Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 33

Trªn mçi hµng ngang lµ mét tõ liªn quan ®Õn tr­êng häc cña chóng ta.[r]

1

l KÕt qu¶ : Vẽ hai đường thẳng (TTT2 sè 31)

song song

lSố lần thao tác khơng ba

hai thao t¸c vÏ hai đường thẳng song song theo yêu cầu

+ Cỏch vẽ sau cần ba thao tác : - Vẽ đường tròn tâm O’ cắt hai đường tròn đồng tâm O bốn điểm A, B, C, D (hình v di);

- Vẽ đường thẳng qua A, B ; - Vẽ đường thẳng qua C, D Kết : AB // CD

+ Chøng minh :

Do hai đường trịn giao dây chung vng góc với đường nối tâm suy AB, CD vng góc với OO’ AB // CD + Chú ý :Thực cần cho trước đường tròn tâm O ta dựng hai đường thẳng song song nh ba thao tỏc :

- Vẽ đường tròn tâm O : tâm O nằm đường tròn tâm O, bán kính bán kính đường tròn tâm O hai đường tròn cắt hai điểm A, B

- Vẽ đường thẳng qua O, A ; - Vẽ đường thẳng qua O, B

Kết : OA // OB (OAOB hình thoi)

l Các bạn thưởng kì : Đào ánh

Dương, 13 Thái Phiên, Q Hai Bà Trưng, Hà Nội; Võ Thị Ngọc Lưu, 8/6, THCS Trần Phú, Phú Ninh, Quảng Nam ; Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An ; Hồng Quốc Việt, 9A, THCS Phong Châu, TX Phú Thọ, Phú Thọ; Bùi Vui, 9B, Phú Thái, Kim Thành, Hải Dương Anh Compa Bạn cho biết, bốn hình trịn đường

kính bốn cạnh tứ giác lồi có phủ kín tứ giác khơng ?

Nguyễn đình dũng

2 TTT2 số 22 nhắc nhở bạn không coi nhẹ kiến thức Tơi muốn nói thêm rằng, việc tiếp thu kiến thức mang tính chất kế thừa, cần phải thực cách chắn, đầy đủ, có hệ thống qua lớp học, cấp học, tạo tảng vững chắc, giúp ích cho bạn sau

Thậm chí, số tốn, dạng tốn lớp trên, khơng cần chờ đến học tới “lớp đó” giải Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ mơn Tốn, khối A năm 2005 ví dụ (có hai câu cần dùng kiến thức THCS) :

Bài tốn (trích câu II.2): Giải bất phương trình :

(1) Lêi gi¶i :Điều kiện thức có nghĩa :

(2) Ta cã :

x24x 4 2x26x 4 x210x 0 x(x 10) 0 0 x 10

Kết hợp với điều kiện (2) ta suy bất phương trình (1) có nghiệm :

2 x < 10

Bµi toán (trích câu V) : Cho x, y, z lµ

các số dương thỏa mãn (1)

Chøng minh r»ng :

Lời giải :Trước hết ta có nhận xét : Với a b số dng thỡ

(2) Đẳng thức xảy chØ a b ThËt vËy :

(a b)24ab (do a b dương) (a b)20.

Bất đẳng thức với a, b, đẳng thức xảy a b Nhận xét chứng minh

Sau hai cách chứng minh dựa vào bất đẳng thức (2) :

Cách :Theo bất đẳng thức (2) ta có :

Nh­ vËy 1 1 1

2x y z 16 x y x z       

1

2x y z (x y) (x z)

1 1 1 1 1 x y x z 16 x y x z

 

    

   

        

 

   

1 1 1 a b

a b a b     a b  4ab

1 1 1 ,

a b a b    

1 1 1.

2x y z x 2y z x y 2z         1 x y z  

5x 3x 2x x x 2x x

       

     

(1) 5x 1  2x 4  x 1 5x

x x

2x   

     

   

5x 1  x 1  2x 4.

đặng hữu hựng

3 Đẳng thức xảy vµ chØ x y z (x y x z ; x y ; x z) ;

Tương tự ta có :

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, kết hợp với đẳng thức (1) ta suy

Đẳng thức xảy đẳng thức xảy ba bất đẳng thức trước, :

Cách :Theo bất đẳng thức (2) ta có :

Nh­ vËy

Đẳng thức xảy x y z (2x y z ; y z) ;

Tương tự ta có :

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, kết hợp với đẳng thức (1) ta suy điều phải chứng minh

Như vậy, bạn thấy nắm kiến thức từ lớp giúp bạn giải tốt tốn kì thi sau ny

Chúc bạn thành công !

1 1 1 ;

x 2y z 16x 8y 16z

1 1 1

x y 2z 16x 16y 8z

  

 

  

 

1 1 1

2x y z 8x 16y 16z    

1 1 1

2x y z 2x (y z) 2x y z

1 1 1 1

8x 16 y z 8x 16y 16z

 

    

      

 

      

 

4

x y z

3   

1 1 1.

2x y z x 2y z x y 2z        

1 1 1 1

x y 2z 16 x z y z

 

     

   

1 1 1 1 ;

x 2y z 16 x y y z

 

     

   

l Kết : (TTT2 số 31) Mặc dù bạn dùng điện thoại di động, song kì này, tất thám tử Tuổi Hồng có câu trả lời xác : chữ mật thư tuyết trắng ứng với chữ số bàn phím điện thoại Đó chữ số nằm nút phím với chữ Ta có T-8, U-8, Y-9, E-3, T-8, T-8, R-7, A-2, N-6, G-4 Vậy mật mã két sắt 8893887264 Phần thưởng trao cho năm bạn giải thích rõ ràng trình bày đẹp : Trần Diệu Linh, 7E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ ; Nguyễn Quang Tùng, số 12 ngách 38 ngõ 515 Hoàng Hoa Thám, Hà Nội; Hoàng Minh Tuấn, 8G, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Trần Lê Thùy Linh, 9B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Nguyễn Văn Quốc Bảo, 7/4, THCS Nguyn Khuyn, Nng

Thám tử Sê-Lốc-Cốc l

l

4

KHÔNG TỒN TẠI TAM GIÁC CÂN ?

Một lời giải cho kết !

l Kì :

l Kết : (TTT2 sè 31)

Hầu hết bạn chỗ sai lời giải nhân vế hai bất đẳng thức chiều có vế nhận giá trị âm Một số bạn đưa phản thí dụ cụ thể, chẳng hạn > 2 > 3 5.(2) < 3.(3) Lời giải đơn giản : P (x21)(x21) x41  1 Ta có P = 1 x40 hay x 0 Do giá trị nhỏ P 1 đạt x 0

Nhận xét : Một số bạn lập luận chưa thuyết phục, nói nhân vế hai bất đẳng thức chiều khơng mà khơng nói thêm Có bạn giải lại phức tạp Xin trao thưởng cho bạn có lập luận tốt : Phạm Đình Tuyến, 8B, THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn, Thanh Hóa; Võ Hồi Duy, 63, THCS Nguyễn Thị Minh Khai, Cam Phúc Bắc, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Lê Võ Châu Anh, tiểu khu 3, khu phố 2, thị trấn Kỳ Anh, Hà Tĩnh(báo gấp địa lớp, trường) ; Trần Anh Tú, 8C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An ; Hoàng Hữu Đức, 8/2, THCS Thành Cổ, TX Quảng Trị, Quảng Trị

Anh KÝnh Lóp

Dựng tam giác cân việc làm dễ bạn Nhưng dù bạn dựng cách phép chứng minh sau khẳng định tam giác bạn dựng khơng phải tam giác cân

DGi¶ sử tồn tam giác ABC cân A

Dựng đường cao AH phân giác BD tam gi¸c ABC (H BC, D AC) ; dùng DI BC ; dùng DE // BC (I BC, E AB)

Do BD phân giác suy

và

AD DC AC 0 A C, vơ lí Vậy tồn tam giác cân Một phép chứng minh “hồn hảo” cho mệnh đề vơ lí ! Các bạn nghĩ ?

phan ngäc hiÕu

(Lớp 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương) AD AB AB 2HI AB EB

DC BC 2HI EB

(AB EB) (AB 2HI) 2HI EB 1

EB 2HI EB 2HI

 

   

   

   

 

AB AD AE AB EB BC DC EB   EB

AB AD HI HI HI

BC

BC DC IC CH HI HI

2

2HI AB 2HI AB 2HI

BC 2HI BC (BC 2HI) 2HI

   

 

 

  

  



5

l KÕt qu¶ :

v Kì :

(TTT2 sè 31)

VẼ TIEP HèNH CUOI !

