Chuyên đề bồi dưỡng Hình học 8 - tập 2

Phương pháp giải: Dùng kiến thức nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết để nhận biết. Cho hình hộp chữ nhật MNEF.PQGH như hình vẽ. b) Kể tên tất cả các cạnh của hình hộp chữ nhật. Cho hình hộp[r]

 Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TẬP

HÌNH HỌC – TẬP

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÝ TA – LÉT

Dạng Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng tính tỉ số hai đoạn thẳng

Dạng Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng

Dạng Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước

CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET

Dạng Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh đường thẳng song song

Dạng Sử dụng hệ định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng 10

Dạng Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh đường thẳng song song 10

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC 15

Dạng Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính độ dài đoạn thẳng 15

Dạng Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song 15

CHỦ ĐỀ KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 21

Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng 21

Dạng Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua tam giác đồng dạng 21

Dạng Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng 21

CHỦ ĐỀ TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT 26

Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng 26

Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ để tính độ dài cạnh chứng minh góc 26

CHỦ ĐỀ TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI 29

Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng 29

Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài cạnh chứng minh góc 29

CHỦ ĐỀ TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA 33

Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng 33

Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài cạnh, chứng minh hệ thức cạnh chứng minh góc 33

CHỦ ĐỀ CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG 37

Dạng Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng 37

Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác vng để giải tốn 37

ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ3 43

ĐỀ SỐ 45

ĐỀ SỐ 48

CHUYÊN ĐỀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỈNH CHÓP ĐỀU 51

CHỦ ĐỀ HÌNH HỘP CHỮ NHẬT 51

Dạng Nhận biết vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng của, hai mặt phẳng hình hộp chữ nhật 51

Dạng Nhận biết đỉnh, cạnh mặt hình hộp chữ nhật 52

Dạng Tính độ dài đoạn thẳng 53

Dạng Tính tốn số liệu liên quan đến cạnh, mặt hình hộp chữ nhật 53

CHỦ ĐỀ THÊ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT 56

Dạng Nhận biết quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng hình hộp chữ nhật 56

Dạng Tính tốn thể tích số liệu liên quan đến cạnh mặt hình hộp chữ nhật 57

CHỦ ĐỀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG 60

Dạng Nhận biết hình lăng trụ đứng 60

Dạng Xác định đỉnh, cạnh, mặt mối quan hệ cạnh với mặt với hình lăng trụ đứng 60

Dạng Tính độ dài cạnh đoạn thẳng khác hình lăng trụ đứng 61

CHỦ ĐỀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG 63

Dạng Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích lăng trụ đứng 63

Dạng Lắp ghép số lăng trụ đơn giản tính tốn liệu lăng trụ đứng 63

Dạng Một số toán thực tế sống liên quan đến lăng trụ đứng 64

CHỦ ĐỀ HÌNH CHĨP ĐỂU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỂU 68

Dạng Nhận biết kiến thức hình chóp 68

Dạng Tính độ dài cạnh, góc hình chóp 69

CHỦ ĐỀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THÊ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP ĐỂU 72

Dạng Các tốn vê diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể hình chóp 72

Dạng Các toán mối quan hệ hình lập phương, hình hộp chữ nhật với hình chóp tốn thực tế 72

ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ 76

Dạng Các toán diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích 76

Dạng Các toán thực tế liên quan đến khối hình 76

ĐỂ KIÊM TRA CHUYÊN ĐỀ 80

ĐỀ SỐ 80

ĐỀ SỐ 82

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II 84

PHẦN B HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÝ TA – LÉT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A 'B' C 'D ' AB A'B'

CD = C 'D' (hoặc

AB CD

A'B' = C 'D' )

2 Định lý Ta – lét

Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại đường thẳng định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

GT

ABC

∆ : DE BC

(D AB,E AC∈ ∈ )

KL

AD AE

AB AC

AD AE

DB EC

DB EC

AB AC

= = =

E D

C B

A

Chú ý: Định lý Ta – lét trường hợp đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt

phần kéo dài hai cạnh lại

a E

D

C B

A E D a

C B

A

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng tính tỉ số hai đoạn thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ tính chất tỉ lệ thức

1A Trên tia Ax lấy điểm B, C, D theo thứ tự cho: AB 2cm,BC 4cm= = CD 8cm= a) Tính tỉ số AB

1B Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D theo thứ tự cho AB

BC =

BC

CD = a) Tính tỉ số AB

CD

b) Cho biết AD 28cm= Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC CD

2A Cho tam giác ABC điểm D, E nằm hai cạnh AB, AC cho AD AE

AB = AC a) Chứng minh AD AE

BD = EC

b) Cho biết AD 2cm,BD 1cm= = AE 4cm= Tính AC

2B Cho hình vẽ bên:

Biết BD CE AB = AC

a) Chứng minh AD AE AB = AC

b) Cho biết AD=2cm, BD=1cm AC 4cm= Tính EC

E D

C B

A

Dạng Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Thực theo bước:

Bước Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có nhờ định lý Ta – lét

Bước Sử dụng độ dài đoạn thẳng có vận dụng tính chất tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tính

3A Cho tam giác ACE có AC 11cm.= Lấy điểm B cạnh AC cho BC 6cm= Lấy điểm D cạnh AE cho DB EC Giả sử AE ED 25,5cm+ = Hãy tính:

a) Tỉ số DE; AE

b) Độ dài đoạn thẳng AE,DE AD

3B Cho tam giác ABC có AB 11cm.= Lấy điểm D cạnh AB cho AD 4cm.= Lấy điểm E cạnh AC cho DE BC Giả sử EC AE 1,5cm− = Hãy tính:

a) Tỉ số AE; EC

b) Độ dài đoạn thẳng AE,EC AC

4A Cho tam giác ABC điểm D cạnh BC cho BD

BC = 4, điểm E đoạn AD cho

AE

AD =3 Gọi K giao điểm BE AC Tính tỉ số AK

KC

4B Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD cho DG 1DC

4

= Gọi E giao điểm AG BD Tính tỉ số DE

Dạng Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước

Phương pháp giải: Thực theo bước:

Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có nhờ định lý Ta – lét

Bước 2: Vận dụng tính chất tỉ lệ thức kiến thức cần thiết khác để chứng minh hệ thức đề u cầu

5A Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Một đường thẳng song song với AB cắt cạnh bên

AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh ED BF AD BC+ =

5B Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, đường chéo cắt O Chứng minh

OA.OD OB.OC.=

6A Cho tam giác ABC có AM trung tuyến điểm E thuộc đoạn thẳng MC Qua E kẻ đường thẳng song

song với AC, cắt AB D cắt AM K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC F Chứng minh CF DK.=

6B Cho tam giác ABC nhọn, M trung điểm BC H trực tâm Đường thẳng qua H vng góc

với MH cắt AB AC theo thứ tự I K Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH AB theo thứ tự N D Chứng minh:

a) NC ND= b) HI HK.=

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7 Cho đoạn thẳng AB 42cm= điểm C thuộc đoạn thẳng cho CA

CB = Tính độ dài đoạn CA, CB khoảng cách từ C đến trung điểm O AB

8 Cho tam giác ABC, điểm M cạnh AB Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC N

Biết AM 11cm,MB 8cm,AC 38cm.= = = Tính độ dài đoạn AN, NC

9 Cho xAy, tia Ax lấy hai điểm D E, tia Ay lấy hai điểm F G cho FD EG. Đường thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax H Chứng minh AE2 =AD.AH

10 Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm cạnh AB Qua E kẻ đường thẳng song song

với AC cắt BC F kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD H Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD G Chứng minh AH.CD AD.CG.=

HƯỚNG DẪN 1A. a) Ta có

2

AB

BC =

1

BC CD =

b) Ta có BC2 = AB CD =16cm2

1B. a) Ta có

AB CD =

b) Ta tính AB=6cm BC, =10cm CD=12cm

2A.a) Theo tính chất tỉ lệ thức, ta có: AD AE

AB = AC

AD AE

AB AD AC AE

⇒ =

− −

AD AF

BD EC

b) Ta có AD AE

BD = EC Thay số ta tính EC=2cm

Từ tìm AC=6cm

2B.Tương tự 2A

a) HS tự làm b) Tìm

EC= cm

3A.a) Theo định lý Ta-lét ∆ACE, ta có:

11

DE BC DE

AE = AC ⇒ AE =

b) Cách Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: 17

11

DE AE AE

+ =

Từ tính AE=16, 5cm DE; =9cm AD=7, 5cm Cách Áp dụng tính chất dãy tỉ số

Cách Thay DE=25, 5−AE vào 11

DE AE =

3B.Tương tự 3A HS tự làm

Đáp số: AE=2cm EC; =3, 5cm AC=5, 5cm

4A.Kẻ DM / /BK M( ∈AC)

Áp dụng định lý Ta-lét ∆CBK, ta có:

4

KM BD KM

KC = BC ⇒ KC = (1)

Tương tự với ∆ADM , ta có:

AK

KM = (2)

Từ (1) (2), tìm được:

AK KC =

4B. Chú ý DC= AB nên 1

4

DG ED DE

AB = EB = ⇒ DB =

5A. Ta có: ED FC

AD = BC nên

ED BF FC BF

AD+BC = BC+BC =

5B.Vì AB//CD, áp dụng định lý Ta-lét, ta có: OA OB

OC =OD

Từ suy ĐPCM

6A. Chứng minh ADEF hình bình hành, từ đó:

EF=AD (1)

Áp dụng định lý Ta-lét ∆ABC, ta có: CF AC

EF = AB (2)

Tương tự với ∆AGM ∆ABC, ta có:

DK MG MG AC

AD = AG = BG = AB (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy CF = DK

6B. a) Chứng minh M trực tâm ∆HNCnên:

MN ⊥HC, từ suy MN/ /AB hay MN/ /DB Theo tính chất đường trung bình ta có N trung điểm CD b) Ta có IH/ /DN HK/ /NCnên chứng minh

HI HK

DN = NC Từ suy HI = HK

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7. Tính CA=12cm CB, =30cm CO, =9cm

8 Tương tự 2A Tính AN = 22cm, NC = 16cm 9.Chứng minh

AE AD FA AH AE AG

 

= = 

 

Từ suy ĐPCM

10.Áp dụng định lý Ta-lét

,

ADB ABC

∆ ∆ ∆BCD ta có:

AH AE CF CG

AD = AB =CB =CD

Từ ⇒AH CD =AD CG

CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Định lý Ta – lét đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác

GT

ABC : D AB,E AC

∆ ∈ ∈ AD AE

BD = EC KL DE BC

E D

C B

A

• Hệ định lý Ta – lét: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho

GT ( )

ABC : DE BC D AB,E AC

∆

∈ ∈



KL AD AE DE

AB = AC = BC

E D

C B

A

• Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng d song song với cạnh tam giác

cắt phần kéo dài hai cạnh lại: AD AE DE AB =AC = BC

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh đường thẳng song song

Phương pháp giải: Thực theo bước

Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ tam giác

Bước 2: Sử dụng định lý đảo định lý Ta – let để chứng minh đoạn thẳng song song

1B Cho tam giác ABC có điểm M cạnh BC cho BC 4CM.= Trên cạnh AC lấy điểm N cho

CN

AN = Chứng minh MN song song với AB

Dạng Sử dụng hệ định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng

Phương pháp giải: Thực theo bước sau:

Bước 1: Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, sử dụng hệ để lập đoạn thẳng tỉ lệ

Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài đoạn thẳng chứng minh hệ thức có từ hệ quả, từ suy đoạn thẳng

2A Cho tam giác ABC có cạnh BC = m Trên cạnh AB lấy điểm D, E cho AD = DE = EB Từ D, E

kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự M N Tính độ dài đoạn thẳng DM EN theo m

2B Cho hình thang ABCD (AB CD,AB CD < ) Gọi trung điểm đường chéo BD M Qua M kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC N Chứng minh:

a) N trung điểm AC; b) MN CD AB

− =

3A Cho tam giác ABC, điểm I nằm tam giác, tia AI, BI, CI cắt cạnh BC, AC, AB theo thứ tự

ở D, E, F Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI H cắt tia BI K Chứng minh: a) AK HA;

BD = DC b)

AF AE AI

BF + CE = ID

3B Cho tứ giác ABCD có B D 90  = = Gọi M điểm đường chéo AC Gọi N P

hình chiếu M BC AD Chứng minh MN MP AB + CD =

Dạng Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh đường thẳng song song

Phương pháp giải: Xét cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ tam giác để chứng minh đường thẳng song song (có thể sử dụng định lý Ta – lét thuận hệ định lý Ta – lét để có cặp đoạn thẳng tỉ lệ)

4A Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC

4B Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm I thuộc đoạn AM Gọi E giao điểm BI AC, F

là giao điểm CI AB Chứng minh EF song song với BC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Cho tam giác AOB có AB 18cm,OA 12cm,OB 9cm.= = = Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OD 3cm= Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AO C Gọi F giao điểm AD BC Tính:

a) Độ dài OC, CD; b) Tỉ số FD

FA

6 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, M trung điểm AB, O giao điểm AD BC

OM cắt CD N Chứng minh N trung điểm CD

7 Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE Qua D kẻ DF vng góc với AB (F thuộc AB); qua E kẻ EG vng góc với AC Chứng minh:

8 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Gọi M trung điểm CD, E giao điểm MA

BD, F giao điểm MB AC a) Chứng minh EF song song với AB

b) Đường thẳng EF cắt AD, BC H N Chứng minh: HE = EF = FN

9 (ĐỊnh lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R Chứng minh

nếu AP, BQ, CR đồng quy PB QC RA PC QA RB =

HƯỚNG DẪN 1A.Gọi P trung điểm AD Ta chứng minh NP

MP đường trung bình ∆ABD ∆ADC nên suy NP//AB MP//DC Mặt khác AB//CD nên ta có P, N, M thẳng hàng ⇒MN/ /AB/ /DC

1B. Ta có

3

CM

BC CM BM CM

BM

= ⇒ = ⇒ =

Kết hợp với giả thiết ta có CM CN MN/ /AB

BM = AN ⇒

2A.Áp dụng hệ định lý Ta-lét ta có:

3

DM AD m

DM BC = AB ⇒ =

2

EN AE

EN m

BC = AB ⇒ =

2B.a) Gợi ý: Gọi Q giao điểm MN với BC Q( ∈BC) Chứng minh Q trung điểm BC NQ//AB suy ĐPCM

b) Ta có ,

2

MQ= DC NQ= AB Vậy

2

DC AB MN =MQ−NQ= −

3A. a) AK/ /BD AI AK;

ID BD

⇒ = Từ AH / /DC AI AH

ID DC

⇒ =

Do AK AH

BD = DC

b) Ta có: AK AH AK AH HK AI (1)

BD DC BD DC BC ID

+

= = = =

+

(2); (3)

AF AH AE AK

BF = BC CE = BC

Từ (1), (2), (3) ta có AE AF AI

CE +BF = ID(ĐPCM)

3B.Ta chứng minh MN//AB, áp dụng hệ định lý

Ta-lét MN MC (1)

AB AC

⇒ =

Tương tự: PM / /DC PM AM (2)

DC AC

⇒ =

Lấy (1) + (2) ta ĐPCM

4A. Từ IM//BK KN//IC ta suy AI AM

AB = AK

AN AK

AI = AC

Do AN AM

AB = AC ⇒ĐPCM

4B.Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia CF

H cắt tia BE K Áp dụng kết

ý a) 3A MB = MC ta chứng minh AH = AK Lại có AH AF AK; AE

BC = FB BC = EC

nên AF AE

FB = EC ⇒ĐPCM

Cách khác: Áp dụng định lý Xê va (sẽ chứng minh phần BTVN) Do AM, BE, CF đồng quy I

