Các chuyên đề học sinh giỏi hình học lớp 8

a) BH CM AD.. CHUYEÂN ÑEÀ 5 – BOÅ ÑEÀ HÌNH THANG VAØ CHUØM ÑÖÔØNG THAÚNG ÑOÀNG QUY A.. Bieát AM, AN caét BD thaønh ba ñoaïn baèng nhau. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC.. Cho hình chöõ[r]

 Sưu tầm

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG

HSG HÌNH HỌC TỐN LỚP

CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức:

1 Định lí Ta-lét:

* Định lí Talét ABC MN // BC

∆ 

  ⇔

AM AN = AB AC

* Hệ quả: MN // BC ⇒ AM = AN MN AB AC = BC B Bài tập áp dụng:

1 Bài 1:

Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G

a) chứng minh: EG // CD

b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG

Giaûi

Gọi O giao điểm AC BD

a) Vì AE // BC ⇒ OE = OA OB OC (1) BG // AC ⇒ OB = OG

OD OA (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE = OG

OD OC ⇒ EG // CD b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD nên

2

AB OA OD CD AB CD

= = AB CD EG EG OG = OB AB⇒ EG = AB⇒ =

Baøi 2:

Cho ABC vng A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Chứng minh rằng:

a) AH = AK b) AH2 = BH CK

Giải

Đặt AB = c, AC = b

BD // AC (cùng vng góc với AB)

N M

C B

A

O G E

D C

neân AH AC b AH b AH b HB = BD= ⇒c HB= ⇒c HB + AH =b + c

Hay AH b AH b AH b.c

AB =b + c⇒ c = b + c⇒ =b + c (1) AB // CF (cùng vng góc với AC) nên

AK AB c AK c AK c KC = CF = ⇒b KC = ⇒b KC + AK =b + c

Hay AK b AK c AK b.c

AC = b + c⇒ b =b + c⇒ =b + c (2) Từ (1) (2) suy ra: AH = AK

b) Từ AH AC b HB = BD= c

AK AB c

KC = CF =b suy

AH KC AH KC

HB = AK⇒ HB =AH(Vì AH = AK) ⇒ AH2 = BH KC

3 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng:

a) AE2 = EK EG

b) 1

AE = AK+AG

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi

Giải

a) Vì ABCD hình bình hành K ∈ BC nên AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có:

2

EK EB AE EK AE

= = AE EK.EG AE ED EG ⇒ AE= EG⇒ =

b) Ta coù: AE = DE AK DB ;

AE BE =

AG BD neân

AE AE BE DE BD 1 = AE AK AG BD DB BD AK AG

 

+ + = = ⇒  + =

  ⇒

1 1

AE =AK+AG (đpcm) c) Ta có: BK = AB BK = a

KC CG ⇒KC CG (1);

KC CG KC CG = =

AD DG ⇒ b DG (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK = a BK DG = ab

b DG⇒ khơng đổi (Vì a = AB; b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi)

4 Bài 4:

H

F K

D

C B

A

G b

a

E K

D C

3

Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng:

a) EG = FH

b) EG vng góc với FH Giải

Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG

Ta coù CM = CF =

1

3BC ⇒

BM = BC ⇒

BE BM = = BA BC

⇒EM // AC ⇒ EM BM = EM = 2AC

AC = BE ⇒ (1)

Tương tự, ta có: NF // BD ⇒ NF CF = NF = 2BD BD=CB ⇒ (2) mà AC = BD (3)

Tõ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a)

Tương tự ta có: MG // BD, NH // AC MG = NH =

3AC (b) Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC ⊥ BD ⇒EM ⊥ MG ⇒ 

EMG = 90 (4) Tương tự, ta có: 

FNH = 90 (5)

Tõ (4) vµ (5) suy  

EMG = FNH = 90 (c)

Tõ (a), (b), (c) suy ∆EMG = ∆FNH (c.g.c) ⇒ EG = FH

b) Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ FH lµ O; cđa EM vµ FH P; EM FN Q



PQF = 90 ⇒ QPF + QFP = 90  mà QPF = OPE   (đối đỉnh), OEP = QFP   (∆EMG = ∆FNH)

Suy  

EOP = PQF = 90 ⇒ EO ⊥ OP ⇒ EG ⊥ FH 5 Bµi 5:

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh

a) MP // AB

b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải

a) EP // AC ⇒ CP = AF PB FB (1)

Q P O

N M

H F

G E

D

4

AK // CD ⇒ CM = DC AM AK (2)

c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3)

Kết hợp (1), (2) (3) ta cã CP CM

PB= AM ⇒ MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)

b) Gäi I lµ giao điểm BD CF, ta có: CP CM PB= AM =

DC DC AK = FB Mµ DC DI

FB = IB (Do FB // DC) ⇒

CP DI

PB= IB ⇒IP // DC // AB (5)

Từ (4) (5) suy : qua P có hai đường thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy 6 Bài 6:

Cho ∆ABC cã BC < BA Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE ABC; đường thẳng cắt BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần

Giải

Gọi K giao ®iĨm cđa CF vµ AB; M lµ giao ®iĨm cđa DF BC KBC có BF vừa phân giác vừa đường cao nên KBC cân B BK = BC FC = FK

Mặt khác D trung điểm AC nên DF đường trung b×nh cđa ∆AKC ⇒ DF // AK hay DM // AB

Suy M trung điểm BC DF =

2AK (DF đường trung bình cña ∆AKC), ta cã BG BK

=

GD DF( DF // BK) ⇒

BG BK 2BK =

GD DF = AK (1) Mỉt kh¸c CE DC - DE DC AD

DE = DE = DE− = DE − (V× AD = DC) ⇒

CE AE - DE DC AD 1 DE= DE = DE− = DE − Hay CE AE - DE AE AB

DE = DE − = DE− = DF− (v× AE DE=

AB

DF: Do DF // AB)

Suy CE AK + BK 2(AK + BK)

DE = DE − = AK − (Do DF =

1

2AK) ⇒

CE 2(AK + BK) 2BK

DE = AK − = AK (2) Tõ (1) vµ (2) suy BG

GD = CE

DE ⇒ EG // BC

I P

F K M

D C

B A

M G

K

F

D E C

B

Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ DF lµ O ta cã OG = OE = FO MC MB FM

 

 

  ⇒ OG = OE Bµi tËp vỊ nhµ

Bµi 1:

Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đường thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD F

a) Chứng minh FE // BD

b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G vµ H Chøng minh: CG DH = BG CH

Bµi 2:

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F

Chøng minh: a) AE2 = EB FE

b) EB =

2

CHUN ĐỀ – CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

A Kiến thức: Định lí Ta-lét:

* Định lí Talét ABC MN // BC

∆ 

  ⇔

AM AN = AB AC

* Hệ quả: MN // BC ⇒ AM = AN MN AB AC = BC Tính chất đường phân giác:

∆ABC ,AD phân giác góc A ⇒ BD = AB CD AC

AD’là phân giác góc ngồi A: BD' = AB CD' AC B Bài tập vận dụng

1 Bài 1:

Cho ∆ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD a) Tính độ dài BD, CD

b) Tia phân giác BI góc B cắt AD I; tính tỉ số: AI ID Giải

a) AD phân giác BAC nên BD AB c CD= AC=b ⇒ BD c BD c BD = ac

CD + BD= b + c⇒ a =b + c⇒ b + c Do CD = a - ac

b + c = ab b + c

b) BI laø phân giác ABC nên AI AB c : ac b + c ID=BD = b + c = a 2 Bài 2:

Cho ∆ABC, có B< 600 phân giác AD a) Chứng minh AD < AB

b) Gọi AM phân giác ∆ADC Chứng minh BC > DM

D' B C

A

D C

B A

a c b

I

D C

B A

M D B

C

A

N M

C B

Giaûi

a)Ta coù ADB = C +   A >

  A + C

2 =



0

0

180 - B 60 = ⇒ADB > B ⇒ AD < AB

b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong ∆ADC, AM phân giác ta có

DM AD =

CM AC ⇒

DM AD DM AD = =

CM + DM AD + AC⇒ CD AD + AC ⇒ DM = CD.AD CD d

AD + AC = b + d ; CD = ab

b + c( Vận dụng 1) ⇒ DM =

abd (b + c)(b + d)

Để c/m BC > DM ta c/m a > 4abd

(b + c)(b + d) hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)

Thật : c > d ⇒ (b + d)(b + c) > (b + d)2 ≥ 4bd Bất đẳng thức (1) c/m

3.Baøi 3:

Cho ∆ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự D E

a) Chứng minh DE // BC

b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE

c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE ∆ABC có BC cố định, AM = m khơng đổi

d) ∆ABC có điều kiện DE đường trung bình Giải

a) MD phân giác AMB nên DA MB DB =MA (1) ME phân giác AMC neân EA MC

EC = MA (2) Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy DA EA

DB = EC ⇒ DE // BC b) DE // BC ⇒ DE AD AI

BC= AB = AM Đặt DE = x ⇒

x m -

x 2 2a.m

x =

a = m ⇒ a + 2m

E D

M I

C B

c) Ta coù: MI = DE =

a.m

a + 2m không đổi ⇒ I cách M đoạn không đổi nên tập hợp điểm I đường trịn tâm M, bán kính MI = a.m

a + 2m (Trừ giao điểm với BC

d) DE đường trung bình ∆ABC⇔ DA = DB ⇔ MA = MB ⇔ ∆ABC vuông A 4 Bài 4:

Cho ∆ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE

a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K

b) Chứng minh: CD > DE > BE Giải

a) BD phân giác neân

AD AB AC AE AD AE = < =

DC BC BC EB⇒ DC< EB (1) Maët khác KD // BC nên AD AK

DC = KB (2)

Từ (1) (2) suy AK AE AK + KB AE + EB KB< EB⇒ KB < EB ⇒

AB AB

KB > EB KB< EB⇒ ⇒ E nằm K B

b) Gọi M giao điểm DE CB Ta có CBD = KDB (so le trong)⇒KBD = KDB  mà E nằm K B nên KDB > EDB⇒ KBD > EDB ⇒ EBD > EDB ⇒ EB < DE Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC     ⇒DEC>ECB ⇒DEC>DCE (Vì DCE = ECB) Suy ra: CD > ED ⇒ CD > ED > BE

5 Bài 5: Cho ∆ABC Ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh

a DB EC FA. . 1

DC EA FB =

b 1 1 1 1 1 1

AD+BE +CF >BC+CA +AB Giaûi

a)AD đường phân giác BAC nên ta có: DB = AB DC AC (1)

E

D

M

K

C B

9

Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: EC = BC EA BA (2) ;

FA CA =

FB CB (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra: DB EC FA = AB BC CA DC EA FB AC BA CB= b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da

Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA ë H Theo §L TalÐt ta cã: AD BA

CH = BH ⇒

BA.CH c.CH c

AD CH

BH BA + AH b + c

= = =

Do CH < AC + AH = 2b nªn: da 2bc b c <

+

1 1 1 1

2 2

a a

b c

d bc b c d b c

+    

⇒ > =  + ⇔ >  + 

   

Chứng minh tương tự ta có : 1 1

2

b

d a c

  >  + 

  Vµ

1 1

2

c

d a b

  >  + 

  Nªn:

1 1 1 1 1

2 a b c

d d d b c a c a b

      + + >  +  + +  + + 

     

 

1 1 1 1 1 1 1

.2 2

a b c

d d d a b c

 

⇔ + + >  + + 

 

1 1 1 1 1 1

a b c

d d d a b c

⇔ + + > + + ( đpcm )

Bài tập vỊ nhµ

Cho ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE

b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh: CE > EK c) Chứng minh CE > BD

H

F

E

D C

B

CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A Kiến thức:

* Tam giác đồng dạng: a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)

∆ABC A’B’C’ ⇔ AB = AC = BC A'B' A'C' B'C'

b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)

∆ABC A’B’C’ ⇔ AB = AC A'B' A'C' ;

  A = A'

c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) ∆ABC A’B’C’ ⇔ A = A' ; B = B' 

AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: A'H'

AH = k (Tỉ số đồng dạng);

A'B'C' ABC

S

S = K

2

B Bài tập áp dụng Bài 1:

Cho ∆ABC coùB = C , AB = cm, BC = 10 cm a)Tính AC

b)Nếu ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp cạnh bao nhiêu?

Giải Cách 1:

Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho:BD = BC

∆ACD ∆ABC (g.g) ⇒ AC AD AB= AC

2

AC AB AD =AB.(AB + BD)

⇒ = = AB(AB + BC)

= 8(10 + 8) = 144 ⇒ AC = 12 cm Caùch 2:

Vẽ tia phân giác BE ABC ⇒ ∆ABE ∆ACB

2

AB AE BE AE + BE AC

= AC = AB(AB + CB)

AC AB= CB=AB + CB= AB + CB⇒ = 8(8 + 10) = 144 ⇒ AC = 12 cm

E

D

C B

b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)

Vì b > anên b = a + b = a +

+ Nếu b = a + (a + 1)2= a2 + ac ⇔2a + = ac ⇔a(c – 2) =

⇒a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + a(c – 4) = - Với a = c = (loại) - Với a = c = (loại) - với a = c = ; b = Vậy a = 4; b = 5; c = Bài 2:

Cho ∆ABC cân A, đường phân giác BD; tính BD biết BC = cm; AC = 20 cm

Giaûi

Ta coù CD = BC

AD AC=4 ⇒ CD = cm BC = cm Bài tốn trở

Bài 3:

Cho ∆ABC cân A O trung điểm BC Một điểm O di động AB, lấy điểm E AC cho

2

OB CE =

BD Chứng minh a) ∆DBO ∆OCE

b) ∆DOE DBO ∆OCE

c) DO, EO phân giác góc BDE, CED

d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi D di động AB Giải

a) Từ

2

OB CE =

BD ⇒

CE OB =

OB BD vaø  

B = C (gt) ⇒ ∆DBO ∆OCE b) Từ câu a suy O = E3 2 (1)

Vì B, O ,C thẳng hàng nên   

O + DOE+EOC 180= (2) tam giác EOC   

2

E + C EOC 180+ = (3) Từ (1), (2), (3) suy DOE  = =B C

∆

D

C B

∆DOE ∆DBO có DO = OE

DB OC (Do ∆DBO ∆OCE) vaø DO = OE

DB OB (Do OC = OB) vaø

   DOE= =B C neân ∆DOE ∆DBO ∆OCE

c) Từ câu b suy D = D1 2⇒ DO phân giác góc BDE

Củng từ câu b suy E = E1 2 EO phân giác góc CED

c) Gọi OH, OI khoảng cách từ O đến DE, CE OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi ⇒OI không đổi D di động AB

Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)

Cho ∆ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC cho DME = B  a) Chứng minh tích BD CE khơng đổi

b)Chứng minh DM tia phân giác BDE

c) Tính chu vi ∆AED ∆ABC tam giác Giải

a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM    , mà DME = B (gt) nên CME = BDM , kết hợp với B = C  (∆ABC cân A) suy ∆BDM ∆CME (g.g)

⇒ BD BM

= BD CE = BM CM = a

CM CE ⇒ không đổi

b) ∆BDM ∆CME ⇒ DM = BD DM = BD ME CM⇒ ME BM

(do BM = CM)⇒ ∆DME ∆DBM (c.g.c) ⇒ MDE = BMD  hay DM tia phân giác BDE

c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC

keû MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB MH = MI = MK ⇒ ∆DKM = ∆DIM ⇒DK =DI ⇒ ∆EIM = ∆EHM ⇒EI = EH

Chu vi ∆AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)

∆ABC tam giác nên suy ∆CME củng tam giác CH = MC 2

a = ⇒ AH = 1,5a ⇒ PAED = AH = 1,5 a = 3a

2

3

21 H

I

O E D

C B

A

K H

I

M

E D

C B

Baøi 5:

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F

a) chứng minh DE + DF không đổi D di động BC

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE

Giaûi

a) DE // AM ⇒ DE = BD DE = BD.AM

AM BM⇒ BM (1)

DF // AM ⇒ DF = CD DF = CD.AM = CD.AM

AM CM ⇒ CM BM (2)

Từ (1) (2) suy

DE + DF = AM BD + AMCD BM BM =

BD CD BC

+ AM = AM = 2AM BM BM BM

 

 

  không đổi

b) AK // BC suy ∆FKA ∆AMC (g.g) ⇒ FK = KA AM CM (3)

EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = =

ED BD ⇒ED + EK BD + KA⇒ KD BD + DM⇒ AM= BM⇒AM =CM (2) (Vì CM = BM)

Từ (1) (2) suy FK EK

AM = AM ⇒FK = EK hay K trung điểm FE Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)

Cho hình thoi ABCD cạnh a có 

A = 60 , đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M, N

a) Chứng minh tích BM DN có giá trị khơng đổi

b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Giaûi

a) BC // AN ⇒ MB = CM BA CN (1) CD// AM ⇒ CM = AD

CN DN (2) Từ (1) (2) suy

2

MB AD

= MB.DN = BA.AD = a.a = a BA DN ⇒

K F

E

D M C

B

A

1

1 K M

N D

C B

b) ∆MBD và∆BDN có MBD = BDN   = 1200 MB MB CM AD BD

= =

BD BA = CN DN =DN(Do ABCD hình thoi có



A = 60 neân AB = BC = CD = DA) ⇒ ∆ MBD ∆BDN

Suy M = B1 1 ∆MBD và∆BKD có BDM = BDK  M = B1 1 nên BKD = MBD = 120 

Baøi 7:

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC I, M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh

a) IM IN = ID2

b) KM = DM KN DN

c) AB AE + AD AF = AC2

Giaûi

a) Từ AD // CM ⇒ IM = CI ID AI (1) Từ CD // AN ⇒ CI ID

AI= IN (2) Từ (1) (2) suy IM

ID= ID

IN hay ID

2 = IM IN

b) Ta coù DM = CM DM = CM DM = CM

MN MB⇒MN + DM MB + CM ⇒ DN CB (3) Từ ID = IK ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN

⇒ IK = IN IK - IM = IN - IK KM = KN KM = IM IM IK⇒ IM IK ⇒ IM IK ⇒ KN IK ⇒

KM IM CM CM =

KN ID = AD = CB (4)

Từ (3) (4) suy KM = DM KN DN

c) Ta coù ∆AGB ∆AEC ⇒ AE = AC AB.AE = AC.AG AG AB⇒

⇒AB AE = AG(AG + CG) (5)

∆CGB ∆AFC ⇒ AF = CG CG

AC CB = AD(vì CB = AD) ⇒AF AD = AC CG ⇒ AF AD = (AG + CG) CG (6)

I

K F

G

E

M

D

C

B

Cộng (5) (6) vế theo vế ta có:

AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG

⇔ AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2

Vaäy: AB AE + AD AF = AC2

Bài tập nhà Bài

Cho Hình bình hành ABCD, đường thẳng cắt AB, AD, AC E, F, G

Chứng minh: AB + AD = AC AE AF AG

HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC) Bài 2:

Qua đỉnh C hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD E, G, F chứng minh:

a) DE2 = FE

EG BE

2

b) CE2 = FE GE

(Gợi ý: Xét tam giác DFE BCE, DEC BEG) Bài

Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt điểm Chứng minh

CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A Kiến thức:

* Tam giác đồng dạng: a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)

∆ABC A’B’C’ ⇔ AB = AC = BC A'B' A'C' B'C'

b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)

∆ABC A’B’C’ ⇔ AB = AC A'B' A'C' ;

  A = A'

c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) ∆ABC A’B’C’ ⇔ A = A' ; B = B' 

AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: A'H'

AH = k (Tỉ số đồng dạng);

A'B'C' ABC

S

S = K

2

B Bài tập áp dụng Bài 1:

Cho ∆ABC coùB = C , AB = cm, BC = 10 cm a)Tính AC

b)Nếu ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp cạnh bao nhiêu?

Giải Cách 1:

Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho:BD = BC

∆ACD ∆ABC (g.g) ⇒ AC AD AB= AC

2

AC AB AD =AB.(AB + BD)

⇒ = = AB(AB + BC)

= 8(10 + 8) = 144 ⇒ AC = 12 cm Caùch 2:

Vẽ tia phân giác BE ABC ⇒ ∆ABE ∆ACB

2

AB AE BE AE + BE AC

= AC = AB(AB + CB)

AC AB= CB=AB + CB= AB + CB⇒ = 8(8 + 10) = 144

E

D

C B

⇒ AC = 12 cm

b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)

Vì b > anên b = a + b = a +

+ Neáu b = a + (a + 1)2= a2 + ac ⇔2a + = ac ⇔a(c – 2) =

⇒a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + a(c – 4) = - Với a = c = (loại) - Với a = c = (loại) - với a = c = ; b = Vậy a = 4; b = 5; c = Bài 2:

Cho ∆ABC cân A, đường phân giác BD; tính BD biết BC = cm; AC = 20 cm

Giaûi

Ta coù CD = BC

AD AC=4 ⇒ CD = cm BC = cm Bài tốn trở

Bài 3:

Cho ∆ABC cân A O trung điểm BC Một điểm O di động AB, lấy điểm E AC cho

2

OB CE =

BD Chứng minh a) ∆DBO ∆OCE

b) ∆DOE DBO ∆OCE

c) DO, EO phân giác góc BDE, CED

d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi D di động AB Giải

a) Từ

2

OB CE =

BD ⇒

CE OB =

OB BD vaø  

B = C (gt) ⇒ ∆DBO ∆OCE b) Từ câu a suy O = E3 2 (1)

Vì B, O ,C thẳng hàng nên   

O + DOE+EOC 180= (2) tam giác EOC   

2

E + C EOC 180+ = (3) ∆

D

C B

Từ (1), (2), (3) suy DOE  = =B C ∆DOE ∆DBO có DO = OE

DB OC (Do ∆DBO ∆OCE) vaø DO = OE

DB OB (Do OC = OB) vaø

   DOE= =B C neân ∆DOE ∆DBO ∆OCE

c) Từ câu b suy D = D1 2⇒ DO phân giác góc BDE

Củng từ câu b suy E = E1 2 EO phân giác góc CED

c) Gọi OH, OI khoảng cách từ O đến DE, CE OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi ⇒OI không đổi D di động AB

Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)

Cho ∆ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC cho DME = B  a) Chứng minh tích BD CE khơng đổi

b)Chứng minh DM tia phân giác BDE

c) Tính chu vi ∆AED ∆ABC tam giác Giải

a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM    , mà DME = B (gt) nên CME = BDM , kết hợp với B = C  (∆ABC cân A) suy ∆BDM ∆CME (g.g)

⇒ BD BM

= BD CE = BM CM = a

CM CE ⇒ không đổi

b) ∆BDM ∆CME ⇒ DM = BD DM = BD ME CM⇒ ME BM

(do BM = CM)⇒ ∆DME ∆DBM (c.g.c) ⇒ MDE = BMD  hay DM tia phân giác BDE

c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC

keû MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB MH = MI = MK ⇒ ∆DKM = ∆DIM ⇒DK =DI ⇒ ∆EIM = ∆EHM ⇒EI = EH

Chu vi ∆AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)

∆ABC tam giác nên suy ∆CME củng tam giác CH = MC 2

a =

2

3

21 H

I

O E D

C B

A

K H

I

M

E D

C B

⇒ AH = 1,5a ⇒ PAED = AH = 1,5 a = 3a

Baøi 5:

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F

a) chứng minh DE + DF không đổi D di động BC

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE

Giaûi

a) DE // AM ⇒ DE = BD DE = BD.AM

AM BM⇒ BM (1)

DF // AM ⇒ DF = CD DF = CD.AM = CD.AM

AM CM ⇒ CM BM (2)

Từ (1) (2) suy

DE + DF = AM BD + AMCD BM BM =

BD CD BC

+ AM = AM = 2AM BM BM BM

 

 

  không đổi

b) AK // BC suy ∆FKA ∆AMC (g.g) ⇒ FK = KA AM CM (3)

EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = =

ED BD ⇒ED + EK BD + KA⇒ KD BD + DM⇒ AM= BM⇒AM =CM (2) (Vì CM = BM)

Từ (1) (2) suy FK EK

AM = AM ⇒FK = EK hay K trung điểm FE Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)

Cho hình thoi ABCD cạnh a có 

A = 60 , đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M, N

a) Chứng minh tích BM DN có giá trị khơng đổi

b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Giải

a) BC // AN ⇒ MB = CM BA CN (1) CD// AM ⇒ CM = AD

CN DN (2)

K F

E

D M C

B

A

1

1 K M

Từ (1) (2) suy MB AD

= MB.DN = BA.AD = a.a = a BA DN⇒

b) ∆MBD và∆BDN có MBD = BDN   = 1200 MB MB CM AD BD

= =

BD BA = CN DN =DN(Do ABCD hình thoi có



A = 60 neân AB = BC = CD = DA) ⇒ ∆ MBD ∆BDN

Suy M = B1 1 ∆MBD và∆BKD có BDM = BDK  M = B1 1 neân BKD = MBD = 120 

Bài 7:

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC I, M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh

a) IM IN = ID2

b) KM = DM KN DN

c) AB AE + AD AF = AC2

Giaûi

a) Từ AD // CM ⇒ IM = CI ID AI (1) Từ CD // AN ⇒ CI ID

AI= IN (2) Từ (1) (2) suy IM

ID= ID

IN hay ID

2 = IM IN

b) Ta coù DM = CM DM = CM DM = CM

MN MB⇒MN + DM MB + CM ⇒ DN CB (3) Từ ID = IK ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN

⇒ IK = IN IK - IM = IN - IK KM = KN KM = IM IM IK⇒ IM IK ⇒ IM IK ⇒ KN IK ⇒

KM IM CM CM =

KN ID = AD = CB (4)

Từ (3) (4) suy KM = DM KN DN

c) Ta coù ∆AGB ∆AEC ⇒ AE = AC AB.AE = AC.AG AG AB⇒

⇒AB AE = AG(AG + CG) (5)

∆CGB ∆AFC ⇒ AF = CG CG

AC CB = AD(vì CB = AD)

I

K F

G

E

M

D

C

B

⇒AF AD = AC CG ⇒ AF AD = (AG + CG) CG (6) Cộng (5) (6) vế theo vế ta có:

AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG

⇔ AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2

Vaäy: AB AE + AD AF = AC2

Bài tập nhà Bài

Cho Hình bình hành ABCD, đường thẳng cắt AB, AD, AC E, F, G

Chứng minh: AB + AD = AC AE AF AG

HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC) Bài 2:

Qua đỉnh C hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD E, G, F chứng minh:

a) DE2 = FE

EG BE

2

b) CE2 = FE GE

(Gợi ý: Xét tam giác DFE BCE, DEC BEG) Bài

Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt điểm Chứng minh

CHUYÊN ĐỀ – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VAØ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A Kiến thức:

1) Bổ đề hình thang:

“Trong hình thang có hai đáy khơng nhau, đường thẳng qua giao điểm đường chéo qua giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên qua trung điểm hai đáy”

Chứng minh:

Gọi giao điểm AB, CD H, AC, BD G, trung điểm AD, BC E F Nối EG, FG, ta có: ∆ADG ∆CBG (g.g) , nên :

AD AG 2AE AG AE AG CB =CG ⇒ 2CF =CG ⇒ CF =CG (1) Ta lại có : EAG =FCG (SL ) (2) Từ (1) (2) suy : ∆AEG ∆CFG (c.g.c) Do đó: AGE =CGF⇒ E , G , H thẳng hàng (3) Tương tự, ta có: ∆AEH ∆BFH⇒AHE =BHF

⇒ H , E , F thaúng haøng (4)

