9 chuyên đề Đại số ôn thi vào chuyên Toán

Ngoài cách gi ải đưa về phương trình trùng phương, cách phân tích đa thứ c thành nhân t ử để đưa về phương trình tích, cần chú ý đến các phương pháp sau:. Đặt ẩn phụ để đưa về phương tr[r]

(1)



9 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ

TÀI LIỆU SƯU TẦM

thuvientoan.net

(2)

Chuyên đề

BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ

Các toán chuyên đề bao gồm nội dung:

• Các phép tính vềđa thức Phân tích đa thức thành nhân tử

• Rút gọn phân thức đại số Các phép tính phân thức Giá trị phân thức

• Các phép tính vềcăn bậc hai, bậc ba

Trong biến đổi đồng biểu thức đại số, đẳng thức có vai trị quan trọng Ngồi đẳng đáng nhớ Sách giáo khoa, cần biết thêm đẳng thức sau:

1) Bình phương đa thức:

( )2 2

a+ +b c =a +b +c +2 ba +2 ca +2bc

2) Lập phương tổng ba số, tổng lập phương ba số:

( ) ( )( )( )

( )( )

3 3

3 3 2

a b c a b c a b b c c a

a b c 3abc a b c a b c ab bc ca

+ + = + + + + + +

+ + − = + + + + − − −

3) Lũy thừa bậc bốn, bậc năm nhị thức:

( )

4 2

5 2

a b a 4a b 6a b 4ab b

a b a 5a b 10a b 10a b 5ab b

+ = + + + +

+ = + + + + +

4) Với sốnguyên dương n, ta có:

( )( )

n n n n n n n

a −b = a−b a − +a − b+a − b + + ab − +b −

5) Với só lẻ n, ta có:

( )( )

n n n n n n n

a +b = a+b a − −a − b+a − b − − ab − +b −

Bài toán thực tế

TỈ LỆ KHI PHA TRỘN

Tú giao nhiệm vụnhư sau: Pha lượng dung dịch có nồng độ 5% muối với lượng dung dịch có nồng độ 30% muối đểđược hỗn hợp có nồng độ 20% muối Tú cần pha hai dung dịch với tỉ lệ nào? Bạn giúp Túc giải tốn

Giải:

(3)

Ta có: x 30 y 20 (x y)

100 +100 =100 +

( ) ( ) ( ) x 10

5x 30y 20 x y 30 20 y 20 x

y 15

⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ = =

Tỉ lệ khối lượng dung dịch có nồng độ a% b% cần pha với Trong thực hành, ta thường viết theo sơ đồ sau:

Tổng quát, tỉ lệ khối lượng dung dịch có nồng độ a% b% cần pha với đểđược hỗn hợp có nồng độ c% c b (c a, c b)

c a

−

≠ ≠

−

I. ĐA THỨC

Ví dụ Cho x+ = +y a b (1)

3 3

x +y =a +b (2)

Chứng minh 2 2

x +y =a +b

Giải:

Từ (1) suy ( ) (2 )2 2 2

x+y = a+b ⇒x +y +2xy=a +b +2ab (3) Ta có đẳng thức

( ) ( )

3 3

x y x y 3xy x y

a b a b 3ab a b

+ = + + +

Kết hợp (1) với (2) suy 3xy = 3ab hay xy = ab (4) Từ (3) (4) suy 2 2

x +y =a +b

Ví dụ 2. Phân tích thành nhân tử: a)

x +4x +16

b) ( )3 ( 3 3)

a+ +b c − a +b +c

Giải

a) 4 2 ( )2 ( )2 ( )( )

x +4x +16=x +8x +16−4x = x +4 − 2x = x + +4 2x x + −4 2x

b) Cách

Áp dụng nhiều lần công thức ( )3 3 ( )

x+y =x +y +3xy x+y ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

3

3 3 3 3

3 3 3

2

a b c a b c a b c a b c

a b c 3c a b a b c a b c

a b 3ab a b c 3c a b a b c a b c

3 a b ab ac bc c

3 a b a b c c b c a b b c c a

+ + − + + = + +  − − −

= + + + + + + − − −

= + + + + + + + + − − −

= + + + +

= +  + + + = + + +

Cách Phương pháp xét giá trị riêng

Đặt ( )3 ( 3 3)

(4)

Với a+ =b 0thì a3+b3=0 nên A=c3−c3=0, suy A chứa nhân tử a + b Do vai trị bình đẳng a, b, c nên A chứa nhân tử (a+b b)( +c c)( +a)

Do hạng tử A có bậc nên A=k a( +b b)( +c c)( +a) với k số Ta có với a, b, c: ( )3 ( 3 3) ( )( )( )

a+ +b c − a +b +c =k a+b b+c c+a (1) Thay a = b = c = vào (1)

2 − =2 k.2.1.1⇒ =k Vậy A=3 a( +b b)( +c c)( +a)

Ví dụ 3.Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng:

( ) (5 ) (5 )5

A= a−b + b c− + −c a

Giải

Thay a b A = nên A chứa nhân tử a – b

Do A khơng đổi hốn vị vòng quanh a→ → →b c anên A chứa nhân tử

(a−b b c c a)( − )( − ) có dạng

( )( )( )

A=B a−b b c c a− − (1)

Do hạng tử A có bậc nên hạng tử B có bậc 2, B có dạng:

( 2 2) ( )

B=m a +b +c +n ab+bc+ca (2)

Từ (1) (2) ta có với a, b, c :

( ) (5 ) (5 ) (5 )( )( ) ( 2 2) ( )

a−b + b c− + −c a = a−b b c c a− − m a +b +c +n ab+bc+ca  (3)

Thay a =0; b 1; c= =2vào (3) − − +1 32= −( )( ) (1 −1 2m−n) hay 15=2m+n

(4)

Thay a = −1; b=0; c 1= vào (3) − − +1 32= −( )( ) (1 −1 2m−n)hay 15=2m−n

(5)

Từ (4) (5) suy 5m 2n 15 m

2m n 15 n

+ = =

 

⇔

 − =  = −

 

Thay m=5, n= −5vào (3) A=5 a( −b b c c a)( − )( − )(a2+b2+c2−ab−bc ca− )

II.PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Ví dụ Rút gọn phân thức A ( a2)(bc ) ( b2)(ac ) ( c2)(ab )

a b a c b a b c c a c b

− − −

= + +

+ + + + + +

Giải.

Xét ( a2)(bc ) a(2 ac ac)( bc) a a(( c) ()(c a )b) a c

a b a c a b a c a b a c a b a c

+ − +

− + − −

= = = −

+ + + + + + + +

Tương tự,

( )( ) ( )( )

2

b ac b c c ab c b

,

b a b c b a b c c a c b c a c b

− = − − = −

+ + + + + + + +

Do A a c b c c b a b b c 1

a b a c b a b c c a c b a b b c

+ +

= − + − + − = − = − =

(5)

Ví dụ 5. Chứng minh tổng bình phương ba số hữu tỉ 1, ,

x y x−ylà bình

phương số hữu tỉ

Giải

Cách

( ) ( )

( )( )

( )

2

2 2

2

2 2 2 2 2

x y x y x y

1 1 x y

A

x y x y x y x y x y x y

+ − +

+

= + + = + =

− − −

Ta chứng minh tửlà bình phương số hữu tỉ Đặt tử B ta có: ( ) (2 )2 2

B= x−y  x−y +2xy+x y

 

( )4 ( )2 2 ( )2

x y 2xy x y x y  x y xy

= − + − + = − + 

Vậy ( ( ) )

2

x y xy

A

xy x y

 − + 

 

=

−

 

 

Cách Trước hết ta chứng minh bổđề: Nếu a + b + c = 12 12 12 1

a b c

 

+ + = + + 

 

Thật vậy, ta có 1 12 12 12 2

a b c a b c ab ac bc

 + +  = + + + + +

 

 

( )

2 2 2

2 c b a

1 1 1

abc

a b c a b c

+ +

= + + + = + +

Trở lại toán, ta viết A dạng

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 1 1

A

x y x y x y y x

= + + = + +

− − −

Áp dụng bổđề với a=x, b= −y, c= −y xthì a + b + c = nên

2

1 1 1

A

x y y x x y x y

   

= + +  = − − 

− − −

   

Ví dụ 6. Cho sốa, b, c khác khác đôi thỏa mãn a b c k

b c a

+ = + = + = Chứng minh k = k= −1

Giải.

Từ a k b

+ = suy a k bk

b b

− = − =

Từ b k c

+ = suy c

k b

= −

Kết hợp với c k a

+ = b k k−b+bk 1− =

( )( )

2

bk bk b k k b bk

⇒ − + − = − −

2 2

bk bk b bk k b k bk

⇒ − + − = − − +

( )

2 2

1 bk b k bk b

(6)

( )( 2)

k bk b

⇒ − − − =

Nếu

bk b− − =0thì

2

b 1

k b

b b

+

= = +

Kết hợp với k b c

= + suy b = c, trái với giả thiết b≠c

Vậy

k − =1 0, tức k= ±1

Lưu ý

k = khi, chẳng hạn, a 2, b 1, c

= = − =

k= −1khi, chẳng hạn, a 2, b 1, c

= − = = −

Ví dụ 7. Có sốnguyên dương n≤1000sao phân số

2

n

+

+ phân số tối giản?

Giải

2

n

+

+ tối giản

2

n

+ ⇔

+ tối giản

2

n 16 23

n

− +

⇔

+ tối giản

23

n

⇔

+ tối giản

Trước hết ta tìm xem có giá trị n (1≤ ≤n 1000)để phân số 23

n+4không tối giản

23

n+4không tối giản ⇔ + ∈n {23; 46; 69; ; 989}, tập hợp gồm

989 23

1 43

23

−

+ = (số) Vậy có 1000 – 43 = 957 (số) làm cho n2

n

+

+ phân số tối giản

Ví dụ Tính giá trị biểu thức:

4 4

1 1

1 15

4 4

A

1 1

2 16

4 4

 +  +  +   + 

     

     

=

 +  +  +   + 

     

     

Giải

Nhân biểu thức dấu ngoặc với ta

( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

4 4

4.1 4.3 4.5 4.15

A

4.2 4.4 4.6 4.16

+ + + +

=

+ + + +

Ta có

( )2 ( )2 ( )( ) ( )2 ( )2

4 2 2

4n + =1 2n +1 − 2n = 2n + −1 2n 2n + +1 2n = n 1− +n  n + n 1+ 

   

Nên ( )( )

( )( ) (( )()( )) (( )()( ))

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

0 1 2 3 14 15 15 16 0 1 1

A

545

16 17

1 2 3 4 15 16 16 17

+ + + + + + +

= = =

+

+ + + + + +

(7)

Ví dụ Rút gọn biểu thức với a > 0: ( )( )

A= a + +1 a + −1 a a + −1

Giải

Đặt ( )( )

2 a + −1 a a + − =1 B

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 2

B =2 a + −1 a+1 a + +1 a=a + +1 2a−2 a+1 a + +1 a + =1 a+ −1 a +1

 

Do a > nên

B= + −a a +1

Vậy ( )

A= a + +1 a 1+ − a +1 = +a

Ví dụ 10 Tìm số hữu tỉ a b cho 1+ nghiệm phương trình

3

x +ax +bx 1+ =0

Giải

Thay 1+ vào phương trình, ta được: (1+ 3) (3+a 1+ 3) (2 +b 1+ 3)+ =1 Rút gọn ta (2a+ +b 6) 3+(4a+ +b 11)=0 ( )1

Vì (1) phải với a b nên 2a b a 2,

4a b 11 b

 + + =  = − ⇔

 + + =  = −  

Ví dụ 11 Cho ( 2) ( )

a a −3b =9

( 2) ( )

b b −3a =13

Tìm giá trị biểu thức 2

a +b

Giải

Từ (1) suy 2( 2 4)

a a −6a b +9b =81

Từ (2) suy 2( 2 4)

b b −6a b +9b =169

Cộng theo vếhai đẳng thức ta

( )3

6 2 2 2 3

a +3a b +3a b +b =250⇒ a +b =250⇒a +b = 250 =5

Ví dụ 12 a) Lập phương trình bậc ba với hệ số ngun, có nghiệm

3

1+ + 1−

b) Đặt 3

m= 1+ + 1− Tính giá trị biểu thức (m3+3m 1− )100

Giải

Gọi 3

m= 1+ + 1−

Đặt

1+ =avà 31+ =bthì a3+b3 =2 ( )1

(8)

Từ đẳng thức ( )3 3 ( )

a+b =a +b +3ab a+b ta có m3 = −2 3m nên m3+3m− =2 Phương trình lập

x +3x− =2 b) Từ câu a suy

m +3m− =2 nên m3+3m 1.− = Do ( )100

m +3m 1− =1

BÀI TẬP Đa thức

1 Chứng minh đẳng thức ( 2)( 2) ( ) (2 )2

a −c b −d = ab−cd − ad−bc

2 Cho a + b +c = 2

a +b +c =14 Tính a4+b4+c

3 Tính tổng chữ số n2, biết n =

50 chu so

n= 99 9

4 Phân tích thành nhân tử:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

8 2 2 2

5 5 7

a) x x 1; b) a b c b c a c a b ;

c) x y x y ; d) a b a b

+ + − + − + −

+ − − + − −

6 Phân tích thành nhân tửphương pháp xét giá trị riêng:

( )5 5

a+ +b c −a −b −c

7 Cho (ad + bc)(ac + bd) = cd a + b = Chứng minh a = 0, b = c = d

8 Cho 2

x −yz=a; y −xz=b; z −xy=c Chứng minh

( )( )

ax+by+cz= a+ +b c x+ +y z

9 Tìm bốn số khơng âm cho số bình phương tổng ba số lại

Phân thức đại số

10 Chứng minh đẳng thức:

(a bb a)(c c) (b c bc)(a a) (c aa)(cb b) a 2b b2c c2a

− + − + − = + +

− − − − − − − − −

11 Cho số a, b, c khác thỏa mãn a + b + c = Tính giá trị biểu thức:

2 2 2 2 2

1 1

A

a b c b c a c a b

= + +

+ − + − + −

12 Cho ax + by = c; bx + xz = a; cz + ax = b a + b + c ≠ Tính giá trị biểu thức:

1 1

x 1+ + y 1+ +z 1+

13 Cho abc = a2 b2 c2 b2 c2 a22

a b

b c a c

+ + = + +

Chứng minh ba số a, b, c tồn số bình phương hai số cịn lại

14 Tính giá trị biểu thức:

a) A 1 1 1 1 ;

1 2 3 100

     

= −  −  −   − 

+ + + + + + + + +

(9)

b) B 99 98 99 98 ;

3 100 99 100 99

     

= + + +  + + +  − + + +  + + + 

     

c) C 42 42 42 42 ;

3 99

     

= −  −  −   − 

     

d) 3 3 3

2 3 3 3

3 41 20

D

2 21 20

+ + + +

= + + + +

− − − −

Căn thức

15 Cho m ≥ Tính x y theo m, biết rằng: x+ −y m = x + y − m

16 Cho dãy số a , a , , a1 nthỏa mãn n n n

a

a 1, a

a

+ −

= − =

+ với n = 1, 2, 3…Tính a100

17 Cho a, b, c sốdương thỏa mãn ab + bc + ca = Rút gọn biểu thức

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2

b c c a a b

A a b c

a b c

+ + + + + +

= + +

+ + +

18 Cho m= 2+33 Lập phưng trình bậc với hệ số nguyên, nhận m làm một nghiệm

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ

Chuyên đềnày sâu vào hai loại phương trình gần gũi với phương trình bậc phương trình bậc hai, bao gồm:

Phưng trình bậc ẩn, có phương trình đưa vềphương trình bậc ẩn phương trình chứa ẩn mẫu thức, phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối

Phương trình bậc hai ẩn, điều kiện đểphương trình có nghiệm, hệ thức Vi-ét Quan hệ đường thẳng parabol thể quan hệ hàm số bậc hàm số bậc hai

Bài tốn cổ

BƠNG SEN TRÊN HỒ

Bài toán Bát –xca-ra (Bhaskara), nhà toán học Ấn Độ (1114 – khoảng 1178) Cành sen nhỏ mọc hồnước

Bơng sen trịn nửa thước nhơ lên Bổng đâu gió thổi sang bên

(10)

Hồ sâu thước, lí nào?

Giải (h.1)

Gọi độ sâu hồlà BC = x (thước), phần sen nhỏ lên mặt hồlà AB = 0, thước Khi bơng sen dạt xuống đến vịtrí D, ta có CD = AC = x + 0,5 (thước)

Ta giác CBD vuông B nên BC2 + BD2 = CD2 Do x2 + 22 = (x + 0,5)2

Giải phương trình trên, ta x = 3,75 Hồnước sâu 3,75 thước

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Cần ý đến dạng phương trình đưa vềphương trình bậc ẩn

1. Phương trình chứa ẩn mẫu thức

Ở dạng này, giá trịtìm ẩn phải thỏa mãn điều kiện cho mẫu thức khác (điều kiện phương trình)

Ví dụ 13 Giải phương trình (a, b tham số):

( ) ( )

2

a x

ax b

x x x

+ − + =

− + −

Giải

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình x≠ ±1

Với điều kiện ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 ⇔ ax x 1− + +b x 1− =a x +1

(a b x) a b ( )2

⇔ + − = + +

Nếu a + b ≠ x a b

a b

+ + =

+ − Giá trị nghiệm

a b

1

a b

1

a b

+ +

 ≠

 + − ⇔ + ≠

 + +

 ≠ −

 + − 

Nếu a b+ =1 trở thành 0x=2, vơ nghiệm

Kết luận:

Với a b+ ≠1 a b+ ≠0, phương trình có nghiệm

1

+ + =

+ −

a b x

(11)

Cịn lại vơ nghiệm

2 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối

Ở dạng này, ta thường khử dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa

0

≥ 

= − < 

A A

A

A A

Ví dụ 14: Một học sinh giải phương trình x+ +1 3x= −5 (1) sau:

1

(1)

1

2

 + = − − = − = −

  

⇔ + = − − ⇔ ⇔ ⇔



+ = + − =

   = −

x x x x

x x

x x x

x

Cách giải có khơng?

Giải:

Giá trị

2

= −

x không thỏa mãn (1) nên loại

Cách giải sau:

Cách Với điều kiện − − ≥3x (2)

1

+ = − − 

+ = − − ⇔  + = + 

x x

Giải trên, loại

2

= −

x trái với (2), chọn x= −2 thỏa mãn (2)

Cách Xét x≥ −1 (1)

⇔ + +x x= − ⇔ = −x , không thỏa mãn x≥ −1 Xét x< −1 (1)⇔ − − +x 3x= − ⇔ = −5 x 2, thỏa mãn x< −1

Kết luận: x= −2

Lưu ý: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

= ± 

= ⇔  ≥ 

f x g x

g x

Ví dụ 15. Tìm giá trị tham sốa đểphương trình 2x a− = +x (1) có nghiệm

(12)

( )

2

(1)

( )

2

 ≥ 

 − = + 

⇔   ≤ 

 − = + 

a x

I

x a x

a x

II

a x x

1

( ) ,

2

1

( ) ,

3

2

= +  

⇔ + ≥ ⇔ ≥ −

≥ 

−  =

 −



⇔ ≤ ⇔ ≥ −

 ≤ 

x a

a

I a a a

x a x

a a

II a

a x

Để (1) có nghiệm

1

2

−  + =

 ⇔ = −

  ≥ − 

a a

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Cần ý đến kiến thức sau:

1) Điều kiện đểphương trình bậc hai có nghiệm ∆ ≥0 2) Hệ thức Vi –ét: Nếu phương trình ( )

0

+ + = ≠

ax bx c a có nghiệm x1và x2

1+ = −

b x x

a = c x x

a

3) Cho phương trình

0

+ + =

ax bx c có a≠0

- Nếu a b c+ + =0 phương trình có hai nghiệm x1 =1 =

c x

a

- Nếu a b c− + =0 phương trình có hai nghiệm x1 = −1 = −

c x

a Ví dụ 16.Cho phương trình 2

2( 1) ( )

− + + + =

x m x m m

Tìm giá trị m để nghiệm x x1, phương trình thỏa mãn

3 − =8

x x Giải

Phương trình cho có nghiệm với m

2

' ( 1) ( )

∆ = m+ − m + m = >

Theo hệ thức Vi-ét, 1+ =2 +2, = +2

(13)

Ta có 2 2 2

(x −x ) =(x +x ) −4x x =(2m+2) −4(m +2 )m =4 nên x1−x2 =2

Ta lại có 2 2 2

1 + 2+ =( 1+ 2) − =(2 +2) −( +2 )=3 +6 + >4

x x x x x x x x m m m m m

Do 3

1 − =2(3 +6 +4)

x x m m

Giải phương trình

2(3m +6m+4)=8 m2+2m= ⇔0 m m( +2)= ⇔ =0 m 0hoặc m= −2 Đáp số: m∈{0; 2− }

Ví dụ 17.Cho phương trình

1

+ + =

x mx Tìm giá trị m để nghiệm x x1, 2 phương trình thỏa mãn 4

1 + =2

x x Giải

Điều kiện đểphương trình

1

+ + =

x mx có nghiệm 2

0 4

∆ ≥ ⇔m − ≥ ⇔m ≥

Theo hệ thức Vi – ét: x1+x2 = −m x x1 =1

Ta có 2 2

1 + =( 1+ 2) −2 = −( ) −2

x x x x x x m nên

4 2 2 2 + =( + 2) −2 =( −2) − =2 −4 +2

x x x x x x m m m

Giải phương trình 4 2

1 + = ⇔2 −4 + = ⇔2 ( −4)=0

x x m m m m

Loại

0

=

m trái với (1), ta m2 = ⇔4 m= ±2

Đáp số: m= ±2

2

5

+ − =

x mx (1)

Và

5x −mx− =1 (2)

a) Chứng minh phương trình có nghiệm

b) Gọi x1 nghiệm dương (1), x2 nghiệm dương (2) Chứng minh 1+ ≥2

x x

Giải

a) Các phương trình (1) (2) có ac<0 nên có hai nghiệm trái dấu b) Do x1 nghiệm (1) nên

2

1

5

+ − = ⇒ + − =

x mx m

x x

2

1 1

5 

⇒   − − = ⇒

(14)

2

1

⇒x = ⇒x x =

x

Do x x1, dương nên x1+x2 ≥2 x x1 =2

2

0

+ + =

x x a (1)

Và

4

+ + =

x x b (2)

Tìm giá trị a b cho nghiệm x x1, 2của phương trình (1) nghiệm 3,

x x phương trình (2) thỏa mãn:

3

= x =

x x

x x x Giải

Điều kiện để (1) (2) có nghiệm

1

4



− ≥ ≤

 ∆ 

 − ≥ 

  ≤

a a

ABC b

b

Đặt 3

= x = =

x x

k x x x

2

2 = 1, = = 1, = =

x kx x kx k x x kx k x

Theo hệ thức Vi – ét:

1+ = − ⇒ +1 1= − ⇒1 1(1+ )= −1

x x x kx x k (3)

2

3+ = − ⇒4 1+ = − ⇒4 1(1+ )= −4

x x k x k x k x k (4)

Từ (3) (4) suy

4

=

k nên k = ±2

- Xét k =2, thay vào (3) 1 1, 2 2, 3 4, 4

3 3

= − = − = − = −

x x x x

Suy

2 32

,

9

= = = =

a x x b x x , thỏa mãn

4

≤

a b≤4

Đáp số: 2, 32

9

= =

a b a= −2,b= −32

III QUAN HỆ GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho parabol

( 0)

= ≠

y ax a đường thẳng y=mx n+ Hoành độ giao điểm

parabol đường thẳng nghiệm phương trình = +

ax mx n hay ax2−mx− =n

(15)

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đường thẳng cắt parabol Nếu phương trình (1) có nghiệm kép đường thẳng tiếp xúc với parabol Nếu phương trình (1) vơ nghiệm đường thẳng khơng giao với parabol

Ví dụ 20. Cho parabol =

y x Gọi A B hai điểm thuộc parabol có hoành độ theo

thứ tự a b Gọi C điểm thuộc parabol có hồnh độ a b+ Chứng minh

rằng OC song song với AB

Giải. (h.2)

Kẻ AE, BF, CK vng góc với Ox, kẻ AH vng góc với BF

Ta có 2

( ; ), ( ; ), ( + , ( + ) )

A a a B b b C a b a b

Đường thẳng AB có hệ số góc = = 2− = + −

BH b a

m b a

AH b a

Đường thẳng OC có hệ số góc = =( + )2 = + +

CK a b

n a b

OK a b

Do m=n nên AB/ /OC

Ví dụ 21. Cho parabol

= −x

y đường thẳng d có phương trình y= +x Tìm tọa

độcác điểm A B cho A thuộc parabol, B thuộc đường thẳng d độ dài AB nhỏ

Giải. (h.3)

Gọi d'là đường thẳng có phương trình y= +x k d'/ /d

Điều kiện để d' tiếp xúc parabol phương trình

2

4

−x = +x k, tức

4

+ + =

x x k (1)

có nghiệm kép

' 4

∆ = ⇔ − k= ⇔ =k

Đường thẳng d' song song với d tiếp xúc với parabol có phương trình y= +x

Tiếp điểm d' parabol A( 2; 1)− −

Ta lập phương trình đường thẳng d1 qua A vng góc với d

Gọi phương trình d1là y=mx n+

Do d1⊥d nên m.1= −1, m= −1

(16)

Đường thẳng d1 có phương trình y= − −x

Giải phương tình x+ = − −4 x x= −3, 5; y= + = −x 3, 4+ =0,

Tọa độgiao điểm B d d1 ( 3, 5; 0, 5)−

Điểm A( 2; 1)− − thuộc parabol, điểm B( 3, 5; 0, 5)− thuộc đường thẳng d độ dài AB

nhỏ

BÀI TẬP Phương trình bậc ẩn

19. Giải phương trình sau: a) x b c− − + x c− −a+x− −a b =3;

a b c

b) − + − + − =21+ +1 1;

 

x a x b x c

bc ac ab a b c

c) − + − =2

− −

x a x b x b x a

20. Giải phương trình sau: a) x+ + + + + + + =1 x x x 4;

b) x− + − + + + + + + =3 x x x x 12

21 Tìm giá trị a đểphương trình sau có nghiệm nhất:

2

− − − =

x a x

Phương trình bậc hai ẩn

22. Cho phương trình: ( ) ( )( )

x −2 m x+ + m m 3− + =0

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm x , x1 phân biệt

b) Tìm giá trị m để − <2 x1<x2<3

23. Cho phương trình: ( )

x +ax+ =b x2+a x2 −ab=0 ( )2

Tìm giá trị a b để phương trình ( )1 có nghiệm x1 x2, phương trình

( )2 có nghiệm x1−1 x2−1

24. Cho phương trình

x +ax 0− = có nghiệm x1 x2, phương trình

x +bx 0+ = có nghiệm x1 x3 Chứng minh (x1−x2)(x1−x3)=ab

25. Cho phương trình ( ) ( )

m x− + m x+ + =2 với m≠1

Tìm giá trị m để hai nghiệm x , x1 2 phương trình thỏa mãn 2

(17)

26. Cho phương trình ( )

x + m x+ + =2

Tìm giá trị m để hai nghiệm x , x1 phương trình thỏa mãn

2 2

x +x nhỏ

27. Cho phương trình ( ) ( )

x − 2m x+ − m +2 =0

Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn 2

x x

A

x x

+

= (x , x1 nghiệm

phương trình)

28. Cho bốn phương trình với a, b, c khác đơi một:

( )

( ) ( )

2

x ax (1) x bx c

x cx b x x a

+ + = + + =

Biết phương trình ( )1 ( )2 có nghiệm chung m, phương trình ( )3 ( )4 có nghiệm chung n

a) Tính m n

b) Tính tổng a+ +b c

Quan hệ parabol đường thẳng 29. Cho parabol

y=x đường thẳng d có phương trình y=mx 3+

a) Chứng minh đường thẳng d cắt parabol hai điểm A, B phân biệt b) Tìm giá trị m đểđộ dài AB nhỏ

30. Cho parabol y x2

= đường thẳng d có phương trình y=mx+2

a) Chứng minh đường thẳng d cắt parabol hai điểm A, B phân biệt b) Tìm giá trị m để tam giác OAB có diện tích

31. Cho parabol y x2

= đường thẳng d có phương trình y= +x

a) Chứng minh đường thẳng d cắt parabol hai điểm A, B phân biệt b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB parabol cho tam giác ABC có diện

tích lớn

32. Cho parabol

y=x đường thẳng d có phương trình y= +x n

a) Tìm giá trị n đểđường thẳng d cắt parabol hai điểm A, B phân biệt b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh với giá trị n thỏa mãn

điều kiện câu a điểm I chuyển động đường thẳng cốđịnh

33. Cho parabol

y=x Gọi M N điểm thuộc parabol có hồnh độ theo thứ tự

là −1 Gọi A C điểm thuộc parabol có hồnh độ theo thứ tự −2

3

− Vẽ dây AB CD parabol qua điểm I 0;1( ) Gọi giao điểm AC

(18)

b) Tìm tọa độcác điểm P Q c) Chứng minh IP=IQ Chuyên đề

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nội dung hệphương trình chuyên đề bao gồm: - Hệphương trình bậc hai ẩn

- Hệphương trình bậc cao hai ẩn - Hệphương trình ba ẩn, bốn ẩn

Các phương pháp thường dung để giải hệphương trình là: - Phương pháp

- Phương pháp cộng - Phương pháp đặt ẩn phụ

- Phương pháp dùng bất đẳng thức

Đại số Số học

CÁCH GIẢI ĐẠI SỐ GIÚP TÌM RA CÁCH GIẢI SỐ HỌC

Bài toán

Anh Việt từA đến B gặp bạn hẹn Anh nói với bạn rằng:

- Nếu tơi với vận tốc vận tốc km / h sẽđến B sau hẹn giờ, cịn tơi với vận tốc nhiều vận tốc 10 km / h sẽđến B trước hẹn

Bạn tính thời gian anh Việt quãng đường AB

Giải tốn cách lập hệ phương trình

Gọi vận tốc anh Việt quãng đường AB v km / h( ), thời gian quãng đường AB t (giờ)

Trong trường hợp thứ nhất, vận tốc v km / h− ( ), thời gian t+2 (giờ)

Ta có phương trình: (v 6− )(t+2)=vt

Trong trường hợp thứ hai, vận tốc v 10 km / h+ ( ), thời gian t−2 (giờ)

(19)

Giải hệphương trình:

( )( )

v t vt vt 2v 6t 12 vt

vt 2v 10t 20 vt

v 10 t vt

− + =

  + − − =

 ⇔

  − + − =

+ − = 



2v 6t 12 4t 32 v 30

2v 10t 20 v 3t t

− = = =

  

⇔ ⇔ ⇔

− + = − = =

  

Thời gian anh Việt quãng đường AB

Tìm cách giải số học cho tốn

Để tìm cách giải toán phương pháp số học, ta thực biến đổi đại số khác với cách giải đôi chút

Cách giải đại số Cách giải số học

Gọi vận tốc anh Việt đoạn AB

( )

v km / h , thời gian anh Việt đoạn AB t (giờ)

Gọi vận tốc thời gian trường hợp thứ v1 t1

Gọi vận tốc thời gian trường hợp thứ hai v2 t2

Giả sửcó xe xe từ A với thời gian anh Việt đoạn AB

Ta có: vt=v t1 1=v t , v2 −v1=6, v2− =v 10

1

t − =t 2, t− =t

( )

1 1 1

v t =vt⇒v t+2 =vt⇒v t+2v =vt (1)

( )

2 2 2

v t =vt⇒v t−2 =vt⇒v t−2v =vt (2)

Xe chậm anh Việt km / h( ) Xe nhanh anh Việt 10 km / h( )

Khi anh Việt đoạn AB thì:

xe đoạn AC (chưa đến B), xe đoạn AD (đi B)

Xe tiếp đoạn CB gần giờ, xe đoạn BD

Ta có: v2−v1=(v2−v) (+ v−v1)=10 16+ =

nên v( 2−v1)=2.16=32 (3)

Do vận tốc xe lớn vận tốc xe là:

( )

10 16 km / h+ =

nên đoạn BD dài đoạn CB là:

( )

16.2=32 km

(20)

Từ (1) suy ra: 2v1=(v−v t1) =6t (4)

Từ (2) suy ra: 2v2 =(v2−v t) =10t (5)

Giả sử với thời gian anh Việt đoạn AB, có xe đoạn CB, xe đoạn BD thì:

vận tốc xe km / h( ), vận tốc xe 10 km / h( ) Từ (4) (5) suy ra:

2

2v −2v =10 6t− ⇒2v −2v =4t. (6)

Vận tốc xe (đi BD) lớn vận tốc xe (đi BC) là:

( )

10 6− =4 km / h Từ (3) (6) suy ra:

32

4t 32 t

4

= ⇒ = =

Vậy thời gian xe CB (cũng thời gian xe BD, thời gian anh Việt AB) là:

32= =4 (giờ)

Thời gian anh Việt đoạn AB

Để tìm cách giải số học, cần tạo đại lượng tương ứng với biểu thức đại số sử dụng phương pháp giải thiết tạm:

- Tạo xe xe có vận tốc tương ứng với trường hợp trường hợp 2, với thời gian thời gian t mà anh Việt đoạn AB

- Có sựtương ứng

( )

1 2

AB=vt, AC=v t, AD=v t, CB=2v , BD=2v , BD CB− =2 v −v

- Tạo r axe đoạn CB, xe đoạn BD với thời gian t nói Từđó, tính thời gian t cách lấy hiệu quãng đường BD CB mà xe xe (là 32 km) chia cho hiệu vận tốc hai xe (là 10 6− =4 km / h)