MB EC FA MC EA FB

⇒ =

Mà MB

MC =

/ /

FB EC

FE BC FA EA

⇒ = ⇒

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Từ DC//AB, áp dụng hệ định lý Ta-let chứng minh

được: OC = 4cm DC =6cm

1

FD DC

FA = AB =

6. Gợi ý: Chứng minh AM MB OM

DN NC ON

 

= = 

  mà AM = MB ⇒ DN = NC ⇒N trung điểm CD

7.Tương tự 4A

8.a) Từ AB//DM AB//MC chứng minh AE BF

EM = FM ⇒ EF//AB

b) HF/ /DC HE EF HE EF (1)

DM MC

⇒ = ⇒ =

Tương tự EF = FN (2) Từ (1) (2) ⇒ HE = EF = FN (ĐPCM)

c) Chứng minh

5 5

4

AE AE AE

EM = ⇒ AE+EM = + ⇒ AM =

Mà HE AE

DM = AM ; Từ tính

10

HE= cm suy HN = 10cm

9. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ CR

lần lượt N M

Ta chứng minh được: QC BC (1);

AQ = AN

(2);

RA AM

BR = BC

(3)

BP AN

CP = AM

Từ (1), (2), (3) suy PB QC RA

PC QA RB= (ĐPCM)

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Định lý: Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

GT

ABC

∆ , AD tia phân giác

( )

BAC D BC∈

KL DB AB

DC = AC

D C

B

A

• Chú ý: Định lý tia phân giác tam giác: D'B AB

D'C = AC (với AB AC≠ )

D B C

A

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Thực theo bước:

Bước 1:Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ;

Bước 2: Sử dụng đoạn thẳng tỉ lệ để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết

1A Cho tam giác ABC vng A, có AB 21cm,AC 28cm.= = Kẻ phân giác AD BAC (với D BC∈ ) Tính BD, CD

2B Cho tam giác ABC vuông A Kẻ phân giác AD BAC (với D BC∈ ), biết

DB 15cm,DC 20cm.= = Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC

Dạng Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song

Phương pháp giải: Thực theo bước sau:

Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ;

Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nếu cần) định lý đảo định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng chứng minh hệ thức, từ suy đoạn thẳng hay đường thẳng song song

a) Chứng minh DB EC FA DC EA FB =

b) Khi tam giác ABC cân A, chứng minh EF song song với BC c) Biết AB

AC = 3, tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD ACD

2B Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, BE, CF giao I Chứng minh:

a) DI BC

DA = Chu vi ABC∆ ; b)

DI EI FI

1 DA EB FC+ + =

3A Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD BAC (với D BC∈ ) Từ trung điểm M

BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC F cắt tia đối tia AB E Chứng minh BE = CF

3B Cho hình bình hành ABCD Phân giác A D cắt đường chéo BD AC M N Chứng minh: MN song song với AD

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, BE, CF Biết BC 36cm,= CA 30cm,= AB 18cm.=

Tính độ dài đoạn BD, DC, EA, EC, FA, FB

5 Cho tam giác ABC, BC 10cm,CA 6cm,AB 8cm.= = = Đường phân giác B C cắt cạnh AC AB D E

a) Tính độ dài đoạn thẳng AE, EB, AD, DC b) Trên cạnh BC lấy điểm K cho BK 40cm

7

= Chứng minh ba đường thẳng AK, BD, CE đồng quy

6 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Phân giác AMB cắt AB D, phân giác góc AMC cắt AC

ở E

a) Chứng minh DE song song với BC

b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh I trung điểm DE

7 Cho tam giác ABC vuông A, AB 6cm,AC 8cm,= = đường phân giác BD

a) Tính độ dài DA, DC

b) Tia phân giác C cắt BD I Gọi M trung điểm BC Chứng minh BIM 90=

8 Cho tam giác ABC có BC 15cm,CA 18cm,AB 12cm= = = Gọi I G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác ABC

a) Chứng minh IG song song với BC b) Tính độ dài đoạn thẳng IG

HƯỚNG DẪN 1A.Tính BC = 35cm

Trong tam giác ABC, phân giác AD, ta có:

4

BD AB CD = AC =

Suy ra,

Ta có: BC = BD + CD hay

BD= CD Từ tính CD = 20cm, 15

4

BD= CD= cm

1B. Ta có: BC = BD + CD = 35cm Ta

4

AB= AC

Trong ∆ABC vuông cân A, ta có:

2 2

BC = AB +AC

2 2 25

16 16

BC = AC +AC = AC Từ tính

3

28 , 21

4

AC= cm AB= AC= cm

2A. a) Cách Sử dụng định lý Xe va chứng minh Câu Bài

Cách Có thể chứng minh sau: Xét tam giác ABC, phân giác AD, ta có: BD AB

CD = AC

Tương tự, ta chứng minh được: ,

CE BC AF CA

AE = BA BF =CB

Vậy DB EC FA AB BC CA

DC EA FB = AC BA CB =

b) Tam giác ABC cân A nên AB = AC Suy ra, ta có: AE BA AC AF

CE = BC = BC = BF Vậy theo định lý

Ta-lét đảo, ta có ĐPCM c) Dễ thấy

3

DB AB

DC = AC = Gọi h chiều cao từ đỉnh A tới

đáy BC, ta có:

2

3

2

ABD ACD

h DB

S DB

h DC

S DC

∆ ∆

2B. a) Trong tam giác ABD, phân giác BI, ta có: DI DB

AI = AB

Tương tự, ta có: DI DC

AI = AC

Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

DI DB DC DB DC BC

AI AB AC AB AC AB AC

+

= = = =

+ +

Suy ra, DI BC DI BC

AI+DI = AB+AC+BC ⇔ AD =Chu vi ∆ABC

b) Sử dụng kết câu a)

3A.  AEF =BAD (góc đồng vị)

 

EFA=DAC (góc so le trong) Nên ta có ∆AEF cân A

Từ đó, ta có: EA = FA

3B.Gọi I giao điểm BD AC

Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: AB BM

AD = DM

Tương tự, CD CN

AD = AN ;

Mà AB =CD, suy BM CN

DM = AN

Từ đó, ta có:

1

BM CN BD CA DI AI

DM + = AN + ⇔ DM = AN ⇔ DM = AN

Suy ĐPCM

4.Học sinh tự thực 5. a) Học sinh tự thực b) Ta lập tỉ số

3

BK BA

CK = =CA; Từ ta có AK phân

6. a) Xét tam giác AMB, phân giác MD, có AD AM

BD = BM

Tương tự ta chứng minh AE AM

CE =CM

Từ ta có AE AD

CE = BD

Suy DE//BC

b) Vì DE//BC nên DI AI IE

BM = AM = MC

Mà MB = MC, suy DI = IE

7.a) Học sinh tự thực

b) Từ phần a, ta có: MB = MC = 5cm Suy ∆CID= ∆CIM

Nên  IMC=IDC

Trong tam giác BIM, có IMC, góc ngồi nên ta có:

  

IMC=BIM+IBM

Tương tự,   IDC=BAD+ABD

Vậy   

90

BIM +IBM =BAD=

8.Gọi M trung điểm BC.AD tia phân giác góc BAC

(D nằm BC) Tính CD = 9cm

Trong tam giác ACD, phân giác CI, ta có: 18

2

AI AC

DI =CD = =

Ta chứng minh AG

MF =

Nên ta suy AG AI

MG = DI từ có ĐPCM

Vì IG//DM, nên 2

3

IG AG

IG DM cm

DM = AM = ⇒ = =

CHỦ ĐỀ KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

- Hai tam giác gọi đồng dạng với chúng có ba cặp góc đơi ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

- Ta có

     

A A';B B';C C '

ABC A'B'C ' AB BC CA

A'B' B'C ' C 'A'

 = = = 

∆ ∆ ⇔ 

= = 

∽

2 Tính chất

a) Mỗi tam giác đồng dạng với tam giác (hoặc nói: Hai tam giác đồng dạng với nhau)

b) Nếu ∆ABC∽∆A'B'C ' theo tỉ số k ∆A'B'C '∽∆ABC theo tỉ số 1 k c) Nếu ∆ABC∽∆A 'B'C ' ∆A 'B'C '∽∆A"B"C" ∆ABC∽∆A"B"C"

3 Định lý

Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho

GT ( )

ABC

DE BC D AB,E AC

∆

∈ ∈



KL ∆ADE∽∆ABC D E

C B

A

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa, tính chất định lý để chứng minh tam giác đồng dạng

1A Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD 2AB.= Trên tia đối tia AC lấy

điểm E cho AE 2AC.= Chứng minh ∆ADE∽∆ABC

1B Từ điểm D cạnh AB tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC E cắt

đường thẳng qua C song song với AB F; BF cắt AC I Tìm cặp tam giác đồng dạng

Dạng Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, tính chất hai tam giác đồng dạng

2A Cho tam giác ABC vuông A có AB 6cm,BC 10cm.= = Kẻ đường thẳng song song với BC, cắt

các cạnh AB AC E F Biết AE 2cm= , tính tỉ số đồng dạng ∆AEF, ∆ABC độ dài đoạn cạnh AF, EF

2B Cho tam giác ABC có AB 5cm,BC 8cm,AC 7cm.= = = Lấy điểm D nằm cạnh BC cho BD 2cm= Qua D kẻ đường thẳng song song với AB AC, cắt AC AB F E

a) Chứng minh ∆BDE∽∆DCF b) Tính chu vi tứ giác AEDF

Dạng Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng

a) Chứng minh ∆GBF∽∆DCF ∆GAD∽∆DCF b) Tính độ dài đoạn thẳng AG

c) Chứng minh AG.CF AD.AB.=

3B Cho tam giác ABC, kẻ Ax song song với BC Từ trung điểm M cạnh BC, kẻ đường thẳng bất

kỳ cắt Ax N, cắt AB P cắt AC Q Chứng minh PN QN PM = QM

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4 Cho hai tam giác ABC A'B'C ' đồng dạng với theo tỉ số k, chứng minh tỉ số chu vi hai tam giác ABC A'B'C ' k

5 Cho tam giác ABC có cạnh BC 10cm,CA 14cm,AB 6cm.= = = Tam giác ABC đồng dạng với tam giác

DEF có cạnh nhỏ 9cm Tính cạnh cịn lại tam giác DEF

6 Cho tam giác ABC có cạnh AB 2cm,BC 3cm,CA 4cm= = = đồng dạng với tam giác MNP Tính độ

dài cạnh tam giác MNP biết chu vi tam giác MNP 36cm

7 Cho hình thang ABCD (AB CD ) có CD 2AB.= Gọi E trung điểm DC Chứng minh ba tam giác EDA, ABE CEB đồng dạng với

8 Cho hình bình hành ABCD, lấy F cạnh BC Tia DF cắt tia AB G Chứng minh AG, CF không

đổi F di động BC

9 Cho tam giác ABC, lấy M cạnh BC cho MB

MC =2 Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB D Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E

a) Tìm cặp tam giác đồng dạng tìm tỉ số đồng dạng

b) Tính chu vi tam giác DBM, EMC biết chu vi tam giác ABC 24cm

10 Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số

5 Tính chu vi tam giác biết hiệu chu vi hai tam giác 51cm

11 Hình thang ABCD (AB CD ) có AB 10cm,CD 25cm= = hai đường chéo cắt O Chứng minhh ∆AOB∽∆COD và tìm tỉ số đồng dạng

HƯỚNG DẪN 1A. Lấy M, N trung điểm AD, AE Từ

chứng minh được: ∆AMN ∆ADE (Định lý)

ABC AMN

∆ ∆ (do hai tam giác nhau) Suy ∆ABC∆ADE

1B. Học sinh tự chứng minh: Không kể tam giác đồng

dạng với cịn có: ;

DFB CBF ABC ADE

∆ ∆ ∆ ∆

Dùng định nghĩa để chứng minh:

; ;

ADE CFE EFI CBI FIC BIA

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Suy ∆ABC∆CFE theo tính chất bắc cầu)

Suy ra:

AF EF AE

AC = BC = AB = =

Vậy hệ số tỉ lệ

Có: ; 10

3 3 3

AF EF AC BC

AF cm EF cm

AC = BC = ⇒ = = = =

2B.a) Học sinh tự chứng minh:

;

BED BAC DFC BAC

∆ ∆ ∆ ∆

Từ suy ∆BED∆DFC

b) Tương tự ta tính ;

4

BE= cm ED= cm Chu vi hình bình hành AEDF=2AE+2ED=11cm

a) Học sinh tự chứng minh ∆GBF ∆GAD;∆GBF ∆DCF

suy ∆GAD∆DCF

b) Do ∆GBF ∆DCF ta có: BG BF

CD =CF thay số tính

được BG=4cm⇒ AG=10cm

c) GAD DCF GA AD GA CF CD AD ;

DC CF

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Mà AB = CD, suy ĐPCM

PM BM

PBM PAN

PN AN

∆ ∆ ⇒ =

Theo định lý Ta-lét ta có:

QM MC BM QN = AN = AN

Suy ĐPCM

Sử dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh

6 10 14

AB BC AC

ABC DEF

DE EF DF DE EF DF

∆ ∆ ⇒ = = ⇒ = =

Cạnh nhỏ ∆DEFphải tỉ lệ với cạnh nhỏ

Vậy DE = 9cm 10 14 = EF = DF

Suy ra, EF = 15cm, DF = 21cm Từ kết Ta có:

9 36

Chu vi ABC AB BC AC Chu vi MNP MN NP MP

∆ = = = = =

∆

8 ; 12 ; 16

MN cm NP cm MP cm

⇒ = = =

Học sinh sử dụng tính chất tam giác đồng dạng với để chứng minh

8 Tương tự 3A Ta có: GA.CF = CD.AD

Mà CD, AD không đổi F di chuyển BC Ta ĐPCM

9. a) 1;

2 3

BM BM CM

CM = ⇒ BC = BC = Suy ra:

BDM BAC

∆ ∆ với tỉ số đồng dạng

BM BC =

MEC BAC

∆ ∆ với tỉ số đồng dạng

CM BC =

BDM MEC

∆ ∆ với tỉ số đồng dạng

BM CM =

b) Tính chu vi tam giác BMD 8cm, chu vi tam giác MEC 16cm

10.Ta gọi chu vi hai tam giác ABC MNP

x, y

Theo giả thiết, ta có:

5

x

y = y - x = 51

Từ tính y = 85cm; x = 34cm

11.Sử dụng định nghĩa để chứng minh ∆AOB∆COD Tỉ số đồng dạng 10

25

AB

CD = =

CHỦ ĐỀ TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định lý: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng GT

ABC, A'B'C '

AB BC CA

A'B' B'C ' C 'A'

∆ ∆

= = KL ∆ABC∽∆A 'B'C '

C' B'

A'

C B

A

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta lập tỉ số cạnh tương ứng hai tam giác chứng minh chúng nhau, từ ta ĐPCM

1A Hai tam giác mà cạnh có độ dài sau có đồng dạng không? Tại sao?

a) 4cm, 5cm, 6cm 8mm, 1cm, 12mm

b) Tam giác ABC vuông A, có AB cm,AC 8cm= = tam giác A'B'C ' vng A ', có A'B' 9cm,B'C' 16 cm.= =

1B Hai tam giác mà cạnh có độ dài sau có đồng dạng khơng? Tại sao?

