Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là.. A..[r]
(1)(2)MỤC LỤC
DẠNG 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN………1
DẠNG 2: MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN……….8
DẠNG 3: GĨC, KHOẢNG CÁCH, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG 21
DẠNG 4: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 29
DẠNG 5: GĨC, KHOẢNG CÁCH, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỚI ĐƯỜNG THẲNG……….44
DẠNG 6: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN 58
DẠNG 7: MIN, MAX TRONG HH OXYZ 69
7.1 MIN, MAX VỚI MẶT PHẲNG 71
7.2 MIN, MAX VỚI ĐƯỜNG THẲNG 76
7.3 MIN, MAX VỚI MẶT CẦU 83
(3)T
ỌA ĐỘ
C
ỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÝ THUYẾT CHUNG1 Véc tơ không gian
* Định nghĩa
Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép tốn vecto khơng gian xác định tương tự mặt phẳng
2 Vecto đồng phẳng
* Định nghĩa: Ba vecto a b c, ,
khác 0 gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng
Chú ý:
n vecto khác 0 gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng
Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo
* Điều kiện để vecto khác 0
đồng phẳng Định lý 1:
, , a b c
đồng phẳng m n, : ambnc * Phân tích vecto theo ba vecto không đồng phẳng
Định lý 2: Cho vecto e e e 1, 2, 3 khơng đồng phẳng Bất kì vecto a khơng gian phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có ba số thực
x x x1, 2, 3
1 2 3 ax e x e x e
Chú ý: Cho vecto a b c, ,
khác 0: a b c, ,
đồng phẳng có ba số thực , ,m n p không đồng thời cho: manbpc0
2 a b c, ,
không đồng phẳng từ manb pc0mn p0
3 Tọa độ vecto
Trong khơng gian xét hệ trục Ox ,yz có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng
Oxy
O Các vecto đơn vị trục Ox,Oy Oz,
1; 0; ,
0;1; ,
0;0;1
i j k
a) a
a a a1; 2; 3
aa i1a j2a k3b) M x
M,yM,zM
OMx iMyMjz kM c) Cho A x
A,yA,zA
,B x
B,yB,zB
ta có:
B A; B A; B A
AB x x y y z z AB
xBxA
2
yByA
2
zBzA
2 d) M trung điểm AB ; ;2 2
B A B A B A
x x y y z z
M
e) Cho a
a a a1; 2; 3
b
b b b1; 2; 3
ta có:D3
D1 D2
a b
c
Δ1
Δ2 Δ3
(4)1
2
3
a b
a b a b
a b
1; 2; 3
a b a b a b a b
3
; ;
k a ka ka ka
1 2 3cos ;
a b a b a b a b a b a b
2 2
1
a a a a
1 2 32 2 2
1 3
cos cos ;
a b a b a b a b
a a a b b b
(với a 0, b0 )
a b vng góc: a b 0a b1 1a b2 2 a b3 3 0 a b phương:
1
2
3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
4 Tích có hướng ứng dụng
Tích có hướng a
a a a1; 2; 3
b
b b b1; 2; 3
là:
2 3 1
2 3 1 2 3 1
, a a ;a a ;a a ; ;
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
a Tính chất:
, , ,
a b a a b b
, sin ,
a b a b a b
a b phương: a b , 0 , ,
a b c đồng phẳng a b c , 0 b Các ứng dụng tích có hướng
Diện tích tam giác: , ABC
S AB AC Thể tích tứ diện ,
6 ABCD
V AB AC AD
Thể tích khối hộp: VABCD A B C D ' ' ' ' AB AD, .AA' Một số kiến thức khác
a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA
k MB
ta có:; ;
1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
với k1
b) G trọng tâm tam giác ; ;
3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
ABCx y z
(5)B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng A B C, , thẳng hàng AB AC, phương AB AC, 0 Dạng A B C, , ba đỉnh tam giác A B C, , không thẳng hàng AB AC,
không phương
,
AB AC
Dạng G x
G;yG;zG
trọng tâm tam giác ABCthì:; ;
3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
Dạng Cho ABCcó chân E F, đường phân giác ngồi gócAcủa ABC trênBC Ta có: EB AB.EC
AC
, FB AB.FC AC
Dạng , ABC
S AB AC
diện tích hình bình hành ABCDlà: SABCD AB AC,
Dạng Đường cao AH củaABC: ABC
S AH BC
, 2.S ABC AB AC AH
BC BC
Dạng TìmDsao cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto ABDC
hoặc ADBC tọa độD
Dạng Chứng minh ABCD tứ diện AB AC AD; ;
không đồng phẳng AB AC AD, 0 Dạng G x
G;yG;zG
trọng tâm tứ diện ABCD thì:; ;
4 4
A B C D A B C D A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x y z
Dạng 10 Thể tích khối tứ diệnABCD: ,
ABCD
V AB AC AD
Dạng 11 Đường cao AH tứ diệnABCD:
3 BCD BCD
V
V S AH AH
S
Dạng 12 Thể tích hình hộp: VABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA, '
Dạng 13 Hình chiếu điểm A x
A;yA;zA
lên mặt phẳng tọa độ trục: Xem lại mục 1, cơng thức 17, 18Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ:
(Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độđó, có mặt tọa độ để ngun tọa độđó)
OXY
: A x1
A;yA;zA
OXZ
: A2
xA;yA;zA
OYZ
: A3
xA;yA;zA
OX
: A4
xA;yA;zA
OY
: A5
xA;yA;zA
OZ
: A6
xA;yA;zA
Qua gốc O: A7
xA;yA;zA
Câu 1: Cho bốn điểm S
1, 2, ;
A
2, 2, ;
B
1, 3, ;
C
1, 2,
Gọi M N P, , trung điểm ,BC CA AB Khi SMNP là:
A Hình chóp B Hình chóp C Tứ diện D Tam diện vuông Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
2; 0; ,
B 3; 1; ,
C
2; 2; 0
Điểm D mặt phẳng(Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là:
(6)A D
0; 3; 1
B D
0; 2; 1
C D
0;1; 1
D D
0; 3; 1
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
1; 2; 0
, B
3; 4;1
, D
1; 3; 2
Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB, CD có góc C 45 A C
5; 9; 5
B C
1; 5; 3
C C
3;1;1
D C
3; 7; 4
Câu 4: Cho ba điểm A
3;1; ,
B
0; 1; ,
C
0; 0; 6
Nếu tam giác A B C thỏa mãn hệ thứcA A B B C C
có tọa độ trọng tâm là:
A
1; 0;
B
2; 3;
C
3; 2;
D
3; 2;1
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M
3; 0; ,
N m n
, , ,
P
0; 0;p
Biết
13, 60
MN MON , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức Am2n2p2
A 29 B 27 C 28 D 30
Câu 6: Cho hình chóp S ABCD biết A
2; 2; ,
B
3;1; ,
C
1; 0; ,
D
1; 2; 3
Gọi H trung điểm CD, SH
ABCD
Để khối chóp S ABCD tích 272 (đvtt) có hai điểm 1,
S S thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I S S1 2
A I
0; 1; 3
B I
1; 0; 3
C I
0;1; 3
D I
1; 0;
Câu 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, B(3; 0;8), D( 5; 4; 0) Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) có tọa độ số nguyên, CA CB bằng:
A 5 10 B 6 10 C 10 D 10
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
4; 2; ,
B
2; 4; ,
C
2; 2;1
Biết điểm
; ;
H a b c trực tâm tam giác ABC Tính S a b 3c
A S 6 B S 2 C S 6 D S 2
Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A a
; 0; ,
B
1; ; ,b
C
1; 0;c
với a b c, , số thực thay đổi cho H
3; 2;1
là trực tâm tam giác ABC Tính S a b c A S 2 B S19 C S11 D S 9Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
4; 0; ,
B a b
; ; ,
C
0; 0;c
với
a b c, , 0
thỏa mãn độ dài đoạn AB2 10, góc AOB45 thể tích khối tứ diện OABC Tính tổng T a b cA T 2 B T 10 C T12 D T14
Câu 11: (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong khơng gian Oxyz cho điểm A
5;1;5
, B
4 ; 3; 2
, C
3; ;1
Điểm I a b c
; ;
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a2b c ?A 1 B 3 C 6 D 9
(7)trùng với O) Biết véctơ u
a b; ; 2
với a b, véctơ phương đường thẳng A C Tính T a2b2A T 5 B T 16 C T 4 D T 9
Câu 13: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, ; có tọa độ ba đỉnh A
1; 2;1 ,
B
2; 0; ,
C
6;1; 0
Biết hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D a b c
; ;
, tìm mệnh đề đúng?A a b c 6 B a b c 5 C a b c 8 D a b c 7 Câu 14: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong khơng gian Oxyz, cho hình thang cân
ABCD có đáy AB CD, Biết A
3;1; 2
, B
1; 3; 2
, C
6; 3; 6
D a b c
; ;
với a b c; ; Tính T a b cA T 3 B T 1 C T 3 D T 1
Câu 15: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
0 ; 1; 2
A , B
2 ; 3; 0
, C
2 ;1;1
, D
0 ; 1; 3
Gọi
L tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng thức MA MB MC MD 1
Biết
L đường trịn, tính bán kính đường trịn đó?A
2
r B 11
2
r C
2
r D
2 r
Câu 16: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyz, cho điểm A
0; ; 0
,
0; 0; 2
B , điểm C
Oxy
tam giác OAC vng C, hình chiếu vng góc O BC điểm H Khi điểm H ln thuộc đường trịn cố định có bán kínhA 2 B 4 C D 2
Câu 17: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC với A
2 ; ; 3
; B
1; ; 4
; C
2 ; 1; 2
Biết điểm E a b c
; ;
điểm để biểu thức P EA EB EC đạt giá trị nhỏ Tính T a b cA T 3 B T 1 C T 0 D T 1
Câu 18: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm
1; 3; 4
A , B
9; 7; 2
Tìm trục Ox toạ độ điểm M cho MA2 MB2 đạt giá trị nhỏA M
5; 0; 0
B M
2; 0; 0
C M
4; 0; 0
D M
9; 0; 0
(8)A 1 B 3
2 C
1
2 D
1
Câu 20: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A
2; 4; 1
, B
1; 4; 1
, C
2; 4; 3
, D
2; 2; 1
, biết M x y z
; ;
để MA2 MB2MC2MD2 đạt giá trị nhỏ x yzA 6 B 21
4 C 8 D 9
Câu 21: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz, cho OA i j3k, B
2; 2;1
Tìm tọa độ điểmM
thuộc trục tung cho MA2MB2 nhỏA M
0; 2;0
B 0; ;03 M C M
0; 3;0
D M
0; 4;0
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
1;1;1
,B
2;1; 0
,C
2; 3;1
.Điểm
; ;
S a b c cho SA22SB23SC2 đạt giá trị nhỏ Tính T a b c
A
2
T B T 1 C
3
T D
6 T
Câu 23: (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian Oxyz, cho điểm A
2 ; ; ,t t
B
0; 0;t
với t0 Cho điểm P di động thỏa mãn OP AP OP BP AP BP 3 Biết có giá trị t ab
với a b, nguyên dương a
b tối giản cho OP đạt giá trị lớn Tính giá trị Q2a b ?
A 5 B 13 C 11 D 9
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B m( ; 0; 0), D(0; ;0)m , A(0; 0; )n với m n, 0 m n 4 Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn
A 245
108 B
9
4 C
64
27 D
75 32
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
3; 2; ,
B
1; 4; 4
điểm C
0; ;a b
thỏa mãn tam giác ABC cân C có diện tích nhỏ Tính S2a3bA 62 25
S B 73
25
S C 239
10
S D 29
5 S
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A
2; 2; ,
B
2; 0; 2
điểm M a b c
, ,
với a b c, , số thực thay đổi thỏa mãn a2b c 1 Biết MAMB góc AMB có số đo lớn Tính S a 2b3cA 16 11
S B 15
11
S C
11
S D
11 S
(9)A arccos
85 B
6 arcsin
85 C
2 arccos
9 D
2 arcsin
9 Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho hai điểm ,
Giả sử , hai điểm thay đổi mặt phẳng cho hướng với Giá trị lớn
A B C D
Câu 29: (Lý Nhân Tông) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A a
; 0; ,
B
0; ; ,b
C
0; 0;c
A, B, C với a b c, , 0 cho OAOBOCABBCCA1 Giá trị lớn VO.ABCA
108 B
1
486 C
1
54 D
1 162
Câu 30: (Đồn Thượng) Trong khơng gian Oxyz, cho A
1; 1;2
, B
2;0;3
, C
0;1; 2
Gọi
; ;
M a b c điểm thuộc mặt phẳng
Oxy
cho biểu thức
S MA MB MB MC MC MA đạt giá trị nhỏ Khi T 12a12bc có giá trị A T 3 B T 3 C T1 D T 1
Oxyz a
1; 1; 0
A
4;7;3
B
4; 4;5
M N
Oxy
MN
a
MN AM BN
(10)PHƯƠNG TR
ÌNH M
Ặ
T PH
Ẳ
NG
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1 Định nghĩa
Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng
P :AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 có vec tơ pháp tuyến
; ;
n A B C
Mặt phẳng
P qua điểm M0
x y z0; 0; 0
nhận vecto n
A B C; ;
,n 0 làm vecto pháp tuyến dạng
P :A x
x0
B y
y0
C z
z0
0Nếu
P có cặp vecto a
a a a1; 2; 3
;b
b b b1; ;2 3
không phương, có giá song song nằm
P Thì vecto pháp tuyến
P xác định na b , 2 Các trường hợp riêng mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mp
:AxBy Cz D0, với A2B2C20 Khi đó:D
qua gốc tọa độ0, 0, 0,
A B C D
song song trục Ox0, 0, 0,
A B C D
song song mặt phẳng
Oxy
, , ,A B C D Đặt a D,b D,c D
A B C
Khi đó:
: x y c ab z
3 Phương trình mặt chắn cắt trục tọa độ điểm A a
; 0;0 ,
B
0; ;0 ,b
C
0; 0;c
:1 ,
x y z
abc
ab c
4 Phương trình mặt phẳng tọa độ:
Oyz
:x0;
Oxz
:y0;
Oxy
:z0 5 Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):Giả sử
' d đó: ( ) : AxBy Cz D0 ( ') : A x' B y C z' ' D'0 Pt mp chứa d có dạng: m Ax
By Cz D
n A x
' B y C z' ' D'
0 (với 20) m n 6 Vịtrí tương đối hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho
:AxBy Cz D0
' :A x' B y' C z' D'0
cắt
'' '
' '
' '
AB A B
BC B C
CB C B
//
'' '
' ' ' '
' '
AB A B
BC B C va AD A D
CB C B
'' '
' '
' '
' '
AB A B
BC B C
CB C B
AD A D
(11)7 Khoảng cách từ M0
x y z0; 0; 0
đến ( ) : Ax By Cz D 0
02 2
, Ax By Cz D
d M
A B C
Chú ý:
Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng 0 8 Góc hai mặt phẳng
Gọi góc hai mặt phẳng
0
90
P :AxBy Cz D0
Q :A x' B y C z' ' D'0
2 2 2' ' '
cos = cos ,
' ' '
P Q P Q
P Q
n n A A B B C C
n n
n n A B C A B C
Góc ( ) , ()bằng bù với góc hai vtpt
()()n1n2 AA'BB'CC' 0 1 Các hệ quả hay dùng:
Mặt phẳng
//
có vtpt n n với n vtpt mặt phẳng
Mặt phẳng
vng góc với đường thẳng d
có vtpt n ud với ud vtcpcủa đường thẳng d
Mặt phẳng
P vng góc với mặt phẳng
Q n P n QMặt phẳng
P chứa song song với đường thằng d n P ud
Hai điểm A B, nằm mặt phẳng
P ABn pB - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG
Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: điểm véctơ pháp tuyến.
Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có vtpt
(): hay AxBy Cz D0 với D
Ax0By0Cz0
Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có cặp vtcp a b ,Khi vtpt () n a b ,
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm không thẳng hàngA B C , ,
Cặp vtcp: AB AC,
Mặt phẳng ( ) qua A (hoặc B hoặcC ) có vtpt n AB AC, Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng( )
Dạng Mặt phẳng trung trực đoạnAB
Tìm tọa độ M trung điểm đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n AB
Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặcAB) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt vtcp đường thẳng d
(hoặc n AB
)
1
n n ,
0
0 ( ),( ) 90
0 0
M x ; y ; z n
A; B;C
0
0
0
A xx B yy C zz
(12)Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng Mặt phẳng ( ) qua M song song ( ) : AxBy Cz D0 Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n n
A B C; ;
Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng Mặt phẳng
quaM , song song với d vng góc với
có vtpt n u n d, với ud vtcp đường thẳng d n vtpt
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )Dạng Mặt phẳng ( ) chứa M đường thẳng d không qua M Lấy điểm M0
x y z0; 0; 0
dTính MM0 Xác định vtcp ud đường thẳng d Tính n MM u 0, d
Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc M0) có vtpt n
Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( ) , ( ) : Xác định vtpt ( ) ( )
Một vtpt ( ) n u n ,
Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 10 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d d1, 2 : Xác định vtcp a b , đường thẳng d d1, 2
Một vtpt ( ) n a b ,
Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 11 Mặt phẳng ( ) qua M N vng góc , ( ) :
Tính MN
Tính n MN n ,
Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc N ) có vtpt n
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 12 Mặt phẳng
chứa đường thẳng d vng góc với
có vtpt n u n d, với ud
vtcp d Lấy điểm M0
x y z0; 0; 0
d M0
x y z0; 0; 0
( )Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 13 Mặt phẳng ( ) chứa
d song song
d/ (với ( ), ( ')d d chéo nhau) Lấy điểm M0
x y z0; 0; 0
d M0
x y z0; 0; 0
( )Xác định vtcp u u d; d'của đường thẳng d đường thẳng d' Mặt phẳng ( ) qua M0 có vtpt n u u d, d'
Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 14 Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song 1, 2
Chọn điểm M1
x y z1; 1; 1
1 M2
x y z2; 2; 2
2 (13)Tìm vtcp u1 đường thẳng 1 vtcp u2 đường thẳng 2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) n u M M1, 1 2
n u M M 2, 1 2 Sử dụng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 15 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng cắt d d1, 2: Xác định vtcp a b,
đường thẳng d d1, 2 Một vtpt ( ) n a b ,
Lấy điểm M thuộc d1 d2 M( )
Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 16 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng
d cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k không đổi:Giả sử ( ) có phương trình:
Lấy điểm A B, ( )d A B, ( ) (ta hai phương trình (1), (2)) Từ điều kiện khoảng cách , ta phương trình (3)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn cịn lại) Dạng 17 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu
S điểm H :Giả sử mặt cầu
S có tâm I bán kính R Vì H tiếp điểm H( ) Một vtpt ( )Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 18 Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( )P TH1: ( ) ( )P d:
- Tìm M N, hai điểm chung ( ), ( ) P
- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng Iqua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I M N’, ,
TH2: ( ) / /( ) P
- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng I qua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I’ song song với ( )P CÁC DẠNG TỐN KHÁC
Dạng Tìm điểm H hình chiếu vng góc của M lên ( )
Cách 1:
- H hình chiếu điểm M
P - Giải hệ tìm HCách 2:
- Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với ( ) : ta có a d n
- Khi đó: H d ( ) tọa độ H nghiệm hpt:
d ( )Dạng Tìm điểm M’ đối xứng M qua ( )
Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên ( )
H trung điểm MM/(dùng công thức trung điểm) tọa độ H Dạng Viết phương trình mp ( ')P đối xứng mp ( )P qua mp
QTH1: ( )Q
P d0
AxByCz+D
2
0
A B C
d M( ,( )) k
n IH
MH n phương
H P
, ( )
(14)- Lấy hai điểm
A B,
( )P ( )Q (hayA B, d)- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua d M'
TH2: ( )Q / /
P- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua M' song song ( )P
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
2 2
y
x y z Oxyz cho điểm M
1;0;0
N
0;0; 1
, mặtphẳng
P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng
Q :x y40 góc 45O Phương trình mặt phẳng
PA
2 2
y
x y z B
0
2 2
y
x y z
C 2
2 2
x y z
x y z D
2 2
2 2
x z
x z
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho
P :x4y2z 6 0,
Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng
chứa giao tuyến của
P , Q cắt trục tọa độ điểm A B C, ,sao cho hình chóp O ABC hình chóp
A x y z B x y z C x y z D x y z
Câu 3: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho đường thẳng:
, mặt cầu
Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có chu vi
A B C D
Câu 4: Cho tứ giác ABCD có A
0;1; ;
B
1;1; ;
C
1; 1; ;
D
0;0;1
Viết phương trình mặt phẳng
P qua A B, chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tíchA 15x4y5z 1 B 15x4y5z 1
C 15x4y5z 1 D 15x4y5z 1
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
2 2
y
x y z
Oxyz cho điểm M
1;0;0
N
0; 0; 1
, mặt phẳng
P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng
Q : x y góc 45O Phương trình mặt phẳng
P1
2 1
:
1
x y z
2: 2 x t
y t
z t
2 2
( ) :S x y z 2x2y6z 5
( ) 1,
2 365
5 0; 10
x y z x y z
5 10
x y z
5 3 511 0; 3 511
x y z x y z
5
(15)A
2 2
y
x y z
. B
2 2
y
x y z
C 2
2 2
x y z
x y z
. D 2
2 2
x z x z
Câu 6: Cho tứ giác ABCD có A
0;1; ;
B
1;1; ;
C
1; 1; ;
D
0;0;1
Viết phương trình tổng quát mặt phẳng
Q song song với mặt phẳng
BCD
chia tứ diện thành hai khối AMNF MNFBCDcó tỉ số thể tích 27
A 3x3z 4 B y z
C y z D 4x3z 4
Câu 7: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng
P cắt hai trục y Oy' z Oz' A
0, 1, ,
B
0, 0,1
và tạo với mặt phẳng
yOz
góc 45A 2xyz 1 B 2x y z
C 2x y z 0; 2x yz 1 D 2x y z 0; 2x yz 1
Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ
, vng góc với mặt phẳng tiếp xúc với (S)
A 2
2 21
x y z
x y z B
2
2 21
x y z
x y z
C
2
x y z
x y z D
2 13
2
x y z
x y z
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng
1
1: 0 x t d y z
, 2 2
1 :
0 x
d y t
z
, 3
3 : x d y z t
Viết
phương trình mặt phẳng qua điểm H
3; 2;1
cắt ba đường thẳng d1, d2, d3 A, B,C cho H trực tâm tam giác ABC
A 2x2y z 11 0 B x y z
C 2x2y z D 3x2y z 140
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d
Viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A B cho đường thẳng AB vng góc với d
A
P :x2y5z 4 B
P :x2y5z 5C
P :x2y z D
P : 2x yCâu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d1, 2lần lượt có phương trình
1
2
:
2
x y z
d , 2:
2
x y z
d
Phương trình mặt phẳng
cách hai đườngthẳng d d1, 2
A 7x2y4z0 B 7x2y4z 3
C 2x y 3z 3 D 14x4y8z 3
2 2
2
x y z x y z (1;6; 2)
(16)Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng song song cách hai đường
thẳng
A B
C D
Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
P : 5x z hai đường thẳng d d1; 2 cóphương trình 1;
1 2 1
x y z x y z
Viết phương trình mặt phẳng
Q / / P ,theo thứ tự cắt d d1, 2 A B, cho AB
A
1 : 25 331 0;
2 : 25 3317
Q x z Q x z
B
Q1 : 5x z 0;
Q2 : 55x11z140C
Q1 : 5 x z 0;
Q2 : 55 x11z140D
Q1 : 5x z 0;
Q2
: 55x11z 7Câu 14: Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho mặt phẳng
qua điểm M
1; 2;3
cắt trục Ox, Oy, Oz A,B,C ( khác gốc toạđộ O) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng
có phương trình
A x2y3z140 B
1
x y z
C 3x2y z 100 D x2y3z140
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho
P :x4y2z 6 0,
Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng
chứa giao tuyến của
P , Q cắt trục tọa độ điểm A B C, ,sao cho hình chóp O ABC hình chóp
A x y z B x y z C x y z D x y z
Câu 16: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho điểm N
1;1;1
Viết phương trình mặt phẳng
P cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , (không trùng với gốc tọa độO) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCA
P :xy z B
P :xy zC
P :x y z D
P :x2y zCâu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
Q :xy z hai điểm
4, 3,1 ,
2,1,1
A B Tìm điểm M thuộc mặt phẳng
Q cho tam giác ABM vuông cân MA
1; 2;1
17
; ;
7 7
M M
B
1; 2;1
17; ; 7 M
M
C
1; 2;1
13
; ;
7 7
M M
D
1;1;1
9
; ;
7 7
M M
P2 :
1 1
y
x z
d
1
:
2 1
y
x z
d
P : 2x2z 1
P : 2y2z 1 (17)Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho điểm A
1;3; ,
B
3; 2;1
mặt phẳng
P :x2y2x11 0. Tìm điểm M
P cho MB 2,MBA 30
A
1; 2;3 1; 4;1 M M
B
1; 2;3 1; 4;1 M
M
C
2;1;3 4;1;1 M M
D
1; 2;3 1; 4;1 M
M
Câu 19: Trong không gian tọa độ , cho tám điểm , , , ,
, , , Hỏi hình đa diện tạo tám điểm cho có
bao nhiêu mặt đối xứng
A 3 B 6 C 8 D 9
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A
1; 2; ,
B
0; 1;1 ,
C
2;1; ,
D
3;1; 4
Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó?A 1 B 4 C 7 D Vô số
Câu 21: Trong không gian cho điểm M(1; 3; 2) Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ
, ,
A B C mà OA OB OC0
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 22: Có mặt phẳng qua điểm M(1;9; 4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho OA OB OC
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 23: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
1
x y z
d
mặt phẳng
P : 2xy2z20
Q mặt phẳng chứa d tạo vớimặt phẳng
P góc nhỏ Gọi nQ
a b; ;1
vectơ pháp tuyến
Q Đẳng thứcđúng?
A ab0 B ab 1 C a b 1 D ab 2
Câu 24: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B a( ; 0; 0), D(0; ; 0)a , A(0; 0; )b (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giá trị tỉ số a
b để hai mặt phẳng
(A BD )
MBD
vng góc vớiA 1
3 B
1
2 C 1 D 1
Câu 25: Trong không gian với hệ trục toạđộ cho điểm
dương mặt phẳng Biết vng góc với
, mệnh đềnào sau đúng?
A B C D
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
5;5; ,
B
1; 2;3 ,
C
3;5; 1
mặt phẳng
P : xy zTính thể tích V khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng
PSASBSC
A 145
6
V B V 145 C 45
6
V D 127
3
V
Oxyz
A
2; 2; 0
B
3; 2; 0
C
3; 3; 0
D
2; 3; 0
2; 2; 5
M N
2; 2; 5
P
3; 2; 5
Q
2;3;5
,
Oxyz A
1;0;0 ,
B 0; ;0 ,b
C
0; 0;c
b c,
P :y z mp ABC
mp P
,
3
d O ABC
1
(18)Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
1; 2; ,
M
2; 4;1 ,
N
1;5;3
Tìm tọa độđiểmC nằm mặt phẳng
P :x z 270 cho tồn điểm B D, tương ứng thuộc tia,
AM AN để tứ giác ABCD hình thoi
A C
6; 17; 21
B C
20;15; 7
C C
6; 21; 21
D C
18; 7;9
Câu 28: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
2;1; 2
, B
2; 3;1
,
3;2; 2
C mặt phẳng
:x3y z Gọi A, B, C hình chiếu vng góc A, B, C lên
D điểm cho A B C D hình bình hành Diện tích hình bình hành A B C D bằng
A
22 B
4
11 C
8
11 D
6 22
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba mặt phẳng
:x2y z 0;
:x2y z 0;
:x2y zMột đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng
; ; A B C, , Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P AB2 144AC
là?
A 108 B 72 4.3 C 96 D 36
Câu 30: (THTT lần5) Trong khơng gian Oxyz, cho hình chóp S ABC có SC AB3 2, đường thẳng AB
có phương trình 1
1
x y z
góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 60 Khi ba
điểm A B C, , với ba trung điểm ba cạnh bên hình chóp S ABC nằm mặt cầu mặt phẳng
ABC
có phương trìnhA y z B x y 4z14 0 C x2y7z 8 D x y 4z14 0
Câu 31: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểmA
1;1;1
, B
1; 0; 2
,
2; 1; 0
C , D
2; 2;3
Hỏi có mặt phẳng song song với AB CD, cắt đường thẳng,
AC BD M N, thỏa mãn
2
2 BN
AM AM
A 0. B 2 . C 3 D 1
Câu 32: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, cho điểm M
1; 3; 2
Hỏi có mặt phẳng quaM cắtcác trục tọa độ tạiA,B,C mà OAOBOC0?
A 3 B 1. C 4. D 2
Câu 33: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S :x2 y2
z1
2 4 điểm A
2; 2; 2
Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC, AD với B, C, D tiếp điểm Viết phương trình mặt phẳng
BCD
A 2x2y z B 2x2y z
C 2x2y z D 2x2y z
Câu 34: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H a b c
; ;
với, ,
a b c Mặt phẳng ( )P chứa điểm H cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , thỏa mãn H
(19)A x2 y2 z2 ab bc ca
a b c abc
B x y z
ab c
C ax by cza2b2c2 0 D a x b y2 c z2 a3b3c3 0
Câu 35: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1) B(3; 1;5) Mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng AB cắt trục Ox, Oy Oz điểm D, E F Biết thể tích tứ diện ODEF
2, phương trình mặt phẳng ( )P là
A 2x3y4z336 0 B 2
2 x y z
C 2x3y4z120 D 2x3y4z 6
Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong khơng gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm M
4; 4;1
và chắn ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội
2?
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 37: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gianOxyz, cho mặt cầu
2:
S x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng
chứa Oy cắt mặt cầu
Stheo thiết diện đường trịn có chu vi 8
A
: 3xz0 B
: 3xz0C
:x3z0 D
: 3x z 20Câu 38: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), (0;1;0)B Mặt phẳng qua điểm A B, đồng thời cắt tia Oz Csao cho tứ diện OABC tích
6
có phương trình dạng x ay bz c 0 Tính giá trị a3b2c
A 16. B 1. C 10. D 6
Câu 39: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M
1;2;5
Mặt phẳng
P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Thể tích tứ diện OABCA 10
6 B 450 C 10 D 45
Câu 40: (Kim Liên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
2;1; 2
, B
1;1; 0
mặt phẳng
P :xy z Điểm C thuộc
P cho tam giác ABC vuông cân B Cao độ điểmC
A 1
3
. B 1
3. C 3
3. D 1 .
Câu 41: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A
1;2;1 ,B 3; 4; 0
, mặt phẳng
P :ax bycz460 Biết khoảng cách từ A B, đến mặt phẳng
P6 Giá trị biểu thức T a b c
(20)Câu 42: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x1)2(y1)2(z1)2 12
và mặt phẳng (P):x2y2z110 Xét điểm M di động ( )P ; điểm A B C, , phân biệt di động ( )S cho AM BM CM, , tiếp tuyến ( )S Mặt phẳng (ABC) qua điểm cốđịnh đây?
A 1; 1;
4 2
B
0; 1; 3
C3 ;0; 2
D
0;3; 1
Câu 43: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm A
1;1;1 ,
B
2;0; 2
,
1; 1; ,
0;3; 4
C D Trên cạnh AB AC AD, , lấy điểm B C D', ', ' thỏa:
4
' ' '
AB AC AD
AB AC AD Viết phương trình mặt phẳng
B C D' ' '
biết tứ diện AB C D' ' ' tíchnhỏ nhất?
A 16x40y44z390 B 16x40y44z390
C 16x40y44z390 D 16x40y44z390
Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong không gian Oxyz
1
:
1
x y z
d
mặt phẳng
P : 2xy2z40 Mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo vớimặt phẳng
P góc với sốđo nhỏ có phương trìnhA x z 20 B x z 20 C 3x y z D xy z
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 0) , đường thẳng :
1
x y z
Biết
mặt phẳng ( )P có phương trình ax by cz d0 qua A, song song với và khoảng cách từ
tới mặt phẳng ( )P lớn Biết a b, sốnguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng
a b c d bao nhiêu?
A 3 B 0 C 1 D 1
Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
1
x y z
d
2
:
2
x t
d y t
z
Mặt phẳng
P :ax by czd 0 (với a b c d; ; ; ) vng góc với đường thẳng d1 chắn d d1, 2 đoạn thẳng có độ dài nhỏ Tính a b c dA 14 B 1 C 8 D 12
Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 3xy z hai điểm
1; 0; 2
A , B
2; 1;
Tìm tập hợp điểm M x y z
; ;
nằm mặt phẳng
P cho tam giácMAB có diện tích nhỏ
A 7
3
x y z
x y z
B 14
3
x y z
x y z
C 7
3
x y z
x y z
D
3
x y z
x y z
Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạđộ cho điểm Gọi
mặt phẳng qua cho tổng khoảng cách từ đến lớn biết không cắt đoạn Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ?
A B C D
,
Oxyz A
1;0;1 ;
B
3; 2; ;
C
1; 2; 2
PA B C
P
PBC
P
2; 0;
(21)Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
2;3;1
hai mặt phẳng
P :x2y2z 3và
Q :2x2y z Gọi B
P C,
Q cho chu vi tam giác ABC nhỏ TínhPABBCCA
A 321
P B 231
9
P C 321
9
P D 231
9
P
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y2z 3 hai điểm
1; 2;3 ,
3; 4;5
A B Gọi M điểm di động
P Giá trị lớn biểu thức MAMB
bằng:
A 3 6 78 B 3 3 78 C 546 78 D 3
Câu 51: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Mặt phẳng
P qua điểm M
1;1;1
cắt tia Ox, Oy, Oz A a
;0;0
, B
0; ;0b
, C
0; 0;c
cho thể tích khối tứ diệnOABC nhỏ Khi a2b3c
A 1 B 21 C 15 D 18
Câu 52: (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM 2019)Cho mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z5
2 16 điểm A
1; 2; 1
Điểm B a b c
; ;
thuộc mặt cầu choAB có độ dài lớn Tính a b c
A 6 B 2 C 2 D 12
Câu 53: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z3
2 12 mặt phẳng ( ) : 2P x2yz30 Viết phương trình mặt phẳng song song với
P cắt
S theo thiết diện đường tròn
C cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn
C tích lớnA ( ) : 2Q x2yz20 ( ) : 2Q x2yz80
B ( ) : 2Q x2yz 1 ( ) : 2Q x2yz110
C ( ) : 2Q x2yz60 ( ) : 2Q x2yz30
D ( ) : 2Q x2yz20 ( ) : 2Q x2yz20
Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1).Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , A B C, , cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác
ABC
A x y 2z11 B 8x y z 66=0
C 2x y z 180 D x2y2z120
Câu 55: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ
Oxyz Viết phương trình mặt phẳng
P qua điểm M
1; 2;3
cắt trục Ox Oy Oz, , ba điểm A B C, , khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 12 12 12OA OB OC có giá trị nhỏ
A
P :x2y z 140 B
P :x2y3z140C
P :x2y3z11 0 D
P :xy3z140Câu 56: Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M
1; 2;3
cắt ba tia Ox, Oy, OzA,B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?
A 6x3y2z180 B 6x3y3z21 0
(22)Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x y z hai điểm
3; 4;1 ,
7; 4; 3
A B Gọi M x y z
0; 0; 0
điểm thuộc mặt phẳng
P cho
2
2 96
MA MB MA MB MA MB MA MB đạt giá trị lớn Tính y0
A 0
3
y B 0
3
y C 0
3
y D 0
3
(23)GĨC
Câu 1: (Ba Đình Lần2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P có phương trình:ax by cz với c0 qua điểm A
0;1; 0
, B
1;0; 0
tạo với
Oyz
góc 60 Khi a b c thuộc khoảng đây?A
5;8
B
8;11
C
0;3
D
3;5
Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x1)2y2(z2)2 4 đường thẳng
2
:
1
x t
d y t
z m t
Tổng giá trị thực tham số m để d cắt
S hai điểm phân biệt ,A B tiếp diện
S ,A B tạo với góc lớnA 1, B 3 C 1 D 2, 25
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
2; 2; ,
B
2;0; 2
mặt phẳng
P :x2y zTìm điểm M
P cho MAMB góc AMB có số đo lớn A 14; 1;11 11 11 M
B
2
; ;
11 11 11 M
C M
2; 1;
D M
2; 2;1
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’:Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) tạo với mặt phẳng Oyz góc nhỏ
A B
C D
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): đường thẳng Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ
A B
C D
Câu 6: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho hinh lập phương 1 1
ABCD A B C D biết A
0;0;0
, B
1;0; 0
, D
0;1; 0
,A1
0; 0;1
Gọi
P :ax by cz 3 (với a b c, , ) phương trình mặt phẳng chứa CD1 tạo với mặt phẳng
BB D D1 1
góc có số đo nhỏ Giá trị T a b c A 1. B 6 C 4. D 3
3 2
x t
y t
z t
' '
2 '
x t
y t
z t
3xy 2z70 3xy 2z70
3
xy z 3x y 2z70
x2y z 5
x y z
d: 1
2 1
(24)Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa cho góc mặt phẳng đường thẳng lớn
A xy z 60 B 7xy5z 9 C xy z D xy z Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
1
x y z
d
2
:
2
x y z
d
Gọi
P mặt phẳng chứa d1 cho góc mặt phẳng
P đường thẳng d2 lớn Chọn mệnh đề mệnh đề sau:A
P có vectơ pháp tuyến n
1; 1; 2
B
P qua điểm A
0; 2; 0
C
P song song với mặt phẳng
Q : 7x y 5z 3 D
P cắt d2 điểm B
2; 1; 4
Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng mp Viết phương trình mặt phẳng qua d tạo với góc nhỏ
A B
C D
KHOẢNG CÁCH
Câu 10: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A
10; 2;1
đường thẳng1
:
2
x y z
d Gọi
P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d cho khoảng cách d
P lớn Khoảng cách từ điểm M
1; 2;3
đến mp
P A 9715 B
76 790
790 C
2 13
13 D
3 29 29
Câu 11: Cho mặt phẳng
P qua hai điểm A
3, 0, ,
B
3, 0, 4
hợp với mặt phẳng
xOy
góc 30 cắt y Oy' C Tính khoảng cách từ O đến
PA 4 B C 3 D 2
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
1; 0;0 ,
B
2;0;3 ,
M
0; 0;1
N
0;3;1
Mặt phẳng
P qua điểm M, N cho khoảng cách từ điểm B đến
P gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến
P Có bao mặt phẳng
P thỏa mãn đầu bài?Oxyz 1:
1
x y z
d
2
2
:
2
x y z
d
( )P d1
( )P d2
:
2
x t
d y t
z t
P : 2x y 2z 2
R
P3
x y z x y z
3
(25)A Có vơ số mặt phẳng
P B Chỉ có mặt phẳng
P C Khơng có mặt phẳng
P D Có hai mặt phẳng
PCâu 13: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng
qua điểm M
1; 2;1
cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho độ dài OA OB OC, , theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng
A
21 B
21
21 C
3 21
7 D 9 21
Câu 14: (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A
1, 2, 0
;B
3, 3, 2
;C
1, 2, 2
;D
3, 3,1
Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng
ABC
A7 B
9
7 C
9
14 D
9
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y z chứa hai mặt hình lập phương Thể tích khối lập phương
A 27
V B 81
8 V
.