- Trong biến đổi đại số cần giảm bớt biến đổi trung gian giữ lại biểu thức liên quan đến số liệu đềbài để tạo sựtương ứng với giải số học

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Ví dụ 22. Cho hệphương trình ( )

( ) ( )

x my 1

2mx m m y

+ = 



+ − =



Tìm giá trị m để hệphương trình:

(21)

Giải:

a) Với m=0 ( )2 0x+0y=3, vơ nghiệm Với m≠0, điều kiện để hệ có nghiệm

( )

m m 2m

2m m m

1 m

−

≠ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ −

Vậy giá trị m để hệ có nghiệm m≠0 m≠ −1 b) Với m=0 hệphương trình vơ nghiệm

Với m≠0, điều kiện để hệ vô nghiệm

( )

m m

2m 1

2m m m

1 m 3

−

= ≠ ⇔ = − ≠ ⇔ = −

Vậy giá trị m để hệ vô nghiệm m=0 m= −1

Lưu ý: Có thể giải cách rút x từ ( )1 thay vào ( )2 rút gọn

( )

m m y+ =2m 3−

Với m≠0 m≠ −1 hệ có nghiệm Với m=0 m= −1 hệ vơ nghiệm

( ) ( )

2

1 2

x y m

mx m y m

+ =

− + = +

 



Tìm giá trị để hệphương trình có nghiệm ( )x y, thỏa mãn tích xynhỏ

Giải:

Rút từ ( )1 ta y= −m 2x Thay vào ( )2 ta

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

2

1 2

3 2 2

3 2 3

3

2

1

mx m m

mx m m m x m

m x m m m

m x m m

m x

− + = +

⇔ − + + + = +

⇔ + = + + +

⇔ + = + +

−

Nếu

m≠ − hệphương trình có nghiệm

2

x m

y m

= + 

 = −



Khi ( )( )

2

2 9

1 2

2 4

xy= m− m+ =m − − =m m−  − ≥ −

 

( )

min

4

xy = −

2

m= (thỏa mãn

3

m≠ − )

(22)

Hệ phương trình bậc cao hai ẩn khơng học thức chương trình đại số9, kiến thức hệphương trình (bậc hai ẩn) phương trình bậc hai ẩn ta giải phương trình bậc cao hai ẩn

Các phương pháp thường dung để giải hệ phương trình bậc cao hai ẩn phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dung bất đẳng thức

1 Phương pháp

Trong phương pháp thế, từ phương trình ta biểu thị ẩn theo ẩn (hoặc tìm giá trị ẩn) thay thếvào phương trình cịn lại

( )

3 2

3

- -

xy x y

x y x y x y

− − =

+ =

 



Giải:

( ) ( 2)( )

2

0

x y

x y x y

x y

= 

⇔ + − = ⇔ 

= = 

Loại x= =y 0vì khơng thỏa mãn ( )1

Thay vào ( )1 ta x2−4x− = ⇔ = ±1 x 5

Đáp số: Nghiệm hệ (2+ 5, 2+ , 2) ( − 5, 2− 5)

Ví dụ 25. Giải hệphương trình ( )

( )

4

1

7

x y

x y x y

+

 =

− = − 





Giải:

Thay x+ =y 1vào ta ( )2 (x2+y2)(x−y)=7x−y

( )( )

( ) ( )

2

1

0

2

3

xy x y x y

x

x y xy

y xy

⇔ − − = −

= 

⇔ − − = ⇔ 

− − = 

Với x=0 y=1

Với x≠0 thay ybởi 1−xvào ( )3 ta

2

2 1

2

x

x x

x

=   − − = ⇔

 = − 

Đáp số: Nghiệm ( )x y, hệ ( ) (0,1 , 2, ,) 3,

2

 

− − 

 

2.Phương pháp cộng

Trong phương pháp cộng, ta cộng trừ vếhai phương trình để khử ẩn để tìm quan hệ hai ẩn

( )

3

1 1

x y

y x

− = − = 





Giải:

Lấy ( )1 trừ ( )2 ta 3 ( ) ( )( 2 )

2

(23)

Do

2 2

2

y y

x +xy+y + =x+  + + >

  nên y=x

Thay y=x vào ( )1 ta đượcx3− =1 2x

( )( )

3

1 2 1

1

2

x x x x x

x x

⇔ + − = ⇔ + − − =

=  

⇔ ±

 = 

Đáp số: Nghiệm ( )x y, hệ ( ) 5 5

2 2

1, , ,  , , 

− −     

  

− −



+ +

Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, thay y x thay x y phương trình ( )1 trởthành phương trình ( )2 , phương trình ( )2 trở thành ( )1 Ta gọi phương trình hệđối xứng loại II

Để giải hệphương trình đối xứng loại II, ta trừ vế theo vếhai phương trình nhận phương trình tích

3.Phương pháp đặt ẩn phụ

( )

2

2 20

x y xy

x y

+ − = − + = 





Giải:

Đặt x+ =y a xy, =b ta có

( )

( ) ( )

2

2 20

x y xy a b a b x y xy

+ − =

  − =

 ⇔

 

− =

+ − = 

 



Từ ( )1 ( )2 suy 2( 2) 20 2 24

a

a a a a

a

=  − + = ⇔ − − = ⇔ 

= − 

Với a=6 b=8 Ta có x y nghiệm phương trình X2−6X + =8 nên

{ }2,

X∈ Khi ( )x y, ( ) ( )2, , 4,

Với a= −4 b= −2 Ta có x y nghiệm phương trình X2+4X − =2 nên

2

X = ± Khi ( )x y, (2− 6, 2− , 2) ( + 6, 2+ 6)

Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, x thay y , thay ybởi x hệ

phương trình hệđều khơng đổi Ta gọi hệphương trình hệđối xứng loại I

Để giải hệphương trình đối xứng loại I, ta thường đặt ẩn phụ (giữa a b có

mối quan hệ

4

b > a )

Ví dụ 28. Giải hệphương trình 23 32 1

x y

+ = + = 



 Giải:

(24)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

3 3

2

1

1 3 1

x y xy a b

x y

x y x y xy x y a ab

+    + =  − = − = + = + − =  ⇔ − + ⇔        =  Từ ( )1 suy

2

1

a

b= − Thay vào ( )2 ta

( )( )2

3

2

3

3 1 2

2

a

a aa a a a a

a = −  − = ⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ = −  

Với a=1 b=0 Ta có x y nghiệm phương trình X2−X =0 nên X∈{ }0,1 Khi ( )x y, ( ) ( )0,1 , 1,

Với a= −2

2

b= Ta có x y nghiệm phương trình 2

X + X + = vô

nghiệm (có thể loại a= −2

2

b= a2 >4b )

Đáp số: Nghiệm ( )x y, hệ ( ) ( )1, , 0,1 Cách 2: Trừ vế theo vếhai phương trình, ta

( ) ( ) ( )

3 2

0 1

x −x +y −y = ⇔x x− +y y− =

Do 2

1

x +y = nên x2 ≤1 suy x≤1 Tương tự y≤1 Suy 2( )

1

x x− ≤ y2(y− ≤1)

Kết hợp với( )3 suy x2(x− =1) y2(y− =1) Vậy x=0,y=1 x=1,y=0

Ví dụ 29. Giải hệphương trình

2

1

12 y x x y − = + =     

Giải:

( )

( )2 ( )

2

5

1

12

1

x y

xy

y x

x y x y xy

    − = − = + = + − = ⇔      

Đặt a=xy từ ( )1 ta có 12

x− =y a Thay vào ( )2 ta

2

5

2

12a a

  + =

 

 

2

12

25 288 144 25

12 a a a a  =  ⇔ + − = ⇔  = − 

Với 12 25

a= 12

12 25

x− =y =

Ta có ( )

2 24 49

1

25 25

x+y = + a= + = =   

(25)

Từ

7 5

x y x y

 + =    − = 

ta

4 5

x y

 =    = 

Từ

7 5

x y x y

 + = − 

  − = 

ta

3 5

x y

 = −    = − 

Với a= −12 (x+y)2 = +1 2a= −1 24=<0(loại)

Đáp số: Nghiệm ( )x y, hệ 3, , 3,

5 5

  − − 

   

   

( )

2 2

3

2 12

x xy y

− +

 =

− + = 





Giải:

Nhân hai vế ( )1 với ( )4 trừđi ( )2 vế theo vếta

( 2) ( 2) 2

4 x −xy+y − 2x −xy+3y = ⇔0 2x −3xy+y =0

Đặt k x y

= y=x ta

1

2 1

2

k

k k

k

=   − + = ⇔

 = 

Với k =1 thay vào ( )1 tađược x2−x2+x2 = ⇔ = ±3 x Khi (x y; ) ( 3; ;) (− 3;− 3 )

Với

k = thay vào ( )1 ta x2−2x2+4x2 = ⇔ = ±3 x Khi (x y; ) ( ) (1;2 ; − −1; )

Đáp số: Nghiệm (x y; ) ( 3; ,) (− 3;− 3 ; 1;2 ;) ( ) (− −1; )

Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, phương trình có vế trái hạng tử bậc hai, vế phải số Ta gọi hệphương trình trê hệđẳng cấp bậc hai

Để giải hệphương trình đẳng cấp bậc hai, thường khử số chia hai vế phương trình cho y2 ≠0 đặt ẩn phụ x k

y = biến đổi ( )3 thành

(x−y)(2x−y)=0

4 Phương pháp dùng đẳng thức:

Ví dụ 31. Giải hệphương trình sau với x, y không âm ( ) ( )

( )

2

3

6

x xy x y

y x y xy

 + + =

 

+ + − = −



Giải:

cộng (1) với (2) 2 ( ) ( )

6

(26)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 8

1

x y x y xy xy

x y x y xy

⇔ + + + + =

⇔ + + + =

Do x y, không âm nên x+ ≥y xy x, + ≥1 x y, + ≥1 y

Nên (x+y)(x+1)(y+1) (x+y)(x+1)(y+ ≥1) 8xy 4( ) Do (3) nên (4) phải xảy dấu đẳng thức, tức x= =y Nghiệm ( )x y; ( )1;1

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN Ví dụ 32 Giải hệ phương trình

2 2 2

x x y

y y z

z z x

 = −  = −   = −  Giải 2 2 2

x x y

y y z

z z x

 = −  = −   = −  ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 x y y z z x  − = −  − = −   − = −  Đặt 1− =x a; 1− =y b,1− =z c, ta có

2 2 a b b c c a  =  =   = 

nên

a =b =c =a, a8− =a 0⇔ ( )

1

a a − = ⇔

1 a a =   = 

Vậy a= = =b c a= = =b c

Nghiệm (x y z; ; ) (0; 0; 0), (1;1;1)

Ví dụ 33 Giải hệphương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

4

x y z

y z x

z x y

 + = −  + = −   + = −  Giải

Từ ( )1 suy 4z− ≥1 nên

4

z≥ Tương tự,

4

x≥

4

y≥

Do , ,

x y z≥ nên từ hệđã cho ta có

4

x y z y z x z x y

 + = −  + = −   + = − 

(27)

⇔ 4x+4y+4z−2 4z− −1 4x− −1 4y− =1

( ) (2 ) (2 )2

1 4x 1 4y 1 4z

⇔ − − + − − + − − =

4x 4y 4z 1

⇔ − = − = − =

2

x y z

⇔ = = =

Nghiệm (x y z, , ) 1 1; ; 2

 

 

 

Ví dụ 34 Giải hệphương trình

( ) ( )

2 2 2

2 1

2

x y x

y z y

z x z

 = +

 = + 



= +

 Giải

Cách 1.Từcác phương trình cho ta thấy x y z, , =0 Nếu ba số x y, , z hai sốkia Xét trường hợp x y, , z dều dương

( ) 2

1

1 x

x y

+

⇔ = ⇔ 12 ( )4

x y

+ − =

Tương tự ( )2 12 ( )5

y z

⇔ + − =

( ) ( )

1

3

z x

⇔ + − =

Từ ( ) ( ) ( )4 , , suy

2

1 1

x y z

 

 −  + − + −  =

     

     

1 1

x y z

⇔ − = − = − = ⇔ x= = =y z 1 Thế vào hệ thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm (x y z, , ) (0; 0; 0), (1;1;1)

Cách 2.Từcác phương trình cho ta thấy x y z, , ≥0

Nếu ba số x y, , zbằng hai số Xết trường hợp x y, , zđều dương Nhân ( ) ( ) ( )1 , , theo vếta

( )( )( )

2 2 2

8x y z =xyz x +1 y +1 z +1 ⇔ ( )( )( ) ( )

1 1

x + y + z + = xyz

Ta lại có

2 2

1

x x

y y

z z

+ ≥ > + ≥ > + ≥ >

Nên ( )( )( ) ( )

1 1

x + y + z + ≥ xyz

(28)

Nghiệm (x y z; ; ) (0;0;0 , 1;1;1) ( )

Ví dụ 35: cho hệphương trình

( ) ( ) ( )

3 3

3 1

3

3 3

x y y y z z z x x

 = − +



= − +



 = − +



Chứng minh rằng: a) x y z, , dương b) x= = =y z

Giải

a) Từ ( )1 có

2 2 1

3 3

2

x = y − + =y y−  + >

  ⇒

3

0

x > ⇒ x>0

Tương tự từ ( )2 ( )3 suy y>0,z>0

b) cộng ( ) ( ) ( )1 , , theo vếta (x−1) (2+ y−1) (2+ z−1)2 =0 ( )4

giả sử x<1 x3<1⇒

3y −3y+ <1 1⇒3y y( − <1) Do y>0 nên y− <1 ⇒ y<1

Do y<1⇒

1

y < ⇒3z2−3z+ <1 1⇒3y y( − <1) Do z>0 nên z<1

Do x<1,y<1,z<1 nên ( )4 không xảy ra, loại

Giả sử x>1 Ta suy y>1,z>1 nên (4) không xảy Loại Vậy x=1 Từ (1) suy y=1 Từ (3) suy z=1

Do x= = =y z

BÀI TẬP Hệ phương trình bậc hai ẩn

34. Cho hệphương trình ( )

( )

1

x m y

m x y m

+ − = 



+ − = +



Tìm giá trị m để nghiệm (x y; ) hệphương trình thỏa mãn x−2y có giá trị

lớn

35. Một người mang số tiền mua táo Nếu táo giảm nghìn đồng tảo số táo mua tặng thêm Nếu gia táo tăng thêm 2nghìn đồng số táo mua giảm Tính giá táo

Hệ phương trình bậc cao hai ẩn 36. Giải hệphương trình:

a) 2 2

3

xy x y

x xy y

− − = − 

 + − =

(29)

b)

( )

7

xy x y

xy x y

+ − = 

 − =



37. Giải hệphương trình:

a) 2

2

x y x

x y xy

 + + =  + + =  b) 2

2

x x y y

xy y  − + =   − = 

38. Giải hệphương trình: a) 33

3 x y y x  − =   − = 

b) 22 2

2 12

x xy y

x xy  − + =   + = 

39. Giải hệphương trình: a) ( ) ( )

( )( )

2 2

1 24

1

x y xy

 + + =   + + =  b) 2 2 1 1 16 x y x y x y x y  + + + =    + + + = 

40. Tìm giá trị m để hệphương trình có nghiệm nhất:

a) 22x 22y xy m

x y m

+ + = 



+ =



b) x22 y33 my

y x mx

 = + 



= +



41. Tìm giá trị m để hệphương trình có nghiệm:

a)

( )( )

2

1

x y x y

xy x y m

 + + + = 



+ + =



b) ( )( )

( )

2

xy x y m

x y x y m

+ + =

 

+ + + = +



42. Cho hệphương trình 2 2

1

x y xy m

x y xy m

+ + = 



+ = − 

Tìm giá trị m để hệphương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn x<0, y<0

43. Giải hệphương trình a)

5 14

x y xy y z yz z x xz

+ + =   + + =   + + = 

b)

(30)

44. Giải hệphương trình a) 2 2 21

2 17

x y z

x xy y

 + + =  + + =

 b)

2 2 3

1

x y z

 + + = 



+ + =



45. Tìm sốdương x ,y ,z cho:

3

1 1

3

x y z x y z

+ + = 



 + + =



46. Giải hệphương trình: a)

2 2

4

x y

y z

z x

 = − 

= − 

 = − 

b)

3 3

6 12

x y y

y z z

z t t

t x x

 = − +



= − +

 

= − + 

 = − + 

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA, PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Các toán chuyên đề bao gồm nội dung sau: - Phương trình bậc ba ẩn

- Phương trình bậc bốn ẩn - Phương trình dạng phân thức

Các phương pháp thường dùng để giải phương trình là:

- Phân tích đa thức thành nhân tử, ý đến việc phát nghiệm đa thức đểđưa vềphương trình tích

- Đặt ẩn phụ

- Đưa phương trình dạng 2

A =B

30 đề toán giải phương trình bậc ba, làm hai Và kết thật khó tin: Tac-ta-li-a thắng với tỉ số 30 0− , tức ông làm hết 30 tốn mà đối phương đưa ra, cịn đối phương khơng giải tốn ông

Sở dĩ Tac-ta-li-a giành chiến thắng tuyệt đối vì, may cho ơng, ngày trước diễn trận so tài, ông tìm cách giải phương trình bậc ba dạng

3

0

x +ax b+ = với a b bất kì, học trị Fe-rơ biết giải

phương trình

x +ax=b với a b sốdương

Lưu ý Phương trình bậc ba dễdàng đưa

0

y +my +ny+ =c , sau

bằng cách đặt

3

m

(31)

Chẳng hạn, với phương trình

6 315

y + y + y− = , cách đặt y= −x ta đưa phương trình

4 315

x − x− =

Bạn đọc muốn tìm hiểu thêm vấn đề này, xem Nâng cao phát triển Toán tập hai đọc thêm Phương trình đại số bậc cao

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA MỘT ẨN

Để giải phương trình bậc ba ẩn, ta thường phân tích đa thức bậc ba thành tích nhân tử bậc nhân tử bậc hai (nếu có thể)

Cần nhớ cách phát nghiệm đa thức:

1) Nếu tổng hệ số đa thức nghiệm đa thức

2) Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ

− nghiệm đa thức 3) Nếu đa thức có hệ số ngun thì:

- Nghiệm nguyên đa thức (nếu có) ước hệ số tự - Nghiệm hữu tỉ đa thức (nếu có) có dạng p

q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số bậc cao (chẳng hạn đa thức 3x3−x2+ +x có nghiệm hữu tỉ

3

−

)

Ví dụ 36. Giải phương trình: a)

12 16

x − x+ = b) x3−12x+9

Giải

a) 3

12 16 12 24

x − x+ = ⇔ x − − x+ = ⇔(x−2)(x2+2x+ −4) 12(x−2)=0

( )( ) ( ) (2 )

2

x x x x x

⇔ − + − = ⇔ − + =

4

x x

=  ⇔  = −



b) 3

12 27 12 36

x − x+ = ⇔ x − − x+ = ⇔(x−3)(x2+3x+ −9) 12(x− =3)

( )( )

2

3

3 3

3

x

x x x

x x

− =  ⇔ − + − = ⇔ 

+ − = 

3

3 21

2

x x

=  

⇔ − ±

 = 

Ví dụ 37. Tìm giá trị a b đểphương trình sau có nghiệm nhất:

( ) (3 )3 3

x a− − −x b =b −a (1)

Giải

( ) 2 3 2 3

1 ⇔x −3x a+3ax −a −x +3x b−3xb +b =b −a

( ) ( 2)

3b 3a x 3a 3b x

⇔ − + − = ⇔x b a( − )(x b a− − )=0

Nghiệm phương trình x=0 với điều kiện a≠b a+ =b

Ví dụ 38. Giải phương trình với a, b tham số (a b+ +x)3−4(a3+b3+x3)=12abx (1)

Hướng dẫn: Đặt a+ =b m, a b− =n

(32)

Ta có ( ) (2 )2 2

4ab= a b+ − a b− =m −n

( ) ( )2 2 2

3 3

4 4

m n m n m mn

a +b = a b+  a b− +ab=m n + − =m + = +

 

( ) ( )3 ( 3)

1 ⇔ m+x −4 a +b −4x −12abx=0

3 2 3 2

3 3 3

m m x mx x m mn x m x n x

⇔ + + + − − − − + =

( ) ( ) ( )( )( )

2

0

x x m n x m x m x n x n

⇔ − − − = ⇔ − + − =

x m x a b x n x b a x n x a b

= = +

 

 

⇔ = − ⇔ = −

 =  = −

 

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN MỘT ẨN

Ngồi cách giải đưa vềphương trình trùng phương, cách phân tích đa thức thành nhân tửđểđưa vềphương trình tích, cần ý đến phương pháp sau:

1. Phương pháp Đặt ẩn phụ để đưa phương trình trùng phương Dạng 1a

Với phương trình ( ) (4 )4

x+a + x b+ =c đặt ẩn phụ

2

a b y= +x +

Dạng 1b

Với phương trình

4

x + x +ax +bx c+ = b=2a−8 đặt ẩn phụ y= +x

Dạng 1c

4

x − x +ax +bx c+ = b= −8 2a đặt ẩn phụ y= −x

Ví dụ 39. Giải phương trình

4 12

x + x + x − x− = (1)

Giải

Đặt y= +x x= −y Ta có

( ) ( )4 ( )3 ( )2 ( )

1 ⇔ y−1 +4 y−1 +3 y−1 −2 y− −1 12=0

Rút gọn 2

5

3 10

2

y

y y y

y

 =

− − = ⇔ ⇔ = ±  = −



Đáp số: x= − ±1

2. Phương pháp Đặt ẩn phụ đa thức bậc hai Dạng 2a

Với phương trình ( )( )

ax +bx c+ ax +bx+d =m ta đặt y=ax2+bx (hoặc

2

c d

y=ax +bx+ + )

Dạng 2b (trường hợp đặc biệt dạng 2a)

Với phương trình (x+a)(x b+ )(x c+ )(x+d)=m a+ = +d b c, ta tính

(x+a)(x+d) (x b+ )(x c+ ) đưa dạng 2a

Ví dụ 40. Giải phương trình: ( ) (2 )( )

(33)

Giải

Nhân hai vế phương trình với ta (8x+7) (2 8x+6 8)( x+ =8) 56 Đặt 8x+ =7 y ta có y2(y−1)(y+ =1) 56⇔ y4−y2−56=0

2

8

2

y

y y

 =

⇔ ⇔ = ±  = −



Do 2

8

x= − ±

3. Phương pháp Đặt ẩn phụ sau chia hai vế phương trình cho x

Dạng 3a

Với phương trình đối xứng

0

ax +bx +cx +bx+ =a ta chia hai vế cho x2 đặt

1

y x

x

= +

Dạng 3b

0

ax −bx +cx −bx+ =a ta chia hai vế cho x2 đặt y x x

= −

Dạng 3c

Với phương trình đối xứng 2

0

x +ax +bx +akx+k = ta chia hai vế cho x2 đặt k

y x

x

= +

Dạng 3d

Với phương trình ( )( )

ax +bx c ax+ +dx c+ =mx ta chia hai vế cho x2, từđó xuất

hiện cách đặt ẩn phụ

Dạng 3e(trường hợp đặc biệt dạng 3d)

Với phương trình ( )( )( )( )

x+a x b+ x+c x+d =mx , ad =bc, ta tính

(x+a)(x+d) (x b+ )(x c+ ) đưa dạng 3d

6

x +x − x − x+ = (1)

Giải

Do x≠0 nên (1)

2

6

x x

⇔ + − − + =

2

4

6

x x

   

⇔ +  + − − = 

  (2)

Đặt x y x

− = 2

4

x y

x

+ = + Ta có

( ) ( )

2

y

y y y y

y

=  ⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ 

= − 

Với y=1 ta có 2 2

x

x x x

x x

= −  − = ⇔ − − = ⇔ 

= 

Với y= −2, ta có x 2 x2 2x x

x

− = − ⇔ + − = ⇔ = − ±

Đáp số: Bốn nghiệm −1; 2; − ±1

Ví dụ 42. Giải phương trình ( )( ) ( )2

(34)

Giải

Đặt x− =1 y x= +y Thay vào (1) rút gọn

( )( )

2y −3y+1 2y +5y+ =1 9y

Chia hai vế cho

0

y ≠

2

2 1

9

y y y y

y y

y y y y

  

− + + +

= ⇔ − +  + + =

  

Đặt 2y 1 a y

+ + = ta có (a−4)(a+4)= ⇔ = ±9 a

Với a=5 1 2 2

y y y y

y

± + + = ⇔ − + = ⇔ =

Do

2

x= ±

Với a= −5 2y 1

y

+ + = −

2

y y y − ±

⇔ + + = ⇔ =

Do

2

x=− ±

Đáp số:Phương trình có bốn nghiệm

2

± ;

2

− ±

4. Phương pháp Thêm một biểu thức vào hai vếđểđưa phương trình về dạng

2

A =B

2

x = x − x+

Giải

Cộng

2x +1 vào hai vếđược x4+2x2+ =1 4x2−8x+ ⇔4 (x2+1)2 =(2x−2)2

( ) ( )

2

1 2

1 2 2

x x

x x x x



 + = − − + =



⇔ ⇔



 + = − + − =

 

(1) Vơ nghiệm; (2) có nghiệm − ±1

Đáp số: Hai nghiệm − ±1

III. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC

Một sốcách thường dùng giải phương trình dạng phân thức: - Nhân hai vế với mẫu thức chung đưa vềphương trình tích - Chia tử mẫu phân thức cho x đặt ẩn phụ

- Đưa phương trình dạng A2=B2

- Đặt hai ẩn phụ giải hệphương trình

( )

2

1

x

x x

= −

+ (1)

Giải

(35)

( ) ( ) (2 )

1 ⇔x = x+1 4− x ⇔4x +6x −2x− =3

( ) ( ) ( )( )

2

2x 2x 2x 2x 2x

⇔ + − + = ⇔ + − =

3 2

x

 = −   ⇔

 = ± 

thỏa mãn ĐKXĐ

Đáp số: Ba nghiệm:

− ;

2

±

Cách 2. ( )

( )

2

1 2 4

1

x

x x x x x

x

⇔ + + − + = − +

+

( )

2

1

x

x x

x

 

⇔ + −  = −

+

 

3

1

2

1

x

x x

x x x

x

  + − = − = −



 +



⇔ ⇔

  + − = −  = ±

 +

 

Ví dụ 45. Giải phương trình:

22 2 22 2 ( )1

3

x x x x

− − − − − =

− − − −

Giải:

Chia tử mẫu phân thức cho x≠0

( )

2

1

2

3

x x

− − − −

⇔ − =

− − − −

Đặt x y x

− = , ta có ( )2

3

y y

− −

− =

− −

Với y≠3,y≠5 thì:

( ) (2 ⇔ y−2)(y− −5) (y−3)(y−4) (=2 y−3)(y−5) ( )2

4

y y

⇔ − = ⇔ = , thỏa mãn

Từ x

x

− = , ta

4 2

x − x− = ⇔ = ±x

Đáp số: Hai nghiệm: 2±

( )2

1 1

(36)

ĐKXĐ: x≠0 x≠4

Đặt: 4− =x y Ta có hệphương trình:

2 2 2

4

1 1

2

x y x y

x y

x y x y

+ =

+ = 



 ⇔

+

 + =  =

 

 

Đặt xy= ≠a 0, ta có:

( )2

2

x y a

a

+ −

= nên 2

32 4 32

8

a

a a a a

a

=  − = ⇔ + − = ⇔ 

= − 

Với xy = x, y nghiệm pương trình

2

4 2

X − X + = ⇔ X = ±

Đáp số: Ba nghiệm: 2; 2 3.±

( )2 ( )

2

1

4

x − x+ =

Giải:

ĐKXĐ: x≠0 x≠ −1

( )

( )2

1 1 1

1

1 1

x x x x x x

⇔ − + + =

+ + +

( )

2

1 1

2

1

x x x x

 

⇔ −  + − =

+ +

 

( ) ( )

2

1

2

1

x x x x

 

⇔  + − =

+ +

 

Đặt ( )

1 y

x x+ = ta có

2

1

5 2

2

5

2

y

y y y y

y

 = 

+ − = ⇔ + − = ⇔ 

 = − 

Với

y= ( 1) 2 2

x

x x x x

x

=  + = ⇔ + − = ⇔ 

= − 

Với

y= − ( 1) 5 2

x x+ = − ⇔ x + x+ = , vô ngiệm

Đáp số: Hai nghiệm: -2

BÀI TẬP Phương trình bậc ba

47. Giải phương trình: a)

39 70 0;

x − x+ =

b)

9 28 0;

x − x+ =

c)

2 0;

(37)

d)

3 0;

x − x + x+ =

e)

6 12 0;

x + x − x+ =

48. Giải phương trình: ( 3)

3

x − abx+ a +b = với a, b tham số, a≠b

Phương trình bậc bốn 49. Giải phương trình:

a)

4 14 0;

x − x − x + x+ =

b) (x+1 2)( x+1 3)( x+1 6)( x− =1) 120;

c)

14 0;

x − −x x − x+ =

d) ( )( )

3 18 168

x + x+ x + x+ = x 50. Giải phương trình:

a) ( 2 )4 4 2( 2 )2

1 ;

x − +x + x = x x − +x

b) 2 ( ) (3 )4

1 2;

x + x+ + x+ =

c)

2 64 255 0;

x − x − x− =

d) ( )( )

2

x + x− x − x+ = 51. Cho phuong trình

2x −4x + =1 Khơng tìm ngiệm cụ thể, hãy: a) Chứng minh phương trình có bón nghiệm phân biệt b) Tính tổng bình phương nghiệm phương trình

Phương trình dạng phân thức 52.Giải phương trình:

a) 2 22 1;

3 1

x x x

x x x x

− + =

− + + +

b)

( )

2

9

16;

x x

x

+ =

−

c)

( 2 ) (2 2 )2

1

;

1

x x x x

+ =

− + − +

d)

4

2

1

x

x x

+ = − +

53.Giải phương trình: a)

( )

2

2 16 8;

1

x

x x x+ = − +

b)

( ) (2 )2

2

1

(38)

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Ta gọi phương trình chứa thức bậc hai phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Đây dạng toán thường gặp kì thi học sinh giỏi địi hỏi thành thạo sáng tạo học sinh

Chuyên đề giới thiệu phương pháp thường dùng để giải phương trình chứa thức bậc hai như:

- Bình phương hai vế phương trình - Đưa phương trình dạng Α = Β2 - Đưa phương trình dạng Α + Β =2 - Đặt nhân tử chung

- Dùng biểu thức liên hợp - Dùng bất đẳng thức

Bài tốn cổ

BÀI TỐN CỦA BÁT-XCA-RA

Tìm cạnh góc vng tam giác vuông, biết số đo cạnh huyền số đo diện tích biểu thị số

Giải

Gọi x y độ dài cạnh góc vng độ dài cạnh huyền 2

x +y diện

tích

xy

.ta cs phương trình:

2 2

2

xy

x y xy x y

= + ⇔ = +

( ) ( )

2 2 2 2 2

4

4 4

4

y

x y x y x y y x

y

⇔ = + ⇔ − = ⇔ =

−

Bài tốn có vơ sốđáp số

2

2 ;

y y y

 

 

 − 

  với y tùy ý lớn

Chẳng hạn với y = 6, ta có: x=2

I. BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Bình phương hai vế phương trình giúp khử dấu bậc hai Phép bình phương hai vế phương trình tương đương có thêm điều kiện hai vếcùng khơng âm (hoặc khơng dương)

( )

2 16 1

(39)

Giải

ĐKXĐ:

16

x≥ − Thêm điều kiện x2− − ≥x (2) thì:

( ) ( 2 )2 ( )

1 ⇔ x − −x =4 16x+1

2 60

x x x x

⇔ − − − =

( )( )

5 12

x x x x

⇔ − + + =

• x = loại trái với (2)

• x = thỏa mãn (1) (2)

•

3 12

x + x+ = vơ nghiệm

Đáp số: Phương trình có nghiệm x = Lưu ý: Cách giải khác, xem ví dụ 53

( )

5

x + x+ = x+

Giải

ĐKXĐ:

x≥ − Thêm điều kiện x2+5x+ ≥6 (2) thì:

( ) ( 2 )2 ( )

1 ⇔ x +5x+6 =4 3x+4

( )2( 2 )

1 20

x x x

⇔ + + + =

• x = -1 thỏa mãn (1) (2)

•

8 20

x + x+ = vô nghiệm

Đáp số: Một nghiệm x = -1

Lưu ý: Các cách giải khác, xem ví dụ 55, 65, 74

II. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG Α = Β2 2( tức 2

0

Α − Β = )

( )

4x +8x= 2x+6

Giải

ĐKXĐ: x≥ −3 Cộng 61

x+ vào hai vế

( ) 1

1 10 6

4

x x x x

⇔ + + = + + + +

2

5

2

x x

   

⇔ +  = + + 

   

Xét 2

2

x+ = + x+ ⇔ x+ = x+

2

1 3 17

4

2

x

x x

≥ −

 − +

⇔ ⇔ =

+ − =

 , thỏa mãn ĐKXĐ

Xét 6

2

(40)

 ≤ − − − 

⇔ ⇔ =

+ + = 

1,5 5 13

4 10

x

x x thỏa mãn ĐKXĐ

Đáp số: Hai nghiệm: − +3 17 5;− − 13

4

Ví dụ 51 Giải phương trình: a) x2−10x−12 2= x+3

b) 2x2+ − =x 2x+3

Giải

a) ĐKXĐ ≥ −3

2

x , Cộng 8x+13vào hai vếđược

( )

( ) ( )