a) 24cm, 21cm, 27cm 28dm, 36dm, 32dm

b) Tam giác ABC tam giác DEF có AB BC CA = =

DE FD EF

= =

2A Cho tam giác ABC vng A có BC 10cm,AC 8cm= = tam giác A'B'C ' vuông A ' có B'C ' 5cm,A'C ' 4cm.= =

a) Chứng minh ∆ABC∽∆A 'B'C '

b) Tính tỉ số chu vi ∆ABC ∆A'B'C '

2B Cho tam giác ABC vuông A tam giác A'B'C ' vng A ' có AB BC

A'B' = B'C '= Chứng minh: a) CA

C 'A' = ∆ABC∽∆A'B'C '

b) Tỉ số chu vi ∆ABC ∆A 'B'C ' bằng

Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ để tính độ dài cạnh chứng minhcác góc bằng nhau

Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng

3A Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C ' Cho biết AB 6cm,= BC 10cm,AC 14cm= =

và chu vi tam giác A'B'C ' 45cm Hãy tính độ dài cạnh tam giác A'B'C '

3B Cho tam giác ABC có độ dài cạnh tỉ lệ với : : Cho biết ∆DEF∽∆ABC cạnh nhỏ

của ∆DEF 0,8m, tính cạnh lại ∆DEF

4B Cho tam giác ABC có AB 10cm,AC 20cm.= = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD 5cm.= Chứng minh ABD ACB = , biết BAC 90 =

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Cho tam giác ABC có AB 3cm,BC 5cm= = BAC 90 = Cho biết tam giác A'B'C ' đồng dạng với tam giác ABC có cạnh nhỏ 1,5cm, tính cạnh cịn lại tam giác A'B'C '

6 Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Gọi P, Q, R trung điểm

đoạn thẳng OA, OB, OC

a) Chứng minh ∆PQR∽∆ABC

b) Cho biết ∆ABC có chu vi 543cm, tính chu vi ∆PQR

7 Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C ' Cho biết BC 24,3cm,CA 32,4cm= = AB 16,2cm= , tính độ dài cạnh tam giác A'B'C 'nếu:

a) AB lớn A 'B' 10cm; b) A 'B' lớn AB 10cm

HƯỚNG DẪN 1A.a) Đổi sang đơn vị mm, ta lập tỉ số: 40 50 60

8 =10 =12 = Từ kết luận hai tam giác đồng dạng

b) Theo định lý Pytago, tính BC = 10cm

Vì

' ' ' '

AB BC

A B = ≠ = B C nên hai tam giác không đồng dạng

1B.Sắp xếp cạnh tam giác theo thứ tự tăng dần lập tỉ số, ta hai tam giác cho

đồng dạng

b) Đặt , ,

3

AB BC CA

k AB k BC k CA k

= = = > ⇒ = = =

Đặt , ,

6

DE FD EF

t DE t EF t FD t

= = = > ⇒ = = =

Lập tỉ số cặp cạnh tương ứng, dẫn tới kết luận hai tam giác khơng đồng dạng

2A.a) Tính AB = 6cm, A'B' = 3cm Từ tìm được:

2 ' ' ' ' ' '

AB BC CA

A B = B C =C A = nên ∆ABC∆A B C' ' 'theo tỉ số đồng dạng

b) Ta có

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

AB BC AC AB BC CA

A B B C A A A B B C C A

+ +

= = = =

+ + , nên tỉ số chu vi ∆ABC ∆A B C' ' ' 2B. a) Ta có

2 2 2

2 2

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

BC AB BC AB AC

B C A B B C A B A C −

= = = =

− ⇒ĐPCM

b) HS tự làm

3A. Ta có:

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

AB BC AB BC CA

A B B C A B B C C A

+ +

= = =

+ +

Từ tính A'B' = 9cm, B'C' = 15cm, A'C' = 21cm

3B. Vì ∆DEF ∆ABCnên ∆DEF có độ dài cạnh tỉ lệ với : :

Giả sử DE < EF < FD ⇒ DE = 0,8m

Ta có 0,

4

DE = EF = FD =

Từ tính EF = 1m FD = 1,2m

b) Từ phần a ⇒ ABD=BDC ⇒ĐPCM

5.Tính AC = 4cm Sau áp dụng cách làm tương tự 3B 6.a) Chứng minh

2

PQ QR RP

AB = BC = CA= ⇒ĐPCM

b) Tính chu vi ∆PQR 271,5cm

7. Ta có 16, 24, 32, ' ' ' ' ' '

A B = B C =C A

a) Tính A'B' = 6,2cm Từ tính B'C' = 9,3cm A'C' = 12,4cm b) Tương tự câu a tính A'B' = 26,2cm, B'C' = 39,3cm A'C' = 52,4cm

CHỦ ĐỀ TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

• Định lý: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh nhau, hai tam giác đồng dạng

GT  

ABC, A'B'C '

AB BC

,B B' A'B' B'C '

∆ ∆

= = KL ∆ABC∽∆A 'B'C '

C' B'

A'

C B

A

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét hai tam giác, chọn hai góc chứng minh (nếu cần);

Bước 2: Lập tỉ số cạnh tạo nên góc đó, chứng minh chúng nhau;

Bước 3: Từ đó, chứng minh hai tam giác đồng dạng

1A Cho xOy, Ox lấy điểm A C, Oy lấy điểm B D Chứng minh

AOB COD

∆ ∽∆ nếu biết trường hợp sau: a) OA OB;

OC = OD b) OA.OD OB.OC.=

1B Cho xoy, Ox lấy điểm A C, Oy lấy điểm B D Chứng minh

AOD BOC

∆ ∽∆ nếu OA 4cm,OC 15cm,OB 6cm= = = OD 10cm.=

2A Cho hình thang ABCD (AB CD ), biết AB 9cm,BD 12cm,DC 16cm.= = = Chứng minh

ABD BDC

∆ ∽∆

2B Cho xoy, Ox lấy điểm A cho OA 4cm,= Oy lấy điểm B C cho OB 2cm,OC 8cm.= = Chứng minh ∆AOB∽∆COA

Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài cạnh chứng minh góc bằng

Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng cặp cạnh tương ứng lại

3A Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BD Lấy điểm E DH

điểm K BC cho DE CK

DH = CB Chứng minh:

a) ∆ADE∽∆ACK; b) ∆AEK∽∆ADC; c) AEK 90 =

3B Cho hình thang ABCD biết A D 90  = = Trên cạnh AD lấy điểm I cho AB.DC AI.DI.= Chứng

minh:

4A Cho hình thoi ABCD, A 60  = Qua C kẻ đường thẳng d cắt tia đối tia BA, DA theo thứ tự E F Gọi I giao điểm BF ED Chứng minh:

a) EB AD;

BA = DF b) ∆EBD∽∆BDF;

c) BID 120 =

4B Cho hình bình hành ABCD, A 90  > Kẻ AH⊥CD H, AK⊥BC K Chứng minh: a) AH DA;

AK = DC b) AKH ACH. =

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Cho xoy, Ox lấy điểm M P, Oy lấy điểm N Q Chứng minh

OMN OPQ

∆ ∽∆ nếu biết trường hợp sau: a) OM 2cm;ON 1,5cm;OP cm;OQ 3cm;= = = = b) M trung điểm OP, N trung điểm OQ

6 Cho tam giác ABC có AB 12cm,AC 15cm,BC 18cm.= = = Trên cạnh AB, đặt đoạn AM 10cm,= cạnh AC đặt đoạn AN 8cm.= Tính độ dài đoạn MN

7 Cho xoy, phân giác Ot Trên Ox lấy điểm A C ' cho OA 4cm,OC ' 9cm= = , Oy lấy điểm A ' C cho OA' 12cm,OC 3cm,= = tia Ot lấy điểm B B' cho

OB 6cm,OB' 18cm.= = Chứng minh:

a) ∆OAB∽∆OA'B'; b) AB AC BC

A'B'= A'C '= B'C '

8 Cho đoạn thẳng AB 13cm,= điểm C đoạn thẳng cho AC 4cm,= đường thẳng vng

góc với AB C, lấy điểm D cho CD 6cm.= Chứng minh ADB 90  =

9 Cho tam giác ABC có AB 9cm,AC 12cm,BC 7cm.= = = Chứng minh B 2C. = 

HƯỚNG DẪN 1A. a) Có OA OB

OC =ODnên ta chứng minh

( )

AOB COD c g c

∆ ∆

b) Có OA.OD = OB.OC

OA OB

OC CO

⇒ = ⇒ĐPCM

1B. Chứng minh ∆AOD∆BOC c g c( )

2A. Ta chứng minh  ABD=BDC

AB BD BD = DC =

Từ suy ∆ABD∆BDC c g c( )

2B Chứng minh

2

và  AOB=COA nên ta có ∆AOB∆COA c g c( )

3A.a) Ta chứng minh DE DH (1)

CK = CB

DA HD DA HD

HDA ADB

DB AD AC BC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ = (2) Từ (1) (2) suy DE DA

CK = AC mà

 

ADE= ACK nên ta có

( )

ADE ACK c g c

∆ ∆ − −

b) Từ phần a) ta suy AE AD

AK = AC

Chứng minh EAK =CAD nên ta có ( )

AEK ADC c g c

∆ ∆

c) Có ∆AEK ∆ADC⇒  AEK =ADC=900 a) Theo đề ta ta AB DI

AI = DC từ suy

( )

ABI DIC c g c

∆ ∆ − −

b) Chứng minh  AIB=DCI mà

  

90 90

DIC+DCI = ⇒BIC= a) Có BC/ /AD BE CE

BA CF

⇒ = ;

Lại có DC/ /AB EC AD

FC DF

⇒ =

Suy ĐPCM

b) Do ABCD hình thoi có A=600 nên: AB = BD = DC = CA = AD

Ta có EBD =BDF =1200 theo câu a) EB AD

BA= DF

hay EB BD EBD BDF c g c( )

BD = DF ⇒ ∆ ∆

c) Từ phần b) ta có: BED =DBF từ chứng minh

BDI EDB

∆ ∆ mêm suy BID =EBD=1200

b) Từ phần a ta có AH AK

BC = BA chứng minh

 

HAK = ABC Từ ta có ∆KAH ∆ABC;

Mà ∆ABC∆CDA nên suy ∆KAH ∆CDA từ chứng

minh  AKH =ACH

5.HS tự chứng minh

6.Chứng minh ∆AMN ∆ACB c( − −g c)

Do

3

AM MN

AC = CB = ;

Từ tính MN = 12cm

7.a) Chứng minh ∆OAB∆OA B c' '( − −g c)

b) Chứng minh

' ' ' ' ' '

AB AC BC

A B = A C = B C =

8.Gợi ý: Tính AD, DB Sau áp dụng định lý Pitago đảo

để chứng minh tam giác ADB vng D Từ quy ĐPCM

Cách khác: Có

AC CD

DC = CB = mà



90

C= nên CDB +ADC=900 ⇒ĐPCM

9. Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BC =

7cm Chứng minh ∆ABC∆ACE c( − −g c) suy BCA =E

Từ ta có   ABC=BCE+ =E 2E=2BCA

CHỦ ĐỀ TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

• Định lý: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng

GT

   

ABC, A'B'C ' A A',B B'

∆ ∆

= = KL ∆ABC∽∆A 'B'C '

C' B'

A'

C B

A

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Chỉ hai cặp góc tương ứng hai tam giác để suy hai tam giác đồng dạng

1A Cho tam giác ABC có đường phân giác AD Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD

tại E Chứng minh:

a) ∆ABD∽∆ECD; b) ∆ACE cân C

1B Hình thang ABCD (AB CD ), có DAB CBD = Chứng minh ∆ABD∽∆BDC

2A Cho ∆ABC có AM phân giác BAC M BC( ∈ ) Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A cho BCx 1BAC.

2

= Gọi N giao Cx tia AM Chứng minh:

a) BM.MC MN.MA;= b) ∆ABM∽∆ANC;

c) Tam giác BCN cân

2B Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến d qua A cắt đường chéo BD E đường thẳng BC, CD F G Chứng minh:

a) ∆GCF∽∆GDA; b) ∆GCF∽∆ABF;

c) ∆GDA∽∆ABF tích số BF.DG không đổi d quay quanh A

Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài cạnh, chứng minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh góc

Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

3A Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh:

a) AB2 =BH.BC; b) AH2 =BH.HC

3B Cho tam giác ABC vuông A, Q điểm AC Gọi D hình chiếu Q BC E giao

điểm AB QD Chứng minh:

a) QA.QC QD.QE;= b) AB.AE AQ.AC.=

a) BM AB;

CN = AC b) AM.DN AN.DM.=

4B Cho tam giác ABC (AB AC< ), đường phân giác AD Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho

 

ACI BDA.= Chứng minh:

a) ∆ABD∽∆AIC; b) ∆ABD∽∆CID; c) AD2 =AB.AC DB.DC.−

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Cho tam giác ABC có A 2B =  Đặt AB c,AC b,= = BC a.= Chứng minh a2 =b2 +bc

6 Cho tam giác ABC d đường thẳng tùy ý qua B Qua E điểm AC, vẽ đường thẳng song song với AB BC, cắt d M N Gọi D giao điểm ME BC Đường thẳng NE cắt AB MC F K Chứng minh:

a) ∆AFN∽∆MDC; b) AN MK.