C
2
V D 64
27 V
Câu 16: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng
AB D
BC D
A
3 B C
3
2 D
2
Câu 17: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Trong không gian Oxyz cho M
1 2; ;1
Gọi
P mặt phẳng qua điểm M cách gốc tọa độ O khoảng lớn Mặt phẳng
P cắt trục tọa độ điểm A,B ,C Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABCA 27 6 B 216 6 C 972 D 243
2
Câu 18: (KINH MƠN HẢI DƯƠNG 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P qua điểm M
2;3;5
cắt tia Ox Oy Oz, , ba điểm A B C, , cho OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội Khoảng cách từ O đến mặt phẳng
P A 1691 B
24
91 C
32
91 D
18 91
Câu 19: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho đường
thẳng : 1
2
x y z
(26)A 1
3 B
1
3 C
1
5 D
1
Câu 20: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
Pm
:mxm m
1
y
m1
2z 1 (m tham số) đường thẳng d có vec-tơ phương u
1; 2; 3
Đường thẳng song song với mặt phẳng
Oxy
, vng góc với d cắt mặt phẳng
Pm điểm cố định Tính khoảng cách h từ A
1; 5; 0
đến đường thẳng A h5 B h 19 C h 21 D h2
Câu 21: (KINH MƠN II LẦN NĂM 2019) Trong khơng gian Oxyz, choA
1; 2; 2
, B
2;1; 2
,
1;5;1
C , D
3;1;1
E
0; 1; 2
Có mặt phẳng cách năm điểm cho?A Vô số B 1 C 2 D 3
Câu 22: Trong không gian với hệ toạ độ , gọi mặt phẳng qua hai điểm đồng thời hợp với mặt phẳng góc Khoảng cách từ O tới
A B C D
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a
;0; ,
B
0; ; ,b
C
0; 0;c
với , ,a b c dương Biết ,A B C, di động tia Ox Oy Oz, , cho a b c 2 Biết , ,a b c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng
P cố định Tính khoảng cách từ M
2016; 0; 0
tới mặt phẳng
PA 2017 B 2014
3 C
2016
3 D
2015
Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi d đường thẳng qua điểm A
1, 0, 0
có hình chiếu mặt phẳng
P :x2y2z 8 d' Giả sử giá trị lớn nhỏ khoảng cách từ điểm M
2, 3, 1
tới d' Tính giá trị T ?A B
2 C
2 D
3
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm Mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ đến (P) đạt giá trị lớn (P) có vectơ pháp tuyến
A B C D
Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; ,) B(1;2; 4) I(1;3; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, cho khoảng cách từ I đến (P) lớn
Oxyz
A
2; 0;1
2; 0;5
B
Oxz
450
3
3
1
2
(0; 1;2)
M N( 1;1; 3)
0; 0;2
K
(27)A 3x7y6z350 B 7xy5z 9 C xy z D x y z
Câu 27: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019)Trong không gian Oxyz, cho điểm M m; ;
0
, N
0;n;0
,
0
P ; ; p không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m2n2p2 3 Tìm giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng
MNP
A 1
3 B C
1
3 D
1 27 Câu 28: Cho điểm A(0;8; 2)và mặt cầu ( )S có phương trình 2
( ) : (S x5) (y3) (z7) 72 điểm B(9; 7; 23) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua Atiếp xúc với ( )S cho khoảng cách từ Bđến ( )P lớn Giả sử n (1; ; )m n vectơ pháp tuyến ( )P Lúc
A m n 2 B m n 2 C m n 4 D m n 4
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a
; 0; 0
, B
0, , 0b
, C
0, 0,c
với a, b ,c số dương thay đổi thỏa mãn a24b216c2 49 Tính tổng S a2b2c2 khoảng cách từ O đến mặt phẳng
ABC
đạt giá trị lớnA 51
S B 49
4
S C 49
5
S D 51
4 S
Câu 30: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi
P :ax by cz 3 (với a b c, , số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M
0; 1; ,
N
1;1;3
không qua điểm H
0; 0; 2
Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng
P đạt giá trị lớn Tổng T a 2b3c12A 16 B 8 C 12 D 16
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Câu 31: (Sở Hà Nam)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y z mặt cầu
2: 10
S x y z x z Gọi
Q mặt phẳng song song với mặt phẳng
P cắt mặt cầu
S theo giao tuyến đường trịn có chu vi 6 Hỏi
Q qua điểm số điểm sau?A M
6; 0;1
B N
3;1; 4
C J
2; 1;5
D K
4; 1; 2
Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hai mặt cầu
S1 :x2 y2 z2 6và
S2 : x1
2
y1
2
z1
2 6 Biết mặt phẳng
P :axbycz60
a0
vng góc với mặt phẳng
Q : 3x2y z đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu cho Tích abcA 2 B 2 C 0 D 1
Câu 33: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2: 2
S x y z x z đường thẳng :
1 1
x y z
d
(28)
Q chứa d tiếp xúc với mặt cầu
S A B Gọi H a b c
; ;
trung điểm AB Giá trị a b c A 1
6 B
1
3 C
2
3 D
5
Câu 34: (Ba Đình Lần2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : mx2y z 0 (m tham số) Mặt phẳng
P cắt mặt cầu
2
2S : x2 y 1 z 9 theo đường trịn có bán kính Tìm tất giá trị thực tham số m?
A m 1 B m 2 C m 4 D m 6 Câu 35: (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :2x2y z 7 mặt cầu
S : x2y2z22x4y6z11 0 Mặt phẳng
Q song song với
P cắt
S theo đường trịn có chu vi 6 có phương trìnhA
Q :2x2y z 170 B
Q :2x2y z C
Q :2x2y z 190 D
Q :2x2y z 170Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A a
; 0; ,
B
0; ;0 ,b
C
0; 0;c
với a b c, , 0 Biết mặt phẳng
ABC
qua điểm 4; ;3 3 M
tiếp xúc với mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z2
2 1 Thể tích khối tứ diện OABC bằng:A 4 B 6 C 9 D 12
Câu 37: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d
mặt cầu
2 2
: 2
S x y z Hai mặt phẳng
P
Q chứa d tiếp xúc với
S Gọi M ,N tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MNA 2 B
3 C D 4
Câu 38: (Sở Phú Thọ) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S : x2
2
y1
2
z 2
2 9 hai điểm A
2; 0; 2 ,
B
4; 4; 0
Biết tập hợp điểm M thuộc
S cho2
16
MA MO MB đường trịn Bán kính đường trịn
A B C D
Câu 39: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2:
S x y z x y zm Tìm số thực m để
: 2x y 2z 8 cắt
S theo đường trịn có chu vi 8A m 3 B m 4 C m 1 D m 2
(29)Câu 40: (Chuyên KHTN) Biết khơng gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng
P
Q thỏa mãn điều kiện sau: qua hai điểm A
1;1;1
B
0; 2;2
, đồng thời cắt trục tọa độ Ox Oy, hai điểm cách O Giả sử
P có phương trình x b y c z1 d10
Q có phương trình x b y c z 2 2 d2 0 Tính giá trị biểu thức b b1 2c c1 2A 7 B -9 C -7 D 9
Câu 41: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S qua điểm M
2;5; 2
tiếp xúc với mặt phẳng
:x1 ,
:y1,
:z 1 Bán kính mặt cầu
SA 4 B 3 C 1 D 3
Câu 42: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S có tâm thuộc trục Oz Biết mặt phẳng
Oxy
mặt phẳng
:z2 cắt
S theo hai đường trịn có bán kính Phương trình
SA x2 y2
z2
2 16 B x2y2
z4
2 16 C x2y2
z4
2 20 D x2 y2
z2
2 20Câu 43: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x4y z 0,
Q : 4x5y z 140,
R :x2y2z 2
S :x2y2z 4Biết mặt cầu
xa
2
yb
2
zc
2 D có tâm nằm
P
Q , tiếp xúc với
R
S Giá trị a b c A 2 B 3 C 5 D 4
Câu 44: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 2) mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z1)2 9 Mặt phẳng thay đổi qua
A
cắt( )S theo thiết diện đường trịn Hãy tìm bán kính đường trịn có chu vi nhỏ A 3
2 B
1
2 C
2
D 3Câu 45: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 2) mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z1)2 9 Mặt phẳng thay đổi qua
A
cắt( )S theo thiết diện đường tròn Hãy tìm bán kính đường trịn có chu vi nhỏ A 3
2 B
1
2 C
2
D 3 (30)A 7
3 B
7
9 C
9
7 D
7 6
Câu 47: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho
P x2y2z 5 mặt cầu
S1 :
2 2
2 1
x y z ,
S2 :
x4
2
y2
2
z3
2 Gọi M A B, , thuộc mặt phẳng
P hai mặt cầu
S1 ,
S2 Tìm giá trị nhỏ S MA MBA Smin11 B Smin2 14 3 C Smin 15 3 D Smin 3 3 Câu 48: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A
1; 2;1
,
3; 1;1
B , C
1; 1;1
Gọi
S1 mặt cầu tâm A bán kính R12
S2 ,
S3 mặt cầu tâm B, C có bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với
S2 ,
S3 cắt
S1 theo giao tuyến đường trịn bán kính rA 3 B 7 C 6 D 8
Câu 49: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Trong không gian , cho điểm , đường thẳng mặt cầu
Mặt phẳng chứa đường thẳng thỏa mãn khoảng cách từ điểm đến lớn Mặt cầu cắt theo đường trịn có bán kính
A B C D
Oxyz
2; 3; 4
A :
2
x y z
d
S : x3
2
y2
2
z1
2 20
P d A
P
S
P (31)PHƯƠNG TR
ÌNH
ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG NÂNG CAO
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1 Định nghĩa
Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M0
x y z0; 0; 0
có vec tơ phương
1; 2; 3
,a a a a a:
0
0
0
x x a t
y y a t
z z a t
Nếu a a a1; 2; 3 khác không Phương trình đường thẳng viết dạng tắc sau:
0 0
1
x x y y z z
a a a
Ngoài đường thẳng cịn có dạng tổng qt là: 1 1
2 2
0 A x B y C z D A x B y C z D
với A B C A B C1, 1, 1, 2, 2, 2 thỏa 2 2 2
1 1 0, 2
A B C A B C
2 Vịtrí tương đối hai đường thẳng
Chương trình Chương trình nâng cao
1 )Vịtrí tương đối của hai đường thẳng Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng
0 1
0 2
0 3
' ' '
: ; ' : ' ' '
' ' '
x x a t x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
Vtcp u qua M0 d' có vtcp u' qua M0' , ' u u phương: 0 ' ' / / ' ; ' ' '
u ku u ku
d d d d
M d M d
, ' u u
không phương:
0 1
0 2
0 3
' ' ' ' ' ' ' ' '
x a t x a t
y a t y a t I
z a t y a t
d chéo d’ hệ phương trình
1 vơ nghiệm d cắt d’ hệ phương trình
1 có nghiệm1 ) Vịtrí tương đối của hai đường thẳng Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng
0 1
0 2
0 3
' ' '
: ; ' : ' ' '
' ' '
x x a t x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
Vtcp u qua M0 d' có vtcp u' qua M0'
0
, ' / / ' ' u u d d M d
, ' ' ' u u d d M d
, '
at '
, '
u u
d c d
u u MM
d cheo d
' u u, ' MM0 0 3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Phương pháp 1 Phương pháp 2
Trong không gian Oxyz cho:
:Ax+By+Cz+D=00
0
0 :
x x a t
d y y a t
z z a t
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua
0; 0; 0
M x y z có vtcp: a
a a a1; 2; 3
:Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n
A B C; ;
d (32)Pt:
1
A x a t B y a t C z a t D Phương trình
1 vơ nghiệm d/ /
Phương trình
1 có nghiệm d cắt
Phương trình
1 có vơ số nghiệm d
Đặc biệt: d
a n , phương
/ / a n
d
M
dnằm mp
a n
M
4 Khoảng cách
Khoảng cách từ M x y z
0; 0; 0
đến mặt phẳng
:Ax+By+Cz+D=0cho công thức
00 2 2 2
Ax
, By Cz D
d M
A B C
Khoảng cách từ M đến đường thẳng
d Phương pháp 1:Lập ptmp
qua M vng góc với d Tìm tọa độ giao điểm H mp
d
,
d M d MHKhoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp 1:
d qua M x y z
0; 0; 0
; có vtpt a
a a a1; 2; 3
'd qua M'
x0';y0';z0'
; vtpt a'
a1';a2';a3'
Lập phương trình mp
chứa d song song với d’: d d d
, '
d M
',
Khoảng cách từ M đến đường thẳng
d Phương pháp 2:(d qua M0 có vtcp u )
,
,M M u d M
u
Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Phương pháp 2:
d qua M x y z
0; 0; 0
; có vtpt a
a a a1; 2; 3
'd qua M'
x0';y0';z0'
; vtpt a'
a1';a2';a3'
, '
, ' ', '
hop day
a a MM V
d
S a a
5 Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng
qua M x y z
0; 0; 0
có VTCP a
a a a1; 2; 3
' qua M'
x0';y0';z0'
có VTCP a'
a1';a2';a3'
1 2 32 2 2
1 3
' ' ' '
cos cos , '
' ' ' '
a a a a a a a a
a a
a a a a a a a a
6 Góc đường thẳng mặt phẳng
Góc đường thẳng mặt phẳng
qua M0 có VTCP a, mặt phẳng
có VTPT
; ;
n A B C
Gọi góc hợp
mặt phẳng
2 2 2
1
Aa : sin cos ,
Ba Ca
a n
A B C a a a
B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d một VTCP của nó.
Dạng Viết phương trình đường thẳng
d đi qua M x y z0
0; 0; 0
có vtcpa
a a a1; ;2 3
(33)1
o o o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
( ) : ( )
hoặc
Dạng Đường thẳng d đi qua A B :
Đường thẳng d qua A (hoặcB ) có vtcp ad AB
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng dqua A song song
Đường thẳng d qua A có vtcp ud u
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng d qua A vng góc mp( )
Đường thẳng d qua A có vtcp ud n
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d
Dạng Đường thẳng
d qua A và vng góc đường thẳng d1 d2: Đường thẳng d qua A có vtcp1,
d d
uu u
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d
Dạng Đường thẳng
d giao tuyến của hai mặt phẳng
P , Q : Cách 1: Tìm điểm vtcp– Tìm toạ độ điểm A d: Bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho ẩn ta giải hệ tìm giá trị hai ẩn cịn lại)
– Tìm vtcp d:ud n nP, Q
Cách 2: Tìm hai điểm A B, thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng Đường thẳng
d đi qua điểm M x y z0
0; 0; 0
vuông góc với hai đường thẳng d d1, 2:Vì d d1 , d d2 nên vtcp d là:
1,
d d d
u u u
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d
Dạng Đường thẳng
d qua điểm M x y z0
0; 0; 0
, vng góc cắt đường thẳng Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng Ta có H
Khi đường thẳng d đường thẳng qua M H0, (trở dạng 2)
Cách 2: Gọi
P mặt phẳng qua M0 vng góc với ;
Q mặt phẳng qua M0 chứa Khi d
P
Q (trở dạng 6)Cách 3: Gọi
P mặt phẳng qua M0 vng góc với - Tìm điểm B
P - Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M B0, (quay về dạng 2) Dạng Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng ( )P , vng góc cắt đường thẳng
Tìm giao điểm M ( )P M d
P Q
( ) ( )
0
H
M H u
0 0
1
x x y y z z
d
a a a
(34)Vì d ,
d P
d P u u
u u n u n
Dạng 10 Đường thẳng
d qua A cắt d d1, 2: ( ) ( )d với mp( ) chứa A d1; mp( ) chứa A d2 (trở dạng 6) Dạng 11 Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng( )P cắt cảhai đường thẳngd d1, 2:
Tìm giao điểm A d 1
P B d, 2
P Khi d đường thẳngAB (về dạng 2) Dạng 12 Đường thẳng
d / / cắt d d1, 2:Viết phương trình mặt phẳng
P chứa d d1 , mặt phẳng
Q chứa d vàd2 Khi d
P
Q (trở dạng 6)Dạng 13 Đường thẳng ( )d qua A d1 , cắt d2 : Cách 1:
- Viết phương trình mp ( ) qua A vng góc với d1 - Tìm B d 2( )
- Khi
d đường thẳng AB (về dạng 2) Cách 2:- Viết phương trình mặt phẳng
P qua A vng góc với d1 - Viết phương trình mặt phẳng
Q chứa A d2- Khi d
P
Q (trở dạng 6) Cách 3:- Viết phương trình tham số t đường thẳng d2 (nếu chưa có) - Tìm điểm B d d2(B có tọa độ theo tham số t) thỏa mãn
1
d AB u Giải phương trình tìm tB
- Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B, Dạng 14 Đường thẳng
d P cắt d d1, 2 :Tìm mp( ) chứa d1,
P ; mp( ) chứa d2,
P ( ) ( )d (trở dạng 6)
Dạng 15 Đường thẳng d’là hình chiếu của d lên ( ) : Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng
chứa dvà vng góc với ( ) - Đường thẳng d' giao tuyến ( ) ( ) (trở dạng 6) Cách 2:- Xác định A giao điểm d ( )
- Lấy điểm M A d Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( ) - Tìm tọa độ điểm H giao điểm với ( )
- Đường thẳng đường thẳngAH (trở dạng 2)
Đặc biệt: Nếu d song song ( ) d' đường thẳng qua H song song với d
Dạng 16 Phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo
d1
d2 : Cách 1: (35)- Chuyển phương trình đường thẳng
d1 , d2 dạng tham số xác định u u1, 2 vtcp
d1 , d2- Lấy A B, thuộc
d1 , d2 (tọa độ A B, phụ thuộc vào tham số) - Giả sử AB đường vng góc chung Khi đó:2 0 AB u AB u
2
* AB u AB u
Giải hệ phương trình
* tìm giá trị tham số Từ tìm đượcA B, - Viết phương trình đường vng góc chung ABCách 2:
- Vì d d1 d d2 nên vtcp d là:
1,
d d d
a a a
- Lập phương trình mặt phẳng
P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1+ Một vtpt
P là:1
,
P d
n a a
- Tương tự lập phương trình mặt phẳng
Q chứa đường thẳng cắt d vàd2 Khi d
P
Q (trở dạng 6)Cách 3:
- Vì dd1 dd2nên vtcp d là:
1,
d d d
a a a
- Lập phương trình mặt phẳng
P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1+ Một vtpt
P là:1
,
P d
n a a
- Tìm Md2( )P Khi viết phương trình d qua M có vtcp ad
CÁC DẠNG TỐN KHÁC
Dạng Tìm H hình chiếu của M trên đường thẳng
d Cách 1:- Viết phương trình mp( ) qua M vng góc với
d : ta có n ad - Khi đó: H d ( ) tọa độ H nghiệm hpt:
d ( ) Cách 2:- Đưa
d dạng tham số Điểm H xác định bởi: Dạng Điểm M/đối xứng với M qua đường thẳng d:Cách 1:
- Tìm hình chiếu Hcủa M
d- Xác định điểm M' cho H trung điểm đoạn MM' (công thức trung điếm) Cách 2:
- Gọi H trung điểm đoạn MM' Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M M, ' (công thức trung điếm)
d
H d
MH a
(36)- Khi toạ độ điểm M/ xác định bởi:
Dạng Đường thẳng ( ')d đối xứng đường thẳng ( )d qua mặt phẳng
P TH1: ( )d
P A- Xác định A giao điểm d ( )P
- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳngAM'
TH2: ( )d / /
P- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳng quaM' song song d
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Đường thẳng song song với :
3
x y z
d
cắt hai đường thẳng
1
:
3
x y z
d 2:
2
x y z
d Phương trình khơng phải đường thẳng
A : 1
3
x y z
B
7
3 3 3
:
3
y z x
C :
3
x y z
D : 1
3
x y z
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng mặt phẳng Phương trình đường thẳng nằm cho cắt vng góc với đường thẳng
A B
C D
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2
2 1
x y z
d mặt phẳng
P :x2y z Viết phương trình đường thẳng nằm
P cho vng góc với d khoảng cách hai đường thẳng dA
7
:
1 1
3 :
1 1
x y z
x y z
B
7
:
1 1
3 :
1 1
x y z
x y z
d MM a H d ' d ' d ' ,
Oxyz :
1 1
x y z
P :x2y2z40 d
P d
3
:
1
x t
d y t t
z t
: 2 x td y t t
z t
:
4
x t
d y t t
z t
: 3
3
x t
d y t t
(37)C
7
:
2 1
3 :
1
x y z
x y z
D
7
:
1 1
3
:
1 1
x y z
x y z
Câu 4: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng qua A
1; 2; 4
song song với
P : 2x y z cắt đường thẳng d :2 2
3
x y z
có phương trình:
A x t y z t B 2 x t y z t C 2 4 x t y z t D x t y z t
Câu 5: (Lương Thế Vinh Lần 3) Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng 1:
1
x y z
d
3 :
1
x t
d y t
z t
A 2
1
x y z
B
3
1 1
x y z
C
3 1
x y z
D
1
1
x y z
Câu 6: (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong khơng gian Oxyz, cho đường
thẳng : 1
1 2
x y z
d
mặt phẳng
P : 2x2y z 0, phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng
P , cắt d vng góc với dA 2 5 z t y t z t B 2 5 z t y t z t C 2 5 z t y t z t D 2 5 z t y t z t
Câu 7: (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
P :x y z đường thẳng :1
x y z
d
Hình chiếu vng góc d mặt phẳng
P có phương trìnhA 1
1
x y z
B
1 1
3
x y z
C 1
1
x y z
D
1
1 1
x y z
Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 1
: , ,
2 2
x y z
d m
m m
mặt phẳng
P :x y z Gọi đường thẳng hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng
P Có số thực m để đường thẳng vng góc với giá véctơ a ( 1; 0;1)
?
(38)Câu 9: (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho điểm A
1; 2; 4
hai điểm M B, thoả mãn MA MA MB MB. 0 Giả sử điểm M thay đổi đường thẳng :2
x y z
d Khi điểm B thay đổi đường thẳng có phương trình là:
A 1: 12
2
x y z
d B 2:
2
x y z
d
C 3:
2
x y z
d D
5 12
:
2
x y z
d
Câu 10: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Trong khơng gian , cho đường thẳng
, mặt phẳng Đường thẳng vng góc
với mặt phẳng , cắt có phương trình
A B
C D
Câu 11: (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng
P x: y 5z 4 đường thẳng : 12
x y z
d Hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng
P có phương trìnhA 2 x t y t z t B 2 x t y t z t . C x t y t z t D x t y z t
Câu 12: (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 mặt phẳng ( ) có phương trình:
1 : 2 x td y t t
z t
,
2
:
3 2
x y z
d
, ( ) : x y z
Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( ), cắt hai đường thẳng d1 d2
A
8
x y z
B
2
8
x y z
C
8
x y z
D
2
8
x y z
Câu 13: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz, cho điểm A
1;3; 2
, mặt phẳng
P :x y z đường thẳng : 12 1
x y z
d
Viết phương trình đường thẳng cắt
P d M , N cho A trung điểm MNOxyz
:
1
x t
d y t
z t
:
2
x t
d y t
z t
P :x y z
P d d3
1 1
x y z
1
1
x y z
2 1
1 1
x y z
1
2 2
x y z
(39)A : 2 x t y t z t B : 2 x t y t z t C : 2 x t y t z t D : 2 x t y t z t Câu 14: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có
1;1; ,
2;3;1 ,
3; 1; 4
A B C Viết phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh B
A x t y t z t
B
2 x t y z t C x t y t z t D x t y t z t
Câu 15: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
1; 2;3
mặt phẳng
P : 2xy4z 1 Đường thẳng
d qua điểm A, song song với mặt phẳng
P , đồng thời cắt trục Oz Viết phương trình tham số đường thẳng
dA x t y t z t
B
2 x t y t z t C 2 x t y t z t D x t y t z t
Câu 16: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A
2;1;5
hai mặt phẳng
P : 2xy3z 7 0,
Q : 3x2y z GọiM điểm nằm mặt phẳng
P điểm N nằm mặt phẳng
Q thỏa mãn AN 2AM Khi M di động mặt phẳng
P quỹ tích điểm N đường thẳng có phương trình A 11 x t y t z t B
C D
Câu 17: (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
: 2x3y2z120 Gọi A B C, , giao điểm
với ba trục tọa độ, đường thẳng d qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với
có phương trìnhA 3
2
x y z
B
3
2
x y z
C 3
2
x y z
D
3
2
x y z
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :
1
x y z
d
mặt phẳng
P :x y z Gọi I giao điểm d P,
Tìm M
P cho MI vng góc với d MI 4 14 (40)A
5;9; 11 3; 7;13 M M B
5; 7; 11 3; 7;13 M M
C
5;9; 11 3; 7;13 M M D
5; 7;11 3; 7; 13 M M
Câu 19: Trong không gian Ox ,yz cho hai mặt phẳng
P :x2y2z0,
Q : 2x2y z Viết phương trình đường thẳng d qua A
0; 0;1 ,
nằm mặt phẳng
Q tạo với mặt phẳng
P góc 45A 1: ; 2:
1
x t x t
d y t d y t
z t z
B 1: 1; 2:
1
x t x t
d y t d y t
z t z
C 1 2
3
: ; :
1 4
x t x t
d y t d y t
z t z t
D 1 2
1
: ; :
1
x t x t
d y t d y t
z t z
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD, thỏa mãn
CD AB diện tích 27; đỉnh A
1; 1; ;
phương trình đường thẳng chứa cạnh CD2
2
x y z
Tìm tọa độ điểm D biết hoành độ điểm B lớn hoành độ điểm A A D
2; 5;1
B D
3; 5;1
C D
2; 5;1
D D
3; 5;1
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng :
2 1
x y z
d
mặt phẳng
P :xy z Gọi M giao điểm d
P Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng
P , vng góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến 42A
5
:
2
3
:
2
x y z
x y z
B
5
:
2
3
:
2
x y z
x y z
C
5
:
2
3
:
2
x y z
x y z
D
5
:
2
3
:
2
x y z
x y z
Câu 22: Cho hai điểm hai mặt phẳng
Viết phương trình đường thẳng qua cắt cho tam giác cân nhận đường trung tuyến
A B
C D
1; 2;3 ,
2; 4; 4
M A
P :x y 2z 1 0,
Q :x2y z M
P ,
Q ,B C ABC A AM
1
:
1 1
x y z
1
:
2 1
x y z
1
:
1 1
x y z
:
1 1
x y z
(41)Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d đường thẳng qua điểm A
1; 0; 1
, cắt1 2
2 1
x y z
, cho cos
d;2
là nhỏ nhất, biết phương trình đường thẳng3
:
1 2
x y z
Phương trình đường thẳng d là?
A 1
2
x y z
B
1
4
x y z
C 1
4
x y z
D
1
2
x y z
Câu 24: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) đường thẳng d có phương trình:
1
2 1
x y z
Gọi đường thẳng qua M, cắt vng góc với d Viết phương trình đường thẳng ?
A x t y t z t B x t y t z t C 1 x t y t z t D x t y t z t
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ MNN
t; ;1t t
gọi d qua A
1; 0; 1
, cắt1 2
:
2 1
x y z
, cho góc d
3
:
1 2
x y z
nhỏ Phương
trình đường thẳng d
A 1
2
x y z
B
1
4
x y z
C
1
4
x y z
D
1
2
x y z
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ
2 2 x t y t z t
cho hai đường thẳng 1:
2 1
x y z
d
2
1 2
:
1
x y z
d
Gọi đường thẳng song song với
P :x y z cắt 1,d d hai điểm A B, choAB ngắn Phương trình đường thẳng
A 12 x t y z t B x t y z t C x y t z t D x t y t z t
Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
3;3; 3
thuộc mặt phẳng
:2 – 2x y z 150và mặt cầu
2 2
: (x 2) (y 3) (z 5) 100
S
Đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng
cắt ( )S A, B Để độ dài AB lớn phương trình đường thẳng là:A 3
1
x y z
B 3
16 11 10
x y z
(42)C 3 x t y z t
D 3
1
x y z
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,
4
x y z
d mặt thẳng
P : 3x5y z Gọi d'là hình chiếu d lên
P Phương trình tham số d' A 62 25 61 x t y t z t B 62 25 61 x t y t z t C 62 25 61 x t y t z t D 62 25 61 x t y t z t Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ
Q :x2y2z 1 gọi d qua A
3; 1;1
, nằm mặt phẳng
P :x y z 0, đồng thời tạo với :1 2
x y z
góc 450 Phương trình đường thẳng d
A
3 15 x t y t z t B x t y t z C 15 x t y t z t D 1 x t y t z và 15 x t y t z t
Câu 30: (THTT số 3) Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng 1: 1,
1
x y z
d
1
:
2
x y z
d
Viết phương trình đường phân giác góc tù tạo d d1,
A
3
x y z
B
1
1 1
x y z
C 1
2 1
x y z
D
2 1
x y z
Câu 31: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A
2;1; 0
,
3; 0; 2
B , C
4;3; 4
Viết phương trình đường phân giác góc A A x y t z B x y z t C
2 x t y z D x t y z t
Câu 32: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x y z hai đường thẳng1 :
2
x t
d y t
z t ;
' :
1
x t
d y t
z t
Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với
P ; cắt d d, tạo với d góc 30 Tính cosin góc tạo hai đường thẳng OA
(43)Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng 1: ;
1
x y z
d
2
2 1
:
2 1
x y z
d mặt phẳng
P :x y 2z 5 Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng
P cắt d d1, 2 A B, cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏA : 2
1 1
x y z
d B : 2
1 1
x y z
d
C : 2
1 1
x y z
d D : 2
1 1
x y z
d
Câu 34: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho điểm A
3;3; 3
thuộc mặt phẳng
có phương trình2 – 2
x
y
z
15 0
mặt cầu
S : x2
2
y3
2
z5
2 100 Đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng
cắt( )
S
M ,N
Để độ dàiMN
lớn phương trình đường thẳng A 3
1
x y z
B 3
16 11 10
x y z
C
3 5
3
3 8
x
t
y
z
t
D 3
1
x y z
Câu 35: (THẠCH THÀNH I - THANH HĨA 2019) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm E
2;1;3
, mặt phẳng
P qua ba điểm 3; 0;2 A
,
3 0; ;
2 B
, C
0; ; 3
mặt cầu
S : x3
2
y2
2
z5
2 36 Gọi đường thẳng qua điểm E, nằm
P cắt
S hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình A 9 x t y t z t B 3 x t y t z
C
2 x t y t z D 3 x t y t z t
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A
1; 1; 2
, song song với
P : 2x y z 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 11 2
x y z
góc lớn Phương trình đường thẳng d
A 1
1
x y z
B 1
4
x y z
C 1
4
x y z
D 1
1
x y z
Câu 37: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Đường thẳng qua điểm M
3;1;1
, nằm mặt phẳng
:x y z tạo với đường thẳng1
:
3 x
d y t
z t
(44)A x y t z t
B
8 x t y t z t C x t y t z t D x t y t z t
Câu 38: Trong không gian cho đường thẳng :
1
x y z
đường thẳng :
3
x y z
d
Viết phương trình mặt phẳng
P qua tạo với đường thẳng d góc lớn A 19x17y20z770 B 19x17y20z340C 31x8y5z910 D 31x8y5z980
Câu 39: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A
1; 2; ,
B
7; 2;3
đường thẳng d có phương trình2
2 (t R)
4 x t y t z t
Điểm M d cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ có tổng tọa độ là:
A M
2;0;
B M
2;0;1
C M
1; 0;
D M
1; 0;
Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểm (2;3; 0),A B(0; 2; 0), 6; 2;5
M và đường thẳng :
2 x t d y z t
Điểm Cthuộcdsao cho chu vi tam giácABClà nhỏ nhấ độ dàiCM
A 2 B 4 C 2 D 2
5
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A B C, , đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây?
A M
1; 2;1
B N
5; 7;3
C P
3; 4;3
D Q
7;13;5
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
1;1;1
hai đường thẳng 12 : x t d y z t : x s d y z s
Gọi B C, điểm di động d d1, 2 Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P ABBCCA là?
A 2 29 B 2 985 C 5 10 29 D 5 10
Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng Gọi điểm cách trục Khoảng cách ngắn bằng:
A B C D
Oxyz
0 :
1 x
d y t
z
0; 4; 0
A M
d x Ox' A M
1
2
(45)Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi đường thẳng qua điểm A
2,1, 0
, song song với mặt phẳng
P :x y z có tổng khoảng cách từ điểm M
0, 2, ,
N
4, 0, 0
tới đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất? Vector phương là?A u
1, 0,1
B u
2,1,1
C u
3, 2,1
D u
0,1, 1
Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz, cho tam giácABC với A
2;3;3
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B 3 2,1
x y z
phương trình đường phân giác góc C
2
2 1
x y z
Đường thẳng ABcó véctơ phương là:
A u1 (0;1; 1) B u2 (2;1; 1) C u3 (1; 2;1) D u4 (1; 1;0) Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
hai điểm
1; 1; 1
A ,B
2; 1;1
Gọi C D, hai điểm phân biệt di động đường thẳng cho tồn điểm I cách tất mặt tứ diện ABCD I thuộc tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CDA 12 17
17 B 17 C
3 17
11 D 13
Câu 47: (Yên Phong 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
:xy z đường thẳng :1
x y z
d
Gọi hình chiếu vng góc d
u
1; a;b
là vectơ phương với a b, Tính tổng ab
(46)GÓC
Câu 1: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng
2
:
1
x y z
d 2: 5
1
x y z
d
m
tạo với góc 60, giá trị tham số m
A m 1 B
2
m C
2
m D m1
Câu 2: (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng
d giao tuyến hai mặt phẳng( ) : sin cos 0; ( ) : cos sin 0; 0; P xz Q yz
Góc ( )d trục Oz là:
A 30 B 45 C 60 D 90
Câu 3: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, gọi d đường thẳng qua điểm A
1; 1; 2
, song song với mặt phẳng
P : 2x y z 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 11 2
x y z
góc lớn Phương trình đường thẳng d
A 1
4
x y z
B
1
4
x y z
C 1
4
x y z
D
1
4
x y z
KHOẢNG CÁCH
Câu 4: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz, cho hai đường
thẳng: 1:
4 1
x y z
d
2
1
:
6
x y z
d
Khoảng cách chúng
A 5 B 4 C 2 D 3
Câu 5: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M
2; 1;
, A ; ;
1 3
đường thẳng1
2
x y z
d :
Tìm vectơ phương u
đường thẳng qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng nhỏ
A u
2 2; ;1
B u
3 4; ;4
C u
2 6; ;
D u ; ;
1 2
Câu 6: (Sở Điện Biên) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng phẳng
P :x2y2z 1 đườngthẳng : 1
1
x y z
(47)A S2 B
S C S 4 D 12
5
S
Câu 7: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(10; 2;1) đường thẳng
1
:
2
x y z
d Gọi ( )P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d cho khoảng cách d ( )P lớn Khoảng cách từ điểm M( 1; 2;3) đến mặt phẳng ( )P
A 533
2765 B
97
15 C
2 13
13 D
76 790 790
Câu 8: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
1; 2;3 ,
1; 2;0
A B M
1;3; 4
Gọi d đường thẳng qua B vng góc với AB đồng thời cách M khoảng nhỏ Một véc tơ phương d có dạng u
2; ;a b
Tính tổng a bA 1 B 2 C 1 D 2
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 9: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho hai mặt phẳng
hai đường thẳng Đường
thẳng song song với hai mặt phẳng cắt tương ứng Độ dài đoạn
A B C D
Câu 10: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M
2;1; 0
đường thẳng : 12 1
x y z
Phương trình tham số đường thẳng d qua M , cắt vng góc với
A
2
:
2
x t
d y t
z t
B
2
:
x t
d y t
z t
C
2
:
x t
d y t
z t
D
1
:
2
x t
d y t
z t
Câu 11: (Sở Thanh Hóa 2019)Trong không gian Oxyz, cho điểm A
2 ; ; 3
đường thẳng1
:
2
x y z
d Gọi ( )P mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ điểm A đến ( )P lớn Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( )P
A
2 B
3
6 C
11
6 D
Oxyz
P :x2y z 0,
P : 2x y z 0,1
: ,
2
x y z
2:
1
x y z
P ; Q 1, 2 H K,HK 11
7
(48)Câu 12: (CổLoa Hà Nội) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :1
1 1
x y z
2
1
d :
2
x m y z
Có giá trị tham số m để hai đường thẳng d1, d2có điểm chung?
A 2 B 0 C 1 D vô số
Câu 13: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong khơng gian Oxyz cho
đường thẳng :
2 2
x y z
d
m m
mặt phẳng
P :xy z 0, hai điểm A
2; 2; 2
, B
1; ;3
thuộc
P Giá trị m để AB vng góc với hình chiếu d
P là? A m1 B m 1 C m2 D m 3Câu 14: (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :2xy2z 3 0 hai đường thẳng 1: 13 1
x y z
d
;
2
:
1
x y z
d
Xét điểm A, B di động d1 d2 cho AB song song với mặt phẳng
P Tập hợp trung điểm đoạn thẳng ABA Một đường thẳng có vectơ phương u
9;8; 5
B Một đường thẳng có vectơ phương u
5;9;8
C Một đường thẳng có vectơ phương u
1; 2; 5
D Một đường thẳng có vectơ phương u
1;5; 2
Câu 15: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) rong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1
:
2
x y z
d
2:
x t
d y
z t
Mặt phẳng
P qua d1, tạo với d2 góc 45 nhận vectơ n
1; ;b c
làm vec tơ pháp tuyến Xác định tích b cA 4 B 4 C 4 D 4
Câu 16: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
1; 2; ,
B
2; 2;1
mặt phẳng
: 2x2y z Xét điểm M thuộc
cho tam giác AMB vuôngM độ dài đoạn thẳng MB đạt giá trị lớn Phương trình đường thẳng MB
A
2 2
x t
y t
z t
B
2 2
x t
y t
z t
C
2 2
x t
y
z t
D
2
x t
y t
z
(49)Câu 17: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1
: ; :
2
x t
x y z
d d y t
z m
Gọi S tập tất số m cho d1 d2 chéo
khoảng cách chúng
19 Tính tổng phần tử S
A 11 B 12 C 12 D 11
Câu 18: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
4
x t
d y t
z t
;
5 11
:
2
x y z
d Đường thẳng d qua A
5; 3;5
cắt d d1; 2ở B C, Tính tỉ sô AB AC
A 2 B 3 C 1
2 D
1
Câu 19: (Sở Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;0; 2) đường thẳng
1
:
1
x y z
d Đường thẳng qua A, vng góc cắt d có phương trình
A : 1
2
x y z
B : 1
1 1
x y z
C :
1 1
x y z
D :
1
x y z
Câu 20: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gianOxyz, cho ba điểm A
3; 0;0 ,
B
0; 4; ,
C
0; 0;c
với c số thực thay đổi khác0 Khi c thay đổi trực tâm H tam giác ABC ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịnA 5
2 B
5
4 C
12
5 D
6
Câu 21: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0;0), (0;3; 0), (0; 0; 6)B C D(1;1;1) Gọi đường thẳng qua D thỏa mãn tổng khoảng cách từ điểm A B C, , đến lớn Khi qua điểm điểm đây?
A M( 1; 2;1) B M(7;5;3) C M(3; 4;3) D M(5; 7;3) BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG - MẶT CẦU
Câu 22: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian Oxyz, cho
P :2xy2z 1 0,
0;0;4 ,
3;1; 2
(50)A Đáp án khác B
2 244651
r C 244651
9
r D 2024
3
r
Câu 23: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S
2 2
2
x y z x z đường thẳng :
1 1
x y z
d
Hai mặt phẳng ( )P , (P) chứa d tiếp xúc với ( )S T, T Tìm tọa độ trung điểm H TT
A 7; ; 6 H
B
5
; ;
6
H
C
5
; ;
6
H
D
5 ; ; 6 H
Câu 24: (Hàm Rồng ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2 2
( ) :S x y z 2x4y6zm 3 Tìm số thực m để
: 2xy2z 8 cắt
S theo đường trịn có chu vi 8A m 4 B m 1 C m 2 D m 3
Câu 25: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : 1m x
1m y
1 3 m z
2 8 m
0và điểm A
4; 2; 7
Khi m thay đổi, biết tập hợp hình chiếu A mặt phẳng
P đường trịn, đường kính đường trịnA 3 B 7 C 3 D 5
Câu 26: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết
P mặt phẳng cách hai đường thẳng2 :
1 1
x y z
d
1
:
2 1
x y z
d
Điểm sau thuộc mặt phẳng
PA 1;1; M
B
1 1; ;
2 N
C
; ;1 P
D
1 1; ;
2 Q
Câu 27: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
2
21
x y z đồng thời song song với hai đường thẳng
1
2
:
3 1
x y z
d
,
2
:
1 1
x y z
d
A
2
x y z
x y z
B
2
x y z
x y z
. C x y 2z 9 0. D x y 2z 9 Câu 28: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
1; 2;3 ,
2;4; 4
M A hai mặt phẳng
P :xy2z 1 0,
Q :x2y z 40 Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt ( ), ( )P Q B C, cho tam giác ABC cân A nhận AM làm đường trung tuyếnA
1 1
x y z
B
1
2 1
x y z
C
1 1
x y z
D
1
1 1
x y z
(51)Câu 29: (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
1; 2; ,
B
3; 0; 3
Biết mặt phẳng
P qua điểm A cách B khoảng lớn Phương trình mặt phẳng
P là:A x2y2z 5 B x y 2z 3 C 2x2y4z 3 0. D 2x y 2z0
Câu 30: (THĂNG LONG HN LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :x y z điểm A
2; 1;3
Gọi đường thẳng qua A song song với
P , biết có vectơ phương u
a b c; ;
, đồng thời đồng phẳng khơng song song với Oz Tính ac A a
c B
a
c C
1 a
c D
1 a c
Câu 31: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :xy z đường thẳng :1
x y z
d
Đường thẳng d' đối xứng với d qua mặt phẳng
P có phương trìnhA 1
1
x y z
B
1 1
1
x y z
C 1
1
x y z
D
1 1
1
x y z
Câu 32: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
11
:
5
x t
d y
z t
;
20
:
5 x
d y t
z t
Biết mặt
cầu
2
2
2xa yb zc R nhận đoạn vng góc chung
d 1
d2 làm đường kính Giá trị a2bcA 6 B 8 C 7 D 5
Câu 33: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong không gian Oxyz, cho hai điểmA(1; 2;3), ( 1; 2;1)
B mặt phẳng ( ) :P x y z Gọi M là giao điểm đường thẳng AB và mặt phẳng P Tính tỉ số AM
BM
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 34: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đường thẳng : 2
1
x y z
d
điểm A
1; ;1
Tìm bán kính mặt cầu có tâm I nằm d , qua A tiếp xúc với mặt phẳng
P :x2y2z 1 (52)Câu 35: (Đặng Thành Nam Đề 6) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
3
x y z
d
và 2:
1
x y z
d
Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng cho A ( ) : (S x2)2(y1)2 (z1)2 24 B ( ) : (S x2)2(y1)2(z1)2 24
C 2
( ) : (S x2) (y1) (z1) 6 D 2
( ) : (S x2) (y1) (z1) 6 Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d
và mặt phẳng
:x y z Đường thẳng nằm mặt phẳng
, đồng thời vng góc cắt đường thẳng d có phương trìnhA 3: 5
3
x y z
B
2 4
:
3
x y z
C 2: 4
1
x y z
D
1
:
3
x y z
Câu 37: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trong không gian tọa độ Oxyz,cho điểm A
0;0; 2
đường thẳng có phương trình 22
x y z
Phương trình mặt cầu tâm A, cắt tại hai điểm B C cho BC8
A
x2
2
y3
2
z1
2 16 B x2y2
z2
2 25 C
x2
2y2z2 25 D x2y2
z2
2 16Câu 38: (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y1
2
z2
2 3 hai đường thẳng :1
x y z
d
,
1
:
1 1
x y z
Phương trình phương trình mặt phẳng cắt mặt cầu
S theo giao tuyến đường trịn
C có bán kính song song với d A y z B x y 1 C x z 1 D x z 1
Câu 39: (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x y z hai điểm M
1;1;1
, N
3; 3; 3
Mặt cầu
S qua M N, tiếp xúc với mặt phẳng
P điểm Q Biết Q thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịnA 11
R B R6 C 33
3
R D R4
Câu 40: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đường thẳng d: 2
3 2
x y z
Viết phương trình mặt cầu tâm I
1; ; 1
cắt d điểm A, B cho AB2 (53)C
x1
2
y2
2
z1
2 9 D
x1
2
y2
2
z1
2 16Câu 41: (THPT ĐƠ LƯƠNG LẦN 2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M
2;1;1
, mặt phẳng
:x y z mặt cầu
S : x3
2
y3
2
z4
2 16 Phương trình đường thẳng qua M nằm
cắt mặt cầu
S theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ Đường thẳng qua điểm điểm sau đây?A
4; 3;3
B
4; 3; 3
C
4;3;3
D
4; 3; 3
Câu 42: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, chođiểm A
1; 3; 2
đường thẳng d có phương trình1
x t
y t
z t
Mặt phẳng
P chứa điểm A đường thẳng d có phương trình đây?A 2x y 2z 1 B x y z
C 3x2y10z230 D 2x y 3z 4
Câu 43: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A
1; 3; 2
đường thẳng d có phương trình1
x t
y t
z t
Mặt phẳng
P chứa điểm A đường thẳng d có phương trình đây?A 2x y 2z 1 B x y z
C 3x2y10z230 D 2x y 3z 4
Câu 44: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho mặt cầu:
2:
S x y z x y z m Tìm m để (S) cắt đường thẳng
:1 2
x y z
tại hai điểm A B, cho tam giác IAB vuông (Với I tâm mặt cầu)
A m 1 B m10 C m 20 D
9 m
Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
: ; :
1
x t x t
d y t d y t
z t z t
mặt phẳng
P :xy z Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
P cắt hai đường thẳng d d, có phương trìnhA
1 1
x y z
B 1
1
x y z
C 1
1 1
x y z
D 1
2 2
x y z
(54)Câu 46: (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng
1
23
: , :
2
x y z x y z
d d
33
:
4
x y z
d
Đường thẳng song song d3, cắt d1 d2 có phương trình
A
4
x y z
B
4
x y z
C
4
x y z
. D
1
4
x y z
Câu 47: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng
1 1
:
2
x y z
1 1
:
2
x y z
Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2
A 16
17 (đvdt) B
17 (đvdt) C 16
17 (đvdt) D
17 (đvdt).
