BÀI TẬP HÌNH HỌC 8 NÂNG CAO

Bài tập 14 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A .Điểm M thuộc cạnh BC .Gọi E và F theo thứ tự là hình chiêu của M trên AB ,AC.Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì.. a/ Chu vi củ[r]

(1)

ƠN TẬP HÌNH HỌC HSG CHƯƠNG I BÀI 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD).

a/ Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy

b/ Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC

Giải: a) ABCD : AB//CD; BAFD AF; ADF CD F; F BC FB FC :  Chứng minh: AB + DC = AD

Gọi E AD AE : AB (1) Ta có : ABFAEF ( c - g - c) Suy ra: AF EAF B;

Mặt khác : AF D900 ( FAD FDA  900 )

Nên DFE DFC ( phụ với góc AF EAF B) + DF : cạnh chung

Vậy DEF DCF ( g - c- g)

)

 DE = DC (2)

Từ (1) (2), suy ra: AB + DC = AD (đpcm) b) ABCD : AB//CD; BAFDAF; ADF CD F; AB + DC = AD

Chứng minh:F BC FB FC : 

Gọi E AD AE : AB Suy : DE = DC. Nên ABF AEF ( c - g - c)

 ) AF BAF E ; BF = EF (*) Tương tự: DFEDFC ( c - g - c)

 ) EDF CDF  ; EF = FC (**) Mặt khác : AF DAF EEF D900 (***)

Từ (*); (**) (***), suy :  AFB AF  EF CF 1800 BFC   E D D

Hay ba điểm B; F C thẳng hàng FB = FC Nên F trung điểm BC

Bài 2: Cho ABC cân A Gọi I điểm thuộc đường cao AH Gọi D giao điểm BI AC E giao điểm CI AB

a CMR: AD = AE b BEDC hình ? c Xác định vị trí I để BE = ED = DC

Giải:

a) Xét ABC AB: AC; AH BC

nên AH trung trực BC; IAH Suy : BI = CI; IBC ICB 

(2)

Có IBE ICD  ; BI = CI; BIE CID  Nên EIB = DIC ( g - c - g)

 ) BE = DC mà AB = AC

nên AD = AC - DC = AB - BE = AE b) Từ AD = AE Ta có : ADE cân Nên

  1800 

2

A AED ABC  

( Cặp góc đồng vị) Suy ra: DE // BC ( Dhnb) ABC ACB

Vậy BCDE hình thang cân ( dhnb) c) Để BE = ED BED cân E

 

EBD EDB

 

Mà BDCEDB ( Cặp góc so le trong)

Suy : BDCDBE hay BD đường phân giác góc B

Vậy I giao điểm ba đường phân giác ABC Thì BE = DE = DC

BÀI : Cho ABC, tia BA lấy D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I Chứng minh rằng:

DE DI 

Giải: Qua B, vẽ BJ // AC; JDE Xét BDJ Ta có :

AB = AD ( gt)

IA // JB ( BJ // AC) Suy : ID = IJ ( Định lí)

Tương tự : JB đương trung bình CEI Nên IJ = JE

Vậy DI = IJ = JE hay DI = DE

BÀI 4: Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC Gọi M giao điểm BF CD; N giao điểm DE AB Chứng minh rằng:

a M, N theo thứ tự trung điểm CD, AB b EMFN hình bình hành Giải: a) Xét ADE BCF:

AD = BC; DAE BCF  ; AE = CF Nên ADE = BCF( c- g- c)

 

) AED BFC

  ; DE = BF ( 1)

Mà AED NEC

Suy : BFCNEC ( cặp góc đồng vị)

Nên DN // BM ( dhnb)

(3)

Hay MF đường trung bình DEC nên MF // DE; DE MF

(2) + Tương tự: EN đường trung bình ABF

Nên AN = NB;

BF EN 

(3)

Từ (1); (2) (3), suy : EN = MF; EN // MF nên EMFN hình bình hành BÀI 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ CE AB Gọi M trung điểm AD, nối EM, kẻ MF vng góc với CE; MF cắt BC N

a Tứ giác MNCD hình ? b EMC tam giác ? c Chứng minh rằng: BAD 2AEM

Giải:

a) Xét AECD : AE // CD ( gt ) AM = MD (gt)

MF // AE ( vng góc với CE) Suy : EF = FC ( đlí 3)

