Một số vấn đề chọn lọc nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Vũ Ngọc Huyền

Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến.. 1..[r]

Đây tài liệu nhỏ chị viết gấp gáp để dành tặng cho em nhân ngày Valentine 2017 Tuy CHƯA ĐẦY ĐỦ, chịtin giúp ích cho em phần khó khăn q trình ơn luyện!

Một số vấn đề chọn lọc NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Chủđề: Nguyên hàm – tích phân ứng dụng I Nguyên hàm tính chất bản

Kí hiệu K khoảng, đoạn hay nửa khoảng Định nghĩa

Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm hàm số f

trên K F x'    f x với x thuộc K Định lý

1 Nếu F nguyên hàm f K với số C, hàm

   

G x F x C nguyên hàm hàm f K

2 Đảo lại F G hai nguyên hàm hàm số f K tồn số C

sao cho F x G x C Kí hiệu: f x dx  F x C

Người ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K.”

Tính chất nguyên hàm

Định lý sau cho ta số tính chất nguyên hàm Định lý

1 Nếu f, g hai hàm số liên tục K

       

f x g x dx f x dx g x dx

    

 

  

   

af x dxa f x dx

  với số thực a khác df x dx  f x dx 

Bài tốn tìm ngun hàm tốn ngược với tốn tìm đạo hàm Việc tìm ngun hàm của một hàm sốthường đưa về tìm nguyên hàm của một số hàm sốđơn giản Dưới ta có bảng một số nguyên hàm :

dx x C

   1 

ax b dx ax b C

a

   

 ,a0

     , 1

1 x

x a dx C a



  

      

 

    

1

,

1 ax b

ax b dx C

a



   

       

 

 



ln

dx x a C

x a   

 dx 1.lnax b C

ax b  a   

x x

e dxe C

 eax bdx 1eax b C

a

   



 

1

, 0,

ln

x x

a dx a C a a

a

   

 , 0, 1

.ln

px q px q

a dx a C a a

p a

     



sinxdx cosx C

 cos  

sinaxdx ax C a,

a



  



cosxdxsinx C

 sin  

cosaxdx ax C a,

a

  



2

tan

cos xdx x C

 12 cot

sin xdx  x C



STUDY TIP:

Từđịnh nghĩa nguyên hàm ta có

 

II Hai phương pháp để tìm nguyên hàm a, Phương pháp đổi biến số

Định lí

Cho hàm số u u x   có đạo hàm liên tục K hàm số y f u  liên tục cho hàm hợp f u x   xác định K Khi F nguyên hàm f

   '  

f u x u x dx  F u x C



Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm x110dx Lời giải Theo định lý ta cần viết dạng f u du  Mà u'x1 ' 1  ,

 10   10 

1 '

x dx x x dx

       

11

10

1

11 x

x d x  C

    

Từ ví dụ ta có bước gợi ý để xử lý tốn tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến

1 Đặt u g x  

2 Biến đổi x dx u du

3 Giải toán dạng nguyên hàm hàm hợp  f u du  , sau thay biến x

vào nguyên hàm tìm kiểm tra lại kết Ta đến với ví dụ

Ví dụ 2: Tìm x21x dx7

Ở tốn này, ta thấy số mũ cao mà lại có biểu thức ngoặc phức

tạp

x Do ta đặt 1x7 để đổi biến, lời giải áp dụng

gợi ý bước

Lời giải Đặt u  1 x du 1 x dx' du dx

ta có x21x dx7 1u2.u7 1 du u7 2u8 u du9

8 2 10

8 10

u u u

C

          

8 10

1 1

8 10

x x x

C

  

    

b, Phương pháp lấy nguyên hàm phần. Định lý

Nếu u v hai hàm số có đạo hàm liên tục K

   '        '

u x v x dx u x v x  v x u x dx

 

Công thức thường viết gọn dạng udv uv vdu STUDY TIP:

Với phương pháp đổi biến ta cần trọng công thức mà suy từ định lý sau:

Nếu uf x ,

 

Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho tốn “ Tìm sin cosx xdx” ba bạn Huyền, Lê Hằng có ba cách giải khác sau:

Bạn Huyền giải phương pháp đổi biến sốnhư sau: “Đặt usinx, ta có:

cos

du xdx

Vậy sin cos x xdxudu

2 sin2

2

u x

C C

    ”

Bạn Lê giải phương pháp lấy nguyên hàm từng phần sau:

“Đặt ucos , ' sinx v  x Ta có u' sin ,x v cosx

Công thức nguyên hàm phần cho ta

sin cosx xdx cos x sin cosx xdx

 

Giả sử F nguyên hàm sin cosx x Theo đẳng thức ta có

   

cos

F x   x F x C

Suy  

2 cos

2

x C

F x   

Điều chứng tỏ cos

2

x

 nguyên hàm sin cos x x

Vậy

2 cos sin cos

2

x

x xdx  C

 ”

Bạn Hằng chưa học đến hai

phương pháp nên làm

sau:

“sin cosx xdx

sin cos2

2

x x

dx C

    ”

Kết luận sau đúng?

A Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê Huyền giải sai

B Bạn Lê sai, Huyền Hằng

C Ba bạn giải sai

D Ba bạn giải

Nhận xét: Sau soát kĩ ba lời giải, ta thấy ba lời giải không sai bước cả, nhiên, đến cuối đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích lời giải sau:

Lời giải Cả ba đáp số đúng, tức ba hàm số

2

sin cos

;

2

x  x

cos

4 x



nguyên hàm sin cosx x chúng khác số Thật

2

sin cos

2 2

x  x

 

  ;

 

2

2 sin sin

sin cos

2 4

x x

x   x   

 

  

III Khái niệm tính chất bản của tích phân a Định nghĩa

Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Tích phân f từ a

đến b, kí hiệu   , b

a

f x dx

 số xác định công thức sau

     

b

a

f x dx F b F a

 F nguyên hàm f K. b Các tính chất tích phân

Định lý

Giả sử hàm số f, g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có

STUDY TIP:

Bài toán củng cố định lý nêu trên, củng cố cách giải

1   a

a

f x dx



2    

b a

a b

f x dx  f x dx

 

3      

b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx

  

4        

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

    

 

  

5     , 

b b

a a

kf x dx k f x dx k 

 

Định lý 2

Cho f hàm số xác định K a điểm cố định thuộc K Xét hàm số  

G x xác định K công thức

    x

a

G x f t dt Khi G nguyên hàm f

Định lý

Tích phân hàm lẻ hàm chẵn

1 Nếu f hàm số chẵn,    

2

a a

a

f x dx f x dx





 

2 Nếu f hàm số lẻ,   a

a

f x dx







Đọc thêm

Ta vừa đưa tính chất tích phân theo chương trình chuẩn Dưới tính chất bổ sung:

1 0

b

a dx



2  

b

a

cdx c b a 



3 Nếu f x 0,   x a b,    b

a

f x dx



Hệ 3: Nếu hai hàm số f x  g x  liên tục thỏa mãn

   , ,

f x g x   x a b    

b b

a s

f x dx g x dx

 

Chú ý: Nếu f x  liên tục dương a b,    b

a

f x dx



4     , 

b b

a a

f x dx  f x dx a b

 

5 Nếu m f x M,  x a b m M, ; , số

  b    

a

m b a f x dx M b a  hay   b

a

m f x dx M

b a

 

 

Hàm số chẵn y

A

x A

O

Hình 3.1

y A

0

x A

Hàm số lẻ

O

IV Hai phương pháp bản tính tích phân a Phương pháp đổi biến số

Quy tắc đổi biến số Đặt u u x  ,

2 Biến đổi f x dx  g u du 

3 Tìm nguyên hàm G u  g u 

4 Tính  

   

 

    

u b

u a

g u du G u b G u a



5 Kết luận        

b

a

f x dx G u b G u a



b Phương pháp tích phân phần.

Cho hai hàm số u, v có đạo hàm liên tục K a, b hai số thuộc K Khi    '         '   

b b

a a

u x v x dx u b v b u a v a  u x v x dx

 

IV Ứng dụng hình học của tích phân

a Tính diện tích hình phẳng.

Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh

Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x  liên tục, trục hoành hai đường thẳng x a x b ,  tính theo cơng thức  

b

a

S f x dx Chú ý: Trong trường hợp dấu f x  thay đổi đoạn a b;  ta phải chia đoạn a b; thành số đoạn để dấu f x  khơng đổi, ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối đoạn

Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong

Cho hai hàm số y f x  yg x  liên tục đoạn a b;  Khi diện tích

S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y , g x  hai đường thẳng x a x b ,     

b

a

S f x g x dx

Tương tự ý tốn ta phải xét đoạn mà dấu    

f x g x khơng đổi

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng ( hình tơ màu) biểu diễn hình 3.4

Lời giải

Nhận thấy a c;  d b;  f x1  f2 x ; c d;  f x1  f2 x Do

                  

1 2 1

b c d b

a a c d

S f x  f x  f x  f x dx f x  f x dx f x  f x dx (Trên cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)

y

x

a O b

Hình 3.3

a y

x

O c d b

Ví dụ 5:Cho hình thang cong  H giới hạn đường x

y e ,  y0,x0 x ln  Đường thẳng x k (0 k ln 4) chia  H thành hai phần có diện tích S1và S2như hình vẽ bên

Tìm k để S12S2

A. 2

3

k ln B. k ln C. 

3

k ln D. k ln ( Trích đề minh họa mơn Tốn lần – Bộ GD&ĐT) Lời giải

Đáp án D.

Nhìn vào hình vẽ ta có cơng thức sau: ln

0

2 k

x x

k e dx e dx

  ln

0

x k x

e e

k

    ek e0 2.eln42.ek 3ek 9

3 ln

k

e k

   

Ví dụ 6:Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m

độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng

hoa 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải

đất ? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn.)

A.7.862.000 đồng. B.7.653.000 đồng

C.7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

( Trích đề minh họa mơn Tốn lần – BộGD&ĐT) Lời giải

Đáp án B.

Nhận thấy tốn áp dụng ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng Ta có hình vẽ bên:

Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp lần diện tích phần gạch chéo, ta cần tìm diện tích phần gạch chéo

Ta có phương trình đường elip cho

2

2

8

y

x  

Xét 0; 4  nêny0

thì

8

y  x Khi

4

2

0

8 cheo

S  x dx, diện tích trồng hoa ơng

An mảnh đất

2

0

4 76, 5289182

8

S  x dx

Khi số kinh phí phải trả ơng An 76, 5289182.1000007.653.000 đồng b Tính thể tích vật thể

Cho H vật thể nằm giới hạn hai mặt phẳng x a x b Gọi S x  diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục hồnh điểm có hồnh độ x a x b   Giả sử S x  hàm liên tục Khi thể tích V H  

b

V S x dx (hình 3.5)

x y

x

O x

k

O

8m

O

-4

y

x

5

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo lấy giao vng góc hai ống nước hình trụ có bán kính đáy a ( hình 3.6)

A. 16 3

a

V B. 

