Ngoài ra để ý rằng tổng các bình phương bằng 0 thì các bình phương đó bằng 0 nên ta biến đổi giả thiết của bài toán về tổng các bình phương bằng 0.. Quan sát giả thiết và biểu thức P ta[r]
(1) Nguyễn Công Lợi
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG
(2)CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG
A Một số kiến thức cần nhớ
1 Nhắc lại đẳng thức đáng nhớ
Bình phương tổng: (A B+ )2 =A2+2AB B+ =(A B− )2+4AB
Bình phương hiệu: (A B− ) (2 = B A− )2 =A2−2AB B+ =(A B+ )2−4AB
Hiệu hai bình phương: 2 ( )( )
A −B = A B A B− +
Lập phương tổng: (A B+ )3 =A3+3A B 3AB2 + 2+B3 =A3+B3+3AB A B( + )
Lập phương hiệu: (A B− )3 =A3−3A B 3AB2 + 2−B3 =A3−B3−3AB A B( − ) Tổng hai lập phương: A3+B3 =(A B A+ )( 2−AB B+ 2)=(A B+ )3−3AB A B( − )
Hiệu hai lập phương: 3 ( )( 2) ( )3 ( )
A −B = A B A− +AB B+ = A B− +3AB A B−
2 Một số đẳng thức tổng quát
( )( )
n n n n n n
a – b = a b a− − +a − b++ab − +b −
( )( )
2k 2k 2k 2k 2k 2k
a – b = a – b a − +a − b++a − b +b −
( )( )
2k 2k 2k 2k 2k 2 2k
a + +b + = a b a – a+ − b a+ − b −+b
( )2 2 2 2
a b c+ + =a +b + +c 2ab 2bc 2ca+ + 3 Nhị thức Newton
( )n n 1 n 1 2 n 2 2 n 1 n 1 n n n n
a b a+ = +C a − b C a+ − b ++ C ab− − +b
Trong Ckn n n n n( )( ) (k 1) 1.2.3 k
− − − −
=
Cách xác định hệ số khai triển Newton
• Cách Dùng cơng thức Ckn n n n n( )( ) (k 1) 1.2.3 k
− − − −
=
Chẳng hạn hệ số hạng tử a b4 3trong khai triển (a b+ )7
7
7.6.5.4 7.6.5.4
C 35
4! 4.3.2.1
(3)Chú ý
+ Ck n ( n! ) n! n k !
=
− với quy ước 0! 1=
+ Ta có k n k n n
C =C − nên
7
7.6.5
C C 35
3!
= = = •Cách Dùng tam giác Patxcan
Đỉnh 1
Dòng 1(n 1= ) 1 1
Dòng 2(n=2) 1 2 1
Dòng 3(n=3) 1 3 3 1
Dòng 4(n=4) 1 4 6 4 1
Dòng 5(n=5) 1 5 10 10 5 1
Dòng 6(n=6) 1 6 15 20 15 6 1
Trong tam giác hai cạnh bên gồm số dòng k 1+ thành lập từ dịng
k (k 1 )
Với n=4 ta có (a b+ )4 =a4+4a b 6a b3 + 2+4ab3+b4
Với n 5= ta có (a b+ )5 =a5+5a b 10a b4 + 2+10a b2 3+5ab4 +b5
Với n 6= ta có (a b+ )6 =a6+6a b 15a b5 + 2+20a b3 3+15a b2 4+6ab5+b6
B Một số ví dụ minh họa
Với hẳng đẳng thức đáng nhớ hẳng đẳng thức mở rộng ta có thẻ áp dụng giải số dạng tập toán sau.
+ Áp dụng trực tiếp đẳng thức để thực tính phép tính, tính giá trị các biểu thức số.
+ Áp dụng đẳng thức để thu gọn biểu thứcvà chứng minh đẳng thức
(4)+ Chứng minh bất đẳng thức tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của biểu thức đại số.
