Các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng: AC.[r]
(1)PHÒNG GD& ĐT HỒNG LĨNH
- KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃNĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN – LỚP
Thời gian thi: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I PHẦN TRẮC NGHIỆM (5 điểm)
Câu Đề ra Kết quả
Câu 1
Giá trị biểu thức A =
2 2
1 2 3 3 224 225 là:
Câu 2
Thu gọn biểu thức A= 2 3 3 kết là: Câu 3
Với
3
5
x
giá trị biểu thức B 15x2 x 15 2 bằng: Câu 4
Giá trị biểu thức: C =
0
0 2
0
3tan 54
2cot 37 cot 53 sin 28 sin 62 cot 36
là: Câu 5 Số đo góc nhọn x, biết cos2x 2sin2x 0,25
là:
Câu 6
Biết x 3 4( 1) 4( 1) giá trị biểu thức
D
(
x
3
12
x
9)
2017 bằng:Câu 7 Với lượng tối thiểu HS ta tìm cặp HS có ngày tháng sinh giống ?
Câu 8 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = 15cm, HC = 16cm
Độ dài đoạn thẳng BC
Câu 9 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH Biết BC = 12 cm,
16 15
H C
B
(2)
B 60 , C 45 0 Diện tích tam giác ABC ?
Câu 10 Tất số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình
2
2
32
xy
xy x
y
là:II PHẦN TỰ LUẬN (15 điểm) Câu 11.
a, Tìm GTNN biểu thức A =
x x
b, Cho x + y + z = x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = 1
Tính giá trị biểu thức: A = x2017 + y2018 + z2019
Câu 12 a) Rút gọn biểu thức:
5
1 :
1
Q x
x x
b) Giải phương trình: 4x2 3x 3 x3 3x2 2 2x
c) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 12 Chứng minh rằng: 3a2 a 1 3b2 b 1 3c2 c 1 17
Câu 13 a) Cho tam giác ABC vuông A, có góc B = 200 Vẽ phân giác BI, vẽ
ACH = 300 phía tam giác (H AB) Tính CHI .
b) Cho tam giác ABC Các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng quy điểm O Chứng minh rằng: AC cosA = BC cosC
Hết 45
60
H
(3)PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH
-ĐÁP ÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2018 - 2019
MƠN TỐN - KHỐI
Thời gian thi: 120 phút (không kể thời gian giao đề) I PHẦN TRẮC NGHIỆM: điểm (mỗi câu 0,5 điểm)
Câu Đề ra Kết quả
Câu 1
Giá trị biểu thức A =
2 2
1 2 3 3 224 225 là:
28
Câu 2
Thu gọn biểu thức A= 2 3 3 kết là:
Gợi ý: Ta có: 2 3 3
6 2 6 2( 1) 3
A = 1
Câu 3
Với
3 5 x
giá trị biểu thức B15x2 x 15 2 bằng: Gợi ý: Biến đổi B =
2
15 15
x x
Ta có:
3 1
15 15 15
5 15
x
nên x 15 8 Vậy: A = 82 – – = 54
B = 54
Câu 4
Giá trị biểu thức:
C =
0
0 2
0
3tan 54
2cot 37 cot 53 sin 28 sin 62 cot 36
là: C =
Câu 5
Số đo góc nhọn x, biết cos2 x 2sin2x0,25 là:
Gợi ý:
2 2
2 0
1
cos 2sin 3sin
4
1
sin sinx sin 30 (s inx 0) 30
4
x x x
x x
x = 300
Câu 6 Biết x3 4( 1) 34( 1) giá trị biểu thức
3 2017
( 12 9)
D x x bằng:
Gợi ý: x34( 1) 4( 1)
(4) x3 8 4( 1).4( 1).( 4( 1)3 4( 1) x3 8 3.4.x
x3 8 12x x312x 0
x312x 91 D ( 1)2017 1
Câu 7 Gợi ý:
Năm thường 366 HS; Năm nhuận 367 HS