+ Xét BCE : NF // BE ( cm trên) EF = FC

Suy : BN = NC

Vậy MNCD : MD = NC =

AD

; MD // NC Nên MNCD hình bình hành ( dhnb) b) EMC cân M

Vì MF vừa đường cao, vừa đường trung tuyến ứng với cạnh EC c) Ta có : AEM EMF ( cặp góc soletrong)

 

) EMC 2AEM

  (*)

Mặt khác : CMN MNA ( cặp góc soletrong) Mà MNA MAN  ( AMN cân M) MNA BAN 

Suy : BAD BAN MAN  2CMN EMC (**)từ (*) (**) Ta có : BAD 2AEM

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Hai đường thẳng d1

và d2 qua O vng góc với Đường thẳng d1 cắt cạnh AB CD

M P Đường thẳng d2 cắt cạnh BC AD N Q

a/ Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi

b/ Nếu ABCD hình vng tứ giác MNPQ hình gì? Chứng minh a) Vì O tâm đối xứng hình bình hành

nên M P; N Q đối xứng với qua O Suy : OM = OP; ON = OQ

Nên OMN OPN OPQOMQ ( CGV - CGV) )MN NP PQ QM

    Hay MNPQ hình thoi.

(4)

A Q

B

Q CQ

D Q O

Q G Q

E Q

F Q

H Q Vì A900 nên AQMAMQ900

Mà AQM BMN Nên BMN AMQ  900

Suy : 





0 0

180 180 90 90

QMN   BMN AMQ    Nên MNPQ hình vng ( dhnb)

BÀI Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM DN đồng qui

Giải: Xét DFNM Ta có :

Vì DM đường trung bình ABO

Nên DM // AO;

1

DM  AO

Tương tự : NF // AO;

1

NF  AO

Vậy DFNM hình bình hành Gọi J DN MF Ta có :

J trung điểm DN MF Chứng minh tương tự :

EFLM hình bình hành nên J trung điểm chung MF LE Hay EL, FM DN đồng qui

Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo ; E điểm đối xứng A qua B ; F giao điểm BC ED ; G giao điểm BC OE ; H giao điểm EC OF Chứng minh A, G, H thẳng hàng

Giải: Vì O giao điểm hai đường chéo AC BD nên OA = OC suy EO trung tuyến EAC

Vì E đối xứng với A qua B nên B trung điểm EA suy CB trung tuyến EAC

Vì G giao điểm CB EO nên G trọng tâm EAC (1) Mặt khác, ABCD hình bình hành

nên CD // AB, CD = AB, mà B trung điểm AE suy CD // BE, CD = BE

Do BECD hình bình hành

Từ F trung điểm hai đường chéo ED BC hình bình hành BECD Ta có OF đường trung bình CAB

(5)

 HE = HC Do AH trung tuyến EAC (2) Từ (1) (2) suy A, G, H thẳng hàng (đpcm)

Vì ABCD hình chữ nhật

nên AB = CD, AC = BD OA = OB = OC = OD Ta có CB  AI (vì ABCD hình chữ nhật)

 CB đường cao CAI (1)

+ FBD vng F (vì F hình chiếu D lên BE) có FO trung tuyến ứng với cạnh huyền BD

nên OF =

2 BD  OF = AC.

+ FAC có FO đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO =

1

2 AC nên FAC vuông F.

Suy AF  CI hay AF đường cao CAI (2)

+ K giao điểm AF CB nên từ (1) (2) suy K trực tâm CAI Do IK  AC (3)

Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng CD) AB // CE (vì AB // CD)

nên hình bình hành

 BE // AC  BF //AC  ABFC hình thang

Lại có FDE vng F, FC trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên CF = CD  CF = AB (vì AB = CD)

Suy BAC = FCA (cạnh huyền – cạnh góc vng)  AF = BC

Hình thang ABFC có hai đường chéo AF BC nên hình thang cân Suy IAC· =ICA· IAC cân I

 IO trung tuyến đồng thời đường cao Hay IO  AC (4)

(6)

Từ (3) (4) suy I, K, O thẳng hàng (đpcm)

