Trắc nghiệm VD - VDC hình học oxyz

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là.. A..[r]

MỤC LỤC

DẠNG 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN………1

DẠNG 2: MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN……….8

DẠNG 3: GĨC, KHOẢNG CÁCH, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG 21

DẠNG 4: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 29

DẠNG 5: GĨC, KHOẢNG CÁCH, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỚI ĐƯỜNG THẲNG……….44

DẠNG 6: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN 58

DẠNG 7: MIN, MAX TRONG HH OXYZ 69

7.1 MIN, MAX VỚI MẶT PHẲNG 71

7.2 MIN, MAX VỚI ĐƯỜNG THẲNG 76

7.3 MIN, MAX VỚI MẶT CẦU 83

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Véc tơ không gian

* Định nghĩa

Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép tốn vecto khơng gian xác định tương tự mặt phẳng

2 Vecto đồng phẳng

* Định nghĩa: Ba vecto a b c, ,

  

khác 0 gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

Chú ý:

n vecto khác 0 gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo

* Điều kiện để vecto khác 0



đồng phẳng Định lý 1:

, , a b c

  

đồng phẳng  m n, : ambnc * Phân tích vecto theo ba vecto không đồng phẳng

Định lý 2: Cho vecto e e e  1, 2, 3 khơng đồng phẳng Bất kì vecto a khơng gian phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có ba số thực x x x1, 2, 3

1 2 3 ax e x e x e

   

Chú ý: Cho vecto a b c, ,

  

khác 0: a b c, ,

  

đồng phẳng có ba số thực , ,m n p không đồng thời cho: manbpc0

  

2 a b c, ,

  

không đồng phẳng từ manb pc0mn p0

  

3 Tọa độ vecto

Trong khơng gian xét hệ trục Ox ,yz có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng Oxy O Các vecto đơn vị trục Ox,Oy Oz,

1; 0; , 0;1; , 0;0;1 

i j k

  

a) aa a a1; 2; 3aa i1a j2a k3

b) M x M,yM,zMOMx iMyMjz kM c) Cho A x A,yA,zA,B x B,yB,zB ta có:

 B A; B A; B A AB x x y y z z 

AB xBxA2yByA2zBzA2 d) M trung điểm AB ; ;

2 2

B A B A B A

x x y y z z

M    

 

e) Cho a a a a1; 2; 3 bb b b1; 2; 3 ta có:

D3

D1 D2

a b

c

Δ1

Δ2 Δ3

1

2

3

a b

a b a b

a b

  

  

 



 

 1; 2; 3 a b   a b a b a b

 3

; ;

k a  ka ka ka

  1 2 3

cos ;

a b  a b  a b  a b a b a b

2 2

1

a  a a a

  1 2 3

2 2 2

1 3

cos cos ;

a b a b a b a b

a a a b b b

 

 

   

 

 (với a 0,  b0 )

a b vng góc:  a b  0a b1 1a b2 2 a b3 3 0 a b phương:

1

2

3

:

a kb

k R a kb a kb

a kb

  

     

 



 

4 Tích có hướng ứng dụng

Tích có hướng aa a a1; 2; 3 bb b b1; 2; 3 là:

 

2 3 1

2 3 1 2 3 1

, a a ;a a ;a a ; ;

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

      

 

 

 

a Tính chất:

, , ,

a b a a b b

       

     

 

, sin ,

a b a b a b

  

 

     

a b phương: a b ,   0 , ,

a b c   đồng phẳng a b c  ,  0 b Các ứng dụng tích có hướng

Diện tích tam giác: , ABC

S   AB AC Thể tích tứ diện ,

6 ABCD

V    AB AC AD

Thể tích khối hộp: VABCD A B C D ' ' ' '    AB AD, .AA' Một số kiến thức khác

a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MAk MB ta có:

; ;

1 1

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x y z

k k k

  

  

   với k1

b) G trọng tâm tam giác ; ;

3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

ABCx    y    z   

B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng A B C, , thẳng hàng  AB AC, phương  AB AC, 0 Dạng A B C, , ba đỉnh tam giác  A B C, , không thẳng hàng  AB AC,

 

không phương

,

AB AC

 

 

 

  

Dạng G x G;yG;zG trọng tâm tam giác ABCthì:

; ;

3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x    y    z   

Dạng Cho ABCcó chân E F, đường phân giác ngồi gócAcủa ABC trênBC Ta có: EB AB.EC

AC  

 

, FB AB.FC AC 

 

Dạng , ABC

S  AB AC

 

 diện tích hình bình hành ABCDlà: SABCD  AB AC, 

 

Dạng Đường cao AH củaABC: ABC

S  AH BC 

, 2.S ABC AB AC AH

BC BC



 

 

 

 

Dạng TìmDsao cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto ABDC

 

hoặc  ADBC  tọa độD

Dạng Chứng minh ABCD tứ diện AB AC AD; ;

  

không đồng phẳng  AB AC AD,  0 Dạng G x G;yG;zG trọng tâm tứ diện ABCD thì:

; ;

4 4

A B C D A B C D A B C D

G G G

x x x x y y y y z z z z

x     y     z    

Dạng 10 Thể tích khối tứ diệnABCD: ,

ABCD

V  AB AC AD

 

  

Dạng 11 Đường cao AH tứ diệnABCD:

3 BCD BCD

V

V S AH AH

S

   

 Dạng 12 Thể tích hình hộp: VABCD A B C D ' ' ' '   AB AD AA,  '

Dạng 13 Hình chiếu điểm A x A;yA;zAlên mặt phẳng tọa độ trục: Xem lại mục 1, cơng thức 17, 18

Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ:

(Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độđó, có mặt tọa độ để ngun tọa độđó)

OXY: A x1 A;yA;zA OXZ: A2xA;yA;zA OYZ: A3xA;yA;zA

OX: A4xA;yA;zA OY: A5xA;yA;zA OZ: A6xA;yA;zA Qua gốc O: A7xA;yA;zA

Câu 1: Cho bốn điểm S1, 2, ; A2, 2, ; B1, 3, ; C1, 2,  Gọi M N P, , trung điểm ,

BC CA AB Khi SMNP là:

A Hình chóp B Hình chóp C Tứ diện D Tam diện vuông Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 0; ,  B 3; 1; ,   C2; 2; 0 Điểm D mặt phẳng

(Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là:

A D0; 3; 1   B D0; 2; 1  C D0;1; 1  D D0; 3; 1 

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 0, B3; 4;1, D1; 3; 2 Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB, CD có góc C 45  A C5; 9; 5 B C1; 5; 3 C C3;1;1 D C3; 7; 4

Câu 4: Cho ba điểm A3;1; , B0; 1; ,  C0; 0; 6  Nếu tam giác A B C   thỏa mãn hệ thức

A A B B C C 

   

có tọa độ trọng tâm là:

A 1; 0;   B 2; 3;   C 3; 2;   D 3; 2;1  

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M3; 0; , N m n , , , P0; 0;p Biết



13, 60

MN  MON  , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức Am2n2p2

A 29 B 27 C 28 D 30

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD biết A2; 2; , B3;1; , C1; 0; , D1; 2; 3 Gọi H trung điểm CD, SH ABCD Để khối chóp S ABCD tích 27

2 (đvtt) có hai điểm 1,

S S thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I S S1 2

A I0; 1; 3   B I1; 0; 3 C I0;1; 3 D I1; 0;  

Câu 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, B(3; 0;8), D( 5; 4; 0)  Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) có tọa độ số nguyên, CA CB  bằng:

A 5 10 B 6 10 C 10 D 10

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A4; 2; , B2; 4; , C2; 2;1 Biết điểm

 ; ; 

H a b c trực tâm tam giác ABC Tính S   a b 3c

A S  6 B S  2 C S 6 D S 2

Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; , B1; ; ,b  C1; 0;cvới a b c, , số thực thay đổi cho H3; 2;1là trực tâm tam giác ABC Tính S  a b c A S 2 B S19 C S11 D S 9

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A4; 0; , B a b ; ; , C0; 0;c với a b c, , 0 thỏa mãn độ dài đoạn AB2 10, góc AOB45 thể tích khối tứ diện OABC Tính tổng T   a b c

A T 2 B T 10 C T12 D T14

Câu 11: (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong khơng gian Oxyz cho điểm A5;1;5, B4 ; 3; 2, C3; ;1  Điểm I a b c ; ;  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a2b c ?

A 1 B 3 C 6 D 9

trùng với O) Biết véctơ ua b; ; 2 với a b,  véctơ phương đường thẳng A C Tính T a2b2

A T 5 B T 16 C T 4 D T 9

Câu 13: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, ; có tọa độ ba đỉnh A1; 2;1 ,  B2; 0; ,   C6;1; 0 Biết hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D a b c ; ; , tìm mệnh đề đúng?

A a b c  6 B a b c  5 C a b c  8 D a b c  7 Câu 14: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong khơng gian Oxyz, cho hình thang cân

ABCD có đáy AB CD, Biết A3;1; 2 , B1; 3; 2, C6; 3; 6 D a b c ; ;  với a b c; ;  Tính T   a b c

A T  3 B T 1 C T 3 D T  1

Câu 15: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

0 ; 1; 2

A  , B2 ; 3; 0 , C2 ;1;1, D0 ; 1; 3  Gọi  L tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng thức MA MB MC MD 1

   

Biết  L đường trịn, tính bán kính đường trịn đó?

A

2

r B 11

2

r C

2

r  D

2 r

Câu 16: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyz, cho điểm A0; ; 0, 0; 0; 2

B , điểm COxy tam giác OAC vng C, hình chiếu vng góc O BC điểm H Khi điểm H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính

A 2 B 4 C D 2

Câu 17: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC với A2 ; ; 3 ; B1; ; 4 ; C2 ; 1; 2  Biết điểm E a b c ; ;  điểm để biểu thức P   EA EB EC đạt giá trị nhỏ Tính T   a b c

A T 3 B T 1 C T 0 D T  1

Câu 18: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm

 1; 3; 4

A  , B9; 7; 2  Tìm trục Ox toạ độ điểm M cho MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ

A M5; 0; 0 B M2; 0; 0 C M4; 0; 0 D M9; 0; 0

A 1 B 3

2 C

1

2 D

1

Câu 20: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 4; 1  , B1; 4; 1 , C2; 4; 3, D2; 2; 1 , biết M x y z ; ;  để MA2 MB2MC2MD2 đạt giá trị nhỏ x yz

A 6 B 21

4 C 8 D 9

Câu 21: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz, cho OA  i j3k, B2; 2;1 Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung cho MA2MB2 nhỏ

A M0; 2;0  B 0; ;03 M 

  C M0; 3;0  D M0; 4;0  Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1,B2;1; 0,C2; 3;1 .Điểm

 ; ; 

S a b c cho SA22SB23SC2 đạt giá trị nhỏ Tính T   a b c

A

2

T  B T 1 C

3

T   D

6 T 

Câu 23: (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian Oxyz, cho điểm A2 ; ; ,t t  B0; 0;t với t0 Cho điểm P di động thỏa mãn OP AP OP BP       AP BP 3 Biết có giá trị t a

b

 với a b, nguyên dương a

b tối giản cho OP đạt giá trị lớn Tính giá trị Q2a b ?

A 5 B 13 C 11 D 9

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B m( ; 0; 0), D(0; ;0)m , A(0; 0; )n với m n, 0 m n 4 Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn

A 245

108 B

9

4 C

64

27 D

75 32

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2; ,  B1; 4; 4  điểm C0; ;a b thỏa mãn tam giác ABC cân C có diện tích nhỏ Tính S2a3b

A 62 25

S B 73

25

S C 239

10

S D 29

5 S

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A2; 2; , B2; 0; 2  điểm M a b c , ,  với a b c, , số thực thay đổi thỏa mãn a2b c  1 Biết MAMB góc AMB có số đo lớn Tính S  a 2b3c

A 16 11

S  B 15

11

S  C

11

S  D

11 S 

A arccos

85 B

6 arcsin

85 C

2 arccos

9 D

2 arcsin

9 Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho hai điểm ,

Giả sử , hai điểm thay đổi mặt phẳng cho hướng với Giá trị lớn

A B C D

Câu 29: (Lý Nhân Tông) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A a ; 0; , B0; ; ,b  C0; 0;c A, B, C với a b c, , 0 cho OAOBOCABBCCA1 Giá trị lớn VO.ABC

A

108 B

1

486 C

1

54 D

1 162

Câu 30: (Đồn Thượng) Trong khơng gian Oxyz, cho A1; 1;2 , B2;0;3, C0;1; 2  Gọi  ; ; 

M a b c điểm thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức

S MA MB  MB MC  MC MA  đạt giá trị nhỏ Khi T 12a12bc có giá trị A T 3 B T  3 C T1 D T 1

Oxyz a1; 1; 0  A4;7;3 B4; 4;5

M N Oxy MN



a



MN  AM BN

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa

Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 gọi phương trình tổng quát mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng  P :AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 có vec tơ pháp tuyến  ; ; 

n  A B C

Mặt phẳng  P qua điểm M0x y z0; 0; 0 nhận vecto nA B C; ; ,n 0 làm vecto pháp tuyến dạng  P :A x x0B y y0C z z00

Nếu  P có cặp vecto a a a a1; 2; 3;bb b b1; ;2 3 không phương, có giá song song nằm  P Thì vecto pháp tuyến  P xác định na b , 

2 Các trường hợp riêng mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp   :AxBy Cz D0, với A2B2C20 Khi đó:

D   qua gốc tọa độ

0, 0, 0,

A B C D   song song trục Ox

0, 0, 0,

A B C D   song song mặt phẳng Oxy , , ,

A B C D Đặt a D,b D,c D

A B C

      Khi đó:  : x y c ab z 



3 Phương trình mặt chắn cắt trục tọa độ điểm A a ; 0;0 , B0; ;0 ,b  C0; 0;c :

1 ,

x y z

abc

ab c  

4 Phương trình mặt phẳng tọa độ: Oyz:x0; Oxz:y0; Oxy:z0 5 Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):

Giả sử      ' d đó: ( ) : AxBy Cz D0 ( ') : A x' B y C z'  ' D'0 Pt mp chứa d có dạng: m Ax By Cz Dn A x ' B y C z'  ' D'0 (với 2

0) m n  6 Vịtrí tương đối hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho   :AxBy Cz D0  ' :A x' B y' C z' D'0   cắt  '

' '

' '

' '

AB A B

BC B C

CB C B

  

 

 



  //  '

' '

' ' ' '

' '

AB A B

BC B C va AD A D

CB C B

  

  

 



    '

' '

' '

' '

' '

AB A B

BC B C

CB C B

AD A D

      

    

7 Khoảng cách từ M0x y z0; 0; 0 đến ( ) : Ax By Cz D   0  

  0

2 2

, Ax By Cz D

d M

A B C

  



 



Chú ý:

Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng 0 8 Góc hai mặt phẳng

Gọi  góc hai mặt phẳng  0 90

 P :AxBy Cz D0  Q :A x' B y C z'  ' D'0

  2 2 2

' ' '

cos = cos ,

' ' '

P Q P Q

P Q

n n A A B B C C

n n

n n A B C A B C

    

   

   

 

Góc ( ) , ()bằng bù với góc hai vtpt

 ()()n1n2  AA'BB'CC' 0 1 Các hệ quả hay dùng:

Mặt phẳng   //    có vtpt n n với n vtpt mặt phẳng   Mặt phẳng   vng góc với đường thẳng d   có vtpt n ud với ud vtcp

của đường thẳng d

Mặt phẳng  P vng góc với mặt phẳng  Q n P n Q

Mặt phẳng  P chứa song song với đường thằng d n P ud

 

Hai điểm A B, nằm mặt phẳng  P ABn p

B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG

Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: điểm véctơ pháp tuyến.

Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có vtpt

(): hay AxBy Cz D0 với D Ax0By0Cz0 Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có cặp vtcp a b ,

Khi vtpt () n a b , 

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm không thẳng hàngA B C , ,

Cặp vtcp:  AB AC,

Mặt phẳng ( ) qua A (hoặc B hoặcC ) có vtpt n AB AC,  Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng( )

Dạng Mặt phẳng trung trực đoạnAB

Tìm tọa độ M trung điểm đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n AB

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặcAB) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt vtcp đường thẳng d

(hoặc n AB

 

)

1

n n ,



 

0

0  ( ),( )  90

 0 0

M x ; y ; z nA; B;C

 0  0  0

A xx B yy C zz 

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng ( ) qua M song song ( ) : AxBy Cz D0 Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt  n n A B C; ; 

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng   quaM , song song với d vng góc với  

  có vtpt n u n d,   với ud vtcp đường thẳng d n  vtpt   Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng ( ) chứa M đường thẳng d không qua M Lấy điểm M0x y z0; 0; 0   d

Tính MM0 Xác định vtcp ud đường thẳng d Tính n MM u 0, d

Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc M0) có vtpt n 



Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( ) , ( ) : Xác định vtpt ( ) ( )

Một vtpt ( ) n u n ,   

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 10 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d d1, 2 : Xác định vtcp a b , đường thẳng d d1, 2

Một vtpt ( ) n a b , 

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 11 Mặt phẳng ( ) qua M N vng góc , ( ) :

Tính MN



Tính n MN n , 

Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc N ) có vtpt n

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 12 Mặt phẳng   chứa đường thẳng d vng góc với  

  có vtpt n u n d,  với ud



vtcp d Lấy điểm M0x y z0; 0; 0d M0x y z0; 0; 0( )

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 13 Mặt phẳng ( ) chứa  d song song  d/ (với ( ), ( ')d d chéo nhau) Lấy điểm M0x y z0; 0; 0d M0x y z0; 0; 0( )

Xác định vtcp u u d; d'của đường thẳng d đường thẳng d' Mặt phẳng ( ) qua M0 có vtpt n u u d, d'

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 14 Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song  1, 2

Chọn điểm M1x y z1; 1; 1 1 M2x y z2; 2; 2 2

Tìm vtcp u1 đường thẳng 1 vtcp u2 đường thẳng 2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) n u M M1, 1 2

  

n u M M 2, 1 2 Sử dụng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 15 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng cắt d d1, 2: Xác định vtcp a b,

 

đường thẳng d d1, 2 Một vtpt ( ) n a b , 

Lấy điểm M thuộc d1 d2 M( )

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 16 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng  d cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k không đổi:

Giả sử ( ) có phương trình:

Lấy điểm A B, ( )d A B, ( ) (ta hai phương trình (1), (2)) Từ điều kiện khoảng cách , ta phương trình (3)

Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn cịn lại) Dạng 17 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu  S điểm H :

Giả sử mặt cầu  S có tâm I bán kính R Vì H tiếp điểm H( ) Một vtpt ( )

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 18 Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( )P TH1: ( ) ( )P d:

- Tìm M N, hai điểm chung ( ), ( ) P

- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng Iqua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I M N’, ,

TH2: ( ) / /( ) P

- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng I qua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I’ song song với ( )P CÁC DẠNG TỐN KHÁC

Dạng Tìm điểm H hình chiếu vng góc của M lên ( )

Cách 1:

- H hình chiếu điểm M  P  - Giải hệ tìm H

Cách 2:

- Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với ( ) : ta có a d n

- Khi đó: H d ( )  tọa độ H nghiệm hpt:  d ( )

Dạng Tìm điểm M’ đối xứng M qua ( )

Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên ( )

H trung điểm MM/(dùng công thức trung điểm)  tọa độ H Dạng Viết phương trình mp ( ')P đối xứng mp ( )P qua mp  Q

TH1: ( )Q   P d

0

AxByCz+D  2 

0

A B C 

d M( ,( )) k

n IH  

MH n phương

H P

, ( )

 

 

- Lấy hai điểm A B, ( )P ( )Q (hayA B, d)

- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua d M'

TH2: ( )Q / /  P

- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua M' song song ( )P

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ

2 2

 

     

y

x y z Oxyz cho điểm M1;0;0 N0;0; 1 , mặt

phẳng  P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng  Q :x y40 góc 45O Phương trình mặt phẳng  P

A

2 2

 

     

y

x y z B

0

2 2

 

     

y

x y z

C 2

2 2

    

     

x y z

x y z D

2 2

2 2

   

    

x z

x z

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho  P :x4y2z 6 0, Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của   P , Q cắt trục tọa độ điểm A B C, ,

sao cho hình chóp O ABC hình chóp

A x   y z B x   y z C x   y z D x   y z

Câu 3: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho đường thẳng:

, mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có chu vi

A B C D

Câu 4: Cho tứ giác ABCD có A0;1; ;  B1;1; ; C1; 1; ;  D0;0;1  Viết phương trình mặt phẳng

 P qua A B, chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tích

A 15x4y5z 1 B 15x4y5z 1

C 15x4y5z 1 D 15x4y5z 1

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ

2 2

y

x y z

 

     

Oxyz cho điểm M1;0;0 N0; 0; 1 , mặt phẳng  P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng  Q : x  y góc 45O Phương trình mặt phẳng  P

1

2 1

:

1

x y z

  

 2: 2 x t

y t

z t

  

   

   

2 2

( ) :S x y z 2x2y6z 5

( )  1,

2 365



5 0; 10

x y z  x y z 

5 10

x y z 

5 3 511 0; 3 511

x y z   x y z  

5

A

2 2

y

x y z

 

     

. B

2 2

y

x y z

 

     

C 2

2 2

x y z

x y z

    

     

. D 2

2 2

x z x z         

Câu 6: Cho tứ giác ABCD có A0;1; ;  B1;1; ; C1; 1; ;  D0;0;1  Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  Q song song với mặt phẳng BCD chia tứ diện thành hai khối AMNF MNFBCD

có tỉ số thể tích 27

A 3x3z 4 B y  z

C y  z D 4x3z 4

Câu 7: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P cắt hai trục y Oy' z Oz' A0, 1, ,  B0, 0,1

và tạo với mặt phẳng yOz góc 45

A 2xyz 1 B 2x y  z

C 2x y  z 0; 2x yz 1 D 2x y  z 0; 2x yz 1

Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ

, vng góc với mặt phẳng tiếp xúc với (S)

A 2

2 21

    

     

x y z

x y z B

2

2 21

    

     

x y z

x y z

C

2

    

     

x y z

x y z D

2 13

2

    

     

x y z

x y z

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng

1

1: 0 x t d y z        

, 2 2

1 :

0 x

d y t

z        

, 3

3 : x d y z t        

Viết

phương trình mặt phẳng qua điểm H3; 2;1 cắt ba đường thẳng d1, d2, d3 A, B,

C cho H trực tâm tam giác ABC

A 2x2y z 11 0 B x   y z

C 2x2y  z D 3x2y z 140

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d    

 Viết phương trình mặt

phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A B cho đường thẳng AB vng góc với d

A  P :x2y5z 4 B  P :x2y5z 5

C  P :x2y  z D  P : 2x  y

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d1, 2lần lượt có phương trình

1

2

:

2

x y z

d      , 2:

2

x y z

d     

 Phương trình mặt phẳng   cách hai đường

thẳng d d1, 2

A 7x2y4z0 B 7x2y4z 3

C 2x y 3z 3 D 14x4y8z 3

2 2

2

x y z  x y z  (1;6; 2)

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng song song cách hai đường

thẳng

A B

C D

Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 5x  z hai đường thẳng d d1; 2 có

phương trình 1;

1 2 1

x y z x y z

   

 Viết phương trình mặt phẳng    Q / / P ,

theo thứ tự cắt d d1, 2 A B, cho AB

A  1 : 25 331 0; 2 : 25 331

7

Q x z    Q x z   

B  Q1 : 5x  z 0; Q2 : 55x11z140

C  Q1 : 5 x  z 0; Q2 : 55 x11z140

D  Q1 : 5x  z 0;Q2: 55x11z 7

Câu 14: Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho mặt phẳng   qua điểm M1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A,B,C ( khác gốc toạđộ O) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng  

có phương trình

A x2y3z140 B

1

x y z

   

C 3x2y z 100 D x2y3z140

Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho  P :x4y2z 6 0, Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của   P , Q cắt trục tọa độ điểm A B C, ,

sao cho hình chóp O ABC hình chóp

A x   y z B x   y z C x   y z D x   y z

Câu 16: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho điểm N1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , (không trùng với gốc tọa độO) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A  P :xy  z B  P :xy  z

C  P :x   y z D  P :x2y  z

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  Q :xy z hai điểm

4, 3,1 , 2,1,1 

A  B Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  Q cho tam giác ABM vuông cân M

A

1; 2;1

17

; ;

7 7

M M

  

 

  

 

  



B

1; 2;1 17

; ; 7 M

M  

 



 

  



C

 1; 2;1

13

; ;

7 7

M M

  

 

  

 

  



D

1;1;1

9

; ;

7 7

M M  

 

  

 

  



 P

2 :

1 1

y

x z

d   



1

:

2 1

y

x z

d    

 

 P : 2x2z 1  P : 2y2z 1

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho điểm A1;3; , B3; 2;1 mặt phẳng

 P :x2y2x11 0. Tìm điểm M  P cho MB 2,MBA 30 

 

A  

 

1; 2;3 1; 4;1 M M   

B  

 

1; 2;3 1; 4;1 M

M  



 

C  

 

2;1;3 4;1;1 M M   

D  

 

1; 2;3 1; 4;1 M

M  

  

Câu 19: Trong không gian tọa độ , cho tám điểm , , , ,

, , , Hỏi hình đa diện tạo tám điểm cho có

bao nhiêu mặt đối xứng

A 3 B 6 C 8 D 9

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1; 2; ,  B0; 1;1 ,  C2;1; ,  D3;1; 4 Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó?

A 1 B 4 C 7 D Vô số

Câu 21: Trong không gian cho điểm M(1; 3; 2) Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ

, ,

A B C mà OA OB OC0

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 22: Có mặt phẳng qua điểm M(1;9; 4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho OA OB OC

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 23: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

1

x y z

d    

 mặt phẳng  P : 2xy2z20  Q mặt phẳng chứa d tạo với

mặt phẳng  P góc nhỏ Gọi nQ a b; ;1



vectơ pháp tuyến  Q Đẳng thức

đúng?

A ab0 B ab 1 C a b 1 D ab 2

Câu 24: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B a( ; 0; 0), D(0; ; 0)a , A(0; 0; )b (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giá trị tỉ số a

b để hai mặt phẳng

(A BD ) MBD vng góc với

A 1

3 B

1

2 C 1 D 1

Câu 25: Trong không gian với hệ trục toạđộ cho điểm

dương mặt phẳng Biết vng góc với

, mệnh đềnào sau đúng?

A B C D

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A5;5; ,  B1; 2;3 ,  C3;5; 1  mặt phẳng

 P : xy  z

Tính thể tích V khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng  P

SASBSC

A 145

6

V  B V 145 C 45

6

V  D 127

3

V 

Oxyz A2; 2; 0  B3; 2; 0  C3; 3; 0 D2; 3; 0

 2; 2; 5

M   N2; 2; 5  P3; 2; 5  Q2;3;5

,

Oxyz A1;0;0 , B 0; ;0 ,b  C0; 0;c b c,  P :y  z mp ABC  mp P 

 

 , 

3

d O ABC 

1

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; ,  M2; 4;1 , N1;5;3 Tìm tọa độđiểm

C nằm mặt phẳng  P :x z 270 cho tồn điểm B D, tương ứng thuộc tia

,

AM AN để tứ giác ABCD hình thoi

A C6; 17; 21  B C20;15; 7 C C6; 21; 21 D C18; 7;9 

Câu 28: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;1; 2, B2; 3;1 ,

3;2; 2

C mặt phẳng   :x3y z Gọi A, B, C hình chiếu vng góc A

, B, C lên   D điểm cho A B C D    hình bình hành Diện tích hình bình hành A B C D   

bằng

A

22 B

4

11 C

8

11 D

6 22

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba mặt phẳng

  :x2y  z 0;  :x2y  z 0;  :x2y  z

Một đường thẳng  thay đổi cắt ba mặt phẳng       ;  ;  A B C, , Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P AB2 144

AC

  là?

A 108 B 72 4.3 C 96 D 36

Câu 30: (THTT lần5) Trong khơng gian Oxyz, cho hình chóp S ABC có SC AB3 2, đường thẳng AB

có phương trình 1

1

x y z

 

 góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 60 Khi ba

điểm A B C, , với ba trung điểm ba cạnh bên hình chóp S ABC nằm mặt cầu mặt phẳng ABC có phương trình

A y  z B x y 4z14 0 C x2y7z 8 D x y 4z14 0

Câu 31: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểmA1;1;1, B1; 0; 2 ,

2; 1; 0

C  , D2; 2;3 Hỏi có mặt phẳng song song với AB CD, cắt đường thẳng

,

AC BD M N, thỏa mãn

2

2 BN

AM AM

 

 

 

 

A 0. B 2 . C 3 D 1

Câu 32: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, cho điểm M1; 3; 2  Hỏi có mặt phẳng qua

M cắtcác trục tọa độ tạiA,B,C mà OAOBOC0?

A 3 B 1. C 4. D 2

Câu 33: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :x2 y2z12 4 điểm A2; 2; 2 Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC, AD với B, C, D tiếp điểm Viết phương trình mặt phẳng BCD

A 2x2y  z B 2x2y  z

C 2x2y  z D 2x2y  z

Câu 34: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H a b c ; ;  với

, ,

a b c Mặt phẳng ( )P chứa điểm H cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , thỏa mãn H

A x2 y2 z2 ab bc ca

a b c abc

 

   B x y z

ab c 

C ax by cza2b2c2 0 D a x b y2  c z2 a3b3c3 0

Câu 35: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1) B(3; 1;5) Mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng AB cắt trục Ox, Oy Oz điểm D, E F Biết thể tích tứ diện ODEF

2, phương trình mặt phẳng ( )P là

A 2x3y4z336 0 B 2

2 x y z 

C 2x3y4z120 D 2x3y4z 6

Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong khơng gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm M4; 4;1 

và chắn ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội

2?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 37: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gianOxyz, cho mặt cầu

  2

:

S x  y z  x y z  Viết phương trình mặt phẳng   chứa Oy cắt mặt cầu  S

theo thiết diện đường trịn có chu vi 8

A   : 3xz0 B   : 3xz0

C   :x3z0 D   : 3x z 20

Câu 38: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), (0;1;0)B Mặt phẳng qua điểm A B, đồng thời cắt tia Oz Csao cho tứ diện OABC tích

6

có phương trình dạng x ay bz c   0 Tính giá trị a3b2c

A 16. B 1. C 10. D 6

Câu 39: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M1;2;5 Mặt phẳng  P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Thể tích tứ diện OABC

A 10

6 B 450 C 10 D 45

Câu 40: (Kim Liên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1; 2 , B1;1; 0 mặt phẳng

 P :xy  z Điểm C thuộc  P cho tam giác ABC vuông cân B Cao độ điểm

C

A 1

3

 . B 1

3. C 3

3. D 1  .

Câu 41: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1;2;1 ,B 3; 4; 0, mặt phẳng  P :ax bycz460 Biết khoảng cách từ A B, đến mặt phẳng  P

6 Giá trị biểu thức T   a b c

Câu 42: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x1)2(y1)2(z1)2 12

và mặt phẳng (P):x2y2z110 Xét điểm M di động ( )P ; điểm A B C, , phân biệt di động ( )S cho AM BM CM, , tiếp tuyến ( )S Mặt phẳng (ABC) qua điểm cốđịnh đây?

A 1; 1;

4 2

 

 

 

  B 0; 1; 3  C

3 ;0; 2

 

 

  D 0;3; 1 

Câu 43: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm A1;1;1 , B2;0; 2,

 1; 1; , 0;3; 4

C   D Trên cạnh AB AC AD, , lấy điểm B C D', ', ' thỏa:

4

' ' '

AB AC AD

AB  AC  AD  Viết phương trình mặt phẳng B C D' ' ' biết tứ diện AB C D' ' ' tích

nhỏ nhất?

A 16x40y44z390 B 16x40y44z390

C 16x40y44z390 D 16x40y44z390

Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong không gian Oxyz

1

:

1

x y z

d    

 mặt phẳng  P : 2xy2z40 Mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với

mặt phẳng  P góc với sốđo nhỏ có phương trình

A x z 20 B x z 20 C 3x   y z D xy  z

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 0) , đường thẳng :

1

x y z

  

 Biết

mặt phẳng ( )P có phương trình ax by cz  d0 qua A, song song với và khoảng cách từ 

tới mặt phẳng ( )P lớn Biết a b, sốnguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng

a b c d   bao nhiêu?

A 3 B 0 C 1 D 1

Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

d     



2

:

2

x t

d y t

z    

      

Mặt phẳng

 P :ax by czd 0 (với a b c d; ; ; ) vng góc với đường thẳng d1 chắn d d1, 2 đoạn thẳng có độ dài nhỏ Tính a  b c d

A 14 B 1 C 8 D 12

Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3xy  z hai điểm

1; 0; 2

A , B2; 1;   Tìm tập hợp điểm M x y z ; ;  nằm mặt phẳng  P cho tam giác

MAB có diện tích nhỏ

A 7

3

x y z

x y z

    



    

B 14

3

x y z

x y z

    



    

C 7

3

x y z

x y z

    



    

D

3

x y z

x y z

    



    

Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạđộ cho điểm Gọi

mặt phẳng qua cho tổng khoảng cách từ đến lớn biết không cắt đoạn Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ?

A B C D

,

Oxyz A1;0;1 ; B3; 2; ;  C1; 2; 2   P

A B C  P  P

BC  P

 2; 0; 

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;3;1 hai mặt phẳng  P :x2y2z 3

và  Q :2x2y  z Gọi B P C,  Q cho chu vi tam giác ABC nhỏ Tính

PABBCCA

A 321

P B 231

9

P C 321

9

P D 231

9

P

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 hai điểm

1; 2;3 , 3; 4;5

A B Gọi M điểm di động  P Giá trị lớn biểu thức MA

MB 

bằng:

A 3 6 78 B 3 3 78 C 546 78 D 3

Câu 51: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Mặt phẳng  P qua điểm M1;1;1

cắt tia Ox, Oy, Oz A a ;0;0, B0; ;0b , C0; 0;c cho thể tích khối tứ diện

OABC nhỏ Khi a2b3c

A 1 B 21 C 15 D 18

Câu 52: (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM 2019)Cho mặt cầu

  S : x12y22z52 16 điểm A1; 2; 1  Điểm B a b c ; ;  thuộc mặt cầu cho

AB có độ dài lớn Tính a b c

A 6 B 2 C 2 D 12

Câu 53: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y22z32 12 mặt phẳng ( ) : 2P x2yz30 Viết phương trình mặt phẳng song song với  P cắt  S theo thiết diện đường tròn  C cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn  C tích lớn

A ( ) : 2Q x2yz20 ( ) : 2Q x2yz80

B ( ) : 2Q x2yz 1 ( ) : 2Q x2yz110

C ( ) : 2Q x2yz60 ( ) : 2Q x2yz30

D ( ) : 2Q x2yz20 ( ) : 2Q x2yz20

Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1).Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , A B C, , cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác

ABC

A x y 2z11  B 8x  y z 66=0

C 2x  y z 180 D x2y2z120

Câu 55: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ

Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P qua điểm M1; 2;3 cắt trục Ox Oy Oz, , ba điểm A B C, , khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 12 12 12

OA OB OC có giá trị nhỏ

A  P :x2y z 140 B  P :x2y3z140

C  P :x2y3z11 0 D  P :xy3z140

Câu 56: Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M1; 2;3 cắt ba tia Ox, Oy, Oz

A,B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

A 6x3y2z180 B 6x3y3z21 0

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z hai điểm

3; 4;1 , 7; 4; 3

A B   Gọi M x y z 0; 0; 0 điểm thuộc mặt phẳng  P cho

 

2

2 96

MA MB  MA MB  MA MB   MA MB đạt giá trị lớn Tính y0

A 0

3

y  B 0

3

y  C 0

3

y   D 0

3

GĨC

Câu 1: (Ba Đình Lần2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P có phương trình:

ax by cz  với c0 qua điểm A0;1; 0, B1;0; 0 tạo với Oyz góc 60 Khi a b c thuộc khoảng đây?

A 5;8  B 8;11  C 0;3  D 3;5 

Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x1)2y2(z2)2 4 đường thẳng

2

:

1

x t

d y t

z m t

   

 

    

Tổng giá trị thực tham số m để d cắt  S hai điểm phân biệt ,A B tiếp diện  S ,A B tạo với góc lớn

A 1, B 3 C 1 D 2, 25

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 2; , B2;0; 2  mặt phẳng  P :x2y  z

Tìm điểm M  P cho MAMB góc AMB có số đo lớn A 14; 1;

11 11 11 M  

  B

2

; ;

11 11 11 M  

  C M2; 1;    D M2; 2;1  Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’:

Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) tạo với mặt phẳng Oyz góc nhỏ

A B

C D

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): đường thẳng Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ

A B

C D

Câu 6: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho hinh lập phương 1 1

ABCD A B C D biết A0;0;0, B1;0; 0, D0;1; 0,A10; 0;1 Gọi  P :ax by cz   3 (với a b c, , ) phương trình mặt phẳng chứa CD1 tạo với mặt phẳng BB D D1 1  góc có số đo nhỏ Giá trị T a b c 

A 1. B 6 C 4. D 3

3 2    

   

  

x t

y t

z t

' '

2 '  



  



  

 x t

y t

z t

3xy 2z70 3xy 2z70

3

 xy z  3x y 2z70

x2y z  5

x y z

d: 1

2 1

  

 

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa cho góc mặt phẳng đường thẳng lớn

A xy z 60 B 7xy5z 9 C xy  z D xy  z Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

d    



2

:

2

x y z

d    

 Gọi  P mặt phẳng chứa d1 cho góc mặt phẳng  P đường thẳng d2 lớn Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A  P có vectơ pháp tuyến n 1; 1; 2  B  P qua điểm A0; 2; 0

C  P song song với mặt phẳng  Q : 7x y 5z 3 D  P cắt d2 điểm B2; 1; 4 

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng mp Viết phương trình mặt phẳng qua d tạo với góc nhỏ

A B

C D

KHOẢNG CÁCH

Câu 10: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A10; 2;1 đường thẳng

1

:

2

x y z

d     Gọi  P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d cho khoảng cách d  P lớn Khoảng cách từ điểm M1; 2;3 đến mp P A 97

15 B

76 790

790 C

2 13

13 D

3 29 29

Câu 11: Cho mặt phẳng  P qua hai điểm A3, 0, , B3, 0, 4 hợp với mặt phẳng xOy góc 30 cắt y Oy' C Tính khoảng cách từ O đến  P

A 4 B C 3 D 2

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 0;0 , B2;0;3 , M0; 0;1 N0;3;1  Mặt phẳng  P qua điểm M, N cho khoảng cách từ điểm B đến  P gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến  P Có bao mặt phẳng  P thỏa mãn đầu bài?

Oxyz 1:

1

x y z

d    



2

2

:

2

x y z

d    

 ( )P d1

( )P d2

:

2

x t

d y t

z t

   

   

   

 P : 2x y 2z 2  R  P

3

x   y z x   y z

3

A Có vơ số mặt phẳng  P B Chỉ có mặt phẳng  P C Khơng có mặt phẳng  P D Có hai mặt phẳng  P

Câu 13: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng   qua điểm M1; 2;1 cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho độ dài OA OB OC, , theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng  

A

21 B

21

21 C

3 21

7 D 9 21

Câu 14: (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A1, 2, 0  ;B3, 3, 2 ;C1, 2, 2;D3, 3,1 Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng

ABC A

7 B

9

7 C

9

14 D

9

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y  z chứa hai mặt hình lập phương Thể tích khối lập phương

A 27

V  B 81

8 V 

.

C

2

V  D 64

27 V 

Câu 16: Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng AB D  BC D 

A

3 B C

3

2 D

2

Câu 17: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Trong không gian Oxyz cho M1 2; ;1 Gọi  P mặt phẳng qua điểm M cách gốc tọa độ O khoảng lớn Mặt phẳng  P cắt trục tọa độ điểm A,B ,C Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

A 27 6 B 216 6 C 972 D 243

2



Câu 18: (KINH MƠN HẢI DƯƠNG 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P qua điểm M2;3;5 cắt tia Ox Oy Oz, , ba điểm A B C, , cho OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  P A 16

91 B

24

91 C

32

91 D

18 91

Câu 19: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho đường

thẳng : 1

2

 

 

x y z

A 1

3 B

1

3 C

1

5 D

1

Câu 20: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Pm:mxm m 1ym12z 1 (m tham số) đường thẳng d có vec-tơ phương u1; 2; 3



Đường thẳng  song song với mặt phẳng Oxy,  vng góc với d cắt mặt phẳng  Pm điểm cố định Tính khoảng cách h từ A1; 5; 0  đến đường thẳng 

A h5 B h 19 C h 21 D h2

Câu 21: (KINH MƠN II LẦN NĂM 2019) Trong khơng gian Oxyz, choA1; 2; 2, B2;1; 2,  1;5;1

C  , D3;1;1 E0; 1; 2  Có mặt phẳng cách năm điểm cho?

A Vô số B 1 C 2 D 3

Câu 22: Trong không gian với hệ toạ độ , gọi mặt phẳng qua hai điểm đồng thời hợp với mặt phẳng góc Khoảng cách từ O tới

A B C D

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a ;0; , B0; ; ,b  C0; 0;c với , ,a b c dương Biết ,A B C, di động tia Ox Oy Oz, , cho a b c  2 Biết , ,a b c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng  P cố định Tính khoảng cách từ M2016; 0; 0 tới mặt phẳng  P

A 2017 B 2014

3 C

2016

3 D

2015

Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi d đường thẳng qua điểm A1, 0, 0 có hình chiếu mặt phẳng  P :x2y2z 8 d' Giả sử giá trị lớn nhỏ khoảng cách từ điểm M2, 3, 1   tới d'   Tính giá trị T ?