Câu 48: (Sở Quảng NamT) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A
6;3;5
đường thẳng BC có phương trình tham số1 2
x t
y t
z t
Gọi đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC vng góc với mặt phẳng
ABC
Điểm thuộc đường thẳng ? A M
1; 12;3
B N
3; 2;1
C P
0; 7;3
D Q
1; 2;5
Câu 49: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian O xyz, cho hai điểm A
1; 2; 1
B
3;0;5
Điểm
; ;
M a b c thuộc mặt phẳng
P :x2y2z100 cho tam giác MAB cân M có diện tích 11 Tính S a b cA
3
S B 19
3
S C S 1 D
3 S
Câu 50: (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm
2;1;3
A , B
6;5;5
Gọi
S mặt cầu đường kính AB Mặt phẳng
P vng góc với AB H cho khối nón đỉnh A đáy hình tròn tâm H (giao mặt cầu
S mặt phẳng
P ) tích lớn nhất, biết
P : 2xby cz d với b c d, , Tính S b c dA S18 B S 18 C S 12 D S 24
Câu 51: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :y40 Có đường thẳng d song song với ba mặt phẳng
xOy
,
zOx
,
P đồng thời cách mặt phẳng (55)Câu 52: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian Oxyz, cho điểm M
2; 3; 4
, mặt phẳng
P :x2y z 120 mặt cầu
S có tâm I
1; 2;3
, bán kính R5 Phương trình phương trình đường thẳng qua M , nằm
P cắt
S theo dây cung dài nhất?A x t y t z t B 3 x t y t z t C x t y t z t
D
3 x t y t z t
Câu 53: (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : x2y2z30 mặt cầu
2:
S x y z x y z Xét hai điểm M N, thay đổi với M
P
N S cho vectơ MN phương với vectơ u
1; 0;1
Độ dài đoạn MN lớnA 3 B 3 C 5 D
Câu 54: (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Trong không gian Oxyz, cho điểm E
1; 1; 1
, mặt cầu
2:
S x y z mặt phẳng
P :x3y5z 3 Gọi đường thẳng qua E, nằmtrong
P cắt
S hai điểm A, B cho OAB tam giác Phương trình A
1 2
1
1
x
t
y
t
z
t
B1 4
1 3
1
x
t
y
t
z
t
C
1 2
1
1
x
t
y
t
z
t
D1
1
1 2
x
t
y
t
z
t
Câu 55: (KINH MƠN HẢI DƯƠNG 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz,cho mặt phẳng
P : 3x4y5z 1 ba điểmA
2;5; ,
B 2;1;1 ,
C 2;0;1
Tìm điểm D a
;b;c
b0
điểm nằm
P cho có vơ số mặt phẳng
Q qua hai điểm C D, thỏa mãn khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng
Q gấp lần khoảng cách từ B đến
Q Tính T abcA 0 B 16 C 12 D 16
Câu 56: (Chun Thái Bình Lần3) Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
1;1;1 ,
B
2;2;1
mặt phẳng
P :xy2z0 Mặt cầu
S thay đổi qua A B, tiếp xúc với
P H Biết H chạy đường tròn cố định Tìm bán kính đường trịnA 3 B 2 C D
2 Câu 57: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1
1
x y z m
d mặt
cầu
S : x1
2
y1
2
z2
2 9 Đường thẳng d cắt mặt cầu
S hai điểm phân biệt E,F cho độ dài đoạn thẳng EF lớn mm0 Hỏi m0 thuộc khoảng đây? A
1;1
B 1;12
C
1 1;
(56)Câu 58: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d , mặt phẳng
P :x y 2z 5 A
1; 1; 2
Đường thẳng cắt d
P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Một vectơ phương A u
4; 5; 13
B u
2 ; 3; 2
C u
1;1; 2
D u
3; 5; 1
Câu 59: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y2z 2 điểmI
1; 2;1
Viết phương trình mặt cầu
S có tâm I cắt mặt phẳng
P theo giao tuyến đường trịn có bán kínhA
S : x1
2
y2
2
z1
2 25 B
S : x1
2
y2
2
z1
2 16 C
S : x1
2
y2
2
z1
2 34 D
S : x1
2
y2
2
z1
2 34Câu 60: (Cụm THPT Vũng Tàu) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :xy z hai đường thẳng 1: , 2:1 1 1
x y z x y z
Biết d d1, nằm mặt phẳng
P , cắt2
cách 1 khoảng
2 Gọi u1
a b; ;1 ,
u2
1; ;c d
vectơ phương d d1, 2 Tính Sa b c d
A S0 B S2 C S4 D S1
Câu 61: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d
cắt mặt phẳng
P :x2y z điểm M Mặt cầu
S có tâm
; ;
I a b c với a0 thuộc đường thẳng d tiếp xúc với mặt phẳng
P điểm A Tìm tổng T a b c biết diện tích tam giác IAM 3A T 2 B
2
T C T 8 D T 0
Câu 62: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
2; 1; 2
M mặt cầu
S : x1
2y2z2 9 Mặt phẳng
P qua M cắt
S theo giao tuyến đường tròn có bán kính nhỏ có phương trìnhA x y 2z 5 B x y 2z 7 0. C 2x y z 7 0. D x y 2z 5 Câu 63: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A
2; 4; 2
mặt cầu
2 22
x y z Gọi S tập hợp đường thẳng không gian qua điểm A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt B C, thỏa mãn ABAC12 Số phần tử S
A 3 B 0 C 1 D 2
Câu 64: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt
phẳng
: 1 10
(57)tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng
P qua A Tổng bán kính mặt cầu bằng:A 12 B 12 C 10 D 10
Câu 65: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M
6; 0; 0
, N
0; 6; 0
,
0; 0; 6
P
Hai mặt cầu có phương trình
2 2
1 : 2
S x y z x y
và
22 : 2
S x y z x y z cắt theo đường trịn
C Hỏi có mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa
C tiếp xúc với ba đường thẳng MN NP PM, ,A 1 B 3 C Vô số D 4
Câu 66: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hai đường thẳng
2 :
2 x
d y t
z t
t
,3
:
1 1
x y z
mặt phẳng
P :xy z 20 Gọi d, hình chiếu d lên mặt phẳng
P Gọi M a b c
; ;
giao điểm hai đường thẳng d Biểu thức a b cA 4 B 5 C 3 D 6
Câu 67: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2: 2
S x y z y z hai điểm A
2;0;0
, B
3;1; 1
Hai mặt phẳng
P
P chứa đường thẳng AB, tiếp xúc với
S T T H a b c
; ;
trung điểm đoạn TT Tính2 a b c
A 2
3
a b c B 2
3 a b c
C
2
a b c D
2 a b c
Câu 68: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y1
2
z2
2 9 điểm M
1;3; 1
Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho ln thuộc đường trịn
C có tâm J a b c
; ;
Tính2a b c A 134
25 B
116
25 C
84
25 D
62 25
(58)A u1
1;1; 3
B u2
1;1; 6
C u3 (1;1; 0) D u4
1;1; 3
Câu 70: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chohai mặt phẳng song song
P :2x y 2z 1 0,
Q :2x y 2z 5 điểm A
1;1;1
nằm khoảng hai mặt phẳng Gọi
S mặt cầu qua A tiếp xúc với
P
Q Biết
S thay đổi tâm I ln thuộc đường trịn
C cố định Diện tích hình tròn giới hạn
CA 2
B 4
9
C 16
9
D 8
9
Câu 71: (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong không gian Oxyz, xét số thực m(0;1) hai mặt phẳng
: 2x y 2z100
:1
x y z
m m
Biết rằng, m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng
, Tổng bán kính hai mặt cầuA 6 B 3 C 9 D 12
Câu 72: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :
2 2
(x1) (y2) (z3) 27 Gọi ( ) mặt phẳng qua hai điểm A(0;0; 4) , B(2; 0;0) cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn ( )C Xét khối nón có đỉnh tâm ( )S đáy ( )C Biết thể tích khối nón lớn mặt phẳng ( ) có phương trình dạng
0
ax by z d Tính P a b d
A P 4 B P8 C P0 D P4
Câu 73: (HSG Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2
2
2 14:
3
S x y z đường thẳng : 4
3
x y z
d Gọi
0; 0; 0
0
A x y z x điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu
S có tiếp điểm B C D, , cho ABCD tứ diện Tính giá trị biểu thức0 0
Px y z
A P6 B P16 C P 12 D P8
Câu 74: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P Q R, , di động ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz ( không trùng với gốc tọa độ O ) cho 12 12 12
8
OP OQ OR Biết mặt phẳng
PQR
tiếp xúc với mặt cầu
S cố định Đường thẳng d thay đổi qua 1; 3;2
M
cắt
S hai điểm A B, phân biệt Diện tích lớn tam giác AOB (59)Câu 75: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
3
:
1
x y z
Có tất giá trị thực m để phương trình
2 2
4 2( 1)
x y z x my m zm m phương trình mặt cầu
S cho có mặt phẳng chứa Δ cắt
S theo giao tuyến đường trịn có bán kínhA 1 B 6 C 7 D 2
Câu 76: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu
2 2
1
( ) : (S x1) (y1) (z2) 16 (S2) : (x1)2(y2)2(z1)2 9 cắt theo giao tuyến đường tròn với tâm
( ; ; )
I a b c Tính a b c A 7
4 B
1
C 10
3 D 1
Câu 77: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
3;3; 3
M thuộc mặt phẳng
: 2x2y z 150 mặt cầu
S : x2
2
y3
2
z5
2 100 Đường thẳng qua M , nằm mặt phẳng
cắt
S A B, cho độ dài AB lớn Viết phương trình đường thẳng A 3
1
x y z
B 3
1
x y z
C 3
16 11 10
x y z
D
3 3
5
x y z
(60)PHƯƠNG TR
ÌNH M
Ặ
T C
Ầ
U
A - LÝ THUYẾT CHUNG 1 - Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng cách R cho trước mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu S O R
;
Trong không gian với hệ trục Oxyz:
- Mặt cầu
S tâm I a b c
, ,
bán kính R có phương trình là:
xa
2
y b
2
z c
2 R2- Phương trình: x2y2z22ax2by2cz d 0, với a2b2c2d0 phương trình mặt cầu tâm I a b c
; ;
, bán kính 2R a b c d
2 - Vịtrí tương đối mặt phẳng
P mặt cầu
S
,
d I P R
P không cắt mặt cầu
S
,
d I P R
P tiếp xúc mặt cầu
S
,
d I P R
P cắt mặt cầu
S theo giao tuyến đường tròn nằm mặt phẳng
P có tâmH có bán kính r R2d2
3 - Vịtrí tương đối mặt cầu đường thẳng
a) Cho mặt cầu S O R
;
đường thẳng Gọi H hình chiếu O lên d OH khoảng cách từ O đến Nếu dR cắt mặt cầu điểm phân biệt (H.3.1) Nếu d R cắt mặt cầu điểm (H.3.2) Nếu d R khơng cắt mặt cầu (H.3.3)
B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng Biết trước tâm I a b c bán kính
; ;
R: Phương trình
2
2
2; :
S I R xa yb zc R Dạng Tâm I và qua điểmA:
Bán kính RIA
A
O
B H
O H
O
H R
I
H
(61)Phương trình S I R
;
: xa
2
yb
2
zc
2 R2 Dạng Mặt cầu đường kính ABTâm I trung điểm AB: Bán kính RIA
Phương trình
2
2
2 ; :S I R xa yb zc R Dạng Mặt cầu tâm I a b c tiế
; ;
p xúc mặt phẳng
:Bán kính
2 2
; Aa Bb Cc D
R d I
A B C
Phương trình
2
2
2 ; :S I R xa yb zc R
Dạng Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua điểm A B C D, , , ) Giả sử mặt cầu
S có dạng: x2y2z22ax2by2czd 0 2
Thế tọa độ điểm A B C D, , , vào phương trình (2) ta phương trình Giải hệ phương trình tìm a b c d, , ,Viết phương trình mặt cầu
Dạng Mặt cầu qua A B C, , tâm I
:AxBy Cz D0: Giả sử mặt cầu
S có dạng: x2y2z22ax2by2czd 0 2
Thế tọa độ điểm A B C, , vào phương trình (2) ta phương trình
; ;
I a b c AaBb Cc D Giải hệ phương trình tìm a b c d, , , Viết phương trình mặt cầu
Dạng Mặt cầu
S đi qua hai điểm A B, tâm thuộc đường thẳng d Cách 1:Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t)
Ta có A B, ( )S 2
IA IB R IA IB
Giải pt tìm t tọa độ I, tính R Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng trung trực
P đoạn thẳng ABTâm mặt cầu giao mặt phẳng trung trực đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I) Bán kính RIA Suy phương trình mặt cầu cần tìm
(Chú ý: Nếu d
P d / /
P khơng sử dụng cách này) Dạng Mặt cầu
S có tâm I tiếp xúc với mặt cầu
T cho trước:Xác định tâm J bán kính R' mặt cầu
TSử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu
S (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài)Dạng Mặt cầu
S đố' i xứng Mặt cầu
S qua mặt phẳng
P Tìm điểm I’ đối xứng với tâm I qua mp
PViết phương trình mặt cầu (S’) tâm I’ có bán kính R’R Dạng 10 Mặt cầu
S đố' i xứng mặt cầu
S qua đường thẳng dTìm điểm I’ đối xứng với tâm I qua mp d (xem cách làm phần đường thẳng) Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I’ có bán kính R’R
2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x ; y ; z
2
(62)C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho Gọi
là tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng đồng thời qua điểm Tìm biết
A B C D
Câu 2: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian cho điểm
khác cho đơi vng góc tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tính
A B C D
Câu 3: (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
1; 0; 1
, B
3; 2;1
Gọi
S mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng
Oxy
, bán kính 11 qua hai điểm A, B BiếtI có tung độ âm, phương trình mặt cầu
S A 26
x y z y B 2
4
x y z y C x2 y2z24y70 D x2 y2z26y20
Câu 4: (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 9 mặt phẳng ( ) : 4P x2y4z 7 Hai mặt cầu có bán kính R1 R2 chứa đường trịn giao tuyến
S ( )P đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 3Q y4z200.Tổng1
R R A 63
8 B
35
8 C 5 D
65 Câu 5: (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho đường thẳng : 2
1
x y z
d
điểm
1; ;1
A Tìm bán kính mặt cầu có tâm I nằm d, qua A tiếp xúc với mặt phẳng
P :x2y2z 1A R2 B R4 C R1 D R3
Câu 6: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z1
29 hai điểm A
4; 3;1 ,
B
3;1; 3
; M điểm thay đổi
S Gọi m n, giá trị lớn nhất, nhỏ cảu biểu thức P2MA2MB2 Xác định
mn
A 64 B 60 C 68 D 48
Câu 7: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y1
2
z2
2 4 điểm A
1;1; 1
Ba mặt phẳng thay đổi qua A đơi vng góc với nhau, cắt mặt cầu
S theo ba giao tuyến đường tròn
C1 , C2
, C3 Tổng ba bán kính ba đường trịn
C1 ,
C2 ,
C3A 6 B 4 3 C 3 3 D 22 3
Câu 8: (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho đường thẳng d : 2
3 2
x y z
Viết
phương trình mặt cầu tâm I
1; ; 1
cắt d điểm A, B cho AB2 A
x1
2
y2
2
z1
2 25 B
x1
2
y2
2
z1
2 4 C
x1
2
y2
2
z1
2 9 D
x1
2
y2
2
z1
2 16Oxyz M
2;1; ;
N
5; 0; ;
P
1; 3;1
I a b c
; ;
Oyz
M N P, , c5 a b c
3
Oxyz A
2;0;0 ;
B
0; 2; ;
C
0; 0; 2
DO DA DB DC, , I a b c
; ;
ABCD S a b c
(63)Câu 9: (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu x2y2z2 1 cắt mặt phẳng
P :x2 y z 1 0 theo giao tuyến đường tròn
C Mặt cầu chứa đường tròn
C qua điểm A
1;1;1
có tâm điểm I a b c
; ;
, giá trị a b cA 0,5 B 1 C 0,5 D 1
Câu 10: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho mặt cầu
2
: 2
S x y z m x m y m z m Biết m thay đổi mặt cầu
S ln chứa đường trịn cố định Tọa độ tâm I đường trịnA I
1; 2;1
B I
1; 2; 1
C I
1; 2; 1
D I
1; 2;1
Câu 11: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y2z 3 mặt phẳng
Q :x2y2z 6 Gọi
S mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng Bán kính
SA 3 B 9
2 C
3
2 D 9
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm Mặt cầu tâm I qua độ dài (biết tâm I có hồnh độ ngun, O gốc tọa độ) Bán kính mặt cầu
A B C D
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho A
1; 0; ,
B
2; 1; ,
C
1;1;
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, qua A cắt mặt phẳng
ABC
theo đường trịn có bán kính nhỏA
2
2
2
x y z
B
2
2
2
x y z
C
2
2
2
x y z
D
2
2
2
x y z
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz viết phương trình mặt cầu có tâm I
1; 2;3
tiếp xúc với đường thẳng1 2
x y z
A
1
2
2
2 ( 3)2 233x y z B
1
2
2
2 ( 3)2 2439
x y z
C
1
2
2
2 ( 3)2 2223x y z D
1
2
2
2 ( 3)2 3339
x y z
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu có phương trình
2 2
4 12
x y z x y z đường thẳng d x: 5 ;t y4;z 7 t Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc mặt cầu
S điểm M
5; 0;1
biết đường thẳng tạo với đường thẳng d góc thỏa mãn cos7
A
5 13
: :
1 11
x t x t
y t y t
z t z t
B
5 13
: :
1 11
x t x t
y t y t
z t z t
Oxyz A
0; 2;0 ,
B 1;1;4
C
3; 2;1
S A B C, , OI
S (64)C
5 13
: :
1 11
x t x t
y t y t
z t z t
D
5 13
: :
1 21
x t x t
y t y t
z t z t
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng :
1 2
x y z
d
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt cầu
S tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kínhA
2; 0; 2
6; 2;5 5
M M
B
6
2; 0; ; ;
5 5
M M
C
2; 0; 2
7; 4;5 5
M M
D
6
4; 0; ; ;
5 5
M M
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng 1, 2 có phương trình:
1
2 1
: ; :
1 1
x y z x y z
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2?
A
22
x y z B
22
x y z C
22
x y z D
22
x y z
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu
S :x2y2z2 2x4y2z 3 Viết phương trình mặt phẳng
P chứa trục Ox cắt mặt cầu
S theo đường trịn có bán kínhA
P :y2z0 B
P :x2z0 C
P :y2z0 D
P :x2z0 Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1
x y z
d
cắt mặt phẳng
P :x2y z điểm M Viết phương trình mặt cầu
S có tâm I thuộc đường thẳng d tiếp xúc với mặt phẳng
P điểm A, biết diện tích tam giác IAM 3 tâm I có hồnh độ âmA
2
2: 1
S x y z B
2
2: 1 36
S x y z
C
S : x1
2y2
z1
2 6 D
S : x1
2y2
z1
2 6 Câu 20: Trong không gian Oxyz cho điểm A
13; 1; ,
B
2;1; ,
C
1; 2; 2
mặt cầu
2: 67
S x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng
P qua qua A, song song với BC tiếp xúc với mặt cầu
S S có tâm I
1; 2;3
có bán kính R9A
P : 2 x2y z 280
P : 8x4y z 1000 B
P : 2 x2y z 280
P : 8x4y z 1000 C
P : 2 x2y z 280
P : 8x4y z 1000 D
P : 2 x2y2z280
P : 8x4y z 10000 Câu 21: Trong không gian Ox ,yz cho mặt cầu
2 2
: 2 0,
S x y z x y z
mặt phẳng
P :x y z (65)song với AB, vng góc với mặt phẳng
P cắt mặt cầu
S theo đường tròn
C có bán kínhA
:x y 2z 1 mp
:x y 2z11 0 B
:x5y2z 1 mp
:x y 2z11 0 C
:x y 2z 1 mp
:x5y2z11 0 D
:x5y2z 1 mp
:x5y2z11 0Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
2;0; ,
B
0; 2;
Điểm C thuộc trục Ox cho tam giác ABC tam giác đều, viết phương trình mặt cầu
S có tâmO tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABCA
S :x2 y2z2 2 B
S :x2y2z2 2 C
S :x2y2z2 D
S :x2y2z2 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng : 1
1
x y z
d
mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z1
2 25 Viết phương trình đường thẳng qua điểm
1; 1; ,
M cắt đường thẳng d mặt cầu
S hai điểm A B, cho AB8 A1
:
2 x t y t z t
B
1
:
2 x t y t z t C
:
2 x t y t z t
D
2
:
2 x t y t z t
Câu 24: Trong không gian Ox ,yz viết phương trình mặt cầu
S tiếp xúc với mặt phẳng
Q : 2xy2z 1 M
1; 1; 1
tiếp xúc mặt phẳng
P :x2y2z 8 A
2 2
2 2
:
:
c x y z
c x y z
B
2 2
2 2
:
:
c x y z
c x y z
C
2 2
2 2
:
:
c x y z
c x y z
D
2 2
2 2
: 81
: 81
c x y z
c x y z
Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng:
, mặt cầu
Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi
A B C
2 1
:
1
x y z
2: 2 x t y t z t
2 2
( ) :S x y z 2x2y6z 5
( ) 1,
2 365
5 0; 10
x y z x y z
5 10
x y z
5 3 511 0; 3 511
(66)D
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho điểm mặt phẳng Mặt cầu S có tâm I nằm mặt phẳng , qua điểm A gốc tọa độ O cho chu vi tam giác OIA
Phương trình mặt cầu S là:
A
B
C
D
Câu 27: Cho điểm I
1;7;5
và đường thẳng :2
x y z
d
Phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là: A
x1
2
y7
2
z5
2 2018 B
x1
2
y7
2
z5
2 2017 C
x1
2
y7
2
z5
2 2016 D
x1
2
y7
2
z5
2 2019Câu 28: Cho điểm I(0; 0;3)và đường thẳng
1
:
2
x t
d y t
z t
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A B, cho tam giác IAB vuông là:
A 2
3
2x y z B 2
3
23 x y z
C 2
3
2x y z D 2
3
23 x y z
Câu 29: Cho điểm A
2;5;1
mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z240, H hình chiếu vng góc A mặt phẳng
P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng
P H, cho điểm A nằm mặt cầu là:A
x8
2
y8
2
z1
2 196 B
x8
2
y8
2
z1
2 196 C
x16
2
y4
2
z7
2 196 D
x16
2
y4
2
z7
2 196Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng 1
1
: 1, ;
x
d y t
z t
2
2
: , ;
1 x
d y u u
z u
: 1
1 1
x y z
Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d d1, 2 có tâm thuộc đường thẳng ?
A
x1
2y2
z1
2 1 B2 2
1 1
2 2
x y z
C
2 2
3
2 2
x y z
D
2 2
5
4 4 16
x y z
5
x y z
1, 0, 1
A
P :x y z
P6
(67)Câu 31: Cho mặt cầu
S :x2 y2 z22x4z 1 đường thẳng2
:
x t
d y t
z m t
Tìm m để d cắt
S hai điểm phân biệt A B, cho mặt phẳng tiếp diện
S A B vng góc vớiA m 1 m 4 B m0 m 4 C m 1 m0 D Cả A B C, , sai
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S :x2 y2z2 4x6ym0 đường thẳng
: 12
x y z
d Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho độ dài MN
A m 24 B m8 C m16 D m 12
Câu 33: Cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng
và mặt cầu S có phương trình Tìm
m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B cho AB =
A 9 B 12 C 5 D 2
Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 2), (3;1; 4), (3; 2;1)B C Tìm tọa độ điểm S, biết SA vng góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính 11
2 S có cao độ âm
A S( 4; 6; 4) B S(3; 4;0) C S(2; 2;1) D S(4; 6; 4)
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
0; 0; 4
, điểm M nằm mặt phẳng
Oxy
M O Gọi D hình chiếu vng góc O lên AM E trung điểm OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầuA R2 B R1 C R4 D R
Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm mặt cầu (S) có phương trình: Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn
A B C D
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d
mặt cầu
S tâm I có phương trình
S : x1
2
y2
2
z1
2 18 Đường thẳng d cắt
S hai điểm A B, Tính diện tích tam giác IABA 8 11
3 B
16 11
3 C
11
6 D
8 11 Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3;0
2
M mặt cầu
S :x2y2 z2 8 Đường thẳng d thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu
S hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OABA S B S 4 C S2 D S 2 Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
2;11; 5
mặt phẳng( ) : x 2y 2z 4 0 ( ) : 2x 2y z 0, x2 y2 z24x6ym0
(0;1;1) , (1;0; 3), ( 1; 2; 3) A B C
2 2
2 2
x y z x z
7
; ;
3 3
D
1
; ; 3 D
7 ; ; 3 D
7
; ;
3 3
D
(68)
: 1 10
P mx m y m z Biết m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng
P qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầuA 2 B 5 C 7 D 12
Câu 40: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh 6cmvà SASBSC4 3
cm
.Gọi D điểm đối xứng B qua C Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng?A 5cm B 3 2cm C 26cm D 37cm
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d
mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z1
2 2 Hai mặt phẳng
P và
Q chứa d tiếp xúc với
S Gọi M N, tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MNA 2 B
3 C D 4
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a
;0; ,
B
0; ; , b
C
0; 0;c
,a , b0, c0 7.
abc Biết mặt phẳng
ABC
tiếp xúc với mặt cầu
: 1
2
2
2
3
2 727
S x y z Thể tích khối tứ diện OABC A 2
9 B
1
6 C
3
8 D
5
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A
0; 0;1
, B m
; 0; 0
,C
0; ; 0n
1;1;1
D , với m0,n0 mn1 Biết m n, thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng
ABC
qua D Tính bán kính R mặt cầuA R1 B
2
R C
2
R D
2 R
Câu 44: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
1; ; 0
B
2 ; 3; 4
Gọi
P mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu
2
21 : 1
S x y z
S2 :x2y2z22y20 Xét M , N hai điểm thuộc mặt phẳng
P cho MN1 Giá trị nhỏ AM BNA 5 B 3 C 6 D 4
Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi
; ; ba góc tạo tiaOt
với tia ;Oy;OzOx mặt cầu
S : xcos
2
ycos
2
zcos
2 4 Biết
S tiếp xúc với hai mặt cầu cố định có bán kính R R1; 2 Tính T R1R2A T 8 B T 4 C T 11 D T 9
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
1; 2; ,
B
2; 3;
Gọi
S mặt cầu đường kínhABvàAxlà tiếp tuyến của
S tạiA By; tiếp tuyến của
S Bvà AxBy Hai điểm M N, di động Ax By, cho MN tiếp tuyến
S Tính AM BNA 19
2
(69)Câu 47: (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S :x2y2(z3)2 8 hai điểm A
4; 4;3
, B
1;1;1
Tập hợp tất điểm M thuộc
S cho MA2MB đường trịn
C Bán kính
CA B C 2 D
Câu 48: (Kim Liên) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
: 2 2S x y z x y z hai điểm A
0; 2; ,
B
2; 6; 2
Điểm M a b c
; ;
thuộc
S thỏa mãn tích MA MB có giá trị nhỏ Tổng a b c A 1 B 1 C 3 D 2
Câu 49: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN NĂM 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 0), B(5; 6; 0) M điểm thay đổi mặt cầu
S :x2y2z2 1 Tập hợp điểm M mặt cầu
S thỏa mãn 3MA2MB2 48 có phần tử?A 0 B 1 C 2 D 3.
Câu 50: ( Sở Phú Thọ) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2
( ) : (S x2) (y1) z 9 hai điểm A
2;0; 2 ,
B
4; 4;0
Biết tập hợp điểmM
thuộc ( )S cho2
16
MA MO MB đường tròn Bán kính đường trịn
A B C 2 2. D
Câu 51: (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
P : 2x y 2z 2 mặt phẳng
Q : 2x y 2z100 song song với Biết A(1; ;1) điểm nằm hai mặt phẳng
P
Q Gọi
S mặt cầu qua A tiếp xúc với hai mặt phẳng
P
Q Biết
S thay đổi tâm ln nằm đường trịn Tính bán kính r đường trịnA
3
r B 2
3
r C
3
r D
3
r
Câu 52: (Chuyên Vinh Lần 2) Trong không gian cho mặt cầu điểm Từ kẻ tiếp tuyến đến với tiếp điểm thuộc đường trịn Từ điểm di động nằm ngồi nằm mặt phẳng chứa , kẻ tiếp tuyến đến với tiếp điểm thuộc đường tròn Biết có bán kính ln thuộc đường trịn cố định Tính bán kính đường trịn
A B C D
Câu 53: (Chun Vinh Lần 2) Trong khơng gian cho hình cầu có tâm , bán kính Một điểm cố định nằm ngồi hình cầu cho Từ kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tròn Trên mặt phẳng chứa đường tròn ta lấy điểm thay đổi nằm mặt cầu Từ ta kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tròn Biết hai đường trịn ln có bán kính Hỏi điểm di chuyển đường trịn có bán kính bao nhiêu?
, Oxyz
2
2
2: 2 4 6 24
S x y z A
2; 0; 2
A
S
M
S
S
M r6
r r3 10 r3 r3
S O RS SOkR k
1
S
C1
P
C1E
S E
C2
C1
C2 (70)A B
C D
Câu 54: (Chuyên Vinh Lần 2) Trong không gian cho mặt cầu có phương trình Từ điểm ta kẻ tiếp tuyến đến với tiếp điểm thuộc đường tròn Từ điểm di động nằm nằm mặt phẳng chứa , kẻ tiếp tuyến đến với tiếp điểm thuộc đường tròn Biết có bán kính ln thuộc đường trịn cố định Tính chiều dài quảng đường di chuyển vịng theo chiều đường trịn
A B
C D
Câu 55: (Chuyên Thái Nguyên) Trong không gian Oxyz, mặt cầu
S qua điểm A
2; 2; 5
tiếp xúc với ba mặt phẳng
P :x1,
Q :y 1
R :z1 có bán kínhA 3 B 1 C 2 3. D 3
Câu 56: (Văn Giang Hưng Yên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A
1; 0; 2
, B
3;1; 4
,
3; 2;1
C Tìm tọa độ điểm S, biết SA vng góc với
ABC
, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
S ABC có bán kính 11
2 S có cao độ âm
A S
4; 6; 4
B S
4; 6; 4
C S
4;6; 4
D S
4; 6; 4
Câu 57:(Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z3
2 25 M
4; 6; 3
Qua M kẻ tia Mx, My, Mz đôi vng góc với cắt mặt cầu điểm thứ hai tương ứng A, B, C Biết mặt phẳng
ABC
qua điểm cố định H a b c
; ;
Tính a3bcA 9 B 14 C 11 D 20
4
k
R R
k
4
k
R R
k
1
k
R R
k
2
k
R R
k
S 21
x y z
2019; 0; 0
A
S
M
S
S
Ml M 2019
4 2019
2019
l l2019
8152722
(71)GTLN, GTNN TRONG HÌNH H
Ọ
C T
ỌA ĐỘ
OXYZ
A - LÝ THUYẾT CHUNG
Để tìm cực trị khơng gian thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số
Bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A x( A; yA; zA), (B xB; yB; zB) mặt phẳng ( ) :P axbyczd 0 Tìm điểm M ( )P cho
1 MA MB nhỏ
2 MA MB lớn với d A( , ( ))P d B( , ( )).P
Phương pháp:
Xét vị trí tương đối điểm A B, so với mặt phẳng ( ).P
Nếu (axAbyAczAd ax)( BbyBczBd)0 hai điểm A B, phía với mặt phẳng ( ).P Nếu (axAbyAczAd ax)( BbyBczBd)0 hai điểm A B, nằm khác phía với mặt phẳng ( ).P
1 MA MB nhỏ
Trường hợp 1: Hai điểm A B, khác phía so với mặt phẳng ( ).P
Vì A B, khác phía so với mặt phẳng ( )P nên MA MB nhỏ
( )
M P AB
Trường hợp 2: Hai điểm A B, phía so với mặt phẳng
Gọi A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( ),P A' B khác phía ( )P MAMA nên
MA MB MAMBA B
Vậy MA MB nhỏ A B M A B ( ).P 2 MA MB lớn
Trường hợp 1: Hai điểm A B, phía so với mặt phẳng ( )P
Vì A B, phía so với mặt phẳng ( )P nên MA MB lớn M ( )P AB Trường hợp 2: Hai điểm A B, khác phía so với mặt phẳng ( )P
Gọi A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( )P , A' B phía ( )P MAMA nên MA MB MAMB A B
Vậy MA MB lớn A B M A B ( ).P Bài tốn 2: Lập phương trình mặt phẳng ( )P biết
1 ( )P qua đường thẳng khoảng cách từ A đến ( )P lớn 2 ( )P qua tạo với mặt phẳng ( )Q góc nhỏ
3 ( )P qua tạo với đường thẳng d góc lớn
Phương pháp:
Cách 1: Dùng phương pháp đại số
1 Giả sử đường thẳng 1
:x x y y z z
a b c
A x y z( ;0 0; 0) Khi phương trình ( )P có dạng: A x( x1)B y( y1)C z( z1)0 Trong Aa Bb Cc A bB cC
a
(a0) (1)
AB (P)
(72)Khi 1
2 2
( ) ( ) ( )
( , ( )) A x x B y y C z z
d A P
A B C
(2) Thay (1) vào (2) đặt t B
C
, ta đươc d A P( , ( )) f t( ) Trong
2 ( )
' ' '
mt nt p
f t
m t n t p
, khảo sát hàm f t( ) ta tìm max f t( ) Từ suy biểu diễn A B, qua C cho C giá trị ta tìm A B,
2 làm tương tự Cách 2: Dùng hình học
1 Gọi K H, hình chiếu A lên ( )P , ta có: ( , ( ))
d A P AH AK, mà AK không đổi Do d A P( , ( )) lớn HK Hay ( )P mặt phẳng qua K, nhận AK làm VTPT
2 Nếu ( )Q
( ), ( )P Q
900 nên ta xét (Q) khơng vng góc với Gọi B điểm thuộc , dựng đường thẳng qua B vng góc với ( )Q Lấy điểm C cố định đường thẳng Hạ CH ( ),P CK d Góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )Q BCH Ta có sinBCH BH BK
BC BC
Mà BK
BC không đổi, nên
BCH nhỏ H K
Mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng (BCK) Suy
, ,
P Q
n u u n
VTPT ( )P
3 Gọi M điểm thuộc , dựng đường thẳng d' qua M song song với d Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ AH ( ),P AK d Góc mặt phẳng ( )P đường thẳng d'
AMH Ta có cos HM KM . AMH
AM AM
Mà KM
AM không đổi, nên
AMH lớn HK.
Mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng ( ',d Suy '
, ,
P d
n u u u
VTPT ( )P B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: MIN, MAX VỚI MẶT PHẲNG CHẮN
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M
1; 2;1
Mặt phẳng
P thay đổi qua M cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diệnOABC
A 54 B 6 C 9 D 18
Câu 2: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm với Giả sử
thay đổi thỏa mãn khơng đổi Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn
A B C D
; 0; ,
0; ; ,
0; 0;
A a B b C c a b c, , 0 a b c, ,
2 2
a b c k
3
k
6
k
3
(73)Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm , cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
A B C D
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có điểm A trùng với gốc tọa độ, B a( ; 0; 0),D(0; ; 0),a A(0; 0; )b với (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giả sử ab4, tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện A BDM ?
A max 64
27 A MBD
V B maxVA MBD 1
C max 64
27 A MBD
V D max 27
64 A MBD
V
DẠNG 2: MIN, MAX VỚI PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG
Câu 1: (Thị Xã Quảng Trị) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A
0;1;2
, B
1;1;1
, C
2 ; ;3
mặt phẳng
P :xy z Gọi M a b c
; ;
điểm thuộc mặt phẳng
P thỏa mãnMA MB MC
đạt giá trị nhỏ Giá trị a2b3c
A 7 B 5 C 3 D 2
Câu 2: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Trong hệ trục Oxyz, cho điểm A
1; 3;5 ,
B
2; 6; ,
4; 12;5
C mặt phẳng
P :x2y2z 5 Gọi M điểm di động
P Gía trị nhỏ biểu thức S MA MB MCA 42 B 14 C 14 D 14
3
Câu 3: (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B( 1; 2; 0) ,C(3; 1; 2) M điểm thuộc mặt phẳng
: 2x y 2z 7 Tính giá trị nhỏ P 3MA5MB7MCA Pmin 20 B Pmin 5 C Pmin 25 D Pmin 27
Câu 4: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A
1; ; 2
, B
3; 1; 2
, C
4 ; ; 3
Tìm tọa độ điểm I mặt phẳng
Oxz
cho biểu thức IA2IB5IC đạt giá trị nhỏA 37; ;19
4
I
B
27 21
; ;
4
I
C
37 23
; ;
4
I
D
25 19
; ;
4
I
Câu 5: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho A
0 ; 1; 1
, B
2 ; 1; 1
,
4 ; 1; 1
C
P :xy z 60 Xét điểm M a b c
; ;
thuộc mp P
cho MA2MB MC đạt giá trị nhỏ Giá trị 2a4b c bằng:A 6 B 12 C 7 D5
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc cho nhỏ nhất?
M(9;1;1)
1
7 3
x y z
1
27 3
x y z
27 3
x y z
1
27 3
x y z
,
Oxyz A
1; 0; ;
B
0; 1; 2
(74)A B
C D 2; 11 18;
5 5
M
Câu 7: Cho hai điểm A
1, 3, ;
B
9, 4,9
mặt phẳng
P : 2x y z Điểm M thuộc (P) Tính GTNN AMBMA B C D
Câu 8: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho A
4;5;6 ;
B
1;1;2
, M điểm di động mặt phẳng
P :2x y2z 1Khi MA MB nhận giá trị lớn là?
A 77 B 41 C 7 D 85
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình –x y z hai điểm M
3;1; ,
N
9; 4;9
Tìm điểm I a b c
; ;
thuộc mặt phẳng (P) chođạt giá trị lớn Biết a b c, , thỏa mãn điều kiện:
A B C D
Câu 10: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho mặt phẳng Tìm tọa độ điểm cho đạt giá trị lớn
A B C D
Câu 11: (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ (Oxyz) cho ba điểm A(1; 0; 3); B( 3;1; 3) ; C(1; 5;1) Gọi M x y z( ;o o; )o thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho biểu thức T2 MA MBMC có giá trị nhỏ Khi tính giá trị xoyo ?