+ Áp dụng đẳng thức để giải mọt số toán số học tổ hợp
Bài Thực phép tính
a) (3 – xy2) (2– xy+ 2)2 b) 9x – 3x – 42 ( )2
c) (a – b2)(a b+ 2) d) (a2+2a a+ )( 2+2a 3− )
e) (x – y x y – 6+ )( + ) f) (y 2z – y 2z 3+ )( − − )
g) (2y – 3)3 h) (2 – y)3
i)(2y – 4y)( 2+10y 25+ ) j) (3y 9y – 12y 16+ )( + )
k) (x – 3) (3+ – x)3 l) (x y – x – y+ ) (3 )3
• Định hướng tư duy Sử dụng đẳng thức để khai triển hạng từ thu gọn đa thức
Lời giải
a) (3 – xy2) (2– xy+ 2)2 =9 – 6xy2+x y – – 4xy – x y2 2 =5 – 10xy2
b) 9x – 3x – 42 ( ) (2 = 3x – 3x 3x 3x – 4+ )( + ) (=4 6x – 4)=24x – 16
c) (a – b2)(a b+ 2)=a – b2
d) (a2+2a a+ )( +2a 3− ) (= a2 +2a – a)2 = 4+4a3+4a – 92
e) (x – y x y – 6+ )( + )=x – y – 62 ( )2 =x – y2 2+12y – 36
f) (y 2z – y 2z 3+ )( − − ) (= y – – 4z)2 =y – 6y – 4z2 2+9
g) (2y – 3)3 =8y – 36y3 2+54y – 27
h) (2 – y)3 =8 – 12y 6y – y+
i) (2y – 5)(4y2 + 10y + 25) = 8y3– 125
(5)k) (x – 3) (3+ – x) (3 = x – – x+ ) ( x – – x – – x) (2 )( ) (+ – x)2
( 2 2)
x – 6x – 2x x – 3x – 4x x 3x 15x 19
= − + + + + + = − + +
l) (x y – x – y+ ) (3 )3 =x3+3x y 3xy2 + 2+y – x3 3+3x y – 3xy2 2+y3 =6x y 2y2 +
Bài Rút gọn biểu thức sau
a) (x – 2x x – x2 + )( )( 2+2x x+ )( 2+2)
b) (x – x – 1+ ) (2 )2+3x – 3x x x – 12 ( + )( )
c) (2x 1+ )2+2 4x – 1( )+(2x – 1)2 d) (m n – m – n+ ) (2 ) (2+ m – n m n)( + )
e) (3x – 3x 3x 5+ )2 ( + )( + +) (3x 5+ )2
f) (a – b c – a – b c c – b+ )2 ( + )( ) (+ b – c)2
g) (2x – 4x)( 2+10x 25 2x 4x – 10x 25+ )( + )( + )−64x4
h) (a b+ ) (3+ a – b – 2a)3
i) (x y z+ + ) (2+ x – y) (2+ x – z) (2+ y – z – x)2 ( 2+y2+z2)
Lời giải
• Định hướng tư duy Rút gọn biểu thức cách gọi khác củathực phép tính, đó
ta sử dụng đẳng thức để khai triển hạng từ thu gọn biểu thức.
