Trắc nghiệm toán 8

Qua O vẽ những đường th ẳng song song với ba cạnh của tam giác.Các đường thẳng này chia tam giác ABC thành ba hình bình hành và ba tam giác nh ỏ.Gọi diện tích của các tam giác đó là S[r]



Tài liệu sưu tầm

TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP

Phần I HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Do thay đổi tính chất phương pháp thi năm học nên việc ơn tập thay đổi Hình thức thi trắc nghiệm phổ biến môn thi Để đáp ứng thi trắc nghiệm cần phải đạt mức độ kiến thức:

1.Nhận biết

* Nhận biết hiểu học sinh nêu nhận khái niệm, nội dung, vấn đề học yêu cầu

* Các hoạt động tương ứng với cấp độ nhận biết là: nhận dạng, đối chiếu, ra…

* Các động từ tương ứng với cấp độ nhận biết là: xác định, liệt kê, đối chiếu gọi tên, giới thiệu, ra,…nhận thức kiến thức nêu sách giáo khoA

Học sinh nhớ (bản chất) khái niệm chủ đề có nêu nhận khái niệm yêu cầu Đây bậc thấp nhấ nhận thức, học sinh kể tên, nêu lại, nhớ lại kiện, tượng Chẳng hạn mức độ này, học sinh cần có kiến thức hàm số bậc để thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng để tìm tọa độ điểm phù hợp

Ví dụ Giá trị nhỏ biểu thức P=25x2−3y2−10x−11 là: A 10 B 11 C 12 D 9

Đáp án A

Ví dụ 2. Cho hình thang cân ABCD AB( // CD) có hai đường chéo vng góc đường cao AH =h Khi tổng S hai đáy là:

A S =2h B S =3h C

S = h D

2

S = h Đáp án A

Ví dụ 3. Cho a+ + + =b c d Khi giá trị nhỏ biểu thức: P=a2+b2+c2+d2 là: A 4 B 2 C 1 D 3

Đáp án C

2 Thông hiểu

* Học sinh hiểu khái niệm bản, có khả diễn đạt kiến thức học theo ý hiểu sử dụng câu hỏi đặt tương tự gần với ví dụ học sinh học tập lớp

* Các hoạt động tương ứng với cấp độ thông hiểu là: diễn giải, kể lại, viết lại, lấy ví dụ theo cách hiểu mình…

Học sinh hiểu khái niệm sử dụng câu hỏi đặt gần với ví dụ học sinh học lớp

Ví dụ Giá trị lớn biểu thức

2

2

2

x x

P

x x

+ +

=

+ + là:

A 7

3 B

4 C 2 D

Đáp án A

Ví dụ Cho tam giác ABC AC( > AB) Lấy điểm ,D E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB AC, cho BD=CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE BC, Đáp án đúng?

A KE BA

KD = BC B

KE AB

KD = AC

C KE CB

KD = CA D Cả ba kết sai Đáp án B

Ví dụ Phương trình (2x2−3x−1) (2−3 2x2−3x− −5) 16=0 có nghiệm? A Có nghiệm B Có nghiệm

C Có nghiệm D Có nghiệm

Đáp án D

3 Vận dụng

* Học sinh vượt qua cấp độ hiểu đơn sử dụng, xử lý khái niệm chủ đề tình tương tự khơng hồn tồn giống tình gặp lớp Học sinh có khả sử dụng kiến thức, kĩ học tình cụ thể, tình tương tự khơng hồn tồn giống tình học lớp (thực nhiệm vụ quen thuộc thông thường)

* Các hoạt động tương ứng với vận dụng cấp độ thấp là: xây dựng mơ hình, vấn, trình bày, tiến hành thí nghiệm, xây dựng phân loại, áp dụng quy tắc (định lí, định luật, mệnh đề…), sắm vai đảo vai trò,…

* Các động từ tương ứng với vận dụng cấp độ thấp là: thực hiện, giải quyết, minh họa, tính tốn, diễn dịch, bày tỏ, áp dụng, phân loại, sửa đổi, đưa vào thực tế, chứng minh, ước tính, vận hành…

độ học tập rèn luyện Các vấn đề tương tự tình thực tế học sinh gặp ngồi mơi trường

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S ABCD, chiều cao 15cm, thể tích 1280cm3 Khi diện tích xung quanh Sxq hình chóp là:

A Sxq =548cm3 B Sxq =542cm3

C Sxq =546cm3 D Sxq =544cm3 Đáp án D

Ví dụ Với x số thực, tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

1

4

P x

x

= + +

+ Đáp

án đúng?

A minP=2 B min

2

P=

C minP=3 D Cả ba kết sai

Đáp án B

Ví dụ Cho phương trình

2

4

1

m m

x − x+ = x +x Phương trình có nghiệm x<3 giá trị

của tham số m thỏa mãn:

A m>6 B m<4 C

( )

6

4

m

m m

> 

 < ≠

 D ( )

6

4 0,

m

m m m

> 

 < ≠ ≠ 

Đáp án D

4 Vận dụng mức độ cao

Học sinh có khả sử dụng khái niệm để giải vấn đề không quen thuộc, chưa học trải nghiệm trước đây, giải kỹ kiến thức dạy mức độ tương đương Những vấn đề tương tự tình thực tế học sinh gặp ngồi moi trường lớp họC

Ở mức độ học sinh phải xác định thành tố tổng thể mối quan hệ qua lại chúng; phát biểu ý kiến cá nhân bảo vệ ý kiến kiện, tượng hay nhân vật lịch sử

Ví dụ 1. Các số thực , ,a b c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 =1 Khẳng định đúng? A abc+2 1( + + + +a b c ab+bc+ca)≤ −2

C abc+2 1( + + + +a b c ab+bc+ca)≥1 D abc+2 1( + + + +a b c ab+bc+ca)≥0

Đáp án D

Ví dụ 2. Tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao BD CE, Gọi ,H K hình chiếu ,B C đường thẳng ED Đáp án đúng?

A SBEC +SBDC =SBHKC B

BEC BDC BHKC

S +S = S

C SBEC +2SBDC =SBHKC D 2SBEC +SBDC =2SBHKC Đáp án A

Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng d cắt AB BC BD, , , ,

M N I Khẳng định đúng? A BA BC 2BD

BM + BN = BI B 2

BA BC BD

BM + BN = BI

C BA 2BC 2BD

BM + BN = BI D

BA BC BD

BM +BN = BI Đáp án D

Ở thi trắc nghiệm thường yêu cầu giải nhanh không rườm rà, yêu cầu kiến thức rộng bao quát Nếu em theo phương pháp “chậm chắc” bạn phải đổi từ “chậm” thành “nhanh” Giải nhanh chìa khóa để bạn có điểm cao môn thi trắc nghiệm Với thi nặng lí thuyết u cầu ghi nhớ nhiều hơn, em nêu trọng phần liên hệ

Ngoài việc sử dụng kiến thức để làm thi, em vận dụng thêm pương pháp sau đây:

- Phương pháp đoán: Dựa vào kiến thức học, đưa đoán để tiết kiệm thời gian làm

- Phương pháp loại trừ

Một em khơng có cho đáp án thực xác phương pháp loại trừ cách hữu hiệu giúp bạn tìm câu trả lời Mỗi câu hỏi thường có đáp án, đáp án thường khác nhiều nội dung, nhiên có sở để em dùng phương án loại trừ “mẹo” cộng thêm chút may mắn nữA Thay tìm đáp án đúng, bạn thử tìm phương án sai…đó cách hay loại trừ nhiều phương án tốt

Thi trắc nghiệm nhằm muc đích vừa đảm bảo hiểu rộng kiến thức vừa đảm bảo thời gian nên em cần phân bố thời gian cho hợp lý

PHẦN II CÁC CHỦ ĐỀ Chủ đề

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I Kiến thức

1 Nhân đa thức

- Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với

- Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với

- Quy tắc nhân đơn thức với đa thức vận dụng theo chiều ngược lại:

( )

A B+A C = A B+C

- Nếu hai đa thức P x( ) Q x( ) ln có giá trị với giá trị biến hai đa thức gọi hai đa thức đồng nhất, ký hiệu P x( )≡Q x( ) Hai đa thức P x( ) Q x( ) đồng hệ số lũy thừa bậc Đặc biệt,

( )

0

n n

n n

P x =a x +a x − + +a − x+a ln với x a0 =a1 = =an =0 2 Những đẳng thức đáng nhớ

( )2 2 2

2

a+b =a + ab b+ (a b− )2 =a2−2ab b+

( )3 3 2 2 3

3

a+b =a + a b+ ab +b (a b− )3=a3+3a b2 +3ab2−b3

( )( )

2

a −b = a b a− +b (a3−b3)=(a−b)(a2+ab+b2)

( )( )

3 2

a +b = a+b a −ab+b (a+ +b c)2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

( )( 2 1)

n n n n n n

a −b = a−b a − +a − b+ +ab − +b − , với n∈,n≥2

( )( )

2 2 2 2 2

n n n n n n n

a + +b + = a+b a −a −b+a − b − −ab − +b , n∈*

3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Phương pháp đặt nhân tử chung

( )

ab+ac−ad =a b+ −c d

( ) ( ) ( )( )

ac−ad +bc bd− =a c−d +b c−d = c−d a+b

- Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử

( ) ( ) ( )( )

2

4x −8x+ =3 4x −2x−6x+ =3 2x 2x− −1 2x− =1 2x−1 2x−3 - Phương pháp thêm bớt hạng tử

( )2 ( )2 ( )( )

4 2 2

4 4 2 2 2

x + = x + x + − x = x + − x = x + x+ x − x+ x - Phương pháp đổi biến

Phân tích thành nhân tử: P=(x2−1)2−12(x2− +1) 27 Đặt

1

t =x − , ta được:

( ) ( ) ( )( )

2

12 27 27 3

P= −t t+ = − − +t t t =t t− − t− = −t t−

Từ ta có:P=(x2−4)(x2−10)=(x−2)(x+2)(x2−10) 4 Chia đa thức

- Chia đơn thức P cho đơn thức Q: Chia hệ số P cho hệ số Q; chia lỹ thừa biến P cho lũy thừa biến Q nhân kết với

- Chia đa thức P cho đơn thức Q: Ta chia hạng tử P cho Q cộng kết với

- Chia đa thức P cho đa thức Q: Cho P Q hai đa thức tùy ý biến (B≠0) Khi tồn cặp đa thức T R cho P=Q T +R, R=0, bậc R nhỏ bậc Q T gọi đa thức thương, R gọi đa thức dư phép chia P cho Q Nếu R=0 ta nói P chia hết cho Q

- Định lý Bozu: Số dư phép chia đa thức P x( ) cho nhị thức bậc x−a

( )

P a

Chẳng hạn, số dư phép chia đa thức P x( )=x3−6x+5cho x−2

( )

2 6.2

P = − + = Số dư phép chia đa thức P x( )=x3−6x+5 cho x−1

( )

1 6.1

P = − + = , có nghĩa P x( ) chia hết cho x−1

-Hệ định lý Bozu: Nếu a nghiệm đa thức P x( ) P x( ) chia hết cho x−a + Đặc biệt, tổng hệ số đa thức P x( ) P x( ) chia hết cho x−1, Nếu

( )

Nếu đa thức P x( ) có nghiệm x=a phân tích P x( ) thành nhân tử, tích chứa nhân tử

x−a

-Cách nhẩm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ đa thức P x( ) với hệ số nguyên: + Nếu P x( ) có nghiệm ngun nghiệm ngun phải ước hệ số tự + Nếu P x( ) có nghiệm hữu tỷ dạng x p;(p q, )

q

= = p ước hệ số tự do, q ước

dương hệ số cao II Ví dụ minh họa 1.Nhận biết

Ví dụ 1: Cho x+ =y 9;xy =14 Khi giá trị P=x2+ y2 là: A 52 B 53 C 54 D 55 Đáp án: B

Hướng dẫn: Ta có: x2+ y2 =(x+y)2−2xy=92−2.14=81 28− =53 Ví dụ 2: Cho ,x y hai số khác nhau, thỏa mãn điều kiện:

( ) ( )2

9x x−y −10 y−x =0.Khi ta có:

A x=10y B x= −10y C y=10x D y= −10x

Đáp án: A

Hướng dẫn: Ta có 9x x( −y)−10(y−x)2 = ⇔0 (x−y)(− +x 10y)=0 Do x≠ y, nên 10y− =x 0, suy x=10y

2 Thông hiểu

Ví dụ 1. Giá trị biểu thức P=x5−100x4+100x3−100x2+100x−9 x=99 là: A 9 B 99 C 90 D 990

Đáp án: C

Hướng dẫn: Do x=99, nên 100= +x 1.Khi ta có:

5

100 100 100 100

P=x − x + x − x + x−

( ) ( ) ( ) ( )

5

1 1 9 99 90

x x x x x x x x x x

= − + + + − + + + − = − = − =

Đáp án: D

Hướng dẫn: Ta có P=x2+9y2+25 6+ xy−10x−30y−6xy+26

( 2 ) ( 2 ) ( ) (2 )2

10 25 30 25 5

x x y y x y

= − + + − + + = − + − +

Từ suy giá trị nhỏ P đạt 5; y

x= = 3 Vận dụng

Ví dụ 1. Cho đa thức P x( ) (= x+5)(ax2+bx+25) Q x( )=x3+125 Ta có P x( )≡Q x( )

khi A

5 a b =   = −

 B

1 a b =   =  C a b = −   = −

 D

1 a b = −   = 

Đáp án: A

Hướng dẫn:

Ta có P x( ) (= x+5)(ax2+bx+25)=ax3+(5a+b x) 2+(5b+25)x+125 Từ suy P x( )≡Q x( )

1

1

5

5 25

a a a b b b =  =   + = ⇔   = −   + = 

Ví dụ 2. Xác định hệ số a b cho đa thức x4+ax3+b chia hết cho đa thức x2−1 Các giá trị cần tìm là:

0 a b =   =  B a b =   =  C a b =   = −

 D

1 a b = −   = 

Đáp án C

Hướng dẫn: Gọi đa thức thương T Ta có x4+ax3+ =b (x−1)(x+1 )T

Vì đẳng thức với x, nên ta cho x=1;x= −1 ta được:

1 0

1

a b a

a b b

+ + = =

 

⇔

 − + =  = −

 

4 Vận dụng nâng cao

Ví dụ 1. Cho đa thức P=xy x( +y)+ yz y( +z)+zx z( +x)+2xyz Đẳng thức sau

đúng?

B P=xy x( +y)+ yz y( +z)+zx z( +x)+2xyz=2(x+y)(y+z)(z+x)

C P=xy x( +y)+ yz y( +z)+zx z( +x)+2xyz=(x+ y)(y+z)(z−x)

D P=xy x( +y)+ yz y( +z)+zx z( +x)+2xyz=2(x−y)(y+z)(z+x)

Đáp án A

Hướng dẫn: Thay x bới −y P= yz y( +z)−yz z( −y)−2y z2 =0 Từ suy P chia hết cho x− − = +( )y x y, P phải chứa thừa số x+y

Do vai trò , ,x y znhư nhau, nên P có dạng: P=k x( +y)(y+z)(z+x)

Đẳng thức với , y,zx nên cho x= = =y z 1, ta 8= k, suy k =1

Ví dụ 2. Có giá trị số nguyên m cho đa thức (x+m)(x− +3) phân tích thành (x+a)(x+b) với ,a b số ngun a≤b

A Khơng có giá trị B Có giá trị C Có giá trị D Có giá trị Đáp án C

Hướng dẫn: Vì (x+m)(x− + =3) (x+a)(x+b) với x, nên cho x=3 ta

(x+a)(x+b)=7

Số viết dạng tích số nguyên hai cách 1.7 ( ) ( )−1 −7 Vì a≤ ⇒ + ≤ +b x a x b, nên có trường hợp:

Trường hợp 1:

3

a a

b b

+ = = −

 

⇔

 + =  =

 

Từ giả thiết, suy (x+m)(x− + =3) (x−2)(x+4) Cho x=2, suy (2+m)( )− + = ⇒ =1 m

Trường hợp 2: 10

3

a a

b b

+ = − = −

 

⇔

 + = −  = −

 

Từ giả thiết, suy (x+m)(x− + =3) (x−10)(x−4) Cho x=4, suy (4+m).1 7+ = ⇒ = −0 m 11

1.Xác định hệ số , ,a b c biết (2x−5 3)( x+b)=ax2+ +x c với x Các giá trị cần tìm là:

A

6

40

a b c

=   =   = − 

B

6 40

a b c

=   = −   = − 

C

6

40

a b c

= −   =   = − 

D

6 40

a b c

=   =   = 

2. Cho x+ =y 9;xy=14 Khi giá trị x3+y3 là:

A 350 B 351 C 352 D 349

3. Giá trị nhỏ biểu thức P=25x2+3y2 =10x+11 là: A 10 B 11 C 12 D 9

4. Giá trị lớn biểu thức P=2x−x2 là:

A 0 B 1 C 2 D 3

5. Cho x> >y x− =y 7; xy =60 giá trị biểu thức x2−y2 là: A 120 B 121 C 118 D 119 6. Cho x+ + =y z Đẳng thức đúng?

A x3+y3+z3 =3xyz B x3+y3+z3 =9xyz

C x3+y3+z3=27xyz D x3+y3+z3 =xyz

7.Đa thức P=12x3+4x2−27x−9 phân tích thành: A P=12x3+4x2−27x− =9 (2x+3) (2 3x−1)

B P=12x3+4x2−27x− =9 (2x−3) (2 3x+1) C P=12x3+4x2−27x− =9 (2x−3) (2 3x−1)

D P=12x3+4x2−27x− =9 (2x+3 2)( x−3 3)( x+1) 8.Cho đa thức P= x4+5x3+10x−4 Đáp án đúng?

A Đa thức P phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên B Đa thức Pphân tích thành tích hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên

C Đa thức P phân tích thành tích bốn nhị thức bậc với hệ số nguyên

D Đa thức P phân tích thành tích nhị thức bậc với đa thức bậc ba với

Câu

Đáp án A B A B D A D B

2 Thông hiểu

1. Cho b+ =c 10 Đẳng thức đúng?

A (10a+b)(10a+c)=100a a( + −1) bc B (10a+b)(10a+c)=100a a( + −1) 2bc

C (10a+b)(10a+c)=100a a( + +1) 2bc D (10a+b)(10a+c)=100a a( + +1) bc

2. Giá trị nhỏ biểu thức P=(x−3) (2+ x−11)2 là:

A 30 B 31 C 32 D 29

3. Giá trị lớn biểu thức P=19 6− x−9x2 là:

A 20 B 10 C 30 D 40

4. Cho x> >y 0và x− =y 7; xy =60 giá trị biểu thức x4+y4 là: A 21360 B 21361 C 21362 D 21359

5. Cho x− =y giá trị biểu thức P=2(x3−y3)−3(x+y)2 là:

A 21360 B 21361 C 21362 D 21359

6.Đa thức P=x2(x2− −6) x2+9 phân tích thành: A P=x2(x2− −6) x2+ =9 (x2− −x 9)(x+ −x 1)

A (x+ +y z)3−x3−y3−z3 =(x+y)(y+z)(z+x)

B (x+ +y z)3−x3−y3−z3 =2(x+ y)(y+z)(z+x)

C (x+ +y z)3−x3−y3−z3 =3(x+y)(y+z)(z+x)

D (x+ +y z)3−x3−y3−z3 =6(x+y)(y+z)(z+x)

Đáp án

Câu 1 2

Đáp án D C A B B B D C

3 Vận dụng

Câu 1. Giá trị đa thức P x( )=x7−26x6+27x5−47x4−77x3+50x2+ −x 24 x=25 A 2 B 1 C −1 D −2

Câu 2. Trong mệnh đề sau, có mệnh đề đúng?

( )( )( )( )( 16 ) 32

2 2+ +1 +1 +1 + =1 −1; Tồn số x, y cho

2

3x +y +10x−2xy+26=0; 1002+1032+1052+942 =1012+982+962+1072; Nếu A=5x+ y chia hết cho 19 B=4x−3y chia hết cho 19

A Có mệnh đề B Có mệnh đề C Có mệnh đề D Cả mệnh đề Câu 3. Trong mệnh đề sau có mệnh đề sai?

Nếu a=4x+3y chia hết cho 13 B=7x+2y chia hết 13;

Trong bốn số lẻ liên tiếp hiệu tích hai số cuối với tích hai số đầu chia hết cho 16; Hai chữ số tận số 43; S43 ố   ( *)

2

11 88

n n

n

= + ∈ số phương

A Có mệnh đề sai B Có mệnh đề sai C Có mệnh đề sai D Cả mệnh đề sai Câu 4:Giá trị nhỏ biểu thức P=(x+1)(x−2)(x−3)(x−6) là: A.-35 B. -34 C. -37 D. -36

Câu 5:Biểu thức P=(x− −y 1)3− − +(x y 1)3+6(x−y)2 có giá trị là: A.1 B. -1 C. -2 D. -3

Câu 6:Số 7433−6923có tận chữ số ?

Câu 7:Trong mệnh đề sau có mệnh đề sai ? Số 432+43.17 chia hết cho 60; Số

5 11

27 −3 chia hết cho 80; Số 2110−1 chia hết cho 200; Số 3920+3913chia hết cho 40 A.Có mệnh đề sai B.Có mệnh đề sai

C.Có mệnh đề sai D.Khơng có mệnh đề sai

Câu 8:Các số x, y khác thỏa mãn điều kiện: x2− =y y2−x Khi giá trị biểu

thức P=x2+2xy+y2−3x−3y là:

A.2 B. C. D.

ĐÁP ÁN

Câu

Đáp án B C A D C B D C

4 Vận dụng nâng cao

Câu 1: Trong mệnh đề sau có mệnh đề ?

Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 =ab bc+ +ca a= =b c

Biểu thức x2+ +x luôn dương với x; Biểu thức x2−xy+ y2 luôn dương với

mọi x, y không đồng thời 0; Biểu thức 4x−10−x2 ln ln âm với x A.Có mệnh đề B.Có mệnh đề

C.Có mệnh đề D.Cả mệnh đề Câu 2:Trong mệnh đề sau có mệnh đề ?

Hai số chẵn đơn vị hiệu bình phương chúng chia hết cho 16; Hai số lẽ đơn vị hiệu bình phương chúng chia hết cho 24; Cho

2

a+ + =b c p p2+(p−a)2+(p−b)2+(p−c)2 =a2+b2+c2 Cho

2 2

; ;

a=m +n b=m −n c= mnvới m> >n a, b, c độ dài ba cạnh tam giác vuông

A.Có mệnh đề B.Có mệnh đề

C.Có mệnh đề D.Cả mệnh đề Câu 3:Cho x, y thỏa mãn điều kiện:

2 2

(x+2 )(y x −2xy+4y )=0;(x y)(x− +2xy+4y )=16 giá trị x, y là:

A.

x y

=   = −

 B.

2

x y

=   =

 C.

2

x y

= −   = −

 D.

2

x y

= −   = 

Câu 4:Số6853+3153có tận chữ số ?

Câu 5:Cho a+ + + =b c d Đẳng thức ? A. 3 3

3( )( )

a +b + +c d = b−c ad −bc B. 3 3

3( )( )

a +b + +c d = b+c ad −bc C.a3+b3+ +c3 d3 =3(b+c ad)( +bc) D.a3+b3+ +c3 d3 =3(b−c ad)( +bc) Câu 6:Cho đa thức x4−2x3+3x2+ax+blà bình phương đa thức

A.

a b

=   = −

 B.

2

a b

=   =

 C.

2

a b

= −   = −

 D.

2

a b

= −   = 

Câu 7:Trong mệnh đề sau có mệnh đề đúng?

Số 260 +530chia hết cho 41; Số 20172019+20192017 chia hết cho 2018; Số 24 1(n+ n∈) không chia hết cho 23; Số 11 122 (  )

n n

n∈ tích hai số nguyên liên tiếp A.Có mệnh đề B.Có mệnh đề

C.Có mệnh đề D.Cả mệnh đề Câu 8:Trong mệnh đề sau có mệnh đề ?