A B

2 C

2 D

3

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm Mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ đến (P) đạt giá trị lớn (P) có vectơ pháp tuyến

A B C D

Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; ,) B(1;2; 4) I(1;3; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, cho khoảng cách từ I đến (P) lớn

Oxyz   A2; 0;1

 2; 0;5

B  Oxz 450  

3

3

1

2

(0; 1;2)

M  N( 1;1; 3)

0; 0;2

K

A 3x7y6z350 B 7xy5z 9 C xy  z D x y  z

Câu 27: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019)Trong không gian Oxyz, cho điểm M m; ; 0, N0;n;0, 0 

P ; ; p không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m2n2p2 3 Tìm giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP

A 1

3 B C

1

3 D

1 27 Câu 28: Cho điểm A(0;8; 2)và mặt cầu ( )S có phương trình 2

( ) : (S x5) (y3) (z7) 72 điểm B(9; 7; 23) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua Atiếp xúc với ( )S cho khoảng cách từ Bđến ( )P lớn Giả sử n (1; ; )m n vectơ pháp tuyến ( )P Lúc

A m n 2 B m n  2 C m n 4 D m n  4

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; 0, B0, , 0b , C0, 0,c với a, b ,c số dương thay đổi thỏa mãn a24b216c2 49 Tính tổng S a2b2c2 khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn

A 51

S  B 49

4

S  C 49

5

S  D 51

4 S 

Câu 30: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi  P :ax by cz   3 (với a b c, , số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M0; 1; ,  N1;1;3 không qua điểm H0; 0; 2 Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng  P đạt giá trị lớn Tổng T  a 2b3c12

A 16 B 8 C 12 D 16

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

Câu 31: (Sở Hà Nam)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y  z mặt cầu   2

: 10

S x y z  x z  Gọi  Q mặt phẳng song song với mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường trịn có chu vi 6 Hỏi  Q qua điểm số điểm sau?

A M6; 0;1 B N3;1; 4 C J 2; 1;5 D K4; 1; 2   Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hai mặt cầu  S1 :x2 y2 z2 6

và   S2 : x12 y12 z12 6 Biết mặt phẳng  P :axbycz60a0 vng góc với mặt phẳng  Q : 3x2y  z đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu cho Tích abc

A 2 B 2 C 0 D 1

Câu 33: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2

: 2

S x y z  x z  đường thẳng :

1 1

x y z

d   

 Q chứa d tiếp xúc với mặt cầu  S A B Gọi H a b c ; ;  trung điểm AB Giá trị a b c 

A 1

6 B

1

3 C

2

3 D

5

Câu 34: (Ba Đình Lần2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : mx2y z 0   (m tham số) Mặt phẳng  P cắt mặt cầu

   2  2

S : x2  y 1 z 9 theo đường trịn có bán kính Tìm tất giá trị thực tham số m?

A m 1 B m  2 C m 4 D m 6 Câu 35: (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :

2x2y z  7 mặt cầu  S : x2y2z22x4y6z11 0 Mặt phẳng  Q song song với  P cắt  S theo đường trịn có chu vi 6 có phương trình

A  Q :2x2y z 170 B  Q :2x2y  z C  Q :2x2y z 190 D  Q :2x2y z 170

Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; , B0; ;0 ,b  C0; 0;c với a b c, , 0 Biết mặt phẳng ABC qua điểm 4; ;

3 3 M 

 

tiếp xúc với mặt cầu

  S : x12y22z22 1 Thể tích khối tứ diện OABC bằng:

A 4 B 6 C 9 D 12

Câu 37: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

d   

 mặt cầu        

2 2

: 2

S x  y  z  Hai mặt phẳng  P  Q chứa d tiếp xúc với  S Gọi M ,N tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MN

A 2 B

3 C D 4

Câu 38: (Sở Phú Thọ) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x22y12z 22 9 hai điểm A2; 0; 2 ,  B 4; 4; 0 Biết tập hợp điểm M thuộc  S cho

2

16

MA MO MB  đường trịn Bán kính đường trịn

A B C D

Câu 39: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2

:

S x y z  x y zm  Tìm số thực m để   : 2x y 2z 8 cắt  S theo đường trịn có chu vi 8

A m 3 B m 4 C m 1 D m 2

Câu 40: (Chuyên KHTN) Biết khơng gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng  P  Q thỏa mãn điều kiện sau: qua hai điểm A1;1;1 B0; 2;2 , đồng thời cắt trục tọa độ Ox Oy, hai điểm cách O Giả sử  P có phương trình x b y c z1 d10

 Q có phương trình x b y c z 2  2 d2 0 Tính giá trị biểu thức b b1 2c c1 2

A 7 B -9 C -7 D 9

Câu 41: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S qua điểm M2;5; 2  tiếp xúc với mặt phẳng   :x1 ,   :y1,   :z 1 Bán kính mặt cầu  S

A 4 B 3 C 1 D 3

Câu 42: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm thuộc trục Oz Biết mặt phẳng Oxy mặt phẳng   :z2 cắt  S theo hai đường trịn có bán kính Phương trình  S

A x2 y2z22 16 B x2y2z42 16 C x2y2z42 20 D x2 y2z22 20

Câu 43: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x4y  z 0,  Q : 4x5y z 140,  R :x2y2z 2

 S :x2y2z 4

Biết mặt cầu xa2yb2zc2  D có tâm nằm  P  Q , tiếp xúc với  R  S Giá trị a b c 

A 2 B 3 C 5 D 4

Câu 44: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 2) mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z1)2 9 Mặt phẳng thay đổi qua A cắt

( )S theo thiết diện đường trịn Hãy tìm bán kính đường trịn có chu vi nhỏ A 3

2 B

1

2 C 2 D 3

Câu 45: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 2) mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z1)2 9 Mặt phẳng thay đổi qua A cắt

( )S theo thiết diện đường tròn Hãy tìm bán kính đường trịn có chu vi nhỏ A 3

2 B

1

2 C 2 D 3

A 7

3 B

7

9 C

9

7 D

7 6

Câu 47: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho  P x2y2z 5 mặt cầu  S1 :    

2 2

2 1

x  y  z  ,  S2 : x42 y22z32  Gọi M A B, , thuộc mặt phẳng  P hai mặt cầu  S1 ,  S2 Tìm giá trị nhỏ S MA MB

A Smin11 B Smin2 14 3 C Smin 15 3 D Smin 3 3 Câu 48: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1; 2;1,

3; 1;1

B  , C 1; 1;1 Gọi  S1 mặt cầu tâm A bán kính R12  S2 ,  S3 mặt cầu tâm B, C có bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với  S2 ,

 S3 cắt  S1 theo giao tuyến đường trịn bán kính r

A 3 B 7 C 6 D 8

Câu 49: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Trong không gian , cho điểm , đường thẳng mặt cầu

Mặt phẳng chứa đường thẳng thỏa mãn khoảng cách từ điểm đến lớn Mặt cầu cắt theo đường trịn có bán kính

A B C D

Oxyz 2; 3; 4

A  :

2

x y z

d       S : x32y22z12 20

 P d A  P

 S  P

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO

A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa

Phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M0x y z0; 0; 0 có vec tơ phương  1; 2; 3,

a a a a a:

0

0

0

x x a t

y y a t

z z a t

          

Nếu a a a1; 2; 3 khác không Phương trình đường thẳng  viết dạng tắc sau:

0 0

1

x x y y z z

a a a

  

 

Ngoài đường thẳng cịn có dạng tổng qt là: 1 1

2 2

0 A x B y C z D A x B y C z D

   

 

   



với A B C A B C1, 1, 1, 2, 2, 2 thỏa 2 2 2

1 1 0, 2

A B C  A B C 

2 Vịtrí tương đối hai đường thẳng

Chương trình Chương trình nâng cao

1 )Vịtrí tương đối của hai đường thẳng Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng

0 1

0 2

0 3

' ' '

: ; ' : ' ' '

' ' '

x x a t x x a t

d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

                     

Vtcp u qua M0 d' có vtcp u' qua M0' , ' u u   phương: 0 ' ' / / ' ; ' ' '

u ku u ku

d d d d

M d M d

                   , ' u u  

không phương:  

0 1

0 2

0 3

' ' ' ' ' ' ' ' '

x a t x a t

y a t y a t I

z a t y a t

             

d chéo d’  hệ phương trình  1 vơ nghiệm d cắt d’  hệ phương trình  1 có nghiệm

1 ) Vịtrí tương đối của hai đường thẳng Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng

0 1

0 2

0 3

' ' '

: ; ' : ' ' '

' ' '

x x a t x x a t

d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

                     

Vtcp u qua M0 d' có vtcp u' qua M0'    

0

, ' / / ' ' u u d d M d                 

, ' ' ' u u d d M d                  

, '

at '

, '

u u

d c d

u u MM

                  

 d cheo d ' u u, '  MM0 0   

3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Phương pháp 1 Phương pháp 2

Trong không gian Oxyz cho:   :Ax+By+Cz+D=0

0

0

0 :

x x a t

d y y a t

z z a t

          

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua  0; 0; 0

M x y z có vtcp: aa a a1; 2; 3   :Ax+By+Cz+D=0 có vtpt nA B C; ;   d

Pt:

      1  A x a t B y a t C z a t D Phương trình  1 vơ nghiệm d/ /  Phương trình  1 có nghiệm d cắt   Phương trình  1 có vơ số nghiệm d 

Đặc biệt: d   a n , phương

   

 

/ / a n

d

M



     

    d

nằm mp  

 

a n

M 

    

  

 

4 Khoảng cách

Khoảng cách từ M x y z 0; 0; 0 đến mặt phẳng   :Ax+By+Cz+D=0cho công thức

  0

0 2 2 2

Ax

, By Cz D

d M

A B C

    

 

Khoảng cách từ M đến đường thẳng  d Phương pháp 1:

Lập ptmp   qua M vng góc với d Tìm tọa độ giao điểm H mp   d

 ,  d M d MH

Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp 1:

d qua M x y z 0; 0; 0; có vtpt aa a a1; 2; 3 '

d qua M'x0';y0';z0'; vtpt a'a1';a2';a3' Lập phương trình mp   chứa d song song với d’: d d d , 'd M ',  

Khoảng cách từ M đến đường thẳng  d Phương pháp 2:

(d qua M0 có vtcp u )

 ,  ,

M M u d M

u

 

 

 

  

Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Phương pháp 2:

d qua M x y z 0; 0; 0; có vtpt a a a a1; 2; 3 '

d qua M'x0';y0';z0'; vtpt a'a1';a2';a3'  , ' , ' '

, '

hop day

a a MM V

d

S a a

   

   

      

 

5 Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng

  qua M x y z 0; 0; 0có VTCP aa a a1; 2; 3  ' qua M'x0';y0';z0'có VTCP a'a1';a2';a3'

  1 2 3

2 2 2

1 3

' ' ' '

cos cos , '

' ' ' '

a a a a a a a a

a a

a a a a a a a a

     

   

   

 

6 Góc đường thẳng mặt phẳng

Góc đường thẳng mặt phẳng   qua M0 có VTCP a, mặt phẳng   có VTPT  ; ; 

n A B C 

Gọi  góc hợp   mặt phẳng    

2 2 2

1

Aa : sin cos ,

Ba Ca

a n

A B C a a a

    

   

 

B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d một VTCP của nó.

Dạng Viết phương trình đường thẳng  d đi qua M x y z0 0; 0; 0 có vtcpaa a a1; ;2 3 

1

o o o

x x a t

d y y a t t R

z z a t

( ) : ( )

   

  



   

hoặc

Dạng Đường thẳng d đi qua A B :

Đường thẳng d qua A (hoặcB ) có vtcp ad  AB

  Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng dqua A song song 

Đường thẳng d qua A có vtcp ud u

 

Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng d qua A vng góc mp( )

Đường thẳng d qua A có vtcp ud n

 

Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d

Dạng Đường thẳng  d qua A và vng góc đường thẳng d1 d2: Đường thẳng d qua A có vtcp

1,

d d

uu u 

 

  

Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d

Dạng Đường thẳng  d giao tuyến của hai mặt phẳng   P , Q : Cách 1: Tìm điểm vtcp

– Tìm toạ độ điểm A d: Bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho ẩn ta giải hệ tìm giá trị hai ẩn cịn lại)

– Tìm vtcp d:ud n nP, Q

 

  

Cách 2: Tìm hai điểm A B, thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng Đường thẳng  d đi qua điểm M x y z0 0; 0; 0 vuông góc với hai đường thẳng d d1, 2:

Vì d d1 , d d2 nên vtcp d là:

1,

d d d

u u u 

 

  

Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d

Dạng Đường thẳng  d qua điểm M x y z0 0; 0; 0, vng góc cắt đường thẳng Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng 

Ta có H

Khi đường thẳng d đường thẳng qua M H0, (trở dạng 2)

Cách 2: Gọi  P mặt phẳng qua M0 vng góc với ;  Q mặt phẳng qua M0 chứa

 Khi d P  Q (trở dạng 6)

Cách 3: Gọi  P mặt phẳng qua M0 vng góc với  - Tìm điểm B P  

- Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm M B0, (quay về dạng 2) Dạng Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng ( )P , vng góc cắt đường thẳng 

Tìm giao điểm M  ( )P M d

P Q

( ) ( )

  

0

H

M H u

   



 

 

0 0

1

x x y y z z

d

a a a

Vì d ,

d P

d P u u

u u n u n



  

  

 

  

  

  

 

Dạng 10 Đường thẳng  d qua A cắt d d1, 2: ( ) ( )

d    với mp( ) chứa A d1; mp( ) chứa A d2 (trở dạng 6) Dạng 11 Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng( )P cắt cảhai đường thẳngd d1, 2:

Tìm giao điểm A d 1 P B d,  2 P Khi d đường thẳngAB (về dạng 2) Dạng 12 Đường thẳng  d / / cắt d d1, 2:

Viết phương trình mặt phẳng  P chứa d d1 , mặt phẳng  Q chứa d vàd2 Khi d P  Q (trở dạng 6)

Dạng 13 Đường thẳng ( )d qua A  d1 , cắt d2 : Cách 1:

- Viết phương trình mp ( ) qua A vng góc với d1 - Tìm B d 2( )

- Khi  d đường thẳng AB (về dạng 2) Cách 2:

- Viết phương trình mặt phẳng  P qua A vng góc với d1 - Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa A d2

- Khi d P  Q (trở dạng 6) Cách 3:

- Viết phương trình tham số t đường thẳng d2 (nếu chưa có) - Tìm điểm B d d2(B có tọa độ theo tham số t) thỏa mãn

1

d AB u    Giải phương trình tìm tB

- Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm A B, Dạng 14 Đường thẳng    d  P cắt d d1, 2 :

Tìm mp( ) chứa d1, P ; mp( ) chứa d2, P ( ) ( )

d    (trở dạng 6)

Dạng 15 Đường thẳng d’là hình chiếu của d lên ( ) : Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng   chứa dvà vng góc với ( ) - Đường thẳng d' giao tuyến ( ) ( ) (trở dạng 6) Cách 2:

- Xác định A giao điểm d ( )

- Lấy điểm M A d Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với ( ) - Tìm tọa độ điểm H giao điểm với ( )

- Đường thẳng đường thẳngAH (trở dạng 2)

Đặc biệt: Nếu d song song ( ) d' đường thẳng qua H song song với d

Dạng 16 Phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo  d1  d2 : Cách 1:

- Chuyển phương trình đường thẳng    d1 , d2 dạng tham số xác định u u1, 2 vtcp    d1 , d2

- Lấy A B, thuộc    d1 , d2 (tọa độ A B, phụ thuộc vào tham số) - Giả sử AB đường vng góc chung Khi đó:

2 0 AB u AB u

   

 

  



 

   

2

* AB u AB u

 

 

 

  

 

Giải hệ phương trình  * tìm giá trị tham số Từ tìm đượcA B, - Viết phương trình đường vng góc chung AB

Cách 2:

- Vì d  d1 d  d2 nên vtcp d là:

1,

d d d

a a a 

 

  

- Lập phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1

+ Một vtpt  P là:

1

,

P d

n a a 

 

  

- Tương tự lập phương trình mặt phẳng  Q chứa đường thẳng cắt d vàd2 Khi d P  Q (trở dạng 6)

Cách 3:

- Vì dd1 dd2nên vtcp d là:

1,

d d d

a a a 

 

  

- Lập phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1

+ Một vtpt  P là:

1

,

P d

n a a 

 

  

- Tìm Md2( )P Khi viết phương trình d qua M có vtcp ad

 CÁC DẠNG TỐN KHÁC

Dạng Tìm H hình chiếu của M trên đường thẳng  d Cách 1:

- Viết phương trình mp( ) qua M vng góc với d : ta có n ad

  - Khi đó: H  d ( )  tọa độ H nghiệm hpt:  d ( ) Cách 2:

- Đưa  d dạng tham số Điểm H xác định bởi: Dạng Điểm M/đối xứng với M qua đường thẳng d:

Cách 1:

- Tìm hình chiếu Hcủa M  d

- Xác định điểm M' cho H trung điểm đoạn MM' (công thức trung điếm) Cách 2:

- Gọi H trung điểm đoạn MM' Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M M, ' (công thức trung điếm)

d

H d

MH a

 

  

- Khi toạ độ điểm M/ xác định bởi:

Dạng Đường thẳng ( ')d đối xứng đường thẳng ( )d qua mặt phẳng  P TH1: ( )d  P A

- Xác định A giao điểm d ( )P

- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳngAM'

TH2: ( )d / /  P

- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳng quaM' song song d

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Đường thẳng  song song với :

3

x y z

d     

 cắt hai đường thẳng

1

:

3

  

 

x y z

d 2:

2

 

 

x y z

d Phương trình khơng phải đường thẳng 

A : 1

3

  

  



x y z

B

7

3 3 3

:

3

       y z x

C :

3

  

  



x y z

D : 1

3

  

  



x y z

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng mặt phẳng Phương trình đường thẳng nằm cho cắt vng góc với đường thẳng

A B

C D

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2

2 1

x y z

d     mặt phẳng  P :x2y  z Viết phương trình đường thẳng  nằm  P cho  vng góc với d khoảng cách hai đường thẳng  d

A

7

:

1 1

3 :

1 1

x y z

x y z

                

B

7

:

1 1

3 :

1 1

x y z

x y z

               d MM a H d '       d ' d ' ,

Oxyz :

1 1

x y z

  



 P :x2y2z40 d  P d



 

3

:

1

x t

d y t t

z t                 : 2 x t

d y t t

z t              

:

4

x t

d y t t

z t                 

: 3

3

x t

d y t t

C

7

:

2 1

3 :

1

x y z

x y z

             

D

7

:

1 1

3

:

1 1

x y z

x y z

                   

Câu 4: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng qua A1; 2; 4 song song với  P : 2x   y z cắt đường thẳng d :

2 2

3

x y z

  có phương trình:

A x t y z t           B 2 x t y z t           C 2 4 x t y z t            D x t y z t           

Câu 5: (Lương Thế Vinh Lần 3) Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường vng góc chung  hai đường thẳng 1:

1

x y z

d     



3 :

1

x t

d y t

z t           

A 2

1

x y z

 

  B

3

1 1

x y z

 



C

3 1

x y z

 

 D

1

1

x y z

 

Câu 6: (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong khơng gian Oxyz, cho đường

thẳng : 1

1 2

x y z

d     

 mặt phẳng  P : 2x2y  z 0, phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng  P , cắt d vng góc với d

A 2 5 z t y t z t             B 2 5 z t y t z t              C 2 5 z t y t z t              D 2 5 z t y t z t            

Câu 7: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P :x   y z đường thẳng :

1

x y z

d    

 Hình chiếu vng góc d mặt phẳng  P có phương trình

A 1

1

x y z

 

  B

1 1

3

x y z

 

 

C 1

1

x y z

 

 D

1

1 1

x y z

 

Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 1

: , ,

2 2

x y z

d m

m m

    

    

   

mặt phẳng  P :x   y z Gọi đường thẳng  hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng  P Có số thực m để đường thẳng  vng góc với giá véctơ a ( 1; 0;1)



?

Câu 9: (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho điểm A1; 2; 4 hai điểm M B, thoả mãn MA MA MB MB.  0 Giả sử điểm M thay đổi đường thẳng :

2

x y z

d      Khi điểm B thay đổi đường thẳng có phương trình là:

A 1: 12

2

x y z

d     B 2:

2

x y z

d     

C 3:

2

x y z

d   D

5 12

:

2

x y z

d     

Câu 10: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Trong khơng gian , cho đường thẳng

, mặt phẳng Đường thẳng vng góc

với mặt phẳng , cắt có phương trình

A B

C D

Câu 11: (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng  P x:  y 5z 4 đường thẳng : 1

2

x y z

d      Hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng  P có phương trình

A 2 x t y t z t              B 2 x t y t z t            . C x t y t z t           D x t y z t          

Câu 12: (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 mặt phẳng ( ) có phương trình:

  1 : 2 x t

d y t t

z t             

 ,

2

:

3 2

x y z

d    

  , ( ) : x   y z

Phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng ( ), cắt hai đường thẳng d1 d2

A

8

x y z

 

 B

2

8

x y z

 

 

C

8

x y z

 

 D

2

8

x y z

 



Câu 13: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;3; 2, mặt phẳng  P :x   y z đường thẳng : 1

2 1

x y z

d    

 Viết phương trình đường thẳng  cắt  P d M , N cho A trung điểm MN

Oxyz

:

1

x t

d y t

z t            

:

2

x t

d y t

z t                

 P :x y  z  P d d

3

1 1

x y z

  1

1

x y z

 

 

2 1

1 1

x y z

  1

2 2

x y z

A : 2 x t y t z t             B : 2 x t y t z t             C : 2 x t y t z t              D : 2 x t y t z t              Câu 14: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có

1;1; ,  2;3;1 , 3; 1; 4

A B  C  Viết phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh B

A x t y t z t            

B

2 x t y z t            C x t y t z t             D x t y t z t            

Câu 15: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2;3 mặt phẳng  P : 2xy4z 1 Đường thẳng  d qua điểm A, song song với mặt phẳng  P , đồng thời cắt trục Oz Viết phương trình tham số đường thẳng  d

A x t y t z t           

B

2 x t y t z t          C 2 x t y t z t            D x t y t z t           

Câu 16: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A2;1;5 hai mặt phẳng  P : 2xy3z 7 0,  Q : 3x2y  z Gọi

M điểm nằm mặt phẳng  P điểm N nằm mặt phẳng  Q thỏa mãn AN 2AM Khi M di động mặt phẳng  P quỹ tích điểm N đường thẳng có phương trình A 11 x t y t z t             

B

C D

Câu 17: (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x3y2z120 Gọi A B C, , giao điểm   với ba trục tọa độ, đường thẳng d qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với   có phương trình

A 3

2

x y z

 

 B

3

2

x y z

 



C 3

2

x y z

 

 D

3

2

x y z

 



Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

1

x y z

d    

  mặt phẳng  P :x   y z Gọi I giao điểm d P,  Tìm M P cho MI vng góc với d MI 4 14

A     5;9; 11 3; 7;13 M M      

B  

 

5; 7; 11 3; 7;13 M M      

C  

  5;9; 11 3; 7;13 M M      

D  

 

5; 7;11 3; 7; 13 M M     

Câu 19: Trong không gian Ox ,yz cho hai mặt phẳng  P :x2y2z0, Q : 2x2y  z Viết phương trình đường thẳng d qua A0; 0;1 , nằm mặt phẳng  Q tạo với mặt phẳng  P góc 45

A 1: ; 2:

1

x t x t

d y t d y t

z t z

                 

B 1: 1; 2:

1

x t x t

d y t d y t

z t z

                  

C 1 2

3

: ; :

1 4

x t x t

d y t d y t

z t z t

                   

D 1 2

1

: ; :

1

x t x t

d y t d y t

z t z

                   

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD, thỏa mãn

CD AB diện tích 27; đỉnh A 1; 1; ; phương trình đường thẳng chứa cạnh CD

2

2

x y z

  Tìm tọa độ điểm D biết hoành độ điểm B lớn hoành độ điểm A A D 2; 5;1 B D 3; 5;1 C D2; 5;1  D D3; 5;1 

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng :

2 1

x y z

d     

 mặt phẳng  P :xy  z Gọi M giao điểm d  P Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng  P , vng góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến  42

A

5

:

2

3

:

2

x y z

x y z

                  

B

5

:

2

3

:

2

x y z

x y z

                     C

5

:

2

3

:

2

x y z

x y z

                  

D

5

:

2

3

:

2

x y z

x y z

                Câu 22: Cho hai điểm hai mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng qua cắt cho tam giác cân nhận đường trung tuyến

A B

C D

1; 2;3 , 2; 4; 4

M A  P :x y 2z 1 0,

 Q :x2y  z  M  P , Q ,

B C ABC A AM

1

:

1 1

x y z

  

 

1

:

2 1

x y z

  



1

:

1 1

x y z

   :

1 1

x y z

  

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d đường thẳng qua điểm A1; 0; 1 , cắt

1 2

2 1

x y z

 

 , cho cosd;2là nhỏ nhất, biết phương trình đường thẳng

3

:

1 2

x y z

  

 Phương trình đường thẳng d là?

A 1

2

x y z

 

 B

1

4

x y z

  

C 1

4

x y z

 

  D

1

2

x y z

 

Câu 24: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) đường thẳng d có phương trình:

1

2 1

x y z

 

 Gọi  đường thẳng qua M, cắt vng góc với d Viết phương trình đường thẳng ?

A x t y t z t            B x t y t z t            C 1 x t y t z t            D x t y t z t           

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ MNN  t; ;1t t gọi d qua A1; 0; 1 , cắt

1 2

:

2 1

x y z

  

 , cho góc d

3

:

1 2

x y z

  

 nhỏ Phương

trình đường thẳng d

A 1

2

x y z

 

 B

1

4

x y z

 

 C

1

4

x y z

 

  D

1

2

x y z

 

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ

2 2 x t y t z t             

cho hai đường thẳng 1:

2 1

x y z

d    



2

1 2

:

1

x y z

d     

 Gọi  đường thẳng song song với  P :x   y z cắt 1,

d d hai điểm A B, choAB ngắn Phương trình đường thẳng 

A 12 x t y z t            B x t y z t                C x y t z t                D x t y t z t                

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;3; 3 thuộc mặt phẳng   :2 – 2x y z 150và mặt cầu  

2 2

: (x 2) (y 3) (z 5) 100

S      

Đường thẳng  qua A, nằm mặt phẳng   cắt ( )S A, B Để độ dài AB lớn phương trình đường thẳng  là:

A 3

1

x y z 

  B 3

16 11 10

x y z 

 

C 3 x t y z t            

D 3

1

x y z 

 

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,

4

x y z

d      mặt thẳng  P : 3x5y  z Gọi d'là hình chiếu d lên  P Phương trình tham số d' A 62 25 61 x t y t z t           B 62 25 61 x t y t z t           C 62 25 61 x t y t z t            D 62 25 61 x t y t z t          

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ  Q :x2y2z 1 gọi d qua A3; 1;1 , nằm mặt phẳng  P :x   y z 0, đồng thời tạo với :

1 2

x y z

   góc 450 Phương trình đường thẳng d

A

3 15 x t y t z t              B x t y t z            C 15 x t y t z t             D 1 x t y t z            và 15 x t y t z t            

Câu 30: (THTT số 3) Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng 1: 1,

1

x y z

d    



1

:

2

x y z

d    

  Viết phương trình đường phân giác góc tù tạo d d1,

A

3

x y z

 

  B

1

1 1

x y z

 



C 1

2 1

x y z

  D

2 1

x y z

 

Câu 31: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A2;1; 0, 3; 0; 2

B , C4;3; 4  Viết phương trình đường phân giác góc A A x y t z          B x y z t        

C

2 x t y z          D x t y z t         

Câu 32: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z hai đường thẳng

1 :

2

x t

d y t

z t           ;

' :

1

x t

d y t

z t              

Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với  P ; cắt d d,  tạo với d góc 30 Tính cosin góc tạo hai đường thẳng O

A

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng 1: ;

1

x y z

d    

2

2 1

:

2 1

x y z

d      mặt phẳng  P :x y 2z 5 Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng  P cắt d d1, 2 A B, cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ

A : 2

1 1

x y z

d      B : 2

1 1

x y z

d     



C : 2

1 1

x y z

d      D : 2

1 1

x y z

d     

Câu 34: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A3;3; 3 thuộc mặt phẳng   có phương trình 2 – 2x y z 15 0 mặt cầu   S : x22y32z52 100 Đường thẳng  qua A, nằm mặt phẳng   cắt ( )S M , N Để độ dài MN lớn phương trình đường thẳng 

A 3

1

x y z 

  B 3

16 11 10

x y z 

   C 3 5 3 3 8 x t y z t            

D 3

1

x y z 

 

Câu 35: (THẠCH THÀNH I - THANH HĨA 2019) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm E2;1;3, mặt phẳng  P qua ba điểm 3; 0;

2 A 

 ,

3 0; ;

2 B 

 , C0; ; 3  mặt cầu   S : x32y22z52 36 Gọi  đường thẳng qua điểm E, nằm  P cắt  S hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình 

A 9 x t y t z t            B 3 x t y t z          

C

2 x t y t z           D 3 x t y t z t           

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A1; 1; 2 , song song với  P : 2x y  z 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1

1 2

 

  



x y z

góc lớn Phương trình đường thẳng d

A 1

1

  

 



x y z

B 1

4

  

 



x y z

C 1

4

  

 

x y z

D 1

1

  

 

 

x y z

Câu 37: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Đường thẳng  qua điểm M3;1;1, nằm mặt phẳng   :x   y z tạo với đường thẳng

1

:

3 x

d y t

z t           

A x y t z t           

B

8 x t y t z t                C x t y t z t               D x t y t z t              

Câu 38: Trong không gian cho đường thẳng :

1

x y z

   đường thẳng :

3

x y z

d     

Viết phương trình mặt phẳng  P qua  tạo với đường thẳng d góc lớn A 19x17y20z770 B 19x17y20z340

C 31x8y5z910 D 31x8y5z980

Câu 39: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; ,  B7; 2;3  đường thẳng d có phương trình

2

2 (t R)

4 x t y t z t            

Điểm M d cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ có tổng tọa độ là:

A M 2;0;  B M 2;0;1  C M 1; 0;  D M 1; 0;  Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểm (2;3; 0),A B(0; 2; 0), 6; 2;

5

M    và đường thẳng :

2 x t d y z t         

Điểm Cthuộcdsao cho chu vi tam giácABClà nhỏ nhấ độ dàiCM

A 2 B 4 C 2 D 2

5

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A B C, , đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây?

A M 1; 2;1 B N5; 7;3 C P3; 4;3 D Q7;13;5 Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;1;1 hai đường thẳng 1

2 : x t d y z t            : x s d y z s          

Gọi B C, điểm di động d d1, 2 Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P ABBCCA là?

A 2 29 B 2 985 C 5 10 29 D 5 10

Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng Gọi điểm cách trục Khoảng cách ngắn bằng:

A B C D

Oxyz

0 :

1 x

d y t

z        

0; 4; 0

A M

d x Ox' A M

1

2

Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi  đường thẳng qua điểm A2,1, 0, song song với mặt phẳng  P :x  y z có tổng khoảng cách từ điểm M0, 2, , N4, 0, 0 tới đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất? Vector phương  là?

A u 1, 0,1 B u 2,1,1 C u 3, 2,1 D u 0,1, 1 

Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz, cho tam giácABC với A2;3;3đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B 3 2,

1

  

 

 

x y z

phương trình đường phân giác góc C

2

2 1

  

 

 

x y z

Đường thẳng ABcó véctơ phương là:

A u1 (0;1; 1) B u2 (2;1; 1) C u3 (1; 2;1) D u4 (1; 1;0) Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

   hai điểm

1; 1; 1

A   ,B 2; 1;1 Gọi C D, hai điểm phân biệt di động đường thẳng  cho tồn điểm I cách tất mặt tứ diện ABCD I thuộc tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD

A 12 17

17 B 17 C

3 17

11 D 13

Câu 47: (Yên Phong 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   :xy  z đường thẳng :

1

x y z

d    

 Gọi  hình chiếu vng góc d   u1; a;b



là vectơ phương  với a b,  Tính tổng ab

GÓC

Câu 1: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng

2

:

1

x y z

d      2: 5

1

x y z

d

m

  

 

tạo với góc 60, giá trị tham số m

A m 1 B

2

m C

2

m D m1

Câu 2: (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng  d giao tuyến hai mặt phẳng

( ) : sin cos 0; ( ) : cos sin 0; 0; P xz    Q yz        

  Góc ( )d trục Oz là:

A 30 B 45 C 60 D 90

Câu 3: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, gọi d đường thẳng qua điểm A1; 1; 2 , song song với mặt phẳng  P : 2x   y z 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1

1 2

x y z

  

 góc lớn Phương trình đường thẳng d

A 1

4

x y z

 

 B

1

4

x y z

 



C 1

4

x y z

 

 D

1

4

x y z

 

KHOẢNG CÁCH

Câu 4: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz, cho hai đường

thẳng: 1:

4 1

x y z

d     



2

1

:

6

x y z

d    

 Khoảng cách chúng

A 5 B 4 C 2 D 3

Câu 5: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M 2; 1; , A ; ;1 3 đường thẳng

1

2

x y z

d :    

 Tìm vectơ phương u 

đường thẳng  qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng nhỏ

A u2 2; ;1 B u3 4; ;4 C u2 6; ;  D u ; ;1 2

Câu 6: (Sở Điện Biên) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng phẳng  P :x2y2z 1 đường

thẳng : 1

1

 

 



x y z

A S2 B  

S C S 4 D 12

5 

S

Câu 7: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(10; 2;1) đường thẳng

1

:

2

x y z

d     Gọi ( )P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d cho khoảng cách d ( )P lớn Khoảng cách từ điểm M( 1; 2;3) đến mặt phẳng ( )P

A 533

2765 B

97

15 C

2 13

13 D

76 790 790

Câu 8: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm 1; 2;3 , 1; 2;0

A B M1;3; 4 Gọi d đường thẳng qua B vng góc với AB đồng thời cách M khoảng nhỏ Một véc tơ phương d có dạng u2; ;a b Tính tổng a b

A 1 B 2 C 1 D 2

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Câu 9: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho hai mặt phẳng

hai đường thẳng Đường

thẳng song song với hai mặt phẳng cắt tương ứng Độ dài đoạn

A B C D

Câu 10: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M2;1; 0 đường thẳng : 1

2 1

x y z

  

 Phương trình tham số đường thẳng d qua M , cắt vng góc với 

A

2

:

2

x t

d y t

z t

 

 

      

B

2

:

x t

d y t

z t

 

 

      

C

2

:

x t

d y t

z t    

     

D

1

:

2

x t

d y t

z t

   

   

  

Câu 11: (Sở Thanh Hóa 2019)Trong không gian Oxyz, cho điểm A2 ; ; 3 đường thẳng

1

:

2

x y z

d     Gọi ( )P mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ điểm A đến ( )P lớn Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( )P

A

2 B

3

6 C

11

6 D

Oxyz  P :x2y  z 0,  P : 2x   y z 0,

1

: ,

2

x y z

   2:

1

x y z

  



    P ; Q  1, 2 H K,

HK 11

7

Câu 12: (CổLoa Hà Nội) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :1

1 1

x y z

 



2

1

d :

2

x m y z

 

 Có giá trị tham số m để hai đường thẳng d1, d2có điểm chung?

A 2 B 0 C 1 D vô số

Câu 13: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong khơng gian Oxyz cho

đường thẳng :

2 2

x y z

d

m m

  

 

  mặt phẳng  P :xy  z 0, hai điểm A2; 2; 2 , B1; ;3 thuộc  P Giá trị m để AB vng góc với hình chiếu d  P là? A m1 B m 1 C m2 D m 3

Câu 14: (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :2xy2z 3 0 hai đường thẳng 1: 1

3 1

x y z

d    

 ;

2

:

1

x y z

d     

 Xét điểm A, B di động d1 d2 cho AB song song với mặt phẳng  P Tập hợp trung điểm đoạn thẳng AB

A Một đường thẳng có vectơ phương u   9;8; 5  B Một đường thẳng có vectơ phương u   5;9;8 C Một đường thẳng có vectơ phương u 1; 2; 5   D Một đường thẳng có vectơ phương u 1;5; 2 

Câu 15: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) rong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

:

2

x y z

d     

  2:

x t

d y

z t

  

     

Mặt phẳng  P qua d1, tạo với d2 góc 45 nhận vectơ n1; ;b c làm vec tơ pháp tuyến Xác định tích b c

A 4 B 4 C 4 D 4

Câu 16: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2; ,  B2; 2;1  mặt phẳng   : 2x2y  z Xét điểm M thuộc   cho tam giác AMB vuông

M độ dài đoạn thẳng MB đạt giá trị lớn Phương trình đường thẳng MB

A

2 2

x t

y t

z t

   



   

   

B

2 2

x t

y t

z t

   



   

   

C

2 2

x t

y

z t

   

       

D

2

x t

y t

z

   



   

  

Câu 17: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

: ; :

2

x t

x y z

d d y t

z m

  

 

    

  

Gọi S tập tất số m cho d1 d2 chéo

khoảng cách chúng

19 Tính tổng phần tử S

A 11 B 12 C 12 D 11

Câu 18: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

1

4

x t

d y t

z t

  



   

   

;

5 11

:

2

x y z

d      Đường thẳng d qua A5; 3;5  cắt d d1; 2

ở B C, Tính tỉ sô AB AC

A 2 B 3 C 1

2 D

1

Câu 19: (Sở Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;0; 2) đường thẳng

1

:

1

x y z

d     Đường thẳng  qua A, vng góc cắt d có phương trình

A : 1

2

x y z

   B : 1

1 1

x y z

  



C :

1 1

x y z

   D :

1

x y z

  



Câu 20: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gianOxyz, cho ba điểm A3; 0;0 , B0; 4; , C0; 0;c với c số thực thay đổi khác0 Khi c thay đổi trực tâm H tam giác ABC ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn

A 5

2 B

5

4 C

12

5 D

6

Câu 21: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0;0), (0;3; 0), (0; 0; 6)B C D(1;1;1) Gọi  đường thẳng qua D thỏa mãn tổng khoảng cách từ điểm A B C, , đến  lớn Khi  qua điểm điểm đây?

A M( 1; 2;1)  B M(7;5;3) C M(3; 4;3) D M(5; 7;3) BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG - MẶT CẦU

Câu 22: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian Oxyz, cho  P :2xy2z 1 0, 0;0;4 , 3;1; 2

A Đáp án khác B

2 244651

r C 244651

9

r D 2024

3

r

Câu 23: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S

2 2

2

x y z  x z  đường thẳng :

1 1

x y z

d   

 Hai mặt phẳng ( )P , (P) chứa d tiếp xúc với ( )S T, T Tìm tọa độ trung điểm H TT

A 7; ; 6 H 

  B

5

; ;

6

H  

  C

5

; ;

6

H  

  D

5 ; ; 6 H 

 

Câu 24: (Hàm Rồng ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

2 2

( ) :S x y z 2x4y6zm 3 Tìm số thực m để   : 2xy2z 8 cắt  S theo đường trịn có chu vi 8

A m 4 B m 1 C m 2 D m 3

Câu 25: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng   P : 1m x  1m y  1 3 m z 2 8 m0và điểm A 4; 2; 7 Khi m thay đổi, biết tập hợp hình chiếu A mặt phẳng  P đường trịn, đường kính đường trịn

A 3 B 7 C 3 D 5

Câu 26: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết  P mặt phẳng cách hai đường thẳng

2 :

1 1

x y z

d   



1

:

2 1

x y z

d    

  Điểm sau thuộc mặt phẳng  P

A 1;1; M 

  B

1 1; ;

2 N  

  C

; ;1 P 

  D

1 1; ;

2 Q  

 

Câu 27: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu  2  2

1

x y  z  đồng thời song song với hai đường thẳng

1

2

:

3 1

x y z

d    

  ,

2

:

1 1

x y z

d    



A

2

x y z

x y z

    

     

B

2

x y z

x y z

    

     

. C x y 2z 9 0. D x y 2z 9 Câu 28: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm

1; 2;3 , 2;4; 4

M A hai mặt phẳng  P :xy2z 1 0,  Q :x2y z 40 Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt ( ), ( )P Q B C, cho tam giác ABC cân A nhận AM làm đường trung tuyến

A

1 1

x y z

 

  B

1

2 1

x y z

 



C

1 1

x y z

 

 D

1

1 1

x y z

 

Câu 29: (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2; ,  B3; 0; 3 Biết mặt phẳng  P qua điểm A cách B khoảng lớn Phương trình mặt phẳng

 P là:

A x2y2z 5 B x y 2z 3 C 2x2y4z 3 0. D 2x y 2z0

Câu 30: (THĂNG LONG HN LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z điểm A2; 1;3  Gọi  đường thẳng qua A song song với  P , biết  có vectơ phương ua b c; ; , đồng thời  đồng phẳng khơng song song với Oz Tính a

c A a

c  B

a

c   C

1 a

c   D

1 a c 

Câu 31: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :xy  z đường thẳng :

1

x y z

d    

 Đường thẳng d' đối xứng với d qua mặt phẳng  P có phương trình

A 1

1

x y z

 

 B

1 1

1

x y z

 

C 1

1

x y z

 

 D

1 1

1

x y z

 

Câu 32: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  1

1

:

5

x t

d y

z t

   

 

    

;  2

0

:

5 x

d y t

z t

 

 

  

    

Biết mặt

cầu  2  2  2

xa  yb  zc  R nhận đoạn vng góc chung  d 1  d2 làm đường kính Giá trị a2bc

A 6 B 8 C 7 D 5

Câu 33: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz, cho hai điểmA(1; 2;3), ( 1; 2;1)

B  mặt phẳng ( ) :P x  y z Gọi M là giao điểm đường thẳng AB và mặt phẳng P Tính tỉ số AM

BM

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 34: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đường thẳng : 2

1

x y z

d     

 điểm A1; ;1 Tìm bán kính mặt cầu có tâm I nằm d , qua A tiếp xúc với mặt phẳng

 P :x2y2z 1

Câu 35: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

3

x y z

d     

 

và 2:

1

x y z

d    

Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng cho A ( ) : (S x2)2(y1)2 (z1)2 24 B ( ) : (S x2)2(y1)2(z1)2 24

C 2

( ) : (S x2) (y1) (z1) 6 D 2

( ) : (S x2) (y1) (z1) 6 Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d     

và mặt phẳng   :x   y z Đường thẳng nằm mặt phẳng   , đồng thời vng góc cắt đường thẳng d có phương trình

A 3: 5

3

x y z

  

 B

2 4

:

3

x y z

  

 

C 2: 4

1

x y z

  

 D

1

:

3

x y z

  



Câu 37: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trong không gian tọa độ Oxyz,cho điểm A0;0; 2  đường thẳng  có phương trình 2

2

x y z

  Phương trình mặt cầu tâm A, cắt tại hai điểm B C cho BC8

A x22y32z12 16 B x2y2z22 25 C x22y2z2 25 D x2y2z22 16

Câu 38: (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y12z22 3 hai đường thẳng :

1

x y z

d    

 ,

1

:

1 1

x y z

    Phương trình phương trình mặt phẳng cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường trịn  C có bán kính song song với d 

A y  z B x y 1 C x z  1 D x z  1

Câu 39: (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z hai điểm M1;1;1, N  3; 3; 3 Mặt cầu  S qua M N, tiếp xúc với mặt phẳng  P điểm Q Biết Q thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn

A 11

R  B R6 C 33

3

R D R4

Câu 40: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đường thẳng d: 2

3 2

x y z

 

 Viết phương trình mặt cầu tâm I1; ; 1  cắt d điểm A, B cho AB2

C x12y22z12 9 D x12y22z12 16

Câu 41: (THPT ĐƠ LƯƠNG LẦN 2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M2;1;1 , mặt phẳng   :x   y z mặt cầu  S : x32y32z42 16 Phương trình đường thẳng  qua M nằm   cắt mặt cầu  S theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ Đường thẳng  qua điểm điểm sau đây?