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm của hai đường chéo AC BD Trên AB lấy điểm E, CD lấy điểm F cho AE = CF

a Chứng minh E đối xứng với F qua O

b Từ E dựng Ex // AC cắt BC I, dựng Fy // AC cắt AD K Chứng minh rằng: EI = FK; I K đối xứng với qua O

Giải:

a) Xét tứ giác AECF có : AE = CF; AE // CF

Nên AECF hình bình hành ( dhnb) Mà O trung điểm AC

Nên O trung điểm EF Vậy E F đối xứng với qua O

b) Xét EIFK : EI // KF ( song song với AC) Mặt khác : Xét BEI DFK:

DF = EB ( Vì AE = CF)

 

EBI FDK ( Vì ABCD hình bình hành)

+ EIB ACB ( Cặp góc đồng vị) + DKF DAC ( Cặp góc đồng vị) Mà ACB DAC ( Cặp góc soletrong) Nên EIB DKF 

Suy : BEI = DFK ( g - c - g)

)

 EI = KF

Vậy EIFK hình bình hành ( dhnb)

Suy : EI = FK O trung điểm IK hay I K đối xứng qua O

Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với điểm E đường chéo BD, tia đối EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với AB AD Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật

b) AF song song với BD KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng

Giải:

a) Xét AHFK : A H K 900 nên AHFK hình chữ nhật

b) * Xét ACF: OA = OC; EC = EF

(7)

nên OE // AF hay AF // BD

* Tương tự : EJ đường trung bình ACF:

Nên EJ // AC

Mặt khác : AKJ cân J

)

 AKJ KAJ

+ KAJ KDE ( cặp góc đồng vị)

 

)AKJ KDE

  hay KDE cân

Suy :

  1800 

AJ

2 KDE

K DEK  

nên K; J E thẳng hàng Mà K; J H thẳng hàng

Nên K; H E thẳng hàng HK // AC

Bài tập 12 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy hai điểm E F cho BE = DF Kẻ EH  AB, FK  CD (H  AB, K  CD) Gọi O trung điểm EF Chứng minh ba điểm H, O, K thẳng hàng

GIẢI

Vì EH  AB, FK  CD AB // CD nên EH // FK (1)

Xét HBE KDF có BE = DF, KDF· =HBE· , DKF· =BHE· =900

 HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn)  HE = KF (2)

Từ (1) (2)

suy HEKF hình bình hành Vì O trung điểm EF

cũng trung điểm HK Vậy O, H, K thẳng hàng (đpcm)

Bài tập 13: Trong hình vng ABCD lấy điểm E cho · ·

C ECB 15

EB = = Trên

nửa mặt phẳng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác CDF Chứng minh B, E, F thẳng hàng

GIẢI: Xét :







: 180

BEC BEC EBC ECB

   

= 1800 - ( 150 + 150) = 1500

   0

F : 90 60 150

BC BCF BCD DCF

     











)BFC 180 BCF CBF 180 150 15 15

       

( Hoặc BCF BC CF:  ( CD)

Nên BCF cân C

 

)BFC CBF 15

(8)











ECF   ECB DCF    

Vậy

 1800









CEF   CFB ECF    

Ta có : CEF CEB   1800 hay B, E, F thẳng hàng.

Bài tập 14: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E F theo thứ tự hình chiêu M AB ,AC.Chứng minh M chuyển động BC

a/ Chu vi tứ giác MEAF không đổi

b/Đường thẳng qua M vuông góc với EF ln qua điểm K cố định c/ Tam giác KEF có diện tích nhỏ M trung điểm BC

Giải: a) Xét MEAFL : A E F   900 Là hình chữ nhạt

)ME AF; MF AE

  

Mặt khác : ABC vuông cân

Nên CFM vuông cân

)CF FM AE

  

Nên Cvi MEAF = AE + EM + FM + AF

= 2( AF + FM) = 2( AF + FC) = 2AC khơng đổi AC khơng đổi b) Gọi K điểm đối xứng A qua BC

Vì ABC vuông cân nên AK đường trung trực BC

Suy : ABKC hình vng

Gọi P FM BK; Q ME CK ; H hình chiếu M xuống EF Suy : + MPKQ hình chữ nhật

+ MFCQ; MEBP hình vng Xét MFE KPM :

FM = KP ( = MQ); ME = MP ( cạnh hình vng MEBP); EMF  P 900 Nên MFE = KPM ( c - g - c)

Suy ra: M EFKMP

Mặt khác : M EFEMH 900

Nên M EFEMH EMP   1800 hay M; H K thẳng hàng.