TTT đăng giải bạn Trần Thị Kim Phụng, 6/2, THCS Nguyễn Khuyến, Đà N½ng:

Chuyển sang hình mới, phải xem màu Hai quy luật giống Sát cạnh trái màu, ô đổi chỗ Cùng màu để vậy, có đâu Dọc ngang, lên xuống Phải trái, tung hoành chẳng thấy lâu Cứ theo cách làm bạn Hình cuối rồi, phải gửi mau

Ngồi bạn Phụng, TTT thưởng cho bạn : Nguyễn Quang Tùng, số nhà 12, ngách 38, ngõ 515 Hoàng Hoa Thám, Hà Nội ; Trần Thị Hải Anh, 8A, THCS Liên Bảo, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Doãn Thành Luân, 8C, THCS Phùng Hưng, TX Sơn Tây, Hà Tây ; Nhóm “Bút xanh”, 7E, THCS Tiên Cát, địa liên lạc - số nhà 85 phố Âu Cơ, phường Tiên Cát, TP Việt Trì, Phú Thọ Nguyễn Đăng Quang

Bµi :

6

SUY LUẬN VÀ PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TỐN

Từ toán sách giáo khoa, ta suy luận phát thêm tính chất đó, sử dụng tính chất để phát triển, mở rộng hay giải tốn tốn khác

Trong s¸ch gi¸o khoa Toán tập hai, sau phần Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông có tập sau :

Bài toán (Bài tập trang 70) : Cho hình vuông ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI Đường thẳng cắt đường thẳng BC L Chứng minh :

a) Tam giác DIL tam giác cân ; b) Tổng không đổi I thay đổi cạnh AB

Hướng dẫn :

a) Ta cã ADI  CDL (g.c.g) suy DI DL  DIL c©n t¹i D

b) Ta cã

do DI DL, DKL vuông D, DC KL Nhận xét :Ta nhận thấy điều với P thuộc đường thẳng AD, Q thuộc đường thẳng BC mà PQ // DL PQ DI PQ DI (do PQ  DL, tính chất đoạn chắn) Từ chứng minh tính chất sau :

Tính chất :Hai đoạn thẳng PQ DI bị chắn đường thẳng chứa cặp cạnh đối hình vng mà vng góc với

Tính chất : Hai đoạn thẳng PQ DI bị chắn đường thẳng chứa cặp cạnh đối hình vng mà cắt vng góc với

Tính chất : Hai đoạn thẳng PQ DI bị chắn đường thẳng chứa cặp cạnh đối hình chữ nhật mà vng góc với hình chữ nhật hình vng

Sau số tốn hình vng khai thác sử dụng tính chất

Bài tốn : Hãy dựng hình vng ABCD biết đỉnh D điểm I thuộc cạnh AB cho (k số cho trước)

Lêi gi¶i :

Phân tích :Giả sử dựng hình vng ABCD thỏa mãn yêu cầu Qua I kẻ đường thẳng vng góc với DI, cắt đường thẳng AD, BC P, Q

Theo tÝnh chÊt ta có ID PQ ; Mặt khác ta có AIP BIQ (g.g) suy :

IA k IB 

2 2 2

1 1 1

DI DK DL DK DC

2

1

DI DK

NG¦T vâ ngäc phan

7 (*)

Dựng hình : Qua I, dựng đường thẳng d vng góc với DI Trên d xác định P, Q thỏa mãn (*) I thuộc đoạn PQ

Nèi DP, qua I dựng đường thẳng vuông góc với DP, cắt DP A ; qua Q dựng đường thẳng vuông góc với IA, cắt IA B ; qua D dựng đường thẳng vuông góc với BQ, cắt BQ C

ABCD hình vuông cần dựng Chứng minh : DÔ thÊy I thuéc AB ;

và ABCD hình chữ nhật Theo tính chất 3thì ABCD hình vng Biện luận :Bài tốn có hai nghiệm hình (bạn đọc tự giải thích)

Bài tốn : Cho hình vng ABCD, E điểm đường chéo AC Dựng EF, EG vng góc với AD, DC (F thuộc AD, G thuộc DC) Chứng minh AG, BE, CF đồng quy

Lêi gi¶i :

Tõ gi¶ thiÕt ta suy EFDG hình chữ nhật ; AFE tam giác vuông cân F Suy AF DG BAF  ADG  BF AG, dƠ thÊy BF c¾t AG, theo tÝnh chÊt ta cã BF vu«ng gãc víi AG ;

Hồn tồn tương tự, ta chứng minh BG vng góc với CF ;

Gäi H lµ giao cđa EF vµ BC, dƠ thÊy FDG EHB suy mà DG vuông góc với BH nên BE vuông góc với GF

Vy AG, BE, CF chứa ba đường cao GBF, suy ba đường thẳng đồng quy

Bài toán : Cho hình vng ABCD, quay xung quanh D (I thuộc cạnh AB, M thuộc BC) Chứng minh IBM có chu vi khơng đổi

Lêi gi¶i :

Dựng DL vuông góc với DI (L thuộc đường th¼ng BC) Theo tÝnh chÊt 1ta cã DI DL Suy ADI CDL (hai tam giác vuông, AD CD, DI DL) AI CL (1) DI vu«ng gãc víi DL mµ suy IDM  LDM (c.g.c) MI ML (2) Tõ (1) ; (2) suy chu vi cña BIM b»ng : BI BM IM BI BM ML

BI BM MC CL BI IA BC AB BC 2AB

Vậy chu vi BIM hai lần cạnh hình vng ABCD, khơng đổi

(K× sau đăng tiếp) o

LDM IDM 45  

 o

IDM 45

 o

IDM 45

 

DGF HBE,

IA IP k IB IQ 

ID k IQ ID ; IP k.ID.

IQ k k

     

 

IP IA k IP IQ k 1 PQ k 1

8

Cuộc thi vơ địch Tốn Quốc gia

ma-laI-xi-a Ma-lai-xi-a (Malaysia) khơng có đủ mặt giáo dục Tốn học tương thích để tham gia thi khu vực hay quốc tế (IMO) Họ trọng đến việc muộn, vào năm 1995 Ma-lai-xi-a bắt đầu chọn hai học sinh hai quan sát viên tham dự IMO Trong thời gian từ năm 1995 đến 1999, điểm số đội tuyển IMO Ma-lai-xi-a thấp, không dành huy chương

Nhưng vào năm 1996, giáo sư Abu Osman Md Tapnhận trách nhiệm chọn huấn luyện đội tuyển IMO Ma-lai-xi-a, theo đề nghị ông cộng sự, vào năm 1998, lần họ tổ chức thi Toán quốc gia dành cho học sinh THPT Thành tựu ghi nhận vào năm 2000, hai học sinh Ong Shien Jin Mohd Suhaimi Ramlycùng dành huy chương đồng IMO, điều chứng tỏ rằng, quan tâm mức thường dẫn đến kết khả quan

Bạn đọc tìm hiểu kĩ địa :

http://www.eecs.harvard.edu/~shienjin/imo-malaysia.html

Kể từ năm 2002, Ma-lai-xi-a sáng lập tài trợ chủ yếu cho thi Toán liên quốc gia vùng Đông nam á(SEAMEO Mathematics Olympiad), thi mà hi vọng giới thiệu với bạn vào dịp gần

Sau đây, xin giới thiệu số kì thi vơ địch tốn quốc gia Ma-lai-xi-a, năm 1998, 1999, 2000

Bài 1(năm 1998) : Chứng minh a2b2khơng thể số phương với a b số nguyên lẻ

Bài 2(năm 1999): Giả sử a2b2c2d21 Chứng minh ac bd 1 Bài 3(năm 2000 - cải biên): Cho hàm số f thỏa mãn f(x) f(x 3).f(x 3) với số thực x Chứng minh f(x) f(x 18) vi mi s thc x

ThS.Nguyễn Văn Nho (NXBGD)

Bài 1(năm 1949): Giả sử ABC cân A P, Q, R nằm cạnh BC, AB, CA, PQ // AC, PR // AB Gọi P’ điểm đối xứng P qua QR

Ta cần chứng minh ACBP tứ giác nội tiÕp ThËt vËy :

Do PR // AB nªn ABC RPC, suy RPC cân R RPRC

 

PRC A ;

CUỘC THI TOÁN LIÊN QUỐC GIA KU-SẮC

9 Mặt khác, RP RP’ P’ đối xứng với P qua QR suy P’, P, C thuộc đường tròn tâm R

Tương tự ta có

Suy ®pcm

Bài (năm 1950) : Giả sử có n người P1, P2, , Pnđã có mặt thư viện ngày hơm người Pi có mặt khoảng thời gian từ aigiờ đến bigiờ (kí hiệu [ai, bi] ; i {1, 2, , n}) Nh vy ai< bi

Đặt aMmax {a1, a2, , an} vµ bmmin {b1, b2, , bn}

Giả sử tồn Pisao cho aM[ai, bi] bm[ai, bi]

Từ aM[ai, bi] suy ai< aMbi< aM  [ai, bi] [aM, bM] rời [aM, bM] khoảng thời gian sau ;

Từ bm[ai, bi] suy bm< bibm< ai  [ai, bi] [am, bm] rời [am, bm] khoảng thời gian trước

Suy [am, bm] ; [ai, bi] ; [aM, bM] ba khoảng thời gian đôi rời nhau, mâu thuẫn với giả thiết

VËy aM[ai, bi] hc bm[ai, bi] víi mäi i {1, 2, , n} hay T ; T’ chÝnh lµ aM; bm

Bài 3(năm 1952):

