Viết phương trình của parabol P có trục đối xứng là trục 0x, có đường chuÈn lµ trôc 0y vµ ®i qua ®iÓm A5; 4 Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com... Tìm tọa độ tiêu điểm và phương [r]
(1)Ba ®êng c«nic Ba ®êng c«nic Lý thuyÕt I.ElÝp 1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F 1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và số a>c ElÝp (E) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n MF 1+MF2= 2a (E) = { M: MF1+MF2= 2a} Ta gäi : F 1, F2 lµ tiªu ®iÓm cña (E) Kho¶ng c¸ch F 1F2 = 2c lµ tiªu cù cña (E) 2)Phương trình chính tắc elip: (E): x2 y2 ( víi b = a2- c2 ) a2 b2 3)H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (E): *Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0) Tiªu ®iÓm ph¶i F2( c; 0) *Các đỉnh : A 1( -a ; 0); A2( a; 0); B 1(0; - b); B2(0; b) *Trôc lín : A 1A2= 2a, n»m trªn trôc Ox Trôc nhá :B 1B2= 2b, n»m trªn trôc Oy *T©m sai : e = c <1 a *B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (E) lµ: B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tr¸i: MF 1= a + e.x M= a+ c xM a B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ph¶i: MF 2= a - e.xM= a- c xM a *§êng chuÈn: x = a e *Phương trình các cạnh hình chữ nhật sở: x = a; y = b ( Độ dài hai cạnh lµ 2a vµ 2b) *Trục đối xứng: Ox; Oy Tâm đối xứng: O 4)TiÕp tuyÕn cña elip §Þnh nghÜa: Cho elip (E) vµ ®êng th¼ng (d) §êng th¼ ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn cña (E) nÕu (d) cã mét ®iÓm chung nhÊt víi (H) Định lý :Cho elip (E) có phương trình chính tắc: Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (2) Ba ®êng c«nic (E): x2 y2 víi b2 = a2- c2 a2 b2 §êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A2+B2 0) lµ tiÕp tuyÕn cña (E) vµ chØ : A2a2+B2b2=C2 ( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc) Chøng minh: Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) và hệ phương trình sau có nghiệm nhÊt x2 y2 1 b a Ax By C x y a b (I) Aa x Bb y C a b X 2 Y 2 x y §Æt X= , Y= ta cã hÖ: a b Aa X BbY C (II) HÖ (I) cã nghiÖm nhÊt hÖ (II) cã nghiÖm nhÊt §êng th¼ng (d’): AaX+BbY+C=0 tiÕp xóc víi ®êng trßn (C ): X2+Y2=1 Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bán kính R = C A2 a B 2b 1 A2a2+B2b2=C2 Hệ quả: Cho elip (E) có phương trình chính tắc: (E): x2 y2 víi b2 = a2- c2 a b Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (E) thì tiếp tuyến (E) M có phương trình là (d): x.x M y y M 1 a2 b Chøng minh Do M thuéc (E) nªn cã : 2 xM y M2 a b HiÓn nhiªn M thuéc (d) Ta cã (d): x.x M y y M x.x M y y M 1 1 a2 b a b Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (3) Ba ®êng c«nic Theo điều kiện định lý có : 2 y xM y M xM a b = M2 a b a b 2 VËy (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i M II.Hypebol 1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F 1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và số a<c.Hypebol (H) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n MF1-MF2 = 2a (H) = { M: MF1-MF2 = 2a} Ta gäi : F 1, F2 lµ tiªu ®iÓm cña (E) Kho¶ng c¸ch F 1F2 = 2c lµ tiªu cù cña (E) 2.Phương trình chính tắc hypebol: (H): x2 y2 ( víi b = c2- a2 ) a2 b2 3.H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (H ): *Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0) Tiªu ®iÓm ph¶i F2( c; 0) *Các đỉnh : A 1( -a ; 0); A2( a; 0) *Trôc thùc: A1A2= 2a, n»m trªn trôc Ox Trôc ¶o: B1B2= 2b, n»m trªn trôc Oy *T©m sai : e = c >1 a *B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (E) lµ: B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tr¸i: MF 1= a + e.x M = a+ c xM a B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ph¶i: MF 2= a - e.xM = a- c x M a *§êng chuÈn: x = a e *Phương trình các cạnh hình chữ nhật sở: x= a; y = b ( Độ dài c¹nh lµ 2a vµ 2b) hai b a *Phương trình các đường tiệm cận: y = x * Trục đối xứng: Ox; Oy Tâm đối xứng: O 4.TiÕp tuyÕn cña hypebol §Þnh nghÜa:Cho hypebol (H) vµ ®êng th¼ng (d) §êng th¼ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (4) Ba ®êng c«nic cña (H) nÕu (d) kh«ng song song víi c¸c ®êng tiÖm cËn cña (H) vµ (d) cã mét ®iÓm chung nhÊt víi (H) Định lý :Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: (H): x2 y2 víi b2 = c2- a2 a b §êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A 2+B2 0) lµ tiÕp tuyÕn cña (H) vµ chØ : A2a2-B2b2=C20 ( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc) Chøng minh: Hai đường tiệm cận (H) có phương trình là: b a y= x bx ay= Điều kiện để (d) không song song với hai đườn g tiệm cận là: A B A2b2- B2b2 a b Đường thẳng (d) tiếp xúc với (H) A2b2- B2b2 (*)và hệ phương trình sau có nghiÖm nhÊt: (I) x y x2 y2 1 1 a b b a Ax By C Ax By C a ay a ay x bx x bx C a Bb ay A A By C a x a bx x x §Æt X= a ay , Y= ta cã hÖ: x bx X 2 Y 2 C Bb Y A X a a (II) HÖ (I) cã nghiÖm nhÊt hÖ (II) cã nghiÖm nhÊt C a §êng th¼ng (d’): X+ Bb Y+A=0 tiÕp xóc víi ®êng trßn (C ): X 2+Y2=1 a Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bán kính R = Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (5) Ba ®êng c«nic A C B 2b a2 a 1 A2a2-B2b2=C2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× (d) lµ tiÕp tuyÕn cña(H) vµ chØ A2a2-B2b2=C20 Hệ quả: Cho (H) có phương trình chính tắc: (H): x2 y2 víi b2 = a2- c2 a2 b2 Nếu điểm M(x M; yM) thuộc (H) thì tiếp tuyến (H) M có phương trình là (d): x.x M y y M 1 a2 b Chøng minh Do M thuéc (H) nªn cã : 2 xM y M2 a b HiÓn nhiªn M thuéc (d) Ta cã (d): x.x M y y M x.x M y y M 1 1 a b a2 b Theo điều kiện định lý có : 2 y xM y M xM a b = M2 a b a b 2 VËy (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (H) t¹i M III Parabol Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định không qua F.Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách điểm F và đường thẳng (P) = { M: MF= d(M; )} Ta gäi : F lµ tiªu ®iÓm cña (P) §êng th¼ng lµ ®êng chuÈn cña p= d(F; ) lµ tham sè tiªu 2.Phương trình chính tắc parabol: (P): y2= 2px 3.H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (E): p *Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm F( ; 0) Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (6) Ba ®êng c«nic *Phương trình đường chuẩn : x = - p *§Ønh : O(0; 0) *B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (P) lµ: MF = d(M; ) = xM+ p *Trục đối xứng: Ox 4.TiÕp tuyÕn cña parabol §Þnh nghÜa: Cho parabol (p) vµ ®êng th¼ng (d) §êng th¼ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn (P) (d) không song song với trục đối xứng (P) và (d) có điểm chung nhÊt víi (P) Định lý:Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: (P): y2= 2px §êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A 2+B2 0) lµ tiÕp tuyÕn cña (P) vµ chØ : pB 2=2AC ( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xó c) Chøng minh: Ta thÊy trôc 0x c¾t (P) t¹i mét ®iÓm nhng kh«ng lµ tiÕp tuyÕn cña (P) §Ó (d) kh«ng song song víi trôc 0x th× A Khi đó (d) tiếp xúc với (P) và hệ sau có nghiệm By C y 2 p A (1) y px (I) Ax By C x By C A ( Do A 0) Hệ (I) có nghiệm phương trình (1) có nghiệm y2 +2p B C y + 2p = cã nghiÖm nhÊt A A B pC ’= p =0 A A pB2=2AC ( tháa m·n A0) (®pcm) Hệ quả: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: (P): y 2= 2px Nếu điểm M(x M; yM) thuộc (P) thì tiếp tuyến (P) M có phương trình là (d): y.yM= p(x+x M) Chøng minh Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (7) Ba ®êng c«nic V× M thuéc (P) nªn IV.Ba ®êng c«nic 1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , đường thẳng cố định không qua F và số dương e Cônic (C) là tập hợp các điểm M cho (C)= M : MF e d ( M ; ) MF e d (M ; ) Ta gäi: F lµ tiªu ®iÓm lµ ®êng chuÈn e lµ t©m sai 2.NhËn xÐt *Cho elip (E) có phương trình chính tắc: (E): T©m sai e= x2 y2 víi b2 = a2- c2 a b c <1 a §êng chuÈn: 1: x = 2: x = a øng víi tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0) e a øng víi tiªu ®iÓm ph¶i F 2( c; 0) e Víi mäi ®iÓm M thuéc (E) th×: MF1 MF2 = =e d ( M ; 1 ) d ( M ; ) VËy ®êng (E) lµ ®êng c«nic víi e< *Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: (H): T©m sai e= x2 y2 víi b2 = c2- a2 a b c >1 a §êng chuÈn: 1: x = 2: x = a øng víi tiªu ®iÓm tr¸i F 1(- c; 0) e a øng víi tiªu ®iÓm ph¶i F 2( c; 0) e Víi mäi ®iÓm M thuéc (H) th×: MF1 MF2 = =e d ( M ; 1 ) d ( M ; ) Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (8) Ba ®êng c«nic VËy ®êng (H) lµ ®êng c«nic víi e> *Cho parabol (P): y 2= 2px Tiªu ®iÓm F( p ; 0) Phương trình đường chuẩn : x = Với điểm M thuộc (P) thì: p MF d (M ; ) =1 VËy ®êng (P) lµ ®êng c«nic víi e=1 Mét sè d¹ng bµi tËp Dạng Xác định các yếu tố (E),(H),(P) biết phương trình chính tắc cña chóng Phương pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố (E) ,(H),(P) Ví dụ Cho elip (E) có phương trình x2 y2 1 T×m tiªu ®iÓm , t©m sai, ®êng chuÈn cña (E) Gi¶i Từ phương trình (E) a2= 4, b2=1c2=a2-b2=3 VËy a = 2, b = 1, c = Khi đó : Tiêu điểm (E) là F 1(- ; 0), F2( ; 0) T©m sai cña (E) lµ e= c a §êng chuÈn cña (E) lµ x= Ví dụ Cho hypebol (H) có phương trình x2 y2 1 T×m tiªu ®iÓm , t©m sai, c¸c ®êng tiÖm cËn cña (H) Gi¶i Từ phương trình chính tắc (H) a2= 4, b2=5c2=a2+b2=9 VËy a = 2, b = , c = Khi đó : Tiêu điểm (H) là F1(-3; 0), F2(3; 0) T©m sai cña (H) lµ e= c a §êng tiÖm cËn cña (H) lµ y= x Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (9) Ba ®êng c«nic Ví dụ Cho parabol (P) có phương trình y 2= 4x T×m tiªu ®iÓm vµ ®êng chuÈn cña (P) Gi¶i Từ phương trình (P)2p= 4p = Ta cã : Tiªu ®iÓm cña (P) lµ F( 1; 0) §êng chuÈn cña (P) lµ x = - Dạng Lập phương trình chính tắc (E),(H),(P) Phương pháp :Để lập phương trình chính tắc (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ số a, b,p