7 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF đồng quy H Chứng minh:

a) ∆AEF∽∆ABC ;

b) H giao điểm đường phân giác ∆DEF; c) BH.BE CH.CF BC + =

HƯỚNG DẪN 1A. A) Do AB//CE nên BAD =DEC Chứng minh

( )

ABD ECD g g

∆ ∆

b) Chứng minh CAD =CED(=BAD) nên ∆ACE cân C

1B.Chứng minh ∆ABD∆BDC g g( )

2A.a) Chứng minh ∆BAM ∆NCM g g( )⇒ĐPCM b) Từ a, suy  ABM =CNM Từ chứng minh

( )

ABM ANC g g

∆ ∆

c) Từ a, có BM MN

MA =CM

Chứng minh ∆BMN ∆AMC c g c( ).Do

  1

2

NBM =CAM = BAC, ta NBM =BCN ⇒ĐPCM

2B. a) b) HS tự chứng minh

c) Sử dụng tính chất bắc cầu, ta ∆GDA∆ABF Từ suy BF.DG = AB.AD, mà AB.AD không đổi d quay quanh A ⇒ĐPCM

a) Chứng minh

( )

AHB CAB g g AB BH BC

b) Chứng minh được∆ABC∆AQE g g( )⇒AB AE =AQ AC

c) Chứng minh ∆ABM ∆ACN g g( ) suy AB BM (1)

AC = CN

b) Chứng minh ∆BDM ∆CDN g g( ), suy (2)

BM DM

CN = DN

Từ (1) (2) AM DM

AN DN

⇒ = ⇒ĐPCM

a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh

c) Từ a, suy AB.AC = AD.AI (1) Từ b, suy BD.CD = AD.ID (2) Từ (1) (2), ta chứng minh AD2

= AB.AC- DB.DC Gợi ý: Kẻ AD đường phân giác góc A

Theo tính chất đường phân giác,

CD AC CD AC

DB = AB ⇒ DB CD+ = AB+AC

(1)

AC BC CD

AB AC

⇒ =

+

Chứng minh

( ) (2)

ABC DAC g g AC BC DC

∆ ∆ ⇒ =

Thay (1) vào (2)

AC BC

AC BC

AB AC =

+ ⇒ĐPCM

a) Chứng minh BFED hình bình hành

, (1)

BF ED EF BD BF BD EF ED

⇒ = = ⇒ =

Chứng minh ∆BFN ∆MDB g g( )⇒NF DM =BD BF (2) Chứng minh ∆AEF ∆ECD g g( )⇒AF CD =EF ED (3) Từ (1), (2) (3) NF CD

AF DM

⇒ =

Từ chứng minh ∆AFN ∆MDC c g c( ) b) Ta  FNA=EKC, từ suy AN//MK

a) Chứng minh AE AB

Từ chứng minh ∆AEF ∆ABC c g c( ) b) Tương tự câu a, ta có

 

( )

CED CBA g g CED CBA

∆ ∆ ⇒ =

Từ a, suy  AEF =CBA nên CED = AEF Từ chứng

minh  FEH =DEH , suy EH phân giác FED Chứng minh tương tự ta H giao điểm đường phân giác ∆DEF

c) Chứng minh BD.BC = BH.BE (1) Chứng minh CD.BC = CH.CF (2) Từ (1) (2), ta có BH.BE + CH.CF = BC2

CHỦ ĐỀ CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu:

- Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng

- Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vuông

2 Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng

3 Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác hai tam giác đồng dạng

- Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

- Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ số hai đường phân giác tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

4 Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng

Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng

Phương pháp giải: Có thể sử dụng cách sau:

Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng hai tam giác thường vào tam giác vuông Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

1A Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt H Chứng minh:

a) ∆BEH∽∆CDH; b) ∆EHD∽∆BHC

1B Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Qua điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với

BC, cắt AC, AB D, E Chứng minh:

a) ∆ABC∽∆MDC; b) ∆EAD∽∆EMB

2A Cho hình thang vng ABCD A D, AB 6cm,CD 12cm= = AD 17cm.= Trên cạnh AD, lấy E cho AE 8cm= Chứng minh BEC 90  =

2B Cho tam giác ABC vuông A với AC 4cm= BC 6cm.= Kẻ tia Cx vng góc với BC (tia Cx điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC) Trên tia Cx lấy điểm D cho BD 9cm.= Chứng minh BD song song với AC

Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác vuông để giải toán

Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy điều cần chứng minh

3A Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH

a) Chứng minh AB2 =BH.BC; b) Chứng minh AH2 =BH.CH; c) Gọi P trung điểm BH Q trung điểm AH Chứng minh ∆BAP∽∆ACQ; d) Chứng minh AP ⊥CQ

3B Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M N chân đường vng góc kẻ từ H

xuống AB AC Chứng minh:

a) AH2 =AM.AB; b) AM.AB AN.AC.=

c) ∆AMN∽∆ACB

4A Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CE⊥AB E, CF⊥AD F, BH⊥AC H

a) AB AH;

AC = AE b) AD.AF AK.AC;=

c) AD.AF AB.AE AC + =

4B Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Chứng minh

2

BC =BH.BD CH.CE.+

Dạng Tỉ số diện tích hai tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng

5A Cho hình vng ABCD Gọi E F trung điểm AB BC I giao điểm DF

CE Tính tỉ số diện tích hai tam giác CIE CBE

5B Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB E,

đường thẳng qua D song song với AB cắt AC F Cho biết diện tích tam giác EBD FDC a2 b2, tính diện tích tam giác ABC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

6 Cho hai tam giác ABC cân A A'B'C ' cân A ' Cho biết tỉ số hai đường cao BH B'H'

tỉ số hai cạnh tương ứng AC A'C ', chứng minh hai tam giác đồng dạng

7 Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Gọi G

một điểm cạnh BC Tính diện tích tứ giác ADGE biết diện tích tam giác ABC 16cm ,2 diện tích tam giác ADE 9cm

8 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, BC 20cm,AH 8cm.= = Gọi D hình chiếu H

AC, E hình chiếu H AB

a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ADE

HƯỚNG DẪN 1A.a) ∆BEH ∆CDH g( −g)

b) Có ∆BEH ∆CDHta suy HE HB

HD= HC

Từ chứng minh ∆EHD∆BHC c g c( )

1B.HS tự chứng minh 2A.Ta chứng minh

 

( )

ABE DEC c g c AEB ECD

∆ ∆ ⇒ =

Từ ta có  

90

DEC+AEB= suy BEC=900 (ĐPCM)

2B.Ta chứng minh

 

ABC CBD ACB CBD

∆ ∆ ⇒ =

Từ suy BD//AC (ĐPCM)

3A. a) Ta chứng minh ∆ABH ∆CBA từ suy AB2 = BH.BC (ĐPCM)

b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh c) Từ ∆AHC∆BHA

AH AC BH AB

⇒ = mà AH AQ

BH = BP

Từ suy AC AQ

AB = BP Do có ∆BAP∆ACQ c g c( − − )

Sử dụng kết câu b) BAP =MCA Trong ∆AMC ta chứng minh 

90

CMA= ⇒CP⊥ AQ (ĐPCM) 3B.HS tự chứng minh

4A.a) Ta chứng minh AHB AEC g g( ) AB AH (1)

AC AE

∆ ∆ ⇒ =

b) Tương tự câu a ta chứng minh AD AK

AC = AF ⇒ AD.AF =AK.AC (2)

b) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3)

Lấy (3) + (2) ta AD.AF + AB.AE = AC2(ĐPCM)

4B. Gợi ý: Gọi AH∩BC={ }K , chứng minh AK ⊥

BC

Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ĐPCM

5A.Ta chứng minh ∆CIFvuông I Vẽ BK ⊥ CE

2 CBK CFI S BC CBK CFI S CF   ⇒ ∆ ∆ ⇒ =  =   

Lại có ⇒ ∆CFI ∆BEKnên CBE CIF S

S = 5B.Đặt SABC = S2 ∆EBD∆ABC

Chứng minh

2 2

2

EBD ABC

S BD a BD

S BC S BC

    ⇒ =  ⇔ =      (1) BD a BC s ⇒ = Chứng minh: (2) CDF CBA

S DC DC b

CDF CBA

S BC BC s

 

⇒ ∆ ∆ ⇒ =  ⇒ =

 



Từ (1) (2) BD DC a b ( )2

S a b

BC BC s s

⇒ + = + ⇒ = +

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

Theo giả thiết ta có:

' ' ' ' ' '

BH AC AB

B H = A C = A B

Ta chứng minh ∆BHA∆B H A' ' '⇒ = A A'

⇒Chứng minh ∆ABC∆A B C c' ' '( − −g c)

9

16

ADE ABC

S AE

ADE ABC Do

S AC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ = suy AE=3EC

Kẻ AA' ⊥ DE, EE' ⊥ BC Chứng minh EE ' ' 3AA

= nên

3

GDE ADE

S = S = cm

2

12 ADGE

S cm

⇒ =

a) Ta chứng minh được: C =AED (vì BAH) Từ suy ĐPCM

2

4 25

ADE ABC

S DE AH

S BC BC

   

=  =  =

   

Từ tính SADE = 12,8cm2

a) Chứng minh ∆AOB∆DOC g g( ) b) Từ câu a, ta OA OB

OD =OC

Chứng minh∆AOB∆DOC g g( ) Từ suy EA.ED = EB.EC a) HS tự chứng minh

b) HS tự chứng minh

c) Chứng minh ∆IEB∆IDC g g( )⇒ĐPCM a) Chứng minh ∆ADI ∆BDA g g( )⇒ĐPCM

b) Có

( )

ABI DBA g g AB BI BD

∆ ∆ ⇒ = , mà AB = 2AD

⇒ĐPCM

a) HS tự chứng minh

b) Chứng minh AD AN

DC = DP Từ suy

( )

AND DPC c g c

∆ ∆

c) Chứng minh P trực tâm ∆DNC

(1)

CP DN

⇒ ⊥ Chứng minh tứ giác MNPC hình bình hành ⇒MN//PC (2) Từ (1) (2) ta suy raMN⊥DN

3A. Điều kiện cần: Giả sử A'; B'' C' thẳng hàng Vẽ AH//BC

(H ∈ A'B') Theo hệ định lý Talet

' ' '

;

' ' ' '

AC HA CB A C

BC A B AB HA

⇒ = =

' ' ' ' '

' ' ' ' '

AC BA CB HA BA A C BC CA AB A B CA HA

⇒ = =

Điều kiện đủ: Có ' ' ' (1)

' ' '

AC BA CB

BC CA AB =

Lấy A'' giao điểm B'C' BC Chứng minh điều kiện cần, ta có

' '' '

(2)

' '' '

AC BA CB

BC CA AB =

Từ (1), (2) ' '' ' '' ' ''

BA BA

A A

CA CA

⇒ = ⇒ ≡ Vậy A'B'C' thẳng hàng

3B.Điều kiện cần: Giả sử AA', BB', CC' đồng quy M

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BB' E, cắt CC' D Theo hệ định lý Talet có

' ;

' ' ' ' '

AE MA DA MA BA AE

BA =MA CA = MA ⇒CA = DA

Tương tự có: ' ; '

' '

AC DA CB BC

' ' '

' ' '

BA AC CB AE DA BC CA BC AB DA BC AE

⇒ = =

Điều kiện đủ: Giả sử

' ' ' ' ' '

AC BA CB

BC CA AB = Gọi BB'∩CC'={ }M AM∩BC={ }A1

Vè đường thẳng qua A song song với BC cắt BB', CC' E, D Chứng minh ta có:

1

1

' '

' ', ', '

' '

BA

AC CB

A A AA BB CC

BC CA AB = ⇒ ≡ ⇒ đồng quy

M

4A. a) MN đường trung bình / / ;

ABC MN AB MN AB

∆ ⇒

Ta chứng minh

( ) AH AB

AHB MON g g

OM MN

∆ ∆ ⇒ = =

b) Có HAG =OMG OM GM

AH = GA (cùng

1

= ) Từ suy ∆HAG∆OMG c g c( )

c) Từ câu b GH 2; AGH OGM GO

⇒ = =

Từ chứng minh  

180

OGM +HGM = Vậy H, G, O

thẳng hàng

4B.Gọi AG∩PF ={ }H ,CG∩PE Q{ } Chứng minh

1 (1)

HF GJ

HP =CG = Mà (2)

MF HF

ME = HP

Từ (1), (2) có: 1

2

MF

MF EF

ME = ⇒ =

Tương tự có

MN = EF Vậy MF=MN=NE

5.Ta chứng minh AQ AC

AP = AB

Từ suy ∆APQ∆ABX c g c( )

 AQP ACB PQ/ /BC

⇒ = ⇒

6.a) Tính BD= 2(cm) (Định lý Pytago)

b) Ta có

2

DB DE DC DB

 

= = 

  Từ ta chứng minh

( )

BDE CDB c g c

∆ ∆

c) Từ b, ta  DCB=DBE

    

45

DEB DCB DEB DBE ADB

⇒ + = + = =

7.a) HS tự chứng minh

b) Chứng minh AD2 = AB.DC Từ suy AD =

c) HS tự chứng minh d) Ta chứng minh

2

4 16

9 81

OAB OCD S S

∆ ∆

  =  =

 

ƠN TẬP CHUN ĐỀ3 I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phần Tóm tắt lý thuyếttừ Bài đến Bài chương

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

1A Cho tứ giác ABCD có BAC BDC = , hai đường chéo AC BD cắt O

a) Chứng minh ∆AOB∽∆DOC b) Chứng minh ∆AOD∽∆BOC

c) Hai đường thẳng AD BC giao E Chứng minh EA.ED EB.EC.=

1B Cho tam giác ABC Trên cạnh AB AC lấy điểm E D cho AE AD

AC = AB = a) Chứng minh ∆ABD∽∆ACE

b) Chứng minh ∆ADE∽∆ABC

c) Giả sử I BD= ∩EC Chứng minh ID.IB IE.IC.=

2A Cho hình chữ nhật ABCD, AB 2BC.= Kẻ AI vng góc với BD I AI cắt DC E Chứng minh:

a) AD2 =DI.DB; b) BI 4DI;= c) DC 4DE.=

2B Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ DE vng góc với AC E Gọi M, N, P trung điểm BC,

AE DE Chứng minh: a) AD AE;

DC = DE b) ∆AND∽∆DPC;

c) ND ⊥NM

3A Cho tam giác ABC Lấy ba điểm A',B',C' ba đường thẳng BC, AC AB Chứng minh

điều kiện cần đủ để ba điểm A',B',C' thẳng hàng AC ' BA' CB'

BC ' CA' AB'= (Định lý Menelaus)

3B Cho tam giác ABC Lấy ba điểm A',B',C' ba đường thẳng BC, AC AB Chứng minh

điều kiện cần đủ để đường thẳng AA',BB',CC ' đồng quy AC ' BA' CB'

BC ' CA' AB'= (Định lý Ceva)

4A Cho tam giác ABC, trực tâm H Gọi M, N trung điểm BC AC Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác, G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh:

a) ∆OMN∽∆HAB Từ suy AH 2OM;= b) ∆HAG∽∆OMG;

c) Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH 2GO.=

4B Cho tam giác ABC, hai trung tuyến AK CJ cắt G Từ điểm P AC, vẽ

đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CJ (E BC,F AB∈ ∈ ) Các trung tuyến AK, CJ cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M N Chứng minh FM MN NE= =

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Cho tam giác ABC cân A có đường cao BE CF Gọi P chân đường vng góc kẻ từ E đến

AB, Q là chân đường vng góc kẻ từ F đến AC Chứng minh PQ song song với BC

6 Cho tam giác ABC vuông A, Ab 1cm,AC 3cm.= = Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho

AD DE EC.= = a)Tính độ dài BD

7 Cho hình thang vng ABCD (A D 90 = = 0) có hai đường chéo vng góc với O, AB 4cm,CD 9cm.= =

a) Chứng minh ∆AOB∽∆DAB b) Tính độ dài AD

c) Chứng minh OA.OD OB.OC= d) Tính tỉ số OAB

OCD

S

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2,5 ĐIỂM)

Bài (1điểm) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời

1 Cho tam giác ABC có D, E nằm hai cạnh AB, AC cho DE BC CE 4cm,= AC 6cm,BC 7,5cm.= = Khi độ dài DE bằng:

A 8cm;

5 B

16 cm;

5 C 2,5cm D 5cm

2 Cho ∆ABC có AB 4cm,BC 5cm,AC 6cm; MNP= = = ∆ có MN 2cm,NP 3cm,= = MP 2,5cm.= Cách viết sau quy ước đỉnh:

A ∆ABC∽∆MNP; B ∆ABC∽∆MPN; C ∆ABC∽∆NPM; D ∆ABC∽∆NMP

3 Cho ∆ABC∽∆A'B'C 'theo tỉ số đồng dạng Gọi AM A'M ' đường trung tuyến tam giác Khi tỉ số AM

A'M ' bằng: A 2; B 1;

2 C

1

4 D

4 Cho ∆ABC∽∆MNP AB 1,SMNP 25cm2

MN =5 = Tính SABC :

A 1cm2 B 5cm2 C 125cm2 D 625cm2

Bài (1,5 điểm)Cho hình vẽ bên (Hình 1)

Điền nội dung thích hợp vào chỗ chấm ( ) a IF ;

IH = b Nếu HI

HG = FG IJ; c Nếu FG IJ IF =

diê

Hình H

J

I F

G

Bài (2,5 điểm) Một cột cờ thẳng đứng có

bóng in xuống mặt đất dài 18m (AC 18m= ), thời điểm đó, cọc sắt DB cao 2m vng góc với mặt đất 3m (CB 3m= ) Tính chiều cao cột cờ

E

D

C B A

Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Vẽ đường cao AH (H BC ∈ ) Lấy điểm D

đối xứng với B qua H

a) Chứng minh ∆ABC∽∆HBA;

b) Qua C dựng đường thẳng vng góc với tia AD cắt AD E Chứng minh AH.CD CE.AD;= c) Chứng minh ∆HDE∽∆ADC;

d) Cho AB 6cm,AC 8cm.= = Tính diện tích tam giác DEC; e) AH cắt CE F Chứng minh tứ giác ABFD hình thoi

HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Bài

Câu C Câu A Câu D Câu A

Bài 2.Nội dùng cần điền vào chỗ chấm ( )

a) GF

GH b)

HJ

HF c) IJ

PHẦN II TỰ LUẬN Bài 1. Ta có BD BC

AE = AC (Hệ định lý Talet)

Từ tính 2.18 12( )

AE= = m Vậy chiều cao cột cờ (12m)

Bài 2.a) Chứng minh ∆ABC∆HBA g g( )

b) Chứng minh ∆AHD∆CED g( −g)⇒AH CD =CE AD c) Từ ý b, ta có AD CD

HD = DE

d) Ta có 24( 2)

BAC

S∆ = AB AC= cm Tìm BC = 10cm, BH = 3,6cm

⇒ BD = 7,2cm, DC = 2,8cm Ta có ∆DEC∆BAC g g( )

2

1176 625

DEC

DEC BAC

S DC

S

S BC

∆

∆ ∆

 

⇒ =  ⇒ =

 

ĐỀ SỐ

Bài 1.(2,0 điểm)

Cho hình vẽ bên (Hình 1)

Biết MN 1,5cm,CB 6m,= = BN 6m.= Tính độ dài cạnh AB

Hình N

M

C

B A

Bài (3,0 điểm)

Cho hình vẽ bên (Hình 2)

Biết AB 4cm,AC 6cm,BC 5cm,= = = phân giác AD BE AC.