Số 9994+999 có tận chữ số 0; Số 495−49 chia hết cho 100; Lập phương số nguyên trừ số nguyên chia hết cho 6; Nếu tổng số nguyên chia hết cho tổng lâp phương chúng chia hết cho

A.Có mệnh đề B.Có mệnh đề C.Có mệnh đề D.Cả mệnh đề Câu 9:Đa thứcP=x y8 8+x y4 4+1được phân tích thành:

A.P=x y8 8+x y4 4+ =1 (x y2 2−xy+1)(x y2 2+xy+1)(x y4 4−x y2 2+1) B.P=x y8 8+x y4 4+ =1 (x y2 2−xy+1)(x y2 2+xy−1)(x y4 4−x y2 2−1)

C. 8 4 2 2 4 2

1 ( 1)( 1)( 1)

P=x y +x y + = x y −xy+ x y +xy+ x y +x y +

D. 8 4 2 2 4 2

1 ( 1)( 1)( 1)

P=x y +x y + = x y −xy− x y +xy+ x y −x y −

ĐÁP ÁN C

Câu

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I Kiến thức

1 Định nghĩa, tính chất Rút gọn phân thức quy đồng mẫu nhiều phân thức

- Phân thức đại số biểu thức có dạng A

B, A, B đa thức B≠0 Đặc

biệt, đa thức coi phân thức với mẫu thức

A C

B = D , (B,D 0)A D = B C ≠

- Tính chất phân thức: +

A A M

B = B M (M đa thức khác 0)

+ : N : N

A A

B = B (N nhân tử chung A B)

+ A A

B B

− =

− (quy tắc đổi dấu)

- Rút gọn phân thức:

+ Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung + Chia tử mẫu cho nhân tử chung (nếu có)

- Quy đồng mẫu nhiều phân thức:

+ Phân tích mẫu thành nhân tử tìm mẫu thức chung + Tìm nhân tử phụ mẫu thức

+ Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tương ứng Ví dụ:Cho 2 2

8

xy

x +y = , rút gọn phân thức

2

2

2

x xy y

P

x xy y

− +

=

+ +

Từ giả thiết ta có: 5(x2+y2)=8xy Từ suy

2 2

2 2

5( ) 5( ) 10 10

5( ) 5( ) 10 10 18

x xy y x y xy xy xy xy

P

x xy y x y xy xy xy xy

− + + − − −

= = = = = −

+ + + + +

2 Phép cộng phép trừ phân thức đại số

- Muốn cộng hai phân thức mẫu, ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu thức Muốn cộng hai phân thức có mẫu khác nhau, ta quy đồng mẫu thức cộng phân thức mẫu vừa tìm

- Phép cộng phân thức có tính chất giao hoán, kết hợp - Hai phân thức gọi đối nhau, tổng chúng +) A A A

B B B

−

− = =

−

+) A A A

B B B

−

− = − =

−

+) A C A C

B D B D

 

− = + − 

 

Ví dụ:Thực phép tính

2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

x yz y zx z xy

P

x y x z y z y x z x z y

− − −

= + +

+ + + + + +

Ta có:

2

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

x yz x xy xy yz x x y y x z x y

x y x z x y x z x y x z x z x y

− = + − − = + − + = −

+ + + + + + + +

Tương tự: ;

( )(y ) ( )(z )

y zx y x z xy z x

y z x y z y x z x y z y z x

− = − − = −

+ + + + + + + +

Từ suy

1

x y y x z x

P

x z x y y z y x z y z x

     

= −  + −  + − = − =

+ + + + + +

     

3 Phép nhân phép chia phân thức đại số

; : ,

A C A C A C A D A D C

B D B D B D B C B C D

 

= = =  ≠ 

 

Phép nhân phân thức đại số có tính chất giao hốn, kết hợp phân phối phép cộng

Ví dụ: Cho A x y; B y z;C z x

x y y z z x

− − −

= = =

+ + + Chứng minh rằng:

(1 A)(1 B)(1 C)+ + + = −(1 A)(1 B)1 C)− −

Ta có: A x y 2x ; B 2y ; C 2z

x y x y y z z x

−

+ = + = + = + =

2 2 A x y y ; B z ; C x

x y x y y z z x

−

− = − = − = − =

+ + + +

Từ suy

8 (1 A)(1 B)(1 C) (1 A)(1 B)1 C)

( )( )( )

xyz

x y y z z x

+ + + = − − − =

+ + +

4 Biến đổi biểu thức hữu tỷ

- Một phân thức đại số biểu thức biểu thị dãy phép toán; cộng, trừ, nhân, chia phân thức gọi biểu thức hữu tỷ

Ta biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức

- Khi giải toán liên quan đến giá trị biểu thức trước tiên phải tìm điều kiện biến (hoặc nhiều biến tham gia biểu thức) cho biểu thức có nghĩa (chẳng hạn mẫu thức phải khác 0)

Ví dụ:Biến đổi biểu thức

2 2 2

2

2

:

x x y y x xy y

P

x x xy xy y xy x y

 −  − +

= − + − 

− − −

 

thành phân thức hữu tỷ Ta có:

2 2 2

2

:

( ) (x )

x x y y x xy y

P

x x x y xy y y x y

 −  − +

= − + − + 

− − −

 

ĐK: x≠0;y≠0;x≠ y Khi ta có:

2 2

2

2

2

2 ( )(x y) xy ( )

2 ( )(x )

( )

x y x y x y

P

x xy x y x xy y

x y xy y x y x y y x

x xy x y x xy y x xy xy

+ − − + − = − − − + + − + − + − = − = − = − − +

II Ví dụ minh họa 1 Nhận biết

Ví dụ 1: Kết tổng: 1

( 1) ( 1)( 2) ( 99)( 100)

P

x x x x x x

= + + +

+ + + + + là:

A. 100 ( 100) P x x = + B. 101 ( 100) P x x = + C. 100 ( 101) P x x = + D. 101 ( 101) P x x = +

1 1 1 1 100

1 99 100 100 ( 100)

P

x x x x x x x x x x

     

= −  + − + + − = − =

+ + + + + + +

     

Ví dụ 2:Kết tổng:

2 2 2 2

1

3 19 90 10

a a a a

P

x ax x ax a x ax a x ax a x a

= + + + + +

+ + + + + + + +

A.P a

= B.P

x

= C.P x

a

= D.P a

x

=

Đáp án B Ta có:

( ) ( )(x ) ( )(x 10 a)

1 1 1 1

2 10 10

a a a

P

x x a x a a x a

x x a x a x a x a x a x a x

= + + +

+ + + + +

     

= −  + − + + − + =

+ + + + + +

     

2 Thơng hiểu

Ví dụ 1: Sau thực phép tính, biểu thức:

2 2

2 2 ( ) ( ) ( )

( )( )( )

x y y z z x

P

x y y z z x x y y z z x

− + − + −

= + + +

− − − − − − có giá trị

A.P=1 B.P= −1 C.P=0 D.P=2 Đáp án C

Ta có:

[ ]

2 2

2

2( )( ) 2(x y)(z x) 2(x y)(y z) (x y) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

y z z x y z z x

P

x y y z z x

x y y x z x

x y y z z x

− − + − − + − − + − + − + −

=

− − −

− + − + −

= =

− − −

Ví dụ 2: Biểu thức

2

( )(y z) (y )(y ) (z )(y z) ( )(y z)(z x)

yz zx xy xyz

P

x y z x x x y

= + + +

+ + + + + + + + + có giá trị là:

Đáp án D

[ ]

( ) ( ) ( )

( )( )( )

(x ) (x ) ( ) (x )(yz zx) xy(x y)

( )( )( ) ( )( )( )

(x y) ( ) z(x )(x y) xy(x y)

( )( )( ) ( )( )( )

(

yz y z zx z x xy x y xyz xyz P

x y y z z x

yz y z zx y z xy x y y z

x y y z z x x y y z z x

z x y z xy y z

x y y z z x x y y z z x

+ + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + + + + + = = + + + + + +

= x y)[ ( ) (y )] (x y)( )(z x)

( )( )( ) ( )( )( )

x y z z z y z

x y y z z x x y y z z x

+ + + + = + + + =

+ + + + + +

3 Vận dụng

Ví dụ 1: Cho x y z

y+z + z+x+ x+y =

Khi giá trị biểu thức: P x2 y2 z2

y z z x x y

= + +

+ + + là:

A.P=1 B.P=0 C.P=2 D.P= −1 Đáp án B

Ta có:

2 2

(x y z) ( ) ( )

; ;

x x y y x y z z z x y z

x y z

y z y z z x z x x y x y

+ + + + + +

+ = + = + =

+ + + + + +

Từ suy raP (x y z) (x y z) x y z x y z

y z z x x y

 

+ + + = + +  + + = + +

+ + +

 

Do dó P =

Ví dụ 2: Cho xy=a yz; =b zx; =c a b c( , , ≠0) Khi 2

P=x +y +z nhận giá trị là: A.

4 4

a b c

P

abc

+ +

= B.

4 4

2(a b c )

P

abc

+ +

=

C.

2 2 2

a b b c c a P

abc

+ +

= D.

2 2 2

2(a b b c c a )

P

abc

+ +

=

Đáp án C

Từ giả thiết, ta có x y z2 2 abc x b2 abc x2 ac b

= ⇒ = ⇒ =

Tương tự: 2

;

ab bc

y z

c a

= =

Do vậy,

2 2 2

2 2 ac ab bc a b b c c a

x y z

b c a abc

+ +

+ + = + + =

Ví dụ 1: Các giá trị M, N thỏa mãn

2

32 19

1 2

M N x

x x x x

−

+ =

+ − − − với giá trị x là:

A. 17 15 M N =   =  B. 15 17 M N =   =  C. 17 15 M N = −   = −  D. 15 17 M N = −   = − 

Đáp án A Ta có:

( 2) N(x 1) 32 19

( ) ( ) 32 19 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

32 17

2 19 15

M x x

M N x N M x

x x x x

M N M

M N N

− + + − = ⇒ + + − = − + − + − + = =   ⇒ ⇒ − + = − =  

Ví dụ 2: Cho x y z y x z

y− − = − −z x x z y Khẳng định đúng?

A x= =y z B. x y

z y =   = −  C. x y x z =   = −  D. x y x z z y =   = −   = − 

Đáp án D

Từ giả thiết, ta có:

2 2 2

2 2 2

( )( )( )

x z y x z y y z z x x y

x z y x z y y z z x x y

xyz xyz

x y

x y y z z x x z

z y − − − − = ⇒ − − = − − =   ⇒ − + + = ⇒ = −  = − 

III Bài tập trắc nghiệm 1 Nhận biết

Câu 1:Phân thức

2 2 x x P x + − =

− có tập xác định (TXĐ) là:

A.\{ }2 B.\{ }−2 C.\{ }±2 D. Câu 2:Phân thức

2 3 x y P x y − =

− có tập xác định (TXĐ) là:

A.Với x, y B.Với x≠ y C.Với x≠ −y D.Với x≠ ±y

2 3 4

2 3 4

2018 2017 2018 2017 2018 2017 2018 2017

; ; ;

2018 2017 2018 2017 2018 2017 2018 2017

P= − Q= − R= − S = −

+ + + +

Phân số có giá trị nhỏ nhất?

A.Phân số R B. Phân số S C. Phân số P D. Phân số Q Câu 4:Sau rút gọn phân thức, có kết đúng?

4 2

4 2 2

3

3

4 3 1

; ;

6 7 1

3 4

;

3 17 10

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

− + = − + − − = −

+ − + + + + + +

+ − = + + − − = +

− + − + + + +

A.Có mệnh đề B.Có mệnh đề

C.Có mệnh đề D.Cả mệnh đề Câu 5:Sau thực phép tính, biểu thức:

2 2

2 2 2

2

( ) ( ) ( )( )

x xy y

P

x y x y x x y y x y x y

= − +

− + − + − + rút gọn là:

A.P x y = − B. P x y = + C. x y P x y + = − D. x y P x y − = +

Câu 6: Sau thực phép tính, biểu thức:

1 1

x( )( ) y( )(y ) z(z )(z )

P

x y x z y x z x y

= + +

− − − − − − rút gọn là:

A.P xyz

= B.P

xyz

= C.P

xyz

−

= D.P

xyz

− =

Câu 7: Rút gọn biểu thức 3

2.4 3.5 4.6 ( 2)

P n n       = −  −  −   −  +

      ta

A. n P n +

= B.

2 n P n + = C. n P n =

+ D.

n P n = + ĐÁP ÁN

Câu

Đáp án C B C C A B A

2 Thông hiểu

Câu 1: Trong số: M =2017.4037+2018;N =2018.4037−2019 8070; 2018.2020 2017.2015

A. Có cặp B.Có cặp C.Có cặp D.Có cặp Câu 2: Cho hai phân thức: ! ; ( 1)! !

( 1)!( 1) ( 1)! !

n n n

P Q

n n n n

+ −

= =

− + + + Khẳng định đúng?

A.P = Q B.P > Q C.P < Q D.P.Q > Câu 3:Trong kết sau, có kết đúng?

Biểu thức

2 2

2 2

( )( 1)

( )( 1)

x y y x y

x y y x y

− + + −

+ + + + có giá trị khơng phụ thuộc vào biến y; Biểu thức

2 2

2 2

( )( 1)

( )( 1)

x y y x y

x y y x y

− + + −

+ + + + có giá trị khơng phụ thuộc vào biến x; Biểu thức

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y

x y x z y z y

− + − + −

− + − có giá trị khơng phụ thuộc vào biến z; Biểu thức

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y

x y x z y z y

− + − + −

− + − có giá trị khơng phụ thuộc vào biến x

A.Có mệnh đề B.Có mệnh đề

C.Có mệnh đề D.Cả mệnh đề Câu 4:Sau thực phép tính, biểu thức:

2 16

1 16

x 1 1 1

P

x x x x x

= − − − − −

− + + + + + rút gọn là:

A. 3216

P x

=

− B. 32

32

P x

=

+ C. 32

32

P x

=

− D. 32

16 P x = +

Câu 5: Cho biểu thức:

2 2 2

1 1

(y z)(x ) ( )( ) (x )(z )

P

xz y yz z x y xy z zx y yz x xy

= + +

− + − − − + − − − + − −

Khẳng định đúng?

A.Giá trị biểu thức P phụ thuộc vào biến x B.Giá trị biểu thức P phụ thuộc vào biến y C.Giá trị biểu thức P phụ thuộc vào biến z

D.Giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào biến x,y, z Câu 6:Kết phép tính

2

2 2 3

( ) ( ) (2 )

:

( ) ( ) ( ) 2( )

x y z y x xy xy xz y z

P

x y y z z x x y z xyz

− + − − −

=

− + − + − + + − là:

A.P x y z x z

+ + =

− B.

x y z P

y z

+ + =

− C.

x y z P

x y

+ + =

− D.

x y z P

y z

+ + =

Câu 7:Phân thức 2 2

4

x y P

x y x y

− =

+ + − + có tập xác định (TXĐ) là:

A. Với x, y B.Với x y≠1

C.Với y x≠ −2 D.Với x≠ −2 với y≠1 ĐÁP ÁN

Câu

Đáp án A B A C D B D

3 Vận dụng

Câu 1: Với n số tự nhiên, phân số sau có phân số tối giản?

2 31 30

2

( 1) ( 5) 10

; ; ;

4 20 20

n n n n n n n n

P Q R S

n n n n n n

− + − − + + − + + +

= = = =

− + + + + +

A.Có phân số B.Có phân số C.Có phân số D.Có phân số Câu 2:Trong đẳng thức sau, có kết sai?

20 21

19 18 19 18

2

64 128

2 32 32

1

( 1); ( 1);

1

1

( 1)( 1)( 1) ( 1) ;( 1)( 1)( 1) ( 1)

1

x x

x x x x x x x x

x x

x x

x x x x x x x x

x x − − + + + + = ≠ + + + + = ≠ ± − − − − + + + + = + + + + = − −

A.Có kết sai B.Có kết sai C.Có kết sai D.Có kết sai Câu 3:Cho x+ + =y z 0; ( , ,x y z≠0) Khi giá trị biểu thức:

2 2 2 2 2

(x )( )( )

16

y z y z x z x y

P xyz + − + − + − = A. xyz

P= B.

2

xyz

P= − C.

3

xyz

P= D.

3

xyz P= −

Câu 4:Tích 12 12 12 ( ; 2)

2

P n n

n

    

= −  −   −  ∈ ≥

      là:

A. n P n +

= B.P n

n + = C. n P n =

+ D.

n P

n

= +

Câu 5:Phân thức 2 10

P

x x

=

A.5 B.10 C.1 D.3

Câu 6:Phân thức 2

P

x x

=

− + − có giá trị nhỏ là:

A.-8 B.-2 C.-5 D.-1

Câu 7:Rút gọn biểu thức P 1 1 1

x y z xy yz xz x y z xy yz zx

  

=  + +  + + 

+ + + +    cho ta kết

quả đúng? A.P

xyz

= B.P

xyz

= C.P 212 2

x y z

= D.P 232 2

x y z

=

ĐÁP ÁN

Câu

Đáp án B C B A A B C

4 Vận dụng cao Câu 1: Cho x y z

a = =b c Khi giá trị phân thức

2 2

2

( )

x y z

P

ax by cz

+ +

=

+ + là:

A.

2 2

2 2

1

( )

x y z

P

ax by cz a b c

+ +

= =

+ + + + B.

2 2

2 2

2

( )

x y z

P

ax by cz a b c

+ +

= =

+ + + +

C.

2 2

2 2

3

( )

x y z

P

ax by cz a b c

+ +

= =

+ + + + D.

2 2

2 2

9

( )

x y z

P

ax by cz a b c

+ +

= =

+ + + +

Câu 2: Cho x+ + =y z 0;( , ,x y z ≠0) Khi giá trị biểu thức

2 2

2 2

(x y) ( ) ( )

x y z

P

y z z x

+ + =

− + − + − là:

A.

P= B.

2

P= C.

4

P= D.

3

P=

Câu 3: Cho x3+ y3+z3 =3xyz Biểu thức

(x y)( )( )

xyz P

y z z x

=

+ + + nhận giá

trị khác nhau?

A.Vơ số giá trị khác B.Có giá trị khác C.Có giá trị khác D.Cả ba đáp án sai Câu 4:Tích

4 4 4

4 4 4

1 13 17

3 11 15 19

P= + + + + +

A. 402

P= B.

400

P= C.

403

P= D.

401

P=

5 Tích

( )

4 4

1 1

5 12 21

P n n       = +  +  +   +  +

      có giá trị là:

A. ( )( )

( )( )

5

3 n n P n n + + =

+ + B.

( )( )

( )( )

6

3 n n P n n + + = + +

C. ( )( )

( )( )

3

3 n n P n n + + =

+ + D.

( )( )

( 13)( 24)

n n P n n + + = + +

6. Cho x y P xy − =

+ ;

y z Q

yz

− =

+ ;

z x R

zx

− =

+ Khẳng định đúng?

A.P+ + =Q R P Q R B.P+ + =Q R .P Q R

C.P+ + =Q R P Q R D.P+ + =Q R .P Q R

7. Cho x+ + =y z x, y, z đôi khác Xét

2 yz x P yz x − = + ; 2 zx y Q zx y − = + ; 2 xy z R xy z − =

+ Khẳng định đúng?

A.Tích P Q R có giá trị ln số

B. Tích P Q R nhận vô số giá trị khác nhau, tùy vào giá trị biến x, y, z

C. Tích P Q Rnhận hai giá trị khác nhau, tùy vào giá trị biến x, y, z

D. Tích P Q Rnhận ba giá trị khác nhau, tùy vào giá trị biến x, y, z

Đáp án

Câu

Đáp án A D C D B C A

Chủ đề

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT I Kiến thức

- Phương trình ẩn x có dạng A x( )=B x( ), A x( ) B x( ) hai biểu thức biến x Giá trị x= x0 làm cho hai vế phương trình nhận giá trị gọi nghiệm phương trình Một phương trình có một, hai, ba,… nghiệm, khơng có nghiệm (vơ nghiệm) có vơ số nghiệm Tập hợp tất nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình đó, thường kí hiệu S

- Hai phương trình tương đương hai phương trình có tập nghiệm Hai phương trình tương đương với phương trình thứ ba tương đương với

- Quy tắc chuyển vế quy tắc nhân:

+ Nếu ta chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu phương trình tương đương với phương trình

+ Nếu ta nhân (hay chia) hai vế phương trình với số khác phương trình tương đương với phương trình cho

- Nếu ta cộng đa thức ẩn vào hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho

- Phương trình bậc ẩn phương trình dạng ax+ =b với a, b hai số cho

a≠

Phương trình bậc ax+ =b có nghiệm x b a

= −

- Phương trình đưa dạng ax+ =b (đối với phương trình mà hai vế hai biểu thức hữu tỉ, không chứa ẩn mẫu)

Các bước giải: + Khử mẫu thức

+ Bỏ dấu ngoặc chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế + Thu gọn dạng ax+ =b hay ax = −b

Ví dụ: Tìm giá trị tham số m để phương trình:

( )

3

4 12

x+ − x+ = x− + m

Ta có phương trình tương đương với

( ) ( ) ( )

9 2x+ −1 5x+3 =4 2x− + ⇔1 m 0.x= −m

Từ suy ra, phương trình có nghiệm m− = ⇔7 m=7 (khi phương trình có nghiệm với giá trị x)

2 Phương trình tích

- Cách giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0

n n A x A x

A x A x A x

A x  =  =  = ⇔    = 

Như vậy, muốn giải phương trình tích A x A x1( ) ( ) A xn( )=0ta giải phương trình

( )

1

A x = ; A x2( )=0;…; A xn( )=0 lấy tất nghiệm thu

- Ta biết, đa thức bậc n khơng có q n nghiệm Vì ta giải phương trình bậc n có dạng a xn n+an−1xn−1+ + a x1 +a0 =0 ta phân tích vế trái thành nhân tử Phương trình có khơng q n nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình 16 18 20

49 47 45

x+ x+ x+

+ = −

Thêm vào hai vế phương trình ta được:

16 18 20 65 65 65

1 1

49 47 45 49 47 45

x+ x+ x+ x+ x+ x+

+ + + = + ⇔ + − =

( ) 1

65 65 65

49 47 45

x   x x

⇔ +  + − = ⇔ + = ⇔ = −

  (vì

1 1 49 +47−45 ≠ ) 3 Phương trình chứa ẩn mẫu thức

- Điều kiện xác định phương trình (viết tắt ĐKXĐ) điều kiện ẩn để tất mẫu thức phương trình có giá trị khác

- Các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu thức: + Tìm ĐKXĐ

+ Khử mẫu thức

+ Giải phương trình vừa nhận

+ Loại giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ Các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nghiệm phương trình cho

- Nếu ta biến đổi phương trình thành phương trình khác có tập nghiệm rộng ta gọi phương trình sau phương trình hệ phương trình ban đầu

Khi nhân hai vế phương trình với đa thức bình phương hai vế phương trình, thường dẫn đến phương trình hệ

Ví dụ: Giải phương trình ( )

2 2 3

2

x

x x

x x x

−

+ −

  +   − =

 −   +  −

   

Khi ta có 2 ( )( )

7 6

6

u v

u uv v u v u v

u v

= 

− + = ⇔ − − = ⇔ 

= 

Nếu u=v

2

3

5 6 10 0

2

x x

x x x x x x

x x

+ = − ⇔ + + = − + ⇔ = ⇔ =

− + (thỏa mãn ĐKXĐ)

Nếu u=6v

( )( )

2 7 6 0 1 6 0

6

x

x x x x

x

= 

⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ 

=

 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm

0

x x x

=   =   = 

4 Giải toán cách lập phương trình - Các bước giải tốn cách lập phương trình:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng

- Giải phương trình

- Nhận định kết trả lời

- Khi chọn ẩn số, thường ta chọn trực câu hỏi đề có chọn gián tiếp nhằm mục đích suy luận lập phương trình thuận lợi

Ví dụ:Một sà lan xi dịng từ A đến B 2,5 ngược dòng từ B A

Biết vận tốc dòng nước km/h Tính khoảng cách AB Lời giải

Gọi vận tốc riêng sà lan x km/h (x>3)

Suy vận tốc xi dịng sà lan x+3 (km/h); vận tốc ngược dòng sà lan x−3 (km/h)

Khi 2,5 sà lan xi dịng 2,5(x+3) (km); sà lan ngược dịng 4(x−3) (km)

Vì khoảng cách AB khơng đổi, nên ta có phương trình:

2,5(x+ =3) 4(x− ⇔ =3) x 13 (thỏa mãn điều kiện x>3) Khi khoảng cách AB 4(13 3)− =40 (km)

II Ví dụ minh họa 1 Nhận biết

Ví dụ 1:Phương trình

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2

2

4

8

m x x

x m m

 + − − 

 

  − = − + +

A.m=3 B.m=2 C.m=1 D.m=1 Đáp án B

Ta có phương trình tương đương với 2m x−4x=m2+4m+4

( )( ) ( )2

2 2

m m x m

⇔ − + = +

Từ suy phương trình vô nghiệm khi:

( )( )

( )

2

2

2

2

m m

m m

m

 − + =

 ⇔ − = ⇔ =



+ ≠



Ví dụ 2:Hai phương trình (x+5 2)( x− =1) 0;(x+5 2)( x−1)( )x2−3 =0 không tương đương nào?