Từ giả thiết suy

ra

Trên BC, CA, AB lấy điểm A’’, B’’, C’’ cho A’B’’ // AB ; B’C’’ // BC ; C’A’’ // CA Suy CA’B’’ CBA A’B’’ (1 k)AB ; CB’’ (1 k)CA B’B’’ CB’ CB’’ kCA (1 k)CA

(2k 1)CA

MỈt kh¸c ta cã A’B’ < A’B’’ B’’B’, suy A’B’ < (1 k)AB (2k 1)CA ;

Tương tự ta có :

B’C’ < (1 k)BC (2k 1)AB ; C’A’ < (1 k)CA (2k 1)BC

Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có điều phải chng minh

Bài (năm 1953):Đặt A {a1, a2, , ak} ; B {b1, b2, , bh} Xét tập hợp số :

{a1, a2, , ak, n b1, n b2, , n bh} Tập hợp có n 1 số, số thuộc tập hợp {1, 2, , n 1} nên phải có hai số Do a1, a2, , akđôi khác n b1, n b2, , n bhđôi khác nên tồn ain bj, suy đpcm

Bài (năm 1954):Gọi X đấu thủ có số trận thắng n, khơng đấu thủ khác ; Y đấu thủ khác X

Nếu X thắng Y khơng có để bàn thêm

Nếu X thua Y mà tất n đấu thủ thua X thua Y Y thắng n  trận, mâu thuẫn với giả định ban đầu Như n đấu thủ thua X có đấu thủ Z phải thắng Y, trường hợp X thắng Z Z thắng Y

Bài toán chứng minh CA ' AB' BC' k

BC  CA  AB  

BA ' CB' AC' k, BC  CA  AB      BP'C PP'B PP'C A   

 1 1

PP'B PQB A

2

 

 1 1

PP'C PRC A

2

10

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2004-2005

TỈNH HẢI DƯƠNG Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Bµi :(3,5 ®iĨm)

1) Gọi x1, x2là nghiệm phương trình x22004x 1 0 x

3, x4lµ nghiƯm cđa

phương trình x22005x 1 0 Tính giá trị biểu thức : (x1x3)(x2x3)(x1x4)(x2x4) 2) Cho a, b, c, d số thực a2 b2< Chứng minh : phương trình (a2b21)x22(ac bd 1)x c2d21 = luụn cú nghim

Bài :(1,5 điểm)Cho hai số tự nhiên m n thỏa mÃn số nguyên Chøng minh r»ng : ­íc chung lín nhÊt cđa m n không lớn

Bi :(3,0 im)Cho hai đường tròn (O1) (O2)) cắt A B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (O1) (O2)) C D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD, cắt (O1) (O2)) M N Các đường thẳng BC, BD cắt đường thẳng MN P Q ; đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh rng :

1) Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD ; 2) Tam giác EPQ tam giác cân

Bi :(2,0 im)Gii h phng trỡnh

Chú ý :Đón đọc hướng dẫn giải đề thi số tạp chí

5

x y

x y 11

   

  

m n. m n

n  m

CUỘC CHƠI CÙNG TIN NHẮN 986

(TiÕp theo trang 21)

3 Không văn

Bn hóy tìm loại xe khác thích hợp để sửa lại câu sau : “Xe cẩu san lấp mặt bằng” soạn tin nhắn :

3T V đáp ánvà gửi đến 986 Ví dụ :Nếu đáp án bạn “xe ca”, bạn nhắn tin :

3T V XECAvà gửi đến 986

4 Vào thăm Anh

Giải ô chữ dòng thứ sáu từ xuống cách soạn tin nhắn :

3T OC đáp ánvà gửi đến 986 Ví dụ : Nếu chữ đáp án bạn “SCHOOL” bạn nhắn tin :

3T OC SCHOOLvà gửi đến 986

5 Rừng cười

Hãy giải đáp câu “Con gọi hạ vang lừng cây” cách soạn tin nhắn :

3T RC đáp ánvà gửi đến 986 Ví dụ : Nếu đáp án bạn “con chim”, bạn nhắn tin :

11

Bảng A :

Bài :a) Víi ®iỊu kiƯn x 0 ; y 0 ; x y ta cã :

Xét hai khả xy > xy < ta dẫn đến kết P 1

b) Với điều kiện < x < 4, quy đồng mẫu thức khử mẫu ta đưa phương trình dạng :

thỏa mÃn điều kiện ban đầu

Bi :a) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phương trình bậc hai (m 2)x22(m 1)x m 0 nên hai nghiệm phương trình phải dương, ta có m 2 ;  0 ; P x1x2> ; S x1.x2>

Suy m < hc m >

áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có : từ m = thỏa mãn

b) Ta cã 3x 5y 7 suy

Ta thÊy x, y nguyªn y 1 chia hÕt cho

Đặt y 3k (k số nguyên), suy y 3k 1 x 4 5k

Do < x < 42 vµ < y < 17 suy không tồn k, toán chứng minh

Bài :

a) Điều kiện cần : Nếu tứ giác ABCD nội tiếp (cùng bù với ) Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, cắt EF điểm thứ hai M, ta có

(cïng bï víi ), suy tø gi¸c MADF néi tiÕp

 EMA EDF vµ FAM FEB EA.ED EM.EF vµ FA.FB FM.EF  

ADF AME 



EBA

 

CBA AME



ADC

 

CBA ADF k

38 k

5

  

 

    

7 5y y

x 2y

3

 

   

2 2

1 1 ,

x x 2

5  

     

3

8 x

3 x

x 3x  



  

  



3

3

3x (4 x) 3x

(4 x) (3x 8)  



     

  



3 3 3

(2 x)  (2 x) 3 2x  (2 x)  (2 x) 2 (4 x) 18x

2 2 2 xy x y x y

x y (x y) x y

P

xy x y x y xy x y x y

    

  

        

     

12 EA.ED FA.FB EM.EF FM.EF

(EM FM).EF EF2

b) Điều kiện đủ :Nếu EA.ED FA.FB EF2, vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE DAF, giả sử chúng cắt EF M, N Ta chứng minh M trùng với N

Ta cã

suy EA.ED FA.FB EF2EN.EF FM.FE EF(EN FM) EN FM EF M N Từ ta có : (cùng bù với ) ; (cùng bù với ) suy

hay tø gi¸c ABCD néi tiÕp Bài :Đặt BC 6a

Vì nên BE EC CF 3a ; AB AC 4a ; AF AC CF a

Dễ thấy OECF tứ giác nội tiếp Để chứng tỏ BF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó, ta phải chứng minh BF2BE.BC

Ta cã BE.BC 3a.6a 18a2 (1)

KỴ FH vu«ng gãc víi BC, ta cã FH // AE, suy

V× BF2BH2FH2CF2CH2suy :

(2) Tõ (1) vµ (2) suy BF2BE.BC

Bài :Xem hướng dẫn giải 3, trang 9, TTT2 số 32 (chun mục Nhìn giới)

B¶ng B :

Bi :b) Gii phng trỡnh

Đặt suy :

x

x 2

(5 ) (5 )

x (5 ) (5 ) (5 )

   



   

    



u v 10 u hc u

u.v v 6 v 6

 

     

  

   

   

  

x x

u (5 6) 0 ; v (5 6) 0

x x

(5 6)  (5 6) 10

2

2 15 2

BF a (3a) a BF 18a

4

   

      

   

9 15

BH BC CH 6a a a

4

     

CH CF CH 3CE 9a

CE CA 4    

AB BC

3 

    o

ADF ABC ABC ADC 180 



AMF

 

EMA ADF



ABE

 

EMA ABC EA.ED EN.EF FA.FB FM.FE,

 



13

Bài :b) Ta tìm tất giá trị y để phương trình sau có nghiệm ẩn x :

Nếu y 0, phương trình có nghiệm

Nếu y 0, phương trình phương trình bậc hai, có nghiệm v ch :

Vậy tập giá trị y [1 ; 4] nên giá trị nhỏ y giá trị lớn cđa y lµ

Bài :a) Dễ thấy tam giác OAB vuông cân O nên O thuộc đường trịn đường kính AB Như OMAB tứ giác nội tiếp, suy OM  CN Tương tự ta có ON CM Suy O trực tâm tam giác CMN, suy OC MN

b) Các bạn hÃy chứng minh OMBN hình thang c©n, suy MN OB, suy 2.MN AB.

   o

OMC OBA ACB 45  

  o

OAB OBA 45 

2

'

x

y y 0

a y y y

3

3 25 y

4 y(y 3) 0 y

0 y 3y y 2 2

2



  



        

     

                  

    

   



x

4  

2

4x

y yx 4x y

x



     



Bµi :Ta sÏ chøng minh AD2AM.AF ThËt vËy : AED CDF (g.g)

suy (do AC AD CD)

 AEC CAF (c.g.c)  ACM AFC (g.g)

đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp MDF (đpcm)

2

AM AC AC AM.AF AD AM.AF

AC AF

     

  ACE CFA

  

AE CD AE CA

l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

14

Bµi 1(31) : Cho sè cã

12 chữ số Chứng minh thay dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1, 2, cách tùy ý số ln chia hết cho 396

