơng

i.4- Một cách tương tự phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân

x x x , lúc ta thay vào (3),…

(ii) Xét với a0, ta có:

ii.1- Đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt biệt có hồnh độ  ,

phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt  x1x2và thỏa mãn

1

( )

( ) ( )

y

y x y x

 

 

20

ii.2- Đồ thị hàm số cắt trục hồnh ba điểm phân biệt biệt có hoành độ  ,

phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt x1x2 và thỏa mãn

1

( )

( ) ( )

y

y x y x

 

 

 

Với a0, ta biến đổi phương trình hồnh độ giao điểm vềphương trình có hệ số adương áp

dụng với trường hợp a0

Tương giao với hàm trùng phương :

(i) Xét phương trình: ax4 bx2c a, 0 (*)

Đặt tx2 0, phương trình trở thành

2

( ) (1)

g t at bt c

i.1-Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt chỉkhi phương trình (1) có nghiệm phân biệt dương

2

0

4 0 a

b ac b S

a c P

a

  

   

 

     



 

 

Khi phương trình (1) có nghiệm 0t1t2 Lúc phương trình (*) có bốn nghiệm là:

1 2, 1, 1,

x   t x   t x  t x  t

i.2- Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng

2 2 91

x x x x x x  t  t  t t  t

Định lí Vi-ét với phương trình (1) ta lại có:

1

1

b t t

a c t t

a



  

  

 

 

Lưu ý: Dạng tốn ln cần thiết sử dụng đến định lí Vi-ét BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho hàm số  

2

21

Tìm mđểđồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3thỏa mãn

điều kiện 2

1

x x x  Lời giải:

Phương trình hồnh độgiao điểm: x32x21m x m0

  

1

x x x m x

       hoặcx2 x m0 (*)

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt chỉkhi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác

Kí hiệu g x( )x2 x m x; 11,x2và x3là nghiệm (*)

Yêu cầu toán thỏa mãn

2

2

0

1

(1) 0

4 3

m

g m m

m

x x

    

 

       

 

   

  



m0

Vậy 1,1 \ 0

m  

  giá trị càn tìm

Bài 2.Cho hàm số yx4mx2m1 (1)

Tìm mđểđồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt

Lời giải:

Phương trình hồnh độgiao điểm: x4mx2m 1

Đặt tx2 0, phương trình trở thành

2

1 (*) t mtm 

Yêu cầu tốn thỏa mãn chỉkhi phương trình (*) có nghiệm phân biệt dương

 22 0

0

0

m

S m m

P m

  

  



 

      

    

 

Bài 3. Cho hàm số yx33x2mx1 (1) (mlà tham số)

Tìm mđểđường thẳng d y: 1cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A0;1 , B C, cho tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) Bvà Cvng góc với

Lời giải:

22

 

3 0

x x x m x

      hoặcx23xm0(*)

Kí hiệu g x( )x23xm

Đường thẳng dcắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt chỉkhi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác

9

,

(0)

m

m m

g m

   



   

 



Khi hồnh độ B C, nghiệm phương trình (*) Hệ số góc tiếp tuyến B C,

2

1 B B ; C C

k  x  x m k  x  x m

Tiếp tuyến B C, vng góc với

  

1 B B C C

k k    x  x m x  x m  

 

    

3 xB 3xB m 2m 3xB xC 3xC m 2m 3xC

          

    

2m 3xB 2m 3xC 4m 6m xB xC 9x xB C 1(2)

          

Theo định lí Vi-ét ta có B C

B C

x x

x x m

  

 

 

, (2) trở thành

2 65

4

8

m m m 

     

Bài 4.Cho hàm số yx33m x2 2m (1)

Tìm mđểđồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt

Lời giải:

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt đồ thị hàm số (1) phải có hai điểm cực trị y'3x23m2 0có hai nghiệm phân biệt m0 (*)

Khi y' 0 x m

Đểđồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm yCT 0hoặc yCD 0

3

( ) 2 0

y m m m m m

        

3

( ) 2 0

y m m m m

      

Chỉ có m 1thỏa mãn điều kiện (*) Vậy giá trị cần tìm m m 1hoặc m1

Bài 5. Cho hàm số yx42m1x22m1 (1)

Tìm mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số

cộng

23

Phương trình hồnh độ giao điểm:x42m1x22m 1

Đặt tx2 0, phương trình trở thành  

2 (*)

t  m t m 

Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm dương

 

2

0 '

1

0 0 (2)

2

0

m

S m m

P m

 

  

 

        

  

 

 

Khi (*) có hai nghiệm 0t1t2 Suy hồnh độ bốn giao điểm

1 2; 1; 1;

x   t x   t x  t x  t Bốn điểm lập thành cấp số cộng

2 2 91

x x x x x x  t  t  t t  t

   

4

1 4

9 m

m m m m m m

m

  

         

  



thỏa mãn (2)

Vậy giá trị cần tìm mlà 4; m  

 

Bài 6.Cho hàm số yx36x2 9x6 C

Tìm mđểđường thẳng  d :ymx2m4cắt đồ thị  C ba điểm phân biệt

Lời giải:

Phương trình hồnh độgiao điểm: x36x29x 6 mx2m4

    

3 2

6 2

x x m x m x x x m

            

2

x

  hoặcx24x 1 m0 (*)

Kí hiệu g x( )x24x 1 m Yêu cầu toán thỏa mãn chỉkhi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác

'

3 (2)

m

m

g m

   

 

    

   

 

Bài 7. Cho hàm số y2x33m1x26mx2Cm Tìm mđểđồ thị Cmcắt trục hoành điểm

24

Phương trình hồnh độgiao điểm:  

2x 3 m1 x 6mx20

 

3 2

2x 3x 3m x 2x (*)

    

Nhận thấy x0,x2không nghiệm phương trình (*), phương trình (*) tương đương với:

3

2

2

3 (1)

2

x x

m

x x

 





Xét hàm số

3

2

2 ( )

2

x x

g x

x x

 



 , ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy để phương trình (1) có nghiệm

3 3 3m 3 3  1 3m 1

Vậy m1 3,1 3là giá trị cần tìm

Cách 2: Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm xảy hai khả

1. Hàm số đồng biến nghịch biến

2. Hàm số có cực đại, cực tiểu yCÐyCT 0

Bạn đọc tự làm theo hướngnày so sánh với kết

Bài 8. Cho hàm số  

2 m

yx mx C

Tìm mđểđồ thị Cmcắt trục hồnh điểm

Lời giải:

Phương trình hồnh độgiao điểm: x3mx 2

 

2

0

m x x

x

     , x0không nghiệm phương trình Xét hàm số f x( ) x2

x

   Ta có

3

2

'( ) x

f x x

x



   

25

Từ bảng biến thiên hàm số f x( )ta suy để phương trình có nghiệm m 3

Bài 9. Cho hàm số  

3

yx  x  C

Gọi dlà đường thẳng qua điểm A1; 0với hệ số góc k Tìm kđểđường thẳng dcắt đồ

thị  C hàm số ba điểm phân biệt A B C, , giao điểm B C, với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng d y: k x 1

+ Phương trình hồnh độgiao điểm: x33x24k x 1

  

1 4

x x x k x

         hoặcx22 k (*)

+ Đường thẳng dcắt  C ba điểm phân biệt 0k 9(**)

Khi giao điểm dvà  C

 1; , 2 ;3  , ;3 

A  B  k kk k C  k kk k

Ta có    

2

2 , ; ;

1 k

BC k k d O BC d O d

k

   



+ Diện tích tam giác OBClà  ;  1

OBC

S  BC d O BC k k  k  ( thỏa mãn điều kiện **) Vậy k 1là giá trị cần tìm

Bài 10. Cho hàm số yx32mx2 m3x4Cm

Tìm giá trị mđể đường thẳng d y:  x 4cắt đồ thị Cmcủa hàm số ba điểm phân biệt

0; , ,

26 Lời giải:

Phương trình hồnh độgiao điểm:  

2 4

x  mx  m x x

   

3 2

2 2

x mx m x x x mx m

         

0

x

  hoặcx22mx m  2 0(*)

Kí hiệu g x( )x22mx m 2 Khi đường thẳng dcắt đồ thị Cmtại ba điểm phân biệt chỉkhi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác

2

2

'

(1)

(0)

m m

m m

m

g m

   

     

 

 

   



, B B 4; C C

B C d y x  y x  ta có d K BC ; d K d ;  Vậy  ;  16 256

2

KBC

S  BC d K BC  BC  BC 

 2  2  2  2

256 256 128(2)

B C B C B C B C B C

x x y y x x x x x x

            Theo định

lí Vi-ét ta có:xBxC  2 ;m x xB C m2

 

2 137

(2) 4 128 34

2

m m m m m 

           thỏa mãn (1) Vậy 137

2

m  giá trị cần tìm

Bài 11. Cho hàm số yx33mx23m2 1xm21 (1)

Tìm giá trị mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ dương

Lời giải:

Ta có y'3x26mx3m21

2

'

1

CD CT

x m x

y x mx m

x m x

  



       

  



Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độdương

   

 

0

2 2

2

1

0,

1

(0)

1

CD CT CD CT

m

y y m

x x m

m m m m

a y

m



   

  

 

      

      

  

 

 



27 Bài 12. Cho hàm số  

3

yx  x  C

Gọi dlà đường thẳng qua điểm A2; 0có hệ số góc k Tìm kđể đường thẳng dcắt đồ thị

 C hàm số điểm phân biệt A B C, , cho tiếp tuyến  C B C, vng góc với

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng d y: k x 2

+ Phương trình hoành độgiao điểm:  

3

x  x  k x

  

2 2

x x x k x

        hoặcx2   x k 0(*)

Kí hiệu g x( )x2  x k dcắt C điểm phân biệt chỉkhi phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác

9

0 (1)

(2)

k

k

g k

   



    

   

Các tiếp tuyến B C, vng góc với y x' B 'y x C  1

  

3xB 6xB 3xC 6xC (2)

    

Theo định lí Vi-ét ta có

1

B C B C

x x

x x k

 

 

   

Kết hợp với (1) (2) ta suy ra:

2 2

(2) 18

3

k k k  

      ( thỏa mãn (1)) Vậy 2

3

k   giá trị cần tìm Bài 13. Cho hàm số yx33x C 

Chứng minh mthay đổi đường thẳng d y: m x 12luôn cắt đồ thị  C

điểm cố định M xác định giá trị mđể dcắt  C ba điểm phân biệt M N P, , cho tiếp tuyến  C N P, vng góc với

Lời giải:

+ Phương trình hồnh độgiao điểm: x33xm x 12

  

1

x x x m x

         hoặcx2  x m0(*)

28

+ dcắt C điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt, khác -1 9

0 (1)

0

m

m m

   



    

 



Tiếp tuyến N P, vng góc với y x' N 'y x P  1

  

3xN 3xP (2)

    

Theo định lí Vi-ét ta có

1

B C B C

x x

x x m

 

 

  



2 2

(2) 18

3

k k k  

       ( thỏa (1)) Vậy 2

3

k   giá trị cần tìm

Bài 14. Cho hàm số 2 

3 m

y x mx  x m C

Tìm mđể đồ thị hàm số Cmcắt trục hoành ba điểm phân biệt có tổng bình phương hồnh độ lớn 15

Bài 15. Cho hàm số yx43m2x23m1Cm

Tìm mđểđường thẳng d y:  1cắt đồ thị Cmtại bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏhơn

Lời giải:

+ Phương trình hồnh độgiao điểm: x43m2x2 3m 1

  

1 1

x x m x

       hoặcx2 3m1(*)

Yêu cầu toán thỏa mãn chỉkhi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏhơn

1

0

3 1

0

m m

m

m



     

 

 

 

  

Vậy giá trị cần tìm mlà 1;1  0 \

 



 

 

Bài 16. Cho hàm số 2  

2 m

yx  m x m  m C

Chứng minh đồ thị hàm số Cmln cắt trục hồnh điểm phân biệt với

0

29 Lời giải:

+ Phương trình hồnh độgiao điểm: x42m x2 2m42m0(*)

Đặt tx2 0, phương trình (*) trở thànht22m t2 m42m0(1) Ta có ' 22 0

2

m

m

S m

   



  



 



phương trình (1) ln có nghiệm dương

Từđó suy phương trình (*) có nghiệm phân biệt.Đó đpcm

Bài 17. Tìm m cho đồ thị hàm số  

4

yx  x m C cắt trục hoành điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn  C trục hồnh có phần phần trục hồnh

Lời giải:

Phương trình hoành độgiao điểm: x44x2m0

Đặt tx2  0 phương trình trở thành t24tm0(1)

Vậy  C cắt Oxtại điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt

dương 0t1t2

'

4 0 ( )

0

m

S m i

P m

   

 

     

  



Khi hồnh độ4 giao điểm  C Oxlà

1 2

x   t x   t x  t x  t Yêu cầu toán tương đương với

  4  3  4 

2 3

3

4 4

0

4 4

x

x x

x x x

x  x m dx  x  x m dx x  x m dx  x  x m dx

   

5

4 4 4

1 4

0 0(2)

5x 3x mx 5x 3x m

       

Ta lại có x444x42m0(3) Từ (2) (3) suy 0 4m  m m (loại) Hoặc 20

9

m (thỏa (i)) Vậy 20

9

m giá trị cần tìm

Bài 18. Cho hàm số yx42m1x22m1Cm Tìm tất giá trị thực tham số m

30 Lời giải :

Phương trình hồnh độgiao điểm : x42m1x22m 1 0, đặt tx2t0 phương

trình trở thành :

 

2

2 0(*)

t  m t m  Để đồ thị Cmcắt trục hồnh bốn điểm phân biệt phương

trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt t2 t10

 

2

'

1

2 0 ( )

2

2

m

S m m i

P m

  



       

   



Khi hoành độ bốn giao điểm  t2, t1, t1, t2

Ta có  ,  2 1 2 1 2 1 2 1 2 16

2

ACK

S  d K AC AC  t  t   t  t  t t  t t 

Theo định lý Viét ta có : t1t2 2m1 ; t t1 2 2m1, từđó suy :

 

 2

7

2 2 16

2 m

m m m m m

m m

 

 

          

  

 

thỏa mãn điều kiện (i).

