Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.... Giải các bất phương trình mũ (đặt ẩn phụ).[r]
(1)B BẤT PHƯƠNG TRÌNH
2.9 Bất phương trình mũ bất phương trình logarit
2.9.1 Bất phương trình mũ
Khi giải bất phương trình mũ, ta cần ý đến tính đơn điệu hàm số mũ
af(x) > ag(x) ⇔
a >1
f(x)> g(x)
0< a <1
f(x)< g(x)
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠ GA RIT 12 GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN
(2)Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì:
aM > aN ⇔(a−1)·(M −N)>0
Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình mũ:
• Đưa số
• Đặt ẩn phụ
• Sử dụng tính đơn điệu:
y=f(x) đồng biến D thì: f(u)< f(v)⇒u < v y=f(x) nghịch biến D thì: f(u)< f(v)⇒u > v
2.9.2 Bất phương trình logarit
Khi giải bất phương trình logarit, ta cần ý đến tính đơn điệu hàm số logarit
logaf(x)>logag(x)⇔
a >1
f(x)> g(x)>0
0< a <1 0< f(x)< g(x)
Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì:
• logaB >0⇔(a−1)(B−1)>0
• logaA
logaB >0⇔(A−1)(B−1)>0
Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình logarit:
• Đưa số
• Đặt ẩn phụ
• Tính đơn điệu hàm số
2.10 Hệ phương trình mũ logarit
Hệ phương trình mũ logarit
Khi giải hệ phương trình mũ logarit, ta dùng phương pháp giải hệ phương trình học như:
Phương pháp
Phương pháp cộng đại số Phương pháp đặt ẩn phụ
(3)2.11 Các ví dụ
Giải bất phương trình hệ phương trình sau
Ví dụ 44 Giải bất phương trình:
Ç
1
å9x2−17x+11 ≥
Ç
1
å7−5x
(1)
Lời giải
(1)⇔9x2−17x+ 11≤7−5x⇔9x2−12x+ 4≤0⇔ x=
3
Ví dụ 45 Giải bất phương trình:
Ç
1
åx
>3x2+1x (2)
Lời giải
Điều kiện: x6=−1
(2) ⇔3−2x >3x2+1x ⇔ −2x > 2x
x+ ⇔ 2x
x+ + 2x <0⇔2x
Ç
1
x+ +
å
<0
⇔ 2x(x+ 2)
x+ <0⇔
x <−2
−1< x <0 Kết hợp điều kiện ⇒
x <−2
−1< x <0
Nghiệm bất phương trình (2) ∀x∈(−∞;−2)∪(−1; 0)
Ví dụ 46 Giải bất phương trình: 3x+1+ 5x+2 ≥3x+2+ 5x+1 (3)
Lời giải
(3)⇔25·5x−5·5x >9·3x−3·3x ⇔20·5x >6·3x ⇔
Ç
5
åx
>
10 ⇔x >log53
3 10
Nghiệm bất phương trình (2) ∀x∈ Ç
log5
3 10; +∞
å
Ví dụ 47 Giải bất phương trình:
Ç
x2+1
2
å2x2+x+1 ≤
Ç
x2+1
2
å1−x
(4)
Lời giải
(4)⇔ đÇ
x2+ 2−1
åơ
·[(2x2+x+ 1)−(1−x)]≤0⇔ Ç
x2−
2
å
·(2x2+ 2x)≤0 (∗)
Bảng xét dấu vế trái (*)
x
VT
−∞ −2 −√1
2
1
√
2 +∞ + − + − +
Từ bảng xét dấu ta có nghiệm bất phương trình:
∀x∈(−∞;−2]∪ đ
−√1
2;
ơ ∪
đ
1
√
2; +∞
å
Ví dụ 48 Giải bất phương trình: log1
x2−3x+ 2
x ≥0 (1)
Lời giải
Điều kiện: x
2−3x+ 2
x >0⇔
0< x <
(4)(1)⇔ x
2−3x+ 2
x ≤1⇔
x2−4x+
x ≤0⇔
2−√2≤x <1 2< x≤2 +√2
Kết hợp với điều kiện, nghiệm bất phương trình x∈ỵ
2−√2; 1ä∪Ä
2; +√2ó
Ví dụ 49 Giải bất phương trình: log0,7
