Đề thi thử THPT quốc gia

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó4. [r]

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 2

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 2

B – BÀI TẬP 2

DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 5

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT

1 Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian.

Cho hai đường thẳng a b khơng gian Có trường hợp sau xảy a b: Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b, theo kết tronh hình học phẳng ta có ba khả sau:

- a b cắt điểm M , ta kí hiệu a b M  . - a b song song với nhau, ta kí hiệu a b

- a b trùng nhau, ta kí hiệu a b .

Trường hợp 2: Khơng có mặt phẳng chứa a b, ta nói a b hai đường thẳng chéo

2.Các tính chất

 Trong khơng gian, qua điểm cho trước khơng nằm đường thẳng a có đường thẳng song song với a

 Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt đơi theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng qui đôi song song

 Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng

 Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với

B – BÀI TẬP

Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng chéo chúng khơng có điểm chung

B Hai đường thẳng khơng có điểm chung hai đường thẳng song song chéo C Hai đường thẳng song song chúng mặt phẳng

D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng hai đường thẳng chéo

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Dựa vào vị trí tương đối hai đường thẳng

Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng phân biệt chéo B Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

C Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung D Hai đường thẳng phân biệt không song song chéo

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Câu 3: Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

B Hai đường thẳng phân biệt khơng có điểm chung chéo C Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung

D Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng phân biệt chéo

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Câu A sai hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo song song với

Câu 4: Hãy Chọn Câu đúng?

A Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với B Hai đường thẳng song song chúng khơng có điểm chung

C Hai đường thẳng song song với mặt phẳng song song với

D Khơng có mặt phẳng chứa hai đường thẳng a b ta nói a b chéo

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

- Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba trùng  A sai. - Hai đường thẳng khơng có điểm chung song song chéo  B sai.

- Hai đường thẳng song song với mặt phẳng cắt, trùng chéo  C sai. - Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng  D đúng.

Câu 5: Hãy Chọn Câu đúng?

A Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng qui

B Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song giao tuyến, có, chúng song song với hai đường thẳng

C Nếu hai đường thẳng a b chéo có hai đường thẳng p q song song mà đường cắt a vàb

D Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng khơng chéo

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

- Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt đôi song song  A sai. - Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song giao tuyến, có, chúng trùng với hai đường thẳng  B sai.

- Giả sử: p cắt a b A B q cắt a b A B. Nếu p q/ /  A B A B, , ,  đồng phẳng  a b, đồng phẳng ( mâu thuẫn)  C sai. - Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng  D đúng.

Câu 6: Cho hai đường thẳng phân biệt a b thuộc mp( ) Có vị trí tương đối a b ?

A 1 B 2 C 3 D 4

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vị trí tương đối hai đường thẳng nằm mặt phẳng là:  Hai đường thẳng trùng

 Hai đường thẳng cắt  Hai đường thẳng song song

Câu 7: Cho hai đường thẳng chéo a b Lấy A B, thuộc a C D, thuộc b Khẳng định sau nói hai đường thẳng AD BC?

A Có thể song song cắt B Cắt C Song song D Chéo

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có a b chéo nên A B C D, , , khơng đồng phẳng Do AD BC chéo

Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a b c, , / /a b Khẳng định sau không đúng?

A Nếu / /a c / /b c B Nếu c cắt a c cắt b

C Nếu A a B b ba đường thẳng a b AB, , mặt phẳng. D Tồn mặt phẳng qua a b

Hướng dẫn giải:

B sai a c, cắt nên nằm mặt

 

 đường thẳng b song song với

 

 Khi c b chéo

Câu 9: Cho đường thẳng a nằm mp P

 

, đường thẳng b cắt

 

P O O không thuộc a Vị trí tương đối a b

A chéo B cắt C song song D trùng

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau:

1 Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

2 Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba

Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Áp dụng định lí giao tuyến song song

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I J E F, , , trung điểm SA, SB,SC, SD Trong đường thẳng sau, đường thẳng không song song với IJ?