A Nếu x nhận giá trị tập  B Nếu x nhận giá trị tập 

C Nếu x nhận giá trị tập  D Nếu x nhận giá trị tập  Đáp án A

Phương trình thứ có tập nghiệm

1 5;

2

S = − 

 

Phương trình thứ hai có tập nghiệm

1 5; ;

2

S = − ± 

 

Trên tập  hai phương trình có tập nghiệm

5

x x

= −    = 

Trên tập  hai phương trình có tập nghiệm x= −5 Trên tập  hai phương trình vơ nghiệm

2 Thơng hiểu

Ví dụ 1:Phương trình (x−20) (+ x−19) (+ x−18)+ + 100 101 101+ = có nghiệm là: A.x=90 B.x= −90 C.x=80 D.x= −80 Đáp án D

Xóa hạng tử 101 hai vế Gọi số hạng tử lại vế trái n (n∈*), ta được:

( 20 100 )

0 80 80

2

x n

x x

− +

= ⇔ + = ⇔ = −

Ví dụ 2:Phương trình 3 20 39 22 40

1 39 39

x+ x+ x+ x+

+ + + + = + + + + có nghiệm

là:

A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=3 Đáp án C

Ta có phương trình tương đương với:

2 20 40

20 22

3 39 39

2 20 20

1

3 39 39

x x x x

x x

 + + + + + = + + + +

 

 

   

⇔ + + + +  =  + + + + ⇔ =

3 Vận dụng

Ví dụ 1: Phương trình 1 ( 1) 1.2 2.3 9.10 x 10x x 10

 + + +  − + = −

 

  có nghiệm là:

A.x=9 B.x=1 C.x=10 D.xtùy ý Đáp án D

Ta có phương trình tương đương với:

1 1 1 9

1 ( 1) 0

2 10 x 10x x 10 10x 10x x x

 − + − +…+ −  − + = − ⇔ + − = ⇔ =

 

 

Suy phương trình có nghiệm Ví dụ

Phương trình (3 1) 17

5 10

a x− x− x+

− + = vô nghiệm tham số a nhận giá trị:

A.a=0 B.a=1 C.a=2 D.a=5 Đáp án C

Thu gọn ta phương trình 12(a−2)x=4a−89

Từ suy phương trình vơ nghiệm 2 89

a

a a

− =

 ⇔ =

 − ≠



4 Vận dụng nâng cao

Ví dụ 1.Phương trình 1 1 1.51 2.52 10.60 x 1.11 2.12 50.60

 + +…+  = + +…+ 

   

    có nghiệm

A.x=5 B.x=10 C.x=50 D.x=60 Đáp án A

Ta có 50 50 50 1 1 1 1

50 1.51 2.52 10.60 50 10 51 52 60

a=  + +…+ −  + + +…+   − + +…+ 

     

1 10 10 10 1 1 1

1 5a

10 1.11 2.12 50.60 10 10 51 52 60

b=  + +…+ =  + + +…+   − + +…+  =

     

Từ suy x=5

Ví dụ 2:Cho phương trình

10 20

mx+ x+m m

+ = Khẳng định sau sai?

A. Nếu

m= − phương trình có nghiệm tùy ý

C. Khi

m≠ − phương trình có nghiệm không phụ thuộc tham số m

D. Khi

m≠ − phương trình có nghiệm

Đáp án B

Thu gọn ta phương trình: (2m+5)x= −2 2( m+5) Từ suy ra:

Nếu

m= − phương trình có nghiệm tùy ý

Nếu

m≠ − phương trình có nghiệm x= −2 III Bài tập trắc nghiệm

1 Nhận biết

1 Phương trình

3

x − x + = có tập nghiệm S là:

A S = −{ }1 B S = −{ 1; 2; 2− } C S ={2; 2− } D S = −{ 1; 2} Phương trình

4

x +x − x + x− = có tập nghiệm S là:

A S ={ }1 B S = −{ 1;3; 3− } C S ={1; 3− } D S ={ }3;1 Phương trình 43 46 49 52

57 54 51 48

x+ x+ x+ x+

+ = + có nghiệm là:

A.x= −100 B.x=100 C.x= −101 D.x=101 Phương trình 69 67 65 63 61 59

30 32 34 36 38 40

x− x− x− x− x− x−

+ = + + có nghiệm là:

A x=99 B x=100 C x= −101 D x=101 Phương trình 17 21

33 29 25

x− x− x

+ + =

có nghiệm là:

A x=60 B x=50 C x=40 D x=30 Cho phương trình 17 21

33 29 25

x− x− x

+ + = Khẳng định sau

A.Phương trình vơ nghiệm B.Phương trình có nghiệm

7 Lúc sáng người xe máy từ A đến B dài 45km Tới B người giải xong cơng việc 1h30’ quay tới A lúc 11h Đoạn đường AB gồm đoạn đường đoạn lên dốc Vận tốc lúc lên dốc 24km/h, lúc xuống dốc 45km/h đường 40km/h Đoạn đường S có độ dài là:

A. S = 25km B. S = 26km C. S = 27km D. S = 28km Đáp án

Câu

Đáp án D C B A B A C

2 Thông hiểu:

1 Phương trình x a x b x c 1

bc ac ba a b c

− + − + − =  + + 

 

  có nghiệm khi:

A a+ + ≠b c B a+ + ≠b c C a+ + ≠b c D a+ + ≠ −b c Phương trình 10.2 16 0x − x+ =

có nghiệm? A. Có nghiệm B. Có nghiệm C. Có nghiệm D. Có nghiệm Phương trình ( ) (2 )

2x −3x−1 −3 2x −3x− −5 16=0 có nghiệm? A. Có nghiệm B. Có nghiệm

C. Có nghiệm D. Có nghiệm Phương trình 148 169 186 199 10

25 23 21 19

x x x x

− + − + − + − =

có nghiệm là: A x=123 B x=124 C x=125 D x=126 Phương trình 2 ( )

1 10

1 1

x x

x x x x x x x

− + + =

− + + + + + có nghiệm là:

A

x x

= −   = −

 B

2

x x

= −   = −

 C x= −2 D x= −5

6 Cho số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải ta số gấp lần viết thêm chữ số vào bên trái số Số tự nhiên có chữ số cần tìm là:

A 42857 B 42860 C 42854 D 42851

7 Hiện tuổi ba gấp lần tuổi Sau thời gian nữa, tuổi tuổi ba lúc tổng tuổi hai ba 112 tuổi Tuổi là:

8 Tổng số 72 Nếu lấy số thứ cộng thêm 5, số thứ hai trừ 5, số thứ ba nhân 5, số thứ tư chia bốn kết Khi số nhỏ bốn số ban đầu là:

A 4 B 5 C 3 D 2 Đáp án:

Câu

Đáp án B C D A D A B D

3 Vận dụng:

1 Phương trình 4 42

1 1

x m x x m

m m m

− + − = − −

+ − − vô nghiệm khi:

A.m=0 B.m=1

C.m= −1 D. Cả đáp án sai Phương trình x ab x bc x ca a b c

a b b c c a

− + − + − = + +

+ + + vô số nghiệm khi:

A 1

a+b+b+c+c+a = B

1 1

1

a+b+b+c+c+a =

C 1

a+b+b+c+c+a = D

1 1

1

a+b+b+c+c+a = −

3 Phương trình x x( −1)(x−1)(x+5)=84có nghiệm nguyên: A. Có nghiệm B. Có nghiệm

C. Có nghiệm D. Có nghiệm Phương trình ( ) ( )

a b c

x − + + x + ab+bc+ca x−abc= có tổng nghiệm S

A S=ab+bc+ca B S = + +a b c

C S =a2+b2+c2 D S 1 ab bc ca

= + +

5 Với giá trị tham số m phương trình 5

x m x

m x m

− + − =

+ + vô nghiệm:

A m= −5 B m= −4 C m=5 D m=4 Phương trình 9 10

10 10 10

x x

x x

+ + + = +

+ + có tập nghiệm S là:

A. 181 19

S = − 

  B.

181 ; 19 19

S =− − 

C. 181; 10;0 19

S =− − 

  D. Một đáp án khác

7.Phương trình

2 2

2 20 6 12

1

x x x x x x x x

x x x x

− + + − + = − + + − +

− − − − có nghiệm nhỏ

là :

A x=0 B x=2 C x= −2 D x=5 8.Phương trình 4( )

5 5

x x x

x

x x x x

− − −

+ + + + = ∈

− − − −  có nghiệm :

A x=10 B x=12 C x=20 D x=25 Đáp án

Câu

Đáp án D A B B C C A B

4 Vận dụng cao

1 Phương trình 3

(2x−5) −(3x−4) +(x+1) =0 có nghiệm ? A.Có nghiệm B.Có nghiệm

C.Có nghiệm D.Có nghiệm

2.Phương trình (x−1)3+(2x−3)3+(3x−5)3−3(x−1)(2x−3)(3x− =5) có tổng nghiệm S ?

A

S = B

2

S = C

2

S = D

2

S =

3.Phương trình (x2+3 x 4)− 3+(3x2+7 x 4)+ 3−(4x2+10 )x =0 có nghiệm A.Có nghiệm B.Có nghiệm

C.Có nghiệm D.Có nghiệm 4.Phương trình 4

(x+5) +(x−4) =(2x+1) có tổng nghiệm S ? A S = −1 B S =0 C S =1 D

2

S =

5.Phương trình (x−2)4+(x−4)4 =82 có hiệu H nghiệm lớn nghiệm nhỏ ?

A H =3 B H =4 C H =1 D H =2

6.Cho phương trình với tham số a: x x( + +2) a2− =3 (x 1)a + Khẳng định sau

sai?

A.Phương trình có hai nghiệm phân biệt với tham số a B.Tổng hai nghiệm phương trình ln phụ thuộc tham số a C.Hiệu hai nghiệm phương trình ln phụ thuộc tham số a

D.Khi a số nguyên tổng hai nghiệm phương trình số chẵn

7.Phương trình x3+3ax2+3(a2−bc) x a+ +3 b3+c3 =0 với a,b,c tham số b≠c có nghiệm ?

8.Cho phương trình

1 ax

a b

bx =

+ + với a,b tham số khác Phương trình vơ nghiệm

khi nào?

A a=b B a=2b C a= −2b D a = −b

Đáp án

Câu

Chủ đề

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I.Kiến thức

1.Bất đẳng thức,tính chất bất đẳng thức

- Ta gọi hệ thức dạng a<b (hay dạng a>b;a≤b;a≥b) bất đẳng thức

0;

a≤ ⇔ − ≤b a b a≥ ⇔ − ≥b a b

-Tính chất: +a≤ ⇔ ≥b b a

+a≤b b; ≤ ⇒ ≤c a c(tính chất bắc cầu)

+a≤ ⇒ + ≤ +b a c b c (hoặc a≥ ⇒ + ≥ +b a c b c ) +a< ⇒b a c <b c , c>0

+a< ⇒b a c >b c , c<0

- Cộng vế hai bất đẳng thức chiều ,ta bất đẳng thức chiều

- Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm ,ta bất đẳng thức chiều

Đặc biệt: 2 2

0 ;

a> > ⇒b a >b a > b ⇔a >b

n n

a> ⇔b a >b với n số tự nhiên lẻ

-Tính chất giá tri tuyệt đối:

+ a+ ≤b a + b (đẳng thức xảy a b≥0 )

+ a− ≥b a −b (đẳng thức xảy a≥ ≥b a≤ ≤b 0) Ví dụ: Cho a>2,b>2 Chứng minh a b> +a b

Lời giải:

Thật vậy, a>2và b>0 nên a b>2 b

Hoàn toàn tương tự: a b>2a

Cộng vế hai bất đẳng thức chiều trên, ta được: 2ab>2(a+b), suy ab > +a b

Để chứng minh bất đẳng thức, số trường hợp ta cần sử dụng hai bất đẳng thức cổ điển quan trọng sau:

- Bất đẳng thức Cauchy:

+ Cho số: Cho a, b hai số khơng âm Khi ta có:

a b

ab

+ ≥

Hay

2

2

a b

ab

+

  ≥

 

  (dạng không chứa dấu căn)

+ Cho số: Cho a, b, c ba số không âm Khi ta có:

3

a b c

abc

+ + ≥

Hay

3

3

a b c

abc

+ +

  ≥

 

+ Cho n số: Cho a a1, 2, ,an số thực khơng âm Khi ta có:

1

1

n n

n

a a a

a a a n

+ + + ≥

Hay

1

n n

n

a a a

a a a n

+ + +

  ≥

 

  (dạng không chứa dấu căn)

- Bất đăng thức Bunhiacovsk:

+ Cho số: Cho a a b b1, 2 ,1 2 bốn số thức tùy ý Khi ta có:

2 2 2

1 2 2

(a b +a b ) ≤(a +a )(b +b )

+Cho 2n số: Cho a1, ,a bn, , 1 bn số thực tùy ý Khi ta có:

2 2 2

1 1

(a b + + a bn n) ≤(a + + an)(b + + bn)

2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

- Phương pháp sử dụng định nghĩa (phương pháp biến đổi tương đương)

Ví dụ: Cho a, b hai số thức dấu Chứng minh a b

b+ ≥a Lòi giải:

Xét hiệu

2 2

2 ( )

2

a b a b ab a b

H

b a ab ab

+ − +

= + − = =

Do a, b dấu, nên ab>0 Mặc khác, hiển nhiên Từ suy

2

( )

0

a b a b

H

ab b a

−

= ≥ ⇔ + ≥

- Phương pháp sử dụng đánh giá hiển nhiên

Ví dụ:Cho số thực a a1, 2, ,an∈ −[ 1;1]và thỏa mãn điều kiệna13+a23+ + an3 =0 Chứng minh rằng: 1 2

3

n n a +a + +a ≤

Lời giải:

Do a1≥ −1 nên ta có:

2

1 1

1

4 4( 1)

2

a − a + = a + a −  ≥

 

Hồn tồn tương tự ta có:

1 1

4

3

n n n

i i i

i i i

n

a a n a

= = =

− + ≥ ⇒ ≤

∑ ∑ ∑

Ví dụ: Các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 1

1+a+1+b+1+c ≥ Chúng minh

rằng: abc≤0,125

Lòi giải:

Từ giả thiết ta có: 1 1

1 1 1

b c

a b c b c

   

≥ −  + − = +

+  +   +  + +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

2

1 1 1

b c b c

a ≥ b+ c ≥ b c

+ + + + + (1)

Hoàn toàn tương tự ta nhận được:

2

1 1 1

c a c a

b ≥ c+ a ≥ c a

+ + + + + (2)

1

2

1 1 1

a b a b

c ≥ a+ b≥ a b

+ + + + + (3)

Từ bất dẳng thức (1), (2) (3) suy

1 1

1 1 1 1 1

b c c a a b

a b c b c c a a b

   

≥    

+ + +  + +  + +  + + 

8

(1 )(1 )(1 )

abc

a b c

=

+ + +

Từ suy ra: 1 0,125

abc≤ ⇒abc≤ =

Ví dụ: Các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a+ + =b c Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P= 2a+ +1 2b+ +1 2c+1

Lòi giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski cho hai số (1,1,1)

( 2a+ +1 2b+ +1 2c+1) ta có:

2 2

1 1 1 1 1 (2 1) (2 1) (2 1)

P= a+ + b+ + c+ ≤ + + a+ + b+ + c+

3 2(a b c) 15

= + + + =

Đẳng thức xảy khi:

1

2 2

3

Vậy max 15

P= ⇔ = = =a b c - Phương pháp qui nạp toán học

Ví dụ: Cho a a1, 2, ,an số nguyên dương phân biệt Chứng minh rằng:

( )2

3 3

1 n n

a +a + +a ≥ a +a + +a (1)

Lời giải:

Khơng tính tổng qt giả sử 1≤ <a1 a2 < < an

Với n=1, ta có: (1)⇔a13≥a12 (HNĐ a1 số nguyên dương)

Giả sử bất đăng thức (1) chứng minh đến n, ta cần chứng minh BĐT (1) cho n+1 Hay cần chứng mimh:

( )2

3 3

1 n n 1 n n

a +a + +a +a + ≥ a +a + +a +a + (2) Thật ta có:

( )2

3 3

1 1 1

(2)⇔a +a + + an+an+ ≥ a +a + + an +an+ +2an+ (a +a + + an) (3) Ta chứng minh:

3 2

1 1( ) a 1 2( )

n n n n n n n

a + ≥a + + a + a +a + +a ⇔ + −a + ≥ a +a + +a (4) Do 1≤ <a1 a2 < < an <an+1, nên ta có 1≤ <a1 a2 < < an ≤an+1−1

Từ suy số a a1, 2, ,an lấy từ số tự nhiên thuộc đoạn [1;an+1−1] Do

ta có: 1

1

( 1) ( 1)

2

n n

n n

a a

a +a + +a ≤ + + + a + − = + + −

2

1 2( )

n n n

a + a + a a a

⇒ − ≥ + + +

(4)

⇒ chứng minh

Vậy ta có: an3+1≥an2+1+2an+1(a1+a2+ + an) (5)

Từ (5) kết hợp với giả thiết qui nạp suy (3) chúng minh - Phương pháp phản chứng

Ví dụ: Cho x, y, z số thực tùy ý Chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai

; ;

x < −y z y < −z x z < −x y Lời giải:

Thật vậy, giả sử ba bất đẳng thức cho Hay ta có:

2

2

2

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

(x )

x y z x y z x y z x y z

y z x y z x y z x y z x

z x y z x y

z y

z x y

 < −  < −  − + + − <

  

< − ⇒ < − ⇒ − + + − <

  

 < −  < −  − + + − < 



2 2

(x y z) (x y z) (y z x)

⇒ − + + − + − < (vơ lí) - Phương pháp xét khoảng giá trị biến

Ví dụ: Cho A=x10 −x9+x4− +x Chứng minh A>0

Lời giải:

Xét trường hợp x≥1:

Ta có A=x x9( − +1) x x( 3− +1)

Do x≥1 nên x9 >0;x− ≥1 0;x3− ≥1 Từ suy A≥ ⇒ >1 A

Xét trường hợp x<1:

Ta có A=x10 +x4(1−x5)+ −(1 x)

Do x<1 nên Mặc khác, hiển nhiên x10 ≥0;x4 ≥0 Từ suy A>0

- Phương pháp dồn biến

Phương pháp dồn biến phương pháp làm giảm số biến hàm số, đưa hàm số dạng đơn giản Từ thay chứng minh trực tiếp bất đẳng thức F a a( ,1 2, ,an)≥0, ta

chứng minh bất đẳng thức trung gian với số biến Điều quan trọng phải xác định cách lựa chọn biến cách phừ hợp, thơng thường ta chọn biến trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa hay trung bình bình phương, vv Ví dụ: Cho số thực , , 1;3

3

a b c∈   

  Chứng minh rằng:

7

a b c

a+b+b+c+c+a ≥ Lời giải:

Đặt ( , , )F a b c a b c

a b b c c a

= + +

+ + +

Do a, b, ccó vai trị bình đẳng, nên khơng tính tổng quát, giả sử:

{ }

max , ,

Ta có: F a b( , , ab) a b ab a b

a b b ab ab a a b a b

= + + = +

+ + + + +

Xét: ( )( )

( )

2

2

( , , ) ( , , )

( )( )

a b ab c

b c b

F a b c F a b ab

b c c a a b b c c a a b

− −

− = + − = ≥

+ + + + + +

( , , ) ( , , )

F a b c F a b ab

⇒ ≥ (1)

Đặt x a

b

= ≤ , ,1 3 a b c

 ≤ ≤ 

 

  Khi ta có:

2

2

2

(3 ) (1 )

7 7

( , , )

5 1 5( 1)( 1)

x x x

a b x

F a b ab

a b a b x x x x

 

−  + − 

− = + − = + − = ≥

+ + + + + +

Từ kết hợp với (1) ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy

( )

; ; 3; ;1

a b c =  

  hốn vị

3 Bất phương trình ẩn, tính chất bất phương trình Bất phương trình bậc nhất ẩn cách giải

- Bất phương trinh ẩn x có dạng ( )A x <B x( ) ( ( )A x >B x( ); A x( )≤B x( ); ( ) ( )

A x ≥B x ) Trong A(x) B(x) hai biểu thức biến x

- Hai bất phương trình tương đương hai bất phương trình có tập họp nghiệm - Quy tắc chuyển vế quy tắc nhân:

+ Khi chuyển hạng tử từ vế sang vế bất phương trình, ta phải đổi dấu hạng tử

+ Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải giữ nguyên chiều bất phương trình số dương đổi chiều bất phương trình số âm

- Bất phương trình bậc ẩn bất phương trình có dạng: ax+ <b (

0; 0;

ax+ >b ax+ ≤b ax+ ≥b ), x ẩn, a b số cho, a≠0 - Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

+ f x( ) >g x( )⇔ −g x( )< f x( )<g x( ) (Nếu ( ) 0g x > ) Trường hợp ( ) 0g x ≤ gíá trị biến x làm cho g x( )≤0 khơng nghiệm bất phương trình

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x

> 

> ⇔ 

< −

 (Nếu ( ) 0g x ≥ ) Trường hợp ( ) 0g x < giá trị

Ví dụ: Giải biện luận bất phương trình ( 1) 16

9

m x− x+ m x−

− <

Lời giải:

Ta có bất phương trình tương đương với:

2 (m x− −1) 3(x+2 )m < −x 16⇔ 2(m−2)x<8(m−2) Từ ta cos kết biện luận sau:

Nếum>2, bất phương trình có nghiệmx<4; Nếum<2, bất phương trình có nghiệm

x> ; Nếu m=2, bất phương trình vơ nghiệm 4 Dấu nhị thức bậc

- Xét dấu nhị thức bậc ax+b có nghĩa xét xem với giá trị biến x

thì ax+ >b 0; với giá trị biến x ax+ <b Hiển nhiên

0 b( 0)

ax b x a

a

+ = ⇔ = − ≠

Giá trị x b a

= − gọi nghiệm nhị thức bậc ax+b

- Định lý dấu nhị thức bậc nhất: Nhị thức ax+b a( ≠0) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức; trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức

- Việc xét dấu nhị thức bậc có nhiều ứng dụng:

+ Giải bất phương trình tích cách xét dấu nhân tử tích Nếu số nhân tử âm mà chẵn tích dương, trái lại tích âm

+ Giải bất phương trình thương cách xét dấu tử thức mẫu thức Nếu tử mẫu dấu thưỡng dương, trái lại thương âm

+ Giải phương trình bất phương trình có chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối cách khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét khoảng giá trị ẩn

+ Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối cách khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét khoảng giá trị biến

Ví dụ: Giải bất phương trình

2

2

1 15

x

x x

− >

+ −

Lời giải:

Ta có bất phương trình tương đương với:

2

2 14

1 0

2 15 ( 5)(2 3)

x x

x x x x

− − > ⇔ − + >

+ − + −

Từ bảng xét dấu, suy bất phương trình có nghiệm 1,5

x x

< − 

 < < 

II Ví dụ minh họa: 1 Nhận biết

Ví dụ 1: Cho a, b hai số dấu Khi giá trị nhỏ biểu thức: 1

( )

P a b

a b

 

= +  +    là:

A.2 B.3 C.4 D.5

Đáp án C

Thật vậy, ta có:

2

( ) a b a b a b

P

b a b a ab

−

   

= + + = + + − = + ≥

    (Do a, b dấu

nên ab>0) Đẳng thức xảy a=b

Ví dụ 2: Cho a, b hai số tùy ý khác Khẳng định sai? A.(a+b)2 ≤2(a2+b2) B a+ ≤b a + b

C a− ≥b a − b D.a b

b+ ≥a

Đáp án D Thật vậy,

2

( )

2 0

a b a b a b

b a b a ab

−

+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ sai a, b trái dấu

2 Thơng hiểu

Ví dụ 1: Bất phương trình

2

2 ( 1)( 3)

x x

x x

− − >

+ − có tập nghiệm nguyên dương S là:

A.S ={ }1; B.S={1; 2; 4} C.S ={ }2; D.S={ }1; Đáp án A

2 2

2 ( 4) ( 3)

1 0

( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 3)

( 1)( 3)

x x x x x x

x x x x x x

x x

− − − > ⇔ − − − − − > ⇔ − >

+ − + − + −

⇔ + − <

Lập bảng xét dấu vế trái T:

Từ bảng xét dấu suy 1− < <x Do S ={ }1;

Ví dụ 2:Phương trình x+ − −5 2x = x có nghiệm?