− + = + + + +

⇔ − = + +

2

2 4

1 2

x x x x

x x

Xét − = + + ⇔ − = + ⇔  ≥

− − = 

2

1 2 2

12

x

x x x x

x x

⇔ = +x 11 thoảmãn ĐKXĐ

Xét − = − − + ⇔ = − + ⇔ ≤ ⇔ = − − − =



0

1 2 2

8 12

x

x x x x x

x x , thỏa mãn

ĐKXĐ

Đáp số: Hai nghiệm: 11; 7.+ −

b) ĐKXĐ ≥ −3

2

x Nhân hai vếcuat phương trình với

+ − = +

2

4x 2x 2x

Cộng2x+7vào hai vế, ta có4x2+4x+ =1 2x+ +3 2x+ +3

(2x+1)2 =(2+ 2x+3)2

Xét 2x+ = +1 2x+ ⇔3 2x− =1 2x+3

 ≥

+

 ⇔ =



 − − = 

1

3 17

4

2

x

x x

thỏa mãn ĐKXĐ Xét 2x+ = − −1 2x+ ⇔3 2x+ = −3 2x+3

 ≤ −

 ⇔ = −



 + + = 

3

3 ,

2

x

x x

thỏa mãn ĐKXĐ Đáp số: hai nghiệm: =3+ 17

4

x ; −3

2

(41)

( )

+ − = +

4x x 2x 1

Giải

ĐKXĐ: ≥ −1

2

x

( )1 ⇔x2−4x− = −1 2x+1

Cộng 2x+2 vào hai vếđược x2−2x+ =1 2x+ −1 2x+ +1

( ) ( )

⇔ x−1 2= −1 2x+1

Xét x− = −1 2x+ ⇔ − = −1 x 2x+1

 ≤

 ⇔ = −



− + = 

2

3 6,

x

Xét − = − + + ⇔ = + ⇔  ≥

− − = 

0

1 2

2

x

x x x x

x x

⇔ = +x 2,thỏa mãn ĐKXĐ Đáp số: Hai nghiệm: 3− 6;1+

Ví dụ 53 Giải ví dụ 48 cách đưa dạng A2 =B2

− − = +

2

4x 4x 8 16x

Giải

ĐKXĐ: ≥ −

16

x Nhân hai vế phương trình với

− − = +

2

4x 4x 8 16x

Cộng 16x+17 vào hai vếđược 4x2+12x+ =9 16x+ +1 16x+ +1 16

( ) ( )

⇔ 2x+3 = 4+ 16x+1

Xét 2x+ = +3 16x+ ⇔1 2x− =1 16x+1

 ≥  ⇔ 

 − =



1

4 20

x

x x

⇔ =x 5, thỏa mãn ĐKXĐ Xét 2x+ = − −3 16x+ ⇔1 16x+ = −1 2x−7

 ≤ −  ⇔ 

+ + = 

3,5

3 12

x

x x Vô nghiệm

Đáp án: nghiệm x=5

Ví dụ 54 Giải phương trình

− + = −

2

2x 3x x x3

(42)

ĐKXĐ: ≥2

3

x

− + = − ⇔ = − + −

2

2x 3x x x3 2x 3x x x3

Do ≥

3

x nên = + − ⇔ =2 −2

2

x x x x x

 ≥  =



⇔ ⇔ =

− + =

 



0

2

x x

x

Đáp số: Hai nghiệm:

Lưu ý Cách giải khác, xem Ví dụ 59

III ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG A2+B2 =0

Ví dụ 55 Giải ví dụ 49 cách đưa dạng A2+B2=0

+ + = +

2 5 6 3 4

x x x

Giải

( ) ( )

+ + = +

⇔ + + + + − + + =

⇔ − + − + =

 + = 

⇔ ⇔ = −

+ = 

2

5

2 4

1

3

x x x

x x x x

x x

x

x x

Đáp số: Một nghiệm x= −1

IV ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Ví dụ 56 Giải phương trình

( )

− + + =

2 2 2 4 2 1

x x x x x

Giải

ĐKXĐ: x≥0

( )1 ⇔ x2−2x+ 2x2+4x =2 x

Ta thấy x=0thỏa mãn phương trình ( )1

Xét x≠0 Chia hai vế phương trình cho xđược

( )

− +2 +2 =2

x x x

Bình phương hai vế, ta

( )( )

( )( ) ( )

+ + + − =

⇔ + − = −

3 2 2

2 2 2

x x x x

x x x

(43)

+ = − ⇔ = −18

2

7

x x x không thỏa mãn x≥0 Đáp số: hai nghiệm :

V ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ 57: Giải phương trình

+ + +1 + =1

2

x x x

Giải

ĐKXĐ: ≥ −1

4

x

Đặt + = ≥1

x y = 2−1

4

x y Ta có

 

− + + + = ⇔ − +  +  =

 

− ±

⇔ − + + = ⇔ + − = ⇔ =

2

2 2

2

1 2 1 2

4 4

1 2 4 4 7 0 2

4 2

y y y y y

Do y≥0 ta chọn =2 1.−

2

y Từđó x= −2

Đáp số: Một nghiệm x= −2 Ví dụ 58 Giải phương trình

( ) ( )

− + = − +

2

5x 2x 4x x 1 Giải

Đặt x2+ = >1 a a2 =x2+1 Ta có

( ) ( ) ( )

⇔ + − − + + −

⇔ − − + − =

2 2

2

1 1

4 2

x x x x x

a x a x x

Xét phương trình ( )2 với ẩn a, tích hai nghiệm 2x x( −1 ,) tổng hai nghiệm bằng

−

4x 1nên a=2xhoặc a=2x−1

Với a=2x + = ⇔ ≥ ⇔ = =



2

0 3

1

3

x

x x x

x

Với a=2x−1

( )

 ≥ 

+ = − ⇔ ⇔ =

 − =



2 1 2 1 12 4.

3

x

x x x

x x

Đáp số: Hai nghiệm: 4; 3

(44)

Website:tailieumontoan.com

43

− + = −

2

2x 3x x x3

Giải

ĐKXĐ: ≥2

3

x

Đặt 3x− = ≥2 a 3x− =2 a2 Ta có

( )

− − = −

⇔ + − =

2

2 3

2

x x x x

a xa x

Xét phương trình (1) với ẩn a, tích hai nghiệm -2x.x, tổng hai nghiệm –x nên a=x a =- 2x

Với 4; 3

− =

 ≥  =



⇔ ⇔ =

− + =

 



3

0

2

x x

x

x x

Thỏa mãn ĐKXĐ Xét a= −2 ,x ≥

3

x nên a<0,loại Đáp số: Hai nghiệm:

( ) ( )

+ = +

3

10 x x

Giải

ĐKXĐ: x≥ −1

Đặt x+ = ≥1 a 0, x2− + = >x b 0,ta có

+ = + + − + = +

2 1 1 2.

a b x x x x Khi

( )1 ⇔10ab=3(a2+b2)⇔(a−3b)(3a b− =)

Với a=3bthì x+ =1 x2− + ⇔x 9x2−10x+ =8 0, vô nghiệm

Với 3a b= x+ =1 x2− + ⇔x x2−10x− = ⇔ = ±8 x 33 thỏa mãn ĐKXĐ Đáp số: hai nghiệm: 5± 33

Ví dụ 61: Giải phương trình sau

(2x−1 10 4) − x2 = −5 x ( )1

Giải

ĐKXĐ: 2≤

4

x

Đặt 2x− =1 a, 10 4− x2 = ≥b 0

( )

+ = − + + − = −

2 4 4 1 10 4 11 4 2

a b x x x x

(45)

Từ (2) (3) suy a2+b2−2ab=11 4− x−2 2( − x)=1

( )

⇒ −a b = ⇒ − = ±1 a b

Với a b− =1thì 2x− −1 10 4− x2 =1

 ≥ 

⇔ − = − ⇔ ⇔ =

− − = 

2

1 3

2 10

2

4

x

x x x

x x Thỏa mãn ĐKXĐ

Với a b− = −1thì 2x− −1 10 4− x2 = −1

 ≥  ≥

 

⇔ = − ⇔ ⇔ ⇔ =

− = = ±

 

 

2

0

0 5

2 10 5 ,

2

4

2

x x

x x x

x x

Đáp số: Hai nghiệm:

2và 52

Ví dụ 62: Giải phương trình

− − + = −

2x x 2x

Giải

ĐKXĐ: ≥

2

x

Đặt 2x− = ≥1 a 0, x+ = ≥1 b 0, ta có ⇔  − = − − = −  2

2

a b x

a b x

Suy a b− =2(a2−b2)⇔(a b− )(2a+2 0.b− =)

Với a b= 2x− = + ⇔ =1 x x 2, thỏa mãn ĐKXĐ Với 2a+ b=1thì 2x− +1 x+ =1

Phương trình vơ nghiệm với ≥

2

x 2x− ≥1 x+ >1 1,vế trái lớn Đáp số: nghiệm x=2

Lưu ý: Cách giải khác, xem ví dụ 66

− + + − + = +

2

2x 3x 10 2x 5x x

Giải

ĐKXĐ: ⇔2x2−3x+10 0,2≥ x2−5x+ ≥4

Đặt ⇔ 2x2−3x+10 = ≥a 0, 2x2−5x+ = ≥4 b Ta có  + = +

− = +  2

3

a b x

a b x

(46)

Với a b+ =0 a b= =0 x= −3, khơng thỏa mãn ĐKXĐ Với a b− =2thì 2x2−3x+10 2= + 2x2−5x+4

Bình phương hai vế rút gọn

Đáp số: Hai nghiệm: 15

7

Lưu ý: Cách giải khác, xem ví dụ 67

− = −

1 5 12 x x

Giải

ĐKXĐ: x2<1,x≠0

Đặt 1−x2 = >y 0thì 1−x2 =y2

Ta có

 − =

 

 + =

 2

1

12

y x x y

Giải hệphương trình với y>0 ta

x= (xem ví dụ 29)

Đáp số: Một nghiệm

x=

VI DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP

Phương pháp dùng biểu thức liên hợp gọi phương pháp khửcăn thức tử, thường dùng

A B A B

A B

−

− =

+ (1),

A B A B

A B

−

+ =

− (2)

Trong công thức (1) (2), nhân chia vế trái với biểu thức liên hợp nó, ta vế phải Mục đích việc khửcăn thức tử nhằm làm xuất nhân tử chung

Ví dụ 65 Giải ví dụ 49 cách dùng biểu thức liên hợp

2

5

x + x+ = x+ (1)

Giải

 ≥ −

 = 

 ≥ −

  = 

− + = + ⇔ ⇔ ⇔

 = − + =

 

  = 

 

2

1

1 1

2 15

7 22 15 15 7

7

x

x x

x x x

x

x x

(47)

ĐKXĐ:

x≥ − Với nhận xét −1 nghiệm, ta biến đổi

( ) ( )( )

( )( ) ( )

1 2

1 4

2

1

3

6

1

3

x x x

x

x x

x

⇔ + + + = +

⇔ + + = + −

+ −

⇔ + + =

+ + +

⇔ + + =

+ +

Rõ ràng x= −1 thỏa mãn phương trình

Với x≠ −1 ta có

1

x

+ =

+ + (2)

Với x> −1 (2) có vế trái lớn 3, vế phải nhỏhơn 3,vô nghiệm

Với

3 x

− ≤ < − (2) có vế trái nhỏhơn 3, vế phải lớn 3,vô nghiệm

Đáp số: Một nghiệm x= −1

Lưu ý. Cách giải khác xem ví dụ 74

2x− −1 x+ =1 2x−4 (1)

Giải

ĐKXĐ:

2

x≥ Với nhận xét nghiệm (1), ta nhân chia vế trái (1) với biểu

thức liên hợp

(2 1) ( 1) ( ) ( )

2 2

2 1 1

x x x

x x

x x x x

− − + −

= − ⇔ = −

− + + − + +

2

x= thỏa mãn (1)

Với x≠2 ta có

2x− +1 x+1= (2)

Do

x≥ nên x+ >1 Phương trình (2) có vế trái nhỏhơn 1, vế phải nên vô nghiệm

Đáp số: Một nghiệm x=2

2

2x −3x+10+ 2x −5x+ = +4 x (1)

Giải

ĐKXĐ: 2

2x −3x+10≥0, 2x −5x+ ≥4 Nhân chia vế trái (1) với biểu thức liên hợp

được

( ) ( )

2

2 10

3

2 10

x x x x

x

x x x x

− + − − +

= +

(48)

( )

2

3

2 10

x

x x x x

+

⇔ = +

− + − − +

2

1

2x 3x 10 2x 5x

⇔ =

− + − − + (vì x+ ≠3 0)

2

2 10

2 10 2

x x x x

⇔ − + − − + =

⇔ − + = + − +

2

1

2 15

7 22 15

7

x x

x x x

=  ≥

 

− + = + ⇔ ⇔

 =

− + =

 

Đáp số: Hai nghiệm: 15

Lưu ý Khi nhân chia vế trái (1) với biểu thức liên hợp vế trái, ta nhân chia

với 2

2x −3x+10− 2x −5x+4, phải có điều kiện khác 0, tức 2x+ ≠6 hay x+ ≠3

2

x+ − − =x x − x+ (1)

Giải

ĐKXĐ: − ≤ ≤2 x Với nhận xét nghiệm (1), ta biến đổi

( ) ( ) ( )

1 ⇔ x+ − + −2 3−x =x −6x+8 (điều kiện x≠ −3)

Nhân chia biểu thức dấu ngoặc với biểu thức liên hợp ta

( 2) (3 ) ( )( )

2

x x

+ − − −

+ = − −

+ + + −

( ) 1

2

x x

 

⇔ −  + + − =

+ + + −

 

Do − ≤ ≤2 x 3 nên 4− >x 0, biểu thức dấu ngoặc thứhai dương

Vậy x− = ⇔ =2 x 2, thỏa mãn ĐKXĐ

Đáp số: Một nghiệm: x=2

1

x− x− = x+ − x+ (1)

Giải

ĐKXĐ: x≥1

Nhân chia biểu thức dấu ngoặc với biểu thức liên hợp ta

( ) ( ) ( )

( )

1

1 8

5

x x x x

x x x x x x x x

x x x x

− − + − −

= ⇔ =

+ − + + − + − + + −

⇔ + − = + + −

Cộng (1) với (2) theo vếđược

6

3 (3)

x x x

+ − = +

(49)

Do x≥1 nên x+ ≤8 x+8x = 9x=3 x,

Để xảy (3) 8

1

x

x x

=

 ⇔ =



− =

 , thỏa mãn (1) Đáp số: Một nghiệm: x=1

( 1+ −x 1)( 1− + =x 1) 2x (1) Giải

ĐKXĐ: − ≤ ≤1 x Nhân chia 1+ −x 1với biểu thức liên hợp

(1 ) 1( ) ( 1)

1 2

1 1

x x x

x x

− +

+ −

− + = ⇔ =

+ + + +

Hiển nhiên x=0 thỏa mãn (1)

Với x≠0ta có

1

2

1

x x

− + = + +

Đặt 1+ = ≥x a 0, 1− = ≥x b 0, ta có

2 2

1 1( )

2

5

1 1

2 5

b a l

a a a

a a b

+ = −

 = 

 + ⇒ + − = ⇒

  =

 + = 



Với

a= 1 25

x

+ = nên 24 25

x=− , thỏa mãn ĐKXĐ

Đáp số: Hai nghiệm: 0và 24

25

−

2 2

3 2

x + −x x − = x − − −x x + (1)

Giải

ĐKXĐ: 2

0; 0; 2

x + ≥x x − ≥ x − − ≥x

Nhân chia vế với biểu thức liên hợp

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

3 2

1

3

3 2

x x x x x x

x

x x x x x x

+ − − − − − +

=

+ + − − − + +

 

⇔ +  + =

+ + − − − + +

 

Biểu thức dấu ngoặc thứhai dương nên x+ = ⇔ = −3 x 3, thỏa mãn ĐKXĐ

Đáp số: Một nghiệm:x= −3

Lưu ý:Phương trình ( )1 có dạng A− B = C − D, A B− = −D C

VII DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 72: Giải phương trình

2

3 7

x− + − =x x− −x (1)

(50)

ĐKXĐ: 3≤ ≤x

Gọi vế trái (1) A, vế phải B

Ta có ( )2 ( )( )

3 7

A = x− + −x = + x− −x ≥ nên A≥2

Mặt khác, ( )2

2

B= − x− ≤

Vậy phải có A= =B Xảy x=3

2

3 18

x− + − =x x − x+ (1)

Giải:

ĐKXĐ: 3≤ ≤x

Áp dụng bất đẳng thức ( )2 ( 2 2)

2

a b+ ≤ a +b , ta có

( )

2

A ≤ x− + −x = nên A≤2

Mặt khác, ( )2

4 2

B= x− + ≥

Vậy phải có A= =B Xảy x=4

Ví dụ 74. Giải Ví dụ 49 cách dùng bất đẳng thức:

2

5

x + x= = x+ (1)

Giải

ĐKXĐ:

3

x≥ −

Ta có B=2 3x+ =4 3( x−4)≤ +1 3x+ =4 3x+5;

( )2

5 5

A=x + x+ = x+ + x+ ≥ x+

Phải có 1,

1

x

A B x x

x

+ = 

= = + ⇔ ⇔ = − = −

 thỏa mãn ĐKXĐ

Đáp số: Một nghiệm x= −1

3 x+ +1 x− =1 4x+1 (1)

Giải

Cách (dùng bất đẳng thức) ĐKXĐ: x≥1

Gọi vế trái (1) A, vế phải (1) B Ta có

3

A= x+ + x−

( ) ( )

2 3.2

4 4

x x x  x  x B

= + + + − ≤ + + +  − + = + =

(51)

9

5

,

1

x

A B x

x

 + = 

= ⇔ ⇔ =

 − = 

thỏa mãn ĐKXĐ

Đáp số: Một nghiệm

4

x=

Cách 2.(dùng biểu thức liên hợp)

(1) 3

2

x x x

⇔ + − + − − = −

3

2

x x x

   

⇔  + − +  − − = −

   

9

3

4

3

1

2

x x

x

x x

 + −   − − 

   

   

⇔ + = −

+ + − +

5 3

4

3

4 1 1

2

x x

 

 

   

⇔ −  + =  −    + + − +   

 

5

x= thỏa mãn (1)

Với

4

x≠ 3

3

1

2

x x

+ =

+ + − + (2)

Gọi vế trái (2) A Phương trình (2) vơ nghiệm vì: -Nếu

4

x> A 3

3

< + = -Nếu

4

x< A 3

3

> + =

4

x=

Cách 3.(đưa dạng 2

0

A +B = )

Đặt x+ =1 a, x− =1 b 2

2

a +b = x a2−b2 =2

Ta có ( 2)

3a+3b=2 a +b +1

2

2a 3a 2b 3b

⇔ − + − + =

2 2

3

4

a a b b a b

   

⇔ − + +  − + + − − =

   

2

3

2

a b

   

⇔ −  +  −  =

(52)

3

5

2

1

2

a x

x

b x

 =  + =

 

⇔ ⇔ ⇔ =

 =  − =

 

 

4

x= Ví dụ 76. Giải phương trình

( )( ) ( )

3 3

3

x

x x x

x

+

− + − − = −

− (1)

Giải

ĐKXĐ: x≤ −1 x>3

• Xét x>3 Khi ( 3) ( 3)( )

x

x x x

x

+

− = − +

−

Đặt (x−3)(x+ =1) y y( ≥0)

(1)

4

3

y

y y

x

=  ⇔ − + = ⇔ 

= 

Với y=1 2 2

1 5, (L)

x

x x x x

x

 = + − − = ⇔ − − = ⇔ 

= − 

Với y=3 2 3 2 12 13

1 13, (L)

x

x x x x

x

 = + − − = ⇔ − − = ⇔ 

= −  • Xét x≤ −1 Khi ( 3) ( 3)( )

3

x

x x x

x

+

− = − − +

−

Đặt (x−3)(x+ =1) y y( ≥0)

(1) 1, (L)

4

3, (L)

y

y y

x

= −  ⇔ + + = ⇔ 

= − 

Đáp số: Hai nghiệm: 1+ 5,1+ 13

( 2) ( 7) ( 23 )

x x− + x x− = x x− (1)

Giải

ĐKXĐ: x≥23 x≤0 Xét khoảng giá trị x

-Xét x≥23, chia hai vế (1) cho x

2 23

x− + x− = x−

( )( )

14 2

x x x

⇔ + + − − = , vô nghiệm x≥23 -Với x=0, thỏa mãn (1)

-Với x<0, chia hai vế (1) cho −x

2 x x 23 x

(53)

( )

2

3 64 140 70

3

x

x x

x L

= − 



⇔ − − = ⇔

 =  Đáp số: Hai nghiệm −2

Bài tập

Giải phương trình (từbài 54 đến 66)

54.a)

7 7;

x + x+ = b) 1x2+ x+ =1;

c)

12x + +x x+ =1 36; d) x2 −6x− =2 2x+5;

e)

3 5x− =3 x −2x+3; g) 8+ x−8x2 = 2−x;

h)

3x+ = −1 4x +13x−5; i) 8x2− =1 2x 2x+3

55. a)

6 26

x − x+ = x+

b) x+ −5 x+ = +1 x

56. a) 2

2 15 3

x + x− − x − x = x−

b) 2

2x −2x− +2 x+ =2 2x+ +1 x −4;

c) 2 1( )

( 2 ;

4

x x x x x x

√ − + + + = + + +

57. a) ( )

5 4;

x − x+ = x− x − x+

b) ( )3 2 3

2 x+2 =6x+3x −x ; c)

( )

2

4

2

x x

+ = +

+

58. a) x=( x+2 1)( − 1− x)2;

b) ( )2

1 2;

x x x

x

− + − =

c)

1+ +x 3− x = 4x +1;

d) 56

16

x x

x

+ + − = 59. a)

2 4 ;

x + x+ = x + x

b) ( )2 ( 4 2 )

4 x+1 = x +x +1

60. a) x− −3 x+ =5 2x−8;

b) 2

4x +2x+ −3 x + =1 4x−2

61. a) x+ +1 3− −x (x+1 3)( −x)=1; b) x 1 x

x x x

− − − − = 62. a) 2

16 8;

(54)

b) 3

10 3;

x + − x + = x+

c) 2

1

x − + x + x+ = x+

63. a)

2 5;

x+ x+ = − x + x+

b) 10 18 3−x + 5−x =

64. a)

3 7;

x− + − +x x− = x − x+

b) ( )( )

2x+ −1 x+2 2x +5x+ +2 =2x−2;

c) 2 2

3

x + x+ − x + x+ = x + − x + x−

65. a) ( )( )

2x − + =x x +2 x − +x ;

b) 2

2x +4x+ +6 x −2x + = −2 2x−x ;

c) 2

1 2;

x + − +x x−x + =x − +x

d) 2

3x +3x+ x−x =2x+1

66. a) x x( − +1) x x( +2) = x x( +3 ;)

b) 2

1

x − + x + − =x x −x

67. Giải hệphương trình

4

x y z y z x z x y

+ =   

−

+ = −

+ = 

 −

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC, BẬC BA, BẬC BỐN

Nội dung chuyên đề bao gồm:

• Phương trình chứa ẩn dấu bậc ba

• Phương trình chứa ẩn dấu bậc bốn

Chúng ta thấy điểm giống điểm khác cách giải phương trình so với phương trình so với phương trình chứa thức bậc hai ởChun đề

Thử trí thơng minh

VÌ SAO THỪA NGHIỆM?

(55)

( )

3 2x− +3 x− =2 1. 1

Bạn giải sau:

Lập phương hai vếta

( ) ( ) ( ) 3( )( ) (3 ) ( )

1 ⇔ 2x− +3 x−2 +3 x−2 2x−3 2x− +3 x−2 =1

Thay 2x− +3 x−2 vào (2) ta được:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

3

2 2 3

3 2 2

⇔ − + − − =

⇔ − − = − ⇔ − − = −

x x x

x x x x x x

( )( ) ( )3 ( )( )2

2 2

2

= 

⇔ − − = − ⇔ − − = ⇔ 

= 

x

x x x x x

x

Nhưng thay x = vào (1) lại -2 = (!)

Thu không hiểu lại vậy, bạn giải thích giúp

Giải

Tất phép biến đổi tương đương, trừ phép biến đổi ( ) ( )2 ⇔

Ta có ( ) ( )2 ⇒ Khi thay32x− +3 x−2 1, xuất nghiệm ngoại lai x =

1

Do đó, sau tìm x = x = 2, phải thửvào (1) để chọn x = loại x = Phương trình (1) có nghiệm x =

I. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC BA

Một sốphương pháp thường dùng để giải phương trình chứa thức bậc ba: - Lập phương hai vế phương trình

- Đặt ẩn phụ

- Dùng biểu thức liên lợp, tức khửcăn thức tử thức cách nhân chia với biểu thức liên hợp:

3

3 3 3

3 3

;

+ + =

− +

− − =

+ +

A B

A AB B

A B

A AB B

- Dùng bất đẳng thức

Ví dụ 78 Giải phương trình3 2x− +3 x− =2 1 ( )1 cách khác, cách

lập phương hai vế phương trình

Giải

Ngồi cách giải nói trên, cịn có số cách khác

Cách 2.Đặt 3

2x− =3 a, x− =2 b Ta có:

3

1

2

 + =  = ⇔

 −  =

 

a b a

a b b Từđó x =

(56)

Với x > 32x− >3 1và x− >2 0 nên vế trái (1) lớn 1, x > khơng

thỏa mãn (1)

Với x < 2x− <3 1 x− <2 0 nên vế trái (1) nhỏ 1, x <

không thỏa mãn (1)

Vậy x = nghiệm (1)

3 − =1 2 23 +1.

x x

Giải

Đặt

2x+ =1 y ta có

3

1

 − = 

− = 

x y

y x

Giải hệphương trình (xem Ví dụ26) ta x = -1

± =

x Đáp số: Ba nghiệm: -1 ;

2

±

Ví dụ 80 Giải phương trình: 3( )2 3 2 3 ( )2

2 2

− + − = +

x x x

Giải

Đặt 3

2 , b

− = + =

x a x ta có:

( )( )

2

+ − = ⇔ − + =

a ab b a b a b

Với a = b x – = x + 2, vơ nghiệm

Với a = - 2b 2 23 2 2 8 16 14.

9

− = − + ⇔ − = − − ⇔ = −

x x x x x

( ) ( )

32x+ −1 33x− =2 2x−6 x−1. 1

Giải

ĐKXĐ: x≥1

Với nhận xét nghiệm (1), ta nhân chia vế trái (1) với biểu thức liên hợp được:

( ) ( )

( )2 ( )( ) ( )2 ( )

3 3

2

2 3

+ − −

= − −

+ + + − + −

x x

x x x x

( )

2

3

2

−

⇔ = − −

+ +

x

x x

a ab b với

3

2 1,

= + = −

a x b x

Ta thấy x = thỏa mãn (1) Với x ≠ ta có ( )

2

1

2

+ − =

+ + x

a ab b

Vì (2) có vếtrái dương nên vơ nghiệm

Đáp số: Một nghiệm x =

II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC BỐN Ví dụ 82 Giải phương trình x+21+4 61− =x 4.

(57)

ĐKXĐ: -21 ≤ x ≤ 61

Đặt 4

21 61

+ = − =

x a x b ta có ( )

( )

4

82

4

 + = 

 + = 

a b

Thay b = – a vào (1) ta được:

( )4 ( )4

4

4 82 82

+ − = ⇔ + − =

a a a a

Đặt a – = y ta có ( ) ( ) ( )

2 4 4 2

2

1

2 82 24 25

25

 =

+ + − = ⇔ + − = ⇔ 

= − 

y

y y y y

y loai

Với y = a = 3, ta có

21 60

+ = ⇔ =

x x

Với y = - a = 1, ta có x+21 1= ⇔ = −x 20

Đáp số: Hai nghiệm: - 20 60

2

4

1 2− x+ 2+ x+ 4− x =3

Giải

ĐKXĐ: 1

2

− ≤ ≤x

Đặt 2− x = ≥a 0, 2+ x = ≥b ta có a+ b+ ab =3 Ta chứng minh a+ b+ ab ≤3

Thật vậy, ta có 1, 1,

2 2

+ + +

≤ a ≤ b ≤ a b

a b ab nên a + b+ ab ≤ + +a b Ta lại có 1 1 ;

2

+ −

= − = − ≤ x = −

a x x x

1

1 1 ;

2

+ +

= + = + ≤ x = +

b x x x

Nên a + b ≤ 2, suy a + b + ≤ (3)

Theo đề bài, phải xảy dấu (3), tức

1

0,

1

− = 

 + =

 ⇔ =

 =   = 

x x

x a

b

thỏa mãn điều ĐKXĐ

BÀI TẬP

Giải phương trình (từ 68 đến 70): 68.a) 3

2 3 ;

+ = −

x x

b) 3

2 ;

2

+ − = x

x

c) 3

8 ;

+ + − =

x x

d) 3 x+ +6 x− =1 x2 −1.

69 a) 3

7+ x + 9− x =4 ;

b) 3 3

3 ;

− + + = +

(58)

c) 3 3

2x+ +1 2− +x x+ =2 2x+5 ;

d) ( )2 ( )2 3 2 5+x +23 5−x =3 25−x .

70 a) 4

20− +x x− =3 3;

b) 4 x− +1 4− −x 4(x−1 4)( −x) =1 ;

c) 4 4

8x− +1 9x+ =1 x

Chuyên đề

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG ĐA THỨC

Bất đẳng thức toán cực trị nội dung quan trọng hấp dẫn Các toán chuyên đề bao gồm:

• Bất đẳng thức dạng đa thức, cách chứng minh bất đẳng thức, bất đẳng thức thơng dụng, có bất đẳng thức Cơ-si bất đẳng thức B-nhi-a-cốp-xki

• Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng đa thức với biến nhiều biến

Vài nét lịch sử

CÔ – SI VÀ BU-NHI-A-CỐP-XKI

Cô – si (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857) là nhà toán học Pháp, Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pa-ri

Ơng có 800 cơng trình nhiều lĩnh vực Số học, Đại số, Giải tích, Cơ học, Quang học, Thiên Văn học Ơng xây dựng nhiều vấn đề lí thuyết cách chặt chẽ, khoa học, giúp cho Tốn học có bước tiến đnags kể

Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân n số khơng ân

1

+ + + +

≥

n n

n a a a a

a a a a n

Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cô – si đưa cách chứng minh độc đáo, ông người đề xuất bất đẳng thức

(59)

Bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki với hai n số (a a1, 2, ,an) (b b1, 2, ,bn)

( 2 2)( 2 2) ( )2

1 n n 1 2 n n

a +a + +a b +b + +b ≥ a b +a b + +a b

Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cô – si – Bu – nhi – a – cốp – xki – Svac, Cơ – si đề xuất bất đẳng thức đó, Bu – nhi – a – cốp – xki mở rộng kết cho tích phân, cịn Svac (Schwarz, nhà toán học Đức, 1843 – 1921) mở rộng kết cho khơng gian vectơ

Bài tốn thực tế Khu đất nhốt gia súc

Bác Tâm có lưới sắt dài 60 ,m bác muốn dùng lưới căng thành ba đoạn thẳng

, ,

AB BC CD với tường có sẵn làm thành hình chữ nhật ABCD để nhốt gia

súc

Hãy tính độ dài AB đểkhu đất hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn Giải

Đặt AB=CD=x (mét) BC =60 − x

Diện tích S hình chữ nhật ABCD

( ) 2 ( 2 ) ( 2 ) ( )2

60 2 60 30 30 225 450 15 450 450

S =x − x = − x + x= − x − x = − x − x+ + = − x− + ≤

maxS =450⇔ =x 15

Độ dài AB=15 ,m khu đất có diện tích lớn 450m2

I BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG ĐA THỨC

1 Ta gọi hệ thức dạng a>b (hoặc a<b a, ≥b a, ≤b) bất đẳng thức

2 Để chứng minh bất đẳng thức, ta thường dùng cách sau: - Dùng định nghĩa: Để chứng minh a>b ta chứng minh a b− >0

- Dùng phép biến đổi tương đương: Chứng tỏ bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với bất đẳng thức

- Dùng phương pháp phản chứng: Để chứng minh a≥b ta chứng tỏ a<b sai

3 Cần nhớ số bất đẳng thức thơng dụng sau:

a) Liên hệ trung bình cộng trung bình nhân ( bất đẳng thức Cơ – si)

a b ab

+ ≥ với

,

a b≥ ( )1

Xảy đẳng thức a=b

b) Liên hệ tổng bình phương bình phương tổng

( 2 2) ( )2

2 a +b ≥ a b+ ( )2 ( 2 2 2) ( )2

3 a +b +c ≥ a b c+ + ( )3

Ta cịn có ( 2 2) ( )

2

a +b +c ≥ ab bc+ +ca

Tổng quát bất đẳng thức ( )2 ( )3 , ta có bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki ( 2)( 2) ( )2

a +b x +y ≥ ax by+ ( )4

( 2 2 2)( 2 2 2) ( )2

(60)

Xảy đẳng thức a b c (xyz )

x = =y z ≠

Bất đẳng thức ( )2 trường hợp đặc biệt bất đẳng thức ( )4 với x= =y Bất đẳng thức ( )3 trường hợp đặc biệt bất đẳng thức ( )5 với x= = =y z Khi a b c x y z, , , , , khơng âm bất đẳng thức ( )4 ( )5 viết dạng

( )( ) ( )2

a b+ x+y ≥ ax+ by

( )( ) ( )2

a b c+ + x+ +y z ≥ ax+ by+ cz

Ví dụ 84. Chứng minh đẳng thức ( 2 2)( 2 2) ( )2

a −b c −d ≤ ac bd− ( )1

Giải

( ) 2 2 2 2 2 2

1 ⇔a c −a d −b c +b d ≤a c −2abcd+b d

( )2

2 2

0 a d b c 2abcd ad bc

⇔ ≤ + − ⇔ ≤ − ( )3

Bất đẳng thức ( )3 Vậy bất đẳng thức ( )1 Đẳng thức xảy ad =bc

Ví dụ 85. Chứng minh bất đẳng thức sau với x y, không âm ( )( 3) ( 2)2

x+y x +y ≥ x +y Giải

Cách 1. Xét hiệu hai vế

( )( 3 3) ( 2 2)2

x+y x +y − x +y =x4+xy3+x y3 +y4−x4−2x y2 2−y4

( 2 2 ) ( )2

2

xy y x xy xy x y

= + − = − ≥

Đẳng thức xảy x=0, y=0, x=y

Cách 2. Với a b x y, , , ≥0, theo bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki

( )( ) ( )2

a b+ x+y ≥ ax+ by

Với 3

,

a=x b=y ta có ( )( ) ( ) ( )

2 2 3 3 2

x +y x+y ≥ x x+ y y = x +y

Ví dụ 86. Chứng minh bất đẳng thức x+ ≤y xy+1 với x≥1,y≥1

Giải

Do x≥1 y≥1 nên (x−1)(y− ≥1) ⇒xy− − + ≥ ⇒ + ≤x y x y xy+1 Đẳng thức xảy x=1 y=1

Ví dụ 87. Cho a+ ≥b Chứng minh đẳng thức a3+b3 ≥a2+b2 ( )1

Giải

Cách 1. ( ) 3 2( ) 2( )

1 ⇔a −a + −b b ≥ ⇔0 a a− +1 b b− ≥1 ( )2

Đặt a= +1 x b= +1 y Do a+ ≥b nên x+ ≥y Ta có

( ) ( )2 ( )2

2 ⇔ +1 x x+ +1 y y≥0

( 2) ( 3)

2

x y x y x y

⇔ + + + + + ≥ ( )3

Ta có 2

0

(61)

Suy ( )3 Vậy ( )1

Đẳng thức xảy a=1 b=1

Cách 2. Do a+ ≥b nên a+ − ≥b Để chứng minh a3+ −b3 a2−b2 ≥0 ta chứng minh

3 2

2

a + −b a −b ≥ + −a b ( )3

( ) 3 2

3 ⇔a + −b a −b − − + ≥a b 0⇔a3−a2− + + − − + ≥a b3 b2 b

( )( 2 ) ( )2( 2 )

1 1

a a a b b b

⇔ − + + + − + + ≥ ( )4 Do ( )4 nên ( )3 Vậy ( )1

Ví dụ 88. Cho số a b không âm thỏa mãn a2+b2 =1 Chứng minh bất đẳng thức

a) 3

1

a +b ≤

b) 3

a +b ≥

Giải

a) Do 2

1

a +b = nên a≤1 b≤1 Suy a3 ≤a2 b3 ≤b2 Do 3

1

a b a b

b) Ta chứng minh ( )( 3 3) ( 2 2)2

a+b a +b ≥ a +b (xem Ví dụ 85) ( 2 2)2

3 a b

a b

a b a b

+

⇒ + ≥ =

+ + ( )1

Ta lại có ( )2 ( 2)

2 2

a b+ ≤ a +b = ⇒ + ≤a b ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy 3

2

a +b ≥

Đẳng thức xảy 2

a= =b II CỰC TRỊ DẠNG ĐA THỨC

Ví dụ 89 Tìm giá trị nhỏ (min) biểu thức

3

A=x − x+ với

a) x

b) x≥2

Giải a)

2

2 3 3

3

4 4

A=x − x+ + =x−  + ≥

 

3

4

A=

x=

b)Cách 1.