3

3 a

V C. 

3

3 a

V D. 

V a

(Trích sách bộđề tinh túy ơn thi THPT QG mơn Tốn)

Ta gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức ta tính thể tích vật thể V giới hạn hai mặt trụ: x2 y2 a2 x2 z2 a2a0

Hình vẽ mô tả phần tám thứ vật thể này, với x  0;a,

thiết diện vật thể (vng góc với trục Ox ) x hình vng có cạnh  

y a x ( phần gạch chéo hình 3.7) Do diện tích thiết

diện là:

   2   

S x a x a x a x x  0;a Khi áp dụng cơng thức  * thể tích vật thể cần tìm bằng:

   

    

0

8

a a

V S x dx a x dx     

 

3

2 16

8

0

3

a

x a

a x

Ví dụ 8: Tính thể tích vật thể H biết đáy H hình trịn 2

1 x y  thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với trục hồnh ln tam giác

Lời giải a

Q

x O

P

S(x)

b x

Hình 3.5

Hình 3.6

y

x

O z

x z

y a

a

a

Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục hồnh chứa thiết diện tam giác ABC điểm có hồnh độ x  1 x 1 với AB chứa mặt phẳng xOy (hình 3.8)

Ta có

2

AB x Do    

2

2

3

4 AB

S x   x Vậy

   

1

2

1

3

V S x dx x dx

 

   3

3

x x

 

   

  ( đvtt)

c Tính thể tích khối trịn xoay

Một hình phẳng quay quanh trục tạo nên khối tròn xoay Định lý

Cho hàm số y f x  liên tục, khơng âm đoạn a b,  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x a x b ,  quay quanh trục hoành tạo nên khối trịn xoay Thể tích V khối trịn xoay

là 2 

b

a

V   f x dx

Ví dụ 9: Thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới

hạn đường cong ysinx, trục hồnh hai đường thẳng x0,x (hình

3.10) quanh trục Ox A

2



(đvtt) B

2



(đvtt) C. (đvtt) D.2(đvtt)

Lời giải

Đáp án B.

Áp dụng công thức ởđịnh lý ta có

 

2

0

sin cos

2

V xdx x dx

 

     1sin 2

0

2 x x



 

 

    

 

Tiếp theo toán thường xuất hiện đề thi thử, tốn có thểđưa về dạng quen thuộc tính tốn rất nhanh

Ví dụ 10: Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới

hạn đường cong y A2 x2 trục hoành quanh trục hoành

Lời giải tổng quát

Ta thấy y A2 x2 y2 A2 x2 x2 y2 A2

Do A2 x2 0 với x, phương trình nửa đường trịn tâm O,

bán kính R A nằm phía trục Ox Khi quay quanh trục Ox hình phẳng

sẽ tạo nên khối cầu tâm O, bán kính R A (hình 3.11) Do ta có ln

3

V  A

Vậy với tốn dạng này, ta khơng cần viết cơng thức tích phân mà kết luận ln theo cơng thức tính thể tích khối cầu

x A y

C

B

A

O x

Hình 3.8

a y

x

O x

y = f (x)

b

Hình 3.9

y

x

O x

y = sinx

Hình 3.10

y

x O

-A A

Đọc thêm Định lý

Cho hàm số y f x  liên tục, không âm đoạn a b,  a0 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng

,

x a x b  quay quanh trục tung tạo nên khối trịn xoay Thể tích V khối trịn xoay  

b

a

1 Nguyên hàm – chọn lọc tập về nguyên hàm đề thi thử

Câu 1: Tìm nguyên hàm 2 1 x I x e dx A. 2 1 x

I  x e C B. 2 1 x I  x e C C. 2 3 x

I  x e C D. 2 3 x I  x e C

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)

Câu 2: Tìm nguyên hàm Ixln 2 x1dx

A.  

2 1

4

ln

8

x x x

I  x   C

B.  

2 1

4

ln

8

x x x

I  x   C

C.  

2 1

4

ln

8

x x x

I  x   C

D.  

2 1

4

ln

8

x x x

I  x   C

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)

Câu 3: Tìm nguyên hàm Ix1 sin2 xdx A. 1 cos2 sin

2

x x x

I   C

B. 2 cos2 sin 2

x x x

I   C

C. 1 cos2 sin

x x x

I   C

D. 2 cos2 sin

x x x

I   C

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)

Câu 4:Cho f x g x   , hàm số liên tục Tìm khẳng định sai khẳng định sau? A. k f x dx k f x dx       với k số

B. f x   g x dx f x dx  g x dx  C. f x g x dx     f x dx g x dx     D. f x   g x dx f x dx  g x dx 

(Trích đề thi thử THPT chuyên Kim Thành – Hải Dương)

Câu 5:Họ nguyên hàm hàm số f x e2017x là: A. 2017

2017 x

e C B. e2017xC

C. 2017.e2017xC D. 2017

2017 x

e C

 

(Trích đề thi thửTHPT chun Hồng Văn Thụ)

Câu 6:Tìm nguyên hàm F x  hàm số

 

4 cos f x

x

 biết

9

F   

 

A.   4tan 3

3

F x  x

B. F x 4tan3x3 C.   4tan 3

3

F x  x

D.   4tan 3

3

F x   x

(Trích đề thi thửTHPT chun Hồng Văn Thụ)

Câu 7: Tìm ngun hàm hàm số f x x x A.   2

5

f x dx x x C



B.  