Lời giải
a) (x – 2x x – x2 + )( )( 2+2x x+ )( 2+2) (= x2+ – 4x)2 2(x – 44 )
(x4 4x2 4 – 4x2)(x – 44 ) (x4 4 x – 4)( ) x – 168
= + + = + =
b) ( ) (2 )2 ( )( ) ( )( ) ( )
x – x – 1+ +3x – 3x x x – 1+ = x – x x x – 1+ + + + +3x – 3x x –
2 3
4x 3x – 3x 3x 3x 3x 7x
= + + = − + +
(6)d) (m n – m – n+ ) (2 ) (2+ m – n m n)( + )
( )( ) 2 2
m n – m n m n m – n m – n 4mn m – n
= + + + + + = +
e) (3x – 3x 3x 5+ )2 ( + )( + +) (3x 5+ ) (2 = 3x – 3x – 5+ )2 =16
f) (a – b c – a – b c c – b+ )2 ( + )( ) (+ b – c) (2 = a – b c b – c+ + )2 =a2
g) (2x – 4x)( 2+10x 25 2x 4x – 10x 25+ )( + )( + )−64x4
=(8x – 125 8x3 )( 3+125)=64x6−1252
h) (a b+ ) (3+ a – b – 2a)3 =a3+3a b 3ab2 + +b3+a – 3a b 3ab – b – 2a3 + 3 =6ab2
i) ( ) (2 ) (2 ) (2 )2 ( 2 2)
x y z+ + + x – y + x – z + y – z – x +y +z
2 2 2 2 2 2
x y z 2xy 2yz 2zx x – 2xy y x – 2zx z y – 2yz
z – 3x – 3y – 3z
= + + + + + + + + + +
+ =
Bài Tìm x biết
a) (x – – x – x) (3 )( 2+3x 9+ )+9 x 1( + )2 =15 b) 4x2−81 0= c) x x – x – x – x( )( + ) ( )( 2+2x 4+ )=3 d) 25x – 02 =
e) (x 2+ ) (2 = 2x – 1)2 f) (x – x 0+ )2 + =
g) (x – 22 )2 +4 x – – x( )2 ( 2−2 x 1)( − =)
• Định hướng tư duy Bài tốn tìm x dạng tập tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức Với tập để tìm x trước hết ta cần sử dụng đẳng thức để khai triển hạng từ thu gọn biểu thức tìm giá trị x từ đẳng thức đơn giản cuối
Lời giải
( ) (3 )( 2 ) ( )2 3
a) x – – x – x 3x 9 x 15
2
x – 9x 27x – 27 – x 27 9x 18x 15 45x x
15
+ + + + =
+ + + + + = = =
2 81
b) 4x 81 x x
4
(7)( )( ) ( )( ) 3
c) x x – x – x – x 2x x – 25x – x 25x x
5
+ + + = + = = =
2 2
d) 25x – x x
25
= = =
( ) (2 )2 x 2x x
e) x 2x – 1
x 2x x
3 = + = − + = + = − + = −
f) ( )
2
2 2 2 23
x – x x 4x – x x 3x x
2 + + = + + + = + + = + + = Do 23 x + +
nên khơng có giá trị thỏa mãn
2 23 x + + =
hay khơng có
giá trị thỏa mãn (x – x 0+ )2 + =
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
g) x – x – – x x x – – 2x
x x x 0; x
+ − − = + =
− = =
Bài 4. Tính giá trị biểu thức sau
a) A 123 123 154= ( + )+772 b)
2 2
135 130.135 65 B
135 65
+ +
=
− c) D – 2= 2+3 – 42 2+– 20182+20192
d) D=(2 2+ )( 2+1 2)( 4+1 2)( 8+1 2)( 16+1 2)( 32+1 – 2) 64
• Định hướng tư Quan sát biểu thức ta thấy có bóng dáng hằng đẳngthức đáng nhớ Do ta sử sử dụng hẳng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức.