Lời giải : Ta nhận thấy, vị trí chữ số thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số đôi khác nhau, lấy từ tập hợp {1, 2, 3} nên tổng chúng 2 3 6 ;

Mặt khác 396 4 9 11, 4, 9, 11 đơi ngun tố nên ta cần

chøng minh chia hÕt

cho ; vµ 11 ThËt vËy :

+ A chia hết cho số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho

+ A chia hÕt cho v× có tổng chữ số chia hết cho :

1 5 5 7 1 4 1 6 (* * *) 30 6 36 chia hÕt cho + A chia hết cho 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 :

(1 5 7 4 1) (5 1 6 (* * *)) 18 12 6 0

VËy ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh

Nhận xét : 1) Đa số bạn giải đúng, nhiên số lỗi đáng tiếc “A chia hết cho 396 A có tổng chữ số chia hết cho (3 9 6)”

2) Các bạn có lời giải tốt : Trần Thanh Huyền, 6A, THCS Nghèn ; Phan Thị Trang Nhung, 6C, THCS bán công Xuân Diệu, Can Lộc ; Lê Chí Hiệp, 6B, THCS Hồng Xn Hãn, Đức Thọ , Hà Tĩnh; Nguyễn Đức Tân, 6C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Bùi Thế Bun, 6B, THCS Phú Thái, Kim Thành ; Nguyễn Đức Nguyên, 6A, THCS Phạm Sư Mạnh, Kinh Môn, Hải Dương ; Đoàn Đức Dương, 6A, THCS An Tiến, An Lão, Hải Phịng ; Hồng Thị Vân Anh, 6B,

THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Nguyễn Hồng Giang, 6A, trường Hà Nội -Amsterdam, Hà Nội ; Võ Hoài Duy, 6/3, THCS Nguyễn Thị Minh Khai, Cam Phúc Bắc, Cam Ranh, Khánh Hịa; Nguyễn Thúc Vũ Hồng, 6M, THCS Nguyễn Huệ, TX Đông Hà, Quảng Trị ; Phùng Quang Anh, 6A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Vũ Hải, 6A3, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc

nguyễn anh quân Bài 2(31) :Giải hệ phương trình :

Lời giải :Hệ cho tương đương với :

Tõ (1) vµ (2) ta cã :

Với y 2, thay vào (1), (2) ta có x 1 ; z  1 Với y  2, thay vào (1), (2) ta có x  1 ; z 1 Tóm lại, hệ phương trình có hai nghiệm : (x ; y ; z) {(1 ; ; 1) ; (1 ; 2 ; 1)} Nhận xét :Hầu hết bạn gửi giải giải nhiều cách khác Có bạn sai lầm giải với điều kiện x, y, z số nguyên : “từ z(z y)  1 ta có z 1 z  1” Các bạn có lời giải ngắn gọn : Tạ Thế Anh, Trần Quang Sự, 9A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Phạm Quang Thịnh, 7H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên; Võ Thị Hải Sâm, Đậu Phi Lực, Hồ Hữu Quân, Nguyễn Công Hoan, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu,

2

2

y y 4 0 y 2.

4 y

  

      



  

   

2

2

2

y

x y (1)

2

y

z y (2)

2

 

       



       



2

2

x xy y

z yz

    



   

15 Nghệ An ; Phạm Minh Quân, 82, THCS Nguyễn Du, Phan Thiết, Bình Thuận ; Nguyễn Danh Phú, 7/3, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Nguyễn Phương Thảo, 7D, THCS Quách Xuân Kỳ, Hồn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình; Ngơ Thị Thu, 7B, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh; Hoàng Đức Hữu, 8/2, THCS Thành Cổ, TX Quảng Trị, Quảng Trị ; Vũ Thị Hồng Phúc, 86, THCS Long Bình Tân, TP Biên Hòa, Đồng Nai ; Nguyễn Thanh Tùng, 6B, THCS Thị trấn Nho Quan, Nho Quan, Ninh Bình; Nguyễn Văn Lương, 8A, THCS Đơng Thọ, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Đào Mạnh Linh, 7C1, THCS Quang Trung, Hải Phòng ; Phạm Thị Thu Nhàn, 9A1, THCS 719, Eakly, Krông Păk, Đắk Lắk; Trần Minh Đức, 9A7, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam nh

ltn Bài 3(31) :Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc A b»ng :

Lêi gi¶i :(cđa bạn Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, H­ng Yªn)

Điều kiện để A có nghĩa :

Viết biểu thức dạng :

áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số (9x 18), (x21) ta

(9x 18) (x21) x29x 17 (2) Từ (1) (2) suy

Đẳng thức xảy :

9x 18 x21 x29x 19 0 Vậy A đạt giá trị lớn 2005,

Nhận xét : 1) Nhiều bạn biến đổi trực tiếp biểu thức A dạng

, đồng thời nhận xét x23x 4 > với x 2 đến kết

2) Các bạn sau có lời giải gọn : Mạc Hồng Linh, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Nguyễn Kim Hùng, Tạ Thế Anh, Trần Bá Trung, 9A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đậu Thị Thanh Nga, 6B, THCS Quỳnh Thiện ; Hồ Hữu Quân, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Đậu Anh Dũng, 9/1 ; Trần Thị Thu Hà, 9/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Hoàng Đức Hữu, 8/2, THCS Thành Cổ, TX Quảng Trị, Quảng Trị; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa Nguyễn Văn Mạnh Bài 4(31) :Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh :

(1) Lời giải :Trước hết chứng minh

bất đẳng thức (2)

đúng với số thực dương u, v

Tht vy, t Ta cú

Đẳng thức xảy vµ chØ x y u v

3 3 3 3 3

2 2

2

u v u v x y x y

2 2

x y (4(x xy y ) (x y) )

3 (x y)(x y)                                3

x u, y v

3 3

u v u v

2

  

3a 3b 3c

  

3a b c  3b c a  3c a b  

2

2

( x x 2) A 2005

x 3x

       x   x    2

(x 9x 17) (13 6x)

A 2004 2005

x 3x

   

  

 

2

2 (9x 18)(x  1)

2

2 (9x 18)(x 1) 13 6x

A 2004 (1)

x 3x

   

 

 

3 2

2

x 2x x (x 1)(x 2) 0

(x 1)(x 4)

x 3x

x                         

2

2

2004x 6006x x 2x x 8003. x 3x

     

16 áp dụng bất đẳng thức (2), ta suy

Bất đẳng thức (1) chứng minh Đẳng thức xảy :

a b c b c a c a b a b c Nhận xét :Hầu hết bạn gửi lời giải tới tịa soạn giải Các bạn có lời giải tốt : Nguyễn Ngọc Long, 7A, THCS Thuận Thành ; Nguyễn Hồng Vân, 7D, THCS Tam Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh; Nguyễn Đại Thắng, 7A, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam Nơng, Phú Thọ; Đậu Thị Thanh Nga, 6B, THCS Quỳnh Thiện, Quỳnh Lưu ; Trần Thị Thảo, 7B, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Đậu Thế Vũ, 7B, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Trần Minh Đức, Nguyễn Xuân Hoàn, 7/2 ; Nguyễn Danh Phú, 7/3, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Phương Thảo, 7D, THCS Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch, Quảng Bình; Nguyễn Thúc Vũ Hồng, 6M, THCS Nguyễn Huệ, TX Đông Hà ; Võ Trần Tâm, 7E, THCS thị trấn Gio Linh, Quảng Trị

Nguyễn Minh Đức Bài 5(31) : Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, BC theo thứ tự P, Q Phân giác cắt tia PQ E Chứng minh AE vng góc với CE

Lời giải :Có ba trường hợp cần xem xét Trường hợp :AB AC

DƠ thÊy E trïng víi Q V× AB AC nên AQ CQ AE CE (vì E trïng víi Q)

Trường hợp :AB > AC Dễ thấy E thuộc đoạn PQ Ta có BPQ cân B

Suy (1)

XÐt tam gi¸c OAC, ta cã :

(2) Tõ (1), (2) suy tø gi¸c OEQC néi tiÕp

AE EC

Trường hợp :AB < AC Dễ thấy E thuộc tia đối tia QP

Tương tự trường hợp 2ta có tứ giác OQEC nội tiếp Suy AE EC

Tóm lại, ba trường hợp, ta có AE EC

Nhận xét :1) Đây toán dễ quen thuộc, nhiều bạn tham gia giải giải Tuy nhiên bạn ý đến việc xem xét đủ ba trường hợp

2) Các bạn sau có lời giải tương đối tốt : Đặng Thế Thành, 9E, THCS thị trấn Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh; Văn Mạnh Tuấn, 9A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Trần Tấn Thanh, 9A, THCS Hùng Phước, Nghĩa Hành, Quảng Ngãi ; Võ Minh Đức, Nguyễn Kim Trọng, 9/2, THCS Nguyễn Khuyến, Đà Nẵng Nguyễn Minh Hà   o

OEC OQC 90

  

    A C EOC OAC OCA

2

   

 180o B A C 

EQB

2 2

  



A

3 3

3

3

3

3 3

a b c b c a c a b

a b c b c a

2

b c a c a b

2

c a b a b c b c a.