A.Có nghiệm B.Có nghiệm C.Có nghiệm D.Có nghiệm Đáp án B

Lập bảng xét dấu:

Ta xét khoảng giá trị x:

Nếu x< −5 phương trình cho trở thành (x 5) (1 )x x 0.x

− + − − = ⇔ = (vô lý) Trường hợp bị loại Nếu 5− ≤ ≤x 0,5 phương trình cho trở thành

(x+ − −5) (1 )x = ⇔ = −x x (thỏa mãn 5− ≤ ≤x 0,5) Nếu x>0,5 phương trình cho trở thành

(x+ −5) (2x− = ⇔ =1) x x (thỏa mãn x>0,5) Vậy tập hợp nghiệm phương trình S = −{ 2;3} 3 Vận dụng

Ví dụ 1: Cho phương trình 22

m m

x − x+ = x +x Phương trình có nghiệm x<3 giá trị

của tham số m thỏa mãn:

A.m>6 B.m<4 C. 6( 0)

m

m m

> 

≠  <

 D. ( )

6

0;

m

m m

m

> 

≠ ≠

 < 

ĐKXĐ: x≠0;x≠ −1 Khi phương trình trở thành

4 ( 4)

mx+ −m x= m⇔ m− x=m

- Nếu m=4 o x=4 (vơ lý) Phương trình vơ nghiệm - Nếu m≠4 phương trình có nghiệm

4

m x

m

=

− (với điều kiện x≠0;x≠ −1)

+ Xét 0

4

m

m m− ≠ ⇒ ≠

+ Xét

4

m

m m m

m− ≠ − ⇒ ≠ − ⇒ ≠

Phương trình có nghiệm x<3

m m− <

6

3 12 6

3 0 0

4

4 4

m

m m m m m

m

m m m m

> 

− + − −

⇔ − < ⇔ < ⇔ < ⇔ > ⇔ 

<

− − − − 

Kết hợp, ta phương trình có nghiệm x<3 giá trị tham số m thỏa mãn:

( 0; 2) m m m m >  ≠ ≠  < 

Ví dụ 2: Cho biểu thức

3

2

4

:

1 4

x x x x

P

x x x

 −   − 

=   + 

− − −

    Các giá trị biến x làm cho

0

P> là:

A.0< <x B.x< −1 C. ( 0,5)

0 x x x < −  ≠  < <

 D.0< <x 1(x≠0,5)

Đáp án C

Rút gọn biểu thức P, ta 2

1

x P

x

=

− (ĐKXĐ: x≠ ±1;x≠ ±0,5)

Khi

Lập bảng xét dấu biểu thức P:

Từ bảng xét dấu, kết hợp với điều kiện suy

( )

1

0 0,5

x P

x x

< − 

4 Vận dụng nâng cao:

Ví dụ 1: Các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 =1 Khẳng định đúng? A.abc+2(1+ + + +a b c ab bc+ +ca)≤ −2

B.abc+2(1+ + + +a b c ab bc+ +ca)≤ −1 C.abc+2(1+ + + +a b c ab bc+ +ca) 1≥ D.abc+2(1+ + + +a b c ab bc+ +ca)≥0 Đáp án D

Từ giả thiết suy 1− ≤a b c, , ≤ ⇒ +1 (1 a)(1+b)(1+ ≥c) 0

abc a b c ab bc ca

⇒ + + + + + + ≥ (1)

Mặc khác hiển nhiên ta có:

2 2

( 1) 2( )

2 2( )

a b c a b c a b c ab bc ca

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

+ + + ≥ ⇒ + + + + + + + + + ≥

⇒ + + + + + + ≥ ⇒ + + + + + + ≥ (2)

Từ (1) (2) ta có: abc+2(1+ + + +a b c ab bc+ +ca)≥0

Ví dụ 2: Các số thực a, b, c Thỏa mãn điều kiện 0≤a b c, , ≤1 Bất đẳng thức đúng?

A. (1 )(1 )(1 )

1 1

a b c

a b c

b+ +c +c+ +a +a+ +b + − − − ≤

B. (1 )(1 )(1 )

1 1

a b c

a b c

b+ +c +c+ +a +a+ +b + − − − ≤

C. (1 )(1 )(1 )

1 1

a b c

a b c

b+ +c +c+ +a +a+ +b + − − − ≤

D. (1 )(1 )(1 )

1 1

a b c

a b c

b+ +c +c+ +a +a+ +b + − − − ≤

Đáp án D

Đặt S = + + ≥a b c

• Nếu S = ⇒ = = =0 a b c Bất đẳng thức (1) hiển nhiên

• Xét S >0 Ta có:

1 1 (1 )

1

1 1 ( 1)

a a S a b c a a a a a a

b c S b c S b c S b c S S b c

+ + + − − −

     

=  =  =  − = −

+ +  + +   + +   + +  + +

Hoàn toàn tương tự ta có, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(1 ) b(1 ) (1 )

(1 )(1 )(1 )

( 1) ( 1) ( 1)

a a a b b c c c a b c

a b c

S S b c S S c a S S a b S S S

− − −  

− + − + − + − − −  + + ≤

1 (1 ) (1 )(1 )

1

a b c a

a b c

S S S S b c

 

⇔ + + + −  − − − 

+ +

 

(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1

1

b c

b a c c a b

S c a S a b

   

+ −  − − − + −  − − − ≤

+ + + +

   

1

(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 )

1

a b

a b c b a c

S b c S c a

   

⇔ −  − − − + −  − − − 

+ + + +

   

(1 ) (1 )(1 )

1

c

c a b

S a b

 

+ −  − − − ≤

+ +

  (2)

Ta chứng minh (1 )(1 ) 1

b c

b c

− − − ≤

+ + (3)

Thật ta có: (3)⇔ −(1 b)(1−c b)( + + ≤c 1) (4) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm ta có:

3

1 1

(3) (1 )(1 )( 1)

3

b c b c

b c b c  − + − + + + 

⇔ − − + + ≤  =

 

Suy (4) chứng minh Hay bất đẳng thức (3) chứng minh Hồn tồn tương tự ta có:

1

(1 )(1 )

1

(1 )(1 )

1

a c

a c

a b

a b

 − − − ≤

 + +



 − − − ≤

 + +



(5)

Từ (3) (5) suy (2) chứng minh III Bài tập trắc nghiệm

1 Nhận biết

1. Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức đúng?

(a−1)(a 2)(a 3)(a 4) 0− − − + ≥ với a; x5−y5 ≥xy4−x y4 với x≥ y; Với a, b, c, d số dương cho a>b c, >d a b

c < d ;

3

3

2

a +b a+b

≥   với a≥0;b≥0 A.Có bất đẳng thức B.Có bất đẳng thức

4

2

a +b > với a+ >b 2;

2 2

1 1

2 +3 + +n < với n∈ n≥2; với a, b, c số

dương cho abc=1 a b c 1

a b c

+ + < + + (a−1)(b−1)(c 1)− <0; với a, b

số dương 1

a+ ≤b a+b

A.Có bất đẳng thức sai B.Có bất đẳng thức sai C.Có bất đẳng thức sai D.Cả bất đẳng thức sai

3. Cho a, b, c, d số dương abcd =1 Khi giá trị nhỏ biểu thức

P=ad+bc là:

A.4 B.3 C.2 D.1

4. Cho a, b, c số dương Khi giá trị nhỏ biểu thức: 1

( )

P a b c

a b c

 

= + +  + +    là:

A.3 B.9 C.6 D.12

5 Giá trị nhỏ biểu thức P=x2−7x+11 là: A.

4

− B.

2

− C.

4

− D.

2

−

6.Giá trị nhỏ biểu thức 2

P

x x

− =

− +

A.

− B.

4

− C.

2

− D.

3

−

7.Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức đúng?

2 2 2 2

; 2( )

a +b +c ≥ab+bc+ca a +b +c +d + ≥ a+ + +b c d

( 2 2)

3 ( ) ;

2

a +b +c ≥ a+ +b c ab+bc+ca< v iaσ + + =b c

A.Có bất đẳng thức B.Có bất đẳng thức C.Có bất đẳng thức D.Cả bất đẳng thức

8. Choa+ + + =b c d Khi giá trị nhỏ biểu thức: P=a2+b2+c2+d2là:

A.4 B.2 C.1 D.3

9.Bất phương trình 22 2

21

x− x− x+

A.s={ }R B.S= ∅{ }

C.S = ∈{x R x; <1} D.S = ∈{x R x; >1} 10.Bất phương trình

5 10 25

x− x+ − x

− < có tập nghiệm S là:

A.S = ∈{x R x; >5} B.S = ∈{x R x; <5} C.s={ }R D.S = ∅{ }

Đáp án

Câu 10

Đáp án C B C B A D D C B C

2 Thông hiểu

1. Giá trị lớn biểu thức

2

2

2

x x

P

x x

+ +

=

+ + là:

A.7

3 B.

9

4 C.2 D.

4 2. Giá trị lớn biểu thức 62

1

x P

x

− =

+ là:

A.2 B.1 C.3

2 D.

5

3. Cho x, y, z số dương choxy+yz+zx=12 Khi giá trị nhỏ biểu thức

4 4

P=x +y +z là:

A.40 B.48 C.44 D. 52 4. Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức sai?

2

1

1+x +1+y ≥1+xy với ,x y≥1;

3 3

a b c

ab bc ca

b + c + a ≥ + + với a, ,b c>0;

2 2

1 1

1+x +1+ y +1+y ≥1+xyz với , ,x y z ≥1;

3

2

a

a ab b

b ≤ + − với a ,b c>0

A. Có bất đẳng thức sai B. Có bất đẳng thức sai C. Có bất đẳng thức sai D. Cả bất đẳng thức sai

24 3

;

5 12

x x x x x

x

+ − > − − + + − ≥

A. Khơng có giá trị B. Có giá trị C. Có giá trị D. Có giá trị 6. Bất phương trình 15 13 11

73 71 69 67

x− x− x− x−

+ ≤ + có tập nghiệm S là:

A.S = ∈{x R x; ≥ −5} B.S= ∈{x R x; ≤ −8} C.S = ∈{x R x; ≥ −58} D.S = ∈{x R x; ≤ −85}

7. Cho bất phương trình (2m x−m)≥2(x−m) 1+ Bất phương trình có nghiệm với x khi: A.m = B.m = C.m = D.m =

8. Cho bất phương trìnhm(2− +x) (m−1)2 >2x+5 Bất phương trình vơ nghiệm khi: A.m = B.m = -2 C.m = D.m = -1

9. Cho bất phương trình (m2− −m 1)x−5m> −(3 m x) Trong khẳng định sau, có kết đúng?

Nếu m = bất phương trình vơ nghiệm; Nếu m=-2 bất phương trình có nghiệm với x; Nếu m >2thì bất phương trình có nghiệm 52

4

m x

m

>

− ; Nếu m <2thì bất phương trình có

nghiệm 52

m x

m

<

−

A. Có khẳng định B. Có khẳng định C. Có khẳng định D. Cả khẳng định 10. Bất phương trình

2

x x

+ <

+ có nghiệm nguyên?

A. Có nghiệm nguyên B. Có nghiệm nguyên C. Có vơ số nghiệm ngun D. Khơng có nghiệm ngun Đáp án

Câu 10

Đáp án A B B A D C A B D C

1. Với x số thực, tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

1

4

P x

x

= + +

+

Đáp án đúng?

A.minP=2 B.

2

minP =

C.minP=3 D.Cả ba đáp án sai

2.Với x số thực, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=| - 2017 | - | - 2018 |x x

Đáp án đúng?

A.minP=2017 B.minP=0 C.minP=2018 D.minP=1

3.Cho a, b, c số thực Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức ?

2 2 2

; 2( )

a +b +c ≥ab+bc+ca a +b +c ≥ ab bc− +ca

2 2 2

2( ) ; 2( )

a +b +c > ab+bc−ca a +b +c ≥ − +ab bc+ca

A. Có bất đẳng thức B. Có hai bất đẳng thức C. Có ba bất đẳng thức D. Cả bốn bất đẳng thức

4. Trong khẳng định sau, có kết đúng? Với số ngun dương n, ta ln

có: 1

2+3 +…+(n+1) n < ; Với số ngun dương n, ta ln có:

1 1

3

2+3 +…+(n+1) n < ; Tồn số nguyên dương n, cho:

1 1

2+3 +…+(n+1) n >

A. Có khẳng định B. Có hai khẳng định C. Có ba khẳng định D. Cả bốn khẳng định

5. Cho a, b, c số thực dương Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức sai?

2 2 2

3

3 ;

2

a b c a b c a b c

abc

b c c a a b b c c a a b

+ +

+ + ≥ + + ≥

+ + + + + + ;

2 2 2

9

;

2( ) 2( )

a b c abc a b c abc

b+c+c+a+a+b≥ ab+bc+ca b+c+c+a+a+b≤ ab+bc+ca

6. Cho a+ ≥b Trong bất đẳng thức sau, có bao nhiều bất đẳng thức đúng?

* *

;

2 2

n n n

n n n

a b a b a b

n a b n N

+ + +

  ≤ ∀ ∈   ≤ ∀ ∈

   

     ;

* *

;

2

n n

n n

a b a b

a n b n N

+ +

  ≤ ∀ ∈   ≤ ∀ ∈

   

    

A. Có bất đẳng thức B. Có hai bất đẳng thức C. Có ba bất đẳng thức D. Cả bốn bất đẳng thức

7. Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiệnabc+ + =a c b Tìm giá trị nhỏ củabiểu thức:

2 2

1 1

1 1

P

a b c

= + +

+ + + Đáp án đúng?

A.minP=1 B C.

minP = D.

3

minP =

8. Cho số thực không âm a, b thỏa mãn điều kiện:

a+ =b Tìm giá trị lớnnhất nhỏ biểu thức:

1

a b

P

a b

= +

− − Đáp án đúng?

A.min 2; max 3

P= P= B.min 2; max

3

P= P=

C.min 1; max 3

P= P= D.min 2; max

3

P= P=

9. Cho bất phương trình (m 2)x mx 2x

m m

+

− + > − Khẳng định sai?

A. Nếu m=-1thì phương trình có nghiệm với x B. Nếu m<-1thì bất phương trình có nghiệm

( 1)

x

m m

<

+

C. Nếu m>-1thì bất phương trình có nghiệm ( 1)

x

m m

>

+

D. Nếu m> −1(m≠0)thì bất phương trình có nghiệm ( 1)

x

m m

>

+

10. Hai bất phương trình (m x+ ≤ +3) x 5; (m x+ − ≥2) xcó nghiệm chung khi:

Câu 10

Đáp án B D D B A A C D C B

4 Vận dụng nâng cao

1. Có số tự nhiên (a a1; 2;…;a2017)thỏa mãn điều kiện:

2

1 2017

2 2

1 3017

2017 2017

a a a

a a a

 + +…+ ≥

 + +…+ ≤ +



A.Có B.Có C.Có D.Có

2. Cho x, y, z số dương thỏa mãnx+ + =y z Tìm giá trị lớn biểuthức:

x y z

P

x x yz y y zx z z xy

= + +

+ + + + + + Đáp án nảo đúng?

A.max

P= B.maxP=2 C.maxP=1 D.max

P=

3. Cho a, b, c số lượng, thỏa mãn điều kiệnab+bc+ca=3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a2 b2 c2

b c a

= + + Đáp án đúng?

A.minP=1 B.minP=2 C.minP=3 D.minP=4

4. Cho a, b, c, d số dương Trong bất đẳng thức sau, có bấtđẳng thức đúng?

1

2 2

a b c d

b+ c+d +c+ d+a +d+ a+b+a+ b+c ≥ ;

2

( )

2 2 ( )

a b c d a c

b c d c d a d a b a b c a b c d

−

+ + + ≥ +

+ + + + + + + + + + + ;

2

( )

2 2 ( )

a b c d b d

b c d c d a d a b a b c a b c d

−

+ + + ≥ +

+ + + + + + + + + + + ;

2

2

( ) ( )

1

2 2 ( )

a b c d a c b d

b c d c d a d a b a b c a b c d

− + −

+ + + ≥ +

+ + + + + + + + + + +

A. Có bất đẳng thức B. Có hai bất đẳng thức C. Có ba bất đẳng thức D. Cả bốn bất đẳng thức

5. Cho x, y, z số thực không âm số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện0< ≤ ≤a b c

A.

2

2

( )

(ax by cz) x y z a c (x y z)

a b c ac

+   + +  + + ≥ + +   B. 2 ( ) ( ) ( )

x y z a c

ax by cz x y z

a b c ac

+   + +  + + ≥ + +   C. 2 ( ) ( ) ( )

x y z a c

ax by cz x y z

a b c ac

+

 

+ +  + + ≤ + +

 

D.( ) 2( )2

( )

x y z ac

ax by cz x y z

a b c a c

 

+ +  + + ≤ + +

+

 

6. Với số nguyên dương n≥2 Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức đúng?

1 1 1

1 1 ; ( 1)

2 n n n n n n

 

+ +…+ < +  −  + − < + +…+

  ;

1 1

( 1) 1

2 n

n

n n n

n n

 

+ − < + +…+ < +  − 

 

A. Khơng có bất đẳng thức B. Có bất đẳng thức C. Có hai bất đẳng thức D. Cả ba bất đẳng thức

7. Các số thực a, a, , a, thoả mãn điều kiệna12+a22+…+an2 =3 Bất đẳngthức đúng?

A. 2 2

2

a a a

n

+ +…+ <

+ B.

3

2

x a a a n + +…+ ≤ +

C. 1

2

2

r

a a a

n

+ +…+ ≥

+ D.

1

3

2

n a a a n + +…+ ≥ +

8. Cho Sổ dương , b thỏa mãn điều kiện:ab+ ≤4 2b Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2 ab P a b =

+ Đáp án đúng?

A.max 33

P= B.max 33

4

P=

C.max 33

P= D.max

2

P=

9. Các số thực a, b thỏa mãn điều kiện: a b a + ≥   > 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 a b P b a +

A.

minP = B.

2

minP = C.

4

minP = D.

3

minP =

10. Cho số dương x, y thỏa mãn điều kiện:x+ ≤y Tìm giá trị nhỏ củabiểu thức:

2

2

2

1

P x y

x y

 

 

= +  + + 

    Đáp án đúng?

A.

289

minP= B. 289

6

minP= C.

289

minP= D. 289

6

minP=

11. Cho số dương , , 25

a b c> Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 5

a b c

P

b c a

= + +

− − − Đáp án đúng?

A.minP=51 B.minP=52 C.minP=15 D.minP =25

12. Chox x1, 2 >0; 0; 0x y1 1−z12 > x y2 2−z22 > Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức đúng?

( )( ) ( )2 ( )( ) ( )2

1 2 0; 2

x +x y + y − z +z > x +x y + y − z +z > ;

( )( ) ( )2 2

1 1 2

1 2

8 1

x y z x y z

x +x y +y − z +z ≤ − + −

A. Khơng có bất đẳng thức B. Có bất đẳng thức C. Có hai bất đẳng thức D. Cả ba bất đẳng thức

13. Cho a a1, 2,…,anlà số nguyên dương phân biệt Bất đẳng thức sau đúng? A.a13+a23+…+an3≥(a1+a2+…+an)2 B.a13+a32+…+an3 ≥n a( 1+a2+…+an)2

C.a13 a32 a3n 1(a1 a2 an)2 n

+ +…+ ≤ + +…+ D.a13+a32+…+an3≥2(a1+a2+…+an)2

14. Cho số thực , , 1;3

a b c∈   

  Bất đẳng thức đúng?

A.

6

a b c

a+b+b+c+c+a ≤ B.

8

a b c

a+b+b+c+c+a ≤

C.

5

a b c

a+b+b+c+c+a ≥ D.

7

a b c

a+b+b+c+c+a ≥

15. Bất phương trình [ ].{ } 2( - 2)x x < x có nghiệm là:

Trong [x], {x} tương ứng phần nguyên phần lẻ x 16.Phương trình [6 - 5] 2x = x+3có nghiệm?

A Vơ nghiệm B. có nghiệm C. Có nghiệm D. Có vơ số nghiệm 17.Phương trình 15

8

x+ x−

  =

 

  có nghiệm?

