Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến.. 1..[r]
(1)Đây tài liệu nhỏ chị viết gấp gáp để dành tặng cho em nhân ngày Valentine 2017 Tuy CHƯA ĐẦY ĐỦ, chịtin giúp ích cho em phần khó khăn q trình ơn luyện!
M
ộ
t s
ố
v
ấn đề
ch
ọ
n l
ọ
c
NGUYÊN HÀM
TÍCH PHÂN
(2)(3)Ch
ủ
đề
: Nguyên hàm
–
tích phân
ứ
ng d
ụ
ng
I Nguyên hàm tính ch
ất bả
n
Kí hiệu K khoảng, đoạn hay nửa khoảng Định nghĩa
Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm hàm số f
trên K F x'
f x với x thuộc K Định lý1 Nếu F nguyên hàm f K với số C, hàm
G x F x C nguyên hàm hàm f K
2 Đảo lại F G hai nguyên hàm hàm số f K tồn số C
sao cho F x
G x
C Kí hiệu:
f x dx
F x
CNgười ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K.”
Tính chất nguyên hàm
Định lý sau cho ta số tính chất nguyên hàm Định lý
1 Nếu f, g hai hàm số liên tục K
f x g x dx f x dx g x dx
af x dxa f x dx
với số thực a khác d
f x dx
f x dx
Bài tốn tìm ngun hàm tốn ngược với tốn tìm đạo hàm Việc tìm ngun hàm của một hàm sốthường đưa về tìm nguyên hàm của một số hàm sốđơn giản Dưới ta có bảng một số nguyên hàm :
dx x C
1
ax b dx ax b C
a
,a0
, 1
1 x
x a dx C a
1
,
1 ax b
ax b dx C
a
ln
dx x a C
x a
dx 1.lnax b Cax b a
x x
e dxe C
eax bdx 1eax b Ca
1
, 0,
ln
x x
a dx a C a a
a
,
0, 1
.ln
px q px q
a dx a C a a
p a
sinxdx cosx C
cos
sinaxdx ax C a,
a
cosxdxsinx C
sin
cosaxdx ax C a,
a
2
tan
cos xdx x C
12 cotsin xdx x C
STUDY TIP:
Từđịnh nghĩa nguyên hàm ta có
(4)II Hai phương pháp để
tìm nguyên hàm
a, Phương pháp đổi biến sốĐịnh lí
Cho hàm số u u x
có đạo hàm liên tục K hàm số y f u
liên tục cho hàm hợp f u x
xác định K Khi F nguyên hàm f
'
f u x u x dx F u x C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm
x1
10dx Lời giải Theo định lý ta cần viết dạng
f u du
Mà u'
x1 ' 1
,
10
10
1 '
x dx x x dx
11
10
1
11 x
x d x C
Từ ví dụ ta có bước gợi ý để xử lý tốn tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến
1 Đặt u g x
2 Biến đổi x dx u du
3 Giải toán dạng nguyên hàm hàm hợp
f u du
, sau thay biến xvào nguyên hàm tìm kiểm tra lại kết Ta đến với ví dụ
Ví dụ 2: Tìm
x2
1x dx
7Ở tốn này, ta thấy số mũ cao mà lại có biểu thức ngoặc phức
tạp
x Do ta đặt
1x
7 để đổi biến, lời giải áp dụnggợi ý bước
Lời giải Đặt u 1 x du
1 x dx
' du dxta có
x2
1x dx
7
1u
2.u7
1 du
u7 2u8 u du9
8 2 10
8 10
u u u
C
8 10
1 1
8 10
x x x
C
b, Phương pháp lấy nguyên hàm phần. Định lý
Nếu u v hai hàm số có đạo hàm liên tục K
'
'u x v x dx u x v x v x u x dx
Công thức thường viết gọn dạng
udv uv
vdu STUDY TIP:Với phương pháp đổi biến ta cần trọng công thức mà suy từ định lý sau:
Nếu uf x
,
(5)Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho tốn “ Tìm
sin cosx xdx” ba bạn Huyền, Lê Hằng có ba cách giải khác sau:Bạn Huyền giải phương pháp đổi biến sốnhư sau: “Đặt usinx, ta có:
cos
du xdx
Vậy sin cos
x xdx
udu2 sin2
2
u x
C C
”
Bạn Lê giải phương pháp lấy nguyên hàm từng phần sau:
“Đặt ucos , ' sinx v x Ta có u' sin ,x v cosx
Công thức nguyên hàm phần cho ta
sin cosx xdx cos x sin cosx xdx
Giả sử F nguyên hàm sin cosx x Theo đẳng thức ta có
cos
F x x F x C
Suy
2 cos
2
x C
F x
Điều chứng tỏ cos
2
x
nguyên hàm sin cos x x
Vậy
2 cos sin cos
2
x
x xdx C
”Bạn Hằng chưa học đến hai
phương pháp nên làm
sau:
“
sin cosx xdxsin cos2
2
x x
dx C
”Kết luận sau đúng?
A Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê Huyền giải sai
B Bạn Lê sai, Huyền Hằng
C Ba bạn giải sai
D Ba bạn giải
Nhận xét: Sau soát kĩ ba lời giải, ta thấy ba lời giải không sai bước cả, nhiên, đến cuối đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích lời giải sau:
Lời giải Cả ba đáp số đúng, tức ba hàm số
2
sin cos
;
2
x x
cos
4 x
nguyên hàm sin cosx x chúng khác số Thật
2
sin cos
2 2
x x
;
2
2 sin sin
sin cos
2 4
x x
x x
III Khái ni
ệ
m tính ch
ất bả
n c
ủ
a tích phân
a Định nghĩaCho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Tích phân f từ a
đến b, kí hiệu
, ba
f x dx
số xác định công thức sau
b
a
f x dx F b F a
F nguyên hàm f K. b Các tính chất tích phânĐịnh lý
Giả sử hàm số f, g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có
STUDY TIP:
Bài toán củng cố định lý nêu trên, củng cố cách giải
(6)1
aa
f x dx
2
b a
a b
f x dx f x dx
3
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
4
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5
,
b b
a a
kf x dx k f x dx k
Định lý 2
Cho f hàm số xác định K a điểm cố định thuộc K Xét hàm số
G x xác định K công thức
xa
G x
f t dt Khi G nguyên hàm fĐịnh lý
Tích phân hàm lẻ hàm chẵn
1 Nếu f hàm số chẵn,
2
a a
a
f x dx f x dx
2 Nếu f hàm số lẻ,
aa
f x dx
Đọ
c thêm
Ta vừa đưa tính chất tích phân theo chương trình chuẩn Dưới tính chất bổ sung:
1 0
b
a dx
2
b
a
cdx c b a
3 Nếu f x
0, x a b,
ba
f x dx
Hệ 3: Nếu hai hàm số f x
g x
liên tục thỏa mãn
, ,f x g x x a b
b b
a s
f x dx g x dx
Chú ý: Nếu f x
liên tục dương a b,
ba
f x dx
4
,
b b
a a
f x dx f x dx a b
5 Nếu m f x
M, x a b m M, ; , số
b
a
m b a
f x dx M b a hay
ba
m f x dx M
b a
Hàm số chẵn y
A
x A
O
Hình 3.1
y A
0
x A
Hàm số lẻ
O
(7)IV Hai phương pháp bả
n tính tích phân
a Phương pháp đổi biến sốQuy tắc đổi biến số Đặt u u x
,2 Biến đổi f x dx
g u du
3 Tìm nguyên hàm G u
g u
4 Tính
u b
u a
g u du G u b G u a
5 Kết luận
b
a
f x dx G u b G u a
b Phương pháp tích phân phần.
Cho hai hàm số u, v có đạo hàm liên tục K a, b hai số thuộc K Khi
'
'
b b
a a
u x v x dx u b v b u a v a u x v x dx
IV
Ứ
ng d
ụ
ng hình h
ọ
c c
ủ
a tích phân
a Tính diện tích hình phẳng.
Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh
Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x
liên tục, trục hoành hai đường thẳng x a x b , tính theo cơng thức
b
a
S
f x dx Chú ý: Trong trường hợp dấu f x
thay đổi đoạn a b; ta phải chia đoạn a b; thành số đoạn để dấu f x
khơng đổi, ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối đoạnDiện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong
Cho hai hàm số y f x
yg x
liên tục đoạn a b; Khi diện tíchS hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y
, g x
hai đường thẳng x a x b ,
b
a
S
f x g x dxTương tự ý tốn ta phải xét đoạn mà dấu
f x g x khơng đổi
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng ( hình tơ màu) biểu diễn hình 3.4
Lời giải
Nhận thấy a c; d b; f x1
f2
x ; c d; f x1
f2
x Do
1 2 1
b c d b
a a c d
S
f x f x
f x f x dx
f x f x dx
f x f x dx (Trên cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)y
x
a O b
Hình 3.3
a y
x
O c d b
(8)
Ví dụ 5:Cho hình thang cong
H giới hạn đường xy e , y0,x0 x ln Đường thẳng x k (0 k ln 4) chia
H thành hai phần có diện tích S1và S2như hình vẽ bênTìm k để S12S2
A. 2
3
k ln B. k ln C.
3
k ln D. k ln ( Trích đề minh họa mơn Tốn lần – Bộ GD&ĐT) Lời giải
Đáp án D.
Nhìn vào hình vẽ ta có cơng thức sau: ln
0
2 k
x x
k e dx e dx
ln0
x k x
e e
k
ek e0 2.eln42.ek 3ek 9
3 ln
k
e k
Ví dụ 6:Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m
độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng
hoa 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải
đất ? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn.)
A.7.862.000 đồng. B.7.653.000 đồng
C.7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng
( Trích đề minh họa mơn Tốn lần – BộGD&ĐT) Lời giải
Đáp án B.
Nhận thấy tốn áp dụng ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng Ta có hình vẽ bên:
Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp lần diện tích phần gạch chéo, ta cần tìm diện tích phần gạch chéo
Ta có phương trình đường elip cho
2
2
8
y
x
Xét 0; 4 nêny0
thì
8
y x Khi
4
2
0
8 cheo
S
x dx, diện tích trồng hoa ơngAn mảnh đất
2
0
4 76, 5289182
8
S
x dxKhi số kinh phí phải trả ơng An 76, 5289182.1000007.653.000 đồng b Tính thể tích vật thể
Cho H vật thể nằm giới hạn hai mặt phẳng x a x b Gọi S x
diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục hồnh điểm có hồnh độ x
a x b
Giả sử S x
hàm liên tục Khi thể tích V H
b
V
S x dx (hình 3.5)x y
x
O x
k
O
8m
O
-4
y
x
5
(9)Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo lấy giao vng góc hai ống nước hình trụ có bán kính đáy a ( hình 3.6)
A. 16 3
a
V B.
