Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K ... Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi [r]
(1)Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa : Giả sử K là khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định trên K gọi là : Đồng biến trên K với x1 ,x2 K , x1 x2 f x1 f x Nghịch biến trên K với x1 , x K, x1 x f x1 f x Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x với x I Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ' x với x I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sử I là khoảng nửa khoảng đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm điểm I ( tức là điểm thuộc I không phải đầu mút I ) Khi đó : Nếu f ' x với x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I Nếu f ' x với x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I Nếu f ' x với x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I Chú ý : Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm f ' x trên khoảng a; b thì hàm số f đồng biến trên a; b Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm f ' x trên khoảng a; b thì hàm số f nghịch biến trên a; b Ta có thể mở rộng định lí trên sau Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f '(x) với x I ( f '(x) với x I ) và f '(x) số hữu hạn điểm I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I Chú ý Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp chương trình P(x) *Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) f(x) = (trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc Q(x) và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f '(x) (f '(x) 0) *Nếu hàm số f là hàm biến , f(x) ax b với a,b,c,d là các số thực và ad – bc thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên cx d K x K,f '(x) 0(f '(x) 0) B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: Lop12.net (2) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 x2 2x y x 1 x1 2x 3x y y x1 4x Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y y x 4x x 1 y 4x 5x x 1 x2 x x 2x y x 1 x2 Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y y x 3x2 y x 2x x 3 y x 3x 2x 4 y x 6x 9x y x 3x 24x 26 Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y 2x 4x 2 y x 6x 8x 1 3 y x x 4 y x x 4x Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến trên : y x x6 2x 3x 6x Bài toán 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x2 2x y x3 2x y x x2 y 3x x Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x 2x x 2 y 2x 1 x 2 y x x 3x 3 y x x 20 Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: x x3 y y x 1 x2 Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x y x 2x Bài 5: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x 2x y x 4x 2x Bài toán 03: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ KHÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y 4x y 4x 12x 12x y 3x2 x x2 x Bài toán 04: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y sin x cos 2x với x 0; y sin 2x cos x 2x với x ; 2 Bài Chứng minh hàm số y sin 2x 2x luôn nghịch biến trên Chứng minh hàm số y sin x cos x 2x luôn đồng biến trên Tìm m để hàm số y 2x m sin x đồng biến trên Tìm m để hàm số y cos 2x mx đồng biến trên 1 Bài Tìm tham số m để hàm số: y mx sin x sin 2x sin 3x đồng biến trên Dạng 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập xác định Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm a để hàm số y x ax 4x đồng biến trên Bài 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên khoảng xác định mx 2m 2x2 m x 3m 1 y y xm x 1 Bài 3: Tìm m để hàm số: y (m 2) x3 (m 2)x (3m 1)x m đồng biến trên y (m 1)x 3(m 1)x 3(2m 3)x m nghịch biến trên m x m 1 x 3x luôn nghịch biến trên 3 2 y mx x2 x đồng biến trên tập xác định nó 3 y y x m x2 đồng biến trên Bài 4: Tìm m để hàm số: y 3x mx nghịch biến trên khoảng xác định 2x Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Dạng 3: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng xác định Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K ; , ; , ; , ; CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : 2x 1 y nghịch biến trên (2; ) xm mx y nghịch biến trên khoảng ;1 xm y 2x 3x m đồng biến trên khoảng (; 1) x 1 y x 2mx 3m nghịch biến trên khoảng (;1) 2m x y x 5x m đồng biến trên khoảng 1; x3 mx 6x nghịch biến trên nửa khoảng 1; x2 Bài 2: Định m để hàm số : y y x (1 2m)x (2 m)x m đồng biến trên khoảng (0; ) y x 3x mx đồng biến trên khoảng (; 0) y x3 mx (1 2m)x đồng biến trên 1; y x (m 1)x (2m 3m 2)x m(2m 1) đồng biến trên 2; y mx m 1 x m 1 x 2013 đồng biến trên khoảng 2; y x m 1 x 2m 3m x 2013m 2m 1 đồng biến trên nửa 2; Bài 3: Định m để hàm số : y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x đồng biến trên khoảng (2; ) y x (m 1)x (2m 3m 2)x nghịch biến trên (2; ) y (m 1)x (m 1)x 2x (m 1) nghịch biến trên khoảng (; 2) y mx (m 1)x 3(m 2)x đồng biến trên (2; ) y x 3x mx nghịch biến trên khoảng 0; y 2x 2x mx đồng biến trên khoảng 1; Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y x 2mx 3m đồng biến trên khoảng (1; 2) Lop12.net ; , ; (5) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y x (m 2)x (3m 2)x đồng biến trên đoạn 3; Bài 2: Tìm m để hàm số: 1 y x 2m 1 x mx nghịch biến trên khoảng 0;1 y x3 (m 1)x (2m 1)x m nghịch biến trên (0; 3) 3 y x 3x 3(m 1)x đồng biến trên (1; 2) y x – 3x 2m 1 x – biến trên [2; 1] y x3 3x2 m 1 x 4m nghịch biến trên khoảng 1;1 y mx x 3x m đồng biến trên khoảng 3; Dạng 4: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y x 3x mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn y 2x 3mx đồng biến trên đoạn có độ dài lớn m 1 x x m m x nghịch biến trên khoảng có độ dài là 3 Bài 2: Định m để hàm số : y y x 3x (m 1)x 2m đồng biến trên khoảng có độ dài nhỏ Bài 3: Tìm m để hàm số: y m 1 x m 1 x 2mx đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ y x3 mx2 m 36 x nghịch biến trên khoảng có độ dài y x 3x mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ 2 Dạng 5: Ứng dụng đơn điệu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình Trong khuôn khổ chương trình, tác giả đề cập bài tập thường gặp Bạn đọc muốn nghiên cứu kĩ ứng dụng đơn điệu việc giải phương trình…, vui lòng tìm đọc tập sách: Đại số - lượng giác CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình: 7x 7x 13 7x 7x 13 x 3x2 4x 3x 3x x 3x x 4x 27x 27x 13x 2x x3 3x 8x 40 4x Bài 2: Giải phương trình: (x 1)3 (5x x2 )3 5x x2 3(x 1) Bài 3: Giải phương trình: 24x 60x 36 5x x1 0 x9 9x 2x Lop12.net (6) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 3 x 8x 60x 151x 128 7x 9x x 4x 5x x 9x 19x 11 x 6x 12x Bài 4: Giải hệ phương trình: x 3x y y 2x x y 2x xy 6x 20xy + 6y 351 x + y x 14xy + y 378 Bài 5:Giải hệ phương trình: x y 2 x 2y x 4y x3 y 91 2 4x 3y 16x 9y x4 y 240 3 2 x 2y x 4y x 8y x3 y 3y 3x x2 x 2y y 2 2 x x y y x 6x 2xy 4xy 6x 2x 4x 3x 2x y 2y x 14 x 2y Bài 6:Giải hệ phương trình: x2 3x y y 1 2 y 3y x x x y3 x3 x3 x y 9y xy x y 9x y y x 3x 4x x y y 8x y 3y 5y 4x 2x y 2x x 2x 22 y y y 2y 22 x x 1 x3 3y 55 64 xy y 3y 12 51x Dạng 6: Chứng minh phương trình có n nghiệm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh phương trình: x5 5x có nghiệm x5 x2 2x có nghiệm 2x x 11 có nghiệm x x5 2012 có đúng hai nghiệm dương phân biệt x2 2 3 x x x2 2x có nghiệm và nghiệm đó thuộc 1;1 2 x x x 2x có ba nghiệm phân biệt Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 x5 5x 15x x 3x có nghiệm thực x2012 2x3 x6 có đúng nghiệm thực dương Bài 2: Chứng minh phương trình : x x 2x x có đúng nghiệm Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán 01: ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh với x 0; ta luôn có: 2 sin x sin x 1 cos x x x 1 3 1 x1 2 sin x x 2 22.sin x 2t a n x 2 Bài 2: Chứng minh : 3x x , x 2; Bài 3: Chứng minh rằng: sin a sin b với a b a b x2 cos x với x tan x sin x 3x x 0; 2 3sin x tan x tan x 9x x 0; 2 Bài 4: Chứng minh rằng: x2 x4 x 0; cos x x 0; 24 2 2 Bài 5: Chứng minh rằng: tan x với x 0; 2cos x x cos x(4 cos x) 2 sin x x x3 3! sin(cos x) cos(sin x) x 0; 2 a b c (a b c) với a b c 0, 4(sin a sin b) 6(tana tan b) 10(a b) , biết a, b là hai số thực thuộc 0; , a b 2 Cho a, b,c là ba số