A 4; 3;3  B 4; 3; 3   C 4;3;3  D 4; 3; 3   Câu 42: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

điểm A1; 3; 2 đường thẳng d có phương trình

1

x t

y t

z t

   

     

Mặt phẳng  P chứa điểm A đường thẳng d có phương trình đây?

A 2x y 2z 1 B x  y z

C 3x2y10z230 D 2x y 3z 4

Câu 43: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 3; 2 đường thẳng d có phương trình

1

x t

y t

z t

   

     

Mặt phẳng  P chứa điểm A đường thẳng d có phương trình đây?

A 2x y 2z 1 B x  y z

C 3x2y10z230 D 2x y 3z 4

Câu 44: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho mặt cầu:

  2

:

S x y z  x y z m  Tìm m để (S) cắt đường thẳng  :

1 2

x y z

  

 

tại hai điểm A B, cho tam giác IAB vuông (Với I tâm mặt cầu)

A m 1 B m10 C m 20 D

9 m 

Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

1 2

: ; :

1

x t x t

d y t d y t

z t z t



    

 

 

 

   

 

       

 

mặt phẳng  P :xy  z Đường thẳng vng góc với mặt phẳng  P cắt hai đường thẳng d d,  có phương trình

A

1 1

x y z

  B 1

1

x y z

 

 

C 1

1 1

x y z

  D 1

2 2

x y z

Câu 46: (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng

 1  2

3

: , :

2

x y z x y z

d      d    

    3

3

:

4

x y z

d    

 Đường thẳng song song d3, cắt d1 d2 có phương trình

A

4

x y z

  B

4

x y z

 

 

C

4

x y z

 

 . D

1

4

x y z

 



Câu 47: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng

1 1

:

2

x y z

  

1 1

:

2

x y z

   Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2

A 16

17 (đvdt) B

17 (đvdt) C 16

17 (đvdt) D

17 (đvdt).

Câu 48: (Sở Quảng NamT) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A6;3;5 đường thẳng BC có phương trình tham số

1 2

x t

y t

z t

   

     

Gọi  đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC Điểm thuộc đường thẳng ? A M 1; 12;3 B N3; 2;1  C P0; 7;3  D Q1; 2;5 

Câu 49: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian O xyz, cho hai điểm A1; 2; 1  B3;0;5 Điểm  ; ; 

M a b c thuộc mặt phẳng  P :x2y2z100 cho tam giác MAB cân M có diện tích 11 Tính S a b c

A

3

S  B 19

3

S  C S 1 D

3 S  

Câu 50: (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm

2;1;3

A , B6;5;5 Gọi  S mặt cầu đường kính AB Mặt phẳng  P vng góc với AB H cho khối nón đỉnh A đáy hình tròn tâm H (giao mặt cầu  S mặt phẳng

 P ) tích lớn nhất, biết  P : 2xby  cz d với b c d, ,  Tính S  b c d

A S18 B S 18 C S 12 D S 24

Câu 51: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :y40 Có đường thẳng d song song với ba mặt phẳng xOy, zOx,  P đồng thời cách mặt phẳng

Câu 52: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian Oxyz, cho điểm M2; 3; 4 , mặt phẳng  P :x2y z 120 mặt cầu  S có tâm I1; 2;3, bán kính R5 Phương trình phương trình đường thẳng qua M , nằm  P cắt  S theo dây cung dài nhất?

A x t y t z t             B 3 x t y t z t             C x t y t z t           

D

3 x t y t z t            

Câu 53: (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : x2y2z30 mặt cầu   2

:

S x y z  x y z  Xét hai điểm M N, thay đổi với M P

 

N S cho vectơ MN phương với vectơ u1; 0;1 Độ dài đoạn MN lớn

A 3 B 3 C 5 D

Câu 54: (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Trong không gian Oxyz, cho điểm E1; 1; 1, mặt cầu   2

:

S x y z  mặt phẳng  P :x3y5z 3 Gọi  đường thẳng qua E, nằm

trong  P cắt  S hai điểm A, B cho OAB tam giác Phương trình 

A 1 2 1 1 x t y t z t            B 1 4 1 3 1 x t y t z t           

C

1 2 1 1 x t y t z t            D 1 1 1 2 x t y t z t           

Câu 55: (KINH MƠN HẢI DƯƠNG 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz,cho mặt phẳng  P : 3x4y5z 1 ba điểmA2;5; ,  B 2;1;1 , C 2;0;1  Tìm điểm D a ;b;cb0 điểm nằm  P cho có vơ số mặt phẳng  Q qua hai điểm C D, thỏa mãn khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng  Q gấp lần khoảng cách từ B đến  Q Tính T abc

A 0 B 16 C 12 D 16

Câu 56: (Chun Thái Bình Lần3) Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1;1 , B2;2;1 mặt phẳng  P :xy2z0 Mặt cầu  S thay đổi qua A B, tiếp xúc với  P H Biết H chạy đường tròn cố định Tìm bán kính đường trịn

A 3 B 2 C D

2 Câu 57: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1

1

  

 

x y z m

d mặt

cầu   S : x12y12z22 9 Đường thẳng d cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt E,F cho độ dài đoạn thẳng EF lớn mm0 Hỏi m0 thuộc khoảng đây? A 1;1 B 1;1

2

 

 

  C

1 1;      

Câu 58: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2 1

x y z

d     , mặt phẳng  P :x y 2z 5 A1; 1; 2  Đường thẳng  cắt d  P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Một vectơ phương 

A u4; 5; 13  B u 2 ; 3; 2 C u1;1; 2 D u   3; 5; 1 Câu 59: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P :x2y2z 2 điểmI1; 2;1 Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến đường trịn có bán kính

A   S : x12y22z12 25 B   S : x12y22z12 16 C   S : x12y22z12 34 D   S : x12y22z12 34

Câu 60: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :xy  z hai đường thẳng 1: , 2:

1 1 1

x y z x y z

     

  Biết d d1, nằm mặt phẳng  P , cắt

2

 cách 1 khoảng

2 Gọi u1 a b; ;1 , u2 1; ;c d

 

vectơ phương d d1, 2 Tính Sa  b c d

A S0 B S2 C S4 D S1

Câu 61: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2 1

x y z

d    

 cắt mặt phẳng  P :x2y  z điểm M Mặt cầu  S có tâm  ; ; 

I a b c với a0 thuộc đường thẳng d tiếp xúc với mặt phẳng  P điểm A Tìm tổng T   a b c biết diện tích tam giác IAM 3

A T  2 B

2

T  C T 8 D T 0

Câu 62: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm 2; 1; 2

M  mặt cầu   S : x12y2z2 9 Mặt phẳng  P qua M cắt  S theo giao tuyến đường tròn có bán kính nhỏ có phương trình

A x y 2z 5 B x y 2z 7 0. C 2x y z   7 0. D x y 2z 5 Câu 63: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 4; 2 mặt cầu

 2 2

2

x y  z  Gọi S tập hợp đường thẳng không gian qua điểm A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt B C, thỏa mãn ABAC12 Số phần tử S

A 3 B 0 C 1 D 2

Câu 64: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt

phẳng      

: 1 10

tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P qua A Tổng bán kính mặt cầu bằng:

A 12 B 12 C 10 D 10

Câu 65: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M6; 0; 0, N0; 6; 0,

0; 0; 6

P

Hai mặt cầu có phương trình  

2 2

1 : 2

S x y z  x y 

và

  2

2 : 2

S x y z  x y z  cắt theo đường trịn  C Hỏi có mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C tiếp xúc với ba đường thẳng MN NP PM, ,

A 1 B 3 C Vô số D 4

Câu 66: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hai đường thẳng

2 :

2 x

d y t

z t

   

     

t,

3

:

1 1

x y z

  

 mặt phẳng  P :xy z 20 Gọi d,  hình chiếu d  lên mặt phẳng  P Gọi M a b c ; ;  giao điểm hai đường thẳng d  Biểu thức a b c

A 4 B 5 C 3 D 6

Câu 67: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2

: 2

S x y z  y z  hai điểm A2;0;0, B3;1; 1  Hai mặt phẳng  P  P chứa đường thẳng AB, tiếp xúc với  S T T H a b c ; ;  trung điểm đoạn TT Tính

2 a b  c

A 2

3

a b  c B 2

3 a b  c 

C

2

a b  c  D

2 a b  c

Câu 68: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y12z22 9 điểm M1;3; 1  Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho ln thuộc đường trịn  C có tâm J a b c ; ;  Tính

2a b c  A 134

25 B

116

25 C

84

25 D

62 25

A u11;1; 3 B u2 1;1; 6 C u3 (1;1; 0) D u41;1; 3 Câu 70: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

hai mặt phẳng song song  P :2x y 2z 1 0, Q :2x y 2z 5 điểm A1;1;1 nằm khoảng hai mặt phẳng Gọi  S mặt cầu qua A tiếp xúc với  P  Q Biết  S thay đổi tâm I ln thuộc đường trịn  C cố định Diện tích hình tròn giới hạn  C

A 2



B 4

9



C 16

9



D 8

9



Câu 71: (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong không gian Oxyz, xét số thực m(0;1) hai mặt phẳng   : 2x y 2z100  :

1

x y z

m m

   

 Biết rằng, m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng     ,  Tổng bán kính hai mặt cầu

A 6 B 3 C 9 D 12

Câu 72: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :

2 2

(x1) (y2) (z3) 27 Gọi ( ) mặt phẳng qua hai điểm A(0;0; 4) , B(2; 0;0) cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn ( )C Xét khối nón có đỉnh tâm ( )S đáy ( )C Biết thể tích khối nón lớn mặt phẳng ( ) có phương trình dạng

0

ax by  z d  Tính P  a b d

A P 4 B P8 C P0 D P4

Câu 73: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu    2  2  2 14

:

3

S x  y  z  đường thẳng : 4

3

x y z

d      Gọi

 0; 0; 0  0

A x y z x  điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu  S có tiếp điểm B C D, , cho ABCD tứ diện Tính giá trị biểu thức

0 0

Px y z

A P6 B P16 C P 12 D P8

Câu 74: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P Q R, , di động ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz ( không trùng với gốc tọa độ O ) cho 12 12 12

8

OP OQ OR  Biết mặt phẳng PQR tiếp xúc với mặt cầu  S cố định Đường thẳng d thay đổi qua 1; 3;

2

M 

 

 

cắt  S hai điểm A B, phân biệt Diện tích lớn tam giác AOB

Câu 75: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

3

:

1

x y z

  

 Có tất giá trị thực m để phương trình

2 2

4 2( 1)

x y z  x my m zm  m  phương trình mặt cầu  S cho có mặt phẳng chứa Δ cắt  S theo giao tuyến đường trịn có bán kính

A 1 B 6 C 7 D 2

Câu 76: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

2 2

1

( ) : (S x1) (y1) (z2) 16 (S2) : (x1)2(y2)2(z1)2 9 cắt theo giao tuyến đường tròn với tâm

( ; ; )

I a b c Tính a b c  A 7

4 B

1

 C 10

3 D 1

Câu 77: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm  3;3; 3

M   thuộc mặt phẳng   : 2x2y z 150 mặt cầu

  S : x22y32z52 100 Đường thẳng  qua M , nằm mặt phẳng   cắt  S A B, cho độ dài AB lớn Viết phương trình đường thẳng 

A 3

1

x y z

  B 3

1

x y z

 

C 3

16 11 10

x y z

 

 D

3 3

5

x y z

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

A - LÝ THUYẾT CHUNG 1 - Định nghĩa mặt cầu

Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng cách R cho trước mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu S O R ; 

Trong không gian với hệ trục Oxyz:

- Mặt cầu  S tâm I a b c , ,  bán kính R có phương trình là: xa2y b 2z c 2 R2

- Phương trình: x2y2z22ax2by2cz d 0, với a2b2c2d0 phương trình mặt cầu tâm I a b c ; ; , bán kính 2

R a b c d

2 - Vịtrí tương đối mặt phẳng  P mặt cầu  S  

 , 

d I P R  P không cắt mặt cầu  S  

 , 

d I P R  P tiếp xúc mặt cầu  S  

 , 

d I P R  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường tròn nằm mặt phẳng  P có tâm

H có bán kính r R2d2

3 - Vịtrí tương đối mặt cầu đường thẳng

a) Cho mặt cầu S O R ;  đường thẳng  Gọi H hình chiếu O lên  d OH khoảng cách từ O đến 

Nếu dR  cắt mặt cầu điểm phân biệt (H.3.1) Nếu d R  cắt mặt cầu điểm (H.3.2) Nếu d R  khơng cắt mặt cầu (H.3.3)

B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng Biết trước tâm I a b c bán kính ; ;  R: Phương trình    2  2  2

; :

S I R xa  yb  zc R Dạng Tâm I và qua điểmA:

Bán kính RIA

A

O

B H

O H

O

H R

I

H

Phương trình S I R ;  : xa2yb2zc2 R2 Dạng Mặt cầu đường kính AB

Tâm I trung điểm AB: Bán kính RIA

Phương trình    2  2  2 ; :

S I R xa  yb  zc R Dạng Mặt cầu tâm I a b c tiế ; ;  p xúc mặt phẳng   :

Bán kính  

2 2

; Aa Bb Cc D

R d I

A B C

  

 

 



Phương trình    2  2  2 ; :

S I R xa  yb  zc R

Dạng Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua điểm A B C D, , , ) Giả sử mặt cầu  S có dạng: x2y2z22ax2by2czd 0 2  Thế tọa độ điểm A B C D, , , vào phương trình (2) ta phương trình Giải hệ phương trình tìm a b c d, , ,

Viết phương trình mặt cầu

Dạng Mặt cầu qua A B C, , tâm I  :AxBy Cz D0: Giả sử mặt cầu  S có dạng: x2y2z22ax2by2czd 0 2  Thế tọa độ điểm A B C, , vào phương trình (2) ta phương trình

 ; ;   

I a b c   AaBb Cc D Giải hệ phương trình tìm a b c d, , , Viết phương trình mặt cầu

Dạng Mặt cầu S đi qua hai điểm A B, tâm thuộc đường thẳng d Cách 1:

Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t)

Ta có A B, ( )S 2

IA IB R IA IB

     Giải pt tìm t tọa độ I, tính R Cách 2:

Viết phương trình mặt phẳng trung trực  P đoạn thẳng AB

Tâm mặt cầu giao mặt phẳng trung trực đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I) Bán kính RIA Suy phương trình mặt cầu cần tìm

(Chú ý: Nếu d  P d / /  P khơng sử dụng cách này) Dạng Mặt cầu  S có tâm I tiếp xúc với mặt cầu  T cho trước:

Xác định tâm J bán kính R' mặt cầu  T

Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu  S (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài)

Dạng Mặt cầu  S đố' i xứng Mặt cầu  S qua mặt phẳng  P Tìm điểm I’ đối xứng với tâm I qua mp  P

Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I’ có bán kính R’R Dạng 10 Mặt cầu  S đố' i xứng mặt cầu  S qua đường thẳng d

Tìm điểm I’ đối xứng với tâm I qua mp d (xem cách làm phần đường thẳng) Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I’ có bán kính R’R

2 2

A B A B A B

I I I

x x y y z z

x   ; y   ; z  

2

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho Gọi

là tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng đồng thời qua điểm Tìm biết

A B C D

Câu 2: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho điểm

khác cho đơi vng góc tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tính

A B C D

Câu 3: (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 0; 1 , B3; 2;1  Gọi  S mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng Oxy, bán kính 11 qua hai điểm A, B Biết

I có tung độ âm, phương trình mặt cầu  S A 2

6

x y z  y  B 2

4

x y z  y  C x2 y2z24y70 D x2 y2z26y20

Câu 4: (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 9 mặt phẳng ( ) : 4P x2y4z 7 Hai mặt cầu có bán kính R1 R2 chứa đường trịn giao tuyến  S ( )P đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 3Q y4z200.Tổng

1

R R A 63

8 B

35

8 C 5 D

65 Câu 5: (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho đường thẳng : 2

1

x y z

d     

 điểm

1; ;1

A Tìm bán kính mặt cầu có tâm I nằm d, qua A tiếp xúc với mặt phẳng

 P :x2y2z 1

A R2 B R4 C R1 D R3

Câu 6: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z129 hai điểm A4; 3;1 , B3;1; 3; M điểm thay đổi

 S Gọi m n, giá trị lớn nhất, nhỏ cảu biểu thức P2MA2MB2 Xác định mn

A 64 B 60 C 68 D 48

Câu 7: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y12z22 4 điểm A1;1; 1  Ba mặt phẳng thay đổi qua A đơi vng góc với nhau, cắt mặt cầu  S theo ba giao tuyến đường tròn   C1 , C2  , C3 Tổng ba bán kính ba đường trịn  C1 ,  C2 ,  C3

A 6 B 4 3 C 3 3 D 22 3

Câu 8: (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho đường thẳng d : 2

3 2

x y z

 

 Viết

phương trình mặt cầu tâm I1; ; 1  cắt d điểm A, B cho AB2 A x12y22z12 25 B x12y22z12 4 C x12y22z12 9 D x12y22z12 16

Oxyz M2;1; ;  N5; 0; ;  P1; 3;1  I a b c ; ; 

Oyz M N P, , c

5 a b  c

3

Oxyz A2;0;0 ;  B0; 2; ;   C0; 0; 2  D

O DA DB DC, , I a b c ; ; 

ABCD S a b c

Câu 9: (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu x2y2z2 1 cắt mặt phẳng

 P :x2 y z 1  0 theo giao tuyến đường tròn  C Mặt cầu chứa đường tròn  C qua điểm A1;1;1 có tâm điểm I a b c ; ; , giá trị a b c

A 0,5 B 1 C 0,5 D 1

Câu 10: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho mặt cầu

  2        

: 2

S x y z  m x m y m z m  Biết m thay đổi mặt cầu  S ln chứa đường trịn cố định Tọa độ tâm I đường trịn

A I1; 2;1 B I  1; 2; 1 C I1; 2; 1  D I 1; 2;1

Câu 11: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 mặt phẳng  Q :x2y2z 6 Gọi  S mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng Bán kính  S

A 3 B 9

2 C

3

2 D 9

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm Mặt cầu tâm I qua độ dài (biết tâm I có hồnh độ ngun, O gốc tọa độ) Bán kính mặt cầu

A B C D

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho A1; 0; , B2; 1; ,  C1;1;   Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, qua A cắt mặt phẳng ABC theo đường trịn có bán kính nhỏ

A

2

2

2

x y  z 

 

B

2

2

2

x y  z 

 

C

2

2

2

x y  z 

  D

2

2

2

x y  z 

 

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz viết phương trình mặt cầu có tâm I1; 2;3 tiếp xúc với đường thẳng

1 2

x y z

 



A  12  22 ( 3)2 233

x  y  z  B  12  22 ( 3)2 243

9

x  y  z 

C  12  22 ( 3)2 2223

x  y  z  D  12  22 ( 3)2 333

9

x  y  z 

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu có phương trình

2 2

4 12

x y z  x y z  đường thẳng d x:  5 ;t y4;z 7 t Viết phương trình đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu  S điểm M5; 0;1 biết đường thẳng  tạo với đường thẳng d góc  thỏa mãn cos

7



A

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

B

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

Oxyz A0; 2;0 , B 1;1;4 C3; 2;1 

 S A B C, , OI 

 S

C

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

      

     

 

D

5 13

: :

1 21

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng :

1 2

x y z

d    

 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt cầu  S tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính

A 2; 0; 2 6; 2;

5 5

M  M  

  B  

6

2; 0; ; ;

5 5

M M 

  C 2; 0; 2 7; 4;

5 5

M  M  

  D  

6

4; 0; ; ;

5 5

M  M  

 

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng  1, 2 có phương trình:

1

2 1

: ; :

1 1

x y z x y z

     

 Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng  1, 2?

A  2

2

x  y z  B  2

2

x  y z  C  2

2

x  y z  D  2

2

x  y z 

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu  S :x2y2z2 2x4y2z 3 Viết phương trình mặt phẳng  P chứa trục Ox cắt mặt cầu  S theo đường trịn có bán kính

A  P :y2z0 B  P :x2z0 C  P :y2z0 D  P :x2z0 Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d    

 cắt mặt phẳng  P :x2y  z điểm M Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I thuộc đường thẳng d tiếp xúc với mặt phẳng  P điểm A, biết diện tích tam giác IAM 3 tâm I có hồnh độ âm

A    2  2

: 1

S x y  z  B    2  2

: 1 36

S x y  z 

C   S : x12y2z12 6 D   S : x12y2 z12 6 Câu 20: Trong không gian Oxyz cho điểm A13; 1; ,  B2;1; ,  C1; 2; 2 mặt cầu

  2

: 67

S x y z  x y z  Viết phương trình mặt phẳng  P qua qua A, song song với BC tiếp xúc với mặt cầu    S S có tâm I1; 2;3 có bán kính R9

A  P : 2 x2y z 280  P : 8x4y z 1000 B  P : 2 x2y z 280  P : 8x4y z 1000 C  P : 2 x2y z 280  P : 8x4y z 1000 D  P : 2 x2y2z280  P : 8x4y z 10000 Câu 21: Trong không gian Ox ,yz cho mặt cầu  

2 2

: 2 0,

S x y z  x y z 

mặt phẳng  P :x   y z

song với AB, vng góc với mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo đường tròn  C có bán kính

A   :x y 2z 1 mp   :x y 2z11 0 B   :x5y2z 1 mp   :x y 2z11 0 C   :x y 2z 1 mp   :x5y2z11 0 D   :x5y2z 1 mp   :x5y2z11 0

Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;0; , B0; 2;  Điểm C thuộc trục Ox cho tam giác ABC tam giác đều, viết phương trình mặt cầu  S có tâmO tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC

A  S :x2 y2z2 2 B  S :x2y2z2  2 C  S :x2y2z2  D  S :x2y2z2  

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng : 1

1

x y z

d     

  mặt cầu   S : x12y22 z12 25 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm

 1; 1; ,

M    cắt đường thẳng d mặt cầu  S hai điểm A B, cho AB8 A

1

:

2 x t y t z t               

B

1

:

2 x t y t z t                C

:

2 x t y t z t             

D

2

:

2 x t y t z t               

Câu 24: Trong không gian Ox ,yz viết phương trình mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng  Q : 2xy2z 1 M1; 1; 1   tiếp xúc mặt phẳng  P :x2y2z 8 A      

       

2 2

2 2

:

:

c x y z

c x y z

     



      



B      

       

2 2

2 2

:

:

c x y z

c x y z

     



      



C      

       

2 2

2 2

:

:

c x y z

c x y z

     



      



D      

       

2 2

2 2

: 81

: 81

c x y z

c x y z

     



      

 Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng:

, mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi

A B C

2 1

:

1

x y z

  

 2: 2 x t y t z t           

2 2

( ) :S x y z 2x2y6z 5

( )  1,

2 365



5 0; 10

x y z  x y z 

5 10

x y z 

5 3 511 0; 3 511

D

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho điểm mặt phẳng Mặt cầu S có tâm I nằm mặt phẳng , qua điểm A gốc tọa độ O cho chu vi tam giác OIA

Phương trình mặt cầu S là:

A

B

C

D

Câu 27: Cho điểm I1;7;5và đường thẳng :

2

x y z

d    

 Phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là: A x12y72z52 2018 B x12y72z52 2017 C x12y72z52 2016 D x12y72z52 2019

Câu 28: Cho điểm I(0; 0;3)và đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

   

      

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A B, cho tam giác IAB vuông là:

A 2  32

x y  z  B 2  32

3 x y  z 

C 2  32

x y  z  D 2  32

3 x y  z 

Câu 29: Cho điểm A2;5;1 mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z240, H hình chiếu vng góc A mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng

 P H, cho điểm A nằm mặt cầu là:

A x82y82z12 196 B x82y82z12 196 C x162y42z72 196 D x162y42z72 196

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng 1

1

: 1, ;

x

d y t

z t   

 

   



2

2

: , ;

1 x

d y u u

z u

  

 

    

 : 1

1 1

x y z

   Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d d1, 2 có tâm thuộc đường thẳng ?

A x12y2z12 1 B

2 2

1 1

2 2

x y z

     

     

     

     

C

2 2

3

2 2

x y z

     

     

     

      D

2 2

5

4 4 16

x y z

     

     

     

     

5

x y z 

1, 0, 1

A   P :x   y z  P

6

Câu 31: Cho mặt cầu  S :x2 y2 z22x4z 1 đường thẳng

2

:

 

 

 

   

x t

d y t

z m t

Tìm m để d cắt  S hai điểm phân biệt A B, cho mặt phẳng tiếp diện  S A B vng góc với

A m 1 m 4 B m0 m 4 C m 1 m0 D Cả A B C, , sai

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :x2 y2z2 4x6ym0 đường thẳng

 : 1

2

 

 

x y z

d Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho độ dài MN

A m 24 B m8 C m16 D m 12

Câu 33: Cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng

và mặt cầu S có phương trình Tìm

m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B cho AB =

A 9 B 12 C 5 D 2

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 2), (3;1; 4), (3; 2;1)B C  Tìm tọa độ điểm S, biết SA vng góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính 11

2 S có cao độ âm

A S( 4; 6; 4)  B S(3; 4;0) C S(2; 2;1) D S(4; 6; 4)

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0; 0; 4, điểm M nằm mặt phẳng Oxy M O Gọi D hình chiếu vng góc O lên AM E trung điểm OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu

A R2 B R1 C R4 D R

Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm mặt cầu (S) có phương trình: Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn

A B C D

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d    

  mặt cầu  S tâm I có phương trình   S : x12y22z12 18 Đường thẳng d cắt  S hai điểm A B, Tính diện tích tam giác IAB

A 8 11

3 B

16 11

3 C

11

6 D

8 11 Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3;0

2

 

 

 

 

M mặt cầu  S :x2y2 z2 8 Đường thẳng d thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OAB

A S  B S 4 C S2 D S 2 Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;11; 5  mặt phẳng

( ) : x 2y 2z 4  0 ( ) : 2x 2y  z 0, x2 y2 z24x6ym0

(0;1;1) , (1;0; 3), ( 1; 2; 3) A B  C   

2 2

2 2

x y z  x z 

7

; ;

3 3

D   

 

1

; ; 3 D  

 

7 ; ; 3 D 

 

7

; ;

3 3

D  

     

: 1 10

P mx m  y m  z  Biết m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu

A 2 B 5 C 7 D 12

Câu 40: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh 6cmvà SASBSC4 3cm.Gọi D điểm đối xứng B qua C Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng?

A 5cm B 3 2cm C 26cm D 37cm

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

d   

 mặt cầu   S : x12y22z12 2 Hai mặt phẳng  P và Q chứa d tiếp xúc với  S Gọi M N, tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MN

A 2 B

3 C D 4

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a ;0; ,  B0; ; , b  C0; 0;c,

a , b0, c0 7.

abc Biết mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu   : 12  22  32 72

7

S x  y  z  Thể tích khối tứ diện OABC A 2

9 B

1

6 C

3

8 D

5

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A0; 0;1, B m ; 0; 0,C0; ; 0n  1;1;1

D , với m0,n0 mn1 Biết m n, thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC qua D Tính bán kính R mặt cầu

A R1 B

2

R C

2

R D

2 R

Câu 44: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; ; 0 B2 ; 3; 4 Gọi  P mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu    2  2

1 : 1

S x  y  z   S2 :x2y2z22y20 Xét M , N hai điểm thuộc mặt phẳng  P cho MN1 Giá trị nhỏ AM BN

A 5 B 3 C 6 D 4

Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi   ; ; ba góc tạo tia Ot với tia ;Oy;Oz

Ox mặt cầu   S : xcos2ycos2zcos2 4 Biết  S tiếp xúc với hai mặt cầu cố định có bán kính R R1; 2 Tính T R1R2

A T 8 B T 4 C T 11 D T 9

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B2; 3;   Gọi  S mặt cầu đường kínhABvàAxlà tiếp tuyến của S tạiA By; tiếp tuyến của S Bvà AxBy Hai điểm M N, di động Ax By, cho MN tiếp tuyến  S Tính AM BN

A 19

2

Câu 47: (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2(z3)2 8 hai điểm A4; 4;3, B1;1;1Tập hợp tất điểm M thuộc  S cho MA2MB đường trịn  C Bán kính  C

A B C 2 D

Câu 48: (Kim Liên) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  : 2 2

S x y z  x y z  hai điểm A0; 2; , B2; 6; 2   Điểm M a b c ; ;  thuộc  S thỏa mãn tích MA MB  có giá trị nhỏ Tổng a b c 

A 1 B 1 C 3 D 2

Câu 49: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN NĂM 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 0), B(5; 6; 0) M điểm thay đổi mặt cầu  S :x2y2z2 1 Tập hợp điểm M mặt cầu  S thỏa mãn 3MA2MB2 48 có phần tử?

A 0 B 1 C 2 D 3.

Câu 50: ( Sở Phú Thọ) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  

2

( ) : (S x2) (y1)  z 9 hai điểm A2;0; 2 ,  B 4; 4;0 Biết tập hợp điểm M thuộc ( )S cho

2

16

MA MO MB  đường tròn Bán kính đường trịn

A B C 2 2. D

Câu 51: (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 2 mặt phẳng  Q : 2x y 2z100 song song với Biết A(1; ;1) điểm nằm hai mặt phẳng  P  Q Gọi  S mặt cầu qua A tiếp xúc với hai mặt phẳng  P  Q Biết  S thay đổi tâm ln nằm đường trịn Tính bán kính r đường trịn

A

3

r B 2

3

r C

3

r D

3

r

Câu 52: (Chuyên Vinh Lần 2) Trong không gian cho mặt cầu điểm Từ kẻ tiếp tuyến đến với tiếp điểm thuộc đường trịn Từ điểm di động nằm ngồi nằm mặt phẳng chứa , kẻ tiếp tuyến đến với tiếp điểm thuộc đường tròn Biết có bán kính ln thuộc đường trịn cố định Tính bán kính đường trịn

A B C D

Câu 53: (Chun Vinh Lần 2) Trong khơng gian cho hình cầu có tâm , bán kính Một điểm cố định nằm ngồi hình cầu cho Từ kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tròn Trên mặt phẳng chứa đường tròn ta lấy điểm thay đổi nằm mặt cầu Từ ta kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tròn Biết hai đường trịn ln có bán kính Hỏi điểm di chuyển đường trịn có bán kính bao nhiêu?

, Oxyz

    2  2 2

: 2  4  6 24

S x y z A2; 0; 2  A  S

  M  S

   S  

    M r

6



r r3 10 r3 r3

 S O R

S SOkR k 1 S

 C1  P  C1

E  S E

 C2  C1  C2

A B

C D

Câu 54: (Chuyên Vinh Lần 2) Trong không gian cho mặt cầu có phương trình Từ điểm ta kẻ tiếp tuyến đến với tiếp điểm thuộc đường tròn Từ điểm di động nằm nằm mặt phẳng chứa , kẻ tiếp tuyến đến với tiếp điểm thuộc đường tròn Biết có bán kính ln thuộc đường trịn cố định Tính chiều dài quảng đường di chuyển vịng theo chiều đường trịn

A B

C D

Câu 55: (Chuyên Thái Nguyên) Trong không gian Oxyz, mặt cầu  S qua điểm A2; 2; 5  tiếp xúc với ba mặt phẳng  P :x1, Q :y 1  R :z1 có bán kính

A 3 B 1 C 2 3. D 3

Câu 56: (Văn Giang Hưng Yên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1; 0; 2, B3;1; 4,

3; 2;1

C  Tìm tọa độ điểm S, biết SA vng góc với ABC, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

S ABC có bán kính 11

2 S có cao độ âm

A S4; 6; 4  B S4; 6; 4   C S4;6; 4  D S  4; 6; 4 Câu 57:

(Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z32 25 M4; 6; 3 Qua M kẻ tia Mx, My, Mz đôi vng góc với cắt mặt cầu điểm thứ hai tương ứng A, B, C Biết mặt phẳng

ABC qua điểm cố định H a b c ; ;  Tính a3bc

A 9 B 14 C 11 D 20

4

   k

R R

k

4

   k

R R

k

1

   k

R R

k

2

   k

R R

k

 S 2

1

  

x y z

2019; 0; 0

A  S  

M  S    S

      M

l M 2019

4 2019

2019 

 

l l2019

8152722



GTLN, GTNN TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ

A - LÝ THUYẾT CHUNG

Để tìm cực trị khơng gian thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A x( A; yA; zA), (B xB; yB; zB) mặt phẳng ( ) :P axbyczd 0 Tìm điểm M ( )P cho

1 MA MB nhỏ

2 MA MB lớn với d A( , ( ))P  d B( , ( )).P

Phương pháp:

 Xét vị trí tương đối điểm A B, so với mặt phẳng ( ).P

 Nếu (axAbyAczAd ax)( BbyBczBd)0 hai điểm A B, phía với mặt phẳng ( ).P  Nếu (axAbyAczAd ax)( BbyBczBd)0 hai điểm A B, nằm khác phía với mặt phẳng ( ).P

1 MA MB nhỏ

 Trường hợp 1: Hai điểm A B, khác phía so với mặt phẳng ( ).P

Vì A B, khác phía so với mặt phẳng ( )P nên MA MB nhỏ

( )

M  P AB

 Trường hợp 2: Hai điểm A B, phía so với mặt phẳng

Gọi A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( ),P A' B khác phía ( )P MAMA nên

MA MB MAMBA B

Vậy MA MB nhỏ A B M  A B ( ).P 2 MA MB lớn

 Trường hợp 1: Hai điểm A B, phía so với mặt phẳng ( )P

Vì A B, phía so với mặt phẳng ( )P nên MA MB lớn M ( )P AB  Trường hợp 2: Hai điểm A B, khác phía so với mặt phẳng ( )P

Gọi A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( )P , A' B phía ( )P MAMA nên MA MB  MAMB  A B

Vậy MA MB lớn A B M  A B ( ).P Bài tốn 2: Lập phương trình mặt phẳng ( )P biết

1 ( )P qua đường thẳng  khoảng cách từ A đến ( )P lớn 2 ( )P qua  tạo với mặt phẳng ( )Q góc nhỏ

3 ( )P qua  tạo với đường thẳng d góc lớn

Phương pháp:

Cách 1: Dùng phương pháp đại số

1 Giả sử đường thẳng 1

:x x y y z z

a b c

  

   A x y z( ;0 0; 0) Khi phương trình ( )P có dạng: A x( x1)B y( y1)C z( z1)0 Trong Aa Bb Cc A bB cC

a 

      (a0) (1)

AB (P)

Khi 1

2 2

( ) ( ) ( )

( , ( )) A x x B y y C z z

d A P

A B C

    



 

(2) Thay (1) vào (2) đặt t B

C

 , ta đươc d A P( , ( )) f t( ) Trong

2 ( )

' ' '

mt nt p

f t

m t n t p   

  , khảo sát hàm f t( ) ta tìm max f t( ) Từ suy biểu diễn A B, qua C cho C giá trị ta tìm A B,

2 làm tương tự Cách 2: Dùng hình học

1 Gọi K H, hình chiếu A lên  ( )P , ta có: ( , ( ))

d A P  AH  AK, mà AK không đổi Do d A P( , ( )) lớn HK Hay ( )P mặt phẳng qua K, nhận AK làm VTPT

2 Nếu  ( )Q ( ), ( )P Q 900 nên ta xét  (Q) khơng vng góc với

 Gọi B điểm thuộc , dựng đường thẳng qua B vng góc với ( )Q Lấy điểm C cố định đường thẳng Hạ CH ( ),P CK d Góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )Q BCH Ta có sinBCH BH BK

BC BC

 

Mà BK

BC không đổi, nên 

BCH nhỏ H K

 Mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng chứa  vng góc với mặt phẳng (BCK) Suy

, ,

P Q

n u u n 

 

   

VTPT ( )P

3 Gọi M điểm thuộc , dựng đường thẳng d' qua M song song với d Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ AH ( ),P AK d Góc mặt phẳng ( )P đường thẳng d'

AMH Ta có cos HM KM . AMH

AM AM

 

Mà KM

AM không đổi, nên

AMH lớn HK.

 Mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng chứa  vng góc với mặt phẳng ( ',d   Suy '

, ,

P d

n u u u 

 

 

   

VTPT ( )P B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1: MIN, MAX VỚI MẶT PHẲNG CHẮN

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 2;1 Mặt phẳng  P thay đổi qua M cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện

OABC

A 54 B 6 C 9 D 18

Câu 2: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm với Giả sử

thay đổi thỏa mãn khơng đổi Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn

A B C D

 ; 0; , 0; ; , 0; 0; 

A a B b C c a b c, , 0 a b c, ,

2 2

a b c k

3

k

6

k

3

Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm , cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ

A B C D

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc tọa độ, B a( ; 0; 0),D(0; ; 0),a A(0; 0; )b với (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giả sử ab4, tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện A BDM ?

A max 64

27 A MBD

V   B maxVA MBD 1

C max 64

27 A MBD

V    D max 27

64 A MBD

V  

DẠNG 2: MIN, MAX VỚI PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG

Câu 1: (Thị Xã Quảng Trị) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A0;1;2, B1;1;1, C2 ; ;3  mặt phẳng  P :xy  z Gọi M a b c ; ;  điểm thuộc mặt phẳng  P thỏa mãn

MA MB MC    

đạt giá trị nhỏ Giá trị a2b3c

A 7 B 5 C 3 D 2

Câu 2: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Trong hệ trục Oxyz, cho điểm A1; 3;5 , B2; 6; , 

 4; 12;5

C mặt phẳng  P :x2y2z 5 Gọi M điểm di động  P Gía trị nhỏ biểu thức S    MA MB MC

A 42 B 14 C 14 D 14

3

Câu 3: (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B( 1; 2; 0) ,C(3; 1; 2) M điểm thuộc mặt phẳng

  : 2x y 2z 7 Tính giá trị nhỏ P 3MA5MB7MC

A Pmin 20 B Pmin 5 C Pmin 25 D Pmin 27

Câu 4: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; ; 2, B3; 1; 2  , C4 ; ; 3 Tìm tọa độ điểm I mặt phẳng Oxz cho biểu thức IA2IB5IC đạt giá trị nhỏ

A 37; ;19

4

I 

  B

27 21

; ;

4

I 

  C

37 23

; ;

4

I  

  D

25 19

; ;

4

I  

 

Câu 5: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho A0 ; 1; 1, B2 ; 1; 1 ,

4 ; 1; 1

C

 P :xy z 60 Xét điểm M a b c ; ;  thuộc mp P  cho MA2MB MC đạt giá trị nhỏ Giá trị 2a4b c bằng:

A 6 B 12 C 7 D5

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc cho nhỏ nhất?

M(9;1;1)

  1

7 3

x y z

  1

27 3

x y z

  

27 3

x y z

   1

27 3

x y z

,

Oxyz A1; 0; ;  B0; 1; 2 

A B

C D 2; 11 18;

5 5

M  

 

Câu 7: Cho hai điểm A1, 3, ;  B9, 4,9 mặt phẳng  P : 2x   y z Điểm M thuộc (P) Tính GTNN AMBM

A B C D

Câu 8: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho A4;5;6 ; B1;1;2, M điểm di động mặt phẳng  P :2x y2z 1

Khi MA MB nhận giá trị lớn là?

A 77 B 41 C 7 D 85

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình –x y  z hai điểm M3;1; , N9; 4;9  Tìm điểm I a b c ; ;  thuộc mặt phẳng (P) cho

đạt giá trị lớn Biết a b c, , thỏa mãn điều kiện:

A B C D

Câu 10: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho mặt phẳng Tìm tọa độ điểm cho đạt giá trị lớn

A B C D

Câu 11: (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ (Oxyz) cho ba điểm A(1; 0; 3); B( 3;1; 3) ; C(1; 5;1) Gọi M x y z( ;o o; )o thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho biểu thức T2 MA  MBMC có giá trị nhỏ Khi tính giá trị xoyo ?