3
3 a
V C.
3
3 a
V D.
V a
(Trích sách bộđề tinh túy ơn thi THPT QG mơn Tốn)
Ta gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức ta tính thể tích vật thể V giới hạn hai mặt trụ: x2 y2 a2 x2 z2 a2
a0
Hình vẽ mô tả phần tám thứ vật thể này, với x 0;a,
thiết diện vật thể (vng góc với trục Ox ) x hình vng có cạnh
y a x ( phần gạch chéo hình 3.7) Do diện tích thiết
diện là:
2 S x a x a x a x x 0;a Khi áp dụng cơng thức
* thể tích vật thể cần tìm bằng:
0
8
a a
V S x dx a x dx
3
2 16
8
0
3
a
x a
a x
Ví dụ 8: Tính thể tích vật thể H biết đáy H hình trịn 2
1 x y thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với trục hồnh ln tam giác
Lời giải a
Q
x O
P
S(x)
b x
Hình 3.5
Hình 3.6
y
x
O z
x z
y a
a
a
(10)Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục hồnh chứa thiết diện tam giác ABC điểm có hồnh độ x
1 x 1
với AB chứa mặt phẳng xOy (hình 3.8)Ta có
2
AB x Do
2
2
3
4 AB
S x x Vậy
1
2
1
3
V S x dx x dx
33
x x
( đvtt)
c Tính thể tích khối trịn xoay
Một hình phẳng quay quanh trục tạo nên khối tròn xoay Định lý
Cho hàm số y f x
liên tục, khơng âm đoạn a b, Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x
, trục hoành hai đường thẳng x a x b , quay quanh trục hoành tạo nên khối trịn xoay Thể tích V khối trịn xoaylà 2
b
a
V
f x dxVí dụ 9: Thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới
hạn đường cong ysinx, trục hồnh hai đường thẳng x0,x (hình
3.10) quanh trục Ox A
2
(đvtt) B
2
(đvtt) C. (đvtt) D.2(đvtt)
Lời giải
Đáp án B.
Áp dụng công thức ởđịnh lý ta có
2
0
sin cos
2
V xdx x dx
1sin 20
2 x x
Tiếp theo toán thường xuất hiện đề thi thử, tốn có thểđưa về dạng quen thuộc tính tốn rất nhanh
Ví dụ 10: Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới
hạn đường cong y A2 x2 trục hoành quanh trục hoành
Lời giải tổng quát
Ta thấy y A2 x2 y2 A2 x2 x2 y2 A2
Do A2 x2 0 với x, phương trình nửa đường trịn tâm O,
bán kính R A nằm phía trục Ox Khi quay quanh trục Ox hình phẳng
sẽ tạo nên khối cầu tâm O, bán kính R A (hình 3.11) Do ta có ln
3
V A
Vậy với tốn dạng này, ta khơng cần viết cơng thức tích phân mà kết luận ln theo cơng thức tính thể tích khối cầu
x A y
C
B
A
O x
Hình 3.8
a y
x
O x
y = f (x)
b
Hình 3.9
y
x
O x
y = sinx
Hình 3.10
y
x O
-A A
(11)Đọ
c thêm
Định lýCho hàm số y f x
liên tục, không âm đoạn a b,
a0
Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x
, trục hoành hai đường thẳng,
x a x b quay quanh trục tung tạo nên khối trịn xoay Thể tích V khối trịn xoay
b
a
(12)1 Nguyên hàm
–
ch
ọ
n l
ọ
c t
ậ
p v
ề
nguyên
hàm đề
thi th
ử
Câu 1: Tìm nguyên hàm
2 1
x I
x e dx A.
2 1
xI x e C B.
2 1
x I x e C C.
2 3
xI x e C D.
2 3
x I x e C(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)
Câu 2: Tìm nguyên hàm I
xln 2
x1
dxA.
2 1
4
ln
8
x x x
I x C
B.
2 1
4
ln
8
x x x
I x C
C.
2 1
4
ln
8
x x x
I x C
D.
2 1
4
ln
8
x x x
I x C
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)
Câu 3: Tìm nguyên hàm I
x1 sin2
xdx A.
1 cos2
sin2
x x x
I C
B.
2 cos2
sin 2x x x
I C
C.
1 cos2
sinx x x
I C
D.
2 cos2
sinx x x
I C
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)
Câu 4:Cho f x g x
, hàm số liên tục Tìm khẳng định sai khẳng định sau? A.
k f x dx k f x dx
với k sốB.
f x
g x dx
f x dx
g x dx
C.
f x g x dx
f x dx g x dx
D.
f x
g x dx
f x dx
g x dx
(Trích đề thi thử THPT chuyên Kim Thành – Hải Dương)
Câu 5:Họ nguyên hàm hàm số f x
e2017x là: A. 20172017 x
e C B. e2017xC
C. 2017.e2017xC D. 2017
2017 x
e C
(Trích đề thi thửTHPT chun Hồng Văn Thụ)
Câu 6:Tìm nguyên hàm F x
hàm số
4 cos f x
x
biết
9
F
A.
