[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN – LỚP 10
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2đ) Giải phương trình: a) 2x3−5x2−4x+3=0 b) x2+5x+√x2+5x+8+2=0 Câu2: (2đ) Cho hệ phương trình:
¿ x − y+1=0
x2+y2−xy−3y+5− m=0 ¿{
¿ a) Giải hệ phương trình m = 11
b) Tìm m để hệ phương trình có cặp nghiệm phân biệt (x1,y1), (x2,y2) thỏa mãn: x1+x2¿2+y1+y2=0
x12x22−2¿
Câu 3: (2đ).
a) Lập phương trình bậc hai biết có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ: ¿
x1+x2=2
x13
+x23+x12+x22=4 ¿{
¿
b) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn 4(a+b+c)=3 abc Chứng minh rằng:
a3+ b3+
1 c3≥
3
Câu 4: (2đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có: A(-3,6); B(1,-2); C(6,3).
a) Xác định tọa độ điểm K thỏa mãn điều kiện: 2⃗KA−4⃗KB+⃗KC=⃗0 .
b) Tính: góc A; diện tích tam giác ABC; bán kính R, r tam giác ABC.
Câu 5: (2đ) Cho tam giác ABC có M trung điểm AB I trung điểm CM.
a) Xác định vị trí điểm D chia đoạn thẳng CB theo tỉ số k=2 Chứng minh: ⃗CA ⃗CB=4 CI2
−MB2
b) Cho biết sin2C+3 cosC=0 AC = 2; BC = Tính độ dài đường cao CH đoạn thẳng BI
(2)-HẾT -TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN THI HỌC KỲ I- NĂM HỌC 2012-2013 Mơn thi: TỐN – LỚP 10
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu NỘI DUNG Điểm
Câu1
(2đ) a, Phương trình ⇔(x+1)(2x
2
−7x+3)=0 0.5đ
⇔(x+1)(2x −1)(x −3)=0
⇔x∈{−1;1 2;3}
0.5đ
b, Đặt √x2+5x+8=t Điều kiện t ≥0 Phương trình ⇔ t2+t −6=0
0.5đ
⇔
t=2 ¿ t=−3(l)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔x2+5x+8=4 ⇔x2+5x+4=0
⇔
x=−1 ¿ x=−4
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0.5đ
Câu 2 (2đ) a,
Hệ
⇔
y=x+1 x2
+y2−xy−3y+5− m=0
⇔x2−2x+3− m=0(1) ¿{
0.5đ
Thay m = 11 vào (1) ta có:
x=4; y=5 ¿ x=−2; y=−1
¿ ¿ ¿ ¿
0.5đ
b, Để hệ có cặp nghiệm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt
⇔m>2
Theo định lý Viet giả thiết ta có: ¿
x1+x2=2
x1x2=3−m
¿{ ¿
¿ y1=x1+1
y2=x2+1
¿{ ¿
0.5đ
Khi đó: x1+x2¿2+y1+y2=0
x1
x2
−2¿
(3)
⇔m2−6m+5=0⇔ m=1(l)
¿ m=5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Câu 3
(2đ) a,
Hệ phương trình
⇔
x1+x2=2
x1x2=1
¿{
0.5đ
x1, x2 nghiệm phương trình: x2−2x
+1=0 0.5đ b, Ta có: 4(a+b+c)=3 abc⇔
ab+ bc+
1 ca=
3 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
1 a3+
1 b3+
1 8≥
3
1 ab
b3+
1 c3+
1 8≥
3
1 bc
c3+
1 a3+
1 8≥
3
1 ca
Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm Dấu “ = ” xảy ⇔a=b=c=2
1đ
Câu 4
(2đ) a, Giả sử K(x,y), từ giả thiết : ⇒2(−3− x ,6− y)−4(1− x ,−2− y)+(6− x ,3− y)=(0,0)
⇒K(4,−23)
1đ
b, ⃗AB=(4,−8) ⃗AC=(9,−3) AC
⃗AB,⃗¿ ¿ ¿ ¿4 9+(−8).(−3)
√16+64 √81+9= √2 ¿
⇒cosA=cos¿
⇒^A=45o
(Học sinh sử dụng định lý Cosin !)
0.5đ
.SABC=1
2AB AC sinA=30 Theo định lý sin : R=BC
2 sinA=5 r=S
P= 2S a+b+c=
60
5√2+3√10+4√5
(4)Câu 5
(2đ) a, * Giả thiết ⇔
⃗DC=2⃗DB ⇒ D đối xứng C qua B. 0.5đ
* CA.CB(CM MA)(CM MB)
(CM MB)(CM MB)CM2 MB2 4CI2 MB2
0.5đ
b, sin2C
+3 cosC=0⇔2(1−cos2C)+3 cosC=0
⇔2 cos2C −3cosC −2
=0⇔ cosC=−1
2 ¿ cosC=2>1(l) ¿
⇒C^=120o
¿ ¿ ¿
0.5đ
Theo định lý cosin: AB2
=CA2+CB2−2 CA CB cos 120o=28⇒AB=2√7 Đường cao CH=2SABC
AB =
AC BC sin 120o
AB =
2√3 √7 =
2√21 Theo công thức trung tuyến:
Trong ΔABC : CM2=2 CA
2
+2 CB2−AB2
4 =3
Trong ΔBCM : BI2=2 BC
2
+2 BM2−CM2
4 =
43
4 ⇒BI= √43
2
0.5đ
A B
C
H M I