Vậy m4là giá trị cần tìm

Bài 19. Biết đường thẳng dđi qua điểm M2; 0và có hệ số góc k cắt đồ thị hàm số

3

y x  x  bốn điểm phân biệt Tìm giá trị k

Lời giải:

Đường thẳng d y: k x 2, ta dùng trực quan đồ thị để biện luận số giao điểm đường thẳng dvà đồ thị hàm sốy x33x 2  C1

31

Ta có

3

3

( ) 2,

( ) 2,

f x x x x

y x x

f x x x x

    



    

     

 

Do đồ thị  C1 gồm hai phần

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị  C bên phải trục tung

32

Để đường thẳng dcắt  C1 bốn điểm phân biệt dphải nằm miền giới hạn hai đường thẳng

- Đường thẳng thứ qua điểm M2; 0và A0; 2 có hệ số góc k11 - Đường thẳng thứ hai tiếp tuyến với  C1 ứng với x0, ta xác định k2 Ta có

 

3

2

2

2

3 2

1 3

6

x x k x

x

x k

k x

    



  

 

   

 

 



  

 

Vậy để dcắt  C1 bốn điểm phân biệt,

1

k k k  k 

Vậy k1; 9 là giá trị cần tìm

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Tìm giá trị thực tham số mđểđồ thị Cmcủa hàm số tiếp xúc với trục hoành

1.  

3 3 m

yx  x  mx m C

2. yx3m1x22m23m2x2m2m1  Cm 3. ymx3m1x24m3x6 m C m

1.2. Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d y: m x 3tiếp xúc với đường

cong 3

y  x  x

1.3. Tìm giá trị tham số m để hai đườngcong sau tiếp xúc

     

1 : 1

C ymx  m x  m x C2:y mx2m1xm

1.4. Tìm m để đồ thị hàm số yx33m1x23m21x m 3 1 0cắt trục hoành điểm

1.5. Tìm m để đồ thị hàm số yx4mx2m1cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ lớn 2

1.6. Viết phương trình đường thẳng dcắt đồ thị hàm số yx33x2tại ba điểm phân biệt

, ,

A B Csao cho xA 2và BC2

1.7. Viết phương trình đường thẳng dsong song với trục hồnh cắt đồ thị hàm số

3

1

3

3

33

1.8. Tìm tất giá trị tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

3

3 3

yx  x  mx m trục hồnh có phần nằm phía trục hồnh phần nằm phía trục hồnh

1.9. Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số

     

3

4

2

3 m

y x  m x  m x C giao điểm A Cm với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích

3

1.10. Tìm m để đường thẳng d y: m cắt đồ thị hàm số y x42x2 3tại bốn điểm phân biệt M N P Q, , , có hồnh độ x1 x2 x3 x4sao cho MN NP PQ, , độ dài ba cạnh tam giác

1.11. Giả sử đồ thị hàm số  

3

yx  m x  m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt,

khi m0gọi Alà giao điểm có hồnh độ lớn nhất; tiếp tuyến với đồ thị hàm số Acắt trục tung B Tìm m để tam giác OABcó diện tích 24

1.12. Tìm m để đồ thị hàm số yx33m1x22m24m1x4m m 1cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn

1.13. Chứng minh đồ thị hàm số yx36x29xm cắt trục hoành ba điểm phân biệt x1x2 x3 thỏa mãn 0x1 1 x2  3 x4 4

1.14. Tìm m để đồ thị hàm số yx32m2x27m1x3m4cắt trục hoành

điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 hỏa mãn x12x22x323x x x1 3 53

1.15. Chứng minh m thay đổi đường thẳng dm :ymxm2luôn cắt

     

:

m

C yx  m x  m m xm điểm Acó hồnh độkhơng đổi Tìm

m để dmcắt Cmtại điểm khác A mà tiếp tuyến Cmtại hai điểm song

song với

1.16. Tìm m đểđường thẳng d y:   x 1cắt Cm:y4x36mx21tại điểm A0;1 , , B C

biết B C, đối xứng với qua đường phân giác thứ

1.17. Tìm m đểđồ thị Cm:yx44x2mcắt trục hoành điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn Cmvà trục hồnh có phần phần

1.18. Cho hàm số    

2 2 m

y x  m x  m C Tìm tất giá trị tham số mđể

Cmcắt trục hoành bốn điểm cách 1.19. Tìm m để đồ thị hàm số  

2

yx  m x  m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

1.20. Chứng minh với m0thì đồ thị hàm số yx42m x2 22m m 4ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt

1.21. Tìm tất giá trị củ tham số m để đường thẳng d y: mx2m4cắt đồ thị hàm số

3

6

34

1.22. Tìm m để đồ thị hàm số yx33x2mx 2 m cắt trục hoành ba điểm phân biệt

, ,

A B Csao cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số A B C, ,

1.23. Tìm tất cặp số m n, sao cho giao điểm đồ thị hàm số

 

3

ymx nx mxn C có hai điểm cách 2011và khoảng cách từ tâm đối xứng  C đến trục hoành 2012

1.24. Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d y:  3 xcắt đồ thị hàm số

 

3

3

yx  x mx m C ba điểm phân biệt A1; , , B Csao cho tiếp tuyến với

 C B C, cắt  C M N, tứ giác BMNClà hình thoi

1.25. Tìm tất cặp giá trị m n, để đường thẳng d y: mx n cắt đồ thị hàm số

4

4

y x  x  bốn điểm phân biệt A B C D, , , có hồnh độ

1

x x x x cho ABCD BC

1.26. Cho hàm số 2  2 3  

3 m

y x  m x  m xm C Tìm giá trị tham số m đểđường thẳng d y:   x m cắt Cmtại ba điểm phân biệt A0,m, ,B C, đồng thời

OAlà phân giác góc BOC

1.27. Tìm giá trị tham số m đểđồ thị hàm số yx33x23mxm cắt trục hoành ba điểm phân biệt A B C, , có hồnh độ tương ứng thỏa mãn

xA23xB 23xC23 3

1.28. Tìm m để đồ thị hàm số yx33mx2m1 cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt , ,

A B C cho ABBC

Tương giao với hàm phân thức bậc nhất bậc nhất : BÀI TẬP MẪU

Bài 1.Cho hàm số 1 

2 x

y C

x

  



Chứng minh với mđường thẳng yxmluôn cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt A

và B Gọi k k1, 2lần lượt hệ số góc tiếp tuyến với  C Avà B Tìm mđể tổng

1

k k lớn

Lời giải:

Hoành độgiao điểm củad y:  x mvà C nghiệm phương trình:

x x m

x

 

 

35 x m2x 1 x

      (

2

x không nghiệm)2x22mx m  1 0(*) Ta có  ' m2 2m 2 0,m Suy dluôn cắt  C hai điểm phân biệt với m

Gọi x x1, 2là nghiệm (*), ta có

   

   

 

 

2

1 2

1 2 2

1 2

4

1

2

x x x x x x

k k

x x x x x x

    

     

    

Theo định lí Vi-ét ta có 1 2 ; 1 2 m x x  m x x   

Từ suy k1k2  4m28m  6 4m12  2 Dấu xảy

1

m 

Vậy giá trị lớn k1k2  2khi m 1

Bài 2.Cho hàm số  

2 x

y C

x

 



Chứng minh với mđường thẳng y  x mluôn cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt

Avà B Gọi k k1, 2lần lượt hệ số góc tiếp tuyến với  C Avà B Tìm mđể tổng

1

k k nhỏ

Lời giải:

Hoành độgiao điểm củad y:   x mvà C nghiệm phương trình:

x x m

x



  



x m2x 1 x

      (

2

x không nghiệm)2x22mx m  1 0(*) Ta có  ' m2 2m 2 0,m Suy dluôn cắt  C hai điểm phân biệt với m

Gọi x x1, 2là nghiệm (*), ta có

   

   

 

 

2

1 2

1 2 2

1 2

4

1

2

x x x x x x

k k

x x x x x x

    

   

    

Theo định lí Vi-ét ta có 1 2 ; 1 2 m x x  m x x   

Từđó suy k1k2 4m28m 6 4m12 2 Dấu xảy m 1 Vậy giá trị nhỏ k1k2 2khi m 1

Bài 3. Cho hàm số  

2 x

y C

x

 

36

Chứng minh đường thẳng d y:   x mluôn cắt đồ thị hàm số  C điểm phân biệt A

và B Tìm mđểđoạn ABcó độ dài nhỏ

Lời giải:

Hoành độgiao điểm dvà  C nghiệm phương trình: 2 x x m

x



  



 x mx 2 2x

     

( dox 2không nghiệm)  

4 (*)

x m x m

     

Ta có  4m24 2  mm2120,m Suy dln cắt  C hai điểm phân biệt ,

A B

Do A B,  d yA  xAm y; B  xB m Từđó suy

 2  2  2  2

2

2

A B A B A B A B A B

AB  x x  y y  x x  x x  x x

Theo định lí Vi-ét ta có: xAxB m4;x xA B  1 2m Từđó suy

 

2

2 12 2

AB  m   AB Dấu xảy m0

Vậy giá trị nhỏ AB 2khi m0

Bài 4.Cho hàm số  

1 x

y C

x

 



Đường thẳng dcó hệ số góc kđi quađiểm I1;1và cắt  C hai điểm phân biệt M N

sao cho I trung điểm MN.Tìm k

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng d y: k x 11

+ Hoành độgiao điểm dvà  C nghiệm phương trình:  1 1

x

k x x



  



2

2 0(*) kx kx k

     (dox 1không nghiệm)

Yêu cầu toán thỏa mãn phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn

1

0

' 0

2 I

k

k k

x x x

  

     



    



Vậy giá trị cần tìm klà ; 0

Bài 5.Cho hàm số 4 

1 x

y C

x

 

37

Gọi dlà đường thẳng qua I 1;1 có hệ số góc k Tìm kđể dcắt  C hai điểm phân biệt

M Nsao cho độ dài MNbằng 10

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng d y: k x 11

+ Hoành độgiao điểm dvà  C nghiệm phương trình:  1 1

x

k x x



  



Do x1khơng nghiệm nên phương trình tương đương với

 

2

2 3 0(*)

kx  k x  k

dcắt C hai điểm phân biệt M N, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

0

0 (1)

9 24

k

k k

 

   

   



Do M N, d yM k x M 11;yN k x N 11 Suy

 2  2   2    2

2 2

1 90

M N M N M N M N M N

MN  x x  y y  k x x  k  x x  x x 

 

Theo định lí Vi-ét ta có: xM xN 2k 3;x xM N k

k k

 

   Từđó suy

  

3 2

8k 27k 8k 3 0 k3 8k 3k1 0k  3hoặc 41 16

k  ( thỏa mãn (1)) Vậy giá trị cần tìm klà 3; 41

16

   

 



 

 

 

Bài 6. Cho hàm số 1 

1 x

y C

x

 



Tìm mđểđường thẳng d y:  x mcắt  C hai điểm phân biệt Avà Bsao cho Avà Bcùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tạiO

Lời giải:

+ Hoành độgiao điểm dvà  C nghiệm phương trình: 1 x x m

x



 



x mx 1 2x

     ( dox 1không nghiệm)  

3 0(*)

x m x m

      Ta có

2

2 0,

m m m

      Từđó suy dluôn cắt  C hai điểm phân biệt A B, Do hai điểm A B,  d yA xAm y; B  xB m

38 Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Và OAx xA; Am OB,x xB; Bm Tam giác OABvuông Okhi

    

A B A B A B A B 0(1)

OA OB  x x  x m x m   x x m x x m 

Theo định lí Vi-ét ta có: xAxB  3 m x x; A B  1 m Khi (1) trở thành

   

2

3 2

m m m  m  m 

Vậy m 2là giá trị cần tìm Bài 7. Cho hàm số 2 

2 x

y C

x

 



Chứng minh với giá trị mthì  C ln có cặp điểm Avà Bnằm hai nhánh  C thỏa mãn

0

A A B B

x y m

x y m

  

 

  

 Lời giải:

+ Ta có , :

0

A A A A B B B B

x y m y x m

A B d y x m

x y m y x m

    

 

    

 

    

 

Khi yêu cầu tốn trở thành chứng minh dln cắt  C hai điểm thuộc hai nhánh

 C

+ Hoành độgiao điểm dvà  C nghiệm phương trình: 2 x x m

x



 



x mx 2 x

     (dox2khơng nghiệm) x2m3x2m20(*) Ta có

2

2 17 0,

m m m

      Từđó suy dln cắt  C hai điểm phân biệt với m

Mặt khác, kí hiệu g x( )x2m3x2m21.g 2   4 02nằm hai nghiệm (*) Ta có đpcm

Bài 8. Cho hàm số  

2 x

y C

x

 

 Tìm tất giá trị thực tham số mđể đường thẳng

 d :yxm cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt A B, cho 2 37 OA OB 

Lời giải :

Hoành độgiao điểm    d , C nghiệm phương trình : 2

x

x m x



  

Do x1, khơng nghiệm phương trình nên phương trình tương đương với

      

2 2 2 0(*)

x  x xm  x  m x m 

39

Gọi A x x 1, 1m;B x x 2, 2mlà tọa độgiao điểm  d  C , theo định lý viét, ta có : 1 2 3; 1 2  1

2 m

x x    x x   m

Từđó suy :

 2  2

2 2

1 2

OA OB x  x m x  x m

 2  

1 2

2 x x 4x x 2m x x 2m

     

 

2

2

2 3

2 2

2

m m

m m m

 

   

       

   

 

1

4 17 m m

  

Vậy 2 37 14 2 17 37

2 2

OA OB   m  m  m  m Vậy 5;

2

m  m hai giá trị cần tìm

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Cho hàm số  

1 m x m

y C

mx

 

 Chứng minh với m0, Cmcắt đường thẳng

 