A. Vơ nghiệm B. có nghiệm C. Có nghiệm D. Có vơ số nghiệm

Đáp án

Câu 10

Đáp án A C C D C D A A B D Câu

Đáp án C D A C A B C

Chủ đề TỨ GIÁC I Kiến thức bản

1 Tứ giác

- Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA Trong hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng

- Tứ giác lồi tứ giác nằm nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác Từ nay, nói đến tứ giác mà khơng nói thêm, ta hiểu tứ giác lổi

- Tổng góc tứ giác 3600

- Tổng bốn góc ngồi bốn định tứ giác 360°

- Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề tứ giác gọi đường chéo tứ giác (Một tứ giác có hai đường chéo),

- Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Hai cạnh song song gọi hai đáy, hai cạnh lại gọi cạnh bên

- Hình thang vng hình thang có cạnh bên vng góc với hai đáy - Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy

- Tính chất hình thang cân: + Hai cạnh bên + Hai đường chéo

- Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

+ Theo định nghĩa (Hình thang có hai góc kề đáy nhau) + Hình thang có hai đường chéo

3 Đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang

- Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cánh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba

- Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai cạnh đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai

- Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác

- Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang - Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh

- Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy

- Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo song song với hai đáy nửa hiệu đáy lớn đáy nhỏ

Ta có: MN//AB//CD MN CD AB

−

=

4 Dựng hình thước compa Dựng hình thang

- Dụng cụ dựng hình: Thước compa

- Các bước giải tốn dựng hình (gồm bước)

+ Phân tích Cách dựng Chứng minh Biện luận

- Trong bước phân tích, ta giả sử dựng hình thỏa mãn đề Trên sở xét xem phận (đoạn thăng, tam giác, ) dựng ngay, phận phải xác định thường quy việc xác định điểm thỏa mãn hai điểu kiện Ứng với điều kiện, điểm phải tìm nằm đường Giao điểm hai đường điểm cần tìm

N M

A

D

B

- Trong bước biện luận ta phải xét xem với điều kiện yếu tố cho dựng hình dựng hình

- Nếu tốn cho dựng hình kích thước, khơng u cầu vị trí hình phải dựng hai hình coi nghiệm hình

- Dựng tam giác cần biết yếu tố nó, có yếu tố độ dài

- Dựng hình thang cần biết yếu tố (cạnh, góc, đường chéo, ), góc cho trước khơng q

Đối xứng trục

- Hai điểm A A' gọi đối xứng với qua đường thẳng d, d đường trung trực đoạn thẳng AA'

Quy ước: Nếu điểm A∈dthì điểm đối xứng với A qua d A

- Hai hình F F" gọi đối xứng với qua đường thẳng d, điểm thuộc hình đối xứng qua d với điểm thuộc hình ngược lại

- Hai đoạn thẳng AB A'B' đối xứng với qua đường thẳng d, A đối ứng với A’; B đối xứng với B' qua d

- Hai tam giác ABC A’B’C’ đối xứng với qua đường thẳng d, A đối xứng với A’; B đối xứng với B’; C đối xứng với C’ qua đường thẳng d

- Nếu hai đoạn thẳng (hai góc, hai tam giác) đối xứng với qua đường thẳng chúng

- Đường thẳng d trục đối xứng hình F, điểm đối xứng qua d điểm thuộc hình F thuộc hình F Đặc biệt, đường thẳng qua trung điểm hai đáy hình thang cân trục đối xứng

- Hai đường thẳng a a’ đối xứng với qua đường thẳng d, hai điểm đường thẳng đối xứng với hai điểm đường thẳng qua đường thẳng d

- Một bình khơng có, có 1, có nhiều có vơ số trục đối xứng

- Nếu ba điểm A, M, B thẳng hàng (M nằm A B) A’, M’, B’ ba điểm đối xứng chúng qua đường thẳng d ba điểm A’, M’, B’ thẳng hàng (M’ nằm A’ B’)

6 Hình bình hành

- Hình bình hành hình tứ giác có cặp cạnh đơi song song A'

B' B A

ABCD hình bình hành AB//CD AD//BC

 ⇔  

- Tính chất hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành, Các cạnh đối nhau; Các góc đối nhau; Hai đường chéo cắt trung điểm đường

- Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác ABCD hình bình hành, có điều kiện sau +Các cạnh đối song song (theo định nghĩa); Các cạnh đối

+ Các góc đối nhau; Hai đường chéo cắt trung điểm đường + Một cặp cạnh đối song song

7 Đối xứng tâm

- Hai điểm A A’ gọi đối xứng qua điểm O, O trung điểm đoạn thẳngAA”

Quy ước: Điểm đối xứng O qua O O

- Hai hình F F’ gọi đối xứng với qua điểm O, điểm thuộc hình đối xứng qua O với điểm thuộc hình ngược lại

+ Hai đoạn thẳng AB A’B’ đối xứng với qua tâm O, A đối xứng với A’; B đối xứng với B’ qua O

+ Hai tam giác ABC A’B’C’ đối xứng với qua tâm O, A đối xứng với A’; B đối xứng với B’; C đối xứng với C qua O

- Hai đoạn thẳng (hai góc, hai tam giác) đối xứng với qua tâm O chúng - Điểm O gọi tâm đối xứng hình F, điểm đối xứng qua O điểm thuộc tỉnh F thuộc hình F Đặc biệt, hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng hình

- Nếu hai đoạn thẳng AB A’B’ đối xứng qua tâm O (O nằm ngồi đường thẳng AB, A’B’) AB//A’B’ AB ngược chiều với A’B’

- Hai đường thẳng a a’ đối xứng với qua tâm O, hai điểm đường thằng đối xứng với hai điểm đường thằng qua O

- Một hình khơng có, có một, có nhiều có vơ số tâm đối xứng

- Nếu ba điểm A, M, B thẳng hàng (M nằm A B) A’, M’, B’ ba điểm đối xứng chúng qua O ba điểm A’, M’, B’ thẳng hàng (M’ nằm A’ B’)

8 Hình chữ nhật

D C

B A

- Hình chữ nhật hình tứ giác có góc vng

Như vậy, hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân

- Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân Như vậy, hai đường chéo hình chữ nhật

- Dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật

+ Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật + Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật

+ Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật - Áp dụng vào tam giác vuông:

+ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyển - Đảo lại, tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng

- Hình chữ nhật có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo

- Hình chữ nhật có hai trục đối xứng hai đường thẳng qua trung điểm hai sanh đối 9 Tính chất khoảng cách hai đường thẳng song song

- Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thằng

- Các điểm cách đường thẳng d khoảng h, nằm hai đường thẳng song song với d cách d khoảng h

Như vậy, tập hợp điểm cách đường thẳng cố định khoảng h không đổi hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h

- Nếu đường thẳng song song cách cắt đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp Đảo lại, đường thẳng song song cắt đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp chúng song song cách

h h

- Cho hai đường thẳng a b song song với cách khoảng h Các điểm cách đểu a b nằm đường thẳng m song song với a b cách hai đường thẳng khoảng

2

h

10 Hình thoi hình vng

- Hình thoi tứ giác có bốn cạnh

- Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh Từ suy ra:

- Hình thoi hình bình hành

- Hình vng vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi - Tính chất:

+ Hình thoi có tất tính chất hình bình hành, ngồi cịn có: hai đường chéo vng góc với nhau; hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi

+ Hình vng có tất tính chất hìnchữ nhật hình thoi -Dấu hiệu nhận biết hình thoi:

+ Tứ giác có bốn cạnh hình thoi

+ Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi + Hình bình hành có hai đường chéo vng góc hình thoi

+ Hình bình hành có đường chéo tia phân giác góc hình thoi - Dấu hiệu nhận biết hình vng:

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng + Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc hình vng

+ Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng + Hình thoi có góc vng hình vng

+ Hình thoi có hai đường chéo hình vng

- Trong hình thoi, hai đường chéo hai trục đối xứng, giao điểm hai đường chéo tâm đối xứng

h h

2

a' m

- Hình vng cạnh a có độ dài đường chéo a II Ví dụ minh họa

1 Nhận biết

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có  B=D=900 Vẽ đường phân gics gocs A vầ góc C Cho biết hai đường phân giác không trùng Khi góc hai đường phân giác bằng:

A. 30 B. 90 C. 0 D. 45 Đáp án C

Gọi M giao điểm tia phân giác góc A với CD, N giao điểm tia phân giác góc C với AB Tứ giác ABCD có B =D =900nên  A C+ =1800

Suy A1+C1 =180 : 20 =900 Mặt khác A1+M1=900( tam giác ADM vng D) Từ

đó suy C1=M1 ⇒ AM / /CM (vì có cặp góc đồng vị nhau)

Vậy góc hai đường phân giác 0

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vng góc đường cao AH = h Khi tổng S hai đáy là: S = 2h

A S = 2h B. S = 3h C. S =

2h D. S = 2h Đáp án A

Vẽ AE//BD (E∈CD) Vì AC ⊥BD(theo gt), nên AC ⊥ AE(quan hệ tính song song vng góc)

1

1 2

1 N

M C A

B

D

O

H

E D C

Ta có AE = BD, AB = DE (tính chất đoạn chắn) ; AC = BD (tính chất đường chéo hình thang cân) Suy AC = AE

Vậy tam giác AEC vuông cân A, đường cao AH đường trung tuyến Suy EC = AB + CD = 2AH = 2h

2.Thông hiểu

Vi dụ 1: Tứ giác ABCD có AD = AB = BC ≠CD  A C+ =1800

Trong khẳng định sau có kết sai? Tia DB tia phân giác góc D; tứ giác ABCD hình thang cân; tứ giác ABCD hình bình hành; tứ giác ABCD hình thang vng

A Có kết sai B. Có kết sai C. Có kết sai D. Có kết sai

Đáp án B

Vẽ BH ⊥CD, DBK ⊥ A Ta có A1=C(cùng bù với A2) Từ suy

A BH = BK

BHC BK

∆ = ∆ ⇒ Suy DB tia phân giác góc D Góc A1 góc ngồi đỉnh A tam giác cân ADB, nên A1=2D1⇒ A1= A CD ⇒ AB/ / DC (vì có cặp góc đồng vị

bằng nhau) Vậy tứ giác ABCD hình thang Hình thang có  A CD =C(vì bằngA1) nên hình thang cân

Ví dụ 2 : Cho tứ giác ABCD Gọi M,N trung điểm AD BC Đáp án ?

A. D

2

AB C

MN = + B. D

4

AB BC C DA

MN = + + +

C. D

2

AB C

MN ≤ + D. D

2

AB C

MN ≥ +

Đáp án C

2 1 2

1

K

B

H

C D

Gọi O trung điểm BD Khi đoạn thẳng OM, ON đường trung bình tam giác DAB BDC Từ đó, ta có MN < MO + ON = D

2

AB+C

B Vận dụng :

Ví dụ : Cho hình thang ABCD (đáy AB nhỏ đáy CD) Biết rằng, hai đường chéo hình thang chia đường trung bình thành ba phần Khi đó, ta có:

A.CD = 3AB B. CD =

2AB C. CD =

2AB D.CD = 2AB Đáp án D

Gọi M, N trung điểm AD BC

MN cắt BD P, cắt AC Q Do MN đường trung bình hình thang, nên MN//AB//CD

Xét tam giác ABD có MA = MD, MP//AB nên PB = PD Tương tự QA = QC

Ta có MP, NQ đường trung bình tam giác DAB CAB nên MP = NQ =

AB

Mặt khác, theo tính chất hình thang ta có: PQ = D

C −AB

Do MP = PQ = QN (theo gt), nên ta có: D D 2A

2

AB C AB

C B

−

= ⇒ =

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Gọi E, F, G, H trung điểm MC, MD, NA, NB Trong khẳng định sau, có kết đúng? Các đoạn thẳng EF, GH cắt trung điểm đường; Các đoạn thẳng EF, MN cắt trung điểm đường; Các đoạn thẳng MN, GH cắt trung điểm đường; Các đoạn thẳng EF, GH, MN cắt trung điểm đường

C D

M

O

N B

A

N Q

P M

D C

A Có kết B. Có kết C. Có kết D. Có kết Đáp án D

Ta có NE đường trung bình tam giác CDM, nên NE//MD D=FM

NE = M Tứ giác MENF có cặp cạnh đối vừa song song vừa nhau, nên hình bình hành Tương tự, tứ giác MHNG hình bình hành Hai hình bình hành MENF MHNG có chung đường chéo MN nên đường chéo EF, GH, MN đồng quy trung điểm O đường 4 Vận dụng nâng cao

Ví dụ :Cho tam giác ABC có BC = a, đường trung tuyến BD, CE Lấy điểm M, N cạnh BC cho BM=MN=NC Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm AN CE Khi độ dài đoạn thẳng IK :

A.

2

a

IK = B.

4

a

IK = C.

3

a

IK = D.

5

a IK =

Đáp án B

Ta có DN đường trung bình tam giác ACM nên DN//AM

Tam giác BND có BM=MN, MI//ND nên I trung điểm BD Tương tự k trung điểm CE Hình thang BEDC có I, K trung điểm hai đường chéo

H E F

G

N

D C

M

B

A

N M

K I

D E

C B

Từ đó, ta được: D

2

a a

BC E a

IK

− −

= = =

Ví dụ 2: Một hình thang cân có đường cao nửa tổng hai đáy Khi góc đường chéo hình thang băng bao nhiêu?

A. 30 B. 60 C. 90 D. 45 Đáp án C

Xét hình thang cân ABCD (AB//CD), đường cao BH D

AB C

BH = +

Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E

Ta có BE = AC, AC = BD nên BE = BD Tam giác BDE cân B, đường cao BH đường trung tuyến, nên DE

2

DH =HE =

Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE Từ kết trên, suy BH = DH = HE

Các tam giác BHD, BHE vuông cân B nên DBE =900 Ta có : DB⊥BE, AC//BE nên DB⊥ AC

Vậy góc hai đương chéo hình thang 90 III Bài tập trắc nghiệm

1 Nhận biết :

1 Tứ giác ABCD có B + =D 1800, CB = CD Khẳng định ? A AC tia phân giác góc C

B.Đường thẳng AC trục đối xứng tứ giác ABCD

C. AC vừa tia phân giác góc C, vừa tia phân giác góc A D. AC tia phân giác góc A

D H C

E B

2 Cho hình thang vng ABCD ( A=D=900), có D

AB= C Gọi H hình chiếu D AC, M trung điểm HC Khi đáp án đúng?

A. BMD=900 B. BMD=600 C. BMD=300 D. BMD=1200

3. Tứ giác ABCD có  A B− =500 Các tia phân giác góc C D cắt I



115

CID= Khi góc A B có độ lớn là:

A.  

0

130 90

A B

 =  

=

 B.

 

0

140 90

A B

 =  

=

 C.

 

0

130 100

A B

 =  

=

 D.

 

0

140 100

A B

 =  

= 

4 Cho tứ giác ABCD có M giao điểm hai đương chéo Gọi p nửa chu vi tứ giác Trong khẳng định sau có khẳng định sai?

MA + MB + MC + MD < 2p; MA + MB + MC + MD > p ; MA + MB + MC + MD <

3p; MA + MB + MC + MD > 2p A Có khẳng định sai B. Có khẳng định sai C. Có khẳng định sai D. Có khẳng định sai

5 Cho tứ giác ABCD có chu vi tam giác ABD khơng lớn chu vi tam giác ACD Kết sau đúng?

A AB < AC B. AB = AC C. AB > 2AC D. AB = 2AC

6 Cho hình thang có hai đáy khơng Trong khẳng định sau có kết sai?

Tổng hai góc kề đáy nhỏ lớn tổng hai góc kề đáy lớn; tổng hai cạnh bên lớn hiệu hai đáy; hai đường chéo ln vng góc; tổng hai góc đối diện

180 A Có khẳng định sai B. Có khẳng định sai C. Có khẳng định sai D. Có khẳng định sai Đáp án

Câu

Đáp án D A B B A B

2 Thông hiểu

1 Tìm quan hệ b c, biết dựng tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: AC = b; AB = c;  B C− = <α 1800 Đáp án đúng?

A.b > 2c B. b > c C. b < c D. b <

2. Cho tam giác ABC có A=1200, AB = cm, AC = cm Khi đường trung tuyến AM có độ dài là:

A.2cm B. cm C. cm D. cm

3 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc, AB = cm, BC = cm, AD = cm Khi độ dài cạnh CD là:

A.CD = 2cm B. CD = 1cm C. CD = 4cm D. CD = 3cm

4. Tứ giác ABC có O giao điểm hai đường chéo, AB = cm, OA = cm, OB = cm, OD = cm Khi đó, độ dài cạnh AD là:

A.AD =12cm B. AD =13cm C. AD = 166 cm D. AD = 155 cm

5 Hình thang ABCD có  A=D=900, AB = 11cm, AD = 12 cm, BC = 13 cm Khi đó, đường chéo AC có độ dài là:

A AC = 10 cm B. AC = 15 cm C. AC = 25 cm D AC = 20 cm Đáp án

Câu

Đáp án B C B C D

3 Vận dụng

1 Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía d Gọi A1; B1lần lượt điểm đối xứng A, B qua đường thẳng d Trong khẳng định sau có kết đúng? Điểm C thuộc d cho AC + CB có độ dài nhỏ giao điểm AB1với đường thẳng d; điểm C thuộc d cho AC + CB có độ dài nhỏ giao điểm BA1 với đường thẳng d; điểm C thuộc d cho AC + CB có độ dài nhỏ hình chiếu điểm A lên đường thẳng d; điểm C thuộc d cho AC + CB có độ dài nhr hình cihếu điểm B lên đường thẳng d

A Có kết B. Có kết C. Có kết D. Cả kết

2. Cho tam giác ABC cân A Từ điểm D đáy BC, vẽ đường thẳng vng góc vơi BC, cắt đường thẳng AB, AC E, F Vẽ hình chữ nhật BDEH, CDFK Đáp án sau đúng?

A.AH = AK B. AH = 2AK C. AH =

2AK D. AH = 2AK

3.Cho hình bình hành ABCD, đường cao AE, AF Cho biết AC = 25 cm; EF = 24 cm Khi khoảng cách d từ A đến trực tâm tam giác AEF là:

4. Tứ giác ABCD có C =400 ; D =800, AD = BC Gọi E, F trung điểm AB CD Đáp án đúng?

A EFD=500 B. EFD =600 C. EFD=700 D.



EFD=80

5. Cho tam giác ABC, trọng tâm G, d đường thẳng nằm ngồi tam giác Gọi A’, B’, C’, G’ hình chiếu A,B,C,G d Đáp án đúng?

A.AA’ + BB’ + CC’ = GG’ B. AA’ + BB’ + CC’ = GG’ C. AA’ + BB’ + CC’ = GG’ D. AA’ + BB’ + CC’ = GG’

Đáp án

Câu

Đáp án B A B C A

Vận dụng nâng cao

1. Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF Gọi H giao điểm AE BC Trong khẳng định sau có kết đúng?

Ba điểm D, H, F thẳng hàng; EA ⊥BC; đường thẳng DF qua điểm cố định

điểm M chuyển động đoạn thẳng AB cố định; 

90

DMF =

A Có kết B. Có kết C. Có kết D. Cả kết

2 Cho tứ giác ABCD, E giao điểm đường thẳng AB CD, F giao điểm đường thẳng BC AD Các tia phân giác góc E F cắt I Đáp án đúng?

A EIF  D D

3

BA +BC

= B. EIF  D D

2

BA +BC

= abc

C 

 

( )

2 D D

EIF

3

BA +BC

= D. 

 

( )

3 D D

EIF

5

BA +BC

=

3 Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M N (M nằm A N) Vẽ phía AB tam giác AMD, MNE, BNF Gọi G trọng tâm tam giác DEF, h khoảng cách từ G đến AB Khẳng định đúng?

A

6

AB

h= B.

4

AB

h= C.

6

h= AB D.

4

h= AB

4 Cho tam giác nhọn ABC (không phải tam giác đều), trực tâm H; M trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với HM, cắt AB AC theo thứ tự E F Trên tia đối tia HC, lấy điểm D cho HD = HC Khẳng định sau sai?

5. Tứ giác ABCD có B C nằm đường trịn có đường kính AD Biết AD = cm, AB = BC = cm Khi đó, độ dài CD là:

A CD = cm B. CD = cm C. CD = cm D. CD = cm Đáp án

Câu

Đáp án D B C A C

CHỦ ĐỀ 6: ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC I Kiến thức

1.Đa giác, đa giác

- Đa giác lồi đa giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác

- Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc - Tổng góc đa giác n cạnh (n−2 180)

- Số đường chéo đa giác n cạnh ( 3)

n n−

- Tổng góc ngồi đa giác n cạnh 360 ( t0 ại đỉnh có góc ngồi)

- Trong đa giác đều, giao điểm O hai đường phân giác hai góc tâm đa giác Tâm O cách đỉnh, cách cạnh đa giác Có đường tròn tâm O qua đỉnh đa giác đều, gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác

- Trong đa giác đều, số đo góc

0

0 360

180 n 180

n n

−

− = ( vậy, số đo

góc ngồi

0

360

n )

2 Diện tích hình chữ nhật, hình vng

- Mỗi đa giác có diện tích xác định Diện tích đa giác số dương có tính chất sau;

+ Hai tam giác có diện tích

+Nếu đa giác chia thành đa giác điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác

-Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng co diện tích lớn - Hai hình chữ nhật có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy 3 Diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành

- Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh - Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao

- Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh - Tam giác cạnh a có diện tích

4 a (đvdt)

- Hai tam giác có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy ứng với hai chiều cao 4 Diện tích hình tứ giác, diện tích hình đa giác

- Việc tính diện tích hình đa giác thường đưa việc tính diện tích tam giác (hoặc có tính diện tích hình thang)

- Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc nửa tích độ dài hai đường chéo Từ ta có, diện tích hình thoi nửa tích độ dài hai đường chéo

- Hình vng có độ dài đường chéo d có diện tích 2d II Ví dụ minh họa

1.Nhận biết

Ví dụ 1:Cho ngũ giác ABCDE, AB = a Đường phân giác góc A, B cắt O Gọi M trung điểm AB Biết OM = r Khi đó, diện tích S ngũ giác ABCDE là:

A S = 2ar B. S = 3ar C. S =

2ar D. S = 2ar Đáp án C

Nối O với C, D, E ta có ∆AOB= ∆COB c g c( ) Tương tự tam giác cân AOB, BOC, COD, DOE, EOA Suy S 5S 5ar

2

AOB

= =

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có A = =C 900 Vẽ CH ⊥ AB Biết đường chéo AC đường phân giác góc A CH = a Khi đó, diện tích S tứ giác ABCD :

A S =2a2 B. S =a2 C. 3a2

S = D. 1a2

2

S = Đáp án B

O

A M B

C D

Vẽ CK ⊥ AD Tứ giác AHCK có góc vng nên hình chữ nhật AC tia phân giác góc A nên AHCK hình vng

Ta có ∆HBC = ∆K C c g cD ( ) Từ suy raS =SABCD =SAHCK =a2

2.Thơng hiểu:

Ví dụ : Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt O Biết

9; 25

AOB COD

S = S = , diện tích S hình thang ABCD :

A.S = 64 B. S = 66 C. S = 49 D. S = 48 Đáp án A

Vì AB//CD nên

DC D DC OD BD C

A B C A C C AO BOC

S =S ⇒S −S =S ⇒S =S

Đặt SAOC =SBOC =x Hai tam giác AOB COB có

chiều cao hạ từ đỉnh B nên AOB COB

S OA

S =OC

Tương tự AOD COD

S OA

S =OC Từ kết suy

2

9

225 15 25

x

x x

x = ⇒ = ⇒ =

(vì x > 0) Vậy S = + 25 + 15 + 15 = 64

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có cạnh bên AD =a, khoảng cách từ trung điểm E BC đến AD h, diện tích S hình thang ABCD là:

A

S = ah B.

2

S = ah C.S = 2ah D. S = ah Đáp án D

Qua E, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB CD theo thứ tự M N

Ta có ∆ENC = ∆EMB c g c( ) Từ suy S =SAMND =ah(AMND hình bình hành)

3 Vận dụng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có chiều cao h Từ điểm O tam giác ta vẽ OH ⊥ AB OI, ⊥BC OK, ⊥CA Khẳng định đúng?

A. OH +OI+OK =2h B. OH +OI+OK =h

C.

2

OH +OI+OK = h D.

2

OH +OI+OK = h

O

D C

B A

H

D N C

E M B A

O K H

I C

B

Đáp án B

Ta có

2 2

AOB BOC COA ABC

S +S +S =S ⇒ a OH + a OI + a OK = a h

Suy OH + OI + OK = h

Ví dụ 2: Cho ngũ giác ABCE Gọi giao điểm AD CE F Trong khẳng định sau, có kết đúng?

Các đường chéo AC, AD chia góc A thành góc nhau; tứ giác ABCF hình thoi; BC//AD; Số đo góc ngu giác 1080

A.Có kết B. Có kết C. Có kết D. Có kết Đáp án D

Số đo góc ngũ giác là: (5 2).1800 1080

−

=

Tam giác ABC cân B nên  1 1 180 108 36

A =C = − =

 



Tương tự A3 =36

 Từ suy ra

2 36

A =  Vậy   

1 36

A = A = A = 

Tương tự ta có C2 =36

 Suy    

2 //EF; 2 //

A =C ⇒ AB A =C ⇒AF BC Vậy tứ giác ABCF hình bình hành có AB = BC nên hình thoi

4 Vận dụng cao:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC ba điểm A’, B’, C’ nằm ba cạnh BC, CA, AB cho AA’, BB’, CC’ đồng quy (A’, B’, C’ không trùng với đỉnh tam giác) Đáp án đúng?

A. ' ' '

' ' '

A B B C C A

A C B A C B = B.

' ' '

' ' '

A B B C C A A C B A C B =

C. ' ' '

' ' '

A B B C C A

A C B A C B = D.