Lời giải
a) Ta có A 123 123 154= ( + )+772 =1232+2.123.77 77+ =(123 77+ )2 =2002 =40000 b) Ta có
( ) ( )( )
2 2
2 2 2
135 130.135 65 135 2.135.65 65 B
135 65 135 65
135 65 135 65 200 20
136 65 70
135 65 135 65
(8)( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2 2
A – – – 2018 2019
1 – – 2019 – 2018
1 3 – 5 – 2019 2018 2019 – 2018
1 2019 2019
1 2019 2019 1010.2019
2
= + + +
= + + ++
= + + + + ++ +
+
= + + + + ++ + = =
b) Ta có
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )
2 16 32 64 2 16 32 64 4 16 32 64
32 32 64 64 64
B 2 2 2 –
2 2 2 –
2 – 2 2 –
2 – 2 – –
= + + + + + +
= − + + + + +
= + + + +
= = − + = = −
Bài
a) Cho x y 7− = Tính giá trị biểu thức: A=x x 2( + ) (+y y – – 2xy)
B x – 3xy x – y – y – x= ( ) 2+2xy – y2 b) Cho x 2y 5+ = Tính giá trị biểu thức: C x= 2+4y – 2x 10 4xy – 4y2 + +
• Định hướng tư duy Quan sát giả thiết toán ta thấy có hai hướng + Hướng Biến đổi biểu thức làm xuất hạng tự có dạng x y− x 2y+
+ Hướng Thay x y 7= + x 2y= − tương ứng vào biểu thức thu gọn biểu thức
Cả hai hướng ta cần sử dụng biến đổi để đưa đẳng thức đáng nhớ khai triển đẳng thức đáng
Lời giải
a) A x x 2= ( + )+ y y – – 2xy x( ) = 2+2x y – 2y – 2xy+ =(x – y)2+2 x – y( )
Thay x y 7− = vào biểu thức Ata A 7= 2+2.7 63=
( ) ( ) (3 )2 3 2
B x – 3xy x – y – y – x= +2xy – y = x – y – x – y
Thay x y 7− = vào biểu thức ta B – 7= =294
b) C x= +4y – 2x 10 4xy – 4y2 + + =(x 2y – x 2y+ )2 ( + ) (3)
(9)Bài Chứng minh đẳng thức:
a) (a2+b2)(c2+d2)=(ac bd+ ) (2+ ad – bc)2
b) (a b c+ + )2+a2 +b2+c2 =(a b+ ) (2+ b c c a+ ) (2+ + )2
• Định hướng tư duy Quan sát đẳng thức cần chứng minh ta thấy có hai hướng + Hướng Khai triển vế trái đẳng thức sử dụng đẳng thức để biến đổi biểu thức vế phải.
+ Hướng Sử dụng đẳng thức biến đổi đồng thời hai vế so sánh kết quả.
Lời giải
a) ( 2)( 2) ( ) (2 )2
a +b c +d = ac bd+ + ad – bc
Lời giải
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
VT a b c d a c a d b c b d
a c b d 2abcd a d b c – 2abcd ac bd ad – bc VP
= + + = + + +
= + + + + = + + =
Lời giải Ta có (a2+b2)(c2+d2)=a c2 2+a d2 +b c2 2+b d2 Lại có
( ) (2 )2 ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 ) 2 2 2 2
ac bd ad – bc a c b d 2abcd a d b c – 2abcd
a c a d b c b d
+ + = + + + +
= + + +
Do ta ( 2)( 2) ( ) (2 )2
a +b c +d = ac bd+ + ad – bc b) (a b c+ + )2+a2 +b2+c2 =(a b+ ) (2+ b c c a+ ) (2+ + )2
Ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
a b c a b c a b c 2ab 2bc 2ac a b c
a b 2ab b c 2bc a c 2ac a b b c c a
+ + + + + = + + + + + + + +
= + + + + + + + + = + + + + +
Bài 7.Chứng minh (a b c+ + )2 =3 ab bc ca( + + ) a b c= =
(10)Lời giải
Biến đổi tương đương đẳng thức cho ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2
a b c ab bc ca a 2ab b 2bc 2ac c 3ab 3bc 3ac
a b c ab bc – ac 2a 2b 2c 2ab 2bc – 2ac a – b b – c c – a a b b c c a a b c
+ + = + + + + + + + = + +
+ + − − = + + − − =
+ + = − = − = − = = =
Bài Cho a, b, c, d số thực khác thỏa mãn a b c d+ = + a2+b2 = +c2 d2
Chứng minh rằng: a2018+b2018 =c2018+d2018
• Định hướng tư Quan sát giả thiết toán đẳng thức cần chứng minh ta dự đoán a c; b d= = hoặc a d; b c= = Như ta chứng minh a c= hoặc a d= ,
điều đồng nghĩa với (a c a d− )( − )=0.