thực thỏa điều kiện a , b 8 , c Chứng minh x 1,x ax bx c Bài 6: Cho các số thực x, y,z 0; Chứng minh : 2 1 1 1 12 3 2 2 2 sin x sin y sin z x y z 2 Bài 7: Chứng minh : tam giác ABC thoả mãn hệ thức cos A cos B cosC giác ABC Lop12.net 13 thì tam cos A cos B cos C (8) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho tam giác ABC có A B C Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M x sin A x sin B x sin C x sin C Bài 8: Cho ABC Chứng minh : r p 28 S r 3 2R a 2R b 2R c 8R 3e 3 cos A cos B cos C 125 16 Bài toán 02: ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho a, b,c,d là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A abcd 4 abcd Bài Cho x, y, z là số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z Chứng minh rằng: abcd abcd xyz xy yz zx Bài Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 1, y và x y 4xy Tìm giá trị lớn và nhỏ 1 biểu thức P x y x2 y2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D D và x0 D x0 gọi là điểm cực đại hàm số f tồn khoảng a; b chứa điểm x0 cho: a; b D f f(x) f(x ) x a; b \x Khi đó f x0 gọi là giá trị cực đại hàm số f x0 gọi là điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng a; b chứa điểm x0 cho: a; b D f(x) f(x0 ) x a; b \x0 Khi đó f x0 gọi là giá trị cực tiểu hàm số f Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị Nếu x0 là điểm cực trị hàm số f thì người ta nói hàm số f đạt cực trị điểm x0 Như : Điểm cực trị phải là điểm tập hợp D Lop12.net (9) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y Điểm cực đại Điểm cực tiểu Điểm cực tiểu x O Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) hàm số Chú ý a)Giá trị cực đại (cực tiểu ) f(x0) hàm số f chưa hẳn đã là GTLN (GTNN) hàm số f trên tập xác định D mà f(x0) là GTLN (GTNN) hàm số f trên khoảng (a,b) D và (a;b) chứa x0 b)Nếu f’(x) không đổi dấu trên tập xác định D hàm số f thì hàm số f không có cực trị Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó , f có đạo hàm điểm x0 thì f ' x0 Chú ý : Đạo hàm f ' có thể triệt tiêu điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 Hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đó hàm số không có đạo hàm Hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đó đạo hàm hàm số , đó hàm số không có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x0 và x0 ; b Khi đó : f ' x0 0,x a; x0 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu điểm f ' x0 0, x x0 ; b x f '(x) x0 a x0 b f(a) f(b) f(x) f(x0 ) f ' x0 0, x a; x Nếu thì hàm số đạt cực đại điểm x0 f ' x0 0,x x0 ; b a x0 x f '(x) Lop12.net b (10) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 f(x0 ) f(x) f(a) f(b) Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp trên khoảng a; b chứa điểm x0 , f ' x0 và f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Nếu f '' x thì hàm số f đạt cực đại điểm x0 Nếu f '' x thì hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Chú ý : Nếu x0 là điểm cực trị hàm số f thì điểm (x0 ; f(x0 )) gọi là điểm cực trị đồ thị hàm số f f '( x ) thì định lý không dùng f ''(x ) Trong trường hợp f '(x ) không tồn B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y x2 x x 1 Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y x 1,5x 6x y x 3x 3x x3 x2 2x Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y y x 2x y x 2x y 0, 25.x x 4x y x 6x 8x Bài toán 02: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y x y x x Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: x2 x2 20 y y x2 4x x1 Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y x x2 y 2x x2 Bài 4: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y x x 3 y x 2x x Bài 5: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: 3 y x x2 4x 2 Bài toán 03: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP y x2 x x2 x 10 Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y sin 2x y sin x x cos6 4 Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y cos x sin x 3sin 2x y cosx sin x trên đoạn 0; Bài toán 04: TÌM ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA SỐ HÀM