4tan 33
F x x
B. F x
4tan3x3 C.
4tan 33
F x x
D.
4tan 33
F x x
(Trích đề thi thửTHPT chun Hồng Văn Thụ)
Câu 7: Tìm ngun hàm hàm số f x
x x A.
25
f x dx x x C
B.
5
f x dx x x C
C.
5
f x dx x x C
D.
2 f x dx x C
(Trích đề thi thửTHPT Lương Thế Vinh lần 2)
Câu 8: lnxdx x
bằng:A.
3
2 lnx C B.
ln3 x C
C.
2 lnxC D.
3
3 ln
2 x C
(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)
Câu 9:Cho hàm số
12 sinf x
x
Nếu F x
nguyên hàm hàm số f x
đồ thị hàm số
yF x qua ;0
3
M
F x
là: A. cot3 x B. cot x
C. cot
3 x D. cotx C
(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)
Câu 10:Cho hàm số
f xx
Hãy chọn mệnh đê
(13)A. ln
2
2dx x C
x
B. ln 3
x2
nguyên hàm f x
C. lnx 2 C họ nguyên hàm f x
D. lnx2 nguyên hàm f x
(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)
Câu 11:
xex21dx bằng: A.2ex C B. x21
e C
C. x2
x e C D.
2 x e C (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)
Câu 12: 3 x dx x
bằng:A.
x22
1x2C B.
x21
1x2 CC.
x21
1x2 C D.
x22
1x2 C(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)
Câu 13:Tìm nguyên hàm hàm số
22
f x x
A.
3
2
3 x
f x dx C
B.
f x dx
2x3
3CC.
3
2
6 x
f x dx C
D.
3
2
2 x
f x dx C
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 14:Tìm nguyên hàm hàm số
3sin3 cos3f x x x
A.
f x dx
cos3xsin3x CB.
f x dx
cos3xsin3x CC.
cos3 1sin3f x dx x x C
D.
1cos3 1sin33
f x dx x x C
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 15:Tìm nguyên hàm hàm số f x
exex A.
f x dx e
xexCB. f x dx
ex exC
C.
f x dx e
xexC D. f x dx
ex exC
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 16:Tìm nguyên hàm F x
hàm số
,f x x biết F
0 8 A.
383
F x x
B.
2 4
163
F x x x
C.
2 4
569
F x x x
D.
2 4
3
F x x x
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 17:Tìm nguyên hàm hàm số
3 1
x f x
x
A.
4
3
2
x
f x dx C
x
B.
ln
f x dx x C
C.
f x dx x
3ln
x4 1
CD.
1ln
1
4
f x dx x C
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 18:Tính nguyên hàm
2x1
e dx3x .A.
3
3 2
2
3
x x
x x e e
x e dx C
B.
3
3 2
2
3
x x
x x e e
x e dx C
C.
2 1
1
3x x
x e dx x x e C
D.
2x1
e dx3x
x2x e
3xC(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 19: Tìm nguyên hàm 2 I dx x
A. 1ln
2 x I C x
B.
1 ln 2 x I C x
C. 1ln
4 x I C x
D
1 ln x I C x
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)
Câu 20:Hàm sốnào sau không nguyên hàm
của hàm số
22 x x f x x
A.
2 x F x x
B.
2 1 x x F x x C.
2 1 x x F x x
D.
2 1 x x F x x
(Trích đề thi thửTHPT chun Hồng Văn Thụ)
Câu 21: 2 2dx
x x
(14)A. 1ln x C x
B.
1 ln x C x C. 1ln
3
x C x
D.
2 ln x C x
(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)
Câu 22:Hàm số F x
eln 2 x
x0
nguyên hàm hàm sốnào sau đây?A.
ln 2x e f x
x
B. f x
eln 2 x C.
ln 2 x e f x x
D. f x
2eln 2 x(Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2)
Câu 23:Nguyên hàm hàm số:
2
dx I
x
là:A. F x
2x 1 4ln
2x 1 4
C B. F x
2x 1 4ln
2x 1 4
C C.
7ln
4
2
F x x x C
D. F x
2x 1 4ln
2x 1 4
C(Trích đề thi thử THPT TriêụSơn 2
)
Tích phân
–
ch
ọ
n l
ọ
c t
ậ
p v
ề
tích phân
các đề
thi th
ử
.
Câu 1: Biết tích phân
1
0
2 x
I
x e dx a be
a ;b
Khi tích a b có giá trị bằng: A 1 B. 1 C. D 3(Trích đề thi thử THPT chun Thái Bình lần 2)
Câu 2: Biết
1
0
2 f x dx
f x
hàm số lẻ Khi
1
I f x dx
có giá trị bằng:A I1 B I0 C. I 2 D I2
(Trích đề thi thử THPT chun Thái Bình lần 2)
Câu 3: Tích phân
1
1
I
x x dx có giá trị bằng:A. 2
3
I B.
3 I
C 2
I D
3 I
(Trích đề thi thử THPT chun Thái Bình lần 2)
Câu 4: Cho tích phân
3
01
x
I dx
x
đặt1
t x
2
1
I
f t dt đó:A. f t
t2 t B.f t
2t22tC. f t
t2 t D. f t
2t22t(Trích đề thi thử THPT chun Thái Bình lần 2)
Câu 5:Tính tích phân
3 sin sin x dx x
A. 2
B. 2
2
C. 2
D. 2
2
(Trích đề thi thử THPT Cái Bè)
Câu 6: Cho
0
cos2x
ln
1 2sin
a I dx x
Tìm giá trịa là:
A. B.2 C. D.6
(Trích đề thi thử THPT Cái Bè)
Câu 7:Tích phân
3 cos sin x dx x
bằng: A. ln4 B.