Tính độ dài BD;BE

Hình

E D

C B

A

Bài 3.(5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Kẻ đường cao BE CF cắt H

1) Chứng minh AE.AC AF.AB= ∆AEF∽∆ABC

2) Qua B kẻ đường thẳng song song với CF cắt tia AH M AH cắt BC D Chứng minh

2

BD =AD.DM

3) Cho ACB 45 = kẻ AK vng góc với EF K Tính tỉ số AFH

AKE

S S 4) Chứng minh: AB.AC BE.CF AE.AF= +

HƯỚNG DẪN Bài Đặt AB = x (m) ⇒ AN = x - 6(m)

Theo hệ định lý Talet ta có AN MN

AB = BC

Từ tính AB = 8(m)

Bài 2.Theo tính chất tia phân giác tính chất dãy tỉ số ta có:

BD DC BD DC BC

AB AC AB AC AB AC

+

= = =

+ +

Từ BE//AC nên chứng minh ∆ABE cân B ⇒ BE = 4cm

Bài 3.1) Chứng minh ∆AEB∆AFC g g( )nên suy AE.AC=AF.AB Từ chứng minh ∆AEF ∆ABC c g c( )

2

BD AD DM

⇒ =

3) Chứng minh ∆AFH ∆AKE g( −g) Suy A FH AKE S AH S AE ∆ ∆   ⇒ =    

Bài cho ABC=450 ⇒EAH =450

AEH

→ ∆ vuông cân E

AE HE

→ =

Suy AH2 = AE2+HE2 =2AE2 Vậy A FH

AKE S S ∆ ∆ ⇒ =

4) Ta có ∆AEB∆HEC g( −g) Suy AE AB.HE

HC

= BE AB.CE

HC

=

Ta có ∆AFC∆HEC g g( ) HE

AF AC HC

⇒ = CF AC.CE

HC

=

Từ ta có AE AF AB AC .HE22

HC

=

2

.CE

BE CF AB AC HC

=

2

2

HE CE

AE AF BE CF AB AC AB AC

HC

 + 

⇒ + =  =

  (ĐPCM)

CHUYÊN ĐỀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỈNH CHĨP ĐỀU CHỦ ĐỀ HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian

Cho hai đường thẳng a b khơng gian

- Ta nói a v b song songnếu chúng thuộc mặt phẳng điểm chung

- Ta nói a v b cắt nhaunếu chúng thuộc mặt phẳng có điểm chung

- Ta nói a btrùng chúng có hai điểm chung phân biệt

- Ta nói a bchéo không tồn mặt phẳng chứa a b

2 Đường thẳng mặt phẳng song song

Cho đường thẳng avà mặt phang (P) Ta nói a song songvới (P) akhơng có điểm chung với mặt phẳng (P).

3 Hai mặt phẳng song song

Ta nói hai mặt phẳng song song với mặt phẳng có hai đường thẳng cắt

song song với mặt phẳng

Lưu ý.Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung Ithì chúng có đường thẳng chung a (ađi qua I). Khi ta nói hai mặt phẳng cho cắt nhau theo giao tuyến a.

4 Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhậtlà hình có mặt hình chữ nhật

•Hình hộp chữ nhật có đỉnh: A; B; A'.

° Hình hộp chữ nhật có mặt: ABCD; BCCB’;

• Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh: AD; D'C'; CD;

• Hai mặt khơng có cạnh chung gọi hai mặt đối diện.Nếu coi hai mặt đối diện mặt đáythì mặt cịn

lại gọi mặt bên.

• Hình hộp chữ nhậtcó tâ't mặt hình vng gọi hình lập phương

5 Các cơng thức tính diện tích

Xét hình hộp chữ nhật có chiều cao h,đáy có chiều dài a,yà chiều rộng b. a) Diện tích xung quanhcủa hình hộp chữ nhật chu vi đáy nhân chiều cao:

Sxq =2(a + b)h

b) Diện tích tồn phầncủa hình hộp chữ nhật diện tích xung quang cộng diện tích hai đáy:

Stp = (a + b)h + 2ab

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Nhận biết vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng của, hai mặt phẳng hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Dùng kiên thức nêu phần Tóm tắt lý thuyếtđể nhận biết

1A.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BC'D' hình vẽ

c) Nêu vị trí tương đối (ABB'A') với (BDD'B')và (CDD'C')? Giải thích ?

1B.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' hình vẽ

a) Nêu vị trí tương đối cặp đường thẳng AB' C'D; B'D' AD; AC A'C

b) BC’ song song với (ADD'A') khơng? Vì sao? Chứng minh (BCC'B') song song với (ADD'A') c) AC' CA'có cắt khơng? Vì sao?

d) Hai mặt phẳng (ACC'A') (BDD'B') có cắt khơng? Nếu cắt cắt theo đường thẳng chung nào?

Dạng Nhận biết đỉnh, cạnh mặt hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Dùng kiến thức nêu phần Tóm tắt lý thuyết để nhận biết

2A.Cho hình hộp chữ nhật MNEF.PQGH hình vẽ

a) Kể tên đỉnh mặt hình hộp chữ nhật b) Kể tên tất cạnh hình hộp chữ nhật

2B.Cho hình hộp chữ nhật MNEF.PQGH hình vẽ

a) Kể tên tất mặt đối diện hình hộp chữ nhật

b) Nếu coi MPHF NQGE hai mặt đáy, kể ten tất mặt bên hình hộp chữ nhật

3A.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ hình vẽ K trung điểm BM, H thuộc PC

a) Kể tên mặt phẳng chứa cạnh QD b) Điểm K có thuộc (ABNM) khơng? Vìsao? c) BM có cắt KN khơng?

3B.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ hình vẽ K trung điểm BM, H thuộc PC

a) AN có qua K khơng? Vì sao? b) Kể tên mặt phang chửa điểm H

Dạng Tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải:Đưa liệu cạnh, góc mặt phẳng, sử dụng công thức hình phẳng để tính

4A.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ có tất cạnh Gọi o giao điểm AC BD

a) Tứ giác ABNM hình gì? Vì sao? b) Cho SCDQP = 100 cm2 Tính OB

4B.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ có BC = cm, BP= cm

a) Kể tên tất cạnh CD? Giải thích b) Tính BN

Dạng Tính toán số liệu liên quan đến cạnh, mặt hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Đưa liệu cạnh, góc mặt phẳng sử dụng công thức biết hình học phẳng để tính

5A.Cho phịng có dạng hình hộp chữ nhật Biết chiều dài, chiều rộng phòng 3m

2m mặt bên chứa cạnh 3m có đường chéo dài 5m a) Tính diện tích mặt sàn phịng

b) Tính diện tích xung quanh phịng

5B.Cho phịng có dạng hình hộp chữ nhật Chiều dài chiều rộng phòng 4m

3m Mặt bên chứa cạnh 3m có đường chéo dài 5m

a) Để lát gạch phịng cần viên gạch hoa hình vng, biết viên gạch có số đo 20cm

b) Tính diện tích tồn phần phịng

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' hình vẽ Cắt hình hộp theo mặt cắt MNPQ với M trung

điểm AB (MNPQ) song song (AA'D'D)

a) Chứng minh NQ// (BCC'B')

b) Nêu vị trí tương đối cặp đường thẳng AN BD; PB' MN

c) Cho AA' = 50cm ND' = DM = 50 2cm Khi AMND.A'QPD' hình gì?

d) Tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

7.Một phịng học hình hộp chữ nhật có chiều dài 10m, chiều rộng m chiều cao Người ta định sơn

bốn tường phịng, biết giá cơng tiền sơn 25.000 đồng cho ra2

8*.Một gia đình bác nơng dân dự định xây hầm biogas (là hầm xử lý chất thải chăn nuôi để tạo khí

ga phục vụ sản xuất sinh hoạt hộ gia đình) có dạng hình hộp chữ nhật có tổng chiều dài hai lần chiều rộng đáy 6m Hỏi phải xây hầm biogas có chiều dài chiều rộng để diện tích mặt đáy lớn nhất?

HƯỚNG DẪN Bài 1A. a) BB' A'D' chéo nhau, CD B'C' chéo b) AB song song với CD (hoặc A'B')

c) (ABB'A') cắt (BDD'B') theo giao tuyến BB', (ABB'A')// (CDD'C') AB AA' song song với (CDD'C')

1B.Tương tự 1A

a) AB' C'D song song, B'D' AD chéo nhau, AC A'C' song song

b) BC' song song với (ADD'A') c) AC' CA' cắt C

d) (ACC'A') (BDD'B') cắt theo giao tuyến OO' (O O' giao AC, BD A'C', B'D')

2A a) Tên đỉnh: M, N, F, E, P

Tên mặt: MNEF, MNQP, PQGH, NEGQ

Lưu ý: HS liệt kê tên đỉnh, mặt khác

b) Tên cạnh: MN, NE, EF, FM, PQ, QG, GH, HP, MP, FH, NQ, EG

2B.Tương tự 2A

a) MNEF PQGH; MFHP NEGQ; MNQP FEGH b) MNEF, PQGH, MNQP FEGH

3A. a) (AMQD) (DQPC)

b) K∈BM BM ⊂(ABNM) nên K ∈(ABNM) c) BM KN cắt K

3B Tương tự 3A

a) AN có qua K b) (BNPC) (CPQD)

c) Đường DH có cắt đường PQ

4A. a) Tứ giác ABNM hình chữ nhật có tất cạnh

bằng nhau, nên ABNM hình vng

b) Vì CDQP hình vng nên cạnh CD = 10cm Từ tìm OB=5 2cm

4B.Tương tự 4A

a) AB, MN PQ b) BN = 3cm

5A.a) Diện tích mặt sàn 3.2 = 6m2

b) Chiều cao phịng 4m

Từ tìm diện tích xung quanh phòng 40m2

5B.Tương tự 5A

a) 300 viên gạch b) 80m2

6) a) NQ//DA'// (BCC'B')

b) AN BD cắt nhau, PB' MN chéo c) AMND.A'QPD' hình lập phương

7 Diện tích cần sơn 115,44m2 Từ tính chi phí

tiền công 2.886.000đồng

8*. Gọi chiều dài chiều rộng hầm a b

(m) (ĐK: a > b > 0) Theo đề bài: a + 2b = Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

2

1 ( ) ( )

2

a b

ab= a b ≤ + =

Dấu "=" xảy ( )

2 1,

a b a

TM

a b b

= =

 

⇔ ⇔

+ = =

 

Vậy diện tích mặt đáy lớn

2m chiều dài hầm 3m, chiều rộng hầm 1,5m

CHỦ ĐỀ THÊ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Đường thẳng a gọi vuông góc với mặt phẳng (P) a vng góc với hai đường thẳng cắt (P) Lưu ý: Nếu a ⊥(P) a vng góc với đường thẳng nằm (P)

2 Hai mặt phẳng vng góc

Hai mặt phẳng gọi vng góc với mặt phẳng tồn đường thẳng vng góc vói mặt phẳng cịn lại

3 Thể tích hình hộp chữ nhật

Thể tích hình hộp chữ nhật diện tích đáy nhân chiều cao:

V = abh

trong a, b, h chiều dài, chiều rộng chiều cao hình hộp chữ nhật

Hệ quả:Với hình lập phưong

V =a a độ dài cạnh hình lập phương II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Nhận biết quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Dùng kiến thức nêu phần Tóm tắt lý thuyết để nhận biết

1A Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH hình vẽ

a) Kể tên đường thẳng vẽ hình vng góc vói BF b) Kể tên ba cặp mặt phẳng vng góc với

c) AC có vng góc với DH khơng? Vì sao?

d) Chứng minh tam giác AEG vng E Từ chứng minh 2

AG= AE +EF +EH (AG gọi

đường chéo hình hộp chữ nhật)

1B.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' hình vẽ

a) Nêu vị trí tương đối cặp đường thẳng BC' A'D'; DD' AB; AA’ A’C'

b) Chứng minh A'C' vng góc với (BB'D') Từ chứng minh A'C' vng góc BD'

c) Chứng minh 1( 2)

' ' ' ' '

4

Dạng Tính tốn thể tích số liệu liên quan đến cạnh mặt hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Đưa liệu cạnh, góc mặt phẳng sử dụng công thức biết hình học phẳng để tính

2A. Cho biết bể bơi tiêu chuẩn có chiều dài 50 m, chiều rộng 25 m cao 2,3 m Người ta bơm nước

vào bể cho nước cách mép bể 0,5 m a) Tính thể tích nước bể

b) Tính thể tích phần bể khơng chứa nước

2B.Một hồ cá cảnh mini có dạng hình hộp chữ nhật với chiều cao dm, chiều rộng dm chiều dài dm

Người ta đổ vào hồ cá 50 dm3nước

a) Hỏi chiều cao khối nước bể dm? b) Tính thể tích phần hồ cá khơng chứa nước

3A.Một hộp dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao cm, chiều rộng cm chiều dài 24cm Nguời ta

định đặt que dài 27 cm vào hộp

a) Hỏi tồn que có hộp khơng? Vì sao?

b) Giữ nguyên chiều cao chiều rộng hộp Nếu muốn đặt que lọt theo cạnh đáy hộp phải tăng chiều dài hộp cm? (Biết số đo chiều số ngun) Tính diện tích tồn phần hộp

3B.Một hình lập phương có cạnh Người ta tăng độ dài cạnh thêm 20%

a) Diện tích tồn phần tăng phần trăm? b) Thể tích tăng phần trăm?