Lời giải
Từ a b c d+ = + ta (a b+ ) (2 = +c d)2 a2+b2 +2ab c= 2+d2+2cd
Kết hợp với a2+b2 = +c2 d2 ta ab cd=
Cũng từ a b c d+ = + ta b c d a= + − , thay vào ab cd= ta
( ) 2 ( )( )
a c d a+ − =cdac ad a+ − =cda −ac ad cd 0− + = a c a d− − =0
+ Nếu a c 0− = ta a c= , suy b d= Khi ta a2018+b2018=c2018+d2018
+ Nếu a d 0− = ta a d= , suy b c= Khi ta a2018+b2018 =c2018+d2018
Vậy tốn chứng minh hồn tất
Bài Cho a, b, c, d số thực khác thỏa mãn cácđiều kiện a b c d+ = +
3 3
a +b = +c d Chứng minh 2019 2019 2019 2019
a +b =c +d
Lời giải
Từ a3+b3= +c3 d3 ta (a b a+ )( 2−ab b+ 2)= +(c d c)( 2−cd d+ 2) Ta xét hai
trường hợp sau:
• Trường hợp Khi a b c d 0+ = + = ta suy a= −b c= −d
Khi dễ thấy a2019+b2019 =c2019+d2019 =0
• Trường hợp Khi a b c d 0+ = + Khi ta a2−ab b+ 2=c2−cd d+ 2
(11)Kết hợp với a2−ab b+ 2=c2−cd d+ 2ta ab cd=
Cũng từ a b c d+ = + ta b c d a= + − , thay vào ab cd= ta
( ) 2 ( )( )
a c d a+ − =cdac ad a+ − =cda −ac ad cd 0− + = a c a d− − =0
+ Nếu a c 0− = ta a c= , suy b d= Khi ta 2019 2019 2019 2019
a +b =c +d
+ Nếu a d 0− = ta a d= , suy b c= Khi ta a2019+b2019 =c2019+d2019
Vậy tốn chứng minh hồn tất
Bài 10.Cho a, b, c số thực thỏa mãn (a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2 =6abc Chứng
minh rằng: 3 ( )
a +b +c =3abc a b c 1+ + +
• Định hướng tư Quan sát toán ta thấy giả thiết đẳng thức cần chứng minh phức tạp Trong giả thiết đẳng thức cần chứng minh có hẳng đẳng
thức đáng nhớ Để ý rằng( ) (2 ) (2 )2 ( 2 )
a b− + b c− + −c a =2 a +b +c −ab bc ca− − Như vậy ta cần biến đổi đẳng thức cần chứng minh làm xuất đại lượng
Lời giải
Biến đổi biểu thức kết hợp với (a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2 =6abc ta
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2
3 3 2 2 2 2
a b c 3abc a b 3a b 3ab c 3a b 3ab 3abc
a b c 3ab a b c a b c a b c ab bc ca
1
a b c a b a c c a a b c 6abc 3abc a b c
2
+ + − = + + + + − − −
= + + − + + = + + + + − − −
= + + − + − + − = + + = + +
Như ta 3 ( )
a +b +c −3abc=3abc a b c+ + hay
( ) 3
a +b +c =3abc a b c 1+ + +
Bài 11 Cho a, b hai số thực thỏa mãn hệ thức a3−3a2+5a 17 0− =
b −3b +5b 11 0+ = Chứng minh a b 2+ =
• Định hướng tư Giả thiết toán cho hai biểu thức bậc hai biến a b Quan sát hai biểu thức ta thấy có hạng tử hẳng đẳng thức bậc Như để chứng minh a b 2+ = ta cần chứng minh a3 =(2 b− )3 Từ ta có lời giải như sau
(12)+ Lời giải Từ b3−3b2+5b 11 0+ = ta
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
2 2
b 3b 5b 11 b 6b 12b b 4b b 17 b b b 17 b b b 17
2 b b b 17 b b b 17
− + + = − + − + − + + − + =
− + − + − + = − − + − − − + =
− − − − + − − = − − − + − − =
Từ kết hợp với a3−3a2+5a 17 0− = ta suy
( )2 ( )2 ( )
a −3a +5a 17− = b− −3 b 2− +5 b− −17 0=
Do ta có a b= − hay a b 2+ =
+ Lời giải 2. Xét a b= − thay vào vế trái a3−3a2+5a 17 0− = , ta có
( ) ( ) ( )
( )
3
2 3
a 3a 5a 17 b b b 17