A EF B DC C AD D AB

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có IJ đường trung bình tam giác SAB nên //IJ AB D đúng

ABCD hình bình hành nên AB CD// Suy IJ CD// B đúng. EF đường trung bình tam giác SCD nên EF CD// Suy ra

//

IJ EF A đúng. Do chọn đáp án C

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD Gọi A B C D', ', ', ' trung điểm cạnh SA SB SC, ,

SD Trong đường thẳng sau đây, đường thẳng không song song với A B' ' ?

A AB B CD C C D' ' D SC

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Nếu ABCD hình bình hành A B' 'sẽ song song với đường thẳng AB CD, ' '.C D Do phương án A, B C sai

Câu 3: Cho hình hộp ABCD A B C D     Khẳng định sau SAI?

A AB C D  A BCD  hai hình bình hành có chung đường trung bình. B BD B C  chéo nhau.

C A C DD chéo nhau. D DC AB chéo nhau.

Hướng dẫn giải:



DC AB song song với nhau.

Câu 4: Cho tứ diệnABCD Gọi M N P Q, , , trung điểm cạnhAB AD CD BC, , , Mệnh đề sau sai?

A MN BD//

1



MN BD

B MN PQ// vàMN PQ

C MNPQ hình bình hành D MP NQ chéo

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Có MN PQ, đường trung bình tam giác

,

ABD BCD nên

1 // ,

2 // ,

2 

 

 

 

 

MN BD MN BD

PQ BD PQ BD

Nên MN PQ MN// , PQ

 MNPQ hình bình hành.

Do MP NQ thuộc mặt phẳng MNPQ

Câu 5:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M N, trung điểm SA SB

a) Khẳng định sau A MN song song với CD

B MN chéo với CD C MN cắt với CD D MN trùng với CD

b) Gọi P giao điểm SC



ADN



, I giao điểm AN DP Khẳng định sau đúng?

A SI song song với CD B SI chéo với CD C SI cắt với CD D SI trùng với CD

Hướng dẫn giải:

a) Ta có MN đường trung bình tam giác SAB nên 

MN AB.

Lại có ABCD hình thang  AB CD/ / .

Vậy 

 

 

 

MN AB

MN CD

b) Trong



ABCD



gọi EAD BC ,



SCD



gọi P SC EN . Ta có E AD 



ADN



 EN 



AND



 P



ADN



Vậy P SC 



ADN



Do











 



                  I SAB I AN

I AN DP SI SAB SCD

I DP I SCD

Ta có











 



              AB SAB CD SCD SI CD AB CD

SAB SCD SI

Câu 6:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy AD BC Biết

,

 

AD a BC b Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng



ADJ



cắt

,

SB SC M N, Mặt phẳng



BCI



cắt SA SD, P Q, .

a) Khẳng định sau đúng? A MN song sonng với PQ B MN chéo với PQ C MN cắt với PQ D MN trùng với PQ

b) Giải sử AM cắt BP E; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ Tính EF theo a b, .

A





1

 

EF a b

B





3

 

EF a b

C





2

 

EF a b

D





2

 

EF a b

Hướng dẫn giải:

a) Ta có I



SAD



 I



SAD

 

 IBC



Vậy











 



            AD SAD BC IBC AD BC

SAD IBC PQ

 

 PQ AD BC 

Tương tự J



SBC



 J



SBC

 

 ADJ



Vậy











 



            AD ADJ BC SBC AD BC

SBC ADJ MN

 

 MN AD BC 

b) Ta có









          E AMND

E AM BP

E PBCQ ;









          F AMND

F DN CQ

F PBCQ

Do EF 



AMND

 

 PBCQ



Mà           AD BC

EF AD BC MN PQ

MN PQ .