A

5 o o

x y   B

5 o o

x y  C xo yo D xo yo

Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A1;3;5 , B2; 6; ,  C 4; 12;5 điểm  P :x2y2z 5 Gọi M điểm thuộc  P cho biểu thứcS  MA4MB    MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tìm hồnh độ điểm M

A xM 3 B xM  1 C xM 1 D xM  3

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1; 1 , B0; 3;1 mặt phẳng  P :xy  z Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P cho 2MA MB  có giá trị nhỏ A M 4; 1;0 B M 1; 4;0 C M4;1; 0 D M1; 4; 0 

Câu 14: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 2;0;1

A , B2;8;3 điểm M a b c ; ;  di động mặt phẳng Oxy Khi MAMB đạt giá trị nhỏ giá trị a b 3c

A 2 B 3 C 5 D 4

2; 2; 9

M 6; 18 25;

11 11 11 M   

 

7 31

; ;

6

M  

 

6 204 7274 31434

6

 2004 726

3 

3 26

IMIN 21

a b c   a  b c 14 a b c  5 a b c  19 Oxyz A1;1;0 , B3; 1; 4 

  :xy  z M  MAMB

1;3; 1

M  5; ;

4

M  

 

1 2

; ;

3 3

M  

Câu 15: (HKII Kim Liên 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho hai điểm  3;5; , 5; 3;7

A   B  mặt phẳng  P :xy z Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng  P cho MA22MB2 lớn

A M2;1;1 B M2; 1;1  C M6; 18;12  D M6;18;12 Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B5; 4; 4 mặt phẳng

 P : 2xy–z 6 Tọa độ điểm M nằm (P) saocho MA2MB2 nhỏ là: A 1;3; 2 B 2;1; 11  C 1;1;5  D 1; 1;   Câu 17: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x   y z 0,A8; 7; ,  B1; 2;  

Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P cho MA22MB2 nhỏ

A M0; 0; 1  B M0; 0;1 C M1;0;1 D M0;1;0

Câu 18: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 4) ,

( 3; 3; 1)

B   mặt phẳng( ); 2P x y2z80 Xét Mlà điểm thay đổi thuộc ( )P , giá trị nhỏ

nhất 2

2M A 3M B

A 145 B 108 C 105 D 135

Câu 19: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A2;1; 3, B1; 1; 2 , C3; 6;1  Điểm M x y z ; ;  thuộc mặt phẳng

Oyz

cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P  x y z

A P0 B P2 C P6 D P 2

Câu 20: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A1;01;1 , B1; 2;1 , C4;1; 2  mặt phẳng  P :xy z Tìm (P) điểm M cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Khi M có tọa độ

A M1;1; 1  B M1;1;1 C M1; 2; 1  D M1; 0; 1 

Câu 21: (Cẩm Giàng) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A10; 5;8 , B2;1; 1 , C2;3; 0và mặt phẳng  P :x2y2z 9 Xét M điểm thay đổi  P cho MA22MB23MC2 đạt giá trị nhỏ Tính MA22MB23MC2

A 54 B 282 C 256 D 328

Câu 22: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A1; 4; 5, B0; 3;1, 2; 1; 0

C  mặt phẳng  P : 3x3y2z150 Gọi M a b c ; ;  điểm thuộc mặt phẳng

 P cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến A, B, C nhỏ Tính a b c

A 5 B 5 C 3 D 3

Câu 23: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P :3x   y z hai điểm A1; 0; 2, B2; 1; 4  Tập hợp điểm

M nằm mặt phẳng  P cho tam giác MAB có diện tích nhỏ

A 7

3

x y z

x y z

    



    

. B 14

3

x y z

x y z

    



    

C 7

3

x y z

x y z

    



   



D

3

x y z

x y z

    



    

Câu 24: (Ba Đình Lần2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 mặt cầu  S :x2y2z22x4y2z 5 Giả sử M P N S cho MN phương với vectơ u1;0;1 khoảng cách M N lớn Tính MN

A MN 3 B MN 1 2 C MN 3 D MN 14

Câu 25: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 3; 4, B3;1; 0 Gọi M điểm mặt phẳng Oxz cho tổng khoảng cách từ M đến A B ngắn Tìm hồnh độ x0 điểm M

A x0 4 B x0 3 C x0 2 D x0 1

Câu 26: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

, cho điểm mặt phẳng

Tìm giá trị lớn khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P

A B C D

Câu 27: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho hai điểm , Giả sử điểm thay đổi mặt phẳng Tìm giá trị lớn biểu thức

A B C D

Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Cho mặt phẳng hai điểm Biết

cho đạt giá trị nhỏ Khi đó, hồnh độ điểm

A B C D

Câu 29: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Trong không gian Oxyz, cho điểm M1; 2; 3 Mặt phẳng  P :xAyBz C 0 chứa trục Oz cách điểm M khoảng lớn nhất, tổng

ABC

A 6 B 3 C 3 D 2

Câu 30: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a b c ; ;  với a, b, c số thực dương thỏa mãn  2 2  

5 a b c 9 ab2bcca

 3

2

1

 

  

a Q

b c a b c có giá trị lớn Gọi M , N, P hình chiếu vng góc A lên tia Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng MNP

A x4y4z120 B 3x12y12z 1 C x4y4z0 D 3x12y12z 1

Câu 31: (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(1; 2;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , cho 12  12  12

OA OB OC đạt giá trị nhỏ

A ( ) :P x2y3z 8 B ( ) :   1

y

x z

P

C ( ) :P x y z   4 D ( ) :P x2y z  6 3; 2; 4

A 

       

: 1

P m  m x m  m y m zm  

5 29 33 21

Oxyz A1; 2; 3 B4; 4;5 M

( ) : 2P x2y z 20190

P AM BM

17 77 23 82 5

  :x y 2z 1 A0; 1;1 ,  B1;1; 2   

M  MA MB xM M

1 M

x  xM  1 xM  2

7 M

Câu 32: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A1;1;1 , B2; 3; 4 , C3; 2; 4 , D  2; 1; 3 Mặt phẳng  P thay đổi qua D không cắt cạnh tam giác ABC Khi tổng khoảng cách từ A, B, C đến  P lớn  P có phương trình dạng axbycz290 Tính tổng abc

A 9 B 5 C 13 D 14

Câu 33: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), ( 2;3; 4)

B  C( 2;5;1) Điểm M a b( ; ; 0) thuộc mặt phẳng Oxy cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Tổng T a2b2

A T 10 B T 25 C T 13 D T17

Câu 34: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), ( 2;3; 4)

B  C( 2;5;1) Điểm M a b( ; ; 0) thuộc mặt phẳng Oxy cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Tổng T a2b2

A T 10 B T 25 C T 13 D T17

Câu 35: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A2;0;6, B2; 4;0 C0; 4;6 Biết M điểm để biểu thức MA MB MC  MO đạt giá trị nhỏ nhất, phương trình đường thẳng  qua hai điểm H3; 0; 1 và M

A :

2

x y z

  

 B

3

:

1

x y z

  

C :

1

x y z

  

 D

3

:

1

x y z

  

 

Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3; 2; 2 , B2; 2;0 mặt phẳng  P : 2x y 2z 3 Xét điểm M ,N di động  P cho MN1 Giá trị nhỏ biểu thức 2MA23NB2

A 49,8 B 45 C 53 D 55,8

Câu 37: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P mx: m1y z 2m 1 0, với m tham số Gọi  T tập hợp điểm Hm hình chiếu vng góc điểm H3;3;0  P Gọi a b, khoảng cách lớn nhất, khoảng cách nhỏ từ O đến điểm thuộc  T Khi đó, a b

A 5 B 3 C 8 D 4

Câu 38: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyzcho A4; 2; 6 , B2; 4; 2,  :

M  x y z  choMA MB  nhỏ Tọa độ M A 29 58 5; ;

13 13 13

 

 

  B 4;3;1  C 1;3;  D

37 56 68

; ;

3 3



 

 

 

Câu 39: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có tọa độ điểm A1;1;1, B2; 0; 2 C 1; 1;0,D0;3; 4 Trên cạnh

AB, AC, AD lấy điểm B, C, D cho   4

  

AB AC AD

AB AC AD tứ diện

  

AB C D tích nhỏ Phương trình mặt phẳng B C D  

C 16x40y44z390 D 16x40y44z390

DẠNG 3: MIN, MAX VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1: (Nguyễn Du số lần3) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y

d     z hai điểm A4;3; 0,B1;9;3 Điểm M a b c ; ;  nằm d cho MAMB nhỏ Khi đó, tổng a b c thuộc khoảng đây:

A 9;10  B 4;5  C 2;3  D 7;8 

Câu 2: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho hai điểm 2 ; 2;4

A  , B3;3; 1 và đường thẳng :

2 1

x y z

d    

  Xét M điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ 2MA23MB2bằng

A 14 B 160 C 4 10 D 18

Câu 3: Cho đường thẳng Tìm tọa độ điểm thuộc

sao cho đạt giá trị nhỏ

A B C D

Câu 4: Cho đường thẳng hai điểm Biết điểm

thuộc cho biểu thức đạt giá trị lớn Khi tổng bằng:

A B C D

Câu 5: Cho đường thẳng hai điểm Biết điểm thuộc

cho biểu thức đạt giá trị lớn Khi đó, bao nhiêu?

A B C D

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A2;5;3, đường thẳng

1

:

2

 

 

x y z

d Biết phương trình mặt phẳng  P chứa d cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P lớn nhất, có dạng ax by cz   3 0(với a b c, , số nguyên) Khi tổng T a b c

A 3 B 3 C 2 D 5

1

:

1

x y z

  

 A(1;1; 0), B(3; 1; 4). M 

MA MB ( 1;1; 2)

M   1; 1;1

2

M  

 

3 ; ; 2 M  

 

(1; 1; 2)

M 

1

:

1

x y z

  

 A(1;1; 0), B( 1; 0;1).

( ; ; )

M a b c  T  MAMB a b c 

8 8 33 33

3

 33

3 

:

1 1

x y z

   A(0;1; 3), B( 1; 0; 2). M 

T  MA MB Tmax Tmax

max

Câu 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) :P y 1 0, đường thẳng

1

:

1 x

y t

z   

      

hai điểm

 1; 3;11

A   , 1; 0;8

2 B 

  Hai điểm M N, thuộc mặt phẳng ( )P cho d M( ; ) 2

NA NB Tìm giá trị nhỏ đoạn MN

A MNmin 1 B MNmin  C min 2

MN  D min

3

MN 

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng hai điểm

và Biết điểm thuộc nhỏ nhất.Tìm

A B C D

Câu 9: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 3

1

x y z

d      hai điểm A2; 0; 3, B2; 2; 3   Biết điểm M x y z 0; 0; 0 thuộc d thỏa mãn PMA4MB4MA MB2 nhỏ Tìm y0

A y0 3 B y0 2 C y0 1 D y0  1

Câu 10: (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A2; 1; 2   đường thẳng  d có phương trình 1

1 1

x y z

 

 Gọi  P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng  d khoảng cách từ d tới mặt phẳng  P lớn Khi mặt phẳng  P vng góc với mặt phẳng sau đây?

A x  y B x3y2z100 C x2y3z 1 D 3x z 20

Câu 11: (TTHT Lần 4)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A1; 2; 3  đường thẳng :

2

x y z

d    

 Tìm vectơ phương u 

đường thẳng  qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé

A u2; 2; 1  B u1; 7; 1  C u1; 0; 2 D u3; 4; 4 

Câu 12: (TTHT Lần 4)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3; 1; 0  đường thẳng

2 1

:

1

x y z

d     

 Mặt phẳng   chứa d cho khoảng cách từ A đến   lớn có phương trình

A x   y z B x  y z

C xy  z D  x 2y  z

Oxyz  

x t y t t z t

2

:

3

   

     

  



 

A 2;0;3 B 2; 2; 3    M x y z 0; ;0 0  MA4 MB4 x0

Câu 13: (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3;0;1, B1; 1;3  mặt phẳng  P :x2y2z 5 Viết phương trình tắc đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng  P cho khoảng cách từ B đến d nhỏ

A :

26 11

x y z

d    

 B

3

:

26 11

x y z

d    

 .

C :

26 11

x y z

d     D :

26 11

x y z

d    

 

Câu 14: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

1

1

x t

y t

z t

   

      

điểm A1; 2;3 Mặt phẳng  P chứa d cho d A P ,  lớn Khi tọa độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P A 1;1;1  B 1; 2;3  C 1; 1;1  D 0;1;1 

Câu 15: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) :P x2y2z 1 0, ( ) :Q xmy(m1)z20190 Khi hai mặt phẳng  P ,  Q tạo với góc nhỏ mặt phẳng  Q qua điểm M sau đây?

A M2019; 1;1  B M0; 2019; 0  C M2019;1;1 D M0; 0; 2019  Câu 16: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

:

1

x y z

d    



2

:

2

x y z

d    

 Phương trình mặt phẳng  P chứa  d1 cho góc  P đường thẳng  d2 lớn là: ax y czd0 Giá trị biểu thức

T   a c d

A T 0 B T 3 C 13

4  

T D T  6

Câu 17: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi ( )P mặt phẳng chứa đường thẳng :

1

x y z

d    

  tạo với trục Oy góc có số đo lớn Điểm sau thuộc mặt phẳng ( )P

A E( 3; 0; 4) B M(3; 0; 2) C N( 1; 2; 1)   D F(1; 2;1)

Câu 18: (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có đường phân giác góc A song song với đường thẳng  

2

:

4 x

d y t

z t

  

   

   

Đường thẳng AC có véctơ phương u11; 2; 1  Biết đường thẳng AB có véctơ phương u2 a b c; ;  với a b c, ,  Biểu thức Pa2b2c2 có giá trị nhỏ

Câu 19: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A2; 2;1 ,  B1; 2; 3  đường thẳng :

2

x y z

  

 Tìm véctơ phương đường thẳng d qua A vng góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm B khoảng cách bé

A u2 ; ; 1  B u1; 0; 2 C u2;1; 6 D u25; 29; 6   Câu 20: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho đường

thẳng :

1

x y z

d    

 điểm A2;1; 2 Gọi  đường thẳng qua A, vng góc với d đồng thời khoảng cách d  lớn Biết v( ; ; 4)a b



véc- tơ phương  Tính giá trị a b

A 2 B 8 C 2 D 4

Câu 21: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x   y z điểm A1; 2; 2 Gọi M giao điểm mặt phẳng  P trục oy Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng  P , qua M cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d có giá trị lớn

A :

1 1

x y z

d   

  B

3

:

1

x y z

d   



C :

2

x y z

d   

  D

3

:

1

x y z

d   



Câu 22: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gianOxyz, cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

  

  Hai

điểm M N, lần lượt di động mặt phẳng   : x2,   : z2 cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng Δ Giá trị nhỏ độ dài MN

A 8

5 B

4

5 C

3

5 D

9 5

Câu 23: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1; 4; ,  1; 2; 4

A B  đường thẳng :

1

x y z

d    

 Viết phương trình đường thẳng  qua A cắt d cho khoảng cách từ B đến  nhỏ

A

1 15 18 19

x t

y t

z t

   

  

   

B

1

x t

y t

z t

   

  

   

C

1

x t

y t

z t

   

  

   

D

1 15 18 19

x t

y t

z t

   

  

   

Câu 24: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 2; 3 ,  2; 2;1

A 2 2 x t y t z t              B 2 2 x t y t z t             

C

2 2 x t y z t             D 2 x t y t z            

Câu 25: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho mặt phẳng , điểm đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng qua song song với cho khoảng cách lớn

A B C D

Câu 26: (Chuyên KHTN lần2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d    

 hai điểm A1; 2;3 ; B 1;0; 2 Phương trình đường thẳng  qua B, cắt d cho khoảng cách từ A đến  đạt giá trị lớn

A

3

x y z

  B

3

x y z

   

C

1 1

x y z

 

  D

1

8 14

x y z

 

 

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M3;1;1, N4;3; 4 đường thẳng

7

:

1

x y z

  

 Gọi I a b c ; ;  điểm thuộc đường thẳng  cho chu vi tam giác IMN nhỏ Tính T   a b c

A 23

T  B T 29 C T 19 D 40

3 T 

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M( 2; 2;1)  , A(1; 2; 3) đường thẳng

1

:

2

x y z

d    

 Gọi  đường thẳngqua M , vnggóc với đường thẳng d, đồng thờicách A mộtkhoảngbénhất.Khoảngcáchbénhấtđólà

A 29 B 6 C 5 D 34

9 Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d     

  Gọi   mặt phẳng chứa đường thẳng dvà tạo với mặt phẳng Oxymột góc nhỏ Khoảng cách từ M0;3; 4  đến mặt phẳng  

A 30 B 2 C 20 D 35

Câu 30: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 1) , B(7; 2; 3) đường thẳng d có phương trình

1 2

3 2

x y z

 

 Điểm I thuộc d cho AI BI nhỏ Hoành độ điểm I

Oxyz  P :xy  z A1; 1; 2 

1

:

2

x y z

  

 d A  P

d 

1 40

: 29

2 69

x t

d y t

z t             40

: 29

2 11

x t

d y t

z t            

:

2

x t

d y t

z t             21

: 10

2 31

x t

d y t

A 2 B 0 C 4 D 1 Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

4

:

0

x t

d y t

z   



  

  

Gọi A hình chiếu vng góc O d Điểm M di động tia Oz, điểm N di động đường thẳng d cho MN OMAN Gọi I trung điểm đoạn thẳng OA Trong trường hợp diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất, véctơ pháp tuyến mặt phẳng M d,  có tọa độ

A 4; 3;5  B 4; 3;10  C 4; 3; 10  D 4; 3;10 10  Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 2; , B2; 4; ,  C0; 2; 8  mặt phẳng

 P :x  y z Xét điểm M thuộc mặt phẳng  P cho AMB90, đoạn thẳng CM có độ dài lớn

A 2 15 B 2 17 C 8 D 9

Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

2 1

x y z

d      điểm A6;3; 2 , 1; 0; 1

B  Gọi  đường thẳng qua B, vng góc với d thỏa mãn khoảng cách từ A đến  nhỏ Một vectơ phương  có tọa độ

A 1;1; 3  B 1; 1; 1   C 1; 2; 4  D 2; 1; 3  

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 4;3 mặt phẳng  P : 2y z Biết điểm Bthuộc mặt phẳng  P , điểm C thuộc Oxy cho chu vi tam giác ABC nhỏ Hỏi giá trị nhỏ

A 4 B 6 C 2 D

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; ;3; 4 , đường thẳng :

2

x y z

d     mặt cầu

  S : x32y22z12  20 Mặt phẳng  P chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến  P lớn Mặt cầu  S cắt  P theo đường trịn có bán kính

A B 1 C 4 D 2

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0; 1;1 ,   B 3; 0;-1 ,   C 0; 21; -19   mặt cầu   S : x12y12z12 1 M a b c ; ;  điểm thuộc mặt cầu  S cho biểu thức T 3MA22MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Tính tổng a b c

A 14

5

a b c   B a  b c C 12

5

a b c   D a  b c 12 Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A2; 2; 2  điểm B3; 3;3 

Điểm M thay đổi không gian thỏa mãn MA

MB Điểm N a b c ; ;  thuộc mặt phẳng  P : x 2y2z 6 cho MN nhỏ Tính tổng T   a b c

Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A0; 1; 2 , B1;1; 2 đường thẳng : 1

1 1

x y z

d    

Biết M a b c ; ;  thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Khi đó, giá trị T a2b3c bằng:

A 5 B 3 C 4 D 10

Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A0; 1; 2 , B1;1; 2 đường thẳng : 1

1 1

x y z

d    

Biết M a b c ; ;  thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB có diện tích

6 Khi đó, giá trị T a2b3c bằng:

A 5 B 3 C 4 D 10

Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A0; 1; 2 , B1;1; 2 đường thẳng : 1

1 1

x y z

d    

Có điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB có diện tích

A 0 B 1 C 2 D Vô số

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;5; , B3;3; 6 đường thẳng  có phương trình tham số

1 2

x t

y t

z t

   

      

Một điểm M thay đổi đường thẳng  cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi tam giác ABC

A M1;0; ; P = 2( 11 29) B M1; 2; ; P = 2( 11 29) C M1;0; ; P = 11 29 D M1; 2; ; P = 11 29

Câu 42: (SỞ LÀO CAI 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1; 5; 0, B3; 3; 6 đường

thẳng : 1

2

x y z

d    

 Điểm M a b c ; ;  thuộc đường thẳng d cho chu vi tam giác

M A B nhỏ Khi biểu thức a2b3c

A 5 B 7 C 9 D 3

Câu 43: (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có

 1;1; 6

A  , B 3; 2; 4 , C1; 2; 1 , D2; 2; 0  Điểm M a b c ; ;  thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Tính a b c 

A 1 B 2 C 3 D 0

Câu 44: Trong không gian Oxyz cho điểm , , , Gọi M

một điểm nằm đường thẳng CD cho tam giác MAB có chu vi bé Khi toạ độ điểm M là:

A B C D

2;3; 2

A B6; 1; 2   C 1; 4;3 D1; 6; 5 

0;1; 1

DẠNG 4: MIN, MAX VỚI MẶT CẦU

Câu (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0; 4), (3;2;6), (3; 2;6).B C  Gọi M điểm di động mặt cầu ( ) :S x2y2z2 4 Giá trị nhỏ biểu thức

MA MB MC 

A 2 34 B 6 C 4 10 D 2 29

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 mặt cầu   2

:

S x y z  x y z  Giả sử M P N S cho MN phương với véc tơ u1; 0;1 khoảng cách MN nhỏ Tính MN

A

2

MN  B MN1 C MN3 D MN 

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2

2

x y z

d      mặt cầu   2

:

S x y z  z  Giả sử Md N S cho MN phương với véc tơ 1; 0;1

u  khoảng cách MN nhỏ Tính MN

A MN2 B 17 34

6

MN  C 17 34

6

MN   D 17 17

6

MN  

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2

2

x y z

d      mặt cầu   2

:

S x y z  z  Giả sử Md N S cho MN phương với véc tơ 1; 0;1

u  khoảng cách MN lớn Tính MN

A MN4 B 17 34

6

MN  C 17 34

6

MN  D 17 17

6

MN  

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  P : 2x y 2z140 mặt cầu   2

:

S x y z  x y z  Điểm M P ,N S cho khoảng cách MN nhỏ Tính MN

A MN1 B MN3 C MN2 D MN4 Câu Các số thực a b c d e f, , , , , thỏa mãn

2 2

2

2 14

a b c a b c

d e f

       



   



Hỏi giá trị nhỏ biểu Pad2b e 2c f2 bao nhiêu?

Câu (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z22 4 mặt phẳng  P :xy2z 1 Gọi M điểm mặt cầu  S Khoảng cách từ M đến  P có giá trị nhỏ

A 4

3  B 0 C 62 D 2 2

Câu (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2xy2z140 mặt cầu

  2

:

S x y z  x y z  Gọi tọa độ điểm M a b c( ; ; ) thuộc mặt cầu  S cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P lớn Tính giá trị biểu thức K  a b c

A K 1 B K 2 C K  5 D K  2

Câu Trong không gian Oxyz cho mặt cầu   S : x12 y22z32 9 mặt phẳng  P : 2x2y  z Gọi M a b c ; ;  điểm mặt cầu  S cho khoảng cách từ M đến  P lớn Khi

A a  b c B a  b c C a  b c D a  b c

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B2; 3; 2  Gọi  S mặt cầu đường kính AB Ax tiếp tuyến  S A; By tiếp tuyến  S B AxBy Hai điểm M N, di động Ax By, cho MN tiếp tuyến  S Hỏi tứ diện

AMBN có diện tích tồn phần nhỏ là?

A 19 B 19 2 3 C 19 2  3 D 19 2  6

Câu 11 Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu  S :x2y2z2 11 Hỏi giá trị lớn biểu thức AB2BC2CA2DA2BD2CD2 là?

A 99 B 176 C 132 D 66

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a ; 0;0 , B0; ;b c C, 0; 0;c với

4, 5,

a b c mặt cầu  S có bán kính 10

2 ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng OA OB OC  đạt giá trị nhỏ mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng đây? A 2x2y 2z 6 20 B 2x 2y2z 7 2 0

C 2x2y2z 3 20 D 2x2y2z 3 20

Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ cho với

tiếp xúc với mặt cầu cố định có bán kính biết mặt cầu qua

Oxyz S0; 0;1 , M m ; 0;0 , N0; ; 0n  m n, 0

A B C D

Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với  ; 0; , 0; 1; , 0;0; 4

A m B m C m thỏa mãn BC AD CA, BD AB, CD điểm I a b c ; ;  tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính bán kính nhỏ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD A

2 B

14

2

C D 14

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 2;1 ,  B2; 4; 6 Điểm M di động AB N điểm thuộc tia OM cho OM ON 4 Biết N thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn

A 42

31

R B 31

42

R C 42

31

R D 31

42

R

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A m ; 0; 0, B0; ;0n , C0; 0; 2   ; ; 2

D m n 

, với m n, số thực thay đổi thỏa mãn 2m n 1 Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ là?

A 105

10 B

17

4 C

21

5 D

17

Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A m ; 0; , B0;1; , C0;0;n với m n, số thực thỏa mãn m n 2 Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là?

A B

2 C

3

2 D

2

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A m ; 0; , B0; ; ,n  C0; 0;1  ; ;1

D m n với m n, số thực thỏa mãn m n 2 Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là?

A B

2 C

3

2 D

5

Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A m ; 0; , B0;1; , C0;0;n với m n, só thực thỏa mãn m2n2 Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là?

A B

2 C

3

10 D

3

Câu 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A1, 0,1 , B3, 4, ,  C2, 2, 3

Đường thẳng d qua A, cắt mặt cầu đường kính AB AC điểm M N, không trùng với A cho đường gấp khúc BMNC có độ dài lớn có vector phương là? A u 1,0, 2 B u 1, 0,1 C u 1, 0, 1  D u2, 0, 1 

Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai mặt phẳng  P :x y 2z 1 0; Q : 2xy  z Gọi  S mặt cầu có tâm thuộc trục Ox, đồng thời  S cắt  P theo giao tuyến đường trịn có bán kính 2;  S cắt  Q theo giao tuyến đường tròn có bán kính r Tìm r cho có mặt cầu  S thỏa mãn điều kiện toán

A 10

r B

2

r C r D

2 r

Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có A B C, , giao điểm

mặt phẳng  :

1

x y z

P

mm m  với trục tọa độ Ox Oy Oz, , ; m0;1; 4  tham số thực thay đổi Điểm O D, nằm khác phía với mặt phẳng  P BC AD CA, BD,

ABCD Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ là? A

2 B

14

2 C D 14

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 mặt cầu   2

:

S x y z  x y z  Giả sử M P N S cho MN phương với véc tơ u1; 0;1 khoảng cách MN lớn Tính MN

A MN 3 B MN  1 2 C MN3 D MN14

Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; , B0; ; ,b  C0; 0;c với

4, 5,

a b c mặt cầu  S có bán kính 10

2 ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng OA OB OC  nhỏ mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng đây?

A 2x2y 2z63 0 B 2x2y2z 3 2 0 C 2x 2y2z72 0 D 2x2y2z 3 20

Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y12z12 4 mặt phẳng  P : 2 y2z 7 Gọi  Q mặt phẳng thay đổi qua A2;1;1 tiếp xúc với mặt cầu  S Hỏi góc nhỏ hai mặt phẳng    P , Q là?

A arccos2 10



B arccos 10



C arccos2 10



D arccos 10

Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A10; 2;1 , B3;1; 4 mặt cầu   S : x12y22z12 9 Điểm M di động mặt cầu  S Hỏi giá trị nhỏ biểu thức MA3MB là?

A 3 14 B 9 C 3 11 D 6

Câu 27 (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :

2

x y z

d   

 mặt cầu        

2 2

: 36

S x  y  z  Gọi  đường thẳng qua A2;1; 3, vng góc với đường thẳng d cắt  S hai điểm có khoảng cách lớn Khi đường thằng  có véctơ phương u1; ;a b Tính ab

A 4 B 2 C

2

 D 5

Câu 28 (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Trong không gian Oxyzcho mặt cầu   S : x22 y12 z12 9 điểm M a ; ; b c   S cho biểu thức

2

P a b c đạt giá trị nhỏ Tính T a b c

A 2 B 1 C 2 D 1

Câu 29 (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu   S : x42y22z42 1 Điểm M a b c ; ;  thuộc  S Tìm giá trị nhỏ

2 2

a b c

A 25 B 29 C 24 D 26

Câu 30 (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu    2  2

: 4

S x  y  y  Xét hai điểm M , N di động  S cho MN1 Giá trị nhỏ OM2ON2

A 10 B  4 C 5 D  6

Câu 31 (Chuyên KHTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm 8;5; 11 , 5;3; , 1; 2; 6

A  B  C  mặt

  S : x22y42z12 9 Gọi điểm M a b c ; ;  điểm  S cho MA MB MC 

  

đạt giá trị nhỏ Hãy tìm a b

A 6 B 2 C 4 D 9

Câu 32 (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho x, y, z, a, b, c số thực thay đổi thỏa mãn x32y22 z12 2 a b c  1 Giá trị nhỏ biểu thức

 2  2  2 P xa  y b  zc

Câu 33 (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S1 ,  S2 ,  S3 có bán kính r 1 có tâm điểm A0;3; 1 ,

 2;1; 1

B   , C4; 1; 1   Gọi  S mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu Mặt cầu  S có bán kính nhỏ bao nhiêu?

A R 10 B R 10 1 C R2 1 D R2

Câu 34 (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

4

:

3

x y z

  

 

2

:

1

x y z

   Trong tất mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 Gọi  S mặt cầu có bán kính nhỏ Bán kính mặt cầu  S

A 12 B C 24 D

Câu 35 (ĐH Vinh Lần 1) Cho mặt cầu hai điểm

Gọi điểm thuộc mặt mặt cầu Tính giá trị nhỏ biểu thức

A B C D

Câu 36 (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi điểm M a b c ; ; ( với a b c, , tối giản) thuộc mặt cầu   2

: 4

S x y z  x y z  cho biểu thức T 2a3b6c đạt giá trị lớn Khi giá trị biểu thức P2a b c 

A 12

7 B 8 C 6 D

51

Câu 37 (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2; 3; 2) , B( 2;1; 4) mặt cầu ( ) : (S x1)2y2(z4)2 12 Điểm M a b c( ; ; ) thuộc mặt cầu ( )S cho MA MB  nhỏ nhất, tính a b c 

A 7

3 B 4 C 1 D 4

Câu 38 (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2 ; ; 4 , B3; 3; 1 mặt cầu   S : x12y32z323 Xét điểm

M thay đổi thuộc mặt cầu  S , giá trị nhỏ 2MA2 3MB2

A 103 B 108 C 105 D 100

Câu 39 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu    2  2

:

S x  y z  điểm A3; 0; ; B4; 2;1 Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2MB

A P2 B P3 C P4 D P6 Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu        

2

2 2

: 1

4 m

m

S x  y  zm 

hai điểm A2;3; 5, B1; 2; 4 Tìm giá trị nhỏ m để Sm tồn điểm M cho MA2MB29

2 2

( ) : (S x1) (y4) z 8 A(3;0; 0), (4; 2;1)B

M ( ).S MA2MB

A m1 B m 3 C m 8 D m 

Câu 41 (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

2 2

1

( ) :S x y z 2x4y2z 2 (S2) :x2y2z22x4y2z 4 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm ( )S1 ; hai đỉnh C, D nằm (S2) Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn

A 3 B 2 C 6 D 6

Câu 42 (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Trong không gian Oxyz cho A 0; 0; 2  ,B1;1; 0 mặt cầu  : 2  12

4

S x y  z  Xét điểm Mthay đổi thuộc  S Giá trị nhỏ biểu thức MA +2MB bằng2

A 1

2 B

3

4 C

21

4 D

19

Câu 43 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A9; 6; 11, B 5; ; 2 điểm M di động mặt cầu   S : x12 y22 z32 36 Giá trị nhỏ M A2M B

A 105 B 2 26 C 2 29 D 102

Câu 44 Trong không gian Oxyz, cho điểm A0 ;1;9 mặt cầu   S : x32y42z42 25 Gọi  C giao tuyến  S với mặt phẳng Oxy Lấy hai điểm M N,  C cho

2

MN  Khi tứ diện OAMN tích lớn đường thẳng MN qua điểm số điểm đây?

A 5;5;  B 1; ;

 



 

  C

12

; 3;

 



 

  D  

4; 6;

Câu 45 Cho mặt cầu   S : x22y12z32 9 hai điểm A1 ; ; 3, B21 ; ; 13  Điểm M a ; ; b c thuộc mặt cầu  S cho 3MA2MB2 đạt giá trị nhỏ Khi giá trị biểu thức T a b c

A 3 B 8 C 6 D 18

Câu 46 (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;3; 3 , thuộc mặt phẳng   : 2x2y z 150 mặt cầu   S : x22y32z52 100 Gọi  đường thẳng qua A, nằm   cắt  S hai điểm B,C Để độ dài BC lớn  có phương trình

A : 3

1

x y z

   B : 3

16 11 10

x y z

  



C

3

:

3

x t

y

z t

   

   

    

D : 3

1

x y z

Câu 47 (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S có phương trình 2

4 2

x y z  x y z  điểm A5;3; 2  Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M N, Tính giá trị nhỏ biểu thức S  AM4AN

A Smin 30 B Smin 20 C Smin  343 D Smin 5 349 Câu 48 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z2 1 Điểm M nằm  S có tọa độ

dương, mặt phẳng  P tiếp xúc với  S M , cắt tia Ox Oy Oz, , điểmA B C, , Giá trị nhỏ biểu thức  2 2 2

1 1

T  OA OB OC

A 24 B 27 C 64 D 8

Câu 49 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :

2

x y z

d      mặt cầu  S :

x32y42z52 729 Cho biết điểm A  2; 2; 7, điểm B thuộc giao tuyến mặt cầu  S mặt phẳng  P : 2x3y4z1070 Khi điểm M di động đường thẳng

d giá trị nhỏ biểu thức M AM B

A 5 30 B 2 C 5 29 D 742

Câu 50 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2

( ) : (S x1) (y1)  (z 1) 6 tâm I Gọi ( ) mặt phẳng vng góc với đường thẳng :

1

x y z

d    

 cắt mặt cầu ( )S theo đường tròn

( )C cho khối nón có đỉnh I, đáy đường trịn ( )C tích lớn Biết ( ) khơng qua gốc tọa độ, gọi H x( H,yH,zH) tâm đường tròn ( )C Giá trị biểu thức

H H H

T x y z A 1

3 B

4

3 C

2

3 D

1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HHKG

A - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bước 1: Chọn hệ trục tọa

Xác định ba đường thẳng đồng quy đôi cắt sở có sẵn hình (như tam diện vng, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác …), dựa mặt phẳng vng góc dựng thêm đường phụ

Bước 2: Tọa độ hóa điểm hình khơng gian

Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết kết luận tốn Cơ sở tính tốn chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vng góc liệu tốn

Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích.

Lập phương trình đường, mặt liên quan Xác định tọa độ điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận Bước 4: Giải toán

Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải u cầu tốn hình khơng gian Chú ý cơng thức góc, khoảng cách, diện tích thể tích …

Cách chọn hệ tọa độ số hình khơng gian

Hình hộp lập phương – Hình hộp chữ nhật

Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho :

Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho:

,

Chú ý: Tam diện vng nửa hình hộp chữ nhật nên ta chọn hệ trục tọa độ tương tự hình hộp chữ nhật

Với hình hộp đứng có đáy hình thoi Chọn hệ trục tọa độ cho :

Gốc tọa độ trùng với giao điểm hai đường chéo hình thoi

Trục qua tâm đáy

Nếu

,

Chú ý: Với lăng trụ đứng có đáy tam giác cân ta chọn hệ tọa độ tương tự với gốc tọa độ trung điểm , trục qua trung điểm hai cạnh

Hình chóp đều

Oxyz

' ' ' ' ABCD A B C D (0; 0; 0),

A ( ; 0; 0),B a ( ; ; 0), (0; ; 0)C a a D a

'(0; 0; ), '( ; 0; ),

A a B a a C a a a'( ; ; ), '(0; ; )D a a

x

z

y

B' C'

D' A'

B A

D

C

(0; 0; 0), ( ; 0; 0), ( ; ; 0), (0; ; 0)

A B a C a b D b A'(0; 0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)c B a c C a b c b

' ' ' ' ABCD A B C D O

ABCD Oz

, , '

AC a BDb AA c

0; ; , ; 0; , 0; ;

2 2

a b a

A   B  C 

     

z

x

y O B'

C'

D' A'

B

A D

C

; 0; , ' 0; ; , ' ; 0;

2 2

b a b

D  A   c B  c

     

' 0; ; , ' ; 0;

2

a b

C  c D  c

   

' ' '

ABC A B C ABC B

AC BOx C, Oy Oz

1) Hình chóp tam giác , , ta chọn hệ tọa độ cho trung điểm ,

Khi

Hình chóp từ giác , , ta chọn hệ

tọa độ cho tâm đáy Khi đó:

,

Chú ý: Ngồi cách chọn hệ trục ta chọn hệ trục cách khác

Chẳng hạn với hình chóp tam giác ta chọn , trục qua song song với Hình chóp có

1) Nếu đáy hình chữ nhật ta chọn hệ trục cho

Nếu đáy hình thoi, ta chọn hệ trục cho tâm

đáy,

Chú ý: Cho hình chóp có

S ABC ABa, SH h

O BC AOx B, Oy

   

   

   

 

3

; 0; , 0; ; ,

2

a a

A B

 

 

  

   

   

3 0; ; , ; 0;

2

a a

C S h

y x

z

H O

A C

B S

S ABCD AB a, SH  h

O BOx C, Oy S, Oz

 



 

 

 

2 0; ; ,

2 a A

 

 

 

 

2

; 0; ,

a

B  

 

 

2 0; ;

2 a

C 2; 0; , 0; 0; 

a

D  S h

 

 

x y

z

O B

A

D

C S

H O Oy H BC

S ABCD SA (ABCD SA),  h

, , ,

AO BOx DOy SOz

x

y z

B

A

D

C S

O ,

BOx COy Oz/ /SA

x

y z

O B

A

D

C S

Nếu đáy tam giác vuông cách chọn hệ trục hồn tồn tương tự hình chóp có đáy hình chữ nhật

Nếu đáy tam giác cân ta chọn hệ trục tọa độ hình chóp có đáy hình thoi, gốc tọa độ trung điểm cạnh

Hình chóp có

Đường cao tam giác đường cao hình chóp Nếu tam giác vng , ta chọn hệ trục cho

Khi

Chú ý:

Nếu vuông ta chọn , vuông chọn Nếu tam giác cân , cân ta chọn

Tùy vào tốn mà thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình khơng gian tổng hợp kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải

Ví dụ 1: Cho hình chóp có đơi vng góc Điểm cố định thuộc

tam giác có khoảng cách đến , , Tính

để thể tích nhỏ Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:

Vì khoảng cách từ đến mặt phẳng , , nên Suy phương trình

Vì

(1).Thể tích khối chóp :

Từ

Vậy, đạt

 ABC A

S ABCD

 ABC B S ABCD

AC

S ABC (SAB)(ABC)

SH  h SAB

ABC A AB a AC, b

, , ,

AO BOy COx

/ /

Oz SH A0; 0; , B0; ; , ( ; 0; 0)a  C b 0; ; , (0; ; )

AH c H c S c h

z

y

x

A B

C S

H

 B BO C C O

 ASB S ABC C H O C, Ox B, Oy S, Oz

O ABC OA a OB,  b OC,  c M

ABC mp OBC  mp OCA  mp OAB  1, 2,

, ,

a b c O ABC

(0; 0; 0), ( ; 0; 0),

O A a B(0; ; 0),b C(0; 0; )c

M mp OBC  mp OCA 

 

mp OAB 1, 2, M1; 2; 3

(ABC) : x y z

a  b  c 

1

( )

M ABC

a b c

    

O ABC

x

y z

O M

A

B C

1 O ABC

V  abc

3

1 3

(1) 27

6abc

a b c a b c

      

minVOABC 27   

Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , , mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh Tính theo thể tích khối chóp tính cosin góc hai đường thẳng

Lời giải

Gọi hình chiếu lên

Ta có:

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm:

Ta có

Thể tích khối chóp : Vì

Vậy

Ví dụ 3: Trên tia góc tam diện vng lấy điểm cho Gọi đỉnh đối diện với hình chữ nhật trung điểm đoạn Mặt phẳng qua cắt mặt phẳng theo đường thẳng vuông góc với đường thẳng

1 Gọi giao điểm với đường thẳng Tính độ dài đoạn thẳng ;

2 Tính tỷ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Lời giải

S ABCD ABCD 2a SA a SB a

(SAB) M N, AB BC,

a S BMDN SM DN,

H S AB SH (ABCD)

2

2 2 ,

2

SA a a

SA SB AB SA SB AH SH

AB

       

x

y z

N M

B

A D

C S

H

0; 0; , 2 ; 0; , 0; ; , 2 ; ; , ; 0; , ; 0;

2 2

a a a

A B a D a C a a H  S 

 

   

 ; 0; , 2 ; ; 0

M a N a a

2 2

1

.2 2

2

ADM CDN BNDM

S  S  a a a  S  a  a  a

S BMDN

3

1 3

.2

3 BMDN 3

a a

V  SH S  a 

 

3

; 0; , ; ;

2

a a

SM    DN  a a  SM DN a

 

 

   

 

cos ,

5

SM DN a

SM DN

SM DN a a

  

 

, ,

Ox Oy Oz Oxyz A B C, ,

 ,  2,  ,

OA a OB a OC c ( ,a c0) D O AOBD M

BC ( ) A M, (OCD)

AM

E ( ) OC OE

C AOBD ( )

Chọn hệ trục tọa độ , cho:

1 Vì trung điểm nên

Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng

Gọi giao tuyến với , ta có

Vì nên véc tơ phương

Ta có nên phương trình mặt phẳng :

Do

2 Ta có

Mà nên

Do tỷ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp mặt phẳng (hay 2)

Khoảng cách cần tìm :

Ví dụ 4: Trong khơng gian , cho hình hộp chữ nhật có

1 Tìm tọa độ đỉnh hình hộp;

2 Tìm điểm đường thẳng cho

3 Tìm điểm thuộc , thuộc cho Từ tính khoảng cách hai đường thẳng chéo

Lời giải

Oxyz (0; 0; 0), ( ; 0; 0),

O A a B0; a 2; ,

 ; 2; , (0; 0; )

D a a C c

M BC

2 0; ;

2

a c

M 

 

 

 

 

(0; 0; ), ; 2;

OC c OD a a

 

 

  

 

 

; 2; ;

OC OD ac ac

z

x

y H

K M

G

I

D O

A

B C

E

F

(OCD)   



2; 1; OCD

n ( )

F   CD EF ( ) (OCD) EF  AM

2 ; ;

2

a c

AM   a 

 

 



, (1; 2; 0),

OCD

c

n AM

  

 

 

EF (1; 2; 0)

EF

u 



 

   

 

  1

, 2; ;

2 EF

u AM c c a ( )

2cxcy3 2azac 0

( ) 0; 0;

3

c c

Oz E OE

     

 

2 2

( ) ; ;

3 3

a a c CF

CD F

CD

     

 

 

2

COADB CAOD CBOD

V  V  V

1

2 2

CEAFM CAEF CMEF COADB CAOD CBOD

V V V CE CF CM CE CF

V V V CO CD CB CO CD

 

      

 

C AODB ( )

2

2 2 2

3 2 2 6

( , ( ))

2 18

ac ac ac

d C

c c a c a





 

  

Oxyz ABCD A B C D ' ' ' '

, , , '

AO BOx DOy A Oz AB 1, AD2, AA'

E DD' B E'  A C'

M A C' N BD MN  BD MN,  A C'

'

1 Ta có

Hình chiếu lên , hình chiếu lên nên

Hình chiếu lên mp trục điểm

nên

2 Vì thuộc đường thẳng nên , suy

Mà nên

Vậy

3 Đặt

Ta có , suy

Theo giả thiết để bài, ta có:

Mà , ,

Khi trở thành

Do

Vì đường vng góc chung hai đường thẳng

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân ; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) bẳng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a