Vậy HM qua điểm K cố định hay đường thẳng qua M vng góc với EF qua điểm K cố định

c) SKEF SABCD 



SAEF

SCKF

SBEK



mà





1

CKF BEK

S S  CK CF KB EB  

=





1

2 2

ABCD

S

KB EB CF   KB AB 

Vậy SKEF nhỏ SAEF lớn Mặt khác : SAEF =

1

AF

2AE đạt giá trị lớn AE = AF ( bđthức Cô si)

Hay Max SAEF =

1

AF=

2 2

ABCD

AB AB S

(9)

Nên Min SKEF SABCD 



SAEF

SCKF

SBEK



3

2 8

ABCD ABCD ABCD ABCD

S S S

S    

 

Bài tập 15: Cho hình vng ABCD, M  đương chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng:

a) BM  EF

b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy GIẢI : a) Tứ giác DEMF : D E F   900

Là hình chữ nhật

Xét MEF KBM : K M 900 EM = BK ( AEM vuông cân)

MF = MK ( = KC)

Nên MEF = KBM ( c - g - c)

 EF 

M MBK

Mặt khác : EMH BMK ( cặp góc đối đỉnh)

  900

MBK BMK 

Nên M EFEMH MBK BMK   900 Vậy EMH 900 hay BM EF.

b) Gọi I AFBE; J CE BF Ta có : ADF BAE ( c - g - c)

 AF 

D ABE

   

) AFD AEB ABE AEB 90

    

Nên AIE 900 hay FI BE

Tương tự : DECCFB

Suy : EJ BF

(10)

ƠN TẬP HÌNH HỌC HSG CHƯƠNG I BÀI 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD).

a/ Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy

b/ Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC

Bài 2: Cho ABC cân A Gọi I điểm thuộc đường cao AH Gọi D giao điểm BI AC E giao điểm CI AB

a CMR: AD = AE b BEDC hình ? c Xác định vị trí I để BE = ED = DC

BÀI : Cho ABC, tia BA lấy D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I Chứng minh rằng:

DE DI 

BÀI 4: Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC Gọi M giao điểm BF CD; N giao điểm DE AB Chứng minh rằng:

BÀI 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ CE AB Gọi M trung điểm AD, nối EM, kẻ MF vng góc với CE; MF cắt BC N

a Tứ giác MNCD hình ? b EMC tam giác ? c Chứng minh rằng: BAD 2AEM

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Hai đường thẳng d1

và d2 qua O vng góc với Đường thẳng d1 cắt cạnh AB CD

M P Đường thẳng d2 cắt cạnh BC AD N Q

a/ Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi

b/ Nếu ABCD hình vng tứ giác MNPQ hình gì? Chứng minh

BÀI Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM DN đồng qui

Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo ; E điểm đối xứng A qua B ; F giao điểm BC ED ; G giao điểm BC OE ; H giao điểm EC OF Chứng minh A, G, H thẳng hàng

(11)

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm của hai đường chéo AC BD Trên AB lấy điểm E, CD lấy điểm F cho AE = CF

a Chứng minh E đối xứng với F qua O

b Từ E dựng Ex // AC cắt BC I, dựng Fy // AC cắt AD K Chứng minh rằng: EI = FK; I K đối xứng với qua O

Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với điểm E đường chéo BD, tia đối EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với AB AD Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật

b) AF song song với BD KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng

Bài tập 12 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy hai điểm E F cho BE = DF Kẻ EH  AB, FK  CD (H  AB, K  CD) Gọi O trung điểm EF Chứng minh ba điểm H, O, K thẳng hàng

Bài tập 13: Trong hình vng ABCD lấy điểm E cho · ·

C ECB 15

EB = = Trên

nửa mặt phẳng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác CDF Chứng minh B, E, F thẳng hàng

Bài tập 14: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E F theo thứ tự hình chiêu M AB ,AC.Chứng minh M chuyển động BC

a/ Chu vi tứ giác MEAF không đổi

b/Đường thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm K cố định c/ Tam giác KEF có diện tích nhỏ M trung điểm BC

Bài tập 15: Cho hình vng ABCD, M  đương chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng:

a) BM  EF