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N lần luợt trung điểm BD B'D'

a) Nêu vị trí tương đối cặp đường thẳng MN BD; MNvà CC'; AC A'D' b) Chứng minh MN ⊥ (A'B'C'D')

c) Biết AA' = 20 cm,AB = 30 cm,AD = 40 cm Tính B'D'; B'M d) Tính thể tích hình hộp

5.Một thùng có dạng hình hộp chữ nhật, cao 1m, dài 50cm rộng 50cm Các bác thợ xây đổ lượng

nước 50% thể tích thùng thả vào 50 viên gạch hình hộp chữ nhật, viên có kích thước cao, dài, rộng 10cm, 20cm, 15cm Hỏi nước thùng có bị tràn ngồi khơng? Vì sao? (Việc ngâm gạch nước đê xây nhà gạch không hút nước từ phần "vữa" để không gây tượng nứt tường)

6*.Trong hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo d, tìm hình hộp chữ nhật có diện tích tồn

phần lớn

HƯỚNG DẪN 1A. a) Các đường thẳng vng góc với BF là: AB, BC, CD,

DA, AC, EF, FG, GH, HE FH

b) (ABCD) (BCGF), (CDHG) (EFGH), (ADHE) (ABCD)

Lưu ý: HS liệt kê tên cặp mặt phẳng khác c) AC⊥DH DH ⊥(ABCD)

d) Ta có AE⊥(EFGH) nên AE⊥EG Từ đó, theo định lý

Pitago, ta được:

2 2 2

AG =AE +EG =AE +EF +EH

1B.Tương tự 1A

a) HS tự làm

2A. a) Nước bể tạo thành hình hộp chữ nhật có

chiều dài 50m, chiều rộng 25m chiều cao 1,8m Từ ta tính thể tích nước bể V1 = 2250m3

b) Cách 1: Phần bể khơng chứa nước tạo thành hình hộp chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 25m chiều cao 0,5m Từ tính V2 = 625m3

Cách 2: Thể tích bể V = 2872m3 Từ V =

625m3

2B.Tương tự 2A

a) 25

6 dm b)10dm

3

3A. a) Độ dài đường chéo hộp

2 2

8 +6 +24 =26cm

Từ khơng thể đặt que hẳn hộp

b) Chiều dài hộp 27cm Từ ta tính diện tích tồn phần hộp là: Stp = 852cm2

3B. a) 44% b) 72,8%

4.a) Ta có MN cắt BD M

MN//CC', AC A'D' chéo b) MN ⊥ A'C' B'D'

c) B'S' = 50cm, B'M = 41cm d) V =24000cm3

5. Vì Vthùng = 250000cm3 Vgạch= 150000cm3nên nước bị

tràn ngồi

6*.Gọi kích thước hình hộp a, b, c (a, b, c

> 0)

Theo đề ta có a2

+ b2 + c2= d2 Diện tích tồn phần hình hộp là:

2 2

2 2 2( )

tp

S = ab+ bc+ ca≤ a +b +c = d Dấu "=" xảy ⇔ a = b = c

Vậy hình hộp có diện tích tồn phần lớn hình lập phương

CHỦ ĐỀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứnglà hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy

2 Các khái niệm liên quan

Trong hình lăng trụ hình bên: - Các đỉnh A, B, C, D, A', B', C' D' - Các mặt đáy ABCD A'B'C'D'.

- Các mặt bên ADD'A', DCCD',CBB'C' BAA'B'.

- Các cạnh bên AA', BB', CC' DU.

Các cạnh bên hình lăng trụ đứng vng góc với hai đáy gọi chiều caohình lăng trụ đứng

3 Chú ý

- Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác gọi lăng trụ đứng tam giác. Tương tự, đáy tứ giác gọi

lăng trụ đứng tứ giác, nêu đáy ngũ giác gọi lăng trụ đứng ngũ giác,

- Hình hộp chữ nhật hình lập phương hình lăng trụ đứng

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Nhận biết hình lăng trụ đứng

Phương pháp giải: Để nhận biết hình có phải hình lăng trụ đứng hay khơng, ta làm sau: - Xem hình có phải hình lăng trụ hay khơng

- Xem cạnh bên hình có vng góc với mặt đáy hay khơng Từ áp dụng khái niệm hình lăng trụ đứng để đến kết luận

1A.Trong hình sau, đâu hình lăng trụ đứng? Vì sao?

1B Trong hình sau, hình hình lăng trụ đứng? Vì sao?

Dạng Xác định đỉnh, cạnh, mặt mối quan hệ cạnh với mặt với nhau hình lăng trụ đứng

- Các khái niệm đỉnh, cạnh mặt hình lăng trụ đứng

- Vị trí tưong đối hai đường thẳng vị trí tương đối hai mặt phẳng không gian

2A Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'.

a) Hãy kể tên đỉnh, cạnh, mặt đáy mặt bên hình lăng trụ đứng b) Nêu vị trí tương đối AB CC'; AC A'B'; (ABB'A') (BCC'B')

2B.Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C.Dựng hình bình hành ABDC A'C'D'B'.

a) Xét hình lăng trụ đứng ABDC.A'B'D'C'

i) Có đỉnh, cạnh, mặt? ii) Có hình hộp chữ nhật khơng? Vì sao?

b) Trong cặp mặt phẳng (ADD'A') (BCC'B'); (ACC'A') (BDD'B'); (BCC'B') (ABDC);cặp mặt

phẳng vng góc với nhau? Vì sao?

Dạng Tính độ dài cạnh đoạn thẳng khác hình lăng trụ đứng

Phương pháp giải: Đưa liệu cạnh góc mặt phẳng sử dụng kiến thức hình học phẳng để tính tốn

3A.Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQcó đường cao cm; đáy MNPQlà hình chữ nhật tâm o

độ dài cạnh AB = cm, AC = cm. Hãy tính: a) Độ dài đoạn thẳng AP AO;

b) Tổng diện tích hai mặt đáy hình lăng trụ đứng

3B.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy tam giác vng cân A A’, có BC = 2cm

AB' = cm. Tính:

a) Chiều cao hình lăng trụ;

b) Diện tích mặt bên ABB'A'và tổng diện tích hai mặt đáy

III BÀI TẬP VỂ NHÀ

4.Một hình lăng trụ đứng có đáv đa giác ncạnh Hãy tính:

a) Số đỉnh hình lăng trụ; b) Số cạnh hình lăng trụ; c) Số mặt hình lăng trụ

5.Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có hai đáy hình vng tâm O tâm O', AB = cm AC ’ = 15 cm.

a) Hình lăng trụ đứng cho có phải hình lập phương khơng? Vì sao? b) Chứng minh đường thẳng OO'vng góc vói mặt phẳng (ABCD).

c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ACC'A') (BDD'B’).

d) Tính chiều cao hình lăng trụ đứng

1A. Các hình a, b e hình lăng trụ đứng HS tự giải

thích

1B.Tương tự 1A Các hình a d hình lăng trụ đứng 2A. a) Ta có:

- Các đỉnh: A, B, C, A', B' C' - Các cạnh bên: AA', BB' CC'

- Các cạnh đáy: AB, BC, CA, A'B', B'C' C'A' - Các mặt đáy: ABC A'B'C'

- Các mặt bên: ABB'A', BCC'B' CAA'C'

b) AB CC' chéo nhau, AC A'B' chéo Các mặt phẳng (ABB'A') (BCC'B') cắt theo giao tuyến BB'

2B.Tương tự 2A

a) (i) Có đỉnh, 12 cạnh mặt

(ii) Hình lăng trụ đứng ABDC.A'B'D'C' khơng hình hộp chữ nhật đáy khơng phải hình chữ nhật

b) (BCC'B') ⊥ (ABDC)

3A.a) Tính AP= 74cm 221

AO= cm

b) Ta tính AD = 4cm, từ tính tổng diện tích hai mặt đáy 24cm2

3B.Tương tự 3A

a) Chiều cao lăng trụ 4cm b) SABB'A'=12cm2 S2đáy = 9cm2

4.a) Số đỉnh 2n b) Cố cạnh 3n

c) Số mặt (n + 2)

5.a) Khơng AA' ≠ AB

b) HS tự chứng minh c) Giao tuyến OO' d) Chiều cao 7cm

CHỦ ĐỀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Diện tích xung quanh Sxq =2 p h

Trong p là nửa chu vi đáy h là chiều cao hình lăng trụ đứng

2 Diện tích tồn phần bằng tổng diện tích xung quanh diện tích đáy

3 Thể tích hình lăng trụ đứng V = S.h

Trong Slà diện tích đáy hlà chiều cao hình lăng trụ đứng

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích lăng trụ đứng

Phương pháp giải: Dùng kiến thức nêu phần Tóm tắt lý thuyết để tính u cầu tốn

1A.Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'có đáy tam giác vng B B', AA' = cm, AB = 2 cm, AC = cm.

a) Tính diện tích xung quanh lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần lăng trụ c) Tính thể tích lăng trụ

1B Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D’có đáy hình thoi cạnh cm, ABC= 60°và chiều cao

cm.

a) Tính diện tích xung quanh lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần lăng trụ c) Tính thể tích lăng trụ

Dạng Lắp ghép số lăng trụ đơn giản tính tốn liệu lăng trụ đứng

Phương pháp giải: Nhận biết khối hình truớc sau lắp ghép, từ vận dụng kiến thức học để xử lý yêu cầu toán

2A.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'như hình vẽ a,có đáy tam giác ABCvuông cân B AC = 5 cm, BB' = cm

a) Tính diện tích tồn phần lăng trụ ABC.A’B'C'.

b) Ghép hình lăng trụ đứng có kích thước lăng trụ đứng ABC.A'B'C' (như hình b).Tính thể tích

của hình lăng trụ đứng tạo thành

a) Tính diện tích tồn phần lăng trụ (làm trịn đến chữ sơ' hàng phần trăm)

b) Người ta ghép thêm hình lăng trụ đứng tam giác MNP.M'N'P' vào hình lăng trụ 1 để lăng

trụ đứng tam giác (như hình 2) Tính thể tích hình lăng trụ đứng sau ghép biết tam giác MNP vuông N MN = cm,MP = 2cm, MM' = cm.

Dạng Một số toán thực tế sống liên quan đến lăng trụ đứng

3A.Một lịch để bàn có dạng hình lăng trụ đứng tam giác Biết lịch có chiều cao 30 cm,đáy

là tam giác cân có cạnh bên 17cmvà cạnh đáy 8cm.Tính diện tích tồn phần thể tích lịch

3B.Một gia đình xây bể chứa nước hình lăng trụ đứng, phần lịng bể có đáy hình vng cạnh 1,5 m,

chiều cao bể m Sau họ dùng viên gạch men kích thước 20x30 cm, dày cm để Ốp xung quanh

thành bể đáy bể Hỏi gia đình cần viên gạch ốp sau ốp bể chứa khoảng lít nước?

III BÀI TẬP VỂ NHÀ

4.Một hộp quà hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh 10 cm, chiều cao lăng trụ

12 cm.

a) Người ta dùng giấy bọc kín hộp quà, hỏi diện tích giấy cần dùng bao nhiêu? b) Thể tích hộp đựng quà bao nhiêu?

* Cách 1: Gị thành hình lăng trụ có đáy hình chữ nhật dài 70 cm,rộng 30 cm (hình a);

* Cách 2: Gị thành hình lăng trụ đứng nhau, lăng trụ đứng có đáy hình vng cạnh 25cm

(hình b)

Hỏi thể tích thùng cách tổng thể tích thùng cách có khơng? Vì sao?

HƯỚNG DẪN 1A. a) Ta có: BC2 = AC2− AB2⇒BC=4 (cm)

Diện tích xung quanh:

Axq = (AB + AC + BC) AA' = 40 + 20 (cm2)

b) Ta có:

Diện tích đáy:

4 ( ) ABC

S∆ = cm Diện tích tồn phần lăng trụ:

2

40 28 ( )

tp xq ABC

S = S + S∆ = + cm

c) Thể tích lăng trụ

3

' 20 ( ) ABC

V =S∆ AA = cm

1B.Tương tự 1A

a) Sxq = 60 ( )cm2

b) BD cắt AC O Ta có 3( )

BO= cm Diện tích tồn phần lăng trụ là:

2

60 ( ) tp

S = + cm

c) Thể tích lăng trụ: 45 3

( )

V = cm

2A. a) Ta có: 2 2( )

AC = AB ⇒AB= cm

Diện tích đáy 25

( )

ABC

S∆ = cm

Diện tích xung quanh lăng trụ:

35 35 ( ) xq

S = + cm Diện tích tồn phần 95 70 2

2 ( )

2 tp xq ABC

3 ' ' '

175

2 ' ( )

2

ABCA B C ABC

V = V = S∆ BB = cm

2B. a) Kẻ DH vng góc BC (H thuộc BC) Ta tính

5 ( )

DC = cm

Diện tích xung quanh hình lăng trụ:

2

160 40 ( )

xq

S = + cm

Diện tích tồn phần lăng trụ:

2

235 40 291, 57 ( )

tp

S = + ≈ cm

b) Cách 1: Tính gián tiếp Thể tích hình lăng trụ tạo thành

2

' ' ' ' ' ' ' 400 ( )

ABCDA B C D MNPM N P

V =V +V = cm

Cách 2: Tính trực tiếp

3

' ' ' ' 400 ( )

MBCM B C MBC

V =V =S∆ MM = cm

3A.Diện tích đáy lịch là:

4 273 ( )

S= cm Diện tích xung quanh hình lăng trụ là:

1260 ( ) xq

S = cm Diện tích tồn phần hình lăng trụ là:

2

1260 273 ( )

tp

S = + cm

Thể tích lịch là:

3

273.30 120 273 ( )

V =S h= = cm

3B.Diện tích cần ốp gạch 82500cm2 diện tích

viên gạch 600cm2 Từ tìm số viên gạch cần

nhất để ốp thành bể 137,5 viên

Thể tích viên gạch 0,0006m3và thể tích bể

2,25m3

Từ tính thể tích phần bể trống sau lát gạch 2,1675m3

Vậy thể tích nước chứa bể 2167,5l

4.a) Diện tích đáy S∆ABC =25 (cm2) Diện tích xung quanh hộp quà:

360 ( ) xq

S = cm Diện tích giấy cần dùng là:

2

360 50 ( )

S = + cm b) Thể tích hộp đựng quà là:

3

300 ( )

V = cm

5.Thể tích thùng tạo cách là: V1 =50.70.30 = 105000

(cm3)

Thể tích hai thùng tạo cách nhau, thể tích thùng là: V2 = 50.25.25 = 31250 (cm3)

CHỦ ĐỀ HÌNH CHĨP ĐỂU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỂU I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm hình chóp: Hình chóp có dạng hình vẽ:

Trong đó:

- SAB; SBC; SCD; SAD được gọi mặt bên - ABCD được gọi mặt đáy

- SA; SB; SC; SD được gọi cạnh bên

- Các cạnh bên cắt Sđược gọi đỉnh hình chóp

- Đường cao của hình chóp đường thẳng kẻ từ đỉnh hình chóp vng góc với mặt phẳng đáy

- Hình chóp có đáy tam giác gọi hình chóp tam giác, đáy tứ giác gọi hình chóp tứ giác,

2.Hình chóp đều: là hình chóp có đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân có chung đỉnh đỉnh

hình chóp

Tính chất hình chóp đều:

Chân đường cao hình chóp trùng vói tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy * Chú ý:Đường cao kẻ từ đỉnh S mặt bên gọi trung đoạn của hình chóp

3 Hình chóp cụt đều:

Cắt hình chóp S.ABCD bằng mặt phẳng (P) song song với mặt đáy, phần hình nằm (P) mặt

phang đáy gọi hình chóp cụt đều.