Tính EF: Gọi K CP EF   EF EK KF

Ta có    1

 

EK PE

EK BC

BC PB ,   

PE PM PM AB EB AB Mà 2 3    

PM SP PE

AB SA EB .

Từ

 

1 suy

1 2

5 5

1

      

 

EK PE PE

EK BC b

EB

BC PB PE EB

PE Tương tự  KF a

Vậy





2

   

EF EK KF a b

Câu 7:Cho tứ diện ABCD M , N , P, Q trung điểm AC, BC, BD, AD Tìm điều kiện để MNPQ hình thoi

A.AB BC . B.BCAD. C.AC BD . D.AB CD .

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Ta có: MN song song với PQ song song với AB, MQ song song với PN song song với CD nên tứ giác MNPQ hình bình hành

DẠNG 2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng

 



 

 có điểm chung M chứa hai đường thẳng song song d 'd giao tuyến

 



 

 đường thẳng qua M song song với d 'd .

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng



SAD





SBC



Khẳng định sau đúng?

A d qua S song song với BC B d qua S song song với DC C d qua S song song với AB. D d qua S song song với BD.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có











 



//

//   

 

 

 

  

AD SAD

BC SAC

d BC

d SAD SAC

AD BC (Theo hệ định lý 2

(Giao tuyến ba mặt phẳng))

Câu 2:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng



SAB





SCD



A là đường thẳng qua S song song với AB, CD B là đường thẳng qua S

C là điểm S

D là mặt phẳng (SAD)

Hướng dẫn giải:

Ta có











 



  

   

  

 

AB SAB

CD SCD

AB CD

S SAB SCD



 



,

 SAB  SCD d AB CD S d  

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD điểm S không nằm mặt phẳng



ABCD



Giao tuyến của hai mặt phẳng



SAB





SCD



đường thẳng song song với đường thẳng sau đây?

A.AB B.AC C.BC D SA.

Chọn A.

Xét



SAB





SCD



có

S điềm chung









//  

  

 

AB CD

AB SAB

CD SCD



 



// //

 SAB  SCD Sx AB CD

Câu 4: Cho tứ diệnABCD I J theo thứ tự trung điểm AD vàAC, G trọng tâm tam giácBCD Giao tuyến hai mặt phẳng



GIJ





BCD



đường thẳng :

A qua I song song vớiAB B qua J song song với BD C qua G song song vớiCD D qua G song song với BC

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi d giao tuyến



GIJ





BCD



Ta có G



GIJ

 

 BCD



, IJ CD// , IJ 



GIJ



, CD



BCD



Suy d qua G song song với CD

Câu 5:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi

,

I J trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác SAB. a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng



SAB





IJG



A là đường thẳng song song với AB B là đường thẳng song song vơi CD

C là đường thẳng song song với đường trung bình hình thang ABCD D Cả A, B, C

b) Tìm điều kiện AB CD để thiết diện



IJG



hình chóp hình bình hành

A

2



AB CD

B AB CD C

3



AB CD

D AB3CD

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ABCD hình thang I J, trung điểm AD BC, nên IJ/ /AB

Vậy



 











 

 

  

  

 

G SAB IJG

AB SAB

IJ IJG

AB IJ



 



,

 

M SA N SB.

b) Dễ thấy thiết diện tứ giác MNJI

Do G trọng tâm tam giác SAB MN AB nên

2

 

MN SG

AB SE

(E trung điểm AB)

2

 MN  AB

Lại có





1

 

IJ AB CD

Vì MN IJ nên MNIJ hình thang, MNIJ hình bình hành 

MN IJ





2

3

3

 AB AB CD  AB CD

DẠNG 3: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG

ĐỒNG QUI

Phương pháp:

+ Để chứng minh bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a b, qua hai bốn điểm chứng minh a b, song song cắt nhau, A B C D, , , thuôc mp a b



,



+ Để chứng minh ba đường thẳng a b c, , đồng qui ngồi cách chứng minh §1, ta chứng minh

, ,

a b c giao tuyến hai ba mặt phẳng

     

 ,  , 

có hai giao tuyến cắt Khi theo tính chất giao tuyến ba mặt phẳng ta a b c, , đồng qui

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD Gọi M N P Q R T, , , , , trung điểmAC, BD, BC, CD, SA,SD Bốn điểm sau đồng phẳng?