366; 367
Câu 8
Gợi ý: Đặt BH = x (x>0) Có AB2 =BH.BC
152 = x(x+16)
225 = x2 + 16 x
(x-9)(x+25) = x = 9
BC = 25
BC = 25
Câu 9
Gợi ý:
Đặt AH = x, ∆ AHC vuông cân Nên HC = AH = x
BH = AH Cot B =
3
x
Ta có:
3 36
12 6(3 3)
3 3
x x
SABC =
1 2AH BC =
2
1
.6(3 3).12 36(3 3)( )
2 cm
SABC =
2
36(3 3)(cm )
Câu 10
Tất số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình
2 2 32
xy xy x y là: Gợi ý:
2 2 32
xy xy x y x y( 1)2 32y
Do y nguyên dương
32
( 1) y
y x
y
Vì ( ,y y1) 1 (y1)2U(32)
mà 32 2 (y1)2 22 (y1)2 24(Do (y1)2 1)
*Nếu (y1)2 22 y1;x8 *Nếu (y1)2 24 y3;x6
Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: (8, 1); (6, 3)
(8; 1), (6; 3)
II PHẦN TỰ LUẬN (15 điểm)
Câu 11 Nội dung Điểm
x
16 15
H C
B
A
45 60
H
C B
(5)a)
(2,0 đ) =
(1 ) 4(1 )
x x
x x
Đặt 1 x a ; 1 x b
2 4 2 2.4 4
4
a b a b ab
ab ab ab
(BĐT Cô-si)
Dấu “=” xảy a2 = 4b2 + x = 4(1 – x) 5x = x =
3 1 b) (2,0 đ)
Ta có: x + y + z = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) =
1
xy + yz + zx = (1)
Ta lại có: x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
– 3xyz = (1- xy – yz – zx) 3xyz = xy + yz + zx (2)
Từ (1) (2) 3xyz = 0 x y z
Nếu x = thay vào (2) yz =
0 1 y z z y
Vậy (x, y, z) = (0, 0, 1); (0, 1, 0)
Tương tự, trường hợp có số 1, hai số Vậy A =
1
1
Câu 12 Nội dung Điểm
a) (2,5 đ)
ĐKXĐ: −1<x<1
Ta có:
2
2
5 5
1 : :
1 1
x x
Q x
x x x x
¿5+
√
1− x2
√1+x
√
1− x25+
√
1− x2=√1− x
0,5 1,0
1,0 b)
(2,5 đ) Điều kiện:
1
x
4x2 3x 3 x3 3x2 2 2x
2
4x 3x 4x x 2x
4x 4x x x 2x 2x
2x x 3
2 2x 1
2 (6)2
x x x
2
4
1
x x
x x
(tmđk)
0,5
c) (1,0 đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số khơng âm, ta có:
1 17
3 (3 1).17
2
17 17
4 18
1 18 2
2
17 17
a a
a a a a
a a
a a
0.5
Do
1 40
3
4 17
a
a a
(1)
Tương tự:
1 40
3
4 17
b
b b (2)
1 40
3
4 17
c
c c (3)
a + b + c = 12 (4)
0.25
Từ (1), (2), (3), (4) ta có :
1 7( ) 120
3 3
4 17
1
.51 17 17
a b c
a a b b c c
(7)Câu 13 Nội dung Điểm
a) (3,0 đ)
I C
B M
N H
A
Qua trung điểm M BC, dựng đường vng góc với BC cắt AC N ∆ BNC cân N nên NCB NBC = 200, mà HCB = 400
suy HCN = 200, CN phân giác HCB , ta có:
CH HN
CB NB
Suy ra:
2 (1)
CH CB MB
HN NB NB
∆ ACH vuông A, có ACH = 300 nên CH = AH Thay vào (1) ta có:
2AH 2MB
HN NB
AH MB
HN NB = cosMBN = cos200 (2)
BI phân giác góc B, ta có:
AI BA
IC BC = cosABC = cos200 (3)
Từ (2) (3) suy ra:
AH AI
HN IC suy HI // CN dó đó: CHI HCN = 200
1
0,5
1
0,5
(8)O F
E H
D
C B
A
Vẽ EF BH EF =
2 AH
∆ HOC
∆ FOE, suy ra: EF OECH OC
Vì AD phân giác nên BAD CAD đó: AE
OC AC
OE , suy ra:
AE
CH AC
EF
Do đó: 2AE
CH AC
EF hay AB
CH AC
AH , suy ra: AB CH = AC AH (1)
Xét ∆ HAB vuông H có: AH = AB cosA Xét ∆ HBC vng H có: CH = BC cosC Thay vào (1) ta được:
AB BC cos C = AC AB cosA hay BC cosC = AC cosA
0,5
0,5
0,5
0,5