' ' '

' ' '

A B B C C A A C B A C B =

Đáp án C

Vẽ BH ⊥ AA';CK⊥ AA' Hai tam giác AA’B AA’C có chiều cao hạ từ đỉnh A có cạnh đáy tương ứng A’B A’C nên 'B

'C

'

'

AA AA A B S A C = S

1 2 32

1

F

D E

C B

A

H

C' B'

O A'

K

C B

Mặt khác hai tam giác AA’B AA’C có chung cạnh AA’ có chiều cao tương ứng BH CK nên 'B

'C

AA AA

S BH

S = CK

Ta lại có hai tam giác AOB AOC có chung cạnh AO có chiều cao tương ứng BH CK nên AOB

AOC

S BH

S = CK

Từ kết trên, ta nhận ' '

AOB AOC S A B A C = S

Hồn tồn tương tự, ta có ' ; '

' '

BOC COA

BOA COB

S S

B C C A

B A = S C B = S

Từ suy ' ' '

' ' '

AOB BOC COA AOC BOA COB

S S S

A B B C C A

A C B A C B = S S S =

Ví dụ 2: Tổng góc n cạnh trừ góc A 5700 Kết sau đùng?

A.  150o n A =   =

 B. 

6 120o n A =   =

 C. 

5 150o n A =   =

 D. 

5 120o n A =   = 

Đáp án A

Từ giả thiết, ta có (n−2 180) o−570o

Do 0o < <A 180o nên ( 180 570 180) 51 61

6

n n n

< − − < ⇒ < < ⇒ =

Khi A=(6−2 180) o−570o =150 o III Bài tập trắc nghiệm

1 Nhận biết

1 Một đa giác có góc góc ngồi 140o Hỏi đa giác có cạnh? A.Có 20 cạnh B. Có 19 cạnh C. Có 18 cạnh D. Có 21 cạnh

2 Một đa giác có số đường chéo số cạnh Khi góc đa giác có độ lớn là:

A.90o B.108o C.120o D.160o

3 Cho hình bình hành ABCD Vẽ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB M, cắt cạnh BC N Đáp án đúng?

A.SADM =SCDN B.SADM =2SCDN C.

ADM CDN

S = S D.

3

ADM CDN

4 Cho hình thang vng ABCD ( A=D=90o) Biết AB=2cm AD, = 3cm B=150 o Khi diện tích S hình thang là:

A. 3

S = cm B. 2

3

S = cm C. 2

2

S = cm D.

2

S = cm

5 Cho O điểm nằm hình bình hành ABCD Đáp án đúng? A.SAOB+SCOD =SAOD+SBOC B.SAOB+2SCOD =SAOD +2SBOC

C.SAOB−SCOD =SAOD −SBOC D.2SAOB+SCOD =2SAOD+2SBOC

Đáp án

Câu

Đáp án C B A D A

2 Thơng hiểu

1 Cho hình chữ nhật ABCD Góc D chia làm góc tiea DM, DN Trong M trung điểm AB N nằm cạnh BC cho CN =2 Khi diện tích S hình chữ nhật là:

A.S =18(đvdt) B.S=18 2(đvdt) C.S =18 3(đvdt) D.S =36(đvdt)

2 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho

1 1

; ;

4 4

AD= AB BE = BC CF = CA Đáp án đúng:

A.

3

ADM ABC

S > S B.

2

ADM ABC

S < S C.

4

ADM ABC

S = S D.

5

ADM ABC

S = S

3 Cho tam hình thang ABCD (AB//CD) có đường trung bình 10cm Biết AD = 3cm, BC= 4cm Gọi S diện tích hình thang Đáp án đúng.

A.maxS =25cm2 B.maxS =35cm2 C.maxS =30cm2 D.maxS =20cm2

4 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 8cm, BC = 17cm Trên BC lấy điểm M Vẽ hình bình hành ABMN Khi diện tích S tứ giác ANCM bao nhiêu>

A.55cm2 B.65cm2 C.50cm2 D.60cm 2

5.Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt O Biết diện tích tam giác AOB, BOC, COD a2, 2a2, 3a2(đvdt) Khi điện tích S tứ giác ABCD là:

A.7,5a2(đvdt) B.8,5a2(đvdt) C.7a2(đvdt) D.8a2(đvdt)

Đáp án

Câu

Đáp án C B C D A

1 Cho hình bình hành có bốn đỉnh nằm bốn cạnh tứ giác, hai đỉnh hình bình hành trung điểm hai cạnh đối diện tứ giác Gọi SBH,STG diện tích hình bình hành điện tích tứ giác Đáp án đúng:

A.

BH TG

S = S B.

2

BH TG

S = S C.

3

BH TG

S = S D.

3

BH TG

S = S

2 Số đo góc đa giác n cạnh lập thành dãy cộng biết góc nhỏ 1100, góc lớn 1600 Khi số cạnh đa giác là:

A.n = B.n = C.n = 12 D.n = 20

3 Cắt bìa hình vng thành hình chữ nhật đường thẳng song song với cạnh hình vng Biết chu vi hình chữ nhật 50cm Khi diện tích S hình vng là: A.S =100cm2 B.S =144cm2 C.S =169cm2 D.S =400cm2

4 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc Gọi E, F, G, H thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Lấy điểm O nằm tứ giác Gọi M, N, P, Q thứ tự điểm đối xứng O qua E, F, G, H Cho biết AC = 4cm, BD = 3cm diện tích S tứ giác MNPQ bao nhiêu?

A.S =9cm2 B.S =16cm2 C.S =12cm2 D.S =20cm2

5 Hình chữ nhật ABCD chia làm hình chữ nhật nhỏ hai đường thẳng qua điểm O nằm đường chéo AC song song với cạnh, cắt cạnh AB, BC, CD, DA M, N< P, Q Biết SAMOQ =18cm S2; MBNO =24cm2 Khi diện tích S hình chữ nhật ABCD bao nhiêu?

A.S =97cm2 B.S =98cm2 C.S =99cm2 D.S =96cm2

6 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Biết MP + NQ =2a, AC = BD = 2b (a>b) Khi diện tích S tứ giác ABCD là:

A.S=2(a2−b2)(đvdt) B.S =2(a2+b2)(đvdt)

C.S =(a2 −b2)(đvdt) D.S =(a2 +b2)(đvdt)

Đáp án

Câu

Đáp án B A D C B A

4 Vận dụng nâng cao

1 Tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao BD, CE Gọi H, K hình chiếu B, C đường thẳng ED Đáp án

A.SBEC +SBDC =SBHKC B.

BEC BDC BHKC

S +S = S

2 Hình thang có độ dài hai đáy tương ứng 6m 10m, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đáy 4m Khi diện tích S hình thang là:

A.S =26cm2 B.S =24cm2 C.S=27cm2 D.S =25cm2

3 Cho tam giác ABC có A≥90 ,o D điểm nằm A C Gọi ,h ha c đường cao

của tam giác tương ứng hạ từ đỉnh A đỉnh C; ,d da c tương ứng khoảng cách từ A, C đến

BD Khẳng định sai?

A.da+dc >hc B.da+dc >ha C.ha <da +dc <hc D.da+dc <hc

4 Cho tam giác ABC vuông cân A, AB = 4cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm M N cho AM = CN Gọi S diện tích tứ giác BCNM Đáp án đúng? A.minS=4cm B.minS=5cm C.minS=6cm D.minS=7cm

5 Một phịng hình vng lát gạch men hình vng cỡ, vừa hết 729 viên (không viên bị xén) Gạch gồm hai loại men trắng men xanh, loại men trắng nằm hai đường chéo nhà, lại men xanh Khi số gạch loại là:

A.Men trắng có 53 viên, men xanh có 676 viên B.Men trắng có 52 viên, men xanh có 677 viên C.Men trắng có 54 viên, men xanh có 675 viên D.Men trắng có 55 viên, men xanh có 674 viên

6 Cho tứ giác ABCD Gọi E G trung điểm AD BC Lấy F H AB CD Biết EFGHlà hình bình hành, G không trùng với trung điểm AB.Đáp án đúng?

A.

3

EFGH ABCD

S > S B.

7

EFGH ABCD

S < S C.

2

EFGH ABCD

S = S D.

5

EFGH ABCD

S = S

Đáp án

Câu

Đáp án A B A C A

Chủ đề

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I Kiến thức

+ Nếu đường thẳng cắt hanh cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

+ Đảo lại, đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác - Hệ : Nếu đường thẳng cắt hai cạnh

tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho

a // BC, suy AM = AN = MN

AB AC BC

Hệ đúng, đường thẳng a song song với cạnh cắt hai đường thẳng chứa hai cạnh - Định lý Ta – lét tổng quát:

Nhiều đường thẳng song song đinh hai cát tuyến cặp đoạn thẳng tỉ lệ

// // ,

a b c suy

' ' ' ' AB A B BC = B C - Bổ đề hình thang:

Trong hình thang hai đáy không nhau, giao điểm hai đường thẳng chứa hai canh bên, giao điểm hai đường chéo trung điểm hai đáy năm đường thẳng - Chùm đường thẳng đồng quy:

Nếu đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song chúng định hai đường thẳng song song cặp đoạn thẳng tỉ lệ

b

c C C

B' B

A' A

d' d

a

a N M

C B

'

//

m m suy AB' ' BC' ' A B = B C - Định lý Xê – va:

Cho tam giácABCvà điểmA B C', ', 'lần lượt nằm ba cạnhBC CA AB, , (A B C', ', ' không trùng với đỉnh tam giác) Khi ta có:AA ,' BB CC', 'đồng quy

' ' '

' . ' . ' 1 A B B C C A A C B A C B =

- Định lý Mê – nê – la- uýt:

Cho tam giácABCvà điểmA B C', ', 'lần lượt nằm đường thẳngBC CA AB, , ( ' ' '

, ,

A B C không trùn với dỉnh tam giác cho điểm có dúng điểm điểm nằm ngồi tam giác.) Khi ta có:A B C', ', 'thẳng hàng

' ' '

' . ' . ' 1 A B B C C A A C B A C B =

2 Tính chất đường phân giác tam giác

- Đường phân giác góc tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng

-Đường phân giác tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng

C' B'

A'

C B A

O

m' m

4 3

2 1

C D

B E

   

1

3

A A DB EB AB DC EC AC A A

 =

 ⇒ = =

 = 

- Định lý đảo: Nếu đường thẳng qua đỉnh tam giác mà chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai cạnh đoạn thẳng đường phân giác ( hay ngồi) góc đỉnh

3 Khái niệm tam giác đồng dạng, trường hợp đồng dạng tam giác - Tam giác A B C' ' 'gọi đồng dạng với tam giácABCnếu:

     ' ' '

' ' ' ' ' '

; ;

A A B B C C A B B C C A

k AB BC CA

 = = =

 

= = =

 

(k gọi tỉ số đồng dạng)

- Tính chất:

+ Tam giácABCđồng dạng với

+ Nếu tam giác A B C' ' 'đồng dạng với tam giácABCvới tỉ số đồng dạng k tam giácABC đồng dạng với tam giác ' ' '

A B C với tỉ số đồng dạng1 k

+ Nếu tam giácA B C'' '' ''đồng dạng với tam giácA B C' ' 'và tam giácA B C' ' 'đồng dạng với tam

giácABCthì tam giácA B C'' '' ''đồng dạng với tam giácABC

- Một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho

- Các trường hợp đồng dạng:

+ Nếu ba cạnh cuat tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng ( c.c.c)

+ Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng (c.g.c)

+ Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với (g.g)

- Hai tam giác đồng dạng với

- Hai tam giác cân đồng dạng có điều kiện sau: + Có cặp góc đáy

+ Có cặp góc đỉnh

+ Có cặp cạn đáy cặp cạnh bên tỉ lệ - Nếu hai tam giác đồng dạng thì:

+ Tỉ số hai đường trung tuyến, hai đường phân giác, hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng

4 Trường hợp đồng dạng tam giác vng, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng - Nếu hai tam giác vuông có góc nhọn hai tam giác đồng dạng

- Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng

- Tỉ số diên tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng II Ví dụ minh họa

1 Nhận biết

Ví dụ 1: Cho tam giácABCcân tạiA.Vẽ đường phân giácBD CE, Trong hình vẽ thu có cặp đường thẳng song song?

A. Có cặp B. Khơng có cặp C Có cặp D. Có cặp Đáp án A

Ta có: B 1=B2⇒ AD = BA;C 1=C2 ⇒ AE = CA

DC BC EB CB

Từ suy AD = AE ⇒DE // BC

DC EB ( cặp đường thẳng song song có hình

vẽ)

Ví dụ 2: Cho hình thangABCD AB ( // CD), hai đường chéo cắt tạiO.Trên đáyCDlấy điểmE F, choOE // AD, OF // BC Đáp án đúng?

A.SODE =SOCF B.SODE =2SOCF C.

2

ODE OCF

S = S D.

4

ODE OCF

S = S

Đáp án A

2 1

D E

C B

A

2

// ⇒ DE = AO; // ⇒ CF = BO; // ⇒ AO = BO

OE AD OF BC AC BD

DC AC CD BD AC BD

Từ kết trên, suy DE = CF ⇒DE =CF ⇒SODE =SOCF

DC DC

2 Thông hiểu

Ví dụ 1: Cho tam giácABC, đường trung tuyếnAD.Lấy điểmOnằm giữaA vàD. QuaOvẽ đường thẳngd cắt tiaAB AC, tạiE F, Biết BE +CF =1

AE AF Khẳng định đúng?

A.AO=OD B.AO=2OD C.

2 =

AO OD D.

4 =

AO OD

Đáp án B

VẽBM // , d CN // d(M N, thuộc đường thẳngAD) Ta có∆MBD= ∆NCD c g c( )⇒DM =DN

Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giácABMvàACNta được:

;

AF

= =

BE MO CF NO

AE AO AO Do đó:

( ) ( )

1

− + +

+

+ = = OD DM OD DN = = ⇔ =

BE CF MO NO OD

AO OD

AE AF AO AO AO

O

C F

E D

B A

d F

E O

M D

N C

B

O A

B

C D

Ví dụ 2: Cho tam giácABCcân tạiA, BC=a AC, =b. Vẽ đường phân giácBD CE, . Đáp án đúng?

A. =

+

ab DE

a b B. = +

ab DE

a b C. = +2

ab DE

a b D. = +

ab DE

a b

Đáp án D

Giải

Ta có: 1 = 2 ⇒ = ;1= 2 ⇒ =

AD BA AE CA

B B C C

DC BC EB CB

Từ suy AD = AE ⇒DE/ /BC

DC EB

Tam giácDEC cân ĐặtDE =DC =xthìAD= −b x Áp dụng hệ định lú Ta – lét ta có:

−

= ⇒ =

DE AD x b x

BC AC a b ⇒ + = ⇒ = = +

ab

ax bx ab x DE

a b

3.Vận dụng

Ví dụ 1: Cho tứ giácABCD, hai đường chéo vng góc với tạiO Biết

2

1

, ,

2

= = AOB =

AB CD AO AC S a Khi diện tíchScủa tứ giác ABCD là: A.S=7a2 B.S =8a2 C.9a2 D.S=10a2

Đáp án C

Từ giả thiết suy

= =

AB AO

CD CO Từ suy hai tam giác vng

,

AOB COD đồng dạng Do

2

2

1

4

AOB

COD COD

S

S a

S

 

=  ⇒ =

 

Vì 2

2

= ⇒ BOC = AOB =

AO

S S a

CO Tương tự

2

2

−

AOD

S a

VậyS =SABCD =a2+4a2+2a2 +2a2 =9a2

2 1

D E

C B

A

2

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, gócBnhọn GọiH K, lần lươt hình chiếu củaBtrên AD vàCD. Đáp án đúng?

A.DA DH +DC DK =2DB2 B.DA DH +DC DK =DB2

C.

2

+ =

DA DH DC DK DB D.

4

+ =

DA DH DC DK DB

Đáp án B Vẽ AI BD⊥

Hai tam giác IDA, HBD đồng dạng nên ta có: DA DI

DA.DH DB.DI

DB = DH ⇒ =

Tương tự DC.DK=DB.BI Từ kết ta có:

( )

DA.DH+DC.DK=DB DI+BI =DB 4 Vận dụng nâng cao

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB, AClần lượt lấy điểm di động M N cho MON =600 Trong khẳng định sau có kết đúng?

Tam giác OMB đồng dạng với tam giác NOC; tích BM.CN khơng đổi; tia MO, NO lần

lượt tia phân giác góc BMN CMN; chu vi tam giác AMN khơng đổi

A.Có kết B.Có kết C.Có kết D.Có kết Đáp án D

Ta có M   1+O1=O2+O1=1200⇒M 1 =O2

2 2

1

1 2

1

F D

E

N

O

B C

A

M

H

K I

A B

D

Suy hai tam giác OMB, NOC đồng dạng (g.g) BM BO CO CN

⇒ =

Suy BM.CN=BO.CO hay

2

BC BM.CN

4

= (không đổi)

Do hai tam giác OMB, NOC đồng dạng nên BM OM

CO = ON hay ta có

BM OM BO = ON Suy BM BO

OM = ON

Mặt khác B =MON=600 Từ kết suy hai tam giác OMB, NMO đồng dạng (c.g.c) Suy M 1 =M2 Hoàn toàn tương tự ta có N 1=N2 Vậy tia MO, NO

các tia phân giác góc BMNvà CMN

Vẽ OD MN, OE AB, OF AC⊥ ⊥ ⊥ Vì O cố định nên E, F cố định Ta có MD=ME, ND=NF

Chu vi ∆AMN=AM+MD+ND+NA=AM+ME+NF+NA=AE+AF

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng B Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD 1CA

=

Vẽ DF⊥AB F( ∈AB) Gọi E trung điểm DF Đáp án đúng? A.BE=CD B.BD=2CD C.BE 1CD

2

= D.BE 1CD

4

=

Đáp án A

Ta có CD 1CA CD 1; FE ED FE

3 AD FD

= ⇒ = = ⇒ =

Ta có FD BC (vì vng góc với AB) Suy BF CD AF = AD =

2 1 2 1

E

F D

B C

Xét hai tam giác vuông BFE AFD có BF FE

AF = FD = nên hai tam giác vuông đồng dạng (c.g.c) Suy E 1=D1⇒E 2 =D2

Tứ giác BCDE có DE BC E 2 =D2 nên BCDE hình thang cân ⇒BE=CD III Bài tập trắc nghiệm

1 Nhận biết

1 Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC ( E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC) Độ dài x cạnh hình thoi bao nhiêu? Biết AB c, BC a= =

A.x ac a c

=

+ B.

2ac x

a c

=

+ C.

ac x

2a c

=

+ D.

2ac x

a 2c

=

+

2 Cho hình thang ABCD có AB CD , AB<CD Gọi O giao điểm hai đường chéo,

K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự M, N Trong kết sau có kết đúng?

MA MB MA MB

; ; MA MB; NC ND MD = NC NC = ND = =

A.Có kết B.Có kết C.Có kết D.Có kết

3 Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo m, điểm M thuộc cạnh AB Lần lượt vẽ

ME BD ( E thuộc AD), EG AC (G thuộc CD), GH BD ( H thuộc BC) Gọi p nửa

chu vi tứ giác MEGH Đáp án đúng? A.p=2m B.p=m C.p 3m

4

= D.p 3m

2

=

4 Cho tam giác ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ

số 1: Các điểm I, K theo thứ tự chia đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1: Nối ED, DF, FE, IK Trong hình vẽ thu có cặp đoạn thẳng song song?

A. Có cặp B.Có cặp C.Có cặp D.Có cặp

5 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng d qua A cắt đường chéo BD P , cắt đường thẳng BC CD M N Đáp án đúng?

A.BM.DN 1AB.AD

= B.BM.DN 2AB.AD

3

=

C.BM.DN=AB.AD D.BM.DN =2AB.AD

A. BA BC 2BD

BM+BN = BI B.

BA BC BD

2

BM +BN = BI C. BA 2BC 2BD

BM + BN = BI D.

BA BC BD BM+ BN = BI Đáp án

Câu

Đáp án A D B A C D

2 Thông hiểu

1 Cho tam giác ABC(AC>AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD=CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Đáp án đúng?

A.KE BA

KD = BC B.

KE AB KD = AC C.KE CB

KD =CA D.Cả ba kết sai

2 Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c, đường phân giác AD Đáp án đúng?

A.BD ab b c

=

+ B.

bc BD

c a

= +

C.BD ac c b

=

+ D.Cả đáp án sai

3 Cho hình thang ABCD(AB CD ), hai đường chéo cắt O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD BC M N Kết sau đúng? A. 1

AB+CD = MN B.

1 1

AB+CD = MN C. 2

AB+CD = MN D.

1

AB+CD = MN

4 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD lấy điểm O Tia COcắt AB M , tia BO cắt AC N Đáp án đúng?

A.SBOM =2SCON B.SBOM =SCON

C.SBOM 1SCON

= D.SBOM 2SCON

3

5 Tam giác ABC có AB=4cm, AC=3cm Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD=2AE Điểm F chia đoạn thẳng DE theo tỉ số

2 Tia AF cắt BC M Đáp án đúng?

A.MB 1MC

= B.MB 2MC

3

= C.MB=MC D.MB=2MC

6 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM, CN Biết ABM =ACN Đáp án đúng?

A.BM 1CN

= B.BM 2CN

3

= C.BM =2CN D.BM=CN

Đáp án

Câu

Đáp án B C A B C D

3 Vận dụng

1 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Kẻ tia Cx cho DCx =BAD (tia Cx khác phía với A BC) Tia Cx cắt AD kéo dài I Đáp án đúng?

A.AD.DI=BD.DC B.AD.DI=2BD.DC

C.AD.DI=3BD.DC D.AD.DI=4BD.DC

2 Cho tam giác ABC có góc B C nhọn, BC=a, đường cao AH=h Cạnh x hình vng MNPQ bao nhiêu? Biết M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q

thuộc cạnh BC A.x 2ah

a h

=

+ B.

2ah x

a 2h

=

+ C.

ah x

a h

=

+ D.

ah x

a 2h

= +

3 Cho O điểm nằm tam giác ABC Trên OA lấy điểm D cho

OD OA

= Qua D vẽ đường thẳng song song với AB cắt OB E Qua E vẽ đường thẳng song song với BC cắt OC F Khẳng định đúng?

A.Tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k

=

B.Tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k

=

C.Tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k

D.Tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k

=

4 Cho tam giác ABC cân A,A=1350 Trên cạnh BC lấy điểm M N cho AM ⊥AC, AN⊥AB Khẳng định đúng?

A.BM2 =2BC.MN B.BM2 =BC.MN C.BM2 1BC.MN

2

= D.BM2 2BC.MN

3

=

5 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Vẽ DE AB, DF AC  ( E thuộc AC, F thuộc AB ) Cho biết AB=3cm, AC=6cm Khi nửa chu vi p tứ giác AEDF bao nhiêu?

A.p=4cm B.p=5cm C.p=6cm D.p=7cm

6 Cho tam giác ABC, đường phân giác góc B góc C cắt O Trên cạnh

BClấy điểm D không trùng với trung điểm Vẽ DE AB⊥ cắt OB M , vẽ

DF⊥AC cắt OC N Đáp án đúng?

A.DM 2DE

DN = DF B.

DM DE DN = DF C.DM DE

DN =2 DF D.

DM DE DN =4 DF Đáp án

Câu

Đáp án A C D B D B

4 Vận dụng nâng cao

1 Cho tam giác ABC vuông A , biết đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác AHB AHC có chu vi theo thứ tự 18cm 24 cm Gọi p nửa chu vi tam giác

ABC Đáp án đúng?

A.p 14= cm B.p 15= cm C.p 16= cm D.p 17= cm

2 Tam giác ABH vng H có AB=20cm, BH=12cm Trên tia đối tia HB lấy điểm C cho AC 5AH

3

= Đáp án đúng?