5

f x dx x x C



C.  

5

f x dx x x C



D.  

2 f x dx x C



(Trích đề thi thửTHPT Lương Thế Vinh lần 2)

Câu 8: lnxdx x

 bằng:

A.  

3

2 lnx C B.  ln

3 x C

C.

2 lnxC D.  

3

3 ln

2 x C

(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)

Câu 9:Cho hàm số   12 sin

f x

x

 Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  đồ thị hàm số

 

yF x qua ;0

3

M   

  F x  là: A. cot

3 x B. cot x

C. cot

3  x D. cotx C

(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)

Câu 10:Cho hàm số   f x

x 

 Hãy chọn mệnh đê

A. ln 2

2dx x C

x   



B. ln 3 x2 nguyên hàm f x  C. lnx 2 C họ nguyên hàm f x 

D. lnx2 nguyên hàm f x 

(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)

Câu 11: xex21dx bằng: A.

2ex C B. x21

e  C

C. x2

x e  C D.

2 x e  C (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)

Câu 12: 3 x dx x 

 bằng:

A. x22 1x2C B. x21 1x2 C

C. x21 1x2 C D. x22 1x2 C

(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)

Câu 13:Tìm nguyên hàm hàm số

   2

2

f x  x

A.    

3

2

3 x

f x dx  C



B. f x dx  2x33C

C.    

3

2

6 x

f x dx  C



D.    

3

2

2 x

f x dx  C



(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)

Câu 14:Tìm nguyên hàm hàm số   3sin3 cos3

f x  x x

A. f x dx  cos3xsin3x C

B. f x dx  cos3xsin3x C

C.   cos3 1sin3

f x dx  x x C



D.   1cos3 1sin3

3

f x dx  x x C



(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)

Câu 15:Tìm nguyên hàm hàm số f x exex A. f x dx e   xexC

B. f x dx    ex exC



C. f x dx e   xexC D. f x dx    ex exC



(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)

Câu 16:Tìm nguyên hàm F x  hàm số

  ,

f x  x biết F 0 8 A.   38

3

F x  x 

B.   2 4 16

3

F x  x x 

C.   2 4 56

9

F x  x x 

D.   2 4

3

F x  x x 

(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)

Câu 17:Tìm nguyên hàm hàm số  

3 1

x f x

x 



A.  

4

3

2

x

f x dx C

x

 





B.    

ln

f x dx x  C



C. f x dx x   3lnx4 1 C

D.   1ln 1

4

f x dx x  C



(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)

Câu 18:Tính nguyên hàm 2x1e dx3x .

A.    

3

3 2

2

3

x x

x x e e

x e dx   C



B.    

3

3 2

2

3

x x

x x e e

x e dx   C



C. 2 1 1  3

x x

x e dx x x e C



D. 2x1e dx3x x2x e 3xC

(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)

Câu 19: Tìm nguyên hàm 2 I dx x   

A. 1ln

2 x I C x   

 B.

1 ln 2 x I C x    

C. 1ln

4 x I C x   

 D

1 ln x I C x    

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)

Câu 20:Hàm sốnào sau không nguyên hàm

của hàm số    

 2

2 x x f x x   

A.  

2 x F x x 

 B.  

2 1 x x F x x     C.  

2 1 x x F x x   

 D.  

2 1 x x F x x    

(Trích đề thi thửTHPT chun Hồng Văn Thụ)

Câu 21: 2 2dx

x  x

A. 1ln x C x  

 B.

1 ln x C x    C. 1ln

3

x C x

 

 D.

2 ln x C x   

(Trích đề thi thửTHPT chuyên Lam Sơn)

Câu 22:Hàm số F x eln 2 xx0 nguyên hàm hàm sốnào sau đây?

A.    

ln 2x e f x

x

 B. f x eln 2 x C.  

  ln 2 x e f x x

 D. f x 2eln 2 x

(Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2)

Câu 23:Nguyên hàm hàm số:

2

dx I

x 

 

 là:

A. F x  2x 1 4ln 2x  1 4 C B. F x  2x 1 4ln 2x  1 4 C C.   7ln 4

2

F x  x  x  C

D. F x  2x 1 4ln 2x  1 4 C

(Trích đề thi thử THPT TriêụSơn 2

)

Tích phân – chọn lọc tập về tích phân các đề thi thử.

Câu 1: Biết tích phân  

1

0

2 x

I x e dx a be 

a ;b  Khi tích a b có giá trị bằng: A 1 B. 1 C. D 3

(Trích đề thi thử THPT chun Thái Bình lần 2)

Câu 2: Biết  

1

0

2 f x dx

 f x  hàm số lẻ Khi

 

1

I f x dx



 có giá trị bằng:

A I1 B I0 C. I 2 D I2

(Trích đề thi thử THPT chun Thái Bình lần 2)

Câu 3: Tích phân

1

1

Ix x  dx có giá trị bằng:

A. 2

3

I  B.