SỐ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 3x Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số đã cho cắt đường tròn (T) : x y 4x 2y m dây cung có độ dài 30 Bài 2: Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị C Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị C điểm M,N cho tứ giác AMBN là hình thoi Bài toán 06: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ KHÁC Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số: y mx 3mx (m 1)x có cực trị Tìm m để hàm số: y mx4 m 1 x 2m có điểm cực trị x mx Xác định m để đồ thị hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại 2 Bài 3: Tìm m để hàm số sau có cực trị: Bài 2: Cho hàm số y y x 3(m 1)x 3(2m 4)x m y x (m 1)x mx y x (2m 1)x m m xm y x mx mx 3 Bài 4: Tìm a để các hàm số f x x x ax ; g x x x 3ax a có các điểm cực trị nằm xen kẽ 3 Bài 5: Cho hàm số y x 4mx 3(m 1)x Tìm m để: Hàm số có ba cực trị Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Bài 6: Cho hàm số y ax bx ab ( a, b là hai tham số , a Tìm các giá trị a, b cho hàm số đạt cực trị ax b x và x Tìm các hệ số a, b,c,d hàm số y ax bx cx d cho các điểm A 0; và B 2; 2 là các điểm cực tiểu và cực đại đồ thị hàm số Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM 11 Lop12.net (12) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 3(m 1)x 3m(m 2)x m 3m m Chứng minh với giá trị tham số m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách hai điểm này không đổi Gọi (C m ) là đồ thị hàm số y x m 1 x m x 1 cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó , chứng minh với m , đồ thị (C m ) luôn có cực đại, 20 Chứng minh với tham số m hàm số y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x luôn có cực đại và cực tiểu đông thời khoảng cách các điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số không đổi Bài 2: Tìm m để hàm số: y x3 (2m 1)x (m 9)x đạt cực tiểu x y mx 2(m 1)x (m 2)x m đạt cực tiểu x y x mx đạt cực tiểu x xm y x (m 1)x 2m đạt cực đại x 1 xm Bài 3: Cho hàm số y x 2(m m 1)x m Tìm m để đồ thị hàm số có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn Tìm m để đồ thị hàm số: y x 3x tiếp xúc với đường tròn: (x m)2 (y m 1)2 y x 3x 3(m 1)x 3m (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số: có cực trị, đồng thời khoảng cách cực trị 15 Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: y x2 m 1 x m 4m x 1 có cực trị đồng thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số: y mx có hai điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn x Dạng 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số : y mx mx x có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu y x3 6x2 m x m đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu y x 3mx 3(m 1)x 6m có hai cực trị trái dấu 12 Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài 2: Tìm m để hàm số : y x3 (m 1)x (6 2m)x m đạt cực trị hai điểm trái dấu y (m 1)x 3(m 1)x 2mx m có các điểm cực đại, cực tiểu Chứng minh đó hai điểm cực trị luôn cách đường thẳng d : x y x (2m 1)x 3mx m có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu hàm số trái dấu Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 2mx Tìm các giá trị m để tất các điểm cực trị đồ thị nằm trên các trục toạ độ Bài 2: Tìm m để hàm số : y 2x mx 12x 13 có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách trục tung y mx 3mx 2m có hai điểm cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm hai phía với trục Ox x 1 Bài Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số y mx m x 4m m tương ứng có điểm cực xm trị thuộc góc phần tư thứ II và điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 3x mx Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số cho có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x 2y Bài 2: Cho hàm số y x 3(m 1)x 9x m Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x 2y Bài 3: Cho hàm số y x mx x Tìm m để đồ thị các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y 3x x mx 5m x có cực đại , cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng d : 8x 3y Tìm m