Tõừ (3) (4) suy : H , E , G , F thẳng hàng 2) Chùm đường thẳng đồng quy:

Nếu đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song chúng định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy O chúng cắt m A, B, C cắt n A’, B’, C’

AB BC AC =

A'B' B'C'= A'C'

AB A'B' AB A'B' = ;

BC B'C' AC= A'C' * Đảo lại:

+ Nếu ba đường thẳng có hai đường thẳng cắt nhau, định hai đường thẳng song song cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ba đường thẳng đồng quy

+ Nếu hai đường thẳng bị cắt ba đường thẳng đồng quy tạo thành cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng song song với

// //

/ /

H

G E

F D

C B

A

c b

a

O

n m

A' B' C'

C B

B p dụng: 1) Bài 1:

Cho tứ giác ABCD có M trung điểm CD, N trung điểm CB Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn Chứng minh ABCD hình bình hành

Giải

Gọi E, F giao điểm AM, AN với BD; G, H giao điểm MN với AD, BD

MN // BC (MN đường trung bình ∆BCD)

⇒ Tứ giác HBFM hình thang có hai cạnh bên địng quy A, N trung điểm đáy BF nên theo bổ đề hình thang N trung điểm đáy MH

⇒MN = NH (1)

Tương tự : hình thang CDEN M trung điểm GN ⇒ GM = MN (2) Từ (1) (2) suy GM = MN = NH

Ta có ∆BNH = ∆CNM (c.g.c) ⇒ BHN = CMN  ⇒ BH // CM hay AB // CD (a) Tương tự: ∆GDM = ∆NCM (c.g.c) ⇒ DGM = CNM  ⇒ GD // CN hay AD // CB (b) Từ (a) (b) suy tứ giác ABCD có cặp cạnh đối song song nên hình bình hành 2) Bài 2:

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh: HM ⊥PQ

Giaûi

Gọi giao điểm AH BC I Từ C kẻ CN // PQ (N∈ AB),

ta chứng minh MH ⊥CN ⇒ HM ⊥PQ

Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm PQ, hai cạnh bên NP CQ đồng quy A nên K trung điểm CN ⇒ MK đường trung bình ∆BCN ⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1)

H trực tâm ∆ABC nên CH⊥A B (2)

Từ (1) (2) suy MK ⊥CH ⇒ MK đường cao của∆CHK (3) Từ AH ⊥BC ⇒ MC⊥HK ⇒ MI đường cao ∆CHK (4)

Từ (3) (4) suy M trực tâm ∆CHK⇒ MH⊥CN ⇒ MH⊥PQ 3) 3:

H

G F

E

N

M

D

C B

A

I K

N

M

Q P

H

C B

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự trung điểm AD, BC Gọi E điểm thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC

Chứng minh rằng: NM tia phân giác KNE Giải

Gọi H giao điểm KN DC, giao điểm AC MN I IM = IN

Ta có: MN // CD (MN đường trung bình hình chữ nhật ABCD)

⇒ Tứ giác EMNH hình thang có hai cạnh bên EM HN đồng quy K I trung điểm MN nên C trung điểm EH

Trong ∆ENH NC vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên ∆ENH cân N ⇒ NC tia phân giác ENH mà NC ⊥MN (Do NM ⊥BC – MN // AB) ⇒ NM tia phân giác góc ngồi N ∆ENH

Vậy NM tia phân giác KNE Bài 4:

Trên cạnh BC = cm hình vng ABCD lấy điểm E cho BE = cm Trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = cm Gọi M giao điểm AE BF

Tính AMC Giải

Gọi giao điểm CM AB H, AM DF G

Ta có: BH = AB BH CF FG ⇔ =FG

Ta lại có AB = BE = CG = 2AB = 12 cm CG EC 4= ⇒2

⇒ FG = cm ⇒ BH BH = cm

3 = ⇒9 ⇒ BH = BE

∆BAE = ∆BCH (c.g.c) ⇒ BAE = BCH   maø BAE + BEA   = 900

Mặt khác BEA = MEC ; MCE = BCH     ⇒ MEC + MCE   = 900 ⇒ AMC = 900 Baøi 5:

Cho tứ giác ABCD Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ đường thẳng song song với BD, cắt cạnh lại tứ giác F, G

a) Có thể kết luận đường thẳng EH, AC, FG

// //

I

H E

N M

K

D C

B A

H M

G F

E

D C

25

b) Gọi O giao điểm AC BD, cho biết OB = OD Chứng minh ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy

Giải

a) Nếu EH // AC EH // AC // FG

Nếu EH AC khơng song song EH, AC, FG đồng quy b) Gọi giao điểm EH, HG với AC

Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy A OB = OD nên theo bổ đề hình thang M trung điểm EF Tương tự: N trung điểm GH

Ta coù ME = MF

GN HN nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy O

O

H

G F

E

N M

D C

CHUYÊN ĐỀ – SỬ DỤNG CƠNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ ĐỘ DAØI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG

A Một số kiến thức:

1 Công thức tính diện tích tam giác:

S =

2 a.h (a – độ dài cạnh, h – độ dài đường cao tương ứng) Một số tính chất:

Hai tam giác có chung cạnh, có độ dài đường cao có diện tích Hai tam giác có diện tích

B Một số tốn: 1 Bài 1:

Cho ∆ABC có AC = 6cm; AB = cm; đường cao AH; BK; CI Biết AH = CI + BK Tính BC

Giải

Ta có: BK = 2SABC

AC ; CI =

ABC

2S AB

⇒ BK + CI = SABC 1

AC AB  + 

 

  ⇔ 2AH = 2.1

2 BC AH

1 AC AB  + 

 

  ⇔BC

1 AC AB  + 

 

  =

⇒ BC = : 1 AC AB  + 

 

  = :

1  + 

 

  = 4,8 cm Baøi 2:

Cho ∆ABC có độ dài cạnh a, b, c; độ dài đường cao tương ứng ha, hb, hc Biết a + =

b + hb = c + hc Chứng minh ∆ABC tam giác

Giaûi

Gọi SABC = S

Ta xét a + = b + hb ⇒ a – b = – hb = 2S - 2S 2S - 2S a - b

b a b a ab

 

=  =

 

K I

H C

⇒ a – b = 2S a - b

ab ⇒ (a – b)

2S -

ab

 

 

  = ⇒ ∆ABC cân C vuông C (1) Tương tự ta có: ∆ABC cân A vuông A (2); ∆ABC cân B vuông B (3)

Từ (1), (2) (3) suy ∆ABC cân vuông ba đỉnh (Không xẩy vuông ba đỉnh) ⇔ ∆ABC tam giác

Baøi 3:

Cho điểm O nằm tam giác ABC, tia AO, BO, Co cắt cạnh tam giác ABC theo thứ tự A’, B’, C’ Chứng minh rằng:

a) OA' OB' OC'

AA'+BB'+CC' = b)

OA OB OC AA'+BB'+CC'=

c) M = OA OB OC

OA'+OB'+OC' = Tìm vị trí O để tổng M có giá trị nhỏ d) N = OA OB OC

OA' OB' OC'= Tìm vị trí O để tích N có giá trị nhỏ Giải

Gọi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB Ta coù:

3

OA'C OA'B

S S S S

OA

= =

OA' S S S +

= (1)

OA'C OA'B OA'C OA'B

AA'C AA'B AA'C AA'B

S S S S S OA'

= =

AA' S S S S S +

= =

+ (2)

Từ (1) (2) suy OA S2 S3

AA' S + = Tương tự ta có

2

S S OB

OB' S +

= ;

3

S S OC

OC' S +

= ; OB' S2

BB' = S ;

3

S OC' CC' = S a) OA' OB' OC' S1 S2 S3 S

1 AA'+BB'+CC' = S + S + S = =S

b) OA OB OC S2 S3 S1 S3 S1 S2 2S

2 AA' BB' CC' S S S S

+ + +

+ + = + + = =

c) M = 3 2 3

1 2 3

S S S S S S S S S S S S

OA OB OC

OA' OB' OC' S S S S S S S S S

   

 

+ + +

+ + = + + = + + +  + + 

     

Aùp dụng Bđt Cô si ta có 3

2 3

S S

S S S S

2 2

S S S S S S

   

 

+ + +  + + ≥ + + =

 

     

Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 ⇔ O trọng tâm tam giác ABC

d) N = 3 ( 3)( 3)( 2)

1 3

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

+ + +

+ + +

=

⇒ N2 = ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 3 2 3

2

1 3

S S S S S S 4S S 4S S 4S S

64

S S S S S S

+ + +

≥ ≥ ⇒ N ≥ Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 ⇔ O trọng tâm tam giác ABC

Baøi 4:

Cho tam giác ABC, đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ hình chiếu M

(nằm bên tam giác ABC) AD, BE, CF Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí tam giác ABC thì:

a) A’D + B’E + C’F khơng đổi b) AA’ + BB’ + CC’ không đổi Giải

Gọi h = AH chiều cao tam giác ABC h khơng đổi

Gọi khoảng cách từ M đến cạnh AB; BC; CA MP; MQ; MR A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP

Vì M nằm tam giác ABC nên SBMC + SCMA + SBMA = SABC

⇔ BC.(MQ + MR + MP) = BC.AH ⇒ MQ + MR + MP = AH ⇒ A’D + B’E + C’F = AH = h

Vậy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi

b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F) = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h không đổi Bài 5:

Cho tam giác ABC có BC trung bình cộng AC AB; Gọi I giao điểm phân giác, G trọng tâm tam giác Chứng minh: IG // BC

Giaûi

Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC AH, IK, GD

Vì I giap điểm ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA IK

Vì I nằm tam giác ABC nên:

SABC = SAIB + SBIC + SCIA ⇔BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)

Maø BC = AB + CA

29

Thay (2) vào (1) ta có: BC AH = IK 3BC ⇒ IK =

3AH (a) Vì G trọng tâm tam giác ABC neân:

SBGC =

3 SABC ⇔ BC GD =

3 BC AH ⇒ GD =

3 AH (b)

Từ (a) (b) suy IK = GD hay khoảng cách từ I, G đến BC nên IG // BC Bài tập nhà:

1) Cho C điểm thuộc tia phân giác 

xOy = 60 , M điểm nằm đường vng góc với OC C thuộc miền xOy, gọi MA, MB thứ tự khoảng cách từ M đến Ox, Oy Tính độ dài OC theo MA, MB

2) Cho M điểm nằm tam giác ABC A’, B’, C’ hình chiếu M cạnh BC, AC, AB Các đường thẳng vng góc với BC C, vng góc với CA A , vng góc với AB B cắt D, E, F Chứng minh rằng:

a) Tam giác DEF tam giác

b) AB’ + BC’ + CA’ không phụ thuộc vị trí M tam giác ABC

R

Q P

C' B'

A'

M

F E

D C

B

M

K H

G I

D C

CHUYÊN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC

A Kiến thức Tam giác

- A + B + C = 180ˆ ˆ ˆ ( Tổng góc tam giác ) - AB+AC>BC ( Bất đẳng thức tam giác)

- AB−AC<BC ( Bất đẳng thức tam giác)

2 Tứ giác

a Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA đoạn thẳng không nằm đường thẳng

b Tứ giác lồi: Là tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác

c Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng thích them, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác

- Định lý: Tổng góc cảu tứ giác 3600 ⇒ A + B + C + D = 360ˆ ˆ ˆ ˆ 0

- Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn bốn góc tứ giác bốn góc có tổng

0

360

- Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB + BC + CD > DA

- Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi bốn đỉnh tứ giác 3600

4 Góc ngồi tứ giác: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác

- Ta có ˆB1là góc ngồi đỉnh B B Bài tập

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có: ˆ ˆ

90

BAD=BCD= , phân giác góc ABC cắt AD E phân giác góc ADC cắt BC F Chứng minh BE // DF

β

α 1

E D

C B

A

C B

A

1 D C B

Lời giải

+)  ABC+ADC =1800⇒ α β+ =90 (1)0 +) Xét tam giác ABE, có: α+E1=90 (2)0

+) Từ (1), (2)suy β =E1và hai góc vị trí đồng vị nên BE/ /DF

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có:  ABC+BAD 180= Phân giác góc BCD CDA cắt E, biết CD = DE Chứng minh : ADC =2BCD

Lời giải

+) Ta có: A Bˆ+ =ˆ 1800⇒ + =Cˆ Dˆ 1800 ⇒C1+D1 =90o ⇒DEC =900 +) Gọi M trung điểm CD

2

CD

EM MC MD

⇒ = = =

⇒ ∆DEM D1 =600⇒C1=300 ⇒ =D (C dpcm )

Bài 3: Cho tứ giác ABCD , có: BAD+2BCD=180 ,0 DA=DC chứng minh BD phân giác 

ABC

Lời giải:

+) Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = BC

+) BCD EAD cgc( ) B1 E1(1) BED

DB DE  = ∆ = ∆ ⇒ ⇒ ∆ =   

cân D

1 2(2)

E B

⇒  = 

Từ (1)(2) ⇒B 1=B dpcm2( )

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có BD phân giác góc ABC , AD = CD , AB < BC Chứng minh : BAD +BCD=1800

Lời giải

+) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA +)

1 1(1)

( )

A E

BED BAD cgc AD ED ED CD ECD

ED DA  =  ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ ∆   =    

cân D 1(2)

E C

⇒  =  Từ (1)(2) A 1+C 1=E 1+E2 =1800

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có: A B C Dˆ: ˆ: ˆ: ˆ =5 : :13 :10

a Tính góc tứ giác ABCD

Lời giải

a Aˆ =50 ,0 Bˆ =80 ,0 Cˆ =130 ,0 Dˆ =1000

b AEDˆ =1800− − =A Dˆ ˆ 30 ;0 AFBˆ =1800− − =A Bˆ ˆ 500

0 0 0

1

ˆ 180 ˆ ˆ 75 ; ˆ 180 75 30 75

EMN = − −F B = ENM = − − = ⇒ ∆EMN cân ⇒Olà trung điểm MN

Bài 6: Cho tứ giác ABCD có ˆ ˆ

180

B+D= , AC phân giác góc A

Chứng minh rằng: CB = CD

Lời giải

Dựng tam giác ACE cân C ⇒CA=CE Theo gt: 1

ˆ ˆ 180

ˆ ˆ ˆ ˆ 180

B D D B B B  + =  ⇒ =  + = 

Có: 1 1 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A E E A A A  =  ⇒ =  =  CEB

∆ ∆CAD có:

1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ  =  ⇒ = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ =  =  A E

C C CEB CAD g c g CB CD

D B

HÌNH THANG, HÌNH THANG CÂN A HÌNH THANG

1 Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song ABCD

◊ Là hình thang ( đáy AB, CD )

// ABCDla AB CD ◊  ⇔  

+) AB: đáy nhỏ +) CD: đáy lớn +) AD, BC: cạnh bên Nhận xét

- Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên

- Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song Dựa vào nhận xét ta có

Hình thang ABCD ( AB // CD ), có:

+) AD//BC⇒AD=BC AB; =CD

+) AB=CD⇒ AD//BC AD; = BC

1 2 1 1 2 2 1 1 D C E B A

H3 THANG CÂN H2 THANG VNG

H1 HÌNH THANG

2 Hình thang vng hình thang có góc vng

B HÌNH THANG CÂN

1 Định nghĩa

Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy

ABCD hình thang cân ( đáy AB, CD ) ˆ ˆ ( hinh thang )ˆ ˆ

C=D hoac A=B

 ⇔  

ABCD l

2 Tính chất: Trong hình thang cân - Hai cạnh bên

- Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết

- Hình thang có góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân

4 Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình thang cân ( Hình bình hành ) C BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác ABC cắt đoạn AB, AC Chứng minh tổng khoảng cách từ B C tới d khoảng cách từ A tới d

Lời giải

Ta có tứ giác BEFC hình thang ( BE // CF )

Gọi N trung điểm EF, M trung điểm BC (1)

2

BE CF MN

BE CF

MN

MN d

+ = 

+

⇒ = ⇒ 

⊥ 

+) Lấy P thuộc tia đối MG cho MP = MG

GP GA

⇒ =

+) Lấy K thuộc d cho NG = NK

1

MN PK

PK D

 =  ⇒ 

 ⊥ 

( ) (2)

2

ADG PKG ch gn PK DA MN AD AD BE CF

∆ = ∆ − ⇒ = ⇒ = ⇒ = +

Bài 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G đường thẳng d nằm tam giác Gọi D, E, F, H hình chiếu A, B, C, D lên đường thẳng d Chứng minh rằng: AD + BE + CF = 3GH

P M

D G

N K

C F

B E

A

H3 THANG CÂN H2 THANG VUÔNG

H1 HÌNH THANG

C A

A B

D

B

C

C

D

A B

Lời giải

+) Gọi M trung điểm BC +) P trung điểm AG +) K hình chiếu M lên d Ta có : BE + CF = 2MK

AD + GH = 2PQ; MK + PQ = 2GH 2( MK + PQ ) = 4GH; BE + AD + CF = 3GH (dpcm)

Bài 3: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ), CD = BC + AD Hai đường phân giác hai góc A B cắt K Chứng minh C, D, K thẳng hàng

Lời giải

Trên CD lấy điểm E cho CE = CB

AD DE CBE

⇒ = ⇒ ∆ cân C ⇒ Eˆ1=Bˆ1

Mặt khác Eˆ1=B sltˆ2( )⇒Bˆ1 =Bˆ2

ADE

∆ cân D ⇒ Aˆ1=Eˆ2 mà

2 ˆ2 ˆ1 ˆ2

ˆ ( )

E A slt A A

⇒ = ⇒ =

, EA EB

⇒ phân giác ˆ ˆA B, ⇒ giao điểm hai đường phân giác góc A B cắt E thuộc BC ⇒E≡K ⇒D K C, , thẳng hàng

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD ) có đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC đồng thời DB tia phân giác ADCˆ

a Tính góc hình thang cân ABCD

b Biết BC = 6cm, tính chu vi diện tích hình thang cân ABCD

Lời giải

a) ∆DBC B(ˆ =90 )0 có

0

ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 60 ; ˆ ˆ 120

BCD= BDC⇒ ADC= BCD= DAB =CBA=

b) Tính DC = 2.BC P ABCD=30cm

Hạ đường cao BK, ta có BK =3 3cm⇒S ABCD=27 3(cm2)

Bài 5:Cho tam giác ABC Từ điểm M nằm bên tam giác ta vẽ tia gốc M song song với BC cắt AB D, song song với AC cắt BC E, song song với AB cắt AC F Chứng minh chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác

Lời giải

Chu vi tam giác ABC : DE + DF + EF

M G P

E

D Q H K

F

B C

A

2 1 2

1

1 2

E C

B

D

A

K

D C

B A

M D

B

E C

Khoảng cách từ M đến đỉnh : MA + MB + MC Ta cần chứng minh : DE + DF + EF = MA + MB + MC

+) Ta có hình thang BDME hình thang cân (MD BE B// , ˆ = = =Eˆ Cˆ 60 )0 ⇒DE=MB

Chứng minh tương tự ta có : DF= MA, EF = MC ⇒DE + DF + EF = MA + MB + MC ( đpcm)

Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, điểm I thuộc đường cao AH, BI giao với AC D, CI giao với AB E

a Chứng minh rằng: AD = AE b Xác định dạng tứ giác BEDC c Xác định I cho: BE = ED = DC

Lời giải

a Ta có:

1

ˆ ˆ

( ) ( )

∆AIC= ∆AIB c g c ⇒C =B ⇒ ∆ACE= ∆ABD g c g ⇒ AE=AD

b ∆ADE,∆ACB cân A có chung góc A

0 ˆ //

180 ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

DE BC

A

ADE AED ACB ABC dpcm

C B



− 

⇒ = = = = ⇒ ⇒

= 

c DE//BC⇒Bˆ2 =Dˆ2 Để BE = ED ⇒ ∆BED cân E

1

1

2

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

B D

B B

B D

 = 

⇒ ⇒ =

=



Chứng minh tương tự: Cˆ1=Cˆ2

Vậy CE BD giao điểm góc C B

Vậy I giao điểm đường phân giác tam giác ABC

Bài 7:Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C qua trung điểm M AD CMR:

a) BMC=900 b) BC = AB + CD

Lời giải

a) Giả sử MC cắt AB E

Khi ∆CMD= ∆EMA g c g( )⇒CM =EM A; D=AE

Xét ∆BEC có:   E=C2 =C1=>∆BEC cân Mà BM đường trung tuyến

=> BM đường cao Vậy BM ⊥EC

b) Vì∆BEC cân nên EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB

2

2 1

2 1

2 1

H I

D E

B C

A

2

2

2

E

M

B A

Bài 8: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), có C=600, DB phân giác góc D, Biết chu vi hình thang 20cm, Tính cạnh hình thang

Lời giải

Đặt BC= a, ta có ngay: AD = AB = BC = a Mà: C =600 ⇒D2 =300 ⇒DBC =900 Xét ∆BDC có D2 =30 ,0 C=600 ⇒DC=2a

Mà Chu vi hình thang 20 cm nên ta có: a + a + a + 2a = 20 => a =

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG A ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

1 Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Các định lý

a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba

, , /

ABC AM MB MN BC AN NC

∆ = ⇒ =

b Định lý 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh ấy:

1 // ;

2

MN BC MN = BC

B ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG

H5 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH HÌNH THANG H4.ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TAM GIÁC

N M

N M

A

B C

A B

D C

H5 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH HÌNH THANG H4.ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TAM GIÁC

N M

N M

A

B C

A B

D C

a

1

2

A B

D C

1 Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang

2 Các định lý

a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai

Nếu EA = ED EF // AB // CD FB = FC

b Định lý 2: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Ta có: EF // AB // CD EF= (1 )

2 AB CD+

3 Mở rộng

- Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy

Ta có: MN / /AB CD/ /

2

CD AB

MN = −

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, K, F trung điểm AD, BC, AC a Chứng minh EK // CD, FK // AB

b So sánh EF 1( ) AB CD+

c Tìm điều kiện tứ giác ABCD để điểm E, F, K thẳng hàng, chứng minh EF = (1 ) AB CD+

Lời giải

b Xét ∆EFK,có:

1

( )

2

1

EF EK+KF= CD AB AB CD 2

≤ + = +

c Để E, F, K thẳng hàng, EF đồng thời song song với AB, CD Tức tứ giác ABCD hình thang ( AB // CD )

( )

1

D

EF AB C

⇒ = +

Bài 2:Tính độ dài đường trung bình hình thang cân biết đường chéo vng góc chiều cao = 10cm

K

F E

D

C B

A

M N

A B

Lời giải

+) ∆ABC= ∆BAD ccc( )⇒Aˆ1=Bˆ1⇒Dˆ1 =Cˆ1

+) AC⊥BD⇒Aˆ1 =Bˆ1 =Cˆ1=Dˆ1=450

, IAB ICD

⇒ ∆ ∆ vuông cân I ;

2 2

AB CD AB CD

MI NI MI NI +

⇒ = = ⇒ + = = đường trung

bình tam giác = 10cm

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b Qua A

kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác góc B C D E Từ A kẻ AP vng góc với BD; AQ vng góc với CE PQ cắt EB, CD M, N Tính MN, PQ theo a, b, c

Lời giải

+) Eˆ1=Cˆ1 =C sltˆ2( )⇒ ∆EAC cân A ⇒AE=AC AQ; ⊥EC⇒AQ đường cao, phân giác, trung trực, đường trung tuyến ⇒QE=QC

+) Tương tự ∆ABD cân A BP=PD

+) ∆ABH có BP phân giác đường cao ⇒ ∆ABH cân B ⇒P trung điểm AH Tương tự: Q trung điểm AF

2

PQ FH

⇒ =

+) MQ//BC⇒M trung điểm BE ; +) N trung điểm BE

+) 1( ) 1( ) 1( )

2 2

MN= ED+BC = EA+AD+BC = AC+AB+BC

1 1 1

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

2 2 2

PQ= HF = FC−HC = AC−HC = AC− BC=BH = AC−BC+BA = b a c− +

Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), Gọi E giao điểm AD BC, Gọi M, N, P, Q trung điểm AE, BE, AC, BD CMR: MNPQ hình thang

Lời giải

Dễ dạng chứng minh MN // AB 1

2 1 P

Q M

E D

N

H

F C

B

A

I

1 1

M

N H

1 1

D C

B A

R

P Q

N M

B E

D C

- Gọi R trung điểm AD ta có: RQ // AB RP // DC // AB

Nên RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ // AB Vậy MNPQ hình thang

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, Vẽ AH vng góc với BC H, Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AH CH, CMR :

MN vng góc với AB BM vng góc với AN

Lời giải

Vì MN đường trung bình => MN // AC mà AC ⊥AB

=> MN ⊥AB => M trực tâm ∆ABN ∆ABN có M trực tâm => BM ⊥AN

Bài 6:Cho đoạn thẳng AB trung điểm O nó, nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ hai tia Ax By vng góc với AB, Một góc vng đỉnh O cắt Ax C, cắt By D

a) AC + BD = CD b) CO tia phân giác ACD

Lời giải

a) Gọi I trung điểm CD

AC // BD => OI trung bình hình thang ABCD =>

2

AC BD

OI= + =>AC+BD=2.OI

Lại có ∆ COD vng => OI đường trung tuyến => OI = CI = ID => 2OI = IC + ID = CD

b) Ta có ∆ OCD vng O có OI đường trung tuyến nên OI = IC =>⇒ ∆I CO cân I ⇒C 2 =O1

Mà: O 1=C1 Nên ⇒C 1 =C2 Vậy OC tia phân giác góc ACD

Bài 7: Cho tứ giác ABCD có AD = BC, đường thẳng qua trung điểm M N cạnh AB CD cắt AD BC E F, CMR : AEM =MFB

Lời giải

Gọi I trung điểm BD

Ta có: MI, NI đường trung bình

2

AD BC

MI IN IMN

⇒ = = = ⇒ ∆ cân

  M E

⇒ = ( đồng vị )  N =F ( so le trong) Vậy  E=F

M

N H

B C

A

1

1

I

D

O

A B

C

? ?

I F E

M

N

D C

A

Bài 8:Cho tam giác ABC, AM đường trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) qua trung điểm I AM cắt cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C đường thẳng (d)

CMR: AA ' ' '

2

BB +CC

=

Lời giải

Gọi H, K giao (d) với AB AC Lấy N hình chiếu M đường thẳng (d) =>∆AA’I =∆MNI ( cạnh huyền - góc nhọn) => AA’ = MN

Hình thang BB’C’C có MN đường trung bình nên:

' '

'

2

BB CC

MN =AA = +

Bài 9: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao BD CE, gọi I K theo thứ tự hình chiếu B C đường thẳng ED, CMR: IE = DK

Lời giải

Gọi M trung điểm BC, kẻ MN ⊥ED Tứ giác BIKC hình thang => NI = NK (1)

∆BEC vng có EM =1 2BC ∆ BDC vng có DM =1

2BC => EM = DM =>∆EDM cân có MN đường cao trung tuyến

=> NE = ND (2)

Từ (1) (2) => IE = DK

Bài 10: Cho tam giác ABC có G trọng tâm, đường thẳng (d) khơng cắt cạnh tam giác ABC, Gọi A’, B’, C’, G’ hình chiếu A, B, C, G đường thẳng (d)

CMR: ' ' ' '

3

AA BB CC

GG = + +

Lời giải

Gọi M trung điểm AC, D đối xứng với G qua M, M’ hình chiếu M (d), Khi ta có :

2

BG

GM =DM =

=> G trung điểm BD

=> GG’ đường trung bình hình thang BB’D’D => MM’ đường trung bình hình thang GG’D’D

Nên: ' ' '

2

BB DD

GG = + (1)

d

C' M'

A' B'

I

M

B C

A

d

M' D' C'

G' A' B'

D

G

M A

B C

K N

I

M D E

B C

' CC' ' '

' ; '

2

AA DD GG

MM = + MM = +

=> DD’ + GG’ = AA’ + CC’ => DD’ = AA’ + CC’ - GG’ Thay (1) vào ta được: 2GG’ = BB’ + AA’ + CC’ - GG’ => 3GG’ = AA’ + BB’ + CC’ => ĐPCM

Bài 11: Cho tam giác ABC có trọng tâm G ( G nằm bên tam giác), Vẽ đường thẳng (d) qua G, cắt AB, AC, Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C (d), AA’, BB, CC’ có quan hệ gì?