3 I

C 2

I D

3 I

(Trích đề thi thử THPT chun Thái Bình lần 2)

Câu 4: Cho tích phân

3

01

x

I dx

x 

 

 đặt

1

t x  

2

1

If t dt đó:

A. f t  t2 t B.f t 2t22t

C. f t  t2 t D. f t 2t22t

(Trích đề thi thử THPT chun Thái Bình lần 2)

Câu 5:Tính tích phân

3 sin sin x dx x    

A. 2



B. 2

2

 

C. 2 

D. 2

2

 

(Trích đề thi thử THPT Cái Bè)

Câu 6: Cho

0

cos2x

ln

1 2sin

a I dx x    

 Tìm giá trị

a là:

A. B.2 C. D.6

(Trích đề thi thử THPT Cái Bè)

Câu 7:Tích phân

3 cos sin x dx x  

 bằng: A. ln

4 B.

1 ln

 

C. ln

4 D.

1 ln

 

(Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2)

Câu 8: Tích phân

1

0

x xe dx

 bằng: A

2 e

B

2 e

e 

C e

D

2 e

e 

(Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2)

Câu 9: Tính tích phân:

1 x dx x 

A. ln

6 B.

5 2ln

3 

C. 2 

D. ln 

Câu 10: Giá trịdương a cho: 2 2 ln a

x x a

dx a

x

    



 là:

A. B. C.3 D.2

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)

Câu 11: Giả sử

5 ln dx c x 

 Giá trị c là: A.9 B. C. 81 D.

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)

Câu 12: Tích phân

  x I dx x  

 có giá trị là: A 1

2 B

1

8 C.

1

 D.

(Trích đề thi thử THPT Diệu Hiền)

Câu 13. Giả sử  

1

1

5 f t dt





  

3

1

6 f r dr





 Tính

 

1

If u du

A I4 B I3 C.I2 D I1

(Trích đề thi thử Sở GD –ĐT Phú Thọ)

Câu 14. Tính tích phân

0

cos

I xdx





A I0 B I1 C I2 D I3

(Trích đề thi thử Sở GD –ĐT Phú Thọ)

Câu 15. Cho biết  

2

cos( ) f x

t dtx x

 Tính f(4)

A f(4) 3 B f(4) 1 C (4)

2

f  D f(4)312

(Trích đề thi thử Sở GD –ĐT Phú Thọ)

Câu 16.Đẳng thức  2

0

cos sin

a

x a dx  a

 xảy nếu:

A a  B a 

C a 3 D a 2

(Trích đề thi thử Sở GD –ĐT Phú Thọ)

Câu 17: Tính tích phân

2

0

.sin

I x xdx





A I3 B I2 C I1 D I 1

(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)

Câu 18. Tính tích phân

3 sin sin x dx x    

A. 2



; B. 2

2

 

C. 2 

D. 2

2

 

(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)

Câu 19. Nếu

0

1 a

x xe dx

 giá trị a bằng: A. B. C. D. e

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)

Câu 20. Nếu

6 sin cos 64 n x xdx  

 n bằng:

A. B. C.5 D.

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)

Câu 21. Giá trị

1 lim n x n n dx e 

   bằng:

A. 1 B. C. e D.

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)

Câu 22. Tích phân

2

4x xdx

 có giá trị A.

3 B.

3 C.

8

3 D.

10

(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)

Câu 23. Tích phân

4

6

cot x dx





 có giá trị A. ln B.ln2 C.ln4 D. ln

(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)

Câu 24. Tích phân

1

0

x e xdx

 có giá trị bằng: A.

2 e

B. 2 e e  C. e

 D.

2 e

e 

(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)

Câu 25. Tích phân  

1

2 ln e

I x  x dx bằng: A. 1 e  B. 2 e C. 3 e  D. 3 e  (Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)

Câu 26: Hàm sốnào sau không nguyên hàm

của hàm số ( ) ( 2)2 ( 1) x x f x x    ? A. 1 x x x  

 B.

2 1 x x x    C. 1 x x x  

 D.

2

1

x x

(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)

Câu 27: Nếu ( ) 5; ( )

d d

a a

f x dx f x 

  với a d b  ( )

b

a f x dx

 bằng:

A. 2 B. C.0 D.

3 Ứng dụng của tích phân hình học. Câu 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị

hàm số

2

y x  y3 :x A.1 B.

4 C.

1

6 D.

1

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)

Câu 2: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Oxhình phẳng giới hạn đồ thị

hàm số 2 

x

y x e hai trục tọa độ là: A. 2e210 B. 2e210

C. 2e210 D. 2e210

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị

hàm số

2 x y

x  

 trục tọa độ Chọn kết

đúng nhất?

A. 3ln6 B. 3ln3

2 C. 3ln3

2 D.

3

3ln

2

(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)

Câu 4. Cho hàm số

( )

f x x  x  x Tính diện tích

S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yf x( ) trục tung, trục hoành đường thẳng x3

A 10

S B. 12

4 S

C 11

S D

4 S

(Trích đề thi thử sởGD&ĐT Phú Thọ)

Câu 5. Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x0 x3, biết thiết diện vật thể

bị cắt mặt phẳng vng góc với trục 0x điểm

có hồnh độ x 0 x 3là hình chữ nhật có hai

kích thước x

2 9x

A 18 B.19 C.20 D. 21

(Trích đề thi thử sởGD&ĐT Phú Thọ)

Câu 6. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị

các hàm số y2xvà y 3 x, trục hoành trục tung

A

ln

S  B.S2

C ln

S  D S4

(Trích đề thi thử sởGD&ĐT Phú Thọ)

Câu Tính thể tích tứ diện có cạnh a

A

3

12

a

V B.

3 3

4 a V 

C

3 2

12 a

V D

3 2

6 a V

(Trích đề thi thử sởGD&ĐT Phú Thọ)

Câu 8: Công thức tính diện tích S hình thang cong giới hạn hai đồ thị

 ,  , ,

y f x yg x xa xb , a b  A. b    

a

S f x g x dx

B. b     a

S f x g x dx C. b    2

a

S f x g x dx

D. b 2  2 

a

S f x g x dx

(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số y 2x3x2 x 5 và đồ thị(C’) của

hàm số

5 y x  x bằng:

A.0 B. C.2 D.3

(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)

Câu 10: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn

đường yx1e yx, x21.