Lời giải

Vì hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng nên suy (0; 0; 0), (1; 0; 0),

A B

(0; 2; 0),

D A'(0; 0; 3)

C (Oxy) C

C Oz A

1; 2; 0 C

', ', ' B C D (Oxy) Oz

, ,

B C D A'

 

' 1; 0; , '(1; 2; 3), '(0; 2; 3)

B C D

x

y z

B' C'

D' A'

B

A D

C

E DD' E0; 2;z B E'   1; 2;z3



 

' 1; 2;

A C  



' ' ' '

B E A C B E A C

 

 

1 z z

       

0; 2; 4 E

' ' ;

A M  x A C BN  y BD

   

 

' ' ' ' ; ; 3

AM  AA  A M  AA x A C  x x  x

    

 ; ; 3 

M x x  x

   

; ; ; ;

AN  ABBN  AB y BD y y  N  y y

    

'

MN A C MN BD

 

 

 



 

  ( )

1 ; 2 ; 3

MN  x y y x x



 

' 1; 2;

A C  



 1; 2; 0

BD 



 ( )

  

            

 

  

        

   

 

53

1 4 9 14 10 61

1 4 44

61 x

x y y x x x y

x y y x x y

y 53 106 24 17 88

; ; , ; ; 61 61 61 61 61

M  N 

   

MN A C BD' ,

 ' ,  1 2 (2 2 )2 (3 3)2 61 61

d A C BD  MN  x y  y x  x 

 

,

B AB BC a

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, đặt

Vì trung điểm cạnh

Tọa độ đỉnh là:

Suy

Do VTPT mặt phẳng VTPT mặt phẳng Theo giả thiết ta có:

Vì trung điểm nên

Từ suy thể tích khối chóp là:

Ta có:

Suy

Vậy

B - BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD; M, N hai điểm nằm hai cạnh BC, CD Đặt BM x, DN  y 0x y, a Hệ thức liên hệ x y để hai mặt phẳng SAM SMN vng góc với là:

A x2 a2 a x y B x22a2 a x y C 2x2a2 a x y D x2 a2 a x 2y

Câu 2: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HBHC, HBC30; góc mặt phẳng SHC mặt phẳng

HBC 60 Tính cơsin góc đường thẳng BC mặt phẳng SHC? ,

SA  x x

/ /

MN BC N AC

(0; 0; 0), (2 ; 0; 0),

B A a

0; ; , (2 ; 0; ),

C a S a x

 ; 0; ,  ; ; 0

M a N a a

z

y

x

N M

B

C

A S

2 ; 0; , 0; ; 0 ,  2 ; 0; 4 2

BS  a x BC  a  BS BC   ax a

 

   

 ; 0; 

n x  a



(SBC) (0; 0;1)

k 



(ABC)

0 2

2

1 2 1

cos 60 12

2

4

n k a

x a x a

n k x a

       



   

,

M N AB CB,

2

1 3

4

AMN ABC BMNC ABC a

S  S  S  S 

S BMNC

2

1

.2 3

3

S BMNC BMNC

a

V  SA S  a  a

2 ; 0; ,  ; ; ,  ; ; 0

BA a SN  a a a BN  a a

  

 2

, 0; ; ,

BA SN a a BA SN BN a

       

   

    

 ,  , 32 39

13 13

,

BA SN BN a a

d AB SN

a BA SN

 

 

  

 

 

A

2 B

13

4 C

3

4 D

1

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi G trọng tâm tam giác SAB M N, trung điểm SC SD, (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng GMN ABCD

A 2 39

13 B

13

13 C

2 39

39 D

3

Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC 60o, BC2a Gọi D điểm thỏa mãn 3SB2SD Hình chiếu S mặt phẳng ABC điểm H thuộc đoạn BC cho BC4BH Biết SA tạo với đáy góc o

60 Góc hai đường thẳng AD SC

A o

90 B o

30 C o

60 D o

45

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Lấy điểm M thuộc đoạn AD, điểm N thuộc đoạn BD cho AM DNx,

2 a x

 

 

 

 

 

Tìm x theo a để đoạn MN ngắn A

2 a

x B

3 a

x C

4 a

x D

3 a x

Câu 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA OB OCa Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AB OM

A a

B 2

3 a

C

3 a

D

2 a

Câu 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B m( ;0;0), D(0; ;0)m , A(0;0; )n với m n,  m n 4 Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn

A 75

32 B

245

108 C

9

4 D

64 27

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có độ dài cạnh Gọi M,N,P, Q trung điểm cạnh AB,BC,C D  DD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ

A

12 B

1

24 C

3

8 D

1

Câu 9: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cạnh a.M điển thỏa mãn

2

A 30

8 B

30

16 C

30

10 D

1

Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Một đường thẳng d qua đỉnh D tâm I mặt bên BCC B  Hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng BCC B  ABCDsao cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị bé độ dài đoạn thẳng MN

A a

B 3

10 a

C 2

5 a

D 2

5 a

Câu 11: Cho hình lập phương có cạnh Chứng minh hai đường chéo hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo

nhau

A a

B 2

3 a

C

3 a

D

2 a

Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng , có đáy

.Gọi trung điểm cạnh bên , biết hai mặt phẳng vng góc với Tính sin góc hai mặt phẳng A 14

8 B

5

3 C

5

28 D

5 14 28

Câu 13: Cho lăng trụ có độ dài cạnh bên , đáy tam giác vuông hình chiếu vng góc đỉnh mặt phẳng trung điểm cạnh Tính theo thể tích khối chóp

A

4 a

B

3

2 a

C

3

8 a

D

3

12 a

Câu 14: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông, , cạnh bên Gọi trung điểm cạnh Tính theo khoảng cách hai đường thẳng

A a

B

4 a

C

2 a

D

8 a

Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác có , góc đường thẳng mặt phẳng ; tam giác vng Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác Tính thể tích khối tứ diện

theo A

3 208

a

B

3

108 a

C

3 208

a

D

3 104

a

Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng Gọi trung điểm đoạn thẳng , giao điểm Tính theo thể tích khối tứ diện

A

9 a

B

3

9 a

C

3

9 a

D

3

3 a

Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác có , góc hai mặt phẳng Gọi trọng tâm tam giác Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo

' ' ' '

ABCD A B C D a B D' '

' A B

' '

B D A B'

' ' '

ABC A B C ABa AC,  ,a

 1200

BAC M BB' (MAC) (MA C' ')

(MAC) (BCC B' ')

' ' '

ABC A B C 2a ABC A,

,

AB a AC  a A' (ABC)

BC a A ABC'

' ' '

ABC A B C ABC AB BC a

'

AA  a M BC a

, ' AM B C

' ' '

ABC A B C BB' a BB'

(ABC) 600 ABC C BAC 600 '

B (ABC) ABC

'

A ABC a

' ' '

ABC A B C ABC

, , ’ , ’

B AB a AA  a A C a M A C' ' I

AM A C' a IABC

' ' '

ABC A B C ABa A BC' 

ABC 600 G A BC'

A a

B

4 a

C

2 a

D

8 a

Câu 18: Cho lăng trụ có đáy hình chữ nhật , Hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng trùng với giao điểm Góc hai mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

theo A

2 a

B

4 a

C

2 a

D

2 a

Câu 19: Cho hình tứ diện có cạnh vng góc với mặt phẳng ; ; Gọi trung điểm cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng

A 6 15

17 B

6 34

17 C

34

17 D

6 17

Câu 20: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, cạnh bên vng góc với đáy, , Gọi hình chiếu lên giao điểm với mặt phẳng Tính thể tích khối chóp

A

3 1863

1820 a

B

3 1873

1820 a

C

3 1863

182 a

D

3 1263

1820 a

Câu 21: Cho hình chóp có đáy hình thang vng ; ; góc hai mặt phẳng Gọi trung điểm cạnh Biết hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

, tính thể tích khối chóp theo A

3

3

5 a

B

3 15 a

C

3

3 15

5 a

D

3

8 15

5 a

Câu 22: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, , vng góc với Gọi trung điểm cạnh Gọi giao điểm Chứng minh vng góc với Tính thể tích khối tứ diện A

3 12 a

B

3 a

C

3 15 a

D

3 36 a

Câu 23: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi trung điểm cạnh

Tính thể tích khối tứ diện A

3 32 a

B

3 a

C

3 96 a

D

3 96 a

Câu 24: Cho hình chóp tứ giác có đáy hình vng cạnh Gọi điểm đối xứng qua trung điểm trung điểm , trung điểm Chứng minh

vng góc với tính ( theo ) khoảng cách hai đường thẳng A

4 a

B

2 a

C

4 a

D

8 a

1 1

ABCD A B C D ABCD ABa ADa

1

A ABCD AC BD

ADD A1 1 ABCD 600 B1

A BD1  a

ABCD AD ABC AC  AD 4cm

3

AB cm BC 5cm M N, BD BC,

CM AN

S ABCD ABCD SA

,

AB a AD  a SA3a M N, A SB SD, P

SC (AMN) S AMPN

S ABCD ABCD A B

2 ;

AB AD a CBa (SBC) ABCD 600 I

AB SDI SCI ABCD

S ABCD a

S ABCD AB a, AD 2a SAa

( )

mp ABCD M N, AD SC, I

,

BM AC mp SAC( ) (SMB) ANIB

S ABCD a SAD

, ,

M N P SB BC CD, ,

CMNP

S ABCD a E

D SA M AE N BC

Câu 25: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Gọi trung điểm cạnh ; giao điểm Biết vuông góc với mặt phẳng Tính khoảng cách hai đường thẳng theo A 57

19 a

B 2 57

19 a

C 2 37

19 a

D 57

38 a

Câu 26: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh bên ; hình chiếu vng góc đỉnh mặt phẳng điểm thuộc đoạn Gọi đường cao tam giác Chứng minh trung điểm tính thể tích khối tứ diện theo

A

14 48 a

B

3 12 a

C

3 32 a

D

3 14 24 a

Câu 27: Cho hình chóp có đáy tam giác cân , vng

góc với mặt phẳng đáy Hai mặt phẳng tạo với góc Gọi trung điểm cạnh Tính thể tích khối chóp

A

3 3888 a

B

3 3888 a

C

3 1233 a

D

3 14 24 a

Câu 28: Cho hình chóp tam giác có độ dài cạnh đáy Gọi trung điểm Tính theo diện tích , biết vng góc với

A

10 16 a

B

2 16 a

C

2 10 a

D

2 10 32 a

Câu 29: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh Cạnh bên vuông góc với Gọi hình chiếu lên Tính thể tích khối chóp A 14 48 a

B

3

3

25 a

C

3 50 a

D

3

3

50 a

Câu 30: Cho hình chóp có đáy tam giác vng , ; mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Biết Tính thể tích khối chóp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

A 6 a

B 6

7 a

C

7 a

D 6

15 a

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình chóp có đáy hình thang

vng với ; thuộc tia , thuộc tia thuộc

tia Đường thẳng tạo với góc thỏa Gọi trung điểm cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A a

B

4 a

C

2 a

D

2 a

Câu 32: Cho lăng trụ có cạnh đáy Gọi trung điểm , biết Chọn hệ trục cho thuộc tia , thuộc tia thuộc miền góc Trên cạnh lấy điểm thỏa

Tính thể tích khối đa diện

S ABCD ABCD a M N

AB AD H CN DM SH

(ABCD) SH  a DM SC a

S ABCD ABCD a SA a

S (ABCD) H ,

4 AC

AC AH  CM

SAC M SA

SMBC a

S ABC ABC AB AC a, BAC 1200 SA

(SAB) (SBC) 600 M N, ,

SB SC S AMN

S ABC a M N, SB SC,

a AMN (AMN) (SBC)

S ABC a SA 2a

( )

mp ABC M N, A SB SC,

A BCMN

S ABC ABC B BA, 3a BC4a

(SBC) (ABC) SB 2a SBC 300

S ABC B (SAC) a

Oxyz S ABCD ABCD

,

A B AB BC a AD;  2a A O B, Ox D Oy S

Oz SC BD  cos

30

  E

AD S BCE

' ' '

ABC A B C a M CC'

'

AM  B M Oxyz AO, C Ox A' Oz B

xOy A B' ', 'A C', BB' N P Q, , A N'  NB' ' ' , '

A

13

12 a

B

3 24 a

C

3

13

12 a

D

3

13

24 a

Câu 33: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh , cạnh bên có độ dài Tính độ dài cạnh cho hình chóp tích lớn

A

3 B

5

2 C

6

2 D

3

Câu 34: Tứ diện có tâm có độ dài cạnh Gọi theo thứ tự hình chiếu đỉnh đường thẳng qua Tìm GTLN

A 7

4 B

7

3 C

4

3 D

1

Câu 35: (THPT-Chun-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh

SA BC, biết a

MN  Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD

A

5 B

3

3 C

5

5 D

Câu 36: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC

CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN A 93

12 a

B 29

8 a

C 5

12 a

D 37

6 a

Câu 37: (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D    có đáy hình thoi, tam giác ABD Gọi M N, trung điểm BC C D , biết MN  B D Gọi

 góc tạo đường thẳng MN mặt đáy ABCD, giá trị cos A cos

3

 B cos

2

 C cos

10

 D cos

2



Câu 38: (Đặng Thành Nam Đề 14) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;2), B(−2;0;5), C(0;−1;7) Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm S Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Biết S di động d (S ≠ A) đường thẳng HK ln qua điểm cố định D Tính độ dài đoạn thẳng AD

A AD3 B AD6 C AD3 D AD6

Câu 39: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;0;0, B0; 1; 0 , C0; 0;1 , D1; 1;1  Mặt cầu tiếp xúc cạnh tứ diện ABCD cắt ACD theo thiết diện có diện tích

S Chọn mệnh đề đúng? A

3

S   B

6

S   C

4

S   D

5

S  

Câu 40: (THTT số 3) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác cân C, AB2a , AA a, góc BCvà ABB A  60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm



BB Tính khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng BC N 

S ABCD 1cm SA SB SC, ,

1cm SD S ABCD

ABCD S A B C D, , , 

, , ,

A B C D  S

4 4

A 2 74 37 a

B 74

37 a

C 2 37

37 a

D 37

37 a

Câu 41: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Cho tứ diện SABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SAAB3cm, BC5cm diện tích tam giác SAC 6cm2 Một mặt phẳng  

thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt cạnh AS, AB, AC M N P, , Tính giá trị nhỏ Tm biểu thức T 2 2 12

AM AN AP

  

A

17 m

T  B 41

144 m

T  C

10 m

T  D

1 34 m

T 

Câu 42: (Nguyễn Khuyến)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a, cạnh bên



SA avà vng góc với mặt phẳng đáy Gọi Mlà trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng (AMC)và (SBC)

A

2 B

2

3 C

5

5 D

2 5

Câu 43: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành, AB3, AD4, BAD120 Cạnh bên

SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh SA, AD BC,  góc hai mặt phẳng SAC MNP Chọn khẳng định khẳng định sau đây:

A 60 ; 90  B 0 ; 30  C 30 ; 45  D 45 ; 60  Vậy: cos 3 2

4 13 3 26

 

 Suy ra: 78 41'24''

Câu 44: (Yên Phong 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh Các điểm M , N thuộc đoạn A B  A D  cho hai mặt phẳng MAC NAC vng góc với Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp A A MC N  

A 3



B

3 

C

3 

D

3 

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Véc tơ không gian

* Định nghĩa

Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu

Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép toán vecto không gian xác định tương tự mặt phẳng

2 Vecto đồng phẳng

* Định nghĩa: Ba vecto a b c  , , khác 0 gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

Chú ý:

n vecto khác 0 gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo

* Điều kiện để vecto khác 0đồng phẳng Định lý 1:

, ,

a b c   đồng phẳng  m n, : ambnc * Phân tích vecto theo ba vecto khơng đồng phẳng

Định lý 2: Cho vecto e e e  1, 2, 3 không đồng phẳng Bất kì vecto a



khơng gian phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có ba số thực x x x1, 2, 3

1 2 3 ax e x e x e

   

Chú ý: Cho vecto a b c, ,

  

khác 0: a b c, ,

  

đồng phẳng có ba số thực , ,m n p không đồng thời cho: manbpc0

  

2 a b c, ,

  

không đồng phẳng từ manb pc0mn p0 3 Tọa độ vecto

Trong không gian xét hệ trục Ox ,yz có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng Oxy O Các vecto đơn vị trục Ox,Oy Oz,

1; 0; , 0;1; , 0;0;1 

i j k

  

a) aa a a1; 2; 3aa i1a j2a k3

b) M x M,yM,zMOMx iMyMjz kM c) Cho A x A,yA,zA,B x B,yB,zB ta có:

 B A; B A; B A AB x x y y z z 

AB xBxA2yByA2zBzA2 d) M trung điểm AB ; ;

2 2

B A B A B A

x x y y z z

M    

 

e) Cho a a a a1; 2; 3 bb b b1; 2; 3 ta có:

D3

D1 D2

a b

c

Δ1

Δ2 Δ3

1

2

3

a b

a b a b

a b

  

  

 



 

 1; 2; 3 a b   a b a b a b

 3

; ;

k a  ka ka ka

  1 2 3

cos ;

a b  a b  a b  a b a b a b

2 2

1

a  a a a 

  1 2 3

2 2 2

1 3

cos cos ;

a b a b a b a b

a a a b b b

 

 

   

 

 (với a0,b0

   

) a b vuông góc:  a b 0a b1 1a b2 2 a b3 3 0

 

a b phương:

1

2

3

:

a kb

k R a kb a kb

a kb

  

     

 



 

4 Tích có hướng ứng dụng

Tích có hướng aa a a1; 2; 3 bb b b1; 2; 3 

là:

 

2 3 1

2 3 1 2 3 1

, a a ;a a ;a a ; ;

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

      

 

 

 

a Tính chất:

, , ,

a b a a b b

       

     

 

, sin ,

a b a b a b

  

 

     

a b phương: a b ,   0 , ,

a b c

  

đồng phẳng a b c  ,  0 b Các ứng dụng tích có hướng

Diện tích tam giác: , ABC

S   AB AC Thể tích tứ diện ,

6 ABCD

V    AB AC AD

Thể tích khối hộp: VABCD A B C D ' ' ' '  AB AD, .AA'

 

  

5 Một số kiến thức khác

a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MAk MB ta có:

; ;

1 1

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x y z

k k k

  

  

   với k 1

b) G trọng tâm tam giác ; ;

3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

ABC x    y    z   

B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng A B C, , thẳng hàng  AB AC,

 

phương  AB AC, 0

Dạng A B C, , ba đỉnh tam giác  A B C, , không thẳng hàng  AB AC,

 

không phương

,

AB AC

 

 

 

  

Dạng G x G;yG;zG trọng tâm tam giác ABCthì:

; ;

3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x    y    z   

Dạng Cho ABCcó chân E F, đường phân giác ngồi gócAcủa ABC trênBC Ta có: EB AB.EC

AC  

 

, FB AB.FC AC 

 

Dạng ,

2 ABC

S  AB AC

 

 

 diện tích hình bình hành ABCDlà: SABCD  AB AC, 

 

Dạng Đường cao AH củaABC: ABC

S  AH BC 

, 2.S ABC AB AC AH

BC BC



 

 

 

 

Dạng TìmDsao cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto ABDC

 

hoặc  ADBC  tọa độD

Dạng Chứng minh ABCD tứ diện AB AC AD; ;

  

không đồng phẳng  AB AC AD,  0

Dạng G x G;yG;zG trọng tâm tứ diện ABCD thì:

; ;

4 4

A B C D A B C D A B C D

G G G

x x x x y y y y z z z z

x     y     z    

Dạng 10 Thể tích khối tứ diệnABCD: ,

6 ABCD

V    AB AC AD

Dạng 11 Đường cao AH tứ diệnABCD:

3 BCD BCD

V

V S AH AH

S

   



Dạng 12 Thể tích hình hộp: VABCD A B C D ' ' ' '   AB AD AA,  '

Dạng 13 Hình chiếu điểm A x A;yA;zAlên mặt phẳng tọa độ trục: Xem lại mục 1, công thức 17, 18

Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ:

(Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độđó, có mặt tọa độ để nguyên tọa độđó)

OXY: A x1 A;yA;zA OXZ: A2xA;yA;zA OYZ: A3xA;yA;zA

OX: A4xA;yA;zA OY: A5xA;yA;zA OZ: A6xA;yA;zA Qua gốc O: A7xA;yA;zA

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho bốn điểm S1, 2, ; A2, 2, ; B1, 3, ; C1, 2,  Gọi M N P, , trung điểm ,

BC CA AB Khi SMNP là:

A Hình chóp B Hình chóp C Tứ diện D Tam diện vuông Lời giải

Tam giác: ABC có ABBCCA 2

2

MN NP PM

   

1; 0; ; 0;1;0 ; 0;0;1

SA SB SC

SA SB SA SB

  

    Tương tự SASC SB, SC

Các tam giác vuông SAB SBC SCA, , vng S, có trung tuyến:

2

2

AB

SPSM SN   MN NPPM Ta có: SPSAB;SM SBC;SN SCA

, ,

SP SM SN 

  

không đồng phẳng SMNP

 tứ diện Chọn C

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm

2; 0; ,  3; 1; ,   2; 2; 0

A B C Điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là: A D0; 3; 1   B D0; 2; 1  C D0;1; 1  D D0; 3; 1 

Lời giải Do DOyzD0; ;b c với c0

Theo giả thiết: ,  1 1  0; ; 1

1  

     

  

 

  

c loai

d D Oxy c D b

c Ta có AB1; 1; ,   AC   4;2;2 , AD  2; ;1b  Suy  AB AC, 2;6; 2   AB AC AD,  6b6

Cũng theo giả thiết, ta có: ,

1

 

 

             

ABCD

b

V AB AC AD b

b Chọn D

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 0, B3; 4;1, D1; 3; 2 Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB, CD có góc C 45  A C5; 9; 5 B C1; 5; 3 C C3;1;1 D C3; 7; 4

Lời giải Chọn D

Cách AB(2; 2;1)



Đường thẳng CD có phương trình

1

:

2

x t

CD y t

z t

   

       

Suy C 1 ; ; 2t  t t;CB(4 ;1 ; 1 t  t  t), CD ( ; ;t  t t)

Ta có 

2 2 2

(4 )( ) (1 )( ) ( )( ) cos

(4 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t t t t

BCD

t t t t t t

        



          

Hay

2 2 2

(4 )( ) (1 )( ) ( )( )

2

(4 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t t t t

t t t t t t

        



          

(1)

Lần lượt thay t 3;1; 1; 2 (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C phương án A, B, C, D), ta thấy t 2 thoả (1)

Cách

M N

P A

B

Ta có AB(2; 2;1),AD ( 2;1; 2) Suy ABCD

 

AB AD Theo giả thiết, suy DC 2AB Kí hiệu C a b c( ; ; ), ta có

( 1; 3; 2)

DC a b c



, 2AB(4; 4; 2)



Từ C(3; 7; 4)

Câu 4: Cho ba điểm A3;1; , B0; 1; ,  C0; 0; 6  Nếu tam giác A B C   thỏa mãn hệ thức

A A B B C C 

   

có tọa độ trọng tâm là:

A 1; 0;   B 2; 3;   C 3; 2;   D 3; 2;1   Lời giải

Chọn A

* Cách diễn đạt thứ nhất:

Gọi G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ Với điểm T khơng gian có:

 1 :   A A B B C C'  '  ' 0TA TA  '  TB TB  '  TC TC  '0  

' ' '

TA TB TC TA TB TC

         

Hệ thức (2) chứng tỏ Nếu T G tức TA TB   TC 0 ta có TA  'TB'TC'0 hay T G' hay (1) hệ thức cần đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm Ta có tọa độ G là: 0 1 0 6; ; 1; 0; 2

3 3

G        

 

Đó tọa độ trọng tâm G’ A B C' ' ' * Cách diễn đạt thứ hai:

Ta có:   AA'BB'CC'0 (1)

A G' ' G G' GA B G' ' G G' GB C G' ' G G GC'                 

GA GB GC A G' ' B G' ' C G' ' 'G G              (2)

Nếu G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa

' ' ' ' ' '

GA  GBGC   A G B G C G  2 G G ' 0G'G

Tóm lại (1) hệ thức cần đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm Ta có tọa độ G là: 0 1 0 6; ; 1; 0; 2

3 3

G        

  Đó tọa độ trọng

tâm G’ A B C' ' '

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M3; 0; , N m n , , , P0; 0;p Biết



13, 60

MN  MON  , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức Am2n2p2

A 29 B 27 C 28 D 30

Lời giải 3;0; ,  ; ; 0 OM ON m n OM ON  m

0

2

1

cos 60

2

OM ON m

OM ON OM ON

OM ON m n

    



     

 

D C

 2

3 13

MN  m n 

Suy m2;n 2

1

, 6 3

6

OM ON OP p V p p

        

 

  

Vậy A 2 2.12 3 29

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD biết A2; 2; , B3;1; , C1; 0; , D1; 2; 3 Gọi H trung điểm CD, SH ABCD Để khối chóp S ABCD tích 27

2 (đvtt) có hai điểm S S1, 2 thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I S S1 2

A I0; 1; 3   B I1; 0; 3 C I0;1; 3 D I1; 0;   Lời giải

Ta có  1; 1; , 1; 2;1 , 3

2

ABC

AB   AC  S  AB AC 

   

 2; 2; ,  1; 1; 2 DC    AB   DC AB

   

ABCD

 hình thang

3

2 ABCD ABC

S  S 

Vì . 3

3

S ABCD ABCD

V  SH S SH 

Lại có H trung điểm CD H0;1; 5

Gọi S a b c ; ; SH   a;1b;5cSH k AB AC , k3;3;3  ;3 ;3k k k

Suy 2

3 3 9k 9k 9k k  1 +) Với k 1 SH3;3;3S 3; 2; 2 +) Với k  1 SH    3; 3; 3S3; 4;8 Suy I0;1; 3

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, B(3; 0;8), D( 5; 4; 0)  Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) có tọa độ số nguyên, CA CB  bằng:

A 5 10 B 6 10 C 10 D 10

Lời giải

Ta có trung điểmBD I( 1; 2; 4)  ,BD12và điểmAthuộc mặt phẳng (Oxy) nên A a b( ; ;0) ABCD hình vng 

2

2

2

2

AB AD

AI BD

 



  

  



 



2 2 2

2 2

( 3) ( 5) ( 4)

( 1) ( 2) 36

a b a b

a b

       

  

    

 

2

4

( 1) (6 ) 20

b a

a a

 

  

   



1 a b

   

 

17

14 a b 

   

    

 A(1; 2; 0) 17; 14;

5

A  

 

(loại) Với A(1; 2; 0) C( 3; 6;8) 

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A4; 2; , B2; 4; , C2; 2;1 Biết điểm

 ; ; 

H a b c trực tâm tam giác ABC Tính S   a b 3c

Lời giải Chọn B

Ta có: HA4a; 2b;c,HB2a; 4b;c,BC0; 2;1 ,  AC   2; 0;1

     

, 2; 2; , 2 2 12

BC AC BC AC HA a b c a b c

   

                 Vì H trực tâm tam giác ABCnên:

 

 

7

2 2 4

7

2

3

2

2 12

, 2

3 a

HB AC a c a c

HA BC b c b c b S a b c

a b c

a b c

BC AC HA

c 

 

     

 

 

 

  

              

   

      

   

    

  

 

   

 

  

Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; , B1; ; ,b  C1; 0;cvới a b c, , số thực thay đổi cho H3; 2;1là trực tâm tam giác ABC Tính S  a b c A S 2 B S19 C S11 D S 9

Lời giải Chọn B

Để H3; 2;1là trực tâm tam giác ABC

 

AH BC BH AC

H ABC

 

 

 

 

 

   

3 ; 2;1 , 0; ; 

AH  a BC b c

 

2; ;1 , 1 ; 0; 

BH b AC a c

 

Ta có  AH BC 0 2b c 0c2b

 

BH AC   a c

 

, thay c2b ta a b

Khi AB  b b; ; 0 AB phương với u1;1; 0, ACb; 0; 2b AC phương với v1; 0; 2



Ta cóu v ,   2; 2;1 Để HABCkhi u v AH, ,

  

đồng phẳng

  11

, ,

2

u v AH a a b c

 

             

Vậy a b c  19

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A4; 0; , B a b ; ; , C0; 0;c với a b c, , 0 thỏa mãn độ dài đoạn AB2 10, góc AOB45 thể tích khối tứ diện OABC Tính tổng T   a b c

A T 2 B T 10 C T12 D T14 Lời giải

Chọn D



1

.sin

3

OABC OAB

V  S OC OA OB OC AOB 2

.4

6 a b

   c2a2b2288 Lại có AB a42b2 2 10 a42b2 40

Theo định lí hàm số cơ-sin ta có:

 

2 2 2 2

2 .cos 45 16 40

2 72

a b

   288 4 72 c

    c 2; 8a16 72 40  a 6 b Vậy T    6 14

Câu 11: (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong khơng gian Oxyz cho điểm A5;1;5, B4 ; 3; 2, C3; ;1  Điểm I a b c ; ;  tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a2b c ?

A 1 B 3 C 6 D 9

Lời giải Chọn B

Cách 1:

 1; 2; 3

AB  



, AC  8; 3; 4  

Gọi M , N trung điểm AB, AC 

9

; 2;

2

1 1; ;3

2 M N

  

 



  



 

 

 

  



Gọi n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ABC n AB AC,   17 ; 20;19

ABC: 17 x20y19z300

I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

 

IM AB

IN AC

I ABC

 

 

     

   





     

         

9

2

2

1

1 3

2

17 20 19 30

a b c

a b c

a b c

   

       

   



   



  

         

  

 



    

 



2 11

37

8

2

17 20 19 30

a b c

a b c

a b c

   

 

   



   

 



1 a b c

   

   

  

Vậy 2 3

2 a b c     

  Cách 2:

Ta có AB  1; 2; 3  BC  ; 5; 1   AB BC   0 ABCvuông B Vì I tâm đường trịn ngoại tiếp ABC nên I trung điểm AC

Vậy 1; 1;3 2 3

2

I   a b c     

   

Câu 12: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có A ; 1;1 , hai đỉnh B C, thuộc trục Oz AA 1 (C không trùng với O) Biết véctơ ua b; ; 2 với a b,  véctơ phương đường thẳng A C Tính T a2b2

A T 5 B T 16 C T 4 D T 9

Gọi M trung điểm BC Khi có AM BC

AA BC

  

  

BC A M

  M M hình chiếu A trục Oz (vì đường thẳng BC trục Oz)

 ; 1;1

A  M0; 0;1 A M 2

Ta có: 2

AM  A M AA  Mà tam giác ABC nên 3

AM  BC  BC2

1 MC  

Vì C thuộc trục Oz C không trùng với O nên gọi C0 ; ;c, c0 0; 0; 1

MC c



1

MC c

  

1

MC  c1 1 (L) c

c     

  

0 ; ; C



 ;1;1 A C  



véctơ phương đường thẳng A C

 u  ; 2; 2cũng véctơ phương đường thẳng A C Vậy a 2 3;b2T a2b2 16

Câu 13: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, ; có tọa độ ba đỉnh A1; 2;1 ,  B2; 0; ,   C6;1; 0 Biết hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D a b c ; ; , tìm mệnh đề đúng?

A a b c  6 B a b c  5 C a b c  8 D a b c  7 Lời giải

Chọn C

Cách 1:

1; 2; ; 5; 1; ; 6 ;1 ; 

AB   AC   DC a b c

  

Ta có , 9

2 2

ABC ACD

S   AB AC  S   

M

A C

B

A'

B'

C'

D C

AB//CD nên AB 

DC phương, chiều

12 13

6

0

1 2

1

c a

b a

a b c

a b c

 



  



  

     



  

  

 

, 0;9 54;54

AC AD a a

    

 

 

19

3 3

, 54

17

2 2

3 ACD

a

S AC AD a

a 

  

 

         

  

 

So với điều kiện suy ra: 17

a a  b c Cách 2:

Ta có 3;  ,  162

3 AB hd C AB 

  1623 

2

ABCD h

S  AB CD   CD CD

Suy 17 2; ;

3 3

AB DCD    a b c

 

 

Câu 14: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz, cho hình thang cânABCD có đáy AB CD, Biết A3;1; 2 , B1; 3; 2, C6; 3; 6

 ; ; 

D a b c với a b c; ;  Tính T   a b c

A. T  3 B T 1 C T 3 D T  1 Lời giải

Chọn A

Cách 1: Ta có AB  4; 2; ; CDa6;b3;c6

Do ABCD hình thang cân nên CDk AB k hay 6

2

a b c

 



2 a b

c a

 

   

   

Vậy ; ;

a D a  a

 

Lại có AC BD AC2 BD2      

2

2 2 2

9

2 a

a   a

          

 

2

4 60

10 a

a a

a        

  

Với a 10D10; 5;10 Kiểm tra thấy: ABCD (Không thỏa mãn ABCD hình thang cân)

Với a6D6; 3; 6   Kiểm tra thấy:  3 AB CD ( thỏa mãn) Do đó, T        a b c 6

Cách

Do ABCD hình thang cân nên  AB CD; ngược hướng hay 6

2

a b c

  



2 a b

c a

a  

     

    

Vậy ; ;

a D a  a

  với a 6

Lại có AC BD AC2 BD2      

2

2 2 2

9

2 a

a   a

          

 

2

4 60

10( ) a

a a

a L

       

   Với a6D6; 3; 6  

Do đó, T        a b c 6 Cách

+ Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB( mp trung trực đoạn thẳng CD)

+ Gọi mp   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB, suy mp   qua trung điểm

1; ; 0

I đoạn thẳng AB có vectơ pháp tuyến  2;1; 2

n AB  , suy phương trình mp   :   : 2 xy2z0

+ Vì C D, đối xứng qua mp  nên

6 ; 3; 6 ; 3;

D   a b  c  T a   b c

Công thức trắc nghiệm: Xác định toạ độ điểm Mx y z1; 1; 1 điểm đối xứng điểm  0; 0; 0

M x y z qua mp   :ax by czd0 a2b2c2 0

 

1

0 0

1 2

1 2a

z

2 ,

2

x x k

ax by c d

y y bk k k

a b c

z z ck

  

   

    



    





Câu 15: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

0 ; 1; 2

A  , B2 ; 3; 0 , C2 ;1;1, D0 ; 1; 3  Gọi  L tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng thức MA MB  MC MD  1 Biết  L đường tròn, tính bán kính đường trịn đó?

A

2

r B 11

2

r C

2

r  D

2 r Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Chọn D

* Trước tiên, ta xét tốn phụ sau:

“Trong khơng gian cho đoạn thẳng AB bất kì, có trung điểm I Chứng minh tập hợp

điểm M thỏa mãn  MA MB k 0 mặt cầu tâm I bán kính R kIA ” Thật vậy:

      2

2 MI k IA

   hay

IM  kIA

Suy M thuộc mặt cầu tâm I , bán kính R kIA2

* Áp dụng: Có I1; ;1  J1; 0; 2 trung điểm đoạn thẳng ABvà CD Sử dụng kết tốn trên, ta có:

+ Từ điều kiện MA MB 1  

, suy M thuộc mặt cầu tâm I , bán kính R12 (1) + Từ điều kiện MC MD 1

 

, suy M thuộc mặt cầu tâm J, bán kính R2 2 (2) Ta có R1R2 0IJ  3 R1R2 4 (3)

Từ (1), (2) (3) suy M thuộc đường tròn giao tuyến hai mặt cầu nêu + Gọi K tâm đường trịn giao tuyến

Suy bán kính cần tìm

2

2 2

2

2

rKM  IM IK      

Câu 16: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyz, cho điểm A0; ; 0, 0; 0; 2

B , điểm COxy tam giác OAC vng C, hình chiếu vng góc O BC điểm H Khi điểm H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính

A 2 B 4 C D 2

Lời giải Chọn D

+) Dễ thấy B Oz Ta có AOxyvà COxy, suy OBOAC +) Ta có AC OC

AC OB

  



  

AC OBC

  , mà OH OBC Suy ACOH  1 Mặt khác ta có OH BC  2 , (theo giả thiết)

H

I

O C

A B

P

(T)

K I

Từ  1  2 suy OH ABC OHAB OH HA

+) Với OH  AB suy H thuộc mặt phẳng  P với  P mặt phẳng qua O vng góc với đường thẳng AB Phương trình  P là: y z

+) Với OHHA  OHA vuông H Do H thuộc mặt cầu  S có tâm I0; 2 ; 0 trung điểm OA bán kính 2

2 OA

R 

+) Do điểm H ln thuộc đường tròn  T cố định giao tuyến mặt phẳng  P với mặt cầu  S

+) Giả sử  T có tâm K bán kính r IK d I , P 2 2 r R IK  Vậy điểm H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính

Câu 17: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC với A2 ; ; 3 ; B1; ; 4 ; C2 ; 1; 2  Biết điểm E a b c ; ;  điểm để biểu thức P   EA EB EC đạt giá trị nhỏ Tính T   a b c

A T 3 B T 1 C T 0 D T  1 Lời giải

Chọn B

Gọi G trọng tâm tam giác ABCG1; 1;1 

Ta có: P EA EB   EC  3EG 3EG0Pmin 0 EG1; 1;1  T 1

Câu 18: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm

 1; 3; 4

A  , B9; 7; 2  Tìm trục Ox toạ độ điểm M cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ

A M5; 0; 0 B M2; 0; 0 C M4; 0; 0 D M9; 0; 0 Lời giải

Chọn C

Gọi M x ; 0; 0Ox  2

2 2

1

MA  x  

 2

2 2

9

MB  x  

Suy MA2MB2 2x216x1602x42128 128,  x  Nên MA2MB2 đạt giá trị nhỏ 128 x4 Vậy M 4; 0; 0

Câu 19: (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz , cho điểm A1;1; ; B0; 1; 3   Xét điểm M thay đổi mặt phẳng Oxz, giá trị nhỏ OM2MA3MB bằng?

A 1 B 3

2 C

1

2 D

1 Lời giải

Chọn A

Chọn I a b c ; ;  thỏa OI2IA3 IB0 1; 1;

2 4

I   

  

 

2

OM MA MB

   nhỏ 4MI nhỏ nhấtMI Oxz Lúc  

 

4MI 4d I Oxz; 1

Câu 20: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm

2; 4; 1

A  , B1; 4; 1 , C2; 4; 3, D2; 2; 1 , biết M x y z ; ;  để MA2MB2MC2MD2 đạt giá trị nhỏ xyz

A. B 21

4 C 8 D.9

Lời giải Chọn B

Xét điểm I a b c ; ;  thỏa mãn     IAIBICID0 Khi 7; ;0 I 

 

Ta có MA2 MB2MC2MD2  MI IA 2 MI IB 2 MI IC 2  MI ID2

 

2 2 2

4MI 2MI IA IB IC ID IA IB IC ID

            

2 2 2 2 2

4MI IA IB IC ID IA IB IC ID

         ( MI20 với điểm M )

Dấu "" xảy M I tức 7; ;0 7

4

M  x y z 

 

21  Câu 21: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz, cho OA i j3k

   

, B2; 2;1 Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung cho 2

MA MB nhỏ A M0; 2;0  B 0; ;03

2 M 

  C M0; 3;0  D M0; 4;0  Lời giải

Chọn B

Cách 1: Do MOy nên M 0 ; ; 0y  Tính 2  

2 20

    

MA MB y y f y

Do f y  nhỏ

 y Vậy 0; ;03

 

 

 

M

Cách 2: Ta có: A1;1; 3  Gọi I trung điểm AB Suy 3; ; 2 I   

 

Khi đó: MA2MB2 MA2MB2 MIIA 2 MIIB2

   

 

2 2

2

 MI IA IB  MI IA IB      

2 2

2

 MI IA IB

2

 MI 

Do MA2MB2 đạt giá trị nhỏ MI có độ dài ngắn nhất, điều xảy M hình chiếu vng góc I trục tung

Phương trình mặt phẳng  P qua I vng góc với trục tung  

3

0 1

2

   

     

   

x  y  z hay  

3

:

2

 

P y

Phương trình tham số trục tung

0 x y t z

  

    

0

0 x y t z y

             

0 x y z

     

   

Vậy 0; ;03

 

 

 

M

Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1,B2;1; 0,C2; 3;1 .Điểm

 ; ; 

S a b c cho SA22SB23SC2 đạt giá trị nhỏ Tính T   a b c

A

2

T  B T 1 C

3

T   D

6 T  Lời giải

Chọn D

Gọi G điểm cho 1; 1;

2

GA GB GC  G   

 

   

 2  2  2

2 2

2 2

2 2

2 3

6

SA SB SC SA SB SC SG GA SG GB SG GC SG GA GB GC

          

   

        

2 2

SA SB SC nhỏ SG hay 1; 1;

2

S   

 .Nên T





6

Câu 23: (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian Oxyz, cho điểm A2 ; ; ,t t  B0; 0;t với t0 Cho điểm P di động thỏa mãn OP AP OP BP       AP BP 3 Biết có giá trị t a

b  với ,

a b nguyên dương a

b tối giản cho OP đạt giá trị lớn Tính giá trị Q2a b ?