A
5 o o
x y B
5 o o
x y C xo yo D xo yo
Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A
1;3;5 ,
B
2; 6; ,
C
4; 12;5
điểm
P :x2y2z 5 Gọi M điểm thuộc
P cho biểu thứcS MA4MB MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tìm hồnh độ điểm MA xM 3 B xM 1 C xM 1 D xM 3
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
2;1; 1
, B
0; 3;1
mặt phẳng
P :xy z Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P cho 2MA MB có giá trị nhỏ A M
4; 1;0
B M
1; 4;0
C M
4;1; 0
D M
1; 4; 0
Câu 14: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
2;0;1
A , B
2;8;3
điểm M a b c
; ;
di động mặt phẳng
Oxy
Khi MAMB đạt giá trị nhỏ giá trị a b 3cA 2 B 3 C 5 D 4
2; 2; 9
M 6; 18 25;
11 11 11 M
7 31
; ;
6
M
6 204 7274 31434
6
2004 726
3
3 26
IMIN 21
a b c a b c 14 a b c 5 a b c 19 Oxyz A
1;1;0 ,
B
3; 1; 4
:xy z M
MAMB
1;3; 1
M 5; ;
4
M
1 2
; ;
3 3
M
(75)Câu 15: (HKII Kim Liên 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho hai điểm
3;5; ,
5; 3;7
A B mặt phẳng
P :xy z Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng
P cho MA22MB2 lớnA M
2;1;1
B M
2; 1;1
C M
6; 18;12
D M
6;18;12
Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
1; 2; ,
B
5; 4; 4
mặt phẳng
P : 2xy–z 6 Tọa độ điểm M nằm (P) saocho MA2MB2 nhỏ là: A
1;3; 2
B
2;1; 11
C
1;1;5
D
1; 1;
Câu 17: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y z 0,A
8; 7; ,
B
1; 2;
Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng
P cho MA22MB2 nhỏA M
0; 0; 1
B M
0; 0;1
C M
1;0;1
D M
0;1;0
Câu 18: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 4) ,
( 3; 3; 1)
B mặt phẳng( ); 2P x y2z80 Xét
M
là điểm thay đổi thuộc ( )P , giá trị nhỏnhất 2
2M A 3M B
A 145 B 108 C 105 D 135
Câu 19: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A
2;1; 3
, B
1; 1; 2
, C
3; 6;1
Điểm M x y z
; ;
thuộc mặt phẳng
Oyz
cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P x y z
A P0 B P2 C P6 D P 2
Câu 20: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A
1;01;1 ,
B
1; 2;1 ,
C
4;1; 2
mặt phẳng
P :xy z Tìm (P) điểm M cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Khi M có tọa độA M
1;1; 1
B M
1;1;1
C M
1; 2; 1
D M
1; 0; 1
Câu 21: (Cẩm Giàng) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A
10; 5;8
, B
2;1; 1
, C
2;3; 0
và mặt phẳng
P :x2y2z 9 Xét M điểm thay đổi
P cho MA22MB23MC2 đạt giá trị nhỏ Tính MA22MB23MC2A 54 B 282 C 256 D 328
Câu 22: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A
1; 4; 5
, B
0; 3;1
,
2; 1; 0
C mặt phẳng
P : 3x3y2z150 Gọi M a b c
; ;
điểm thuộc mặt phẳng
P cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến A, B, C nhỏ Tính a b cA 5 B 5 C 3 D 3
Câu 23: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P :3x y z hai điểm A
1; 0; 2
, B
2; 1; 4
Tập hợp điểmM nằm mặt phẳng
P cho tam giác MAB có diện tích nhỏA 7
3
x y z
x y z
. B 14
3
x y z
x y z
C 7
3
x y z
x y z
D
3
x y z
x y z
(76)Câu 24: (Ba Đình Lần2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y2z 3 mặt cầu
S :x2y2z22x4y2z 5 Giả sử M
P N
S cho MN phương với vectơ u
1;0;1
khoảng cách M N lớn Tính MNA MN 3 B MN 1 2 C MN 3 D MN 14
Câu 25: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
1; 3; 4
, B
3;1; 0
Gọi M điểm mặt phẳng
Oxz
cho tổng khoảng cách từ M đến A B ngắn Tìm hồnh độ x0 điểm MA x0 4 B x0 3 C x0 2 D x0 1
Câu 26: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
, cho điểm mặt phẳng
Tìm giá trị lớn khoảng cách từ A đến mặt phẳng
PA B C D
Câu 27: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho hai điểm , Giả sử điểm thay đổi mặt phẳng Tìm giá trị lớn biểu thức
A B C D
Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Cho mặt phẳng hai điểm Biết
cho đạt giá trị nhỏ Khi đó, hồnh độ điểm
A B C D
Câu 29: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Trong không gian Oxyz, cho điểm M
1; 2; 3
Mặt phẳng
P :xAyBz C 0 chứa trục Oz cách điểm M khoảng lớn nhất, tổngABC
A 6 B 3 C 3 D 2
Câu 30: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a b c
; ;
với a, b, c số thực dương thỏa mãn
2 2
5 a b c 9 ab2bcca
32
1
a Q
b c a b c có giá trị lớn Gọi M , N, P hình chiếu vng góc A lên tia Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng
MNP
A x4y4z120 B 3x12y12z 1 C x4y4z0 D 3x12y12z 1
Câu 31: (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(1; 2;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , cho 12 12 12
OA OB OC đạt giá trị nhỏ
A ( ) :P x2y3z 8 B ( ) : 1
y
x z
P
C ( ) :P x y z 4 D ( ) :P x2y z 6
3; 2; 4
A
: 1
P m m x m m y m zm
5 29 33 21
Oxyz A
1; 2; 3
B
4; 4;5
M( ) : 2P x2y z 20190
P AM BM
17 77 23 82 5
:x y 2z 1 A
0; 1;1 ,
B
1;1; 2
M MA MB xM M
1 M
x xM 1 xM 2
7 M
(77)Câu 32: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A
1;1;1
, B
2; 3; 4
, C
3; 2; 4
, D
2; 1; 3
Mặt phẳng
P thay đổi qua D không cắt cạnh tam giác ABC Khi tổng khoảng cách từ A, B, C đến
P lớn
P có phương trình dạng axbycz290 Tính tổng abcA 9 B 5 C 13 D 14
Câu 33: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), ( 2;3; 4)
B C( 2;5;1) Điểm M a b( ; ; 0) thuộc mặt phẳng
Oxy
cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Tổng T a2b2A T 10 B T 25 C T 13 D T17
Câu 34: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), ( 2;3; 4)
B C( 2;5;1) Điểm M a b( ; ; 0) thuộc mặt phẳng
Oxy
cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Tổng T a2b2A T 10 B T 25 C T 13 D T17
Câu 35: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A
2;0;6
, B
2; 4;0
C
0; 4;6
Biết M điểm để biểu thức MA MB MC MO đạt giá trị nhỏ nhất, phương trình đường thẳng qua hai điểm H
3; 0; 1
và MA :
2
x y z
B
3
:
1
x y z
C :
1
x y z
D
3
:
1
x y z
Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
3; 2; 2
, B
2; 2;0
mặt phẳng
P : 2x y 2z 3 Xét điểm M ,N di động
P cho MN1 Giá trị nhỏ biểu thức 2MA23NB2A 49,8 B 45 C 53 D 55,8
Câu 37: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P mx:
m1
y z 2m 1 0, với m tham số Gọi
T tập hợp điểm Hm hình chiếu vng góc điểm H
3;3;0
P Gọi a b, khoảng cách lớn nhất, khoảng cách nhỏ từ O đến điểm thuộc
T Khi đó, a bA 5 B 3 C 8 D 4
Câu 38: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyzcho A
4; 2; 6
, B
2; 4; 2
,
:M x y z choMA MB nhỏ Tọa độ M A 29 58 5; ;
13 13 13
B
4;3;1
C
1;3;
D37 56 68
; ;
3 3
Câu 39: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có tọa độ điểm A
1;1;1
, B
2; 0; 2
C
1; 1;0
,D
0;3; 4
Trên cạnhAB, AC, AD lấy điểm B, C, D cho 4
AB AC AD
AB AC AD tứ diện
AB C D tích nhỏ Phương trình mặt phẳng
B C D
(78)C 16x40y44z390 D 16x40y44z390
DẠNG 3: MIN, MAX VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: (Nguyễn Du số lần3) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y
d z hai điểm A
4;3; 0
,B
1;9;3
Điểm M a b c
; ;
nằm d cho MAMB nhỏ Khi đó, tổng a b c thuộc khoảng đây:A
9;10
B
4;5
C
2;3
D
7;8
Câu 2: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho hai điểm
2 ; 2;4
A , B
3;3; 1
và đường thẳng :2 1
x y z
d
Xét M điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ 2MA23MB2bằng
A 14 B 160 C 4 10 D 18
Câu 3: Cho đường thẳng Tìm tọa độ điểm thuộc
sao cho đạt giá trị nhỏ
A B C D
Câu 4: Cho đường thẳng hai điểm Biết điểm
thuộc cho biểu thức đạt giá trị lớn Khi tổng bằng:
A B C D
Câu 5: Cho đường thẳng hai điểm Biết điểm thuộc
cho biểu thức đạt giá trị lớn Khi đó, bao nhiêu?
A B C D
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A
2;5;3
, đường thẳng1
:
2
x y z
d Biết phương trình mặt phẳng
P chứa d cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng
P lớn nhất, có dạng ax by cz 3 0(với a b c, , số nguyên) Khi tổng T a b cA 3 B 3 C 2 D 5
1
:
1
x y z
A(1;1; 0), B(3; 1; 4). M
MA MB ( 1;1; 2)
M 1; 1;1
2
M
3 ; ; 2 M
(1; 1; 2)
M
1
:
1
x y z
A(1;1; 0), B( 1; 0;1).
( ; ; )
M a b c T MAMB a b c
8 8 33 33
3
33
3
:
1 1
x y z
A(0;1; 3), B( 1; 0; 2). M
T MA MB Tmax Tmax
max
(79)Câu 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) :P y 1 0, đường thẳng
1
:
1 x
y t
z
hai điểm
1; 3;11
A , 1; 0;8
2 B
Hai điểm M N, thuộc mặt phẳng ( )P cho d M( ; ) 2
NA NB Tìm giá trị nhỏ đoạn MN
A MNmin 1 B MNmin C min 2
MN D min
3
MN
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng hai điểm
và Biết điểm thuộc nhỏ nhất.Tìm
A B C D
Câu 9: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 3
1
x y z
d hai điểm A
2; 0; 3
, B
2; 2; 3
Biết điểm M x y z
0; 0; 0
thuộc d thỏa mãn PMA4MB4MA MB2 nhỏ Tìm y0A y0 3 B y0 2 C y0 1 D y0 1
Câu 10: (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A
2; 1; 2
đường thẳng
d có phương trình 11 1
x y z
Gọi
P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng
d khoảng cách từ d tới mặt phẳng
P lớn Khi mặt phẳng
P vng góc với mặt phẳng sau đây?A x y B x3y2z100 C x2y3z 1 D 3x z 20
Câu 11: (TTHT Lần 4)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M
2; 2;1 ,
A
1; 2; 3
đường thẳng :2
x y z
d
Tìm vectơ phương u
đường thẳng qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé
A u
2; 2; 1
B u
1; 7; 1
C u
1; 0; 2
D u
3; 4; 4
Câu 12: (TTHT Lần 4)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
3; 1; 0
đường thẳng2 1
:
1
x y z
d
Mặt phẳng
chứa d cho khoảng cách từ A đến
lớn có phương trìnhA x y z B x y z
C xy z D x 2y z
Oxyz
x t y t t z t
2
:
3
A 2;0;3 B 2; 2; 3
M x y z
0; ;0 0
MA4 MB4 x0 (80)Câu 13: (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
3;0;1
, B
1; 1;3
mặt phẳng
P :x2y2z 5 Viết phương trình tắc đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng
P cho khoảng cách từ B đến d nhỏA :
26 11
x y z
d
B
3
:
26 11
x y z
d
.
C :
26 11
x y z
d D :
26 11
x y z
d
Câu 14: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
1
1
x t
y t
z t
điểm A
1; 2;3
Mặt phẳng
P chứa d cho d A P
,
lớn Khi tọa độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng
P A
1;1;1
B
1; 2;3
C
1; 1;1
D
0;1;1
Câu 15: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) :P x2y2z 1 0, ( ) :Q xmy(m1)z20190 Khi hai mặt phẳng
P ,
Q tạo với góc nhỏ mặt phẳng
Q qua điểm M sau đây?A M
2019; 1;1
B M
0; 2019; 0
C M
2019;1;1
D M
0; 0; 2019
Câu 16: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng1
1
:
1
x y z
d
2
:
2
x y z
d
Phương trình mặt phẳng
P chứa
d1 cho góc
P đường thẳng
d2 lớn là: ax y czd0 Giá trị biểu thứcT a c d
A T 0 B T 3 C 13
4
T D T 6
Câu 17: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi ( )P mặt phẳng chứa đường thẳng :
1
x y z
d
tạo với trục Oy góc có số đo lớn Điểm sau thuộc mặt phẳng ( )P
A E( 3; 0; 4) B M(3; 0; 2) C N( 1; 2; 1) D F(1; 2;1)
Câu 18: (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có đường phân giác góc A song song với đường thẳng
2
:
4 x
d y t
z t
Đường thẳng AC có véctơ phương u1
1; 2; 1
Biết đường thẳng AB có véctơ phương u2
a b c; ;
với a b c, , Biểu thức Pa2b2c2 có giá trị nhỏ (81)Câu 19: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A
2; 2;1 ,
B
1; 2; 3
đường thẳng :2
x y z
Tìm véctơ phương đường thẳng d qua A vng góc với đường thẳng đồng thời cách điểm B khoảng cách bé
A u
2 ; ; 1
B u
1; 0; 2
C u
2;1; 6
D u
25; 29; 6
Câu 20: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho đườngthẳng :
1
x y z
d
điểm A
2;1; 2
Gọi đường thẳng qua A, vng góc với d đồng thời khoảng cách d lớn Biết v( ; ; 4)a b
véc- tơ phương Tính giá trị a b
A 2 B 8 C 2 D 4
Câu 21: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y z điểm A
1; 2; 2
Gọi M giao điểm mặt phẳng
P trụcoy
Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng
P , qua M cho khoảng cách từ điểmA
đến đường thẳng d có giá trị lớnA :
1 1
x y z
d
B
3
:
1
x y z
d
C :
2
x y z
d
D
3
:
1
x y z
d
Câu 22: (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong không gianOxyz, cho đường thẳng : 1
2 1
x y z
Hai
điểm M N, lần lượt di động mặt phẳng
: x2,
: z2 cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng Δ Giá trị nhỏ độ dài MNA 8
5 B
4
5 C
3
5 D
9 5
Câu 23: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
1; 4; ,
1; 2; 4
A B đường thẳng :
1
x y z
d
Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d cho khoảng cách từ B đến nhỏ
A
1 15 18 19
x t
y t
z t
B
1
x t
y t
z t
C
1
x t
y t
z t
D
1 15 18 19
x t
y t
z t
Câu 24: (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A
1; 2; 3
,
2; 2;1
(82)A 2 2 x t y t z t B 2 2 x t y t z t
C
2 2 x t y z t D 2 x t y t z
Câu 25: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng , điểm đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng qua song song với cho khoảng cách lớn
A B C D
Câu 26: (Chuyên KHTN lần2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1
2 1
x y z
d
hai điểm A
1; 2;3 ;
B 1;0; 2
Phương trình đường thẳng qua B, cắt d cho khoảng cách từ A đến đạt giá trị lớnA
3
x y z
B
3
x y z
C
1 1
x y z
D
1
8 14
x y z
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M
3;1;1
, N
4;3; 4
đường thẳng7
:
1
x y z
Gọi I a b c
; ;
điểm thuộc đường thẳng cho chu vi tam giác IMN nhỏ Tính T a b cA 23
T B T 29 C T 19 D 40
3 T
Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M( 2; 2;1) , A(1; 2; 3) đường thẳng
1
:
2
x y z
d
Gọi
đường thẳngquaM
, vnggóc với đường thẳng d, đồng thờicáchA
mộtkhoảngbénhất.KhoảngcáchbénhấtđólàA 29 B 6 C 5 D 34
9 Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1
2 1
x y z
d
Gọi
mặt phẳng chứa đường thẳng dvà tạo với mặt phẳng
Oxy
một góc nhỏ Khoảng cách từ M
0;3; 4
đến mặt phẳng
A 30 B 2 C 20 D 35
Câu 30: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 1) , B(7; 2; 3) đường thẳng d có phương trình
1 2
3 2
x y z
Điểm I thuộc d cho AI BI nhỏ Hoành độ điểm I
Oxyz
P :xy z A
1; 1; 2
1
:
2
x y z
d A
Pd
1 40
: 29
2 69
x t
d y t
z t 40
: 29
2 11
x t
d y t
z t
:
2
x t
d y t
z t 21
: 10
2 31
x t
d y t
(83)A 2 B 0 C 4 D 1 Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
4
:
0
x t
d y t
z
Gọi A hình chiếu vng góc O d Điểm M di động tia Oz, điểm N di động đường thẳng d cho MN OMAN Gọi I trung điểm đoạn thẳng OA Trong trường hợp diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất, véctơ pháp tuyến mặt phẳng
M d,
có tọa độA
4; 3;5
B
4; 3;10
C
4; 3; 10
D
4; 3;10 10
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
2; 2; ,
B
2; 4; ,
C
0; 2; 8
mặt phẳng
P :x y z Xét điểm M thuộc mặt phẳng
P cho AMB90, đoạn thẳng CM có độ dài lớnA 2 15 B 2 17 C 8 D 9
Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d điểm A
6;3; 2
,
1; 0; 1
B Gọi đường thẳng qua B, vng góc với d thỏa mãn khoảng cách từ A đến nhỏ Một vectơ phương có tọa độ
A
1;1; 3
B
1; 1; 1
C
1; 2; 4
D
2; 1; 3
Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
1; 4;3
mặt phẳng
P : 2y z Biết điểm Bthuộc mặt phẳng
P , điểm C thuộc
Oxy
cho chu vi tam giác ABC nhỏ Hỏi giá trị nhỏA 4 B 6 C 2 D
Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
2; ;3; 4
, đường thẳng :2
x y z
d mặt cầu
S : x3
2
y2
2
z1
2 20 Mặt phẳng
P chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến
P lớn Mặt cầu
S cắt
P theo đường trịn có bán kínhA B 1 C 4 D 2
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0; 1;1 ,
B 3; 0;-1 ,
C 0; 21; -19
mặt cầu
S : x1
2
y1
2
z1
2 1 M a b c
; ;
điểm thuộc mặt cầu
S cho biểu thức T 3MA22MB2MC2 đạt giá trị nhỏ Tính tổng a b cA 14
5
a b c B a b c C 12
5
a b c D a b c 12 Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A
2; 2; 2
điểm B
3; 3;3
Điểm M thay đổi không gian thỏa mãn MA
MB Điểm N a b c
; ;
thuộc mặt phẳng
P : x 2y2z 6 cho MN nhỏ Tính tổng T a b c (84)Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
0; 1; 2
, B
1;1; 2
đường thẳng : 11 1
x y z
d
Biết M a b c
; ;
thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Khi đó, giá trị T a2b3c bằng:A 5 B 3 C 4 D 10
Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
0; 1; 2
, B
1;1; 2
đường thẳng : 11 1
x y z
d
Biết M a b c
; ;
thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB có diện tích6 Khi đó, giá trị T a2b3c bằng:
A 5 B 3 C 4 D 10
Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
0; 1; 2
, B
1;1; 2
đường thẳng : 11 1
x y z
d
Có điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB có diện tích
A 0 B 1 C 2 D Vô số
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
1;5; ,
B
3;3; 6
đường thẳng có phương trình tham số1 2
x t
y t
z t
Một điểm M thay đổi đường thẳng cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi tam giác ABC
A M
1;0; ;
P = 2( 11 29) B M
1; 2; ;
P = 2( 11 29) C M
1;0; ;
P = 11 29 D M
1; 2; ;
P = 11 29Câu 42: (SỞ LÀO CAI 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A
1; 5; 0
, B
3; 3; 6
đườngthẳng : 1
2
x y z
d
Điểm M a b c
; ;
thuộc đường thẳng d cho chu vi tam giácM A B nhỏ Khi biểu thức a2b3c
A 5 B 7 C
9
D 3Câu 43: (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có
1;1; 6
A , B
3; 2; 4
, C
1; 2; 1
, D
2; 2; 0
Điểm M a b c
; ;
thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Tính a b c A 1 B 2 C 3 D 0
Câu 44: Trong không gian Oxyz cho điểm , , , Gọi M
một điểm nằm đường thẳng CD cho tam giác MAB có chu vi bé Khi toạ độ điểm M là:
A B C D
2;3; 2
A B
6; 1; 2
C
1; 4;3
D
1; 6; 5
0;1; 1
(85)DẠNG 4: MIN, MAX VỚI MẶT CẦU
Câu (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0; 4), (3;2;6), (3; 2;6).B C Gọi M điểm di động mặt cầu ( ) :S x2y2z2 4 Giá trị nhỏ biểu thức
MA MB MC
A 2 34 B 6 C 4 10 D 2 29
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y2z 3 mặt cầu
2:
S x y z x y z Giả sử M
P N
S cho MN phương với véc tơ u
1; 0;1
khoảng cách MN nhỏ Tính MNA
2
MN B MN1 C MN3 D MN
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2
2
x y z
d mặt cầu
2:
S x y z z Giả sử Md N
S cho MN phương với véc tơ
1; 0;1
u khoảng cách MN nhỏ Tính MN
A MN2 B 17 34
6
MN C 17 34
6
MN D 17 17
6
MN
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2
2
x y z
d mặt cầu
2:
S x y z z Giả sử Md N
S cho MN phương với véc tơ
1; 0;1
u khoảng cách MN lớn Tính MN
A MN4 B 17 34
6
MN C 17 34
6
MN D 17 17
6
MN
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
P : 2x y 2z140 mặt cầu
2:
S x y z x y z Điểm M
P ,N
S cho khoảng cách MN nhỏ Tính MNA MN1 B MN3 C MN2 D MN4 Câu Các số thực a b c d e f, , , , , thỏa mãn
2 2
2
2 14
a b c a b c
d e f
Hỏi giá trị nhỏ biểu P
ad
2
b e
2
c f
2 bao nhiêu? (86)Câu (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z2
2 4 mặt phẳng
P :xy2z 1 Gọi M điểm mặt cầu
S Khoảng cách từ M đến
P có giá trị nhỏA 4
3 B 0 C 62 D 2 2
Câu (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2xy2z140 mặt cầu
2:
S x y z x y z Gọi tọa độ điểm M a b c( ; ; ) thuộc mặt cầu
S cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng
P lớn Tính giá trị biểu thức K a b cA K 1 B K 2 C K 5 D K 2
Câu Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z3
2 9 mặt phẳng
P : 2x2y z Gọi M a b c
; ;
điểm mặt cầu
S cho khoảng cách từ M đến
P lớn KhiA a b c B a b c C a b c D a b c
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
1; 2; ,
B
2; 3; 2
Gọi
S mặt cầu đường kính AB Ax tiếp tuyến
S A; By tiếp tuyến
S B AxBy Hai điểm M N, di động Ax By, cho MN tiếp tuyến
S Hỏi tứ diệnAMBN có diện tích tồn phần nhỏ là?
A 19 B 19
2 3
C 19 2
3
D 19 2
6
Câu 11 Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu
S :x2y2z2 11 Hỏi giá trị lớn biểu thức AB2BC2CA2DA2BD2CD2 là?A 99 B 176 C 132 D 66
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a
; 0;0 ,
B
0; ;b c C
,
0; 0;c
với4, 5,
a b c mặt cầu
S có bán kính 102 ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng OA OB OC đạt giá trị nhỏ mặt cầu
S tiếp xúc với mặt phẳng đây? A 2x2y 2z 6 20 B 2x 2y2z 7 2 0C 2x2y2z 3 20 D 2x2y2z 3 20
Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ cho với
tiếp xúc với mặt cầu cố định có bán kính biết mặt cầu qua
Oxyz S
0; 0;1 ,
M m
; 0;0 ,
N
0; ; 0n
m n, 0 (87)A B C D
Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
; 0; ,
0; 1; ,
0;0; 4
A m B m C m thỏa mãn BC AD CA, BD AB, CD điểm I a b c
; ;
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính bán kính nhỏ mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD A
2 B
14
2
C D 14
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A
1; 2;1 ,
B
2; 4; 6
Điểm M di động AB N điểm thuộc tia OM cho OM ON 4 Biết N thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịnA 42
31
R B 31
42
R C 42
31
R D 31
42
R
Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A m
; 0; 0
, B
0; ;0n
, C
0; 0; 2
; ; 2
D m n
, với m n, số thực thay đổi thỏa mãn 2m n 1 Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ là?
A 105
10 B
17
4 C
21
5 D
17
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A m
; 0; ,
B
0;1; ,
C
0;0;n
với m n, số thực thỏa mãn m n 2 Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là?A B
2 C
3
2 D
2
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A m
; 0; ,
B
0; ; ,n
C
0; 0;1
; ;1
D m n với m n, số thực thỏa mãn m n 2 Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là?
A B
2 C
3
2 D
5
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A m
; 0; ,
B
0;1; ,
C
0;0;n
với m n, só thực thỏa mãn m2n2 Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là?A B
2 C
3
10 D
3
(88)Câu 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A
1, 0,1 ,
B
3, 4, ,
C
2, 2, 3
Đường thẳng d qua A, cắt mặt cầu đường kính AB AC điểm M N, không trùng với A cho đường gấp khúc BMNC có độ dài lớn có vector phương là? A u
1,0, 2
B u
1, 0,1
C u
1, 0, 1
D u
2, 0, 1
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai mặt phẳng
P :x y 2z 1 0;
Q : 2xy z Gọi
S mặt cầu có tâm thuộc trục Ox, đồng thời
S cắt
P theo giao tuyến đường trịn có bán kính 2;
S cắt
Q theo giao tuyến đường tròn có bán kính r Tìm r cho có mặt cầu
S thỏa mãn điều kiện toánA 10
r B
2
r C r D
2 r
Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có A B C, , giao điểm
mặt phẳng
:1
x y z
P
mm m với trục tọa độ Ox Oy Oz, , ; m
0;1; 4
tham số thực thay đổi Điểm O D, nằm khác phía với mặt phẳng
P BC AD CA, BD,
ABCD Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ là? A
2 B
14
2 C D 14
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y2z 3 mặt cầu
2:
S x y z x y z Giả sử M
P N
S cho MN phương với véc tơ u
1; 0;1
khoảng cách MN lớn Tính MNA MN 3 B MN 1 2 C MN3 D MN14
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a
; 0; ,
B
0; ; ,b
C
0; 0;c
với4, 5,
a b c mặt cầu
S có bán kính 102 ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng OA OB OC nhỏ mặt cầu
S tiếp xúc với mặt phẳng đây?A 2x2y 2z63 0 B 2x2y2z 3 2 0 C 2x 2y2z72 0 D 2x2y2z 3 20
Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y1
2
z1
2 4 mặt phẳng
P : 2 y2z 7 Gọi
Q mặt phẳng thay đổi qua A
2;1;1
tiếp xúc với mặt cầu
S Hỏi góc nhỏ hai mặt phẳng
P , Q là?A arccos2 10
B arccos 10
C arccos2 10
D arccos 10
(89)Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
10; 2;1 ,
B
3;1; 4
mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z1
2 9 Điểm M di động mặt cầu
S Hỏi giá trị nhỏ biểu thức MA3MB là?A 3 14 B 9 C 3 11 D 6
Câu 27 (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :
2
x y z
d
mặt cầu
2 2
: 36
S x y z Gọi đường thẳng qua A
2;1; 3
, vng góc với đường thẳng d cắt
S hai điểm có khoảng cách lớn Khi đường thằng có véctơ phương u
1; ;a b
Tính abA 4 B 2 C
2
D 5
Câu 28 (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Trong không gian Oxyzcho mặt cầu
S : x2
2
y1
2
z1
2 9 điểm M a
; ; b c
S cho biểu thức2
P a b c đạt giá trị nhỏ Tính T a b c
A 2 B 1 C 2 D 1
Câu 29 (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu
S : x4
2
y2
2
z4
2 1 Điểm M a b c
; ;
thuộc
S Tìm giá trị nhỏ2 2
a b c
A 25 B 29 C 24 D 26
Câu 30 (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2
2: 4
S x y y Xét hai điểm M , N di động
S cho MN1 Giá trị nhỏ OM2ON2A 10 B 4 C 5 D 6
Câu 31 (Chuyên KHTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
8;5; 11 ,
5;3; ,
1; 2; 6
A B C mặt
S : x2
2
y4
2
z1
2 9 Gọi điểm M a b c
; ;
điểm
S cho MA MB MC
đạt giá trị nhỏ Hãy tìm a b
A 6 B 2 C 4 D 9
Câu 32 (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho x, y, z, a, b, c số thực thay đổi thỏa mãn
x3
2
y2
2
z1
2 2 a b c 1 Giá trị nhỏ biểu thức
2
2
2 P xa y b zc (90)Câu 33 (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S1 ,
S2 ,
S3 có bán kính r 1 có tâm điểm A
0;3; 1
,
2;1; 1
B , C
4; 1; 1
Gọi
S mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu Mặt cầu
S có bán kính nhỏ bao nhiêu?A R 10 B R 10 1 C R2 1 D R2
Câu 34 (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
4
:
3
x y z
2
:
1
x y z
Trong tất mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 Gọi
S mặt cầu có bán kính nhỏ Bán kính mặt cầu
SA 12 B C 24 D
Câu 35 (ĐH Vinh Lần 1) Cho mặt cầu hai điểm
Gọi điểm thuộc mặt mặt cầu Tính giá trị nhỏ biểu thức
A B C D
Câu 36 (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi điểm M a b c
; ;
( với a b c, , tối giản) thuộc mặt cầu
2: 4
S x y z x y z cho biểu thức T 2a3b6c đạt giá trị lớn Khi giá trị biểu thức P2a b c
A 12
7 B 8 C 6 D
51
Câu 37 (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2; 3; 2) , B( 2;1; 4) mặt cầu ( ) : (S x1)2y2(z4)2 12 Điểm M a b c( ; ; ) thuộc mặt cầu ( )S cho MA MB nhỏ nhất, tính a b c
A 7
3 B 4 C 1 D 4
Câu 38 (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
2 ; ; 4
, B
3; 3; 1
mặt cầu
S : x1
2
y3
2
z3
23 Xét điểmM thay đổi thuộc mặt cầu
S , giá trị nhỏ 2MA2 3MB2A 103 B 108 C 105 D 100
Câu 39 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu
2
2:
S x y z điểm A
3; 0; ;
B
4; 2;1
Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2MBA P2 B P3 C P4 D P6 Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2
2 2
: 1
4 m
m
S x y zm
hai điểm A
2;3; 5
, B
1; 2; 4
Tìm giá trị nhỏ m để
Sm
tồn điểm M cho MA2MB292 2
( ) : (S x1) (y4) z 8 A(3;0; 0), (4; 2;1)B
M ( ).S MA2MB
(91)A m1 B m 3 C m 8 D m
Câu 41 (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu
2 2
1
( ) :S x y z 2x4y2z 2 (S2) :x2y2z22x4y2z 4 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm ( )S1 ; hai đỉnh C, D nằm (S2) Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn
A 3 B 2 C 6 D 6
Câu 42 (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Trong không gian Oxyz cho A 0; 0; 2
,B
1;1; 0
mặt cầu
: 2
1
24
S x y z Xét điểm Mthay đổi thuộc
S Giá trị nhỏ biểu thức MA +2MB bằng2A 1
2 B
3
4 C
21
4 D
19
Câu 43 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A
9; 6; 11
, B
5; ; 2
điểm M di động mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z3
2 36 Giá trị nhỏ M A2M BA 105 B 2 26 C 2 29 D 102
Câu 44 Trong không gian Oxyz, cho điểm A
0 ;1;9
mặt cầu
S : x3
2
y4
2
z4
2 25 Gọi
C giao tuyến
S với mặt phẳng
Oxy
Lấy hai điểm M N,
C cho2
MN Khi tứ diện OAMN tích lớn đường thẳng MN qua điểm số điểm đây?
A
5;5;
B 1; ;
C
12
; 3;
D
4; 6;
Câu 45 Cho mặt cầu
S : x2
2
y1
2
z3
2 9 hai điểm A
1 ; ; 3
, B
21 ; ; 13
Điểm M a
; ; b c
thuộc mặt cầu
S cho 3MA2MB2 đạt giá trị nhỏ Khi giá trị biểu thức T a b cA 3 B 8 C 6 D 18
Câu 46 (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Trong không gian Oxyz, cho điểm A
3;3; 3
, thuộc mặt phẳng
: 2x2y z 150 mặt cầu
S : x2
2
y3
2
z5
2 100 Gọi đường thẳng qua A, nằm
cắt
S hai điểm B,C Để độ dài BC lớn có phương trìnhA : 3
1
x y z
B : 3
16 11 10
x y z
C
3
:
3
x t
y
z t
D : 3
1
x y z
(92)Câu 47 (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
S có phương trình 24 2
x y z x y z điểm A
5;3; 2
Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M N, Tính giá trị nhỏ biểu thức S AM4ANA Smin 30 B Smin 20 C Smin 343 D Smin 5 349 Câu 48 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S :x2y2z2 1 Điểm M nằm
S có tọa độdương, mặt phẳng
P tiếp xúc với
S M , cắt tia Ox Oy Oz, , điểmA B C, , Giá trị nhỏ biểu thức
2
2
2
1 1
T OA OB OC
A 24 B 27 C 64 D 8
Câu 49 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :
2
x y z
d mặt cầu
S :
x3
2
y4
2
z5
2 729 Cho biết điểm A
2; 2; 7
, điểm B thuộc giao tuyến mặt cầu
S mặt phẳng
P : 2x3y4z1070 Khi điểm M di động đường thẳngd giá trị nhỏ biểu thức M AM B
A 5 30 B 2 C 5 29 D 742
Câu 50 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2
( ) : (S x1) (y1) (z 1) 6 tâm I Gọi ( ) mặt phẳng vng góc với đường thẳng :
1
x y z
d
cắt mặt cầu ( )S theo đường tròn
( )C cho khối nón có đỉnh I, đáy đường trịn ( )C tích lớn Biết ( ) khơng qua gốc tọa độ, gọi H x( H,yH,zH) tâm đường tròn ( )C Giá trị biểu thức
H H H
T x y z A 1
3 B
4
3 C
2
3 D
1
(93)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA
TRONG HHKG
A - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bước 1: Chọn hệ trục tọa
Xác định ba đường thẳng đồng quy đôi cắt sở có sẵn hình (như tam diện vng, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác …), dựa mặt phẳng vng góc dựng thêm đường phụ
Bước 2: Tọa độ hóa điểm hình khơng gian
Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết kết luận tốn Cơ sở tính tốn chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vng góc liệu tốn
Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích.