2

             

 

    

 

    

17 Giắc tên trộm tinh ranh Nghe nói Sê-Lốc-Cốc thám tử lừng danh, Giắc định thử tài ông cách : ăn trộm khoản tiền lớn nhà tỉ phú Bơ-ranh gợi ý cho thám tử cách truy tìm thủ phạm

Sau nhận tin báo vụ tiền, thám tử Sê-Lốc-Cốc đến biệt thự ông Bơ-ranh Chủ nhà dẫn thám tử đến bên két sắt bị mở Số tiền két biến mất, thay vào mảnh giấy Thám tử cầm mảnh giấy lên chăm đọc Trên mảnh giấy có ghi :

Tôi số ba người sau :

Người giúp việc Ông quản gia Người thợ may

Phía dịng chữ loạt tên nước tên thủ đô tương ứng bị xếp xáo trộn sau :

Nhật Bản Oa-sinh-tơn Hà Lan Tơ-ki-ơ Thổ Nhĩ Kì Ln Đơn Anh Am-xtec-đam Hoa Kì Rơ-ma I-ta-li-a I-xtan-bun Cuối cùng, người viết nhấn mạnh : Nếu ơng nhanh chóng phát tơi số ba người trên, xin tự nguyện mang tiền đến trả lại đầy đủ cho nhà Bơ-ranh

Thám tử Sê-Lốc-Cốc ngẫm nghĩ lúc bật cười :

- Hà ! Hà ! Quả tên trộm đặc biệt ! Hắn ăn trộm để kiểm tra tài phá án ! Kể thơng minh thật !

Ơng Bơ-ranh lo lắng : - Liệu ngài có tìm hn

tôi hi vọng nhận lại tiền không ?

- ễng yờn tõm i ! Đọc mảnh giấy biết số ba người kể Chắc tên trộm giữ lời hứa, mang tiền đến

Đố thám tử Tuổi Hồng biết, Sê-Lốc-Cốc tài ba tìm số ba người mà tên trộm kể ? Ông vào đâu để tìm ?

tiỊn không ?

Nguyễn Thị Thanh Loan

18

Thử sức với tập

TTT2 số 32 đưa “Một cách học hiệu quả”, thử tìm nhiều cách giải cho toán Bài viết đưa sáu tập tự giải, có tốn sau :

Bài toán : Cho tam giác ABC, trung tuyến BM cắt phân giác CD P

Chứng minh :

Lời giải : Dựa vào định lí Ta-lét tính chất đường phân giác tam giác, tơi chứng minh toán năm cách Trc ht ta cú :

Mặt khác, CD phân giác ABC nên ta có

Vì vËy ta cÇn chøng minh

Cách : Vẽ DK // BM (K thuộc AM) Theo định lí Ta-lét (chú ý MA MC) ta có :

Cách : Vẽ DI // AC (I thuộc BM) Theo định lí Ta-lét (chú ý MA MC) ta có :

C¸ch : VÏ AN // BM (N thuéc tia CD) Do MA MC suy PC PN

MỈt kh¸c, (do AN // BP), suy

Cách : Vẽ AH // CD (H thuộc tia BM) Ta có AMH  CMP (g.c.g), suy PC AH Mặt khác, PD // AH nên theo hệ định lí Ta-lét ta có :

Cách : Trên tia đối tia MB, lấy điểm E cho MB ME, suy ABCE hình bình hành (do MA MC) Suy AB // CE AB CE Theo hệ định lí Ta-lét ta có :

Hi vọng cịn có nhiều cách chứng minh khác cho toán Rất mong tiếp tục trao đổi với bạn

PC CE AB PD BD DB 

AH AB PC AB.

PD DB PD DB PC AH

PD PD

 

PN ND 1 DA 1 AB PC AB.

PD PD  DB DBPD DB ND DA

PD DB

PC PN PD PD

 

PC MC MA AB PD DI  DI DB PC MC MA AB PD MK MK DB  

PC AB PD DB AB AC

DB BC

  

DA AC DA 1 AC 1

DB BC  DB BC

PC AC 1 PC AC 1.

PD BC  PD BC  PC AC PD BC 

Nguyễn Đăng Quang

19

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI BA

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI LĂM

Đây tốn khó học sinh THCS Chỉ có mười võ sĩ nhận lời thách đấu có tới bảy võ sĩ cho lời giải sai Sai lầm ngộ nhận A1A2B1B2C1C2 lục giác

Ba võ sĩ có lời giải : Nhà giáo Nguyễn Đức Tấn, TP Hồ Chí Minh ; bạn Hồng Việt Anh, 8A, THCS Thanh Cường, Thanh Hà, Hải Dương bạn Trần Minh Đức, 7/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh

Tôi xem xét kĩ lời giải ba võ sĩ nhận thấy rằng, lời giải nhà giáo Nguyễn Đức Tấn sáng sủa Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải với vài sửa đổi

Lấy K tam giác ABC cho tam giác KA1A2là tam giác (1) Dễ thấy KA2 B2B1và KA2// B2B1 Từ với ý A2B1  B2B1, ta có KA2B1B2là hình thoi (2) Suy KB2  B2B1  KB2  B2C1 (vì B2C1B2B1)

Tương tự ta có KC1C1B2 Vậy tam giác KC1B2đều (3) Từ (1) ; (2) ; (3) suy :

     

1 1 2 1 2 1

A A B A A K KA B C B K KB B C B B

   

lNgi thỏch u :

Nguyễn Đăng Phất, §HSP Hµ Néi

lBài tốn thách đấu :Cho tam giác

ABC có độ dài cạnh BC a, CA b, AB c cho a > b > c Đặt b c 2a0; c a 2b0; a b 2c0 Trên cặp tia CA, BA ; AB, CB BC, AC theo thứ tự lấy cặp điểm A2, A3; B3, B1và C1, C2 xác định CA2 BA3a0; AB3CB1 b0; BC1AC2c0 Chứng minh : Ba đường thẳng A2A3, B3B1, C1C2đồng quy điểm J

lXuÊt xø :S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu :

Trước ngày 15 - 12 - 2005 AB JC

3 

 A1A2B1 C1B2B1(c.g.c) A1B1C1B1 Từ với ý A1C2C1C2, ta có B1C2là trung trực đoạn A1C1

Tương tự vậy, C1A2, A1B2theo thứ tự trung trực đoạn B1A1, C1B1

Suy A1B2, B1C2, C1A2đồng quy (trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy) Ngoài lời giải trên, tốn cịn có hai lời giải đặc sắc khác, chưa giới thiệu khn khổ tạp chí Hi vọng giới thiệu với bạn thời gian gần Đương nhiên, võ sĩ đăng quang trận đấu nhà giáo Nguyễn Đức Tấn

20 Các tốn giải hệ phương trình chiếm tỉ lệ khơng nhỏ kì thi định lí Vi-ét đảo công cụ hữu hiệu để giải nhiều hệ phương trình

Định lí Vi-ét đảo :

Nếu tồn hai số x, y

thì x, y nghiệm phương trình ẩn t : t2St P 0.

Mét sè vÝ dô :

Ví dụ :Giải hệ phương trình

Lời giải :Hệ phương trình tương đương với

Đến ta áp dụng định lí Vi-ét đảo : Nếu x, y nghiệm phương trình t27t 12 0

Nếu x, y nghiệm phương trình t27t 12 0

Vậy hệ phương trình cho có bốn

nghiƯm (x ; y) lµ (3 ; 4) ; (4 ; 3) ; (3 ; 4) ; (4 ; 3)

Ví dụ : Giải h phng trỡnh

Lời giải : Đặt S x y, P xy ta cã :

Theo định lí Vi-ét đảo x, y nghiệm phương trình t2t 12 0

Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x ; y) (3 ; 4) ; (4 ; 3)

Chú ý : Có hệ phương trình khơng đối xứng đưa hệ phương trình đối xứng để giải

Ví dụ :Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Lời giải : Đặt u y ta có

Đặt S x u, P xu ta có

Theo định lí Vi-ét đảo x, u nghiệm

3

S S

8 m

P

S 3PS m 6

              

3 3

x u x u

x u m (x u) 3xu(x u) m

                    3

x y x y m

  

  



t t      5S 2P 19

S 3P 35 S Gi¶i hƯ ta cã

P 12               

5(x y) 2xy 19 x y 3xy   35 

     

t

t 3     

x y

xy 12   

  

t t 3.     x y

xy 12     

2

2

(x y) 2xy 25 (x y) 24 25

xy 12 xy 12

x y

(x y) 49

xy 12 xy 12                                  2

x y 25

xy 12      

x y S xy P

     

Ngun hµi

21 phương trình

Phương trình có nghiệm  t’ 0 Vậy với m  hệ phương trình ban đầu có nghiệm

Nhận xét :Phương pháp chung để giải hệ phương trình sử dụng định lí Vi-ét đảo cách biến đổi hệ phương trình dạng giải phương trình t2St P 0, từ xác định nghiệm hệ phương trình ban u

Bài tập áp dụng :

Bi : Giải hệ phương trình

Bài :Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình m 3 b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm

Bài : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

Bài : Cho hệ phương trình

Chứng minh hệ phương trình có nghiệm với m Tìm m để hệ có nghiệm

2

x xy y 2m xy(x y) m m           2

x y xy m

x y m

        2

x xy y m

2x xy 2y m           4 2 2 2

x y 17

x xy y

a) b)

x y x y xy

x x y y 18

c)

x(x 1)y(y 1) 72                              

x y S xy P       m

1 m

6 

    

2 m

t 2t

6 

  

Ngồi hình thức gửi lời giải Tịa soạn qua Bưu điện, thư điện tử trước đây, Tốn Tuổi thơ bắt đầu tổ chức hình thức giải đố tin nhắn điện thoại qua số 986 Trong số TTT2 kì chuyên mục sau nhận thêm lời giải qua tin nhắn : Đo trí thông minh, Phá án thám tử Sê-Lốc-Cốc, Không Văn, Vào thăm vườn Anh, Rừng Cười Cuộc thi qua Tin nhắn tổng kết riêng bốc thăm giải đặc biệt chung cho năm chuyên mục Sau hướng dẫn cách tham gia :

1 Đo trí thông minh

Bài : Bạn tìm hình lạc loài, hÃy soạn tin nh¾n :

3T IQ B1 tên hìnhvà gửi đến 986 Ví dụ :Trong năm hình A, B, C, D, E, bạn thấy hình E khác với hình khác, soạn tin nhắn :

3T IQ B1 Evà gửi đến 986 Bài :Tương tự 1, tìm hình khác với hình khác, soạn tin nhắn :

3T IQ B2 tên hìnhvà gửi đến 986 Ví dụ : Nếu bạn thấy hình E lạc lồi, soạn tin nhắn :

3T IQ B2 Evà gửi đến 986

2 Phá án thám tử Sê-lốc-cốc

Nu bn ó tìm “tơi ?” soạn tin nhắn theo mẫu :

3T PA đáp ánvà gửi đến 986 A : Người giúp việc

B : Người quản gia C : Người thợ may

Ví dụ : Nếu bạn chọn “người quản gia” nhắn tin theo mẫu sau :

3T PA Bvà gửi đến 986 (Xem tiếp trang 10)

22

phiặu dỳ thi

Cuộc thi giải toán máy tính CASIO

Họ tên :

Địa :

giải toán máy tính điện tử casio năm 2005

ẵậ thi kƯ thư mõéi mỉt

(Bài giải gửi trước ngày 16-12-2005)

đơn vị tài trợ : công ty cổ phần xuất nhập bình tây

Bài 1.Tìm hai chữ số cuối số , [a] phần nguyên số a, tức số tự nhiên lớn không vượt a

Bài Cho dãy số {un} xác định : u10, u214, u3 18 công thức truy hồi un17un16un2, n 3, 4, 5, 2.1 Lập quy trình tính unvà tính unvới n 4, 5, , 20

2.2.Lập chứng minh công thức tổng quát un

2.3 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn tè p th× upchia hÕt cho p

Bài 3.Tìm tất số tự nhiên m cho m3 tổng bình phương m số tự nhiên liên tiếp

Bài Tìm số tự nhiên n lớn cho n chia hết cho tất số tự nhiên nhỏ

Bi 5.Cho dóy s {un} với u11, u22, u412 un1.un1un21 Chứng tỏ có dãy số xác định từ công thức để undương với n 2, 3, 4,

3n 2005

( 29 21)

  

 

KẾT QUẢ KÌ THỨ CHÍN

n n hình vng kích thước 1 Số hình vng bàn cờ n n : Với n 8 ta có S8204 hình

1.2.Sè h×nh vuông hình chữ nhật gồm bàn cờ n n ô vuông : 128 105 84  65 48 33 20 9  492 h×nh

Bài toán tổng quát : Số hình vuông hình chữ nhật tạo m bàn cờ n n ô vuông nối liên tiếp :

2 2

n n(n 1)(2n 1)

S n

6

 

     Bµi

1.1.Một bàn cờ n n vng gồm : hình vng kích thước n n ;

2 2 hình vng kích thước (n 1) (n 1) ; ;

23 n(n m) (n 1)(n m 1) (n 2)(n m 2)   3(3  m)  2(2  m)  1.(1  m) 

Bài Đặt A1 0,20052005 Khi Êy 10000A12005,20052005

2005 0,20052005 2005 A1 Vậy 9999A12005 hay Tương tự,

A20,020052005  vµ

A30,0020052005 

Suy

Chú ý Số thập phân vơ hạn tuần hồn phân số đúng, đáp số phải phân số

Bài Giả sử tồn hai số m n nguyên dương cho xy  x  m2 xy y n2 Coi y > x Khi m2xy x > x2 n2xy y > xy x m2

Suy m > x > 998 vµ n > m

Ta cã : y x n2m2> (m 1)2m2 2m 1 > 2x 1

Suy y > 3x 1 > 3.998 1 2995 > 1994 Vậy khơng thể tìm hai số x y khoảng (998, 1994) để xy x xy y số phương

Bài 4.Trên Casio fx-570MS : Đưa u11 vào :

Đưa u22 vào : Khai báo số đếm :

Khai b¸o un12003un2004un1:

1 2003

2004

1 2003

2004

Liên tiếp bấm phím để giá trị u3  6010, u4  12042038, u5  2.413224615 1010 Tính xác u5:

2 (4132246154) VËy u524132246154

Bµi 5.Ta cã P(x) Q(x)M(x) R(x) Do Q(x) (x3x)  x(x  1)(x  1) nªn x x9x25x49x81

(x3x)M(x) (Ax2Bx C)

Suy C P(0) 1 ; P(1) 6 A B C ; P(1)  4  A  B  C  A  0, B  R(x) 5x 1 VËy R(701,4) 3508

Nhận xét :Các bạn sau giải kì : Hồng Minh Thắng, 9C, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An; Nguyễn Bảo Thiên Thanh, 9/3, THCS Hưng Long, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Đinh Thị Hiền Trang, 273 Điện Biên Phủ, khu 3, phường Bình Hàn, TP Hải Dương, Hải Dương; Trần Thế Dũng, 10/1, THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Vũ Quang Sao, 9E, THCS Thị trấn Hưng Nhân, Hưng Hà, Thái Bình; Nguyễn Thành Hải, 10 Tốn, THPT chuyên Bắc Giang, Bắc Giang ; Đào Thanh Tùng, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Nguyễn Văn Huy, 11A1; Nguyễn Thị Huế, 10A1, THPT Xuân Hòa, TX Phúc Yên ; Trần Văn Tuấn, 9A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc

ts Tạ Duy Phượng = EXP  = B ALPHA  A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA  M ALPHA = ALPHA M ALPHA : ALPHA A ALPHA  B ALPHA = ALPHA A ALPHA : ALPHA  M ALPHA = ALPHA M ALPHA M STO SHIFT B STO SHIFT B A STO SHIFT A

9999 99990 999900

2005 2005 2005

3 9999(1 10 100) 3329667

2005 2005              

1

1 1

A + +

A A A

 

  

 

1

1 A 2005

100 999900

1

1 A 2005 10  99990

1 2005

A

9999  n(n 1)(2n 3m 1)

6

24

Một vài đẳng thức về phần nguyên

Chắc hẳn bạn nghĩ Tốn sơ cấp có đơi chỗ thật đơn giản, tầm thường, sau phát đằng sau vẻ bên đơn giản, tầm thườngđó lại chứa đựng nhiều điều thú vị, bất ngờ

Lớp toán chứng minh đẳng thức liên quan đến phần nguyên (một khái niệm quan trọng lí thuyết số) vấn đề

lTrước hết khái niệm tính

chất đơn giản phần nguyên số Định nghĩa :

Cho x số thực, số ngun lớn khơng vượt q x gọi phần nguyên x, kí hiệu [x]

VÝ dô :

x 3,45 [x] 3 ; y  3,45 [y]  4 Mét sè tÝnh chÊt :

1) Mọi số thực x viết dạng x n r n số nguyên r <

2) NÕu x y th× [x] [y] 3) [x] x víi mäi sè thùc x

4) NÕu n lµ số nguyên x số thực mà n x th× n [x]

Các tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa

lVíi công cụthô sơ trên, ta hÃy

th cựng dựng câu chuyện lí thú cho đẳng thức phần nguyên

Một số đẳng thức thú vị :

+Với kết quen thuộc số phương khơng có dạng 4k 2(bạn đọc tự chứng minh), ta có đẳng thức sau :

Bài toán : Chứng minh với số nguyên dương n ta có đẳng thức :

Lời giải : Do nên theo

tính chất 2thì (1)

Đặt suy

(tớnh cht 3) x24k 2 x2< 4k 2 (vì x số nguyên, 4k 2 khơng phải số phương nên dấu xảy ra) x24k 1

(theo tÝnh chÊt 4)

(2) Tõ (1) vµ (2) suy

+Đến kết khơng dừng lại tốn ta biết rằng, số phương khơng có dạng 4k 3

Tương tự, ta có đẳng thức kép sau : Bài tốn : Chứng minh với số nguyên dương n ta có :

+Một câu hỏi tất yếu : để có đẳng thức kép điểm mấu chốt ta tạo đẳng thức tương tự không ?