8 12b 6b b 12 12b 3b 10 5b 17
b 3b 5b 11 b 3b 5b 11
− + − = − − − + − −
= − + − − + − + − −
= − + − − = − − + + =
Điều dẫn đến a b= − thỏa mãn a3−3a2+5a 17 0− = Từ suy a b 2+ =
• Lời giải Ta có a3−3a2+5a 17 a− = 3−3a2+3a 2a 16− + − =(a 1− )3+2 a 1( − −) 14
Đặt x a 1= − , kết hợp với giả thiết ta x3+2x 14 0− =
Ta có b3−3b2+5b 11 b+ = 3−3b2+3b 2b 12− + + =(b 1− )3+2 b 1( − +) 14
Đặt y b 1= − , kết hợp với giả thiết ta y3+2y 14 0+ = Kết hợp hai kết ta
( ) ( )( )
3 3 2
x +2x 14 y− + +2y 14 0+ = x +y +2 x y+ = 0 x y x+ −xy y+ +2 =0
Dễ thấy
2 2 2 2 y 3y y 3y
x xy y x xy x
4 4
− + + = − + + + = + + +
(13)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3
3 2
2
a 3a 5a 17 b 3b 5b 11
a b 3ab a b a b 6ab a b
a b a b a b a b 3ab a b a b a b a b a b a b 3ab a b a b a b a b a b 3ab
− + − + − + + =
+ − + − + + + + − =
+ − + − + − + − + − + + − =
+ + − − + + − − + − + + − =
+ − + − + − + =
Để ý (a b) (2 a b) 3ab 1(a b)2 1(a 1)2 1(b 1)2
2 2
+ − + − + = − + − + − +
Do từ đẳng thức ta a b 0+ − = hay a b 2+ =
Bài 12.Với a, b, c số thực thỏa mãn:
( )3 ( ) (3 ) (3 )3
3a 3b 3c+ + =24+ 3a b c+ − + 3b c a+ − + 3c a b+ −
Chứng minh (a 2b b 2c c 2a+ )( + )( + )=1
• Định hướng tư Giả thiết toán cho ta hẳng đẳng thức bậc ba nên ta hồn tồn khai triển giả thiết biến đổi hệ thức cần chứng minh Tuy nhiên để ý ta nhận thấy đổi biến 3a b c x; 3b c a y; 3c a b z+ − = + − = + − = rồi khai triển hẳng đẳng thức phép khai triển bớt phức tạp
Lời giải
Trước hết ta chứng minh x3+y3+z3 =(x y z+ + )3−3 x y y z z x( + )( + )( + )
Thật vậy, khai triển hẳng đăng thức bậc ba ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
3 3
2
3 3
3 3 3
x y z x y x y z x y z z x y 3xy x y x y z x y z z x y z x y xy xz yz z
x y z x y y z z x
+ + = + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + + + +
Do ta x3+y3+z3 =(x y z+ + )3−3 x y y z z x( + )( + )( + )
(14)( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3 3
3 3 3 3
3
3a 3b 3c 24 3a b c 3b c a 3c a b x y z 24 x y z
x y z 24 x y z x y y z z x
24 x y y z z x 24 2a 4b 2b 4c 2c 4a 24 24 a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a
+ + = + + − + + − + + −
+ + = + + +
+ + = + + + − + + +
− + + + = − + + + =
− + + + = + + + =
Vậy ta có điều cần chứng minh
Bài 13 Các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời đẳng thức sau:
i (a b b c c a+ )( + )( + )=abc ii (a3+b3)(b3+c3)(c3+a3)=a b c3 3
Chứng minh abc 0=
• Định hướng tư Biển đổi giả thiếtthứ hai toán ta thu được
( 2)( 2)( 2) 3
abc a −ab b+ b −bc c+ c −ca a+ =a b c
Do ta thu abc 0= hoặc (a2 −ab b+ 2)(b2−bc c+ 2)(c2 −ca a+ 2)=a b c2 2 Nếu
abc 0= thì xem tốn chứng minh Nếu abc 0 thì đẳng thức thứ hai phải xẩy Chú ý đẳng thức thứ hai xẩy ta có a b c= = Kết hợp với giả thiết của tốn ta a b c 0= = = , điều mâu thuẫn với abc 0 Do đẳng thức thứ hai xẩy ra, tức ta có điều cần chứng minh.