Do x≥2 ta đặt x= +2 y với y≥0 Ta có ( )2 ( )

2 3 1

A= +y − +y + = y + + ≥y (do y≥0) minA= ⇔ = ⇔ =1 y x

Cách 2. Ta có ( )

2 3.2

A = − + = Ta chứng minh với x≥2 A≥1

+ ≤ + =

(62)

Ta có ( )( )

1 2

A− = x − x+ = x− x−

Với x≥2 x− >1 0,x− ≥2 nên A− ≥1 0, A≥1

minA=1 x=2

Lưu ý. Khi biến x nhận giá trị tùy ý tam thức bậc hai ( )

0

ax +bx c a+ ≠ đạt cực đại

2

b x

a

= −

Khi biến x nhận giá trị hạn chế không chứa

2

b a

− tam thức bậc hai đạt cực trị giá trị biên biến

Ví dụ 90. Tìm giá trị nhỏ

a)

48

A=x − x với x≥0

b)

32

B=x − x

Giải

a) 3 2

48 8 64 16 128 128

A=x − x=x + x − x − x+ x+ −

( 2 )( ) ( ) (2 )

8 16 128 128 128

x x x x x

= − + + − = − + − ≥ −

Vậy minA= −128 x=4

b) 4 2

32 16 8 32 32 48

B=x − x=x + − x + x + − x− ( )2 ( )2

4 48 48

x x

= − + − − ≥ −

Vậy minB= −48 x=2

Ví dụ 91. Tìm giá trị nhỏ 2( )

4

A=x x+ với x≥2

Giải

Do x≥2 ta đặt x= +2 y với y≥0 Ta có ( ) (2 )

2 10 28 24

A= +y +y = y + y + y+

( 2 ) ( )2

10 25 24 24 24

y y y y y y y

= + + + + = + + + ≥

Vậy minA=24 y=0 tức x=2

Ví dụ 92. Cho số x y, không âm thỏa mãn x3+y3 =2 Tìm giá trị lớn (max)

a) A= +x y

b) 2

B=x +y

Giải

a) Ta có 3 ( )( 2) ( 2)

2=x +y = x+y x −xy+y = x −xy+y A ( )1

( )2

2 2

3

x −xy+y = x+y − xy=A − xy ( )2

( )2

4

xy≤ x+y = A ⇒ − xy≥ − A ( )3

Từ ( )2 ( )3 suy

2 2

4

A

x −xy+y ≥A − A = ( )4

Từ ( )1 ( )4 suy

2

3

2

4

A

A A A

(63)

3

max

2

x y

A x y

x y

= 

= ⇔ ⇔ = =

+ = 

b) Với x y, khơng âm ta có ( )( 3) ( 2)2

x+y x +y ≥ x +y (theo bất đẳng thức Bu – nhi – a –

cốp – xki theo Ví dụ 85) nên 2

.2 2.2

A ≥B ⇒B ≤ A≤ =

Vậy maxB= ⇔ = =2 x y

Ví dụ 93. Cho x≥4 x+ ≥y Tìm giá trị nhỏ 2

A=x +y

Giải

Chọn x nhỏ Khi x=4 y≥2 Xét biểu thức 4x+2y

Theo bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki ( 2)( 2) ( )2

4 +2 x +y ≥ 4x+2y ( )1

Do 2x>8 2x+2y≥12 nên 4x+2y≥20 ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy 20A≥202 ⇒ ≥A 20

4

min 20

2

x y

x

A x

y x y

 = 

=

 

= ⇔ = ⇔ =

  + =  

Ví dụ 94. Cho sốdương a b, thỏa mãn a+ =b

Tìm giá trị lớn ( 2)

A=ab a +b Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có

( 2) ( 2) ( )2

2

2 2

1

4

ab a b a b

A ab a b

A A

+ + +

= + ≤ = =

⇒ ≤ ⇒ ≤

1

8

maxA= ⇔ = =a b

Ví dụ 95. Cho sốdương a b c, , thỏa mãn (a b+ )(a+c)=8 Tìm giá trị lớn A=abc a b c( + + )

Giải: Ta có

( )( ) ( )

( ) ( )

8

a b a c a a c ab bc

a a b c bc

+ + = ⇒ + + + = ⇒ + + + =

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

( ) ( )

( )

8

2

16

a a b c bc A a a b c bc

A

A a a b c bc

+ + +

= + + ≤ = =

⇒ ≤

(64)

16

maxA= khi, chẳng hạn 2

2 2

b c b c

a a

= = = =

 

 ⇔

 

+ = = −

 

 

Ví dụ 96. Tìm giá trị lớn 2

A=a + +b c biết − ≤1 a b c, , ≤3 và: a) a+ + =b c

b) a+ + =b c

Giải:

a) Do − ≤ ≤1 a nên (a+1)(a− ≤ ⇒3) a2≤2a+3 Tương tự, 2

2 3,

b ≤ b+ c ≤ c+ nên A≤2(a b c+ + + =) 2.5 19+ =

19

maxA= ba số a b c, , có hai số 3, số −1 b) Do − ≤1 a b c, , ≤3 nên

( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1 3

1 3

4 28

4 8.4 28

2

a b c a b c

a bc b c a b c bc

ab bc ac a b c

ab bc ac

+ + + + − − − ≥

⇒ + + + + + − − − + ≥

⇒ + + − + + + ≥

⇒ + + − + ≥

⇒ + + ≥

Ta có 2 2 2 ( )2 ( ) ( ) ( )

2 16

A=a +b +c = a b c+ + − ab bc+ +ca = − ab bc+ +ca

Từ ( )1 ( )2 suy A≤14

14

maxA= ba số a b c, , có số 3, số 2, số −1 Lưu ý: Cách giải câu a) gọn ta gặp thuận lợi: cực trị xảy a b c, , nhận giá trị −1, tức nhận giá trịở biên biến

Cách giải câu a) khơng vận dụng cho câu b) câu b) cực trị xảy có số 2, giá trịở biên biến a b c, , Như cách giải câu

)

b tổng quát

Ví dụ 97. Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn d, biết số a b c d, , , thỏa mãn

2 2

5

a b c d

a b c d

+ + + = 



+ + + = 

Giải:

Ta có 2 2

5 ;

a b c+ + = −d a +b +c = −d

Áp dụng bất đẳng thức ( 2 2 2) ( )2

3 a +b +c ≥ a b c+ +

( ) ( )

( )( )

2

3 5

1

2 2

2

d d d d

d d d

− ≥ − ⇔ − + ≤

⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤

Vậy

d = 3;

2

a= = =b c maxd =2 a= = =b c

Ví dụ 98. Cho số a b c d, , , khơng âm có tổng Tìm giá trị lớn

(65)

Giải:

( )( ) 1( )

A=ab bc cd+ + ≤ab bc cd+ + +ad = a+c b+d

Ta lại có ( )( ) ( )2 2

4 a+c b+d ≤ a+ + +c b d =2 =4

Nên (a+c b)( +d)≤1 2( ) Từ ( )1 ( )2 suy A≤1

Vậy max 1

0

a c b d

A

ad

+ = + = 

= ⇔  =

 chẳng hạn

1

0, ,

2

a= b= =d c=

BÀI TẬP Bất đẳng thức dạng đa thức

71.Chứng minh bất đẳng thức:

a) a4+b4+c4 ≥a b b c c a3 + + với a≥ ≥b c;

b) 3abc a b c( + + ≤) với ab bc+ +ca=1

72.Cho số a b nhỏhơn thỏa mãn ab<2 Chứng minh a b+ <3

73.Cho ab≥1 Chứng minh a2+b2 ≥ +a b

74.Chứng minh a b c, , độ dại ba cạnh tam giác ( 2 2)( ) ( 3 3)

2

a +b +c a b c+ + > a + +b c

75.Cho số a b c, , thỏa mãn − ≤1 a b c, , ≤1 a+ + =b c Chứng minh

2

a + +b c ≤

76.Chứng minh bất đẳng thức ( )2 ( )( )( )

3 a b c+ + ≤ a +2 b +2 c +2

77.Cho a< < <b c d x=(a b c+ )( +d);y=(a+c b)( +d);z=(a+d)(b c+ ) Chứng minh x< <y z

78.Cho số có tổng 8, tổng bốn số nhỏhơn Chứng minh sốđã cho dương

Cực trị dạng đa thức 79.Tìm giá trị lớn của:

a)

1

A= + −x x với x bất kỳ;

b)

1

B= + −x x với x≤ −2;

c)

C=x −x với 0≤ ≤x

80.Tìm giá trị nhỏ của:

a)

2 ;

A= x − x −x

b) ( ) (4 )4 ( ) (2 )2

2 ;

B= x− + x− + x− x−

c) ( )( ) (2 )

1

C= x+ x+ x+

81.Tìm giá trị nhỏ A= + + + + + + + + +x x x x x

82.Tìm giá trị nhỏ 2

A=x +y −xy−y

(66)

84.Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: a) A=2x+3y biết 2

52

x +y = ;

b) 2

B=x +y biết x2+y2 =xy+4

85.Tìm giá trị nhỏ của:

a) 2

A=x +y với x≥2 x+ ≥y

b) 4

B=x +y +z với x+ + =y z

86.Cho sốdương x y thỏa mãn

x+ =y Tìm giá trị nhỏ của:

a) A=xy; b) B= +x y

87.Tìm giá trị lớn của:

a) 3

,

A=a + +b c biết 0≤ ≤ ≤ ≤c b a a b c+ + =3; b) ( 2) ( 2) ( 2)

B=a b +c +b c +a +c a +b biết a≥ ≥ ≥b c a+ + =b c

88.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn A=(a b c+ + −) (ab bc ca+ + ) biết 0≤a b c, , ≤1

89.Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn a, biết:

a) 2 2 25 11

a b c

a b c

+ + = 



+ + = 

b)

5

a b c ab bc ca

+ + = 

 + + = 

c) 2 2 2 12

a b c d

a b c d

+ + + = 



+ + + = 

90.Tìm giá trị nhỏ A=(a b+ )(a b c+ + ) biết

4

, , ,

a b c d

abcd a b c d

+ + + = 

 = 



> 

Chuyên đề

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG PHÂN THỨC

Chuyên đề bao gồm hai nội dung:

− Bất đẳng thức dạng phân thức, có bất đẳng thức cộng mẫu số

(67)

đoán giá trịcủa biến để xảy cục trị

Tính nhẩm vào đời sống

CHIA NHANH

Bạn Vinh cần làm phép chia 1:1, 03 làm tròn đến hàng phần trăm Vinh loay hoay tính tốn khơng có máy tính bỏ túi tay Hà nói với Vinh:

Bạn cần lấy trừđi 0, 03 được! (0, 03 phần

hơn số chia so với 1)

Vinh ngạc nhiên sau kiể tra lại máy tính:

( )

1:1, 03=0, 9708 ≈0, 97 = −1 0, 03 Vinh thử vài trường hợp khác thấy

1:1, 04=0, 9615 ≈0, 96 1:1, 07=0, 9345 ≈0, 93 a) Bạn giải thích điều

b) Có phải kết tính theo cách ln nhỏhơn kết quảđúng hay khơng?

Giải:

a) Giả sử cần tính

1+a a số nhỏ so với

Khi

1 1≈ −a nên

2

1

a

a a

−

= = −

+ +

b) Do

1 1> −a nên

2

1

a

a a

−

> = −

+ +

Vậy kết quảtính theo cách nhỏhơn kết quảđúng

I BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC

Ngoài bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-si), liên hệ tổng bình phươngvà bình phương tổng (bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) nêu ởChuyên đề 7, cần nhớ bất đẳng thức liên hệ giữatổng số tổng nghịch đảo chúng:

1

x+ ≥y x+y với x y, >0 (1)

1 1

x+ + ≥y z x+ +y z với x y z, , >0 (2)

Bạn đọc nên biết bất đẳng thức tổng quát bất đẳng thức cách chứng minh chúng để cần, có thểsử dụng chúng bổ đề:

( )2 2 a b

a b

x y x y

+ + ≥

(68)

( )2

2 2 a b c

a b c

x y z x y z

+ + + + ≥

+ + với x y z, , >0 (4)

Bất đẳng thức (1) trường hợp đặc biệt bất đẳng thức (3) a= =b

Bất đẳng thức ( )2 trường hợp đặc biệt bất đẳng thức ( )4 a= = =b c

Ta gọi bất đẳng thức bất đẳng thức cộng mẫu số

Ví dụ 99. Chứng minh bất đẳng thức ( )3 ( )4 nói

Giải:

Chứng minh bất đẳng thức ( )3 sau:

( )2 ( )2

2 2

a b a b

a b a y b x

x y x y xy x y

+ + +

+ ≥ ⇔ ≥

+ +

( 2 )( ) ( 2)

2

a y b x x y xy a ab b

⇔ + + ≥ + +

( )2

2 2

2

a y b x abxy ay bx

⇔ + ≥ ⇔ − ≥

Xảy đẳng thức a b

x = y

Chứng minh đẳng thức ( )4 sau:

Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức ( )3 hai lần ta có:

( )2 ( )2

2 2 a b 2 a b c

a b c c a y b x

x y z x y z xy x y z

+ + +

  +

+ + ≥ + ⇔ ≥

  + + +

 

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2

a b c

x y z a b c

x y z

      



  +  +   + + ≥ + +

 

      

 

( ) ( )

2 2

2

a b c

x y z a b c

x y z

 

⇒ + +  + + ≥ + +

 

( )2

2 2 a b c

a b c

x y z x y z

+ + ⇒ + + ≥

+ +

Xảy đẳng thức a b c

x = =y z

Ví dụ 100. Chứng minh bất đẳng thức

( )2 2

1

x + y ≥ x+y với x

y dương

Giải:

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

( )2 ( )

4

x+y ≥ xy>

( )

2

1 1

2

(69)

Nhân ( )1 với ( )2 theo vếđược

( )

2

2 2 2

1 1

8

x y

x y x y x y

 

+  + ≥ ⇒ + ≥

+

 

Xảy đẳng thức x= y

Ví dụ 101. Cho A a22 b22

b a

= + B a b

b a

= + Chứng minh rằng:

a) A≥2 b) A≥B

Giải:

a) Đặt a x b = ;

b y

a = xy=1

2

A=x +y ≥ xy = nên A≥2 ( )1 b) Ta có

1

x + ≥ x; y2+ ≥1 2y nên x2+y2+ ≥2 2(x+y)⇒ + ≥A 2B ( )2 Từ ( )1 suy A+ ≥ +A A

Kết hợp với ( )2 có 2A≥2B nên A≥B

Ví dụ 102. Cho 22 22 22

a b c

A

b c a

= + + B a b c

b c a

= + +

Giải:

a) Đặt a x b = ;

b y c = ;

c z

a = xyz=1

Xét ( 2) ( )

1 2 4

A+ = x +y + z + ≥ xy + z ≥ xyz = nên ( )

3

A≥

b) Ta có

1

x + ≥ x; y2+ ≥1 2y; z2+ ≥1 2z nên

( ) ( )

2 2

3 2

x +y +z + ≥ x+ +y z ⇒ + ≥A B

Từ ( )1 suy A+ ≥ +A A nên 2A≥ +A

Kết hợp với ( )2 có 2A≥2B nên A≥B

Ví dụ 103. Cho x a b a b

+ =

− ;

b c y

b c

+ =

− ;

c a

z

c a

+ =

−

Chứng minh rằng: a) xy+yz+zx= −1

b) 2

2

x +y +z ≥

Giải:

a) Ta có x a b 2a

a b a b

+ + = + =

− − Từđó

Chứng minh rằng: a) A≥3

(70)

( )( )( ) 2 ( )

1 1 a b c

x y z

a b b c c a

+ + + =

− − −

Từđó x a b 2b

a b a b

+ − = − =

− − Từđó

( )( )( ) 2 ( )

1 1 b c a

x y z

a b b c c a

− − − =

− − −

Từ ( )1 ( )2 suy

(x+1)(y+1)(z+ =1) (x−1)(y−1)(z−1)

Nhân rút gọn xy+yz+zx= −1

b) Ta có 2 ( )2 ( ) ( )2

2

x +y +z = x+ +y z − xy+yz+zx = x+ +y z +

Vậy 2

2

x +y +z ≥

a b c

a b+ +b c+ +c+a ≥ với a≥ ≥ >b c

Giải:

Gọi vế trái A, ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( () ( ) ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )( )

( )

3 1

2 2

1

2

1

2

a b c

A

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

b a a c

a b c a

a b b c c a

a b a c a b

a b b c b c c a

a b c a a b

a b b c b c c a

a b a c

b c a b c a

a b a c b c

a b

     

− = −  + −  + − 

+ + +

     

− − −

= + +

+ + +

− + −

− −

= + +

+ + +

−   − −

=  − +

+ + + +

 

− − −

= +

+ + + +

− −  

= − + 

+  + + 

− − −

=

+ (b c c+ )( +a)≥0

Vậy

A≥

Xảy đẳng thức a b c, , có hai số

3 3 3

2 2

a b b c c a

a b c

ab bc ca

+ + + + + ≥ + +

với a b c, , dương

Giải:

Do a b c, , >0 nên 3 ( )( 2) ( )

(71)

3

2

a b a b

ab

+ +

⇒ ≥ Từđó

3 3 3

2 2 2

a b b c c a a b b c c a

a b c

ab bc ca

+ + + + + ≥ + + + + + = + +

Xảy đẳng thức a= =b c

2 2 2

a b b c c a

a b b c c a

+ + + + + ≤

+ + + với a b c, , dương a+ + =b c ab bc+ +ca Giải:

Ta có ( )2 ( 2)

2

a b+ ≤ a +b

Do a b dương nên a b2 2

a b a b

+ ≤

+ +

Từđó

( )

2 2 2

1 1

2

a b b c c a A

a b b c c a a b b c c a

+ + +  

= + + ≤  + + 

+ + +  + + + 

Áp dụng bất đẳng thức

1 1

x+ + ≤y z x+ +y z với x y z, , >0 ta có

( ) ( )

1 1

2

a b+ +b c+ +c+a≤ a b c+ +

Từ ( )1 ( )2 suy A a b c

≤

+ +

Cần chứng minh

a b c+ + ≤ hay

( ) ( )

3

a b c

a b c ab bc ca

+ + ≤

+ + + +

(Vì a+ + =b c ab bc+ +ca)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

3

2

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca

a b c ab bc ca

⇔ + + ≥ + +

⇔ + + + + + ≥ + +

⇔ + + ≥ + +

Dễ dàng thấy bất đẳng thức cuối

Vậy bất đẳng thứcc chứng minh Xảy đẳng thức a= =b c

Ví dụ 107. Cho sốdương a b c, , thỏa mãn a≤b a, ≤c abc=1 Chứng minh bất

đẳng thức

2

1 1

a b c

a b c

+ + ≥ + + Giải:

Ta có a≤b a, ≤cnên a3 ≤abc=1, a≤1

Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với

2

1 1

0

M a b c

a b c

   

= − + + − + ≥

(72)

71

Ta có ( )

1

a

a a bc

a a

−

− = = − (vì bc a = )

Và 2 2 ( 2)

2 2

1

b c

b c b c

b c b c

+  

+ − = +  − 

  ( 2)( 2)

1

b c a

= + −

nên

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

2 2

2 2 2

1

1 1

M a bc b c a

a b c bc a a b c bc

= − + + −

= − + − = + − + −

Do a b c, , >0 a≤1 nên 1−a2 ≥0 b2+ −c2 bc>0 suy M ≥0

Bất đẳng thức cho chứng minh Xảy đẳng thức a= = =b c

Ví dụ 108. Chứng minh bất đẳng thức 21 21

1 1

x + + y + ≥ xy+ với xy≥1

Giải:

Cách 1 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với

( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

1

2

2 2 2

0

1

x y

xy x y

x y xy x y x y

xy x y x y xy x y x y xy x y xy x y xy

x y xy

+ + + ≥

+

+ +

⇔ + + + ≥ + + +

⇔ + + + + + − − − − ≥

⇔ + − − + − ≥

⇔ − − ≥

Bất đẳng thức cuối xy≥1 Bất đẳng thức cho chứng minh

Xảy đẳng thức x= y xy=1

Cách 2. Vếtrái cho tương đương với

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

1 1

1

x y A

x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

+ +

= + =

+ + + + +

+ + + + − −

= = +

+ + + + + +

Ta có 2 2 2 2 2 2 ( )2

1 1

x y +x +y + ≥x y + xy+ = xy+

( )2 2 2

1

x y x y xy

⇒ ≤

+ + + +

Nhân hai vế với 2

1−x y ( xy≥ ⇒ −1 x y2 ≤0) ta

( ) ( )

2 2 2 2 2

1 1

2

1 1

x y x y xy x y x y xy xy

− ≥ − = −

+ + + + +

Từ ( )1 ( )2 suy 1

1

xy A

xy xy

− ≥ + =

(73)

II. CỰC TRỊ DẠNG PHÂN THỨC.

Ví dụ 109. Tìm giá trị nhỏ A x2 x

+

= với:

a)

2

x

< ≤ b) x≥2

Giải:

a) Với dựđoán xảy cực trị

x= tức

4

x = , ta biến đổi sau: ( )

2

3

4 4 1

4

x x

A

x x x

+ + +

= = +

Do x>0 nên

2 1

2

4 1

x x

+

≥ = (1)

1

2

x

< < 3

4

x x

⇒ ≥ ⇒ ≥ (2)

Từ (1) (2) suy

2 2

A≥ + = A= ⇔ =x

b) Với dựđoán xảy cực trị x=2, tức

4

x = ta biến đổi sau:

2

4

x x

A

x x x

+ − +

= = − (3)

Do x>0 nên

2

4

x x

+ ≥ = (4)

1 3

2

x

x x

− −

≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ (5)

Từ (3), (4), (5) suy 5;

2 2

A≥ − = A= ⇔ =x

Ví dụ 110 Tìm giá trị nhỏ A x2 x

+

= với: a)

4

x

< ≤ ; b)

2

x≥

Lời giải

4

x= , tức

16

x = , ta biến đổi sau:

2 15

15

16 16 16

16

x x

A

x x x

+ + +

= = + (1)

Do x>0 nên

2

1 16

2

x x

+

(74)

1 15 15

0

4 16

x

x x

< ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ (3)

Từ (1), (2), (3) suy 15 17 17

2 16 4

A≥ + = A= ⇔ =x

b) Với dựđoán xảy cực trị x=3, tức

9

x = , ta biến đổi sau:

2

9

x x

A

x x x

+ − +

= = − (1)

Do x>0 nên

2

9

x x

+ ≥

(2)

1 8

3

x

x x

−

≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥ − (3)

Từ (1), (2), (3) suy 10 10

3 3

A≥ − = A= ⇔ =x

Lưu ý: Xét biểu thức A x x

= +

• 21

x≥ ⇒ A= (ví dụ 109b)

1

3

x≥ ⇒ A= (ví dụ 110b)

Tổng quát, x n minA n1 n

≥ ⇒ = (hỗn số)

• 21

2

x A

< ≤ ⇒ = (ví dụ 109a)

1

0

4

x A

< ≤ ⇒ = (ví dụ 110a) Tổng quát, x minA n1

n n

< ≤ ⇒ = (hỗn số)

Ví dụ 111 Tìm giá trị nhỏ A x2 y2 xy

+

= với x≥2y>0

Lời giải

Với dựđoán xảy cực trị x=2y, tức x2 =4y2, ta biến đổi sau:

2 2 2

4

x y y x y y

A

xy xy y

+ − +

= = − (1)

Do x y, >0 nên

2

4

x y

xy

+

≥ (2)

1 3

2

x y

y x

≥ > ⇒ ≤ ⇒ − ≥ − (3)

Từ (1), (2), (3) suy

2 2

A≥ − = A= ⇔ =x y

Ví dụ 112 Tìm giá trị nhỏ A a2 b2 2ab 2

ab a b

+

= +

(75)

Lời giải

Cách 1.Đặt 2

;

x=a +b y=ab ta có

2

x y x y

A

y x xy

+ = + = Do 2

2

a +b ≥ ab⇒ ≥x y

Bài tốn quay vềví dụ 111 Suy

A= ⇔ =a b

Cách 2. Đặt x a2 b2 ab

+

= Do 2

2

a +b ≥ ab⇒ ≥x Quy toán ví dụ 109b. Vậy

5

2

A= ⇔ =a b

Ví dụ 113 Cho sốdương x y, thỏa mãn x2 12

y

+ = Tìm giá trị nhỏ A x y y x

= +

Tìm hướng giải

Với x y, >0 ta có x y

y+ ≥x , dấu đẳng thức xảy x= =y trái với giả thiết

2

1

x y

+ = Ta tìm hướng giải khác bẳng cách khai thác giả thiết 2

1 2x

x

y y

+ ≥

Lời giải

Từ 2

1

2

x x x

y y y

= + ≥ ⇒ ≤ , với dự đoán xảy cực trị 2

4

x

y x

y = ⇒ = , ta biến đổi

như sau:

2 2 2 2

4

x y x y x x y x

A

xy xy xy y

+ + − +

= = = − (1)

Do x>0,y>0 nên

2

4 1.2

4

x y x y

xy xy

+ ≥ =

(2)

1 3

0

2

x x

y y

< ≤ ⇒ − ≥ − (3)

Từ (1), (2), (3) suy

2

A≥ − =

2

5

min

1

2

y x

x A

x

y y

 =



=

 

= ⇔ ⇔

+ =

  =

 

Ví dụ 114 Tìm giá trị lớn A x x

= + với 1 ≤ ≤x

Lời giải

Do 1

2 ≤ ≤x nên ( )

2

1 1

1 0

2 2

x  x x x x

−  − ≤ ⇒ − − + ≤

(76)

2 3

2 2

x x x

x

⇒ + ≤ ⇒ + ≤ (1)

1

2

x

≥ ⇒ ≤ (2)

Cộng vế theo vế (1) (2) ta có 1

2

x x

+ ≤ + = Vậy max

2

A= ⇔ =x Ví dụ 115 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 2

1

x A

x x

=

− + với

a) x

b) 1 3≤ ≤x

Lời giải

a) Do

0

x ≥

2

1

2

x − + =x x−  + >

  nên A≥0 minA= ⇔ =0 x

Với x=0 A=0 Với x≠0 A lớn

A nhỏ

2

1 1

1

x x

A x x x

− +

= = − +

Đặt y x

=

2

1 3

1

2 4

y y y A

A

 

= − + = −  + ≥ ⇒ ≤

 

4

max

3

A= ⇔ = ⇔ =y x

b) Với

3= x

1

1 7

1

9

A= =

− +

Với x=1 A=1

Ta chứng minh 1 ≤ ≤A

• Ta có 2

2

1

6

7

x

A x x

x x

≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥

− + ⇔(2x+1 3)( x− ≥1)

(1) Do

3

x≥ nên (1)

• Ta có 2

2

1 1

1

x

A x x x x

x x

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − + ⇔ ≤

− + (2)

Do giả thiết 1

3≤ ≤x nên (2) đúng, hay A≤1

Vậy maxA= ⇔ =1 x

Ví dụ 116. Tìm giá trị nhỏ A x 22y2 2

y x y

= +

(77)

Lời giải

Ta có 2

2

x +y ≥ x y, dương nên

2 2 2

1 2x x 2x

y ≥ x + y ⇒ ≥y x + y

2 2 2 2 2

2 2

2

x y x y

A

y x y x y x y

= + ≥ + =

+ + +

minA= ⇔ =2 x y

Ví dụ 117 Cho sốdương x y, thỏa x+ ≤y Tìm giá trị nhỏ của:

a) A x y

y x

  

= +  + 

 

b) B 2 2 x y xy

= +

+

Lời giải

a) A xy

xy

= + +

Ta có

2

x y xy +

< ≤ ≤ nên

xy

< <

Đặt a=xy đưa tìm giá trị nhỏ a a

+ với

a

< ≤ theo ví dụ 110a ta tìm

1 17

min

4

a a

a

 + = ⇔ =

 

 

Do đó, 17 25

4

A= + = ⇔ = =x y

b) B 2 2

x y xy xy

 

= + + +

  (1)

Áp dụng bất đẳng thức 1

a+ ≥b a+b với a b, dương ta có

( )2 2 2

1 4

4

x + y + xy≥ x + y + xy = x+ y ≥ (2)

1 1

0

2

x y

xy xy

+

< ≤ ≤ ⇒ < ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ (3)

Từ (1), (2), (3) suy B≥ + =2 Vậy

B= ⇔ = =x y Ví dụ 118 Tìm giá trị nhỏ 1

1

A

x y

= +

+ + với x y, >0;xy=4

Lời giải

(1 )(1 ) 25

x y x y x y

A

x y x y xy x y x y

+ + + + + +

= = = = −

+ + + + + + + + +

(78)

1

5

x y x y

− −

⇒ ≤ ⇒ ≥

+ + + +

Vậy 1

3

A≥ − =

2

min

3

A= ⇔ = =x y

Ví dụ 119 Cho sốdương x y, thỏa mãn x2+y2 =1 Tìm giá trị nhỏ a) A x y

xy

+

= b) B x3 y3 xy

+ = Giải

a) Do x>0,y>0 nên A x y xy

xy xy xy

+

= ≥ = (1)

Ta lại có: 2 1

2

xy≤x +y = ⇒xy≤ ⇒ xy ≤

1

2 2

xy xy

⇒ ≥ ⇒ ≥ (2)

Từ (1) (2) suy A≥2 (3)

2

min 2

2

x y

A x y

x y

= 

= ⇔ ⇔ = =

+ =



b) ( )( ) ( )

2

1

x y x xy y

B A xy

xy

+ − +

= = + (4)

Ta lại có 2 1

2 1

2

xy≤x +y = ⇒xy≤ ⇒ −xy≥ (5)