A.BAC=900 B.BAC 120 = C.BAC=450 D.BAC=600

3 Cho tam giác ABC hình bình hành AEDF có E thuộc AB, D thuộc BC, F thuộc AC Biết SEBD =3

cm ; SFDC =12

A.S=9cm B.S 10= cm C.S 15= cm D.S 12= cm

4 Một đèn đặt cao vị trí A , hình chiếu vng góc mặt đất H Người ta đặt cọc dài 1, 6m thẳng đứng hai vị trí B C thẳng hàng với H , bóng cọc dài 0, 4m 0,6m Biết BC 1, 4= m, độ cao AH bao nhiêu?

A.AH =3m B.AH=4m C.AH=3,84m D.AH=3,85m

5 Cho tam giác ABC, góc B C nhọn Hai đường cao BE, CF cắt H Trong khẳng định sau có kết đúng? AB.AF=AC.AE; tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC; BH.BE+CH.CF=BC2

A. Khơng có kết B.Có kết

C.Có kết D.Cả3 kết

6 Cho tam giác ABC, vẽ hình bình hành AMON cho M∈AB, O∈BC, N∈AC Biết

2

MOB NOC

S =a , S =b Khi diện tích S hình bình hành AMON bao nhiêu?

A.S=ab B.S=2ab C.S 1(a2 b2)

= + D. ( 2)

S= a +b

Đáp án

Câu

Chủ đề

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH CHĨP ĐỀU I Kiến thức

1 Hình hộp chữ nhật

- Hình ảnh hình hộp chữ nhật hình có mặt hình chữ nhật biểu diễn sau:

- Đặc biệt: Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng - Nhận xét:

+ Đường thẳng qua điểm A, B mặt phẳng (ABCD)thì nằm trọn mặt phẳng (ta hình dung mặt phẳng trải rộng phía)

+ Qua ba điểm khơng thẳng hàng có suy mặt phẳng, thường kí hiệu mp( )P + Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm (đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng)

- Vị trí hai đường thẳng phân biệt không gian:

+ Hai đường thẳng cắt chúng có điểm chung Khi có mặt phẳng chứa hai đường thẳng

+ Hai đường thẳng song song chúng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung (chẳng hạn, hình biểu diễn hình hộp chữ nhật AB CD )

+ Hai đường thẳng chéo chúng không nằm mặt phẳng (chẳng hạn, hình biểu diễn hình hộp chữ nhật AB CC ' hai đường thẳng chéo nhau)

- Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song

+ Nếu đường thẳng a không thuộc mp( )P mà song song với đường thẳng nằm mp( )P đường thẳng a song song với mp( )P

+ Nếu mp( )Q chứa hai đường thẳng a, b cắt mà a b song song với mp( )P mp( )Q mp( )P (chẳng hạn, hình biểu diễn hình hộp chữ nhật mp(ABCD) mp

(A 'B'C 'D ') )

C'

B' A'

A B

D

C

- Đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc

+ Nếu đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mp( )P đường thẳng a vng góc với mp( )P Khi đường thẳng a vng góc với đường thẳng mp( )P

+ Nếu hai mp( )P mp( )Q chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cịn lại mp( )P vng góc với mp( )Q

- Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật chu vi đáy nhân với chiều cao + Sxq =2ph (p nửa chu vi đáy, h chiều cao)

+ Stp =Sxq +2SđáyĐ

Đặc biệt, hình lập phương cạnh a thì: xq

S =4a ; Stp =6a2 - Thể tích hình hộp chữ nhật tích ba kích thước: V a.b.c= Đặc biệt, thể tích hình lập phương cạnh a

V=a

- Trong hình hộp chữ nhật: bốn đường chéo đồng quy trung điểm đường; bình phương đường chéo tổng bình phương ba kích thước

2 Hình lăng trụ đứng, diện tích xung quanh thể tích hình lăng trụ đứng - Hình ảnh hình lăng trụ đứng mô tả sau:

+ Hai đáy hai đa giác nhau, nằm hai mặt phẳng song song

+ Các mặt bên hình chữ nhật Các mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy

+ Các cạnh bên song song nhau, chúng vng góc với mặt phẳng đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao

+ Hỡnh lăng trụ đứng cú đỏy hỡnh bỡnh hành gọi hỡnh hộp đứng - Sxq =2ph (p nửa chu vi đỏy, h chiều cao); Stp =Sxq +2.Sđáy

A' B'

C' D'

D

C A

E

B

- V=S.h (S diện tích đáy, h chiều cao)

- Hình lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác

- Sự liên hệ số cạnh đáy với số mặt, số đỉnh số cạnh hình lăng trụ Số cạnh đáy Số mặt Số đỉnh Số cạnh

n n+2 2n 3n

3 Hình chóp hình chóp cụt Diện tích xung quanh thể tích hình chóp - Hình chóp mơ tả sau:

+ Đáy đa giác

+ Các mặt bên tam giác chung đỉnh

+ Đường cao đường vng góc hạ từ đỉnh xuống mặt phẳng đáy

- Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đáy Trong hình chóp đều:

+ Các cạnh bên

+ Các mặt bên tam giác cân

+ Chiều cao mặt bên gọi trung đoạn hình chóp

- Hình chóp có đáy đa giác tất cạnh bên hình chóp - Hình chóp cụt đều:

+ Cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy, phần hình chóp nằm mặt phẳng mặt phẳng đáy hình chóp cụt

+ Mỗi mặt bên hình chóp cụt hình thang cân

+ Chiều cao hình thang cân (mặt bên) gọi trung đoạn hình chóp cụt - Diện tích xung quanh, thể tích hình chóp, hình chóp cụt:

+ Hình chóp đều: Sxq =p.d (p nửa chu vi đáy, d trung đoạn)

O

A B

D C

+ Hình chóp cụt đều: Sxq =(p+p ' d) (p; p ' nửa chu vi đáy, d trung đoạn) + Hình chóp bất kì: V

+ Hình chóp cụt bất kì: Muốn tính thể tích hình chóp cụt ta tính hiệu thể tích hai hình chóp dùng công thức:

( )

= + +

chãp côt

V S S ' SS '

3 (S, S' diện tích hai đáy, h chiều cao)

II Ví dụ minh họa 1 Nhận biết

Ví dụ 1: Trong hình hộp chữ nhật có kích thước số nguyên a, b, c mà a+ + =b c 9, hình tích V lớn bao nhiêu?

A.max V=24 B.max V=27 C.max V =16 D.max V =15

Đáp án B

Xét tất trường hợp hình hộp chữ nhật có kích thước nguyên tổng 9:

1

V =1.1.7=7; V2 =1.2.6 12;= V3=1.3.5 15;= V4 =1.4.4 16=

5

V =2.2.5=20; V6 =2.3.4=24; V7 =3.3.3=27

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B'C 'D ' có AB 16= cm, AD=12cm, AC '=29cm Thể tích V hình hộp chữ nhật bao nhiêu?

A.

V=4032 cm B.

V=4034 cm C.

V=4030 cm D.

V=4036 cm

Đáp án A

Ta có: AC '2 =AB2+AD2+AA '2 Suy 292 =162+122+AA '2 Suy AA '=21 Vậy V=12.16.21=4032(cm )

2 Thông hiểu

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C ', đáy tam giác vuông cân A Biết lăng trụ

có chiều cao 8cm, thể tích 100 cm3, diện tích xung quanh S cxq lăng trụ là: A.Sxq =40 3( + cm) B.Sxq =40 3( + cm)

Ta có: V=S.h, suy Sd V 100 25

h

= = = (cm )

Đặt AB=AC=a

2 d

a 25

S a

2

= = ⇒ = Suy BC=a =5

Vậy Sxq =2p.h =(5 5 8+ + ) =40 2( + 2) cm

Ví dụ 2: Một hình chóp hình lăng trụ đứng có diện tích đáy Chiều cao hình chóp gấp đơi chiều cao hình lăng trụ Tỉ số T thể tích hình chóp hình lăng trụ bằng:

A.T

= B.T

3

= C.T

2

= D.T

5

=

Đáp án B

Gọi S h theo thứ tự diện tích đáy chiều cao hình lăng trụ Khi hình chóp có diện tích đáy S chiều cao 2h

Thể tích hình chóp: V1 1S.2h 2S.h

3

= = Thể tích hình lăng trụ: V2 =S.h

Từ suy T

=

3 Vận dụng

Ví dụ 1: Hình chóp tam giác có cạnh đáy cạnh bên Thể tích V

của hình chóp là: A.V

2

= (đvtt) B.V

= (đvtt) C.V

= (đvtt) D.V

= (đvtt)

Đáp án C

B' C'

A B

C

Kí hiệu hình vẽ (hình chóp có đỉnh A, đáy tam giác BCD, chân đường cao H) Khi BH cắt BC trung điểm M BC (tính chất tam giác đều)

Xét tam giác CBM vuông M:

( )2

2 2 3

2

2 2

BM =BC −CM = −  = ⇒BM =

 

Suy 2

3 3

BH = BM = = Xét tam giác AHB vuông H:

2

2 2 1

1

3

3

AH = AB −BH = −  = ⇒ AH =

 

Suy 3

2 2

BCD

S = CD BM = =

Vậy 1 BCD 3

V = S AH = = (đvtt)

Ví dụ 2:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a mặt bên tam giác Trong khẳng định sau có kết đúng?

Hình chóp S ABCD hình chóp đều; diện tích đáy tổng diện tích hai mặt chéo (SAC) (SBD); diện tích xung quang hình chóp Sxq =a2 (đvdt)

A Có kết B.Có kết C Có kết D.Có kết Đáp án D

H M

B D

Ta có 2

a AC=a ⇒OA=

Xét tam giác SOA vng O có ; 2

a SA=a OA=

Suy

2

2 2 2

2

a a

SO =SA =OA =a −  ⇒SO=

 

Tổng diện tích hai mặt chéo (SAC) (ABD)

2

1

2

2

a

AC SO a a

  = =

 

  = diện tích đáy

Các mặt bên tam giác cạnh a, ta có:

2

2

3

4

4

xq a

S = =a (đvdt)

Thể tích hình chóp

3

1 2

3

a a

V = S h= a = (đvtt)

4 Vận dụng nâng cao

Ví dụ 1: Một hình chóp cụt có đáy hình vng, cạnh đáy a b Biết diện tích xung quanh hình chóp cụt tổng diện tích hai đáy, chiểu cao h hình chóp cụt là:

A

( )

2

2

a b

h

a b

+ =

+ B. ( )

2

a b

h

a b

+ =

+ C. 2( )

a b h

a b

+ =

+ D. 2( )

a b h

a b

+ =

+

Đáp án D

B

C D

O A

Các kí hiệu minh họa hình vẽ

Diện tích xung quanh hình chóp cụt tổng diện tích hai đáy nên:

( ) 2 ( 2)

2

2

a b

a b d a b d

a b

+

+ = + ⇒ =

+

Gọi I, I’ theo thứ tự trung điểm BC, B’C’ Ta có O’I’// A’B’// AB// OI Suy O’I’ OI xác định mặt phẳng (O’I’IO) Trên mặt phẳng kẻ I H' ⊥OI

Đặt I I' =d I H, ' =O O' =h Ta có:

2

a b

HI =OI −OH = − Từ suy ra:

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2

2

'

4

a b a b a b ab

h I I HI h

a b

a b a b

+ −

= − = − = ⇒ =

+

+ +

Ví dụ 2: Một hình lập phương lớn cạnh ghép lại từ 64 hình lập phương nhỏ cạnh Người ta sơn tất mặt hình lập phương lớn Khẳng định sai?

A Số hình lập phương nhỏ cạnh có mặt sơn 24 B.Số hình lập phương nhỏ cạnh có hai mặt sơn 24 C.Số hình lập phương nhỏ cạnh có ba mặt sơn D.Số hình lập phương nhỏ cạnh khơng có mặt sơn 12 Đáp án D

Ở mặt có hình lập phương nhỏ sơn mặt Do mặt có = 24 hình

Ở cạnh có hình lập phương nhỏ sơn hai mặt Do 12 cạnh có 12 = 24 hình

Ở đỉnh có hình lập phương nhỏ sơn ba mặt ( hình góc)

O'

I'

I H h

B'

C' D'

A'

a O

D C

Do đỉnh có = hình

Các hình lập phương nhỏ khơng có mặt sơn hình lập phương nhỏ bên trong, chúng tạo thành hình lập phương có cạnh, gồm 2 = hình

III Bài tập trắc nghiệm 1 Nhận biết

1 Khẳng định sai?

A Trong hình hộp đường chéo đồng quy trung điểm đường B.Trong hình hộp đứng tất mặt hình chữ nhật

C.Trong hình hộp chữ nhật đường chéo

D.Trong hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c cho a2+b2+c2 đại lượng

không đổi đường chéo hình hộp chữ nhật có độ dài khơng đổi

2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Hỏi mp(BDD’B’) (ACC’A’) cắt theo giao tuyến nào?

A Là đường thẳng AA’ B.Là đường thẳng BB’ C.Là đường thẳng CC’ D.Một đáp án khác

3. Gọi M, Đ, C số mặt, số đỉnh số cạnh hình lăng trụ Đáp án đúng? A M + Đ – C = B.M + Đ – C =

C.M + Đ – C = D.M + Đ – C =

4. Một hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thước 19cm, diện tích tồn phần 192cm2 Khi đường chéo hình hộp chữ nhật có độ dài là:

A d = 12 B.d = 14 C.d = 13 D.d = 15

5 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đường cao cạnh đáy a Khi diện tích tồn phần Stp lăng trụ là:

A ( )

4

tp

S a

+

= (đvdt) B. ( )

6

tp

S a

+

= (đvdt)

C. ( )

2

tp

S a

+

= (đvdt) D. ( )

6

tp

S a

+

= (đvdt)

6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Khẳng định đúng? A Hình chóp CC’BD hình chóp có đỉnh C

D.Hình chóp CC’BD hình chóp có đỉnh D Đáp án

Câu

Đáp án B D A C D A

2 Thông hiểu

1.Đường chéo hình lập phương 5cm Khi diện tích tồn phần Stp hình lập phương là:

A Stp =50cm2 B Stp =55cm2 C Stp =60cm2 D Stp =50cm2

2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Biết AB = 7cm, AC’ = 10cm AC A' '=30° Khi thể tích V hình hộp chữ nhật là:

A ( )3

45 26

V = cm B. ( )3

35 26

V = cm C. ( )3

40 26

V = cm D. ( )3

30 26

V = cm

3 Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi M trung điểm AB BiếtSM =5cm, 29

SA= Khi diện tích tồn phần Stp hình chóp là:

A ( )3

30

V = + cm B.V =30+3 3( )cm3

C. ( )3

30

V = + cm D. ( )3

30

V = + cm

4 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, chiều cao 15cm, thể tích 1280cm3 Khi diện

tích xung quanh Sxq hình chóp là:

A

548

xq

S = cm B.

542

xq

S = cm

C.Sxq =546cm2 D.Sxq =544cm2

5. Một hình hộp chữ nhật có tổng độ dài cạnh 140cm, khoảng cách từ đỉnh đến đỉnh xa 21cm Diện tích tồn phần Stp hình hộp chữ nhật là:

A

784

tp

S = cm B.

786

tp

S = cm

C.Stp =788cm2 D. Một đáp án khác

6 Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng, diện tích mặt chéo

(BDD B' ') 80cm2, M N theo thứ tự trung điểm AA’ CC’, MN = 8cm Thể tích V hình hộp chữ nhật là:

A V =300cm3 B.V =310cm3

C.V =320cm3 D.V =350cm3

Câu

Đáp án A B C D A C

3 Vận dụng

1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi E, F, G, H, M, N trung điểm CD’, CB’, CC’, B’C’, C’D’ Trong khẳng định sau có kết đúng?

Tứ giác EFMN hình bình hành; CC’// mp(EFMN); mp(EFG)// mp(A’B’C’D’);

( ) ( ' ')

mp EFG ⊥mp CC D

A Có kết B.Có kết C.Có kết D.Cả kết

2 Một lăng trụ có tổng số mặt, số đỉnh số cạnh 20 Biết diện tích xung quang

2

360cm , chiều cao 12cm Khi thể tích V lăng trụ là: A V =300 3cm3 B.V =300 2cm3

C.

200

V = cm D.

200

V = cm

3. Một hình chóp cụt tứ giác đều, cạnh đáy lớn a, cạnh đáy nhỏ b, chiều cao

ab

a+b Đáp án đúng?

A Sxq= 2(Sđáy to + Sđáy nhỏ) B.Sxq= (Sđáy to + Sđáy nhỏ)

C.Sxq=

2(Sđáy to + Sđáy nhỏ) D.Sxq=

2(Sđáy to + Sđáy nhỏ)

4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Điểm E chia DB theo tỉ số 1: 3, điểm F chia B’A theo tỉ số 1: 3, điểm M chia DA theo tỉ số 1: Trong khẳng định sau có kết đúng?

Tứ giác A’B’CD hình chữ nhật; mp(EMF)// mp(A’B’CD); EF// mp(A’B’CD); diện tích hình chữ nhật A’B’CD a2 (đvdt)

A.Có kết B.Có kết đúng C. Có kết D.Cả kết

5 Một hòm hình chữ nhật có chiều dài 36cm, chiều rộng 15cm, chiều cao 16cm Số hình lập phương cạnh 3cm nhiều chứa hịm là:

A.180 B.300 C. 320 D.192

6 Một hình hộp chữ nhật ghép 42 hình lập phương cạnh 1cm Biết chu vi đáy hình hộp chữ nhật 18cm Khi tổng ba kích thước hình hộp chữ nhật

Đáp án

Câu

Đáp án D A B D B A

4 Vận dụng nâng cao

1 Một khối gỗ hình lập phương cạnh dài n đơn vị (n∈,n>2) sơn xanh tất mặt Xẻ khối gỗ lát cắt song song với mặt, chia khối gỗ thành n3 hình lập

phương đơn vị Biết khối nhỏ không sơn mặt

3 số khối nhỏ sơn mặt Khi n nhận giá trị là:

A.n = B.n = C.n = D.n =

2 Một khối gỗ hình lập phương cạnh 3dm Ở mặt người ta đục lỗ thông tới mặt đối diện Mặt lỗ đục hình vng cạnh 1dm song song với cạnh hình lập phương Khi tổng diện tích S mặt ngồi mặt khối gỗ là:

A.S =74cm3 B.S =72cm3 C.S =76cm3 D.S =70cm3

3 Một bể cá hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có chiều dài AB = 50cm, chiều rộng AD = 40cm, chiều cao AA’ = 30cm Trong bể có nước khơng đầy Nếu ta cho bể nằm nghiêng cạnh đáy AB tới mép nước dâng lên tới sát cạnh A’B’ thành đối diện, mép nước rút xuống cách cạnh CD 10cm Khi thể tích V nước bể cá là: A.V =50dm3 B.V =55dm3 C.V =40dm3 D.V =45dm3

4 Một nhện vị trí E gian phịng hình lập phương (E nằm AB

3

AE = AB) Con nhện muốn bò qua sáu mặt gian phòng trở E Gọi S quãng đường mà nhện Đáp án sau đúng? Biết bề mặt gian phịng có đường chéo 6m

A.minS = 18m B.minS = 21m C.minS = 15m D.minS = 24m

5 Người ta viết vào sáu mặt hình lập phương sáu số có tổng 21 Sau đỉnh hình lập phương, ta ghi số tổng số mặt chứa đỉnh Tổng S số đỉnh là:

A.S = 80 B.S = 80 C.S = 84 D.S = 88

6 Mỗi hình lập phương cạnh 5cm ghép 125 hình lập phương nhỏ cạnh 1cm Số hình lập phương nhỏ giáp với mặt hình lập phương nhỏ khác là:

A.24 B.27 C.21 D.30 Đáp án

Câu

PHẦN II: ĐỀ KIỂM TRA I Đề kiểm tra tiết

A Phần đại số

1 Đa thức x3+y3+ −z3 3xyz phân tích thành:

A x3+y3+z3−3xyz=(x+ +y z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)

B x3+y3+z3−3xyz=(x+ +y z)(x2+ y2+z2− − −x y z)

C x3+y3+z3−3xyz=(x+ +y z)2(x2+ y2+z2)−xy−yz−zx

D x3+y3+z3−3xyz=(x+ +y z)x2+ y2+z2−2(xy+yz+zx)

2 Đa thức P x( )= x3−6x+5 chia hết cho đa thức nào?

A. x−2 B. x+2 C. x−1 D. x+1

3 Cho x, y thỏa mãn điều kiện (x−2y)(x−7y)−x2+4y2:(x−2y)=18 Giá trị x, y là:

A x tùy ý; y = B x≠ −4; y= −2

C x tùy ý; y= −2 D x≠ −4; y=2

4 Có giá trị số tự nhiên n, cho đơn thức −7xn+1y6 chia hết cho đơn thức

5

4x yn

A. Khơng có giá trị B. có giá trị

C. Có giá trị D. Có giá trị 5 Cho ( 3) 5

75 45 : :

2

P= x y − x y x y − x y − xy  xy

  Khẳng định sai?

A. P≥0, ∀x y, ≠0 B. P>0, ∀x y, ≠0 5x≠2y

C. P= ⇔0 5x=2y≠0 D. P nhận giá trị âm dương 6 Giá trị nhỏ thương ( ) ( )

4x +2x +4x − −x : 2x + −x là:

A.

2 B.

1

4 C.

1

6 D.

1 7 Đa thức P= x6−x4−9x3+9x2 phân tích thành:

B P=x6−x4−9x3+9x2 = x2(x−1)(x3+x2−9)

C P=x6−x4−9x3+9x2 = x2(x+9)(x3+x2+1)

D P=x6−x4−9x3+9x2 = x2(x−9)(x3+x2−1)

8 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện (x+y)(y+z)(z+x)=8xyz Kết luận đúng?

A x+ =y z B y+ =z x C z+ =x y D x= =y z

9. Có giá trị nguyên x để thương (3x3+13x2−7x+5 : 3) ( x−2) nhận giá trị nguyên?

A. Có giá trị B. Có giá trị

C. Có giá trị D. Có giá trị 10 Trong đẳng thức sau, có đẳng thức đúng?

( )4 ( )2

4 2

2

x +y + x+y = x +xy+y

( ) ( ) ( ) ( )( )

xy x+ y +yz y+z +zx z+x + xyz= x+ +y z xy+ yz+zx

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

xy x+ y −yz y+z −zx z−x = x+y y+z z−x

( 2) ( 2) ( 2) ( )( )( )

x y −z + y z −x +z x −y = x−y y−z z−x

A.Có đẳng thức B.Có đẳng thức C.Có đẳng thức D. Cả đẳng thức 11 Cho x> >y z Bất đẳng thức đúng?

A x4(y− +z) y4(z−x)+z4(x−y)>0

B x4(y− +z) y4(z−x)+z4(x−y)<0

C x4(y− +z) y4(z−x)+z4(x−y)>1

D x4(y− +z) y4(z−x)+z4(x−y)>1

12 Có giá trị nguyên x để thương ( ) ( )

2x +4x −7x −44 : 2x −7 nhận giá trị nguyên?

A. Có giá trị B. Có giá trị C. Có giá trị D. Có giá trị

13. Có giá trị nguyên x để thương (x6−x4−2x2+9 :) (x4+x2) nhận giá trị nguyên?

A. Khơng có giá trị B. Có giá trị

C. Có giá trị D. Có giá trị 14 Kết phép tính:

2

2

6

4 10 25

x x x x

P

x x x x

+ − − −

=

+ + − + là:

A.

5

x P

x

+ =

+ B.

2

x P

x

− =

+ C.

2

x P

x

− =

− D.

2

x P

x

+ =

15 Cho 1 x y P y x + = +

Có cặp giá trị nguyên dương x y với x+ ≤y 50 để P có

giá trị 8?

A. Có cặp B. Có cặp C. Có cặp D. Có 10 cặp 16 Cho x, y, z khác x y z x y z x y z

x y z

− − = − + − =− − +

Khi biểu thức y z x

P

x y z

 

   

= +  +  + 

    nhận giá trị khác nhau?

A. Vô số giá trị khác B. giá trị khác

C. giá trị khác D. giá trị khác 17 Có giá trị nguyên x để biểu thức:

2

3 2

3

:

3 27 3 27

x x x

P

x x x x x x x x

 +   

= +   − 

+ + + +  − − + − 

  nhận giá trị nguyên?