Mỗi mặt bên hình chóp cụt hình thang cân

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Nhận biết kiến thức hình chóp

1A.Cho hình chóp S.ABCDcó đường cao SO

a) Xác định vị trí chân đường cao O hình chóp b) Kể tên cạnh bên mặt bên hình chóp

1B.Cho hình chóp ngũ giác S.ABCDE.

a) Hình chóp có cạnh đỉnh? b) Hình chóp có mặt tam giác cân?

c) Trong (SDE) kẻ đường SMvới M trung điểm DE.Hỏi SMlà đường tam giác SDEvà đường

cùa hình chóp đều?

Dạng Tính độ dài cạnh, góc hình chóp

Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức nêu phần Tóm tắt lý thuyếtvà kiến thức học để tính yếu tố hình chóp

2A.Cho hình chóp S.ABCDcó độ dài đường chéo mặt đáy cmvà cạnh bên cm.

a) Tính chiều cao hình chóp b) Tính diện tích tam giác SCD.

2B.Cho hình chóp S.ABCDcó cạnh đáy 4 cmvà cạnh bên 33cm. Cắt hình chóp mặt

phẳng (P) song song với mặt phẳng đáy cách đáy khoảng cm.

a) Tính chiều cao hình chóp phần chứa đỉnh S sau cắt hình chóp S.ABCDbởi (P)

b) Tính diện tích mặt bên hình chóp cụt

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

3. Trong phát biểu sau, phát biểu đúng? a) Hình chóp S.ABCDcó đáy hình bình hành

b) Hình chóp S.ABCDcó đáy hình thoi, chân đường cao hình chóp giao điểm đường chéo

hình thoi

c) Hình chóp S.ABCDcó đáy hình vng, chân đường cao hình chóp giao điểm đường chéo

hình vng

d) Hình chóp S.ABCDcó đáy hình vng, mặt bên tam giác chung đỉnh S.

4.Kim tự tháp Kê-ốp (Kheops) Ai Cập có hình dạng hình chóp tứ giác Biết chiều cao kim tự

tháp 137m,cạnh đáy dài 231 m.Tính cạnh bên diện tích mặt bên kim tự tháp

HƯỚNG DẪN 1A. a) Chân đường cao O hình chóp giao điểm hai

đường chéo AC BD đáy hình vng ABCD b) Các cạnh bên hình chóp là: SA, SB, SC, SD Các mặt bên hình chóp là: SAB, SAD, SDC, SBC c) Hình chóp có S đỉnh hình chóp đáy có đỉnh A, B, C, D

1B.a) Có 10 cạnh có đỉnh

b) Có mặt tam giác cân

c) SM đường cao tam giác SDE đồng thời trung đoạn hình chóp

2A. a) Gọi O giao điểm AC BD Ta tính BO

= (cm)

Tam giác vng SBO có: SO2 =SB2−BO2 Từ tính SO = (cm)

b) Gọi M trung điểm DC Ta có: DC2

Trong tam giác vng AMC ta có:

2 2

20, ( )

SM =SC −CM ⇒SM = cm Diện tích tam giác SCD là:

2

1 41

( )

2

SCD

S∆ = SM CD= cm

2B. a) Gọi O tâm đáy ABCD, M giao điểm SO mặt phẳng (P) Ta có: OM = 2(cm)

Ta tính OB=2 (cm)rồi suy SO = (cm)

Từ chiều cao cần tìm là: SM = SO - OM (cm)

b) Gọi I trung điểm BC E, F, J giao điểm SB, SC, SI với mặt phẳng (p)

Có: 2

29 ( )

SI = SB −IB = cm Sử dụng định lý Ta-let, ta tính được:

3 29

( ), 2, ( )

SJ = cm EF= cm Diện tích mặt bên hình chóp cụt là:

2

32 29 ( ) 25

EFBC SBC SEF

S =S∆ −S∆ = cm

3.Phát biểu c)

4 Kim tự tháp S.ABCD (như hình vẽ) Gọi M trung điểm

của CD O giao điểm AC BD

2 231

2 ( )

2

CD = OC ⇒OC= m Cạnh bên: SC= 45449, ( )m Tính SM = 32109, 25 ( )m Diện tích mặt bên kim tự tháp là:

2

1

428345422, 20696, 507 ( )

SCD

S∆ = SM CD= ≈ m

CHỦ ĐỀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THÊ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP ĐỂU I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Diện tích xung quanh hình chóp Sxq = p d

Trong plà nửa chu vi đáy dlà độ dài trung đoạn hình chóp

2 Diện tích tồn phần hình chóp bằng tổng diện tích xung quanh diện tích mặt đáy

3 Thể tích hình chóp

V = S h

Trong S hlần lượt diện tích mặt đáy chiều cao hình chóp

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Các tốn vê diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể hình chóp

Phương pháp giải: Dùng kiến thức nêu phần Tóm tắt lý thuyết kiến thức học để giải yêu cầu toán

1A.Cho hình chóp S.ABC,có tất cạnh cm.

a) Xác định vị trí chân đường cao Hcủa hình chóp S.ABCvà tính độ dài đoạn SH.

b) Tính diện tích xung quanh hình chóp c) Tính diện tích tồn phần hình chóp d) Tính thể tích hình chóp

1B.Cho hình chóp S.ABCDcó cạnh bên dm,đường cao dm.

a) Tính diện tích tồn phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp

Dạng Các toán mối quan hệ hình lập phương, hình hộp chữ nhật với hình chóp đều toán thực tế

Phương pháp giải: Vẽ hình, nhận dạng hình chóp kiện tính yêu cầu tốn

2A.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh a.Gọi O tâm mặt đáy ABCD.

a) Chứng minh O.A'B'C'D'là hình chóp tứ giác

b) Gọi thể tích hình chóp O.A'B’C'D' V'và thể tích hình lập phương V.Tính tỉ số V'

V

2B.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh a.Gọi S tâm A'B'C'D'.Gọi M, N, P, Qlần lượt trung

điểm cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh S.MNPQlà hình chóp tứ giác

b) Gọi thể tích hình chóp S.MNPQ V'và thể tích hình lập phương V. Tính tỉ số V'

V

3A.Trong đợt kỉ niệm ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cắm trại cho khơi lớp

Lớp 8A dự định dựng trại có dạng hình chóp S.ABCDvới bốn cạnh sử dụng bốn cọc tre đặt

nghiêng so với mặt đất góc cố định cọc tre trụ trại cao 2,5 m. Biết thời gian để

học sinh dọc theo cạnh trại với vận tốc 0,5 m/s 6s a) Tính diện tích vải bạt dùng để phủ kín xung quanh trại b) Tính thể tích trại

3B Kim tự tháp Louver xây dựng lối vào bảo tàng Louvre thủ đô Paris nước Pháp Kim

tự tháp có dạng hình chóp S.ABCDvới chiều cao chiều dài cạnh bên kim tự tháp 21m

và 34m.Tính thể tích kim tự tháp

III BÀI TẬP VỂ NHÀ

4 Cho hình chóp S.ABCđường cao SO = cmđường cao tam giác ABCbằng cm.

5 Kim tự tháp Kê-ôp (Kheops) Ai Cập có hình dạng hình chóp tứ giác Biết chiều cao kim tự

tháp 137m,cạnh đáy dài 231m.Tính diện tích xung quanh thể tích kim tự tháp

6 Một hôm, bạn An đánh rơi mơ hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác vào hộp đựng

đầy nước dạng hình hộp chữ nhật Biết hình hộp chữ nhật có kích thước đáy 7x5 cm và chiều cao 10

cm; cịn hình chóp có chiều cao cmvà cạnh đáy dài cm. Hỏi vớt mơ hình ra, lượng nước

lại hộp bao nhiêu?

BÀI DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP ĐỀU 1A. a) Chân đường cao H hình chóp S.ABC trùng với

trọng tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC Tam giác ABC có

2

2 ( )

AM = AB −BM = cm

4 ( )

AH cm

⇒ =

2 32

( )

SH SA AH cm

⇒ = − =

b) Tam giác SAM cân M nên SM = AM =2 (cm) Diện tích xung quanh hình chóp:

12 ( )

xq

S = cm

c) Diện tích tồn phần hình chóp:

16 ( )

tp

S = cm

d) Thể tích hình chóp 16

( )

3 ABC

V = S∆ SH = cm

1B.a) Gọi O tâm đáy ABCD M trung điểm

cạnh CD Ta tính được: OD=3(dm)

3 ( ), 20, ( )

CD= dm SM = dm

Từ quy diện tích tồn phần hình chóp là:

2

18 41 ( )

tp

S = + dm

b) Thể tích hình chóp là:

24 ( )

V = dm

2A. a) Bốn tam giác OAA', OBB', OCC', ODD' tam

giác vuông nên suy OA' = OB' = OC' = OD' Hình chóp O.A'B'C'D' hình chóp có mặt bên tam giác cân đáy đa giác

b) Thể tích của hình chóp O.A'B'C'D' là: 3

' ( )

3

V = a cm Thể tích hình lập phương: 3

( )

V =a cm Vậy '

3

V V =

2B.Tương tự 2A

a) Hình chóp S.MNPQ hình chóp mặt bên tam giác cân đáy MNPQ đa giác

b) '

V

V = Chú ý SABCD =2SMNPQ

3A. Trại có dạng hình chóp tứ giác S.ABCD (như hình

vẽ)

a) Độ dài cạnh trại là: CD = 3(m) Gọi O tâm đáy M trung điểm cạnh đáy CD

Ta có: SM2 =SO2+OM2 Từ tính 34( )

SM = m Từ quy diện tích vải bạt cần phủ:

3 34 ( ) xq

b) Thể tích trại là:

7, ( )

V = m

3B.Tương tự 3A

Độ dài cạnh đáy kim tự tháp là:

1430 (m ) Thể tích kim tự tháp là: 10010 (m3

)

4.a) Gọi H trung điểm BC

Trung đoạn 2

5 ( )

SH = OH +SO = cm Tam giác AHC có

2

2

2

AC AC =AH +  

  Từ tìm ( )

AC= cm

Diện tích xung quanh hình chóp là:

2

15 3 ( )

tp

S = + cm

b) Thể tích hình chóp

( )

3 ABC

V = S∆ SO= cm

5.Kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác S.ABCD

Gọi M trung điểm cạnh CD; O tâm đáy ABCD Tính được: 124437( )

2

SM = m

Diện tích xung quanh kim tự tháp là:

2

231 124437 ( )

xq

S = m

Thể tích kim tự tháp: V = 2436819 (m3)

6.Thể tích lượng nước cịn lại hộp hiệu thể

tích hình hộp chữ nhật thể tích hình chóp Vậy thể tích lượng lại là: 290 (cm3

)

ƠN TẬP CHUN ĐỀ I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phần Tóm tắt lý thuyếttừ Bài đến Bài

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Các tốn diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích

Phương pháp giải:Sử dụng cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích hình hộp, hình chóp, hình lăng trụ, để tính

1A Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có BD' = 10cm, AB = 5cm, AC = cm. Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình hộp;

b) Luợng nuớc cần để đổ đầy hộp

1B.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCDlà hình vuông, chiều cao AA' = a A CA' = 45° Hãy tính:

a) Diện tích tồn phần hình hộp theo a;

b) Thể tích hình hộp theo a.

2A.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy tam giác vuông A, AB = cm, AC = cm, BC' =13 cm.

Hãy tính:

a) Diện tích xung quanh lăng trụ; b) Thể tích hình lăng trụ

2B Cho hình lăng trụ đứng có đáy hình thoi với đường chéo có độ dài 10cm 24 cm,chiều cao

lăng trụ 20 cm Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình lăng trụ; b) Thể tích hình lăng trụ

3A.Cho hình chóp S.ABCDcó đường cao 12cmvà trung đoạn 13cm. Hãy tính: a) Độ dài cạnh đáy hình chóp;

b) Diện tích xung quanh hình chóp; c) Thể tích hình chóp

3B.Cho hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D'.Gọi M, Ntheo thứ tự trung điểm cạnh BC, B’C. Cho biết AB = cm, A'B' = cm MN = cm.

a) Tính diện tích tồn phần hình chóp cụt b) Tính chiều cao hình chóp cụt

c) Lắp hình chóp có độ dài đáy độ dài đáy nhỏ hình chóp cụt Cho biết cạnh bên hình chóp 5cm,hãy tính thể tích hình chóp mói sau lắp ghép

Dạng Các toán thực tế liên quan đến khối hình

Phương pháp giải:Nhận dạng, vẽ hình tính u cầu tốn dựa vào khơi hình co biết

4A. Một thầy giáo miền núi có ý tưởng xây dựng bể bơi di động dạng hình hộp chữ nhật cho học sinh

nghèo tiểu học cách xây dựng khung sắt có chiều dài đáy 10m, diện tích đáy 50 m2,chiều

cao khung sắt 1m.Sau phủ kín xung quanh đáy bạt dày

a) Tính diện tích bạt cần dùng để làm bê bơi di động

b) Môi lần cho học sinh tập bơi, cần phải đổ lượng nước vào cho cách mép bể bơi di động 30cm,

biết số tiền cho 1m3nước 5000 đồng Hỏi thầy giáo cần bỏ tiền để trả cho lần

4B.Một lều trại có dạng hình lăng trụ đứng đặt nằm ngang Đáy hình lăng trụ (tức hai đầu hổi lều)

có hình dạng tam giác cân, cạnh đáy tam giác cân tiếp giáp mặt đâ't có độ dài m, chiều cao tương ứng dài 2m.Chiều cao lăng trụ (tức chiều dài lều trại) 4m.