các phương trình đó Ví dụ 4.Lập phương trình chính tắc elip (E) , biết (E) qua điểm M( ; - 2) vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng chuÈn b»ng 10 Gi¶i Gọi phương trình chính tắc (E) là: Phương trình đường chuẩn là: x = x2 y2 víi b2=a2- c2 a b a e Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng chuÈn lµ 2a 2a = 10 e c a2= 5c a4=25 c2 a4=25(a2-b2) b2=a2Do (E) ®i qua ®iÓm M( ; - 2) nªn: a4 (*) 25 5 1 a a b 5(1- a4 a 25 1 a2 a4 )+4= a225 25 a4- 30a2+225 = (a2- 15)2= a2= 15 Thay vµo (*) th× b2= Vậy phương trình (E) là: x2 y2 1 15 Ví dụ Viết phương trình chính tắc hypebol (H) , biết (H) qua M(- 2;1)và gãc gi÷a hai ®êng tiÖm cËn b»ng 60 Gi¶i Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (10) Ba ®êng c«nic 10 Gọi phương trình chính tắc (H) là: V× M (H) nªn x2 y2 víi b2=c2- a2 a2 b2 (*) a b Phương trình hai đường tiệm cận là: 1: y = b x bx- ay = a b a 2: y = - x bx+ ay = Gãc gi÷a hai ®êng tiÖm cËn lµ: b2 a2 cos(1;2) = cos60 = b2 a2 2(b a ) b a b 3a 2 2 2(b a ) (b a ) Víi b2= 3a2 thay vµo (*) ®îc a2= 2 a 3b 11 ; b = 11 x2 y2 1 11 11 Víi a2=3b2 thay vµo (*) ®îc a 2= 1; b2= Pt (H): b2 a2 b2 a2 = 2 b a = b2+a2 b a Pt (H): b2 a2 x2 y2 1 1 Ví dụ Viết phương trình chính tắc hypebol (H) biết tâm sai e = , các tiêu ®iÓm cña (H) trïng víi c¸c tiªu ®iÓm cña elip Gi¶i Ta cã elip (E): x2 y2 cã a2 = 25, b 2= c2= a2-b2=16 c = 25 Tiªu ®iÓm cña (E) lµ F 1(-4; 0), F2(4; 0) Gọi phương trình chính tắc hypebol (H) là: x2 y2 víi b2= c2- a2 a b V× c¸c tiªu ®iÓm cña(H) trïng víi c¸c tiªu ®iÓm cña (E) nªn cã c = Do (H) cã t©m sai e = c = c = 2a a = a Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (11) Ba ®êng c«nic 11 b2= c2- a2= 12 Vậy phương trình (H) là : x2 y2 1 12 Ví dụ 7.Viết phương trình chính tắc parabol (P) biết tiêu điểm F(5; 0) Gi¶i Gọi phương trình chính tắc parabol (P) là: y 2= 2px Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên p = p = 10 Vậy phương trình (P) : y 2= 20x Ví dụ 8.Viết phương trình chính tắc elip biết elip tiếp xúc với hai ®êng th¼ng d 1: x+ y - = d2: x- 4y - 10 = Gi¶i Phương trình chính tắc elip có dạng (E): x2 y2 víi b 2= a2 - c2 a2 b2 Do (E) tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng d vµ d2 nªn theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cã a b 25 a 20 a 16b 100 b Vậy phương trình (E): x2 y2 1 20 Ví dụ Viết phương trình chính tắc parabol (P) biết khoảng cách từ ttiêu điểm F đến đường thẳng x + y- 12 = là 2 Gi¶i Gọi phương trình chính tắc (P) : y 2= 2px Tọa độ tiêu điểm F( p ;0) Theo đầu bài , khoảng cách từ F đến đường thẳng : x +y – 12 = 2 nên: p 12 d(F; )= =2 p= 16 hoÆc p = 32 Vậy phương trình (P): y 2= 32x y 2= 64x Dạng Lập phương trình tiếp tuyến các đường cônic Ví dụ 10.Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc với hypebol (H) : x2 y2 Tìm tọa độ tiếp điểm Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (12) Ba ®êng c«nic 12 Gi¶i Gọi M(x o;yo) là tiếp điểm (d) Khi đó đường thẳng d có phương trình dạng: (d): x0.x- y0 y =1 V× (d) ®i qua A(1; 4) nªn: x o - yo = MÆt kh¸c M thuéc (H) nªn: (1) x0 y2 (2) x0 x Tõ (1) vµ (2) suy hoÆc y0 y M ( 1;0) hoÆc M( TiÕp tuyÕn cña (H) lµ: ;) 3 x = 1 x - = hoÆc - x + y = 5x -2y + = 3 Ví dụ 11.Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường elip: x2 y2 1 vµ x2 y2 1 Gi¶i Gäi tiÕp tuyÕn chung cña hai elip lµ (d): Ax+ By +C = ( víi A2+B20) 5 A B C A B Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cã : 2 2 4 A B C C 9B B 1 C 3 Chän A= Vậy phương trình tiếp tuyến chung hai elip là: (d): x y = ( ®©y lµ tiÕp tuyÕn chung) Dạng Lập phương trình các đường cônic không dạng chính tắc Xác định các yếu tố các đường cônic không dạng chính tắc Phương pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đưa dạng chính tắc - Trong hệ tọa độ 0xy có I(x 0; y0) - Tịnh tiến hệ tọa độ 0xy theo vectơ OI hệ tọa độ IXY x X x0 y Y y0 - Công thức đổi tọa độ là ( Thật vậy, lấy điểm M Giả sử tọa độ M= (x; y) hệ Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (13) Ba ®êng c«nic 13 tọa độ 0xy và tọa độ M= (X; Y ) hệ tọa độ IXY Khi đó : OI = (x0; y0)= x0 i +y0 j OM = (x; y)= x i +y j IM = (X; Y)= X i +Y j x X x0 y Y y0 Do OM OI IM nªn ) * Sử dụng định nghĩa để lập phương trình các đường cônic Ví dụ 12.Cho đường cong (H) có phương trình x 2-4y2- 2x- 16y -19= Chứng minh (H) là hypebol Tìm tọa độ các tiêu ểm , các đỉnh , phương trình hai ®êng tiÖm cËn cña hypebol (H) Gi¶i Ta cã (H) : x 2-4y2- 2x- 16y -19= (x-1)2- 4(y+2)2= x 12 y 22 1 Tịnh tiến hệ trục 0xy theo vectơ OI với I(1; - 2) thành hệ tọa độ IXY x X y Y Công thức đổi tọa độ : Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có phương trình: X2 Y2 1 a2=4, b2=1 nªn c 2=a2+b2=5 a= 2, b = 1, c= Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có: + Tọa độ tiêu điểm: F 1( - ; 0), F2( ;0) + Các đỉnh A 1(- 2; 0), A2( 2; 0) + Phương trình hai đường t iệm cận: Y = X Chuyển kết qua trên hệ tọa độ 0xy thì (H) có: + Tọa độ tiêu điểm : : F1( 1- ; - 2), F2(1+ ;- 2) + Các đỉnh A 1(- 1; - 2), A2( 3; -2 ) + Phương trình hai đường tiệm cận: y = (x-1)-2 Ví dụ 13 Viết phương trình parabol (P) có trục đối xứng là trục 0x, có đường chuÈn lµ trôc 0y vµ ®i qua ®iÓm A(5; 4) Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (14) Ba ®êng c«nic 14 Gi¶i Theo đầu bài thì phương trình đường chuẩn (P) là: : x = ( trôc 0y) Vì trục đối xứng 0x qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm (P)là F( c; 0) Do ®iÓm A thuéc (P) nªn: AF = d(A; ) (c-5)2+(-4)2= 52 c= hoÆc c = Víi c = th× F(8;0) LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P) MF= d(M, ) (8 x) y = x (8-x)2 + y2 = x2 y2= 16x – 64 Vậy phương trình (P): y 2= 16x – 64 Víi c = th× F(2;0) LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P) MF= d(M, ) (2 x) y = x (2-x)2 + y2 = x2 y2= 4x – Vậy phương trình (P): y 2= 4x – Ví dụ 14 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (P) có phương trình 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = Chứng minh (P) là parabol Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn parabol đó Gi¶i Ta cã M(x; y)(P) 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x 2+16y2-24xy+6x-8y+1 3x y ( x-1) + (y+2) = (*) 2 §Æt F(1; -2) vµ ®êng th¼ng : 3x- 4y + 1= Khi đó (*) MF2= d2(M; ) MF = d(M; ) Vậy (P) là phương trình parabol với tiêu điểm F(1; -2) và đường chuẩn Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (15) Ba ®êng c«nic 15 : 3x- 