Ç
log6 x
2+x
x+
å
(2)
Lời giải
Điều kiện:
x2+x
x+ >0 log6 x
2+x
x+ >0
⇔
x2+x
x+ >0
x2+x
x+ >1
⇔ x
2+x
x+ >1⇔
x2−4
x+ >0
⇔
−4< x <2
x >2
(2)⇔log6 x
2+x
x+ >1⇔
x2+x
x+ >6⇔
x2 −5x−24
x+ >0⇔
−4< x < −3
x >8
Kết hợp với điều kiện, nghiệm bất phương trình là: x∈(−4;−3)∪(8; +∞)
Ví dụ 50 Giải hệ phương trình:
2x+ 2y = 12 (1)
x+y= (2)
Lời giải
Từ (2)⇒y= 5−x thay vào phương trình (1) ta được:2x+ 25−x = 12⇔2x+32
2x = 12 (∗) Đặt 2x =t >0, phương trình (*) trở thành t+32
t = 12⇔t
2−12t+ 32 = 0
t=
t=
• Với t= ⇒2x = ⇔x= 2⇒y=
• Với t= ⇒2x = 8 ⇔x= 3⇒y= 2
Nghiệm hệ phương trình là: (x;y) = (2; 3), (3; 2)
Ví dụ 51 Giải hệ phương trình:
x+y= 2√3 (1) log3(xy) = (2)
Lời giải
Điều kiện: x·y >0
Từ phương trình (2) ⇒xy= Ta có
x+y= 2√3
xy= Khi x, y nghiệm phương trình:
X2−2√3X+ = 0⇔x=√3 = y
(5)2.12 Bài tập bất phương trình, hệ phương trình mũ logarit
2.12.1 Giải bất phương trình
Bài 70 Giải bất phương trình mũ (đưa số)
9x2−2x−2· Ç
1
å2x−x2
≤3
a) b) 2x+ 4·5x−4<10x
1 3x−1 >
1 1−3x−1
c)
√
x−21−√x<1 d)
9
√
x2−2x−x
−7·3
√
x2−2x−x−1
≤2
e) 2·3
√
x+√4x
+ 94
√
x+12 ≥9√x f)
32x−8·3x+
√
x+4−9·9√x+4 >0
g) h) 52x−1 <73−x
3
√
x+4+ 2√2x+4 >13
i) j) 3·2x+ 7·5x >49·10x−2
32−x+ 3−2x
4x−2 ≥0 k)
Bài 71
23−6x >1
a) b) 16x >0,125
(0,3)2x2−3x+6<0,00243
c)
Ç
1
å √
x+2
>3−x
d)
(0,1)4x2−2x−2 ≤(0,1)2x+3
e) x+1√
3>9
f)
8
√
8x >4096
g) 2x2−3x−4
<3x2−3x−4
h)
Ç
1
å4x2−15x+13
<
Ç
1
å4−3x
i)
Ç
2
å62+5x−x5
< 25
4
j)
3
√
x2−2x
≥ Ç
1
åx−|x−1|
k)
Ç
1
å √
x6−2x3+1
<
Ç
1
å1−x
l)
5x−3x+1 ≥2 (5x−1−3x−2)
m) n) 7x−5x+2 <2·7x−1−118·5x−1
2x+2−2x+3−2x+4 >5x+1−5x+2
o) p) 3√x+ 3√x−1−3√x−2 ≤11
9x2−3x+2−6x2−3x+2 <0
q) r) 62x+3 ≤2x+7·33x−1
2x+2+ 5x+1 ≤2x+ 5x+2
s) t) 2x−1·3x+2>36
Ä√
10 + 3ä
x−3
x−1
<Ä√10−3ä
x+1
x+3
u) Ä√2 + 1äx+1 ≥Ä√2−1ä
x x−1
v)
1
2√x2−2x ≤2
x−1
w) x) 2|2x1−1| ≥23x1+1
(0,4)x2−1 >(0,6)x2+6
y) (0,2)
x2+2 x2−1 >25
z)
(6)4−x+0,5−7·2−x−4<0
c) d) 52 x+ <5 x−1+ x
2x−1−1
2x+1+ 1 <2
e)
3x+ 5 <
1 3x+1−1
f)
2·14x+ 3·49x−4x ≥0
g) 4x1−1−2
1
x−2−3≤0
h)
4x−22(x−1)+ 823(x−2) >52
i) 8·3√x+√4x
+ 91+√4x
>9√x j)
25·2x−10x+ 5x >25
k) l) 52x+1+ 6x+1 >30 + 5x·30x 6x−2·2x−3·2x+ 6≥0
m) n) 27x+ 12x >2·8x
491x −35
1
x ≥25
1
x
o) p) 3x+1−22x+1−12x2 <0
252x−x2+1+ 92x−x2+1 ≥34·252x−x2
q) 32x−8·3x+
√
x+4−9·9√x+4 >0
r)
4x+√x−1−5·2x+√x−1+1+ 16≥0
s) 2x1+1+ 22−
1
x <9
t)
Ç
1
åX2
+ 3· Ç
1
åx1+1
>12
u)
Ç
1
å3x −
Ç
1
åx−1
−128≥0
v)
(22x+1−9·2x)·√x2 + 2x−3≥0
w)
1−x−2x+ 1
2x−1 ≤0 x)
11·3x−1−31
4·9x−11·3x−1−5 ≥5
y) 4−7·5
x
52x+1−12·5x+ 4 ≤
2
z)
Bài 73 Giải bất phương trình mũ (sử dụng tính đơn điệu)
2x <3x2 + 1
a)
1−x−2x+ 1