A 5 B 13 C 11 D 9

Lời giải Chọn C

Ta có: OA OB  0 nên

OP AP OP BP      AP BP

       

OP OP OA OP OP OB OP OA OP OB

             

2

3OP 2OP OA OB         

Giả sử P x y z ; ;  phương trình (1) trở thành

 2 2     2 2

3 x y z  3 2t x2yz  3 2t 4 1  x y z Hay

2

3OP  3 6tOPOP 2tOP 1

2

1

t t OP t t

      

Từ giả thiết suy

t t    t Vậy Q2a b 11

Câu 24: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B m( ; 0; 0), D(0; ;0)m , A(0; 0; )n với m n, 0 m n 4 Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn

A 245

108 B

9

4 C

64

27 D

Lời giải

Tọa độ điểm ( ; ; 0), ( ; ;; ), ; ; n C m m C m m n M m m  

 

 ; 0; ,  ; ; , 0; ;

2 n BA  m n BD m m BM   m 

 

  

 2

, ; ;

BA BD mn mn m

     

 

 

2

,

6

BDA M

m n V   BA BD BM  

  

Ta có

3

2

2 512 256

.(2 )

3 27 27

m m n

m m n      m n

 

64 27 BDA M V 

 

Chọn C

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2; ,  B1; 4; 4  điểm

0; ; 

C a b thỏa mãn tam giác ABC cân C có diện tích nhỏ Tính S 2a3b A 62

25

S B 73

25

S C 239

10

S D 29

5 S Lời giải

Chọn A

Ta có: AB   4; 6; ,  AC   3;a2;b4

Điều kiện để A B C, , ba đỉnh tam giác là:

2

1

6

4

4

2

8

a

a b

b  



 

 

  



 

 

      



Gọi I trung điểm AB ta có: I1;1; 0

Tam giác ABC cân C nên CI  AB CI AB  01.4  1a.6  b  80

 

3

6 1

4 a

a b a b b 

          

Diện tích tam giác ABC là: ABC

S  CI AB.Do diện tích tam giác ABC nhỏ CI nhỏ

Khi đó: CI  11a2 0b2  2a22ab2 2 Thay (1) vào (2) ta có:

z

y

x m

n

m D'

C' B' A'

D

C

2 2

2 25 38 33 19 464 29

2

4 16 25 20

a a a

CI  a  a        a   

   

Vậy CI nhỏ 19 62

25 25 25

a b S  a b

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A2; 2; , B2; 0; 2  điểm M a b c , ,  với a b c, , số thực thay đổi thỏa mãn a2b c  1 Biết MAMB góc AMB có số đo lớn Tính S  a 2b3c

A 16 11

S  B 15

11

S  C

11

S  D

11 S  Lời giải

Chọn B

Vì MAMB nên M thuộc mặt phẳng trung trực  P đoạn AB Ta có  P :yz0 nên

2 1

b c c b

a b c a b

                

1 ; ; , 1 ; ; 

MA  b b b MB   b b  b

 

    

       

2

2 2 2

1 2

cos

1 3 2 3 2

b b b

MA MB AMB

MA MB b b b b b b

  

  

       

   

2 2

2 2

9 11

9 4 11

b b b b b b

b b b b b b

     

 

      

Xét   2

11

11

b b

f b

b b

 



  có  

 

2

4 22

0

11 11

b

f b b

b b

 

    

 

Nhận thấy f b  nhỏ 14,

11 11 11

b  a c

Nên 14 15

11 11 11 11

a b c   

Câu 27: Trong không gian Oxyzcho ba điểm M2;3; , N  1;1;1 , P 1; m 1; 2    Tìm giá trị nhỏ số đo góc MNP

A arccos

85 B

6 arcsin 85 C arccos D arcsin Lời giải Chọn A cos

17. 4 9

NM NP m

MNP

NM NP m m

 

 

 

Để số đo góc MNPnhỏ

2

cos

17. 4 9

NM NP m

MNP

NM NP m m

 

 

 

là số dương lớn Khi

2 2

2

cos

17 17

NM NP m m

MNP

NM NP m m m m

  

   

 

Xét hàm số

2

2

2

1

( )

9

4 1 5

3

m f m

m m

m m m

                2

2

cos

17 17 85

NM NP m m

MNP

NM NP m m m m

   

   

Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho hai điểm , Giả sử , hai điểm thay đổi mặt phẳng cho hướng với Giá trị lớn

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

Vì hướng với nên

Hơn nữa, Suy

Gọi điểm cho

Dễ thấy điểm , nằm phía so với mặt phẳng chúng có cao độ dương Hơn cao độ chúng khác nên đường thẳng cắt mặt phẳng

điểm cố định

Từ suy nên dấu xảy

là giao điểm đường thẳng với mặt phẳng

Do , đạt

Nhận xét

Ý tưởng đề

Từ bất đẳng thức véc tơ

a) Dấu “=” xảy hai véc tơ chiều b) Dấu “=” xảy hai véc tơ chiều c) Dấu “=” xảy hai véc tơ ngược chiều

Câu 29: (Lý Nhân Tông) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

 ; 0; , 0; ; , 0; 0; 

A a B b C c A, B, C với a b c, , 0 cho

2 1     

OB OC AB BC CA

OA Giá trị lớn VO.ABC

A.

108 B.

1

486 C.

1

54 D.

1 162 Lời giải

Chọn D

Ta có OAa OB, b OC; c AB;  a2b2,BC b2c CA2,  c2a2

1

6

OABC

V  OA OB OC  a b c

2 2 2

1 2

OA OB OCABBCCA   a  b c a b  b c  c a   Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:

3 ,

a b c   abc

   

2 2 2 36 2 2 2 3 26 .2 2 3 2.3 .

a b  b c  c a  a b b c c a  ab bc ac abc

Suy 2 2 2 3

3

a  b c a b  b c  c a  abc abc

Oxyz a1; 1; 0  A4;7;3 4; 4;5

B M N Oxy MN

a MN 5 AM BN

17 77 23 82 5

MN



a  t :MNta

5

MN  t a   t MN5; 5;0   ; ; 

A x y z    AA MN

4

7

3 x

y z

   

 

        

1 x y z

   

  

   

1; 2;3 A



A B Oxy

' A B Oxy

AA MN

 

AM  A N AM BN  A N' BN  A B' N

'

A B Oxy

 2  2  2

max AM BN  A B'  41  42  53  17

  N  A B  Oxy

| |u | |v  u v u v

|u v  u  u u v

 

3 1 1

1

3 27 162 OABC 162

abc abc abc abc V

           

Dấu xảy

2 2 2

0; 0;

1

a b c

a b c

a b c a b b c c a

    

   

          

1

a b c

   

Vậy giá trị lớn VOABC 162

Câu 30: (Đồn Thượng) Trong khơng gian Oxyz, cho A1; 1;2 , B2;0;3, C0;1; 2  Gọi  ; ; 

M a b c điểm thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức

S MA MB  MB MC  MC MA  đạt giá trị nhỏ Khi T 12a12bc có giá trị A T 3 B T  3 C T1 D T 1

Lời giải Chọn D

Ta có M a b c ; ;   Oxy nên c0 Do M a b ; ;0 1 ; ;2

MA a  b 

, MB   a b; ;3, MC  a;1b; 2 

      2

MA MB a  a   b b  a  a b  b  

      2

6

MB MC  a a  b b  a  a b  b  

      2

1

MC MA a a  b  b  a  a b   

Suy

   

2 2 2 2

4 2 6 23

S a  a b   b a  a b  b  a  a b   a  a b  b

2

1 557 557

6

6 12 24 24

S  a   b    

   

Do S đạt giá trị nhỏ 557 24



6

a  12 b Khi 12 12 12 12.1

6 12

T  a b c      

 

 

1

3

A A MC N A MC N

V    AA S    tm  

Vậy giá trị nhỏ thể tích khối chóp A A MC N   3

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa

Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng AxByCzD0 với 2

A B C  gọi phương trình tổng quát mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng  P :AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 có vec tơ pháp tuyến  ; ; 

n  A B C

Mặt phẳng  P qua điểm M0x y z0; 0; 0 nhận vecto nA B C; ; ,n 0 làm vecto pháp tuyến dạng  P :A x x0B y y0C z z00

Nếu  P có cặp vecto a a a a1; 2; 3;bb b b1; ;2 3 không phương, có giá song song nằm  P Thì vecto pháp tuyến  P xác định na b , 

2 Các trường hợp riêng mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp   :AxBy Cz D0, với A2 B2C2 0 Khi đó:

D    qua gốc tọa độ

0, 0, 0,

A B C D   song song trục Ox

0, 0, 0,

A B C  D   song song mặt phẳng Oxy

, , ,

A B C D Đặt a D,b D,c D

A B C

      Khi đó:  : x y c abz 



3 Phương trình mặt chắn cắt trục tọa độ điểm A a ; 0;0 , B0; ;0 ,b  C0; 0;c :

1 ,

x y z

abc

ab c  

4 Phương trình mặt phẳng tọa độ: Oyz:x0; Oxz:y0; Oxy:z0 5 Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):

Giả sử      ' d đó: ( ) : AxByCzD0 ( ') : A x' B y' C z' D'0 Pt mp chứa d có dạng: m Ax By Cz Dn A x ' B y C z'  ' D'0 (với 2

0) m n  6 Vịtrí tương đối hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho   :AxBy Cz D0  ' :A x' B y C z'  ' D'0   cắt  '

' '

' '

' '

AB A B

BC B C

CB C B

    

     //  '

' '

' ' ' '

' '

AB A B

BC B C va AD A D

CB C B

  

  

  

    '

' '

' '

' '

' '

AB A B

BC B C

CB C B

AD A D

      

    

7 Khoảng cách từ M0x y z0; 0; 0 đến ( ) : Ax By Cz D   0  

  0

2 2

, Ax By Cz D

d M

A B C

  



 



Chú ý:

Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng 0 8 Góc hai mặt phẳng

Gọi  góc hai mặt phẳng  0 90

 P :AxBy Cz D0  Q :A x' B y C z'  ' D'0

  2 2 2

' ' '

cos = cos ,

' ' '

P Q P Q

P Q

n n A A B B C C

n n

n n A B C A B C

    

   

   

 

Góc ( ) , ()bằng bù với góc hai vtpt

 ()()n1n2  AA'BB'CC' 0 1 Các hệ quả hay dùng:

Mặt phẳng   //    có vtpt n n với n vtpt mặt phẳng   Mặt phẳng   vng góc với đường thẳng d   có vtpt n ud với ud



vtcp đường thẳng d

Mặt phẳng  P vng góc với mặt phẳng  Q n P n Q

Mặt phẳng  P chứa song song với đường thằng d n P ud Hai điểm A B, nằm mặt phẳng  P ABn p

B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG

Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm véctơ pháp tuyến Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có vtpt

(): hay AxByCzD0 với D Ax0By0Cz0 Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có cặp vtcp a b ,

Khi vtpt () n a b , 

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm không thẳng hàngA B C, ,

Cặp vtcp:  AB AC,

Mặt phẳng ( ) qua A (hoặc B hoặcC ) có vtpt nAB AC, 

 

  

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng( ) Dạng Mặt phẳng trung trực đoạnAB

Tìm tọa độ M trung điểm đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n AB

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng ( ) qua M và vng góc đường thẳng d (hoặcAB) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt vtcp đường thẳng d

(hoặc n  AB

 

)

1

n n ,



 

0

0  ( ),( )  90

 0 0

M x ; y ; z nA; B;C

 0  0  0

A xx B yy C zz 

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng ( ) qua M song song ( ) : AxByCzD0 Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt  n n A B C; ; 

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng   quaM , song song với d vng góc với  

  có vtpt n u nd,  

  



 với ud



vtcp đường thẳng d n  vtpt   Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng ( ) chứa M đường thẳng d không qua M Lấy điểm M0x y z0; 0; 0   d

Tính MM0 

Xác định vtcp ud đường thẳng d Tính n MM u 0, d

Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc M0) có vtpt n

Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( ) , ( ) : Xác định vtpt ( ) ( )

Một vtpt ( ) n u n,  

 

  

 



Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 10 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d d1, 2 : Xác định vtcp a b , đường thẳng d d1, 2

Một vtpt ( ) n a b , 

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 11 Mặt phẳng ( ) qua M N, vng góc ( ) :

Tính MN



Tính n MN n, 

 

  

 

Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc N) có vtpt n

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 12 Mặt phẳng   chứa đường thẳng d vng góc với  

  có vtpt n u nd, 

  



 với ud



vtcp d Lấy điểm M0x y z0; 0; 0d M0x y z0; 0; 0( )

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 13 Mặt phẳng ( ) chứa  d song song  d/ (với ( ), ( ')d d chéo nhau) Lấy điểm M0x y z0; 0; 0d M0x y z0; 0; 0( )

Xác định vtcp u u d; d'của đường thẳng d đường thẳng d' Mặt phẳng ( ) qua M0 có vtpt n u u d, d'

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 14 Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song  1, 2

Chọn điểm M1x y z1; 1; 1 1 M2x y z2; 2; 2 2

Tìm vtcp u1 đường thẳng 1 vtcp u2 đường thẳng 2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) n u M M1, 1 2

  

n u M M 2, 1 2 Sử dụng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 15 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng cắt d d1, 2: Xác định vtcp a b , đường thẳng d d1, 2

Một vtpt ( ) n a b , 

Lấy điểm M thuộc d1 d2 M( )

Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 16 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng  d cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k không đổi:

Giả sử ( ) có phương trình:

Lấy điểm A B, ( )d A B, ( ) (ta hai phương trình (1), (2)) Từ điều kiện khoảng cách , ta phương trình (3)

Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 17 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu  S điểm H :

Giả sử mặt cầu  S có tâm I bán kính R Vì H tiếp điểm H( ) Một vtpt ( )

Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 18 Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( )P TH1: ( ) ( )P d:

- Tìm M N, hai điểm chung ( ), ( ) P

- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng I qua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I M N’, ,

TH2: ( ) / /( ) P

- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng I qua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I’ song song với ( )P CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Dạng Tìm điểm H hình chiếu vng góc của M lên ( )

Cách 1:

- H hình chiếu điểm M  P  - Giải hệ tìm H

Cách 2:

- Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với ( ) : ta có a d n

- Khi đó: H d( )  tọa độ H nghiệm hpt:  d ( )

Dạng Tìm điểm M’ đối xứng M qua ( )

Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên ( )

H trung điểm MM/(dùng công thức trung điểm)  tọa độ H Dạng Viết phương trình mp ( ')P đối xứng mp ( )P qua mp  Q

TH1: ( )Q  P d

0

AxByCz+D  2 

0

A B C 

d M( ,( )) k

nIH

 

MH n phương

H P

, ( )

 

 

- Lấy hai điểm A B, ( )P ( )Q (hayA B, d)

- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua d M'

TH2: ( )Q / /  P

- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua M' song song ( )P

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ

2 2

  

    

y

x y z Oxyz cho điểm M1;0;0 N0;0; 1 , mặt phẳng  P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng  Q :x y40 góc O

45 Phương trình mặt phẳng  P

A

2 2

 

     

y

x y z B

0

2 2

 

     

y

x y z

C 2

2 2

    

     

x y z

x y z D

2 2

2 2

   

    

x z

x z

Lời giải

Gọi vectơ pháp tuyến mp P  Q nPa b c; ;   

2 2

0

  

a b c , nQ

 P qua M1;0;0 P :a x 1bycz0  P qua N0;0; 1  a c

 P hợp với  Q góc 45O   O

2

0

, 45

2

2



 

     

 

 

 

P Q

a a b

cos n n cos

a b

a b

Với a  0 c chọn b1 phương trình  P :y0

Với a 2b chọn b  1 a2 phương trình mặt phẳng  P : 2x y2z20 Chọn A

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho  P :x4y2z 6 0, Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của   P , Q cắt trục tọa độ điểm A B C, , cho hình chóp O ABC hình chóp

A xy z 60 B xy  z C xy  z D xy  z Lời giải

Chọn M6; 0; , N2; 2; 2 thuộc giao tuyến của   P , Q

Gọi A a ; 0; , B0; ;0 ,b  C0; 0;c giao điểm   với trục Ox Oy Oz, ,  :x y z 1a b c, , 0

abc  



  chứa M N,

6

2 2

1 a

a b c



 

  

    



Hình chóp O ABC hình chóp đềuOAOBOC a  b  c Vây phương trìnhxy  z

Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng:

, mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi

A B C D Chọn B

Lời giải

+ qua có vectơ phương

qua có vectơ phương

+ Mặt phẳng () song song với nên có vectơ pháp tuyến: Phương trình mặt phẳng () có dạng:

+ Mặt cầu (S) có tâm bán kính Gọi r bán kính đường trịn (C), ta có:

Khi đó:

+ Phương trình mặt phẳng

Vì nên M1 M2 khơng thuộc loại (1) Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm Chọn B

Câu 4: Cho tứ giác ABCD có A0;1; ;  B1;1; ; C1; 1; ;  D0;0;1  Viết phương trình mặt phẳng  P qua A B, chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tích A 15x4y5z 1 B 15x4y5z 1

C 15x4y5z 1 D 15x4y5z 1 Lời giải

 P cắt cạnh CD E E, chia đoạn CD theoo tỷ số 3

3 3.0

4 4

3 3.0

4 4

3 3.1

4 4

C D

C D

C D

x x

x

y y

E y

z z

z

 



  

 

   



    



 



  

 

1; 0;3 ; 1; 7; 11; 5; 7

4 4

AB AE   

 

 

1

2 1

:

1

x y z

  

 2: 2 x t

y t

z t

  

   

   

2 2

( ) :S x y z 2x2y6z 5

( )  1, 2

2 365



5 0; 10

x y z  x y z 

5 10

x y z 

5 3 511 0; 3 511

x y z   x y z  

5

x y z 

1

 M1(2; 1;1) u1 (1; 2; 3)



2

 M2(0; 2;1) u2 (1; 1; 2)



1,

  u u 1, 2  (1; 5; 3) 

 x5y3zD0

I(1; 1;3) R4

2 365 365

2

5

r  r

   

  2 35

, ( )

5

d I   R r  35

10

35

D D

D  

 

   

 

( ) : x5y3z 4 (1) hay x5y3z100 (2) 1/ /( ), 2/ /( )

  ( ) 

5 10

x y z 

F N

C B

A

Vecto pháp tuyến

 : , 15; 4; 5   : 15  1 4  1 5

15

P n AB AE P x y z

x y z

 

            

    

  

Chọn A

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ

2 2

y

x y z

 

     

Oxyz cho điểm M1; 0; 0 N0; 0; 1 , mặt phẳng  P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng  Q :x  y góc 45O Phương trình mặt phẳng  P

A

2 2

y

x y z

 

     

B

2 2

y

x y z

 

     

C 2

2 2

x y z

x y z

    

     

D 2

2 2

x z

x z

   

    

Lời giải

Gọi vectơ pháp tuyến mp P  Q nPa b c; ;  a2b2c2 0, nQ  P qua M1; 0; 0 P :a x 1bycz0

 P qua N0; 0; 1  ac0  P hợp với  Q góc O

45   O

2

0

, 45

2

2

P Q

a a b

cos n n cos

a b

a b



 

     

 

 

 

Với a0c0 chọn b1 phương trình  P :y0

Với a 2b chọn b  1 a2 phương trình mặt phẳng  P : 2x y 2z 2 Chọn A

Câu 6: Cho tứ giác ABCD có A0;1; ;  B1;1; ; C1; 1; ;  D0;0;1  Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  Q song song với mặt phẳng BCD chia tứ diện thành hai khối AMNF

MNFBCD có tỉ số thể tích 27

A 3x3z 4 B y  z

C y  z D 4x3z 4

Lời giải Tỷ số thể tích hai khối AMNF MNFBCD:

3 27 AM

AB

 



 

 

1 AM

M AB

   chia cạnh AB theo tỉ số 2

 

   

1 2.0

3

1 2.1

1 ; 0;1;1 ; 1;1;1

3

2

0

x

E y BC BD

x  

 

 

 

       



  

 

 

 

          

1

: 1

3

:

M Q Q x y z

P y z

 

             

   

Chọn B

Câu 7: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P cắt hai trục y Oy' z Oz' 0, 1, , 0, 0,1

A  B tạo với mặt phẳng yOz góc 45

A 2xy z 1 B 2x yz 1

C 2xyz 1 0; 2xyz 1 D 2x yz 1 0; 2x yz 1

Lời giải Gọi C a , 0, 0 giao điểm  P trục x'Ox

0, 1, ;  , 0, 1

BA BC a

    

Vec tơ pháp tuyến  P n BA BC , 1,a a,  Vec tơ pháp tuyến yOz e11, 0, 0

Gọi  góc tạo  P  

2

1

os45

2

1

yOz c a a

a

       



Vậy có hai mặt phẳng  P : 2x   y z 2x   y z 0; 2x   y z Chọn D

Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ , vng góc với mặt phẳng tiếp xúc với (S)

A 2

2 21

    

     

x y z

x y z B

2

2 21

    

     

x y z

x y z

C

2

    

     

x y z

x y z D

2 13

2

    

     

x y z

x y z

Lời giải

Vậy: (P): (P):

(S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT

 VTPT (P)  PT (P) có dạng:

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

Vậy: (P): (P):

Chọn B

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng

1

1: 0 x t d y z        

, 2

1 :

0 x

d y t

z        

,

3 : x d y z t         Viết phương trình mặt phẳng qua điểm H3; 2;1 cắt ba đường thẳng d1, d2, d3 A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC

A 2x2y z 110 B xy  z C 2x2y  z D 3x2y z 140

Lời giải

2 2

2

x y z  x y z  (1;6; 2)

v ( ) : x4y z 110

2x y 2z 3 0 2x y 2z21 0

( ) n(1; 4;1)  ,  (2; 1;2)

P

n  n v    2x y 2zm0

( ,( ))

d I P  21 m m       

Chọn A

Gọi A a;0;0 , B1; ; 0b , C1; 0;c

1 ; ;0 , 0; ; , 2; 2;1 , 3 ; 2;1

AB a b BC b c CH  c AH  a

   

Yêu cầu toán

     

2

, 2 2 1 1 1 0

0

9

2

AB BC CH bc c a c b a

b

AB CH a b b b

b

c b

BC AH

         

  

 



 

       

 

 

   

 

 

      

Nếu b0suy AB(loại) Nếu

2

b , tọa độ 11;0;0 A 

 , 1; ;0

2 B 

 , C1; 0;9 Suy phương trình mặt phẳng ABC 2x2y z 110

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d    

 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A B cho đường thẳng AB vng góc với d

A  P :x2y5z 4 B  P :x2y5z 5 C  P :x2y  z D  P : 2x  y

Lời giải Cách (Tự luận)

Đường thẳng d qua M(2;1;0) có VTCP ud 1; 2; 1 

Ta có: ABd ABOz nên AB có VTCP uAB u kd, 2; 1; 0 

  

(P) chứa d AB nên (P) qua M(2;1; 0), có VTPT nu ud, AB1; 2;5

  

 P :x2y5z 4  Chọn A

Cách 2: Dùng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Đường thẳng d qua điểm M(2;1;0) N(3;3;-1)

Giả sử mp(P) cắt Ox, Oy, Oz A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)  P :x y z

abc 

ABd  AB u d  0 a2b (1)

 P chứa d nên d qua M, N  1 ab  (2),

3

1

a b c



   (3) Từ (1), (2), (3)  a = 4, b = 2, c =

5  P :x2y5z 4 Chọn A

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d1, 2lần lượt có phương trình

2

:

2

x y z

d      ,

1

:

2

x y z

d     

 Phương trình mặt phẳng   cách hai đường thẳng d d1, 2

A 7x2y4z0 B 7x2y4z 3 C 2xy3z 3 D 14x4y8z 3

Ta có d1 qua A2; 2;3 có  

1 2;1;3

d

u  , d2 qua B1; 2;1 có  

2 2; 1;

d

u  

 1;1; ; d1; d2 7; 2; 4

AB   u u   

 

  

;

1;

d d

u u AB

 

   

 

  

nên d d1, 2 chéo

Do   cách d d1, 2 nên   song song với d d1, 2  

1; 7; 2;

d d n u u 

    

 

  



 

  có dạng 7x2y4zd 0

Theo giả thiết d A ,  d B ,  

2

69 69

d d

d

 

   

 :14x 4y 8z

     

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng song song cách hai đường thẳng

A B

C D

Lời giải

Ta có: qua điểm có VTCP

và qua điểm có VTCP Vì song songvới hai đường thẳng nên VTPT

Khi có dạng loại đáp án A C

Lại có cách nên qua trung điểm Do

Chọn B

Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 5x  z hai đường thẳng d d1; 2 có phương trình 1;

1 2 1

x y z x y z

   

 Viết phương trình mặt phẳng

   Q / / P , theo thứ tự cắt d d1, 2 A B, cho AB

A  1 : 25 331 0; 2 : 25 331

7

Q x z    Q x z   

B  Q1 : 5x  z 0; Q2 : 55x11z140 C  Q1 : 5 x  z 0; Q2 : 55 x11z140 D  Q1 : 5x  z 0;Q2: 55x11z 7

Lời giải

 P

2 :

1 1

y

x z

d   



1

:

2 1

y

x z

d    

 

 P : 2x2z 1  P : 2y2z 1

 P : 2x2y 1  P : 2y2z 1

d A2; 0; 0 u1  1;1;1

d B0;1; 2 u2 2; 1;     P

d d2  P n u u1, 2  0;1; 1 

  

 P y z D  0 

 P d1 d2  P 0; ;11 M 

  AB

 

   

1

1

1 '

: , : ' ; : 0,

1 '

3 15 12 30

; ; , ; ;

3 3 9

x t x t

d y t d y t Q x z d d

z t z t

d d d d d d

Q d A Q d B

   

 

 

        

 

       

 

        

   

       

   

Suy ; ;30 16 ; ;30 

9 9

d d d

AB      d   d  d

 



Do 16 2  2 30 2

3

AB  d    d   d

2

25 331

80

42 300 252

9 25 331

7 d

d d

d

     

     

      Vậy, tìm hai mặt phẳng thỏa mãn:

 1  2

25 331 25 331

: 0; :

7

Q x z    Q x z   

Chọn A

Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   qua điểm M1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O) cho M trực tâm tam giác

ABC Mặt phẳng   có phương trình

A x2y3z140 B

1

x y z

    C 3x2y z 100 D x2y3z140

Lời giải

Cách 1:Gọi Hlà hình chiếu vng góc Ctrên AB , Klà hình chiếu vng góc B AC.M trực tâm tam giác ABC M BKCH

Ta có: AB CH AB COH AB OM(1)

AB CO

 

   

   (1)

Chứng minh tương tự, ta có: ACOM (2) Từ (1) (2), ta có: OM ABC

Ta có: OM1; 2;3

Mặt phẳng   qua điểmM1; 2;3và có VTPT OM1; 2;3 nên có phương trình

x12y23z30 x 2y3z140 Cách 2:

+) Do A B C, , thuộc trục Ox Oy Oz, , nên A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )B b C c (a b c, , 0) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng(ABC)là x y z

ab c 

M K

H O z

y

x C

B

+) Do M trực tâm tam giác ABC nên

( )

AM BC BM AC

M ABC

 

 

 

 

 

 

Giải hệ điều kiện ta đượca b c, , Vậy phương trình mặt phẳng:x2y3z140

Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho  P :x4y2z 6 0, Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của   P , Q cắt trục tọa độ điểm A B C, , cho hình chóp O ABC hình chóp

A xy  z B xy  z C xy  z D xy  z Lời giải

Chọn M6; 0; , N2; 2; 2 thuộc giao tuyến của   P , Q

Gọi A a ;0; , B0; ; ,b  C0; 0;c giao điểm   với trục Ox Oy Oz, ,  :x y z 1a b c, , 0

abc  



  chứa M N,

6

2 2

1 a

a b c



 

  

    



Hình chóp O ABC hình chóp đềuOAOBOC a  b  c Vây phương trìnhxy  z

Câu 16: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , (không trùng với gốc tọa độO) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A  P :xy  z B  P :xy  z C  P :x   y z D  P :x2y  z

Lời giải

Gọi A a ;0; , B0; ; ,b  C0; 0;c giao điểm  P với trục Ox Oy Oz, ,  P :x y z 1a b c, , 0

abc  

Ta có:

 

1 1

1

1 3

1

N P a b c

NA NB a b a b c x y z

NA NC a c



   

 

 

             

 

     

 



Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  Q :x  y z hai điểm 4, 3,1 , 2,1,1 

A  B Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  Q cho tam giác ABM vuông cân M

A

1; 2;1

17

; ;

7 7

M M

  

 

  

 

  



B

1; 2;1 17

; ; 7 M

M  

 



 

  



C

 1; 2;1

13

; ;

7 7

M M              

D

1;1;1

9

; ;

7 7

M M              Lời giải Gọi M a b c M , ,   Q    a b c  

Tam giác ABM cân M khi:

 2  2  2  2  2  2  

2

4 1

AM BM  a  b  c  a  b  c   a b 

Từ  1  2 ta có:  *

2 5

a b c a b

a b c b

                  

Trung điểm AB I3; 1;1   Tam giác ABM cân M, suy ra:  32  12  12  3

2 AB

MI   a  b  c 

Thay  *  3 ta được:  2  2  2

2

2 9

7 b

b b b

b                  

2 1, 1; 2;1

9 17 17

, ; ;

7 7 7

b a c M

b a c M

      

 

          

 

Chọn A

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho điểm A1;3; , B3; 2;1 mặt phẳng  P :x2y2x11 0. Tìm điểm M  P cho MB 2,MBA 30



 

A  

  1; 2;3 1; 4;1 M M   

B  

  1; 2;3 1; 4;1 M M     

C  

  2;1;3 4;1;1 M M   

D  

  1; 2;3 1; 4;1 M M      Lời giải

Nhận thấy A P B,  P ,AB

Áp dụng định lý côsin tam giác MAB ta có:

2 2 2

2 os30

MA MB BA  MB BA c  MB MB BA

Do tam giác MAB vng A

Ta có:    

1

, 0; 5;5 : 1;3 ;

2

AM p

x

u AB n AM y t M t t

z t                      

Ta có 2

2

MA  t t    t Với t  1 M1; 2;3 ; t  1 M1; 4;1 Chọn A

Câu 19: Trong không gian tọa độ , cho tám điểm , , ,

, , , , Hỏi hình đa diện tạo

tám điểm cho có mặt đối xứng

A 3 B 6 C 8 D 9

Lời giải

Oxyz A2; 2; 0  B3; 2; 0  C3; 3; 0  2; 3; 0

Vì tám điểm chõ tạo nên hình lập phương, nên hình đa diện tạo tám điểm có mặt đối xứng

Chọn D

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1; 2; ,  B0; 1;1 ,  C2;1; ,  3;1; 4

D

Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó?

A 1 B 4 C 7 D Vô số

Lời giải Ta có AB  1;1;1 , AC1;3; ,  AD2;3;4

Khi  AB AC,     4;0; 4  suy   AB AC AD,   240 Do A B C D, , , không đồng phẳng đỉnh tứ diện

Khi có mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh tứ diện Bao gồm: mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh tứ diện mặt phẳng qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ)

Chọn C

Câu 21: Trong không gian cho điểm M(1; 3; 2) Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A B C, , mà OAOBOC0

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn C

Giả sử mặt phẳng ( ) cần tìm cắt Ox Oy Oz, , (a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, c)(a, b, c 0)

A 

( ) :x y z abc 

 ; ( ) qua M(1; 3; 2) nên: ( ) :1 1(*) abc 



(1) (2)

0

(3) (4)

a b c

a b c

OA OB OC a b c

a b c

a b c

  

    

       

    

Thay (1) vào (*) ta có phương trình vơ nghiệm

Thay (2), (3), (4) vào (*) ta tương ứng 4, 6, a  a a  Vậy có mặt phẳng

Câu 22: Có mặt phẳng qua điểm M(1;9; 4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho OAOBOC

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn D

Giả sử mặt phẳng ( ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ ( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )

A a B b C c với a b c, , 0

Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng x y z abc 

Mặt phẳng ( ) qua điểm M(1;9; 4) nên (1) abc 

Vì OAOBOC nên a  b  c, xảy trường hợp sau: +) TH1: abc

Từ (1) suy a 14,

aaa    nên phương trình mp( ) xy z 140 +) TH2: ab c Từ (1) suy a 6,

aaa   nên pt mp( ) xy  z +) TH3: a  b c Từ (1) suy a 4,

aaa     nên pt mp( ) xy z 40 +) TH4: a   b c Từ (1) có a 12,

aaa     nên pt mp( ) xy z 120 Vậy có mặt phẳng thỏa mãn

Câu 23: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

1

x y z

d    

 mặt phẳng  P : 2xy2z20  Q mặt phẳng chứa d tạo với mặt phẳng  P góc nhỏ Gọi nQ a b; ;1



vectơ pháp tuyến  Q Đẳng thức đúng?

A ab0 B ab 1 C ab1 D ab 2 Lời giải

Gọi d giao tuyến  P  Q , B giao điểm d  P Suy B cố định Bd

Trên đường thẳng d lấy điểm A không trùng vớiB Gọi H hình chiếu vng góc Alên mặt phẳng  P , E hình chiếu vng góc H lên d

Ta có AH  P ;BE P AH BE Mà BE EH Suy BEEA Vậy góc  P  Q góc AEH

Ta có tam giác AEH vng H AH khơng đổi

Vì vậy, góc AEH nhỏ  EH lớn Mà EH BH ; BH không đổi

Suy EH lớn  E trùng với B  dvng góc với BH Từ suy d vng góc với d

Vậy  Q mặt phẳng chứa d tạo với mặt phẳng  P góc nhỏ  Q chứa d d(với d nằm  P , qua B vng góc với d )

Ta có nP 2 ; 1; 2   vectơ pháp tuyến  P ; ud   1; ;1là vectơ phương d

 

; 3; 0;3 P d

n u   

 

 

 ud 1; ;1



vectơ phương d

 

; 2; 2;

d d u  u

    

 

 

 nQ   1; 1;1 



vectơ pháp tuyến mặt phẳng  Q Suy a 1;b     1 a b

Cách Ta có

 1; ;1 d

u  vectơ phương d

 ; ;1 Q

n  a b



vectơ pháp tuyến  Q

2 ; 1; 2 P

n   



là vectơ pháp tuyến  P

 Q mặt phẳng chứa d nên nQ ud  n uQ d 0  a 2b 1 0a2b1  1 Gọi  góc  P  Q

  2 22

cos cos ;

3

P Q

a b n n

a b

  

  

   

 2 Thay  1 vào  2 ta có

P

d'

d

H E

B

2 2

4 2

cos

3 4 1

b b b

b b b b b

     

     

2

1 1

4 1

5 2 1 3

b b b

  

 

   

   

Góc  nhỏ  cos lớn cos



 

Khi 1 b

b     Suy a 1 Vậy ab 2

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B a( ; 0; 0), D(0; ; 0)a , A(0; 0; )b (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh

CC Giá trị tỉ số a

b để hai mặt phẳng

(A BD )

MBD vng góc với A 1

3 B

1

2 C 1 D 1

Lời giải

Ta có  ; ;0 ' ; ;  ; ;

2 b ABDCC a a C a a b M a a 

 

 

Cách

Ta có 0; ;

2 b MB  a 

 



; BD  a a; ; 0 A B' a;0;b

Ta có ; ; ;

2

ab ab uMB BD a 

 

  

BD A ; 'B    a2;a2;a2 Chọn v1;1;1 VTPT A BD' 

   

' 0

2

ab ab a

A BD MBD u v a a b

b            Cách

' ' '

A B A D A X BD

AB AD BC CD a

MB MD MX BD

 

 

     

 

 

với X trung điểm BD A BD'  ; MBD A X MX' ; 

 

 

 

; ;0 2 a a X 

  trung điểm BD

' ; ;

2 a a A X  b

 



, ; ;

2 2

a a b

MX     

 



A BD'   MBD A X' MX

'

A X MX   

2 2

0

2 2

a a b

   

      

   

Câu 25: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm

đó dương mặt phẳng Biết vng góc với

, mệnh đề sau đúng?

A B C D

Lời giải Ta có phương trình mp(

Ta có

Từ (1) (2)

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A5;5; ,  B1; 2;3 ,  C3;5; 1  mặt phẳng P : xy  z

Tính thể tích V khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng  P SASBSC

A 145

V  B V 145 C 45

6

V  D 127

3

V 

Lời giải Gọi S a b c ; ;    P     a b c 1 

Ta có:  2  2

5 ,

AS  a  b c

 2  2  2  2  2  2

1 ,

BS  a  b  c CS  a  b  c

Do

           

         

2 2 2

2 2 2

1 3

5 5

4 21

4 15

a b c a b c

SA SB SC

a b c a b c

a b c

a c

           

    

          

     

 

   

Ta có hệ:

6

4 21

23 13

4 15 6; ;

2 2

5

9 a

a b c

a c b S

a b c

c       

 

   

         

   

 

     

 

   

Lại có:

 4; 3;3 ,  2; 0; 1

AB   AC  

 

   

23 145

3; 10; ; 1; ; 145

2 S ABC

AB AC AS   AB AC AS V

            

 

     

,

Oxyz A1;0;0 , B 0; ;0 ,b  C0; 0;c

,

b c  P :y z  1 mp ABC  mp P 

 

 , 

3

d O ABC 

1

bc  2bc1 b3c1 3bc 3

)

ABC

1

x y z

b c

  

ABC  P 1 b c(1)

b c

     

 

  2

2

1 1 1

, (2)

3 1

1 d O ABC

b c

b c

     

 

1

1

b c b c

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; ,  M2; 4;1 , N1;5;3 Tìm tọa độ điểm C nằm mặt phẳng  P :x z 270 cho tồn điểm B D, tương ứng thuộc tia AM AN, để tứ giác ABCD hình thoi

A C6; 17; 21  B C20;15; 7 C C6; 21; 21 D C18; 7;9  Lời giải

C giao phân giác AMNvới  P Ta có: AM 3;AN 5 Gọi E giao điểm phân giác AMN MN Ta có:

5

EM AM

EN  AN 

13 35

5 ; ;

8

EM EN E 

     

 

  

 

1

: 19

1 22

x t

AE y t

z t

   

   

    

6; 21; 21 C



Câu 28: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;1;2, 2; 3;1

B  , C3;2;2 mặt phẳng   :x3y z Gọi A, B, C hình chiếu vng góc A, B, C lên   D điểm cho A B C D    hình bình hành Diện tích hình bình hành A B C D   

A

22 B

4

11 C

8

11 D

6 22 Lời giải

Chọn C

Ta có AB0; 4; 1  , AC1;1;0

 

, 1; 1;4

ABC

n AB AC

   ,

2

ABC

S AB AC

    

   

  22

cos ,

33 ABC

ABC n n ABC

n n

 

  

 

  cos   ,  22

2 33 11

A B C ABC

S    S ABC 

   

8

11

A B C D A B C

S    S  

  

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba mặt phẳng

  :x2y  z 0;  :x2y  z 0;  :x2y  z

Một đường thẳng  thay đổi cắt ba mặt phẳng       ;  ;  A B C, , Hỏi giá trị nhỏ biểu thức 144

P AB

AC

  là?

A 108 B 72 C 96 D 36

Lời giải Chọn A

Vì ba mặt phẳng       / /  / /  , nên theo định lí Thales khơng gian, ta có:    

 

   

   

,

3

,

d AB

AC d

 

 

 

  

  

2 144 144 72 72 3 72 72

9 9 108

P AB AC AC AC

AC AC AC AC AC AC

        

Chọn A

Câu 30: (THTT lần5) Trong khơng gian Oxyz, cho hình chóp S ABC có SC  AB3 2, đường thẳng AB có phương trình 1

1

x y z

 

 góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 60 Khi ba điểm , ,A B C với ba trung điểm ba cạnh bên hình chóp S ABC nằm mặt cầu mặt phẳng ABC có phương trình

A y  z B x y 4z140.C x2y7z80 D x y 4z140 Lời giải

Chọn C

GọiH K, hình chiếu S lên mặt phẳng ABC đường thẳng AB  góc SC mặt phẳng ABC góc SCH 60

3 sin 60

2

SH SC

   

Gọi K1t; ; 1t  tAB SKt; 4t3; 3 t

Gọi uAB vectơ phương đường thẳng AB Theo đề uAB 1; 4; 1 

Ta có 16 12 3;2;

2 2

AB

SK ABSK u   t t     t t K  

 

 

1 49 3

; 1;

2

SK   SK

        

 



SK SH H K

   

Khi SK ABC Chọn vectơ pháp tuyến mp ABC  1; 1;

2

nSK    

 

 

, ta có phương trình mặt phẳng ABC  2 7

2 x y x x y z

   

          

   

Cách 2: ABC chứa điểm M1;0; 1  nên loại đáp án B, D Vecto pháp tuyến ABC vuông góc với vecto phương đường thẳng AB nên Chọn C Phương án nhiễu kém! Nhận xét:Khi điểm , ,A B C với ba trung điểm ba cạnh bên hình chóp S ABC nằm mặt cầu mặt bên hình chóp cụt hình thang cân suy SASB SC Mà SK ABC nên K tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do ABC vng C nên tâm mặt cầu qua điểm , ,A B C với ba trung điểm ba cạnh bên hình chóp S ABC K Đề nên hỏi phương trình mặt cầu qua điểm

Câu 31: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểmA1;1;1, B1;0; 2 , 2; 1; 0

C  , D2; 2;3 Hỏi có mặt phẳng song song với AB CD, cắt đường thẳng AC BD, M N, thỏa mãn

2

2 BN

AM AM

 

 

 

 

A 0 . B 2 . C 3 D 1

Lời giải Chọn D

Cách 1:

Ta dễ dàng chứng minh điểm A B C D, , , tạo thành tứ diện Gọi ( ) mặt phẳng cần tìm, ta xác định mặt phẳng ( ) sau:

Xét ( ) ABC có    //

M AB

AB

 

 

 

 

 

giao tuyến ( ) ABClà Mx //

Mx AB, MxABK

Tương tự ta có giao tuyến của( ) BCDlà Ky Ky CD// , KyBDN ( ) KMN

Ta có: BN BK AM BD  BC  AC 

30

BN AM BN BD

Vậy từ giả thiết: 2 BN AM AM         6

AM AM AC

    

 M điểm đối xứng C qua A

Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2:

Ta dễ dàng chứng minh điểm A B C D, , , tạo thành tứ diện

Vì mặt phẳng ( ) song song với AB CD, cắt đường thẳng AC BD, M N, nên theo định lí Talet khơng gian ta có: 30

6

BN BD

AM  AC  

Vậy từ giả thiết:

2 BN AM AM         6

AM AM AC

    

 M điểm đối xứng C qua A

Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 32: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, cho điểm M1; 3; 2  Hỏi có mặt phẳng qua M cắtcác trục tọa độ tạiA,B,C mà OAOBOC  0?