A.

3

S e  B.

3 S e 

C.

3

S e  D.

3 S e 

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)

Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị

hàm số yx1e2x, trục hoành đường thẳng 0,

x x A.

4 3

4

e e 

B.

4 3

4

e e 

C.

4 3

4

e e 

D.

4 3

4

e e 

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)

Câu 12: Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 22x

2

y x quay quanh trục Ox A.

3 B.

4



C. 

D.

(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)

Lưu ý: Lời giải chi tiết gửi vào 23h ngày 25/02/2017

Bổ sung một số dạng về nguyên hàm – tích phân

1 Tích phân nguyên hàm một sốhàm lượng giác

a Dạng sinmx.cosnxdx trong m n, số tự nhiên

Trường hợp 1:Trong hai sốm, n có số lẻ

Lũy thừa cosx số lẻ, n2k1 đổi biến sin

u x

Lũy thừa sinx số lẻ, m2k1

đổi biến ucosx

 

sinmx.cosnxdx sinmx cos x kcosxdx

 

   

sinmx sin x k sinx dx'

  um1u2kdu

 

sinmx.cosnxdx cosnx sin x ksinxdx

 

   

cosnx cos x k cosx dx'

  

1 u2k.u dun   

Ví dụ 1: Tìm sin5x.cos2xdx

Lời giải

Vì lũy thừa sinxlà số lẻnên ta đổi biến ucosx

 2  

5 2

sin x.cos xdx  cos x cos x cosx dx'

 

 22 2  4 2 6

1 u u du 2u u u du

     

5

u u u

C

   

5

2 cos cos cos

5

x x x

C

   

Trường hợp 2: Cả hai sốm, nđều số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để

giảm nửa sốmũ sin ; cosx x, để làm toán trởnên đơn giản

b Dạng sinmx.cosnxdx, sinmx.sinnxdx, cosmx.cosnxdx

Ta sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng lượng giác

c Dạng tan

cos

m n

x dx x

 trong m n, số nguyên.

Lũy thừa cosx sốnguyên dương chẵn,

2

n k ta đổi biến utanx

Lũy thừa tanx sốnguyên dương lẻ,

2

m k ta đổi biến

cos

u

x



2 2

tan tan

cos cos cos

m m

n k

x x

dx dx

x   x

 

   

2 tan

tan ' cos

m k

x

x dx

x 



   

2

tanmx tan x k tand x

 

 

2

k

m

u u  du

 

Khi ' sin2

cos

x u

x

 ,

2

1

tan tan tan

cos

cos cos

m k

n n

x x

dx dx

x

x  

 

2

1

1

sin cos

cos cos

k

n

x x

dx x



 



 

 



 

1k n

u u  du

 

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm a

6

4 tan cos

x dx x

 b

5

7 tan cos

x dx x



Lời giải

a.Do lũy thừa cosx sốnguyên dương chẵn nên đặt utanx Từ công

thức tổng quát chứng minh ta có

 

6 1

6

4 tan

cos

x

dx u u du

x  

  u99 u77  C tan99  tan77 C

b Do lũy thừa tanx số lẻnên ta đặt

cos

u

x

 , vậy, từ công thức tổng quát chứng minh ta có

 

5 2 11

2

7

tan

1

11

cos

x u u u

dx u u du C

x      

 

11

1

11cos x cos x cos x C

   

2 Đổi biến lượng giác

Khi nguyên hàm, tích phân hàm số mà biểu thức có chứa dạng x2 a2, x2 a2, a2 x2 , ta có cách biến đổi lượng giác sau:

Biểu thức có chứa Đổi biến

2

x a x atant, ;

2

t   

 

Hoặc x acos ,t t 0;

2

x a

sin

a x

t

 , ; \ 0 

2

t   

 

Hoặc , 0; \

cos

a

x t

t

 

 

    

 

2

a x x asint, ;

2

t   

 

Hoặc x acos ,t t0;

a x a x

a x a x

 



 

cos

x a t

x a b x     

sin , 0;

x a  b a t t 

 

3 Nguyên hàm tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

Cho hàm số y f x  có dạng    

 

P x f x

Q x

 P Qlà đa thức, P

không chia hết cho Q

Hàm fđược gọi hàm phân thức hữu tỉ thực sự deg P deg Q

STUDY TIP:Kí hiệu

 

 

deg P x bậc

Trong tốn tìm ngun hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ,

 

f x chưa phải hàm phân thức hữu tỉ thực ta thực chia đa thức tử sốcho đa thức mẫu sốđểđược:

  P x     R x      

f x S x S x h x

Q x Q x

     ,

Khi đó, h x  hàm phân thức hữu tỉ thực

Định lý: Một phân thức thực sựln phân tích thành tổng phân thức

đơn giản

Đó biểu thức có dạng

   2 

1

; k ; ax b ; ax b k

x a x a x px q x px q

 

     

hàm số tìm ngun hàm cách dễdàng.Đểtách phân thức ta

dùng phương pháp hệ số bất định

a Trường hợp phương trình Q x 0 khơng có nghiệm phức nghiệm

đều nghiệm đơn.