A M P R T, , , B M Q T R, , , C M N R T, , , D P Q R T, , ,

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có RT đường trung bình tam giác SAD nên

//

RT AD

MQ đường trung bình tam giác ACD nên MQ AD// .

Suy RT MQ// Do M Q R T, , , đồng phẳng

Câu 2:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M N E F, , , trung điểm cạnh bên SA SB SC, , SD

a) Khẳng định sau đúng?

A ME NF SO, , đôi song song (O giao điểm AC BD). B ME NF SO, , không đồng quy (O giao điểm AC BD) C ME NF SO, , đồng qui (O giao điểm AC BD).

D ME NF SO, , đôi chéo (O giao điểm AC BD) b) Khẳng định sau đúng?

A Bốn điểm M N E F, , , đồng phẳng B Bốn điểm M N E F, , , không đồng phẳng C MN, EF chéo

D Cả A, B, C sai

a) Trong



SAC



gọi I MESO, dễ thấy I trung điểm SO, suy FI đường trung bình tam giác SOD

Vậy FI OD/ /

Tương tự ta có NI OB nên N I F, , thẳng hàng hay I NF . Vậy minh ME NF SO, , đồng qui

b) Do MENF I nên ME NF xác định mặt phẳng Suy M N E F, , , đồng phẳng

Câu 3:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M N E F, , , trọng tâm tam giác SAB SBC SCD, , SDA Chứng minh:

a) Bốn điểm M N E F, , , đồng phẳng b) Khẳng định sau đúng?

A Bốn điểm M N E F, , , đồng phẳng B Bốn điểm M N E F, , , không đồng phẳng C MN, EF chéo

D Cả A, B, C sai

b) Ba đường thẳng ME NF SO, , đồng qui (O giao điểm AC BD) a) Khẳng định sau đúng?

A ME NF SO, , đôi song song (O giao điểm AC BD) B ME NF SO, , không đồng quy (O giao điểm AC BD) C ME NF SO, , đồng qui (O giao điểm AC BD)

D ME NF SO, , đôi chéo (O giao điểm AC BD)

Hướng dẫn giải:

a) Gọi M N E F', ', ', ' trung điểm cạnh

, ,

AB BC CD DA. Ta có

2

,

'3 '  3 ' '

SM SN SM SN

SM SN SM SN

 

' '  MN M N

Tương tự ' '  ' ' 2

 

SE SF

EF E F

SE SF

Lại có

 

' '

' ' ' ' ' '



 





 

M N AC

M N E F

E F AC

Từ

   

1 ,

 

3 suy MN EF Vậy bốn điểm

, , ,

M N E F đồng phẳng.

Xét ba mặt phẳng



M SE' ' ,

 

N SF' '





MNEF



ta có :



M SE' '

 

 N SF' '



SO



M SE' '

 

 MNEF



ME



N SF' '

 

 MNEF



NF

 

ME NF I .

Do theo định lí giao tuyến ba mặt phẳng ba đường thẳng ME NF SO, , đồng qui

Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M N P Q R S, , , , , trung điểm cạnh

, , , , ,

AC BD AB AD BC CD Bốn điểm sau đồng phẳng ?

A P Q R S, , , B M N R S, , , C. M N P Q, , , D. M P R S, , ,

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Do PQ đường trung bình tam giác

 

ABD PQ BD Tương tự, ta có RS BD Vậy , , ,

 

PQ RS P Q R S nằm mặt phẳng Các bốn điểm M N R S, , , ;M N P Q, , ,

, , ,