Lời giải
Từ hệ thức (a3+b3)(b3+c3)(c3+a3)=a b c3 3 ta
(a b b c c a a+ )( + )( + )( 2−ab b+ 2)(b2−bc c+ 2)(c2−ca a+ 2)=a b c3 3
Kết hợp với hệ thức (a b b c c a+ )( + )( + )=abc ta
( )( )( )
( )( )( )
2 2 2 3
2 2 2 2 2
abc a ab b b bc c c ca a a b c
abc
a ab b b bc c c ca a a b c
− + − + − + =
=
− + − + − + =
Nếu abc 0 ta (a2−ab b+ 2)(b2−bc c+ 2)(c2−ca a+ 2)=a b c2 2
(15)Do ta (a2−ab b+ 2)(b2−bc c+ 2)(c2−ca a+ 2)a b c2 2 Kết hợp với hệ thức ta a b c= = , thay vào hệ thức thứ hai ta 3
8a =a = a abc 0= ,
Điều mâu thuẫn với abc 0
Vậy abc 0=
Bài 14.Cho x, y, z thỏa mãn x2+2y2+z2−2xy 2y 4z 0− − + = Tính giá trị biểu
thức:
( )2018 ( )2019 ( )2020
A= x 1− + y 1− + z 1−
• Định hướng tư duy Quan sát giả thiết ta thấy có bóng dáng đẳngthức đáng nhớ Do ta sử sử dụng hẳng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi giả thiết tốn Ngồi để ý tổng bình phương bình phương nên ta biến đổi giả thiết tốn tổng các bình phương Lại để ý đến biểu thức cần tính giá trị A ta dự đốn x 1; y 1; z 1− − − nhận giá trị −1; 0;1
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 2
x 2y z 2xy 2y 4z
x 2xy y y 2y z 4z
x y y z x 1; y 1; z
+ + − − − + =
− + + − + + − + =
− + − + − = = = =
Do ta A= −(1 1)2018+ −(1 1)2019+(2 1− )2020 =1
Bài 15 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0+ + = xyz 0 Tính giá trị biểu thức
2
2
2 2 2 2 2
y
x z
P
y z x z x y x y z
= + +
+ − + − + −
• Định hướng tư Quan sát giả thiết biểu thức P ta thấy cần biến đổi biểu giả thiết
để làm xuất mẫu thức Để ý từ giả thiết ta có x y+ = −z nên (x y+ )2 =z2 , ta x2+y2 −z2 = −2xy Như cần áp dụng tương tự quy đồng ta ta thu
được
3 3
x y z
P
xyz
+ +
(16)Lời giải
Để tính y2 +z2−x2 ta để ý đến giả thiết x y z 0+ + = + = −y z x Khi thực bình phương hai vế ta y2+z2+2yz x= y2+z2−x2 = −2yz
Từ ta có biến đổi
2 2
2 2 2 2
x x x
2yz y +z −x = y +z −y −z −2yz =−
Hồn tồn tương tự ta có
2 2 2
y y
2zx z +x −y = − ;
2 2 2
z z
2xy x +y −z = −
Chú ý xyz 0 nên cộng theo vế ta
( )( )
2
2 2
2 2 2 2 2 3 3 3
2
3 2
3
y y
x z x z
P
2yz 2xz 2xy
y z x z x y x y z
x y z x y z x y z 3xyz
1 1
3 3
2 xyz xyz x
x y z x y z
yz
xyz
xy yz zx
3
= + + = + +
− − −
+ − + − + −
+ + + + + + −
= − = − − + = − +
+ + + + − − −
= − +
= −
Vậy P
2 = −