Lập phương trình đường, mặt liên quan Xác định tọa độ điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận Bước 4: Giải toán
Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải u cầu tốn hình khơng gian Chú ý cơng thức góc, khoảng cách, diện tích thể tích …
Cách chọn hệ tọa độ số hình khơng gian
Hình hộp lập phương – Hình hộp chữ nhật
Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho :
Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho:
,
Chú ý: Tam diện vng nửa hình hộp chữ nhật nên ta chọn hệ trục tọa độ tương tự hình hộp chữ nhật
Với hình hộp đứng có đáy hình thoi Chọn hệ trục tọa độ cho :
Gốc tọa độ trùng với giao điểm hai đường chéo hình thoi
Trục qua tâm đáy
Nếu
,
Chú ý: Với lăng trụ đứng có đáy tam giác cân ta chọn hệ tọa độ tương tự với gốc tọa độ trung điểm , trục qua trung điểm hai cạnh
Hình chóp đều
Oxyz
' ' ' ' ABCD A B C D (0; 0; 0),
A ( ; 0; 0),B a ( ; ; 0), (0; ; 0)C a a D a
'(0; 0; ), '( ; 0; ),
A a B a a C a a a'( ; ; ), '(0; ; )D a a
x
z
y
B' C'
D' A'
B A
D
C
(0; 0; 0), ( ; 0; 0), ( ; ; 0), (0; ; 0)
A B a C a b D b A'(0; 0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)c B a c C a b c b
' ' ' ' ABCD A B C D O
ABCD Oz
, , '
AC a BDb AA c
0; ; , ; 0; , 0; ;
2 2
a b a
A B C
z
x
y O B'
C'
D' A'
B
A D
C
; 0; , ' 0; ; , ' ; 0;
2 2
b a b
D A c B c
' 0; ; , ' ; 0;
2
a b
C c D c
' ' '
ABC A B C ABC B
AC BOx C, Oy Oz
(94)1) Hình chóp tam giác , , ta chọn hệ tọa độ cho trung điểm ,
Khi
Hình chóp từ giác , , ta chọn hệ
tọa độ cho tâm đáy Khi đó:
,
Chú ý: Ngồi cách chọn hệ trục ta chọn hệ trục cách khác
Chẳng hạn với hình chóp tam giác ta chọn , trục qua song song với Hình chóp có
1) Nếu đáy hình chữ nhật ta chọn hệ trục cho
Nếu đáy hình thoi, ta chọn hệ trục cho tâm
đáy,
Chú ý: Cho hình chóp có
S ABC ABa, SH h
O BC AOx B, Oy
3
; 0; , 0; ; ,
2
a a
A B
3 0; ; , ; 0;
2
a a
C S h
y x
z
H O
A C
B S
S ABCD AB a, SH h
O BOx C, Oy S, Oz
2 0; ; ,
2 a A
2
; 0; ,
a
B
2 0; ;
2 a
C 2; 0; ,
0; 0;
a
D S h
x y
z
O B
A
D
C S
H O Oy H BC
S ABCD SA (ABCD SA), h
, , ,
AO BOx DOy SOz
x
y z
B
A
D
C S
O ,
BOx COy Oz/ /SA
x
y z
O B
A
D
C S
(95)
Nếu đáy tam giác vuông cách chọn hệ trục hồn tồn tương tự hình chóp có đáy hình chữ nhật
Nếu đáy tam giác cân ta chọn hệ trục tọa độ hình chóp có đáy hình thoi, gốc tọa độ trung điểm cạnh
Hình chóp có
Đường cao tam giác đường cao hình chóp Nếu tam giác vng , ta chọn hệ trục cho
Khi
Chú ý:
Nếu vuông ta chọn , vuông chọn Nếu tam giác cân , cân ta chọn
Tùy vào tốn mà thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình khơng gian tổng hợp kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đơi vng góc Điểm cố định thuộc
tam giác có khoảng cách đến , , Tính
để thể tích nhỏ Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:
Vì khoảng cách từ đến mặt phẳng , , nên Suy phương trình
Vì
(1).Thể tích khối chóp :
Từ
Vậy, đạt
ABC A
S ABCD
ABC B S ABCD
AC
S ABC (SAB)(ABC)
SH h SAB
ABC A AB a AC, b
, , ,
AO BOy COx
/ /
Oz SH A
0; 0; ,
B
0; ; , ( ; 0; 0)a
C b
0; ; , (0; ; )
AH c H c S c h
z
y
x
A B
C S
H
B BO C C O
ASB S ABC C H O C, Ox B, Oy S, Oz
O ABC OA a OB, b OC, c M
ABC mp OBC
mp OCA
mp OAB
1, 2,, ,
a b c O ABC
(0; 0; 0), ( ; 0; 0),
O A a B(0; ; 0),b C(0; 0; )c
M mp OBC
mp OCA
mp OAB 1, 2, M
1; 2; 3
(ABC) : x y z
a b c
1
( )
M ABC
a b c
O ABC
x
y z
O M
A
B C
1 O ABC
V abc
3
1 3
(1) 27
6abc
a b c a b c
minVOABC 27
(96)Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , , mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh Tính theo thể tích khối chóp tính cosin góc hai đường thẳng
Lời giải
Gọi hình chiếu lên
Ta có:
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm:
Ta có
Thể tích khối chóp : Vì
Vậy
Ví dụ 3: Trên tia góc tam diện vng lấy điểm cho Gọi đỉnh đối diện với hình chữ nhật trung điểm đoạn Mặt phẳng qua cắt mặt phẳng theo đường thẳng vuông góc với đường thẳng
1 Gọi giao điểm với đường thẳng Tính độ dài đoạn thẳng ;
2 Tính tỷ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Lời giải
S ABCD ABCD 2a SA a SB a
(SAB) M N, AB BC,
a S BMDN SM DN,
H S AB SH (ABCD)
2
2 2 ,
2
SA a a
SA SB AB SA SB AH SH
AB
x
y z
N M
B
A D
C S
H
0; 0; ,
2 ; 0; ,
0; ; ,
2 ; ; ,
; 0; , ; 0;2 2
a a a
A B a D a C a a H S
; 0; ,
2 ; ; 0
M a N a a
2 2
1
.2 2
2
ADM CDN BNDM
S S a a a S a a a
S BMDN
3
1 3
.2
3 BMDN 3
a a
V SH S a
3
; 0; , ; ;
2
a a
SM DN a a SM DN a
cos ,
5
SM DN a
SM DN
SM DN a a
, ,
Ox Oy Oz Oxyz A B C, ,
, 2, ,
OA a OB a OC c ( ,a c0) D O AOBD M
BC ( ) A M, (OCD)
AM
E ( ) OC OE
C AOBD ( )
(97)Chọn hệ trục tọa độ , cho:
1 Vì trung điểm nên
Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng
Gọi giao tuyến với , ta có
Vì nên véc tơ phương
Ta có nên phương trình mặt phẳng :
Do
2 Ta có
Mà nên
Do tỷ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp mặt phẳng (hay 2)
Khoảng cách cần tìm :
Ví dụ 4: Trong khơng gian , cho hình hộp chữ nhật có
1 Tìm tọa độ đỉnh hình hộp;
2 Tìm điểm đường thẳng cho
3 Tìm điểm thuộc , thuộc cho Từ tính khoảng cách hai đường thẳng chéo
Lời giải
Oxyz (0; 0; 0), ( ; 0; 0),
O A a B
0; a 2; ,
; 2; ,
(0; 0; )D a a C c
M BC
2 0; ;
2
a c
M
(0; 0; ), ; 2;
OC c OD a a
; 2; ;
OC OD ac ac
z
x
y H
K M
G
I
D O
A
B C
E
F
(OCD)
2; 1; OCD
n ( )
F CD EF ( ) (OCD) EF AM
2 ; ;
2
a c
AM a
, (1; 2; 0),
OCD
c
n AM
EF (1; 2; 0)
EF
u
1
, 2; ;
2 EF
u AM c c a ( )
2cxcy3 2azac 0
( ) 0; 0;
3
c c
Oz E OE
2 2
( ) ; ;
3 3
a a c CF
CD F
CD
2
COADB CAOD CBOD
V V V
1
2 2
CEAFM CAEF CMEF COADB CAOD CBOD
V V V CE CF CM CE CF
V V V CO CD CB CO CD
C AODB ( )
2
2 2 2
3 2 2 6
( , ( ))
2 18
ac ac ac
d C
c c a c a
Oxyz ABCD A B C D ' ' ' '
, , , '
AO BOx DOy A Oz AB 1, AD2, AA'
E DD' B E' A C'
M A C' N BD MN BD MN, A C'
'
(98)1 Ta có
Hình chiếu lên , hình chiếu lên nên
Hình chiếu lên mp trục điểm
nên
2 Vì thuộc đường thẳng nên , suy
Mà nên
Vậy
3 Đặt
Ta có , suy
Theo giả thiết để bài, ta có:
Mà , ,
Khi trở thành
Do
Vì đường vng góc chung hai đường thẳng
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân ; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) bẳng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a
Lời giải
Vì hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng nên suy (0; 0; 0), (1; 0; 0),
A B
(0; 2; 0),
D A'(0; 0; 3)
C (Oxy) C
C Oz A
1; 2; 0
C', ', ' B C D (Oxy) Oz
, ,
B C D A'
' 1; 0; , '(1; 2; 3), '(0; 2; 3)
B C D
x
y z
B' C'
D' A'
B
A D
C
E DD' E
0; 2;z
B E'
1; 2;z3
' 1; 2;
A C
' ' ' '
B E A C B E A C
1 z z
0; 2; 4
E' ' ;
A M x A C BN y BD
' ' ' ' ; ; 3
AM AA A M AA x A C x x x
; ; 3
M x x x
; ; ; ;
AN ABBN AB y BD y y N y y
'
MN A C MN BD
( )
1 ; 2 ; 3
MN x y y x x
' 1; 2;
A C
1; 2; 0
BD
( )
53
1 4 9 14 10 61
1 4 44
61 x
x y y x x x y
x y y x x y
y 53 106 24 17 88
; ; , ; ; 61 61 61 61 61
M N
MN A C BD' ,
' ,
1
2 (2 2 )2 (3 3)2 61 61d A C BD MN x y y x x
,
B AB BC a
(99)Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, đặt
Vì trung điểm cạnh
Tọa độ đỉnh là:
Suy
Do VTPT mặt phẳng VTPT mặt phẳng Theo giả thiết ta có:
Vì trung điểm nên
Từ suy thể tích khối chóp là:
Ta có:
Suy
Vậy
B - BÀI TẬP
Câu 1: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng
ABCD
; M, N hai điểm nằm hai cạnh BC, CD Đặt BM x, DN y
0x y, a
Hệ thức liên hệ x y để hai mặt phẳng
SAM
SMN
vng góc với là:A x2 a2 a x
y
B x22a2 a x
y
C 2x2a2 a x
y
D x2 a2 a x
2y
Câu 2: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HBHC, HBC30; góc mặt phẳng
SHC
mặt phẳng
HBC
60 Tính cơsin góc đường thẳng BC mặt phẳng
SHC
? ,SA x x
/ /
MN BC N AC
(0; 0; 0), (2 ; 0; 0),
B A a
0; ; , (2 ; 0; ),
C a S a x
; 0; ,
; ; 0
M a N a a
z
y
x
N M
B
C
A S
2 ; 0;
,
0; ; 0
,
2 ; 0; 4 2
BS a x BC a BS BC ax a
; 0;
n x a
(SBC) (0; 0;1)
k
(ABC)
0 2
2
1 2 1
cos 60 12
2
4
n k a
x a x a
n k x a
,
M N AB CB,
2
1 3
4
AMN ABC BMNC ABC a
S S S S
S BMNC
2
1
.2 3
3
S BMNC BMNC
a
V SA S a a
2 ; 0; ,
; ; ,
; ; 0
BA a SN a a a BN a a
2
, 0; ; ,
BA SN a a BA SN BN a
,
, 32 3913 13
,
BA SN BN a a
d AB SN
a BA SN
(100)A
2 B
13
4 C
3
4 D
1
Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
ABCD
Gọi G trọng tâm tam giác SAB M N, trung điểm SC SD, (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng
GMN
ABCD
A 2 39
13 B
13
13 C
2 39
39 D
3
Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC 60o, BC2a Gọi D điểm thỏa mãn 3SB2SD Hình chiếu S mặt phẳng
ABC
điểm H thuộc đoạn BC cho BC4BH Biết SA tạo với đáy góc o60 Góc hai đường thẳng AD SC
A o
90 B o
30 C o
60 D o
45
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Lấy điểm M thuộc đoạn AD, điểm N thuộc đoạn BD cho AM DNx,
2 a x
Tìm x theo a để đoạn MN ngắn A
2 a
x B
3 a
x C
4 a
x D
3 a x
Câu 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA OB OCa Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AB OM
A a
B 2
3 a
C
3 a
D
2 a
Câu 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có A trùng với gốc tọa độ
O
, đỉnh B m( ;0;0), D(0; ;0)m , A(0;0; )n với m n, m n
4
Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diệnBDA M
đạt giá trị lớnA 75
32 B
245
108 C
9
4 D
64 27
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D có độ dài cạnh Gọi M,N,P, Q trung điểm cạnh AB,BC,C D DD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ
A
12 B
1
24 C
3
8 D
1
Câu 9: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cạnh a.M điển thỏa mãn
2
(101)A 30
8 B
30
16 C
30
10 D
1
Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Một đường thẳng d qua đỉnh D tâm I mặt bên BCC B Hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng
BCC B
ABCD
sao cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị bé độ dài đoạn thẳng MNA a
B 3
10 a
C 2
5 a
D 2
5 a
Câu 11: Cho hình lập phương có cạnh Chứng minh hai đường chéo hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo
nhau
A a
B 2
3 a
C
3 a
D
2 a
Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng , có đáy
.Gọi trung điểm cạnh bên , biết hai mặt phẳng vng góc với Tính sin góc hai mặt phẳng A 14
8 B
5
3 C
5
28 D
5 14 28
Câu 13: Cho lăng trụ có độ dài cạnh bên , đáy tam giác vuông hình chiếu vng góc đỉnh mặt phẳng trung điểm cạnh Tính theo thể tích khối chóp
A
4 a
B
3
2 a
C
3
8 a
D
3
12 a
Câu 14: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông, , cạnh bên Gọi trung điểm cạnh Tính theo khoảng cách hai đường thẳng
A a
B
4 a
C
2 a
D
8 a
Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác có , góc đường thẳng mặt phẳng ; tam giác vng Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác Tính thể tích khối tứ diện
theo A
3 208
a
B
3
108 a
C
3 208
a
D
3 104
a
Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng Gọi trung điểm đoạn thẳng , giao điểm Tính theo thể tích khối tứ diện
A
9 a
B
3
9 a
C
3
9 a
D
3
3 a
Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác có , góc hai mặt phẳng Gọi trọng tâm tam giác Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo
' ' ' '
ABCD A B C D a B D' '
' A B
' '
B D A B'
' ' '
ABC A B C ABa AC, ,a
1200
BAC M BB' (MAC) (MA C' ')
(MAC) (BCC B' ')
' ' '
ABC A B C 2a ABC A,
,
AB a AC a A' (ABC)
BC a A ABC'
' ' '
ABC A B C ABC AB BC a
'
AA a M BC a
, ' AM B C
' ' '
ABC A B C BB' a BB'
(ABC) 600 ABC C BAC 600 '
B (ABC) ABC
'
A ABC a
' ' '
ABC A B C ABC
, , ’ , ’
B AB a AA a A C a M A C' ' I
AM A C' a IABC
' ' '
ABC A B C ABa
A BC'
ABC
600 G A BC' (102)A a
B
4 a
C
2 a
D
8 a
Câu 18: Cho lăng trụ có đáy hình chữ nhật , Hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng trùng với giao điểm Góc hai mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
theo A
2 a
B
4 a
C
2 a
D
2 a
Câu 19: Cho hình tứ diện có cạnh vng góc với mặt phẳng ; ; Gọi trung điểm cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng
A 6 15
17 B
6 34
17 C
34
17 D
6 17
Câu 20: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, cạnh bên vng góc với đáy, , Gọi hình chiếu lên giao điểm với mặt phẳng Tính thể tích khối chóp
A
3 1863
1820 a
B
3 1873
1820 a
C
3 1863
182 a
D
3 1263
1820 a
Câu 21: Cho hình chóp có đáy hình thang vng ; ; góc hai mặt phẳng Gọi trung điểm cạnh Biết hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
, tính thể tích khối chóp theo A
3
3
5 a
B
3 15 a
C
3
3 15
5 a
D
3
8 15
5 a
Câu 22: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, , vng góc với Gọi trung điểm cạnh Gọi giao điểm Chứng minh vng góc với Tính thể tích khối tứ diện A
3 12 a
B
3 a
C
3 15 a
D
3 36 a
Câu 23: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi trung điểm cạnh
Tính thể tích khối tứ diện A
3 32 a
B
3 a
C
3 96 a
D
3 96 a
Câu 24: Cho hình chóp tứ giác có đáy hình vng cạnh Gọi điểm đối xứng qua trung điểm trung điểm , trung điểm Chứng minh
vng góc với tính ( theo ) khoảng cách hai đường thẳng A
4 a
B
2 a
C
4 a
D
8 a
1 1
ABCD A B C D ABCD ABa ADa
1
A
ABCD
AC BD
ADD A1 1
ABCD
600 B1
A BD1
aABCD AD
ABC
AC AD 4cm3
AB cm BC 5cm M N, BD BC,
CM AN
S ABCD ABCD SA
,
AB a AD a SA3a M N, A SB SD, P
SC (AMN) S AMPN
S ABCD ABCD A B
2 ;
AB AD a CBa (SBC)
ABCD
600 IAB
SDI
SCI
ABCD
S ABCD a
S ABCD AB a, AD 2a SAa
( )
mp ABCD M N, AD SC, I
,
BM AC mp SAC( ) (SMB) ANIB
S ABCD a SAD
, ,
M N P SB BC CD, ,
CMNP
S ABCD a E
D SA M AE N BC
(103)Câu 25: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Gọi trung điểm cạnh ; giao điểm Biết vuông góc với mặt phẳng Tính khoảng cách hai đường thẳng theo A 57
19 a
B 2 57
19 a
C 2 37
19 a
D 57
38 a
Câu 26: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh bên ; hình chiếu vng góc đỉnh mặt phẳng điểm thuộc đoạn Gọi đường cao tam giác Chứng minh trung điểm tính thể tích khối tứ diện theo
A
14 48 a
B
3 12 a
C
3 32 a
D
3 14 24 a
Câu 27: Cho hình chóp có đáy tam giác cân , vng
góc với mặt phẳng đáy Hai mặt phẳng tạo với góc Gọi trung điểm cạnh Tính thể tích khối chóp
A
3 3888 a
B
3 3888 a
C
3 1233 a
D
3 14 24 a
Câu 28: Cho hình chóp tam giác có độ dài cạnh đáy Gọi trung điểm Tính theo diện tích , biết vng góc với
A
10 16 a
B
2 16 a
C
2 10 a
D
2 10 32 a
Câu 29: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh Cạnh bên vuông góc với Gọi hình chiếu lên Tính thể tích khối chóp A 14 48 a
B
3
3
25 a
C
3 50 a
D
3
3
50 a
Câu 30: Cho hình chóp có đáy tam giác vng , ; mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Biết Tính thể tích khối chóp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo
A 6 a
B 6
7 a
C
7 a
D 6
15 a
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình chóp có đáy hình thang
vng với ; thuộc tia , thuộc tia thuộc
tia Đường thẳng tạo với góc thỏa Gọi trung điểm cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A a
B
4 a
C
2 a
D
2 a
Câu 32: Cho lăng trụ có cạnh đáy Gọi trung điểm , biết Chọn hệ trục cho thuộc tia , thuộc tia thuộc miền góc Trên cạnh lấy điểm thỏa
Tính thể tích khối đa diện
S ABCD ABCD a M N
AB AD H CN DM SH
(ABCD) SH a DM SC a
S ABCD ABCD a SA a
S (ABCD) H ,
4 AC
AC AH CM
SAC M SA
SMBC a
S ABC ABC AB AC a, BAC 1200 SA
(SAB) (SBC) 600 M N, ,
SB SC S AMN
S ABC a M N, SB SC,
a AMN (AMN) (SBC)
S ABC a SA 2a
( )
mp ABC M N, A SB SC,
A BCMN
S ABC ABC B BA, 3a BC4a
(SBC) (ABC) SB 2a SBC 300
S ABC B (SAC) a
Oxyz S ABCD ABCD
,
A B AB BC a AD; 2a A O B, Ox D Oy S
Oz SC BD cos
30
E
AD S BCE
' ' '
ABC A B C a M CC'
'
AM B M Oxyz AO, C Ox A' Oz B
xOy A B' ', 'A C', BB' N P Q, , A N' NB' ' ' , '
(104)A
13
12 a
B
3 24 a
C
3
13
12 a
D
3
13
24 a
Câu 33: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh , cạnh bên có độ dài Tính độ dài cạnh cho hình chóp tích lớn
A
3 B
5
2 C
6
2 D
3
Câu 34: Tứ diện có tâm có độ dài cạnh Gọi theo thứ tự hình chiếu đỉnh đường thẳng qua Tìm GTLN
A 7
4 B
7
3 C
4
3 D
1
Câu 35: (THPT-Chun-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh
SA BC, biết a
MN Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng
SBD
A
5 B
3
3 C
5
5 D
Câu 36: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC
CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN A 93
12 a
B 29
8 a
C 5
12 a
D 37
6 a
Câu 37: (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy hình thoi, tam giác ABD Gọi M N, trung điểm BC C D , biết MN B D Gọi
góc tạo đường thẳng MN mặt đáy
ABCD
, giá trị cos A cos3
B cos
2
C cos
10
D cos
2
Câu 38: (Đặng Thành Nam Đề 14) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;2), B(−2;0;5), C(0;−1;7) Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm S Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Biết S di động d (S ≠ A) đường thẳng HK ln qua điểm cố định D Tính độ dài đoạn thẳng AD
A AD3 B AD6 C AD3 D AD6
Câu 39: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho điểm A
1;0;0
, B
0; 1; 0
, C
0; 0;1
, D
1; 1;1
Mặt cầu tiếp xúc cạnh tứ diện ABCD cắt
ACD
theo thiết diện có diện tíchS Chọn mệnh đề đúng? A
3
S B
6
S C
4
S D
5
S
Câu 40: (THTT số 3) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân C, AB2a , AA a, góc BCvà
ABB A
60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm
BB Tính khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng
BC N
S ABCD 1cm SA SB SC, ,
1cm SD S ABCD
ABCD S A B C D, , ,
, , ,
A B C D S
4 4
(105)A 2 74 37 a
B 74
37 a
C 2 37
37 a
D 37
37 a
Câu 41: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Cho tứ diện SABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SAAB3cm, BC5cm diện tích tam giác SAC 6cm2 Một mặt phẳng
thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt cạnh AS, AB, AC M N P, , Tính giá trị nhỏ Tm biểu thức T 2 2 12
AM AN AP
A
17 m
T B 41
144 m
T C
10 m
T D
1 34 m
T
Câu 42: (Nguyễn Khuyến)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a, cạnh bên
SA avà vng góc với mặt phẳng đáy Gọi
M
là trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng (AMC)và (SBC)A
2 B
2
3 C
5
5 D
2 5
Câu 43: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành, AB3, AD4, BAD120 Cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy
ABCD
Gọi M , N , P trung điểm cạnh SA, AD BC, góc hai mặt phẳng
SAC
MNP
Chọn khẳng định khẳng định sau đây:A
60 ; 90
B
0 ; 30
C
30 ; 45
D
45 ; 60
Vậy: cos 3 24 13 3 26
Suy ra:
78 41'24''Câu 44: (Yên Phong 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh Các điểm M , N thuộc đoạn A B A D cho hai mặt phẳng
MAC
NAC
vng góc với Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp A A MC N A 3
B
3
C
3
D
3
(106)TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÝ THUY
Ế
T CHUNG
1 Véc tơ không gian
* Định nghĩa
Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu
Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép toán vecto không gian xác định tương tự mặt phẳng
2 Vecto đồng phẳng
* Định nghĩa: Ba vecto a b c , , khác 0 gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng
Chú ý:
n vecto khác 0 gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng
Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo
* Điều kiện để vecto khác 0đồng phẳng Định lý 1:
, ,
a b c đồng phẳng m n, : ambnc * Phân tích vecto theo ba vecto khơng đồng phẳng
Định lý 2: Cho vecto e e e 1, 2, 3 không đồng phẳng Bất kì vecto a
khơng gian phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có ba số thực
x x x1, 2, 3
1 2 3 ax e x e x e
Chú ý: Cho vecto a b c, ,
khác 0: a b c, ,
đồng phẳng có ba số thực , ,m n p không đồng thời cho: manbpc0
2 a b c, ,
không đồng phẳng từ manb pc0mn p0 3 Tọa độ vecto
Trong không gian xét hệ trục Ox ,yz có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng
Oxy
O Các vecto đơn vị trục Ox,Oy Oz,
1; 0; ,
0;1; ,
0;0;1
i j k
a) a
a a a1; 2; 3
aa i1a j2a k3b) M x
M,yM,zM
OMx iMyMjz kM c) Cho A x
A,yA,zA
,B x
B,yB,zB
ta có:
B A; B A; B A
AB x x y y z z AB
xBxA
2
yByA
2
zBzA
2 d) M trung điểm AB ; ;2 2
B A B A B A
x x y y z z
M
e) Cho a
a a a1; 2; 3
b
b b b1; 2; 3
ta có:D3
D1 D2
a b
c
Δ1
Δ2 Δ3
(107)1
2
3
a b
a b a b
a b
1; 2; 3
a b a b a b a b
3
; ;
k a ka ka ka
1 2 3cos ;
a b a b a b a b a b a b
2 2
1
a a a a
1 2 32 2 2
1 3
cos cos ;
a b a b a b a b
a a a b b b
(với a0,b0
) a b vuông góc: a b 0a b1 1a b2 2 a b3 3 0
a b phương:
1
2
3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
4 Tích có hướng ứng dụng
Tích có hướng a
a a a1; 2; 3
b
b b b1; 2; 3
là:
2 3 1
2 3 1 2 3 1
, a a ;a a ;a a ; ;
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
a Tính chất:
, , ,
a b a a b b
, sin ,
a b a b a b
a b phương: a b , 0 , ,
a b c
đồng phẳng a b c , 0 b Các ứng dụng tích có hướng
Diện tích tam giác: , ABC
S AB AC Thể tích tứ diện ,
6 ABCD
V AB AC AD
Thể tích khối hộp: VABCD A B C D ' ' ' ' AB AD, .AA'
5 Một số kiến thức khác
a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA
k MB
ta có:; ;
1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
với k 1
b) G trọng tâm tam giác ; ;
3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
ABC x y z
(108)B - CÁC D
ẠNG TOÁN CƠ BẢ
N
Dạng A B C, , thẳng hàng AB AC,
phương AB AC, 0
Dạng A B C, , ba đỉnh tam giác A B C, , không thẳng hàng AB AC,
không phương
,
AB AC
Dạng G x
G;yG;zG
trọng tâm tam giác ABCthì:; ;
3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
Dạng Cho ABCcó chân E F, đường phân giác ngồi gócAcủa ABC trênBC Ta có: EB AB.EC
AC
, FB AB.FC AC
Dạng ,
2 ABC
S AB AC
diện tích hình bình hành ABCDlà: SABCD AB AC,
Dạng Đường cao AH củaABC: ABC
S AH BC
, 2.S ABC AB AC AH
BC BC
Dạng TìmDsao cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto ABDC
hoặc ADBC tọa độD
Dạng Chứng minh ABCD tứ diện AB AC AD; ;
không đồng phẳng AB AC AD, 0
Dạng G x
G;yG;zG
trọng tâm tứ diện ABCD thì:; ;
4 4
A B C D A B C D A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x y z
Dạng 10 Thể tích khối tứ diệnABCD: ,
6 ABCD
V AB AC AD
Dạng 11 Đường cao AH tứ diệnABCD:
3 BCD BCD
V
V S AH AH
S
Dạng 12 Thể tích hình hộp: VABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA, '
Dạng 13 Hình chiếu điểm A x
A;yA;zA
lên mặt phẳng tọa độ trục: Xem lại mục 1, công thức 17, 18Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ:
(Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độđó, có mặt tọa độ để nguyên tọa độđó)
OXY
: A x1
A;yA;zA
OXZ
: A2
xA;yA;zA
OYZ
: A3
xA;yA;zA
OX
: A4
xA;yA;zA
OY
: A5
xA;yA;zA
OZ
: A6
xA;yA;zA
Qua gốc O: A7
xA;yA;zA
C – BÀI T
Ậ
P TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M
Câu 1: Cho bốn điểm S
1, 2, ;
A
2, 2, ;
B
1, 3, ;
C
1, 2,
Gọi M N P, , trung điểm ,BC CA AB Khi SMNP là:
A Hình chóp B Hình chóp C Tứ diện D Tam diện vuông Lời giải
Tam giác: ABC có ABBCCA 2
2
MN NP PM
(109)
1; 0; ;
0;1;0 ;
0;0;1
SA SB SC
SA SB SA SB
Tương tự SASC SB, SC
Các tam giác vuông SAB SBC SCA, , vng S, có trung tuyến:
2
2
AB
SPSM SN MN NPPM Ta có: SP
SAB
;SM
SBC
;SN
SCA
, ,
SP SM SN
không đồng phẳng SMNP
tứ diện Chọn C
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm
2; 0; ,
3; 1; ,
2; 2; 0
A B C Điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là: A D
0; 3; 1
B D
0; 2; 1
C D
0;1; 1
D D
0; 3; 1
Lời giải Do D
Oyz
D
0; ;b c
với c0Theo giả thiết: ,
1 1
0; ; 1
1
c loai
d D Oxy c D b
c Ta có AB
1; 1; ,
AC
4;2;2 ,
AD
2; ;1b
Suy AB AC,
2;6; 2
AB AC AD, 6b6Cũng theo giả thiết, ta có: ,
1
ABCD
b
V AB AC AD b
b Chọn D
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
1; 2; 0
, B
3; 4;1
, D
1; 3; 2
Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB, CD có góc C 45 A C
5; 9; 5
B C
1; 5; 3
C C
3;1;1
D C
3; 7; 4
Lời giải Chọn D
Cách AB(2; 2;1)
Đường thẳng CD có phương trình
1
:
2
x t
CD y t
z t
Suy C
1 ; ; 2t t t
;CB(4 ;1 ; 1 t t t), CD ( ; ;t t t)Ta có
2 2 2
(4 )( ) (1 )( ) ( )( ) cos
(4 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t t t t
BCD
t t t t t t
Hay
2 2 2
(4 )( ) (1 )( ) ( )( )
2
(4 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t t t t
t t t t t t
(1)
Lần lượt thay t 3;1; 1; 2 (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C phương án A, B, C, D), ta thấy t 2 thoả (1)
Cách
M N
P A
B
(110)Ta có AB(2; 2;1),AD ( 2;1; 2) Suy ABCD
AB AD Theo giả thiết, suy DC 2AB Kí hiệu C a b c( ; ; ), ta có
( 1; 3; 2)
DC a b c
, 2AB(4; 4; 2)
Từ C(3; 7; 4)
Câu 4: Cho ba điểm A
3;1; ,
B
0; 1; ,
C
0; 0; 6
Nếu tam giác A B C thỏa mãn hệ thứcA A B B C C
có tọa độ trọng tâm là:
A
1; 0;
B
2; 3;
C
3; 2;
D
3; 2;1
Lời giảiChọn A
* Cách diễn đạt thứ nhất:
Gọi G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ Với điểm T khơng gian có:
1 : A A B B C C' ' ' 0
TA TA '
TB TB '
TC TC '
0
' ' '
TA TB TC TA TB TC
Hệ thức (2) chứng tỏ Nếu T G tức TA TB TC 0 ta có TA 'TB'TC'0 hay T G' hay (1) hệ thức cần đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm Ta có tọa độ G là: 0 1 0 6; ;
1; 0; 2
3 3
G
Đó tọa độ trọng tâm G’ A B C' ' ' * Cách diễn đạt thứ hai:
Ta có: AA'BB'CC'0 (1)
A G' ' G G' GA
B G' ' G G' GB
C G' ' G G GC'
GA GB GC
A G' ' B G' ' C G' '
'G G (2)Nếu G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa
' ' ' ' ' '
GA GBGC A G B G C G
2 G G ' 0G'GTóm lại (1) hệ thức cần đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm Ta có tọa độ G là: 0 1 0 6; ;
1; 0; 2
3 3
G
Đó tọa độ trọng
tâm G’ A B C' ' '
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M
3; 0; ,
N m n
, , ,
P
0; 0;p
Biết
13, 60
MN MON , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức Am2n2p2
A 29 B 27 C 28 D 30
Lời giải
3;0; ,
; ; 0
OM ON m n OM ON m0
2
1
cos 60
2
OM ON m
OM ON OM ON
OM ON m n
D C
(111)
23 13
MN m n
Suy m2;n 2
1
, 6 3
6
OM ON OP p V p p
Vậy A 2 2.12 3 29
Câu 6: Cho hình chóp S ABCD biết A
2; 2; ,
B
3;1; ,
C
1; 0; ,
D
1; 2; 3
Gọi H trung điểm CD, SH
ABCD
Để khối chóp S ABCD tích 272 (đvtt) có hai điểm S S1, 2 thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I S S1 2
A I
0; 1; 3
B I
1; 0; 3
C I
0;1; 3
D I
1; 0;
Lời giảiTa có
1; 1; ,
1; 2;1
, 32
ABC
AB AC S AB AC
2; 2; ,
1; 1; 2
DC AB DC AB
ABCD
hình thang
3
2 ABCD ABC
S S
Vì . 3
3
S ABCD ABCD
V SH S SH
Lại có H trung điểm CD H
0;1; 5
Gọi S a b c
; ;
SH
a;1b;5c
SH k AB AC , k
3;3;3
;3 ;3k k k
Suy 2
3 3 9k 9k 9k k 1 +) Với k 1 SH
3;3;3
S
3; 2; 2
+) Với k 1 SH
3; 3; 3
S
3; 4;8
Suy I
0;1; 3
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, B(3; 0;8), D( 5; 4; 0) Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) có tọa độ số nguyên, CA CB bằng:
A 5 10 B 6 10 C 10 D 10
Lời giải
Ta có trung điểmBD I( 1; 2; 4) ,BD12và điểmAthuộc mặt phẳng (Oxy) nên A a b( ; ;0) ABCD hình vng
2
2
2
2
AB AD
AI BD
2 2 2
2 2
( 3) ( 5) ( 4)
( 1) ( 2) 36
a b a b
a b
2
4
( 1) (6 ) 20
b a
a a
1 a b
17
14 a b
A(1; 2; 0) 17; 14;
5
A
(loại) Với A(1; 2; 0) C( 3; 6;8)
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
4; 2; ,
B
2; 4; ,
C
2; 2;1
Biết điểm
; ;
H a b c trực tâm tam giác ABC Tính S a b 3c
(112)Lời giải Chọn B
Ta có: HA
4a; 2b;c
,HB
2a; 4b;c
,BC
0; 2;1 ,
AC
2; 0;1
, 2; 2; , 2 2 12
BC AC BC AC HA a b c a b c
Vì H trực tâm tam giác ABCnên:
7
2 2 4
7
2
3
2
2 12
, 2
3 a
HB AC a c a c
HA BC b c b c b S a b c
a b c
a b c
BC AC HA
c
Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A a
; 0; ,
B
1; ; ,b
C
1; 0;c
với a b c, , số thực thay đổi cho H
3; 2;1
là trực tâm tam giác ABC Tính S a b c A S 2 B S19 C S11 D S 9Lời giải Chọn B
Để H
3; 2;1
là trực tâm tam giác ABC
AH BC BH AC
H ABC
3 ; 2;1 ,
0; ;
AH a BC b c
2; ;1 ,
1 ; 0;
BH b AC a c
Ta có AH BC 0 2b c 0c2b
BH AC a c
, thay c2b ta a b
Khi AB
b b; ; 0
AB phương với u
1;1; 0
, AC
b; 0; 2b
AC phương với v
1; 0; 2
Ta cóu v ,
2; 2;1
Để H
ABC
khi u v AH, ,
đồng phẳng
11, ,
2
u v AH a a b c
Vậy a b c 19
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
4; 0; ,
B a b
; ; ,
C
0; 0;c
với
a b c, , 0
thỏa mãn độ dài đoạn AB2 10, góc AOB45 thể tích khối tứ diện OABC Tính tổng T a b cA T 2 B T 10 C T12 D T14 Lời giải
Chọn D
1
.sin
3
OABC OAB
V S OC OA OB OC AOB 2
.4
6 a b
c2
a2b2
288 Lại có AB
a4
2b2 2 10
a4
2b2 40Theo định lí hàm số cơ-sin ta có:
2 2 2 2
2 .cos 45 16 40
(113)2 72
a b
288 4 72 c
c 2; 8a16 72 40 a 6 b Vậy T 6 14
Câu 11: (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong khơng gian Oxyz cho điểm A
5;1;5
, B
4 ; 3; 2
, C
3; ;1
Điểm I a b c
; ;
tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a2b c ?A 1 B 3 C 6 D 9
Lời giải Chọn B
Cách 1:
1; 2; 3
AB
, AC
8; 3; 4
Gọi M , N trung điểm AB, AC
9
; 2;
2
1 1; ;3
2 M N
Gọi n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng
ABC
n AB AC,
17 ; 20;19
ABC
: 17 x20y19z300I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
IM AB
IN AC
I ABC
9
2
2
1
1 3
2
17 20 19 30
a b c
a b c
a b c
2 11
37
8
2
17 20 19 30
a b c
a b c
a b c
1 a b c
Vậy 2 3
2 a b c
Cách 2:
Ta có AB
1; 2; 3
BC
; 5; 1
AB BC 0 ABCvuông B Vì I tâm đường trịn ngoại tiếp ABC nên I trung điểm ACVậy 1; 1;3 2 3
2
I a b c
Câu 12: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có A
; 1;1
, hai đỉnh B C, thuộc trục Oz AA 1 (C không trùng với O) Biết véctơ u
a b; ; 2
với a b, véctơ phương đường thẳng A C Tính T a2b2A T 5 B T 16 C T 4 D T 9
(114)Gọi M trung điểm BC Khi có AM BC
AA BC
BC A M
M M hình chiếu A trục Oz (vì đường thẳng BC trục Oz)
; 1;1
A M
0; 0;1
A M 2Ta có: 2
AM A M AA Mà tam giác ABC nên 3
AM BC BC2
1 MC
Vì C thuộc trục Oz C không trùng với O nên gọi C
0 ; ;c
, c0
0; 0; 1
MC c
1
MC c
1
MC c1 1 (L) c
c
0 ; ; C
;1;1
A C
véctơ phương đường thẳng A C
u
; 2; 2
cũng véctơ phương đường thẳng A C Vậy a 2 3;b2T a2b2 16Câu 13: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, ; có tọa độ ba đỉnh A
1; 2;1 ,
B
2; 0; ,
C
6;1; 0
Biết hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D a b c
; ;
, tìm mệnh đề đúng?A a b c 6 B a b c 5 C a b c 8 D a b c 7 Lời giải
Chọn C
Cách 1:
1; 2; ;
5; 1; ;
6 ;1 ;
AB AC DC a b c
Ta có , 9
2 2
ABC ACD
S AB AC S
M
A C
B
A'
B'
C'
D C
(115)AB//CD nên AB
DC phương, chiều
12 13
6
0
1 2
1
c a
b a
a b c
a b c
, 0;9 54;54
AC AD a a
19
3 3
, 54
17
2 2
3 ACD
a
S AC AD a
a
So với điều kiện suy ra: 17
a a b c Cách 2:
Ta có 3;
,
1623 AB hd C AB
162
3
2
ABCD h
S AB CD CD CD
Suy 17 2; ;
3 3
AB DCD a b c
Câu 14: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz, cho hình thang cânABCD có đáy AB CD, Biết A
3;1; 2
, B
1; 3; 2
, C
6; 3; 6
; ;
D a b c với a b c; ; Tính T a b c
A. T 3 B T 1 C T 3 D T 1 Lời giải
Chọn A
Cách 1: Ta có AB
4; 2; ;
CD
a6;b3;c6
Do ABCD hình thang cân nên CDk AB
k
hay 62
a b c
2 a b
c a
Vậy ; ;
a D a a
Lại có AC BD AC2 BD2
2
2 2 2
9
2 a
a a
2
4 60
10 a
a a
a
Với a 10D
10; 5;10
Kiểm tra thấy: ABCD (Không thỏa mãn ABCD hình thang cân)Với a6D
6; 3; 6
Kiểm tra thấy:
3 AB CD ( thỏa mãn) Do đó, T a b c 6Cách
(116)Do ABCD hình thang cân nên AB CD; ngược hướng hay 6
2
a b c
2 a b
c a
a
Vậy ; ;
a D a a
với a 6
Lại có AC BD AC2 BD2
2
2 2 2
9
2 a
a a
2
4 60
10( ) a
a a
a L
Với a6D
6; 3; 6
Do đó, T a b c 6 Cách
+ Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB( mp trung trực đoạn thẳng CD)
+ Gọi mp
mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB, suy mp
qua trung điểm
1; ; 0
I đoạn thẳng AB có vectơ pháp tuyến
2;1; 2
n AB , suy phương trình mp
:
: 2 xy2z0+ Vì C D, đối xứng qua mp
nên
6 ; 3; 6
; 3;D a b c T a b c
Công thức trắc nghiệm: Xác định toạ độ điểm M
x y z1; 1; 1
điểm đối xứng điểm
0; 0; 0
M x y z qua mp
:ax by czd0
a2b2c2 0
1
0 0
1 2
1 2a
z
2 ,
2
x x k
ax by c d
y y bk k k
a b c
z z ck
Câu 15: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
0 ; 1; 2
A , B
2 ; 3; 0
, C
2 ;1;1
, D
0 ; 1; 3
Gọi
L tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng thức MA MB MC MD 1 Biết
L đường tròn, tính bán kính đường trịn đó?A
2
r B 11
2
r C
2
r D
2 r Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Chọn D
* Trước tiên, ta xét tốn phụ sau:
“Trong khơng gian cho đoạn thẳng AB bất kì, có trung điểm I Chứng minh tập hợp
điểm M thỏa mãn MA MB k 0 mặt cầu tâm I bán kính R kIA ” Thật vậy:
2(117)
2 MI k IA
hay
IM kIA
Suy M thuộc mặt cầu tâm I , bán kính R kIA2
* Áp dụng: Có I
1; ;1
J
1; 0; 2
trung điểm đoạn thẳng ABvà CD Sử dụng kết tốn trên, ta có:+ Từ điều kiện MA MB 1
, suy M thuộc mặt cầu tâm I , bán kính R12 (1) + Từ điều kiện MC MD 1
, suy M thuộc mặt cầu tâm J, bán kính R2 2 (2) Ta có R1R2 0IJ 3 R1R2 4 (3)
Từ (1), (2) (3) suy M thuộc đường tròn giao tuyến hai mặt cầu nêu + Gọi K tâm đường trịn giao tuyến
Suy bán kính cần tìm
2
2 2
2
2
rKM IM IK
Câu 16: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyz, cho điểm A
0; ; 0
,
0; 0; 2
B , điểm C
Oxy
tam giác OAC vng C, hình chiếu vng góc O BC điểm H Khi điểm H ln thuộc đường trịn cố định có bán kínhA 2 B 4 C D 2
Lời giải Chọn D
+) Dễ thấy B Oz Ta có A
Oxy
và C
Oxy
, suy OB
OAC
+) Ta có AC OCAC OB
AC OBC
, mà OH
OBC
Suy ACOH
1 Mặt khác ta có OH BC
2 , (theo giả thiết)H
I
O C
A B
P
(T)
K I
(118)Từ
1
2 suy OH
ABC
OHAB OH HA+) Với OH AB suy H thuộc mặt phẳng
P với
P mặt phẳng qua O vng góc với đường thẳng AB Phương trình
P là: y z+) Với OHHA OHA vuông H Do H thuộc mặt cầu
S có tâm I
0; 2 ; 0
trung điểm OA bán kính 22 OA
R
+) Do điểm H ln thuộc đường tròn
T cố định giao tuyến mặt phẳng
P với mặt cầu
S+) Giả sử
T có tâm K bán kính r IK d I
,
P
2 2 r R IK Vậy điểm H ln thuộc đường trịn cố định có bán kínhCâu 17: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC với A
2 ; ; 3
; B
1; ; 4
; C
2 ; 1; 2
Biết điểm E a b c
; ;
điểm để biểu thức P EA EB EC đạt giá trị nhỏ Tính T a b cA T 3 B T 1 C T 0 D T 1 Lời giải
Chọn B
Gọi G trọng tâm tam giác ABCG
1; 1;1
Ta có: P EA EB EC 3EG 3EG0Pmin 0 EG
1; 1;1
T 1Câu 18: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm
1; 3; 4
A , B
9; 7; 2
Tìm trục Ox toạ độ điểm M cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏA M
5; 0; 0
B M
2; 0; 0
C M
4; 0; 0
D M
9; 0; 0
Lời giảiChọn C
Gọi M x
; 0; 0
Ox
22 2
1
MA x
22 2
9
MB x
Suy MA2MB2 2x216x1602
x4
2128 128, x Nên MA2MB2 đạt giá trị nhỏ 128 x4 Vậy M
4; 0; 0
Câu 19: (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz , cho điểm A
1;1; ;
B
0; 1; 3
Xét điểm M thay đổi mặt phẳng
Oxz
, giá trị nhỏ OM2MA3MB bằng?A 1 B 3
2 C
1
2 D
1 Lời giải
Chọn A
Chọn I a b c
; ;
thỏa OI2IA3 IB0 1; 1;2 4
I
(119)2
OM MA MB
nhỏ 4MI nhỏ nhấtMI
Oxz
Lúc
4MI 4d I Oxz; 1
Câu 20: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
2; 4; 1
A , B
1; 4; 1
, C
2; 4; 3
, D
2; 2; 1
, biết M x y z
; ;
để MA2MB2MC2MD2 đạt giá trị nhỏ xyzA. B 21
4 C 8 D.9
Lời giải Chọn B
Xét điểm I a b c
; ;
thỏa mãn IAIBICID0 Khi 7; ;0 I
Ta có MA2 MB2MC2MD2
MI IA
2 MI IB
2 MI IC
2 MI ID
2
2 2 2
4MI 2MI IA IB IC ID IA IB IC ID
2 2 2 2 2
4MI IA IB IC ID IA IB IC ID
( MI20 với điểm M )
Dấu "" xảy M I tức 7; ;0 7
4
M x y z
21 Câu 21: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz, cho OA i j3k
, B
2; 2;1
Tìm tọa độ điểmM
thuộc trục tung cho 2MA MB nhỏ A M
0; 2;0
B 0; ;032 M
C M
0; 3;0
D M
0; 4;0
Lời giảiChọn B
Cách 1: Do MOy nên M
0 ; ; 0y
Tính 2
2 20
MA MB y y f y
Do f y
nhỏ y Vậy 0; ;03
M
Cách 2: Ta có: A
1;1; 3
GọiI
trung điểmAB
Suy 3; ; 2 I
Khi đó: MA2MB2 MA2MB2
MIIA
2 MIIB
2
2 2
2
MI IA IB MI IA IB
2 2
2
MI IA IB
2
MI
Do MA2MB2 đạt giá trị nhỏ
MI
có độ dài ngắn nhất, điều xảyM
hình chiếu vng gócI
trục tungPhương trình mặt phẳng
P quaI
vng góc với trục tung
3
0 1
2
x y z hay
3
:
2
P y
Phương trình tham số trục tung
0 x y t z
(120)
0
0 x y t z y
0 x y z
Vậy 0; ;03
M
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
1;1;1
,B
2;1; 0
,C
2; 3;1
.Điểm
; ;
S a b c cho SA22SB23SC2 đạt giá trị nhỏ Tính T a b c
A
2
T B T 1 C
3
T D
6 T Lời giải
Chọn D
Gọi
G
điểm cho 1; 1;2
GA GB GC G
2
2
22 2
2 2
2 2
2 3
6
SA SB SC SA SB SC SG GA SG GB SG GC SG GA GB GC
2 2
SA SB SC nhỏ
S
G
hay 1; 1;2
S
.Nên T
6
Câu 23: (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian Oxyz, cho điểm A
2 ; ; ,t t
B
0; 0;t
với t0 Cho điểm P di động thỏa mãn OP AP OP BP AP BP 3 Biết có giá trị t ab với ,
a b nguyên dương a
b tối giản cho OP đạt giá trị lớn Tính giá trị Q2a b ?