để hàm số: y Bài 4: Tìm m để hàm số : y x 3mx 3m (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đường thẳng có phương trình x y x3 (m 1)x 4mx có điểm cực đại và điểm cực tiểu cho trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm này thuộc đường thẳng d : 2x – 3y y x 2mx có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng : x y x1 y 13 Lop12.net (14) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: y 2x 3(m 1)x 6m(1 2m)x Các điểm cực trị đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y 4x Đường thẳng qua các điểm cực trị đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y x Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx m có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng qua đường thẳng : x 2y x 1 y x 3x m x m có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng qua đường thẳng : d : x 2y Bài toán 04: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y 4x mx 3x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x thỏa x1 4x Tìm các giá trị m để hàm số: y m3 m 1 x3 x2 m x m có cực trị và số nằm hai điểm cực trị hàm số Tìm các giá trị m để hàm số: y x m 1 x 3m 7m x m có điểm cực tiểu điểm có hoành độ nhỏ Tìm các giá trị m để hàm số: y mx (2m 1)x mx có điểm cực đại và điểm cực tiểu ,đồng thời điểm cực đại đồ thị hàm số có hoành độ lớn 1 Cho hàm số y x mx mx , với m là tham số thực Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x cho x1 x x mx (m 3)x Tìm các giá trị m để hàm số cho có các điểm cực trị x1 ,x2 với x1 0,x và x12 x 22 2 x m x 1 Cho hàm số y có hai cực trị x1 ;x2 thỏa mãn x12 x22 6 x x2 x2 Cho hàm số y Tìm tham số m để hàm số: y x m x 2m 5m đạt cực tiểu x 0; 2m , m x Tìm m để hàm số : y (x m)(x 3x m 1) có cực đại và cực tiểu x1 , x thoả x1 x 10 Tìm m để đồ thị hàm số: y 2x 3x m có điểm cực đại và cực tiểu các điểm có hoành độ x1 ,x2 thỏa mãn xm y(x1 ) y(x ) Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số: y mx x m có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1 , x và y x2 y x1 xm 2x 3x m có điểm cực đại và cực tiểu các điểm có hoành độ x1 , x thỏa mãn y x2 y x1 x2 y mx 3mx 3m 1 x có cực đại x 3; y 14 Lop12.net (15) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y x mx 2m 1 x có điểm cực trị dương y x 3x mx có điểm cực đại và cực tiểu các điểm có hoành độ x1 , x thỏa mãn: x13 4x1 x Bài 3: Cho hàm số y x (1 – 2m)x (2 – m)x m ( m là tham số) có đồ thị là Cm Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ m Cho hàm số y x (m 2)x (m 1)x Tìm m để hàm số có cực đại x1 , cực tiểu x2 thỏa mãn x1 x2 Cho hàm số y x3 mx 2(5m 8)x Xác định tham số m để hàm số đạt cực trị hai điểm có hoành độ bé Tìm m để đồ thị hàm số: y x m 1 x 3m 7m x m đạt cực tiểu điểm có hoành độ nhỏ Tìm m để đồ thị hàm số: y x3 – 3x2 6m x – 3m đạt cực trị hai điểm có hoành độ lớn 2 Tìm m để đồ thị hàm số: y x 6x 3mx m số có điểm cực đại M( x1 ; y1 ) và điểm cực tiểu M (x ; y ) thỏa mãn điều kiện y1 y (x1 x2 )(x1x2 2) 0 3 m 4 x2 2m 5 x Có hai cực trị nhỏ ; Có cực trị khoảng 3;5 ; Bài : Tìm các giá trị m để hàm số y x Có hai cực trị lớn 1 ; Có đúng cực trị lớn 1 ; Có ít cực trị lớn ; Không có cực trị x mx (m m 1)x Tìm m để hàm số có cực trị : Trong khoảng (;1) Bài 5: Cho hàm số : y = Trong khoảng (1; ) x1 ,x2 thoả mãn x1 x2 x1 ,x2 thoả mãn x1 x2 Bài 6: Cho hàm số y x ax 3ax Tìm a để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện: x12 2ax 9a a2 a2 x 22 2ax1 9a 2 Bài 7: Cho hàm số y x 3x Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y 3x tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Cho hàm số y x (m 1)x 2(m 2)x Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 ,x2 cho biểu thức: P x1 x2 đạt giá trị nhỏ x1x 15 Lop12.net (16) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 mx 4x m 1 x2 1.Với giá trị nào m thì hàm số 1 có hai cực trị cùng dấu; Bài 8: Cho hàm số: y Tìm giá trị m để đường thẳng d : y 3 x 10 cắt đồ thị hàm số 1 hai điểm phân biệt A x1 ; y1 , B x ; y Trong trường hợp này, tìm hệ thức y1 và y độc lập m Bài 9: Tìm tham số m để hàm số: y 2x mx 2m có hai điểm