Lời giải

Gọi I AG cho AI = IG Kẻ MM’ ⊥(d)

Khi ta có:

∆GII’ = ∆GMM’ (cạnh huyền = góc nhọn) => II’ = MM’ mà II’ =

2AA’ => AA’ = MM’ Hình thang BB’C’C có MM’ đường trung bình Nên ta có: MM’ = BB’ + CC’

Nên ta có: AA’ = BB’ + CC’

Bài 12: Cho tam giác ABC, Gọi D trung điểm cạnh AB, BC lấy điểm E, F cho BE = EF = FC, tia đối tia BA lấy điểm G cho BG = BD

CMR: AF, CD, GE đồng quy

Lời giải

Gọi I giao điểm CD GE

=> E trọng tâm ∆DGC => DI = IC ∆DEC có IF đường trung bình nên IF // DE Lại có: DE đường trung bình ∆ABF => DE // AF Khi A, I, F thẳng hàng hay AF có qua I

Bài 13:Cho tam giác ABC có BC = a, đường trung tuyến BD, CE, lấy điểm M, N cạnh BC cho BM = MN = NC, gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm AN CE Tính IK

Lời giải

Vì DN đường trung bình ∆ ACM => DN // AM ∆BDN có:

/ /

BM MN

AM DN

=  

 => I trung điểm BD Chứng minh tương tự =>

K trung điểm EC

C' M'

I' A' B'

I

G

M A

B C

I

G

C F

D

B

A

E

H G

K I

D

C N

E

B

A

Kéo dài IK cắt AB AC G H Khi ∆ BED có GI qua trung điểm I BD // ED nên GE = GB

∆CED có KH qua trung điểm K EC // ED Nên HD = HC

Khi ta có: 1 , 1

2 4

GI = ED= a KH = ED= a

Còn 3

2

a a

GH = +a a= =>GH =

Nên IK= GH - GI - HK=3 1

4 4

a a

a a

− − = Vậy

4

a IK =

Bài 14: Cho hình thang ABCD có  A= =B ,v BC =2AB=2AD, Gọi M điểm nằm đáy nhỏ AD, kẻ Mx vng góc với BM Mx cắt CD N CMR: MB = MN

Lời giải

Kẻ DK //AB, chứng minh ∆BDC vuông D

 0

90 45 135

ADC

⇒ = + =

Gọi H trung điểm BN,

Chứng minh MH⊥BN ∆BMN vng

1

,

2

MH = BN DH = BN =>MH =DH

 

HMD=HDM mà HDM   = ABH =DMN+MBH (1) Và HMD  =HMN+DMN (2) Từ (1) (2) =>MBH =HMN

Mà:  MBH+MNH =900 => HMN+MNH =900

Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H, M trung điểm BC, qua H kẻ đường thẳng vng góc với HM, cắt AB, AC theo thứ tự E F

a) Trên Tia đối tia HC, lấy điểm D cho HD = HC, CMR E trực tâm tam giác DBH b) CMR: HE = HF

Lời giải

a) Ta có MH đường trung bình ∆BCD => MH// BD

Mà EF // MH => EF ⊥BD

Ta lại có: BA⊥DH =>∆BDH có E trực tâm b) Gọi G giao điểm DE BH

=> K giao điểm BH AC

2

2

1

3

K H

N

C B

A M D

G D

F E

H

M K

B C

=>∆DHG = ∆CHK ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> HG = HK =>∆HE = ∆HKF ( c g c) => HE = HF

Bài 16: Cho hình thang ABCD (AB // CD), Gọi E F theo thứ tự trung điểm BD AC, vẽ đường thẳng qua E vng góc với AD đường thẳng qua F vng góc với BC, cắt I, CMR: IC = ID

Lời giải

Gọi N trung điểm DC

=> FN đường trung bình ∆ADC => FN/ /AD PE FN EI FN

PE AD



=> ⊥ => ⊥  ⊥



Chứng minh tương tự:

FQ⊥EN =>FI ⊥EN => I trực tâm => IN ⊥ EF, mà EF // DC => IN ⊥ DC

∆IDC có IN vừa trung tuyến vừa đường cao =>∆IDC cân => ID = IC

Bài 17: Cho hình thang ABCD, (AB<CD), Gọi M, N, P trung điểm AB, BD, AC, đường thẳng vng góc với MN N đường thẳng vng góc với MP P cắt E, CMR: EC = ED

Lời giải

Gọi Q trung điểm CD

MN đường trung bình , / /

2

MN AD MN AD

⇒ =

PQ đường trung bình , / /

PQ AD PQ AD

⇒ =

Bài 18:Cho điểm A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d, ( AB > BC), Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d, vẽ

, ADB BEC

∆ ∆ đều, Gọi M, N, P, Q, I theo thứ tự Trung điểm đoạn thẳng BD, AE, BE, CD, DE

a) CMR: điểm I, M, N thẳng hàng b) CMR: điểm I, Q, P thẳng hàng

c) CMR: MNPQ thình thang cân d)

2

NQ= DE

K P

I F E

N

A B

D C

E

Q P N

M

A B

D C

2

2

2

1

2

Q

P N

M I

E D

Lời giải

a) Dễ thấy AD // BE

IN đường trung bình ∆ADE => IN // AD

IM đường trung bình ∆DBE => IM // BE // AD => điểm I, M, N thẳng hàng

b) Chứng minh tương tự

c) Trong ∆AEB có NP đường trung bình => NP // (d)

Tương tự MQ // (d) => MQ // NP =>

 

   

1

2

60

N A

N A

N A

 = 

⇒ ⇒ = =

=

 ,

Chứng minh tương tự ta có:

 

  

1 0 0

2

180 60 60 60

D B

QPN

P B

 =

 => = − − = 

= 

d) Vì MNPQ thang cân => NQ = MP, Mà MP đường trung bình ∆BED nên:

1

2

MP= DE=>NQ=MP= DE

Bài 19: Cho ∆ABC đều, Trên tia đối tian AB, lấy D, tia đối tia AC lấy điểm E cho AD=AE, Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm BE, AD, AC, AB, CMR:

a) Tứ giác BCDE hình thang cân b) Tứ giác CNEQ hình thang c) ∆MNP tam giác

Lời giải

a) ∆AED =>D=600 = =>B ED/ /BC

Lại có đường chéo => hình thang cân b) ∆ABC => CQ⊥AD

∆AED => EN ⊥AD => CQ // EN => hình thang c) Ta có: NP đường trung bình =>

2

NP= DC

Xét ∆BEP có P=900, MP đường trung tuyến

=> 1

2

MP= BE= DC

Xét ∆ENB có N =900 MN đường trung tuyên

=> 1

2

MN = BE= DC

Vậy ∆NMP có cạnh nên tam giác

Bài 20: Cho tứ giác ABCD, Gọi P, Q theo thứu tự trung điểm AD BC a) CMR:

2

AB CD

PQ≤ +

1

Q P

N

M E

A

B C

b) Tứ giác ABCD hình thang

2

AB CD

PQ= +

Lời giải

b) Ta chứng minh ABCD hình thang

2

AB CD

PQ +

⇒ =

Thật : ∆ADC có pR đường trung bình

2

PR DC

⇒ = (1)

RQ đường trung bình ∆ ABC

2

RQ AB

⇒ = (2)

Cộng theo vế (1) (2) ta :

2

AB CD

PQ+RQ= +

Ngược lại :

2

AB CD

PQ= + =>PQ=PR+RQ⇒ điểm P, Q, R thẳng hàng,

Mà : PQ // DC RQ // AB => AB // CD => ABCD hình thang

ĐỐI XỨNG TRỤC, DỐI XỨNG TÂM A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

- Hai điểm A A’ gọi đối xứng với qua đường thẳng d, d đường trung trực đoạn thẳng AA’ (H1)

- Hai điểm A A’ gọi đối xứng với qua điểm O, O trung điểm AA’.(H2)

2 Tính chất:

- Mọi điểm nằm đường thẳng (d) cách hai đầu mút A A’ Quy ước:

- Điểm nằm trục đối xứng (d) điểm đối xứng với qua (d) - Điểm đối xứng với điểm O qua tâm O điểm O

B Bài tập

Bài 1: Cho ∆ABC có A=600, đường phân giác BD CE cắt I, qua E kẻ đường thẳng vng góc với BD cắt BC F, CMR:

R

Q P

A

B

C D

H2 H1

( d )

O

A A'

a, E F đối xứng qua BD b, IF phân giác BIC

c, D F đối xứng qua IC

Lời giải

a) ∆EBF cân B, BD tia phân giác góc B, nên BD đường trung trực EF

Vậy E, F đối xứng với qua BD

b) Tính BIC=1200 nên I1=60 ,0 I2 =60 ,0 I3 =60 ,0

vậy IF tia phân giác BIC

c) ∆IDC =∆IFC (g.c.g) => IF =ID, CF= CD Do đó: CI đường trung trực DF

Vậy D, F đối xứng với qua CI Bài 2: Cho ∆ABC nhọn, 

60

A= , Lấy D điểm BC, gọi E, F điểm đối xứng D qua cạnh AB, AC EF cắt AB, AC M, N

a, CMR: AE=AF Tính EAF b, CMR: AD tia phân giác ∆DMN

Lời giải

a) Ta có: D E đối xứng với qua AB nên AB đường trung trực ED => AE = AD Tương tự AD = AF

khi AE=AF, Ta có:  

 

2

EAD MAD

DAF DAM

= =

=>EAF=2(MAD +DAM)=2.A=1200 b) Do đối xứng nên ta có:

   

AEM ADM

AFN ADN

=

= ∆AEF cân A nên

 AEM = AFN=> ADM = ADN

Vậy AD phân giác góc MDN

Bài 3: Cho tứ giác ABCD, có đường chéo AC BD cắt O, AD vng góc AC, BD vng góc với CB, Gọi E giao điểm AD BC, d đường thẳng qua trung điểm EO CD

a) CMR: A B đối xứng qua đường thẳng d b) Tứ giác ABCD D trùng EO

Lời giải

a, Ta có: Gọi I, K trung điểm OE BC ∆AOE vuông A có AI trung tuyến

Nên AI = IE = IO (1)

∆BOE vng B có BI đường trung tuyến Nên BI = EI = IO (2)

N M

F

E

B A

C D

I

O E

K

D C

A

B 60

4

F D E

I

B

A

Từ (1) (2) ta có: IA = IB

Tương tự ∆ADC vng A có AK đường trung tuyến => AK = DK = CK

∆BDC có BK đường trung tuyến tam giác vuông nên BK = KD = KC

Nên KA = KB hay K nằm đường trung trực AB

Vậy IK trung trực AB hay A B đối cứng với qua (d) b, Ta thấy EO đường thẳng chứa đường cao ∆EDC

Nếu d trùng với EO d vừa đường trung trực AB CD nên ABCD hình thang cân

Bài 4: Cho ∆ABC, kẻ đường cao BD CJ, Gọi H trực tâm ∆, E trung điểm AH, D trung điểm BC, Chứng minh rằng: I J đối xứng với qua ED

Lời giải

∆BIC vuông I có ID trung tuyến ứng với cạnh huyền BC =>

2 BC ID=

Chứng minh tương tự:

2 BC

JD= =>ID=JD Chứng minh tương tự: JE = EI

=> ED đường trung trực IJ => IJ đối xứng qua ED

Bài 5: Cho ∆ABC, kẻ đường cao AH, Gọi D E theo thứ tự điểm đối xứng với H qua AB AC, đường thẳng DE cắt AB, AC M, N

a) CMR:∆DAE cân b) CMR: HA phân giác MHN

c) CME : đường thẳng BN, CM, AH thẳng hàng d) CMR : BN, CM đường cao ∆ ABC

Lời giải

b, Do Tính chất đối xứng ta => AB phân giác DMH

Kẻ AI HM AI AJ

AJ DM

⊥ 

=> =  ⊥

 (1)

AC phân giác ENH,

Kẻ AK ⊥HN=> AK= AJ (2) Từ (1) (2) ta có: AI = AK

Vậy A cách cạnh góc MHN

=> HA phân giác góc MHN

c, Chứng minh tương tự ta có: CM tia phân giác HMN

BN tia phân giác góc MNH

E

D H

I J

B C

A

J K I

N M

E

D

H

B C

Trong ∆MHN đường phân giác HA, MC, NB đồng quy điểm d, AB phân giác góc DMH

MC phân giác góc MHN, mà góc  DMH MHN, kề bù => MC⊥AB => MC đường cao ∆ ABC

Chứng minh tương tự BN đường cao ∆ABC

Bài 6: Cho hình thang vng ABCD, (AB//CD) Gọi E , F theo thứ tự điểm đối xứng B điểm A qua đường thẳng DC, G, H theo thứ tự điểm đối xứng C E qua AD a, CMR: D trung điểm BH b, CMR: AH // BF, CH // BG

Lời giải

a, Gọi I giao BE DC, tính chất đối xứng ta có: BI = IE, Mà DF = AD AD = BI => DF = BI Ta có: DI = HF

Hai tam giác vuông ∆BID ∆DFH

cho ta DB = DH (1)

Và B 1 =D1=>    D1+D2+D3 =D1+B1+900 =900+900 =1800 => H, B, D thẳng hàng (2)

Từ (1) (2) => D trung điểm BH

b, Dễ dạng chứng minh ∆ADH =∆FDB => A1=F1 =>AH / /BF

Dễ chứng minh ∆BDG = ∆HDC =>C 1=G1=>CH / /GB

HÌNH BÌNH HÀNH A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song

ABCD

◊ hình hình hành

// , //

ABCD

AB CD AD BC

◊  ⇔ 



- Chú ý: Hình bình hành hình thang đặc biệt có hai cạnh bên song song Tính chất: Trong hình bình hành

- Tính chất cạnh: Các cạnh đối - Tính chất góc: Các góc đối

- Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết

- Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có cạnh đối hình bình hành

- Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa hình bình hành H1

A B

D C

1

1

1

3

G

H F E

I

A B

D

- Tứ giác có góc đối hình bình hành

- Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành Mở rộng

- Hai hình bình hành có đường chéo chung đường chéo chúng đồng quy trung điểm đường chéo chung

B BÀI TẬP

Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AB, CD Gọi M, N, P, Q trung điểm AF, CE, BF, DE CMR: Tứ giác MNPQ hình bình hành

Lời giải

Ta có : QF, NF đường trung bình tam giác DEC

// //

;

// //

QF EC QF NE

NF DE QE NF

 

⇒  

 

QFNE

⇒ ◊ hình bình hành ⇒QN FE, Cắt trung điểm đường

Gọi I trung điểm EF ⇒I trung điểm QN Chứng minh tương tự: Tứ giác MEPF hình bình hành ⇒I trung điểm MP ⇒dpcm

Bài 2: Cho tứ giác ABCD điểm I thuộc miền tứ giác Gọi M, N, P, Q điểm đối xứng với I qua trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA CMR: MNPQ hình bình hành

Lời giải

// ; ; // ; ; //

1

; // ;

2

MN FE MN FE PQ GH PQ GH HG AC

HG AC FE AC FE AC

= =

= =

I P

N M

Q

D F C

B

E

A

B

I

M C

E N

P F

A

O H

A B

D C

Bài 3: Cho tam giác ABC điểm I thuộc miền tam giác Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Gọi D, E, F điểm đối xứng với I qua M, N, P Chứng minh đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

Lời giải

+) Tứ giác FAIB hình bình hành ( hai đường chéo cắt trung điểm đường )

// (1)

FA BI

⇒ =

+) Tứ giác BICD hình bình hành // (2)

BI CD

⇒ =

Từ (1)(2) ⇒FA/ /=CD(1)⇒ ◊FACD hình bình hành ,

AD CF

⇒ cắt trung điểm đường (3) Tương tự: ABDE hình bình hành ⇒AD BE, cắt trung điểm đường (4)

Từ (3), (4) ta có điều phải chứng minh

Bài 4: Cho ∆ABC, O điểm thuộc miền tam giác D, E, F trung điểm AD, BC, CA L, M, N trung điểm OA, OB, OC CMR: EL, FM, DN đồng quy

Lời giải

+) DMFN hình bình hành, do:

2 / / / /

DF MN BC

DF MN BC

 = =    , DN FM

⇒ cắt trung điểm đường

Tương tự: :

: MLFE hbh DLNE hbh   

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, ˆ

75

ADC = O giao điểm hai đường chéo Từ D hạ DE, DF vng góc với AB BC (E∈AB F, ∈AC) Tính FOEˆ

Lời giải

+) Gọi O giao điểm AC BD Vậy O trung điểm AC, BD

0

ˆ ˆ 75

ABC =ADC =

Xét tam giác vng DEB, có:

1

ˆ ˆ

2

BD

AO=OD=OB= ⇒E =B

O L D

M

N

B E C

+) EOD= +Bˆ1 Eˆ1=2 (B Gocngoaiˆ1 ∆)

+) 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ

0

2

FO= BD= B= D→B =F →FOD= B

Tương tự:

1

ˆ ˆ ˆ 2(ˆ ˆ ) 2 ˆ 150

FOE=EOD FOD+ = B +B = ABC =

Bài 6: Cho ∆ABC, có trung tuyến AD, BE, CF Biết BE⊥CF CMR: 2

AD =BE +CF

Sử dụng phương pháp dịch chuyển tức thời

Lời giải

Dựng hình bình hành BEMC

/ / ( ) =  ⇒  → ⊥ ⊥  MC BE

MC BE MC CF BE CF

/ / / / ( )  ⇒  ∆  ME BC

FE CB duongTB

Vậy M, E, F thẳng hàng

+)

2

FE= BC

1

(1)

2

= + = + =

FM ME FE BC BC BC

Mặt khác:

3 (2) : =   ⇒ =  ∆ =  AD GD AD BC

BGC GD BC

Từ (1) (2) ta có:

2

2 2

2 2 ( )

:

MF AD MF AD

AD FC BE dpcm

Pytago FM FC MC



= → =  ⇒

= +

 = + 

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Về phía hình bình hành dựng tia Ax, By, Cz, Dt tạo với AB, BC, CD, DA góc ∝ Các tia cắt tạo thành tứ giác MNPQ Chứng minh rằng: AC, BD, MP, NQ đồng quy

+) Đi chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành

1,2 1,2

2

1

ˆ ˆ

ˆˆ ˆ / / (1)

ˆ ˆ



=  ⇒ = ⇒ 

= 

A C

C A MN PQ

A C

Tương tự: Bˆ2 =Dˆ2⇒MQ/ /NP (2)⇒ ◊MNPQ hinhbinhhanh: +) Thêm: AMCP hình bình hành

( )

//

AM CP

ADM CBP gcg HBH dpcm

AM CP

= 

∆ = ∆ ⇒ ⇒ ⇒



Bài 8: Cho tứ giác ABCD, E trung điểm AD, F trung điểm BC G đỉnh hình bình hành CADG H đỉnh hình bình hành CABH

a Chứng minh BD // GH b HD = 2EF

Lời giải

a Có DG // BH DG = BH nên tứ giác BDGH hình bình hành →BD=GH dpcm( ) b Gọi I trung điểm BD, J

trung điểm BH

(1)

JI DH

→ =

/ /

EI A

EI JF

JE CH

EI JF

AB CH



= 

  = 

= ⇒  

= 

 :

EIJF hinhbinhhanh ⇒ ◊

(2) ( )

JI FE HD FE dpcm

⇒ = ⇒ =

Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi A’ đối xứng với A qua C, B’ đối xứng với B qua A, C’ đối xứng với C qua B Gọi BM trung tuyến tam giác ABC, B’M’ trung tuyến tam giác A’B’C’ a Chứng minh tứ giác ABM’M hình bình hành

b G giao điểm BM B’M’ Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC A’B’C’

Lời giải

a ' //1 ' ' //1 ' :

2

BM = A C→BM = AC= AM → ◊ABMM hinhbinhhanh

b Gọi I trung điểm B’G, J trung điểm BG

F I

C

G

H J

B A

E

Suy IJ đường trung bình tam giác GBB’ //

1

// '

// ' ' :

2

JI AB

JI BB

JI AB JI MM JIMM hinhbinhhanh



⇒ = ⇒ 

= → = →



Suy G trung điểm IM’ ; MJ GM' GI IB' G ABC, A B C' ' '

GM GJ JB

= = 

⇒ ⇒ ∆ ∆

= = 

Bài 10*:Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Gọi G trọng tâm tam giác ADE, I trung điểm CD Tính số đo góc tam giác GIB

Lời giải

+) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt ED K +) ◊CBDK hình bình hành Nên KB cắt CD I +) GD = GE

+) ˆ ˆ

150

GDK=GDB=

+) ∆KEC KC KE KE BD GEK GDB cgc( ) GK GB GBK c: ân

KC DB

= 

⇒ ⇒ = → ∆ = ∆ → = → ∆

= 

Suy GI trung tuyến, đường cao

0 ˆ

ˆ 90 ; ˆ 120 ( : , : )

GI BK GIB KGB EDG AED deu G trongtam

⇒ ⊥ → = = = ∆

0 ˆ

30 ( : ) 60

GBK GKB GKB cantaiG IGB

⇒ = = ∆ ⇒ =

I

M

G

J

B C

A'

M'

C' A

Bài 11*: Cho tam giác ABC, H trực tâm, I giao điểm đường trung trực, K điểm đối xứng với H qua trung điểm BC CMR: K đối xứng với A qua I

Lời giải

M trung điểm BC HK BHCK

⇒ ◊ Là hình bình hành //

; //

BH CK

BH AC CK AC

CH BK



⇒ ⊥ → ⊥

 //

BK CH

AB BK

CH AB

 → ⊥

 ⊥ 

Gọi I’ trung điểm AK '

I N

→ đường trung bình tam giác ACK

' // ' '

I N CK I N AC

⇒ ⊥

Goi P trung điểm AB ⇒I P' đường trung bình tam giác ABK ' // '

I P BK I P AB

⇒ → ⊥

Có: ' : : '

' ' : :

I N trungtruc AC

I I K

I P AB I P trungtruc AB



→ ≡ → 

⊥ →  đối xứng với A qua I

Bài 12*: Cho ∆ABC, phía tam giác vẽ tam giác ABD, ACE Gọi I, M, N trung điểm DE, AB, AC CMR: ∆IMN

I' P

B

H

I

M

K

C N

A

G

E K

C

I

B D

Lời giải

Dùng phương pháp phóng to tam giác IMN

Gọi F điểm đối xứng với A qua I ⇒ ◊ADFE hình bình hành FE AD BD

DF AE CE

= = 

⇒  = = 

+) 1 1

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ( 60 ˆ ) ( )

ˆ ˆ

= 

= → = = − ⇒ ∆ = ⇒ 

= 

BF FC

ADF AEF D E ADF FEC BDF cgc

F B

0 0 0

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

) 360 360 360 (180 ) (180 )

+ BFC= − −F BFD DFE− = −DBF−BFD DFE− = − −BDF − −ADF

0

ˆ ˆ ˆ 60

BDF ADF ADB BFC

= + = = ⇒ ∆

+) ; ;

2 2

MI = BF NI = FC MN = BC⇒MI=NI =MN⇒ ∆MNIđều

Bài 13: Cho HBH ABCD, Gọi E, F trung điểm AD, BC, đường chéo AC cắt BE, DF P Q, gọi R trung điểm đoạn thẳng BP, CMR:

a) AP = PQ = QC b) Tứ giác ARQE hình bình hành

Lời giải

a, Trong ∆BDC có CO DF hai đường trung tuyến nên Q trọng tâm

1

2

OQ QC OC

⇒ = =

Tương tự ∆ABD có P trọng tâm

1

2

OP AP AO

⇒ = =

Từ (1) (2) ta có AP= QC

1

1

1

N I

F

M D

B

C E

A

O R P

Q E

D C

Ta lại có :

( ) 2

2

3 3

AC

PQ=AC−AP QC− = AC− AP = AC− AO=AC− = AC=AP

Vậy AP = PQ = QC

b, Vì P trọng tâm ∆ABD nên

EP= PB=PR

Tứ giác ARQE có hai đường chéo cắt tịa trung điểm đường nên HBH

Bài 14: Cho HBH ABCD có A=1200, Tia phân giác góc D qua trung điểm I AB, Kẻ AH vng góc với DC, CMR:

a) AB = 2AD b) DI = 2AH c) AC vng góc AD

Lời giải

a) ∆DAI cân đỉnh A

=> AD = AI=

2

AD AI AB

⇒ = =

b) Kẻ AH ⊥DC, AM ⊥DI

=>∆ADM = ∆ADH => AH= DM =1 DI

c, ∆ADC có D =600 =>CD=2.AD=> ∆ADC vuông A Bài 15: Cho HBH ABCD, lấy hai điểm E, F BD cho

2

BD BE=DF<

a) CMR: AECF HBH

b) Gọi K giao điểm CE AB, I trung điểm AK, xác định vị trí điểm E cho AI = IK = KB

Lời giải

a) Xét ∆ ABE ∆ CDF ta có: AB = CD, B 1=D1 BE = CF =>∆ABE=∆CDF (c g.c) => AE= CF Chứng minh tương tự AF = CE

=> AECF hình bình hành b) Ta có:

/ /

OA OC

OI CK

AI KI

= 

=>  =

 , đó: / /

BK IK

KE IO

= 

⇒ 

 E trung điểm OB

Bài 16:Cho tam giác ABC, tia đối tia BC, lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD=BC=CE, Qua D kẻ đường thẳng // với AB cắt AC H, qua E kẻ đường thẳng // với AC cắt AB k, chúng cắt I

a) Tứ giác BHKC hình gì? b) Tia IA cắt BC M, CMR : MB=MC c) Tìm điều kiện ∆ABC để tứ giác DHKE hình thang cân

Lời giải

M

H C

B D

A I

1

1

I K

O

E A

D C

B

a, Tứ giác BHKC hình bình hành

có đường chéo BK HC cắt trung điểm đường

b, Tứ giác AHIK hình bình hành nên AK// IH AK= IH

AB // IH AB = IH => ABHI hình bình hành

=> IA // HB => AM đường trung bình ⊥HBC => BM = MC

c, Tứ giác DHKE hình thang HK // DE, để hình thang cân ⇒ =D E

Hay  B= ⇒ ∆C ABC cân A

Bài 17: Cho hình thang vng ABCD ( A=D=900), có CD= 2AB, gọi H hình chiếu D AC, M trung điểm HC, Chứng minh rằng: 