A 3 B 1 C 4 D 2

Lời giải Chọn A

Gọi A a ; 0; 0, B0; ; 0b , C0; 0;c Từ ta có OA a , OB b, OC c

Mặt phẳng qua điểm A,B,C có phương trình theo đoạn chắn: x y z  P abc  Vì M P nên

abc  Vì OAOBOC a  b  c Từ ta có hệ phương trình:

1

1

a b c

a b c

         

1

1

a b c

a b b c            

1

1

a b c

a b a b b c b c                      

1

1

1

1

1

1

1

1

a b c

a b c

a b c

a b c

a b c

a b c

a b c

a b c

                                                  

a b c

a b c

a b c

                  

Vậy có mặt phẳng thỏa mãn

Câu 33: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  2  2

:

S x  y  z  điểm A2; 2; 2 Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC, AD với B, C, D tiếp điểm Viết phương trình mặt phẳng BCD

A 2x2y  z B 2x2y  z C 2x2y  z D 2x2y  z

Chọn D

Mặt cầu  S : x2 y2z12 4 có tâm I0;0;1 bán kính R2

Do AB, AC, AD ba tiếp tuyến mặt cầu  S với B, C, D tiếp điểm nên:

AB AC AD

IA

IB IC ID R

  

 

   

trục đường trịn ngoại tiếp BCDIABCD Khi mặt phẳng BCD có vectơ pháp tuyến n IA2; 2;1

Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp BCDJIAvà IJ BJ Ta có: IBA vng B BJ IA nên:

2

2 4

3

IB

IB IJ IA IJ IJ IA

IA

      Đặt J x y z ; ; IJ x y z; ; 1, IA2; 2;1 8 13; ;

9 9

IJ  IAJ 

 

 

Mặt phẳng BCD qua 8 13; ;

9 9 J 

  có véctơ pháp tuyến n2; 2;1 

có phương trình:

8 13

2 2

9 9

x y z x y z

     

          

     

     

Câu 34: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H a b c ; ;  với a b c, , 0 Mặt phẳng ( )P chứa điểm H cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , thỏa mãn H trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( )P

A. x2 y2 z2 ab bc ca

a b c abc

 

   B. x y z

abc 

C. 2

0

axbycza b c  D. 2 3

0 a xb yc za b c  Lời giải

Chọn C Cách 1:

Gọi A x 0; 0; 0, B ; y0; 0 , C 0; 0; z0 Khi mặt phẳng ( )P có phương trình theo đoạn chắn

0 0

1

x y z

x  y  z 

Ta có : AH ax b c0; ;  , BC0;y0;z0 , BH a b; y c0;  , AC  x0; 0;z0 I

B

C

D

Vì Hlà trực tâm tam giác ABCnên ta có hệ:

 

2 2

0

0

0 2 2 2

0 0 0

2 2

0

0 0

0

0

=0 0

=0

1 1

a b c

c y

y z

b b

AH BC by cz

c a b c

BH AC ax cz x z x

a a

a b c

H ABC a b c

a b c

z

x y z c c

z c

z z

a b



  



    



     



   

  

       

   

    

      

     



  



 

  

 

Thay vào phương trình mặt phẳng ( )P ta được: 2 ax2 2 2 by2 2 2 cz2 2 a b c a b c a b c  Hay  P ax by:  cz a 2b2 c2 0

Cách : Ta chứng minh OH ABChay OH  P Do mặt phẳng ( )P qua H nhận OH a b c ; ; làm véc tơ pháp tuyến có phương trình :

      2

0

a xa b y b c z c  ax by cza b c 

Câu 35: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1) B(3; 1; 5) Mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng AB cắt trục Ox, Oy Oz điểm D, E

F Biết thể tích tứ diện ODEF

2, phương trình mặt phẳng ( )P là

A

2x3y4z 36 0 B 2

2 x y z  C 2x3y4z120 D 2x3y4z 6

Lời giải Chọn D

Vì AB( )P nên mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp tuyến AB(2; 3; 4) , phương trình mặt phẳng ( )P có dạng 2x3y4zd0, từ tìm ( ;0; 0)

2 d

D  , (0; ; 0)

3 d

E ,

(0; 0; ) d

F  suy

2 d OD ,

3 d OE ,

4 d

OF  Mặt khác tứ diện ODEF có OD OE OF, , đơi vng góc nên

6 ODEF

V  OD OE OF

3

( )

6

144

d

d d

       Vậy phương

trình mặt phẳng ( )P 2x3y4z 6

Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm 4; 4;1

M  chắn ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội

2?

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn C

Gọi A a ; ; , B0 ; ; ,b  C0 ; 0;clà giao điểm mặt phẳng  P trục tọa độ  P :x y z

a b c

Theo giả thiết có:

  4 1 8, 4,

8, 4,

1

1 16, 8, 4

2

2

M P a b c

a b c a b c

OC OB OA a b c

c b a

 

          



      

 

      

    





Vậy có mặt phẳng thỏa mãn

Câu 37: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gianOxyz, cho mặt cầu

  2

:

S x  y z  x y z  Viết phương trình mặt phẳng   chứa Oy cắt mặt cầu

 S theo thiết diện đường trịn có chu vi 8

A   : 3xz0 B   : 3xz0 C   :x3z0 D.  : 3x z 20

Lời giải Chọn A

 S có tâm I1; 2; 3 , bán kính R4 Đường trịn thiết diện có bán kính r4  mặt phẳng   qua tâm I

  chứa Oy   :axcz0 Mà I  a3c0a 3c Chọn c  1 a3  : 3xz0

Câu 38: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1;0;0), (0;1;0)

A B Mặt phẳng qua điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz Csao cho tứ diện OABC tích

6có phương trình dạng x ay bz c   0 Tính giá trị a3b2c

A 16. B 1 C 10 D 6

Lời giải Chọn D

Mặt phẳng qua điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz C0; 0;c, c0 có phương trình

1

x y z

c

  

Mặt khác: 1 1

6 6

OABC

V   OA OB OC c

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng 1

1 1

x y z

x y z

       

Vậy a b 1, c 1a3b2c 1 3.1 2 6

Câu 39: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm 1;2;5

M Mặt phẳng  P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Thể tích tứ diện OABC

A 10

6 B 450 C 10 D 45

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng  P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi A a , 0, 0;

0, , 0

B b ; C0, 0,c Phương trình mặt phẳng  P có dạng:

 

1

x y z

abc 

Mặt khác M trực tâm tam giác ABC nên AM BC BM AC      AM CB BM AC           Ta có AM 1a;2;5; BM 1;2b;5; CB0; ;b c; AC  a;0;c Khi :

5 b c a c         5 b c a c        

Thay vào (2) ta có:

1

1

5c5cc c6

30 15 a b c         

Vậy thể tích tứ diện OABC là:

6

V  OA OB OC  abc 1.30.15.6 450

  (đơn vị thể tích) Câu 40: (Kim Liên) Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A2;1; 2 , B1;1; 0 mặt phẳng

 P :xy  z Điểm C thuộc  P cho tam giác ABC vuông cân B Cao độ điểm C

A 1

 . B 1

3. C 3

3. D 1  . Lời giải

Chọn A

Gọi tọa độ C a b c ; ; 

Vì điểm C thuộc  P :xy  z nên a   b c hay tọa độ C có dạng

     2  2

1; ; ; 1;

C   b c b c BC  b c b c BC  b c  b c

Ta có  

1; 0;

AB  AB 



Do tam giác ABC vuông cân B nên  

 2  2  

2 2

1

1

b c AB BC

BC AB b c b c

                    

Thay  1 vào  2 ta có

1

6 2

3 c c c c            ( 3;1;1)

1 2

; ;

3 3

C C                 

Vậy cao độ điểm C



Câu 41: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  1;2;1 ,B 3; 4; 0, mặt phẳng  P :ax by cz 460 Biết khoảng cách từ A B, đến mặt phẳng  P Giá trị biểu thức T   a b c

A. 3 B.6 C. D.

Lời giải Chọn B

Gọi H K, hình chiếu A B, mặt phẳng  P Khi theo giả thiết ta có: AB3, AH6, BK3

Suy A B H, , ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H5;6; 1  Vậy mặt phẳng  P qua H5;6; 1  nhận AB2; 2; 1 là VTPT có nên phương trình

     

2 x5 2 y6 1 z1  0 2x2y z 23 0

Theo  P : 4 x4y2z460, nên a 4,b 4,c2 Vậy T     a b c

Câu 42: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

2 2

( ) (S : x1) (y1) (z1) 12 mặt phẳng (P):x2y2z110 Xét điểm M di động ( )P ; điểm A B C, , phân biệt di động ( )S cho AM BM CM, , tiếp tuyến ( )S Mặt phẳng (ABC) qua điểm cố định đây?

A 1; 1;

4 2

 

 

 

 

B 0; 1; 3  C 3;0; 2

 

 

  D 0;3; 1  Lời giải

Chọn D

Mặt cầu  S có tâm I1;1;1 bán kính R2 Xét điểmM a b c ; ; ;A x y z ; ;  ta có hệ điều kiện:

 2  2  2

2 2

2 1 12

2 11

x y z

AI AM IM

a b c

       



 



     



       

             

 

2 2

2 2 2

2 1 12

12 1

2 11

x y z

x a y b z c a b c

a b c

     

            

 

 

 

 

  

Lấy (1) – (2) theo vế có:

x12y12z1212x a 2y b 2z c 212a12b12c12

   

a 1x b 1y c 1z a b c

          

Vậy mặt phẳng qua ba tiếp điểm   Q : a1xb1yc1z    a b c Kết hợp với (3) suy mặt phẳng qua điểm cố định 0; 3; 1 

Câu 43: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm A1;1;1 , B2;0; 2,  1; 1; , 0;3; 4

C   D Trên cạnh AB AC AD, , lấy điểm B C D', ', ' thỏa:

' ' '

AB AC AD

AB  AC  AD  Viết phương trình mặt phẳng B C D' ' ' biết tứ diện AB C D' ' ' tích nhỏ nhất?

A 16x40y44z390 B 16x40y44z390 C 16x40y44z390 D 16x40y44z390

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có: 4 33

' ' ' ' ' '

AB AC AD AB AC AD

AB AC AD AB AC AD

' ' ' 27

64

AB AC AD AB AC AD

   ' ' ' ' ' ' 27

64

AB C D ABCD

V AB AC AD

V  AB AC AD  ' ' '

27 64 AB C D ABCD

V V

 

Để VAB C D' ' ' nhỏ ' ' '

AB AC AD

AB  AC  AD 

3 7

' ' ; ;

4 4

AB AB B  

    

 

 

Lúc mặt phẳng B C D' ' ' song song với mặt phẳng BCDvà qua ' 7; ; 4 B  

 

B C D' ' ' :16 x 40y 44z 39

    

Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong không gian Oxyz

1

:

1

x y z

d    

 mặt phẳng  P : 2xy2z40 Mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng  P góc với số đo nhỏ có phương trình

A x z 20 B x z 20 C 3x   y z D xy  z Lời giải

Chọn D

Lấy điểm A0; 1; 2  thuộc đường thẳng d

Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  P

Gọi E K, hình chiếu vng góc H lên mặt phẳng  Q đường thẳng d Ta có: AH P HE,  Q    P , Q AHE Xét cos HE HK

HA HA

 

Để  có số đo nhỏ cos lớn EK Lúc mặt phẳng  Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng HAK

Mặt phẳng AHK mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông với mặt phẳng  P

,

AHK d P

n u n    

  

vectơ pháp tuyến mặt phẳng AHK

Suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng Q nQ ud,nAHK   6; 6;6

  

 phương trình mặt phẳng Q : xy  z

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2; 2; 0)A  , đường thẳng :

1

x y z

  



Biết mặt phẳng ( )P có phương trình ax by cz  d0 qua A, song song với và khoảng cách từ  tới mặt phẳng ( )P lớn Biết ,a b số nguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng a b c d   bao nhiêu?

A 3 B 0 C 1 D 1

Gọi H hình chiếu vng góc A đường thẳng  Do H  H( 1 t t;3 ; 2t) AH   ( t 3;3t2;t2)



Do AH    AH u  0 với u  ( 1;3;1)

1.( t 3) 3.(3t 2) 1.(t 2) 11t 11

              t 1H0; 3;1 

Gọi F hình chiếu vng góc H ( )P , đó: d( , ( )) P d H P( , ( ))HFHA Suy d( , ( )) P max HA Dấu “=” xảy FA AH ( )P , hay toán phát biểu lại

“ Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A vng góc với AH ” Ta có AH    2; 1;1 (2;1; 1) , suy n( )P (2;1; 1)



Suy phương trình mặt phẳng ( )P 2(x2)    y z 2x   y z

Do , * 2,

( , ) 1,

a b a b

a b c d

a b c d

  

 

     

 

    

 



Chọn B

Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

1

x y z

d     



2

:

2

x t

d y t

z    

      

Mặt phẳng  P :ax by czd 0 (với a b c d; ; ; ) vng góc với đường thẳng d1 chắn

1,

d d đoạn thẳng có độ dài nhỏ Tính a  b c d

A 14 B 1 C 8 D 12

Lời giải

Ta có mặt phẳng (P) vng dóc với đường thẳng d1 nên (P) có véctơ pháp tuyến n1; 2;1 Phương trình (P) có dạng  P :x2y z d0

Gọi M giáo điểm (P) với d1 N giao (P) với d2 suy ;2 ;10

6

d d d

M    

 ,

4

; ;

3

d d

N     

 

Ta có

2

2 16 155

18 9

d d

MN   

Để MN nhỏ MN2 nhỏ nhất, nghĩa d  16 Khi a  b c d  14

Chọn A

Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3xy  z hai điểm 1; 0; 2

A , B2; 1;   Tìm tập hợp điểm M x y z ; ;  nằm mặt phẳng  P cho tam giác MAB có diện tích nhỏ

A 7

3

x y z

x y z

    



    

B 14

3

x y z

x y z

    



    

C 7

3

x y z

x y z

    



    

D

3

x y z

x y z

    



    

Ta thấy hai điểm A B, nằm phía với mặt phẳng  P AB song song với  P Điểm  

M P cho tam giác ABM có diện tích nhỏ ( ; )

2 ABC

AB d M AB S

  nhỏ d M AB ;  nhỏ nhất, hay M        P  Q , Q mặt phẳng qua AB vng góc với  P

Ta có AB1; 1; 2 , vtpt  P n P 3;1; 1  Suy vtpt  Q : n Q  AB n,  P   1; 7; 4 PTTQ  Q : 1 x17y4z20

7

x y z

    

Quỹ tích M 7

3

x y z

x y z

    



    

Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm Gọi mặt phẳng qua cho tổng khoảng cách từ đến lớn biết khơng cắt đoạn Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ?

A B C D

Lời giải Gọi trung điểm đoạn ; điểm

hình chiếu

Ta có tứ giác hình thang đường trung bình

Mà (với không đổi)

Do vậy, lớn

qua vng góc với

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;3;1 hai mặt phẳng  P :x2y2z 3  Q :2x2y  z Gọi B P C,  Q cho chu vi tam giác ABC nhỏ Tính P ABBCCA

A 321

P B 231

9

P C 321

9

P D 231

9

P

Lời giải Chọn A

Gọi A A1, 2 điểm đối xứng A qua    P , Q ta có BABA CA1, CA2

1 2

2 321 PA BBCCA A A P

,

Oxyz A1;0;1 ; B3; 2; ;  C1; 2; 2 

 P A B C  P

 P BC  P

 2; 0; 

G  F3; 0;   1;3;1 E  H0;3;1

I BC

, ,

B C I   B C I, ,

 P

BCC B  II

 

 ,   ,  

d B P d C P BB CC II

    

II IA IA  

 ,   ,  

d B P d C P I  A

 P

 A IA

 2; 0; 

I 

 P : x 2z E1; 3;1  P

      

A

I' C'

B'

I

C B

Dấu xảy B P A A C1 2,  Q A A1 2 Trong tọa độ A1 nghiệm hệ

2

2

2 2

2

1 2

x y z

x y z

        

   

     



     



  

  



 

4 x y z 

    

 

 

  

1

4 ; ; 3

A  

  

 

Tọa độ điểm A2 nghiệm hệ

2

2

2 2

2

2

x y z

x y z

         

   

     



      



  

  



 

2 43 9 x y z 

    

 

 

  

2

2 43 ; ; 9

A  

  

 

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 hai điểm 1; 2;3 , 3; 4;5

A B Gọi M điểm di động  P Giá trị lớn biểu thức

MA MB



bằng:

A 3 6 78 B 3 3 78 C 546 78 D 3

Lời giải

Ta dễ dàng nhận thấy A P AB2 P MA MA AB

MB MB

 

 

Áp dụng định lý hàm số sin:

sin sin

2 cot cos cot

sin 2

MBA AMB MAB MBA AMB MAB

P

MAB

       

       

     

Do Pmax  MAB nhọn đạt giá trị nhỏ tù đạt giá trị lớn Điều xảy M nằm đường thẳng hình chiếu AB  P tam giác MAB cân A

Chọn C

Câu 51: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Mặt phẳng  P qua điểm 1;1;1

M cắt tia Ox, Oy, Oz A a ;0;0, B0; ;0b , C0; 0;c cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Khi a2b3c

A 1 B 21 C 15 D 18

Lời giải Chọn D

Từ giả thiết ta có a0,b0,c0 thể tích khối tứ diện OABC OABC

V  abc Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng  P có dạng x y z

abc  Mà M  P 1 1

a b c

Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho ba số ta có: 1 1 33 abc 27

a b c abc

     

Do

6

 

OABC

V abc Đẳng thức xảy a  b c

Vậy

2

OABC

V  abc Khi a2b3c18

Câu 52: (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM 2019) Cho mặt cầu   S : x12y22z52 16 điểm A1; 2; 1  Điểm B a b c ; ;  thuộc mặt cầu cho AB có độ dài lớn Tính a b c

A 6 B 2 C 2 D 12

Lời giải Chọn A

+ Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 5 và bán kính R  4

+ Gọi  đường thẳng qua điểm A I Véc tơ phương đường thẳng  0; 0; 4

u IA

 phương trình đường thẳng   

2

1 x

y t

z t

  

 



    



+ Vì A1; 2; 1  thuộc mặt cầu  S nên ABcó độ dài lớn  AB đường kính  B giao điểm lại đường thẳng và mặt cầu  S

+ B  B1; 2;   t   1 12 2 22  52 16 t

B S t

t              

   + Với t  0 B1; 2; 1 (Loại B  A)

+ Với t   2 B1; 2; 9  Vậy a      b c 6

Cách 2: Vì A1; 2; 1  thuộc mặt cầu  S nên AB có độ dài lớn  AB đường kính, tức I trung điểm đoạn AB

Câu 53: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y22z32 12 mặt phẳng ( ) : 2P x2yz30 Viết phương trình mặt phẳng song song với  P cắt  S theo thiết diện đường tròn  C cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn  C tích lớn

A. ( ) : 2Q x2yz20 ( ) : 2Q x2yz80 B. ( ) : 2Q x2yz 1 ( ) : 2Q x2yz110 C. ( ) : 2Q x2yz60 ( ) : 2Q x2yz30 D. ( ) : 2Q x2yz20 ( ) : 2Q x2yz20

Chọn B

    / / P   : 2x2y z d 0(d  3) Mặt cầu  S có tâm I1; 2;3 , bán kính R2 3

Gọi  H khối nón thỏa đề với đường sinh l R 2 3

Đặt xhd I( ,  ) Khí bán kính đường trịn đáy hình nón : r 12x2

Thể tích khối nón:

( )

1

(12 )

3

H

V   x x, với 0 x 2 3 Xét biến thiên hàm số : ( ) (12 2)

3

f x   x x 0 x 2 3

Khi f x( ) đạt giá trị lớn x2, hay d I( , ( )) 2

Vậy :

2 2

5 11

2.1 2.( 2)

( , ( )) 2

5

2 ( 1)

d d

d d I

d d

              

    

    

Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , , ,A B C cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác ABC

A x y 2z11  B 8x  y z 66=0 C 2x  y z 180 D x2y2z120

Lời giải Chọn D

Cách :

Với đáp án A: (11; 0; 0); B(0;11; 0); C(0; 0;11) (11 11 11; ; ) OG2 121

2 3

A G  

Với đáp án B: (33;0;0); B(0; 66;0);C(0; 0; 66) (11; 22; 22) OG2 15609

4 16

A G  

Với đáp án C: (9;0; 0); B(0;18; 0); C(0;0;18) (3;18 18; ) OG2 81 3

A G  

x

M I

Với đáp án D: ( 12; 0; 0); B(0;6; 0); C(0; 0; 6) ( 4; 2; 2) OG 24

A  G   

Cách :

Gọi A a ; 0;0 , B0; ; ,b  C0;0;cvới a b c, , 0 Theo đề ta có :8 1

abc  Cần tìm giá trị nhỏ a2b2c2

Ta có  2 2   2  2 2  2

4 1 1

a b c    a b c  a b c  a b c Mặt khác

    

 

 

2 2

2

4 1 1

8 1

2

4 1 36

a b c a b c

a b c

a b c

      

 

      

 

    Suy a2b2c263 Dấu '''' xảy

2

2

2

4 a

b c a b c

    

Vậy a2b2c2đạt giá trị nhỏ 216 a12,b c Vậy phương trình mặt phẳng :

12 6

x y z

   hay x2y2z120

Câu 55: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P qua điểm M1; 2;3 cắt trục

, ,

Ox Oy Oz ba điểm A B C, , khác với gốc tọa độ O cho biểu thức

2 2

1 1

OA OB OC có giá trị nhỏ

A  P :x2y z 140 B  P :x2y3z140 C  P :x2y3z11 0 D  P :xy3z140

Lời giải Chọn B

Gọi H trực tâm ABC

Ta có: BH AC AC OBH AC OH 1

OB AC

 

   

  

Chứng minh tương tự ta có: BC OH 2

Ta có: 12 12 12 2 OA OB OC OH Vậy để biểu thức 12 12 2

OA OB OC đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn Mà OH OM nên suy OH đạt giá lớn OM hay H M

Vậy OM ABC  P có vectơ pháp tuyến OM 1;2;3

Phương trình mặt phẳng  P : 1x12y23z30x2y3z140

Câu 56: Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M1; 2;3 cắt ba tia Ox, Oy, Oz A,B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

A 6x3y2z180 B 6x3y3z21 0 C 6x3y3z21 0 D 6x3y2z180

Lời giải Chọn D

Giả sử A a( ;0; 0), B(0; ; 0), (0; 0; ) ( , ,b C c a b c0) (ABC): x y z

abc  (1)

M(1;2;3) thuộc (ABC): abc Thể tích tứ diện OABC:

6 V  abc

Áp dụng BDT Cơsi ta có: 1 33 1 27.6 27 27

6abc V

a b c abc abc

         

Ta có: V đạt giá trị nhỏ

3

1

27

3

9 a

V b

a b c

c   

       

   Vậy (ABC): 6x3y2z180

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z hai điểm 3; 4;1 , 7; 4; 3

A B   Gọi M x y z 0; 0; 0 điểm thuộc mặt phẳng  P cho

 

2

2 96

MA MB   MA MB MA MB   MA MB đạt giá trị lớn Tính y0 A

7

y  B

5

y  C

8

y   D

2 3

y 

Lời giải Chọn C

 2

2

2 96

MA MB  MA MB  MA MB  

 2

2

2 96

MA MB MA MB MA MB

       

  2 2  2

96 96

MA MB MA MB AB MA MB

           

MA MB 2 MA MB MA MB         Khi theo AM – GM Pitago, ta có

2 2

48

2

MA MB AB

Dấu xảy AMB vng cân M , tọa độ điểm M nghiệm

hệ      

     

2 2

0 0

2 2

2

7

3 48 , ,

3 3 3

7 48

x y z

x y z x y z

x y z

     



            

 

     

 

GÓC

Câu 1: (Ba Đình Lần2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P có phương trình:

ax by cz  với c0 qua điểm A0;1; 0, B1;0; 0 tạo với Oyz góc 60 Khi a b c thuộc khoảng đây?

A 5;8  B 8;11  C 0;3  D 3;5  Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng  P qua hai điểm A, B nên 1

b

a b

a   

   

  

Và  P tạo với Oyz góc 60 nên    

2 2

1

cos ,

2 a

P Oyz

a b c

 

 

(*) Thay ab1 vào phương trình 2c2    2 c

Khi a b c   2 20;3

Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x1)2y2(z2)2 4 đường thẳng

2

:

1

x t

d y t

z m t

   

 

    

Tổng giá trị thực tham số m để d cắt  S hai điểm phân biệt ,A B tiếp diện  S ,A B tạo với góc lớn

A 1, B 3 C 1 D 2, 25

Lời giải Chọn C

Mặt cầu  S có tâm I1;0; 2  bán kính R 2

Các tiếp diện  S A B tạo với góc lớn ( 90) IA IB

   , 

2 R d I d

  

Đường thẳng d qua điểm M2; 0;m1 có VTCP u  1;1; 1  Suy ra: IM1;0;m1, IM u,       m 1; m;1

 

 

2

2

, 2 2 2 1

, 2 2

2

IM u m m m

d I d m m

m u

  

  

 

          

  

 



Vậy tổng giá trị thực tham số mbằng 1

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 2; , B2;0; 2  mặt phẳng  P :x2y  z

Tìm điểm M  P cho MAMB góc AMB có số đo lớn A 14; 1;

11 11 11 M  

  B

2

; ;

11 11 11 M  

  C M2; 1;    D M2; 2;1  Lời giải

Ta có  

 2  2  2  2

2

2 2

x y z

M P

x y z x y z

MA MB                           x z y z        

Do M3z 1; z z;  MA1 ; 2 z z;z,MB1 ; ; 2 z z  z

Do       

   

2

2 2

1 2

cos

1 3 2

z z z z z

MA MB AMB

MA MB z z z

             27 54 11 11 11 z             arccos 27 AMB  

Dấu đạt 11

z 14; 1;

11 11 11

M  

  

 

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’:

Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) tạo với mặt phẳng Oyz góc nhỏ

A B

C D

Lời giải

Giả sử (β): (đk: ), (β) có vtpt

d  (β)   

=

TH 1: A = (không thoả đb khơng nhỏ nhất) TH 2: A ≠ 0, ta có:

= = =

nhỏ  lớn  nhỏ 

3 2            x t y t z t ' '

2 '            x t y t z t

3xy 2z70 3xy 2z 7

3

 xy z  3x y 2z70

0    

Ax By Cz D A2B2C20 ( ; ; )

 

n A B C

( )          A n a

 3 2 0

2           

A B D

A B C

2 2          

D A C

B A C



cos(( ),( )) cos( , )   

Oyz n i



2 2

( 2)

  

A

A A C C



( ), ( Oyz)



cos(( ), ( Oyz))

2

1

1 (1 C ) ( )C

A A

2

1

6 12

( 3) 2 ( )

3    C C A A 12

( )

3

 

C A



( ), ( Oyz) cos(( ),( Oyz)) ( 6)2

 nên Vậy: (β):

Chọn D

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): đường thẳng Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ

A B

C D

Lời giải

PT mặt phẳng (P) có dạng: Gọi

Chọn hai điểm Ta có:

 (P): 

TH1: Nếu a = 

TH2: Nếu a  Đặt

Xét hàm số

Dựa vào BBT, ta thấy

Do có trường hợp thoả mãn, tức a = Khi chọn

Vậy: (P):

Chọn A

Câu 6: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho hinh lập phương 1 1

ABCD A B C D biết A0;0;0, B1;0; 0, D0;1; 0,A10; 0;1 Gọi  P :ax by cz   3 (với a b c, , ) phương trình mặt phẳng chứa CD1 tạo với mặt phẳng BB D D1 1  góc có số đo nhỏ Giá trị T a b c 

A 1. B 6 C 4. D 3

Lời giải Chọn C

1 (choïn)    

   

A C

1

7 

         B D

3xy 2z70

x2y z 50

x y z

d: 1

2 1

  

 

 P :y z 40  P : x z 40  P : x  y z 40  P :y z 40

ax by cz d   0 (a2b2c20) a (( ),( ))P Q

M( 1; 1;3), (1; 0; 4)  N d M P c a b

N P d a b

( )

( )

     



 

  

 

axby ( 2a b z ) 7a4b0 a b

a2 ab b2

3

cos

6 5 4 2

  

 

b b2

3

cos

2 2

   a 300

b a

b b

a a

2

1

cos

6

5



 

       

b x

a

 f x( ) cos 2

x x

f x

x x

2

2

9

( )

6

 



 

f x 0

min ( ) 0 cos 0a 90 30

b1,c1,d4

Từ giả thiết ta có C1;1; 0, B11; 0;1, D10;1;1

Gọi d giao tuyến  P BB D D1 1 , E trung điểm AC; K hình chiếu vng góc E d Ta có     , 1  

d CE

d ECK P BB D D EKC

d EK

 

   

  

Do    1 1  

1

sin , sin

2

CE CE

P BB D D EKC

CK CD

    suy góc mặt phẳng  P BB D D1  nhỏ 30



Dấu "=" xảy d vuông góc vớiCD1, mặt khác d vng góc với AC suy d phương với CD AC1, 

 

 

Do

 

1 1; 0;1

CD  ;AC1;1;0; nP CD AC CD1, , 11;2;1

 

 

    Vậy  P :x2y  z 0, a b c  4

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa cho góc mặt phẳng đường thẳng lớn

A xy z 60 B 7xy5z 9 C xy  z D xy  z Lời giải

Ta có: qua có

Phương trình mặt phẳng có dạng:

Ta có: Gọi Với

Với Đặt , ta

Oxyz 1:

1

x y z

d    



2

:

2

x y z

d    

 ( )P d1

( )P d2

1

d M(1; 2; 0) VTCPu(1;2; 1)



( )P 2

( 1) ( 2) 0,( 0)

A x B y Cz A B C 

( )

d P u n CA B

 

2

2 2 2 2

4 1 (4 3 )

(( ), ) sin

3

3

A B A B

P d

A AB B

A AB B

       

 

 

0

B sin 2

3



 

0

B t A

B



2

2

1 (4 3)

sin

3

t

t t

  

Xét hàm số Ta có:

Dựa vào BBT ta có: Khi đó:

Vậy Phương trình mặt phẳng

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

d    



2

:

2

x y z

d    

 Gọi  P mặt phẳng chứa d1 cho góc mặt phẳng  P đường thẳng d2 lớn Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A  P có vectơ pháp tuyến n 1; 1; 2  B  P qua điểm A0; 2; 0

C  P song song với mặt phẳng  Q : 7x y 5z 3 D  P cắt d2 điểm B2; 1; 4 

Lời giải

d qua M1; 2; 0  có VTCP u 1; 2; 1  Vì d1  P nên M  P Pt mặt phẳng  P có dạng: A x 1B y 2Cz0A2B2C2 0 Ta có: d1 P u n   0 CA2B

Gọi    

2

2 2 2 2

4

, sin

3

3

A B A B

P d

A AB B

A AB B

 

   

 

 

 

TH1: Với B0 sin 2 



TH2: Với B0 Đặt t A B

 , ta được:  

2

2

4

1 sin

3

t

t t

 

 



Xét hàm số    

2

4

2

t f t

t t

 

  Dựa vào bảng biến thiên ta có:   25 max

7

f x  t 7

A B  

Khi sin  7 f

  



So sánh TH1 TH2  lớn với sin 

 A

B  

2

(4 3) ( )

2

t f t

t t

 

 

2

2

16 124 84

'( )

(2 5)

t t

f t

t t

 



 

3

'( ) 4

7

t f t

t

   

 

   

25 max ( )

3

f t  t 7 A

B

  

5 sin ( 7)

9

f

   

5 sin

9

  A

Vậy phương trình mặt phẳng  P : 7x y 5z 9 Chọn B

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng mp Viết phương trình mặt phẳng qua d tạo với góc nhỏ

A B

C D

Lời giải

Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng:

Do mặt phẳng qua d thuộc chùm mặt phẳng:

Hay mp : (*) Mp có

Vậy:

Do nhỏ lớn

Vậy thay vào (*) ta có mp

Chọn B KHOẢNG CÁCH

Câu 10: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A10; 2;1 đường thẳng

1

:

2

x y z

d     Gọi  P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d cho khoảng cách d  P lớn Khoảng cách từ điểm M1; 2;3 đến mp P A 97

15 B

76 790

790 C

2 13

13 D

3 29 29 Lời giải:

:

2

x t

d y t

z t

   

   

   

 P : 2x y 2z 2  R  P

3

x   y z x   y z

3

x   y z x   y z

1

2

1

2

1

x y

x y

x z x z

 

 

    



 

 

     

 

 

 R  R 2x  y m x   z 2

 R 2m x  y mz 1 2m0  R

   

1 2;1; ; P 2; 1;

n  m m n   

 

   

1

2 2 2

1

2 2

5

cos

3 3

3

2 4

P P

m m

n n

m m

n n m m m

       

 

      

  

 cos m1

 P mặt phẳng qua điểm A song song với đường thẳng d nên  P chứa đường thẳng dđi qua điểm A song song với

đường thẳng d

Gọi H hình chiếu A d , K hình chiếu H  P

Ta có d d P ,  HKAH (AH không đổi)

 GTLN d d( , ( ))P AH  d d P ,   lớn AHvng góc với  P

Khi đó, gọi  Q mặt phẳng chứa A d  P vng góc với  Q

 

    

, 98;14; 70

97

:7 77 ,

15

P d Q

n u n

P x y z d M P

 

   

 

      

  

Câu 11: Cho mặt phẳng  P qua hai điểm A3, 0, , B3, 0, 4 hợp với mặt phẳng xOy góc 30 cắt y Oy' C Tính khoảng cách từ O đến  P

A 4 B C 3 D 2

Lời giải

Vẽ OH KC với K giao điểm AB trục z Oz'

Ta có: C 300 K 60 ;0 OK

 

   

 

, sin 60

3

4

2

d O P OH OK

  

 

Chọn D

30

P

-3

3

B

y z

O

x

K

A

C x' H

d'

d

K H

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 0;0 , B2;0;3 , M0; 0;1 N0;3;1  Mặt phẳng  P qua điểm M, N cho khoảng cách từ điểm B đến  P gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến  P Có bao mặt phẳng  P thỏa mãn đầu bài?

A Có vơ số mặt phẳng  P B Chỉ có mặt phẳng  P C Khơng có mặt phẳng  P D Có hai mặt phẳng  P

Lời giải Chọn A

Giả sử  P có phương trình  2 

z 0

ax by c d a b c  Vì M  P  c d 0 d  c

Vì N P 3b c d  0 hay b0 c d 0  P ax cz c:

   

Theo ra: d B P , 2d A P ,  

2 2

2

2

a c c a c

a c a c

   



 

c a a c

    Vậy có vơ số mặt phẳng  P

Câu 13: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng   qua điểm M1; 2;1 cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho độ dài OA OB OC, , theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng  

A

21 B

21

21 C

3 21

7 D 9 21

Lời giải Chọn C

Đặt OAaa0 Khi OB2a, OC4a

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có mặt phẳng   có phương trình

2

x y z

a a a 

Do M1; 2;1    nên 1

2

a a a 

9

1

4a a

    (thỏa mãn a0) Phương trình tổng quát mặt phẳng   là: 4x2y  z 0

z

y x

O M

A B

Suy ra:   

2 2

4.0 2.0 21 ;

7

4

d O      

 

Câu 14: (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A1, 2, 0  ;B3, 3, 2 ;C1, 2, 2;D3, 3,1 Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng

ABC A

7 B

9

7 C

9

14 D

9 Lời giải

Chọn A

Ta có:

Mặt phẳng ABC có nAB AC; 1, 4, 9 

 

  

véc-tơ pháp tuyến ABC qua điểm 1, 2, 0

A  nên có phương trình dạng:

     

1 x1 4 y2 9 z0  x4y9z 9 Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ điểm D:

 

 

 2  2

2 2

4 9 4.3 9.1 9

,

7

1 9

D D D

x y z

d D ABC         

     

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y  z chứa hai mặt hình lập phương Thể tích khối lập phương

A 27

V  B 81

8 V 

.

C

2

V  D 64

27 V  Lời giải

Theo hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y  z chứa hai mặt hình lập phương Mà hai mặt phẳng ( ) : 4P x4y2z 7 ( ) : 2Q x2y  z song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng cạnh hình lập phương

Ta có M(0; 0; 1) ( )Q nên

2 2

2

(( ), ( )) ( , ( ))

2

4 ( 4)

d Q P d M P    

  

Vậy thể tích khối lập phương 2 3 27

V  

Câu 16: Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng AB D  BC D 

A

3 B C

3

2 D

2 Lời giải

Chọn A

       

       

0; 0; 2; 0; 2; 2;0 0; 2; 0;0; 2;0; 2; 2; 0; 2;

A B C D

A B C D

   

   

2;0; , 0; 2; , 2; 2; , 0; 2;

AB AD

BD BC

 



  

 

 

* Mặt phẳng AB D  qua A0; 0; 0 nhận véctơ

 

1

, 1; 1;1

4

n AB AD   

 

  

làm véctơ pháp tuyến Phương trình AB D  xy z

* Mặt phẳng BC D  qua B2; 0; 0 nhận véctơ , 1;1; 1

m  BD BC   làm véctơ pháp tuyến

Phương trình BC D  x   y z

Suy hai mặt phẳng AB D  BC D  song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BC D :  ,  2

3

d A BC D  

Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm   ,  1.2 3

3 3

d AB D  BC D  AC 

Câu 17: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Trong không gian Oxyz cho M1 2; ;1 Gọi  P mặt phẳng qua điểm M cách gốc tọa độ O khoảng lớn Mặt phẳng  P cắt trục tọa độ điểm A,B ,C Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

A 27 6 B 216 6 C 972 D 243

2



Lời giải

Chọn D

Gọi Hlà hình chiếu O mặt phẳng  P Khi đó: d O , P  OH

Trong tam giác vuông OHM : OH OM nên d O , P   đạt giá trị lớn

 

 

d O , P OM hay OM  P

A' D'

C' B'

B

C

Phương trình mặt phẳng  P qua M1 2; ;1 nhận OM 1 2; ;1 làm véc tơ pháp tuyến x2y z  6

 P cắt trục Ox ,Oy ,Oz A6 0; ; ,B0 0; ; ,C0 0; ;6 Xét tứ diện OABC' với OC ' 6,OA6,OB 3

Gọi I trung điểm AB, mp OAB Gọi dqua I song song trục Oz Lấy H trung điểm OC' Mặt phẳng trung trực OC' qua H cắt d G Suy : GC ' GOGAGBR

Tam giác vuông OAB: 1 2 45

6

2 2

OI  AB   45

2

OI HG

  

1

3

OH  OC'

Tam giác vuông OHG : 2

2 ROG HG OH 

Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện

OABC' 243

3

V  R   (đvtt)

Câu 18: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P qua điểm M2;3;5 cắt tia Ox Oy Oz, , ba điểm A B C, , cho OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  P A 16

91 B

24

91 C

32

91 D

18 91 Lời giải

Chọn C

Vì  P cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , nên ta gọi tọa độ điểm  ; 0; , 0; ;0 , 0; 0; 

A a B b C c với a b c, , 0 Khi phương trình mặt phẳng  P :x y z

ab c  Vì M2;3;5  P

a b c

    

Vì đô dài đoạn OA OB OC, , lập thành cấp số nhân với công bội 3

3

b a

c b a

   

  

32

2 32

1

3 9

32 b a

a a a

c 

 

       

  

Khi ta có phương trình mặt phẳng  :

32 32 32

9

x y z

P   

Hay  P : 9x3y z 320 Do đó:   

2 2

32 32

;

91

9

d O P   

 

Bài dùng cách khác sau: Khoảng cách từ O đến ABC:

   

2 2

1 1

91

3

a h

h a  a  a  

Mà 32

9

a (theo trên) từ tìm 32 91

h

Câu 19: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho đường

thẳng : 1

2

 

 

x y z

d mặt phẳng  P : 2xy z Mặt phẳng  Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P Khoảng cách từ điểm O0;0;0đến mặt phẳng  Q A 1

3 B

1

3 C

1

5 D

1 Lời giải

Chọn C

+ Đường thẳng : 1

2

 

 

x y z

d qua điểm M1;0; 1  có vectơ phương 2;1;3

u

+ Mặt phẳng  P : 2xy z có vectơ pháp tuyến n P 2;1; 1 



+ Gọi  



Q

n vectơ pháp tuyến mặt phẳng  Q

Vì mặt phẳng  Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P nên  

   

   

  

 

Q 

Q P

n u

n n

và  Q qua điểm M1;0; 1 

Do mặt phẳng  Q có vectơ pháp tuyến         4;8; 0 4 1; 2; 0  

  

Q P

n u n

Phương trình mặt phẳng  Q là: 1.x12y0  0 x 2y 1 + Vậy khoảng cách từ điểm O0;0;0đến mặt phẳng  Q

 

 

 2

2

0 2.0 1

;

5

1

 

 

 

d O Q

Câu 20: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Pm:mxm m 1ym12z 1 (m tham số) đường thẳng d có vec-tơ phương u1; 2; 3 Đường thẳng  song song với mặt phẳng Oxy,  vng góc với d cắt mặt phẳng  Pm điểm cố định Tính khoảng cách h từ A1; 5; 0  đến đường thẳng 

A h5 B h 19 C h 21 D h2 Lời giải

Chọn C

Ta có    2 2   

1 1

mxm m y m z  m yz m x y z   z Giả sử M x 0; y z0; 0 điểm cố định mà mặt phẳng  Pm qua

   

2

0 0 0

m y z m x y z z m

0

0 0

0

0

2

1

y z

x y z

z

 

 

   

  



0

0

0

1 x y z

  

  

 



Suy M3; 1; 1 

Vì  cắt mặt phẳng  Pm điểm cố định M điểm cố định mà mặt phẳng  Pm qua nên M3; 1;1  

Mặt phẳng Oxy có vec-tơ pháp tuyến n0; 0; 1



Vì //Oxy

d    

   

nên  có vec-tơ phương u1u n, 2; 1; 0   

  

Vậy  qua M3; 1; 1  có vec-tơ phương u12; 1; 0  Do ta có  

1 ,

d , 21

u AM

h A

u

 

 

   

 



Câu 21: (KINH MƠN II LẦN NĂM 2019) Trong khơng gian Oxyz, choA1; 2; 2, B2;1; 2,  1;5;1

C  , D3;1;1 E0; 1; 2  Có mặt phẳng cách năm điểm cho?