A. Có giá trị B. Có giá trị C. Có 10 giá trị D. Có giá trị 18. Cho x, y, z khác – Khi biểu thức:

2 2

1 1

xy x yz y zx z

P

xy x y yz y z zx z x

+ + + + + +

= + +

+ + + + + + + + + nhận giá trị?

A. Nhận vô số giá trị khác B. Luôn nhận giá trị (hằng số)

C. Nhận giá trị khác D. Nhận giá trị khác 19 Cho x=by+cz y; =ax+cz z; =ax by x+ ; + + ≠y z 0; xyz≠0 Khi ta có:

A 1 1

1+a+1+b+1+c = B

1 1

4 1+a +1+b+1+c =

C 1

1+a+1+b+1+c = D

1 1

2 1+a +1+b+1+c =

20 Cho

n n n n x x a x x − − − =

+ với

*

n∈ Khi

2 2 n n n n x x P x x − − − =

+ có giá trị là:

A. 2

1

a P

a

=

+ B.

1

a P

a

=

+ C.

3 a P a =

+ D.

n a P a = +

21 Cho bốn số a, b, x, y cho ab=1,ax by+ =2 Đáp án đúng? A xy≥2 B xy≥4 C xy≤3 D xy≤1 22 Cho x+ + =y z Đáp án đúng?

A. (x2+ y2+z2)2 =2(x4+ y4+z4) B. (x2+ y2+z2) (2 = x4+y4+z4)

C. (x2+ y2+z2)2 =4(x4+ y4+z4) D. (x2+y2+z2) (2 =3 x4+ y4+z4)

23 Cho x, y hai số khác 0, thỏa mãn (x+y)5 =x5+ y5 Đáp án đúng?

A x= y B x= −y C x = 2y D x= −2y

A 2(x6−y6) (−3 x4+y4)= −2 B 2(x6−y6) (−3 x4+ y4)=2

C 2(x6−y6) (−3 x4+y4)= −1 D 2(x6−y6) (−3 x4+y4)=1 25 Khẳng định khẳng định sau sai?

A. Với số nguyên dương n, biểu thức 5+ + ++(2n−1) ln số phương

B. Với số nguyên dương n, biểu thức 13+23+ + +33  n3 ln số phương

C. Với số nguyên dương x, y, biểu thức (x−y)(x−2y)(x−3y)(x−4y)+y4 ln số phương

D. Với số nguyên dương n, biểu thức (n+1)(n+3)(n+4)(n+6)+8 số phương

26 Cho A số phương m số tự nhiên tùy ý Khẳng định sau đúng?

A. Không tồn số tự nhiên n cho A mn+ số phương

B. Tồn số tự nhiên n, cho A mn+ số phương

C.Có m số tự nhiên n, cho A mn+ số phương

D. Tồn vơ hạn số tự nhiên n, cho A mn+ số phương 27 Các số A, B, C thỏa mãn

( ) ( ) ( )

2

3

4

2

2 2

x x A B C

x

x x x

+ + = + +

+

+ + + là:

A. A B C =   = −   =  B. A B C =   =   =  C. A B C =   = −   = −  D. A B C = −   =   = 

28 Cho x y z 0, x y z xyz, 1

x y z

≠ + + = + + + Khi giá trị biểu thức

2 2

1 1

P

x y z

= + + là:

A. P=2 B. P=1 C.

2

P= D.

2

P=

29 Cho x y z 0, x y y, z z, x y−z + z−x+ x−y = ≠ ≠ ≠

Giá trị biểu thức

( ) (2 ) (2 )2

x y z

y−z + z−x + x−y là:

A. P= −1 B. P=1 C. P=0 D. Một đáp án khác 30 Có giá trị nguyên x để biểu thức:

2

2 2

2 2

2 8

x x x x

P

x x x x x x

 −  − 

= −  + 

+ − + −  

  nhận giá trị nguyên?

A. Có giá trị B. Có giá trị

C. Có giá trị D. Khơng có giá trị Đáp án

Câu 10

Đáp án A C B D D A B D B C

Đáp án A D A C B C A B D A Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án D A B C D D A B C B

B Phần hình học

1 Hình thang cân ABCD (AB// CD) có đường chéo BD chia hình thang thành hai tam giác cân: tam giác ABD cân A tam giác BCD cân D Khi góc nhọn hình thang có độ lớn là:

A 70° B 73° C 74° D 72°

2. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d qua G, cắt đoạn thẳng AB, AC Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C d Đáp án đúng?

A. BB'+CC'=AA' B. BB' AA'+ =CC'

C. AA'+CC'=BB' D. Cả ba đáp án sai

3.Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (MA>MB) Trên nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ tam giác AMC, BMD.Gọi E, F, I, K trung điểm CM, CB, DM, DA.Trong khẳng định sau, có kết đúng?

//

EF KI ;  60 ; ;

2

o

AKI = KF = CD KF =EI

A. Có kết B. Có kết

C. Có kết D. Cả kết

4. Gọi H hình chiếu đỉnh B đường chéo AC hình chữ nhật ABCD, M, K, I, O trung điểm AH, CD, AB, IC Đáp án sai?

A

2

MO = IC B.BMK =90o C. IC =KB D.BMK =80o

5. Trong tứ giác ABCD, gọi A’, B’, C’, D’ trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC.Trong khẳng định sau, có kết đúng?

Các đường thẳng AA’

, BB’, CC’ đồng quy; đường thẳng AA’, BB’, DD’ đồng quy; đường thẳng AA’, DD’, CC’ không đồng quy; đường thẳng BB’, DD’, CC’ không đồng quy

A. Có kết B. Có kết

C. Có kết D. Cả kết

6. Cho tam giác ABC có A=60o, đường phân giác BD CE cắt I Qua E kẻ đường vng góc với BD, cắt BC F Khẳng định sai?

A.E F đối xứng với qua BD B.C D đối xứng với qua BD C.Góc có độ lớn 130o D. IF tia phân giác góc BIC

Tứ giác EAFC có cặp cạnh đối nhau; tứ giác BEAF có cặp cạnh đối nhau; tứ giác EAFD hình bình hành ; ba tam giác DBC, EBA, FAC có hai tam giác

A.Có kết B. Có kết

C. Có kết D. Cả kết

8.Cho ba điểm phân biệt O, D, E Dựng tam giác ABC cho O giao điểm đường phân giác BD, CE Trong khẳng định sau có kết đúng?

Nếu DOE ≤90o tốn khơng có nghiệm hình; D, O, E thẳng hàng tốn khơng có nghiệm hình; tam giác DOE cân O O =120othì tốn có vơ số nghiệm hình ; tam giác DOE cân O O =100o tốn có vơ số nghiệm hình

A. Có kết B. Có kết

C. Có kết D. Cả kết

9. Cho tứ giác ABCD Trên cạnh AB lấy điểm E, F cho AE=EF =FB Trên cạnh CD lấy điểm G, H cho DG=GH =HC Gọi M, I, K, N trung điểm AD, EG, FH, BC Đáp án sai?

A.Các điểm M, I, K thẳng hàng B.Các điểm I, K, N thẳng hàng

C.Các điểm M, I, K, N thẳng hàng MI =IK =KN

D.Đường thẳng EG song song với đường thẳng FH

10.Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BC cắt AB , AC D, E Gọi G trọng tâm tam giác ADE, I trung điểm CD Khi số đo góc tam giác GIB là:

A.90 , 60 , 30o o o B.90 , 45 , 45o o o

C.80 , 50 , 50o o o D 100 , 40 , 40o o o

11. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c, chu vi 2p, chiều cao tương ứng h, m, n Đáp án sai?

A.(b+c)2 ≥a2+4h2 B h2+m2+n2 ≥ p2

C h2 ≤ p p( −a) D.m2 ≤ p p b( − )

12. Cho hình bình hành ABCD có AB=a AD; =b Gọi S diện tích hình bình hành Đáp án đúng?

A. maxS = 2ab B. maxS = ab

13. Cho tam giác ABC cân A Từ điểm M đáy BC vẽ MD⊥ AB ME, ⊥ AC Gọi h độ dài đường cao hạ từ đỉnh B tam giác ABC Đáp án đúng?

A.MD+ME =2h B.

2

MD+ME= h

C.MD+ME=h D.

3

MD+ME= h

14.Cho ngũ giác ABCDE Vẽ AH ⊥CD, BM AC EN AD// ; // (M, N thuộc đường thẳng CD) Biết AH =h MN, =a Khi diện tích S ngũ giác ABCDE là:

A.S=ah (đvdt) B.S=2ah (đvdt)

C.

2

S = ah (đvdt) D

4

S = ah (đvdt)

15. Một đa giác có phân giác tất góc đồng quy O Khoẳng cách từ O đến cạnh đa giác r Gọi p nửa chu vi đa giác, diện tich S đa giác tính bởi:

A S =2pr B.S= pr C

2

S = pr D.

4

S= pr

16. Cho tam giác ABC cân A Từ điểm M đường thẳng BC (M không thuộc đáy BC) vẽ MD⊥ AB ME, ⊥ AC Gọi h độ dài đường cao hạ từ đỉnh B tam giác ABC Đáp án đúng?

A. MD−ME =2h B.

2

MD−ME = h

C. MD−ME =h D.

4

MD−ME = h

17. Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Vẽ DH ⊥ AB Đặt

, ,

DH =d AB=c AC =b Đáp án đúng?

A. 1

b− =c d B.

1

b− =c d C.

1 1

b+ =c d D.

1

b+ =c d

18.Cho hình bình hành ABCD Trên AB lấy điểm M, AD lấy điểm N Gọi O giao điểm BN với DM Biết OC tia phân giác góc BOD Đáp án đúng?

A.BN =2DM B

2

BN = DM C

3

BN = DM D.BN =DM

19. Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm D, E, F (khác đỉnh tam giác) cho AD, BE, CF cắt điểm H Đáp án đúng?

A AH BH CH

AD + BE + CF = B.

AH BH CH

C AH BH CH

AD + BE + CF = D. Cả ba đáp án sai

20. Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Vẽ

, ,

MD⊥BC ME ⊥CA MF ⊥ AB Đặt BC =a CA, , , , , =b AB=c MD=x ME = y MF =zvà

ABC

S =S Khẳng định đúng?

A ax+by+cz=S B ax+by+cz =3S

C ax+by+cz =2S D.ax+by+cz =4S

21. Cho tam giác ABC (AB< AC), M điểm nằm cạnh BC Vẽ

,

BI ⊥ AM CK ⊥ AM Gọi , , ha hb hc tương ứng độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, B, C

của tam giác ABC Khẳng định đúng?

A min( )

3

a b c

h h h

BI +CK = + + B.min(BI +CK)=hc

C.min(BI +CK)=ha D.min(BI +CK)=hb

22. Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm D, E, F ( khác đỉnh tam giác) cho AD, BE, CF cắt điểm H Đáp án đúng?

A.min AH BH CH

HD HE HF

 + + =

 

  B.min

AH BH CH

HD HE HF

 + + =

 

 

C.min AH BH CH

HD HE HF

 + + =

 

  D.min

AH BH CH

HD HE HF

 + + =

 

 

23.Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Vẽ MD⊥BC ME, ⊥CA MF ⊥ AB Đặt BC=a CA, , , , , =b AB=c MD=x ME = y MF =zvà SABC =S Khẳng định đúng?

A ( )

2

min

2

a b c

a b c

x y z S

+ +

 

+ + =

 

  B.

( )2

min a b c a b c

x y z S

+ +

 

+ + =

 

 

C. ( )

2

min

3

a b c

a b c

x y z S

+ +  + + =

 

  D.

( )2

2

min a b c a b c

x y z S

+ +  + + =

 

 

24. Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC Biết chu vi tam giác CEF nửa chu vi hình vng Khi ta có:

A.EAF=45o B EAF =30o

C.EAF=60o D EAF=90o

A CM =2(m+n) B CM =2m+n

C CM = +m n D.CM = +m 2n

26. Cho hình vng ABCD Lấy điểm E, F theo thứ tự thuộc cạnh AD, AB cho

AE= AF Gọi H hình chiếu A BE Khi ta có:

A.CHF=60o B.CHF =30o C CHF =45o D CHF =90o

27. Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự tâm hình vng có cạnh AB, BC, CD, DA dựng phía ngồi tứ giác Khẳng định sau sai?

A. Tứ giác EFGH có hai đường chéo

B. Tứ giác EFGH có hai đường chéo vng góc với

C.Trung điểm đường chéo tứ giác ABCD, EFGH đỉnh hình vng D. Trong ba khẳng định có khẳng định sai

28. Tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c, diện tích S Đáp án đúng?

A.(a+ +b c b)( + −c a)=4S B.(a+ +b c b)( + −c a)=S

C (a+ +b c b)( + −c a)=2S D.(a+ +b c b)( + −c a)=3S

29. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi D điểm nằm B M Qua M kẻ đường thẳng song song với DA, cắt AC E Khẳng định sau đúng?

A. Diện tích tam giác DEC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm D

B. Diện tích tam giác DEC

2 diện tích tam giác ABC

C. Diện tích tam giác DEC

3 diện tích tam giác ABC

D. Diện tích tam giác DEC

4 diện tích tam giác ABC

30. Cho tam giác ABC diện tích S Lấy điểm E, G BC cho BE =EG=GC Gọi D, H theo thứ tự trung điểm AC, AB; I giao điểm GH BD; K giao điểm AG BD Diện tích tứ giác EIKG là:

A.

35

EIKG

S = S B.

7

EIKG

S = S C

5

EIKG

S = S D

37

EIKG

S = S

Đáp án

Câu 10

Đáp án D A D D B C C C D A

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án D B A A C D D A B A

II Đề kiểm tra học kì

1. Vận động viên A chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi cách 6km với vận tốc 10km/h chạy xuống với vận tốc 15km/h Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi theo lộ trình với vận tốc 12km/h Biết B chạy sau A 15 phút Khi B gặp A từ đỉnh đồi chạy xuống, họ cách đỉnh đồi là:

A. 4km B. 3km C. 2km D. 1km

2. Một lớp có 20 học sinh nữ số bạn nam Cuối năm tất đạt học sinh giỏi khá.Biết số nam sinh giỏi số nữ Khi tổng số học sinh giỏi lớp là:

A. 40 học sinh B. 30 học sinh C. 20 học sinh D. 25 học sinh 3. Phương trình 2 2 2 2 1

3 12 15 56 14

x + x+ + x + x+ + x + x+ + + x + x+ = có tổng

nghiệm S bao nhiêu?

A S = −7 B.S= −8 C.S= −9 D.S= −10

4.Phương trình 1 1 1 1 31 ( ) 1.3 2.4 3.5 x x( 2) 16 x N

 

 +  +  +  + = ∈

 

     + 

      có nghiệm là:

A.x=40 B.x=60 C.x=50 D.x=30

5.Hai vòi nước khác cho chảy vào bể Thời gian cần cho vòi A chảy đầy bể thời gian cho vịi B chảy đầy bể giờ.Tích hai thời gian lần thời gian cần cho hai vịi chảy đầy bể.Khi vịi B chảy đầy bể sau giờ?

A. Sau B. Sau C. Sau D. Sau 6.Cho phương trình1 1

x− + =a b x− +a b với a, b tham số Phương trình có vô số

nghiệm nào?

A.a= −b B a=b C.a= −2b D a=2b

7. Cho phương trình

2

x−m−x− = x− m với m tham số Phương trình có nghiệm

nhất nào?

A m≠0 B

1

m m

≠   ≠

 C.

0

m m m

≠   ≠   ≠ 

D

0

m m m

8. Bất phương trình

5

x x

x x

− +

+ <

+ − có nghiệm nguyên?

A. Có nghiệm nguyên B. Có nghiệm nguyên

C. Có nghiệm nguyên D. Có nghiệm nguyên 9. Bất phương trình 4x− <3 4x+1 có nghiệm là:

A.

2

x> B.

4

x> C.x>2 D.x>4 10. Khẳng định sai?

A. Bất phương trình 5x− <2 có nghiệm x

− < <

B. Bất phương trình 3x+ <2 5x−4có nghiệm x>3

C. Bất phương trình x+ >1 5có nghiệm

2

x

x

 >    < − 

D. Bất phương trình x2− > +1 x có nghiệm

1

x x

> 

− < < 

11. Bất phương trình 7x− >1 7x+3 có nghiệm là:

A.

7

x< − B.x< −7 C

3

x< − D.x< −3

12.Phương trình ( 4) 5( 1)

m x m

x

+ − − =

+ có nghiệm âm khi:

A.m>3 B.m<2

C 2< <m m≠2,5 D 2< <m

13.Phương trình x− + − =1 x có nghiệm nguyên?

A. Có nghiệm B. Có nghiệm C. Có nghiệm D. Có nghiệm

14. Cho a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a2+b2 =c2+d2 =5 Tìm giá trị lớn biểu thức:

5 5

P= − −a b+ − −c d + −ac bd− Đáp án đúng?

A.maxP= 30 B max 30

2

C maxP=2 30 D.max 30

P=

15. Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

2 2( )

a +b +c + abc+ − ab bc+ +ca Đáp án đúng?

A.minP=1 B.min

2

P= C.minP=0 D.min

2

P= −

16.Cho x, y, z số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

3 3

3 4( )( )( )

P=x +y + −c xyz− x−y y−z z−x Đáp án đúng?

A.minP=0 B.minP= −1 C min

2

P= D min

2

P= −

17.Cho x>0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x x2 x

= + + Đáp án đúng?

A.minP=1 B min

2

P= C.min

2

P= D minP=2

18. Các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a+ + + =b c d Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức đúng?

2 2

3(a +b +c +d )+4abcd ≤16; 3(a2+b2+ +c2 d2)+4abcd ≤20

2 2

3(a +b +c +d )+4abcd ≥17; 3(a2+b2+c2+d2)+4abcd ≥27

A. Có bất đẳng thức B. Có hai bất đẳng thức

C. Có ba bất đẳng thức D. Cả bốn bất đẳng thức 19. Cho x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện:

3 2

x +y +xy=x +y Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức:

1

2

x x

P

y y

+ +

= +

+ + Đáp án đúng?

A min 4; max

P= P= B.min 3; max

4

P= P=

C min 4; max 3

P= P= D.min 3; max

4

P= P=

20. Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện:

2

2 4 8

2

4

y y y y

A.5x=4y B.3x=4y C.4x=5y D.4x=3y

21. Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện: 1

1

a+ + =b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

3 3

a b c

P

b c a

= + + Đáp án đúng?

A.minP=1 B.minP=2 C.min

2

P= D.min

3

P=

22. Cho a, b, c số thực dương.Trong bất đẳng thức sau, có bất đẳng thức sai?

2 2 2

3

a +b − ab+ b + −c bc ≥ a +c ;

2 2

3

a +b − ab + b + −c bc ≥ ac;

2 2 2

3 ( )

2

a +b − ab + b +c −bc ≤ a+c

A. Khơng có bất đẳng thức sai B. Có bất đẳn thức sai

C. Có hai bất đẳng thức sai D. Cả ba bất đẳng thức sai

23. Cho a, b,c số thực dương abc=1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

1 1

2 2

P

ab a bc b ca c

= + +

+ + + + + + Đáp án đúng?

A.maxP=1 B.max

4

P= C.maxP=2 D.

24. Cho a, b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1 Bất đẳng thức đúng?

A.(a+b b)( +c c)( +a) 13+ ≥7(a+ +b c)

B.(a+b b)( +c c)( +a)+ ≥7 5(a+ +b c)

C.(a+b b)( +c c)( +a) 16+ ≥8(a+ +b c)

D.(a+b b)( +c c)( +a) 19+ ≥9(a+ +b c)

25. Các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 0<a b c, , <2 Bất đẳng thức sau đúng?

A.min{ (2 ); (2 ); (2 )}

a −b b −c c −a ≤

B min{ (2 ); (2 ); (2 )}

a −b b −c c −a ≥

D.min{ (2 ); (2 ); (2 )}

a −b b −c c −a ≥

26. Cho tam giác ABC, AB=4cm; AC =4,5cm Trên AB AC lấy điểm M N cho AM =AN =3cm Gọi O giao điểm BN với CM Đáp án đúng?

A OB OC

ON +OM = B.

OB OC

ON +OM =

C.OB OC 4,5

ON +OM = D 3,5

OB OC

ON +OM =

27. Cho tam giác ABC có AB=2cm AC, 3= cm, đường phân giác AD=1, cm Khi góc

BAC có độ lớn bao nhiêu?

A BAC=120o B.BAC=90o C.BAC=60o D.BAC=45o

28. Cho tam giác ABC, B =2 , 5C AB = cm AC, 8= cm Khi độ dài cạnh BC là:

A.BC=7cm B.BC=8cm C.BC =7,8cm D BC =7,9cm

29. Cho tam giác ABC, BC=a, CA=b, AB=c Biết A=2 , 2 B B= C Khi ta có:

A.a2 =b2+2bc B.a2 =b2+bc C.a2 =c2+2bc D.a2 =c2+bc

30. Cho tam giác ABC, AB=12, AC =15 Trên cạnh AB, AC lấy M N

cho AM =5, 4AN = Gọi O giao điểm BN CM Đáp án đúng?

A.OB ON =OC OM B OB ON =OC ON

C.OB ON =2OC OM D OB ON =2OC ON

31. Cho hình thang ABCD vng góc A D, AD=15cm CD, 9= cm Gọi M điểm cạnh AD cho MB=5cm MC, 15= cm Gọi N trung điểm BC Khi MN có độ dài bao nhiêu?

A 250

MN = cm B 250

2

MN = cm

C. 270

MN = cm D. 270

2

MN = cm

32. Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM, O trung điểm AM Tia BO cắt AC D, tia CO cắt AB E Biết diện tích tam giác ADE a2, diện tích S tam giác

ABC bao nhiêu?

A.

9

S = a B.

16

S = a C.

12

S = a D

6

S = a

nhiêu kết đúng? OA OB =OC OH ; góc OHA có số đo khơng đổi; tổng BM BH +CM CA không đổi

A. Khơng có kết B. Có kết

C. Có kết D. Cả kết

34. Cho tam giác ABC có diện tích S, O điểm nằm tam giác Qua O vẽ đường thẳng song song với ba cạnh tam giác.Các đường thẳng chia tam giác ABC thành ba hình bình hành ba tam giác nhỏ.Gọi diện tích tam giác S1; ; S S2 3 Khẳng định đúng?

A min( 1 2 3)

2

S

S +S +S = B.min( 1 2 3)

3

S S +S +S =

C.min( 1 2 3)

4

S

S +S +S = D.min( 1 2 3)

3

S S +S +S =

35. Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm, đường chéo 13cm Khi diện tích tồn phần Stp hình hộp chữ nhật là:

A Stp =190 cm2 B.

2

192

tp

S = cm C.Stp =194 cm2 D.

2

198

tp

S = cm

36. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a diện tích hình chữ nhật ADC’B’ 2a2.Khi diện tích xung quanh Sxq hình hộp chữ nhật là:

A.Sxq =4 3a2 (đvdt) B.Sxq =6 3a2 (đvdt)

C.Sxq =4 6a2 (đvdt) D.Sxq =6 6a2 (đvdt)

37. Cho hình lập phương Số T đoạn thẳng mà hai đầu mút hai đỉnh hình lập phương bao nhiêu?

A T =28 B.T =56 C.T =14 D. Một đáp án khác

38. Có 125 hình lập phương đơn vị ghép lại thành hình lập phương lớn cạnh Người ta sơn sáu mặt hình lập phương lớn Số hình lập phương đơn vị có mặt sơn là:

A. 94 B. 96 C. 98 D. 100

39. Để sơn hình lập phương cho hai mặt kề có màu khác nhau, số màu cần dùng là:

A. B. C. D.

40. Một hình lập phương cạnh 10 tạo thành 1000 hình lập phương đơn vị Ta nhìn thấy nhiều hình lập phương đơn vị?

Đáp án

Câu 10

Đáp án D C C D C B D A B D

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án A C D B C A B D A C

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án A B B A C B A C B A

Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 40