:

d y xm hai điểm phân biệt A B, thuộc đường  H cố định Dường thẳng

dcắt trục hoành hai điểm M N, Tìm giá trị m để SOAB 3SOMN 1.2. Cho hàm số  

1 x

y C

x



 Tìm tất giá trị tham số mđể đường thẳng

1

ymx m  cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt Avà Bsao cho 2

MA MB đạt giá trị

nhỏ nhất, biết điểm M1,1 1.3. Cho hàm số 2  

1 x

y C

x

 

 Tìm mđể đường thẳng d y: 2x m cắt  C hai điểm

phân biệt A B, cho AB 1.4. Cho hàm số  

1

m

x

y C

x m

 

 Tìm mđể đường thẳng y x 2cắt Cmtại hai điểm

phân biệt Avà Bsao cho AB2

1.5. Với giá trị tham số mđể đường thẳng d y: mx1cắt đồ thị hàm số

1 x y

x

 



40 1.6. Cho đường thẳng  

1 x

y C

x

 

 điểm A2; 4 Viết phương trình đường thẳng d

cắt đồ thị hàm số  C hai điểm phân biệt B C, cho tam giác ABCđều

1.7. Tìm m đểđường thẳng d y:  x 2m cắt đồ thị hàm số

2 x y

x

 

 hai điểm phân biệt

,

A B cho AB4

1.8. Tìm m để đường thẳng yxm cắt đồ thị hàm số

 

2

2

x y

x

 

 hai điểm phân biệt

,

A B cho 2 37 OA OB 

CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

Loại :Điều kiện hàm số y f x( )có cực trị

Phương trình f x'( )0có nghiệm phân biệt trở lên

Loại :Điều kiện để điểm cực trị hàm số

Cho hàm số y f x( )điểm M x y 0; 0   C điểm cực trị hàm sốkhi f x'( )0 0

(i). Nếu

0

'( ) ''( )

f x f x

 

 

 

M điểm cực đại đồ thị hàm số

(ii). Nếu

0

'( ) ''( )

f x f x

 

 

 

M điểm cực tiểu đồ thị hàm số

Loại :Đường thẳng qua điểm cực trị hàm số

Xét với hàm sốđa thức bậc :yax3bx2cx d có đạo hàm y'3ax2 2bx c Lấy ychia cho y'ta

2

1

'

3 9

b c b bc

y x y x d

a a a

 

 

       

   

41

2

1

2

2

2

( )

3 9

2

( )

3 9

c b bc

y x x d

a a

c b bc

y x x d

a a

  

   

  

  

 

 



    



 



Hai điểm cực trị hàm số nằm đường thẳng

2

2

3 9

c b bc

y x d

a a

 

    

 

Lưu ý : Với hồnh độ cực trị khơng phụ thuộc tham số ta khơng cần thiết phải làm theo

cách này, có chứa tham số lựa chọn khôn ngoan

Loại :Các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện chẳng hạn lập thành tam giác vuông, tam giác

đều,…Lúc dựa vào tính chất tam giác

Dạng toán : Liên quan đến điều kiện tồn cực, cực tiểu- tọa độ cực trị. Phương pháp :

- Để hàm số có cực trị phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt

- Một điểm x0là điểm cực tiểu hàm số  

 

0

'

'' y x y x

 

 

 



cần phải thử lại xem y'có đổi dấu từ âm sang dương qua x0hay không

- Một điểm x0là điểm cực đại hàm số  

 

0

'

'' y x y x

 

 

 



cần phải thử lại xem y'có đổi dấu từ dương sang âm qua x0hay không

- Cho hai điểm A x y 1; 1;B x y 2; 2và đường thẳng d Ax: By C 0hoặc đường tròn

  C : x a 2y b 2 R2

Xét

  

   

     

1 2

2 2 2 2

1 2

T Ax By C Ax By C

V x a y b R x a y b R

     

 

        

 

Khi hai điểm A B, nằm phía với d  C T 0hoặc V 0

Hai điểm A B, nằm khác phía d  C T 0hoặc V  0 Đặc biệt :

Hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung pt y'0có hai nghiệm trái dấu

Hai điểm cực trị nằm khác phía trục hồnh y yCÐ CT 0hoặc phương trình y0có

42 BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tìm m để hàm số sau có cực trị 2 2

y x mx  m  m x

Lời giải :

Ta có y'x22mx2m23m2

Hàm số có cực trị chỉkhi phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt

2

' m 3m m

        

Bài 2. Tìm m để hàm số ymx4m29x210có cực trị

Lời giải :

Ta có y'4mx32m29x2 (2x mx2m29)

Hàm số có cực trị phương trình y'0có nghiệm phân biệt, điều tương đương với

2

9

0 3

0 m

m m

m m

 

 



     



 



Bài 3. Tìm m để hàm số

4

y x mx  có cực tiểu mà khơng có cực đại

Lời giải :

Ta có y'x32mxx x 22m

+ Nếu m0hàm số có cực tiểu x0 + Nếu m0thì hàm số có cực tiểu x0

+ Nếu m0thì hàm số có cực trị, nên khơng thỏa mãn Vậy m0là giá trị cần tìm

Bài 4. Tìm m để hàm số yx m 33x đạt cực tiểu x0

Lời giải :

Ta có y'3x m 2 3; ''y 6x m 

Hàm sốđạt cực tiểu x0

2

'(0) 3

1

''(0)

y m

m

y m

   



   

 

  

 

Thử lại với m 1thì hàm số yx133x có y'3x12  3 3x x 2

43

Vậy m 1là giá trị cần tìm

Bình luận :Rất nhiều học sinh thầy cô không hiểu rõ điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm; tất nhiên nói điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x0thì

học sinh lại viết :

Để hàm số đạt cực tiểu x0khi '(0)

''(0) y

y

 



 

Lưu ý : Sẽ khơng có điều tương đương trên, mà có đạt cực tiểu x0thì '(0)

''(0) y

y

 



 

chứ điều ngược lại

Do tìm giá trị tham số m ta phải thử lại xem có thỏa mãn điều kiện đổi dấu y'hay khơng

Bài 5. Tìm m để hàm số  2 3 1

y x  m m x  m  xm đạt cực tiểu x 2

Lời giải :

Ta có  

 

2 2

2

' 2

'' 2

y x m m x m

y x m m

      

 

   

 

Hàm số đạt cực tiểu x 2thì

2

'( 2) 2

4 ''( 2)

y m m

m

y m m



   

 

  

 

    

 

Thử lại với m4thỏa mãn Vậy m4là giá trị cần tìm

Bài 6. Tìm m để hàm số yx m x23x m 1 có cực đại cực tiểu thỏa mãn

D

C CT

x x 

Lời giải :

Ta có y'3x22m3x2m1

Hàm số có cực đại cực tiểu thỏa mãn xCD.xCT 1 chỉkhi phương trình y'0có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 1, điều tương đương với

2

2 2

1

'

2

1

3 m

m m

m x x

   

  



      

  

  

 



44

Bài Tìm giá trị tham số mđể đồ thị hàm số 1 3 2 1

y x  m x  m x có

hai điểm cực trị với hoành độ lớn

Lời giải :

Ta có y'x2m3x2m1

   

2

' 0(*)

y   x  m x m 

Hàm số có cực trị phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

2

2 1( )

m m m i

       

Yêu cầu toán tương đương với (*) có nghiệm x x1, 2thỏa mãn

    

1

1

1

2

2

1

0

1

1

x x m

x

m

m m

x x

x

   



 

  

   

  

    

  

  

  

Kết hợp với điều kiện (i) suy 0m1là giá trị cần tìm Bài 7. Cho hàm số y2x3mx2 12x13Cm

Tìm m để Cm có cực đại cực tiểu điểm cách trục tung

Lời giải :

Ta có y'2 3 x2 mx6

Phương trình y'0có  m2720nên hàm số đạt cực trị hai điểm x x1, 2

Điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số cách trục tung

1 2 0

3 m

x  x  x  x x x   m Vậy m0là giá trị cần tìm

Bài 8.Cho hàm số  3

y x  mx  m  x Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho xCÐ,xCTlà độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền

2

Lời giải :

Ta có y'x2mx m 23

Yêu cầu tốn tương đương với phương trình y'0có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2và

thỏa mãn 12 22

45

 

2

2

2 2

2

4

0

14

3

3 2

5 14

2

2

m m

m

S m

m

m m

P m

S P m m m

  



   



 

  



 

          

 

        

 

 

Vậy 14

2

m giá trị cần tìm

Bài 9. Tìm tất giá trị tham số m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số

   

3 2

2 1 3 2 4

y x  m x  m  m x nằm hai phía trục tung

Lời giải :

Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục tung phương

trình y'0có hai nghiệm trái dấu

   

2

3x 2 2m 1 x m 3m 2

       có hai nghiệm trái dấu

 

3 m 3m 2 0 1 m 2

      

Vậy m1;2là giá trị cần tìm

Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số y x33x2 mx2có cực đại, cực tiểu cách đường thẳng y  x 1

Lời giải :

Hàm số có cực trị phương trình y'3x2 6xm0có hai nghiệm phân biệt

' 9 3m 0 m 3

       

Khi gọitọa độ hai điểm cực trị A x y 1; 1 ;B x y2; 2

Lấy ychia cho y'ta : 1 ' 2 2 2

3 3 3 3

x m m

y  y   x 

   

Do    

1

1

2

2

2 2

3 3

' ' 0

2

2 2

3 3

m m

y x

y x y x

m m

y x

  

     



  

   

 

     

 

  

46

Suy đường thẳng qua hai điểm cực trị : 2 2 2

3 3

m m

d y   x 

 

Vậy để hai điểm cực trị cách đường thẳng y x 1thì d song song với đường thẳng

1

y x trung điểm ABthuộc đường thẳng y  x 1 Trường hợp : 2 2 1 3

3 2

m

m

 

      

 

Trường hợp : 2 1 1 2 2  1 2 2 1

2 2 2 3 3 2

y y x x m m x x

x x

    

           

 

Theo định lý vi-ét ta có : 1 2 2 2 2 2 1 1 0

3 3

m m

x  x          m

 

Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy 0; 3

2 m  

 

là giá trị cần tìm

Bài 11.Tìm m để cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số yx3 3mx2 4m3đối xứng qua

đường thẳng y  x Lời giải :

Ta có ' 3 6 0 0 2

x

y x mx

x m

 

    

 

, để hàm số có cực trị m0

Khi gọi tọa độ hai điểm cực trị A0;4m3;B2 ;0m  AB2 ; 4m  m3



và trung

điểm ABlà I m m ;2 3

Vậy A B, đối xứng qua đường thẳng d y: xkhi AB d

I d

  

 

3

2 4 0 2

2 2

m m

m

m m

  



   

  

m0

Vậy 2

2

m  giá trị cần tìm

47

Lời giải :

Hàm số có cực trị pt y'3x2 6mx3m210có hai nghiệm phân biệt

1 0, m

    

Từ suy tọa độ điểm cực trị điểm cực đạiA m 1; 22mvà điểm cực tiểu

 1; 2 

B m   m

Yêu cầu toán tương đương với :

OA OB m2 6m 1 0m  3 2 Bài 13. Tìm m để hàm số    

1 2

yx   m x  m xm có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ

Lời giải :

Yêu cầu toán tương đương với pt  

' 2

y  x   m x m có hai nghiệm phân biệt

1

x x  Cách :

ycbt tương đương với :

2

2

'

5

2 4 5

1

CT

m m

m

m m m

x

    



  

    

 

  Cách :

Đặt  

( ) 2

g x  x   m x m

Vậy yêu cầu toán tương đương với :

2

'

5

(1)

4

2 1

2

m m

g m m

S m



    



      



 

  



Vậy 7; m  

 là giá trị cần tìm

Bài 14.Tìm m để hàm số y x33m1x23m m 2x 2 m có cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đến trục hoành khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung

48

Ta có    

'

2 x m

y x m x m m

x m

 

       

 



Suy hàm số ln có cực trị

Khi tọa độ điểm cực đại A m m ; 33m2m2 điểm cực tiếu B m 2;m33m2m6

Yêu cầu toán tương đương với

  

3 2

3 2 2

m  m m  m  m m m  m

2

2

1 1

1 1

0 m m

m

m m

m

m m

m

  

 

 

 

 

    

 

     

 



Vậy có giá trị cần tìm m  2; 1; 0;1

Bài 15. Tìm giá trị thực tham số m để điểm cực đại, cực tiểu hàm số

   3

3

1

1

3

y x  m x  m nằm khác phía với đường trịn  T :x2y24x 3

Lời giải:

Ta có  

 

2

'

2 x

y x m x

x m

 

     

 



Hàm số có cực đại, cực tiểu m 1

Khi tọa độc hai điểm cực trị 0;4 13 ; 2 ;0 

A m  B m

 

Đường trịn  T có tâm I2;0 bán kính 1

Hai điểm A B, nằm khác phía với đường trịn  T  2 2 16 6  

0

9

IA R IB R    m  m  

 

2 1

4

2

m m

       thỏa mãn điều kiện Vậy 1;

2 m  

  giá trị cần tìm

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Tìm m để hàm số  

3 1

49

1.2. Tìm m để hàm số yx43mx2 m2m đạt cực tiểu x0

1.3. Tìm m để hàm số y x33m2x2 m4x2m1 đạt cực đại x 1 1.4. Cho hàm số  

4 1

y x  mx  m x  Với giá trị tham sốm để hàm số

có cực tiểu mà khơng có cực đại

1.5. Cho hàm số    

3

yx  m x  m x Chứng minh với m 1hàm số

luôn có cực đại mà hồnh độkhơng dương

1.6. Cho hàm số

2

y x mx  Xác định m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 1.7. Chứng minh với tham số m hàm số yx4mx3mx2mx1khơng đồng thời

có cực đại cực tiểu

1.8. Tìm m để hàm số ymx4m1x2 1 2m chỉcó cực trị 1.9. Tìm m để hàm số    

2

y x  m x  m x có cực đại x1và cực tiểu x2thỏa

mãn

1 26

x x 

Đáp số : m 1

1.10. Chứng minh với giá trị tham số m hàm số

   

3

2 1

y x  m x  m m x ln có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách cực đại, cực tiểu khơng đổi