cực trị x1 ,x2 thỏa mãn 2 x1 1 x x 1 y x3 m 1 x2 3m m x 12m có hai điểm cực trị A và B cho AM BM nhỏ nhất, với M 3; y x3 2m x2 m x m có hai điểm cực trị, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ y x m x 2m 5m đạt cực tiểu x 0; 2m , m x Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CÙNG ĐIỂM K TẠO THÀNH TAM GIÁC THỎA MÃN TÍNH CHẤT NÀO ĐÓ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho hàm số y x (3m 1)x Tìm tất các giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên Cho hàm số y x4 2mx2 2m 1 Định m để hàm số 1 có ba cực trị và các điểm cực trị đồ thị hàm số 1 tạo thành tam giác có chu vi 65 Cho hàm số y x a 1 x a b x 1 Tìm giá trị tham số thực a, b cho hàm số đạt cực tiểu x và đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác có chu vi Bài Cho hàm số y x 3mx 3(m 1)x m 4m Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A, B cho OAB vuông O Cho hàm số y x 2(m 2)x m 5m Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Bài Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số: y x 3mx 3(m 1)x m có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích ( O là gốc tọa độ ) y x 2m x có điểm cực trị là đỉnh tam giác vuông cân y x 2m(m 1)x m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 16 Lop12.net (17) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y x3 3x2 m2 x 3m2 có cực trị cùng điểm O tạo thành tam giác vuông O Bài Cho hàm số y x 3x m Xác định m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A, B cho 1200 AOB Cho hàm số y x 2mx m m Với giá trị nào m thì đồ thị có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có góc 1200 Bài Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx m có điểm cực trị và tam giác mà đỉnh là điểm cực trị đồ thị có diện tích Cho hàm số y x 3x m m Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B để diện tích tam giác ABC 7, với điểm C(–2; ) Cho hàm số y x 3x 4mx Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt trục Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác OAB , đó O là gốc tọa độ 20 Bài Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số y x 4mx 4m có cực trị là đỉnh tam giác nhận 31 điểm H 0; làm trực tâm Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm Cho hàm số y x 3(m 1)x 12mx 3m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị là A và B cho hai điểm 9 này cùng với điểm C 1, lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm 2 Tìm m để đồ thị hàm số: y x mx 4x m có ba điểm cực trị Sao cho tam giác có đỉnh là ba điểm cực trị đó nhận gốc toạ độ làm trọng tâm Bài Tìm tham số thực m để hàm số: y 2x3 m 1 x2 6mx m có cực đại A và cực tiểu B cho: Khoảng cách A và B 2 Hai điểm A và B tạo với điểm C 4; tam giác vuông C m2 có cực trị A Oy , B , C cho: 2 Diện tích tam giác ABC 32 Bài Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số y x mx Tam giác ABC vuông A Diện tích tứ giác OABC 52 Tứ giác ABOC là hình bình hành Bài Cho hàm số: y x 2mx m 1 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 1 có điểm cực đại và điểm xm cực tiểu đồng thời: Đường thẳng qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích ; 17 Lop12.net (18) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI… CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các giá trị m để hàm số: Cho hàm số y x4 2mx2 2m 1 Định m để hàm số 1 có ba cực trị và các điểm cực trị đồ thị hàm số 1 tạo thành tam giác có chu vi 65 y x 2mx m có cực trị là đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp Xác định giá trị tham số m để hàm số: y x 2mx có cực trị tạo tam giác có đường tròn ngoại 3 9 tiếp qua điểm D ; 5 5 Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2(m 1)x 2m có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp x4 2mx2 m có ba điểm cực trị đó là ba đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp y x 2mx m có cực trị là đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp 4 y x 2mx 2m hàm số có cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành tứ giác nội tiếp Bài Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx m có điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 Bài Cho hàm số y x (m 1)x m 1 Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho nằm 3 hai phía ( phía và phía ngoài ) đường tròn (K): x y 4x m2 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại là A, các điểm cực tiểu là B,C cho tứ giác ABOC là hình thoi.