Từ (3), (4) (5) suy 2.1 2

B≥ =

2

min

2

B= ⇔ = =x y

Ví dụ 120 Tìm giá trị nhỏ 2

2

x y

A

y x

= +

− − với x>2 y>2 Giải

Đặt x− = >2 a 0,y− = >2 b

( ) (2 )2

2 .2 4.b.2

8 16

a b a a b

A

a b b a b a

+ +  

= + ≥ + =  + ≥

 

minA=16⇔ = = ⇔ = =a b x y

Ví dụ 121 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A (x y) 1

x y

 

= +  + 

  với1≤ ≤x

1≤ ≤y

Giải

Do 1≤ ≤x 2nên (x 1)(x 2) x2 3x x

x

(79)

Tương tự, y

y

+ ≤ Suy (x y) 1

x y

 

+ + + ≤

  (1)

Ta lại có (x y) 2 (x y) 2 2A

x y x y

   

+ + + ≥ +  +  =

    (2)

Từ (1) (2) suy 2 9

A≤ ⇒ A≤ ⇒ A≤ ⇒ ≤A

1; max 2; x y A x y = =  = ⇔  = = 

Ví dụ 122 Tìm giá trị nhỏ a) A 4a

a

= + với

a

< ≤ b)

( )2

4xy x y

B

y x x y

= + +

+ với x, y sốdương

Giải

a= , tức 4

a = ta biến đổi sau:

2

1

4

1 4 4 4

4

a a

a

A a

a a a a a

+ + +

+

= + = = = + (1)

Do a>0 nên

2 1

4 2.2

4 2

a a

+

≥ = (2)

1

0

4

a

a a

< ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ (3)

Từ (1), (2) (3) suy A≥ + =2

1 minA a = ⇔ = b)

( )2

4xy x y

B y x x y = + + + ( ) ( ) ( ) 2 4

2 xy x y xy x y

B

y x xy

x y x y

+

 

⇒ + = + + + = +

+   +

Đặt

( )2

xy a

x+y = >

1

2

B a

a

+ = + ,

a≤

( )2

1

xy x+y ≤

Theo câu a ta có B+ ≥ ⇒ ≥2 B

( )2

1

min

4

xy

B a x y

x y

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

+

Ví dụ 123 Tìm giá trị lớn

1 1

ab bc ca

A

c a b

= + +

+ + + với a, b, c dương a+ + =b c Giải

Áp dụng bất đẳng thức 1

(80)

( ) ( )

4 4 1

1

c+ = c+ + +a b c = c+a + +c b ≤c+a+c b+

Nhân hai vế với sốdương ab ta có

4

ab ab ab

c+ ≤c+a+c b+ Do đó:

4 4

4

1 1

4

1

max

4

ab bc ac ab ab bc bc ac ac A

c a b c a c b a b a c b a b c ab bc ab ca bc ca

A b a c

a c c b a b A a b c

= + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + ⇒ ≤ + + = + + = + + + = ⇔ = = =

Ví dụ 124 Tìm giá trị nhỏ của: a) A

x y

= + với x y, dương x+ =y 1; b) B

x y z

= + + với x y z, , dương x+ + = +y z

Giải

a) Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ( )

2 2

a b

a b

x y x y

+ + ≥

+ với x y, >0 ( xem ví dụ

99 )

( ) ( )2

2

1

1 2

A

x y x y x y

+

= + = + ≥ = + = +

+

2

min 2

1 2

x

y x

A

x y y

  = = −   = + ⇔ ⇔ + =   = −  

( ) (2 )2 2

1 2

3

B

x y z x y z

+ + +

= + + ≥ = = +

+ + +

1

1 2

minB 2

2

3

x

x y z y

z

x y z

=   = =   = + ⇔ ⇔ =  + + = +  =  

Ví dụ 125 Tìm giá trị nhỏ 2

2 2

a b c

A

a b b c c a

= + +

+ + + với a, b, c dương

3

a+ + =b c Giải

Cách Xét 2 2 2

2 9

a a b a a b a

a b a b

+ +

+ ≥ =

+ +

2

2 9

a a a b a b

a b

+ −

⇒ ≥ − =

+ Do

2 2

5 5

1

2 2 9

a b c a b b c c a a b c

A

a b b c c a

− − − + +

= + + ≥ + + = =

(81)

minA= ⇔ = = =1 a b c

b) Cách cộng mẫu số :

( )2

2 2 a b c

a b c

x y z x y z

+ + + + ≥

+ + với x y z, , >0 ( xem ví dụ 99 )

( )2

2 2

1

2 2 3 3

a b c

a b c a b c

A

a b b c c a a b c

+ + + +

= + + ≥ = =

+ + + + +

minA= ⇔ = = =1 a b c

Lưu ý.Giải thích việc xét 2

2

a a b

a b

+ +

+ ởcách sau:

Với dựđoán cực trị xả a= = =b c 1, ta cần chọn sốk cho

2

a a b

a b k

+ +

+ tức

1

9

1 k k

+

= ⇒ =

+

Các cách xét 2

a

a b

a+ b= +

2

a a b

a b

+ +

+ khơng hiệu Ví dụ 126 Cho sốdương a, b, c thỏa mãn a+ + ≤b c

a) Tìm giá trị nhỏ 1

1 1

A

a b c

= + +

+ + +

b) Tìm giá trị lớn

1 1

a b c

B

a b c

= + +

+ + + Giải

a) Áp dụng bất đẳng thức 1

x+ + ≥y z x+ +y z với x y z, , dương, ta có:

1 1 9

1 1

A

a b c a b c

= + + ≥ ≥

+ + + + + +

9

min

4

A= ⇔ = = =a b c

b) 1 1 1

1 1 1

a b c a b c

B

a b c a b c

+ − + − + −

= + + = + +

+ + + + + +

1 1 1

1 1 3

1 1 1 4

B A

a b c a b c

       

= −  + −  + − = − + + = − ≤ − =

+ + + + + +

       

3

max

4

B= ⇔ = = =a b c

Lưu ý: Câu b có cách giải ngắn gọn trường hợp a b c, , >0 a+ + ≤b c

sau:

Từ bất đẳng thức ( )2

4a≤ a+1 , với a>0 ta có:

1

a a

a

+ ≤

+ Do

1 1 3

4 4

a b c a b c

B≤ + + + + + = + + + ≤

3

max

2

(82)

Ví dụ 127 Tìm giá trị nhỏ 2 2 2

1 1

a b c

A

b c a

= + +

+ + + với a, b, c số dương

3

a+ + =b c

Giải

Ta có 2 22 2 2

1 1 2

a a ab ab ab ab ab

a a a

b b b b

+ −

= = − ≥ − = −

+ + +

Do đó:

2 2

1 1 2

a b c ab bc ca

A a b c

b c a

     

= + + ≥ −  + −  + − 

+ + +      

( )

2

ab bc ca ab bc ca

A a b c + + + +

⇒ = + + − = − (1)

Ta lại có ( )

2

3

3 2

a b c ab bc ca

ab bc ca+ + ≤ + + = ⇒ − + + ≥− (2)

Từ (1) (2) suy 3 3;

2 2

A≥ − = A= ⇔ = = =a b c

Ví dụ 128 Cho biểu thức

3 + +

= a b c

A

abc với 1≤ ≤ ≤ ≤a b c

a) Chứng minh A≤ + + +b c a c

c b c a

b) Tìm giá trị lớn A

Giải

a) Ta có A= a2 +b2 + c2

bc ac ab Do 1≤ ≤ ≤a b cnên ( )( )

2

0

− − ≥

a b b c

2 3 2

0

⇒ab −ac −b +bc ≥ ⇒b ≤ab +bc −ac

Chia hai vế cho sốdương abc b2 ≤ + −b c c ( )1

ac c a b

Do 1≤ ≤a bnên ( )

2

≤ =

a a a

bc ac c

Do 1≤ ≤a cnên ( )

2

≤ =

c c c

ab ab b

Xảy đẳng thức a = b = c = b) Ta có 1≤ ≤ ≤b c 2.nên

2

≥

b c

Đặtb =x c

1

1 2≤ ≤x

Theo Ví dụ 114, với 1 ≤ ≤x

1

2

 + =

 

 

max x

x

1

=

x

Do 1, c

2

 + = ⇔ = ⇔ = =

 

 

b

max x b

(83)

Tương tự 1, c

2

 + = ⇔ = ⇔ = =

 

 

a c a

max a

c a c

Suy maxA = ⇔ = =a b 1và c =

BÀI TẬP Bất đẳng thức dạng phân thức

91 Chứng minh bất đẳng thức sau mà không dùng bất đẳng thức Cô – si: a) a+ ≥b

b a với a, b > 0;

b) a+ + ≥b c

b c a với a, b, c >

92 Chứng minh bất đẳng thức: a) 3

2

+

a

a với a > 0;

b) 1

1

+ +

+ ≥ +

+ +

a b a b

b a b a với a, b >

93. Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c >

a) 1 1 1 ;

2 2

 

+ + ≤  + + 

+ + +  

a b b c c a a b c

b) 1 1 1 ;

2 2

 

+ + ≤  + + 

+ + + + + +  

a b c a b c a b c a b c

c) − + − + − ≥0

+ + +

a c b a c b

b c c a a b

94. Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c > a) a3 +b32 +c3 ≥ab+bc+ca ;

b c a

b) 2 2 2 2 2 2 ;

+ +

+ + ≥

+ + +

a b c a b c

a b b c c a

c) 2 23 2 32 2 32

3

+ +

+ + ≥

+ + + + + +

a b c a b c

a b ab b c bc c a ca

95. Chứng minh bất đẳng thức

2

1

1+ 1≤ +

+ + xy

x y với 0≤ ≤x 0≤ ≤y 1 96. Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2

3

+ + ≥

+ + +

a b c

a b b c c a với a b c, , >0 a+ + =b c 3

97 Cho , ,

1 1

= = =

− − −

x y z

a b c

x y z xyz =

Chứng minh rằng:

a) ( )( )( ) 2

1 1 ; )

− − − = + + ≥

a b c abc b a b c

(84)

98 Tìm giá trị nhỏ A= +x

x

99 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: a) 2 ;

1 + = + + x A

x x b)

2 + = + x B x

100 Cho biểu thức

( ) 2 + + = + x x A x

a) Tìm giá trị nhỏ A

b) Tìm giá trị lớn A với x ≥

101 Tìm giá trị nhỏ của:

a)

3

= − +

A x x

x với x > 0; b)

2

= − +

B x x

xvới x > 0;

c) 2

+ = x

C

x với x≥1; d)

1

= + +

D x

x với x≥0 ;

e) 2 ; = + + E x

x g)

4

= +

G x

x với x≥

102. Tìm sốm n để biểu thức 2 + = + mx n A

x nhận giá trị nhỏ -4, giá trị lớn

nhất

103 Tìm giá trị nhỏ của: a) ( ) 2 2; + = − x y A x y b)

( )( )2

4

= +

− +

B x

x y y với x > y >

104 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: a) =3 22 −42 ;

+

x xy

A

x y b) 4

− = + + x y B x y

105 Cho sốdương x y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A= ;

xy b)

1

;

= +

B

x y

c) 2

;

= +

C x y d) D= 12 + 12 ;

x y

e) E = 212 − 12 − 12 ;

x y x y g)

2 1 ;     = +  + +     

G x y

x y

h) =1− 12 1− 12 

  

H

x y

106 Tìm giá trị nhỏ

8

2

= + + +

A x y

x y với

(85)

b) x y sốdương thỏa mãn x+ ≥y

107 Tìm giá trị nhỏ của: a) A= +x y

y x với x, y >

1

;

+ ≤

x y

b) B= + +x y

x với x, y > x+2y≥8;

108 Tìm giá trị lớn

4 2

1

=

+ +

A

x y xy với x, y > xy≥1 109 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn a) = 4 + 2

− +

x y A

x xy y với 1≤ ≤x 2và 1≤ ≤y ;

b)

2

+ =

+ +

x y

A

x y với

2

4x + y =1

110 Gọi số nhỏ ba sốdương x, y, 1+

x ylàm m Tìm giá trị nhỏ m

2 2

1 1

= + +

+ + +

a b c

A

a b c

112 Tìm giá trị nhỏ

2 2 2

= + +

+ − + − + −

a b c

A

b c a c a b a b c

113 Cho sốdương a, b, c có a + b + c = Tìm giá trị nhỏ của: a) A= + +1 1;

a b c

b) 2

b c ;

= + +

B a

c) C= 12 + 12 + 12 ;

a b c

d)

2 2

1 1

     

= +  + +  + + 

     

D a b c

a b c

114 Cho sốdương a, b, c có a+ + ≤b c Tìm giá trị nhỏ của:

a) 1 ;

1 1

= + +

+ + +

A

ab bc ca

b) ( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 )

2 2 2

= + +

+ + + + + +

B

a b a c b a b c c a c b

115 Cho sốdương a, b, c có a + b + c = Tìm giá trị nhỏ của:

a) ( ) ( ) ( )

2 2

;

+ + +

= a b + b c + c a

A

c a b

b) 2 2 2 ;

2 2

= + +

+ + +

B

(86)

c) 2 2 2 ;

1 1

+ + +

= + +

+ + +

a b c

C

b c a

d)

( 2) ( 2) ( 2)

= + +

+ + +

a b c

D

b a b c b c a c a

1 1

+ + +

= + +

+ + +

ab c bc a ca b

A

c a b với a, b, c > a + b + c =

118 Cho cá sốdương a, b, c có a + b + c = Tìm giá trị lớn của: a)

( )(+ +)( );

=

+ + +

ab bc ca

A

a b b c c a

b) = + +

+ + +

a b c

B

a bc b ac c ab

119 Dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, tìm giá trị lớn của: a) = 2 + 2 + 2

+ + + + + +

A

a b c b c a c a bvới a, b, c > a + b + c = 3;

b) 2 12 2 12 2 12

1 1

= + +

+ + + + + +

B

a b b c b c với a, b, c > ab + bc + ca =

120.Tìm giá trị lớn

1 1

= + +

+ + + + + +

a b c

A

b ac c ab a bc với 0≤a b c, , ≤1

121 Cho 0≤a b c, , ≤2

a) Tìm giá trị lớn

8 8

= + +

+ + +

a b c

A

bc ca ab

b) Tìm giá trị nhỏ

( ) (2 ) (2 )2

1 1

= + +

− − −

B

a b b c c a 122 Tìm giá trị nhổ của:

a) 2

2 2

1

+  

= +  + 

 

b c

A a

a b c với a, b, c >

2 2

;

≥ +

a b c

b)

( ) (2 ) (2 )2

1 1

= + +

+ + +

B

a b c với

2 2

3;

+ + =

a b c

c)

2 2

= + +

+ + +

a b c

C

a b b c c a với a, b, c > 0;

d) 31 31 31

2 2

= + +

+ + +

D

a b c với a, b, c >

2 2

3

+ + =

a b c

123 Cho sốdương a, b, c có a + b + c = abc Tìm giá trị nhỏ của:

a) A= + +1 1 ;

a b c b) 2

2 2

− − −

=b +c +a

B

(87)

Chuyên đề

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG CĂN THỨC

TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề bao gồm hai nội dung:

− Bất đẳng thức dạng thức

− Cực trị dạng thức

Các toán cực trị dạng thức thường khó, dạng đơn giản, chuyên đề phân loại dạng sau

− Dạng 2( )+ 2( )

f x g x f x( ) ( )+g x =m

− Dạng f x( )− g x( ) f x( ) ( )−g x = >m

− Dạng a f x( )+b g x( ) f x( ) ( )+g x =m

− Dạng f x( )+ g x( )

− Dạng f x( )+x g x( )

− Dạng f x g x( ) ( ) + h x k x( ) ( ) f x( ) ( )+h x số

− Dạng f x g x( ) ( ) − h x k x( ) ( ) f x( ) ( )−h x f x( ) ( )−k x số

− Dạng 2+ + 2+

f g h k f +h g+k số − Dạng 2+ − 2+

f g h k f −h g−k số − Dạng chứa phân thức

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG HÌNH HỌC

Xuân đố Mai chứng minh bất đẳng thức sau hình học

1

− + − ≤

a b ab

(88)

Kẻđường vng góc CH =1và đường xiên CA= a

=

CB b( H nằm A B, h.4)

Khi HA= a−1, HB= b−1

Ta có AB CH =2SABC ≤CA CB

( 1 1)

1

⇒ − + − ≤

a b a b

a b ab

I BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG CĂN THỨC Ví dụ 1 Chứng minh bất đẳng thức

1

− + − ≤

a b ab ( )1

Giải

Cách ( đặt ẩn phụ biến đổi tương đương) Đặt a− =1 x, b− =1 y Ta có

( )1 ( 1)( 1)

2

⇔ + ≤ + +

⇔ + + ≤ + + +

x y x y

x y xy xy x y

2

⇔ xy≤xy+

( )2

1

⇔ xy− ≥ , Vậy ( )1

Xảy bất đẳng thức xy= ⇔ + =1 a b ab

Cách 2 ( dung bất đẳng thức cÔ-si)

( ) 1

1 ⇔ a− + b− ≤1

ab ab Gọi vế trái A ta có

1 1 1 1

2 =2 − +2 − ≤ − +   + − + =2

   

a b a b

A

a b b a a b b a

(89)

Cách 3 ( dung bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

( ) (2 )2 ( )( )

1 1.1 1 1 1

− + − = − + − ≤ − + + − =

a b a b a b ab

1

⇒ a− + b− ≤ ab

Cách ( dung hình học)

Xem cách giải phần Tổng quan vềchuyên đề

Ví dụ 130 Cho sốdương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh bất đẳng thứ

( )

2 2

1+a + 1+b + 1+c ≤2 a b c+ +

Giải

Ta có nên

( )( )

2

1

2

+ + + +

+a = a b+ a+c ≤ a b a c = +a b c Từđó

( )

2 2

1 1

2 2

2

+ + +

     

+ + + + + ≤ +  + +  + + 

     

= + +

b c c a a b

a b c a b c

a b c

Xảy đẳng thức

= = =

a b c

Ví dụ 131 Chứng minh bất đẳng thức

( )2

2

+ + + ≥ +

x y x y

x y y x

Giải

Ta có ( ) ( )

2

1

2 2

+ + + = +  + + ≥  + + 

   

   

x y x y x y

x y xy x y

Ta chứng minh ( )2

2

 + + ≥ +

 

 

xy x y x y y x

( )

2

 

⇔  + + − − ≥

 

(90)

2

1

0

2

     ⇔  −  + −  ≥

   

 

 

xy x x ,

Từ ( )1 ( )2 suy điều phải chứng minh

Xảy đẳng thức x= =y

= =

x y

2

+ + ≥

+ + +

a b c

b c c a a b với a b c, , >0

Giải

Gọi vế trái A Ta có:

( ) ( )

2 2

1

2

= ≥ + + =

+ + + +

c c c c

c a b

a b c a b c a b

Áp dụng bất đẳng thức 1+ ≥1 +

x y x y với x y, >0 ta có:

1

 + +  + 

 +   + 

   

a b

b c c a

( ) 1 4( ) ( )

2

+ +

 

= + +  + ≥

+ + + +

 

a b c a b c

b c c a c a b

Từ ( )1 ( )2 suy

( )

4

2

+ + +

+ ≥ = ⇒ ≥

+ +

a b c c

A A

c a b

II CỰC TRI DẠNG CĂN THỨC 1 Dạng 2( )+ 2( )

f x g x f x( ) ( )+g x =m

Để tìm giá trị nhỏ dạng trên, có hai cách:

(91)

Ví dụ 133 Tìm giá trị nhỏ A= x+ 2x− +1 x− 2x−1

Giải

ĐKXĐ:

2

≥

x

Cách 1.Đặt 2x− =1 y Ta có:

( ) (2 )2

2 2 2 2

1 2

1 1 1

2

min 1

= + − + − −

= + + + + −

= + + − = + + − ≥ + + − =

⇒ ≥

= ⇔ = ⇔ =

A x x x x

y y y y

y y y y y y

A

A y x

Cách Ta có: 2 ( )

2 2

= + − + − − + − −

A x x x x x x

=2x+2 1− ≥x 2x+2 1( −x)=2

minA= 2⇔ =x

2 Dạng 2( )− 2( )

f x g x f x( ) ( )−g x = >m

Để tìm giá trị lớn dang trên, ta dung bất đẳng thức Xảy đẳng thức chì g x( )=0 f x( )=g x( )

Ví dụ 134. Tìm giá trị lớn biểu thức 2

3

= − + − − −

A x x x x

Giải

ĐKXĐ: x≤ −2 x≥3

Áp dụng bất đẳng thức a− b≤ a b− ta có ( ) ( )

2

3

6

maxA

2

3

≤ − + − − − = =

 − − =  =

= ⇔ ⇔ = −

− + = − − 



A x x x x

x x x

x x x x x

(92)

Để tìm giá trị lớn dạng trên, ta dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

( )2 ( ) ( )

2 2

+ ≤ + + + = + +

a f b g a b f g a b m

Trong sốtrường hợp, xét (a f +b g)2 dung bất đẳng thức Cô-si

Trong sốtrường hợp, có thểtìm giá trị nhỏ dạng tr6n cách xét bình phương biểu thức

Với dạng f x( )+ g x( ) f x( ) ( )+g x =m, ta tìmđược giá rị nhỏ

nhất cách xét bình phương biểu thức dung bất đẳng thức

( )+ ( )≥ ( ) ( )+ =

f x g x f x g x m

Ví dụ 135 Cho biểu thức A=3 x+ 10−x

a) Tìm giá trị nhỏ A b) Tìm giá trị lớn A

Giải

ĐKXĐ: 0≤ ≤x 10

a) ( ) ( )

9 10 10

= + − + −

A x x x x

( )

8 10 10 10

= x+ + x −x ≥ ( x≥0)

( )

0

min 10

10

= 

= ⇔ ⇔ =

− = 

x

A x

x x

b) Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

( )2 ( )( )

2 2

3 10 10 100

max 10 10

3

= + − ≤ + + − =

= ⇔ = − ⇔=

A x x x x

x

A x

Lưu ý Có thể giải câu a) cách dung bất đẳng thức Cô-si

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 10 10 20

9

max 10

1 10

= + − ≤ + + + − =

= 

= ⇔ ⇔ =

= −



A x x x x

x

A x

x

(93)

2A=6 x −4 4x− =3 4x +4 4x− Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

( )2 ( )2 ( 2 2)( )

2A = 3 4x +4 4x− ≤ 3 +4 4x 4x+ − =25 5

2A 5 A

2

⇒ ≤ ⇒ ≤

5 max A

2

= 4x 1 4x

3 4

−

⇔ = x 9

100

⇔ =

Lưu ý: Cũng viết dạng A 3 x 4 1 x 4

= + − dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki được: A2 (32 42) x 1 x 25

4 4

 

≤ +  + − =

 

5 A

2

⇒ ≤

Ví dụ 137 Cho sốdương a, b, c thoả mãn a + + =b c 3 Tìm giá trị lớn của: a) A= 2− +a 2− +b 2−c;

b) B= 5 a− + 5− +b 5 c− .

Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 2 a− = 1.(2 a)− 1 (2 a) 3 a

2 2

+ − = −

Từđó

2A≤ − + − + −(3 a) (3 b) (3 c) = − + + = − =9 (a b c) 9 3 6⇒ ≤A 3

max A=3

1 a 1 2 b 1 c

= − 



⇔ = −

 = − 

a b c 1

⇔ = = = b) Áp dụngbất đẳng thức Cô-Si:

4

2 4(5 )

2

a a

a a + − −

− = − ≤ = Từđó

4B=(9−a)+ − + − =(9 b) (9 c) 27−(a+ +b c)=27− =3 24⇒ ≤B Max B

4

6

4

a b c

= −  

= ⇔ = −

 = − 

⇔ = = =a b c

Lưu ý: ởcâu a) ta viết 2− =a 1.(2−a), biểu thức dấu nhân với k1=1

(94)

Có khác nói bất đẳng thức

2

x y

xy ≤ + , đẳng thức xảy tạix = y, nên

ta phải trọn k1 k2 cho k1=2−a k2=5−a

Ởhai câu a b vai trị bình đẳng a, b, c ta dựđoán cực trị xảy a = b = c = 1, k1 = 2−a=2 1− =1 k2=5− = − =a

4 Dạng f x( )+ g x( )

Để tìm giá tri lớn dạng trên, trường hợp mà ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si hay Bu-nhi-a-cốp-xki.Cần ý dạng sau:

a) Dạng A=mx+ ax+b

a

m+ = Dùng bất đẳng thức Cơ-si ta có:

1

1.( )

2

b ax

ax+b ≤ + + 1

2 2

b ax b

A mx + +

⇒ ≤ + + =

b) Dạng B=

mx n a x

= + − Dùng bất đẳng thức Bu-nhi-cốp-xki ta có

2 2 2 2

( ) ( )( ) ( )

B = mx+n a−x ≤ m +n x + −a x =a m +n

Ví dụ 138 Tìm giá trị lớn Α = +x − x

ĐKXĐ :

x≤

Cách 1.Áp dụng bất đẳng thức cô-si:

( ) (1 )

1

2

x

x x x + −

Α = + − ≤ + =

1 1

maxΑ = ⇔ = − x⇔ =x

Cách 2.Đặt 2− x = y

2

1

y

x= − Ta có

( )

2

1

2 2

2

y

y y y y

−

Α = + ⇒ Α = − + = − − ≤

1

maxΑ = ⇔ = ⇔ =y x

2

x x x

Α = = − − +

Giải:

ĐKXĐ : 3− ≤ ≤x

Cách ( )2

4

x x

Α = + − + Đặt x+ =1 y ta có

2

1 y y

Α = − + + −

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

( )2 ( )( )

2 2 2

(95)

2

4 8 2

y y

⇒ + − ≤ ⇒ Α ≤ − + = −

2

2 2

maxΑ = − ⇔ =y −y ⇔ =y ⇔ =x −

Cách Gọi a giá trị biểu thức Α.Ta có

2

a= + − −x x x+

( )

2

a x x x

⇔ − = − − + Với a≥x

( ) 2

1 ⇔a +x −2ax= − −x 2x+3

( ) ( )

2

2x a x a

⇔ − − + − =

Để tồn x, phải có ∆ ≥ ⇒′ a2+2a− ≤7

( )2

1 2

a a

⇒ + ≤ ⇒ ≤ −

2 1,

maxΑ = − ⇔ =x − a=2 1,− thỏa mãn x≤a

1 2

x x x

Α = + − −

Giải:

ĐKXĐ

:1 2− x−2x ≥0

Có thể giải hai cách Ví dụ 139.Cách giải dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki sau:

2

1

2

x x x x x 

Α = + − − = + − +   

Đặt ,

x+ = y ta có

2

2 y y

Α = − + + − Xét

2

2 2 2

3

1 ( 2)

4 4

y y y y

    

+ − ≤ + + − =

    

   

 

2

3 3

2

4 2

y y

⇒ + − ≤ ⇒ Α ≤ − + =

Ví dụ 140 Tìm giá trị lớn :

A= +x 2x− −2x

Giải:

Có thể giải hai cách ví dụ 139 Cách giải dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki sau:

2

1

A x x x x x

2

  = + − − = + − + 

 

Đặt x y

+ = , ta có

A y y

2

(96)

Xét ( )

2

2 2

3

1.y y y y

4 4

    

+ − ≤ + + − =

   

     

 

2

3 3

y y A

4 2

⇒ + − ≤ ⇒ ≤ − + = Max

2

3 y

1

A y y x

2

−

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = thỏa mãn

1 2x− −2x ≥0

Lưu ý: Có thể giải cách dùng bất đẳng thức Cô-si:

( 2) ( 2)

2

1 2x 2x

A x 1 2x 2x x x

2

x

max A x

1 2x 2x

+ − −

= + − − ≤ + = − ≤

= 

= ⇔ ⇔ =

= − −



(Ta gặp may mắn x = thỏa mãn

1 2x= − −2x )

5 Dạng f (x)+x g(x)

Dùng bất đẳng thức Cô-si Bu-nhi-a-cốp-xki Cần ý dạng sau: a) Dạng

A=x a−x

Dùng bất đẳng thức Cô-si: ( )

2 2 x a x a

A x a x

2

+ −

= − ≤ =

b) Dạng

B=mx+x a−x Trước hết xét:

( )( )

2 2

m+ a−x = m m a+ −x ≤ m m a+ + −x

Sau đưa dạng

Ví dụ 141 Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn của:

A=3x+x x −

Giải:

ĐKXĐ: − 5≤ ≤x

( 2)

A=x 3+ x−

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:

( ) (2 )2 ( )( )

2 2

3 5+ −x = 3 5+ −x ≤ +3 5+ −x

( 2)

4 x

= −

2

3 x x

⇒ + − ≤ −

( )

2 2

2 8

A x x x x

(97)

2 2

3

8 3

8

x

A x

x x



= −



= ⇔ ⇔ = ±

 = −



min A= − ⇔ = −8 x 2; max A= ⇔ =8 x 2

6 Dạng f x g x( ) ( ) + h x k x( ) ( ) f x( ) ( )+h x g x( ) ( )+k x số

Ví dụ 142 Cho 2

5 18

A= x−x + + x−x

a) Tìm giá trị lớn A

b) Tìm giá trị nhỏ A

Giải:

(5 ) (6 )( 3)

A= x −x + −x x+

ĐKXĐ:

0

3

x

x x

≤ ≤ 

⇔ ≤ ≤ − ≤ ≤



a) Do 0≤ ≤x 5 nên có thể viết

A= x 5− +x 6−x x+3

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ki ta có:

( )2 ( )( )

2

48

A + x − +x −x x+ ≤ x+ −x − + +x x =

A

⇒ ≤

max 15

5

x x

A x

x x

−

= ⇔ = ⇔ =

− +

b) ( 2) ( )

5 18

A= x−x + x−x + − x (1)

Do 0≤ ≤x nên 18 2≤ − x≤18 (2)

Do

5x−x ≥0 nên từ (1) (2) suy

18 2

A≥ − x ≥ =

minA=2 2⇔ =x

Lưu ý Mặc dù

48

A ≤ kết luận minA= − 48 ta ln có A≥0

7. Dạng f x g x( ) ( )− h x k x( ) ( ) f x( ) ( )−h x g x( ) ( )−k x số

Ví dụ 143 Tìm giá trị nhỏ

(7 )( 1) (4 )

A= −x x+ − x −x

Giải:

ĐKXĐ:

0

x x

− ≤ ≤ 

 ≤ ≤

 ⇔ ≤ ≤0 x

Do 0≤ ≤x nên ta viết

7

A= −x x+ − x −x

Xét (7−x)(x+ −1) (x 4−x)=2x+ >7 (do x≥0) nên A>0

Áp dụng bất đẳng thức ( )2 ( 2 2)( 2 2)

ab cd− ≥ a −c b −d (xảy đẳng thức ad =bc) viết

(98)

7 ,

A= −x x+ − x −x ta có

( ) ( ) ( )

2

7

A ≥ −x − −x    x+ −x=

Do A>0 nên A≥

( ) ( )( )

minA= 3⇔ 7−x x= x+1 4−x ⇔ =x

8. Dạng 2 2

f +g + h +k f +h k+g số

Ví dụ 144

a) Chứng minh bất đẳng thức

( ) (2 )2 ( )

2 2

+ + + ≥ + + +

f g h k f h g k

b) Tìm giá trị nhỏ

2

4 17

= + + + +

A x x x

Giải

a) ( ) 2 2 ( 2)( 2) 2 2

1 ⇔ f +g +h +k +2 f +g h +k ≥ f +h +2fh+g +k +2gk

( 2)( 2)

⇔ f +g h +k ≥ fh+gk

2 2 2 2 2 2

2

⇔ f h + f k +g h +g k ≥ f h +g k + fhgk

( )2

0,

⇔ fk−gh ≥

Xảy đẳng thức fk = gh b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có

( )2 ( ) (2 )2

2

2 4

= + + − + ≥ + − + + =

A x x x x

minA = 4( )

⇔ x = −x ⇔ =x

9. Dạng + − +

f g h k trong f – g g – k đều hằng số Ví dụ 145

a) Chứng minh bất đẳng thức

( ) (2 )2 ( )

2 2

+ − + ≤ − + −

f g h k f h g k

b) Tìm giá trị lớn

2

4 13

= + + − + +

A x x x x

Giải

a) ( ) 2 2 ( 2)( 2) 2 2

1 ⇔ f +g +h +k −2 f +g h +k ≥ f +h −2fh+g +k −2gk

( 2)( 2) ( )

2

⇔ fh+gk ≤ f +g h +k

Nếu fh + gk < (2) Nếu fh + gk ≥

( ) 2 2 2 2 2 2

2 ⇔ f h +g k +2fhgi≤ f h + f k +g h +g k

( )2

0

(99)

0

= 

 + ≥ 

fk gh

fh gk

b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có

( )2 2 ( )2 2 ( ) (2 )2

2 2

= + + − + + ≤ + − − + − =

A x x x x

( ) ( )

( )( )

2

2 3.2

+ = + 

= ⇔ + ⇔ =

+ + ≥ 

x x

max A x

x x

Với x = A=3 2−2 =

Vậy maxA= 2⇔ =x

10.Dạng chứa phân thức

+ =

−

x A

x

Giải

ĐKXĐ: x >

Đặt x− = >4 y x= y2 +4.Ta có

2

5 5

2

+

= y = + ≥ =

A y y

y y y

2

5

minA=2 5⇔ =y ⇔ y = ⇔ =5 x

y

2

5

+ =

−

x A

x

Giải

ĐKXĐ: -3 < x < Do A > Gọi a trị biểu thức A Ta có

( ) ( 2)

2

5

1 10 25

9

+

= ⇔ + + + − =

−

x

a a x x a

x

Để tồn x, phải có 2( )