90

BMD=

Lời giải

Gọi N trung điểm HD, ta có: MN đường trung bình

, / /

MN DC MN DC

⇒ =

Mà: / / ,

2

AB DC AB= DC

nên AB // MN AB = MN => ABMN hình bình hành => AN // BM

∆ ADM có DH ⊥AM, MN ⊥AD, AN ⊥DM

Khi 

90

BMD=

Bài 18: Cho hình thang vng ABCD,  A= =D 900, CD = 2AB = 2AD, Gọi H hình chiếu D lên AC Gọi M, P, Q trung điểm CD, HC HD

a) CMR: Tứ giác ABMD hình vng tam giác BDC tam giác vuông cân b) CMR: DMPQ hình bình hành

c) CMR: AQ vng góc với DP

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác ABMD có cạnh nhau, lại có A=900 nên ABMD hình vng

∆BCD có MB = MC = MD nên tam giác vuông , lại có BDC =450

Do đó: ∆BDC tam giác vuông cân B

b) Tứ giác DMPQ hình bình hành có PQ// DM

N

M H

A

D C

B

K H

M I

E D

A

B C

Q P

H

C M

D

và PQ = DM

c) Chứng minh Q trực tâm ∆ADP

Bài 19:Cho tam giác ABC có góc A tù, AC > AB, H chân đường cao hạ từ A, phía góc 

BAC, dựng D E cho AD vng góc với AB, AD = AB, AE vng góc với AC AE = AC, M trung điểm DE CMR: A, H, M thẳng hàng

Lời giải

Dựng hình bình hành DAEF ⇒ M trung điểm A ⇒ AE = DF

Mà AE⊥AC => DF⊥AC

Ta có: DAE    +BAC=DAE+BAD+DAC=900+900 =1800 Mà: DAE +ADF =1800 => BAC=ADF

∆ADF =∆ABC (c.g.c) ⇒ = B DAF C =F

Gọi FD cắt BC I, cắt AC N AF cắt BC H’ ⇒  ( )

   

2

0

'

' 90

H IF NIC d

IH F N

C F

 =

 ⇒ = =

  = 

,

Hay AF⊥ BC H ⇒ A, F, H thẳng hàng ⇒ A, H, M thẳng hàng

Bài 20: Cho HBH ABCD có AB BD cắt O, Gọi (d) đường thẳng qua A không cắt đoạn BD, gọi BB’, CC’, DD’ khoảng cách từ B, C, D đến đường thẳng (d), ( B’, C’, D’ nằm (d) ) CMR: BB’ + DD’ = CC’

Lời giải

Vẽ OO’ ⊥(d) (O’ ∈(d) )

Khi ta có: BB’D’D hình thang có OO’ đường trung bình nên: 2.OO’= BB’ + DD’ (1)

Tương tự ∆ACC’ có OO’ đường trung bình nên:

2.OO’ = CC’ (2)

Từ (1) (2) ⇒BB’ + DD’ = CC’

Bài 21:Cho HBH ABCD đường thẳng (d) nằm bên HBH, Gọi A’, B’, C’, D’ hình chiếu A, B, C, D (d) Chứng minh: AA’+ CC’ = BB’ + DD’

Lời giải

Vì ABCD hình bình hành

Nên hai đường chéo cắt trung điểm đường Gọi O giao hai đường chéo AC BD

I H

N

F M E

D B

C A

D' C'

O'

O B'

A B

D C

d

C' B'

O' D'

A'

O

A B

O’ hình chiếu O xuống (d)

Khi ta có: OO’ đường trung bình hình thang AA’C’C nên: 2OO’ = AA’ + CC’ (1)

Tương tự OO’ đường trung bình hình thang DD’B’B Nên: 2.OO’ = DD’ + BB’ (2)

Từ (1) (2) => AA’ + CC’ = BB’ + DD’

Vậy HM⊥BN =>∆BMN có MH vừa đường cao vừa trung tuyến nên MB = MN

Bài 22: Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB<AC), gọi H trực tâm, O giao điểm đường trung trực tam giác, D điểm đối xứng A qua O

a) CMR: Tứ giác BHCD HBH

b) Gọi M trung điểm BC, CMR : AH = 2.MO

Lời giải

a) Từ AO= OC = OD

⇒ Chứng minh ACD=900,

ta có: DC⊥AC, BH⊥AC ( H trực tâm ∆ABC) ⇒ BH // DC

Chứng minh tương tự ta có: CH// DB Vậy BHCD Hình bình hành

b, M trung điểm BC ⇒M trung điểm HD Mà O trung điểm AD

⇒ OM đường trung bình ∆AHD ⇒ OM =1

2AH ⇒ AH = 2OM

Bài 23:Cho HBH ABCD, Các đường cao AE AF, biết AC = 25cm, EF = 24cm, Tính khoảng cách từ A đến trực tâm H ∆AEF

Lời giải

Kẻ CN vng góc với AB,

Tứ giác EHFC có EH // CF, HF // FC

nên EHFC hình binh hành ⇒ AN = HF (= EC) Tứ giác ANFH có AN = HF, AN // HF

nên hình bình hành ⇒ AH + NF, AH// NF Lại có AH ⊥EF nên NF ⊥EF

∆EFN vng F có EF = 24cm, NE = AC = 25cm nên

2 2 2

25 24 49 7

NF =NE −EF = − = =>NF = =>AH = cm

Bài 24:Cho tam giác ABC đều, đường thẳng // với BC cắt AB, AC D E, Gọi D trọng tâm tam giác ADE, I trung điểm CD, Tính số đo góc tam giác GIB

D O

M H

B C

A

N

H F

E

A B

Lời giải

Qua C vẽ đường thẳng song song với BD, cắt DE K Ta có: BDKC hình bình hành => B, I, K thẳng hàng Chứng minh ∆GDB= ∆GEK (c.g.c)

Để ∆GBK cân G có BGK=1200,

do góc ∆GBI 90 , 60 , 30 0 0

Bài 25: Cho ∆ABC, D AB, E AC cho BD = CE, Gọi M, N trung điểm BC, DE, Vẽ hình bình hành BDNI CENK

a) CMR: I, M, K thẳng hàng

b) MN cắt AC Q, cắt BA P, CMR: ∆APQ cân

Lời giải

a, Tứ giác BDNI hình bình hành BI/ /DN BI/ /DE

BI DN



⇒ ⇒

= 

Tứ giác NECK hình bình hành KC/ /NE KC/ /DE

KC NE



⇒ ⇒

=  Từ ta có KC // DE BI = KC => Tứ giác BICK hình bình hành có M trung điểm BC

=> M qua trung điểm IK => I, K, M thẳng hàng b, Ta có: NI = DB, NK = CE mà BD = CE => NI = NK =>∆NIK cân N

Mà MN đường trung tuyến => NM phân giác ⇒N 1 =N2

Lại có: NK // QC ⇒ N2 =Q2 ( đồng vị)

và NI // BD ⇒N 1=P( đồng vị )

   

2

Q P Q Q

⇒ = => = ( đối đỉnh) ⇒ = P Q1 Vậy ∆APQ cân A

ƠN TẬP HÌNH CHỮ NHẬT A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng

ABCD

◊ hình chữ nhật

ˆ ˆ ˆ ˆ

ABCD A B C D

◊  ⇔ 

= = =  - Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân

2 Tính chất: Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân

G

I

K E

A

B C

D

2

Q P

K I M

N

E

B C

A

D

H1

C

A B

- Tính chất cạnh: Các cạnh đối nhau, song song với - Tính chất góc: Bốn góc

- Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết

- Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật

- Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Ứng dụng vào tam giác vng

- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền, ta có:

2

BM = AC

- Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vuông:

2

BM = AC⇒ ∆ABC

vuông B Bài tập

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B lên AC Trên tia đối tia BM lấy điểm E cho BE = AC Chứng minh rằng: ˆ

45

ADE=

Lời giải

+) Ta có ABCD hình chữ nhật

AC BD BE BED

→ = = → ∆ Cân B →Dˆ1=Eˆ

Mặt khác OC=OD→OCDˆ =ODCˆ

+) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2

ADE=EDB+BDC= OBH+ BOH ( góc ngồi tam giác ) 1.900 450

2

= =

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Trên đoạn AB, BC, CD, DA lấy điểm M, N, P, Q Chứng minh rằng:

2

MN+NP+PQ+QM ≥ AC

Lời giải

H 2

1

O

E

D C

B A

E Q

D

I

F N

C B M

A M

C B

Gọi E, F, I trung điểm MQ, NP, QN Vì ∆AQN,∆CPN tam giác vuông

2 ;

2( )

1 ; 2 = =   ⇒ = + + + ≥  = = 

MQ AE NP CF

VT AE EI FI FC AC

IE MN FI PQ

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc đoạn BD, gọi F điểm đối xứng với A qua E Gọi H, K hình chiếu F lên BC, CD CMR: E, H, K thẳng hàng

Lời giải

Ta có HKCF hình chữ nhật ,

HK FC

→ cắt trung điểm đường

EI

→ đường trung bình // (1)

CFA EI AC

∆ →

+) Gọi M trung điểm DK nên EM đường trung bình hình thang ADKF

/ /

⇒EM FK ⇒EM ⊥CD⇒ ∆DEK cân E ⇒Dˆ1=Kˆ1=Cˆ1⇒EK/ /AC (2)

Từ (1)(2) suy ra:  ∈, , : ⇒ , , 

E I K thanghang

E H K

H IK thẳng hàng

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD, gọi M, N trung điểm HD, BC CMR: AM ⊥MN

Lời giải

Gọi e trung điểm AH nên ME đường trung bình

1

/ / ;

2

∆AHD⇒ME AD ME= AD= BC=BN⇒ ◊BEMN

Là hình bình hành →BE//MN(1)

+)  / / ⇒ ⊥ ⊥  ME AD ME AB AD AB AMB

∆ có E trực tâm ⇒BE⊥ AM (2)⇒AM ⊥MN dpcm( )

Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Qua điểm E thuộc đoạn AC kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, CD M N Dựng hình chữ

nhật NDMF Chứng minh E trung điểm BF

Lời giải 1 1 I M E H K F O D C B A H M F N D C B A P 1 1 1 1 E M F

N D C

+) Aˆ1= =Pˆ1 Bˆ1=Dˆ1=Cˆ1⇒ ∆AEP cân E ⇒AE=EP +) Tương tự: AE=EM ⇒EM =MP

+) BPND hình bình hành : =

 

⇒ ⇒

= =

 

ND PB PBMF hinhbinhhanh

ND FM EM MP

Vậy E trung điểm BF

Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD Lấy điểm E thuộc đoạn AD, điểm I, K thuộc đoạn CD cho DI = CK = AE Đường thẳng qua K vng góc với EK cắt đoạn BC M Chứng minh rằng: IM ⊥IE

Lời giải

+) Gọi N, H trung điểm EM, CD ⇒NH đường trng bình hình thang EDCM →NH ⊥CD

= 



+ = + ⇒ = → ∆ 

= 

HD HC

DI IH HK KC HI HK NIK

DI KC

Cân N

1

1

2

2 =  

⇒ ⇒ = ⇒ =

= 

NI NK

NK NM NI NM

NK EM

⇒ ∆EIM vuông I ⇒EI ⊥MI

Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH ⊥AC, gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD Chứng minh rằng: BM ⊥MK

Lời giải

Qua M kẻ đường thẳng vng góc với BC, cắt BH I

Ta có: MI//AB CD//

M trung điểm AH nên MI đường trung bình

1 / /

2

2

 = 

 

∆ ⇒ ⇒ ⇒ ◊

= =

 = 

 

MI CK

MI AB

ABH MICK

MI CK CD

IH IB

là hình bình hành ⇒MK/ /CI (1)

Trong ∆MBC có I trực tâm ⇒CI ⊥MB(2)⇒BM ⊥MK

Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm nằm hình chữ nhật, vẽ ME ⊥AB E, MF ⊥ AD F, CK ⊥ AM K Chứng minh :

E

K

M

I

N

H

D C

B A

H I M

K

D C

a) 2

ME +MF =MA b) MA2+MC2 =MB2+MD2 c) 

90

BKD=

Lời giải

a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật

2 2

MA EF ME MF EF AM

⇒ = ⇒ + = =

b) Gọi G giao điểm EM CD, H giao điểm FM BC

=> Tứ giác DFMG, GMHC, EBHM hình chữ nhật, Do MC2 =MH2+MG2

2 2

MB =ME +MH

2 2

MD =MG +MF => ĐPCM

c) Gọi O giao đường chéo AC BD

=>  900

2

AC BD

KO= = =>BK ⊥DK =>BKD=

Bài 9: Cho H hình chiếu B đường chéo AC HCN ABCD, M K theo thứ tự trung điểm AH CD

a) Gọi I O theo thứ tự trung điểm AB IC CMR:

MO= IC

b) Tính số đo BMK?

Lời giải

Ta có: BIKC Hình chữ nhật nên O trung điểm IC BK

Xét ∆IMC vuông, Ta có : MO= DC b, ∆MBK có MD =

2IC=

2BK, Nên



90

BMK =

MBK

∆ có 1  900

2

MD= IC= BK⇒BMK=

Bài 10: Cho ∆ABC vuông cân A có AH đường cao, Gọi M điểm cạnh BC, I K hình chiếu vng góc M AB, AC, CMR: ∆ IHK vuông cân

Lời giải

Chứng minh AIMK hình chữ nhật Vì ∆ ABC vng cân A

=> AK= IM = BI

mà BH = HA => HBI =HAK =450 =>∆BHI = ∆AHK (c g c)

O K

G

H F

E

C

A B

M

D

O I

M

H

C

A B

D

3

I

K A

H

=> IH = HK

Mà  H3+H2 =900 =>H 1+H2 =900

Bài 11: Cho ∆ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH, HC lấy HD = HA, đường ⊥ BC D cắt AC E

a) CMR: AE = AB b) M TĐ BE, Tính AHM

Lời giải

a, Chứng minh AE = AB

Kẻ EF ⊥AH => tứ giác HDEF hình chữ nhật =>⇒ ∆HBA= ∆FAE gcg( )⇒ AB= AE

b, ∆ABE vuông cân A

2

BE AM

⇒ =

∆BDE vuông cân D

2

BE MD

⇒ =

Từ ta có: AM = MD

Xét ∆AHM = ∆DHM cgc( ) ⇒ H1=H2 =450 Bài 12: Cho ∆ABC cân A, từ điểm D

trên đáy BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng AB, AC E F, Vẽ HCN BDEH, CDFK, Gọi I, J tâm HCN BDEH CDFK, M trung điểm AD a) CMR: Trung điểm HK điểm có định khơng phụ thuộc vào vị trí D BC

b) CMR: điểm I, J, M thẳng hàng đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy

Lời giải

a) Ta có: B 1=D1 mà

   

1 1 / /

B =C =>D =C =>ID AC

Chứng minh tương tự ta có: JD // AB

Khi AIDJ hình bình hành => AJ // ID, AJ = ID => Chứng minh AHIJ hình bình hành

=> IJ // AH IJ = AH IJ // AK IJ = AK Khi điểm A, H, K thẳng hàng

và A trung điểm HK

b) Tứ giác AIDJ hình bình hành => M trung điểm AD,

thì M nằm đường chéo HBH

Bài 13:Cho HCN ABCD E điểm nằm đường chéo AC, tia đối tia EB lấy F cho EF = BE, Gọi M, N hình chiếu F đường thẳng AD, DC CMR:

a) DF // AC MN // BD b) điểm E, M, N thẳng hàng

Lời giải

a, Dễ thấy OE đường trung bình ∆ BDF

F M

E

D H

B C

A

1

M

J I

K F

H E

B C

A

=> DF // OE => DF // AC  

1

A D

⇒ = ( Đồng vị )

=>∆OAD cân ⇒  A1=D2 =D1

=>∆IDM cân ⇒D 1 =M1

 

2

D M

⇒ = ( đồng vị) => MN // DB b, I trung điểm DF => IE trung bình => IE // DB mà MN // BD

Vậy M, N, E thẳng hàng

Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B D), Gọi M điểm đối xứng C qua P

a) Chứng minh AM song song với BD

b) Gọi E, F hình chiếu M AD AB Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA không phụ thuộc vào vị trí P

Lời giải

a) Ta có: O trung điểm AC (ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM ( Vì M đối xứng với C qua P)

Nên Op đường trung bình

của ∆ ACM, đó: OP // AM => AM // BD

b) Vì OP đường trunh bình ∆ACM nên OP//AM OP =1

2 AM

Do đó: OP // AI OP = AI => tứ giác AIPO hình bình hành => PI // AC (1) Kẻ ME // AB cắt AC K, ta có: KAE EAM = (=KDA)

Nên AE phân giác KAM, mặt khác: AE⊥KM => ∆AKM cân E trung điểm KM,

do EI đường trung bình ∆AMK => EI // OA => EI // AC (2) Ta lại có: E, I, F thẳng hàng (3)

Từ (1), (2) (3) ta có: E, F, P thẳng hàng

1

1

O

I M

N

F

C

A B

D

K

I F E

O M

D

B C

A

Bài 15: Cho ∆ ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM, Gọi D E theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC ,CMR:

a, AH = DE b, HAB =MAC c, AM ⊥DE

d, DI // EK, với I trung điểm HB, K trung điểm HC

Lời giải

a) Tứ giác ADHE có góc vng nên HCN => AH = DE

b) ∆ABC vng A, Có AM đường trung tuyến => AM = MB = MC =>∆AMC cân M =>MAC =C

Mặt khác HAB =C,

Vì phụ với HAC=> HAB=MAC( )=C

c) Chứng minh AM⊥DE, Ta có:  A1+E2 =900, ta có:      

2 90

E +A =E +A =E +E =

d, Ta có: ∆HEC có EK = KH = KC =>∆ EKC cân K =>  E3 = =C A1

=> EK // AM => KE ⊥DE Chứng minh tương tự =>DI ⊥DE=>DI/ /EK

Bài 16: Cho ∆ABC có cạnh 4cm, M N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM= CN

a) Tính diện tích ∆ABC

b) Xác định vị trí M, N để độ dài MN nhỏ Tìm độ dài nhỏ đó?

Lời giải

a) Tính độ dài đường cao: 3( )

2

a

h= = = cm

Suy diện tích: 14.2 3( 2)

2

ABC

S = a h= = cm

b) Gọi P Q chân đường vng góc kẻ từ M N xuống AB

Ta có: ∆ANQ vng Q, có:  600

2

A= =>AQ= AN

Tương tự ∆MPB có :

2

PB= BM

Cộng theo vế ta : 1 1( )

2 2

AQ PB+ = AN+ BM = AN NC+ = AC

Kẻ MH QN⊥ Tứ giác MPQH hình chữ nhật

Ta có: ( ) 1

2

MN MH PQ AB≥ = = − AQ BP+ = AB− AC= AB

1

3

1

2

O K

I

E D

M H

B

A C

H Q

P

N A

B C

Như M, N di chuyển ta ln có: MN≥ 12AB

Và

2

MN = AB , Khi M, N trung điểm BC AC Suy vị trí M,N cần xác định trung điểm BC AC, Khi độ dài nhỏ MN :

2

MN = AB= cm

Bài 17: Cho ∆ABC nhọn, Trực tâm H, giao điểm đường trung trực O, Gọi P, Q, N theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AB, AH, AC

a) CMR: OPQN HBH b) ∆ABC cần có điều kiện để OPQN HCN

Lời giải

a) Gọi O giao đường trung trực nên OP⊥ AB ON, ⊥ AC

Trong ∆ AHC, QN đường trung bình nên QN // HC Và PO // HC ( vng góc với AB)

Chứng minh tương tự ta có: OPQN hình bình hành

b) Tứ giác BCQN hình chữ nhật có đường chéo NC BQ => NC = BQ =>

1

2

MP= NC= BQ

Xét ∆MQB có MP đường trung tuyến nên MP =

2BQ

Nên ∆MBQ vng M => MB ⊥MQ

HÌNH THOI A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh

ABCD

◊ hình thoi ABCD

AB BC CD DA

◊ 

⇔  = = =



2 Tính chất: Hình thoi có tất tính chất hình bình hành

- Tính chất cạnh:

+) Có bốn cạnh +) Các cạnh đối song song - Tính chất góc: Các góc đối

- Tính chất đường chéo: O

D

C B

A

Q

O N P

H

B C

+) Hai đường chéo cắt trung điểm đường +) Hai đường chéo vng góc với

+)Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Dấu hiệu nhận biết

- Tứ giác có bốn cạnh hình thoi

- Hình hình hành có hai cạnh kề hình thoi

- Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi

- Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Chú ý:

- Hình thoi có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo - Hình thoi có hai trục đối xứng đường chéo hình thoi B Bài tập

Bài 1:Cho hình thoi ABCD điểm E nằm ngồi hình thoi khơng nằm đường thẳng CD cho CD = CE Dựng hình bình hành ACEF Chứng minh B trực tâm ∆DEF

Lời giải

Vì ABCD hình thoi →CB=CD

Có : (1)

//

BD AC

BD FE

AC FE

⊥ 

→ ⊥

 

Lấy K đối xứng với E qua C⇒ ∆EBK vuông B

( đường trung tuyến nửa cạnh huyền )

+) Có ◊KCFA hình bình hành ( //,

CK =FE) ,

⇒CA FK cắt trung điểm đường

,

⇒BD FK cắt trung điểm đường

⇒ ◊BFDK hình hình hành ⇒  / / (2) ⊥



BK DF

EB BK

Từ (1), (2) suy raB trực tâm ∆EDF I

B

A

D

K

C

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, phân giác AD Lấy điểm M, N thuộc đoạn AB, AC cho BM = CN Gọi P, Q rung điểm MC, MB Chứng minh

AD⊥PQ

Lời giải

Gọi E, F trung điểm MN, BC , , ,

⇒EQ QF FP PE đường trung bình , , , ; : : ∆ ∆ ∆ ∆ ⇒ = = = = ⇒ ◊ ⇒

BMN BNC BMC MNC EQ FP BM

EP FQ NC EPFQ la hinh thoi FE la phan giac

ˆ ˆ ˆ ˆ (1)

2

⇒ = = ⇒ ⊥

QEP FEQ FEP PEQ FE PQ

+) Gọi k giao điểm FE AB Vì EQ/ /AB⇒BKFˆ =FEQˆ (2)

mà: QEPˆ =BACˆ (3) ( góc có cạnh tương ứng song song ) Từ (1), (2), (3) suy ˆ ˆ ˆ / /

2

= = → ⇒ ⊥

BKF BAC BAD FK AD AD PQ

Bài 3: Cho hình thoi ABCD có Aˆ=600 Đường thẳng MN cắt AB M, cắt BC N Biết BM + NB

có độ dài cạnh hình thoi Chứng minh ∆MND

Lời giải

+) ∆ABD (1)

+) + = ⇒ =

= + 

BM BN AB

BN AM AB BM MA

+) ∆AMD= ∆BND c g c( )⇒DM =DN (2)

1

2

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ 60 (3) :

ˆ ˆ 60

 =  ⇒ + = ⇒ ∆  + =  D D

D D MND deu D D

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD, D=700, vẽ BH vng góc với AD, H∈AD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CD AB

a) CMR: ANMD hình thoi b) Tính HMC

Lời giải

b) Ta có:

 

1 70

M = =D , Tính M2

Ta có: M 2 =H1 ( So le trong)

Mà : M 2 =H3 =>H 1 =H3

Xét ∆HAN cân N =>H  1+H3 = =A 700

=>H1=350 =>M2 =350, Vậy HMC=350+700 =1050

Bài 5: Cho ∆ABC nhọn, vẽ đường cao AD BE, Tia phân giác Ax DAC cắt BE BC M N, Tia phân giác By EBC cắt AD AC P Q CMR:

a) AN⊥BQ b) Tứ giác MPNQ hình thoi

Lời giải

a) Ta có:  EBC=DAC ( phụ góc C)    

1 2

A A B B

⇒ = = =

∆EBQ vuông ⇒B 1+BQE=900 ⇒ A2+BQE=900



90

AOQ AN BQ

⇒ = ⇒ ⊥

b)∆APQ có AO vừa đường phân giác vừa đường cao => AO đường trung trực

=> MP = MQ, NP = NQ

∆BMN có BO vừa đường phân giác vừa đường cao => đường trung trực ( đpcm)

Bài 6: Cho ∆ABC đều, đường cao AD, M điểm nằm B D, gọi N Trung điểm AM, vẽ ME vng góc AB E, MF vng góc AC F CMR: DENF hình thoi

Lời giải

Ta có: MN = EN = DF= FN 2AM = 

 

 

     

2 2 60

END ENM MND EAM MAD DAE

⇒ = + = + = =

  

DNF MNF MND

⇒ = −

   

2 2 60

DNF MAC MAD DAC

⇒ = − = =

=>∆NED đều, ∆NDF Vậy DENF hình thoi

Bài 7:Cho tam giác ABC, trực tâm H, kẻ đường cao AD, điểm M thuộc cạnh BC, từ M kẻ ME vng góc với AB MF vng góc với AC, Gọi I trung điểm AM, CMR:

a) DEIF hình thoi

b) Đường thẳng HM qua tâm đối xứng hình thoi DEIF

Lời giải

2

2

O P

N Q M

D

E

B

C A

2

2

N

F

E

D A

a) ∆ ADM vuông có

DI = AM

Tương tự:

EI = AM ⇒DI =EI⇒ ∆EID cân EI = AI => ∆AIE cân có I1 =2A1

Tương tự :     

2 2 60

I = A =>EID= + =I I

=>∆EID => EI = ED = IP Chứng minh tương tự: IF = FD = ID => Tứ giác EIFD hình thoi

b) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi DEIF N trung điểm AH, Ta có:

∆AMH có IN đường trung bình => IN // MH, ∆IDN có OH đường trung bình => OH // IN

Như O, H, M thẳng hàng => MH qua giao điểm O ID EF

Bài 8: Cho ∆ABC, tia AB ta lấy điểm D, tia AC lấy điểm E cho BD=CE, Gọi M, N, P, Q trung điểm BC, CD, DE, EB

a) CMR: MNPQ hình thoi

b) CMR: đường chéo hình thoi MNPQ song song với phân giác ngồi góc A

Lời giải

b, Vì MNPQ hình thoi, MP NQ hai đường chéo => MP ⊥NQ

Gọi I, J lầ lượt giao NQ với AB AC => PQ // AD => I1=Q1( so le ) Tương tự:  N1=Q1=>∆IAJ cân A

=> Phân giác Ax đường cao => Ax ⊥IJ, Mà MP ⊥IJ => Ax // MP

Dễ dàng chứng minh NQ // Ay

Bài 9:Cho hình thoi ABCD, tia đối tia BA, ta lấy điểm M, tia đối tia CB lấy N, tia đối tia DC lấy P, tia đối tia AD lấy Q cho BM = CN = DP = AQ

a, CMR: MNPQ hình bình hành

b, CMR : MNPQ hình thoi ABCD có tâm đối xứng c, Hình thoi ABCD phải có ĐK để MNPQ hình vng

Lời giải

a) ∆AQM = ∆NCP⇒QM =PN

K

G

J N I

F

E

D H A

B M C

y

x

J

I

P Q N

M

E A

B C

MBN PDQ QP MN

∆ = ∆ ⇒ =

b) ∆OBM = ∆0DN ⇒Oˆ1 =Oˆ2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180 ?