   1 2  k k k

Q x  a x b a x b a x b

(Số nhân tử bậc đa thức Q x )

Trong trường hợp này, g biểu diễn dạng

    

1 2

k

k k

R x A A A

g x

a x b a x b a x b

Q x

    

  

Sau biểu diễn g x  dạng này, tốn trởthành tốn

Ví dụ 3:Họ nguyên hàm hàm số   24

3

x f x

x x

 

 

A.   4ln ln

2

x

F x x C

x



   



B.   4ln ln

2

x

F x x C

x



   



C.   4ln ln

1

x

F x x C

x



    



D.   4ln ln

1

x

F x x C

x



   



Phân tích Đáp án B.

Ta có

  

2

4

1

2

3

x x A B

x x

x x

x x

    

 

 

    

2

1

Ax A Bx B

x x

  



 

Khi A B x  2A B 4x3, đồng hệ sốthì ta

4

2

A B A

A B B

     



    

 

Ta có

4

ln 5.ln

1

3

x

dx dx x x C

x x

x x

 

         

   

   

 

2 4.ln ln

1

x

x C

x



   



1 4.ln ln

2

x

x C

x



   



Đáp số tập kiểm tra khảnăng vận dụng:

2

x 2x 1 1

dx ln x ln 2x ln x D

2 10 10

2x 3x 2x

 

     

 



Ví dụ 4:Biết

5

4

4

2

ln ln ln ln ln

5 a b c d e



     

 

 x

I dx

x x Khi

6a3b6c3d2e có giá trị

A 16 B 19

6

 C 16 D.19

6 Phân tích

Đáp án A. Ta có

    

3

4

2

1 2

5

x x

x x x x

x x

  

   

  2

A B C D

x x x x

   

   

     

       

3 2

2

2 1

4 1 , *

x A x x B x x

C x x D x x x

       

      

Thay x1 vào  * ta có

A 

Thay x2 vào  * ta có

B

Thay x 1 vào  * ta có

C

Thay x 2 vào  * ta có

D

Lời giải

5

16

4

2

5

x

dx

x x



 

 



I

 

5 5

4 4

1 1

2 6 2

dx dx dx dx

x x x

x

    

  



   

5

1 1

ln ln ln ln

4

2 x x x x

 

         

 

5 1 1

2

6 2 6

ln ln ln ln  ln ln ln ln 

          

 

11 1

2

6 ln 3ln 6ln 3ln 2ln

     

Khi 6a3b6c3d2e       11 1 16

b Trường hợp Q x 0 khơng có nghiệm phức, có nghiệm thực nghiệm bội.

Nếu phương trình Q x 0 có nghiệm thực a a1; 2; ;an a1 nghiệm bội k ta phân tích    

 

R x g x

Q x

 dạng

Kiểm tra khảnăng vận dụng từ ví dụ 3:

Tìm

2

x 2x

dx

2x 3x 2x

 

 



STUDY TIP:đây

dạng tốn tích phân chống casio gặp

     1 2  

2

1 1 1

k n

k

n

A B

A A B B

g x

x a x a x a

x a x a x a



       

  

  

Trên phần lý thuyết phức tạp, ta đến với tập ví dụđơn giản sau:

Ví dụ 5: Họ nguyên hàm hàm số  

 3

x f x

x





A.  

 2

2

1 1

F x C

x x

  

  B.    2

2

1 1

F x C

x x

  

 

C.  

 4

1

1 4 1

F x C

x x

  

  D.    4

1

1 4 1

F x C

x x

  

 

Phân tích

Nhận thấy x1 nghiệm bội ba phương trình x13 0, ta biến

đổi

     

   

 

2

3 3

2 1

2

1

1 1

A x x B x C

x A B C

x

x x x x

    

   



   

 

 

2

3

1

Ax A B x A B C

x

     





Từđây ta có

0

2 2

0

A A

A B B

A B C C

   

     

 

     

 

Lời giải Ta có

 3   2 3

2 2

1 1

x

dx dx

x x x

  

 

 

 

    

   2

2

1 1 C

x x

  

 

Đáp số tập kiểm tra khảnăng vận dụng ví dụ 4:

4 2

3

x 2x 4x x

dx x ln x ln x C

2 x

x x x

  

       



  



TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ thực sựđược

đưa dạng nguyên hàm sau:

1. A dx A.lnx a C

x a   



2

   

1

k k

A A

dx C

k

x a x a 

  



 



Kiểm tra khảnăng vận dụng từ ví dụ 4:

Tìm

4

x 2x 4x

dx

x x x

  

  

5 Bảng một sốnguyên hàm thường gặp

1)k dx k x C   2)

1

1

n n x

x dx C

n



 





3) 12dx C

x

x   

 4) 1dx lnx C

x  



5) 1 1

(ax b )ndx a n( 1)(ax b )n C

 6) dx 1.lnax b C

ax b a  



7)sinxdx cosx C 8) cosxdxsinx C

9) sinax b dx 1cosax b C

a

    

 10) cosax b dx 1sinax b C

a

   



11)

2

(1 tan ) tan cos xdx  x dx x C

  12)

2

(1 cot ) cot sin xdx  x dx  x C

 

13) 2 1tan( )

cos (ax b )dxa ax b C

 14) 2 1cot( )

sin (ax b )dx a ax b C



15)e dxx exC 16) e dxx  ex C

17) eax bdx 1eax b C

a

   

 18)      

1

1

n n ax b

ax b dx C n

a n

 

   





19)

ln

x x a

a dx C

a

 

 20) 21 arctan

1dx x C

x   



21) 21 1ln

2

1

x

dx C

x x



 

 

 22) 21 2dx arctanx C

a

x a  



23) 2 2 1ln

2

x a

dx C

x a

x a



 

 

 24)

2

arcsin

1 x dx x C

 





25)

2

1

arcsinx

dx C

a

a x

 



 26)

2

ln

1

dx x x C

x

   





27) 2

2

1

ln

dx x x a C

x a

   



 28)

2

2 2 arcsin

2

x a x

a x dx a x C

a

    



29)

2

2 2 .ln 2

2

x a

x a dx x a  x x a C

III Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân thực tế Dạng toán chuyển động

Ví dụ 1:Một tơ chạy với vận tốc 10 m/s tài xếđạp phanh; từ thời

điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t   5t 10m s/ ,

trong t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từlúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét?