4n 4n 4n

        

     

4n 4n

     

   

4n 4n

   

      x  4n 1

   

x 4n

  

x 4n 2 x 4n 2 0,

4n 4n

     

   

4n 1  4n 2

4n 4n

     

   

25 Câu trả lời nằm phép chia số phương cho Một số phương chia cho có số dư 1:

4n  khơng số phương nên (chứng minh trên) ; 4n  không số phương nên

(tương tự) Như vậy, với kết :

- Một số phương chia cho có số dư ; ; 4;

- Một số phương chia cho có số dư ; ; 4;

- Một số phương chia cho có số dư ; ; ; 4;

- Một số phương chia cho có số dư ; ; ; 7;

Cùng với cách lập luận toán ta chứng minh đẳng thức sau :

Bài toán : Chứng minh với số nguyên dương n ta có :

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

+ Theo mạch trên, tiếp tục đặt câu hỏi : tốn cịn khơng thay bậc hai bậc chẵn khác ; bậc ba đẳng thức bạn

thu nhiều kết hấp dẫn Đề nghị bạn giải toán sau mở rộng chúng

Bài tốn : Chứng minh với số nguyên dương n ta có :

1) 2)

Bài toán : Chứng minh với số nguyên dương n ta có :

3

2) n 6   n 7 

   

5 5

1) 25n 1     25n     25n ; 

37n 1 37n 2 37n

        

     

39n 1 39n 2 39n ;

        

     

9n 9n

     

   

9n 9n 9n ;

        

     

9n 9n 9n ;

        

     

7n 7n 7n ;

        

     

7n 7n ;

     

   

5n 5n 5n ;

        

     

8n 8n 8n ;

        

     

8n 8n 8n ;

        

     

4n 4n

     

   

4n 4n

     

   

Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư

26

Problem E9 :(Proposed by Nguyen duc tan, Ho Chi Minh city, Vietnam)

Determine all real positive numbers a, b, cand dsuch that

English version translated by Pham Van Thuan 33,

1 25 11.

3

    



    



a b c d

a b c d

Solution E7 : Triangle ABC is right isosceles at A, so we have ABC ACB 45o DAEand ABAC It follows that AED BEAwhich implies that

Similarly, we have which follows from the similarly of triangles ADEand CDA Multiplying the similarity ratio equations gives

,

so that

or

We have then

By Pythagorean Theorem, we have in right triangle ABC,

Nhận xét :Một số bạn đưa lời giải dài, phải kẻ thêm đường phụ, sử dụng nhiều tính tốn phức tạp Có bạn cịn đưa đến việc giải phương trình bậc hai Thực thấy đây, với việc sử dụng tính chất đồng dạng tam giác, toán trở nên đơn giản nhiều

Xin trao thưởng cho hai bạn : Hoàng Kim Liên, 314, A6, Giảng Võ, Hà Nội ; Mai Trung Nghĩa, 9B, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa

TS Ngô ánh Tuyết(NXBGD)

2 12.

 

BC AB AC

6   AB AC

2      8 72,

AB AC BE CD

   BE CD AB AC

1 

 

BE CD AB AC

  

AE AD AD AE BE CD AB AC

 AD AE CD AC

 AE AD

BE AB

Chó thÝch tõ vùng thuật ngữ :

lmultiply :nhõn (ng t) lsimilarity ratio :tỉ số đồng dạng lPythagorean Theorem :định lí Py-ta-go

l Kì :

27

lKÕt qu¶ : Ai ghép ? (TTT2 sè 31)

Xe lửa em tới trường

Xe thư nhộn nhịp phố phường làng quê Xe nôi chậm chạp nặng nề

Xe hoa đưa tiễn người cõi âm Xe nâng chở khách đường gần Xe ôm đưa khách lâng lâng cao vời

Xe lam trỴ thÝch n»m ch¬i

Xe ngựa chở khách nơi chuyên cần Xe tang để chở phạm nhân

Xe máy phục vụ nông dân tháng ngày Xe lu chạy ë trªn ray

Xe cáp ngất nghểu cánh tay vươn dài

Xe bị giải phóng đơi vai

Xe buýt đưa đón gái trai duyên lành Xe đạp chạy nội ngoại thành

Xe qt bèc dì hµng nhanh nhẹ nhàng Xe cẩu san lấp mặt

Xe hòm dùng để chở xăng, chở dầu Xe ca bưu kiện chuyển mau Xe téc trâu kéo rừng sâu lối mòn

Xe thồ miền núi Xe i c ng sm hụm sn sng

Mai Đình Phẩm

(45 Tân Lâm, ýYên, Nam Định)

T ghép tên vật đặt vị trí hợp nghĩa câu thơ Bạn TTT (Vĩnh Phúc) viết “Tóc cị”, bạn NTT (Hà Tĩnh) viết “Tóc sam”đều chưa Từ ghép trường hợp “Tóc gà” (Dải tóc trần thịng phía sau (tựa gà) - kiểu vấn tóc người phụ nữ thời trước) Bài thơ sửa lại sau :

Tóc gàđẹp u kiều

Công dân tố cáonhững điều xấu xa Bố côngtác xa nhà

Chi t tụmlm tn tin hi thân Ân cần chăm sócbệnh nhân Cáđộ bác thằng bần anh

Giọt mưa vắtlong lanh Mải chơi, lười biếng, học hành bỏ bê

C¸i hang sâuhoắm tối ghê

ctai - b phn giỳp nghe rõ ràng Người bn tìm mốihàng Binh sĩ nainịt gọn gàng tiến công

Xấu hổđỏ mặt thẹn thùng Nơng dân vất vả nailưng cấy cày

Bót mùcem viết ngày Báo cáothành tích việc hay điển hình

Còmồi lừa người tin

Mặt bà nứt nẻ chân chimbuồn rầu Đầu gấugây gổ đánh Mì tụm tin li : nu mau, n lin

Năm bạn trao giải kì : Nguyễn Thu Hiền, 93 phố Thôi Hữu, P Ngọc Trạo, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Nguyễn Quang Hiển, 8A1, THCS Tăng Bạt Hổ, Bồng Sơn, Hoài Nhơn, Bình Định ; Nguyễn Thị Cẩm Nhung, 7/1, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thảo Ngọc, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc; Lê Văn Chung, xóm 6, Thụy Quỳnh, Thái Thụy, Thái Bình

Phú B×nh

Đó loại xe Tí Tồ tả lộn, đọc nghe khó vào

Bạn thử sửa lại xem nào

Sửa đúng, gửi sớm, xin trao phần quà !

28

TrÇn Đăng Khoa :

Va ri, ó cú bn Hng Mít Ướt trị chuyện với chú, tên biệt danh thằng gián điệp Nghe rùng rợn chết Bây lại đến anh bạn Chuột Nhắt Đến với Khoa, cháu nên mang tên thật, đừng bắt phải trò chuyện với Chuột ! Mà điều bàn nghiêm túc, có phải chuyện Dơi, Chuột đâu !

Cũng có bạn hỏi tương tự điều cháu băn khoăn “Mặt trời xuống biển lửa” Câu thơ bác Huy Cận viết khơng có sai Cũng đừng nghĩ bác Cận khơng biết địa lí Cháu ngạc nhiên cháu đứng vị trí cháu, người đất liền nhìn hồng Cịn bác Cận lại nhìn mắt người đánh cá, mà cụ thể người dân chài, đánh cá đêm, biển thuyền buồm Cháu biết đấy, dân chài quanh năm sống trời nước “Đoàn thuyền đánh cá lại khơi”, từ lộng khơi, từ đất liền Trong thơ “Mẹ Suốt”, nhà thơ Tố Hữu viết : “Đi khơi lộng, thuyền ra, thuyền vào” Trong hát ca ngợi người bám biển, nhạc sĩ Đỗ Nhuận viết : “Nhổ neo từ lộng khơi thuyền nhà, biển quê hương, anh dõi theo luồng cá” Đối với người quanh năm sống sóng nước, lấy “con thuyền nhà, biển quê hương”, xung quanh, bốn phương tám hướng mênh mông mây nước Mặt trời mọc biển lặn lặn xuống biển Bác Cận viết

Chú Khoa ! Trong thơ “Đoàn thuyền đánh cá”, nhà thơ Huy Cận viết : “Mặt trời xuống biển hịn lửa Sóng cài then đêm sập cửa Đoàn thuyền đánh cá lại khơi Câu hát căng buồm gió khơi” Cháu khơng hiểu bác Huy Cận lại viết Nước ta biển nằm phía đơng, chạy dài suốt từ Bắc xuống Nam Mặt trời mọc biển lặn núi phía dãy Trường Sơn Lẽ bác Cận phải viết : “Mặt trời xuống núi lửa” Chả lẽ bác Cận lại khơng biết địa lí ? Bạn cháu bảo, làm thơ, người ta viết đi, lại giở đồ đo ông địa chất vào nghề Chú nghĩ điều nào, đặc biệt câu thơ đoạn kết : “Mặt trời đội biển nhô màu Mắt cá huy hồng mn dặm phơi” Bọn cháu làm lung tung lắm, có đứa bảo cá đổ lên sân phơi để đóng hộp xuất Có đứa lại bảo câu thơ tả bàn chân người kéo chài Mắt cá mắt cá chân Cịn nghĩ ?