1 ln
C. ln
4 D.
1 ln
(Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2)
Câu 8: Tích phân
1
0
x xe dx
bằng: A2 e
B
2 e
e
C e
D
2 e
e
(Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2)
Câu 9: Tính tích phân:
1 x dx x
A. ln
6 B.
5 2ln
3
C. 2
D. ln
(15)Câu 10: Giá trịdương a cho: 2 2 ln a
x x a
dx a
x
là:A. B. C.3 D.2
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
Câu 11: Giả sử
5 ln dx c x
Giá trị c là: A.9 B. C. 81 D.(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
Câu 12: Tích phân
x I dx x
có giá trị là: A 12 B
1
8 C.
1
D.
(Trích đề thi thử THPT Diệu Hiền)
Câu 13. Giả sử
1
1
5 f t dt
3
1
6 f r dr
Tính
1
I
f u duA I4 B I3 C.I2 D I1
(Trích đề thi thử Sở GD –ĐT Phú Thọ)
Câu 14. Tính tích phân
0
cos
I xdx
A I0 B I1 C I2 D I3
(Trích đề thi thử Sở GD –ĐT Phú Thọ)
Câu 15. Cho biết
2
cos( ) f x
t dtx x
Tính f(4)A f(4) 3 B f(4) 1 C (4)
2
f D f(4)312
(Trích đề thi thử Sở GD –ĐT Phú Thọ)
Câu 16.Đẳng thức
2
0
cos sin
a
x a dx a
xảy nếu:A a B a
C a 3 D a 2
(Trích đề thi thử Sở GD –ĐT Phú Thọ)
Câu 17: Tính tích phân
2
0
.sin
I x xdx
A I3 B I2 C I1 D I 1
(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)
Câu 18. Tính tích phân
3 sin sin x dx x
A. 2
; B. 2
2
C. 2
D. 2
2
(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)
Câu 19. Nếu
0
1 a
x xe dx
giá trị a bằng: A. B. C. D. e(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)
Câu 20. Nếu
6 sin cos 64 n x xdx
n bằng:A. B. C.5 D.
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)
Câu 21. Giá trị
1 lim n x n n dx e
bằng:A. 1 B. C. e D.
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)
Câu 22. Tích phân
2
4x xdx
có giá trị A.3 B.
3 C.
8
3 D.
10
(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)
Câu 23. Tích phân
4
6
cot x dx
có giá trị A. ln B.ln2 C.ln4 D. ln(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)
Câu 24. Tích phân
1
0
x e xdx
có giá trị bằng: A.2 e
B. 2 e e C. e
D.
2 e
e
(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)
Câu 25. Tích phân
1
2 ln e
I
x x dx bằng: A. 1 e B. 2 e C. 3 e D. 3 e (Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)Câu 26: Hàm sốnào sau không nguyên hàm
của hàm số ( ) ( 2)2 ( 1) x x f x x ? A. 1 x x x
B.
2 1 x x x C. 1 x x x
D.
2
1
x x
(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)
Câu 27: Nếu ( ) 5; ( )
d d
a a
f x dx f x
với a d b ( )b
a f x dx
bằng:A. 2 B. C.0 D.
(16)3
Ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a tích phân hình h
ọ
c.
Câu 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thịhàm số
2
y x y3 :x A.1 B.
4 C.
1
6 D.
1
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
Câu 2: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Oxhình phẳng giới hạn đồ thị
hàm số
2
x
y x e hai trục tọa độ là: A. 2e210 B. 2e210
C.
2e210
D.
2e210
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị
hàm số
2 x y
x
trục tọa độ Chọn kết
đúng nhất?
A. 3ln6 B. 3ln3
2 C. 3ln3
2 D.
3
3ln
2
(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)
Câu 4. Cho hàm số
( )
f x x x x Tính diện tích
S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yf x( ) trục tung, trục hoành đường thẳng x3
A 10
S B. 12
4 S
C 11
S D
4 S
(Trích đề thi thử sởGD&ĐT Phú Thọ)
Câu 5. Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x0 x3, biết thiết diện vật thể
bị cắt mặt phẳng vng góc với trục 0x điểm
có hồnh độ x
0 x 3
là hình chữ nhật có haikích thước x
2 9x
A 18 B.19 C.20 D. 21
(Trích đề thi thử sởGD&ĐT Phú Thọ)
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị
các hàm số y2xvà y 3 x, trục hoành trục tung
A
ln
S B.S2
C ln
S D S4
(Trích đề thi thử sởGD&ĐT Phú Thọ)
Câu Tính thể tích tứ diện có cạnh a
A
3
12
a
V B.
3 3
4 a V
C
3 2
12 a
V D
3 2
6 a V
(Trích đề thi thử sởGD&ĐT Phú Thọ)
Câu 8: Công thức tính diện tích S hình thang cong giới hạn hai đồ thị
,
, ,y f x yg x xa xb ,
a b
A. b
a
S
f x g x dxB. b
aS
f x g x dx C. b
2a
S
f x g x dxD. b
2
2
a
S
f x g x dx(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)
Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số y 2x3x2 x 5 và đồ thị(C’) của
hàm số
5 y x x bằng:
A.0 B. C.2 D.3
(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)
Câu 10: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn
đường y
x1
e yx, x21.A.