' 16

3

∆ ≥ ⇔a a − ≥ ⇔ ≥a

4

min

3

= ⇔ = −

A x

BÀI TẬP Bất đẳng thức dạng thức

124 Chứng minh bất đẳng thức: a) 2 2 2 2 ( ) (2 )2

;

+ + + ≥ − + −

a b c d a c b d

b) x y− +1 y x− ≤1 xy ; c) + + ≥2,

+

xy x y

(100)

d) 1 1

+ + +

≥ + + +

a b c

a b c với a, b, c > abc = ;

e)

2 2

1 1

+ +

− − −

a b c

với a, b, c > 2

1

+ + =

a b c

Cực trị dạng thức

125 Tìm giá trị nhỏ của:

a) 2

4 16 ;

= − + + − +

A x x x x

b) 2

2 12 9 24 16

= − + + + + + − +

B x x x x x x

126 Tìm giá trị lớn A= 2x+ −3 2x−5

127 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: a) A= x− +4 6−x ;

b) B=4 x+3 1−x

128 Tìm giá trị lớn của: a) A= 2x+ +4 2−x ;

b) B= 2a+ +1 2b+ +1 2c+1 ;với a, b, c > a2 +b2 +c2 =3; c) C= a− +1 b−1với a≥1,b≥1 ab = 4;

d) 3

1

= + + +

D x y với x, y > x2 + y2 =8

129 Tìm giá trị lớn của:

a)

2 ;

= − + −

A x x

b)

2 ;

= + − + +

B x x x

c)

2 11

= + − − −

C x x x

130 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của:

1

= −

A x x

131 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 2

2

= − + − +

A x x x x

132 Tìm giá trị nhr của:

a) A= x(3−x)− (2−x)(x−1 ;)

b) ( )2

16

= − − − −

B x x

133 Tìm giá trị nhỏ 2

1

= + + + − +

A x x x x

134 Tìm giá trị lớn của: a) A= x−3 ;

x b)

4

− =

+

x B

x

3

= + −

(101)

LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ

Chuyên đề

BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 1 Bạn đọc tự giải

2 Do 2

14

+ + =

a b c nên a4 +b4 +c4 +2(a b2 +b c2 +c a2 2)=196 ( )1

Do a + b + c = nên 2 ( )

2

+ + + + + =

a b c ab bc ca , lại có

2 2

14

+ + =

a b c nên ab + bc + ca = -7

Suy ( )2 2 2 2 ( )

49 49,

+ + = ⇒ + + + + + =

ab bc ca a b b c c a abc a b c

Lại có a + b + c = nên 2 2 2 ( )

49

+ + =

a b b c c a

Từ (1) (2) suy 4

196 2.49 98

+ + = − =

a b c

3 Ta có ( )( )

1 1

= − + +

n n n

 50  

49 49 49

99 8.10 99 00

= + =

chu so chu so chu so

Tổng chữ số n2 9.49 + + = 9.50 = 450

4 a) 8 ( ) 2( ) ( )

1 1

+ + = − + + + = − + + +

x x x x x x x x x x

Đáp số: ( )( )

1

+ + − + − +

x x x x x x

b) 3( − 2)+ 3( − 2) (+ − 2)

a b c b c a c a b

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 2 2 2 2 2 3 2 3

 

= − −  − + − + −

= − − − − −

a b c b b c a b c a b

b c a b a b b c

Đáp số: (a−b b)( −c)(a−c)(ab+bc+ca)

c) ( )5 5 5 4 3 2 2 3 4

5 10 10

+ − − = + + +

x y x y x y x y x y xy ( 2 3)

5 2

= xy x + x y+ xy +y

Phân tích đa thức dấu ngoặc

( ) ( )( )

3 2

2

+ + + = + + +

x y xy x y x y x xy y Đáp số: ( )( 2)

5xy x+y x +xy+ y

d) ( )2 7 7 ( 5 4 3 2 2 3 2 5)

7 5

+ − − = + + + + +

a b a b ab a a b a b a b ab b

Gọi biểu thức dấu ngoặc A, ta có

( ) ( ) ( )

( ) ( )

5 3 2

4 2 2 2

3

= + + + + +

 

= +  − + − + + − + + 

A a b ab a b a b a b

a b a a b a b ab b ab a ab b a b

(102)

( )

4 2

4 2 2 2

2

= + + + +

= + + + + +

= + +

B a a b a b ab b

a a b b ab a b a b

a b ab

Vậy ( )7 7 ( )( 2)

7

+ − − = + + +

a b a b ab a b a ab b

5 Đặt =( + + )5 − − −

A a b c a b c Hãy lập luận để có

( )5 5 5 5 ( )( )( ) ( 2 2 2) ( )

 

+ + − − − = + + +  + + + + + 

a b c a b c a b b c c a m a b c n ab bc ca

Thay a = 0, b = c = vào, ta 30 = 1.2.1(2m + n) nên 2m + n = 15 Thay a = 0, b = 1, c = vào, ta 240 = 2.2.2(3m + 3n) nên m + b = 10 Từđó m = n =

Đáp số: ( )( )( )( 2 )

5

= + + + + + + + +

A a b b c c a a b c ab bc ca 6 Đặt ( 2 2 ) (2 2 2 )2 ( )2

1

= + − + + − + +

A a b c d ac bd

Do giả thiết nên A =

Đặt ( 2 2 ) (2 2 2 )2 ( )2

1

= + − + + − + +

B a c b d ab cd Ta chứng minh B =

Xét hiệu A – B, chứng minh A – B = để suy B =

7 Từ (ad + bc)(ac + bc) = cd suy

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1

+ + + =

⇒ + + + =

a cd abd abc b cd cd

cd a b ab c d cd

Do a + b = nên 2

1

+ = −

a b ab

Thay vào (1) rút gọn ab(c – d)2 =

Từđó suy a = b = c = d

8 Từ giả thiết suy a + b + c = 2 ( )

+ + − − −

x y z xy yz zx

Cũng từ giả thiết ta có

( ) ( ) ( ) 3

3

+ + = − + − + − = + + −

ax by cz x x yz y y xz z z xy x y z xyz

( )( 2 )

= x+ +y z x +y +z −xy−yz−zx (theo đẳng thức)

Kết hợp với (1) suy ax + by + cz = (x + y + z)(a + b + c)

9 Gọi bốn số phải tìm a, b, c, d Ta có

( )2

= + +

a b c d b=(a+ +c d)2 nên

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2

− = + + − + + = − + + + ⇒ − + + + + =

b a a c d b c d a b a b c d

a b a b c d

Do a b c d, , , ≥0nên a = b Tương tựta a = b = c = d

Suy ( )2 ( )

0

9 1

=  

= + + ⇒ − = ⇒

 = 

a a a a a a a

a Đáp số: Mỗi số

(103)

10 Đặt =( )(− ) (+ )(− ) (+ )(− )

− − − − − −

b c c a a b

A

a b a c b c b a c a c b

Ta có

( )( ) (( ) ()( )) 1

− − −

− = = −

− − − − − −

a c a b

b c

a b a c a b a c a b a c nên

1 1 1 2

= − + − + − = + +

− − − − − − − − −

A

a b a c b c b a c a c b a b b c c a

11.Ta có 2 2 2

0 2

+ + = ⇒ + = − ⇒ + + = ⇒ + − = −

a b c a b c a ab b c a b c ab

Tương tự 2 2 2

2 ,

+ − = − + − = −

b c a bc a c b ac

Suy 1

2 2

+ +

= + + = =

− − − −

a b c

A

ab bc ac abc

12.Từ giả thiết suy a + b + c = 2(ax + by + cz) = 2(c + cz) = 2c(z + 1) nên 1=

+ + +

c

z a b c

Tương tự ,

1= 1=

+ + + + + +

a b

x a b c y a b c

Suy 1 2 2

1 1

+ +

+ + = =

+ + + + +

a b c

x y z a b c

13.Theo giả thiết a2 + b2 + c2 =b2 +c2 +a2 ( )1

a b c

b c a

Đặt a2 =x, b2 = y, c2 = z

b c a (1) trở thành ( )

1 1

+ + + + = + + = yz xz xy

x y z

x y z xyz

Do abc = nên xyz = a2 b2 c2 = =1 ( )3

abc

b c a

Từ (2) (3) suy x + y + z = xy + yz + xz (4)

Ta cần chứng minh ba số x, y, z tồn số bằng cách chứng minh

(x−1)(y−1)(z− =1)

Hãy chứng minh (x−1)(y−1)(z− =1) (xyz− +1) (x+ + −y z xy−yz−xz)rồi sử dụng (3)

(4)

14.a) Ta có 1 ( ) 2( )2 ( (1)( )2)

1 1

− +

+ −

− = − = =

+ + + + + +

n n

n n n n n n n Do

1.4 2.5 99.102 1.2 99 4.5 102 102 17

2.3 3.4 100.101 2.3 100 3.4 101 100 50

= = = =

A

b) Đặt2 98

3+ +4 +99 = x

99 1 99

100 2 100

    

= +  +  − + + 

    

B x x x x Rút gọn biểu thức 200

=

B

c) Ta có

( )

( )( )

( )

2

4

1

2

− +

− =

+ +

n n

(104)

2 2

1.5 3.7 97.101 1.3 97 5.7 101 101 101

3.5 99 3.5 99 99 297

3 99

= = = =

C

d) Ta có ( )

( )

( ) ( )2 ( ) 2 ( )( )

3

3 3 2

3 2 3

2

3

3 3

1

 

+ + − + + + + +

+ +  

= = = +

+ + + +

+ −

n n n n n n n n

n n

n

n n n n

n n Do

đó

(3.1 1) (3.2 1) (3.20 1) (3 20) 20 650

= + + + + + + = + + + + =

D

15. Điều kiện x≥0,y≥0,x+ ≥y m Ta có

+ − = + − ⇔ + − + = +

x y m x y m x y m m x y

Bình phương hai vếta được:

( )

( )( )

2

0

+ − + + + − = + +

⇔ + − = ⇔ + − − =

⇔ − − =

x y m m m x y m x y xy m x y m xy mx my m xy x m m y

Vậy x = m y ≥ y = m x ≥

16 Ta tính được a2 = −1 2,a3 = − +(1 ,) a4 = +1 2,a5 = 2−1

Suy a1 =a5 =a9 = = a97

a4 =a8 =a12 = = a100

Vậy a100 = +1

17.Ta có 2 ( )( )

1

+ = + + + = + +

b b ab bc ca b c b a

Tương tự, ( )( ) ( )( )

1 ;

+ = + + + = + +

c c a c b a a b a c

Suy ( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )

2

1

+ + + + + +

= = +

+ +

+

b c b c b a c a c b

b c a b a c

a

Do A=a b( +c) (+b c+a) (+c a+b)=2(ab+bc+ca)=2

18.Ta có

2

− =

m

Lập phương hai vế rút gọn ta

( )

3

6 3

+ − = +

m m m

6

6 12 36

− − + − + =

m m m m m

Phương trình lập

6

6 12 36

− − + − + =

x x x x x

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 19 a) Trừ vào phân thức vế trái, trừ vào vế phải

Rút gọn ( − − − )1+ +1 1=0

 

x a b c

(105)

Nếu 1+ + ≠1

a b c phương trình có nghiệm x = a + b + c

Nếu 1+ + =1

a b c phương trình có nghiệm số thực

b) x + x + x = a + b + c + + +2 2

bc ac ab bc ac ab a b c

( ) ( )

2 2

+ + + + + + +

⇔ =

⇔ + + = + +

a b c a b c bc ac ab x

abc abc

a b c x a b c

Nếu a+ + ≠b c 0(và a, b, c ≠ 0) phương trình có nghiệm x = a + b + c

Nếu a+ + =b c 0(và a, b, c ≠ 0) phương trình có nghiệm số thực

c) ĐKXĐ: x≠a x, ≠b

Đặt x− = ≠a y đặt x – b = z ≠ Ta có

( )2 2

2

+ = ⇔ + = ⇔ − = ⇔ =

y z

y z yz y z y z

z y

Ta có x – a = x – b ⇔0x= −a b

Nếu a = b phương trình có nghiệm số thực khác a Nếu a ≠ b phương trình vơ nghiệm

20 a) x+ + + + + + + =1 x x x 4

Xét x+ + + = − − + + ≥ − − + + =1 x x x x x 2;

1

1 3

3

− − ≥ 

+ + + = ⇔ + ≥ ⇔ − ≤ ≤ − 

x

x x x

x

Xét x+ + + = − − + + ≥ − − + + =2 x x x x x 2;

2

2 4

4

− − ≥ 

+ + + = ⇔  + ≥ ⇔ − ≤ ≤ − 

x

x x x

x

Vế trái (1) lớn Do

( )1 3

4

− ≤ ≤ − 

⇔− ≤ ≤ − ⇔ − ≤ ≤ − 

x

x x

b) x− + − + + + + + + =3 x x x x 12 (1) Hãy chứng minh

3

− + + ≥

x x : xảy dấu “=”⇔ − ≤ ≤5 x 3;

1

− + + ≥

x x : xảy dấu “=”⇔ − ≤ ≤3 x 1;

1 0;

+ ≥

x : xảy dấu “=”⇔ = −x

Vế trái (1) lớn 12 Do ( )

5

1 1

1

− ≤ ≤ 



⇔ − ≤ ≤ ⇔ = −

 = −



x

x x

x

(106)

Xét bốn trường hợp: a) x≥a x≥2

( ) ( )

( )

1

3 1,

1

3

⇔ − − − = ⇔ = − − ≥ ≤   ⇔ ⇔ ≤  − ≥  ≤  

x a x x a

a a a

a

a a

b) x≥a x≤2

( ) ( )

( )

5

1

3 2, 3 + ⇔ − + − = ⇔ = +  ≥   ≤  ⇔ ⇔ ≤  +  ≤   ≥  a

x a x x

a

a a

a

a a

c) x≤a x≥2

( ) ( )

1

3

+ ⇔ − −a x x− = ⇔ =x a

( ) 1, 3 3 +  ≤   ≥  ⇔ ⇔ ≥  +  ≥   ≥  a a a a a a

d) x≤a x≤2

( ) ( )

( )

1

5 2,

3

5

⇔ − + − = ⇔ = − − ≤ ≥   ⇔ ⇔ ≥  − ≤  ≥  

a x x x a

a a a

a

a a

Từ(2), (3), (4), (5) suy ra: Để (1) có nghiệm Hoặc

1 3 ≤   +  − =  a a

a

3 ≥   +  = −  a a a

Tức a = a =

22 a) ( )2 ( 2 )

'

∆ = m+ − m + m− = > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Giải phương trình x1 = + − = −m m 1, x2 = + + = +m m

Từ

3

− > − 

 + < 

m

m ta − <1 m<0

23 Theo hệ thức Vi-et:

( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 + = −   =   − + − = −   − − = − 

x x a x x b

x x a

x x ab

Từđó

(107)

Đáp số : 1,

= − ≤

a b a = 2, b = -1

24 Theo hệ thức Vi-et:

1 2

+ = − 

 = − 

x x a

x x

1 3

+ = − 

 =



x x b

x x

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1 2 3 3 2 3

1 3 2 3

2

2 2

2 2.1

− − = + −    + − 

= + + − + − + +

= − − − − − − +

= − − = − − − =

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

a b x x x x x x x x x x ab x x x x ab ab

25 Với m≠1thì phương trình có hai nghiệm 1 1, 2

= − = −

x x

m

Đáp số: m = 0, m =

26 Ta có: ( )2 ( )2

0 8

∆ ≥ ⇔ m+ − ≥ ⇔ m+ ≥

Xét 2 2 ( )2 ( )2

1 + = + −2 = +1 − ≥ − =4 4

x x x x x x m

( ) ( )

2

1 2 2 2

1

2 4

min 2

+ = + − = + − ≥ − =

+ = ⇔ + = ⇔ = − ±

x x x x x x m

x x m m

27 Ta có ( )2

8

∆ = m + m+ = m+ + m + >

Đặt

( )

1

2

+ = + =

− +

x x m

a

x x m ta ( ) ( )

2

2 2

+ + + =

am m a

Với a =

= −

m

Với a ≠ 0, để (2) có nghiệm phải có ∆ ≥'

2

2 1

2

⇔ a + − ≤ ⇔ − ≤ ≤a a

1

2

= − ⇔ = = ⇔ = −

a m

a a

Đáp số: minA = -1 m = 1; maxA

= m = -2

28 a) m nghiệm chung (1) (2) nên

( ) ( )

2

1

0

+ + = + + =

m am

m bm c

Lấy (5) trừ (6) theo vếđược

(a−b m) + − =1 c 0.Do a ≠ b nên = −1 ( )7

−

c m

a b

Do n nghiệm chung (3) (4) nên

( ) ( )

2

0

+ + = + + =

n cn b

n n a

(108)

Lấy (8) trừ (9) theo vếđược (c – 1)n + b – a = Ta thấy c ≠ 1, c = từ (7) có m = 0, trái với (5)

Do ( )10

1

− =

−

a b

n c

Từ (7) (10) suy n=

m Thay vào (9)

2

1

a m am (11)

m m

  + + = ⇒ + + =

   

Lấy (11) – (5) 2

am + −m m −am=0

m(am m a)

am a m a ( m 0)

(a 1)(m 1)

⇒ + − − =

⇒ + − − = ≠

⇒ − − =

Nếu a = (1)

x + + =x 0, vô nghiệm Vậy a ≠1 Khi m = n =

b) Thay m = vào (5) a = -2 Thay m =1 vào (6) b + c = -1 Vậy a + b + c = -3

29

a) Hoành độgiao điểm đường thẳng d parabol y = x2 nghiệm của phương trình

x2 – x – =

Do ac = - < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu, d ln cắt parabol hai điểm A, B phân biệt

b) Gọi tọa độ A, B ( x1; y1); ( x2; y2)

Do x1; x2 nghiệm (1) nên x1 + x2 = m x1 x2 = -3

Do A B thuộc d nên y1 = mx1 + y2 = mx2 +

Ta có AB2 = ( x1 – x2)2 + ( y1 – y2)2

( x1 – x2)2 = ( x1 + x2)2 – 4x1x2 = m2 + 12;

( y1 – y2)2 = ( mx1 - mx2)2 = m2( x1 – x2)2 = m2( m2 + 12)

Nên AB2 = (m2 + 12) + m2( m2 + 12) = ( m2 + 12)(m2 + 1) ≥12

Min AB = 12=2 3tại m = Khi đường thẳng d có phương trình y =

30

Hoành độgiao điểm đường thẳng y = mx +2 parabol y x2

= nghiệm phương trình

x −2mx− =4 (1)

Do ac = -4 < nên (1) có hai nghiệm trái dấu, d cắt parabol hai điểm A, B phân biệt

b) Gọi x1, x2là hoành độ A, B ( x1 < < x2) Kẻ AE, BF vng góc với Oy

Gọi K giao điểm d Oy, ta có K (0; 2) SAOB = SOBK + SOAK = OK

2 BF + OK

(109)

= OK

2 ( BF + AE) = 2

(x x ) x x

2 − = −

Dùng công thức nghiệm dùng hệ thức (x2 – x1 )2 = (x2 + x1)2 – 4x1x2, ta tính

2

x −x =2 m +4 Suy SAOB =x2 −x1=2 m2+4

Do

2 m + =4 nên m= ±1 31

a) Hoành độgiao điểm d parabol nghiệm phương trình

x −2x 8− =0

1

x 2; x

⇒ = − =

b) SABClớn ⇔Khoảng cách từC đến AB lớn

⇔C tiếp điểm đường thẳng d’ ( song song với d) parabol Hoành độ tiếp điểm d’ Parabol nghiệm kép của phương trình

2

x = +x m hay x2−2x− =m Ta tìm m

2

= − , đường thẳng d’ y x

= − , tọa độ C 1;1

 

 

 

MaxSABC = SABDE−SACHE −SBCHD

(8 2).6 (2 0, 5).3 (8 0, 5).3

13,

2 2

+ + +

= − − =

32

a) Hoành độgiao điểm d parabol nghiệm phương trình

2

x − − =x n (1)

Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt

0 4n n

4

− ∆ > ⇔ + > ⇔ >

b) Gọi hoành độgiao điểm A B theo thứ tự x1 x2

Theo hệ thức vi – ét, x1+x2 =1

Gọi x1là hồnh độ điểm I

1

x x

x

2

+

= =

Vậy I chuyển động đường thẳng vng góc với trục hồnh điểm có hồnh độ

33

Đường thẳng qua I ( 0; 1) có phương trình y = kx +1 Giao điểm với parabol

y=x có hồnh độ nghiệm phương trình

2

x −kx 0.− = Do x x1 2 = −1 nên

A B C D

x x = −1, x x = −1 Biết xA= −2 C

1 x

3

= − ta tính B

1 x

2

= xD=3

Vậy B 1;

 

 

(110)

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 34 Rút y từ ( m + 1)x – y = m + y = ( m +1)x – (m +1) Thay vào x + ( m – 1)y = x + (m2 -1)x – (m2 – ) =

2

m x m

⇔ = +

Với m = (1) vơ nghiệm Với m≠0

2

m m

x ; y

m m

+ +

= = Khi

2

2 2

m 2(m 1) m 2m

x 2y

m m m m

+ − + − −

− = = = − −

Đặt z m=

2

x−2y 2z z= − − = − +2 (z 1) ≤2 max(x-2y) = 2⇔ = − ⇔z m= −1

35

Gọi số táo x(quả), giá quảtáo y ( nghìn đồng) Ta có hệphương trình (x 6)(y 2) xy x 24

(x 4)(y 2) xy y 10

+ − = =

 

⇔

 − + =  =

 

Giá táo 10 nghìn đồng

36

a) Ta có xy x y (x 1)(y 1) x

y

=  − − + = ⇔ − − = ⇔ 

= 

Đáp số: (1;1); (1;2); (-4;1) b) Đặt x- y = a; xy = b Ta có a b a

a.b b

+ = =

 

⇔

 =  =

 

a

b

=   = 

Đáp số: (3; 2); (-2;-3); ( + 10; 3− + 10); (3− 10; 3− − 10)

37

a) x2 y2 x (1)

x 2y 2xy (2)

 + + = 

+ + = 

Cộng (1) với (2) ta ( x+ y)2 + 2(x+y) – = Ta x + y = x + y = -4

Thay y = – x vào (1)

2x +9x 13+ =0,vô nghiệm Đáp số: (1;1), 3;

2

 

 

 

b)

3 2

x 2x y 3y (1)

2xy y (2)

 − + =

 

− = 

Thay (1)

2xy−y ta x3−2x y2 +y(2xy−y )2 =0

3 2

x 2x y 2xy y (3)

⇔ − + − =

Do (2) nên y≠0 Chia vế (3) cho y3ta

3

x x x

2

y y y

   

− + − =

   

(111)

Đặt x a

y = Ta có

3 2

a −2a +2a 0− = ⇔(a 1)(a− − + = ⇔ =a 1) a Suy x = y Thay vào (2) x= ±

Đáp số: ( 3; ,) (− 3;− 3)

38

a) Đây phương trình đối xứng loại II

Trừ vếhai phương trình 2

(x−y)(x +xy+y + = ⇔ =3) x y Thay vào phương trình

x −3x− = ⇔2 (x 1) (x+ −2)=0 Đáp số ( - 1; -1); ( 2;2)

b) Đây hệphương trình đẳng cấp bậc Ta thấy y = khơng thỏa mãn hệphương trình Chia hai vế 2

x −3xy 2y+ cho y2 ≠0 đặt x k

y = ta

2 k

k 3k

k

=  − + = ⇔ 

= 

Với k = 1, ta có x = y x2 =

Với k = 2, ta có x = 2y x2 =

Đáp số: (2; 2); ( 2; 2); 6; ; 6;

2

   − 

− −    − 

   

39

( ) ( )

( )( )

2 2

x y 24xy (1)

a)

x y 8xy (2)

 + + =

 

+ + =



x = y = không thỏa mãn (2) Chia hai vế (1) (2) cho xy ≠0

( ) (2 )2 2

1

x y

x y 24

24

x y

1

x y



 + +  + +  + + =

= 

   

 ⇔  

 

 

+ +  

 =  + + =

 

   

 

Đặt x a, y b

x y

   + = + =

   

    ta có

(a 2)(b 2) 24

ab

+ + = 

 =

 nên

a

b

=   =



a

b

=   = 

Với a= 2; b =4 ta x = 1; y = 2± Với a= , b =2 ta x= ±2 3; y =

Đáp số: (1; 2+ ; 1; 2) ( − ; 2) ( + 3;1 ; 2) ( − 3;1)

b) Đường thẳng d qua A ( -2; 4) C 1;

− 

 

 thỏa mãn

x y

1

2

3

+ −

=

− + − , từđó

7

y x

3

(112)

Tọa độ P nghiệm hệ

y

x 7 y x y 3 =   = −  ⇔  = − −    =  

Đường thẳng d qua B 1;

 

 

  D 3;9( )thỏa mãn

1 x y 1 − − =

− − , từđó

7

y x

2

= −

Tọa độ Q nghiệm hệ

5 y x 7 y x y 2 =   =  ⇔  = −    =  

c) Do P

5 x

7

= − nên IP

= Do Q

5 x

7

= nên IQ

= Vậy IP = IQ b) 2 2 1 1 16 x y x y x y x y  + + + =    + + + = 

Đặt x a y; b

x y

+ = + = 2

1

2

x a

x

+ = − , 2

2 y b y + = − Ta có : 2 26

20 a b a b + =   + =

 nên

2 a b =   =



4 a b =   = 

Với a=2,b=4 ta x=1;y= ±2

Với a=4,b=2 ta x= ±2 3;y=1

Đáp số : (1; 2+ 3), (1; 2− 3), (2+ 3;1), (2− 3;1)

Câu 40. a) Điều kiện cần : Giả sử (x y0; 0) nghiệm hệphương trình (y x0; 0)

là nghiệm hệ

Do hệ có nghiệm nên x= y Khi hệphương trình :

2

4

x x m

x m  + =   = 

Từđó x=0 x=4 Suy m=0 m=32

Điều kiện đủ :

• Với m=0, ta có : 22 22 0 0

x y xy x

y x y + + = =   ⇔   = + =  

• Với m=32, ta có : 22 22 32 32

x y xy

x y

+ + = 



+ =

 Đặt x+ =y a xy, =b Ta

2 32 32 a b a b + =   − =  nên 16 a b =   =



(113)

Với a=8,b=16 ta x= =y

Với a= −12,b=56 loại trái với đk : a2 ≥4b

Đáp số : m=0 m=32

b)

2 3

x y my

y x mx

 = + 



= + 

Cũng lập luận tương tựđể có x= y Khi : x2 =x3+mx ⇔ x x( 2− +x m)=0

Do x=0 nghiệm phương trình nên ( )0; nghiệm phương trình Để nghiệm nghiệm phương trình

0

x − + =x m

vô nghiệm, tức ∆ = −1 4m<0

4

m

⇔ >

Câu 41. a)

( )( )

2

1

x y x y

xy x y m

 + + + = 



+ + =



Đặt 2

;

x + =x a y + =y b Điều kiện : 1,

4

a≥ − b≥ − Ta có : a b

ab m

+ =   =



Do : a b, nghiệm phương trình : X2 −2X + =m

Điều kiện đềphương trình có hai nghiệm X X1, thỏa mãn :

1

X ≥ −

1

X ≥ −

là :

1 2

0

1

0

4

1

0

4

X X

  ′∆ ≥ 

 +  + ≥

   

 +  + + ≥

     

1 16

m m

≤   ⇔  ≥ −



Kết luận :

16 m

− ≤ ≤

b) ( )( )

( )

2

xy x y m

x y x y m

+ + =

 

+ + + = + 

( )( )

( ) ( )

2 2

2

x x y y m

 + + =

 ⇔ 

+ + + = +



Đặt

2

x + x=a y2+2y=b Ta có : a=(x+1)2− ≥ − = −1 1,

( )2

1 1

b= y+ − ≥ − = −

Khi a b, nghiệm phương trình : X2−(m+1)X+ =m X

X m

=  ⇔  =



(114)

Kết luận : m≥ −1

Câu 42. Đặt x+ =y a xy, =b, ta có :

1

a b m

ab m

+ = 

 = −

 nên

1

a

b m

= 

 = −



1

a m

b

= − 

 =



Loại trường hợp a=1 x+ =y 1, trái với điều kiện x<0,y<0

Với 1

a m

b

= − 

 =

 x y, nghiệm phương trình ( )

2

1

X − m− X + = Ta tìm

được điều kiện đểphương trình có hai nghiệm âm m≤ −1

Câu 43. a) Đưa :

( )( )

1

1 10

1 15

x y

y z

z x

+ + = 



+ + = 

 + + = 

Nhân vếcác phương trình

Đáp số : (2;1; 4), (− − −4; 3; 6)

b) Đưa : ( ) (2 ) (2 )2

2 2

x− + y− + −z =

Đáp số : (2; 2; 2)

Câu 44. a) ( )

( )

2 2

2 21

4 34

x y z

x xy z

 + + = 



+ + = 

Lấy ( ) ( )1 − đưa (x−2) (2+ x−y) (2+ −z 3)2 =0

Đáp số : (2; 2;3)

b) Giải tương tự cách ví dụ 28

Đáp số : (1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0;1)

Câu 45. Nhân vếhai phương trình (x y z) 1

x y z

 

+ +  + + =

 

Áp dụng bất đẳng thức (x y z) 1

x y z

 

+ +  + + ≥

  với x y z, , >0

Đáp số : (1;1;1)

Câu 46. a)

4

x = y− ⇒4y− ≥1

4

y

⇒ ≥ Tương tự : 1;

4

y≥ z≥

Ta chứng minh x= =y z

Giả sử x≥ ⇒y 4y− ≥1 4z−1⇒ ≥y z ⇒ y2 ≥z2 ⇒4z− ≥1 4x−1⇒ ≥z x Do ta

có :

x≥ ≥ ≥y z x suy : x= =y z

Đáp số : (2+ 3; 2+ 3; 2+ 3), (2− 3; 2− 3; 2− 3)

b) Trước hết chứng minh : x y z t, , , dương

Cộng vế phương trình ta : ( ) (3 ) (3 ) (3 )3

2 2

x− + y− + −z + −t =

(115)

Chuyên đề4 :PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA, BẬC BỐN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC

Câu 47. a) ( )( )

2 35

x− x + x− = Có ba nghiệm 2;5; 7−

b) ( )( )

4

x+ x − x+ = Có nghiệm x= −4 c) ( )

1

x x − = Suy : x2(x2−1)2 =2 Đặt y=x2 ≥0, ta có : y y( −1)2 =2

( )( )

2

y y

⇔ − + = ⇔ =y 2⇒ = ±x Thử, ta chọn x= d) Trừ8 vào hai vế Đưa (x−1) ( )3 = −2 Một nghiệm −1

e) 3

2x =x −6x +12x−8 ⇔x3 2= −x

3

2

1

x

⇔ =

− Câu 48. Ta có 3 ( )

3

x +a + −b abx=

Áp dụng đẳng thức 3 ( )( 2 )

3

x +y + −z xyz= x+ +y z x +y +z −xy−yz−zx

Ta có ( ) ( ) ( ) (2 ) (2 )2

1 ⇔ x+ +a b  x a− + a b− + −b x =0

( )

x a b

x a b l

= − − 

⇔  = = 

Đáp số : Một nghiệm − +(a b)

Câu 49. a) Đặt y= −x Đưa y4−9y2+14=0

2

y y

 = ⇔ 

= 

Đáp số : Bốn nghiệm 1± 2;1±

b) ( )( )

6x +5x−1 6x +5x+ =1 120

Đặt

6x +5x=a, ta (a−1)(a+ =1) 120 ⇔ = ±a 11

Đáp số : Hai nghiệm 1; 11

− c) Chia hai vế cho

0

x ≠ , ta : x2 x 14 92

x x

− − − + =

2

9

14

x x

   

⇔ +  − + − =

   

Đặt x y x

+ = , ta y= −4 y=5

Đáp số : Bốn nghiệm 1; 3;5 13

±

− −

d) ( )( )( )( )

1 168

x+ x+ x+ x+ = x ( )( )

5 168

x x x x x

⇔ + + + + =

Đặt

6

y=x + x+ , ta có : (y−x)(y+x)=168x2 ⇔ = ±y 13x

Đáp số : Bốn nghiệm 1; 6; 19 337

− ±

Câu 50. a) Đặt

1

x − + =x a, ta có 4 2

4

a + x = x a ⇔(a+x)(a−x)(a+2x)(a−2x)=0

Đáp số : Ba nghiệm 1;3

±

(116)

( ) (2 )3 4

2

y− + y− +y = ⇔(y−1)(y+1)(y2+ − =y 1)

Đáp số : 1; 3; 5

− ±

− −

c) 2

2 64 256

x + x + = x + x+ ⇔(x2+1)2 =(2x+16)2

Đáp số : Hai nghiệm 5; 3−

d) ( ) ( )

2 2

x + x− x − x− = ⇔x4+(x−2)x2−2(x−2)2 =0

Do x=2 không nghiệm, chia hai vế cho (x−2)2 ta

( )

4

2

x x

x

x− + − − =

Đặt 2

x y

x− = , ta

2

y + − =y

2 y y =  ⇔  = − 

Đáp số : Hai nghiệm − ±1

Câu 51. Đặt

0

x = ≥y , ta có 2y2−4y+ =1 1( )

Phương trình ( )1 có hai nghiệm dương y1 y2 nên phương trình cho có bốn nghiệm

y

± ± y2

b) Đặt x1= y x1, = − y x1, = y x2, = − y2 ( ) 2 2

1 2 2.2

x +x +x +x = y +y = =

Câu 52. Do x≠0, chia tử mẫu phân thức cho x :