4y + 1= Dạng Xác định điểm M nằm trên (E),(H),(P) thỏa mãn điều kiện cho trước VÝ dô 15 Cho elip (E) : x2 y2 T×m trªn (E) mét ®iÓm M cho MF 1=2MF2 25 Gi¶i Ta cã a2= 25 a= b2= b= c2= a2- b2 = 16 c =4 Gi¶ sö M(x 0; y0) (E) 2 x0 y (*) 25 MÆt kh¸c theo c«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ta cã : c a MF 1= a + x0 =5 + x0 c a MF2= a - x0 =5 - x0 §Ó MF1= 2MF2 th× : + Thay vµo (*) ta cã : 4 x0 = 2( 5- x0) 5 12 25 x0= x0 = 12 y 119 25 y 02 y0= 1 119 144 9 144 12 25 Vậy tọa độ M= ; 119 12 12 VÝ dô 16 Cho hypebol (H): x2 y2 1 a)Tìm trên (H) điểm M có tung độ là b)T×m trªn (H) ®iÓm M cho gãc F 1MF2 b»ng 90 c) T×m trªn (H) ®iÓm M cho F 1M= 2F2M Gi¶i Ta cã : a = a =3 b2= b = c2=a2+ b2= 12c= 12 a)Thay y = vào phương trình (H) được: Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (16) Ba ®êng c«nic 16 x2 x x 2 3 Vậy tọa độ M là 3; 1 b)Gọi tọa độ M= ( x 0; y0) Do gãc F 1MF2 b»ng 90 OM= OF 1=OF2 Do M thuéc (H) nªn x02 y 02 c x02+ y02= 12 x0 y 3x02- 9y02= 27 45 x0 y2 x y 12 Ta cã hÖ 2 3 x0 y 27 x0 y Vậy tọa độ điểm M là: 3 3 3 3 3 3 ; ; ; ; ; ; ; c)V× MF1= 2MF2 nªn F1M > F2M M thuéc nh¸nh ph¶i vµ F 1M- F2M = 2a = MF1 MF2 MF 12 MF1 MF2 MF2 Ta cã Theo c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm: c a MF 1= a x0 a+ x0= c x0= 3+ x0 = 12 a Do M thuéc (H) nªn thay x 0= vµo (H) ta ®îc: 2 69 27 y 69 y0= y02= 4 9 69 Vậy tọa độ M là : ; 2 VÝ dô 17 Cho parabol (P): y = 4x Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (17) Ba ®êng c«nic 17 a)T×m trªn (P) ®iÓm M c¸ch F mét kho¶ng lµ b)Tìm trên (P) điểm M O cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x Gi¶i a)Từ phương trình (P): y = 4x p = p Ta cã : MF = x M+ = xM +1 = xM = Thay vµo (P) yM2= 12 yM = Vậy tọa độ điểm M là: (3; ) b)Gọi tọa độ M= (x ;y) Do M thuéc (P) nªn : y2 = 4x x Từ giả thiết M O và khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x ta cã: x 2y 0 x= 2y 0 y x x 16 Ta cã hÖ: x y y 8 Vậy tọa độ M là (16; 8) và ( 16; - 8) D¹ng 6.Chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña ®êng c«nic VÝ dô 18 Cho hypebol (H): x2 y2 víi b2 = c2- a2 cã c¸c tiªu ®iÓm F 1, F2 LÊy a b M là điểm bất kì trên (H) Chứng minh : Tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận có giá trị không đổi Gi¶i Phương trình hai đường tiệm cận (H) là: 1: bx+ay = 2: bx - ay = Đặt toạ độ M= (x 0; y0) Khi đó : d 1= d(M; 1)= d 2= d(M;2) = d1.d2 = bx0 ay a2 b2 bx0 ay a2 b2 bx0 ay bx0 ay a2 b2 a2 b2 b x0 a y = a2 b2 Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (18) Ba ®êng c«nic 18 V× M thuäc (H) nªn : VËy d1.d2 = 2 x0 y 02 b2x02 - a2y02 = a2.b2 a b a b (§pcm) a2 b2 VÝ dô 19 Cho parabol (P): y = 4x.§êng th¼ng (d) bÊt kú ®i qua tiªu ®iÓm F cã hÖ sè gãc k ≠ c¾t (P) t¹i M vµ N a.Chứng minh : Tích khoảng cách từ M và N đến trục 0x có giá trị không đổi b.T×m k cho FM = 4.FN Gi¶i Vì (d) qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ nên có phương trình: d: y = k( x - 1) Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) là: [k(x - 1)]2 = 4x k2x2 - 2(k2+ 2) x + k = (*) '= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > k Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt VËy ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N