POM POB O POB O BOD

⇒ = + = + = =

=> P, O, M thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta có: Q, O, N thẳng hàng => HBH MNPQ có tâm O

c, Để MNPQ hình thoi Hình bình hành MNPQ

có hai cạnh kề nhau: QM= QD Thật vậy: ∆ QAM= ∆MBN =>

   

MBN =QAM =>QAM =BAD, Mà QAM =BAD

  

180 90

QAM +BAD= =>BAD=

Bài 9:Cho HBH ABCD, đường chéo cắt O, gọi E, F, G, H theo thứ tự giao điểm đường phân giác ∆OAB, ∆OBC, ∆OCD, ∆OAD

Chứng minh rằng: EFGH hình thoi

Lời giải

Vì OH , OF hai tia phân giác góc đối đỉnh nên H, O, F thẳng hàng

Tương tự ta có: G, O, E thẳng hàng Lại có OH⊥OG

( Hai tia phân giác hai góc kề bù) Xét ∆OAE =∆OCG (c.g.c) => OG =OE Chứng minh tương tự : OH= OF

=> EFGH hình bình hành

có hai đường chéo vng góc với => hình thoi

HÌNH VNG A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh

ABCD

◊ hình vng

ˆ ˆ ˆ ˆ

A B C D AB BC CD DA

 = = = 

⇔ 

= = =



2 Nhận xét : Từ định nghĩa hình vng ta suy - Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh - Hình vng hình thoi có góc vng

D C

B A

2

Q

P

N

D O A

C B

M

1

1

2 H

G

F E

O

A B

⇒ Hình vng vừa hình chữ nhật vừa hình thoi

3 Tính chất: Hình vng có tất tính chất hình bình thoi hình chữ nhật - Tính chất cạnh:

+) Có bốn cạnh +) Các cạnh đối song song

- Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo:

+) Hai đường chéo

+) Hai đường chéo cắt trung điểm đường +) Hai đường chéo vng góc với

+) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Dấu hiệu nhận biết

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng

- Hình chữ nhật có hai đường chéo góc với hình vng

- Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng - Hình thoi có góc vng hình vng

- Hình thoi có hai đường chéo hình vng

4 Nhận xét: Một tứ giác vừa hình chữ nhật vừa hình thoi tứ giác hình vng Tính chất đối xứng hình vng

- Hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo - Hình vng có bốn chục đối xứng:

+) đường chéo hình vng

+) đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện hình vng B Bài tập dạng toán

Bài 1: [ HSG – Hà Nội – 2009 ]

Cho hình vuông ABCD điểm E nằm hai điểm A B Trên tia đối tia CB lấy điểm F cho CF = AE

a Tính EDFˆ

b Gọi G điểm đối xứng với D qua trung điểm I EF Tứ giác DEGF hình gì? Vì sao?

c Chứng minh ba đường thẳng AC, DG, EF đồng quy điểm

Lời giải

a Ta có:

0

ˆ = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ =90 ( ˆ = ˆ ) EDF EDC CDF EDC EDA CDF EDA b Xét ◊DEGF có: EI =IF, DI = IG⇒ ◊DEGF hình bình hành , lại có Dˆ =900 ⇒ ◊DEGF hình chữ nhật mà

ADE CDF ED FD DEGF

∆ = ⇒ = ⇒ ◊ hình vng (

I E

G

D

dấu hiệu nhận biết )

c Ta có EF giao DG I, ta chứng minh I thuộc đường trực AC

Có: 1EF I

2

IB= ID= ⇒ thuộc đường trung trực BD ⇒ ∈I AC( AC đường trung trực

BD)

Bài 2:Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia CB lấy điểm M , tia đối tia DC lấy điểm N cho BM = DN Vẽ hình bình hành AFMN Chứng minh

a ∆ABM = ∆ADN b Tứ giác AMFN hình vng

c Kẻ FH ⊥BM FK, ⊥CN, chứng minh : ACFˆ =900 d B, D, O thẳng hàng ( O trung điểm FA )

Lời giải

a Ta có

ˆ ˆ

( )

ABM ADN cgc AM AN DAN BAM

∆ = ∆ ⇒ = ⇒ =

b Hình bình hành AMFN, có: AM = AN

AMFN

⇒ ◊

là hình thoi Lại có

0

90 AMFN MAN =MAD DAN+ =MAD MAB+ = ⇒ ◊

là hình vng

c ACFˆ = ACD DCFˆ + ˆ =450 +DCFˆ Ta chứng minh ˆ

45

DCF = ⇒ ◊CHFK hình vng

Có:

0 0

1 2 2

ˆ ˆ 90 ˆ ˆ 90 , ˆ ˆ 90 ˆ ˆ

M +M = ⇒N +M = N +N = ⇒M =N

CHFK

⇒ ◊ hình vng DCFˆ =450 ⇒ACFˆ =900 (đpcm)

d Ta chứng minh điểm B, D, O nằm đường trung trực AC Ta có: ABCD hình vng ⇒ B, D nằm đường trung trực AC O trung điểm AF ⇒ O trung điểm MN ⇒OA=OM

Lại có 1

2

OC =OM = AC⇒OM =OC⇒OA OC= ⇒O nằm đường trung trực AC , ,

B D O

⇒ thẳng hàng

Bài 3:Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF

a Chứng minh AE⊥BC

b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng

c Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB

2

2

1 2

1 O

K

H F

N M

D C

Lời giải

a Có MD // BE ( hai góc đồng vị ) mà: MD⊥ AC⇒ AC⊥ BE Lại có

EC ⊥ AB⇒C trực tâm tam giác ABE

AE BC

⇒ ⊥

b Gọi O O’ tâm hai hình vng AMCD BMEF

Tam giác vng AHC có OH đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

1 1

2 2

OH AC DM

⇒ = =

0 ˆ

( 90 ) (1)

DMH H DH MH

⇒ ∆ = ⇒ ⊥

Chứng minh tương tự, ta HF ⊥ MH(2)⇒D H F, , thẳng hàng c Gọi I giao điểm AC DF

Chứng minh OI đường trung bình tam giác DMF, hay I trung điểm DF Kẻ IK vng góc AB ( K thuộc AB ) ⇒K trung điểm AB, K cố định

Mặt khác 1( ) 1

2 2

IK = AD BF+ = AB ( Không đổi )⇒I cố định Vậy DE qua I cố định Bài 4:Cho hình vng ABCD điểm M thuộc đoạn BC Lấy điểm N thuộc đoạn CD cho

0

ˆ 45

MAN = Chứng minh rằng: BM+DN =MN

Lời giải

Trên tia đối tia DC lấy điểm E cho : DE = BM

Ta có: ∆ABM = ∆ADE cgc( )→AM =AE A; ˆ1 =Aˆ3

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 90 ˆ 90

MAE=MAD+DAE=MAD+BAM = →EAN=

( )

EAN MAN cgc EN MN DN BM MN

∆ = ∆ → = ↔ + =

Bài 5:Cho hình vng ABCD điểm M thuộc đoạn BD Gọi E, F hình chiếu M lên AB, AD Chứng minh rằng: BF, DE, CM đồng quy

Lời giải

1 2

45°

M

N

E D C

B A

K I H

O' O

E

F

D

C

M B

+) Ta có: ◊FAEM hình chữ nhật

+) Ta có: ∆FDM vng cân F ⇒AE=FM =FD

0

ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) 90

ˆ ˆ

= 

⇒ ∆ = ∆ ⇒ = = + =

 = 

AD DC

EAD FDC cgc EAD FCD EDA EDC

A D

(1) ⇒CF ⊥DE

Tương tự: BF ⊥CE (2)

+) Gọi K giao điểm CM EF



ˆ ˆ

ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 90 (3)

∆

== = = ⇒ + = + = ⇒ ⊥

AFK can doi xung hinh vuong

KMF MCD dvi MAD AFE FEM KFM KMF KFM FEM CM FE

Từ (1), (2) (3) suy ba đường cao ∆CEF

Bài 6: Cho hình vng ABCD, E điểm AB Phân giác góc CDE cắt BC K Chứng minh rằng: CK + EA = DE

Lời giải

+) Trên tia đối tia CK lấy điểm F cho CF = AE ⇒CK+EA=CK+CF=FK

+) ∆AED= ∆CFD c g c( )⇒DE=DF D; ˆ1=Dˆ4

+) Xét ∆DKF có: DFKˆ =DEAˆ =900−D FDKˆ1; ˆ =Dˆ3+Dˆ4

0 0

1 4

ˆ 180 ˆ ˆ 180 (90 ˆ ) ( ˆ ˆ ) 90 ˆ ˆ ˆ

DFK = −DEK−FDK = − −D − D +D = +D −D −D

0

3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

90

= −D =D +D =D +D ⇒FDK =DKF⇒ ∆DKF cân F ⇒DF=KF =DE⇒CK+FC=DE⇒AE+CK =DE

Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi E, F trung điểm AB, BC M giao điểm CE DF Chứng minh : AM = AB

Lời giải

+) Eˆ = → =Fˆ Fˆ Cˆ1=900 →CE⊥FD

+) Gọi N trung điểm CD +) ◊AECN hình bình hành +) ∆MCD vng →MN =ND

Có : AN ⊥DM → Chứng minh : AM =AD=AB

Bài 8: Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm AB, AD BN CM cắt P Chứng minh rằng: DP = AB

Lời giải

K

M E

F

D C

B A

4 3 2 1

F K E

D C

B A

I

M

N E

F

D C

+) ∆BAN = ∆CBM c g c ABN( ); ˆ =BCNˆ

0

1

ˆ ˆ 90 ˆ 90

⇒C +B = ⇒BPC= +) Kéo dài BN cắt CD E

( )

∆BAN = ∆EDN c g c ⇒AB=DE⇒D

là trung điểm EC +) Xét ∆CPE vuông P

1

( )

2

⇒PD= EC=CD=AB dpcm

Bài 9: Cho ∆ABC Về phía ngồi tam giác dựng hình vng ABDE, ACFG Chứng minh đường cao AH ∆ABC qua trung điểm EG

Lời giải

Gọi P, Q hình chiếu E, G lên AH

0

ˆ ˆ 90

ˆ ˆ ( : ˆ ) =   = = ⇒ ∆ = ∆  =  AE AB

EPA AHB EAP AHB

EAP ABH phu BAH

(1) ⇒PE=AH

Tương tự: ∆GQA= ∆CHA ch gn( )⇒GQ=AH (2)⇒GQ=EP Xét ∆EPI,∆GQI có:

0 ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ 90 =   = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ =  = =  EP GQ

I I EPI GQI g c g EI IG

P Q

Bài 10: Cho ∆ABC, M trung điểm BC Về phía ngồi tam giác dựng hình vng ABDE, ACFG Gọi P, Q tâm hình vng CMR: ∆MPQ vng cân

Lời giải

+) PM QM đường trung bình

/ / / /

, 1 ; 1

2     ∆ ∆ ⇒   = =    

MP EC MQ BG

EBC BGC

MP EC MQ BG

+) ( ) ˆ ˆ =  ∆ = ∆ ⇒  =  EC BG

AEC ABG c g c

AEC ABG

Xét ∆IHB có: Iˆ1+ + =B Hˆ ˆ 1800

2 0

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ 90 ˆ 90

ˆ ˆ  =  ⇒ + = + = ⇒ =  =  I I

I B I E H

B E H Q I P F G E D B C A I H P D E Q G F C M A 2 1 P M N

E D C

vuông cân

Bài 11: Cho , phía ngồi tam giác dựng hình vng ABGH, ACEF, BCIJ Gọi tâm hình vng, M trung điểm BC, D trung điểm HF CMR: a vuông cân b hình vng

c d e

Lời giải

Xét ta giác FAB tam giác CAH có:

Mà:

+) đường trung bình

+) đường trung bình

vng cân

b +) đường trung bình

+) đường trung bình

hình thoi, hình vng c Tứ giác hình bình hành

+) d Hạ

AM cắt FH D1:

⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⇒ ∆ =  MP MQ

EC BG MPQ

MP MQ

ABC ∆ 1, 2,

O O O

1

O MO

∆ ◊DO MO1 2

2

HF = AM AD⊥BC AM; ⊥HF

1

O O =AO

0

; ;

ˆ 90 ˆ ˆ

= =

= + =

FA AC

AB AH

FAB A CAH

1 1

ˆ ˆ ( )

⇒ ∆FAB= ∆CAH cgc ⇒FB=CH ⇒AHJ =I BJ

0

1 1 1

ˆ ˆ 90 ˆ ˆ 90

AHJ +AJ H = ⇒I BJ +BJ I = ⇒FB⊥CH

2 O M 2 / / ;

∆FCB⇒O M FB O M = BF

1 O M 2 / / ; ⊥  ∆ ⇒ = ⇒  = 

O M O M

HBC O M HC O M HC

O M O M

2 O D 1 / / ;

∆FHC⇒O D BF O D= BF

1

O D

2 2

1 / / ;

2

∆FBH⇒O D HC O D= HC⇒O M =O M =

0

ˆ =90 ⇒ M

1

ABA C

0

1 1

0

ˆ ˆ

; 180 ;

ˆ ˆ

ˆ 180

⇒ = = − ⇒ =

= − = ⇒ =

BA AC ABA BAC BA FA

ABA BAC FAH BA AH

1

∆ABA = ∆FAH⇒AA =HF ⇔ AM =FH

1

CC ⊥AM ≡C

1( ) ˆ ˆ1 ˆ 1( )

∆HAF = ∆BAA c g c ⇒HFA=AA B=CAA slt

Mà:

Bài 12:Cho hình vng ABCD, điểm E, F cạnh BC, CD cho , tia đối tia DC lấy điểm M cho DM = BE CMR:

a)

b) Chu vu tam giác CEF nửa chu vi tứ giác ABCD

Lời giải

a, ABE = ADN ( cạnh góc vng) =>

=>

b, AEF = AMF (c.g.c)

=> EF = MF, EF = MD + DF = BE + DF Chu vi CEF = CE + EF + CF

= CK + BE + DF + CF = BC + CD = chu vi ABCD

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM, đường phân giác góc A, cắt đường trung trực BC D, Từ D kẻ DE vng góc với BA DF vng góc với AC

a) CMR: AD phân giác b) điểm E, M, F thẳng hàng

c) Tam giác BDC tam giác vuông cân

Lời giải

a) Ta có: ( phụ góc B) Mà AM= BC=> AM= MC=>

=> AD tia phân giác b) AH // DM => ,

mà cân

=> AM= MD

Chứng minh Tứ giác AEDF hình vng => EA = ED => FA = FD

Ta có: M, E, F nằm đường trung trực AD => Thẳng hàng

c, BED = CFD =>

=> BDC vuông cân

0 0

1 1 1

ˆ + ˆ =90 ⇒ ˆ + ˆ =90 ⇒ ˆ =90 ⇒ ⊥

CAA FAD D FA D AF D AM FH



45

EAF =



, 45

ABE ADM MAF

∆ = ∆ =

∆ ∆

 

1

A = A

  0

90 90 45 45

MAE= =>MAF = − =

∆ ∆ ∆  HAM   1

C = A

1

     

2 1 2,

A =C =>A =A A =A

 

1

D = A

   

4 3

A = A =>D =A => ∆ADM

∆ ∆ D 2 =D3

     

3 90

BDC=BDF+D =BDF+D =EDF =

∆

2 45

F

M D C

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A, AB<AC, kẻ đường cao AH, nửa mặt phẳng có chưa A bờ BC vẽ hình vng AHDE

a) CMR: D nằm HC

b) Gọi F giao DE AC, đường thẳng qua F // với AB cắt đường thẳng qua B // với AC G, CMR: ABGF hình vng

c) CMR: AG, BF, HE đồng quy d) DEHG hình thang

Lời giải

a) AC > AB =>

Mà: => HC > AH => AH = HD => HC > HD => D nằm H,C b, Ta có:

kết hợp với AE= AH => AEF = AHB => AB= AF

Tứ giác ABGF hìn bình hành có góc vng => HCN có AB = AF => hình vng c) Gọi M giao điểm BF, AG,

Khi BDF có DM = BF Tương tự AM= BF

=> M nằm đường trung trực AD Ta lại có: AE= ED, HA= HD

=> E, H nằm đường trung trực AD hay H, M, E thẳng hàng

Bài 15:Cho hình vng ABCD điểm E bắt kỳ nằm điểm A B, tia đối tia CB lấy điểm F cho CF =AE

a) Tính

b) Gọi G điểm đối xứng với D qua trung điểm I EF, tứ giác DEGF hình gì? c) CMR: AC, DG, EF đồng quy

Lời giải

a) AED = CFD (c.g.c) =>

=>

b) Tứ giác DEGF có I trung điểm EF (gt) I trung điểm DG

Do đó: DEGF hình bình hành

lại có: => Là hình chữ nhật, lại có tiếp DE = DF  

B>C

   

B=HAC=>HAC>C

     

1 90 , 90

A +A = A +A = => A =A

∆ ∆

∆

2

2

 EDF

∆ ∆

      

ADE =CDF =>EDF =EDC+CDF =EDC+ADE

 

90

EDF= ADC=



90

EDF =

G

I

C D

A E B

3

G M

F E

D H

B C

=> Là hình vng

Bài 16:Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC, nửa mp bờ AB chứa C đựng hình vng AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, Cắt DC F Chứng minh rằng:

a) : B M = ND b) N, D, C thẳng hàng c) EMFN hình gì?

d) Chứng minh chu vi MFC không đổi M thay đổi BC

Lời giải

a) Tứ giác ABCD hình vng => (1) Vì AMHN hình vng

(2) Từ (1) (2) ta có:

Ta có : AND= AMB (c.g.c)

b, ABCD hình vng

, Nên N, D, C thẳng hàng

c, Gọi O giao điểm hai đường chéo AH MN hình vng AMHN

=> O tâm đối xứng hình vuông AMHN

=> AH đường trung trực đoạn MN, mà E, F AH => EN = EM FM = FN (3)

(4)

Từ (3) (4) => EM = NE = NF = FM => MENF hình thoi (5) d, Từ (5) suy FM = FN = FD + DN, mà DN = MB (cmt) => MF = DF + BM Gọi chu vi MCF P cạnh hình vng ABCD a

Ta có : , Vì ( MF = DF + MB)

Hình vng ABCD cho trước => a không đổi => P không đổi

Bài 17: Cho hình vng ABCD, Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C), Qua A kẻ Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F, trung tuyến AI AEF cắt CD K, đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G

a) Chứng minh AE=AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF

c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi EKC không đổi

Lời giải

a) Xét ABE vuông B ADF vuông D có:

DF BM FM+ = ∆

 

1 90

A MAD+ =

 

2 90

A MAD

=> + =

 

1

A =A

∆ ∆

  90 ,

B D BM ND

=> = = =

   

2 90 180

D D D NDC

=> = => + = =

∈

 

1

O O EM NF

=> = => =

∆

P MC CF MF MC CF BM DF= + + = + + +

(MC MB) (CF FD) BC CD a a 2a

= + + + = + = + =

∆

∆ ∆ AF2 =FK FC.

∆

∆ ∆

2

2

1

1

3

1

d

O E

F N

A B

D C

M

AB = AD,

=> ABE = ADF

=> AE = AF Vì AE = AF AI đường trung tuyến AEF => AI EF

Hai IEG vuông I IFK vng I có:

IE=IF, ,

Nên IEG = IFK => EG = FK

Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành

Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vng góc nên hình thoi

b) Xét AKF CAF có: ,

c) Theo câu a ta có: ABE = ADF nên EB=FD, Tứ giác EGFK hình thoi nên EK= KF

Do chu vi EKC là: ( Không đổi)

Bài 18: Cho hình vng ABCD cạnh a, AB lấy , BC lấy BN cho a) CMR: AN vuông góc DM

b) Gọi I J trung điểm NM, DN K giao AN DN, Tính IK , KJ IJ

Lời giải

a, Ta chứng minh ABN = DAM => , Mà : => b, Ta có :

Tương tự ta có : Tương tự

Bài 19: Cho hình vng ABCD, Từ điểm M tùy ý đường chéo BD, kẻ ME, MF vuông góc với AB AD, CMR:

a, CF = DE, CF DE b, CM = EF, OM EF

c, CM, BF, DE đồng quy d, Xác định M để diện tích AEMF lớn

Lời giải

 

BAE CAF= ∆ ∆

∆ ⊥

∆ ∆

 

IEG IFK=

∆ ∆

∆ ∆  AFK CFA=

  450

KAF ACF= = AKF CAF g g( ) AF FK AF2 FK FC.

FC AF

=> ∆ ∆ => = <=> =

∆ ∆

∆ CEKC =EK KC CE CF CE CD DF CE+ + = + = + + =2CD

2

a

AM =

3 a BN =

∆ ∆ D 1= A1  D1+M1=900  A1+M1=900 =>K =900

2

4

5

9

a a a

MN= + =

1

5

a

KI = MN =

10

10

a a

DN = =>KJ = 13 13

a a

DM = =>IJ =

a) BD đường chéo hình vng ABCD => BD phân giác góc D

=> cân F=> DF = FM = AE CDF = DAE (c.g.c) => CF = DE

Mà

b, AM = EF, BD đường trung trực AC => MA = MC => MC = EF

Kéo dài FM cắt BC N => Tứ giác BEMN hình vng, => MN = ME

=> EMF = MNC(c g c) => , Mà

=> => ĐPCM

c) EFC có CH EF => CM trùng CH đường cao ứng với cạnh EF Lại có ED CF O => ED đường cao ứng với cạnh CF

Chứng minh tương tự câu a => CE BF => BF đường cao ứng với cạnh CE => đường CM, BF, DE đồng quy

CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT

Bài 1: Cho , phía ngồi tam giác dựng hình vng BCDE, ACIG hình bình hành BEQK, CDPE Chứng minh vuông cân

Lời giải

Tương tự:

Cân A

Ta có:

( Tổng ba góc tam giác )

vuông cân Bài 2: [ HSG: 14/04/2014 ]

Cho hình thang ABCD vng A D, biết CD = 2AB = 2AD Gọi E trung điểm CD

a hình gì? Vì b Tính theo a



45

ADB= => ∆DFM

∆ ∆ C 1=D1

    

1 90 1 90 90

C +F = =>D +F = =>FOD=

∆ ∆ M 1=MEF

   

1 90 90

M +M = =>MEF+M =

 90 EHM = ∆ ⊥ ⊥ ⊥ ABC ∆ APQ ∆

1 1

( ) : ; ;

ˆ ˆ ( ù: DCF )ˆ CP = AB ; Aˆ ˆ

∆ = ∆ = = =

= ⇒ =

ABC CFP c g c AC CF BC PF CD

C F b C

1 ( ) ˆ ˆ =  ∆ = ∆ ⇒  =  AC BQ

ABC BKQ c g c

A B

( )

∆ABQ= ∆ACP cgc ⇒AQ= AP⇒ ∆APQ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

QAP=QAB+BAC CAP+ =APC+FCP CAP+

0 0

180 90 90

= − =

⇒ ∆APQ

2 BC=a

ABED

◊ SABCD

c Gọi I trung điểm BC, H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC Tính

Lời giải

a Hình chữ nhật có hai cạnh kề nên hình vng

b vuông cân vuông cân

c Ta chứng minh :

Vì :

Bài 3: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang – 2014 ]

Cho Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt AB M Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC N

a Gọi O trung điểm AI CMR: M, O, N thẳng hàng b Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC H, K, D Chứng minh MH + NK = AD

c Tìm vị trí điểm I để MN // BC

Lời giải

a trung

điểm đường thẳng hàng b Kẻ ta chứng minh MHKN hình thang vng

Ta có: O trung điểm MN, mà :

là đường trung bình hình thang vng

+) Xét đường trng bình

c Ta có : đường trung bình , lại có O trung điểm AI mà : MI // AC, M trung điểm AB phải trung điểm BC

Bài 4:Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng hình vuông AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, cắt DC F a Chứng minh rằng: BM = ND b N, D, C thẳng hàng c FMNE hình gì?