2x−1 ≤0 b)
2·3x−2x+2
3x−2x ≤1
c)
√
x+4+ 2√2x+4 >13
d)
32−x+ 3−2x
4x−2 ≥0
e)
x+x−4
x2−x−6 >0
f)
Bài 74 Giải bất phương trình logarit (đưa số)
2·log3(4x−3) + log1
3(2x+ 3)≤2
a) log5(4x+ 144) − · log52 < + log5(2x−2+ 1)
b)
log8
h
log1 (x
2−x−6)i≥0
c) log0,5
Ç
log6 x
2+x
x+
å
<0
d)
log1
3 [log4(x
2−5)] >0
e) log1
2
ỵ
log2Älogx−19äó>0
f)
log3(1−2x)≥log3(5x−2)
g) h) log5(1−x)<log5(x+ 3)
log5(1−2x)<1 + log√
5(x+ 1)
i) log1
3
√
5−x <log1
3(3−x)
j)
log2log1 x >0
k) l) log2(3x+ 4)>log2(5−x)
log1
Ç
log21 + 2x +x
å
>0
m) log0,4 x+
2x+ <log0,4(5−x)
(7)log1
3 [log4(x
2−5)] >0
o) p) log7(2−x)≤log7(3x+ 6)
log1
3(x+ 4)<log 3(x
2+ 2x+ 2)
q) (x2−4) log
1 x >0
r)
6log26x+xlog6x ≤12
s) t) log2(x+ 3) ≥1 + log2(x−1) 2log22x+xlog2x <0
u) log3log1
2 ≥0
v)
2 log8(x−2) + log1
8(x−3)>
2
w) log2
3
2x−3
x+ ≥0
x)
Bài 75 Giải bất phương trình logarit (đặt ẩn phụ)
log2x+ logx4−3≤0
a) log5(1−2x)<1 + log√
5(x+ 1)
b)
2 log5x−logx125 <1
c) d) log2x64 + logx216≥3
logx2·log2x2·log24x >1
e) log21
2 x+ log x
2 <0
f)
log21
2 x−6 log2x+ ≤0
g) q1−9 log21
8 x >1−4 log x
h)
logx100−
2log100x >0
i) + log
2 3x
1 + log3x >1
j)
Bài 76 Giải bất phương trình logarit (đặt ẩn phụ)
2
1−log2x+
log4x
1 + log2x >
log2x
1−log22x
a)
1
4 + log2x +
2
2−log2x ≤1
b)
»
log23x−4 log3x+ ≥2 log3x−3
c)
1
5−log5x+
2
1 + log5x <1
d)
»
log9(3x2+ 4x+ 2) + 1≥log
3(3x2+ 4x+ 2)
e)
6 log3|1−x|+ log23(x−1) + 5≥0
f)
log29x >log3x·log3Ä√2x+ 1−1ä
g)
Bài 77 Giải bất phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu hàm số)
3
log2(x+ 1) >
2 log3(x+ 1)
a)
log +x 5−x
2x−3x+ 1 <0 b)
log7x <log3(√x+ 2)
c) 2−|x−2|·log
2(4x−x2−2)≥1
d)
Bài 78 Giải bất phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu hàm số)
(x+ 1) log20,5x+ (2x+ 5) log0,5x+ 6≥0
a)
log2(2x+ 1) + log
3(4x+ 2)≤2
b)
(x+ 1) log21
x+ 2(x+ 3) log1
3 x+ 8≤8
c)
(4·3x+ 3−x)3 log3(x−1)−log3(x−1)(2x+1) >1
d)
log5(x2−4x−11)2−log
11(x2−4x−11)3
2−5x−3x2 ≥0
e)
log2Ä√x2−5x+ + 1ä+ log
3(x2−5x+ 7) ≤2
(8)Bài 79 Giải bất phương trình logarit
x2·logx27·logx9> x+
a) log3log
16(x
2−4x+ 3)≥0
b)
√
x−5 log√
2(x−4)−1
c) log2(x+ 1)
2−log
3(x+ 2)3
x2−3x−4 >0
d)
Ç
1
ålog21
2
x
≤x3
e)
log1
√
2x2−3x+ 1 >
1 log1
3(x+ 1)
f)
log√
2(x−3)2
x2−4x−5 ≥0
g)
log3
Ç
x+4
å
log7
Ç
x2−2x+
16
å
h)
1 log1
2(2x−1)
+
log2√x2−3x+ 2 >0
i) log√
3
Ä√
3 sin 2x−cos 2xä≤1
j)
Bài 80 Giải bất phương trình logarit
log5(x2−4x+ 11)2 −log
11(x2 −4x+ 11)
√
2−5x−3x2 ≥0
a)
log2(x2−2x−7)−log
3(x2 −2x−7)8
3x2−13x+ 4 ≤0
b)
log1
Ä√
9x−x2+ 3ä>log
27
√
9x−x2 +√5−x2 −3
c)
log2Ä√x2−4x+ 3ä>log1
2
2
√
x2−4x+√x+ + 1 +