Cht Nh¾t

(Trường THPT n Khánh, Ninh Bình)

chuẩn, nhìn người đánh cá, quanh năm sống sơng nước Cịn viết “Mặt trời xuống núi hịn lửa”thì chuyện bác kiểm lâm rồi, mà bác kiểm lâm có trách nhiệm cao, cảnh giác chuyện cháy rừng, nên nhìn mặt trời nguy gây hỏa hoạn

29

l KÕt qu¶ : Ơ chữ : Hoa vườn Anh

Ơ CHỮ “Nhà trường”

(TTT2 số 31) Dịng chữ cột dọc tơ màu có nghĩa hiệu trưởng Trên hàng ngang từ liên quan đến trường học Bạn tìm xem !

Tôn Nữ Bích Vân

(THCS Nguyễn Khuyến, Đà Nẵng)

Kỡ ny Vn rt nhiu hoa

Đua phô sắc mặn mà tỏa hương Đầu tiên hoa hướng dương Tiếp theo lại thấy vấn vương loa kèn

Hoa hồng đẹp, khen Nếu cần thay gọi em đồng tiền

Hoa huệ đẹp dịu hiền

Hoa lan thơm ngát miền chiều quê Hoa cam nét đẹp say mê

Ai yêu hoa muốn Vườn Anh

Đây đáp án trả lời bạn Vũ Văn Duy, 10A8, THPT bán công Thanh Hà, Hải Dương

l Kì :

Ngoi cũn cú th in nhiều lồi hoa vào chữ, ví dụ hàng điền lồi hoa sau : PEONYFLOWER - Hoa mẫu đơn, CAULIFLOWER - Hoa súp lơ ; hàng điền lồi hoa : CAMELLIA - Hoa trà, TUBEROSE - hoa huệ, LAVENDER - hoa cải

Ngoài bạn Duy, Chủ Vườn xin trao quà cho bạn trả lời xác đưa nhiều đáp án : Nguyễn Ngọc Hạnh Châu, 91, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Trần Thị Tân, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Nguyễn Thị Hải Yến, 9A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Vũ Nhã, 8A5, THPT số An Nhơn, thị trấn Đập Đá, An Nhơn, Bình Định

30

(TTT2 sè 31)

lKÕt qu¶ :

CON GÌ ? l Kì :

Con to núi rừng ? Con gọi hạ vang lừng ?

Con trèo giỏi, hót hay ? Con mò cá, mỏ dài chân cao ?

Con hút máu, đốt đau ?

Con xem vỏ tưởng ngao họ hàng ? Con bơi với chân màng ?

Con biển trơng giống trai ? Con giống khỉ dài ?

Con học nói hay tiếng người ? Con vội lìa đời ?

Con bị chậm rời biển xanh ? Con hút máu, bám nhanh ? Xin mời bạn đáp cho rành thơ !

(Nãi thªm cho hÕt mËp mê

Tên chúng có chữ “vờ” (v) trước tiên)

Trương Hải

(33A, quèc lé 60, khu I, p.6, TP Mü Tho, TiÒn Giang)

Hội ý trao đổi nhanh

Hội trường phòng lớn họp hành thường xuyên Hội thảo bàn bạc nhiều bên

Héi häa nghƯ tht vÏ nªn nhiều hình Hội ngộ gặp tâm tình

Hi làng tổ chức dân vui chơi Hội nghị họp bàn nhiều người Hội chợ hàng hóa khắp nơi trưng bày

Hội chẩn đoán bệnh Hội diễn sân khấu mê say lòng người

Thảo dân đáp giỏi, Trẫm cười : Năm phần thưởng lớn tức thời trao

Ban thưởng :Phạm Thị Vân Nga, 7E, THCS Chu Văn An, Chí Linh, Hải Dương; Phạm Hương Quỳnh, 6A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Ngô Thị Thùy Dương, 7A, THCS Bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Nguyễn Giao Thùy Hương, 8/6, THCS Tam Xuân I, Núi Thành, Quảng Nam ; Trương Lê Ngọc Trâm, 40 Thi Sách, Hòa Thuận, Hải Châu, Đà Nẵng

31 Hái :

Xin hỏi anh câu : “Học anh ?” Mong anh đáp nhanh Đáp thơ anh nhộ !

Học trò ham chơi

(Khi 4, phường Đội Cung, TP Vinh, Nghệ An) Đáp :

Bắt đầu từ bé Ai học Nào học lẫy, học ngồi Nào học bò, học đứng Chưa biết thành nắm vững Là học đấy, em !

Hái : NhiỊu bøc th­, lêi gi¶i em gửi chung vào phong bì có không ? Em hỏi thật nhiều câu có không ?

MIU CON

(9B, THCS TT Bố Hạ, Yên Thế, Bắc Giang) Đáp :

Phong bì chật ních, chẳng Hỏi nhiều anh chẳng

lẽ không ưa Mét trang anh biÕt

chẳng vừa Nhẩn nha chờ đợi anh

th­a dÇn dÇn

Hỏi : Số anh trả lời hết câu hỏi Em phải hỏi câu để anh không trả lời ?

Ngun ThÞ Lan Anh

(9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên) Đáp :

Đó câu ấy, em Em hỏi, anh đáp khéo mà

lộ bem ! Hỏi : Giờ Thể dục thầy giáo em bắt chống đẩy chạy quanh sân trường đến “dã man” Có cách để thầy thơi khơng “tra tấn” chúng em không ? Kiểu nhà bọn em bê bỏt cm cng thy au anh

Đỗ Hồng Huệ

(Yên Hậu, Hòa Tiến, Yên Phong, Bắc Ninh) §¸p :

ThĨ thao thĨ dơc lun rÌn Míi tËp ®au nhøc, sau quen

khỏe dần Mai sức lực tuyệt trần Em xứng đáng công dân nước nhà “Dã man” phải

vượt qua Dẫu bị “tra tấn” đừng la

ầm ầm ! Hỏi : Em lớp 7, em thấy thích bạn trai lớp Đáng tiếc, bạn lại thích người khác mà người khác lại bạn

thân em Anh bảo em xử lí ?

Qunh Hng

(Ninh Xá, Bắc Ninh) Đáp :

ThÝch nµy lµ thÝch kiĨu nµo ? Chí có thích mà

hao c ngi Tui nh thân thích mà thơi Họ thích ? Mặc !

Mình ngồi làm thơ

Hi : B GD-ĐT có chủ trương cấm dạy thêm, học thêm trường THPT em tổ chức học hai tháng hè tinh thần tự nguyện Điều đáng buồn không tham gia học thêm bị chuyển từ lớp chọn sang lớp khác Anh nghĩ ?

Em gái (Xóm 3, Phú Phong, Hương Khê, Hà Tĩnh) ỏp :

Chuyện thật sai Anh sÏ nhê Së xem

thËt liÒu Anh nghe chun thÊy

bn nhiỊu Cịng xin chia sỴ mäi ®iỊu

víi em

32

CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION

1(33) :Prove that the equation x2 2y 2005 has no integer solution

2(33) :Solve the equation

48x(x 1)(x34) (x48x12)2 3(33) :Solve the system of equations

4(33) :Let ABCbe an isosceles triangle at angle A, and A36o Prove that the ratio is irrational

5(33) : Given a circle with center O, and diameter AB, points C, D are chosen on the semicircle of diameter AB such that , Ddistinct from B Let Ebe any point on the other semicircle of diameter AB, E distinct from A and B Let CEintersect ADat I, and let IOmeet BEat K Prove that CDK90o

 

AC AD

BA BC

2

3 0,

5 0,

9

    

     

     

x y z yz

x y z z

x y z xz

Bài 1(33) : Chứng minh phương trình x22y2005 khơng có nghiệm nguyên

nguyễn đức

(TP Hå ChÝ Minh)

Bài 2(33) :Giải phương trình 48x(x 1)(x34) (x48x 12)2

Phạm xuân tRinh

(THCS Trc Hựng, Trực Ninh, Nam Định) Bài 3(33) :Giải hệ phương trình

nguyễn Đễ(Hải Phòng)

2

3x y 5z 2yz

x 5y z 2z

x 9y 3z 2xz     

     

  

Bài 4(33) : Cho tam giác ABC cân A Chứng minh số vô tỉ

Bùi Duy Chuân

(THCS Lai Vu, Kim Thành, Hải Dương) BA

BC

 o

A 36

Bài 5(33) :Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên nửa đường tròn ®­êng kÝnh AB lÊy c¸c ®iĨm C, D cho (D khác B) ; Trên nửa đường tròn lại lấy điểm E (khác A B) CE cắt AD I Đường thẳng IO cắt BE K Chứng minh

Bùi Văn Chi

(THCS Lê Lợi, TP Quy Nhơn, Bình Định)

o