1.11. Tìm m để hàm số yx33m2x29xm1đạt cực trị điểm x x1, 2sao cho

1 2

x x 

1.12. Cho hàm số y2x33m2x26 5 m1x4m32 Tìm giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu điểm x01; 2

Đáp số: 1; m  

 

1.13. Tìm m để đồ thị hàm số yx33x2mx m 2có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh

Đáp số : m  ;3

1.14. Cho hàm số  3

y x  mx  m  x Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho xCÐ,xCTlà độ dài cạnh góc vng tam giác

vng có độ dài cạnh huyền

2

1.15. Tìm m để đồ thị hàm số 3

2 m

50

1.16. Tìm m để đồ thị hàm số yx3 3m1x2 9xm2 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng 1

2 y  x

1.17. Tìm điểm M đường thẳng y x cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cực trị đồ thị hàm số yx33x22 đạt giá trị nhỏ

1.18. Tìm tất giá trị tham số m để hoành độ đểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số  

2

y m x  x mx số dương

1.19. Tìm tất giá trị tham số m để hoành độ điểm cực trị x x1, 2của đồ thị hàm số

3

4

y x mx  xthỏa mãn x1 4x2

1.20. Xác định m để hàm số    

1 2

yx   m x  m xm đạt cực trị x x1, 2sao cho

1

1 x x 

1.21. Tìm m để hàm số  2 5 4 3

y x  m x  m x m đạt cực x1x2sao cho

1 2

x  x

1.22. Tìm m để hàm số  1 3 2

3

y mx  m x  m x đạt cực trị x x1, 2 thỏa mãn

1 2

x  x 

1.23. Tìm m để hàm số yx32m1x2 m24m1x2m21đạt cực đại, cực tiểu x x1, 2 thỏa mãn

1

1

2 x x x x



 

1.24. Tìm m để đồ thị hàm số y2x39mx212m x2 1có cực đại, cực tiểu đồng thời

CÐ CT

x x 

1.25. Tìm m để hàm số  1  3

y x  m x  m  m x đạt cực trị hai điểm x x1, 2 cho A x x1 22x1x2 đạt giá trị lớn

1.26. Tìm m để hàm số 4

3

m

y x  x  mx đạt cực trị x x1, 2 cho biểu thức

2

2

2

1

5 12 12

x mx m

m A

x mx m m

 

 

  đạt giá trị nhỏ

1.27. Tìm m để hàm số y2x33 2 m1x26m m 1x1có cực trị, tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng nối điểm cực đại cực tiểu

51

1.29. Tìm m để đồ thị hàm số    

3 12

yx  m x  m m x m có hai điểm cực trị

;

A Bsao cho tổng độ dài MA MB nhỏ với M3; 2

1.30. Chứng minh với giá trị thực tham sốm đồ thị hàm số

   

3

3 3

yx  m x  m m m  m ln có hai điểm cực trị; đồng thời khoảng cách hai điểm cực trị không đổi

Dạng toán : Đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tìm m để điểm A3;5nằm đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số

 

3

3

yx  mx  m x

Lời giải :

Hàm số có cực trị phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt

2

x mx m

     có hai nghiệm phân biệt

2

' (*)

2 m

m m

m

 

       

  

Khi tọa độ hai điểm cực trị M x y 1; 1;N x y 2; 2

Lấy ychia cho y'ta : ' 2 6 3

x m

y  y m m xm  m

 

Do      

 

2

1

1 2 2

2

2 6

' '

2 6

y m m x m m

y x y x

y m m x m m

       



   

      

 

Suy đường thẳng qua hai điểm cực trị

 

: 6

d y m m x m  m , theo đề A3;5dnên

 

4

5 6 8

5 m

m m m m

m

  

       

  



đối chiếu với điều kiện (*) suy nhận giá trị

4

m

52 Bài 2.Cho hàm số 1 1

3

y x  m x mx Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng : 72x12y350

Lời giải :

Hàm số có cực trị pt y'x2m1xm0có hai nghiệm phân biệt

m 12 4m m

       

Khi tọa độ hai điểm cực trị M x y 1; 1;N x y 2; 2

Lấy ychia cho y', ta : ' 1 12  1

3 6

x m

y   y  m x m m

 

Do    

   

   

2

1

1

2

2

1

1

6

' '

1

1

6

y m x m m

y x y x

y m x m m



    

 

   

     

 

Suy đường thẳng qua hai điểm cực trị : 1 12  1

6

d y  m x m m

Để M N, đối xứng qua thì trước tiên phải có

 2

1

1

2

m

d m

m

 

        

   Với 0; ; 1;

6 m M N  

  trung điểm MNlà

1 ; 12 I   

  Nên loại

m

 Với 1;5 ; 2;2

6

m M  N 

    trung điểm MNlà

3 ; 12 I  

  Nên loạim2

Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn

Bài 3.Chứng minh với giá trị tham số m đồ thị hàm số

 

3 2

3

y x  mx  m x m m ln có cực đại, cực tiểu đồng thời gọi x y; là hoành độ, tung độ điểm cực trị ta ln có

4 x y  Lời giải :

Ta có y' 3x26mx3 1 m20, có   1 m Nên ln có hai nghiệm phân biệt hay hàm số ln có cực trị với m

53

Lấy ychia cho y', ta : ' 2 3

x m

y  y  xm m

 

Do    

2

1

1 2

2

2

' '

2

y x m m

y x y x

y x m m

   



   

  

 

Nên đường thẳng qua hai điểm cực trị y2xm2 m

Từ suy hoành độ, tung độ điểm cực trị thỏa mãn

2

1 1

2

4

x y m m m  

  Từ ta có đpcm

Bài 4. Chứng minh với giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

   

3

1

2

yx  m x  mx m m có cực đại, cực tiểu; đồng thời gọi x y; là tọa độ điểm cực đại, cực tiểu ta ln có x3y x 0

Lời giải :

Ta có  

' 3

1 x m

y x m x m

x

 

      

 

Để hàm số có cực trị m1

Khi gọi tọa độ hai điểm cực trị A x y 1; 1;B x y 2; 2

Lấy ychia cho y', ta : 1 1 ' 1 12

3

x

y  m y  m x

 

Do    

 

 

2

1

1

2

2

1

' '

1

y m x

y x y x

y m x



  

 

   

   

 

Nên đường thẳng qua hai điểm cực trị 1 12

y  m x

Từ suy hồnh độ, tung độ điểm cực trị thỏa mãn   1 12 2

x y xx  m x  Từ ta có đpcm

Bài 5. Với giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

2

3 2

9 m

y x x m x có cực đại, cực tiểu; đồng thời gọi x y; là tọa độ điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ biểu thức

y x P

x y

 

54

Lời giải :

Hàm số có cực trị phương trình y'3x22x m 0có hai nghiệm phân biệt, ' 0

3

m m

      

Khi gọi tọa độ hai điểm cực trị A x y 1; 1;B x y 2; 2

Lấy ychia cho y', ta : ' 2

3 9

x

y  y  m  x

   

Do    

2 1 2 2 2

' '

2

3

y m x

y x y x

y m x

                        

Nên đường thẳng qua hai điểm cực trị 2

3

y m  x

 

Vậy

2 2

2

2 2 11

3 3 9

2

2

3

3

m x x m

y x

P

x y

m

m x x

                      

Xét hàm số

2 11 ( ) t f t t   

, với 0;1 tm  

 

Ta có f t( )là hàm đơn điệu tăng 0;1

 

 

 , nên suy

11 ( ) (0)

7 P f t  f  

Vậy giá trị nhỏ Pbằng 11

7

 m0

Bài 6. Tìm giá trị thực m để đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số

3

3

yx  x  tiếp xúc với đường tròn   T : x m 2y m 12 5 Lời giải :

Dễ thấy hai điểm cực trị A0;1 ; B2; 3 , suy phương trình qua hai điểm cực trị hàm số d: 2x  y

Đường tròn  T có tâm I m m ; 1 bán kính  Yêu cầu toán tương đương với

 

 ;  2 12 5

m m

d I d       m 

55

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số yx33mx2cắt đường trịn tâm I 1;1 bán kính hai điểm phân biệt

,

A Bsao cho diện tích tam giác IABlớn Đáp số :

2 m 

1.2. Tìm m để đồ thị hàm số y2x33m1x2 6m1 2 m x có cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng4x y0

1.3. Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 mx2 7x3

vng góc với đường thẳng 3x y 7 0

1.4. Tìm giá trị tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số

     

3 2

3 1 2 3 2 1

yx  m x  m  m x m m  tạo với đường thẳng

4 20 0

x y  góc 450

1.5. Tìm tất giá trị tham số m để hai điểm cực trị đồ thị hàm số

3 2

3

yx  x m xmđối xứng qua đường thẳng x2y  5 0

1.6. Tìm tất giá trị tham số m để khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm

số 1 1

3

y  x mx  x m nhỏ

1.7. Chứng minh với giá trị tham số m đồ thị hàm số

 

3 2

3 3 1

yx  mx  m  x m có cực đại, cực tiểu chạy đường thẳng cố định

1.8. Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm

số y x3 3x2 mx2song song với đường thẳng y 4x3 1.9. Chứng minh với giá trị tham số m đồ thị hàm số

 

3 2

3

y x  mx  m x m m ln có cực đại, cực tiểu đồng thời gọi x y; là

hoành độ, tung độ điểm cực trị ta ln có 2 1 0 4 x y 

1.10. Chứng minh với giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

   

3

1

2

56

1.11. Tìm m để đồ thị hàm số 3 1  1

2

yx  m x  mx m m có cực đại, cực tiểu ;

đồng thời hoành độ, tung độ điểm cực trị thỏa mãn 1

2

x y y x

   

  

   

    ;

x y; là tọa độ điểm cựctrị

1.12. Chứng minh với giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

   

3

1

2

yx  m x  mx m m có cực đại, cực tiểu; đồng thời gọi x y; là tọa độ điểm cực đại, cực tiểu ta ln có x y

x



 1.13. Với giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

2

3 2

9 m

yx x m x có cực đại, cực tiểu; đồng thời gọi x y; là tọa độ điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ biểu thức P y x

x y

 



Dạng toán: Ba điểm cực trị đồ thị hàm số tạo thành tam giác

Bài 1.Tìm m để đồ thị hàm số yx42m x2 21có ba điểm cực trị ba điểm tam giác

vng cân Lời giải:

Ta có  2

2

0

' 4 x

y x m x x x m

x m

 

      

 

, với m0thì đồ thị hàm số có cực trị

Khi tọa độ ba điểm cực trị A0;1 ; Bm;1m4 ;C m;1m4, ta thấy B C, đối xứng với qua trục tung Vậy ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân vng A

Ta có AB  m;m4;ACm;m4

Vậy  AB AC 0 m2m8 0m 1, m0

Vậy m 1là giá trị cần tìm

Bài 2.Tìm m để đồ thị hàm số yx42mx21có ba điểm cực trị đường trịn qua ba điểm cực trị có bán kính

57

Ta có y' 4x3 4mx 4x x m x2

x m

 

     

 

, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

khi m0

Khi tọa độ ba điểm cực trị    2  2

0;1 ; ;1 ; ;1

A B  m m C m m

Gọi I tâm Rlà bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Do B C, đối xứng với qua trục tung nên tam giác ABCcân A, tâm I nằm Oy, giả sử :

   2 1  2 

2

0; 1 0; ; 0;

0 y

I y IA R y I I

y

 

       

 

Với 1  1  22

0

0;0 1 1

1 m

I I B R m m m

m



 



        



 

 



, m0nên nhận

1 1;

2 m m 

Với I20; 2I B2 R 1 m1m22 1, phương trình vô nghiệm

 22

0 1

m m m 

Vậy 1;

2

m m  hai giá trị cần tìm

Bài 3. Cho hàm số 3 1 2 1

y x  m x  m Tìm m để hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm O

Lời giải:

Ta có  

 

3

2

0

' '

2 x

y x m x y

x m

 

      

 



Hàm số có cực trị 1 ( ) m  m  i

Khi tọa độ3 điểm cực trị là:

     

0; 2 , 2; , 2;

A m B  m  m  m C m  m  m

Yêu cầu toán tương đương với:

2

0 18 ;

3

A B C

y y y    m  m  m m  Chỉ giá trị

3

58

Vậy

m giá trị cần tìm

Bài 4. Cho hàm số yx4 2mx2 2Cm Tìm tất giá trị tham số mđể Cmcó

điểm cực trị tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua điểm 9; 5 D 

 

Lời giải :

Ta có

2

0

' 4 ' x

y x mx y

x m

 

     

 

Hàm số có cực trị m0

Khi tọa độ3 điểm cực trị A0; , B m;m22 , C m;m22

Gọi I x y ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

     

2

2

2 2 2 2 2

3 0; 1

2

1

2

x y

IA ID x y

IB IC x m x m m

m

IA IB x m y m x y



  

     

  

      

  



   

        

 

Do m0nên có m1thỏa mãn Vậy m1là giá trị cần tìm

Bài 5. Tìm m đểđồ thị hàm số yx42 1 m2x2m1có điểm cực trị lập thành tam giác có diện tích lớn

Lời giải :

Ta có y'4x34x1m24x x 2 1 m2 Hàm số có cực trị chỉkhi phương trình '

y  có nghiệm phân biệt  1 m2 0  1 m1( )i

Khi tọa độ3 điểm cực trị :

   2  2

0;1 ; ; ; ;

A m B  m m C m m

Ta có

2

BC m , phương trình đường thẳng BC y:  1m2 Diện tích tam giác ABClà  ;  1 22

2

ABC

S  d A BC BC m m 

Dấu xảy m1(thỏa mãn (i)) Vậy m1là giá trị cần tìm

Bài 6. Cho hàm số yx42mx22m24 Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

59

Ta có y'4x34mx

 

3

' 4 0

y   x  mx x x m  Hàm số có cực trị  m0(*)

Khi tọa độ3 điểm cực trị hàm số l :

     

0; , ; , ;

A m  B m m  C  m m 

Nhận thấy A Oy B C ; , đối xứng với qua trục tung nên tam giác ABCcân A

Kẻ AH BCkhi 2.2 1

2 2

ABC A B B

S  AH BC y y x  m m  m ( thỏa mãn (*) )