ˆ HDI

BEC ∆

2

; ;

( ) ( )

2 2

⇒ = = =

+ +

= = =

ABCD

AB AD a CD a

AB CD AD a a a a

S

0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ 90

HDI HDB BDI

HDB HDA  = +   + =  ˆ ˆ = ˆ = ( : ˆ )⇐ ∆ ∆ ( )

BDI ADH ACD phu HDC BDI DCA cgc

0

1 ˆ ˆ ˆ

; 90 45

2

= = = = ⇒ =

BI AD

B D HDI

BD DC ABC ∆ / / / / ⇒ ⇒ ∩   AM NI

HBH MN AI

AN MI

, , M O N →

OE⊥BC

/ / / / ⇒

OE MH NK OE

2 (1)

⇒ + =

MNHK MH NK OE

∆ADI ⇒OE (2) ( )

∆ADI ⇒AD= OE ⇒MH+NK =AD dpcm / / ⇔

MN BC MN ∆ABC

⇒I a 2 H I C D E B A o m

h d e i

n

k c

b

d DF + BM = FM chu vi khơng đổi M thay đổi vị trí BC

Lời giải

a

b thẳng hàng

c Ta có : MN đường trung trực AH

Vậy cạnh nên hình thoi d

+)

( khơng đổi )

Bài 5:Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M N theo thứ tự hai điểm cạnh BC CD cho Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BM

a Chứng minh b Chứng minh AN tia phân giác c Tính chu vi theo a

d BD cắt AM AN E F Chứng minh ba đoạn BE, FE, FD lập thành ba cạnh tam giác vuông

Lời giải

a b

c

d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến MN

Ta có: vng H

Vậy lập thành ba cạnh tam giác vuông MFC

∆

0

ˆ ˆ

( ) 90 ;

∆AND= ∆AMB c g c ⇒ =B D = BM =ND

0

ˆ =180 ⇒ , ,

NDC N D C

, ∈ ⇒ = ;∆ = ∆ ( − )⇒ =

= 

EN EM

E F AH EOM FON ch gn FN EM

FM FN

FM =FN=ND+DF =BM +FD

MFC

P∆ =MC CF+ +FM =MC CF+ +BM +DF

(MC MB) (CF DF) 2AB

= + + + =

0

ˆ 45

MAN =

ADK ABM

∆ = ∆ KAMˆ

CMN ∆

( )

ADK ABM c g c

∆ = ∆ − −

1

ˆ ˆ

ADK ABM A A

∆ = ∆ → =

0

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 90

KAM = +A A + +A A =A +A + +A A =

0 0

ˆ =90 − ˆ =45 ⇒ ˆ = ˆ =45 ( )

KAN NAM KAN MAN dpcm

CMN

P =MN+NC CM+ =CM +CN+KN

(∆ANK = ∆AMN)=CM +CN+KD DN+ =2a

2 ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ ; 45 ∆ = ∆ − ⇒ = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = = =

AND AMH ch gn A A FAD FAH c g c

FH FD AHF ADF

0

ˆ

( ) ; 45

∆AEH = ∆AEB c g c ⇒EH =EB AHE= ABE=

0

ˆ = ˆ + ˆ =90 ⇒

EHF EHA FHA

, , BE DF FE

5 4 3 2 1 N M H E F

K D C

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ HSG LỚP

Câu

Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P

a) Tứgiác AMDBlà hình ?

b) Gọi Evà Flần lượt hình chiếu điểm M lân AB, AD Chứng minh EF / /ACvà ba điểm E,F,Pthẳng hàng

c) Chứng minh tỉ sốcác cạnh hình chữ nhật MEAFkhơng phụ thuộc vào vị trí điểm P

d) Giả sử CP BD⊥ CP 2,4cm,PD PB 16

= = Tính cạnh hình chữ nhật ABCD

Lời giải

a) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD PO

⇒ đường trung bình tam giác CAM

AM / /PO AMDB

⇒ ⇒ hình thang b) Do AM / /BDnên OBA MAE = (đồng vị) Tam giác AOB cân ởO nên OBA OAB =

Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật AEMF ∆AIEcân ởI nên

 

IAE IEA=

Từ chứng minh : có FEA OAB, = đó: EF / /AC (1)

Mặt khác IPlà đường trung bình ∆MACnên IP / /AC (2)

Từ(1) (2) suy ba điểm E,F,Pthẳng hàng

c) MAF DBA(g.g) MF AD

FA AB

∆ ∆ ⇒ = Không đổi I

F E

M

B

D C

A

d) Nếu PD PD PB k PD 9k,PB 16k

PB 16= ⇒ = 16 = ⇒ = =

Nếu CP BD⊥ CBD DCP(g.g) CP PB PD CP

∆ ∆ ⇒ =

Do đó: CP2 =PB.PD hay ( )2,4 =9.16k2 ⇒ =k 0,2

PD 9k 1,8(cm);= = PB 16k 3,2(cm) BD 5(cm)= = =

Chứng minh BC2 =BP.BD 16= , đó: BC 4cm,= CD 3cm.= Câu

Cho hình bình hành ABCD AC BD ( > ) Gọi E, F hình chiếu B,Dlên AC; H, K hình chiếu C AB AC

a) Tứgiác DFBElà hình ? Vì ? b) Chứng minh: ∆CHK∆BCA

c) Chứng minh: AC2 =AB.AH AD.AK+ Lời giải

a) DF / /BE(vì vng góc với AC) AFD CEB

∆ = ∆ (Cạnh huyền – góc nhọn)⇒DF BE=

DFBE

⇒ hình bình hành b) BC / /AK⇒BCK 90=

 

ABC 90 BCH= + (góc ngồi ∆CHB)

 

HCK 90 BCH= + ⇒ABC HCK =

Có: CKD ACD DAC  = + (góc ngồi ∆DKC)

  

HBC BAC BCA= + mà    BCA DAC; BAC DCA= =

1

2 1

H

K

E F

C

A B

( )

CD CK AB CK

CKD CBH CHK BCA c.g.c BC CH BC CH

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ ∆ ∆

c) AEB AHC AB AE AE.AC AB.AH 1( ) AC AH

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

( )

AF AD

AFD AKC AF.AC AD.AK AK AC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Cộng (1) (2) vế theo vếta có:AE.AC AF.AC AB.AH AD.AK(3)+ = +

Mà ∆AFD= ∆CEB cmt( )⇒AF CE=

( )3 ⇔AC AE EC( + )=AB.AH AD.AK+ ⇔AC2 =AB.AH AD.AK+ Câu

Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BMcắt tia BMtại H, cắt tia BAtại O Chứng minh rằng:

a)OA.OB OC.OH=

b) OHAcó số đo khơng đổi

c) Tổng BM.BH CM.CA+ không đổi

Lời giải

a) BOH COA g.g( ) OB OH OA.OB OH.OC OC OA

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

b) OB OH OA OH

OC OA= ⇒ OC OB= Ochung ⇒ ∆OHA∆OBC

 

OHA OBC

⇒ = (không đổi)

c) Vẽ MK BC; BKM⊥ ∆ ∆BHC(g.g)

BM BK BM.BH BK.BC (3)

BC BH

⇒ = ⇒ =

( ) CM CK

CKM CAB g.g CM.CA BC.CK(4)

CB CA

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Cộng vế (3) (4) ta có:

K O

H A

B

( )

BM.BH CM.CA BK.BC BC.CK BC BK KC+ = + = + =BC (Không đổi)

Câu

Cho hình thang ABCD vng Avà D.Biết CD 2AB 2AD= = BC a 2= Gọi E trung điểm CD

a) Tứgiác ABEDlà hình ? Tại ? b) Tính diện tích hình thang ABCD theo a

c) Gọi Ilà trung điểm BC,Hlà chân đường vng góc kẻ từ Dxuống AC.Tính góc HDI

Lời giải

a) Chỉ ABED hình bình hành (AB / /DE,AB DE= )

Chỉra ABED hình thoi (AB=AD) Chỉ ABEDlà hình vng (BAD 90= 0)

b) Chỉ ∆BEC vng cân

Từđó suy AB AD a,DC 2a= = =

Diện tích hình thang ABCDlà : S (AB CD AD) (a 2a a 3a)

2 2

+ +

= = =

c) ACH ACD (1) = (cùng phụ với góc HDC)

Xét ∆ADCvà ∆IBD vng D B có:

AD IB ADC IBC

DC BD 2= = ⇒ ∆ ∆

Suy ACD BDI = ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy ADH BDI =

H I

C E

B A

Mà ADH BDI 45 + = ⇒BDI BDH 45 + = 0hay HDI 45= Câu

Cho tam giác ABC vuông A,Dlà điểm di động cạnh BC Gọi E,Flần lượt hình chiếu vng góc điểm Dlên AB,AC

a) Xác định vị trí điểm Dđể tứgiác AEDFlà hình vng

b) Xác định vị trí điểm Dsao cho 3AD 4EF+ đạt giá trị nhỏ

Lời giải

a) Tứgiác AEDFlà hình chữ nhật (vì E A F 90 )  = = =

Để tứgiác AEDFlà hình vng ADlà tia phân giác BAC b) Do tứgiác AEDFlà hình chữ nhật nên AD EF=

3AD 4EF 7AD

⇒ + =

3AD 4EF+ nhỏ ⇔ADnhỏ ⇔Dlà hình chiếu vng góc Alên BC

Câu

Trong tam giác ABC,các điểm A,E,Ftương ứng nằm cạnh BC,CA,ABsao cho AFE BFD; BDF CDE;CED AEF     = = =

a) Chứng minh rằng: BDF BAC =

b) Cho AB 5,BC 8,CA 7.= = = Tính độdài đoạn BD

Lời giải

E

F D

C

a) Đặt AFE BFD = = ω,BDF CDE = = α;CED AEF = = β

Ta có: BAC+ β + ω =180 *0( )

Qua D,E,Flần lượt kẻcác đường thẳng vng góc với BC,AC,ABcắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF

  

OFD OED ODF 90 (1)

⇒ + + =

Ta có:

  

( ) ( ) ( ) 0

OFD OED ODF 270 (2)

1 & 180 * *

+ ω + + β + + α = ⇒ α + β + ω =

Từ ( ) ( )* & * * ⇒BAC= α =BDF

b) Chứng minh tương tựcâu a) ta có:

 

( ) ( )

B ,C AEF DBF DEC ABC

BD BA BD 5BF BD 5BF BD 5BF

BF BC 8 8

CD CA CD 7CE CD 7CE CD 7CE

CE CB 8 8

AE AB 7AE 5AF 7 CE 5 BF 7CE 5BF 24 AF AC

CD BD (3)

= β = ω ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆ ⇒

   

= = = = =

   

   

 = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

   

   

= − = − − =

 = =   

   

   

⇒ − =

  

Ta lại có: CD BD (4)+ =

Từ(3) (4) ⇒BD 2,5=

Câu Cho tam giác ABC,đường cao AH, vẽphân giác Hxcủa góc AHBvà phân giác Hy AHC K ẻAD vng góc với Hx, AE vng góc với Hy

F

E

D A

B C

Chứng minh tứgiác ADHElà hình vng

Lời giải

Tứgiác ADHElà hình vng

Hxlà phân giác AHB;Hy phân giác AHCmà AHBvà AHClà hai góc kề bù nên Hx Hy⊥

Hay DHE 90= 0, mặt khác: AHD AEH 90 = = 0 nên tứgiác ADHElà hình chữ nhật (1)

 AHB 900

AHD 45 2

= = = , Do AHE AHC 900 450

2

= = =

Hay HA phân giác DHE (2) 

Từ(1) (2) ta có tứgiác ADHElà hình vng

Câu

Cho tam giác ABC,gọi M trung điểm BC Một góc xMybằng 60 quay 0

quanh điểm M cho cạnh Mx,Myluôn cắt cạnh AB AC D E Chứng minh:

a) BD.CE BC2

=

b) DM,EMlần lượt tia phân giác góc BDEvà CED c) Chu vi tam giác ADEkhông đổi

Lời giải

a) Trong tam giác BDM ta có:  

1

D 120 M= −

x y

E D

H A

B C

x

y

3 2 1 2 1

D

E

M

C A

Vì 

M =60 nên ta có:  

3

M =120 M−

Suy D 1 =M3 Chứng minh ∆BMD∆CEM(1) Suy BD CM

BM= CE , Từđó BD.CE BM.CM=

Vì BM CM BC

2

= = , nên ta có: BD.CE BC2

=

b) Từ (1) suy BD MD

CM EM=

Chứng minh ∆BMD∆MED⇒D 1=D ,2 DM tia phân giác BDE  Chứng minh tương tựta có : EM tia phân giác CED 

c) Gọi H,I,Klà hình chiếu Mtrên AB,DE,AC Chứng minh DH DI,EI EK= =

Tính chu vi tam giác 2AH- khơng đổi

Câu Cho hình vng ABCD,M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME AB,⊥

MF AD.⊥

a) Chứng minh: DE CF=

b) Chứng minh ba đường thẳng : DE,BF,CMđồng quy

c) Xác định vị trí điểm M đểdiện tích tứgiác AEMFlớn

Lời giải

a) Chứng minh: AE FM DF= = ⇒ ∆AED= ∆DFC⇒dfcm b) DE,BF,CMlà ba đường cao ∆EFC⇒dfcm

c) Có chu vi hình chữ nhật AEMF 2a= không đổi ME MF a

⇒ + = không đổi

AEMF

S ME.MF

⇒ = lớn ⇔ME MF= (AEMF hình vng) F

E

C D

A B

M

⇒ trung điểm BD

Câu 10

Cho đoạn thẳng AB a.= Gọi M điểm nằm Avà B Vẽ phía

AB hình vng AMNP,BMLKcó tâm theo thứ tựlà C, D Gọi I trung điểm CD a) Tính khoảng cách từ I đến AB

b) Khi điểm M di chuyển đoạn thẳng ABthì điểm Idi chuyển đường ?

Lời giải

a) Kẻ CE,IH,DFcùng vng góc với ABsuy tứgiác CDFElà hình thang vng Chứng minh được: CE AM,DF BM CE DF AB a IH a

2 2

= = ⇒ + = = ⇒ =

b) Khi M di chuyển AB I di chuyển đoạn RS song song với AB cách AB khoảng a

4(R trung điểm AQ)

S trung điểm BQ, Qlà giao điểm BLvà AN)

Câu 11

Cho tam giác ABC vuông A, phân giác BD Gọi P, Q, R trung điểm BD,BC,DC

a) Chứng minh APQRlà hình thang cân

b) Biết AB 6cm,AC 8cm.= = Tính độdài AR Lời giải

R S

Q

F H

E

I

D C

K L

N P

a) PQlà đường trung bình tam giác BDC,suy PQ / /ARnên APQRlà hình thang

1 AQ BC

2

= (trung tuyến tam giác vuông ABC)

1 PR BC

2

= (đường trung bình tam giác DBC) Suy AQ PR= ⇒APQRlà hình thang cân b) Tính BC 10cm=

Tính chất đường phân giác ∆ABC

DA BA DA BA DC BC AC BC BC

⇒ = ⇒ =

+

Thay sốtính AD 3cm,DC 5cm,DR 2,5cm= = =

Kết AR 5,5cm= Câu 12

Cho hình bình hành ABCD.Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD M, cắt đường chéo AC N cắt đường thẳng AD K Chứng minh:

1 1

BN BM BK= +

Lời giải

AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành) Theo định lý Talet có:

R

Q P

D

B

A

C

M

N

K

C

A B

MN NC MN MC AB MN NB BM (1) AB AN NB AB BN BN

KM KD MD BK KM AB MD BM AB MD (2) BK KA AB BK AB BK AB

+ +

= = ⇒ = =

− − −

= = ⇒ = ⇒ =

Từ(1) (2) BM BM AB MC AB MD MC MD

BN BK AB AB AB

+ − +

⇒ − = − =

Mà MC MD CD AB+ = = nên BM BM

BN BK− = (Đpcm)

Câu 13. Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏhơn chu vi tứgiác

Lời giải

Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD tứgiác ABCD Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d

Xét ∆AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệgiữa ba cạnh tam giác)

Xét ∆COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệgiữa ba cạnh tam giác)

Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD ⇒ AC + BD > AB + CD

⇒ AC + BD > a + c (1) Chứng minh tương tự:

AC + BD > AD + BC

⇒ AC + BD > d + b (2) Từ(1) (2) suy 2(AC + BD) > a + c + d + b

⇒ AC + BD > a c d b (*)

2

+ + +

Xét ∆ABC, ta có: AC < a+ b

Xét ∆ADC, ta có: AC < d + c

⇒AC < a c d b

2

+ + + (3)

Chứng minh tương tự: BD < a c d b (**)

2

+ + + (4)

Từ(3) (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d

Từ(*) (**) suy a c d b < AC + BD a + b + c + d dpcm( )

2

+ + + <

Câu 14

Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi I trung điểm cạnh BC Qua I vẽIM vng góc với AB M IN vng góc với AC N

a) Chứng minh tứgiác AMIN hình chữ nhật

b) Gọi D điểm đối xứng I qua N Chứng minh tứgiác ADCI hình thoi c) Đường thẳng BN cắt DC K Chứng minh DK 1DC

3

=

Lời giải

a) Xét tứgiác AMIN có:

MAN = 900(vì tam giác ABC vng A)

AMI = 900(vì IM vng góc với AB)

ANI = 900 (vì IN vng góc với AC)

Vậy tứgiác AMIN hình chữ nhật (Vì có góc vng)

b) ∆ABC vng A,có AI trung tuyến nên AI IC 1BC

2

= =

Do ∆AIC cân I, có đường cao IN đồng thời trung tuyến ⇒NA NC=

Mặt khác: NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI hình bình hành (1) Mà AC ID⊥ (2)

c) Kẻqua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD H

⇒IH đường trung bình ∆BKC

⇒H trung điểm CK hay KH = HC (3) Xét ∆DIH có N trung điểm DI, NK // IH (IH // BK)

Do K trung điểm DH hay DK = KH (4) Từ (3) (4) suy DK = KH = HC DK 1DC

3

⇒ =

Câu 15

Cho hình thang cân ABCDcó ACD 60 ,O= là giao điểm của hai đường chéo Gọi

E,F,Gtheo thứ tụlà trung điểm OA,OD,BC.Tam giác EFGlà tam giác ? Vì sao?

Lời giải

Do ABCDlà hình thang cân ACD 60 = 0suy ∆OABvà ∆OCDlà tam giác đều

Chứng minh ∆BFCvng F Xét ∆BFCvng F có: FG 1BC

2

=

Chứng minh ∆BECvuông E có EG 1BC

=

Xét EF đường trung bình AOD EF 1AD

2

∆ ⇒ = EF 1BC

2

⇒ = (ABCD hthang cân) Suy EF EG FG= = ⇒ ∆EFGđều

Câu 16

Cho hình bình hành ABCDcó E,Fthứ tựlà trung điểm AB,CD

a) Chứng minh đường thẳng AC,BD,EFđồng quy

G E

F

B

O

D C

b) Gọi giao điểm AC với DEvà BFtheo thứ tựlà M N.Chứng minh EMFN hình bình hành

Lời giải

a) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD,ta có O trung điểm BD Chứng minh BEDFlà hình bình hành

Có O trung điểm BD nên O trung điểm EF Vậy EF,BD,ACđồng quy O

a) Xét ∆ABDcó M trọng tâm, nên OM 1OA

3

=

Xét ∆BCDcó N trọng tâm, nên ON 1OC

3

=

Mà OA OC= nên OM ON=

Tứgiác EMFN có OM ON,OE OF= = nên hình bình hành

Câu 17 Cho tam giác ABC Gọi D,E,Ftheo thứ tựlà trung điểm AB,BC,CA Gọi

M,N,P,Qtheo thứ tựlà trung điểm AD,AF,EF,ED

a) Tứgiác MNPQlà hình ? Tại ?

b) Tam giác ABC có điều kiện MNPQlà hình chữ nhật ? c) Tam giác ABCcó điều kiện MNPQlà hình thoi ?

Lời giải

O N M

E

F C

A B

D

Q P

N M

E F D

A

a)

1

MN / /DF;MN DF

2 MN / /PQ;MN PQ.

1 PQ / /DF;PQ DF

2

 = 

⇒ =

  =



Vậy MNPQ hình bình hành b) Giả sử MNPQlà hình chữ nhật MP NQ=

Mà

AC

MP AF

2 AC AB AB

NQ AD

 = = 

⇒ =

 

= =



Vậy ∆ABCcân A MNPQlà hình chữ nhật c) Giả sửMNPQ hình thoi MN MQ=

BC AE

MN MQ AE BC

4 2

= ⇔ = ⇔ =

Vậy tam giác ABC vng Athì MNPQlà hình thoi

Câu 18 Cho tam giác ABC vng A có ABC 60= 0, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ

tựlà trung điểm BD,BC,CD

a) Tứgiác AMNI hình ? Chứng minh

b) Cho AB 4cm,= Tính cạnh tứgiác AMNI

Lời giải

a) Chứng minh tứgiác AMNI hình thang

Chứng minh AN MI= , từđó suy tứgiác AMNI hình thang cân b) Tính được: AD 3cm; BD 2AD 3cm; AM 1BD 3cm

3 3

= = = = =

4 8 NI AM cm,DC BC cm,MN DC cm,AI cm

3 3

= = = = = = =

Câu 19 Cho hình vng ABCD,Mlà điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME AB,⊥

MF AD⊥

a) Chứng minh DE CF=

N

I M

D

A C

b) Chứng minh ba đường thẳng DE,BF,CMđồng quy

c) Xác định vị trí điểm M đểdiện tích tứgiác AEMFlớn

Lời giải

a) Chứng minh AE FM DF= = ⇒ ∆AED= ∆DFC dfcm⇒

b) DE,BF,CMlà ba đường cao ∆EFC⇒dfcm c) Có chu vi hình chữ nhật AEMF 2a= không đổi

ME MF a

⇒ + = không đổi

AEMF

S ME.MF

⇒ = lớn ⇔ME MF= (AEMF hình vng) M

⇒ trung điểm BD

Câu 20

Cho tam giác ABC vuông A (AB AC< )có ADlà tia phân giác BAC G ọi M N hình chiếu D ABvà AC,Elà giao điểm BNvà DM,Flà giao

điểm CM DN

1) Chứng minh tứgiác AMDN hình vng EF / /BC

2) Gọi Hlà giao điểm BNvà CM.Chứng minh ∆ANBđồng dạng với ∆NFAvà H trực tâm ∆AEF

3) Gọi giao điểm AHvà DM K, giao điểm AHvà BC O, giao điểm

BKvà AD I.Chứng minh : BI AO DM

KI KO KM+ + >

F

E B

C A

D

Lời giải

1) *Chứng minh tứ giác AMDN hình vng

+) Chứng minh AMD 90 ; AND 90 ;MAN 90= = =

Suy tứgiác AMDN hình chữ nhật

+)Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MANnên tứgiác AMDN hình vng

*Chứng minh EF // BC

+) Chứng minh : FM DB (1) FC DC=

Chứng minh: DB MB (2)

DC MA=

Chứng minh AM DN MB MB (3) MA DN

= ⇒ =

Chứng minh MB EM (4) DN ED=

Từ ( ) ( ) ( ) ( )1 , , , suy EM FM EF / /BC ED = FC ⇒

2) Chứng minh ∆ANB∆NFA

Chứng minh AN DN.= suy AN DN (5) AB = AB

Chứng minh DN CN (6) AB CA=

Chứng minh CN FN (7)

CA AM=

Chứng minh AM AN.= Suy FN FN (8)

AM AN=

Từ (5) (6) (7) (8) suy AN FN= ⇒ ∆ANB∆NFA c.g.c( )

L O K E

F H

N M

D A

*chứng minh H trực tâm tam giác AEF

Vì ∆ANB∆NFAnên NBA FAN =

Mà BAF FAN 90 + = ⇒NBA BAF 90 + =

Suy EH AF⊥ , Tương tự: FH AE⊥ , suy H trực tâm ∆AEF 3) Đặt SAKD =a,SBKD =b,SAKB =c.Khi đó:

ABD ABD ABD AKD BDK AKB

S S S a b c a b c a b c

S S S a b c

b a a c b c

a b c a c b

+ + + + + +

+ + = + +

      = + +  + +  + +       

Theo định lý AM-GM ta có: b a

a b+ ≥

Tương tự: a c ;b c c a+ ≥ c b+ ≥

Suy BI AO DM

KI KO KM+ + ≥

Dấu " "= xảy chỉkhi ∆ABDlà tam giác đều, suy trái với giảthiết Câu 21

Cho hình bình hành ABCDcó góc ABC nhọn Vẽra phía ngoiaf hình bình hành tam giác BCEvà DCF Tính sốđo EAF 

Lời giải

Chứng minh ABE ECF =

Chứng minh ∆ABE= ∆FCE c.g.c( )⇒AE EF=

Tương tự: AF EF=

AE EF AF AEF

⇒ = = ⇒ ∆ ⇒EAF 60= Câu 22

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA',BB',CC'và H trực tâm a) Chứng minh BC'.BA CB'.CA BC+ =

E

F D A

B

b) Chứng minh rằng: HB.HC HA.HB HC.HA

AB.AC BC.AC+ + BC.AB =

c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻđường thẳng vuông góc với DH cắt AB,AC

lần lượt M N Chứng minh H trung điểm MN

Lời giải

a) Chứng minh BHC' BAB' BH BC' BH.BB' BC'.BA (1) AB BB'

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Chứng minh BHA' BCB' BH BA' BH.BB' BC.BA' (2) BC BB'

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Từ(1) (2) ⇒BC'.BA BA'.BC=

Tương tự: CB'.CA CA'.BC=

( )

BC'.BA CB'.CA BA'.BC CA'.BC BA' A'C BC BC

⇒ + = + = + =

b) Có BHC

ABC

S BH BC' BH.CH BC'.CH AB BB'= ⇒ AB.AC BB'.AC S= =

Tương tự: AHB AHC

ABC ABC

S S

AH.BH ;AH.CH CB.CA = S CB.AB = S

ABC ABC

S

HB.HC HA.HB HC.HA 1 AB.AC AC.BC BC.AB S

⇒ + + = =

c) Chứng minh AHM CDH g.g( ) HM AH (3)

HD CD

∆ ∆ ⇒ =

Chứng minh AHN BDH g.g( ) AH HN (4) BD HD

∆ ∆ ⇒ =

Mà CD BD= (gt) (5)

Từ ( ) ( ) ( )3 , , HM HN HM HN

HD HD

⇒ = ⇒ = ⇒Hlà trung điểm MN

Câu 23 Cho tam giác ABC vuông A, phân giác BD Gọi P, Q, R trung điểm BD,BC,DC

c) Chứng minh APQRlà hình thang cân

d) Biết AB 6cm,AC 8cm.= = Tính độdài AR

N M

D H C'

A'

B' A

Lời giải

a) PQ đường trung bình tam giác BDC,suy PQ / /ARnên APQRlà hình thang

1 AQ BC

2

= (trung tuyến tam giác vuông ABC)

1 PR BC

2

= (đường trung bình tam giác DBC) Suy AQ PR= ⇒APQRlà hình thang cân b) Tính BC 10cm=

Tính chất đường phân giác ∆ABC

DA BA DA BA DC BC AC BC BC

⇒ = ⇒ =

+

Thay sốtính AD 3cm,DC 5cm,DR 2,5cm= = =

Kết AR 5,5cm= Câu 24

Cho hình bình hành ABCD.Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD M, cắt đường chéo AC N cắt đường thẳng AD K Chứng minh: 1

BN BM BK= +

Lời giải

AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành) Theo định lý Talet có:

R

Q P

D

B

A

C

M

N

K

C

A B

MN NC MN MC AB MN NB BM (1) AB AN NB AB BN BN

KM KD MD BK KM AB MD BM AB MD (2) BK KA AB BK AB BK AB

+ +

= = ⇒ = =

− − −

= = ⇒ = ⇒ =

Từ(1) (2) BM BM AB MC AB MD MC MD

BN BK AB AB AB

+ − +

⇒ − = − =

Mà MC MD CD AB+ = = nên BM BM

BN BK− = (Điều phải chứng minh)

Câu 25 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD,BE,CFcắt H a) Tính tổng HD HE HF

AD BE CF+ +

b) Chứng minh: BH.BE CH.CF BC+ =

c) Chứng minh: Điểm H cách ba cạnh tam giác DEF

d) Trên đoạn HB,HClấy tương ứng điểm M,Ntùy ý cho HM CN.=

Chứng minh : Đường trung trực đoạn MN qua điểm cốđịnh

Lời giải

a) Trước hết chứng minh : HBC ABC

S HD AD S=

Tương tựcó: HCA HAB

ABC ABC

S S

HE ;HF BE S= CF S=

Nên HBC HAC HAB ABC

ABC ABC

S S S S

HD HE HF 1

AD BE CF S S

+ +

+ + = = =

Vậy HD HE HF

AD BE CF+ + =

K

Q P

N H

F

E

D A

B

b) Trước hết chứng minh: ∆BDH∆BEC⇒BH.BE BD.BC=

Và ∆CDH∆CFB CH.CF CD.BC⇒ =

( )

BH.BE CH.CF BC BD CD BC

⇒ + = + =

c) Trước hết chứng minh AEB AFC AE AF AB AC

∆ ∆ ⇒ = Mặt khác EAF BAC =

Nên ∆AEF∆ABC(c.g.c)⇒AEF ABC =

Chứng minh tương tự, ta có: ∆CDE∆CAB CED CBA⇒ =  

AEF CED

⇒ = mà EB AC⊥ nên EB phân giác góc DEF

Tương tự: DA,FClà phân giác góc EDF,DFE

Vậy Hlà giao điểm đường phân giác tam giác DEF

Nên Hcách ba cạnh tam giác DEF

d) Gọi K giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC, ta có

( )  

KMH KNC c.c.c KHM KCN (1)

∆ = ∆ ⇒ =

Mặt khác ta có: ∆KCHcân K nên : KHC KCH (2) =

Từ(1) (2) ta có: KHC KHB HK = ⇒ phân giác góc BHC

Vậy K giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên K điểm cốđịnh

Hay trung trực đoạn MN qua điểm cốđịnh K

Câu 26 Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờlà đường thẳng AB vẽtia Ax,By vng góc với AB Trên tia Axlấy điểm C(khác A), qua O kẻ

đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D 1) Chứng minh AB2 =4AC.BD

2) KẻOM vng góc với CDtại M Chứng minh AC CM=

3) TừM kẻ MH vuông góc với AB H Chứng minh BCđi qua trung điểm MH

Lời giải

K I

H M

D

O

A B

1 Chứng minh ∆OAC∆DBO

2

OA AC OA.OB AC.BD DB OB

AB AB. AC.BD AB 4AC.BD(dfcm)

2

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

2 Theo câu a ta có: OAC DBO g.g( ) OC AC OD OD

∆ ∆ ⇒ =

Mà OA OB OC AC OC OD

OD OA AC OA

= ⇒ = ⇒ =

Chứng minh ∆OCD∆ACO c.g.c( )⇒OCD ACO =

Chứng minh ∆OAC= ∆OMC(ch gn)− ⇒AC MC dfcm= ( )

3 Ta có: ∆OAC= ∆OMC⇒OA OM;CA CM= = ⇒OClà trung trực AM OC AM

⇒ ⊥

Mặt khác OA OM OB= = ⇒ ∆AMBvuông M

OC / /BM

⇒ (vì vng góc với AM)hay OC//BI Chứng minh C trung điểm AI

Do MH / /AItheo hệ quảđịnh lý Ta let ta có: MK BK KH

IC = BC AC=

Mà IC AC= ⇒MK HK= ⇒BCđi qua trung điểm MH (đpcm)