3
S e B.
3 S e
C.
3
S e D.
3 S e
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)
Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị
hàm số y
x1
e2x, trục hoành đường thẳng 0,x x A.
4 3
4
e e
B.
4 3
4
e e
C.
4 3
4
e e
D.
4 3
4
e e
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)
Câu 12: Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 22x
2
y x quay quanh trục Ox A.
3 B.
4
C.
D.
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)
Lưu ý: Lời giải chi tiết gửi vào 23h ngày 25/02/2017
(17)B
ổ
sung m
ộ
t s
ố
d
ạ
ng v
ề
nguyên hàm
–
tích phân
1 Tích phân nguyên hàm m
ộ
t s
ố
hàm lượ
ng giác
a Dạng
sinmx.cosnxdx trong m n, số tự nhiênTrường hợp 1:Trong hai sốm, n có số lẻ
Lũy thừa cosx số lẻ, n2k1 đổi biến sin
u x
Lũy thừa sinx số lẻ, m2k1
đổi biến ucosx
sinmx.cosnxdx sinmx cos x kcosxdx
sinmx sin x k sinx dx'
um
1u2
kdu
sinmx.cosnxdx cosnx sin x ksinxdx
cosnx cos x k cosx dx'
1 u2
k.u dun
Ví dụ 1: Tìm
sin5x.cos2xdxLời giải
Vì lũy thừa sinxlà số lẻnên ta đổi biến ucosx
2
5 2
sin x.cos xdx cos x cos x cosx dx'
2
2 2
4 2 6
1 u u du 2u u u du
5
u u u
C
5
2 cos cos cos
5
x x x
C
Trường hợp 2: Cả hai sốm, nđều số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để
giảm nửa sốmũ sin ; cosx x, để làm toán trởnên đơn giản
b Dạng
sinmx.cosnxdx,
sinmx.sinnxdx,
cosmx.cosnxdxTa sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng lượng giác
c Dạng tan
cos
m n
x dx x
trong m n, số nguyên.Lũy thừa cosx sốnguyên dương chẵn,
2
n k ta đổi biến utanx
Lũy thừa tanx sốnguyên dương lẻ,
2
m k ta đổi biến
cos
u
x
2 2
tan tan
cos cos cos
m m
n k
x x
dx dx
x x
2 tan
tan ' cos
m k
x
x dx
x
2
tanmx tan x k tand x
2
k
m
u u du
Khi ' sin2
cos
x u
x
,
2
1
tan tan tan
cos
cos cos
m k
n n
x x
dx dx
x
x
2
1
1
sin cos
cos cos
k
n
x x
dx x
1k n
u u du
(18)Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm a
6
4 tan cos
x dx x
b5
7 tan cos
x dx x
Lời giải
a.Do lũy thừa cosx sốnguyên dương chẵn nên đặt utanx Từ công
thức tổng quát chứng minh ta có
6 1
6
4 tan
cos
x
dx u u du
x
u99 u77 C tan99 tan77 Cb Do lũy thừa tanx số lẻnên ta đặt
cos
u
x
, vậy, từ công thức tổng quát chứng minh ta có
5 2 11
2
7
tan
1
11
cos
x u u u
dx u u du C
x
11
1
11cos x cos x cos x C
2
Đổ
i bi
ế
n
lượ
ng giác
Khi nguyên hàm, tích phân hàm số mà biểu thức có chứa dạng x2 a2, x2 a2, a2 x2 , ta có cách biến đổi lượng giác sau:
Biểu thức có chứa Đổi biến
2
x a x atant, ;
2
t
Hoặc x acos ,t t
0;2
x a
sin
a x
t
, ; \ 0
2
t
Hoặc , 0; \
cos
a
x t
t
2
a x x asint, ;
2
t
Hoặc x acos ,t t0;
a x a x
a x a x
cos
x a t
x a b x
sin , 0;
x a b a t t
3 Nguyên hàm tích phân c
ủ
a hàm phân th
ứ
c h
ữ
u t
ỉ
Cho hàm số y f x
có dạng
P x f x
Q x
P Qlà đa thức, P
không chia hết cho Q
Hàm fđược gọi hàm phân thức hữu tỉ thực sự deg
P deg
QSTUDY TIP:Kí hiệu
deg P x bậc
(19)Trong tốn tìm ngun hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ,
f x chưa phải hàm phân thức hữu tỉ thực ta thực chia đa thức tử sốcho đa thức mẫu sốđểđược:
P x
R x
f x S x S x h x
Q x Q x
,
Khi đó, h x
hàm phân thức hữu tỉ thựcĐịnh lý: Một phân thức thực sựln phân tích thành tổng phân thức
đơn giản
Đó biểu thức có dạng
2
1
; k ; ax b ; ax b k
x a x a x px q x px q
hàm số tìm ngun hàm cách dễdàng.Đểtách phân thức ta
dùng phương pháp hệ số bất định
a Trường hợp phương trình Q x
0 khơng có nghiệm phức nghiệmđều nghiệm đơn.