Vậy m1là giá trị cần tìm

Bài 7.Tìm m để hàm số y x43m1x23có ba cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy

3 độ dài cạnh bên Lời giải :

Ta có  

2

0

' 3 1

2

x

y x m x m

x

  

     

  



Hàm số có ba cực trị 1

2

m

m



     (*)

Khi tọa độ ba điểm cực trị

     

2

3

3

0; ; ; ; ;

2 4

m m

m m

A B C

         

        

   

   

Tam giác ABCcân A, nên yêu cầu toán tương đương với

3 BC AB 3 14

3

9.4

2 16

m

m m

m

  

   

 

       

 

    thỏa (*)

Vậy

3

m  gía trị cần tìm tham số m

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Tìm m để đồ thị hàm số yx42mx2m1có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

60

1.3. Tìm m để đồ thị hàm số yx42mx2m2 mcó ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120

1.4. Tìm m để đồ thị hàm số yx42m x2 21có ba điểm cực trị tạo thành tam giác

vuông cân

1.5. Tìm m để đồ thị hàm số yx42mx2 m1có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp

1.6. Tìm m để đồ thị hàm số yx4 2mx2 2m m 4có ba điểm cực trị tạo thành tam giác

1.7. Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số yx42mx22có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm

1.8. Tìm m để đồ thị hàm số yx42m2x2m25m5có ba điểm cực trị tạo thành tam giác

1.9. Cho hàm số y x42mx22m Xác định giá trị tham số m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu tạo thành

1. Một tam giác

2. Một tam giác vuông

3. Một tam giác có diện tích 16

1.10. Tìm tất cặp số m n, sao cho đồ thị hàm số y x42m x2 2ncó ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác ngoại tiếp đường trịn có tâm gốc tọa độ

1.11. Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số yx42mx2 1có ba cực trị đường trịn qua ba điểm có bán kính

1.12. Tìm m để đồ thị hàm số yx42m1x2mcó ba điểm cực trị A B C, , cho

OABCvới Olà gốc tọa độ, Alà điểm trục tung

1.13. Tìm m để đồ thị hàm số 3 1 2 1

y x  m x  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ

Dạng toán: Hai điểm cực trị điểm khác tạo thành tam giác BÀI TẬP MẪU

Bài 1.Tìm m để đồ thị hàm số y x33x23m2 1x3m21có cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực đại, cực tiểu gốc tọa độ tạo thành vuông O

Lời giải:

61

Để hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y'0phải có hai nghiệm phân biệt

 

' 9 m m

       

Khi gọi A x y 1; 1;B x y 2; 2là tọa độ hai điểm cực trị Lấy ychia cho y', ta được:

 

2

1

' 2

3 x

y  y m x m 

  Do    

 

 

2

1

1 2 2

2

2

' '

2

y m x m

y x y x

y m x m

             

Vậy tam giác OABvuông O OA OB  0

 

 2   

1 2 2 2

x x m x m m x m

      

    2  

4 2

1 4 1 *

x x m x x m x x m

       

Nhưng theo định lý vi-ét ta có: 2

1

2

x x

x x m

 

 

  

, (*) trở thành

  4

1

1 4 6

2 m

m m m

m             

tất giá trị thỏa mãn điều kiện m0

Vậy 1;

2 m   

 

 

là giá trị cần tìm

Bài 2. Tìm m để đồ thị hàm số yx33x2 3 1 m x  1 3m có cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực đại, cực tiểu với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích

Lời giải:

Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt

2

x x m

     có hai nghiệm phân biệt  ' m0

Khi gọi A x y 1; 1;B x y 2; 2là tọa độ hai điểm cực trị Lấy ychia cho y'ta được:

1

' 2 3

x

y  y  mx m

  , y x' 1  y x' 2 0

1

2

2 2

: 2

2 2

y mx m

AB y mx m

y mx m

   



     

   



Ta có AB x1x224m2x1x22  x1x2 4m21;  

2

2 ;

1 m d O AB

m

 



Vậy  ;  1 2

OAB

62   2 22 2

16 m x x 4x x (*)

    

Theo định lý vi-ét ta có:

1

2

x x

x x m

 

 

  

, (*) trở thành

 2   

1 4

m m   m m  m  m thỏa mãn điều kiện m0

Vậy m1là giá trị cần tìm

Bài 3. Cho hàm số yx33x2m Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị A B, cho



120 AOB

Lời giải :

Ta có y'3x26xy'0x 0 x 2 Tọa độ2 điểm cực trị A0;m;B2;m4

Yêu cầu toán tương đương với :



os

OAOB c AOB

OA OB

  



 

0

2 20 12 132

3 m

m m m m m

m

  

        

 



Bài 4. Cho hàm số y x33x23m21x3m21 Tìm m đểđồ thị hàm sốcó hai điểm cực trịcách gốc tọa độ

Lời giải :

Ta có y' 3x26x3m2 1

Hàm số có cực đại, cực tiểu chỉkhi phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt, điều

tương đương với  ' 9m2  0 m0

Giả sử A, B hai điểm cực trị hàm số, tọa độ hai điểm cực trị

 3  3

1 ; 2 , ; 2 A m   m B m   m

A B cách gốc tọa độ 1 0

OAOB m  mm  m Vậy

2

63

Bài 5.Tìm m để đồ thi hàm số 1 1  2

y x  m x  m x có hai điểm cực trị Avà B

đồng thời tứ giác OADBlà hình bình hành, với Olà gốc tọa độ 3;7 D 

 

Lời giải :

Để hàm số có hai cực trị phương trình  

'

y x  m xm  có hai nghiệm phân biệt

m 12 4m 2 m 32 m

          

Khi hồnh độ hai điểm cực trị xA 1;xB m2

Vì tứ giác OADBlà hình bình hành nên trung điểm ABcũng trung điểm OD, từ

suy

1

A B D

A B D A B D

x x x m

y y y

y y y

   

 



 

 

  



Suy 1;11 ; 2;5 11

6

m A  B   

    thỏa mãn yAyB  yD

Vậy m4là giá trị cần tìm

Bài 6 Tìm m để đồ thị hàm số  

3 12

yx  m x  mx m có hai điểm cực trị A B,

sao cho hai điểm với điểm 1; C  

 lập thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng

tâm Lời giải :

Ta có y'3x26m1x12m

Hàm số có cực trị phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt Tương đương với  ' m124m0m1

Khi tọa độ hai điểm cực trị A2;9m B; 2 ; 4m  m312m23m4

Yêu cầu toan tương đương với

3

2

1

2

9 12

2

m

m

m m m

  

 

  



      

 

thỏa mãn

Vậy

2

m  giá trị cần tìm

64

1.1. Tìm m để đồ thị hàm số yx33x2mcó cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích

1.2. Tìm m để đồ thị hàm số yx33mx2 3m21x m 3mcó cực trị đồng thời điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O

1.3. Gọi A B, điểm cực trị đồ thị hàm số 2 3

y x  x  x Tìm điểm M thuộc trục hồnh cho diện tích tam giác MABbằng

1.4. Tìm m để đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số yx33x2 mx2tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân

1.5. Cho hàm số    

3 12

yx  m x  m m x m điểm M3; 2 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A B, cho MA MB nhỏ

1.6. Tìm m để đồ thị hàm số yx33x23m21x3m21có hai điểm cực trị A B,

với điểm C2;1tạo thành tam giác có diện tích

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

1.1. Cho hàm số yx33mx1 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A B, cho diện tích tam giác IABbằng , biết I 1;1

1.2. Tìm tất giá trị tham số m đểđồ thị hàm số yx33x23m m 1x1 có cực trị dấu

1.3. Tìm m đểđường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số yx33x21 cắt đường tròn   2

:

T x  y  x ym theo dây cung có độ dài 30

1.4. Tìm m0đểđồ thị hàm số yx33mx24m3 có điểm cực trị khoảng từđiểm cực tiểu đến đường thẳng dbằng lần khoảng cách từ điểm cực đại tới d, biết

:

d yx

1.5. Chứng minh với giá trị m đồ thị hàm số yx33xm1ln có hai

điểm cực trị, đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị tạo với trục hồnh góc

khơng đổi

65 Xét hai toán bản :

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x( )tại điểm M x 0; (f x0)có dạng

 0 0  0

: '

d y f x xx  f x

Bài toán 2: Tiếp tuyến qua một điểm

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số qua điểm M x y 0; 0có hệ số góc kcó dạng

 0

:

d yk xx y

Khi hệ    0

'( )

f x k x x y f x k

  

  

 



có nghiệm, giải hệ suy k Từđó viết phương trình tiếp tuyến

Bài tốn :Cho hai đường cong  C :y f x( )  d :yg x( ) Hãy tìm tất tiếp tuyến chung    d , C

Giả sử   tiếp tuyến chung    d , C Và   tiếp xúc với    C , d điểm

có hồnh độ x x1, 2

Khi

   

   

1 1

2 2

: '( ) ( )

: '( ) ( )

y f x x x f x y g x x x g x

   

 

   



từđó ta có hệphương trình

1

1 1 2

'( ) '( )

( ) '( ) ( ) '( )

f x g x

f x x f x g x x g x

 



  



giải hệ nghiệm x x1,

Từđó viết phương trình tiếp tuyến chung:   :y f '( )xi xxi f x( )i

Một số kiến thức bổ sung :

Hai đường thẳng  d1 :yk x1 m  d2 :yk x2 n

Khi :

1    d1 / / d2 k1 k2

m n

   

 

2    d1  d2  k k1 2  1

3 Góc tạo hai đường thẳng :

1

tan

k k k k

  

66

Lưu ý : Tại điểm M thuộc đồ thị hàm số tồn tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm nó, cần xem kỹ đề yêu cầu tìm loại tiếp tuyến để khơng bỏ sót tiếp tuyến.

BÀI TẬP MẪU

Dạng toán : Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn số điều kiện bản - Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số

- Tiếp tuyến qua điểm Acho trước

- Tiếp tuyến song song(có hệ số góc), vng góc( tích hệ số góc -1) tạo với đường thẳng cho trước góc 

Bài 1. Cho hàm số 1 

3 m

m

y x  x  C

Gọi M điểm có hồnh độ bằng1thuộc Cm Tìm mđể tiếp tuyến với Cmtại M song song với đường thẳng 5xy0.Viết phương trình tiếp tuyến

Lời giải:

+ Hệ số góc đường thẳng 5xy0là k 5 Để tiếp tuyến M song song với :

d xy suy y'( 1) m  1 m4 Suy y( 1)  2 Vậy tiếp tuyến cần tìm :y5x12 :y5x3

Vậy tiếp tuyến cần tìm 5x  y Bài 2. Cho hàm số 2  

3

y x  x  x C

Viết phương trình tiếp tuyến của  C điểm uốn chứng minh là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

Lời giải:

Ta có y'x24x3và y''2x 4 y x''( ) 0 x2 Suy điểm 2;2 M 

 là điểm uốn

của  C Ta có y'(2) 1 Vậy tiếp tuyến  C điểm uốn có phương trình

 2

3

y  x   y  x

67 Bài 3. Cho hàm số  

3

yx  x  C

Chứng minh  C tồn vô số cặp điểm mà mà hai tiếp tuyến với  C cặp điểm song song với

Lời giải:

Ta có y'3x2 6x Bài tốn trở thành chứng minh tồn vơ số số kđể phương trình

2

3x 6xk(*)có hai nghiệm phân biệt

Xét phương trình (*), có   ' 3k 0k  3 Do k 3thì phương trình (*) có nghiệm phân biệt Ta có đpcm

Bài 4.Cho hàm số  

2

yx  x  x C

Chứng minh không tồn tiếp tuyến hai điểm thuộc đồ thị hàm số mà vng góc với

Lời giải:

Ta có

2

2 20

' 0, (*)

3

y  x  x  x    x

 

+ Giả sửngược lại tồn hai điểm có hồnh độ x x1, 2thuộc đồ thị hàm số cho tiếp với đồ thị

hàm số hai điểm vng góc với Khi

  

1 1 2

'( ) '( ) 8

y x y x    x  x  x  x    , mâu thuẫn với (*) Vậy ta có đpcm

Bài 5.Cho hàm số    

1 2 2(1)

yx   m x  m xm

Tìm mđể đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d x:   y 0một góc

, os = 26 c

 

Lời giải:

+ Gọi hệ số góc tiếp tuyến ksuy tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến n1k; 1 , véc tơ

pháp tuyến dlà n2  1;1 Từđó suy :

 

2

1 2

2

1

1

1

cos 12 26 12

2

26 2 1

n n k

k k k k

n n k

            

 

 

68

 

 

2

2

3

' 2

2

2

' 2

3

y x m x m

y x m x m

 

     

 



 

       

 

 

có nghiệm

2

2

' 1

' 4

m m

m m

m m



    



      

    

 

Vậy giá trị cần tìm mlà ; 1;

4

   

   

   

   

Bài 6. Cho hàm số  1 4  1 

3 m

y mx  m x   m x C Tìm giá trị msao cho tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

2 x y 

Lời giải:

+ Đường thẳng x2y 3 0có hệ số góc

 nên tiếp tuyến vng góc với có hệ số

góc 2, ta có

       

2

2 2 0(*)

mx  m x  m   mx  m x  m 

Khi yêu cầu tốn thỏa mãn chỉkhi phương trình (*) có nghiệm âm + Nếu m 0 (*) 2x  2 x1(loại)

+ Nếu

1 (*) 2 3

x

m m

x m

  

   

  

Vậy (*) có nghiệm âm

0

0 2

3 m m

m m

 

 

 

 



giá trị cần tìm

Bài Cho hàm số  

2 x

y C

x





Tìm điểm điểm thuộc đồ thị hàm số  C cho khoảng cách từ giao điểm hai đường tiệm cận đến tiếp tuyến với  C điểm có khoảng cách lớn

Lời giải:

69

+ Giả sửđiểm ; 2 a A a a     

 là điểm cần tìm, tiếp tuyến với  C Alà

     

2

2

4

: : 2

2

a

d y x a d x a y a

a a

       

 