Câu 27

Cho tam giác ABCphân giác AD Trên nửa mặt phẳng không chứa Abờ BC,vẽtia Cxsao cho BCx 1BAC

2

= Cxcắt AD E; I trung điểm DE Chứng minh rằng: a) ∆ABD∆CED

b) AE2 >AB.AC

c) 4AB.AC 4AI= 2−DE2

d) Trung trực BCđi qua E

Lời giải

a) Xét ∆ABDvà ∆CEDcó:BAD BCE  1BAC ; ADB CDE  

2

 

= =  =

  (đối đỉnh) I

E D A

( )

ABD CED g.g

⇒ ∆ ∆

b) Xét ∆ABDvà ∆AECcó:

  1  ( )

BAD EAD BAC ; ABD AEC ABD CED

 

= =  = ∆ = ∆

  ⇒ ∆ABD∆AEC g.g( )

( )

2

AB AE AB.AC AD.AE AE AD AE AD AC

⇒ = ⇒ = < <

Vậy AE2 >AB.AC

c) Ta có: 4AI DE2− =4AI 4DI2− =4 AI DI AI DI( − )( + )=4AD AI IE( + )=4AD.AE

Mà AD.AE AB.AC= (câu b)⇒4AB.AC 4AI DE= 2−

d)

) ABE ADC

+ ∆ ∆

VìBAD DAC;  AB AD(AD.AE AB.AC) AE AC

= = =

 

ABE ADC(c.g.c) AEB ACB

⇒ ∆ ∆ ⇒ =

Xét ∆BDEvà ∆ADCcó: BDE ADC = (đối đỉnh); BED ACD =

BDE ADC(g.g)

⇒ ∆ ∆ ⇒DBE DAC BCE  = =

BEC

⇒ ∆ cân E⇒Trung trực BC qua E

Câu 28 Cho tam giác ABC vuông tạiA (AC > AB), đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờAH có chứa C, vẽ hình vng AHKE Gọi P giao điểm AC KE

a) Chứng minh ∆ABP vuông cân

b) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh H, I, E thẳng hàng

c) Tứgiác HEKQ hình gì? Chứng minh

Lời giải

I

Q

H K

P E

C B

a/ CM ∆BHA= ∆PEA(g.c.g) ⇒ AB = AP mà BAP 90= 0(gt)

Vậy ∆BPA vng cân

b/Ta có: HA = HK

⇒H nằm đường trung trực AK Ta có: AE = KE

⇒E nằm đường trung trực KA

PBK

∆ vng có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP)

IK IP IB

⇒ = = (*)

Ta có ABQP hbh(gt), có BA= AP (∆BPA vng cân A) ⇒APQB hình thoi, mà



BAP 90= (gt)

⇒APQBlà hình vng nên PI = IA(**)

Từ(*) và(**) suy IK = IA nên I nằm đường trung trực AK Vậy H, I, E thẳng hàng

c/ Ta có APQB hình vng (cmt) nên AP = BQ mà IK = PB IK AQ

2 ⇒ = AKQ

∆ có AI = IQ(t/c đ/c hv) Mà IK AQ

2

= (cmt) ⇒ ∆AKQvuông K

AK KQ

⇒ ⊥ mà AK HE⊥ (EAHK hv) ⇒QK // HE Vậy HEKQ hình thang

Câu 29 Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, A 45= 0; B 60= và

chiều cao hình thang 18m

Lời giải

Qua A B kẻAA’ BB’ vng góc với CD

D

B' C

B A

Tứgiác ABB’A’là hcn A’A = BB’ = 18m

  

A'AB 90 ,DAB 45= = ⇒A'AD 45=

Do A’AD vng cân

⇒A’D = A’A = 18m

  

B'BA 90 ,CBA 60= = ⇒B'BC 30=

vì thếtrong tam giác vng B’BC ta có B’C = BC

2 Theo định lí Pi ta go, ta có: B’C2 = BC2 – B’B2

⇒ B’C2 = 4B’C2 – B’B2

⇒ 3B’C2 = B’B2

⇒B’C = B'B 18 = 3(cm) Suy : CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - 18 24 18

3 = − (cm) Vậy SABCD=1(AB CD A'A) 42 24 18 18 498,6

2 3

 

+ =  + −  ≈

  (cm

2)

Câu 30 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Vẽ hình vng MNPQcó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC Gọi Evà F giao điểm BNvà MQ; CM NP Chứng minh

a) DEsong song với AC b) DE DF; AE AF= =

Lời giải

2 1

F E

P N

Q D

A

B

a) Chứng minh BE BQ BQ AB BD

EN QP MQ AC DC= = = = ⇒DE / /NChay DE / /AC b) Do DE / /AC DE BD DE BD.CN (1)

CN BC BC

⇒ = ⇒ =

Tương tự: DF CD.BM (2)

BC

=

Từ(1) (2) suy DE BD CN

DF CD BM=

Mà BD AB

CD AC=

CN AC

BM AB= nên DE DE DFDF = ⇒ =

Ta có: D   1 =DAC DAB D= = 2 ⇒ ∆ADE= ∆ADF⇒AE AF=

Câu 31 Cho tam giác vuông cân ABC(AB AC).M= trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM MA;CN= cắt ABtại E Chứng minh :

a) Tam giác BNEđồng dạng với tam giác BAN b) NC NB

AN AB= +

Lời giải

a) ∆ANCvuông N (vì AM MC MN)= =

   

CNM MNA 90 & BAN NAC 90+ = + =

Mà MNA NAC = ⇒CNM BAN =

Mặt khác CNM BNE = (đối đỉnh)⇒BNE BAN = ⇒ ∆BNE∆BAN b) Trên tia đối tia MN lấy điểm Fsao cho FM MN=

Tứgiác ANCFlà hình chữ nhật (vì có đường chéo cắt trung điểm đường)

 

CE / /AF AFB ENB

⇒ ⇒ = (đồng vị)⇒ ∆BAN∆BFA F

E N M

C

FA BF NC AB NB NC NB 1(dfcm) AN BA AN AB AN AB

+

⇒ = ⇒ = ⇒ = +

Câu 32

Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BMcắt tia BMtại H, cắt tia BAtại O Chứng minh rằng:

a) OA.OB OC.OH=

b) OHAcó số đo khơng đổi

c) Tổng BM.BH CM.CA+ không đổi

Lời giải

d) BOH COA g.g( ) OB OH OA.OB OH.OC OC OA

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

e) OB OH OA OH

OC OA= ⇒ OC OB= Ochung ⇒ ∆OHA∆OBC

 

OHA OBC

⇒ = (không đổi)

f) Vẽ MK BC; BKM⊥ ∆ ∆BHC(g.g)

BM BK BM.BH BK.BC (3)

BC BH

⇒ = ⇒ =

( ) CM CK

CKM CAB g.g CM.CA BC.CK(4)

CB CA

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Cộng vế (3) (4) ta có:

( )

BM.BH CM.CA BK.BC BC.CK BC BK KC+ = + = + =BC (Không đổi)

Câu 33

Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, đường caao BD,CEcắt H a) Chứng minh ∆ABD∆ACE

K O

H A

B

b) Chứng minh BH.HD CH.HE=

c) Nối Dvới E, cho biết BC a,AB AC b.= = = Tính độdàiđoạn thẳng DE theo a

Lời giải

a) Xét ∆ABDvà ∆ACEcó: Achung;  ADB AEC 90 = = 0⇒ ∆ABD∆ACE g.g( )

b) Xét ∆BHEvà ∆CHDcó:

   

BEH CDH 90 ; BHE CHD= = = (đối đỉnh)

BH HE

BHE CHD(g.g) BH.HD CH.HE CH HD

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

c) Khi AB AC b= = ∆ABCcân A

Suy DE / /BC DE AD DE AD.BC BC AC AC

⇒ = ⇒ =

Gọi giao điểm AHvà BC F AF BC,FB FC a

⇒ ⊥ = =

2

DC BC BC.FC a DBC FAC DC

FC AC AC 2b

∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =

D E

A

B C

F H E

D A

B

( ) ( )

2 2

a

b .a a 2b a AC DC BC 2b

AD.BC DE

AC AC b 2b

 

−

  −

−  

⇒ = = = =

Câu 34

Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường chéo BD HạME vng góc với AB, MF vng góc với AD

a) Chứng minh DE CF⊥

b) Chứng minh ba đường thẳng DE,BF,CMđồng quy

c) Xác định vịtrí điểm M BD đểdiện tích tứgiác AEMFlớn

Lời giải

a) Chứng tỏđược AE DF= (cùng MF)

Chứng tỏđược ∆CDF= ∆DAE⇒FCD EDA =

Có: EDAvà EDC ph ụ nhau⇒ECDvà EDA ph ụ hay CF DE⊥

b) Tương tựcó CE BF⊥

Chứng minh CM EF⊥

Gọi G giao điểm FM BC;Hlà giao điểm CM EF

 

MCG EFM= (hai HCN nhau)

 

CMG FMH= (đối đỉnh)⇒MHF MGC 90 = =

CM,FB,EDlà ba đường cao ∆CEFnên chúng đồng quy

c) (AE ME− )2 ≥0nên ( ) ( )

2

2 AE ME

AE ME 4AE.ME AE.ME

4

+

+ ≥ ⇔ ≤

2

AEMF

AB

S

4

⇔ ≤ Mà AB số nên SAEMFlớn ⇔AE ME=

Lúc M trung điểm BD

F

E

C D

A B

Câu 35

Cho hình bình hành ABCD(AC BD).> Gọi G, H hình chiếu C lên AB AD Chứng minh

a) ∆ABC∆HCG

b) AC2 =AB.AG AD.AH+

Lời giải

a) Chứng tỏđược CBG CDH CG BC BC CH DC BA

∆ ∆ ⇒ = =

Và ABC HCG = (cùng bù với BAD) ⇒ ∆ABC∆HCG b) Gọi E, Flần lượt hình chiếu B,Dtrên AC

AF AD

AFD AHC AF.AC AD.AH AH AC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

AE AB

AEB AGC AE.AC AG.AB AG AC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Cộng : AF.AC AE.AC AD.AH AG.AB+ = +

( )

AC AF AE AD.AH AG.AB

⇔ + = +

Chứng tỏđược: AE FC.= Thay được:

( )

AC AF FC+ =AD.AH AG.AB+ ⇒AC =AD.AH AG.AB+

Câu 36 Cho tam giác ABC vuông A (AC AB> ), đường cao AH (H BC∈ ) Trên tia HC lấy điểm Dsao cho HD HA.= Đường vng góc với BC D cắt AC E

1) Chứng minh ∆BEC∆ADC.Tính độdài đoạn BE theo m AB=

2) Gọi M trung diểm đoạn thẳng BE Chứng minh ∆BHM∆BEC.Tính sốđo góc AHM

3) Tia AM cắt BC G Chứng minh GB HD

BC AH HC= + F

E

H G

D

B C

Lời giải

a) Chứng minh CDE CAB(g.g) CD CA CE CB

∆ ∆ ⇒ =

Hai tam giác ADCvà BECcó:



C chung; CD CA (cmt)

CE = CB ⇒ ∆ADC∆BEC c.g.c( )

Suy BEC ADC 135 = = 0(vì tam giác AHDvng cân H theo gt)

Nên AEB 45  = Do tam giác ABEvng cân A suy BE AB m 2= =

b) Ta có: BM BE AD (do BEC ADC) BC BC AC= = ∆ ∆

Mà AD AH 2= (tam giác AHDvuông cân H) Nên BM AD AH AH

BC AC AC= = = 2AC

Mà ABH CBA(g.g) AH BH AC AB

∆ ∆ ⇒ =

Nên BM BH BH(BE 2AB) BC = 2AB= BE =

Do ∆BHM∆BEC c.g.c( )⇒ BHM BEC 135= = ⇒AHM 45=

c) Tam giác ABEvng cân A, nên tia AM cịn phân giác BAC 

Suy AG phân giác BACsuy : GB AB

GC AC=

Mà AB ED( ABC DEC) AH(ED / /AH) HD AC DC= ∆ ∆ = HC =HC

Do đó: GB HD GB HD GB HD

GC HC= ⇒GB GC HD HC+ = + ⇒ BC AH HC= +

G

M E

D H

A

B

Câu 37 Cho hình vng ABCD,trên cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF= VẽAH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai

điểm M, N

1) Chứng minh tứgiác AEMD hình chữ nhật

2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2EF=

3) Chứng minh : 2 2 2

AD = AM +AN

Lời giải

1) Ta có: DAM ABF = (cùng phụ với BAH) 

 

AB AD= (gt); BAF ADM 90= = (ABCD hình vng)

( )

ADM BAF g.c.g

⇒ ∆ = ∆

DM AF,

⇒ = mà AF AE(gt)= nên AE DM=

Lại có: AE / /DM(vì AB / /DC)

Suy tứgiác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE 90 (gt) =

Vậy tứgiác AEMD hình chữ nhật 2) Ta có ∆ABH∆FAH(g.g)

AB BH AF AH

⇒ = hay BC BH AB BC;AE AF( )

AE AH= = =

Lại có: HAB HBC = (cùng phụ với ABH)  CBH AEH(c.g.c)

⇒ ∆ ∆

2 CBH

EAH

S BC , S AE

  ⇒ =  

  mà ( )

2

2

CBH EAH

S 4(gt) BC 4 BC 2AE

S AE

 

= ⇒  = ⇒ =  

M H

N F

C D

BC 2AE E

⇒ = ⇒ trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD 2EF= hay AC 2EF(dfcm)=

3) Do AD / /CN(gt) Áp dụng hệ quảđịnh lý Ta let ta có:

AD AM AD CN

CN MN AM MN

⇒ = ⇒ =

Lại có: MC / /AB gt ( ) Áp dụng hệ quảđịnh lý Ta let ta có:

MN MC AB MC

AN = AB ⇒AN MN= hay

AD MC AN MN=

2 2 2 2 2

2

AD AD CN CM CN CM MN 1 AM AN MN MN MN MN (Pytago)

        +

⇒  +  =  +  = = =        

2

2 2

AD AD 1 1 (dfcm) AM AN AM AN AD

   

⇒  +  = ⇒ + =    

Câu 38 Cho hình vng ABCD,Mlà điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ

ABchứa C dựng hình vng AMHN.Qua Mdựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AHở E, cắt DC F

a) Chứng minh BM ND=

b) Chứng minh N,D,Cthẳng hàng c) EMFN hình ?

d) Chứng minh: DF BM FM+ = chu vi tam giác MFCkhông đổi M thay đổi vị trí BC

Lời giải

a) ABCDlà hình vng (gt)  

A MAD 90 (gt) (1)

⇒ + =

Vì AMHN hình vng (gt)  

A MAD 90 (2)

⇒ + =

d

F E

N

H

C D

A B

Từ(1) (2) suy A 1 =A2

Ta có:  

AND AMB(c.g.c) B D 90

∆ = ∆ ⇒ = = BM ND=

b) ABCDlà hình vng      0

2

D 90 D D NDC NDC 90 90 180

⇒ = ⇒ + = ⇒ = + =

N; D;C

⇒ thẳng hàng

c) Gọi O giao điểm hai đường chéo AHvà MNcủa hình vng AMHN

O

⇒ tâm đối xứng hình vng AMHN AH

⇒ đường trung trực đoạn MN,

mà E;F AH∈ ⇒EN EM= FM FN= (3)

Tam giác vuông EOM=tam giác vuông FON OM ON; N( =  1 =M3)

  ( )

1

O O EM NF

⇒ = ⇒ =

Từ(3) (4)⇒EM NE NF FM= = = ⇒MENFlà hình thoi (5) d) Từ (5) ⇒FM FN FD DN= = + mà DN MB(cmt)= ⇒MF DF BM= +

Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng ABCDlà a

( )

P MC CF MF MC CF BM DF(ViMF DF MB)

(MC MB) CF FD BC CD a a 2a

= + + = + + + = +

= + + + = + = + =

Hình vng ABCDcho trước ⇒akhơng đổi ⇒pkhơng đổi

Câu 39 Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P

e) Tứgiác AMDBlà hình ?

f) Gọi Evà Flần lượt hình chiếu điểm M lân AB, AD Chứng minh EF / /ACvà ba điểm E,F,Pthẳng hàng

g) Chứng minh tỉ sốcác cạnh hình chữ nhật MEAFkhơng phụ thuộc vào vị trí điểm P

h) Giả sử CP BD⊥ CP 2,4cm,PD PB 16

= = Tính cạnh hình chữ nhật ABCD

Lời giải

I

F E

M

B

D C

A

e) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD PO

⇒ đường trung bình tam giác CAM

AM / /PO AMDB

⇒ ⇒ hình thang f) Do AM / /BDnên OBA MAE = (đồng vị) Tam giác AOB cân ởO nên OBA OAB =

Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật AEMF ∆AIEcân ởI nên

 

IAE IEA=

Từ chứng minh : có FEA OAB, = đó: EF / /AC (1)

Mặt khác IPlà đường trung bình ∆MACnên IP / /AC (2)

Từ(1) (2) suy ba điểm E,F,Pthẳng hàng

g) MAF DBA(g.g) MF AD

FA AB

∆ ∆ ⇒ = Không đổi h) Nếu PD PD PB k PD 9k,PB 16k

PB 16= ⇒ = 16 = ⇒ = =

Nếu CP BD⊥ CBD DCP(g.g) CP PB PD CP

∆ ∆ ⇒ =

Do đó: CP2 =PB.PD hay ( )2,4 =9.16k2 ⇒ =k 0,2

PD 9k 1,8(cm);= = PB 16k 3,2(cm) BD 5(cm)= = =

Chứng minh BC2 =BP.BD 16= , đó: BC 4cm,= CD 3cm.=

Câu 40 Cho hình thang ABCD vng Avà D.Biết CD 2AB 2AD= = BC a 2= Gọi E trung điểm CD

d) Tứgiác ABEDlà hình ? Tại sao? e) Tính diện tích hình thang ABCD theo a

f) Gọi Ilà trung điểm BC,Hlà chân đường vng góc kẻ từ Dxuống AC.Tính góc HDI

Lời giải

H I

C E

B A

d) Chỉ ABED hình bình hành (AB / /DE,AB DE= )

Chỉra ABED hình thoi (AB=AD) Chỉ ABEDlà hình vng (BAD 90= 0)

e) Chỉ ∆BEC vng cân

Từđó suy AB AD a,DC 2a= = =

Diện tích hình thang ABCDlà : S (AB CD AD) (a 2a a 3a)

2 2

+ +

= = =

f) ACH ACD (1) = (cùng phụ với góc HDC)

Xét ∆ADCvà ∆IBD vng D B có:

AD IB ADC IBC

DC BD 2= = ⇒ ∆ ∆

Suy ACD BDI = ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy ADH BDI =

Mà ADH BDI 45 + = ⇒BDI BDH 45 + = 0hay HDI 45=

Câu 41 Cho tam giác ABC.Gọi Ilà điểm di chuyển cạnh BC.Qua I, kẻđường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh ABtại M Qua I, kẻđường thẳng song song với cạnh ABcắt cạnh AC N

1) Gọi O trung điểm AI Chứng minh ba điểm M,O,Nthẳng hàng 2) Kẻ MH,NK,ADvng góc với BC H,K,D.Chứng minh

MH NK AD+ =

3) Tìm vị trí điểm Iđể MNsong song với BC

Lời giải

E K

D H

O M

N A

1) Ta có: IM / /AC,IN / /AB⇒AMINlà hình bình hành MN

⇒ cắt AI trung điểm đường Mà O trung điểm AI

M,O,N

⇒ thẳng hàng (đpcm)

2) Kẻ OE vng góc với BC.Chứng minh MHKN hình thang vng

Ta có: O trung điểm MN mà OE / /MH / /NK Suy OE đường trung bình hình thang vuông MNKHnên MH NK 2OE+ = (1)

Xét ∆ADIcó O trung điểm AIvà OE / /AD.Suy OE đường trung bình

ADI

∆ nên AD 2OE= (2)

Từ(1) (2) ta có: MH NK AD+ = (dpcm)

3) Ta có: MN / /BC⇔MNlà đường trung bình ∆ABC(do O trung điểm AI) I

⇔ trung điểm BC (Vì MI / /AC,MA MB)=

Vậy để MNsong song với BC Ilà trung điểm BC

Câu 42

Cho hình vng ABCD,trên cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF= VẽAH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai

điểm M, N

1) Chứng minh tứgiác AEMD hình chữ nhật

2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2EF=

3) Chứng minh : 2 2 2

AD = AM +AN

Lời giải

1) Ta có: DAM ABF = (cùng phụ với BAH) 

M H

N F

C D

 

AB AD= (gt); BAF ADM 90= = (ABCD hình vng)

( )

ADM BAF g.c.g

⇒ ∆ = ∆

DM AF,

⇒ = mà AF AE(gt)= nên AE DM=

Lại có: AE / /DM(vì AB / /DC)

Suy tứgiác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE 90 (gt) =

Vậy tứgiác AEMD hình chữ nhật 2) Ta có ∆ABH∆FAH(g.g)

AB BH AF AH

⇒ = hay BC BH AB BC;AE AF( )

AE AH= = =

Lại có: HAB HBC = (cùng phụ với ABH)  CBH AEH(c.g.c)

⇒ ∆ ∆

2 CBH

EAH

S BC , S AE

  ⇒ =  

  mà ( )

2

2

CBH EAH

S 4(gt) BC 4 BC 2AE

S AE

 

= ⇒  = ⇒ =  

BC 2AE E

⇒ = ⇒ trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD 2EF= hay AC 2EF(dfcm)=

3) Do AD / /CN(gt) Áp dụng hệ quảđịnh lý Ta let ta có:

AD AM AD CN

CN MN AM MN

⇒ = ⇒ =

Lại có: MC / /AB gt ( ) Áp dụng hệ quảđịnh lý Ta let ta có:

MN MC AB MC

AN = AB ⇒AN MN= hay

AD MC AN MN=

2 2 2 2 2

2

AD AD CN CM CN CM MN 1 AM AN MN MN MN MN (Pytago)

        +

⇒  +  =  +  = = =        

2

2 2

AD AD 1 1 (dfcm) AM AN AM AN AD

   

⇒  +  = ⇒ + =    

Câu 43 Cho tam giác ABC.Lấy điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA,CA

sao cho BD CE BC.= = Gọi O giao điểm BEvà CD Qua O vẽđường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K

Chứng minh AB CK=

Vẽhình bình hành ABMCta có: AB CM=

Để chứng minh AB KC= ta cần chứng minh KC CM.=

Thật vậy, xét tam giác BCEcó BC CE gt= ( )⇒ ∆CBEcân C⇒B E 1=

Vì góc C1là góc ngồi tam giác BCE     

1 1 1

C B E B C

⇒ = + ⇒ = mà AC / /BM(ta vẽ) C 1 CBM B1 1CBM

2

⇒ = ⇒ = nên BO tia phân giác CBM.Hồn tồn tương tự ta có CDlà tia phân giác BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy O

MO

⇒ tia phân giác CMB

Mà  BAC,BMClà hai góc đối hình bình hành BMCA ⇒MO / /với tia phân giác góc A theo giảthiết tia phân giác góc A cịn song song với OK

K,O,M

⇒ thẳng hàng

Ta lại có: M1 1BMC(cmt); A M   M 1 A2

2

= = ⇒ = mà A 2 =K1(2 góc đồng vị)

 

1

K M CKM

⇒ = ⇒ ∆ cân C⇒CK CM.=

Kết hợp AB CM= ⇒AB CK= (dpcm)

Câu 44 Cho hình vng ABCDcó cạnh a.Gọi E,F,G,Hlần lượt trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA.M giao điểm CEvà DF

a) Chứng minh: Tứgiác EFGHlà hình vuông b) Chứng minh DF CE⊥ ∆MADcân

c) Tính diện tích ∆MDCtheo a

Lời giải

2 1

1 1

M K

O

E

D

A

B

a) Chứng minh EFGHlà hình thoi

Chứng minh có góc vng nên EFGHlà hình vng b) ∆BEC= ∆CFD⇒ECB FDC = mà ∆CDFvuông C nên:

   

CDF DFC 90 DFC ECB 90 CMF

⇒ + = ⇒ + = ⇒ ∆ vuông M hay CE DF⊥

Gọi N giao điểm AGvà DF.Chứng minh tương tự: AG DF⊥

GN / /CM

⇒ mà G trung điểm DC nên Nlà trung điểm DM

Trong ∆MADcó AN vừa đường cao, vừa đường trung tuyến MAD

⇒ ∆ cân A

c) CMD FCD(g.g) CD CM

FD FC

∆ ∆ ⇒ =

Do :

2

CMD

CMD FCD

FCD

S CD S CD .S

S FD FD

   

=  ⇒ = 

   

Mà

FCD

1

S CF.CD CD

2

= =

Vậy

2

2

CMD

CD S CD

4 FD

=

Trong ∆DCFtheo định lý Pytago ta có:

2 2 1 2 1 5

2 4 4

DF =CD +CF =CD + BC =CD + CD = CD

 

Do đó: 2 2

1 1

.

5 4 5

4

MCD

CD

S CD a

CD

= =

Câu 45 Cho hình vng ABCD,trên cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F

cho AE =AF VẽAH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai

điểm M, N

4) Chứng minh tứgiác AEMDlà hình chữ nhật

N

M H

G

F E

C D

5) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh

rằng AC =2EF

6) Chứng minh : 1 2 1 2 1 2

AD = AM + AN

Lời giải

4) Ta có:  DAM = ABF(cùng phụ với BAH)

 

( ); 90

AB= AD gt BAF = ADM = (ABCD hình vng) ( . )

ADM BAF g c g

⇒ ∆ = ∆

, DM AF

⇒ = mà AF = AE gt( ) nên AE =DM

Lại có: AE/ /DM (vì AB/ /DC)

Suy tứgiác AEMDlà hình bình hành Mặt khác DAE =90 ( )0 gt

Vậy tứgiác AEMDlà hình chữ nhật

5) Ta có ∆ABH  ∆FAH g g( ) AB BH

AF AH

⇒ = hay BC BH (AB BC AE; AF) AE = AH = =

Lại có: HAB = HBC(cùng phụ với ABH) ( )

CBH AEH c g c

⇒ ∆ ∆

2 ,

CBH EAH

S BC S AE

 

⇒ =  

  mà ( )

2

2

4( ) 4 2

CBH EAH

S BC

gt BC AE

S AE

 

= ⇒  = ⇒ =

 

2

BC AE E

⇒ = ⇒ trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD=2EF hay AC =2EF dfcm( )

6) Do AD/ /CN gt( ).Áp dụng hệ quảđịnh lý Ta let ta có:

M H

N F

C D

AD AM AD CN CN MN AM MN

⇒ = ⇒ =

Lại có: MC/ /AB gt( ).Áp dụng hệ quảđịnh lý Ta let ta có: MN MC AB MC

AN = AB ⇒ AN = MN hay

AD MC AN = MN

2 2 2 2 2

2 1

( )

AD AD CN CM CN CM MN

AM AN MN MN MN MN

Pytago

+

       

⇒  +  =  +  = = =

       

2

2 2

1 1 1

1 ( )

   

⇒  +  = ⇒ + =

   

AD AD

dpcm

AM AN AM AN AD

Câu 46

1 Cho tam giác ABCnhọn Dựng phía hai tam giác ABE ACF; ,lại dựng

hình bình hành AEPF.Chwnngs minh PBClà tam giác

Cho tam giác ABCcó BC =15cm AC, =20cm AB, =25cm.

a) Tính độdài đường cao CH tam giác ABC

b) Gọi CD đường phân giác ∆ACH.Chứng minh ∆BCDcân

c) Chứng minh: 2 2 2

3 2

BC +CD + BD = CH + BH +DH

Lời giải 1

Ta có: AEPFlà hình bình hành nên  AEP= AFP

Xét ∆EPBvà ∆FPC có:

( ) ( )    

( )

0

; ; ( 60 60 )

. (1)

EB FP AE EP FC AF PEB PFC vi AEP AFP EPB FPC c g c PB PC

= = = = = − = −

⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

Ta có:    

180 60

EAP+AEP= ⇒ A +E = mà  E1+ E2 =600⇒  A3 = E2

2 1

3

2 1

P F

E

A

( )

( ) 2

EPB ABC cgc PB BC

⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

Từ(1) (2) suy PB= PC= BC Vậy ∆PBC

2

a) Dùng định lý Pytago đảo chứng minh được: ∆ABCvng C

Ta có: 1 . 1 . . 20.15 12 .