A 5 B 13 C 11 D 9
Lời giải Chọn C
Ta có: OA OB 0 nên
OP AP OP BP AP BP
OP OP OA OP OP OB OP OA OP OB
2
3OP 2OP OA OB
Giả sử P x y z
; ;
phương trình (1) trở thành
2 2
2 2
3 x y z 3 2t x2yz 3 2t 4 1 x y z Hay
2
3OP 3 6tOPOP 2tOP 1
2
1
t t OP t t
Từ giả thiết suy
t t t Vậy Q2a b 11
Câu 24: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B m( ; 0; 0), D(0; ;0)m , A(0; 0; )n với m n, 0 m n 4 Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn
A 245
108 B
9
4 C
64
27 D
(121)Lời giải
Tọa độ điểm ( ; ; 0), ( ; ;; ), ; ; n C m m C m m n M m m
; 0;
,
; ; ,
0; ;2 n BA m n BD m m BM m
2
, ; ;
BA BD mn mn m
2
,
6
BDA M
m n V BA BD BM
Ta có
3
2
2 512 256
.(2 )
3 27 27
m m n
m m n m n
64 27 BDA M V
Chọn C
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
3; 2; ,
B
1; 4; 4
điểm
0; ;
C a b thỏa mãn tam giác ABC cân C có diện tích nhỏ Tính S 2a3b A 62
25
S B 73
25
S C 239
10
S D 29
5 S Lời giải
Chọn A
Ta có: AB
4; 6; ,
AC
3;a2;b4
Điều kiện để A B C, , ba đỉnh tam giác là:
2
1
6
4
4
2
8
a
a b
b
Gọi I trung điểm AB ta có: I
1;1; 0
Tam giác ABC cân C nên CI AB CI AB 01.
4
1a
.6
b
8
0
3
6 1
4 a
a b a b b
Diện tích tam giác ABC là: ABC
S CI AB.Do diện tích tam giác ABC nhỏ CI nhỏ
Khi đó: CI 1
1a
2
0b
2 2a22ab2
2 Thay (1) vào (2) ta có:z
y
x m
n
m D'
C' B' A'
D
C
(122)2 2
2 25 38 33 19 464 29
2
4 16 25 20
a a a
CI a a a
Vậy CI nhỏ 19 62
25 25 25
a b S a b
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A
2; 2; ,
B
2; 0; 2
điểm M a b c
, ,
với a b c, , số thực thay đổi thỏa mãn a2b c 1 Biết MAMB góc AMB có số đo lớn Tính S a 2b3cA 16 11
S B 15
11
S C
11
S D
11 S Lời giải
Chọn B
Vì MAMB nên M thuộc mặt phẳng trung trực
P đoạn AB Ta có
P :yz0 nên2 1
b c c b
a b c a b
1 ; ;
,
1 ; ;
MA b b b MB b b b
2
2 2 2
1 2
cos
1 3 2 3 2
b b b
MA MB AMB
MA MB b b b b b b
2 2
2 2
9 11
9 4 11
b b b b b b
b b b b b b
Xét
211
11
b b
f b
b b
có
2
4 22
0
11 11
b
f b b
b b
Nhận thấy f b
nhỏ 14,11 11 11
b a c
Nên 14 15
11 11 11 11
a b c
Câu 27: Trong không gian Oxyzcho ba điểm M
2;3; , N
1;1;1 , P 1; m 1; 2
Tìm giá trị nhỏ số đo góc MNPA arccos
85 B
6 arcsin 85 C arccos D arcsin Lời giải Chọn A cos
17. 4 9
NM NP m
MNP
NM NP m m
Để số đo góc MNPnhỏ
2
cos
17. 4 9
NM NP m
MNP
NM NP m m
là số dương lớn Khi
2 2
2
cos
17 17
NM NP m m
MNP
NM NP m m m m
Xét hàm số
2
2
2
1
( )
9
4 1 5
3
m f m
m m
m m m
2
2
cos
17 17 85
NM NP m m
MNP
NM NP m m m m
(123)Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho hai điểm , Giả sử , hai điểm thay đổi mặt phẳng cho hướng với Giá trị lớn
A. B. C. D.
Lời giải Chọn A
Vì hướng với nên
Hơn nữa, Suy
Gọi điểm cho
Dễ thấy điểm , nằm phía so với mặt phẳng chúng có cao độ dương Hơn cao độ chúng khác nên đường thẳng cắt mặt phẳng
điểm cố định
Từ suy nên dấu xảy
là giao điểm đường thẳng với mặt phẳng
Do , đạt
Nhận xét
Ý tưởng đề
Từ bất đẳng thức véc tơ
a) Dấu “=” xảy hai véc tơ chiều b) Dấu “=” xảy hai véc tơ chiều c) Dấu “=” xảy hai véc tơ ngược chiều
Câu 29: (Lý Nhân Tông) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
; 0; ,
0; ; ,
0; 0;
A a B b C c A, B, C với a b c, , 0 cho
2 1
OB OC AB BC CA
OA Giá trị lớn VO.ABC
A.
108 B.
1
486 C.
1
54 D.
1 162 Lời giải
Chọn D
Ta có OAa OB, b OC; c AB; a2b2,BC b2c CA2, c2a2
1
6
OABC
V OA OB OC a b c
2 2 2
1 2
OA OB OCABBCCA a b c a b b c c a Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
3 ,
a b c abc
2 2 2 36 2 2 2 3 26 .2 2 3 2.3 .
a b b c c a a b b c c a ab bc ac abc
Suy 2 2 2 3
3
a b c a b b c c a abc abc
Oxyz a
1; 1; 0
A
4;7;3
4; 4;5
B M N
Oxy
MNa MN 5 AM BN
17 77 23 82 5
MN
a t :MNta
5
MN t a t MN
5; 5;0
; ;
A x y z AA MN
4
7
3 x
y z
1 x y z
1; 2;3
A
A B
Oxy
' A B
Oxy
AA MN
AM A N AM BN A N' BN A B' N
'
A B
Oxy
2
2
2max AM BN A B' 41 42 53 17
N A B Oxy| |u | |v u v u v
|u v u u u v
(124)
3 1 1
1
3 27 162 OABC 162
abc abc abc abc V
Dấu xảy
2 2 2
0; 0;
1
a b c
a b c
a b c a b b c c a
1
a b c
Vậy giá trị lớn VOABC 162
Câu 30: (Đồn Thượng) Trong khơng gian Oxyz, cho A
1; 1;2
, B
2;0;3
, C
0;1; 2
Gọi
; ;
M a b c điểm thuộc mặt phẳng
Oxy
cho biểu thức
S MA MB MB MC MC MA đạt giá trị nhỏ Khi T 12a12bc có giá trị A T 3 B T 3 C T1 D T 1
Lời giải Chọn D
Ta có M a b c
; ;
Oxy
nên c0 Do M a b
; ;0
1 ; ;2
MA a b
, MB
a b; ;3
, MC
a;1b; 2
2
MA MB a a b b a a b b
26
MB MC a a b b a a b b
21
MC MA a a b b a a b
Suy
2 2 2 2
4 2 6 23
S a a b b a a b b a a b a a b b
2
1 557 557
6
6 12 24 24
S a b
Do S đạt giá trị nhỏ 557 24
6
a 12 b Khi 12 12 12 12.1
6 12
T a b c
1
3
A A MC N A MC N
V AA S tm
Vậy giá trị nhỏ thể tích khối chóp A A MC N 3
(125)PHƯƠNG TR
ÌNH M
Ặ
T PH
Ẳ
NG
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1 Định nghĩa
Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng AxByCzD0 với 2
A B C gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng
P :AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 có vec tơ pháp tuyến
; ;
n A B C
Mặt phẳng
P qua điểm M0
x y z0; 0; 0
nhận vecto n
A B C; ;
,n 0 làm vecto pháp tuyến dạng
P :A x
x0
B y
y0
C z
z0
0Nếu
P có cặp vecto a
a a a1; 2; 3
;b
b b b1; ;2 3
không phương, có giá song song nằm
P Thì vecto pháp tuyến
P xác định na b , 2 Các trường hợp riêng mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mp
:AxBy Cz D0, với A2 B2C2 0 Khi đó:D
qua gốc tọa độ0, 0, 0,
A B C D
song song trục Ox0, 0, 0,
A B C D
song song mặt phẳng
Oxy
, , ,
A B C D Đặt a D,b D,c D
A B C
Khi đó:
: x y c abz
3 Phương trình mặt chắn cắt trục tọa độ điểm A a
; 0;0 ,
B
0; ;0 ,b
C
0; 0;c
:1 ,
x y z
abc
ab c
4 Phương trình mặt phẳng tọa độ:
Oyz
:x0;
Oxz
:y0;
Oxy
:z0 5 Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):Giả sử
' d đó: ( ) : AxByCzD0 ( ') : A x' B y' C z' D'0 Pt mp chứa d có dạng: m Ax
By Cz D
n A x
' B y C z' ' D'
0 (với 20) m n 6 Vịtrí tương đối hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho
:AxBy Cz D0
' :A x' B y C z' ' D'0
cắt
'' '
' '
' '
AB A B
BC B C
CB C B
//
'' '
' ' ' '
' '
AB A B
BC B C va AD A D
CB C B
'' '
' '
' '
' '
AB A B
BC B C
CB C B
AD A D
(126)7 Khoảng cách từ M0
x y z0; 0; 0
đến ( ) : Ax By Cz D 0
02 2
, Ax By Cz D
d M
A B C
Chú ý:
Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng 0 8 Góc hai mặt phẳng
Gọi góc hai mặt phẳng
0
90
P :AxBy Cz D0
Q :A x' B y C z' ' D'0
2 2 2' ' '
cos = cos ,
' ' '
P Q P Q
P Q
n n A A B B C C
n n
n n A B C A B C
Góc ( ) , ()bằng bù với góc hai vtpt
()()n1n2 AA'BB'CC' 0 1 Các hệ quả hay dùng:
Mặt phẳng
//
có vtpt n n với n vtpt mặt phẳng
Mặt phẳng
vng góc với đường thẳng d
có vtpt n ud với ud
vtcp đường thẳng d
Mặt phẳng
P vng góc với mặt phẳng
Q n P n QMặt phẳng
P chứa song song với đường thằng d n P ud Hai điểm A B, nằm mặt phẳng
P ABn pB - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG
Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm véctơ pháp tuyến Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có vtpt
(): hay AxByCzD0 với D
Ax0By0Cz0
Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có cặp vtcp a b ,Khi vtpt () n a b ,
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm không thẳng hàngA B C, ,
Cặp vtcp: AB AC,
Mặt phẳng ( ) qua A (hoặc B hoặcC ) có vtpt nAB AC,
Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng( ) Dạng Mặt phẳng trung trực đoạnAB
Tìm tọa độ M trung điểm đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n AB
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng Mặt phẳng ( ) qua M và vng góc đường thẳng d (hoặcAB) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt vtcp đường thẳng d
(hoặc n AB
)
1
n n ,
0
0 ( ),( ) 90
0 0
M x ; y ; z n
A; B;C
0
0
0
A xx B yy C zz
(127)Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng Mặt phẳng ( ) qua M song song ( ) : AxByCzD0 Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n n
A B C; ;
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng Mặt phẳng
quaM , song song với d vng góc với
có vtpt n u nd,
với ud
vtcp đường thẳng d n vtpt
Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )Dạng Mặt phẳng ( ) chứa M đường thẳng d không qua M Lấy điểm M0
x y z0; 0; 0
dTính MM0
Xác định vtcp ud đường thẳng d Tính n MM u 0, d
Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc M0) có vtpt n
Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( ) , ( ) : Xác định vtpt ( ) ( )
Một vtpt ( ) n u n,
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 10 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d d1, 2 : Xác định vtcp a b , đường thẳng d d1, 2
Một vtpt ( ) n a b ,
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 11 Mặt phẳng ( ) qua M N, vng góc ( ) :
Tính MN
Tính n MN n,
Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc N) có vtpt n
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 12 Mặt phẳng
chứa đường thẳng d vng góc với
có vtpt n u nd,
với ud
vtcp d Lấy điểm M0
x y z0; 0; 0
d M0
x y z0; 0; 0
( )Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 13 Mặt phẳng ( ) chứa
d song song
d/ (với ( ), ( ')d d chéo nhau) Lấy điểm M0
x y z0; 0; 0
d M0
x y z0; 0; 0
( )Xác định vtcp u u d; d'của đường thẳng d đường thẳng d' Mặt phẳng ( ) qua M0 có vtpt n u u d, d'
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 14 Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song 1, 2
Chọn điểm M1
x y z1; 1; 1
1 M2
x y z2; 2; 2
2 (128)Tìm vtcp u1 đường thẳng 1 vtcp u2 đường thẳng 2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) n u M M1, 1 2
n u M M 2, 1 2 Sử dụng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 15 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng cắt d d1, 2: Xác định vtcp a b , đường thẳng d d1, 2
Một vtpt ( ) n a b ,
Lấy điểm M thuộc d1 d2 M( )
Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 16 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng
d cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k không đổi:Giả sử ( ) có phương trình:
Lấy điểm A B, ( )d A B, ( ) (ta hai phương trình (1), (2)) Từ điều kiện khoảng cách , ta phương trình (3)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 17 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu
S điểm H :Giả sử mặt cầu
S có tâm I bán kính R Vì H tiếp điểm H( ) Một vtpt ( )Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 18 Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( )P TH1: ( ) ( )P d:
- Tìm M N, hai điểm chung ( ), ( ) P
- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng I qua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I M N’, ,
TH2: ( ) / /( ) P
- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng I qua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I’ song song với ( )P CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
Dạng Tìm điểm H hình chiếu vng góc của M lên ( )
Cách 1:
- H hình chiếu điểm M
P - Giải hệ tìm HCách 2:
- Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với ( ) : ta có a d n
- Khi đó: H d( ) tọa độ H nghiệm hpt:
d ( )Dạng Tìm điểm M’ đối xứng M qua ( )
Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên ( )
H trung điểm MM/(dùng công thức trung điểm) tọa độ H Dạng Viết phương trình mp ( ')P đối xứng mp ( )P qua mp
QTH1: ( )Q
P d0
AxByCz+D
2
0
A B C
d M( ,( )) k
nIH
MH n phương
H P
, ( )
(129)- Lấy hai điểm
A B,
( )P ( )Q (hayA B, d)- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua d M'
TH2: ( )Q / /
P- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua M' song song ( )P
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
2 2
y
x y z Oxyz cho điểm M
1;0;0
N
0;0; 1
, mặt phẳng
P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng
Q :x y40 góc O45 Phương trình mặt phẳng
PA
2 2
y
x y z B
0
2 2
y
x y z
C 2
2 2
x y z
x y z D
2 2
2 2
x z
x z
Lời giải
Gọi vectơ pháp tuyến mp
P
Q nP
a b c; ;
2 2
0
a b c , nQ
P qua M
1;0;0
P :a x
1
bycz0
P qua N
0;0; 1
a c
P hợp với
Q góc 45O
O2
0
, 45
2
2
P Q
a a b
cos n n cos
a b
a b
Với a 0 c chọn b1 phương trình
P :y0Với a 2b chọn b 1 a2 phương trình mặt phẳng
P : 2x y2z20 Chọn ACâu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho
P :x4y2z 6 0,
Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng
chứa giao tuyến của
P , Q cắt trục tọa độ điểm A B C, , cho hình chóp O ABC hình chópA xy z 60 B xy z C xy z D xy z Lời giải
Chọn M
6; 0; ,
N
2; 2; 2
thuộc giao tuyến của
P , QGọi A a
; 0; ,
B
0; ;0 ,b
C
0; 0;c
giao điểm
với trục Ox Oy Oz, ,
:x y z 1
a b c, , 0
abc
chứa M N,6
2 2
1 a
a b c
Hình chóp O ABC hình chóp đềuOAOBOC a b c Vây phương trìnhxy z
(130)Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng:
, mặt cầu
Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi
A B C D Chọn B
Lời giải
+ qua có vectơ phương
qua có vectơ phương
+ Mặt phẳng () song song với nên có vectơ pháp tuyến: Phương trình mặt phẳng () có dạng:
+ Mặt cầu (S) có tâm bán kính Gọi r bán kính đường trịn (C), ta có:
Khi đó:
+ Phương trình mặt phẳng
Vì nên M1 M2 khơng thuộc loại (1) Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm Chọn B
Câu 4: Cho tứ giác ABCD có A
0;1; ;
B
1;1; ;
C
1; 1; ;
D
0;0;1
Viết phương trình mặt phẳng
P qua A B, chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tích A 15x4y5z 1 B 15x4y5z 1C 15x4y5z 1 D 15x4y5z 1 Lời giải
P cắt cạnh CD E E, chia đoạn CD theoo tỷ số 33 3.0
4 4
3 3.0
4 4
3 3.1
4 4
C D
C D
C D
x x
x
y y
E y
z z
z
1; 0;3 ;
1; 7; 1
1; 5; 7
4 4
AB AE
1
2 1
:
1
x y z
2: 2 x t
y t
z t
2 2
( ) :S x y z 2x2y6z 5
( ) 1, 2
2 365
5 0; 10
x y z x y z
5 10
x y z
5 3 511 0; 3 511
x y z x y z
5
x y z
1
M1(2; 1;1) u1 (1; 2; 3)
2
M2(0; 2;1) u2 (1; 1; 2)
1,
u u 1, 2 (1; 5; 3)
x5y3zD0
I(1; 1;3) R4
2 365 365
2
5
r r
2 35, ( )
5
d I R r 35
10
35
D D
D
( ) : x5y3z 4 (1) hay x5y3z100 (2) 1/ /( ), 2/ /( )
( )
5 10
x y z
F N
C B
A
(131)Vecto pháp tuyến
: ,
15; 4; 5
: 15
1
4
1
515
P n AB AE P x y z
x y z
Chọn A
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
2 2
y
x y z
Oxyz cho điểm M
1; 0; 0
N
0; 0; 1
, mặt phẳng
P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng
Q :x y góc 45O Phương trình mặt phẳng
PA
2 2
y
x y z
B
2 2
y
x y z
C 2
2 2
x y z
x y z
D 2
2 2
x z
x z
Lời giải
Gọi vectơ pháp tuyến mp
P
Q nP
a b c; ;
a2b2c2 0
, nQ
P qua M
1; 0; 0
P :a x
1
bycz0
P qua N
0; 0; 1
ac0
P hợp với
Q góc O45
O2
0
, 45
2
2
P Q
a a b
cos n n cos
a b
a b
Với a0c0 chọn b1 phương trình
P :y0Với a 2b chọn b 1 a2 phương trình mặt phẳng
P : 2x y 2z 2 Chọn ACâu 6: Cho tứ giác ABCD có A
0;1; ;
B
1;1; ;
C
1; 1; ;
D
0;0;1
Viết phương trình tổng quát mặt phẳng
Q song song với mặt phẳng
BCD
chia tứ diện thành hai khối AMNFMNFBCD có tỉ số thể tích 27
A 3x3z 4 B y z
C y z D 4x3z 4
Lời giải Tỷ số thể tích hai khối AMNF MNFBCD:
3 27 AM
AB
1 AM
M AB
chia cạnh AB theo tỉ số 2
1 2.0
3
1 2.1
1 ; 0;1;1 ; 1;1;1
3
2
0
x
E y BC BD
x
(132)
1
: 1
3
:
M Q Q x y z
P y z
Chọn B
Câu 7: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng
P cắt hai trục y Oy' z Oz'
0, 1, ,
0, 0,1
A B tạo với mặt phẳng
yOz
góc 45A 2xy z 1 B 2x yz 1
C 2xyz 1 0; 2xyz 1 D 2x yz 1 0; 2x yz 1
Lời giải Gọi C a
, 0, 0
giao điểm
P trục x'Ox
0, 1, ;
, 0, 1
BA BC a
Vec tơ pháp tuyến
P n BA BC ,
1,a a,
Vec tơ pháp tuyến
yOz
e1
1, 0, 0
Gọi
góc tạo
P
2
1
os45
2
1
yOz c a a
a
Vậy có hai mặt phẳng
P : 2x y z 2x y z 0; 2x y z Chọn DCâu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ , vng góc với mặt phẳng tiếp xúc với (S)
A 2
2 21
x y z
x y z B
2
2 21
x y z
x y z
C
2
x y z
x y z D
2 13
2
x y z
x y z
Lời giải
Vậy: (P): (P):
(S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT
VTPT (P) PT (P) có dạng:
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên
Vậy: (P): (P):
Chọn B
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng
1
1: 0 x t d y z
, 2
1 :
0 x
d y t
z
,
3 : x d y z t Viết phương trình mặt phẳng qua điểm H
3; 2;1
cắt ba đường thẳng d1, d2, d3 A, B, C cho H trực tâm tam giác ABCA 2x2y z 110 B xy z C 2x2y z D 3x2y z 140
Lời giải
2 2
2
x y z x y z (1;6; 2)
v ( ) : x4y z 110
2
x
y
2
z
3
0
2
x
y
2
z
21 0
( )
n(1; 4;1)
,
(2; 1;2)P
n n v
2
x
y
2
z
m
0
( ,( ))
d I P 21 m m
(133)Chọn A
Gọi A a;0;0
, B
1; ; 0b
, C
1; 0;c
1 ; ;0 ,
0; ;
,
2; 2;1
,
3 ; 2;1
AB a b BC b c CH c AH a
Yêu cầu toán
2
, 2 2 1 1 1 0
0
9
2
AB BC CH bc c a c b a
b
AB CH a b b b
b
c b
BC AH
Nếu b0suy AB(loại) Nếu
2
b , tọa độ 11;0;0 A
, 1; ;0
2 B
, C
1; 0;9
Suy phương trình mặt phẳng
ABC
2x2y z 110Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A B cho đường thẳng AB vng góc với d
A
P :x2y5z 4 B
P :x2y5z 5 C
P :x2y z D
P : 2x yLời giải Cách (Tự luận)
Đường thẳng d qua M(2;1;0) có VTCP ud
1; 2; 1
Ta có: ABd ABOz nên AB có VTCP uAB u kd,
2; 1; 0
(P) chứa d AB nên (P) qua M(2;1; 0), có VTPT nu ud, AB
1; 2;5
P :x2y5z 4 Chọn ACách 2: Dùng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Đường thẳng d qua điểm M(2;1;0) N(3;3;-1)
Giả sử mp(P) cắt Ox, Oy, Oz A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
P :x y zabc
ABd AB u d 0 a2b (1)
P chứa d nên d qua M, N 1 ab (2),3
1
a b c
(3) Từ (1), (2), (3) a = 4, b = 2, c =
5
P :x2y5z 4 Chọn ACâu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d1, 2lần lượt có phương trình
2
:
2
x y z
d ,
1
:
2
x y z
d
Phương trình mặt phẳng
cách hai đường thẳng d d1, 2A 7x2y4z0 B 7x2y4z 3 C 2xy3z 3 D 14x4y8z 3
(134)Ta có d1 qua A
2; 2;3
có
1 2;1;3
d
u , d2 qua B
1; 2;1
có
2 2; 1;
d
u
1;1; ;
d1; d2
7; 2; 4
AB u u
;
1;
d d
u u AB
nên d d1, 2 chéo
Do
cách d d1, 2 nên
song song với d d1, 2
1; 7; 2;
d d n u u
có dạng 7x2y4zd 0
Theo giả thiết d A
,
d B
,
2
69 69
d d
d
:14x 4y 8z
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng song song cách hai đường thẳng
A B
C D
Lời giải
Ta có: qua điểm có VTCP
và qua điểm có VTCP Vì song songvới hai đường thẳng nên VTPT
Khi có dạng loại đáp án A C
Lại có cách nên qua trung điểm Do
Chọn B
Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
P : 5x z hai đường thẳng d d1; 2 có phương trình 1;1 2 1
x y z x y z
Viết phương trình mặt phẳng
Q / / P , theo thứ tự cắt d d1, 2 A B, cho ABA
1 : 25 331 0;
2 : 25 3317
Q x z Q x z
B
Q1 : 5x z 0;
Q2 : 55x11z140 C
Q1 : 5 x z 0;
Q2 : 55 x11z140 D
Q1 : 5x z 0;
Q2
: 55x11z 7Lời giải
P2 :
1 1
y
x z
d
1
:
2 1
y
x z
d
P : 2x2z 1
P : 2y2z 1
P : 2x2y 1
P : 2y2z 1d A
2; 0; 0
u1
1;1;1
d B
0;1; 2
u2
2; 1;
Pd d2
P n u u1, 2
0;1; 1
P y z D 0
P d1 d2
P 0; ;11 M AB
(135)
1
1
1 '
: , : ' ; : 0,
1 '
3 15 12 30
; ; , ; ;
3 3 9
x t x t
d y t d y t Q x z d d
z t z t
d d d d d d
Q d A Q d B
Suy ; ;30 1
6 ; ;30
9 9
d d d
AB d d d
Do 1
6
2
2
30
2
3
AB d d d
2
25 331
80
42 300 252
9 25 331
7 d
d d
d
Vậy, tìm hai mặt phẳng thỏa mãn:
1
225 331 25 331
: 0; :
7
Q x z Q x z
Chọn A
Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
qua điểm M
1; 2;3
cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O) cho M trực tâm tam giácABC Mặt phẳng
có phương trìnhA x2y3z140 B
1
x y z
C 3x2y z 100 D x2y3z140
Lời giải
Cách 1:Gọi Hlà hình chiếu vng góc Ctrên AB , Klà hình chiếu vng góc B AC.M trực tâm tam giác ABC M BKCH
Ta có: AB CH AB
COH
AB OM(1)AB CO
(1)
Chứng minh tương tự, ta có: ACOM (2) Từ (1) (2), ta có: OM
ABC
Ta có: OM
1; 2;3
Mặt phẳng
qua điểmM
1; 2;3
và có VTPT OM
1; 2;3
nên có phương trình
x1
2
y2
3
z3
0 x 2y3z140 Cách 2:+) Do A B C, , thuộc trục Ox Oy Oz, , nên A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )B b C c (a b c, , 0) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng(ABC)là x y z
ab c
M K
H O z
y
x C
B
(136)+) Do M trực tâm tam giác ABC nên
( )
AM BC BM AC
M ABC
Giải hệ điều kiện ta đượca b c, , Vậy phương trình mặt phẳng:x2y3z140
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho
P :x4y2z 6 0,
Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng
chứa giao tuyến của
P , Q cắt trục tọa độ điểm A B C, , cho hình chóp O ABC hình chópA xy z B xy z C xy z D xy z Lời giải
Chọn M
6; 0; ,
N
2; 2; 2
thuộc giao tuyến của
P , QGọi A a
;0; ,
B
0; ; ,b
C
0; 0;c
giao điểm
với trục Ox Oy Oz, ,
:x y z 1
a b c, , 0
abc
chứa M N,6
2 2
1 a
a b c
Hình chóp O ABC hình chóp đềuOAOBOC a b c Vây phương trìnhxy z
Câu 16: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N
1;1;1
Viết phương trình mặt phẳng
P cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , (không trùng với gốc tọa độO) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCA
P :xy z B
P :xy z C
P :x y z D
P :x2y zLời giải
Gọi A a
;0; ,
B
0; ; ,b
C
0; 0;c
giao điểm
P với trục Ox Oy Oz, ,
P :x y z 1
a b c, , 0
abc
Ta có:
1 1
1
1 3
1
N P a b c
NA NB a b a b c x y z
NA NC a c
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
Q :x y z hai điểm
4, 3,1 ,
2,1,1
A B Tìm điểm M thuộc mặt phẳng
Q cho tam giác ABM vuông cân MA
1; 2;1
17
; ;
7 7
M M
B
1; 2;1
17; ; 7 M
M
(137)C
1; 2;1
13
; ;
7 7
M M
D
1;1;1
9
; ;
7 7
M M Lời giải Gọi M a b c M
, ,
Q a b c
Tam giác ABM cân M khi:
2
2
2
2
2
2
2
4 1
AM BM a b c a b c a b
Từ
1
2 ta có:
*2 5
a b c a b
a b c b
Trung điểm AB I
3; 1;1
Tam giác ABM cân M, suy ra:
3
2
1
2
1
2
32 AB
MI a b c
Thay
*
3 ta được:
2
2
22
2 9
7 b
b b b
b
2 1, 1; 2;1
9 17 17
, ; ;
7 7 7
b a c M
b a c M
Chọn A
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho điểm A
1;3; ,
B
3; 2;1
mặt phẳng
P :x2y2x11 0. Tìm điểm M
P cho MB 2,MBA 30
A
1; 2;3 1; 4;1 M M B
1; 2;3 1; 4;1 M M C
2;1;3 4;1;1 M M D
1; 2;3 1; 4;1 M M Lời giảiNhận thấy A
P B,
P ,ABÁp dụng định lý côsin tam giác MAB ta có:
2 2 2
2 os30
MA MB BA MB BA c MB MB BA
Do tam giác MAB vng A
Ta có:
1
, 0; 5;5 : 1;3 ;
2
AM p
x
u AB n AM y t M t t
z t
Ta có 2
2
MA t t t Với t 1 M
1; 2;3 ;
t 1 M
1; 4;1
Chọn ACâu 19: Trong không gian tọa độ , cho tám điểm , , ,
, , , , Hỏi hình đa diện tạo
tám điểm cho có mặt đối xứng
A 3 B 6 C 8 D 9
Lời giải
Oxyz A
2; 2; 0
B
3; 2; 0
C
3; 3; 0
2; 3; 0
(138)Vì tám điểm chõ tạo nên hình lập phương, nên hình đa diện tạo tám điểm có mặt đối xứng
Chọn D
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A
1; 2; ,
B
0; 1;1 ,
C
2;1; ,
3;1; 4
D
Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó?
A 1 B 4 C 7 D Vô số
Lời giải Ta có AB
1;1;1 ,
AC
1;3; ,
AD
2;3;4
Khi AB AC,
4;0; 4
suy AB AC AD, 240 Do A B C D, , , không đồng phẳng đỉnh tứ diệnKhi có mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh tứ diện Bao gồm: mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh tứ diện mặt phẳng qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ)
Chọn C
Câu 21: Trong không gian cho điểm M(1; 3; 2) Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A B C, , mà OAOBOC0
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Chọn C
Giả sử mặt phẳng ( ) cần tìm cắt Ox Oy Oz, , (a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, c)(a, b, c 0)
A
( ) :x y z abc
; ( ) qua M(1; 3; 2) nên: ( ) :1 1(*) abc
(1) (2)
0
(3) (4)
a b c
a b c
OA OB OC a b c
a b c
a b c
(139)Thay (1) vào (*) ta có phương trình vơ nghiệm
Thay (2), (3), (4) vào (*) ta tương ứng 4, 6, a a a Vậy có mặt phẳng
Câu 22: Có mặt phẳng qua điểm M(1;9; 4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho OAOBOC
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Chọn D
Giả sử mặt phẳng ( ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ ( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )
A a B b C c với a b c, , 0
Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng x y z abc
Mặt phẳng ( ) qua điểm M(1;9; 4) nên (1) abc
Vì OAOBOC nên a b c, xảy trường hợp sau: +) TH1: abc
Từ (1) suy a 14,
aaa nên phương trình mp( ) xy z 140 +) TH2: ab c Từ (1) suy a 6,
aaa nên pt mp( ) xy z +) TH3: a b c Từ (1) suy a 4,
aaa nên pt mp( ) xy z 40 +) TH4: a b c Từ (1) có a 12,
aaa nên pt mp( ) xy z 120 Vậy có mặt phẳng thỏa mãn
Câu 23: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
1
x y z
d
mặt phẳng
P : 2xy2z20
Q mặt phẳng chứa d tạo với mặt phẳng
P góc nhỏ Gọi nQ
a b; ;1
vectơ pháp tuyến
Q Đẳng thức đúng?A ab0 B ab 1 C ab1 D ab 2 Lời giải
(140)Gọi d giao tuyến
P
Q , B giao điểm d
P Suy B cố định BdTrên đường thẳng d lấy điểm A không trùng vớiB Gọi H hình chiếu vng góc Alên mặt phẳng
P , E hình chiếu vng góc H lên dTa có AH
P ;BE
P AH BE Mà BE EH Suy BEEA Vậy góc
P
Q góc AEHTa có tam giác AEH vng H AH khơng đổi
Vì vậy, góc AEH nhỏ EH lớn Mà EH BH ; BH không đổi
Suy EH lớn E trùng với B dvng góc với BH Từ suy d vng góc với d
Vậy
Q mặt phẳng chứa d tạo với mặt phẳng
P góc nhỏ
Q chứa d d(với d nằm
P , qua B vng góc với d )Ta có nP
2 ; 1; 2
vectơ pháp tuyến
P ; ud
1; ;1
là vectơ phương d
; 3; 0;3 P d
n u
ud
1; ;1
vectơ phương d
; 2; 2;
d d u u
nQ
1; 1;1
vectơ pháp tuyến mặt phẳng
Q Suy a 1;b 1 a bCách Ta có
1; ;1
du vectơ phương d
; ;1
Qn a b
vectơ pháp tuyến
Q
2 ; 1; 2
Pn
là vectơ pháp tuyến
P
Q mặt phẳng chứa d nên nQ ud n uQ d 0 a 2b 1 0a2b1
1 Gọi góc
P
Q
2 22cos cos ;
3
P Q
a b n n
a b
2 Thay
1 vào
2 ta cóP
d'
d
H E
B
(141)2 2
4 2
cos
3 4 1
b b b
b b b b b
2
1 1
4 1
5 2 1 3
b b b
Góc nhỏ cos lớn cos
Khi 1 b
b Suy a 1 Vậy ab 2
Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B a( ; 0; 0), D(0; ; 0)a , A(0; 0; )b (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh
CC Giá trị tỉ số a
b để hai mặt phẳng
(A BD )
MBD
vng góc với A 13 B
1
2 C 1 D 1
Lời giải
Ta có
; ;0
'
; ;
; ;2 b ABDCC a a C a a b M a a
Cách
Ta có 0; ;
2 b MB a
; BD
a a; ; 0
A B'
a;0;b
Ta có ; ; ;
2
ab ab uMB BD a
BD A ; 'B
a2;a2;a2
Chọn v
1;1;1
VTPT
A BD'
' 0
2
ab ab a
A BD MBD u v a a b
b Cách
' ' '
A B A D A X BD
AB AD BC CD a
MB MD MX BD
với X trung điểm BD
A BD'
; MBD
A X MX' ;
; ;0 2 a a X
trung điểm BD
' ; ;
2 a a A X b
, ; ;
2 2
a a b
MX
A BD'
MBD
A X' MX'
A X MX
2 2
0
2 2
a a b
(142)Câu 25: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm
đó dương mặt phẳng Biết vng góc với
, mệnh đề sau đúng?
A B C D
Lời giải Ta có phương trình mp(
Ta có
Từ (1) (2)
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
5;5; ,
B
1; 2;3 ,
C
3;5; 1
mặt phẳng
P : xy zTính thể tích V khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng
P SASBSCA 145
V B V 145 C 45
6
V D 127
3
V
Lời giải Gọi S a b c
; ;
P a b c 1
Ta có:
2
25 ,
AS a b c
2
2
2
2
2
21 ,
BS a b c CS a b c
Do
2 2 2
2 2 2
1 3
5 5
4 21
4 15
a b c a b c
SA SB SC
a b c a b c
a b c
a c
Ta có hệ:
6
4 21
23 13
4 15 6; ;
2 2
5
9 a
a b c
a c b S
a b c
c
Lại có:
4; 3;3 ,
2; 0; 1
AB AC
23 145
3; 10; ; 1; ; 145
2 S ABC
AB AC AS AB AC AS V
,
Oxyz A
1;0;0 ,
B 0; ;0 ,b
C
0; 0;c
,
b c
P :y z 1 mp ABC
mp P
,
3
d O ABC
1
bc 2bc1 b3c1 3bc 3
)
ABC
1
x y z
b c
ABC
P 1 b c(1)b c
22
1 1 1
, (2)
3 1
1 d O ABC
b c
b c
1
1
b c b c
(143)Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
1; 2; ,
M
2; 4;1 ,
N
1;5;3
Tìm tọa độ điểm C nằm mặt phẳng
P :x z 270 cho tồn điểm B D, tương ứng thuộc tia AM AN, để tứ giác ABCD hình thoiA C
6; 17; 21
B C
20;15; 7
C C
6; 21; 21
D C
18; 7;9
Lời giảiC giao phân giác AMNvới
P Ta có: AM 3;AN 5 Gọi E giao điểm phân giác AMN MN Ta có:5
EM AM
EN AN
13 35
5 ; ;
8
EM EN E
1
: 19
1 22
x t
AE y t
z t
6; 21; 21
C
Câu 28: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A
2;1;2
,
2; 3;1
B , C
3;2;2
mặt phẳng
:x3y z Gọi A, B, C hình chiếu vng góc A, B, C lên
D điểm cho A B C D hình bình hành Diện tích hình bình hành A B C D A
22 B
4
11 C
8
11 D
6 22 Lời giải
Chọn C
Ta có AB
0; 4; 1
, AC
1;1;0
, 1; 1;4
ABC
n AB AC
,
2
ABC
S AB AC
22cos ,
33 ABC
ABC n n ABC
n n
cos
,
222 33 11
A B C ABC
S S ABC
8
11
A B C D A B C
S S
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba mặt phẳng
:x2y z 0;
:x2y z 0;
:x2y zMột đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng
; ; A B C, , Hỏi giá trị nhỏ biểu thức 144P AB
AC
là?