1
2
k k k
Q x a x b a x b a x b
(Số nhân tử bậc đa thức Q x
)Trong trường hợp này, g biểu diễn dạng
1 2
k
k k
R x A A A
g x
a x b a x b a x b
Q x
Sau biểu diễn g x
dạng này, tốn trởthành tốnVí dụ 3:Họ nguyên hàm hàm số
243
x f x
x x
A.
4ln ln2
x
F x x C
x
B.
4ln ln2
x
F x x C
x
C.
4ln ln1
x
F x x C
x
D.
4ln ln1
x
F x x C
x
Phân tích Đáp án B.
Ta có
2
4
1
2
3
x x A B
x x
x x
x x
2
1
Ax A Bx B
x x
Khi
A B x
2A B 4x3, đồng hệ sốthì ta4
2
A B A
A B B
(20)Ta có
4
ln 5.ln
1
3
x
dx dx x x C
x x
x x
2 4.ln ln
1
x
x C
x
1 4.ln ln
2
x
x C
x
Đáp số tập kiểm tra khảnăng vận dụng:
2
x 2x 1 1
dx ln x ln 2x ln x D
2 10 10
2x 3x 2x
Ví dụ 4:Biết
5
4
4
2
ln ln ln ln ln
5 a b c d e
xI dx
x x Khi
6a3b6c3d2e có giá trị
A 16 B 19
6
C 16 D.19
6 Phân tích
Đáp án A. Ta có
3
4
2
1 2
5
x x
x x x x
x x
2
A B C D
x x x x
3 2
2
2 1
4 1 , *
x A x x B x x
C x x D x x x
Thay x1 vào
* ta cóA
Thay x2 vào
* ta cóB
Thay x 1 vào
* ta cóC
Thay x 2 vào
* ta cóD
Lời giải
5
16
4
2
5
x
dx
x x
I
5 5
4 4
1 1
2 6 2
dx dx dx dx
x x x
x
5
1 1
ln ln ln ln
4
2 x x x x
5 1 1
2
6 2 6
ln ln ln ln ln ln ln ln
11 1
2
6 ln 3ln 6ln 3ln 2ln
Khi 6a3b6c3d2e 11 1 16
b Trường hợp Q x
0 khơng có nghiệm phức, có nghiệm thực nghiệm bội.Nếu phương trình Q x
0 có nghiệm thực a a1; 2; ;an a1 nghiệm bội k ta phân tích
R x g x
Q x
dạng
Kiểm tra khảnăng vận dụng từ ví dụ 3:
Tìm
2
x 2x
dx
2x 3x 2x
STUDY TIP:đây
dạng tốn tích phân chống casio gặp
(21)
1 2
2
1 1 1
k n
k
n
A B
A A B B
g x
x a x a x a
x a x a x a
Trên phần lý thuyết phức tạp, ta đến với tập ví dụđơn giản sau:
Ví dụ 5: Họ nguyên hàm hàm số
3x f x
x
A.
22
1 1
F x C
x x
B.
22
1 1
F x C
x x
C.
41
1 4 1
F x C
x x
D.
41
1 4 1
F x C
x x
Phân tích
Nhận thấy x1 nghiệm bội ba phương trình
x1
3 0, ta biếnđổi
2
3 3
2 1
2
1
1 1
A x x B x C
x A B C
x
x x x x
2
3
1
Ax A B x A B C
x
Từđây ta có
0
2 2
0
A A
A B B
A B C C
Lời giải Ta có
3
2
32 2
1 1
x
dx dx
x x x
22
1 1 C
x x
Đáp số tập kiểm tra khảnăng vận dụng ví dụ 4:
4 2
3
x 2x 4x x
dx x ln x ln x C
2 x
x x x
TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ thực sựđược
đưa dạng nguyên hàm sau:
1. A dx A.lnx a C
x a
2
1
k k
A A
dx C
k
x a x a
Kiểm tra khảnăng vận dụng từ ví dụ 4:
Tìm
4
x 2x 4x
dx
x x x
(22)5 B
ả
ng m
ộ
t s
ố
nguyên hàm thườ
ng g
ặ
p
1)
k dx k x C 2)1
1
n n x
x dx C
n
3) 12dx C
x
x
4) 1dx lnx Cx
5) 1 1
(ax b )ndx a n( 1)(ax b )n C
6) dx 1.lnax b Cax b a
7)
sinxdx cosx C 8) cosxdxsinx C9) sin
ax b dx
1cos
ax b
Ca
10) cos
ax b dx
1sin
ax b
Ca
11)
2
(1 tan ) tan cos xdx x dx x C
12)2
(1 cot ) cot sin xdx x dx x C
13) 2 1tan( )
cos (ax b )dxa ax b C
14) 2 1cot( )sin (ax b )dx a ax b C
15)
e dxx exC 16)
e dxx ex C17) eax bdx 1eax b C
a
18)
1
1
n n ax b
ax b dx C n
a n
19)
ln
x x a
a dx C
a
20) 21 arctan1dx x C
x
21) 21 1ln
2
1
x
dx C
x x
22) 21 2dx arctanx Ca
x a
23) 2 2 1ln
2
x a
dx C
x a
x a
24)2
arcsin
1 x dx x C
25)
2
1
arcsinx
dx C
a
a x
26)2
ln
1
dx x x C
x
27) 2
2
1
ln
dx x x a C
x a
28)2
2 2 arcsin
2
x a x
a x dx a x C
a
29)
2
2 2 .ln 2
2
x a
x a dx x a x x a C
(23)III
Ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a nguyên hàm, tích phân th
ự
c t
ế
Dạng toán chuyển động
Ví dụ 1:Một tơ chạy với vận tốc 10 m/s tài xếđạp phanh; từ thời
điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t
5t 10
m s/
,trong t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từlúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét?