1 1 x x x x x x − + = − + + +

Đặt x y x

+ = , ta có

3 y y y − = − + y y =  ⇔  = 

Với y=1 x 1

x

+ = , vô nghiệm Với y=5 x

x

+ = 21

2

x ±

⇔ =

Đáp số : Hai nghiệm 21

2

±

b) Thêm bớt

x x

x−

2 2 16 3 x x x x x  +  − − =  −  −   2 16 3 x x x x   ⇔  − − = − −  

Đặt

x y

x− = , ta

2

6 16

y − y− =

2 y y =  ⇔  = − 

Đáp số : Hai nghiệm − ±1 c) Đặt

1

x − + =x a, ta

( )2

1

4

a + a+ =

(117)

Với a=1 ( )

1 1

1

x

x x x x

x =  − + = ⇔ − = ⇔  = 

Với a=2 2

1

x − + = − ⇔x x − + =x , vô nghiệm

Đáp số : Hai nghiệm

d) ( )( )

1

x + x − = x+ ⇔(x3−2)(x4+ + =x 1)

Ta có

2 1

1

2 2

x + + =x x −  +x+  + >

   

Đáp số : Một nghiệm 32

Câu 53. a)

( )

2

2 16

1

x

x x

x+ = − + Cộng ( )

2

1

x+ + x vào hai vếta

( ) ( )

2

2 2

2 12

1

x

x x x x

x+ + + + = − + ( )

2

1

1 x x x x   ⇔ + +  = − +  

Đáp số : Bốn nghiệm 2;

− ±

±

b)

( ) (2 )2

2

1

x + x+ = x+

Cộng

( )2

1

2x+1 vào hai vếta ( ) (2 ) (2 )2

1 1

1 2

x + x+ + − −x = x+

Ta có bổđề : Nếu a b c+ + =0

2 2

1 1 1

a b c a b c

 

+ + = + + 

 

(Xem chứng minh bổđềở cách ví dụ 5) Theo bổđề, ta có :

2

1 1

1 2

x x x x

 + +  = 

 + − −   + 

   

Trường hợp : 1

1 2

x+ x+ +− −x = x+ , vô nghiệm

Trường hợp : 1

1 2

x x x x

−

+ + =

+ − − +

3

6

x= − ±

Đáp số : Hai nghiệm 3

6

− ±

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Câu 54. a) Đưa

2 1 2 x x  +  = + −     

    Đáp số : Hai nghiệm :

1 29

2;

−

b) Đưa

2 1 2 x x  +  = + −     

    Đáp số : Ba nghiệm :

1

0; 1;

−

c) Đưa ( )2 ( )2

1

(118)

d) Đưa ( )2 ( )2

2

x− = x+ + Đáp số : Hai nghiệm : 4+2 3; 2 2−

e) Đưa

2

3

5

2

x x

 − +  = + 

   

5 13

2

±

g) Đưa ( )2 ( )2

8x−5 = 2− −x Đáp số : Hai nghiệm : 1;5 21

−

h) Đưa

2

1

3

2

x x

 + −  = − 

   

15 97 11 73

;

8

− −

i) Đưa ( )2 ( )2

3x = x+ 2x+3 Đáp số : Hai nghiệm : 1; 13

8

−

Câu 55. a) Đưa ( )2 ( )2

4

x− + x+ − = Đáp số : Một nghiệm x=4 b) Đưa ( x+ −5 2)2+ x+ =1 Đáp số : Một nghiệm x= −1

Câu 56. a) Đkxđ : x≥3 x=3 nghiệm

Xét x>3, chia hai vế cho x−3, ta x+ =5 x+1⇒ =x Đáp số : Hai nghiệm 3;

b) ( )( ) ( )

2x+1 x−2 − x − =4 2x+ −1 x+2

Đkxđ : x≥2

( )1 ⇔ x−2( 2x+ −1 x+2) (−3 2x+ −1 x+2)=0⇔( x− −2 3)( 2x+ −1 x+2)=0

Đáp số : Một nghiệm x=11

c) 2 1( )

2

4

x − + x + +x = x +x + x+

Gọi vế trái A, vế phải B Ta có : 1(2 1)( 1)

B= x+ x + ( 1)

x x

 

= +  +

 

Do

2

B≥ ⇒ ≥ −x

Ta có :

2 1

2 2

A =x− x+ + x+ 

    

1 1

2 2

x x x

    

= −  +  + + 

    

1

2

x x

  

= +  + 

  

Suy : ( )2

A= +x

Từ ( ) ( )1 , , suy 1 ( )

1

2

x+ =x+  x +

 

1

x x

 + = 

⇔ 

+ =



1

x x

 = −  ⇔ 

= 

(119)

11

Đáp số : Hai nghiệm : 0;

−

Câu 57. a) Đặt

3

x − x+ = ≥a , đưa a2−(2x−1)a−2x=0

a

a x

= −  ⇔  =



Đáp số : Một nghiệm 57

6

− +

b) Đặt x+ = ≥2 a 0, đưa 3

3

x − a x+ a = ⇔(x−a) (2 x+2a)=0

Đáp số : Hai nghiệm : 2; 2 3−

c) Đkxđ : x>0 Đặt

2

3

0

x

y x

+ = >

2 ( )

3

x + =xy

Ta có : (2 4)

2

xy y

x

+ =

+ ( )

2

xy x y

⇔ − + + =

2

y y

x

=   ⇔

 = 

Với y=2 ( )1 ⇔x2−4x+ =3

3

x x

=  ⇔  =



Với y x

= ( )

1 ⇔x +3x− =4 ⇔(x−1)(x2+ +x 4)=0 ⇔ =x

Đáp số : Hai nghiệm 1;3

Câu 58. a) Đkxđ : 0≤ ≤x Đặt 1− x = ≥y Ta có : (1−y2) (2 = −3 y2)(1−y)2

2

1

y

y y

= 

⇔  + − = 

Với y=1, x=0 Với

1

y + − =y y≥0

y= − nên

2

x= −

Đáp số : Hai nghiệm : 0;3

−

b) Đkxđ : x 0,x

x

≠ − ≥ Ta có :

2

x x x x

x

− + + − − =

1

2

x x

x x x

⇔ − + + − − = x x

x x

⇔ − + − − =

Đặt x y

x

− = ≥ , ta có :

2

y + − =y

( )

1

y

y l

=  ⇔  = −



Với y=1 x 1

x

− =

1

x x

⇔ − − =

2

x ±

⇔ = Thõa mãn đkxđ

Đáp số : Hai nghiệm :

2

±

(120)

11

c) ( ) ( )

1+ +x 1−x = 4x +1

Đkxđ : − ≤ ≤1 x

Bình phương hai vế ( )1 rút gọn ta 2− x+2 1( −x2) =4x2

Đặt ( 2)

3 1−x = ≥y 3− x2 = y2 Ta có : ( 2)

3 3− x −x −2x+2y=0

(y x)(y x) (2 y x)

⇔ + − + − = ⇔(y−x)(y+ +x 2)=0 Đáp số : Một nghiệm

2

x=

d) 56 ( )1

16

x x

x

+ + − =

Đkxđ : x≥8 Đặt x− =8 4y y( ≥0) x=16y2+8 Ta có :

( ) 16 64

1

16

y

y y

+

⇔ + = + 2

4

y y y

⇔ + + = +

2

y y

⇔ + = +

2

2y y

⇔ − − =

( )

1

y

y l

=   ⇔

 = − 

Đáp số : Một nghiệm x=24

Câu 59. a) Đặt

4

x + = >a , x = ≥b Đưa (a b− )(a−2b)=0 Đáp số : Một nghiệm

x=

b) ( )2 ( 2 )( 2 )

4 x+1 = x + +x x − +x Đặt x2+ + = >x a 0, x2− + = >x b

2 2

1,

a =x + +x b =x − +x nên 6a2−2b2 = 2ab Chia hai vế cho

b , ta

2

6 a a

b b

  − − =

 

  Đặt

a y

b = > , ta có :

2

6y − 2y− =2

2

y

⇒ =

Đáp số : Hai nghiệm

2

− ±

Câu 60. a) 9x−27− x+ =5 2x−8

Đặt 9x−27= ≥a 0, x+ = ≥5 b 2

8 32

a −b = x− Ta có : a b− =2x−8 nên

( )

2

4

a −b = a b−

4

a b

a b

=  ⇔  + =

 Đáp số : Hai nghiệm :

13 4;

2

−

b) 2

4x +2x+ −3 4x + =4 4x−2

Đặt 2

4x +2x+ = ≥3 a 0, 4x + = >4 b 2

2

a −b = x− Ta có : a b− =4x−2 nên ( 2)

2

a b− = a −b

2

a b

= 

⇔  + =

 Đáp số : Một nghiệm

1

x= Câu 61. a) Cách :( Đặt ẩn phụ )

(121)

12

Đặt x+ = ≥1 a 0, 3− = ≥x b 0, ta có : 2 2

4

a b ab

a b

+ − = 



+ =

 ( )2

1

2

a b ab

a b ab

+ − = 

⇔ 

+ − =



Đặt S= +a b P, =ab ta tìm S = +1 3,P= Suy a=1 a= Đáp số : Hai nghiệm 0;

Cách :( Đặt ẩn phụ )

Đặt x+ +1 3− = ≥x a x+ + − +1 x (x+1 3)( −x)=a2 nên ( )( )

2

4

2

a

x+ −x = −

Ta có :

a

a− − = ⇔ = ±a Chọn a= +1 Từđó tìm x=0;x=2

b) x 1 x

x x x

− − − − =

Đkxđ : x≥1 − ≤ <1 x

Ta thấy x=1 thỏa mãn phương trình Xét x>1 − ≤ <1 x 0, đặt x a

x

− = ≥ , 1 b

x

− = >

2

1

a b x x a b

x

 − = −



 −

− =

 nên a b+ =x

Ta có :

1

a b x a b

x

+ =  

 − = −

 nên

2

1

2a x a

x

= − + = +

Từ

2a=a +1được a=1 nên

x= +

Đáp số:Hai nghiệm: 1;1

+

62 a) 2

16

x + − x + = x− (1)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

16 25 16

16 9

16

9

3

16

x x

x x x x

x x

x

x x

+ − + −

⇔ + − − + − = − ⇔ − = −

+ + + +

− −

⇔ − = −

+ + + +

Dễ thấy x=3 thỏa mãn phương trình Với x≠3 , ta có:

2

3

16

x x

+ +

− =

+ + + + (2)

Xét (1): Do 2

16

x + >x + nên 3x>8 , x+ >3

Xét (2): Do x+ >3 nên vế trái (2) âm, suy (2) vô nghiệm

Đáp số:Một nghiệm x=3

b) 3

10

x + − x + = x+ (1)

(122)

12

Điều kiện xác định:

5

x ≥ −

Ta thấy x= −1 thỏa mãn (1)

Xét x≠ −1 Nhân chia vế trái (1) với biểu thức liên hợp được:

( ) ( )

3 3

10 5

2 3

10 10

x x

x x x x

+ − +

= + ⇔ = +

+ + + + + + (2)

Nếu x> −1 (2) có vế trái nhỏ 1, vế phải lớn 1, vô nghiệm

Nếu x< −1 (2) có vế trái lớn 1, vế phải nhỏ 1, vô nghiệm

Đáp số:Một nghiệm x= −1

c) 2

1

x − + x + x+ = x+ (1)

Điều kiện xác định: x≥1

( ) ( ) 2

1 ⇔ 2x+ −1 2x +4x+ =3 x −1 (2)

Nhân chia vế trái (2) với biểu thức liên hợp được:

( )2 ( ) ( )

2

1

2 2

2

1

2

x x x x

x x

x x x x x x

x x

x x x

+ − + + −

= − ⇔ = −

+ + + + + + + +

 − 

⇔ −  − =

+ + + +

 

Giá trị x=1 thảo mãn (1) Với x>1, ta có:

2

2 x + =1 2x+ +1 2x +4x+3 (3)

Phương trình (3) vơ nghiệm

Đáp số:Hai nghiệm: x= ±1

63 a)

2

x+ x+ = − x + x+ (1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

1 3 1

1

2

1

x x

x x x x x x

x x

+ − −

⇔ − + + − = − + + ⇔ + = − − −

+ + +

− −

⇔ + = − − −

+ + +

Dễ thấy x=1 thỏa mãn phương trình Với x≠1, ta có:

1

3

1 x

x+ + + x+ + + = (2)

Do x≥0 nên vế trái (2) dương, suy (2) vô nghiệm

(123)

12

b) 10 18

3−x + 5−x = (1)

Điều kiện xác đinh: x≤3

( )

( ) ( ) ( )

10 18

4

10 18 3 5

1 2 0

3 10 18

2

3

1

4 2

10 18

3

x x

x

x x

− −

    − −

⇔ −   + − = ⇔ + =

− −

    + +

− −

 

 

⇔ −  + =

   

 −  +  −  + 

− −

    

 

Do x≤3 nên biểu thức dấu ngoặc vuông (2) dương

Vậy

2

x− = ⇔ =x

Đáp số:Một nghiệm

2

x=

64 a)

3

x− + − +x x+ = x − x+ (1)

Điều kiện xác định: 2≤ ≤x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

1

3

2

3

2

4

2

1

x x x x x

x x x

x x

x x x

x

x x

x x x

⇔ − − + − − + − − = − +

− − − − − −

⇔ + + = − −

− + − + − +

−

− −

⇔ + + = − −

+ − + − + −

Ta thấy x=4 thỏa mãn (1)

Với x≠4, ta có:

1

2

1+ x−3 +1+ 2x−7 =1+ 2x−7 + x− (2)

Do

x≥ nên (2) có vế phải lớn 2.7

2− , tức lớn 6, cịn vế trái nhỏ suy (2) vơ nghiệm

(124)

b) ( 2x+ −1 x+2)( (2x+1)(x+2)+4)=2x−2 (1) Điều kiện xác định:

2

x≥ −

Với nhận xét nghiệm phương trình, ta có:

( ) ( ) ( ) (( )( ) ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2

1 2

2

1 2 2

1 2 2 2

x x

x x x

x x

x x x x x x

x x x x x

+ − +

⇔ + + + = −

+ + +

⇔ − + + + = − + + +

⇔ − + + + − + − + =

Hiển nhiên x=1 thỏa mãn (1) Với x≠1, ta có:

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 3

2

x

x x x x x

x

=  

+ + − − + − = ⇔ + − + − = ⇔

 = 

Đáp số:Ba nghiệm: 1; 2;

c) 2 2

3

x + x+ − x + x+ = x + − x + x− (1)

Điều kiện xác định:

3

x + x− ≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

3

1

3

2

3

x x x x x x x

x x

x x x x x x x

+ + − + + + − + −

⇔ =

+ + + + + + + + −

− − −

⇔ =

+ + + + + + + + −

Rõ ràng x=2 thỏa mãn (1) Với x≠2, ta có:

2 2

1

0

3

x x x x x x x

+ =

+ + + + + + + + − (2)

Vế trái (2) dương nên (2) vô nghiệm

65 a) ( )( )

2x − + =x x +1 x − +x (1) Gọi vế trái (1) A, vế phải (1) B Hãy chứng minh B≤ A

b) ( )2 ( 2 )2 ( )2

2 x+1 + +4 x −1 + = − −1 x (1)

(125)

c) 2

1

x + − +x x−x + = x − +x (1)

Gọi vế trái (1) A, vế phải (1) B Ta có: ( )2

1 1

B= x− + + ≥ +x x

( ) ( ) 2

2

1 1

2

1

x x x x

A x x x x

x x x x

A x

+ − + − + +

= + − + − + ≤ +

+ + − +

⇒ ≤ = +

Suy A= + =x B

d) 2

3x +3x+ x−x =2x+1 (1)

Cách 1: ( )

3 x +x + x−x

( ) ( 2) 2

3

2

4 x x x x x x x x x

= + + − ≤ + + + + − = +

Xảy dấu

2

3

1

4

x x

x x x

 + =

 ⇔ =



 − = 

Cách 2.Dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Điều kiện xác định: 0≤ ≤x

Gọi vế trái (1) A, vế phải (1) B

( ) ( )

( )2 ( )( )

3x x+ +1 x 1−x ≤ 3x+x x+ + −1 x =8x

2

8 2

A x A x

⇒ ≤ ⇒ ≤ (2)

2 2 2

B= x+ ≥ x = x (3)

Từ (2) (3) suy 2 1

1

x x

A x B x

x x

+

= = ⇔ = ⇔ =

− (Thỏa mãn điều kiện xác

định)

2

x=

(126)

Điều kiện xác định: x≥0 x≤ −3

Xét x=0 thỏa mãn phương trình

Xét x>0 Chia hai vế (10 cho −x được:

1

x x x

− − + − − = − −

Phương trình vơ nghiệm vế trái lớn vế phải (do − − > − −x x 3)

b) (x+1)(x− +1) (x−1)(x+2)= x x( −1) (1) Điều kiện xác định: x≥1hoặc x≤ −2

Bình phương hai vế (1) được:

(x+1)(x− +1) (x−1)(x+ +2) x−1 (x+1)(x+2)=x x( −1) (2)

1

x= thỏa mãn phương trình (1)

Với x>1 x− = −1 x 1, chia hai vế cho x−1 được:

(x+ +1) (x+ +2) (x+1)(x+2)=x

( )( )

3 2

x x x

⇔ + + + + = , vơ nghiệm (vì vế trái dương) Với x≤ −2 x− = − −1 (1 x), chia hai vế (2) cho x−1được:

(x+ +1) (x+ −2) (x+1)(x+2)=x

( )( ) 2

3 2

3

x

x x x

x x

≥ −  ⇔ + = + + ⇔ 

+ − ≤



3 3

x − ±

⇔ = , chọn 3

3

x= − − để x≤ −2

Đáp số:Hai nghiệm: 1; 3

− −

67

2 2

x y z y z x z x y

 + = −

 + = −



 + = −



Cộng vế ba phương trình được:

(127)

( ) (2 ) (2 )2

1 4x 1 4y 1 4z

⇔ − − + − − + − − =

4 1

1

4 1

2

4 1

x

y x y z

z

− = 



⇔ − = ⇔ = = =

 − = 

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC BA, BẬC BỐN 68 a) 3

2 3

x + = x−

Đặt

3x− =2 y, ta có:

3

2

x y

y x

 + = 



+ =

 nên ( )

3

x −y + x−y =

( )( 2 )

3

x y x xy y

⇔ − + + + =

Do 2

3

x +xy+y + > nên x=y Khi đó: ( ) (2 )

3 2

x − x+ = ⇔ x− x+ =

Đáp số:Hai nghiệm: 1; 2−

b) 3

2

x

x − = + Đặt:

2

x

y

+

= , ta có:

3

2

x y

y x

 − = 



− =

 nên ( ) ( )

3

2 x −y + x−y =0

( ) ( 2)

2

x y  x xy y  x y

⇔ −  + + + = ⇔ =

Khi đó: ( )( )

2x − − = ⇔x x−1 2x +2x+ = ⇔ =1 x

c)

8

x+ + − =x Điều kiện xác định: x≤1

Đặt

8 ,

x+ =a − = ≥x b Ta có: 3 23

9

a b

a b

+ =  

+ =

 a a( +3)(a−2)=0

Đáp số:Ba nghiệm: − −8; 35;

d)

6 1

x+ + x− =x − (1)

Với nhận xét nghiệm, ta có: (3 ) ( )

6 1

x+ − + x− − =x −

( )

( ) ( )( )

2 3

6 1

2

1

6

x x

x

x x

+ − − −

⇔ + = − +

− +

+ + + +

(128)

( )2 3

1

2

1

6

x x

+ = +

+ −

+ + + + (2)

Hãy chứng minh x≥1 nên vế trái nhỏ 2, vế phải lớn hay 3,

suy (2) vô nghiệm

69 a)Lập phương hai vế phương trình

Đáp số: x=1

b) Cách 1:Lập phương hai vế (1)

( ) ( ) 3( )( ) (3 )

1 4

x− + x+ + x− x+ x− + x+ = x+

Thay 3

1

x− + x+

2x+3

( )( )( )

3

2 3 3

1

1 4

3

x x x x x

x

x x x x

x

+ + − + + = +

  = 

⇔ − + + = ⇔ = −

 = −  

Các giá trị thỏa mãn (1)

Đáp số: Ba nghiệm: 1; 4;

− −

Cách 2:Đặt 3

1 ,

x− =a x+ =b a3+b3 =2x+3

Ta có ( ) 3 3 ( ) 3

1 ⇔ + =a b a +b ⇔a + +b 3ab a b+ =a +b

( )

0

3 0

0

a ab a b b

a b

=  

⇔ + = ⇔ =

 + = 

Từ 1; 4;

x∈ − − 

 

c) 3 3

2x+ +1 2− +x x+ =2 2x+5

Đặt 3

2x+ =1 a ; 2− =x b x; + =2 c 2x+ =5 a3+ +b3 c3

Ta có: 3 3 3 3 ( )3 3 3 3

a b c+ + = a + +b c ⇔ a b c+ + =a + +b c

( )( )( )

3 a b b c c a

(129)

Đáp số:Hai nghiệm: − −3; d) 3( )2 3( )2 3 2

5+x +2 5−x =3 25−x (1)

Ta thấy −5 không nghiệm (1)

Với x≠ ±5, chỉa hai vế (1) cho 25−x2 23 3

5

x x

+ −

+ =

− +

Đặt

5

x y x

+ =

− , ta có:

1

3

2

y y

=  + − = ⇔  =



Đáp số:Hai nghiệm 0;35

70 a)Điều kiện xác đinh: 3≤ ≤x 20

Đặt 4

20− = ≥x a 0; x− = ≥3 b 0, ta có:

4

17

a b

a b

 + = 

+ =

 a=2 a=1

Đáp số:Hai nghiệm 4;19

b)Điều kiện xác đinh: 1≤ ≤x

Đặt 4

1 0;

x− = ≥a − = ≥x b , ta có:

4

17

a b

a b ab

 + = 

+ − =

 a=2 a=1

c) 4

8x− +1 9x+ =1 x Điều kiện xác định:

8

x≥

Chia hai vế cho

x 48 49

x x

− + + = Đặt 48 a 0; 94 b 0

x x

− = ≥ + = ≥ , ta có: 4 43 17

a b

a b

+ =  

+ =

 a=2 a=1

7

x=

CHUYÊN ĐỀ 7

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG ĐA THỨC

71 a)Xét hiệu ( 4 4) ( 3 ) 3( ) 3( ) 3( )

(130)

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 3

0

a a b b a b c a c c a

a a b b a b b a c c a c

a b a b a c b c

= − −  − + − + −

= − − − + − − −

= − − + − − ≥

b) Đặt ab=x bc; = y ac; =z x+ + =y z

Ta có: ( ) ( ) ( )2

3abc a b c+ + =3 xy+yz+zx ≤ x+ +y z =1

a= = =b c

72 Do a<2 b<2 nên (a−2)(b−2)>0 Suy 2a+2b<ab+ < + =4 Vậy

a+ <b

73 Xét hiệu ( 2) ( ) ( ) ( )

1

a +b − a b+ =a a− +b b− (1)

Đặt a= +1 x b; = +1 y

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1

a a− +b b− = +x x+ +y y= +x x + +y y

( ) ( 2)

x y xy x xy y

= + + + − + (2)

Do ab≥1 nên (1+x)(1+y)≥1 ⇒ + +x y xy≥0 (3)

2

0

2

y y x −xy+y =x−  + ≥

  (4)

Từ (1), (2), (3) (4) suy 2

a +b ≥ +a b

Xảy đẳng thức x= =y tức a= =b

74 Ta có ( 2 2)( )

a +b +c a b c+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

a a b c b a b c c a b c a a a b b b c c c

= + + + + + + + + > + + + + +

3 3

2a 2b 2c

= + +

75. Do a b c+ + =0 nên ba số a b c, , có hai số dấu, giả sử a b,

0,

a≥ b≥ Khi c≤0

Do − ≤1 a b c, , ≤1 nên a2+ +b3 c4 ≤ a + + = + − = − =b c a b c 2c 2c ≤2

(131)

( ) ( ) ( )

2

2 2

.1 2

2

3

2

b c b c

a b c a a

b c a b c a

 + 

+

 

+ + = +  ≤ +  + 

   

 + 

⇒ + + ≤ +  + 

 

 

Chỉ cần chứng minh ( ) ( )( )

2

3

3 2

2

b c

b c

+

+ ≤ + + (1)

( ) 2 ( 2) ( 2 )

2 2

3

1

2

1

2

b c bc

b c b c

b c b c

b c bc b c bc bc

+ +

⇔ + + + − − ≥

+ +

⇔ + + − ≥ ⇔ − + + − ≥

( ) (2 )2

1

2

b c

bc −

⇔ − + ≥ ,

Xảy đẳng thức a= = =b c

77 Hãy chúng minh: y− =x (a−d)(b c− ≥)

( )( )

z− =y a b c d− − >

78 Giả sử a1≥a2 ≥a3 ≥a9 Theo giả thiết, ta có:

1

a +a + +a a <a +a +a + +a a (1)

Theo giả thiết ta có:

5

a +a +a +a ≤ +a a + +a a (2)

Từ (1) (2) suy a1+a2+ + a8 < +a1 a2+ + a9 ⇒a9 >0

Vậy số dương

79 Giải tương tự Ví dụ 89

a) max

A=

2

x= −

b) maxB= −5 x= −2

c)

C=x −x với 0≤ ≤x Ta có: C( )0 =0;C( )2 =2 \ Ta chứng minh

2

x − ≤x (1)

( ) ( )( )

1 ⇔x − − ≤ ⇔x x+1 x−2 ≤0 (2) (2) 0≤ ≤x Vậy maxC = ⇔ =2 x

80 a) ( 4 2 ) ( 4 3 2) ( 2 ) (2 2 )2

2 1 1

(132)

Vậy minA= −1 x=1

b)Đặt x− =3 y, ta có B=(y+1) (4+ y−1)4+6(y+1) (2 y−1)2

Rút gọn

8 8

B= y + ≥ ; minB=8 x=3

c)Đặt x+ =3 y, ta có 2( )( ) ( )2

2 4

C= y y− y+ = y − y = y − − ≥ −

minC= −4 y= ± 2, x= − ±3

81. A= + + + + + + + + +x x x x x Ta có:

1 9

A = + + + = − − + + ≥ − − + + =x x x x x x

1

8

9

x

A x

x

− − ≥ 

= ⇔ + ≥ ⇔ − ≤ ≤ −



2 7

A = + + + = − − + + ≥ − − + + =x x x x x x

2

3

4

7

x

A x

x

− − ≥ 

=  + ≥ ⇔ − ≤ ≤ −



1 12

A=A +A + + ≥ + + =x

9

min 12

5

x

A x x

x

− ≤ ≤ − 



= ⇔ − ≤ ≤ − ⇔ = −

 = − 

82 2 2

4

y y

A=x +y −xy− =y x −xy+ + −y

2 2

2

3 4 1

2 3

y y

x y y x y

       

= −  +  − + − = −  +  −  − ≥ −

       

1

min

2

3

x A

y

 =  = − ⇔ 

 = 

83 Đặt 2

0

x+ =y x +y = ≥a , ta có 2xy=(x+y)2−(x2+y2)=a2−a

Ta lại có 2

2xy≤x +y nên a2− ≤ ⇒a a a2 ≤2a⇒ ≤a (vì a≥0)

Ta cần tìm giá trị lớn

A=a −a với điều kiện 0≤ ≤a

Ta tìm maxA=2 a=2 (xem lại 79c)

Vậy max( )xy =1 x= =y

(133)

( )2 ( )( )

2 2 2

2 3 13.52 26

A = x+ y ≤ + x +y = =

26

2

x y

A= ± ⇔ =

3

min 26

2 26

x y x

A

x y y

= = −

 

= − ⇔ ⇔

+ = − = −

 

3

max 26

2 26

x y x

A

x y y

= =

 

= ⇔ ⇔

+ = =

 

b) – Tìm giá trị lớn nhất:

Ta có: 2 2

4 4

2

x y B

x +y =xy+ ≤ + + ⇒ ≤ + ⇒ ≤B B

8

MaxB= ⇔ = = ±x y

- Tìm giá trị nhỏ nhất:

Ta có: 2

4

xy+ =x +y

( )2

3

xy x y

⇒ + = + ≥ ⇒ −

Suy ra: 2

4

3

B=x +y =xy+ ≥ − + =

2

,

8 3

min

2

3

,

3

x y

B x y

x y

 = = − 

 = ⇔ = − = ± ⇔

 = − = 

85. a) Giải tương tự Ví dụ 93 : minA= ⇔ =5 x 2,y=1 b) Ta có bổđề

4

x ≥ x− Thật x4−(4x− =3) (x2−1)2+2(x−1)2 ≥0

Từ: 4

4 3, 3,

x≥ x− y ≥ y− z ≥ z− suy ra:

( )

4 4

4 4.3

B=x +y +z ≥ x+ + − =y z − =

minB= ⇔ = = =3 x y z

86. a) Từ

x+ =y , theo bất đăng thức cosi ta có:

3 2

1

4 y x y xy

= + ≥ = ⇒ xy =2 6⇒xy≥24

3

min 24 6,

2

A x y

x y

= ⇔ = = ⇔ = = b) Từ

x+ =y Theo bất đẳng thức bu-nhi-a-cốp-xki ta có

( ) ( )

2

3

1

x y x y x y x y

x y x y

 

+ = + = +  + ≥ + 

(134)

( )2

3 6;

2

B

y

 + 

= + = + = + ⇔ 

= +



87. a) 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 ( )3

3

A=a + + ≤b c a +b + +c bc b c+ =a + +b c

( )3 ( ) ( )( )

3

3 3 1

a a a a  a a 

= + − = − + =  + − −  ( )1 Do 3= + + ≤a b c nên a≥1 Ta lại có a≤2

Nên (a−1)(a−2)≤0 ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy A≤9; MaxA= ⇔ =9 a 2,b=1,c=0 b) B=ab a b( + +) bc b c( + +) ca c( +a)

(1 ) (1 ) (1 ) ( )

ab c bc a ca b ab bc ca abc

= − + − + − = + + −

( ) ( )

3

ab abc ac bc ab c c c

= − + + = − + − ( )1 Ta có ( ) ( )

2

1

4

a b c

ab≤ + = − ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy 4B≤ −(1 2c+c2)(1 3− c) (+c 1−c)

3 2

3 3

3

c c c c c c 

= − + − + = −  − + +

 

Lại có c≥0

c − + >c nên 4B≤1

1

4

MaxB= ⇔ = =a b c=0

88. Ta có A=(a b c+ + −) (ab bc ca+ + )=a(1− +b) (b 1− +c) (c 1−a)≥0 ( 0≤a b c, , ≤1 )

minA= ⇔ = =0 a b c a= = =b c

Do a b c, , ≤1 nên (1−a)(1−b)(1− ≥c)

(a b c) (ab bc ca) abc

⇒ + + − + + ≤ − ≤

1

MaxA= ⇔ Trong a b c, , có số 1, số

89. a) Từ giả thiết suy b+ = −c a b2+c2 = −11 a2 Do bất đẳng thức ( 2 2) ( )2

2 b +c ≥ b c+ nên 11( −a2)≥ −(5 a)2

2

3 10 3

3

a a a

⇒ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

1

min ;

3

a= ⇔ = =b c Maxa= ⇔ = =b c

b) Giải tương tự câu a 3a3−8a+ ≤4

( )( )

2 2

3

a a a

⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤

2

min ;

3

(135)

c) Giải tương tự Ví dụ 97

1

min

2

a= − ⇔ = = =b c d

1

Maxa= ⇔ = = =b c d

90. Áp dụng bất đẳng thức ( )2

4 ,

x+y ≥ xy ta có

( )2

4

a b+ ≥ ab

( )2 ( )

4

a b c+ + ≥ c a b+

( )2 ( )

4

a b c+ + +d ≥ d a b c+ +

Suy 2( )2 ( )( )

64

A a b c+ + +d ≥ abcd a b+ a b c+ +

2

16 64

2

A A A

⇒ ≥ ⇒ ≥

1

min , 1,

2

A= ⇔ = =a b c= d =

Chuyên đề

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG PHÂN THỨC

91. a) ( )

2 2

2

2 a b

a b a b ab

b a ab ab

− + −

+ − = = ≥

2

a b

b+ = ⇔ =a

b) a b c a b b c b

b c a b a c a a

   

+ + − = + −  + + − − 

   

2 2

2

a b ab ab c bc ac

ab ac

+ − + − −

= +

( ) (2 )( )

a b a c b c

ab ac

− − −

= +

Do a b c, , có tính chất hốn vị vòng quanh, ta giả sử c số nhỏ (a≥c b, ≥c) Khi

3 0,

a b c

b+ + − ≥c a tức

a b c

b+ + ≥c a

Xảy đằng thức a= =b c

92. a)

3

1

0

2 3

a a

a + ≤ ⇔ −a + ≥ ⇔ + − ≥ ( ) (2 )

1 0,

a a

⇔ − + ≥ a>0

b) Ta có

1 1

2

1 1

a b a b a b a b

b a b a b a b a

+ + + +

+ ≥ + ⇔ + − ≥ + −

+ + + + ( )1

Ta có ( )

2 2

2

2 x y

x y x y xy

y x xy xy

− + −

(136)

( ) ( ) (( ) ()( ))

2

1

a b

a b

ab a b

 + − + 

−  

⇔ ≥

+ +

( ) ( )

( )( )

2

,

1

a b a b

ab a b

− −

⇔ ≥

+ +

93. a) Áp dụng bất đẳng thức

1 1

x+ + ≥y z x+ +y z với x y z, , >0

Ta có 9 1

2a b+ = a+ +a b ≤ + + = +a a b a b

Tương tự, 1, 2b c+ ≤ +b c 2c+a ≤ +c a

Suy 9 1

2a b 2b c 2c a a b c

 