A.0,2 m B. m C.10 m D.20 m

(Trích đề minh họa lần I- BGD&ĐT)

Lời giải

Đáp án C.

Nguyên hàm hàm vận tốc qng đường s t  mà tô sau

quãng đường t giây kể từ lúc tài xếđạp phanh xe

Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t0 Thời điểm ô tô dừng lại ứng với t1, v t 1   0 t1

Vậy từlúc đạp phanh đến dừng lại quãng đường ô tô

 

2

2

2

5 10 10 10

0

s  t dt t  t  m

 



Ví dụ 2:Một tơ đường với vận tốc v t 2 t0 t 30 (m/s) Giả sử thời điểm t0thì s0 Phương trình thể quãng đường theo thời gian ô tô

A.  

s t m B.s2 t m  C 3 

3

s t m D.s2t m 

Lời giải

Đáp án A

Tương tựnhư ví dụ ta có  

1

3

2

2 2

1 1

2

s t  tdt t dt t  t



  (m)

Ví dụ 3:Một vật chuyển động với vận tốc đầu 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, có gia tốc

0,3(m / s )

a Xác định quãng đường vật

trong 40 phút

A.12000m B 240m C 864000m D 3200m

(Trích đề thi thử THPT Hồng Diệu)

Phân tích: Nhận thấy tốn khác với hai ví dụ chỗ tốn cho biểu thức gia tốc mà không cho biểu thức vận tốc, ởđây ta có thêm kiến thức sau:

Biểu thức gia tốc đạo hàm biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc đạo hàm cấp biểu thức vận tốc,

là đạo hàm cấp hai biểu thức quãng đường” Từđây ta có lời giải sau:

Lời giải

Ta có v t 0, 3dt0, 3t(do ban đầu vận tốc vật 0) Vậy quãng đường vật 40 phút

40.60

2

2400 0,

0,

tdt t 

 864000m

STUDY TIP:

Hàm số thể quãng

đường vật tính theo thời gian biểu thức nguyên hàm hàm số vận tốc

STUDY TIP:

Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính cơng thức v t 3t2, thời gian

tính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính

theo đơn vị m Biết thời điểm t2s vật

quãng đường 10 m Hỏi thời điểm t30s vật

đi quãng đường bao nhiêu?

A. 1410m B.1140m C. 300m D. 240m

(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)

Câu 2: Một tàu lửa chạy với vận tốc 200 m/s người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần với vận tốc v t 200 20 t(m/s) Trong t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi thời gian tàu quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) giây so với lúc tàu dừng hẳn?

A. s B.8 s C.15 s D.10 s

(Trích đề thi thửTHPT Hồng Văn Thụ)

Câu Giả sử vật từ trạng thái nghỉ t0 s

chuyển động thẳng với vận tốc v t  t 5t m s / 

Tìm quãng đường vật dừng lại

A. 125 

12 m B.  

125

9 m C.  

125

3 m D.  

125

6 m

(Trích đề thi thửTHPT Lương Thế Vinh lần 2)

Câu 4:Một người xe đạp dựđịnh buổi sáng

hết quãng đường 60km Khi 12 quãng đường, thấy vận tốc 23 vận tốc dự định, đạp nhanh vận tốc dựđịnh

3km/h, đến nơi chậm 45 phút Hỏi vận tốc dựđịnh người xe đạp bao nhiêu?

A 5km h/ B 12km h/ C 7km h/ D 18km h/

(Trích đề thi thử THPT TVB)

Câu 5:Một ôtô chạy với vận tốc 10 m/s người

lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  5t 15

(m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể

từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từlúc đạp phanh đến dừng hẳn, ơtơ cịn di chuyển mét?

A.20m B. 10 m C.22,5 m D.5 m

Câu 6:Cho chuyển động thẳng xác định phương

trìnhS2t3 t 1, t tính giây S

được tính mét Gia tốc chuyển động t = 2s là:

A 63m/s2 B. 64m/s2 C. 23m/s2 D 24m/s2

(Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ)

Câu 7:Cho vật chuyển động có phương trình là:

3

2

s t t

   (t tính giây, S tính mét) Vận tốc chuyển động thẳng t2s là:

A 3 B 49

2 C 12 D

47

(Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ)

Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương

trìnhS2t4 t 1, t được tính bằng giây S

được tính mét Vận tốc chuyển động t = 1s là:

A 24m/s B 23m/s C 7m/s D 8m/s

(Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ)

Câu 9: Một xe ô tô chạy đường với vận tốc tăng dần với vận tốc v = 10t (m/s) t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu chạy Hỏi quảng đường xe phải từ lúc xe bắt đầu chạy đến đạt vận tốc 20 (m/s)?

A.10m B. 20m C. 30m D.40m

(Trích đề thi thử THPT Hoàng Diệu)

Bài tập rèn luyện kỹ

Lưu ý: Lời giải chi tiết gửi vào 23h ngày 25/02/2017 Đề nghị bạn đăng ký

i