A 108 B 72 C 96 D 36
Lời giải Chọn A
Vì ba mặt phẳng
/ / / / , nên theo định lí Thales khơng gian, ta có:
,
3
,
d AB
AC d
(144)2 144 144 72 72 3 72 72
9 9 108
P AB AC AC AC
AC AC AC AC AC AC
Chọn A
Câu 30: (THTT lần5) Trong khơng gian Oxyz, cho hình chóp S ABC có SC AB3 2, đường thẳng AB có phương trình 1
1
x y z
góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 60 Khi ba điểm , ,A B C với ba trung điểm ba cạnh bên hình chóp S ABC nằm mặt cầu mặt phẳng
ABC
có phương trìnhA y z B x y 4z140.C x2y7z80 D x y 4z140 Lời giải
Chọn C
GọiH K, hình chiếu S lên mặt phẳng
ABC
đường thẳng AB góc SC mặt phẳng
ABC
góc SCH 603 sin 60
2
SH SC
Gọi K
1t; ; 1t t
AB SK
t; 4t3; 3 t
Gọi uAB vectơ phương đường thẳng AB Theo đề uAB
1; 4; 1
Ta có 16 12 3;2;
2 2
AB
SK ABSK u t t t t K
1 49 3
; 1;
2
SK SK
SK SH H K
Khi SK
ABC
Chọn vectơ pháp tuyến mp ABC
1; 1;2
nSK
, ta có phương trình mặt phẳng
ABC
2
72 x y x x y z
(145)Cách 2:
ABC
chứa điểm M
1;0; 1
nên loại đáp án B, D Vecto pháp tuyến
ABC
vuông góc với vecto phương đường thẳng AB nên Chọn C Phương án nhiễu kém! Nhận xét:Khi điểm , ,A B C với ba trung điểm ba cạnh bên hình chóp S ABC nằm mặt cầu mặt bên hình chóp cụt hình thang cân suy SASB SC Mà SK
ABC
nên K tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do ABC vng C nên tâm mặt cầu qua điểm , ,A B C với ba trung điểm ba cạnh bên hình chóp S ABC K Đề nên hỏi phương trình mặt cầu qua điểmCâu 31: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểmA
1;1;1
, B
1;0; 2
,
2; 1; 0
C , D
2; 2;3
Hỏi có mặt phẳng song song với AB CD, cắt đường thẳng AC BD, M N, thỏa mãn2
2 BN
AM AM
A 0 . B 2 . C 3 D 1
Lời giải Chọn D
Cách 1:
Ta dễ dàng chứng minh điểm A B C D, , , tạo thành tứ diện Gọi ( ) mặt phẳng cần tìm, ta xác định mặt phẳng ( ) sau:
Xét ( )
ABC
có
//M AB
AB
giao tuyến ( )
ABC
là Mx //Mx AB, MxABK
Tương tự ta có giao tuyến của( )
BCD
là Ky Ky CD// , KyBDN ( )
KMN
Ta có: BN BK AM BD BC AC
30
BN AM BN BD
(146)Vậy từ giả thiết: 2 BN AM AM 6
AM AM AC
M điểm đối xứng C qua A
Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2:
Ta dễ dàng chứng minh điểm A B C D, , , tạo thành tứ diện
Vì mặt phẳng ( ) song song với AB CD, cắt đường thẳng AC BD, M N, nên theo định lí Talet khơng gian ta có: 30
6
BN BD
AM AC
Vậy từ giả thiết:
2 BN AM AM 6
AM AM AC
M điểm đối xứng C qua A
Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán
Câu 32: (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian Oxyz, cho điểm M
1; 3; 2
Hỏi có mặt phẳng qua M cắtcác trục tọa độ tạiA,B,C mà OAOBOC 0?A 3 B 1 C 4 D 2
Lời giải Chọn A
Gọi A a
; 0; 0
, B
0; ; 0b
, C
0; 0;c
Từ ta có OA a , OB b, OC cMặt phẳng qua điểm A,B,C có phương trình theo đoạn chắn: x y z
P abc Vì M
P nênabc Vì OAOBOC a b c Từ ta có hệ phương trình:
1
1
a b c
a b c
1
1
a b c
a b b c
1
1
a b c
a b a b b c b c
1
1
1
1
1
1
1
1
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
Vậy có mặt phẳng thỏa mãn
Câu 33: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2
2:
S x y z điểm A
2; 2; 2
Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC, AD với B, C, D tiếp điểm Viết phương trình mặt phẳng
BCD
A 2x2y z B 2x2y z C 2x2y z D 2x2y z
(147)Chọn D
Mặt cầu
S : x2 y2
z1
2 4 có tâm I
0;0;1
bán kính R2Do AB, AC, AD ba tiếp tuyến mặt cầu
S với B, C, D tiếp điểm nên:AB AC AD
IA
IB IC ID R
trục đường trịn ngoại tiếp BCDIA
BCD
Khi mặt phẳng
BCD
có vectơ pháp tuyến n IA
2; 2;1
Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp BCDJIAvà IJ BJ Ta có: IBA vng B BJ IA nên:
2
2 4
3
IB
IB IJ IA IJ IJ IA
IA
Đặt J x y z
; ;
IJ
x y z; ; 1
, IA
2; 2;1
8 13; ;9 9
IJ IAJ
Mặt phẳng
BCD
qua 8 13; ;9 9 J
có véctơ pháp tuyến n
2; 2;1
có phương trình:
8 13
2 2
9 9
x y z x y z
Câu 34: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H a b c
; ;
với a b c, , 0 Mặt phẳng ( )P chứa điểm H cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , thỏa mãn H trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( )PA. x2 y2 z2 ab bc ca
a b c abc
B. x y z
abc
C. 2
0
axbycza b c D. 2 3
0 a xb yc za b c Lời giải
Chọn C Cách 1:
Gọi A x
0; 0; 0
, B ;
y0; 0
, C 0; 0;
z0
Khi mặt phẳng ( )P có phương trình theo đoạn chắn0 0
1
x y z
x y z
Ta có : AH
ax b c0; ;
, BC
0;y0;z0
, BH
a b; y c0;
, AC
x0; 0;z0
IB
C
D
(148)Vì Hlà trực tâm tam giác ABCnên ta có hệ:
2 2
0
0
0 2 2 2
0 0 0
2 2
0
0 0
0
0
=0 0
=0
1 1
a b c
c y
y z
b b
AH BC by cz
c a b c
BH AC ax cz x z x
a a
a b c
H ABC a b c
a b c
z
x y z c c
z c
z z
a b
Thay vào phương trình mặt phẳng ( )P ta được: 2 ax2 2 2 by2 2 2 cz2 2 a b c a b c a b c Hay
P ax by: cz a 2b2 c2 0Cách : Ta chứng minh OH
ABC
hay OH
P Do mặt phẳng ( )P qua H nhận OH a b c
; ;
làm véc tơ pháp tuyến có phương trình :
20
a xa b y b c z c ax by cza b c
Câu 35: (THTT lần5) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1) B(3; 1; 5) Mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng AB cắt trục Ox, Oy Oz điểm D, E
F Biết thể tích tứ diện ODEF
2, phương trình mặt phẳng ( )P là
A
2x3y4z 36 0 B 2
2 x y z C 2x3y4z120 D 2x3y4z 6
Lời giải Chọn D
Vì AB( )P nên mặt phẳng ( )P có véc tơ pháp tuyến AB(2; 3; 4) , phương trình mặt phẳng ( )P có dạng 2x3y4zd0, từ tìm ( ;0; 0)
2 d
D , (0; ; 0)
3 d
E ,
(0; 0; ) d
F suy
2 d OD ,
3 d OE ,
4 d
OF Mặt khác tứ diện ODEF có OD OE OF, , đơi vng góc nên
6 ODEF
V OD OE OF
3
( )
6
144
d
d d
Vậy phương
trình mặt phẳng ( )P 2x3y4z 6
Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm
4; 4;1
M chắn ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội
2?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Chọn C
Gọi A a
; ; ,
B
0 ; ; ,b
C
0 ; 0;c
là giao điểm mặt phẳng
P trục tọa độ
P :x y za b c
(149)Theo giả thiết có:
4 1 8, 4,8, 4,
1
1 16, 8, 4
2
2
M P a b c
a b c a b c
OC OB OA a b c
c b a
Vậy có mặt phẳng thỏa mãn
Câu 37: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gianOxyz, cho mặt cầu
2:
S x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng
chứa Oy cắt mặt cầu
S theo thiết diện đường trịn có chu vi 8A
: 3xz0 B
: 3xz0 C
:x3z0 D.
: 3x z 20Lời giải Chọn A
S có tâm I
1; 2; 3
, bán kính R4 Đường trịn thiết diện có bán kính r4 mặt phẳng
qua tâm I
chứa Oy
:axcz0 Mà I
a3c0a 3c Chọn c 1 a3
: 3xz0Câu 38: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1;0;0), (0;1;0)
A B Mặt phẳng qua điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz Csao cho tứ diện OABC tích
6có phương trình dạng x ay bz c 0 Tính giá trị a3b2c
A 16. B 1 C 10 D 6
Lời giải Chọn D
Mặt phẳng qua điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz C
0; 0;c
, c0 có phương trình1
x y z
c
Mặt khác: 1 1
6 6
OABC
V OA OB OC c
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng 1
1 1
x y z
x y z
Vậy a b 1, c 1a3b2c 1 3.1 2 6
Câu 39: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
1;2;5
M Mặt phẳng
P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Thể tích tứ diện OABCA 10
6 B 450 C 10 D 45
Lời giải Chọn B
Mặt phẳng
P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi A a
, 0, 0
;
0, , 0
B b ; C
0, 0,c
Phương trình mặt phẳng
P có dạng:
1
x y z
abc
(150)Mặt khác M trực tâm tam giác ABC nên AM BC BM AC AM CB BM AC Ta có AM
1a;2;5
; BM
1;2b;5
; CB
0; ;b c
; AC
a;0;c
Khi :5 b c a c 5 b c a c
Thay vào (2) ta có:
1
1
5c5cc c6
30 15 a b c
Vậy thể tích tứ diện OABC là:
6
V OA OB OC abc 1.30.15.6 450
(đơn vị thể tích) Câu 40: (Kim Liên) Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A
2;1; 2
, B
1;1; 0
mặt phẳng
P :xy z Điểm C thuộc
P cho tam giác ABC vuông cân B Cao độ điểm CA 1
. B 1
3. C 3
3. D 1 . Lời giải
Chọn A
Gọi tọa độ C a b c
; ;
Vì điểm C thuộc
P :xy z nên a b c hay tọa độ C có dạng
2
21; ; ; 1;
C b c b c BC b c b c BC b c b c
Ta có
1; 0;
AB AB
Do tam giác ABC vuông cân B nên
2
2
2 2
1
1
b c AB BC
BC AB b c b c
Thay
1 vào
2 ta có1
6 2
3 c c c c ( 3;1;1)
1 2
; ;
3 3
C C
Vậy cao độ điểm C
Câu 41: (Sở Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A
1;2;1 ,B 3; 4; 0
, mặt phẳng
P :ax by cz 460 Biết khoảng cách từ A B, đến mặt phẳng
P Giá trị biểu thức T a b cA. 3 B.6 C. D.
Lời giải Chọn B
Gọi H K, hình chiếu A B, mặt phẳng
P Khi theo giả thiết ta có: AB3, AH6, BK3 (151)Suy A B H, , ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H
5;6; 1
Vậy mặt phẳng
P qua H
5;6; 1
nhận AB
2; 2; 1
là VTPT có nên phương trình
2 x5 2 y6 1 z1 0 2x2y z 23 0
Theo
P : 4 x4y2z460, nên a 4,b 4,c2 Vậy T a b cCâu 42: (Đặng Thành Nam Đề 9) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2
( ) (S : x1) (y1) (z1) 12 mặt phẳng (P):x2y2z110 Xét điểm M di động ( )P ; điểm A B C, , phân biệt di động ( )S cho AM BM CM, , tiếp tuyến ( )S Mặt phẳng (ABC) qua điểm cố định đây?
A 1; 1;
4 2
B
0; 1; 3
C 3;0; 2
D
0;3; 1
Lời giảiChọn D
Mặt cầu
S có tâm I
1;1;1
bán kính R2 Xét điểmM a b c
; ;
;A x y z
; ;
ta có hệ điều kiện:
2
2
22 2
2 1 12
2 11
x y z
AI AM IM
a b c
2 2
2 2 2
2 1 12
12 1
2 11
x y z
x a y b z c a b c
a b c
Lấy (1) – (2) theo vế có:
x1
2
y1
2
z1
212
x a
2
y b
2
z c
212
a1
2
b1
2
c1
2
a 1
x
b 1
y
c 1
z a b c
Vậy mặt phẳng qua ba tiếp điểm
Q : a1
x
b1
y
c1
z a b c Kết hợp với (3) suy mặt phẳng qua điểm cố định
0; 3; 1
Câu 43: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm A
1;1;1 ,
B
2;0; 2
,
1; 1; ,
0;3; 4
C D Trên cạnh AB AC AD, , lấy điểm B C D', ', ' thỏa:
' ' '
AB AC AD
AB AC AD Viết phương trình mặt phẳng
B C D' ' '
biết tứ diện AB C D' ' ' tích nhỏ nhất?A 16x40y44z390 B 16x40y44z390 C 16x40y44z390 D 16x40y44z390
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có: 4 33
' ' ' ' ' '
AB AC AD AB AC AD
AB AC AD AB AC AD
(152)' ' ' 27
64
AB AC AD AB AC AD
' ' ' ' ' ' 27
64
AB C D ABCD
V AB AC AD
V AB AC AD ' ' '
27 64 AB C D ABCD
V V
Để VAB C D' ' ' nhỏ ' ' '
AB AC AD
AB AC AD
3 7
' ' ; ;
4 4
AB AB B
Lúc mặt phẳng
B C D' ' '
song song với mặt phẳng
BCD
và qua ' 7; ; 4 B
B C D' ' ' :16
x 40y 44z 39
Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong không gian Oxyz
1
:
1
x y z
d
mặt phẳng
P : 2xy2z40 Mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng
P góc với số đo nhỏ có phương trìnhA x z 20 B x z 20 C 3x y z D xy z Lời giải
Chọn D
Lấy điểm A
0; 1; 2
thuộc đường thẳng dGọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng
PGọi E K, hình chiếu vng góc H lên mặt phẳng
Q đường thẳng d Ta có: AH
P HE,
Q
P , Q
AHE Xét cos HE HKHA HA
Để có số đo nhỏ cos lớn EK Lúc mặt phẳng
Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
HAK
Mặt phẳng
AHK
mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông với mặt phẳng
P,
AHK d P
n u n
vectơ pháp tuyến mặt phẳng
AHK
Suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng
Q nQ ud,nAHK
6; 6;6
phương trình mặt phẳng
Q : xy zCâu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2; 2; 0)A , đường thẳng :
1
x y z
Biết mặt phẳng ( )P có phương trình ax by cz d0 qua A, song song với và khoảng cách từ tới mặt phẳng ( )P lớn Biết ,a b số nguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng a b c d bao nhiêu?
A 3 B 0 C 1 D 1
(153)Gọi H hình chiếu vng góc A đường thẳng Do H H( 1 t t;3 ; 2t) AH ( t 3;3t2;t2)
Do AH AH u 0 với u ( 1;3;1)
1.( t 3) 3.(3t 2) 1.(t 2) 11t 11
t 1H
0; 3;1
Gọi F hình chiếu vng góc H ( )P , đó: d( , ( )) P d H P( , ( ))HFHA Suy d( , ( )) P max HA Dấu “=” xảy FA AH ( )P , hay toán phát biểu lại
“ Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A vng góc với AH ” Ta có AH
2; 1;1
(2;1; 1) , suy n( )P (2;1; 1)
Suy phương trình mặt phẳng ( )P 2(x2) y z 2x y z
Do , * 2,
( , ) 1,
a b a b
a b c d
a b c d
Chọn B
Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng
1
:
1
x y z
d
2
:
2
x t
d y t
z
Mặt phẳng
P :ax by czd 0 (với a b c d; ; ; ) vng góc với đường thẳng d1 chắn1,
d d đoạn thẳng có độ dài nhỏ Tính a b c d
A 14 B 1 C 8 D 12
Lời giải
Ta có mặt phẳng (P) vng dóc với đường thẳng d1 nên (P) có véctơ pháp tuyến n
1; 2;1
Phương trình (P) có dạng
P :x2y z d0Gọi M giáo điểm (P) với d1 N giao (P) với d2 suy ;2 ;10
6
d d d
M
,
4
; ;
3
d d
N
Ta có
2
2 16 155
18 9
d d
MN
Để MN nhỏ MN2 nhỏ nhất, nghĩa d 16 Khi a b c d 14
Chọn A
Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 3xy z hai điểm
1; 0; 2
A , B
2; 1;
Tìm tập hợp điểm M x y z
; ;
nằm mặt phẳng
P cho tam giác MAB có diện tích nhỏA 7
3
x y z
x y z
B 14
3
x y z
x y z
C 7
3
x y z
x y z
D
3
x y z
x y z
(154)Ta thấy hai điểm A B, nằm phía với mặt phẳng
P AB song song với
P Điểm
M P cho tam giác ABM có diện tích nhỏ ( ; )
2 ABC
AB d M AB S
nhỏ d M AB
;
nhỏ nhất, hay M
P Q , Q mặt phẳng qua AB vng góc với
PTa có AB
1; 1; 2
, vtpt
P n P
3;1; 1
Suy vtpt
Q : n Q AB n, P
1; 7; 4
PTTQ
Q : 1
x1
7y4
z2
07
x y z
Quỹ tích M 7
3
x y z
x y z
Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm Gọi mặt phẳng qua cho tổng khoảng cách từ đến lớn biết khơng cắt đoạn Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ?
A B C D
Lời giải Gọi trung điểm đoạn ; điểm
hình chiếu
Ta có tứ giác hình thang đường trung bình
Mà (với không đổi)
Do vậy, lớn
qua vng góc với
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
2;3;1
hai mặt phẳng
P :x2y2z 3
Q :2x2y z Gọi B
P C,
Q cho chu vi tam giác ABC nhỏ Tính P ABBCCAA 321
P B 231
9
P C 321
9
P D 231
9
P
Lời giải Chọn A
Gọi A A1, 2 điểm đối xứng A qua
P , Q ta có BABA CA1, CA21 2
2 321 PA BBCCA A A P
,
Oxyz A
1;0;1 ;
B
3; 2; ;
C
1; 2; 2
P A B C
P
P BC
P
2; 0;
G F
3; 0;
1;3;1 E
H
0;3;1
I BC
, ,
B C I B C I, ,
PBCC B II
,
,
d B P d C P BB CC II
II IA IA
,
,
d B P d C P I A
P A IA
2; 0;
I
P : x 2z E
1; 3;1
P
A
I' C'
B'
I
C B
(155)Dấu xảy B
P A A C1 2,
Q A A1 2 Trong tọa độ A1 nghiệm hệ2
2
2 2
2
1 2
x y z
x y z
4 x y z
1
4 ; ; 3
A
Tọa độ điểm A2 nghiệm hệ
2
2
2 2
2
2
x y z
x y z
2 43 9 x y z
2
2 43 ; ; 9
A
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y2z 3 hai điểm
1; 2;3 ,
3; 4;5
A B Gọi M điểm di động
P Giá trị lớn biểu thứcMA MB
bằng:
A 3 6 78 B 3 3 78 C 546 78 D 3
Lời giải
Ta dễ dàng nhận thấy A
P AB2 P MA MA ABMB MB
Áp dụng định lý hàm số sin:
sin sin
2 cot cos cot
sin 2
MBA AMB MAB MBA AMB MAB
P
MAB
Do Pmax MAB nhọn đạt giá trị nhỏ tù đạt giá trị lớn Điều xảy M nằm đường thẳng hình chiếu AB
P tam giác MAB cân AChọn C
Câu 51: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Mặt phẳng
P qua điểm
1;1;1
M cắt tia Ox, Oy, Oz A a
;0;0
, B
0; ;0b
, C
0; 0;c
cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Khi a2b3cA 1 B 21 C 15 D 18
Lời giải Chọn D
Từ giả thiết ta có a0,b0,c0 thể tích khối tứ diện OABC OABC
V abc Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng
P có dạng x y zabc Mà M
P 1 1a b c
(156)Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho ba số ta có: 1 1 33 abc 27
a b c abc
Do
6
OABC
V abc Đẳng thức xảy a b c
Vậy
2
OABC
V abc Khi a2b3c18
Câu 52: (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM 2019) Cho mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z5
2 16 điểm A
1; 2; 1
Điểm B a b c
; ;
thuộc mặt cầu cho AB có độ dài lớn Tính a b cA 6 B 2 C 2 D 12
Lời giải Chọn A
+ Mặt cầu
S có tâm I
1; 2; 5
và bán kính R 4+ Gọi đường thẳng qua điểm A I Véc tơ phương đường thẳng
0; 0; 4
u IA
phương trình đường thẳng
2
1 x
y t
z t
+ Vì A
1; 2; 1
thuộc mặt cầu
S nên ABcó độ dài lớn AB đường kính B giao điểm lại đường thẳng và mặt cầu
S+ B B
1; 2; t
1 1
2
2 2
2
5
2 16 tB S t
t
+ Với t 0 B
1; 2; 1
(Loại B A)+ Với t 2 B
1; 2; 9
Vậy a b c 6Cách 2: Vì A
1; 2; 1
thuộc mặt cầu
S nên AB có độ dài lớn AB đường kính, tức I trung điểm đoạn ABCâu 53: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z3
2 12 mặt phẳng ( ) : 2P x2yz30 Viết phương trình mặt phẳng song song với
P cắt
S theo thiết diện đường tròn
C cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn
C tích lớnA. ( ) : 2Q x2yz20 ( ) : 2Q x2yz80 B. ( ) : 2Q x2yz 1 ( ) : 2Q x2yz110 C. ( ) : 2Q x2yz60 ( ) : 2Q x2yz30 D. ( ) : 2Q x2yz20 ( ) : 2Q x2yz20
(157)Chọn B
/ / P
: 2x2y z d 0(d 3) Mặt cầu
S có tâm I
1; 2;3
, bán kínhR
2 3
Gọi
H khối nón thỏa đề với đường sinhl R
2 3
Đặt xhd I( ,
) Khí bán kính đường trịn đáy hình nón : r 12x2Thể tích khối nón:
( )
1
(12 )
3
H
V x x, với
0
x
2 3
Xét biến thiên hàm số : ( ) (12 2)3
f x x x
0
x
2 3
Khi f x( ) đạt giá trị lớn x2, hay d I( , ( )) 2
Vậy :
2 2
5 11
2.1 2.( 2)
( , ( )) 2
5
2 ( 1)
d d
d d I
d d
Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , , ,A B C cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác ABC
A x y 2z11 B 8x y z 66=0 C 2x y z 180 D x2y2z120
Lời giải Chọn D
Cách :
Với đáp án A: (11; 0; 0); B(0;11; 0); C(0; 0;11) (11 11 11; ; ) OG2 121
2 3
A G
Với đáp án B: (33;0;0); B(0; 66;0);C(0; 0; 66) (11; 22; 22) OG2 15609
4 16
A G
Với đáp án C: (9;0; 0); B(0;18; 0); C(0;0;18) (3;18 18; ) OG2 81 3
A G
x
M
I
(158)Với đáp án D: ( 12; 0; 0); B(0;6; 0); C(0; 0; 6) ( 4; 2; 2) OG 24
A G
Cách :
Gọi A a
; 0;0 ,
B
0; ; ,b
C
0;0;c
với a b c, , 0 Theo đề ta có :8 1abc Cần tìm giá trị nhỏ a2b2c2
Ta có
2 2
2
2 2
24 1 1
a b c a b c a b c a b c Mặt khác
2 2
2
4 1 1
8 1
2
4 1 36
a b c a b c
a b c
a b c
Suy a2b2c263 Dấu '''' xảy
2
2
2
4 a
b c a b c
Vậy a2b2c2đạt giá trị nhỏ 216 a12,b c Vậy phương trình mặt phẳng :
12 6
x y z
hay x2y2z120
Câu 55: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng
P qua điểm M
1; 2;3
cắt trục, ,
Ox Oy Oz ba điểm A B C, , khác với gốc tọa độ O cho biểu thức
2 2
1 1
OA OB OC có giá trị nhỏ
A
P :x2y z 140 B
P :x2y3z140 C
P :x2y3z11 0 D
P :xy3z140Lời giải Chọn B
Gọi H trực tâm ABC
Ta có: BH AC AC
OBH
AC OH
1OB AC
Chứng minh tương tự ta có: BC OH
2 (159)Ta có: 12 12 12 2 OA OB OC OH Vậy để biểu thức 12 12 2
OA OB OC đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn Mà OH OM nên suy OH đạt giá lớn OM hay H M
Vậy OM
ABC
P có vectơ pháp tuyến OM
1;2;3
Phương trình mặt phẳng
P : 1
x1
2
y2
3
z3
0x2y3z140Câu 56: Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M
1; 2;3
cắt ba tia Ox, Oy, Oz A,B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?A 6x3y2z180 B 6x3y3z21 0 C 6x3y3z21 0 D 6x3y2z180
Lời giải Chọn D
Giả sử A a( ;0; 0), B(0; ; 0), (0; 0; ) ( , ,b C c a b c0) (ABC): x y z
abc (1)
M(1;2;3) thuộc (ABC): abc Thể tích tứ diện OABC:
6 V abc
Áp dụng BDT Cơsi ta có: 1 33 1 27.6 27 27
6abc V
a b c abc abc
Ta có: V đạt giá trị nhỏ
3
1
27
3
9 a
V b
a b c
c
Vậy (ABC): 6x3y2z180
Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :x y z hai điểm
3; 4;1 ,
7; 4; 3
A B Gọi M x y z
0; 0; 0
điểm thuộc mặt phẳng
P cho
2
2 96
MA MB MA MB MA MB MA MB đạt giá trị lớn Tính y0 A
7
y B
5
y C
8
y D
2 3
y
Lời giải Chọn C
22
2 96
MA MB MA MB MA MB
22
2 96
MA MB MA MB MA MB
2
2
296 96
MA MB MA MB AB MA MB
MA MB
2 MA MB MA MB Khi theo AM – GM Pitago, ta có2 2
48
2
MA MB AB
(160)Dấu xảy AMB vng cân M , tọa độ điểm M nghiệm
hệ
2 2
0 0
2 2
2
7
3 48 , ,
3 3 3
7 48
x y z
x y z x y z
x y z
(161)GÓC
Câu 1: (Ba Đình Lần2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P có phương trình:ax by cz với c0 qua điểm A
0;1; 0
, B
1;0; 0
tạo với
Oyz
góc 60 Khi a b c thuộc khoảng đây?A
5;8
B
8;11
C
0;3
D
3;5
Lời giảiChọn C
Mặt phẳng
P qua hai điểm A, B nên 1b
a b
a
Và
P tạo với
Oyz
góc 60 nên
2 2
1
cos ,
2 a
P Oyz
a b c
(*) Thay ab1 vào phương trình 2c2 2 c
Khi a b c 2 2
0;3
Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x1)2y2(z2)2 4 đường thẳng
2
:
1
x t
d y t
z m t
Tổng giá trị thực tham số m để d cắt
S hai điểm phân biệt ,A B tiếp diện
S ,A B tạo với góc lớnA 1, B 3 C 1 D 2, 25
Lời giải Chọn C
Mặt cầu
S có tâm I
1;0; 2
bán kính R 2Các tiếp diện
S A B tạo với góc lớn ( 90) IA IB
,
2 R d I d
Đường thẳng d qua điểm M
2; 0;m1
có VTCP u
1;1; 1
Suy ra: IM
1;0;m1
, IM u,
m 1; m;1
2
2
, 2 2 2 1
, 2 2
2
IM u m m m
d I d m m
m u
Vậy tổng giá trị thực tham số mbằng 1
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
2; 2; ,
B
2;0; 2
mặt phẳng
P :x2y zTìm điểm M
P cho MAMB góc AMB có số đo lớn A 14; 1;11 11 11 M
B
2
; ;
11 11 11 M
C M
2; 1;
D M
2; 2;1
Lời giải (162)Ta có
2
2
2
22
2 2
x y z
M P
x y z x y z
MA MB x z y z
Do M
3z 1; z z;
MA
1 ; 2 z z;z
,MB
1 ; ; 2 z z z
Do
2
2 2
1 2
cos
1 3 2
z z z z z
MA MB AMB
MA MB z z z
27 54 11 11 11 z arccos 27 AMB
Dấu đạt 11
z 14; 1;
11 11 11
M
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’:
Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) tạo với mặt phẳng Oyz góc nhỏ
A B
C D
Lời giải
Giả sử (β): (đk: ), (β) có vtpt
d (β)
=
TH 1: A = (không thoả đb khơng nhỏ nhất) TH 2: A ≠ 0, ta có:
= = =
nhỏ lớn nhỏ
3 2 x t y t z t ' '
2 ' x t y t z t
3xy 2z70 3xy 2z 7
3
xy z 3x y 2z70
0
Ax By Cz D A2B2C20 ( ; ; )
n A B C
( ) A n a
3 2 0
2
A B D
A B C
2 2
D A C
B A C
cos(( ),( )) cos( , )
Oyz n i
2 2
( 2)
A
A A C C
( ), ( Oyz)
cos(( ), ( Oyz))
2
1
1 (1 C ) ( )C
A A
2
1
6 12
( 3) 2 ( )
3 C C A A 12
( )
3
C A
( ), ( Oyz) cos(( ),( Oyz)) ( 6)2
(163) nên Vậy: (β):
Chọn D
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): đường thẳng Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ
A B
C D
Lời giải
PT mặt phẳng (P) có dạng: Gọi
Chọn hai điểm Ta có:
(P):
TH1: Nếu a =
TH2: Nếu a Đặt
Xét hàm số
Dựa vào BBT, ta thấy
Do có trường hợp thoả mãn, tức a = Khi chọn
Vậy: (P):
Chọn A
Câu 6: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho hinh lập phương 1 1
ABCD A B C D biết A
0;0;0
, B
1;0; 0
, D
0;1; 0
,A1
0; 0;1
Gọi
P :ax by cz 3 (với a b c, , ) phương trình mặt phẳng chứa CD1 tạo với mặt phẳng
BB D D1 1
góc có số đo nhỏ Giá trị T a b c A 1. B 6 C 4. D 3
Lời giải Chọn C
1 (choïn)
A C
1
7
B D
3xy 2z70
x2y z 50
x y z
d: 1
2 1
P :y z 40
P : x z 40
P : x y z 40
P :y z 40ax by cz d 0 (a2b2c20) a (( ),( ))
P QM( 1; 1;3), (1; 0; 4) N d M P c a b
N P d a b
( )
( )
axby ( 2a b z ) 7a4b0 a b
a2 ab b2
3
cos
6 5 4 2
b b2
3
cos
2 2
a 300
b a
b b
a a
2
1
cos
6
5
b x
a
f x( ) cos 2
x x
f x
x x
2
2
9
( )
6
f x 0
min ( ) 0 cos 0a 90 30
b1,c1,d4
(164)Từ giả thiết ta có C
1;1; 0
, B1
1; 0;1
, D1
0;1;1
Gọi d giao tuyến
P
BB D D1 1
, E trung điểm AC; K hình chiếu vng góc E d Ta có
, 1
d CE
d ECK P BB D D EKC
d EK
Do
1 1
1
sin , sin
2
CE CE
P BB D D EKC
CK CD
suy góc mặt phẳng
P
BB D D1
nhỏ 30
Dấu "=" xảy d vuông góc vớiCD1, mặt khác d vng góc với AC suy d phương với CD AC1,
Do
1 1; 0;1
CD ;AC
1;1;0
; nP CD AC CD1, , 1
1;2;1
Vậy
P :x2y z 0, a b c 4Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa cho góc mặt phẳng đường thẳng lớn
A xy z 60 B 7xy5z 9 C xy z D xy z Lời giải
Ta có: qua có
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Ta có: Gọi Với
Với Đặt , ta
Oxyz 1:
1
x y z
d
2
:
2
x y z
d
( )P d1
( )P d2
1
d M(1; 2; 0) VTCPu(1;2; 1)
( )P 2
( 1) ( 2) 0,( 0)
A x B y Cz A B C
( )
d P u n CA B
2
2 2 2 2
4 1 (4 3 )
(( ), ) sin
3
3
A B A B
P d
A AB B
A AB B
0
B sin 2
3
0
B t A
B
2
2
1 (4 3)
sin
3
t
t t
(165)Xét hàm số Ta có:
Dựa vào BBT ta có: Khi đó:
Vậy Phương trình mặt phẳng
Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
1
x y z
d
2
:
2
x y z
d
Gọi
P mặt phẳng chứa d1 cho góc mặt phẳng
P đường thẳng d2 lớn Chọn mệnh đề mệnh đề sau:A
P có vectơ pháp tuyến n
1; 1; 2
B
P qua điểm A
0; 2; 0
C
P song song với mặt phẳng
Q : 7x y 5z 3 D
P cắt d2 điểm B
2; 1; 4
Lời giải
d qua M
1; 2; 0
có VTCP u
1; 2; 1
Vì d1
P nên M
P Pt mặt phẳng
P có dạng: A x
1
B y
2
Cz0
A2B2C2 0
Ta có: d1
P u n 0 CA2BGọi
2
2 2 2 2
4
, sin
3
3
A B A B
P d
A AB B
A AB B
TH1: Với B0 sin 2
TH2: Với B0 Đặt t A B
, ta được:
2
2
4
1 sin
3
t
t t
Xét hàm số
2
4
2
t f t
t t
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
25 max7
f x t 7
A B
Khi sin
7 f
So sánh TH1 TH2 lớn với sin
A
B
2
(4 3) ( )
2
t f t
t t
2
2
16 124 84
'( )
(2 5)
t t
f t
t t
3
'( ) 4
7
t f t
t
25 max ( )
3
f t t 7 A
B
5 sin ( 7)
9
f
5 sin
9
A
(166)Vậy phương trình mặt phẳng
P : 7x y 5z 9 Chọn BCâu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng mp Viết phương trình mặt phẳng qua d tạo với góc nhỏ
A B
C D
Lời giải
Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng:
Do mặt phẳng qua d thuộc chùm mặt phẳng:
Hay mp : (*) Mp có
Vậy:
Do nhỏ lớn
Vậy thay vào (*) ta có mp
Chọn B KHOẢNG CÁCH
Câu 10: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A
10; 2;1
đường thẳng1
:
2
x y z
d Gọi
P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d cho khoảng cách d
P lớn Khoảng cách từ điểm M
1; 2;3
đến mp
P A 9715 B
76 790
790 C
2 13
13 D
3 29 29 Lời giải:
:
2
x t
d y t
z t
P : 2x y 2z 2
R
P3
x y z x y z
3
x y z x y z
1
2
1
2
1
x y
x y
x z x z
R
R 2x y m x
z 2
R
2m x
y mz 1 2m0
R
1 2;1; ; P 2; 1;
n m m n
1
2 2 2
1
2 2
5
cos
3 3
3
2 4
P P
m m
n n
m m
n n m m m
cos m1
(167)
P mặt phẳng qua điểm A song song với đường thẳng d nên
P chứa đường thẳng dđi qua điểm A song song vớiđường thẳng d
Gọi H hình chiếu A d , K hình chiếu H
PTa có d d P
,
HKAH (AH không đổi) GTLN d d( , ( ))P AH d d P
,
lớn AHvng góc với
PKhi đó, gọi
Q mặt phẳng chứa A d
P vng góc với
Q
, 98;14; 70
97
:7 77 ,
15
P d Q
n u n
P x y z d M P
Câu 11: Cho mặt phẳng
P qua hai điểm A
3, 0, ,
B
3, 0, 4
hợp với mặt phẳng
xOy
góc 30 cắt y Oy' C Tính khoảng cách từ O đến
PA 4 B C 3 D 2
Lời giải
Vẽ OH KC với K giao điểm AB trục z Oz'
Ta có: C 300 K 60 ;0 OK
, sin 60
3
4
2
d O P OH OK
Chọn D
30
P
-3
3
B
y z
O
x
K
A
C x' H
d'
d
K H
(168)Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm A
1; 0;0 ,
B
2;0;3 ,
M
0; 0;1
N
0;3;1
Mặt phẳng
P qua điểm M, N cho khoảng cách từ điểm B đến
P gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến
P Có bao mặt phẳng
P thỏa mãn đầu bài?A Có vơ số mặt phẳng
P B Chỉ có mặt phẳng
P C Khơng có mặt phẳng
P D Có hai mặt phẳng
PLời giải Chọn A
Giả sử
P có phương trình
2
z 0
ax by c d a b c Vì M
P c d 0 d cVì N
P 3b c d 0 hay b0 c d 0
P ax cz c:
Theo ra: d B P
,
2d A P
,
2 2
2
2
a c c a c
a c a c
c a a c
Vậy có vơ số mặt phẳng
PCâu 13: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng
qua điểm M
1; 2;1
cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho độ dài OA OB OC, , theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng
A
21 B
21
21 C
3 21
7 D 9 21
Lời giải Chọn C
Đặt OAa
a0
Khi OB2a, OC4aÁp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có mặt phẳng
có phương trình2
x y z
a a a
Do M
1; 2;1
nên 12
a a a
9
1
4a a
(thỏa mãn a0) Phương trình tổng quát mặt phẳng
là: 4x2y z 0z
y x
O M
A B
(169)Suy ra:
2 2
4.0 2.0 21 ;
7
4
d O
Câu 14: (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A
1, 2, 0
;B
3, 3, 2
;C
1, 2, 2
;D
3, 3,1
Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng
ABC
A7 B
9
7 C
9
14 D
9 Lời giải
Chọn A
Ta có:
Mặt phẳng
ABC
có nAB AC;
1, 4, 9
véc-tơ pháp tuyến
ABC
qua điểm
1, 2, 0
A nên có phương trình dạng:
1 x1 4 y2 9 z0 x4y9z 9 Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ điểm D:
2
22 2
4 9 4.3 9.1 9
,
7
1 9
D D D
x y z
d D ABC
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y z chứa hai mặt hình lập phương Thể tích khối lập phương
A 27
V B 81
8 V
.
C
2
V D 64
27 V Lời giải
Theo hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y z chứa hai mặt hình lập phương Mà hai mặt phẳng ( ) : 4P x4y2z 7 ( ) : 2Q x2y z song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng cạnh hình lập phương
Ta có M(0; 0; 1) ( )Q nên
2 2
2
(( ), ( )) ( , ( ))
2
4 ( 4)
d Q P d M P
Vậy thể tích khối lập phương 2 3 27
V
Câu 16: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng
AB D
BC D
A
3 B C
3
2 D
2 Lời giải
Chọn A
(170)
0; 0; 2; 0; 2; 2;0 0; 2; 0;0; 2;0; 2; 2; 0; 2;
A B C D
A B C D
2;0; , 0; 2; , 2; 2; , 0; 2;
AB AD
BD BC
* Mặt phẳng
AB D
qua A
0; 0; 0
nhận véctơ
1
, 1; 1;1
4
n AB AD
làm véctơ pháp tuyến Phương trình
AB D
xy z* Mặt phẳng
BC D
qua B
2; 0; 0
nhận véctơ ,
1;1; 1
m BD BC làm véctơ pháp tuyến
Phương trình
BC D
x y zSuy hai mặt phẳng
AB D
BC D
song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
BC D
:
,
23
d A BC D
Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm
,
1.2 33 3
d AB D BC D AC
Câu 17: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Trong không gian Oxyz cho M
1 2; ;1
Gọi
P mặt phẳng qua điểm M cách gốc tọa độ O khoảng lớn Mặt phẳng
P cắt trục tọa độ điểm A,B ,C Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABCA 27 6 B 216 6 C 972 D 243
2
Lời giải
Chọn D
Gọi Hlà hình chiếu O mặt phẳng
P Khi đó: d O , P
OHTrong tam giác vuông OHM : OH OM nên d O , P
đạt giá trị lớn
d O , P OM hay OM
PA' D'
C' B'
B
C
(171)Phương trình mặt phẳng
P qua M
1 2; ;1
nhận OM
1 2; ;1
làm véc tơ pháp tuyến x2y z 6
P cắt trục Ox ,Oy ,Oz A
6 0; ;
,B
0 0; ;
,C
0 0; ;6
Xét tứ diện OABC' với OC ' 6,OA6,OB 3Gọi I trung điểm AB, mp
OAB
Gọi dqua I song song trục Oz Lấy H trung điểm OC' Mặt phẳng trung trực OC' qua H cắt d G Suy : GC ' GOGAGBRTam giác vuông OAB: 1 2 45
6
2 2
OI AB 45
2
OI HG
1
3
OH OC'
Tam giác vuông OHG : 2
2 ROG HG OH
Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC' 243
3
V R (đvtt)
Câu 18: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P qua điểm M
2;3;5
cắt tia Ox Oy Oz, , ba điểm A B C, , cho OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội Khoảng cách từ O đến mặt phẳng
P A 1691 B
24
91 C
32
91 D
18 91 Lời giải
Chọn C
Vì
P cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , nên ta gọi tọa độ điểm
; 0; ,
0; ;0 ,
0; 0;
A a B b C c với a b c, , 0 Khi phương trình mặt phẳng
P :x y zab c Vì M
2;3;5
Pa b c
Vì đô dài đoạn OA OB OC, , lập thành cấp số nhân với công bội 3
3
b a
c b a
32
2 32
1
3 9
32 b a
a a a
c
Khi ta có phương trình mặt phẳng
:32 32 32
9
x y z
P
Hay
P : 9x3y z 320 Do đó:
2 2
32 32
;
91
9
d O P
(172)Bài dùng cách khác sau: Khoảng cách từ O đến
ABC
:
2 2
1 1
91
3
a h
h a a a
Mà 32
9
a (theo trên) từ tìm 32 91
h
Câu 19: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho đường
thẳng : 1
2
x y z
d mặt phẳng
P : 2xy z Mặt phẳng
Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
P Khoảng cách từ điểm O
0;0;0
đến mặt phẳng
Q A 13 B
1
3 C
1
5 D
1 Lời giải
Chọn C
+ Đường thẳng : 1
2
x y z
d qua điểm M
1;0; 1
có vectơ phương
2;1;3
u
+ Mặt phẳng
P : 2xy z có vectơ pháp tuyến n P
2;1; 1
+ Gọi
Q
n vectơ pháp tuyến mặt phẳng
QVì mặt phẳng
Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
P nên
Q
Q P
n u
n n
và
Q qua điểm M
1;0; 1
Do mặt phẳng
Q có vectơ pháp tuyến
4;8; 0
4 1; 2; 0
Q P
n u n
Phương trình mặt phẳng
Q là: 1.