+ + ≤  + + 

+ + +  

Suy điều phải chứng minh

b) Áp dụng bất đẳng thức

1

x+ ≥y x+y với x y, >0

Ta có 1 ,

2a b c+ + ≤ 2a+b c+ mà

1 1

4 4

b c

b c bc b c

+

≤ = +

+

Nên 1

2a b c+ + ≤2a+4b+4c

Bạn đọc tự giải tiếp

c) A a2 c2 b2 a2 c2 b2

b c c a a b

− − −

= + +

+ + +

2 2 2 2

a b b c b a c b

b c c a a b

− + − − −

= + +

+ + +

( 2) 1 ( 2) 1

a b b c

b c c a b c a b

   

= −  − + −  − 

+ + + +

   

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

2 2

b c a c a b a b

b c c a b c a b

− −

+ −

= +

+ + + +

Do a b c, , có tính chất hốn vị vịng quanh, ta giả sử c nhỏ nhất, A≥0 Xảy

0

A= ⇔ = =a b c

94. a) Cách Dễ chứng minh ( 3) ( )

a +b ≥ab a+b

Nên ( ) 3 2

a

a ab a b b a ab b

b

(137)

Từđó 3 ( 2) ( 2) ( 2)

2

a b c

a ab b b bc c c ac a ab bc ca

b + c + a ≥ + − + + − + + − = + + Xảy đẳng

thức a= =b c

Cách

Xét 3

2

a a

ab ab a

b + ≥ b = Từđó

( ) ( ) ( )

3 3

3 3 3

2

a b c

ab bc ca a b c ab bc ca b c a

a b c

ab bc ca b c a

+ + + + + ≥ + + ≥ + +

⇒ + + ≥ + +

b) Ta có

( 2)

3 2

2 2 2

2

a a b ab

a ab ab b

a a a

a b a b a b ab

+ −

= = − ≥ − = −

+ + +

c) Dễ chứng minh 3 ( )

a +b ≥ab a b+ nên a3 ≥a b ab2 + 2−b3

( )( )

3 2 2

3a 2a a b ab b 2a b a b ab

⇒ ≥ + + − = − + +

Suy 2 3a23 2a b

a +b +ab≥ −

95. Xét hiệu hai vế Giải tương tự Ví dụ 108

96.Đặt A a2 2 b2 2 c2 2

a b b c c a

= + +

+ + + Ta có

( )

3 3

3

2 2

A≥ ⇔ − ≤ ⇔A a b c+ + − ≤A

2 2

2 2 2

3

a b c

a b b c c a

ab bc ca

a b b c c a

     

⇔ −  + −  + − ≤

+ + +

     

⇔ + + ≤

+ + +

Đặt B ab22 bc22 ca22,

a b b c c a

= + +

+ + + cần chứng minh

3

B≤

Xét 22 2

2

2 4

2

ab ab ab ab b ab b

a b ab

+

≤ = = ≤

+ Từđó

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4B≤ ab b+ + bc c+ + ca+a = a b c+ + + ab bc ca+ +

( )

3 ab bc ca

= + + + (1)

Ta lại có ( )2 2 ( ) ( )

2

a b c+ + =a +b +c + ab bc+ +ca ≥ ab bc+ +ca

( ) ( )2 2

3 ab bc ca a b c

⇒ + + ≤ + + = =

3

ab bc ca

(138)

Từ (1) (2) suy 3

B≤ + = ⇒ ≤B

Do

A≥

Xảy đẳng thức a= = =b c

97. a) ( 1)( 1)( 1) 1

1 1

x y z

a b c

x y z

 

   

− − − = −  −  − 

− − −

   

( )( )( )

1 1

1 1 1

xyz

abc

x y z x y z

= = =

− − − − − − (1)

b) Ta có 2 2 2 ( )2 ( )

2

a +b +c = a b c+ + − ab bc+ +ca (2)

Từ (1) suy abc+(a b c+ + −) (ab bc ca+ + )− =1 abc (ab bc ca) (a b c)

⇒ − + + = − + + (3)

Từ (2) (3) suy 2 2 2 ( )2 ( )

2

a +b +c = a b c+ + − a b c+ + +

( )2

1 1

a b c

= + + − + ≥

98 Ta có A x x2 x2

x x x

+ +

= + = = ≥

minA= ⇔2 x = ⇔ = ±1 x

99. a) Gọi a giá trị biểu thức A Ta có

( ) ( )

2 2

1 1

ax +ax+ =a x + ⇔ a− x +ax+ a− = ( )1

Xét a = x =

Xét a ≠ (1) phương trình bậc hai Để tồn x ∆ ≥0

( )( )

2

3 2

3

⇔ a − a+ ≤ ⇔ a− a− ≤ ⇔ ≤ ≤a

2

min ; max

3

= ⇔ = = ⇔ = −

A x A x

b) Gọi a giá trị biểu thức B Ta có ( )

2

− + − =

ax x a

Dùng phương pháp miền giá trịnhư câu a ta 5

2

− +

≤ ≤a

1 5

min

2

1 5

max

2

− − −

= ⇔ =

+ − +

= ⇔ =

B x

100.a) Đặt x + = y Đưa vềA= − +1 12

y y Đặt

1

= z y

3

min

4

= ⇔ =

(139)

b)

( ) ( ) ( )

2

1

+ + −

= = − ≤ ≥

+ +

x x x x

A do x

x x

maxA= ⇔ =1 x

101 a) ( ) ( )

2 2

2 − 0;

= − + x ≥ = ⇔ =

A x A x

x

b) ( ) ( )

2

1 − 1; B 1

= − + x + ≥ = ⇔ =

A x x

x

c)Việc dựđoán xảy cực trị x = tức x2 = 1, ta biến đổi sau: ( ) ( )

2 6 1 5 3 1

6 3.2

2 2 2

7

min

2

+ − +

+

= = = − ≥ − =

= ⇔ =

x x

C

x x x x x

C x

d) Cách Với dựđoán xảy cực trịkhi x = 0, 1,

=

D ta biến đổi sau:

( ) ( )( ( ) )

( )

( ) ( )

2

2 2 2 3

2

2 2 2

2

1 1

0 ;

2 2 2

+ + +

+ + + +

= = =

+ + +

+

= + ≥ ≥ = ⇔ =

+

x x x

x x x x

D

x x x

x x

do x D x

x

Cách Đặt x + = y Do x≥0nên y≥2 Ta có D= + −y

y

Với y≥2 21

 

+ =

 

y y (xem Ví dụ 109b) nên

1

minD

2

= ⇔ = ⇔ =y x

e) E

2

= ⇔ =x (xem câu d)

g) Với dựđoán xảy cực trị x= 2, x4 =4, nên x4 = 2,

x ta biến đổi sau:

( ) ( )

4 4 4

−

= + = + −

G x x

x x x

Ta có 4 44 ( )3 ( )

2 4 2

+ ≥ x = ≥ =

x x

Do 1 4 2 ( )3

2

− −

≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ = −

x

x x

Từ (1), (2), (3) suy G≥ −8 2( 2− = +1) 2

(140)

102 Gọi a giá trị A, dẫn đến ( ) ( )

0

− + − =

ax mx a n

Xét a≠0, tìm điều kiện ∆ ≥0 để (1) có nghiệm, ta

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

4

2 4

2

− − ≤

⇔ − + ≤ +

⇔ − ≤ +

⇔ − + ≤ − ≤ +

⇔ − + ≤ ≤ + +

a na m

a na n m n

a n m n

m n a n m n

n m n a n m n

Do− ≤ ≤4 a nên − ≤8 2a≤2

Suy 2

2

8

3

 − + = −  = ±

 ⇔

  = −



+ + =



n m n m

n

n m n

103 a)

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2

2 1

2

2 2

+ + − +

+

= = = + ≥

− − −

x y x y x y

x y

A

x y x y x y

1

min

2

= ⇔ ⇔ = − ≠

A x y

b) Đặt x – y = a > y + = b > a + b = x +

2

4

1

= + + −

B a b

ab Ta có 2

4 4

2

+ ≥ =

a

b

ab b nên

4

1

min

2

≥ + − ≥ − =

 =  =

= ⇔ ⇔

=  =



B b b

b b

a x

B

b y

104 a) Cách ( )

2 2

2

1 1;

−

= − ≥ − = − ⇔ = ≠

+

x y

A A y x

x y

( )2

2

4 + 4; max

= − ≤ = ⇔ = − ≠

+

x y

A A x y

x y

Cách Xét y = A =

(141)

2

3

1

  −     =

  +    

x x

y y

A

x y

Đặtx =z y

2

3

− =

+

z z

A z

Đặt giá trị A a, đưa ( )

3

− + + =

a z z a

Từ ∆ ≥' 0ta − ≤ ≤1 a Bạn đọc tự giải tiếp b) Ta có 4

1 ,

+ ≥ + ≥

x x y y nên

( ) (2 )2 ( )2 ( )

4 2

6 2 4

+ + ≥ + + = + + − + ≥ − +

x y x y x y x y x y

Ta lại có ( )2 ( )

4 .2

− + ≥ − = −

x y x y x y

Do 4 4 1

4 4

6

−

= ≤ ⇒ − ≤ ≤

+ +

x y

B B

x y

1

min 1, 1; maxB 1,

4

= − ⇔ − = = ⇔ = = −

B x y x y

105 a) ( )

2

1

4;

+

= = x y ≥ = ⇔ = =

A A x y

xy xy

b) ( )

2

1 1

4

+ +

= + = x y = = x y ≥

B

x y xy xy xy

minB= ⇔ = =4 x y

c) ( )

2

2 1

;

2 2

+

= + ≥ x y = = ⇔ = =

C x y C x y

d) ( )

2 2

2 2 2

1

2 + 2.4

+

= + = x y ≥ xy = = x y ≥ =

D

xy xy x y x y x y

1

minD

2

= ⇔ = =x y

e) ( ) ( ) ( )

2

2 2

2 2 2 2 2

1

1 1 − + + − +

= − − = x y = x y x y = xy

E

(142)

( )

2

1

2 2.4 8;

2

1 1

) G

+

= = ≥ = = ⇔ = =

 

= +  + +  = + + + +

     

x y

E x y

xy xy

g x y x y

x y x y

Ta có 2

2

+ ≥

x y (câu c), 2

8

+ ≥

x y (câu d)

Nên ≥1− 12 1− 12 = +1 21 2 − 12 − 12

  

G

x y x y x y

Ta có 212 − 12 − 12 ≥8

x y x y (câu e) nên H ≥9

1

minH x y

2

= ⇔ = =

h) H=1− 12 1− 12 = +1 212 − 12 − 12

 x  y  x y x y

Ta có 21 2 − 12 − 12 ≥8

x y x y (câu e) nên H≥9

1

minH x y

2

= ⇔ = =

106 a) = +8+2 + 3

   

A x y

x y

8

2

3

2

+ ≥ =

x x

y y

Suy A≥4 2+2.2 =4( 2+ )

( )

minA=4 2+ ⇔ =x 2,y=

b) 8

2 2

  +

 

= + + + = + +  + +

   

x y x y

A x y

(143)

8

2 3.2 13

2 2

min 13 4,

≥ + + = + + =

= ⇔ = =

x y

A x y

107 a) Ta có 2 1 3≥ + ≥ ⇒ ≥3 ⇒ ≤9

x x

y y y y

Với dựđoán xảy cực trị y = 9x, tức 2

81

=

y x , ta biến đổi sau:

2 2

81 80 2.9 82

80

9

+ +

= x y = x y − x ≥ x y − =

A

xy xy y xy

82

min ,

9

= ⇔ = =

A x y

b) Ta có x+2y≥8 ( )1

( )

4

2

+ ≥ =

x x

Cộng (1) với (2) 2 + + 2≥12⇒2 ≥12⇒ ≥6

x y x B B

minB= ⇔ =6 x 2,y=3

c) Từ giả thiết 2

1

2x + + y =4

x suy

( )

2 2

2

1

2 2

1

2 2

1,

min

1,

 + − + + + − =

 

 

 

⇒ = −  + + − ≥ − ⇒ ≥ −

 

= = −



= − ⇔  = − =



x x y xy xy

x

xy x x y xy

x

x y xy

x y 108 4 21 2

2

=

+ +

A

x y xy Ta có

4 2

2

+ ≥ >

x y x y nên

( ) ( )

4 2 2

1 1

2

2 2

= ≤ =

+

+ + +

A

xy x y x y xy x y xy

Ta có( )2

4

+ ≥ ≥ ⇒ + ≥

(144)

Nên ( )

(1 ) ( )

2

+ ≥ ⇒ ≤

+

xy x y

109 a) Từ giả thiết suy (( )()( ))

( )( )

2

1

2 2

 − − ≤  ≤ −

 − − ≤ ⇒ ≤ −

 

 − − ≥ − ≤ − −

 

x x x x

y y y y

x y xy x y

Suy 2

− + ≤ +

x xy y x y

Do 2

0

− + >

x xy y nên 2 + 2 ≥1

− +

x y x xy y

1,

min 2,

2

= =

 

= ⇔  = =

 = = 

x y

A x y

x y

Tìm giá trị lớn A:

( )

2 2

1

max

+ + +

= = ≤ = + ≤ + =

− + − +

= ⇔ = =

x y x y x y

A

xy x y x xy y x y xy

A x y

b) Gọi a giá trị B, ta có

( ) ( )

2

1

2

+ = ⇒ − + − = −

+ +

x y

x x y a a

x y

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

3

2 2 2

2

4 10

5 5

 

− = − + −  ≤ +  − + − 

⇔ ≤ − + − = − +

⇔ ≤ − ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤

a x a y a x y a a

a a a a a

3

min ,

10

1 0,

= − ⇔ = − = −

= ⇔ = =

B x y

max x y

110 Giả sử x≤ ythì ≥

(145)

Ta có ( )( )

( )

1

3



 ≤

 ≤

 

 ≤ + ≤ 

m x n y m

x y x

Nếux≤ y 2<

x Từ (3) suy m< ( )4

Nếu x≤ từ (1) suy m≤ ( )5

Từ (4) (5) suy max 2,

2, y

 = ≥ = ⇔ 

≥ =



x y

m

x

111 Ta có

2

1

2

≤ + ⇒ ≤

+

a a a

a

Từđó 2 2 2 1

2 2

1 1

= + + ≤ + + =

+ + +

a b c

A

a b c

3

max

2

= ⇔ = = =

A a b c

112

2 2 2

= + +

+ − + − + −

a b c

A

b c a c a b a b c

Ta đổi biến để mẫu đơn thức Đặt 2b + 2c – a = x (1) 2c + 2a - b = y (2) 2a + 2b – c = z (3)

Cộng (1), (2), (3) theo vếđược 3(a + b + c) = x + y + z

( ) ( )

2

2 2

3

+ +

⇔ a+ b+ c= x y z

Lấy (4) trừ(1) 2( ) 2

3

+ + + −

= x y z − = y z x

a x

9 2

2

+ −  

⇒ = =  + −

+ −  

a y z x y z

(146)

Suy =2 + + + + + − ≥3 2( + +2 2)− = ⇒ ≥3

 

y z x z x y

A A

x x y y z z

minA= ⇔ = = ⇔ = =1 x y z a b c

113. a) Áp dụng bất đẳng thức

1 1

+ + ≥

+ +

a b c a b c với a, b, c > ta có

9

≥ =

+ +

A

a b c

1

min

3

= ⇔ = = =

A a b c

b) Áp dụng bất đẳng thức ( 2 2 2) ( )2

3 a +b +c ≥ a+ +b c

ta có ( )2

3B≥ a+ +b c =1

c) Áp dụng bất đẳng thức ( 2 2 2) ( )2

3 x +y +z ≥ x+ +y z

ta có

2

2 2

1 1 1

3 + +   ≥ + +  ⇒3 ≥

a b c  a b c C A

Theo câu a ta có

81

≥

A nên 3C ≥ 81 minC =27⇔ = =a b c

d)

2 2

1 1

     

= +  + +  + + 

     

D a b c

a b c

( 2 2)

2 2

1 1

6

 

= + + + + + +

 

a b c

Theo câu b c ta có 27 33

3

≥ + + =

D

1

min 33

3

= ⇔ = =

D a b c

114 a) Áp dụng bất đẳng thức1+ + ≥1 + +

x y z x y z với x, y, z > ta có:

1 1

= + + ≥

+ + + + + + +

A

ab bc ca ab bc bc ca

Ta có ( )2 2 2 2 ( )

2

+ + = + + + + +

(147)

Mà ( )2 2 ( )

2

+ + = + + + + +

a b c a b c ab bc ca nên

( ) (2 )2 2 ( )

3 ab+bc+ca ≤ a+ +b c ≤3 ⇒ab+bc+ca≤3

Từ (1) (2) suy

3

≥ =

+

A

3

min

2

= ⇔ = = =

A a b c

b) Áp dụng bất đẳng thức

( )2

1

≥ +

xy x y với x, y > ta có

( )( ) ( )2 ( )2

1 1

2 ≥ 2 2 2 = ≥ =9

+ + + + + +

a b a c a b c a b c

Suy 1 1

9 9

≥ + + =

B

1

min

3

= ⇔ = = =

B a b c

115 a) Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

4 4 12 12

+ + +

+ ≥ = + = − = − ⇒ ≥ −

a b a b a b

c c a b c c c

c c c

Từđó A≥36 8− (a+ +b c)=36 8.3− =12

minA=12⇔ = = =a b c

b) Áp dụng bất đẳng thức 1+ + ≥1 + +

x y z x y zvới x, y, z > ta có

( )

2 2 2

1 1

2 2

= + + ≥

+ + + + + + + +

B

a bc b ca c ab a b c ab bc ca

( )2

9

1

⇒ ≥ = =

+ +

B

a b c

minB=1 Khi chẳng hạn a = b = c = c) Xét 21 2 2

2

1= − 1≥ − = −

+ +

b b b

b

b b

( )

2

1

1 1

2 2

1

+  

⇒ ≥ +  − = − + −

+  

a b b ab

a a

(148)

( )

2

1

+

⇒ ≥ − + −

+

a

a b ab

b Từđó

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2C ≥2 a+ +b c − b+ +c a + −6 ab+bc+ca = −9 ab+bc+ca

Ta lại có ( )2 2 ( ) ( )

2

+ + = + + + + + ≥ + +

a b c a b c ab bc ca ab bc ca

( ) ( )

( )

2 2

3

⇒ + + ≤ + + = =

⇒ + + ≤

ab bc ca a b c

ab bc ca

Từ (1) (2) suy 2C≥ − = ⇒ ≥9 C minC = ⇔ = = =3 a b c

d) Xét

( ) ( )

2 2

+ − =

+ +

a a b b

b a b b a b

( )

2 2

1 1

2

= − ≥ − = −

+

b b

b a b b ab b a

Ta lại có 1 1 1

  = ≤  +   

a a

a (bất đẳng thức Cô – si)

Nên 1 1

2

 

− = −  + 

 a

a

Từ (1) (2) suy

( 2)

1 1

4

≥ − − +

a

b a

b a b Từđó

( )

1 1 1 1 1

4 4

     

≥ + + − −  + + =  + + −

     

D

b c a a b c a b c

Ta lại có 1+   + 1+   + 1+ ≥ + + =2 2

a a b b c c

⇒1+ +1 1+( + + )≥ ⇒ + + ≥6 1 ( )4

a b c a b c a b c

Từ (3) (4) suy 3.3 3

4

≥ − =

D

3

min

2

= ⇔ = = =

(149)

116 a) Xét 2 2

+ −

= = − ≥ − = −

+ + +

a a ab ab ab ab ab

a a a

a b a b a b ab

Từđó 2 ( ) ( )

2

+ +

= + + ≥ + + − = + + −

+ + +

a b c ab bc ca

A a b c a b c

a b b c c a

Ta lại có a+ + ≥b c ab+ bc+ ca =1nên

≥

A

1

min

2

= ⇔ = = =

A a b c

b) Trước hết chứng minhB≥ab+bc+ca (xem 94a)

minB= ⇔ = = =3 a b c

117 Ta có ( ) ( ) ( )

2 2

1

4 4

+ − + +

+ ≤ a b + = c c = c

ab c c

Nên

1

+ ≤ +

+

ab c c

c Từđó

1

4 4; maxA a b c

3

≤ + + + = = ⇔ = = =

A a b c

118 Xét tử ab + bc + ca = (ab + bc + ca)(a + b + c) Biến đổi thành (a + b)(b + c)(c + a) + abc

Do

( )( )( )

1

= +

+ + +

abc A

a b b c c a

Hãy chứng minh (a+b b)( +c c)( +a)≥8abc

9

max

8

= ⇔ = = =

A a b c

b) Xét a + bc = a.1 + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c) Từđó =( )( ) (+ )( ) (+ )( )

+ + + + + +

a b c

B

a b a c b c b a c a c b

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ( )( )( ) )

2

+ + + + + + +

= = =

+ + + + + +

a b c b c a c a b ab bc ca

A

a b b c c a a b b c c a (theo câu a)

9

4

= ⇔ = = =

max B a b c

(150)

( )( ) ( )2

1

+ + + + ≥ + +

a b c b c a b c

( )

2

1 1+ +

⇒ ≤

+ + + +

b c

a b c a b c Từđó

( )

( )2

3 2.3

1

+ + + +

≤ = =

+ +

a b c

A

a b c

1

= ⇔ = = =

max A a b c

b) Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

( 2 )( 2) ( )2

1 1

+ + + + ≥ + +

a b c a b c

( )

2 2

1

+

⇒ ≤

+ + + +

c

a b a b c Từđó

( )

2 2

2

1

+ + + + + + +

+ + +

≤ = = =

+ + + + + +

a b c ab bc ca a b c

a b c

B

a b c a b c a b c

1

= ⇔ = = =

max B a b c

120 Do a≤1,b≤1nên (1−a)(1−b)≥ ⇒ +0 ab≥ +a b

1

⇒ + + ≥ + + ⇒ ≤

+ + + +

b b

c ab a b c

Từđó ≤ + + =1; = ⇔ = = =1

+ +

a b c

A max A a b c

a b c

121 a) Do b≤2,c≤2nên (b−2 2)( −c)≤ ⇒0 2b+2c≤bc+4 Ta lại có 2a≤4 nên 2(a+ +b c)≤bc+8 ( )1

Xét a + b + c = a = b = c = nên A = Xét a+ + ≠b c từ (1) có

( )

8 ≤2

+ + +

a a

bc a b c

b) Ta có bất đẳng thức

( )

2 2

1 1 8

2

+ ≥ = ≥

+

x y xy

x y x y nên

( ) (2 )2 ( )2 ( )2

1 8

+ ≥ =

− − − + − −

(151)

Suy

( ) (2 ) (2 )2 ( )2 ( )2 ( )

1 1 9

+ + ≥ ⇒ ≥

− − − − B −

a b b c c a a c a c

Ta lại có a− ≤c (do 0≤a c, ≤2) nên

( )2 ( )

1

2

≥ −

a c

Từ (1) (2) suy

≥

B

( )

9

min ; ;

4

= ⇔

B a b c (2; 1; 0) hoán vị 122 a) 2

2 2

1

+  

= +  + 

 

b c

A a

a b c

Áp dụng bất đẳng thức 1+ ≥1 +

x y x yvới x, y >

Ta có ≥ +2 + 24 2 = +2 + 2 2 + 23 2

+  +  +

b c a b c a a

A

a b c a b c b c

Ta có +2 + 2 2 ≥2

+

b c a

a b c

2 2

3

≥ +

a b c

min

2

= ⇔ = = a

A b c

b) Ta có ( ) ( )

( )

2 2

2

1

+ ≤ + ⇒ ≥

+ +

a a

Từđó 21 21 21 ( )1

1 1

≥ + +

+ + +

B

a b c

Áp dụng bất đẳng thức 1+ + ≥1 + +

x y z x y zvới x, y, z >

Bạn đọc tự giải

= ⇔ = = =

B a b c

c)

2 2

= + +

+ + +

a b c

C

a b b c c a

Nhân tử mẫu phân thức với tử, ta

2 2 2

2 2

= + +

+ + +

a b c

C

(152)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ( )

2 2 + +

+ + ≥

+ +

a b c a b c

x y z x y z

(xem Ví dụ99), ta ( )

2

2 2

+ +

≥ =

+ + + + +

a b c C

a b c ab bc ca

minC= ⇔ = =1 a b c

d) Trước hết ta chứng minh bổđề ( )

1 1

6

2 ≥ − +

+ a

a

( ) 2( ) ( )

1 ⇔ +6 a a +2 −3 a +2 ≥ ⇔0 a −3a +2a ≥0

( ) (2 )

3

3 2

⇔a − a+ ≥ ⇔ a− a+ ≥ a >

Xảy đẳng thức a =

Từ bổđề suy 1( 2 2)

.3 1; 1

6

≥ − + + + = = ⇔ = = =

D a b c D a b c

Lưu ý Bạn đọc có thểđặt câu hỏi: Vì tìm hệ số bổđề trên? Có thể giải thích với kiến thức vềđọa hàm học Trung học phổ thơng Kí hiệu đạo hàm hàm số f(x) f’(x), ta có:

- Đạo hàm hàm lũy thừa xn nxn-1 - Đạo hàm số

- Đạo hàm hàm phân thức1

v

'

−v

v

Ta thường tìm m n từ hệphương trình

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

3

2

3

1

2

1 2

' '

2

 = +

 +

 ⇔ − =

 

+

  = +

 +  

ma n

a a

am a

ma n a

Với dựđoán cực trị xảy a = 1, thay vào (4)

= −

m

Thay vào (2)

=

n Từđó ta chứng minh bổđề

2

1 1

6

2≥ − +

+ a

a với a >

(153)

Ta có 3

3 ≥

+

a

a với a > (xem 92a)

( )

3 2

3 3

2

2 2

1

3 3

2 2

1

2

− +

− − − −

⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ −

⇒ ≥ −

+

a

a a a a

a a a

a a

Từđó 1.3 2 1; 1

2

+ +

≥ −a b c = = ⇔ = = =

D D a b c

123 a) Áp dụng bất đẳng thức ( )2 ( )

3

+ + ≥ + +

x y z xy yz zx

(bạn đọc tự chứng minh), ta có

( )

2

2 1 1 1

3

min 3

+ +

   

= + +  ≥  + + = =

   

= ⇔ = = =

a b c A

a b c ab bc ca abc

A a b c

b) Xét b−22+ =1 b− +22 a =(a− +1) (2 b−1) = a−21+b−21

a

a a a a a

Từđó

2 2 2

1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

 

+ + + = + + + + +

 

a b b c c a

B

a b c a a b b c c

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

1 1 1

1      

= −  + + −  + + −  + 

     

a b c

a c a b b c

( ) ( ) ( ) 2 2 2

1 1

≥ a− + b− + c− = − + − + −

ac ab bc c ac b bc a ab

( )

1 1 1

2  2 

=  + + −  + + 

a b c ab bc ca

Ta lại có 1 ( )

1

+ +

+ + = a b c =

ab bc ca abc

Từ (1) (2) suy B+ ≥A 2A− ⇒ ≥ −2 B A

Theo câu a ta cóA≥ nên B≥ 3−2 minB= 3− ⇔ = = =2 a b c

Chuyên đề

BẤT ĐẲNG THỨC VA CỰC TRỊ DẠNG CĂN THỨC

≥

(154)

124 a) Bạn đọc tự chứng minh

b) Ta có ( ) 1

1 1

2 2

+ −

− = − ≤ y = y ⇒ − ≤ xy

y y x y

Tương tự,

2

− ≤ xy

y x

Suy x y− +1 y x− ≤1 xy

Xảy đẳng thức x = y = c) + + ≥2,

+

xy x y

2

1

2

 

 + 

⇔ −  + − ≥

+

   

xy x y

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

0

1

0

2

− −

⇔ − ≥

+

 + 

 

⇔ −  − ≥

+

 

 

x y x y

xy x y x y x y

xy x y

Gọi A biểu thức ngoặc vng, ta có

( )2

4 8

2

+

≥ = = ≥

+

x y xy

xy xy xy xy x y nên

( ) ( )

8 15

0

2

≥ − = >

+ + +

A

x y x y x y

Vậy (1) chứng minh Xảy đẳng thức x = y d) Do abc = nên

1 1 1

1

2

+ + +a b c ≥ + + + ⇔ + + +a b c ≥ + + + ab bc ca a b c

Ta có (1 ) ( ) (1 )( )

2

+ + +

≥ + + = + + +

a b c

a b c b c ab ac

(155)

Do abc = nên ba số a, b, c tồn số lớn hay số nhỏhơn hoặ 1, chẳng hạn hai sốđó b c Khi (b−1)(c− ≤ ⇒ + ≥ +1) b c bc

c) Từ giả thiết suy < a, b, c <

Ta có 2 ( 2)

2

1

2 1 2

1

− ≤ + − = ⇒ ≥ ⇒ ≥

− −

a

a a a a a a

a a

Do ( 2 2)

2 2 2

1 1

+ + ≥ + + =

− − −

a b c

2

= = =

a b c trái với a2 +b2 +c2 =1

Vậy

2 2

1 1

+ + >

− − −

a b c

125 a) A= − + − ≥x x (x−2) (+ 4−x)=2 minA= ⇔ ≤ ≤2 x

b) B= − +x 2x+ + −3 3x ≥ − +x 2x+ + −3 3x=6

min

3

= ⇔ ≤ ≤

B x

126 A= 2x+ −3 2x− ≤5 (2x+3) (− 2x−5)=

max 2

2

= ⇔ =

A x

127 Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét A2 dùng bất đẳng thức Cô – si Đáp số: min 2

6

= 

= ⇔ 

= 

x A

x

Để tìm giá trị lớn nhất, có nhiều cách:

- Cách 1(dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

( )2 ( )( )

2 2

4 1

2

= − + − ≤ + − + − =

= ⇔ =

A x x x x

max A x

- Cách (xét A2 dùng bất đẳng thức Cô – si)

( )( ) ( )( ) ( )

2

4 6 2 6

2

= − + − + − − = + − − ≤ + − + − =

= ⇔ − = − ⇔ =

A x x x x x x x x

(156)

- Cách (xét A2 đặt ẩn phụ)

( )( )

2

= + − −

A x x Đặt x – = y

( )( )

2

2 2

2

= + − − = + − ≤

= ⇔ = ⇔ =

A x x y

max A y x

b) ĐKXĐ: 0≤ ≤x

( )2 ( )( )

2 2

4 25

1 16

5

4 25

= + − ≤ + + − =

−

= ⇔ = ⇔ =

B x x x x

x x

max B x

128 a) ( )2 ( )( )

2 2 2 12

= + + − ≤ + + + − =

A x x x x

2

3

= ⇔ =

max A x

b) Áp dụng bất đẳng thức( )2 ( 2 2 2)

3

+ + ≤ + +

x y z x y z ta có

( ) ( ) ( )

2

3 2 3

≤ + + + + + =  + + + 

B a b c a b c

Từ (1) (2) suy

27; 3

≤ = ⇔ = = =

B max B a b c

c) Giải tương tự Ví dụ 129 Đáp số: max C = 2 ⇔ = =a b

d) Ta có

( )( ) ( ) ( )

3 2

2 x + =1 x+1 x − +x ≤ x+ +1 x − + =x x +2

Suy 3 2

2D=2 x + +1 y + ≤1 x + y + = + =4 12

6;

⇒D≤ max D= ⇔ = =x y

129 a) ( )2 ( )

2

2 2 2

2     45

= − + − ≤ − +  + − =

A x x x x

2

3

2

−

= ⇔ = − ⇔ =

−

x

max A x x

b) ( ) ( 2) ( )2 ( )

1 1 1  

= + − + − + + ≤ + +  − + − + +  = +

B x x x x x x

2

1 2

= + ⇔ − = − + + ⇔ = +

max x x x x

(157)

c) Cách giải bất đẳng thức Cô – si:

( ) ( )

( )

2 2

2

2 11 11 10

2 11 10 6

2

3

8 11

− − − ≤ + − − − = − − −

= + − − − ≤ − − − = − + − ≤ −

= − 

= − ⇔− − − = ⇔ = −



x x x x x x

C x x x x x x x

x

max C x

x x 130 Ta có

2A=2x 4− x

( )2 ( 2)

2 1

2

1 2

min ; maxA

4 4

+ −

⇒ = − ≤ = ⇒ ≤

= − ⇔ = − = ⇔ =

x x

A x x A

A x x

131 Do

2x−x ≥0 nên

2 2

2 3

0

min

2

= − + − + ≥

= 

= ⇔ − = ⇔ 

= 

A x x x x

x

A x x

x

Do 0≤ ≤x nên A= x(2−x)+ (3−x)(x+1)

( )( )

3

max

= − + − + ≤ + − − + + =

= ⇔ =

x x x x x x x x

A x

132 a) Viết A dạng A= x(3−x)− (x−1 2)( −x)

Giải tương tự Ví dụ 143 Đáp số: min A =

⇔ =x

b) Viết B dạng B= (2+x)(6−x)− (1+x)(1−x)

Giải tương tự Ví dụ 143 Đáp số: min

= ⇔ = −

B x

133

2

1 3

2 2

   

=  +  +  +  −  + 

       

A x x

Giải tương tự Ví dụ 144 Đáp số: minA= ⇔ =2 x

134 a) A= x−3

(158)

2

1

3 3

3

max

6

= ≤ = =

+

= ⇔ = ⇔ =

y y

A

y y

A y x

b)

1

− =

+

x B

x Đặt x− =4 y

Giải tương tự câu a Đáp số: max 10

= ⇔ =