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Một hình lập phương có cạnh cmđược tạo 216 hình lập phương nhỏ cạnh 1cm. Người ta sơn

tất mặt hình lập phương lớn Tính số lượng hình lập phương cạnh 1cm mà: a) Được sơn ba mặt;

b) Được sơn hai mặt; c) Được sơn mặt

6 Lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy tam giác đều, M trung điểm BC,biết AA’ = AM = 2cm.

a) Tính diện tích xung quanh lăng trụ b) Tính thể tích lăng trụ

7 Cho hình chóp lục giác có cạnh đáy 2cm, cạnh bên 4cm.

a) Tính diện tích xung quanh hình chóp b) Tính thể tích hình chóp

8*.Một hình chóp tứ giác hình hộp chữ nhật có chiều cao 3cm. Đáy hình hộp chữ

nhật hình vng Cho biết thể tích diện tích xung quanh hai hình nhau, tính thể tích hình chóp tứ giác hình hộp chữ nhật cho

HƯỚNG DẪN 1A. a Ta có BC= AC2−AB2 = 39 (cm)

2

DD '= BD' −BD =6 (cm)

Tìm diện tích đáy là:

5 39 ( ) ABCD

S = cm Diện tích xung quanh hình hộp là:

2

2 60 22 39 ( )

tp xq ABCD

S =S + S = + cm

b) Tính thể tích hình hộp là:

3

30 39 187, 35 ( )

V = ≈ cm

Từ lượng nước cần để đổ đầy hộp khoảng 0,18735l

1B.Tương tự 1A

a) Tìm ;

2

a AC=a AB= Từ tính ( )

1 2

tp

S = + a b) Thể tích hình hộp là:

2

a V =

2A.a) Sử dụng định lý Pitago ta có:

2 2

5 ( )

BC = AC +AB ⇒BC= cm

2 2

' ' ' 12 ( )

BC =BC +CC ⇒CC = cm

Từ tìm diện tích xung quanh Sxq = 144 (cm2)

b) Thể tích hình lăng trụ là:

' ABC 72 ( )

V =CC S∆ = cm

2B.a) Tính BC = 13cm

Diện tích xung quanh lăng trụ là:

1040 ( ) xq

S = cm Vậy diện tích tồn phần lăng trụ:

1280 ( ) tp

S = cm

b) Thể tích hình lăng trụ là:

2400 ( )

V = cm

3A.a) Gọi M trung điểm CD O tâm đáy ABCD

Sử dụng định lí Pitago, có 2

5 ( )

b) Diện tích xung quanh hình chóp là:

260 ( ) xq

S = cm c) Thể tích hình chóp là:

400 ( ) ABCD

V = S h= cm

3B. a) Tính diện tích xung quanh Sxq=4.SBCB C' '=96 (cm2)

Vậy diện tích tồn phần là:

176 ( ) tp

S = cm b) Gọi O, O' tâm đáy ABCD A'B'C'D' Hạ MH ⊥O N H' ( ∈O N' )

Tìm được: OO'=MH =2 (cm)

c) Gọi hình chóp thêm vào S.ABCD (hình vẽ) Tính SO'=4 (cm)

Vậy thể tích hình chóp SA'B'C'D' là:

3 ' ' ' '

256 ( )

SA B C D

V = cm

4A.a) Ta có chiều rộng đáy 5m Diện tích xung quanh

của bể bơi là:

30 ( ) xq

S = m Vậy diện tích bạt cần dùng là:

2

50 80 ( ) xq

S =S + = m

b) Thể tích nước chứa bể bơi là: V = 0,7.50 = 35 (m3)

Suy số tiền cần chi trả là: T = 175000 (đồng)

4B.a) Tính diện tích bạt phủ mái lều: 20 (m2) b) Thể tích leeud trại là: V = 12 (m3

)

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. a) hình b) 48 hình c) 96 hình

6.a) Tính 3( )

AB= cm

Từ tìm diện tích xung quanh lăng trụ:

2

8 ( ) xq

S = cm

b) Tính

( )

ABC

S∆ = cm Vậy thể tích lăng trụ là: 3

( )

V = cm

7.a) Gọi M trung điểm EF Ta tính được: SM = 15 (cm) Suy diện tích xung quanh hình chóp:

6 15 ( ) xq

S = cm b) ta có: OE = (cm) tính SO=2 (cm)

Tìm diện tích đáy:

6 ( ) ABCDEF OFE

S = S∆ = cm Từ tìm đượcthể tích hình chóp: V = 12 (cm3

)

8*.Gọi độ dài cạnh đáy hình chóp hình hộp

là a, b Ta tích hình chóp V = a2

Thể tích hình hộp chữ nhật V=3b2

Tính được:

a SM = +

Ta có đẳng thức: 12 (2)

a

a + = b

Bình phương vế phương trình (2) kết hợp với (1), ta có:

( 2) 2

36+a a =48a Suy ra: a=2 (cm) Vậy thể tích hình chóp cần tìm V = 12 (cm3

)

ĐỂ KIÊM TRA CHUYÊN ĐỀ

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (3 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng.

Câu 1.Cho hình chóp S.ABCD.Xét khẳng định sau:

i) Đáy ABCD hình vng; ii) SA = SB = SC = SD;

iii) Hình chóp có bốn mặt;

iv) SO vng góc vói mặt đáy, với O trung điểm AB.

Số khẳng định sai là:

A 1; B 2; C 3; D

Câu 2.Cho hình chóp tam giác có tất cạnh cm.Độ dài trung đoạn hình chóp là:

A cm; B

2 cm; C 3cm; D 12 cm.

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.Mặt phẳng chứa cạnh ACvà cạnh AC' là: A (A'C'CA); B (ABB'A'); C (CDD'C); D (BCC'B')

Câu 4 Chọn câu trả lời Các cạnh bên hình lăng trụ đứng là:

A Các đoạn thẳng không nhau;

B Các đoạn thẳng song song nhau; C Các đoạn thẳng vng góc với hai mặt đáy;

D Các đoạn thẳng song song, vng góc vói hai mặt đáy

Câu 5.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 5cm, AC = 13cm, BC = 12cmvà đường cao AA’ = 8cm.

Diện tích tồn phần lăng trụ là:

A 220 cm2; B 180 cm2; C 270 cm2; D 300 cm2.

Câu 6.Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 25 cm, 34 cm 62 cm Đường chéo hình hộp có sơ' đo là:

A 60cm; B 75cm; C 85cm; D 80cm

PHẦN II TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Bài 1. (4,0 điểm)Cho hình chóp tứ giác S.ABCDcó đường cao 8cm, trung đoạn 10 cm. Hãy tính:

a) Độ dài cạnh đáy hình chóp; b) Diện tích xung quanh hình chóp; c) Thể tích hình chóp

Bài 2. (3,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC = 5cm Hãy tính: a) Độ dài cạnh hình lập phương;

b) Độ dài đường chéo hình lập phương; c) Thể tích hình lập phương

HƯỚNG DẪN ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (3ĐIỂM)

Câu B Câu D Câu C Câu D Câu A Câu B

Bài 1.a) Gọi M trung điểm CD O tâm đáy ABCD

Ta có: OM = SM2−SO2 =6 (cm) Suy cạnh đáy AD = 12 (cm)

b) Diện tích xung quanh hình chóp: ( )2

240

xq

S = cm

c) Thể tích hình chóp là:

384 ( ) ABCD

V = S h= cm

Bài 2. a) Ta có AC2 = 2AB2 Từ suy 2( )

2

AB= cm b) Ta có AC'2 = 2AB2 Từ suy ' ( )

2

AC = cm

Vậy độ dài đường chéo hình lập phương cm c) Thể tích hình lập phương là: 125

( )

V = cm

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (3 ĐIÊM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng.

Câu 1.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Số mặt, số đỉnh, số cạnh hình lập phương là:

A 4, 8,12; B 6, 8, 12; C 6,12, 8; D 8, 6,12

Câu 2.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Số mặt cùa hình hộp chữ nhật song song với A'B' là:

A 1; B 2; C 3; D

Câu 3.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Mặt phẳng chứa BC và BC' là A (A'C'CA); B (ABB'A'); C (CDD'C); D.(BCC'B')

Câu 4.Hình lăng trụ đứng tam giác có mặt bên :

A Hình bình hành; B Hình chữ nhật; C Tam giác đều; D Hình vng

Câu 5.Thể tích hình chóp 126cm3, chiều cao cm Diện tích đáy hình chóp là:

A 45 cm2; B.60 cm2; C 52 cm2; D.63 cm2

Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B’CD' có diện tích hình chữ nhật ACCA' là 25 cm2 Diện tích tồn phần hình lập phương là:

A 150cm2; B.120cm2; C 75V2 cm2; D Tất câu sai

PHẦN II TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Bài 1. (4,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B'C có đáy tam giác vng cân A, chiều cao lăng trụ

9 cm Diện tích đáy cm2 Hãy tính: a) Độ dài BC;

b) Diện tích tồn phần lăng trụ; c) Thể tích lăng trụ

Bài 2. (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCDcó cạnh đáy 16 cm, đường cao so = cm. Hãy tính:

a) Độ dài trung đoạn hình chóp; b) Thể tích hình chóp

HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (3ĐIỂM)

Câu B Câu B Câu B Câu D Câu D Câu C

PHẦN II TỰ LUẬN (7ĐIỂM) Bài 1.a) Gọi M trung điểm BC

Ta có

2

1

2

ABC

BC S∆ = AM BC= Suy ra: BC=4 (cm)

b) Tìm AB = ( )cm

Từ tính diện tích tồn phần lăng trụ:

2

88 36 ( ) tp

S = + cm

c) Thể tích lăng trụ là:

72 ( )

V = cm

Bài 2. a) Gọi M trung điểm cạnh CD Tìm

8 ( )

OM = cm

Sử dụng định lý Pitago, ta có: 2

10 ( )

SM = SO +OM = cm b) Thể tích hình chóp: ( )3

512

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

Thời gian làm cho đề 90 phút

ĐỀ SỐ

Bài (1,5 điểm)

1) Giải phương trình sau: a)

( )( )

3

0;

1 3

x

x x x x

+

− + =

− − − −

b) 2x− =1 3x−9

2) Giải bất phưong trình

4

x− < x+

và minh họa tập nghiệm trục số

Bài (2,5 điểm)Cho biểu thức:

2

3

3

x x x

A

x x x

− +

= + +

+ − −

3

B x =

+ với x≠ ±3

1) Tính giá trị B khi x=3 2) Rút gọn biểu thức C A

B

=

3) Tìm x nguyên để c nhận giá trị nguyên

Bài (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình:

Một tổ sản xuất dự định hoàn thành kế hoạch 20 ngày với suất định trước Do tăng suất thêm 10 sản phẩm ngày nên tổ hoàn thành kế hoạch sớm thời gian dự định ngày làm vượt mức kế hoạch 100 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ dự định làm theo kế hoạch

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Kẻ AH vuông góc vói BC tại H Gọi E và F lần

lượt hình chiếu H trên AB và AC.

a) Chứng minh AH2 - AE.AB.

b) Chứng minh ∆AFE∆ABC;

c) Lấy M đối xứng với A qua E, tia MHcắt cạnh ACtại N Chứng minh  ABH = ANH EF//HN d) Gọi O trung điểm BC; AOgiao với HNtại K.Cho biết ACB= °30 , tính tỉ số KAN

HCA A S Bài 5. (0,5 điểm) Cho a > 0, b > va a + b = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3

Q a b ab

ab

= + + −

HƯỚNG DẪN Bài 1.ĐK: x≠1, x≠3

a) Biến đổi PT dạng

x − x =

Từ tìm x = (TM) x = (KTM) b) Cách Xét hai trường hợp:

- Với

x≥ , ta có x − = 9x − ⇔x = (TM) - Với

2

x< , ta có −2 x + = 9x − ⇔x = (KTM) Cách Ta có PT

( )

3

2

x x x − ≥  ⇔  − = ± + 

Từ ta tìm x=8 c) Tìm x<8

Bài 2. 1) Thay x=3 vào B tính

B= b) Biến đổi

3

x C

x =

−

3) Ta có

C

x = +

− (ĐK: x≠3,x≠ −3)

Để C nguyên x− ∈3 Ư(6) hay x− ∈ ± ± ± ±3 { 1; 2; 3; 6} Tìm x∈{0;1; 2; 4;5; 6;9}

Bài 3.Gọi số sản phẩm tổ dự định làm theo kế hoạch x (sản phẩm, x>0;x∈N*) Thiết lập PT: 10 18 100

20

x

x

 +  = +

 

 

Từ tìm x = 800 (sản phẩm)

Bài 4.1) Gợi ý: Dựa vào tam giác đồng dạng

2) Gọi I giao điểm AH EF Tam giác AEI cân ⇒ AEF =EAH; Mà EAH = ACB nên  AEF = ACB Từ suy ∆AFE∆ABC;

3) ta có EI đường trung bình ∆AHM ⇒EF/ /HN

 ANH AFE

⇒ = (hai góc vị trí so le trong) Mặt khác  ABC= AFE ∆AFE∆ABC

Vậy  AbH = ANH

4) Ta có tam giác AOC cân ⇒OAC =ACO=30 (1)0 Lại có 

60

HAN =  ANH =HAN (cùng AFI )

 ( )

180 90

AKN KAN KNA hay AK HN

⇒ = − + = ⊥

AHN

∆ N trung điểm AC

2

AHC AHN

S∆ S AK HN

⇒ = =

Tưd tìm 1

2

KAN HCA

S KN

S = HN = Bài Biến đổi Q 4ab

Mà

2

1

2

a b ab≤ +  =

  nên Q≥16

Tính min 16

Q = ⇔ = =a b

ĐỀ SỐ

Bài (1,5 điểm)

1) Giải phương trình sau: a) 2 ;

5

x

x x x x +

− =

− b) x− =2 2x−1

2) Giải bất phương trình 2

3

x x

− ≤

+ minh họa tập nghiệm trục số Bài (2,5điểm) Cho biểu thức:

2

2

1

1 :

1 1

x x

A

x x x x x

   

= +   − 

+  − + − − 

  với x≠1

1) Rút gọn A

2) Tính giá trị A

2

x= −

3) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Bài (2,0điểm) Giải toán sau cách lập phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 5m Nếu giảm chiều rộng 4m giảm chiều dài 5m diện tích giảm 180m2 Tính chu vi ban đầu mảnh đất

Bài 4. (3,5điểm) Cho hình vng ABCD, lấy điểm E trung điểm AB Qua D kẻ đường thẳng vuông

góc với Ce I cắt BC F 1) Chứng minh ∆CIF∆CBE 2) Chứng minh

IC =IF ID 3) Chứng minh tam giác ADI cân

4) Gọi K trung điểm DC, AK cắt DF H.Tính diện tích tứ giác KHCI biết AB = 6cm

Bài 5.(0,5điểm) Cho x> y y, >1 x+ =y Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1 x y P x y = − − HƯỚNG DẪN

Bài 1.1) a) ĐK:x≠0 x≠5

Biến đổi PT cho dạng x+ −1 2(x− =5) 3x Từ tìm 11( )

4

x= TM

b) Sử dụng phương pháp chia khoảng phương pháp biến đổi tương đương, tìm x=1

2) Ta có

3(3 2) BPT x − ⇔ ≤ +

Từ tìm

x> −

Minh họa tập nghiệm trục số sau:

Bài 2.1) Rút gọn

2 1 x A x + = −

2) Thay

x= − vào A tính A= −1 3) Ta có 2( 1)

1

A x

x

= + +

Bài 3.Gọi chiều rộng hình chữ nhật ban đầu x (mét), (x > 4)

Thiết lập PT: x (x + 5) - (x - 4) x = 180 Giải ta x = 20

Từ tìm chu vi ban đầu 90m

Bài 4.1) HS tự làm

2) Từ IFC =ICD (cùng phụ với góc ICF)  

90

CIF =CID=

2

( ) IC IF

IFC ICD g g IC IF ID

ID IC

⇒ ∆ ∆ − ⇒ = ⇒ =

3) Gọi K trung điểm DC⇒AECK hình bình hành ⇒AK CE Từ suy HD = HI

AK ⊥DI

Ta có ∆AHD= ∆AHI c g c( )⇒ AD=AI hay tam giác ADI cân 4) Tứ giác KHIC hình thang vng có diện tích là: ( )

2

HK IC IH

S= +

Ta có KD=KC=3cm

2

3

AK DA DK cm

⇒ = + =

Xét ∆DAK ∆HDK g g( )nên 5

DK = AK HK⇒HK = cm

Do tính chất đường trung bình ta có: 5

CI = HK = cm HI =HD= DK2−HK2

6 5

HI cm

⇒ = Từ suy 27

5

S = cm

Cách khác: Áp dụng kết câu ƠN TẬP CHƯƠNG ta có:

2

1 3 27

.6.3

5 5

DHK FIC CFD KHIC CFD

S =S = S ⇒S = S = = cm

Câu 5.Biến đổi được: 2

P

xy = +

− Mà

2

2

x y xy≤  + 

  nên P≥9

Tìm

3

2

P = ⇔ = =x y