a.Hoành độ hai điểm M và N là hai nghiệm phương trình (*) Theo định lý Viet có: x M + xN = 2( k 2) (1) k2 x M.xN = (2) Ta cã : d = d(M; 0x) = y M = xM d2 = d(M; 0x) = y N = x N d1.d2 = 16 x M x N = không đổi b) Từ phương trình (P) Tham số tiêu p =p Theo c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm: MF = + x M NF = + x N §Ó MF = 4NF th× 1+ x M = 4( + x N) xM - 4xN = ( 3) Tõ (2) vµ (3) xM = 4; x N = 1/4 Thay vµo (1) k = Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (19) Ba ®êng c«nic 19 Bài tập đề nghị Bµi Cho hypebol (H) : 4x - y2 - = a) Xác định toạ độ tiêu điểm (H) b) Tìm điểm M nằm trên (H) cho M nhìn hai tiêu điểm F 1; F2 (H) gãc vu«ng HD: b) - Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F 1F2 - Ta cã M (C) (H) §S: a) F 1( - ; 0); F2( b) M ; 0) ; 5 Bµi 2.Cho hypebol (H): x2 y2 vµ : x - y + m = a) Chøng minh r»ng : §êng th¼ng lu«n c¾t (H) t¹i hai ®iÓm M, N thuéc hai nh¸nh kh¸c cña (H) ( x M < xN) b)Xác định m để F 2N = 2F1N biết F 1, F2 là hai tiêu điểm (H) HD: a) - Lập phương trình hoành độ giao điểm và (H) - Chừng minh phương trình đó luôn có hai nghiệm trái dấu b) - Tìm toạ độ x M , xN - Dïng c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm Bài Viết phương trình chính tắc elip (E) trường hợp đây: a) (E) cã mét tiªu ®iÓm F 1( - 7; 0) vµ ®i qua M(-2; 12) b)(E) ®i qua ®iÓm M( 1; 15 ) vµ cã tiªu cù c)(E) ®i qua hai ®iÓm M( 3; d)(E) ®i qua M( 1; §S: a) x2 y2 1 196 147 ), N (- 4; ) 5 3 ) vµ t©m sai e = 2 b) x2 y2 1 16 c) x2 y2 1 25 d) x2 y2 1 Bài 4.Viết phương trình chính tắc hypebol (H) thường hợp sau: a)(H) cã tiªu ®iÓm F 1( - 7; 0) vµ ®i qua M(-2; 12) b)(H) ®i qua ®iÓm A( ; 5) vµ cã ®êng tiÖm cËn y = 5x c)(H) cã tiªu cù b»ng vµ cã tiÖm cËn xiªn y = 2x Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (20) Ba ®êng c«nic 20 d)(H) ®i qua A( 1; 0) vµ B( §S: a) x y2 1 48 b) ; 1) x2 y2 1 16 25 c) x y2 1 d) x2 y2 1 1 Bài Viết phương trình parabol (P) trương hợp đây a)(P) cã ®êng chuÈn lµ : x+ y = vµ tiªu ®iÓm F(2; 2) b)(P) trục đối xứng là trục 0x; có đường chuẩn là trục 0y và qua điểm A(3; 1) c)(P) có trục đối xứng là trục 0x và qua điểm A(4; 1) ; B(1; 2) HD:a) M(x; y) (P) d(M; ) = MF Phương trình (P) b)- Do trục đối xứng là trục 0x nên toạ độ F(a; 0) - Ta cã d(A; 0x) = AF suy a - Lập phương trình theo phần a) c) -Tiêu điểm F thuộc trục 0x nên toạ độ F(a; 0) - §êng chuÈn 0x nªn : x = b d ( A, ) AF d ( B, ) BF - Tõ suy a vµ b - Lập phương trình (P) phần a) §S: a) x + y2 -2xy -8x -8y +16 = b) y2 - 2(3 2 )x + (3 2 )2 = c) y 2= - x + Bài Viết phương trình đường thẳng qua (12; -3) và tiếp xúc với elip x2 y2 1 32 18 §S: 3x + 4y - 24 = vµ 3x - 28y -120 = Bài Viết phương trình tiếp tuyến hypebol (H) : x y2 vÏ tõ ®iÓm (1; 4) §S: x - = vµ 5x - 2y + = Bài Viết phương trình tiếp tuyến parabol (P) : y = 4x qua điểm (- 1; ) §S: x - 3y + = vµ 9x + 3y + = Bµi Cho hypebol (H) x2 y2 1 a2 b2 a)Tính độ dài phần đường tiệm cận nằm hai đường chuẩn b)TÝnh kho¶ng c¸ch tõ tiªu ®iÓm tíi ®êng tiÖm cËn c)Chøng minh r»ng : Ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ mét tiªu ®iÓm tíi c¸c ®ê ng tiệm cận nằm trên đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com (21)