( O là gốc tọa độ ) Bài 6: Bài Cho hàm số y x mx Cho hàm số y x (3m 1)x 2m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cùng với điểm D(7; 3) nội tiếp đường tròn 7 x m 1 x m x có cực trị A, B cùng D 3; và gốc 2 tọa độ tạo thành hình bình hành OADB theo thứ tự đó Xác định tham số thực m để hàm số : y Bài 7: Cho hàm số y x – 3mx 3(m – 1)x – m ( m là tham số) có đồ thị là Cm Chứng minh Cm luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu chạy trên đường thẳng cố định Bài 8: Chứng tỏ có điểm A trên mặt phẳng toạ độ cho nó là điểm cực đại đồ thị f x x m m 1 x m ứng với giá trị thích hợp m và là điểm cực tiểu đồ thị ứng với xm giá trị m thích hợp khác Tìm toạ độ A 18 Lop12.net (19) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D f(x) M x D i) Số M gọi là giá trị lớn (GTLN) hàm số y f x trên D , ta kí hiệu x0 D : f(x0 ) M M max f(x) xD f(x) M x D ii) Số m gọi là giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y f x trên D , ta kí hiệu x0 D : f(x0 ) m m f(x) xD Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN hàm số y f x trên D ta tính y' , tìm các điểm mà đó đạo hàm triệt tiêu không tồn và lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy GTLN, GTNN Chú ý: * Nếu hàm số y f x luôn tăng luôn giảm trên a; b thì maxf(x) max{f(a),f(b)}; f(x) min{f(a),f(b)} [a;b] [a;b] * Nếu hàm số y f x liên tục trên a; b thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm sau B1: Tính y' và tìm các điểm x1 , x , ,x n mà đó y' triệt tiêu hàm số không có đạo hàm B2: Tính các giá trị f(x1 ),f(x ), ,f(x n ),f(a),f(b) Khi đó max f(x) max{f(x1 ), ,f(x n ),f(a),f(b)} x[a;b] f(x) {f(x1 ), ,f(x n ),f(a),f(b)} x[a;b] * Nếu hàm số y f x là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN nó trên D ta cần tìm GTLN, GTNN trên đoạn nằm D có độ dài T * Cho hàm số y f x xác định trên D Khi đặt ẩn phụ t u(x) , ta tìm t E với x D , ta có y g t thì Max, Min hàm f trên D chính là Max, Min hàm g trên E * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định hàm số * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min Chú ý: Nếu hàm số y f x là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN nó trên D ta cần tìm GTLN, GTNN trên đoạn thuộc D có độ dài T * Cho hàm số y f x xác định trên D Khi đặt ẩn phụ t u x , ta tìm t E với x D , ta có y g t thì Max, Min hàm f trên D chính là Max, Min hàm g trên E * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định hàm số 19 Lop12.net (20) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min * Ta cần phân biệt hai khái niệm : + Giá trị lớn hàm số y f x trên D với cực đại hàm số + Giá trị nhỏ hàm số y f x trên D với cực tiểu hàm số Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y f x trên D mang tính toàn cục , còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu hàm số mang tính địa phương B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y x x 4x y x x Bài 2: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y x x 2 y x x2 y x 2x x2 y x x , x 0; 3 Bài 3: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y x2 y 20x 10x 2x x 3x 2x Bài 4: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y x x x x 1,x 2; 3 y x2 4x 21 x2 3x 10 Bài 5: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau: 1 y x x 6x , x [0; 4] y x6 x trên đoạn 1;1 x 9x trên khoảng 0; 8x Bài 6: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau: y y (x 3) x 2x 2 y 45 20x 2x Dạng 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT LIÊN QUAN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y 2sinx sin x trên đoạn 0; y x s in2x trên đoạn ; 2 Bài 2: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y sin x cos x 4 sin x cos x y sin 2x 1 x cos 20 Lop12.net 4x x2 1 (21)