A.0,2 m B. m C.10 m D.20 m
(Trích đề minh họa lần I- BGD&ĐT)
Lời giải
Đáp án C.
Nguyên hàm hàm vận tốc qng đường s t
mà tô sauquãng đường t giây kể từ lúc tài xếđạp phanh xe
Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t0 Thời điểm ô tô dừng lại ứng với t1, v t
1 0 t1Vậy từlúc đạp phanh đến dừng lại quãng đường ô tô
2
2
2
5 10 10 10
0
s t dt t t m
Ví dụ 2:Một tơ đường với vận tốc v t
2 t
0 t 30
(m/s) Giả sử thời điểm t0thì s0 Phương trình thể quãng đường theo thời gian ô tôA.
s t m B.s2 t m
C 3
3
s t m D.s2t m
Lời giải
Đáp án A
Tương tựnhư ví dụ ta có
1
3
2
2 2
1 1
2
s t tdt t dt t t
(m)Ví dụ 3:Một vật chuyển động với vận tốc đầu 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, có gia tốc
0,3(m / s )
a Xác định quãng đường vật
trong 40 phút
A.12000m B 240m C 864000m D 3200m
(Trích đề thi thử THPT Hồng Diệu)
Phân tích: Nhận thấy tốn khác với hai ví dụ chỗ tốn cho biểu thức gia tốc mà không cho biểu thức vận tốc, ởđây ta có thêm kiến thức sau:
Biểu thức gia tốc đạo hàm biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc đạo hàm cấp biểu thức vận tốc,
là đạo hàm cấp hai biểu thức quãng đường” Từđây ta có lời giải sau:
Lời giải
Ta có v t
0, 3dt0, 3t(do ban đầu vận tốc vật 0) Vậy quãng đường vật 40 phút40.60
2
2400 0,
0,
tdt t
864000mSTUDY TIP:
Hàm số thể quãng
đường vật tính theo thời gian biểu thức nguyên hàm hàm số vận tốc
STUDY TIP:
(24)Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính cơng thức v t
3t2, thời giantính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính
theo đơn vị m Biết thời điểm t2s vật
quãng đường 10 m Hỏi thời điểm t30s vật
đi quãng đường bao nhiêu?
A. 1410m B.1140m C. 300m D. 240m
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 2: Một tàu lửa chạy với vận tốc 200 m/s người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần với vận tốc v t
200 20 t(m/s) Trong t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi thời gian tàu quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) giây so với lúc tàu dừng hẳn?A. s B.8 s C.15 s D.10 s
(Trích đề thi thửTHPT Hồng Văn Thụ)
Câu Giả sử vật từ trạng thái nghỉ t0
schuyển động thẳng với vận tốc v t
t 5t m s
/
Tìm quãng đường vật dừng lại
A. 125
12 m B.
125
9 m C.
125
3 m D.
125
6 m
(Trích đề thi thửTHPT Lương Thế Vinh lần 2)
Câu 4:Một người xe đạp dựđịnh buổi sáng
hết quãng đường 60km Khi 12 quãng đường, thấy vận tốc 23 vận tốc dự định, đạp nhanh vận tốc dựđịnh
3km/h, đến nơi chậm 45 phút Hỏi vận tốc dựđịnh người xe đạp bao nhiêu?
A 5km h/ B 12km h/ C 7km h/ D 18km h/
(Trích đề thi thử THPT TVB)
Câu 5:Một ôtô chạy với vận tốc 10 m/s người
lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với vận tốc v 5t 15
(m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể
từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từlúc đạp phanh đến dừng hẳn, ơtơ cịn di chuyển mét?
A.20m B. 10 m C.22,5 m D.5 m
Câu 6:Cho chuyển động thẳng xác định phương
trìnhS2t3 t 1, t tính giây S
được tính mét Gia tốc chuyển động t = 2s là:
A 63m/s2 B. 64m/s2 C. 23m/s2 D 24m/s2
(Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ)
Câu 7:Cho vật chuyển động có phương trình là:
3
2
s t t
(t tính giây, S tính mét) Vận tốc chuyển động thẳng t2s là:
A 3 B 49
2 C 12 D
47
(Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ)
Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương
trìnhS2t4 t 1, t được tính bằng giây S
được tính mét Vận tốc chuyển động t = 1s là:
A 24m/s B 23m/s C 7m/s D 8m/s
(Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ)
Câu 9: Một xe ô tô chạy đường với vận tốc tăng dần với vận tốc v = 10t (m/s) t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu chạy Hỏi quảng đường xe phải từ lúc xe bắt đầu chạy đến đạt vận tốc 20 (m/s)?
A.10m B. 20m C. 30m D.40m
(Trích đề thi thử THPT Hoàng Diệu)
Bài tập rèn luyện kỹ
Lưu ý: Lời giải chi tiết gửi vào 23h ngày 25/02/2017 Đề nghị bạn đăng ký
i