Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) tại I.. Đường thẳng vuông góc với CM kẻ từ O cắt M[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT GIO LINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016
Khoá ngày 27 tháng 10 năm 2015 Đề thi mơn: Tốn
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài (4,5 điểm): Cho biểu thức:
15 11 2
2 3
x x x
P
x x x x
- - +
= +
-+ - - +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên Bài (4,0 điểm):
a) Cho hàm số: f(x)=(x3+6x −7)2012
Tìm f(a) với a=√33+√17+√33−√17
b) Tìm tất giá trị x, y, z cho:
1
x y z z x (y 3)
2
Bài (4,0 điểm):
a) Với a, b số nguyên a – b số nguyên chẵn Chứng minh rằng: Nếu 4a + 3ab 11b2 2 chia hết cho (a2 - b2) chia hết cho 20.
b) Tìm giá trị nhỏ A = xyz +yz
x + zx
y với x,y,z số dương x2 + y2 + z2 =
Bài (4,5 điểm): Cho đường trịn tâm O đường kính AB; E điểm thuộc đường kính AB (E khác A B) Vẽ đường trịn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H AE vẽ dây cung CD đường trịn (O) vng góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) I Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng
b) HI tiếp tuyến đường tròn (O’)
c) HA2 +HB2 +HC2 +HD2 không đổi E chuyển động đường kính AB.
Bài (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N, O là trung điểm AB, AC, BC Đường thẳng vng góc với CM kẻ từ O cắt MN G, cắt AC P Chứng minh:
a) DOPN DCMA.
(2)PHÒNG GD&ĐT GL HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9Năm học 2015-2016 Mơn: Tốn
Bài Đáp án Điểm
I a) 3,0 đ
4,5 đ (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1)
15 11 2 15 11 2
2 3 3
x x x x x x
A
x x x x x x x x
A=
15 11 3
1
1
x x x
x x x x =
15 11 3
1
x x x x x
x x
=
15 11 3
1
x x x x x
x x
=
5
1 x x x x =
1
1 x x x x = x x 0,25 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 1,5đ
Ta có:
5 x P x =
−5(√x+3)+17
√x+3 =−5+
17 √x+3 Do x 3 3 17 số nguyên tố nên
17 ( 3) 17 14 196
Pẽ đí M x+ í x+ = í x= í x=
0,5 0,5 0,5 II a) 2,0 đ
4 đ Ta có: a=√33+√17+√33−√17 Û a3=6−6(3
√3+√17+√33−√17)
Û a3+6a−6=0
Từ đó: f(a)=(a3+6a −7)2012=(a3+6a −6−1)2012=1
1,0 0,5 0,5 b) 2,0 đ
Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ y ≥ z ≥ x ≥
(b) x y z z x x y z z x 3 ( x 1) ( y z 1) 2( z x 1) 0
x y z z x
x y z
(thỏa điều kiện)
0,5 0,5 0,5
0,5 III a) 2,0 đ
(3)Þ (a2 + 2ab + b2)M5 Þ (a + b)2M5 Þ (a + b)M5 ( Vì số nguyên tố)
Þ a2 – b2 = (a + b)(a – b)M5
a + b a – b có tính chẵn lẻ mà a – b số nguyên chẵn nên (a + b)(a – b)M4
ta có: (4, 5) = Do (a2 – b2 )M20
0,5 0,5 0,5 b) 2,0 đ
A = xyz +yz x +
zx y Nên A2 = x2y2
z2 +
y2z2 x2 +
z2x2
y2 +2 ( x2+y2+z2 =1)
= B +2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có
2 2 2 2
2
2 2 2
x y y z x y y z
y z + x ³ z x = Tương tự y
2
z2 x2 +
z2x2 y2 ≥2z
2
x
2
y2 z2 +
z2x2 y2 ≥2x
2
Cộng vế với vế ta 2B ⇒B≥1 Do A2 = B +2 nên A √3 Vậy Min A = √3 ⇔ x=y=z= √33
0,5
0,5 0,5
0,5 IV a) 1,5 đ
4,5 đ
*Tứ giác ACED hình thoi
(vì hai đường chéo vng góc cắt trung điểm)
Þ AC // DE (1)
*I ẻ (O), EB l ng kớnh ị EI IB hay EI BC; C Ỵ (O),
AB đường kính Þ AC BC Þ EI // AC (2)
*Từ (1) (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm)
(4)
0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 Trong tam giác vng ICD có IH = HD =
1
2CD Þ DHID cân Þ HID HDI O 'IB B mà D B (cùng phụ với BCD )
HID O 'IB
Do đó: HIO '900, suy HI tiếp tuyến (O’) c) 1,5
-Ta có: HA2 + HC2 = AC2 ; HB2 + HD2 = BD2
- Mà BD = BC (do AB đường trung trực CD) Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2
-Mặt khác: ACB nội tiếp đường trịn đường kính AB ACB vng C AC2 + BC2 = AB2 = 4R2
-Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 khơng đổi E chuyển
động đường kính AB
V a) 1,0 đ 3,0đ Bài 5:
*AMON hình vng có bốn cạnh có góc vng
*Xét D ONP DCAM có ONP=CAM=90· ·
và OPN=CMA· · (cùng phụ với ACM· )
Nên D ONP DCAM
0,5 0,75 0,25 0,5 0,5 0,5 b) 1,5 đ
D ONP DCAM
1
NP ON ON AM CA AB
Þ = = =
Vì NP//OM nên:
1
NG NP NP
GM =OM = AM = Þ GM =2GN
Mà MN trung tuyến tam giác MAC Do G trọng tâm tam giác MAN