Ta có  

 4  2

8

; 2

16 2.4

a a

d I d

a a

 

  

  

Dấu xảy a24 16a 0 a 4 Vậy có hai điểm thỏa mãn A0; , A24; 4

Bài 8.Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số

   

3

1

1

3

y mx  m x   m x tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x2y 3

Lời giải :

Ta có  

'

y mx  m x  m

Yêu cầu toán tương đương với phương trình ' 1 y   

  có hai nghiệm dương phân

biệt

 

2

2

mx m x m

      có hai nghiệm dương phân biệt

 

2

2

mx m x m

      có hai nghiệm dương phân biệt

 

2

0

' 4 1

0

2

0 1 2

2 3 m m m m m S m m m P m                                

Vậy 0;1 2; 2 m  

   là giá trị cần tìm

Bài 9.Tìm điểm Athuộc đồ thị hàm số  

2

3

2

x

y  x  C cho tiếp tuyến với  C A

70

Xét điểm  

4

2

,

2

a

A a  a   C

 

Tiếp tuyến với  C Acó phương trình :

  

4

3

:

2

a

d y a  a x a   a  , hồnh độ giao điểm dvà  C

  

4

3 5

2 3

2 2

a x

a  a x a   a    x 

 2 2 

2

x a x ax a

     

Để d C hai điểm phân biệt khác Athì phương trình :x22ax3a2 6 0có hai nghiệm phân biệt khác a

2 2

2

2 3

1 '

a a a a

a a

       

 

 

 

    

 



Khi gọi B x B;yB;C x C;yC, có AC3AB(B nằm A C, ) nên AC3AB

3

C B

x x a

    , kết hợp với định lý vi-ét ta có hệ

2

3

2

3

C B B C B C C B

x x a x

x x a x a

x x a a



    

 

     

 

 

   

 

thỏa mãn điều kiện, suy có hai điểm

1

3

2; ; 2;

2

A    A   

   cần tìm

Bài 10.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  

1 x

y C

x

 

 điểm Athuộc  C , biết

tiếp tuyến cắt trục hồnh tạiBvà tam giác OABvng(Olà gốc tọa độ)

Lời giải:

Xét điểm A a 1;a  C ,a a



 

  

 

  Tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm Acó phương trình:

 

2

2

: a

d y x a

a a



    

Hệ số góc dlà k1 22 a

 

Tam giác OABvuông nên vng Ohoặc A

Trường hợp 1: Tam giác OABvuông O Athuộc trục tung hay tiếp điểmA0;3 Suy

tiếp tuyến d1:y 2x3

71

Hệ số góc đường thẳng

 

2

2

2 :

1

a

a a

OA k

a a a

 



 

  

Vậy

     

2

1 2

1

2

1 1 2

2

a a

k k a a a

a a a a

  

 

           



 

Với a  1 d2:y 2x5

Với 3:

2 a d y  x

Vậy tất có ba tiếp tuyến cần tìm

1

1 : 3; : 5; :

2 d y  x d y  x d y  x

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Tìm m để khoảng cách từ điểm 3;1 M 

 đến tiếp tuyến đồ thị hàm số

 

4

2

yx  mx m C điểmA có hồnh độ thuộc  C đạt giá trị lớn Đáp số: m1

1.2. Chứng minh đồ thị hàm số  

2

y x  mx  m C qua hai điểm cố định A B, với m Tìm m để tiếp tuyến với  C Avà Bvuông góc với

1.3. Tìm m để đồ thị hàm số    

1

y x  m x  m x tồn điểm mà tiếp tuyến điểm vng góc với đường thẳng x10y300

Đáp số: m5

1.4. Đường thẳng y 3 xcắt đồ thị hàm số  

3

yx  x mx m C A Tìm m để tiếp tuyến với  C Acắt  C điểm Bkhác Athỏa mãn tam giác AIBvuông, với

1; 2

I

Dạng toán : Tiếp tuyến với hai trục tọa độ tạo thành tam giác

Bài 1. Cho hàm số yx3mx 1 m C m

Tìm mđể tiếp tuyến với Cmtại giao điểm Cmvới trục tung, tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích

72

+ Tọa độgiao điểm M Cmvới trục tung nghiệm hệ

 

3

0

0;1 '(0)

1

x

M m y m

y x mx m

 

    



   



Vậy phương trình tiếp tuyến với Cmtại

điểm M là: d y:  mx 1 m Khi dcắt trục tọa độ điểm

0;1 , m;0

M m N

m



 

  

  Yêu cầu toán tương đương với

 2

1

16 16

2 7 4 3

OMN

m m

S OM ON m m m

m m

  



         

   

Vậy có giá trị mnhư thỏa mãn đề

Bài 2.Cho hàm số  

x

y C

x

 



Viết phương trình tiếp tuyến với  C biết tiếp tuyến cắt trục hoành A, trục tung B

sao cho OABlà tam giác vuông cân, ởđây Olà gốc tọa độ

Lời giải:

Ta có

 2

1 '

2 y

x

 

 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân nên tiếp tuyến

song song với đường thẳng y x Vậy hệ số góc tiếp tuyến 1

Suy

 

0

0

1

1

2

x x x

  

    

 

 

+ Khi x0   2 y( 2) 0, lúc tiếp tuyến d y:  x2d y:   x

+ Khi x0   1 y( 1) 1  , lúc tiếp tuyến y x, khơng cắt trục tọa độ hai điểm nên loại

Vậy tiếp tuyến cần tìm d y:   x Bài 3. Cho hàm số  

1 x

y C

x

 

Tìm điểm M thuộc  C cho tiếp tuyến M  C cắt Ox Oy, A B, cho diện tích tam giác OABbằng

4, ởđây Olà gốc tọa độ

73

+ Gọi   0 ; x

M x C

x        

là điểm cần tìm Khi tiếp tuyến  C M có phương trình là:

       

2

0

0

2 2

0

0 0

2

2

: :

1

1 1

x x

d y x x d y x

x

x x x

     



  

Từđó suy  

  2 0 2 ;0 , 0;

1 x

A x B

x           Ta có   2 0 0

1 1

1

2 1

2

OAB

x x

S OA OB OA OB x

x x               

+ Với x0  1 M1 1;1 + Với

1

;

2

x   M   

 

Vậy có hai điểm 1 1;1 , 2 1; 2 M M   

 cần tìm

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số yx3x21biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ A B, cho tam giác OABcân O( với Olà gốc tọa độ)

Lời giải :

Phương trình tiếp tuyến điểm M x x 0; 03x021thuộc đồ thị hàmsố

  

0 0 0

:

d y x  x xx x x 

Khi giao điểm dvới Oxlà

3 0 0 ; x x A x x         

, giao điểm dvới Oylà

 

0

0;

B  x x 

Tam giác OABcân Onên OAOB

3 0 0 0 2 x x x x x x         3 0 0 0 3 0 0 0

2 1

3

1

2

2

3

x x

x x x

x x x x x x x x x                             

74

Với 0

3

x   ta có tiếp tuyến : 32 27 d y x

Bài 5.Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến điểm có hồnh độ đồ thị hàm số yx33x2m tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích

2 Lời giải :

- Tiếp tuyến điểm có hồnh độ d y:  3x m 2 - Khi dcắt Oxtại 2;0

3 m

A  

 và cắt Oytại B0;m2

- Vậy 2  22

2

OAB

m m

S m m

m

  

       

  

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Viết phương trình tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

1 x y

x

 

 biết tiếp tuyến tạo với

hai trục tọa độ tam giác cân

1.2. Viết phương trình tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

1 x y

x

 

 biết tiếp tuyến tạo với

hai trục tọa độ tam giác có diện tích

6 1.3. Viết phương trình tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

 

1

2

x y

x

 

 biêt tiếp tuyến tạo với

hai trục tọa tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4xy0 1.4. Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàmsố 2 1  2

3

y x  m x  m x giao điểm đồ thị hàm số với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích

3

Dạng toán : Số tiếp tuyến qua điểm đến đồ thị hàm số

- Viếtphương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước đến đồ thị hàm số

75 Bài 1. Cho hàm số  

4

y x  x  C

Viết phương trình tiếp tuyến với  C biết tiếp tuyến qua điểm M 1; 

Lời giải:

+ Phương trình tiếp tuyến với  C qua điểm M 1; 9có hệ số góc klà d y: k x 19, gọi xlà hồnh độ tiếp điểm, ta có hệ

 

3

2

4 1 9(1) 12 12 (2)

x x k x

x x k

     

 

 

 

Thay (2) vào (1) ta được: 4x33x2 6x 5

  2 

1

4

x x x x

        

+ Với x  1 k24phương trình tiếp tuyến d y: 24x15 + Với 15

4

x k phương trình tiếp tuyến : 15 21 4 d y x

Vậy hai tiếp tuyến cần tìm d1: 24x y 150và d2:15x4y210 Bài 2. Cho hàm số 3 

2

y x  x  C

Viết phương trình tiếp tuyến với  C biết tiếp tuyến qua điểm 0;3 M 

 

Lời giải:

+ Phương trình tiếp tuyến với  C qua điểm 0;3 M 

 có hệ số góc klà

3 :

2

d ykx , gọi xlà

hoành độ tiếp điểm, ta có hệ

4

3

1 3

3 (1)

2 2

2 (2)

x x kx

x x k



   

 

  



Thay (2) vào (1) ta được:

 

2

2 0

x x    x x 

+ Với x0k0phương trình tiếp tuyến : d y

+ Với x 2k 2phương trình tiếp tuyến : d y x

76 Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

 

3

3

y x  x  C kẻ từđiểm A0; 2

Lời giải:

+ Nhận thấy A0; 2   C

+ Xét tiếp tuyến với  C A, ta có

   

 

2

0

3

( ) (0)

lim lim

0 3 0

x x

x x

f x f

x

x x x





 

 

 

   

  



không tồn y'(0) Vậy khơng có tiếp tuyến với  C A

+ Xét tiếp tuyến có hệ số góc kđi qua Acó phương trình d y: kx2

Do  C đối xứng qua trục tung nên cần xét khoảng 0;, yx33x2và ta có hệ

3

3 2

3

x x kx

x k

    

 

  



có nghiệm

Hệ vơ nghiệm 0; Vậy khơng có tiếp tuyến  C qua A Kết luận: Không có tiếp tuyến kẻ từ Ađến  C

Bài 4. Cho hàm số  

3

yx  x C

Tìm điểm M  C cho có tiếp tuyến với  C qua M

Lời giải:

Giả sử điểm M x x 0; 033x02 C Phương trình tiếp tuyến với  C qua M có dạng

 

0

yk xx x  x  , ta có hệ

 

3

0 0

2

3 2(1)

3 (2)

x x k x x x x

x k

       

 

  



Thay (2) vào (1) ta được:

  2 

3

0 0

2x 3x x x 0 xx 2xx 0(*)

u cầu tốn tương đương với phương trình (*) có nghiệm

 

0

0 0 0;

2 x

x   x  x  M

77 Lời giải:

Giả sử M x 0; 0là điểm cần tìm, tiếp tuyến với  C qua M có dạng d y: k x x0

, ta có hệ

 

3

0

3 (1)

3 (2)

x x k x x

x x k

   

 

 

 

Thay (2) vào (1) ta được:

 

3

0

2x 3 1x x 6xx 0 x0hoặc2x2 3 1 x0x6x0 0(*)

Kí hiệu,  

0

( )

g x  x  x x x

Từ M kẻ tiếp tuyến đến  C phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác không

2

0

0

3 30

(1)

0 (0)

3 x

x x

x

g x

  

    

 

 

  

  



 

Tại điểm M 0;0tiếp tuyến với đồ thị hàm số trục hồnh, dễ thấy khơng có tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến này.Khi u cầu tốn trở thành tiếp tuyến với đồ thị hàm số

tại điểm có hồnh độ x x1, 2(x x1, 2là nghiệm (*)) vng góc với Hệ số góc tiếp tuyến k13x126 ;x k1 2 3x226x2

Yêu cầu toán thỏa mãn

    2  

1 6 18 2 36 1(2)

k k    x  x x  x    x x  x x x x  x x   Theo

định lí Vi-ét ta có: 1 2 3 1; 1 2 0

x

x x   x x   x , (2) trở thành

0

1

27 ;0

27 27

x x M 

       

 là điểm cần tìm

Bài 6. Cho hàm số 2 

1 x

y C

x

 

 Tìm điểm trục tung kẻ hai tiếp tuyến đến

 C cho hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hoành

Lời giải:

+ Giả sử A0;alà điểm cần tìm, đường thẳng qua Avới hệ số góc klà d y: kx a

dtiếp xúc với  

 2

2

x

kx a x

C

k x

 

 

     

 

  

có nghiệm

     

: 2 0(*)

PT a x a x a

78

Kí hiệu:      

( ) 2

g x  a x  a x a , từ Akẻ hai tiếp tuyến đến  C phương trình (*) có nghiệm phân biệt x x1, 2, khác

1

1

' 1(1)

2

(1)

a a a g                 

Khi ta có 1 2

1

3

1 ,

1

y y

x x

   

  Để hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh

và  

 

1 2

1

1 2

2

3

0 1 0(2)

1 1

x x x x

y y

x x x x x x

  

   

        

    

   

Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2 2 2; 1 2

1

a a

x x x x

a a

 

  

  , (2) trở thành

2

3

a  a  Kết hợp với điều kiện (1) suy a

  

Vậy điểm trục tung có hồnh độ x thỏa mãn x

   thỏa mãn điều kiện toán BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Cho hàm số  

2 x m y C x  

 hai điểm  

9 4; ; ;

2 A B 

  Tìm tất giá trị

tham số m để từ Akẻ hai tiếp tuyến AM AN, đến  C ( M N, tiếp điểm) cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMNbằng

1.2.