A Vô số B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn D

Ta có: AB 1; 1; 0 , CD4; 4; 0 , AD2; 1; 1  , BC  3; 4; 1  Nhận thấy

CD AB  

ADBC bốn điểm A B C D, , , tạo thành hình thang hai đáy ABvà CD Mặt khácAC  2; 3; 1   AB AC,  1;1;1 nên ABC:x   y z

Suy EABC Vậy điểm A B C D E, , , , tạo thành hình chóp có đỉnh E Gọi M N, ; P Q, ; R S, trung điểm AC BD, ; EB EA, ; EC ED,

Ta dễ chứng minh mặt phẳng MNQP, MNSR, PQRS mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy có mặt phẳng cách điểm cho

Câu 22: Trong không gian với hệ toạ độ , gọi mặt phẳng qua hai điểm đồng thời hợp với mặt phẳng góc Khoảng cách từ O tới

A B C D

Lời giải

Oxyz   A2; 0;1

 2; 0;5

B  Oxz

45  

3

3

1

Gọi hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng mặt phẳng Ta có:

Suy tam giác vng cân Khi đó:

Mặt khác:

Khi đó: Chọn A

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a ;0; , B0; ; ,b  C0; 0;c với , ,a b c dương Biết ,A B C, di động tia Ox Oy Oz, , cho a b c  2 Biết , ,a b c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng  P cố định Tính khoảng cách từ M2016; 0; 0 tới mặt phẳng  P

A 2017 B 2014

3 C

2016

3 D

2015 Lời giải

Chọn D

Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn OA  

  qua điểm ; 0;0 a D 

  có VTPT OAa; 0; 0a1; 0; 0 

 :

2 a x

   

Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn OB  

  qua điểm 0; ;0 a E 

  có VTPT OB0; ; 0a a0;1; 0 

 :

2 a y

   

Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn OC  

  qua điểm 0; 0; a F 

  có VTPT OC0;0;aa0; 0;1 

 :

2 a z

    ;

K H O AB  

  ,

A B Oxz    Oxz AB

  

 

OH HK AB

OK AB

OK AB





  





 

 

 



  

 Oxz ,   KH OK,  OKH

  

OHK H

 

 , 

2 OK d O  OH 

 , 

2

OA AB

OK d O AB

AB 

  

  

 

 , 

2 OK

d O  OH  

450

H K



Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC       ; ; 2 a a a

I I 

      

 

  

Mà theo giả thiết,  :

2 2

a b c

a b c        I P x  y z Vậy,  ,  2016 2015

3

d M P   

Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi d đường thẳng qua điểm A1, 0, 0 có hình chiếu mặt phẳng  P :x2y2z 8 d' Giả sử giá trị lớn nhỏ khoảng cách từ điểm M2, 3, 1   tới d'   Tính giá trị T ?

A B

2 C

2

2 D

6 Lời giải

Ta có xét A hình chiếu A  P Khi đường thẳng d' qua điểm A Ta gọi G hình chiếu M đường thẳng d' H hình chiếu M  P Ta có đánh giá:

6 MH MGMA T   MAMH 

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm Mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ đến (P) đạt giá trị lớn (P) có vectơ pháp tuyến

A B C D

Lời giải - Khoảng cách từ K đến (P) lớn KH, H’ trùng H

- Vậy mặt phẳng (P) qua MN vuông góc với KH - Tìm H viết (P) hoặc:

- (P) chứa MN vng góc với (MNP) Gọi H, H’ hình chiếu K lên MN (P)

Ta có: khơng đổi

Vậy lớn H’ trùng H hay (P) vng góc với KH

;

(0; 1;2)

M  N( 1;1; 3) 0; 0;2

K

(1;1; 1) (1; 1;1) (1; 2;1) (2; 1;1)

 

( ,( )) '

d k P KH KH

( ,( )) d K P

   

 

(0;1; 0); (1; 1; 1)

MK NK  



( 1;2;1) MN

P M

N K

(MNK) có vtpt

Do nên HK có vtcp

Chọn A

Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; ,) B(1;2; 4) I(1;3; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, cho khoảng cách từ I đến (P) lớn

A 3x7y6z350 B 7xy5z 9 C xy  z D x y  z

Lời giải

Ta có IA 322242  29 IB 02 52 22  29 Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB, IA=IB nên IMAB, ta có

1 ; ;5 ; 2

 

 

 

M 94

2 

IM

Gọi H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P):

Nếu H, M hai điểm phân biệt tam giác IHM vng H, IH<IM hay 94

2 

IH

Nếu H trùng với M 94  

IH IM

Vậy ta có 94 

IH , IH lớn HM

Khi (P) có vectơ pháp tuyến 7; ;3 2

 

    

 

  

P

n IH IM Vậy phương trình mặt phẳng (P) 3 2 7 1 3 6

2 x 2 y  z  hay 3x7y6z350 Chọn A

Câu 27: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019)Trong không gian Oxyz, cho điểm M m; ; 0, N0;n;0, 0 

P ; ; p không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m2n2p2 3 Tìm giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP

A 1

3 B C

1

3 D

1 27 Lời giải

Chọn C

Do M, N , P không trùng với gốc tọa độ nên m0, n0, p0

Phương trình mặt phẳng MNP là: x y z 1 x y z mn p   m n  p  

 

   

 ,  ( 1;0; 1)

n MK NK

 

  

( )

HK MNK HK MN

   

 

 

, (2;2; 2)

 

 

2 2

1

1 1

d O, MNP

m n p

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương

m ,

n , p2và ba số dương 12 m ,

1 n ,

1

p ta có:

2 2 33 2

m n  p  m n p

2 2 2

1 1

3

m n  p  m n p

 2 2

2 2

1 1

9

m n p

m n p

 

      

 

; Mà m2n2 p2 3suy ra:

2 2 2

2 2

1 1 1 1

3

1 1

m n p m n p

m n p

        

 

 

 

3 d O, MNP

  Dấu xảy m2 n2  p2 1

Vậy giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNPlà

Câu 28: Cho điểm A(0;8; 2)và mặt cầu ( )S có phương trình 2

( ) : (S x5) (y3) (z7) 72 điểm B(9; 7; 23) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua Atiếp xúc với ( )S cho khoảng cách từ Bđến ( )P lớn Giả sử n (1; ; )m n vectơ pháp tuyến ( )P Lúc

A m n 2 B m n  2 C m n 4 D m n  4 Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng ( )P qua Acó dạng a x( 0)b y( 8)c z( 2)0ax by cz8b2c0 Điều kiện tiếp xúc:

2 2 2

5 11

( ; ( )) a b c b c a b c

d I P

a b c a b c

     

    

   

(*) Mà

2 2 2

9 23 15 21

( ; ( )) a b c b c a b c

d B P

a b c a b c

     

 

   

2 2

5a 11b 5c 4(a b )c

a b c

    

 

 

2 2 2

2 2 2 2 2

5 11 ( 1)

4 18

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

        

    

     

Dấu xảy

1

a b c

 

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; 0, B0, , 0b , C0, 0,c với a, b ,c số dương thay đổi thỏa mãn a24b216c2 49 Tính tổng S a2b2c2 khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn

A 51

S  B 49

4

S  C 49

5

S  D 51

4 S  Lời giải

Chọn B

Phương trình mặt phẳng ABC: x y z

abc 

x y z

a b c

    

 

 

2 2

0 0

1 ;

1 1

a b c

d O ABC

a b c

  



  2 2 2

1

1 1 P

a b c

 

 

max

P T 12 12 12 min

a b c

  

 2

2 2 2

1

1 16

4 16 16

T

a b c a b c

 

   

 

2

1 49

 

min

S  Dấu xảy 12 22 42

4 16

a  b  c

2

2b a

  ; 4c2 a2

2 2

4 16 49

a  b  c 

2

2

4 16 49

2

a a

a

    a2 7,

2

b  , c 

Vậy 2 49

4 Sa b c 

Câu 30: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi  P :ax by cz   3 (với a b c, , số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M0; 1; ,  N1;1;3 không qua điểm H0; 0; 2 Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng  P đạt giá trị lớn Tổng T  a 2b3c12

A 16 B 8 C 12 D 16

Lời giải Chọn D

Gọi Klà hình chiếu H lên  P , E hình chiếu H lên MN

M H

K E

Ta có : d H P ; HK d H MN ; HE, HK HE(không đổi)

Vậy d H ; P  lớn K E, với E hình chiếu H lên MN 1; 7;

3 3

E  

  

 

Vậy mặt phẳng  P cần tìm mặt phẳng nhận 1; 1;

3 3

HE   

 



làm vectơ pháp tuyến qua M

 P : x y z      

Vậy

1

1 16

1 a

b T

c    

   

   

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

Câu 31: (Sở Hà Nam)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y  z mặt cầu   2

: 10

S x y z  x z  Gọi  Q mặt phẳng song song với mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường trịn có chu vi 6 Hỏi  Q qua điểm số điểm sau?

A M6; 0;1 B N3;1; 4 C J 2; 1;5 D K4; 1; 2   Lời giải

Chọn C

Mặt cầu  S có tâm I1; 0; ,  R 15

Gọi đường tròn giao tuyến  S  Q có bán kính r, theo đề

2

C r   r 2

15

   P // Q  Q :x2y z D0D7  

   

 

7

,

5 /

D l

D

d I Q IH

D t m

   

    

 

  

:

Q x y z

     Thay điểm đáp án vào phương trình  Q J thỏa mãn

Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hai mặt cầu  S1 :x2 y2 z2 6   S2 : x12 y12 z12 6 Biết mặt phẳng  P :axbycz60a0 vng góc với mặt phẳng  Q : 3x2y  z đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu cho Tích abc

A 2 B 2 C 0 D 1

Lời giải Chọn A

Ta có:  S1 có tâm I10; 0; 0 bán kính R1   S2 có tâm I21;1;1 bán kính R2 

Mặt phẳng  P :axbycz60a0 có vectơ pháp tuyến n P a b c; ; a0

 Mặt phẳng  Q : 3x2y  z có vectơ pháp tuyến n Q 3; 2;1



Vì Mặt phẳng  P mặt phẳng  Q vng góc  n P n Q 03a2b c 1 

 

Mặt phẳng  P đồng thời tiếp xúc với cà hai mặt cầu nên     

 

1

2

; ;

d I P R

d I P R

 

 

 



2 2

2 2

6

6

6

a b c

a b c

a b c



 

  

 

  

 



  

2 2 2

2 2

0

| |

12

6    

   

 

   

 

  

 

  



a b c

a b c

a b c

a b c

a b c

(2)

Từ (1) (2) TH1:

2 2 2

3

0 2

1

6

       

  

        

  

   

      

 

a b c c a c

a b c b a b

a

a b c a a a

2 abc 

TH2:

2 2 2 2

3 24 24

12 12 12

6 (12 ) ( 24) 96 684 0(VN)

         

  

         

  

  

          

  

a b c c a c a

a b c b a b a

a b c a a a a a

Ta chọn đáp án A Cách khác :

Ta có:  S1 có tâm I10; 0; 0 bán kính R1 

 S2 có tâm I21;1;1 bán kính R2  ; Mặt phẳng  Q : 3x2y  z có vectơ pháp tuyến n Q 3; 2;1



Ta lại có mặt phẳng  P vng góc với mặt phẳng  Q nên mặt phẳng  P nhận

   

1 2, Q 1; 2; I I n

    

 

 

làm vectơ pháp tuyến Vì  P có vectơ pháp tuyến n P a b c; ; a0



nên

1

b a

a b c

c a

      



  

Khi phương trình mặt phẳng  P viết lại là: ax2ay az  6

Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S1 nên  1,  1 6

d I P R a

a

     Suy phương trình mặt phẳng  P :1x2y  z Vậy tích abc 2

Câu 33: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2

: 2

S x y z  x z  đường thẳng :

1 1

x y z

d   

 Hai mặt phẳng  P  Q chứa d tiếp xúc với mặt cầu  S A B Gọi H a b c ; ;  trung điểm AB Giá trị a b c 

A 1

6 B

1

3 C

2

3 D

5 Lời giải

Chọn B

Mặt cầu  S có tâm I1;0; 1  bán kính R 1202  1 2 1 Mặt phẳng   qua I vng góc với đường thẳng d có phương trình:

     

1 x1 1 y0 1 z1      0 x y z

Gọi K hình chiếu I d, K d K t ; 2 t; t

    0 0;2;0

K P          t t t t K

Mặt phẳng   cắt  S theo đường tròn lớn  C , có A B,  C H IKAB 0 12 2 02 0 12

IK      

2 1

6

IH

IH IK IA IH IK

IK

     ( IH IK , hướng) P

Q

H I A

 

 

 

1

1

6

1 1

0

6 3

1

1

6

a a

b b a b c

c c

 

   

 

 

 

         

 

 

    

 

 

Câu 34: (Ba Đình Lần2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : mx2y z 0   (m tham số) Mặt phẳng  P cắt mặt cầu

   2  2

S : x2  y 1 z 9 theo đường trịn có bán kính Tìm tất giá trị thực tham số m?

A m 1 B m  2 C m 4 D m 6 Lời giải

Chọn D

Từ    2  2

S : x2  y 1 z 9 ta có tâm I 2;1; 0 bán kính

R Gọi H hình chiếu vng góc I  P    P  S C H r ;  với r2

Ta có IH d I P ;  

2

2 2

4

m m

IH

m m

   

 

  

Theo yêu cầu tốn ta có R2 IH2r2   

2

2

9

5 m m



 



 12 16

6 m

m m

m        

  

Câu 35: (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x2y z  7 mặt cầu  S : x2y2z22x4y6z11 0 Mặt phẳng  Q song song với  P cắt  S theo đường trịn có chu vi 6 có phương trình

A  Q :2x2y z 170 B  Q :2x2y  z C  Q :2x2y z 190 D  Q :2x2y z 170

Lời giải Chọn A

Ta có mặt cầu  S có tâm I1; 2;3 , bán kính R 11   5 Đường trịn  C có chu vi 6 nên có bán kính là:

2 C

r 

   Mặt phẳng  Q song song với mp  P nên phương trình mặt phẳng  Q là:

2x2y z D0 D 7

A

I

Vì  Q cắt  S theo giao tuyến đường tròn  C nên  

       

2 2

, 25 , ,

C

r  R d I Q   d I Q d I Q 

 

2.1 2 17

4 12

7 4

D D

D

D

     

      

 

  

Kết hợp điều kiện D 7 ta có phương trình  Q :2x2y z 170

Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; , B0; ;0 ,b  C0; 0;c với a b c, , 0 Biết mặt phẳng ABC qua điểm 4; ;

3 3 M 

 

tiếp xúc với mặt cầu

  S : x12y22z22 1 Thể tích khối tứ diện OABC bằng:

A 4 B 6 C 9 D 12

Lời giải Chọn C

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 2 bán kính R 1 Ta có

2 2

2 4

1 2

3 3

IM            R

     

Suy mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu  S điểmM Nên mặt phẳng ABC có véctơ pháp tuyến 2; ;

3 3 MI 

 



Phương trình mặt phẳng  :1 2 4

3 3 3

x y z

ABC x  y  z     

     

Suy a6;b3;c3

Vậy

6 OABC

V  abc 

Câu 37: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

d   

 mặt cầu        

2 2

: 2

S x  y  z  Hai mặt phẳng  P  Q chứa d tiếp xúc với  S Gọi M ,N tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MN

A 2 B

3 C D 4

dnằm hai mặt phẳng ( )P ( )Q nên dchính giao tuyến hai mặt phẳng Mặt cầu  S có tâm I1; 2;1 bán kính R

Mặt phẳng   qua I vng góc với đường thẳng d có phương trình:

     

2 x1 1 y2 4 z1 02x y 4z 4

Gọi K hình chiếu I d, K d K2 ; t t; 4t K 

 

2 2t t 4.4t

        t K2; 0; 0

Mặt phẳng   cắt  S theo giao tuyến đường trịn lớn  C Ta có M N,  C gọi H IKMN Suy H trung điểm MN

2 12 0 22 0 12

IK      

Ta có 2

6 IH IK IM  IH  nên

2

2 2

2 2

3

6

MN  HM  IM     

 

Câu 38: (Sở Phú Thọ) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x22y12z 22 9

hai điểm A2; 0; 2 ,  B 4; 4; 0 Biết tập hợp điểm M thuộc  S cho

16

MA MO MB  

đường trịn Bán kính đường trịn

A B C D

Lời giải ChọnC

Gọi điểm thuộc mặt cầu Vì nên

Ta thấy tọa độ thỏa phương trình phương trình mặt cầu

Như điểm nằm giao tuyến hai mặt cầu ,đó đường trịn Để tìm bán kính đường trịn giao tuyến ta làm sau:

Bằng cách khử từ phương trình ta phương trình Phương trình phương trình mặt phẳng

3 2

 ; ; 

M x y z  S MA2MO MB  16

 2  2 2

2 2 4 16

x y  z x y z  x y

2 2

2x 2y 2z 8x 4y 2z 12 16

       

 

2 2

4 2 2

x y z x y z S

       

M  S

M  S  S

2 2 , ,

x y z  S  S y0  P

Như điểm nằm giao tuyến mặt cầu (hoặc được) với mặt phẳng

Mặt cầu có tâm bán kính

Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là:

Vậy bán kính đường trịn giao tuyến

Bình luận:

+ Thực chất giả thiết muốn cho thêm điểm nằm mặt cầu khác Chỗ ta thay đổi giả thiết để có tốn tương tự Ngồi ta thay đổi điều kiện để điểm nằm mặt phẳng có tương giao với mặt cầu

+ Trong Lời giải trên, ta thấy cho hai mặt cầu tương giao, sau loại trừ phần bậc hai, ta thu phương trình mặt phẳng Mặt phẳng gọi Mặt đẳng phương hai mặt cầu Khái niệm mở rộng tự nhiên hái niệm Trục đẳng phương

của hai đường tròn mặt phẳng Việc sử dụng mặt đẳng phương để giải làm cho toán trở nên đơn giản Sau xét thêm số ví dụ tương tự với nhiều cách giải khác Qua ta thấy cách giải sử dụng mặt đẳng phương nhanh gọn Sau đây ta đưa một số tương tự câu 42 được thực hiện theo nhiều cách giải khác nhau:

Câu 39: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2

:

S x y z  x y zm  Tìm số thực m để   : 2x y 2z 8 cắt  S theo đường trịn có chu vi 8

A m 3 B m 4 C m 1 D m 2 Lời giải

Chọn A

Mặt cầu  S có tâm I1;2;3, bán kính R 17m (điều kiện m17) Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng   là: d I ,  2

Đường trịn giao tuyến có bán kính là: r 

 Ta có 2  

, 17 16

R d I  r  m  m   (thỏa mãn)

Câu 40: (Chuyên KHTN) Biết không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng  P  Q thỏa mãn điều kiện sau: qua hai điểm A1;1;1 B0; 2;2 , đồng thời cắt trục tọa độ Ox Oy, hai điểm cách O Giả sử  P có phương trình x b y 1 c z1 d10

 Q có phương trình x b y c z 2  2 d2 0 Tính giá trị biểu thức b b1 2c c1 2

A 7 B -9 C -7 D 9

Lời giải ChọnB

Cách

Xét mặt phẳng   có phương trình xbyczd 0thỏa mãn điều kiện: qua hai điểm 1;1;1

A B0; 2;2 , đồng thời cắt trục tọa độ Ox Oy, hai điểm cách O Vì   qua A1;1;1 B0; 2;2  nên ta có hệ phương trình:

M  S  S

 P

 S I2;1; 2 R3

I  P dd I P , 1 2

9 2 r R d   

16

MA MO MB  M

 

1

*

2

b c d

b c d

    



    

Mặt phẳng   cắt trục tọa độ Ox Oy, M d; 0; , N 0; d; b 

 

  

 

Vì M N, cách O nên OM ON Suy ra: d d b 

Nếu d 0 tồn mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán (mặt phẳng qua điểm O)

Do để tồn hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán thì: d d b b

   

Với b1,  *

2

c d c

c d d

   

 

 

   

 

Ta mặt phẳng  P :

4

x y z 

Với b 1,  *

2 2

c d c

c d d

   

 

 

   

 

Ta mặt phẳng  Q :

2

x y z 

Vậy: b b1 2c c1 2 1.  1 4. 2  9 Cách (Mai Đình Kế)

 1; 3;1 AB   

Xét mặt phẳng   có phương trình xbyczd 0thỏa mãn điều kiện: qua hai điểm 1;1;1

A B0; 2;2 , đồng thời cắt trục tọa độ Ox Oy, hai điểm cách O M N, Vì M N, cách Onên ta có trường hợp sau:

TH1: M a( ; 0; 0),N(0; ; 0)a vớia0    P Ta có MN ( a a; ; 0), chọn ( 1;1; 0)

u  véc tơ phương với MN 

Khi nP AB u, 1   ( 1; 1; 4)

  

, suy  P :x y 4z d 1 0

TH2: M(a; 0; 0),N(0; ; 0)a vớia0    Q Ta có MN( ; ; 0)a a , chọn (1;1; 0)

u véc tơ phương với MN 

Khi nQ AB u, 2 ( 1;1; 2)

  

, suy  Q :x y 2z d 2 0

Vậy: b b1 2c c1 2 1.  1 4. 2  9

Câu 41: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S qua điểm M2;5; 2  tiếp xúc với mặt phẳng   :x1 ,   :y1,   :z 1 Bán kính mặt cầu  S

A 4 B 3 C 1 D 3

Lời giải Chọn D

Gọi I a b c ; ;  tâm mặt cầu  S

Mặt khác, ta lại có RIM  2a25b2   c2 Do ta có hệ:

       

       

       

 

2 2

2 2

2 2

2

2 1

2

a b c a

a b c b

a b c c

        

 

       

 

       

 

Quan sát ta thấy

   

   

   

2

2

2

3

1

2

1

3

1

2

a a a a

b b b b

c c c c



        

 

        



          



Do a 1 b 1 c       1 a b c Từ  

 2  2  2  2

1 1

1

2

a b c

a b c a

      

  

       



4 4 a b c

    

   

Vậy RIM 3

Câu 42: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm thuộc trục Oz Biết mặt phẳng Oxy mặt phẳng   :z2 cắt  S theo hai đường trịn có bán kính Phương trình  S

A x2 y2z22 16 B x2y2z42 16 C x2y2z42 20 D x2 y2z22 20

Lời giải Chọn C

Giả sử mặt cầu  S có bán kính R có tâm I0; 0;c (vì tâm I thuộc trục Oz) Ta có: d I ;Oxy c d I ;   c2

Vì mặt phẳng Oxy cắt  S theo đường trịn có bán kính nên  

 

 2

; 4

R d I Oxy   c 

Vì mặt phẳng   :z2 cắt  S theo đường trịn có bán kính nên  

 

 ; 2 16  22 16

R d I    c 

Suy ra: c2 4 c22164c16 c I0;0; 4 R 20 Vậy phương trình mặt cầu  S là: x2y2z42 20

Câu 43: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x4y  z 0,  Q : 4x5y z 140,  R :x2y2z 2

Biết mặt cầu xa2yb2zc2  D có tâm nằm  P  Q , tiếp xúc với  R  S Giá trị a b c 

A 2 B 3 C 5 D 4

Lời giải Chọn C

Gọi I a b c ; ;  tâm mặt cầu   S : xa2yb2zc2  D Vì I nằm  P  Q nên:

4 14

a b c

a b c

    



   

  

1 Mặt khác,  S tiếp xúc với  R  S nên:

 

 ,   , 

d I R d I S 2 2

3

a b c a b c

 

2 2 2 4

2 2 2 2

a b c a b c

a b c a b c a b c

        

 

 

           

 

2

a b c

      2

Từ  1  2 ta hệ:

2

4 14

2

a b c

a b c

a b c

    



    

     

1 3 a b c

     

  

5 a b c    

Câu 44: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 2) mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z1)2 9 Mặt phẳng thay đổi qua A cắt

( )S theo thiết diện đường trịn Hãy tìm bán kính đường trịn có chu vi nhỏ A 3

2 B

1

2 C 2 D 3

Lời giải Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1;1) bán kính R3 Vì IA 53 nên điểm A nằm mặt cầu

Gọi Hvà r tâm bán kính đường trịn thiết diện

Khi đó, ta ln có r2 R2IH2 R2IA2 4 (vì H trùng với A AIHvng H nên IHIA )

Vậy đường trịn có chu vi nhỏ có bán kính nhỏ r2 A trùng với H

Câu 45: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 2) mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z1)2 9 Mặt phẳng thay đổi qua A cắt

( )S theo thiết diện đường trịn Hãy tìm bán kính đường trịn có chu vi nhỏ A 3

2 B

1

2 C 2 D 3

Lời giải Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1;1) bán kính R3 Vì IA 53 nên điểm A nằm mặt cầu

Gọi Hvà r tâm bán kính đường trịn thiết diện

Khi đó, ta ln có r2 R2IH2 R2IA2 4 (vì H trùng với A AIHvng H nên IHIA )

Câu 46: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P :x  z hai mặt cầu  S1 :x2 y2 z2 25;  S2 :x2  y2 z2 4x4z70 Biết tập hợp tâm I mặt cầu tiếp xúc với hai mặt cầu  S1 ,  S2 tâm I nằm  P đường cong Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong

A 7

3 B

7

9 C

9

7 D

7 6 Lời giải

Chọn B

Mặt cầu  S1 có tâm O0;0;0, bán kính R1 5 Mặt cầu  S2 có tâm K2; 0; 2, bán kính

R  , mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n P 1; ; 1  Vì OK  2; 0; 2 phương với n P 1;0 1  nên OK



vuông góc với mặt phẳng  P Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng  P nên O, K, H thẳnghàng Ta có OH d O ; P 3 R1, KH d K ; P  2R2, OK 2 2, OKR2 R1

  P cắt  S1  P không cắt  S2  S1 chứa  S2

Do mặt cầu tâm I phải tiếp xúc với  S1 A tiếp xúc với  S2 B Gọi R bán kính với mặt cầu tâm I

Suy ra: OI R1R 5 R KI R2 R  1 R

Ta có IH2 OI2 OH2 KI2 KH2  2  2

5 18

IH R R

       12R8

2 R  

2

2

1

3

IH  

       

7 IH

 

Khi I thuộc mặt cầu  S3 tâm H, bán kính 3

R 

Mà I thuộc mặt phẳng  P nên I thuộc đường trịn giao tuyến có bán kính 3 r R 

Vậy diện tích r

Câu 47: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho  P x2y2z 5 mặt cầu  S1 :    

2 2

2 1

x  y  z  ,  S2 : x42 y22z32  Gọi M A B, , thuộc mặt phẳng  P hai mặt cầu  S1 ,  S2 Tìm giá trị nhỏ S MA MB

A Smin11 B Smin2 14 3 C Smin 15 3 D Smin 3 3 Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến nP 1; 2; 2  

Mặt cầu  S1 có tâm I12; 0; 1  bán kính R11 Mặt cầu  S2 có tâm I2 4; 2;3 bán kính R2 2

Ta có I I1 2    6; 2; 4I I1 2 2 14R1R2 suy  S1 ,  S2 nằm

Ta có   

1 2 2 2

I I I I I I

x  y  z  x  y  z   nên I1, I2 nằm hai phía mặt phẳng  P

Ngoài d I 1, P 3R1, d I 2, P 3 R2

Gọi N P, giao điểm đoạn thẳng I I1 2 với hai mặt cầu  S1  S2 Ta có

1 2 2

MA MB AI BI I I MA MB NI PI I NNPPI MA MB NP Đẳng thức xảy AN, BP M N P, , thẳng hàng

Khi MA MB min NPI I1 2R1R2 2 143

Câu 48: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1; 2;1, 3; 1;1

B  , C 1; 1;1 Gọi  S1 mặt cầu tâm A bán kính R12  S2 ,  S3 mặt cầu tâm B, C có bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với  S2 ,

 S3 cắt  S1 theo giao tuyến đường trịn bán kính r

A 3 B 7 C 6 D 8

Ta có  P cắt  S1 theo giao tuyến đường trịn bán kính r    2

,

d A P R r

   

Xét  P :ax by cz  d 0 thỏa mãn ycbt

Ta có             , , ,

d A P d B P d C P

               

2 2

2 2

2 2

2

3

3

a b c d a b c

a b c d a b c

a b c d a b c

                        

2 2

2

3

a b c d a b c d

a b c d a b c d

a b c d a b c

                          

2 2

2

4

0

a b c

a b d

a

b a c d

a b c d a b c

                             

Từ ta có hệ

2 2

0

1

a

a b c

a b c d a b c

                

suy hệ có hai nghiệm

2 2

0

2

a

a b d

a b c d a b c

                

suy hệ có hai nghiệm có nghiệm a  b c nên loại

2 2

3

b a c d

a b c

a b c d a b c

                  

suy hệ có hai nghiệm

2 2

4

b a c d

a b d

a b c d a b c

                  

suy hệ có hai nghiệm

Vậy có mặt phẳng thỏa mãn

+ Theo nhận thấy A,B,C không thẳng hàng nên A,B,C tạo thành tam giác + AB=AC= 1322d A P , =2dB P, , BC=4

+ Từ giả thiết suy

            , , ,

d A P d B P d C P

         

- mp // cách (P) một khoảng

- 06 mp qua trung điểm cạnh tam giác ABC cách đỉnh khoảng Vậy theo tơi có mặt phẳng thỏa mãn

Câu 49: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Trong không gian , cho điểm , đường thẳng mặt cầu

Mặt phẳng chứa đường thẳng thỏa mãn khoảng cách từ điểm đến lớn Mặt cầu cắt theo đường trịn có bán kính

A B C D

Lời giải Chọn D

Gọi hình chiếu vng góc , hình chiếu vng góc Ta có Vậy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề phải chứa vuông góc với

Gọi Ta có ,

Vậy mặt phẳng có vecto pháp tuyến qua điểm Phương trình mặt phẳng

Mặt cầu có tâm Ta có

Vậy cắt theo đường trịn có bán kính

Oxyz 2; 3; 4

A  :

2

x y z

d       S : x32y22z12 20

 P d A  P

 S  P

5

P d

H'

H A

H A d H A  P

AH  AH  P d

AH

1 ; ; ,

H  t  t t t AH 2t1;1t; t 4  ud 2;1; 2

d 9

AH u   t   t

 

 P AH 1; 2; 2  B1; 2; 0 d

 P :x2y2z 3

 S I3; 2; ,  R2 d I P , 4R

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa

Phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M0x y z0; 0; 0 có vec tơ phương  1; 2; 3,

a a a a a:

0

0

0

x x a t

y y a t

z z a t

          

Nếu a a a1; 2; 3 khác khơng Phương trình đường thẳng  viết dạng tắc sau:

0 0

1

x x y y z z

a a a

  

 

Ngồi đường thẳng cịn có dạng tổng quát là: 1 1

2 2

0 A x B y C z D A x B y C z D

   

 

   



với A B C A B C1, 1, 1, 2, 2, 2 thỏa A12B12 C12 0,A22B22C22 0 2 Vịtrí tương đối hai đường thẳng

Chương trình Chương trình nâng cao

1 )Vịtrí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

0 1

0 2

0 3

' ' '

: ; ' : ' ' '

' ' '

x x a t x x a t

d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

                     

Vtcp u qua M0 d' có vtcp u' qua M0' , '

u u  phương:

0

' '

/ / ' ; '

' '

u ku u ku

d d d d

M d M d

                   , ' u u  

không phương:  

0 1

0 2

0 3

' ' ' ' ' ' ' ' '

x a t x a t

y a t y a t I

z a t y a t

             

d chéo d’  hệ phương trình  1 vơ nghiệm d cắt d’  hệ phương trình  1 có nghiệm

1 ) Vịtrí tương đối của hai đường thẳng Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng

0 1

0 2

0 3

' ' '

: ; ' : ' ' '

' ' '

x x a t x x a t

d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

                     

Vtcp u qua M0 d' có vtcp u' qua M0'    

0

, ' / / ' ' u u d d M d                  , ' ' ' u u d d M d                  

, '

at '

, '

u u

d c d

u u MM

                  

 d cheo d ' u u, '  MM0 0   

3 Vịtrí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Phương pháp 1 Phương pháp 2

Trong không gian Oxyz cho:   :Ax+By+Cz+D=0

0

0

0 :

x x a t

d y y a t

z z a t

          

Pt: A x 0a t1 B y 0a t2 C z 0a t3 D0 1  Phương trình  1 vơ nghiệm d/ / 

Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d qua  0; 0; 0

M x y z có vtcp: a a a a1; 2; 3   :Ax+By+Cz+D=0 có vtpt nA B C; ; 

 d

0 0

1

x x y y z z

d

a a a

( ) :      o o o

x x a t

d y y a t t R

z z a t

( ) : ( )            

Phương trình  1 có nghiệm d cắt   Phương trình  1 có vơ số nghiệm d 

Đặc biệt: d   a n , phương

   

 

/ / a n

d M            d

nằm mp  

  a n M            4 Khoảng cách

Khoảng cách từ M x y z 0; 0; 0 đến mặt phẳng   :Ax+By+Cz+D=0cho công thức

  0

0 2 2 2

Ax

, By Cz D

d M

A B C

    

 

Khoảng cách từ M đến đường thẳng  d Phương pháp 1:

Lập ptmp   qua M vng góc với d Tìm tọa độ giao điểm H mp   d

 ,  d M d MH

Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp 1:

d qua M x y z 0; 0; 0; có vtpt a a a a1; 2; 3 '

d qua M'x0';y0';z0'; vtpt a'a1';a2';a3' Lập phương trình mp   chứa d song song với d’: d d d , 'd M ',  

Khoảng cách từ M đến đường thẳng  d Phương pháp 2:

(d qua M0 có vtcp u )

 ,  ,

M M u d M u         

Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Phương pháp 2:

d qua M x y z 0; 0; 0; có vtpt aa a a1; 2; 3 '

d qua M'x0';y0';z0'; vtpt a'a1';a2';a3'  , ' , ' '

, '

hop day

a a MM V

d S a a                 

5 Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng

  qua M x y z 0; 0; 0có VTCP aa a a1; 2; 3  ' qua M'x0';y0';z0'có VTCP a'a1';a2';a3'

  1 2 3

2 2 2

1 3

' ' ' '

cos cos , '

' ' ' '

a a a a a a a a

a a

a a a a a a a a

     

   

   

 

6 Góc đường thẳng mặt phẳng

Góc đường thẳng mặt phẳng   qua M0 có VTCP a, mặt phẳng   có VTPT  ; ; 

n A B C 

Gọi  góc hợp   mặt phẳng    

2 2 2

1

Aa : sin cos ,

Ba Ca

a n

A B C a a a

    

   

 

B - CÁC DẠNG TỐN VỀPHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d một VTCP của nó.

Dạng Viết phương trình đường thẳng  d đi qua M x y z0 0; 0; 0 có vtcpaa a a1; ;2 3 

:

Dạng Đường thẳng d đi qua A B :

Đường thẳng d qua A (hoặcB ) có vtcp ad  AB

  Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng dqua A song song 

Đường thẳng d qua A có vtcp ud u

 

Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng d qua A vng góc mp( )

Đường thẳng d qua A có vtcp ud n

 

Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d

Dạng Đường thẳng  d qua A và vng góc đường thẳng d1 d2: Đường thẳng d qua A có vtcp

1,

d d

uu u 

 

  

Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d

Dạng Đường thẳng  d giao tuyến của hai mặt phẳng   P , Q : Cách 1: Tìm điểm vtcp

– Tìm toạ độ điểm A d: Bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho ẩn ta giải hệ tìm giá trị hai ẩn cịn lại)

– Tìm vtcp d:ud n nP, Q

 

  

Cách 2: Tìm hai điểm A B, thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng Đường thẳng  d đi qua điểm M x y z0 0; 0; 0 vng góc với hai đường thẳng d d1, 2:

Vì d d1 , d d2 nên vtcp d là:

1,

d d d

u u u 

 

  

Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d

Dạng Đường thẳng  d qua điểm M x y z0 0; 0; 0, vng góc cắt đường thẳng Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng 

Ta có H

Khi đường thẳng d đường thẳng qua M H0, (trở dạng 2)

Cách 2: Gọi  P mặt phẳng qua M0 vng góc với ;  Q mặt phẳng qua M0 chứa

 Khi d P  Q (trở dạng 6)

Cách 3: Gọi  P mặt phẳng qua M0 vng góc với  - Tìm điểm B P  

- Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm M B0, (quay về dạng 2) Dạng Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng ( )P , vng góc cắt đường thẳng 

Tìm giao điểm M  ( )P M d

Vì d d , P

d P u u

u u n u n



  

  

 

  

  

 

  

 

P Q

( ) ( )

  

0

H

M H u

   



 

Dạng 10 Đường thẳng  d qua A cắt d d1, 2: ( ) ( )

d    với mp( ) chứa A d1; mp( ) chứa A d2 (trở dạng 6) Dạng 11 Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng( )P cắt cảhai đường thẳngd d1, 2:

Tìm giao điểm A d 1 P B d,  2 P Khi d đường thẳngAB (về dạng 2) Dạng 12 Đường thẳng  d / / cắt d d1, 2:

Viết phương trình mặt phẳng  P chứa d d1 , mặt phẳng  Q chứa d vàd2 Khi d P  Q (trở dạng 6)

Dạng 13 Đường thẳng ( )d qua A  d1 , cắt d2 : Cách 1:

- Viết phương trình mp ( ) qua A vng góc với d1 - Tìm B d 2( )

- Khi  d đường thẳng AB (về dạng 2) Cách 2:

- Viết phương trình mặt phẳng  P qua A vng góc với d1 - Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa A d2

- Khi d P  Q (trở dạng 6) Cách 3:

- Viết phương trình tham số t đường thẳng d2 (nếu chưa có) - Tìm điểm B d d2(B có tọa độ theo tham số t) thỏa mãn

1

d AB u    Giải phương trình tìm tB

- Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm A B, Dạng 14 Đường thẳng    d  P cắt d d1, 2 :

Tìm mp( ) chứa d1, P ; mp( ) chứa d2, P ( ) ( )

d    (trở dạng 6)

Dạng 15 Đường thẳng d’là hình chiếu của d lên ( ) : Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng   chứa dvà vng góc với ( ) - Đường thẳng d' giao tuyến ( ) ( ) (trở dạng 6) Cách 2:

- Xác định A giao điểm d ( )

- Lấy điểm M A d Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với ( ) - Tìm tọa độ điểm H giao điểm với ( )

- Đường thẳng đường thẳngAH (trở dạng 2)

Đặc biệt: Nếu d song song ( ) d' đường thẳng qua H song song với d

Dạng 16 Phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo  d1  d2 : Cách 1:

- Chuyển phương trình đường thẳng    d1 , d2 dạng tham số xác định u u 1, 2 vtcp    d1 , d2

- Lấy A B, thuộc    d1 , d2 (tọa độ A B, phụ thuộc vào tham số) - Giả sử AB đường vng góc chung Khi đó:

2 0 AB u AB u

   

 

  



 

   

2

* AB u AB u

 

 

 

  

 

Giải hệ phương trình  * tìm giá trị tham số Từ tìm đượcA B, - Viết phương trình đường vng góc chung AB

Cách 2:

- Vì d  d1 d  d2 nên vtcp d là:

1,

d d d

a a a 

 

  

- Lập phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1

+ Một vtpt  P là:

1

,

P d

n a a 

 

  

- Tương tự lập phương trình mặt phẳng  Q chứa đường thẳng cắt d vàd2 Khi d P  Q (trở dạng 6)

Cách 3:

- Vì dd1 dd2nên vtcp d là:

1,

d d d

a a a 

 

  

- Lập phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1

+ Một vtpt  P là:

1

,

P d

n a a 

 

  

- Tìm Md2( )P Khi viết phương trình d qua M có vtcp ad

 CÁC DẠNG TỐN KHÁC

Dạng Tìm H hình chiếu của M trên đường thẳng  d Cách 1:

- Viết phương trình mp( ) qua M vng góc với d : ta có n ad

  - Khi đó: H  d ( )  tọa độ H nghiệm hpt:  d ( ) Cách 2:

- Đưa  d dạng tham số Điểm H xác định bởi: Dạng Điểm M/đối xứng với M qua đường thẳng d:

Cách 1:

- Tìm hình chiếu Hcủa M  d

- Xác định điểm M' cho H trung điểm đoạn MM' (công thức trung điếm) Cách 2:

- Gọi H trung điểm đoạn MM' Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M M, ' (công thức trung điếm)

- Khi toạ độ điểm M/ xác định bởi:

Dạng Đường thẳng ( ')d đối xứng đường thẳng ( )d qua mặt phẳng  P

d

H d

MH a

 

  

 

d

MM a

H d

'

 

  

TH1: ( )d  P A

- Xác định A giao điểm d ( )P

- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳngAM'

TH2: ( )d / /  P

- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳng quaM' song song d

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Đường thẳng  song song với :

3

x y z

d     

 cắt hai đường thẳng

1

:

3

  

 

x y z

d 2:

2

 

 

x y z

d Phương trình đường thẳng 

A : 1

3

  

  



x y z

B

7

3 3 3

:

3

       y z x

C :

3

  

  



x y z

D : 1

3

  

  



x y z

Lời giải Giải: Gọi M, N giao điểm  d d1, 2 Khi M, N thuộc d d1, 2 nên

2 '

1 , '

2 '

                       N M M N M N x t x t

y t y t

z t z t

Vector phương  MN   ' ; 4t  t 4 't   t; t' 2t

 song song với :

3

  

 



x y z

d nên ' 4 ' '

3

       

 



t t t t t t

Giải hệ ta ' 1;    

t t Vậy  4; 1; , 3; 7;

3

 

      

 

N M

Vậy : 1

3

  

  



x y z

Chọn A

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng mặt phẳng Phương trình đường thẳng nằm cho cắt vng góc với đường thẳng

A B

d '

d '

,

Oxyz :

1 1

x y z

  



 P :x2y2z40 d  P d



 

3

:

1

x t

d y t t

z t                 : 2 x t

d y t t

C D Lời giải

Chọn C

Vectơ phương , vectơ pháp tuyến  P n P 1; 2; 2

Vì

Tọa độ giao điểm nghiệm hệ

Lại có , mà Suy

Vậy đường thẳng qua có VTCP nên có phương trình

Câu 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2

2 1

x y z

d     mặt phẳng  P :x2y  z Viết phương trình đường thẳng  nằm  P cho  vng góc với d khoảng cách hai đường thẳng  d

A

7

:

1 1

3 :

1 1

x y z

x y z

                

B

7

:

1 1

3 :

1 1

x y z

x y z

               C :

2 1

3 :

1

x y z

x y z

             

D

7

:

1 1

3

:

1 1

x y z

x y z

                    Lời giải Đường thẳng d có VTCP ud 2;1;1 



Mặt phẳng  P có VTPT np 1; 2; ,  

ta có

 

, 3; 3;

p d n u

    

 

 

Vì  , ; 0; 1;1

3 d

P d VTPT u u u 

         Khi đó, phương trình mặt phẳng  Q :y z m0 Chọn A1; 2; 0 d, ta có:

 

 ;   ;  2

0

m m

d A Q d d

m              Với m 4  Q :y  z

 

2

:

4

x t

d y t t

z t                 

: 3

3

x t

d y t t

z t                

:u 1;1;

  

   

   

; 4; 3;1

d

d P

d P

d u u

u u n

d P u n

                                  

H    P  2; 1; 4

2

2

x t

y t

t H

z t

x y z

                     

d;   P d H    P Hd

d H 2; 1; 4 ud 4; 3;1  

 

2

:

4

x t

d y t t