x1
2
y0
0 x 2y 1 + Vậy khoảng cách từ điểm O
0;0;0
đến mặt phẳng
Q
22
0 2.0 1
;
5
1
d O Q
Câu 20: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
Pm
:mxm m
1
y
m1
2z 1 (m tham số) đường thẳng d có vec-tơ phương u
1; 2; 3
Đường thẳng song song với mặt phẳng
Oxy
, vng góc với d cắt mặt phẳng
Pm điểm cố định Tính khoảng cách h từ A
1; 5; 0
đến đường thẳng A h5 B h 19 C h 21 D h2 Lời giải
Chọn C
Ta có
2 2
1 1
mxm m y m z m yz m x y z z Giả sử M x
0; y z0; 0
điểm cố định mà mặt phẳng
Pm qua
2
0 0 0
m y z m x y z z m
(173)0
0 0
0
0
2
1
y z
x y z
z
0
0
0
1 x y z
Suy M
3; 1; 1
Vì cắt mặt phẳng
Pm điểm cố định M điểm cố định mà mặt phẳng
Pm qua nên M
3; 1;1
Mặt phẳng
Oxy
có vec-tơ pháp tuyến n
0; 0; 1
Vì //
Oxy
d
nên có vec-tơ phương u1u n,
2; 1; 0
Vậy qua M
3; 1; 1
có vec-tơ phương u1
2; 1; 0
Do ta có
1 ,
d , 21
u AM
h A
u
Câu 21: (KINH MƠN II LẦN NĂM 2019) Trong khơng gian Oxyz, choA
1; 2; 2
, B
2;1; 2
,
1;5;1
C , D
3;1;1
E
0; 1; 2
Có mặt phẳng cách năm điểm cho?A Vô số B 1 C 2 D 3
Lời giải Chọn D
Ta có: AB
1; 1; 0
, CD
4; 4; 0
, AD
2; 1; 1
, BC
3; 4; 1
Nhận thấyCD AB
ADBC bốn điểm A B C D, , , tạo thành hình thang hai đáy ABvà CD Mặt khácAC
2; 3; 1
AB AC,
1;1;1
nên
ABC
:x y zSuy E
ABC
Vậy điểm A B C D E, , , , tạo thành hình chóp có đỉnh E Gọi M N, ; P Q, ; R S, trung điểm AC BD, ; EB EA, ; EC ED,Ta dễ chứng minh mặt phẳng
MNQP
,
MNSR
,
PQRS
mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy có mặt phẳng cách điểm choCâu 22: Trong không gian với hệ toạ độ , gọi mặt phẳng qua hai điểm đồng thời hợp với mặt phẳng góc Khoảng cách từ O tới
A B C D
Lời giải
Oxyz
A
2; 0;1
2; 0;5
B
Oxz
45
3
3
1
(174)Gọi hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng mặt phẳng Ta có:
Suy tam giác vng cân Khi đó:
Mặt khác:
Khi đó: Chọn A
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a
;0; ,
B
0; ; ,b
C
0; 0;c
với , ,a b c dương Biết ,A B C, di động tia Ox Oy Oz, , cho a b c 2 Biết , ,a b c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng
P cố định Tính khoảng cách từ M
2016; 0; 0
tới mặt phẳng
PA 2017 B 2014
3 C
2016
3 D
2015 Lời giải
Chọn D
Gọi
mặt phẳng trung trực đoạn OA
qua điểm ; 0;0 a D
có VTPT OA
a; 0; 0
a
1; 0; 0
:2 a x
Gọi
mặt phẳng trung trực đoạn OB
qua điểm 0; ;0 a E
có VTPT OB
0; ; 0a
a
0;1; 0
:2 a y
Gọi
mặt phẳng trung trực đoạn OC
qua điểm 0; 0; a F
có VTPT OC
0;0;a
a
0; 0;1
:2 a z
;
K H O AB
,A B Oxz
Oxz
AB
OH HK AB
OK AB
OK AB
Oxz ,
KH OK,
OKH
OHK H
,
2 OK d O OH
,
2
OA AB
OK d O AB
AB
,
2 OK
d O OH
450
H K
(175)Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
; ; 2 a a aI I
Mà theo giả thiết,
:2 2
a b c
a b c I P x y z Vậy,
,
2016 20153
d M P
Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi d đường thẳng qua điểm A
1, 0, 0
có hình chiếu mặt phẳng
P :x2y2z 8 d' Giả sử giá trị lớn nhỏ khoảng cách từ điểm M
2, 3, 1
tới d' Tính giá trị T ?A B
2 C
2
2 D
6 Lời giải
Ta có xét A hình chiếu A
P Khi đường thẳng d' qua điểm A Ta gọi G hình chiếu M đường thẳng d' H hình chiếu M
P Ta có đánh giá:6 MH MGMA T MAMH
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm Mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ đến (P) đạt giá trị lớn (P) có vectơ pháp tuyến
A B C D
Lời giải - Khoảng cách từ K đến (P) lớn KH, H’ trùng H
- Vậy mặt phẳng (P) qua MN vuông góc với KH - Tìm H viết (P) hoặc:
- (P) chứa MN vng góc với (MNP) Gọi H, H’ hình chiếu K lên MN (P)
Ta có: khơng đổi
Vậy lớn H’ trùng H hay (P) vng góc với KH
;
(0; 1;2)
M N( 1;1; 3)
0; 0;2
K
(1;1; 1) (1; 1;1) (1; 2;1) (2; 1;1)
( ,( )) '
d k P KH KH
( ,( ))
d K P
(0;1; 0); (1; 1; 1)
MK NK
( 1;2;1) MN
P M
N K
(176)(MNK) có vtpt
Do nên HK có vtcp
Chọn A
Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; ,) B(1;2; 4) I(1;3; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, cho khoảng cách từ I đến (P) lớn
A 3x7y6z350 B 7xy5z 9 C xy z D x y z
Lời giải
Ta có IA 322242 29 IB 02 52 22 29 Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB, IA=IB nên IMAB, ta có
1 ; ;5 ; 2
M 94
2
IM
Gọi H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P):
Nếu H, M hai điểm phân biệt tam giác IHM vng H, IH<IM hay 94
2
IH
Nếu H trùng với M 94
IH IM
Vậy ta có 94
IH , IH lớn HM
Khi (P) có vectơ pháp tuyến 7; ;3 2
P
n IH IM Vậy phương trình mặt phẳng (P) 3
2
7
1
3
6
2 x 2 y z hay 3x7y6z350 Chọn A
Câu 27: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019)Trong không gian Oxyz, cho điểm M m; ;
0
, N
0;n;0
,
0
P ; ; p không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m2n2p2 3 Tìm giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng
MNP
A 1
3 B C
1
3 D
1 27 Lời giải
Chọn C
Do M, N , P không trùng với gốc tọa độ nên m0, n0, p0
Phương trình mặt phẳng
MNP
là: x y z 1 x y z mn p m n p
, ( 1;0; 1)
n MK NK
( )
HK MNK HK MN
, (2;2; 2)
(177)
2 2
1
1 1
d O, MNP
m n p
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương
m ,
n , p2và ba số dương 12 m ,
1 n ,
1
p ta có:
2 2 33 2
m n p m n p
2 2 2
1 1
3
m n p m n p
2 2
2 2
1 1
9
m n p
m n p
; Mà m2n2 p2 3suy ra:
2 2 2
2 2
1 1 1 1
3
1 1
m n p m n p
m n p
3 d O, MNP
Dấu xảy m2 n2 p2 1
Vậy giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng
MNP
làCâu 28: Cho điểm A(0;8; 2)và mặt cầu ( )S có phương trình 2
( ) : (S x5) (y3) (z7) 72 điểm B(9; 7; 23) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua Atiếp xúc với ( )S cho khoảng cách từ Bđến ( )P lớn Giả sử n (1; ; )m n vectơ pháp tuyến ( )P Lúc
A m n 2 B m n 2 C m n 4 D m n 4 Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng ( )P qua Acó dạng a x( 0)b y( 8)c z( 2)0ax by cz8b2c0 Điều kiện tiếp xúc:
2 2 2
5 11
( ; ( )) a b c b c a b c
d I P
a b c a b c
(*) Mà
2 2 2
9 23 15 21
( ; ( )) a b c b c a b c
d B P
a b c a b c
2 2
5a 11b 5c 4(a b )c
a b c
2 2 2
2 2 2 2 2
5 11 ( 1)
4 18
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
Dấu xảy
1
a b c
(178)Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a
; 0; 0
, B
0, , 0b
, C
0, 0,c
với a, b ,c số dương thay đổi thỏa mãn a24b216c2 49 Tính tổng S a2b2c2 khoảng cách từ O đến mặt phẳng
ABC
đạt giá trị lớnA 51
S B 49
4
S C 49
5
S D 51
4 S Lời giải
Chọn B
Phương trình mặt phẳng
ABC
: x y zabc
x y z
a b c
2 2
0 0
1 ;
1 1
a b c
d O ABC
a b c
2 2 2
1
1 1 P
a b c
max
P T 12 12 12 min
a b c
22 2 2
1
1 16
4 16 16
T
a b c a b c
2
1 49
min
S Dấu xảy 12 22 42
4 16
a b c
2
2b a
; 4c2 a2
2 2
4 16 49
a b c
2
2
4 16 49
2
a a
a
a2 7,
2
b , c
Vậy 2 49
4 Sa b c
Câu 30: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi
P :ax by cz 3 (với a b c, , số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M
0; 1; ,
N
1;1;3
không qua điểm H
0; 0; 2
Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng
P đạt giá trị lớn Tổng T a 2b3c12A 16 B 8 C 12 D 16
Lời giải Chọn D
Gọi Klà hình chiếu H lên
P , E hình chiếu H lên MNM H
K E
(179)Ta có : d H P
;
HK d H MN
;
HE, HK HE(không đổi)Vậy d H
;
P
lớn K E, với E hình chiếu H lên MN 1; 7;3 3
E
Vậy mặt phẳng
P cần tìm mặt phẳng nhận 1; 1;3 3
HE
làm vectơ pháp tuyến qua M
P : x y z Vậy
1
1 16
1 a
b T
c
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Câu 31: (Sở Hà Nam)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :x2y z mặt cầu
2: 10
S x y z x z Gọi
Q mặt phẳng song song với mặt phẳng
P cắt mặt cầu
S theo giao tuyến đường trịn có chu vi 6 Hỏi
Q qua điểm số điểm sau?A M
6; 0;1
B N
3;1; 4
C J
2; 1;5
D K
4; 1; 2
Lời giảiChọn C
Mặt cầu
S có tâm I
1; 0; ,
R 15Gọi đường tròn giao tuyến
S
Q có bán kính r, theo đề2
C r r 2
15
(180)
P // Q
Q :x2y z D0
D7
7
,
5 /
D l
D
d I Q IH
D t m
:
Q x y z
Thay điểm đáp án vào phương trình
Q J thỏa mãnCâu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hai mặt cầu
S1 :x2 y2 z2 6
S2 : x1
2
y1
2
z1
2 6 Biết mặt phẳng
P :axbycz60
a0
vng góc với mặt phẳng
Q : 3x2y z đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu cho Tích abcA 2 B 2 C 0 D 1
Lời giải Chọn A
Ta có:
S1 có tâm I1
0; 0; 0
bán kính R1
S2 có tâm I2
1;1;1
bán kính R2 Mặt phẳng
P :axbycz60
a0
có vectơ pháp tuyến n P
a b c; ;
a0
Mặt phẳng
Q : 3x2y z có vectơ pháp tuyến n Q
3; 2;1
Vì Mặt phẳng
P mặt phẳng
Q vng góc n P n Q 03a2b c 1
Mặt phẳng
P đồng thời tiếp xúc với cà hai mặt cầu nên
1
2
; ;
d I P R
d I P R
2 2
2 2
6
6
6
a b c
a b c
a b c
2 2 2
2 2
0
| |
12
6
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
(2)
Từ (1) (2) TH1:
2 2 2
3
0 2
1
6
a b c c a c
a b c b a b
a
a b c a a a
2 abc
TH2:
2 2 2 2
3 24 24
12 12 12
6 (12 ) ( 24) 96 684 0(VN)
a b c c a c a
a b c b a b a
a b c a a a a a
Ta chọn đáp án A Cách khác :
Ta có:
S1 có tâm I1
0; 0; 0
bán kính R1
S2 có tâm I2
1;1;1
bán kính R2 ; Mặt phẳng
Q : 3x2y z có vectơ pháp tuyến n Q
3; 2;1
(181)
Ta lại có mặt phẳng
P vng góc với mặt phẳng
Q nên mặt phẳng
P nhận
1 2, Q 1; 2; I I n
làm vectơ pháp tuyến Vì
P có vectơ pháp tuyến n P
a b c; ;
a0
nên
1
b a
a b c
c a
Khi phương trình mặt phẳng
P viết lại là: ax2ay az 6Mặt phẳng
P tiếp xúc với mặt cầu
S1 nên
1,
1 6d I P R a
a
Suy phương trình mặt phẳng
P :1x2y z Vậy tích abc 2Câu 33: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2: 2
S x y z x z đường thẳng :
1 1
x y z
d
Hai mặt phẳng
P
Q chứa d tiếp xúc với mặt cầu
S A B Gọi H a b c
; ;
trung điểm AB Giá trị a b c A 1
6 B
1
3 C
2
3 D
5 Lời giải
Chọn B
Mặt cầu
S có tâm I
1;0; 1
bán kính R 1202
1 2 1 Mặt phẳng
qua I vng góc với đường thẳng d có phương trình:
1 x1 1 y0 1 z1 0 x y z
Gọi K hình chiếu I d, K d K t
; 2 t; t
0
0;2;0
K P t t t t K
Mặt phẳng
cắt
S theo đường tròn lớn
C , có A B,
C H IKAB
0 1
2
2 0
2
0 1
2IK
2 1
6
IH
IH IK IA IH IK
IK
( IH IK , hướng) P
Q
H I A
(182)
1
1
6
1 1
0
6 3
1
1
6
a a
b b a b c
c c
Câu 34: (Ba Đình Lần2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : mx2y z 0 (m tham số) Mặt phẳng
P cắt mặt cầu
2
2S : x2 y 1 z 9 theo đường trịn có bán kính Tìm tất giá trị thực tham số m?
A m 1 B m 2 C m 4 D m 6 Lời giải
Chọn D
Từ
2
2S : x2 y 1 z 9 ta có tâm I
2;1; 0
bán kínhR Gọi H hình chiếu vng góc I
P
P S C H r
;
với r2Ta có IH d I P
;
2
2 2
4
m m
IH
m m
Theo yêu cầu tốn ta có R2 IH2r2
2
2
9
5 m m
12 16
6 m
m m
m
Câu 35: (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x2y z 7 mặt cầu
S : x2y2z22x4y6z11 0 Mặt phẳng
Q song song với
P cắt
S theo đường trịn có chu vi 6 có phương trìnhA
Q :2x2y z 170 B
Q :2x2y z C
Q :2x2y z 190 D
Q :2x2y z 170Lời giải Chọn A
Ta có mặt cầu
S có tâm I
1; 2;3
, bán kính R 11 5 Đường trịn
C có chu vi 6 nên có bán kính là:2 C
r
Mặt phẳng
Q song song với mp
P nên phương trình mặt phẳng
Q là:2x2y z D0
D 7
A
I
(183)Vì
Q cắt
S theo giao tuyến đường tròn
C nên
2 2
, 25 , ,
C
r R d I Q d I Q d I Q
2.1 2 17
4 12
7 4
D D
D
D
Kết hợp điều kiện D 7 ta có phương trình
Q :2x2y z 170Câu 36: (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A a
; 0; ,
B
0; ;0 ,b
C
0; 0;c
với a b c, , 0 Biết mặt phẳng
ABC
qua điểm 4; ;3 3 M
tiếp xúc với mặt cầu
S : x1
2
y2
2
z2
2 1 Thể tích khối tứ diện OABC bằng:A 4 B 6 C 9 D 12
Lời giải Chọn C
Mặt cầu
S có tâm I
1; 2; 2
bán kính R 1 Ta có2 2
2 4
1 2
3 3
IM R
Suy mặt phẳng
ABC
tiếp xúc với mặt cầu
S điểmM Nên mặt phẳng
ABC
có véctơ pháp tuyến 2; ;3 3 MI
Phương trình mặt phẳng
:1 2 43 3 3
x y z
ABC x y z
Suy a6;b3;c3
Vậy
6 OABC
V abc
Câu 37: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d
mặt cầu
2 2
: 2
S x y z Hai mặt phẳng
P
Q chứa d tiếp xúc với
S Gọi M ,N tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MNA 2 B
3 C D 4
(184)dnằm hai mặt phẳng ( )P ( )Q nên dchính giao tuyến hai mặt phẳng Mặt cầu
S có tâm I
1; 2;1
bán kính RMặt phẳng
qua I vng góc với đường thẳng d có phương trình:
2 x1 1 y2 4 z1 02x y 4z 4
Gọi K hình chiếu I d, K d K
2 ; t t; 4t
K
2 2t t 4.4t
t K
2; 0; 0
Mặt phẳng
cắt
S theo giao tuyến đường trịn lớn
C Ta có M N,
C gọi H IKMN Suy H trung điểm MN
2 1
2
0 2
2
0 1
2IK
Ta có 2
6 IH IK IM IH nên
2
2 2
2 2
3
6
MN HM IM
Câu 38: (Sở Phú Thọ) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S : x2
2
y1
2
z 2
2 9hai điểm A
2; 0; 2 ,
B
4; 4; 0
Biết tập hợp điểm M thuộc
S cho16
MA MO MB
đường trịn Bán kính đường trịn
A B C D
Lời giải ChọnC
Gọi điểm thuộc mặt cầu Vì nên
Ta thấy tọa độ thỏa phương trình phương trình mặt cầu
Như điểm nằm giao tuyến hai mặt cầu ,đó đường trịn Để tìm bán kính đường trịn giao tuyến ta làm sau:
Bằng cách khử từ phương trình ta phương trình Phương trình phương trình mặt phẳng
3 2
; ;
M x y z
S MA2MO MB 16
2
2 22 2 4 16
x y z x y z x y
2 2
2x 2y 2z 8x 4y 2z 12 16
2 2
4 2 2
x y z x y z S
M
SM
S
S2 2 , ,
x y z
S
S y0
P (185)Như điểm nằm giao tuyến mặt cầu (hoặc được) với mặt phẳng
Mặt cầu có tâm bán kính
Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là:
Vậy bán kính đường trịn giao tuyến
Bình luận:
+ Thực chất giả thiết muốn cho thêm điểm nằm mặt cầu khác Chỗ ta thay đổi giả thiết để có tốn tương tự Ngồi ta thay đổi điều kiện để điểm nằm mặt phẳng có tương giao với mặt cầu
+ Trong Lời giải trên, ta thấy cho hai mặt cầu tương giao, sau loại trừ phần bậc hai, ta thu phương trình mặt phẳng Mặt phẳng gọi Mặt đẳng phương hai mặt cầu Khái niệm mở rộng tự nhiên hái niệm Trục đẳng phương
của hai đường tròn mặt phẳng Việc sử dụng mặt đẳng phương để giải làm cho toán trở nên đơn giản Sau xét thêm số ví dụ tương tự với nhiều cách giải khác Qua ta thấy cách giải sử dụng mặt đẳng phương nhanh gọn Sau đây ta đưa một số tương tự câu 42 được thực hiện theo nhiều cách giải khác nhau:
Câu 39: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2:
S x y z x y zm Tìm số thực m để
: 2x y 2z 8 cắt
S theo đường trịn có chu vi 8A m 3 B m 4 C m 1 D m 2 Lời giải
Chọn A
Mặt cầu
S có tâm I
1;2;3
, bán kính R 17m (điều kiện m17) Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng
là: d I
,
2Đường trịn giao tuyến có bán kính là: r
Ta có 2
, 17 16
R d I r m m (thỏa mãn)
Câu 40: (Chuyên KHTN) Biết không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng
P
Q thỏa mãn điều kiện sau: qua hai điểm A
1;1;1
B
0; 2;2
, đồng thời cắt trục tọa độ Ox Oy, hai điểm cách O Giả sử
P có phương trình x b y 1 c z1 d10
Q có phương trình x b y c z 2 2 d2 0 Tính giá trị biểu thức b b1 2c c1 2A 7 B -9 C -7 D 9
Lời giải ChọnB
Cách
Xét mặt phẳng
có phương trình xbyczd 0thỏa mãn điều kiện: qua hai điểm
1;1;1
A B
0; 2;2
, đồng thời cắt trục tọa độ Ox Oy, hai điểm cách O Vì
qua A
1;1;1
B
0; 2;2
nên ta có hệ phương trình:M
S
S
P
S I
2;1; 2
R3I
P dd I P
,
1 29 2 r R d
16
MA MO MB M
(186)
1
*
2
b c d
b c d
Mặt phẳng
cắt trục tọa độ Ox Oy, M
d; 0; ,
N 0; d; b
Vì M N, cách O nên OM ON Suy ra: d d b
Nếu d 0 tồn mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán (mặt phẳng qua điểm O)
Do để tồn hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán thì: d d b b
Với b1,
*2
c d c
c d d
Ta mặt phẳng
P :4
x y z
Với b 1,
*2 2
c d c
c d d
Ta mặt phẳng
Q :2
x y z
Vậy: b b1 2c c1 2 1.
1 4.
2 9 Cách (Mai Đình Kế)
1; 3;1
AB Xét mặt phẳng
có phương trình xbyczd 0thỏa mãn điều kiện: qua hai điểm
1;1;1
A B
0; 2;2
, đồng thời cắt trục tọa độ Ox Oy, hai điểm cách O M N, Vì M N, cách Onên ta có trường hợp sau:TH1: M a( ; 0; 0),N(0; ; 0)a vớia0
P Ta có MN ( a a; ; 0), chọn ( 1;1; 0)u véc tơ phương với MN
Khi nP AB u, 1 ( 1; 1; 4)
, suy
P :x y 4z d 1 0TH2: M(a; 0; 0),N(0; ; 0)a vớia0
Q Ta có MN( ; ; 0)a a , chọn (1;1; 0)u véc tơ phương với MN
Khi nQ AB u, 2 ( 1;1; 2)
, suy
Q :x y 2z d 2 0Vậy: b b1 2c c1 2 1.
1 4.
2 9Câu 41: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S qua điểm M
2;5; 2
tiếp xúc với mặt phẳng
:x1 ,
:y1,
:z 1 Bán kính mặt cầu
SA 4 B 3 C 1 D 3
Lời giải Chọn D
Gọi I a b c
; ;
tâm mặt cầu
S (187)Mặt khác, ta lại có RIM
2a
2
5b
2
c
2 Do ta có hệ:
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2
a b c a
a b c b
a b c c
Quan sát ta thấy
2
2
2
3
1
2
1
3
1
2
a a a a
b b b b
c c c c
Do a 1 b 1 c 1 a b c Từ
2
2
2
21 1
1
2
a b c
a b c a
4 4 a b c
Vậy RIM 3
Câu 42: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S có tâm thuộc trục Oz Biết mặt phẳng
Oxy
mặt phẳng
:z2 cắt
S theo hai đường trịn có bán kính Phương trình
SA x2 y2
z2
2 16 B x2y2
z4
2 16 C x2y2
z4
2 20 D x2 y2
z2
2 20Lời giải Chọn C
Giả sử mặt cầu
S có bán kính R có tâm I
0; 0;c
(vì tâm I thuộc trục Oz) Ta có: d I
;
Oxy
c d I
;
c2Vì mặt phẳng
Oxy
cắt
S theo đường trịn có bán kính nên
2; 4
R d I Oxy c
Vì mặt phẳng
:z2 cắt
S theo đường trịn có bán kính nên
;
2 16
2
2 16R d I c
Suy ra: c2 4
c2
2164c16 c I
0;0; 4
R 20 Vậy phương trình mặt cầu
S là: x2y2
z4
2 20Câu 43: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x4y z 0,
Q : 4x5y z 140,
R :x2y2z 2 (188)Biết mặt cầu
xa
2
yb
2
zc
2 D có tâm nằm
P
Q , tiếp xúc với
R
S Giá trị a b c A 2 B 3 C 5 D 4
Lời giải Chọn C
Gọi I a b c
; ;
tâm mặt cầu
S : xa
2
yb
2
zc
2 D Vì I nằm
P
Q nên:4 14
a b c
a b c
1 Mặt khác,
S tiếp xúc với
R
S nên:
,
,
d I R d I S 2 2
3
a b c a b c
2 2 2 4
2 2 2 2
a b c a b c
a b c a b c a b c
2
a b c
2Từ
1
2 ta hệ:2
4 14
2
a b c
a b c
a b c
1 3 a b c
5 a b c
Câu 44: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 2) mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z1)2 9 Mặt phẳng thay đổi qua
A
cắt( )S theo thiết diện đường trịn Hãy tìm bán kính đường trịn có chu vi nhỏ A 3
2 B
1
2 C
2
D 3Lời giải Chọn C
Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1;1) bán kính R3 Vì IA 53 nên điểm
A
nằm mặt cầuGọi Hvà r tâm bán kính đường trịn thiết diện
Khi đó, ta ln có r2 R2IH2 R2IA2 4 (vì H trùng với
A
AIH
vng H nênIH
IA
)Vậy đường trịn có chu vi nhỏ có bán kính nhỏ
r
2
A
trùng với HCâu 45: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 2) mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z1)2 9 Mặt phẳng thay đổi qua
A
cắt( )S theo thiết diện đường trịn Hãy tìm bán kính đường trịn có chu vi nhỏ A 3
2 B
1
2 C
2
D 3Lời giải Chọn C
Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1;1) bán kính R3 Vì IA 53 nên điểm
A
nằm mặt cầuGọi Hvà r tâm bán kính đường trịn thiết diện
Khi đó, ta ln có r2 R2IH2 R2IA2 4 (vì H trùng với
A
AIH
vng H nênIH
IA
) (189)Câu 46: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P :x z hai mặt cầu
S1 :x2 y2 z2 25;
S2 :x2 y2 z2 4x4z70 Biết tập hợp tâm I mặt cầu tiếp xúc với hai mặt cầu
S1 ,
S2 tâm I nằm
P đường cong Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường congA 7
3 B
7
9 C
9
7 D
7 6 Lời giải
Chọn B
Mặt cầu
S1 có tâm O
0;0;0
, bán kính R1 5 Mặt cầu
S2 có tâm K
2; 0; 2
, bán kínhR , mặt phẳng
P có vectơ pháp tuyến n P
1; ; 1
Vì OK
2; 0; 2
phương với n P
1;0 1
nên OK
vuông góc với mặt phẳng
P Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng
P nên O, K, H thẳnghàng Ta có OH d O
;
P
3 R1, KH d K
;
P
2R2, OK 2 2, OKR2 R1
P cắt
S1
P không cắt
S2
S1 chứa
S2Do mặt cầu tâm I phải tiếp xúc với
S1 A tiếp xúc với
S2 B Gọi R bán kính với mặt cầu tâm ISuy ra: OI R1R 5 R KI R2 R 1 R
Ta có IH2 OI2 OH2 KI2 KH2
2
25 18
IH R R
12R8
2 R
2
2
1
3
IH
7 IH
Khi I thuộc mặt cầu
S3 tâm H, bán kính 3R
Mà I thuộc mặt phẳng
P nên I thuộc đường trịn giao tuyến có bán kính 3 r R Vậy diện tích r
(190)Câu 47: (Thuận Thành Bắc Ninh) Trong không gian Oxyz, cho
P x2y2z 5 mặt cầu
S1 :
2 2
2 1
x y z ,
S2 :
x4
2
y2
2
z3
2 Gọi M A B, , thuộc mặt phẳng
P hai mặt cầu
S1 ,
S2 Tìm giá trị nhỏ S MA MBA Smin11 B Smin2 14 3 C Smin 15 3 D Smin 3 3 Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng
P có vectơ pháp tuyến nP
1; 2; 2
Mặt cầu
S1 có tâm I1
2; 0; 1
bán kính R11 Mặt cầu
S2 có tâm I2
4; 2;3
bán kính R2 2Ta có I I1 2
6; 2; 4
I I1 2 2 14R1R2 suy
S1 ,
S2 nằmTa có
1 2 2 2
I I I I I I
x y z x y z nên I1, I2 nằm hai phía mặt phẳng
PNgoài d I 1,
P 3R1, d I 2,
P 3 R2Gọi N P, giao điểm đoạn thẳng I I1 2 với hai mặt cầu
S1
S2 Ta có1 2 2
MA MB AI BI I I MA MB NI PI I NNPPI MA MB NP Đẳng thức xảy AN, BP M N P, , thẳng hàng
Khi
MA MB
min NPI I1 2R1R2 2 143Câu 48: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A
1; 2;1
,
3; 1;1
B , C
1; 1;1
Gọi
S1 mặt cầu tâm A bán kính R12
S2 ,
S3 mặt cầu tâm B, C có bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với
S2 ,
S3 cắt
S1 theo giao tuyến đường trịn bán kính rA 3 B 7 C 6 D 8
(191)Ta có
P cắt
S1 theo giao tuyến đường trịn bán kính r
2,
d A P R r
Xét
P :ax by cz d 0 thỏa mãn ycbtTa có
, , ,d A P d B P d C P
2 2
2 2
2 2
2
3
3
a b c d a b c
a b c d a b c
a b c d a b c
2 2
2
3
a b c d a b c d
a b c d a b c d
a b c d a b c
2 2
2
4
0
a b c
a b d
a
b a c d
a b c d a b c
Từ ta có hệ
2 2
0
1
a
a b c
a b c d a b c
suy hệ có hai nghiệm
2 2
0
2
a
a b d
a b c d a b c
suy hệ có hai nghiệm có nghiệm a b c nên loại
2 2
3
b a c d
a b c
a b c d a b c
suy hệ có hai nghiệm
2 2
4
b a c d
a b d
a b c d a b c
suy hệ có hai nghiệm
Vậy có mặt phẳng thỏa mãn
+ Theo nhận thấy A,B,C không thẳng hàng nên A,B,C tạo thành tam giác + AB=AC= 1322d A P
,
=2d
B P,
, BC=4+ Từ giả thiết suy
, , ,d A P d B P d C P
(192)- mp // cách (P) một khoảng
- 06 mp qua trung điểm cạnh tam giác ABC cách đỉnh khoảng Vậy theo tơi có mặt phẳng thỏa mãn
Câu 49: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Trong không gian , cho điểm , đường thẳng mặt cầu
Mặt phẳng chứa đường thẳng thỏa mãn khoảng cách từ điểm đến lớn Mặt cầu cắt theo đường trịn có bán kính
A B C D
Lời giải Chọn D
Gọi hình chiếu vng góc , hình chiếu vng góc Ta có Vậy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề phải chứa vuông góc với
Gọi Ta có ,
Vậy mặt phẳng có vecto pháp tuyến qua điểm Phương trình mặt phẳng
Mặt cầu có tâm Ta có
Vậy cắt theo đường trịn có bán kính
Oxyz
2; 3; 4
A :
2
x y z
d
S : x3
2
y2
2
z1
2 20
P d A
P
S
P5
P
dH'
H A
H A d H A
PAH AH
P dAH
1 ; ; ,
H t t t t AH
2t1;1t; t 4
ud
2;1; 2
d 9
AH u t t
P AH
1; 2; 2
B
1; 2; 0
d
P :x2y2z 3
S I
3; 2; ,
R2 d I P
,
4R (193)(194)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG
1 Định nghĩa
Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M0
x y z0; 0; 0
có vec tơ phương
1; 2; 3
,a a a a a:
0
0
0
x x a t
y y a t
z z a t
Nếu a a a1; 2; 3 khác khơng Phương trình đường thẳng viết dạng tắc sau:
0 0
1
x x y y z z
a a a
Ngồi đường thẳng cịn có dạng tổng quát là: 1 1
2 2
0 A x B y C z D A x B y C z D
với A B C A B C1, 1, 1, 2, 2, 2 thỏa A12B12 C12 0,A22B22C22 0 2 Vịtrí tương đối hai đường thẳng
Chương trình Chương trình nâng cao
1 )Vịtrí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
0 1
0 2
0 3
' ' '
: ; ' : ' ' '
' ' '
x x a t x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
Vtcp u qua M0 d' có vtcp u' qua M0' , '
u u phương:
0
' '
/ / ' ; '
' '
u ku u ku
d d d d
M d M d
, ' u u
không phương:
0 1
0 2
0 3
' ' ' ' ' ' ' ' '
x a t x a t
y a t y a t I
z a t y a t
d chéo d’ hệ phương trình
1 vơ nghiệm d cắt d’ hệ phương trình
1 có nghiệm1 ) Vịtrí tương đối của hai đường thẳng Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng
0 1
0 2
0 3
' ' '
: ; ' : ' ' '
' ' '
x x a t x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
Vtcp u qua M0 d' có vtcp u' qua M0'
0
, ' / / ' ' u u d d M d
, ' ' ' u u d d M d
, '
at '
, '
u u
d c d
u u MM
d cheo d
' u u, ' MM0 0 3 Vịtrí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Phương pháp 1 Phương pháp 2
Trong không gian Oxyz cho:
:Ax+By+Cz+D=00
0
0 :
x x a t
d y y a t
z z a t
Pt: A x
0a t1
B y
0a t2
C z
0a t3
D0 1
Phương trình
1 vơ nghiệm d/ /
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d qua
0; 0; 0
M x y z có vtcp: a
a a a1; 2; 3
:Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n
A B C; ;
d (195)0 0
1
x x y y z z
d
a a a
( ) : o o o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
( ) : ( )
Phương trình
1 có nghiệm d cắt
Phương trình
1 có vơ số nghiệm d
Đặc biệt: d
a n , phương
/ / a n
d M
dnằm mp
a n M 4 Khoảng cáchKhoảng cách từ M x y z
0; 0; 0
đến mặt phẳng
:Ax+By+Cz+D=0cho công thức
00 2 2 2
Ax
, By Cz D
d M
A B C
Khoảng cách từ M đến đường thẳng
d Phương pháp 1:Lập ptmp
qua M vng góc với d Tìm tọa độ giao điểm H mp
d
,
d M d MHKhoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp 1:
d qua M x y z
0; 0; 0
; có vtpt a
a a a1; 2; 3
'd qua M'
x0';y0';z0'
; vtpt a'
a1';a2';a3'
Lập phương trình mp
chứa d song song với d’: d d d
, '
d M
',
Khoảng cách từ M đến đường thẳng
d Phương pháp 2:(d qua M0 có vtcp u )
,
,M M u d M u
Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Phương pháp 2:
d qua M x y z
0; 0; 0
; có vtpt a
a a a1; 2; 3
'd qua M'
x0';y0';z0'
; vtpt a'
a1';a2';a3'
, '
, ' ', '
hop day
a a MM V
d S a a
5 Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng
qua M x y z
0; 0; 0
có VTCP a
a a a1; 2; 3
' qua M'
x0';y0';z0'
có VTCP a'
a1';a2';a3'
1 2 32 2 2
1 3
' ' ' '
cos cos , '
' ' ' '
a a a a a a a a
a a
a a a a a a a a
6 Góc đường thẳng mặt phẳng
Góc đường thẳng mặt phẳng
qua M0 có VTCP a, mặt phẳng
có VTPT
; ;
n A B C
Gọi góc hợp
mặt phẳng
2 2 2
1
Aa : sin cos ,
Ba Ca
a n
A B C a a a
B - CÁC DẠNG TỐN VỀPHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d một VTCP của nó.
Dạng Viết phương trình đường thẳng
d đi qua M x y z0
0; 0; 0
có vtcpa
a a a1; ;2 3
:
(196)Dạng Đường thẳng d đi qua A B :
Đường thẳng d qua A (hoặcB ) có vtcp ad AB
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng dqua A song song
Đường thẳng d qua A có vtcp ud u
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng d qua A vng góc mp( )
Đường thẳng d qua A có vtcp ud n
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d
Dạng Đường thẳng
d qua A và vng góc đường thẳng d1 d2: Đường thẳng d qua A có vtcp1,
d d
uu u
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d
Dạng Đường thẳng
d giao tuyến của hai mặt phẳng
P , Q : Cách 1: Tìm điểm vtcp– Tìm toạ độ điểm A d: Bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho ẩn ta giải hệ tìm giá trị hai ẩn cịn lại)
– Tìm vtcp d:ud n nP, Q
Cách 2: Tìm hai điểm A B, thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng Đường thẳng
d đi qua điểm M x y z0
0; 0; 0
vng góc với hai đường thẳng d d1, 2:Vì d d1 , d d2 nên vtcp d là:
1,
d d d
u u u
Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d
Dạng Đường thẳng
d qua điểm M x y z0
0; 0; 0
, vng góc cắt đường thẳng Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng Ta có H
Khi đường thẳng d đường thẳng qua M H0, (trở dạng 2)
Cách 2: Gọi
P mặt phẳng qua M0 vng góc với ;
Q mặt phẳng qua M0 chứa Khi d
P
Q (trở dạng 6)Cách 3: Gọi
P mặt phẳng qua M0 vng góc với - Tìm điểm B
P - Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M B0, (quay về dạng 2) Dạng Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng ( )P , vng góc cắt đường thẳng
Tìm giao điểm M ( )P M d
Vì d d , P
d P u u
u u n u n
P Q
( ) ( )
0
H
M H u
(197)Dạng 10 Đường thẳng
d qua A cắt d d1, 2: ( ) ( )d với mp( ) chứa A d1; mp( ) chứa A d2 (trở dạng 6) Dạng 11 Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng( )P cắt cảhai đường thẳngd d1, 2:
Tìm giao điểm A d 1
P B d, 2
P Khi d đường thẳngAB (về dạng 2) Dạng 12 Đường thẳng
d / / cắt d d1, 2:Viết phương trình mặt phẳng
P chứa d d1 , mặt phẳng
Q chứa d vàd2 Khi d
P
Q (trở dạng 6)Dạng 13 Đường thẳng ( )d qua A d1 , cắt d2 : Cách 1:
- Viết phương trình mp ( ) qua A vng góc với d1 - Tìm B d 2( )
- Khi
d đường thẳng AB (về dạng 2) Cách 2:- Viết phương trình mặt phẳng
P qua A vng góc với d1 - Viết phương trình mặt phẳng
Q chứa A d2- Khi d
P
Q (trở dạng 6) Cách 3:- Viết phương trình tham số t đường thẳng d2 (nếu chưa có) - Tìm điểm B d d2(B có tọa độ theo tham số t) thỏa mãn
1
d AB u Giải phương trình tìm tB
- Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B, Dạng 14 Đường thẳng
d P cắt d d1, 2 :Tìm mp( ) chứa d1,
P ; mp( ) chứa d2,
P ( ) ( )d (trở dạng 6)
Dạng 15 Đường thẳng d’là hình chiếu của d lên ( ) : Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng
chứa dvà vng góc với ( ) - Đường thẳng d' giao tuyến ( ) ( ) (trở dạng 6) Cách 2:- Xác định A giao điểm d ( )
- Lấy điểm M A d Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( ) - Tìm tọa độ điểm H giao điểm với ( )
- Đường thẳng đường thẳngAH (trở dạng 2)
Đặc biệt: Nếu d song song ( ) d' đường thẳng qua H song song với d
Dạng 16 Phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo
d1
d2 : Cách 1:- Chuyển phương trình đường thẳng
d1 , d2 dạng tham số xác định u u 1, 2 vtcp
d1 , d2 (198)- Lấy A B, thuộc
d1 , d2 (tọa độ A B, phụ thuộc vào tham số) - Giả sử AB đường vng góc chung Khi đó:2 0 AB u AB u
2
* AB u AB u
Giải hệ phương trình
* tìm giá trị tham số Từ tìm đượcA B, - Viết phương trình đường vng góc chung ABCách 2:
- Vì d d1 d d2 nên vtcp d là:
1,
d d d
a a a
- Lập phương trình mặt phẳng
P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1+ Một vtpt
P là:1
,
P d
n a a
- Tương tự lập phương trình mặt phẳng
Q chứa đường thẳng cắt d vàd2 Khi d
P
Q (trở dạng 6)Cách 3:
- Vì dd1 dd2nên vtcp d là:
1,
d d d
a a a
- Lập phương trình mặt phẳng
P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1+ Một vtpt
P là:1
,
P d
n a a
- Tìm Md2( )P Khi viết phương trình d qua M có vtcp ad
CÁC DẠNG TỐN KHÁC
Dạng Tìm H hình chiếu của M trên đường thẳng
d Cách 1:- Viết phương trình mp( ) qua M vng góc với
d : ta có n ad - Khi đó: H d ( ) tọa độ H nghiệm hpt:
d ( ) Cách 2:- Đưa
d dạng tham số Điểm H xác định bởi: Dạng Điểm M/đối xứng với M qua đường thẳng d:Cách 1:
- Tìm hình chiếu Hcủa M
d- Xác định điểm M' cho H trung điểm đoạn MM' (công thức trung điếm) Cách 2:
- Gọi H trung điểm đoạn MM' Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M M, ' (công thức trung điếm)
- Khi toạ độ điểm M/ xác định bởi:
Dạng Đường thẳng ( ')d đối xứng đường thẳng ( )d qua mặt phẳng
Pd
H d
MH a
d
MM a
H d
'
(199)TH1: ( )d
P A- Xác định A giao điểm d ( )P
- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳngAM'
TH2: ( )d / /
P- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳng quaM' song song d
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Đường thẳng song song với :
3
x y z
d
cắt hai đường thẳng
1
:
3
x y z
d 2:
2
x y z
d Phương trình đường thẳng
A : 1
3
x y z
B
7
3 3 3
:
3
y z x
C :
3
x y z
D : 1
3
x y z
Lời giải Giải: Gọi M, N giao điểm d d1, 2 Khi M, N thuộc d d1, 2 nên
2 '
1 , '
2 '
N M M N M N x t x t
y t y t
z t z t
Vector phương MN
' ; 4t t 4 't t; t' 2t
song song với :
3
x y z
d nên ' 4 ' '
3
t t t t t t
Giải hệ ta ' 1;
t t Vậy
4; 1; ,
3; 7;3
N M
Vậy : 1
3
x y z
Chọn A
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng mặt phẳng Phương trình đường thẳng nằm cho cắt vng góc với đường thẳng
A B
d '
d '
,
Oxyz :
1 1
x y z
P :x2y2z40 d
P d
3
:
1
x t
d y t t
z t
: 2 x td y t t
(200)C D Lời giải
Chọn C
Vectơ phương , vectơ pháp tuyến
P n P
1; 2; 2
Vì
Tọa độ giao điểm nghiệm hệ
Lại có , mà Suy
Vậy đường thẳng qua có VTCP nên có phương trình
Câu 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2
2 1
x y z
d mặt phẳng
P :x2y z Viết phương trình đường thẳng nằm
P cho vng góc với d khoảng cách hai đường thẳng dA
7
:
1 1
3 :
1 1
x y z
x y z
B
7
:
1 1
3 :
1 1
x y z
x y z
C :
2 1
3 :
1
x y z
x y z
D
7
:
1 1
3
:
1 1
x y z
x y z
Lời giải Đường thẳng d có VTCP ud
2;1;1
Mặt phẳng
P có VTPT np
1; 2; ,
ta có
, 3; 3;
p d n u
Vì
, ;
0; 1;1
3 d
P d VTPT u u u
Khi đó, phương trình mặt phẳng
Q :y z m0 Chọn A
1; 2; 0
d, ta có:
;
;
20
m m
d A Q d d
m Với m 4
Q :y z
2
:
4
x t
d y t t
z t
: 3
3
x t
d y t t
z t
:u 1;1;
; 4; 3;1
d
d P
d P
d u u
u u n
d P u n
H P
2; 1; 4
2
2
x t
y t
t H
z t
x y z
d;
P d H
P Hdd H
2; 1; 4
ud
4; 3;1
2
:
4
x t
d y t t