2 2 25

ABC

AC BC

S AC BC AB CH CH cm

AB

= = ⇒ = = =

b) Dễdàng tính được: HA=16cm BH, =9cm

CDlà tia phân giác ∆ACH nên suy AD=10cm HD, =6cm.

Do đó: BC=BD(=15cm)

Vậy ∆BDCcân B

c) Xét ∆vuông: CBH CAH,

Ta có:

( )

( )

2 2

2 2

2 2

( )

BC BH CH Pytago CD DH CH Pytago

BD BC BH CH Pytago

= +

= +

= = +

Từđó suy 2 2 2

3 2

BC +CD + BD = CH + BH +DH

Câu 47 Cho tam giác ABC.Từđiểm M thuộc cạnh ACkẻcác đường thẳng song song với

các cạnh ABvà BCcắt BCtại E ABtại F Hãy xác định vị trí M AC cho

hình bình hành BEMFcó diện tích lớn

Lời giải

D H

B A

Ta có tứgiác BEMFlà hình bình hành Kẻ AH ⊥BC AH, cắt MF I

.

AI ⊥MF Gọi S'là diện tích hình bình hành BEMFvà Slà diện tích tam giác ABC

' .

S =IH MFvà 1 .

2

S = BC AH

Ta có: ' . 2 . ( )1 1

. 2

S IH MF MF IH

S = BC AH = BC AH

Đặt AM =x MC, = y

Vì MF / /BCnên ta có: MF AM x ; IH MC y

BC = AC = x+y AH = AC = x+ y

Thay vào (1) ta có:

( )2

' 2

2. .

S x y xy

S = x+ y x+ y = x+y

Vì x y, hai sốkhơng âm nên ta có: x+ ≥y 2 xy ⇒(x+ y)2 ≥ 4xy

( )2

' 2 2 1 ' 1 1

'

4 2 2 2

S xy xy S

S S

S x y xy S

⇒ = ≤ = ⇒ ≤ ⇔ ≤

+

Dấu " "= xảy x= y,tức M trung điểm cạnh AC diện tích hình bình

hành BEMF đạt giá trị lớn 1

2Skhông đổi

Câu 48 Cho hình vng ABCDcó cạnh a.Gọi M, N theo thứ tựlà trung điểm

AB BC

a) Tính diện tích tứgiác AMND.

b) Phân giác góc CDM cắt BC E.Chứng minh DM = AM +CE

Lời giải

y x

H I F

E A

B C

a) SAMND =SABCD −SBMN −SNCD Ta có: ∆BMN vng B có

2 a BM =BN = =CN

NCD

∆ vuông C có DC=a

2 2

2 1 1 5

. .

2 2 2 2 8 4 8

AMND

a a a a a a

S a a a

⇒ = − − = − − =

b) Trên tia đối tia CB lấy điểm K cho CK = AM.

Dễdàng chứng minh ∆ADM = ∆CDK c g c( . )⇒ AM =CK DM; =DK( )1

Và  ADM =CDK

Ta có: ADE       =ADM +MDE =EDC+CDK =EDK ViMDE( =EDC)

Mặt khác  ADE =DEK(so le trong)

 .

EDK DEK

⇒ = Vậy ∆DKEcân K⇒DK =KE =CK +CE(2)

Từ(1) (2) suy DM =AM +CE

Câu 49 Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, BD CE, hai đường cao tam giác cắt

nhau điểm H Chứng minh rằng: a) HD HB. =HE HC.

b) ∆HDE ∆HCB

c)

. .

BH BD+CH CE=BC

Lời giải

K E M

N C D

a) Chứng minh ∆BHE ∆CHD E = =D 90 ;0 EBH =DCH (cùng phụgóc A)

. .

HE HB

HD HB HE HC HD HC

⇒ = ⇒ =

b) Từ HE HB HE HD

HD = HC ⇒ HB = HC

 

EHD=CHB(đối đỉnh)⇒ ∆HDE ∆HCB

c) Vì H giao điểm hai đường cao BDvà CEnên H trực tâm tam giác AH

⇒ đường cao thứ ba Gọi F giao điểm AHvới BC.

Ta có: AF ⊥BC

( ) BH BF . . (*)

BHF BCD g g BH BD BF BC BC BD

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

( )

( ) CH CF . . **

CHF BCE g g CH CE CF BC CB CE

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Cộng theo vế ( ) ( ) ( ) * , ** :BH BD. +CH CE. =BC BF. +CF =BC

Câu 50 Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường chéo BD HạME vng góc với AB, MF vng góc với AD

d) Chứng minh DE⊥CF

e) Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM, , đồng quy

f) Xác định vịtrí điểm M BD đểdiện tích tứgiác AEMFlớn

Lời giải

F H E

D A

B

a) Chứng tỏđược AE=DF (cùng MF)

Chứng tỏđược ∆CDF = ∆DAE⇒ FCD=EDA

Có: EDAvà EDCphụ nhau⇒ECDvà EDAphụ hay CF ⊥DE

b) Tương tựcó CE ⊥BF

Chứng minh CM ⊥EF

Gọi G giao điểm FM BC H; giao điểm CM EF

 

MCG=EFM (hai HCN nhau)  

CMG=FMH (đối đỉnh)⇒MHF =MGC=900 , ,

CM FB EDlà ba đường cao ∆CEF nên chúng đồng quy

c) ( )2

0

AE−ME ≥ nên ( ) ( )

2

4 . .

4 AE ME AE+ME ≥ AE ME ⇔ AE ME≤ +

2 . 4

AEMF

AB S

⇔ ≤ Mà AB số nên SAEMFlớn ⇔ AE=ME Lúc M trung điểm BD

Câu 51 Cho hình bình hành ABCD AC( >BD).Gọi G, H hình chiếu C lên

AB AD Chứng minh c) ∆ABC∆HCG

d)

. .

AC = AB AG+ AD AH

Lời giải

F

E

C D

A B

c) Chứng tỏđược CBG CDH CG BC BC CH DC BA

∆ ∆ ⇒ = =

Và  ABC=HCG(cùng bù với BAD)⇒ ∆ABC ∆HCG

d) Gọi E, Flần lượt hình chiếu B D, AC

. .

AF AD

AFD AHC AF AC AD AH AH AC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

. .

AE AB

AEB AGC AE AC AG AB AG AC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Cộng : AF AC. + AE AC. =AD AH. +AG AB.

( )

. . .

AC AF AE AD AH AG AB

⇔ + = +

Chứng tỏđược: AE = FC.Thay được:

( )

. . . . .

AC AF +FC = AD AH + AG AB⇒ AC = AD AH +AG AB

Câu 52 Cho tam giác ABC vuông A AC( > AB), đường cao AH H( ∈BC).Trên tia

HC lấy điểm D cho HD=HA.Đường vng góc với BCtại D cắt ACtại E.

1) Chứng minh hai tam giác BECvà ADCđồng dạng Tính độdài đoạn BE

theo m= AB

2) Gọi M trung điểm đoạn BE.Chứng minh hai tam giác BHM BEC

đồng dạng Tính sốđo AHM

3) Tia AM cắt BCtại G Chứng minh GB HD

BC = AH + HC Lời giải

F

E

H G

D

B C

1) Hai tam giác ADCvà BECcó: C chung;

CD CA

CE = CB(hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng)

Do ∆ADC ∆BEC

Suy   135

BEC= ADC = (vì tam giác AHD vuông cân H theo giảthiết) Nên 

45 ,

AEB= ∆ABEvng cân A

Suy : BE= AB 2 =m 2

2) Ta có 1. 1. ( )

2 2

BM BE AD

do BEC ADC BC = BC = AC ∆ ∆

Mà AD= AH 2(tam giác AHD vuông cân H)

Nên 1. 1. 2

2 2 2

BM AD AH BH BH

BC = AC = AC = AB = BE (do ∆ABH ∆CBA)

Do đó:   

( ) 135 45

BHM BEC c g c BHM BEC AHM

∆ ∆ ⇒ = = ⇒ =

3) Tam giác ABEvng cân A, nên tia AM cịn tia phân giác BAC Suy : GB AB,

GC = AC mà

AB ED

AC = DC ( ) ( / / )

AH HD

ABC DEC ED AH

HC HC

∆ ∆ = =

Do đó: GB HD GB HD GB HD

GC = HC ⇒GB+GC = HD+HC ⇒ BC = AH +HC

Câu 53 Cho tam giác ABCnhọn (AB< AC) Các đường cao AE BF, cắt H Gọi

M trung điểm BC,qua H vẽđường thẳng avng góc với HM a, cắt AB, AC lần

lượt I K

a) Chứng minh ∆ABC∆EFC

b) Qua C kẻđường thẳng bsong song với đường thẳng IK,b cắt AH,AB theo thứ tự

tại Nvà D Chứng minh NC= NDvà HI = HK.

G M

E

D H

A

B

c) Gọi G giao điểm CH AB Chứng minh AH BH CH 6 HE + HF + HG > Lời giải

a) Ta có: AEC BFC g g( ) CE CA CF CB

∆ ∆ ⇒ =

Xét ∆ABCvà ∆EFCcó: CE CA

CF =CB góc C chung nên suy ∆ABC  ∆EFC cgc( )

b) Vì CN / /IKnên HM ⊥CN ⇒M trực tâm ∆HNC

MN CH

⇒ ⊥ mà CH ⊥ AD H( trực tâm ∆ABC)⇒MN / /AD

Do M trung điểm BCnên ⇒NC =ND⇒IH =IK (theo Ta let)

c) Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH

CHE BHE CHE BHE BHC

AH S S S S S S

HE S S S S S

+ +

= = = =

+

Tương tựta có: BHC BHA; BHC AHC

AHC BHA

BH S S CH S S

BF S CG S

+ +

= =

6

AHC ABH BHC BHA BHC AHC

BHC AHC BHA

AHC ABH BHC BHA BHC AHC

BHC BHC AHC AHC BHA BHA

AH BH CH S S S S S S

HE HF HG S S S

S S S S S S

S S S S S S

+ + +

⇒ + + = + +

= + + + + + ≥

Dấu xảy chỉkhi ∆ABCđều mà theo giảthiết AB< ACnên không xảy

dấu

Câu 54 Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, đường cao AM BN CP, , cắt H

G

D

N I

K

M H

E F A

a) Chứng minh rằng: ∆AMC ∆BNCvà CAB =NMC b) Chứng minh rằng: Tia MAlà tia phân giác NMP

c) Gọi I giao điểm BN MP.Chứng minh HN BI. =HI BN. Lời giải

a) Xét ∆AMCvà ∆BNCcó: góc C chung; M = =N 900

AMC BNC

⇒ ∆ ∆ CM CA

CN CB

⇒ =

Xét ∆ABCvà ∆MNCcó: CM CA

CN =CB;Cchung

( . )  

ABC MNC c g c CAB NMC

⇒ ∆  ∆ ⇒ =

b) Ta có: CAB =NMC

Chứng minh tương tự: CAB =NMC Chỉra được:  

90

AMC = AMB=  

AMN AMP

⇒ = ⇒Tia MAlà tia phân giác NMP c) Ta có: MHlà đường phân giác tam giác MNI

Mà MB⊥MHnên MBlà đường phân giác tam giác MNI

MN HN BN MI HI BI

⇒ = = (tính chất đường phân giác trong, ngồi tam giác)

. . ( )

⇒ HN BI =HI BN dpcm

Câu 55 Cho hình vng ABCDcó cạnh a.Gọi E F G H, , , trung điểm

các cạnh AB BC CD DA, , , .M giao điểm CEvà DF.

d) Chứng minh: Tứgiác EFGHlà hình vng

I H

P

M

N A

e) Chứng minh DF ⊥CEvà ∆MADcân

f) Tính diện tích ∆MDCtheo a.

Lời giải

d) Chứng minh EFGHlà hình thoi

Chứng minh có góc vng nên EFGHlà hình vng

e) ∆BEC= ∆CFD⇒ ECB=FDC mà ∆CDF vuông C nên:

   

90 90

CDF DFC DFC ECB CMF

⇒ + = ⇒ + = ⇒ ∆ vuông M hay CE⊥DF

Gọi N giao điểm AGvà DF.Chứng minh tương tự: AG⊥DF

/ /

GN CM

⇒ mà G trung điểm DC nên Nlà trung điểm DM.

Trong ∆MADcó ANvừa đường cao, vừa đường trung tuyến MAD

⇒ ∆ cân A

f) CMD FCD g g( ) CD CM FD FC

∆ ∆ ⇒ =

Do :

2

.

CMD

CMD FCD

FCD

S CD CD

S S

S FD FD

   

=  ⇒ = 

   

Mà 1 1 .

2 4

FCD

S = CF CD= CD

Vậy 2

1 .

4

CMD

CD

S CD

FD

=

Trong ∆DCFtheo định lý Pytago ta có:

2 2 1 2 1 5

2 4 4

DF =CD +CF =CD + BC =CD + CD = CD

 

Do đó: 2 2

1 1

.

5 4 5

4

MCD

CD

S CD a

CD

= =

N

M H

G

F E

C D

Câu 56 Cho hình vng ABCDcó AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M ≠ B C, ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho

.

BE =CM

a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân

b) Chứng minh: ME / /BN

c) Từ C kẻ CH ⊥ BN H( ∈BN) Chứng minh ba điểm O M H, , thẳng hàng

Lời giải

a) Xét ∆OEBvà ∆OMC

Vì ABCDlà hình vng nên ta có: OB=OC

Và   ( )

1 45 , ( ) .

B =C = BE=CM gt ⇒ ∆OEB= ∆OMC c g c

OE OM

⇒ = O 1 =O3

Lại có:   

2 90

O +O =BOC = tứgiác ABCDlà hình vng

  

2 90

O O EOM

⇒ + = = kết hợp với OE=OM ⇒ ∆OEMvuông cân O

b) Từgiảthiết tứgiác ABCDlà hình vng ⇒ AB/ /CDvà AB = CD

+)AB/ /CD AB/ /CN AM BM MN MC

⇒ ⇒ = (định lý Ta let) (*) Mà BE =CM gt( )và AB=Cd⇒ AE=BM thay vào ( )*

Ta có: AM AE ME / /BN

MN = EB ⇒ (Ta let đảo)

c) Gọi H'là giao điểm OMvà BN

Từ ME/ /BN ⇒OME =OH E' (cặp góc so le trong)

Mà  45

OME= ∆OEM vng cân O

 

1

' 45 '( )

MH B C OMC BMH g g

⇒ = = ⇒ ∆ ∆

1 3

2 1

H E

N O

C D

A B

' , OM MH

OB MC

⇒ = kết hợp OMB =CMH'(hai góc đối đỉnh)

 

'( ) ' 45

OMB CMH c g c OBM MH C

⇒ ∆ ∆ ⇒ = =

Vậy   

' ' ' 90 '

BH C =BH M +MH C = ⇒CH ⊥BN

Mà CH ⊥ BN H( ∈BN)⇒H ≡H'hay điểm O M H, , thẳng hàng (đpcm)

Câu 57

Cho tam giác nhọn ABC AB( < AC),có đường cao AHsao cho AH =HC.Trên

AH lấy điểm I cho HI =BH.Gọi P Q trung điểm BI AC Gọi N M

là hình chiếu H AB IC K; giao điểm đường thẳng CI với AB; D giao

điểm đường thẳng BI với AC

a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC

b) Tứgiác HNKM hình vng

c) Chứng minh bốn điểm N P M Q, , , thẳng hàng

Lời giải

a) Xét tam giác BHIcó: BH = HI H,=900

BHI

⇒ ∆ vuông cân H  45

IBH

⇒ =

AHC

∆ có 

, 90

AH =HC H = ⇒ ∆AHCvuông cân H⇒ ACH =450

BCD

⇒ ∆ vng cân D

Tam giác ABCcó hai đường cao AH BD, .

Vậy Ilà trực tâm ∆ABC

D K

M N P

Q I

A

H C

b) Xét tứgiác HMKNcó: M = N =90 ,0 K =900(CK đường cao)

Tứgiác HMNKlà hình chữ nhật (1)

Xét ∆MIHvà ∆NBHcó:

   

90 ; ( );

HMI =HNB= HB=HI gt HIC=HBN ( . ) ( )2 HMI HNB g c g HM HN

⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

Từ ( )1 ( )2 : Tứgiác HMKNlà hình vng

c) Theo câu b: Tứgiác HMKN hình vng nên M N, thuộc trung trực đoạn thẳng

KH

-Xét tam giác vuông AHCvà AKC;trung tuyến HQ KQ, .Ta có:

1 1

;

2 2

HQ = AC KQ= AC⇒ ∈Q trung trực KH

Vậy điểm M N P Q, , , thẳng hàng

Câu 58 Cho hình vng ABCDcó hai đường chéoACvà BD cắt O Trên cạnh

AB lấy M (0<MB<MA)và cạnh BClấy Nsao cho MON =90 0Gọi E giao điểm

của AN với DC, gọi K giao điểm ONvới BE

1) Chứng minh ∆MON vuông cân

2) Chứng minh MNsong song với BE

3) Chứng minh CK vng góc với BE

4) Qua Kvẽđường song song với OMcắt BCtại H Chứng minh:

1 KC KN CN KB + KH + BH =

Lời giải

H

K E N

O

C D

1) Ta có :   

90 90 ;

BOC = ⇒CON +BON =

    

90 90

MON = ⇒BOM +BON = ⇒BOM =CON Ta có BD phân giác ABC   

45 2

BOC MBO CBO

⇒ = = =

Tương tựta có:    45 2

BOC

NCO=DCO= = Vậy ta có : MBO =NCO Xét ∆OBM ∆OCN có OB=OC BOM;   =CON MBO; =NCO

OBM OCN OM ON

⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

Xét ∆MON có MON =90 ;0 OM =ON ⇒ ∆MONvuông cân

2) ∆OBM = ∆OCN ⇒MB= NCmà AB= BC⇒ AB−MB=BC− NC

AM BN AM BM

MB NC

⇒ = ⇒ =

Ta có: AB/ /CD AM / /CE AN BN NE NC

⇒ ⇒ =

Vậy ta có: AM AN MN / /BE MB NE

⇒ = ⇒ (Theo định lý Talet đảo)

3) Vì  

/ / 45

MN BE⇒BKN =MNO= (đồng vịvà có tam giác MONvng cân)

BNK ONC

⇒ ∆ ∆ (vì có    

; 45 )

BNK =ONK BKN =OCN = NB NO NK NC

⇒ =

- Xét ∆BNO;∆KNCcó BNO CNK; NB NO BNO KNC NK NC

= = ⇒ ∆ ∆

 

45

NKC NBO

⇒ = =

Vậy ta có:    0

45 45 90

BKC =BKN +CKN = + = ⇒CK ⊥BE

4) – Vì KH / /OM mà MK ⊥OK ⇒MK ⊥ KH ⇒ NKH =900 mà

    

45 45 45

NKC = ⇒CKH = ⇒BKN =NKC =CKH =

Xét ∆BKCcó  BKN = NKC⇒KNlà phân giác ∆BKC, mà KH ⊥ KN KH

⇒ phân giác BKC KC HC KB HB

∆ ⇒ =

Chứng minh tương tựta có : KN BN

KH = BH

Vậy ta có KC KN NC HC BN CN BH 1 KB + KH + BH = HB + BH + BH = = BH =

1) Cho hình thang ABCDvng A D Biết CD=2AB=2AD BC =a 2

a) Tính diện tích hình thang ABCDtheo a

b) Gọi Ilà trung điểm BC,H chân đường vng góc kẻ từ Dxuống AC.

Chứng minh  45

HDI =

2) Cho tam giác ABCcó BC =a CA, =b AB, =c.Độdài đường phân giác

của tam giác kẻ từcác đỉnh A B C, , l l la, , b c Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1

a b c

l + + > + +l l a b c

Lời giải

1)

a) Gọi E trung điểm CD, ABEDlà hình vng BEClà tam giác vng

cân

Từđó suy AB= AD=a BC, =2a

Diện tích hình thang ABCDlà ( ) ( )

2

. 2 . 3

2 2 2

AB CD AD a a a a

S = + = + =

b)  ADH =ACD(1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc)

Xét hai tam giác ADC IBDvuông D B có: 1

, 2 AD IB

DC = BC = hai tam giác ADCvà IBDđồng dạng

Suy  ACD=BDI (2) Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒ ADH =BDI

Mà    

45 45

ADH +BDH = ⇒BDI +BDH = hay HDI =450

2)

H

I B

C E

A

Gọi AD đường phân giác tronggóc A, qua C kẻđường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M

Ta có:  BAD=AMC(hai góc vịtrí đồng vị)  

DAC = ACM (hai góc vị trí so le trong)

Mà BAD =DAC nên  AMC = ACM hay ∆ACM cân A, suy AM = AC=b

Do AD/ /CM nên AD BA c

CM = BM =b+c

Mà 2 1 1 1 1 (1)

2 a 2

c AD

CM AM AC b

b c b l b c

 

< + = ⇒ > ⇒ >  + 

+  

Tương tựta có: 1 1 1 (2);1 1 1 1 (3) 2

b c

l c a l a b

   

> +  =  + 

   

Cộng ( ) ( ) ( )1 ; ; 3 vế theo vếta có điều phải chứng minh

Câu 60 Cho hình vng ABCDcó ACcắt BDtại O M, điểm thuộc cạnh BC

(M khác B C, ) Tia AM cắt đường thẳng CDtại N Trên cạnh AB lấy điểm E cho

BE =CM

a) Chứng minh ∆OEM vuông cân

b) Chứng minh : ME / /BN

c) Từ C kẻ CH ⊥BN H( ∈BN). Chứng minh ba điểm O M H, , thẳng hàng

Lời giải

M

D A

B

a) Xét ∆OEBvà ∆OMC

Vì ABCDlà hình vng nên ta có : OB=OC

Và   1 45

B =C = ( ) BE =CM gt

Suy ∆OEM = ∆OMC c g c( )

OE OM

⇒ = O 1 =O3

Lại có:   

2 90

O +O =BOC = tứgiác ABCDlà hình vng

  

2 90

O O EOM

⇒ + = = kết hợp với OE=OM ⇒ ∆OEM vng cân O

b) Từgiảthiết ABCDlà hình vuông⇒ AB=CDvà AB/ /CD

/ / / / AM BM

AB CD AB CN

MN MC

+ ⇒ ⇒ = (định lý Ta-let) ( )*

Mà BE =CM gt( )và AB=CD⇒ AE= BM thay vào ( )*

Ta có: AM AE ME / /BN

MN = EB ⇒ (theo Định lý Talet đảo)

c) Gọi H'là giao điểm OMvà BN

Từ ME / /BN⇒OME =MH B'

Mà  45

OME= ∆OEM vng cân O⇒MH B' =450 =C1

'

OMC BMH

⇒ ∆  ∆ ( )g g.

, OM MC

BM MH

⇒ = kết hợp OMB =CMH'(hai góc đối đỉnh)

 

'( ) ' 45

OMB CMH c g c OBM MH C

⇒ ∆ ∆ ⇒ = =

Vậy   

' ' ' 90 '

BH C =BH M +MH C = ⇒CH ⊥BN

Mà CH ⊥BN H( ∈BN)⇒H ≡ H'hay điểm O M H, , thẳng hàng (đpcm)

Câu 61

O

H E

N C

D

A B

M

Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn Các đường cao AD BE CF, , cắt H

a) Chứng minh rằng: BD DC. =DH DA.

b) Chứng minh rằng: HD HE HF 1. AD + BE + CF =

c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M N P Q I K, , , , , trung điểm đoạn thẳng BC CA AB, , ,

, , .

EF FD DE Chứng minh ba đường thẳng MQ NI PK, , đồng quy

điểm

Lời giải

a) Chỉra BDH ADC g g( ) BD DH BD DC. DH DA. AD DC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

b) Ta có:

1 . 2 1

. 2

HBC ABC

HD BC

S HD

S = AD BC = AD

Tương tự HAC ; HAB

ABC ABC

HE S HF S BE = S CF = S

Do đó: HBC HAC HAB ABC 1

ABC ABC

HD HE HF S S S S

AD BE CF S S

+ +

+ + = = =

c) Chứng minh ∆AEF ∆ABC c g c( . )⇒ AEF = ABC

Tương tự:  DEC= ABC.Do đó:  AEF =DEC

Mà    

90

AEF +HEF =DEC+HED= nên  HEF =HED EH

⇒ phân giác ngồi góc EFD

Do H giao đường phân giác tam giác DEF

K I

Q

P N

M H

F

E

D A

d) Do ∆BECvuông E, M trung điểm BC nên 1

2

EM = BC(trung tuyến ứng với

cạnh huyền), Tương tự: 1

2 FM = BC

Do đó: ∆EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên MQ⊥EF MQ

⇒ đường trung trực EFhay MQlà đường trung trực tam giácDEF.

Hoàn toàn tương tự, chứng minh NIvà PK đường trung trực tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ NI PK, , đồng quy điểm

Câu 62

Cho tam giác ABCcân Acó AB= AC=b BC; =a.Đường phân giác BDcủa

tam giác ABCcó độdài cạnh bên tam giác ABC.Chứng minh rằng: ( )2

1 1 b

b− =a a+b

Lời giải

VẽBH đường cao tam giác ABC

Tam giác BADcân B (BA=BD)có BH đường cao nên đường trung tuyến 2

AD AH

⇒ =

Tam giác ABCcó BD đường phân giác, ta có:

2

DA AB b DA DC DA DC AC b b DA

DC BC a b a a b a b a b a b +

= = ⇒ = = = = ⇒ =

+ + + +

Tam giác HABvuông H, theo định lý Pytago ta có:

2

2 2 2

(1) 4

AD

AB =BH +AH ⇒BH =b −

Tam giác HBCvuông H, theo định lý Pytago, ta có: H

D A

B

( )2

2 2 2

2

2 2

2

. (2)

4

AD BC BH HC BH BC AC AH a b

AD BH a b b AD

 

= + ⇒ = − − = − − 

 

⇒ = − + −

Từ(1) (2) ta có:

2

2 2 2

. .

4 4

AD AD

b − =a −b +b AD− ⇒b −a =b AD−b

( )( )

( ) ( )

2

2

1 1

ab a b b b

b a b a

a b ab a b b a a b

− −

⇒ + − = ⇒ = ⇒ − =

+ + +