Dạng toán:Tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận

Bài Cho hàm số 3 

2 x y C x  

 Tìm điểm  C cho tiếp tuyến với  C điểm

đó cắt hai tiệm cận  C hai điểm A B, cho độ dài ABnhỏ

Lời giải:

+ Giả sử điểm ; 2 M m m      

 là điểm cần tìm, tiếp tuyến với  C M có phương

trình là:

 2 

1

:

2

d y x m

m m

    

79

+ Giao điểm dvới tiệm cận đứng 2; 2 A

m

 



 



 

+ Giao điểm dvới tiệm cận ngang B2m2; 2 Ta có  

     

2

2

2

1

4

2

AB m m

m m

 

      

 

 

 

Dấu xảy  

 

2

2

1

2

3

m m

m m

 

   



 

Vậy có hai điểm cần tìm M1 1;1 ,M23;3

Bài Cho hàm số 2 1 

1 x

y C

x

 



Tìm  C điểm mà tiếp tuyến với  C điểm cắt đường tiệm cận  C

,

A Bsao cho tam giác IABcó chu vi nhỏ nhất(I giao điểm hai đường tiệm cận hàm số)

Lời giải:

+ Giả sửđiểm ;2 3   1

M m C

m

 

 

  

  điểm cần tìm, tọa độ I1; 2

+ Phương trình tiếp tuyến với  C M

 2  

3 3

: 2

1 1

d y x m

m m



   

 

+ Tọa độgiao điểm dvới tiệm cận  C 1; 2 6 , 2 1;2 1

A B m

m

 

 

 



 

+ Tam giác IABvuông I , ta có 6 ; 2 1 . 12.

1

IA IB m IA IB

m

    



Chu vi tam giác IABbằng :

2

2 . 2 . 4 3 2 6

p IAIB IA  IB  IA IB  IA IB  

Đẳng thức xảy IAIBm12  3 m 1 3 Vậy có hai điểm M11 3;2 3 , M21 3;2 3 cần tìm

80

1.1. Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số

 

3

3 1 1

yx  mx  m x điểm có hồnh độ x 1đi qua điểm A1;2 1.2. Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị hàm số

 

3

2 2 3

yx  x  m x m qua điểm 1; 55 27 A  

 

1.3. Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến hai điểm cố định thuộc đồ thị hàm số y  x4 2mx2 2m1vng góc với

1.4. Cho hàm số yx3 3x2 1  C Tìm hai điểm A B, thuộc  C cho tiếp tuyến với  C A B, song song với AB4 2

1.5. Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 mxm1tại điểm có hồnh độ cắt đường tròn   : 22  32 1

5

C x  y  theo dây cung có độ dài nhỏ 1.6. Tìm giá trị thực tham số mđể từđiểm M1, 2kẻđược hai tiếp tuyến đến đồ thị

hàm số y x3 2x2 m1x2m

1.7. Tìm tất giá trị k để tồn hai tiếp tuyến phân biệt với đồ thị hàm số

3

6 9 3

yx  x  x có hệ số góc k , cho đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục tọa độ Ox Oy, A B, thỏa mãn OA2012OB

1.8. Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3mxm1tại điểm có hoành độ

0 1

x   cắt đường tròn   C : x22 y32 4theo dây cung có độ dài nhỏ

nhất

1.9. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị hàm số

   

: 2 2 3

m

C yx  x  m x m qua điểm 1, 55 27 A  

 

1.10. Tìm tất giá trị tham số mđể đồ thị hàm số

     

: 1 4 3

3

m

m

C y x  m x   m x tồn hai điểm có hồnh độ dương

sao cho tiếp tuyến đồ thị vng góc với đường thẳng 1 3

2 2

y   x

1.11. Tìm điểm trục hoành kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

 

: 3 2

81

1. Tìm tất điểm trục hoành kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

 

: 3

C yx  x biết có hai tiếp tuyến vng góc với

2. Tìm đường thẳng y2các điểm kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

 

3

yx  x C

3. Cho hàm số y3xx3  C Tìm đường thẳng y  xcác điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt đến  C

4. Cho hàm số y x33x2 2  C Tìm điểm thuộc đường thẳng y2mà từ kẻđược tiếp tuyến phân biệt đến  C

5. Cho hàm số y x4 2x2 1  C Tìm điểm trục hồnh kẻ tiếp tuyến phân biệt đến  C

6. Tìm điểm trục tung kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

 

: 1

C yx x 

1.12. Tìm hai điểm A B, phân biệt thuộc đồ hàm số  C :yx3 3x2 cho tiếp tuyến A B, song song vơi đường thẳng qua hai điểm vng góc với

đường thẳng x y20120

1.13. Cho hàm số yx32011x C  Tiếp tuyến  C điểm M1( có hồnh độ 1

x  ) cắt  C điểm M2 M1, tiếp tuyến  C M2 cắt  C điểm M3 M2 tiếp tuyến  C Mn1 cắt  C điểm

 

1 3

n n

M M   n  Giả sử điểm Mnx yn, n, tìm nđể

2012

2011xn  yn 2

1.14. Chứng minh đồ thị hàm số Cm:y x4 2mx22m1 qua hai điểm cốđịnh Tìm m để tiếp tuyến hai điểm cốđịnh vng góc với

1.15. Cho hàm số yx4 2x C2  Trên  C lấy hai điểm A B, có hồnh độ tương ứng

,

a b Tìm điều kiện avà b cho tiếp tuyến với  C A B, song song với 1.16. Tìm điểm  : 1 3 5

2 2

A C y  x  x  cho tiếp tuyến  C Acắt  C

hai điểm phân biệt B C, khác Asao cho AC3AB( Bnằm A C, ) 1.17. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 2  

2 x

y C

x



 biết tiếp tuyến cắt trục

hoành, trục tung hai điểm M N, cho MN OM 2 với Olà gốc tọa

82

1.18. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2  

1 x

y C

x

 

 biết tiếp tuyến cắt

trục tọa độ A B, cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác OABlớn 1.19. Cho hàm số y 2mx 3Cm

x m

 

 Tìm giá trị thực tham số mđể tiếp tuyến

của Cmcắt hai đường tiệm cận Cmtại A B, cho tam giác IABcó diện tích 64( I giao điểm hai đường tiệm cận)

1.20. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  

1 x

y C

x



 biết tiếp tuyến tạo với hai

đường tiệm cận giác có chu vi 42 2

1.21. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  

1 x

y C

x



 biết tiếp tuyến cắt hai trục

tọa độ A B, cho đường trung trực ABđi qua gốc tọa độ 1.22. Tìm đồ thị hàm số 2 1

2 x y

x

 

 hai điểm A B, phân biệt cho tiếp tuyến hai

điểm có song song với độdài đoạn ABlớn

1.23. Tìm giá trị nhỏ tham số mđể tồn điểm thuộc đồ thị hàm số  : 1

2 1

x C y

x

 

 biêt tiếp tuyến điểm số tạo với hai trục tọa độ tam giác có

trọng tâm nằm đường thẳng y 2m1

1.24. Tìm hai nhánh đồ thị hàm số  : 2 1 1 x C y

x

 

 hai điểm M N, cho tiếp

tuyến hai điểm cắt đường tiệm cận tạo thành hình thang 1.25. Cho hàm số  : 2 1

1 x C y

x

 

 điểm M thuộc  C , gọi I giao điểm hai

đường tiệm cận tiếp tuyến M cắt hai đường tiệm cận A B,

1. Chứng minh M trung điểm AB

2. Chứng minh diện tích tam giác IABkhơng đổi

3. Tìm m để chu vi tam giác IABnhỏ

1.26. Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 2 3

1 x y

x

 

 điểm thuộc đồ thị mà có

83 1.27. Cho hàm số 2 3  

2 x

y C

x

 

 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C

Tìm  C điểm mà tiếp tuyến với  C điểm cắt đường tiệm cận

 C A B, cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IABnhỏ 1.28. Cho hàm số 1  

1 x

y C

x

 

 Tìm  C điểm mà tiếp tuyến với  C điểm

đó cắt đường tiệm cận  C hai điểm A B, cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IABlớn nhất(I giao điểm hai đường tiệm cận  C )

1.29. Cho hàm số 3  

1 x

y C

x

 

 Chứng minh tiếp tuyến với  C điểm M

trên  C cắt đường tiệm cận  C hai điểm A B, M trung điểm AB

1.30. Cho hàm số 2  

1 x

y C

x

 

 Chứng minh tiếp tuyến  C điểm

thuộc  C tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi 1.31. Cho hàm số 2  

1 x

y C

x

 

 Gọi d tiếp tuyến  C , I giao điểm

của hai đường tiệm cận Viết phương trình đường thẳng dbiết khoảng cách từ I đến d lớn

1.32. Cho hàm số 1  

1 x

y C

x

 

 Tìm điểm trục tung điểm kẻ

nhất tiếp tuyến đến  C 1.33. Cho hàm số 2 1  

1 x

y C

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến với  C biết tiếp tuyến

cách hai điểm A2;4 , B  4; 2 1.34. Cho hàm số 2 3  

2 x

y C

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M C biết

rằng tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang A B, cho cơsin góc ABIbằng 4

17 , với I giao điểm hai đường tiệm cận

1.35. Viết phương trình tiếp tuyếnd với đồ thị hàm số 2  

1 x

y C

x

 

 , biết d cắt hai đường

84

1. Diện tích tam giác IABlớn nhất( với I giao điểm hai đường tiệm cận)

2. Độ dài đoạn thẳng AB2 10

1.36. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2 1

1 x y

x

 

 biết tiếp tuyến cách hai

điểm A2;4và B 4; 2

1.37. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2

2 3

x y

x

 

 , biết tiếp tuyến cắt trục

tọa độ Ox Oy, A B, cho trung trục ABđi qua gốc tọa độ

CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số có tính chất đặc biệt:

Lưu ý:

- Tâm đối xứng hàm bậc ba điểm uốn, tâm đối xứng hàm phân thức giao điểm hai đường tiệm cận

Các tốn:

- Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số quỹ tích điểm cố định

- Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm qua đường thẳng cho trước

- Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đến hai trục tọa độ nhỏ

- Tìm điểm thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách chúng nhỏ

- Tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số( với hàm phân thức)

- Chứng minh đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng cố định

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho hàm số 1 3 11 

3 3

y  x x  x C Tìm  C hai điểm phân biệt M N, đối xứng với qua trục tung

Lời giải:

85

1

1 1

3

1 1 2 2

0 3 3

1 11 1 11

3 3

3 3

3 3 3 3

x x

x x x x

y y x x x x x x x x

  

     

   

  

   

            

   

vậy có hai điểm cần tìm 3;16 , 3;16

3 3

M   N 

   

Bài 2. Cho hàm số 1 3 5 

2 2

y  x  x  C Lập phương trình đường cong  C' đối xứng với

 C qua điểm I0;2

Lời giải:

Lấy điểm  ;    1 3 5 ( )

2 2

M x y  C  y x  x  i

Điểm M'x y'; 'đối xứng với M qua điểm I0;2nên '

4 '

x x

y y

   

  

thay vào (i) ta

 

4

1 5 1 3

4 ' ' 3 ' ' ' 3 ' '

2 2 2 2

y x x y x x C

        

Bài 3. Cho hàm số yx3 3x2 3mx3m4Cm Tìm m để Cmnhận điểm I1; 2

làm tâm đối xứng

Lời giải:

Ta có ' 3 6 3 '' 6 6 '' 0 1

6 2

x

y x x m y x y

y m

 

         

 



Điểm uốn đồ thị hàm sốlà tâm đối xứng U1;6m2

Yêu cầu toán tương đương với 6m2 2 m0là giá trị cần tìm

Bài 4. Cho hàm số ym2x33m2xm7Cm Chứng minh với m

đường cong Cmluôn qua điểm cốđịnh thuộc đường thẳng

Lời giải:

Gọi M x y 0; 0là điểm cốđịnh thuộc đường cong Cm Khi ta có

   

0 2 3 2 7,

86

 

0 3 1 2 6 7 0,

m x x x x y m

           3 0 0

0 0

0 0

3 1 0(1)

3 1 0

2 3 1 6 7 12 5(2)

2 6 7 0

x x

x x

y x x x

x x y

                          

Xét hàm số f x( )x33x1liên tục 

Ta có (0) 0; (1) 3 0; lim ( ) ; lim ( )

x x

f f f x f x

 

        

từđó suy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt

Và từ (2) suy nghiệm thuộc đường thẳng y 12x5 Ta có đpcm

Bài 5.Tìm hai điểm đồ thị hàm số y x3 3x2 đối xứng qua điểm M1;3

Lời giải:

Giả sử điểm A x y 0; 0   C , điểm Bđối xứng với Aqua M1;3 nên

 2 0;6 0

B  x  y

Nhưng A B,  C nên:

       

3

0 0

3

0

0 0

3 2 1

1;0 ; 1;6 0

6 2 3 2 2

y x x x

A B

y

y x x

                           

Vậy A1;0và B1;6là hai điểm cần tìm

Bài 6. Tìm đồ thị hàm số y x3 3x2 hai điểm đối xứng qua đường thẳng

: 2 2 0

d x y 

Lời giải:

Giả sử hai điểm M x y 1; 1;N x y 2; 2thuộc đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng

: 2 2 0

d x y 

Khi trung điểm Icủa MNcũng thuộc d:

1 2

;

2 2

x x y y

I d MN d               

 1  1

3

1 1 2

2 0

3 2 3 2

2. 2

2 2 2

x x y y

y y x x x x x x

                                   2

2 1 2

3

2 1 2 2

7 2 0

3 3 2

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

87

2

1 2 1 1

2

2 2 2

1 2

7 7 1 7

2

2 2 2 2

0 7 1 7

2

1 2 2 2

x x x x x y

x x

x y

x x x x

                                   

Vậy có hai điểm cần tìm 7;2 1 7 ; 7;2 1 7

2 2 2 2 2 2

M    N  

   

Bài 7.Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số 3 4  

2 x y C x  

 cách hai đường tiệm cận

đồ thị hàm số

Lời giải:

Giả sử điểm ;3 4   2

x

M x C

x         

, M cách hai đường tiệm cận  C

khi:

   

2 1;1

1

3 4 2

2 3 2

4

2 2 4;6

2 2 x

x M

x

x x x

x x

x x

x x M

x x                             

Vậy có hai điểm cần tìm M1 1;1 ;M24;6

Bài 8.Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số 2

2 1 x y x  

 cách hai điểm A2;0 ; B 0;2

Lời giải:

Phương trình đường trung trực ABlà d y: x

Khi điểm M thuộc đồ thị hàm số cách hai điểm A B, có tọa độ nghiệm phương

trình:

2

2 1 5 1 5

2 2 2 0

2 1 2 2

x

x x x x y

x

  

        



Vậy có hai điểm thỏa mãn 1 1 5 1; 5 ; 2 1 5 1; 5

2 2 2 2

M     M    

   

Bài 9. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số 2  

1 x

y C

x



 cho tổng khoảng cách từ điểm

đó đến hai đường tiệm cận  C nhỏ

88

Giả sử điểm 0  

2 ;

1

x

M x C

x        

, tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận

 C là:

0

0 0

0 0

2 2 2

1 2 1 2 1 2 2

1 1 1

x

x x x

x x x

        

  

Dấu xảy

   

 

2

0

0 0

1 2;2 2

1 2

2

1 1 2

1 1 2 1 2 2 2

M x

x x

x x M

                          

Vậy có hai điểm cần tìm M1 1 2;2 2 ; M2 1 2; 2  2 Bài 10.Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số 2

1 x y

x



 cho khoảng cách từ điểm I1;2

đến tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm đạt giá trị lớn

Lời giải:

Giả sử điểm 0  

2 ;

1

x

M x C

x        

, phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số M là:

     

2 2

0

2 0

0

2 2

: 2 1 2 0

1 1

x

y x x x x y x

x x

        

 

Khi khoảng cách từ I1;2đến là

            2

0 0

4

2

0

2

0

2 2 1 2 4 1 4

2 4

4 1 4 1 1

1

x x x

d

x x x

x

    

   

     



Dấu xảy  

  2 0 4

1 1 2

1

x x

x

     



Vậy có hai điểm cần tìm M1 1 2;2 2 ; M2 1 2; 2  2 Bài 11.Tìm hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị hàm số 2

1 x y

x



 cho khoảng cách

89

Lời giải:

Giả sử điểm A 1 a, 2 2 ;B b 1, 2 2  C

a b

   

     

   

   

với a b, 0

Khi ta có

   

     

2

2

2

2 2

1 1 4 4 4

4 1 4 1 8 1. 16

AB a b a b ab ab

a b ab ab ab

   

 

              

     

Dấu xảy

 

   

2

4 2 1 2; 2 2 ; 2 1;2 2

1 a b

a b A B

ab

  

         

   

Vậy hai điểm cần tìm A 1 2; 2  2 ; B 2 1;2 2 Bài 12.Tìm hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị hàm số 2

1 x y

x



 , biết hai điểm tạo

với điểm A2;0một tam giác vuông cân A Lời giải:

Giả sử điểm , 2 2 ; , 2 2

1 1

B b C c

b c

   

 

     

   

với b 1 c

Gọi H K, hình chiếu vng góc B C, trục hoành Từ điều kiện AB AC ABH CAK

AB AC

 

 

  

 

Từ suy ra:

2

2 2

1 1

2 3

2 2

1

b

AH CK c b

BH AK c

c b



   

  

   

 

  

 

     

 



Vậy hai điểm cần tìm B1;1 ; C 3;3

Bài 13. Chứng minh với m0đồ thị hàm số y m 1x m

x m

 



 tiếp xúc với

một đường thẳng cố định

90

Giả sử đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng d y: kxl với m

        2 2

2 2

, ,

1

1 2 0

m m k k x m x m m m

m x m

m l x m lx x lx x

kx l x m                                 2 2 0 1 1 0 1 0 0 m k

x m x

l l x k lx x lx x                          

Vậy đồ thị hàm số luốn tiếp xúc với đường thẳng d y:  x 1

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Tìm m để đồ thị hàm số  

3

2

3 2 m , 0

x

y mx C m

m

     nhận điểm I1;0làm tâm

đối xứng

1.2. Cho hàm số y x33x2 C Tìm  C hai điểm phân biệt đối xứng với

qua đường thẳng 2x y 2 0 1.3. Cho hàm số 2 1 

1 x y C x  

 Tìm  C điểm có tổng khoảng cách đến hai

tiệm cận  C nhỏ 1.4. Cho hàm số 3 4 

2 x y C x  

 Tìm  C điểm cách hai đường tiệm cận

 C .

1.5. Cho hàm số 2 4

1 x y x  

 Tìm đồ thị hàm sốhai điểm đối xứng với qua đường

thẳng MNbiết M3;0 , N 1; 1 1.6. Cho hàm số 2 1  

1 x y C x  

 Tìm  C điểm M cho tiếp tuyến  C

M đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận  C có tích hệ số

91 1.7. Cho hàm số 2 2 .

1 x

y C

x

 

 Tìm  C điểm có hồnh độ số ngun

1.8. Tìm điểm cốđịnh Cm:y x3m m x 4x4m m

1.9. Với giá trị tham số mđể đường thẳng d y: mx1cắt đồ thị hàm số

2 1

1 x y

x

 

 hai điểm phân biệt M N, cắt hai đường tiệm cận A B,

Chứng minh MA NB

1.10. Tìm m để đồ thị hàm số y  x33 2 m2 1x2 3m2 1x 1 m3có hai

điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ

1.11. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số 2

1 x y

x

 

 biết tổng khoảng cách từ điểm

đến đường thẳng d: 2x y 2 0đạt giá trị nhỏ

1.12. Tìm nhứng điểm thuộc hai nhánh đồ thị hàm số 2

1 x y

x



 cho khoảng cách

chúng đạt giá trị nhỏ

1.13. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số 1

1 x y

x

 

 cho khoảng cách từ điểm đến

trục hoành hai lần khoảng cách từ điểm đến trục tung

1.14. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số 2

1 x y

x



 cho tổng khoảng cách từ điểm

đến trục tọa độ đạt giá trị nhỏ

1.15. Tìm hai điểm thuộc hai nhánh củađồ thị hàm số 2

1 x y

x



 , biết hai điểm tạo với

điểm A2;0một tam giác vng cân A 1.16. Tìm đồ thị hàm số 1

2 x y

x

  

 hai điểm A B, có độ dài đoạn AB4và đường

thẳng ABvng góc với đường thẳng y x 0 1.17. Tìm đồ thị hàm số 1

2 x y

x

  

 điểm A B, biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số

tại A B, song song với độ dài đoạn ABbằng 2 2

1.18. Tìm đồ thị y x33x bốn điểm A B C D, , , cho tứ giác ABCD hình vng tâm O

92

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số  C : y f x( )suy đồ thị hàm số

 C1 :y  f x( ) Phương pháp:

Ta có  1 : ( ) ( ), ( ) 0

( ), ( ) 0

f x f x

C y f x

f x f x

 

  

 



Do đồ thị  C1 gồm hai phần

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị  C nằ trục hoành

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị  C nằm phái trục hoành qua trục hoành  

3

2 9 12 4

y x  x  x C

 

3

1

2 9 12 4

y x  x  x C

 C1

Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm số  C :y  f x( )suy đồ thị hàm số

93

Ta có  2 :   ( ), 0

( ), 0

f x x

C y f x

f x x

 

  

 



Do đồ thị  C2 gồm hai phần

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị  C bên phải trục tung

Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục tung

 

3

2 9 12 4

y x  x  x C

 

3 2

1

2 9 12 4

y x  x  x  C

 C1

Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số  C :y  f x( )suy đồ thị hàm số

 C3 : y  f x .

Phương pháp:

Đồ thị hàm số y  f x( )đối xứng qua trục hồnh Ta có  3 :   ( ) , 0

, 0

y y

C y f x f x

y y

 

   

 



94

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị  C phía trục hoành

Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục hoành

Dạng 4: Dựa vào đồ thị hàm số  C :y  f x( )u x v x( ) ( ) suy đồ thị hàm số

 C4 :y  u x v x( ) ( ) Phương pháp:

Ta có  4 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 u x v x f x u x

C y u x v x

u x v x f x u x

 



  

   



Do đồ thị  C4 gồm hai phần

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm miền u x( )0

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị  C qua trục hoành nằm miền u x( )0  

3

2 9 12 4

y x  x  x C

  

1

2 2 5 2

y x x  x C

 C1

95

Dạng 6: Dựa vào đồ thị hàm số  C :y f x( ) suy đồ thị hàm số  C6 : y  f x( )

Dạng 7: Dựa vào đồ thị hàm số  C :y f x( ) suy đồ thị hàm số  C7 : y  f x( ) Dạng toán: Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị

Phương pháp:

Dùng trực quan đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình f x( )g m( ), m tham số Coi y g m( )là đường thẳng y  f x( )là đường cong

Ta phải vẽ đồ thị hàm số y f x( ), số giao điểm đường thẳng y g m( )và

đường cong y  f x( )chính số nghiệm phương trình

Như điểm mấu chốt toán vẽ đồ thị hàm số y  f x( ) BÀI TẬP MẪU

Lưu ý:

Tài liệu quan niệm:

- Đồ thị hàm số lúc đầu quan niệm đồ thị hàm số

- Đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số gọi đồ thị hàm số

Với toán mẫu đây, ta giả sử có đồ thị hàm số nên cách suy ra đồ thị hàm số Khi làm em phải xuất phát từ đồ thị hàm số xong suy đồ thị hàm số mới( thường đề câu 1, ý khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số em có đồ thị hàm sơ bản)

Bài Tìm m đểphương trình sau có nghiệm phân biệt 2x3 9x2 12 x m Lời giải:

Hàm số y f x( )2x3 9x2 12 x C 

Số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng y mvà đồ thị hàm số

 

3 2

1

2 9 12

y x  x  x C Ta có

3

3 2

3

( ) 2 9 12 , 0

2 9 12

( ) 2 9 12 , 0

f x x x x x

y x x x

f x x x x x

    



    

     

 

Do đồ thị  C1 gồm hai phần:

Phần 1: giữ nguyên phần đồthị  C bên phải trục tung

96

Đồ thị hàm số  C1 phần liền nét hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số suy để phương trình có bốn nghiệm phân biệt đường thẳng y mcắt  C1 bốn điểm phân biệt 4m5

Bài 2.Tìm m để phương trình

4

3

2x  x  m1có tám nghiệm phân biệt

Lời giải:

Điều kiện: m1, phương trình tương đương với:

 

4

2

3 2 log 1

x  x   m

97

Dựa vào đồ thị hàm số suy để phương trình có tám nghiệm phân biệt đường thẳng y k log2m1cắt đồ thị hàm số tám điểm phân biệt

 

2

1

0 log 1 2 1 2

4

m m

       

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho hàm số y2x3 9x2 12x4 C a. Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số  C

b. Tìm m đểphương trình sau có nghiệm phân biệt 2 x3 9x2 12 x m Bài 2. Cho hàm số y2x4 4x C2 

a. Khảo sát biến thiên vẽđồ thị  C hàm số

b. Với giá trị m, phương trình x x2 2  m có nghiệm phân biệt

Bài 3. Gọi d đường thẳng qua điểm A2;0với hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị hàm số

3

3 2

98

a. Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số  C

b. Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt 2

1 2 1

x x  x x m Bài 5. Cho hàm số 2 1 

1 x

y C

x

 



a. Khảo sát biến thiên vẽđồ thị  C hàm số

b. Tìm m đểphương trình sau có nghiều nghiệm 2 1

1 x

m x

 



MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP

1.1. Cho hàm số y2x3 3m3x2 18mx8 Cm

1. Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m1 2. Tìm m để Cmtiếp xúc với trục hoành

3. Chứng minh tồn điểm x0sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm song

song với với m

4. Chứng minh parabol  P :yx2có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số với m

1.2. Cho hàm số 2 

1 m

mx

y C

x

 

 , m tham số thực

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m3

2. Cho hai điểm A3;4 B3; 2  Tìm m để đồ thị Cmcó hai điểm P Q,

cách hai điểmA B, diện tích tứ giác APBQbằng 24

1.3. Cho hàm số y mx33mx2 2m1x 3 m C m, m tham số thực

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2

2. Tìm mđể hàm số Cmcó cực đại, cực tiểu khoảng cách từ điểm 1;4

2

N 

  đến

đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu hàm số lớn

1.4. Cho hàm số y x3 3x2 2  C

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

99 1.5. Cho hàm số y mx 1 m 1

x m



  



1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1

2

m 

2. Lấy A B, thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ xA  1;xB 1 Xác định m biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số A B, cắt Csao cho tam giác ABC tam giác

đều

1.6. Cho hàm sốyx3 3m1x2 6mx3m4 Cm

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m1

2. Gọi  tiếp tuyến đồ thị hàm số Cm điểm có hồnh độ 1 Tìm m để tiếp tuyến cắt đồ thị hàm số Cmtại điểm Bkhác A, cho tam giác OABcân

O

1.7. Cho hàm số y x32m1x2 m1 Cm

1. Với m1, khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2. Tìm m để đường thẳng y 2mxm1cắt đồ thị Cmtại điểm phân biệt A B C, ,

sao cho OA2 OB2 OC2đạt giá trị nhỏ

1.8. Cho hàm số yx4 2 2 m1x2 3 m C m

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với 3

2 m

2. Tìm mđể Cmcắt trục hồnh điểm tạo thành đoạn thẳng 1.9. Cho hàm số yx3 3x2 4  C

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

2. Cho hai điểm 1;2 ; 7; 2

2 2

M  N 

   

Viết phương trình đường thẳng dcắt đồ thị  C

tại hai điểm phân biệt P Q, cho tứ giác MNPQlà hình bình hành 1.10. Cho hàm số  

2 m

m x

y C

x

 



1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m1

2. Tìm m để đường thẳng d: 2x2y 1 0cắt Cmtại hai điểm phân biệt với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích 3

8 1.11. Cho hàm số 2  1 3 2 5  

3 3 m

100

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m2

2. Tìm đồ thị Cmhai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2thỏa mãn x x1 2 0sao

cho tiếp tuyến điểm vng góc với đường thẳng x3y 1 0 1.12. Với m0;4 tìm điểm thuộc đồ thị hàm số y m 1x m

x m

 



 có hồnh độ dương ;