Bài 16 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c 6+ + = a2+b2+c2=12 Tính giá trị
biểu thức:
( )2019 ( )2020 ( )2021
A= a 3− + b 3− + −c
• Định hướng tư duy Do vai trò biến a, b, c toán nên ta dự đốn a b c 2= = = Ngồi để ý tổng bình phương bình phương đó nên ta biến đổi giả thiết toán tổng bình phương Như ta cần biến đổi giả thiết dạng (a 2− ) (2+ b 2− ) (2+ −c 2)2 =0
Lời giải
Từ a b c 6+ + = ta (a b c+ + )3 =36
Như ta (a b c+ + )2 =3 a( 2+b2+c2)
Như ta a b c= = Kết hợp với a b c 6+ + = suy a b c 2= = = , thay vào
biểu thức A ta
( )2019 ( )2020 ( )2021 ( )2019 ( )2020 ( )2021
(17)Bài 17
a) Cho a b c 0+ + = a2+b2+c2=14 Tính A a= 4+b4+c4
b) Cho x y z 0+ + = x2 +y2+z2 =a2 Tính B x= 4+y4+z4 theo a
• Định hướng tư Các tập dạng ứng dụng khác hẳng đẳng thức đáng nhớ Để tính A ta cần bình hai vế 2
a +b +c =14 Ngoài ta có mối liên hệ (a b c+ + )2 =14 ab bc ca+ ( + + ) (ab bc ca+ + )2 =a b2 2+b c2 2+c a2 2
Từ ta tính biểu thức A hồn tồn tương tự với biểu thức B.
Lời giải
a) Ta có 142 =(a2+b2 +c2)2 a4+b4 +c4 =196 a b− ( 2+b c2 2+c a2 2)
Lại có a b c 0+ + = nên (a b c+ + )2 =0 hay
2 2
a b c
ab bc ac
2 + +
+ + = − = −
Do ta được(ab bc ac+ + )2 =49 nên 2 2 2 ( )
a b +b c +a c +2abc a b c+ + =49
Nên a b2 2+b c2 2+a c2 =49 Vậy A a= 4+b4+c4=196 2.49 98− =
b) Ta có x= −(y z+ ) nên ta có x2 =(y z+ )2 hay ta x2−y2−z2 =2yz,
suy (x2−y2−z2)2 =4y z2 Do suy x4+y4+z4=2x y2 2+2y z2 +2x z2 Suy 2 x( 4+y4+z4) (= x2+y2+z2)2 =a4 hay
4
a B
2 =
Bài 18 Cho số thực a, b, c cho a b c 3;a+ + = +b2+c2 =29 abc 11= Tính
giá trị biểu thức P a= 5+b5+c5
Lời giải
Ta có ab bc ca (a b c)2 (a2 b2 c2) 1(9 29) 10
2
+ + = + + − + + = − = −
Do ta có a b2 2+b c2 2+c a2 =(ab bc ca+ + )2−2abc a b c( + + = −) ( )10 2−2.11.3 34=
Lại có a3+b3+ −c3 3abc=(a b c a+ + )( +b2+ −c2 ab bc ca− − )=3 29 10( + )=117
Do ta a3+b3+c3=117 33 150+ = Từ dẫn đến
( )( )
( )( ) ( )
2 2 3 5 3 3 3 5 2 2 2
a b c a b c a b c a b a c b a b c c a c b
a b c a b b c c a a b c abc a b c
+ + + + = + + + + + + + +
(18)Hay ta 5 ( )
150.29 a= +b +c +34.3 11 10− −
Do 5
a +b +c =4138
Bài 19 Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn a b c 0+ + = ( )( )
a =2 a c a b 1+ + + −
Tính giá trị biểu thức A a= 2+b2+c2
Lời giải
Do a b c 0+ + = nên ta có b c+ = −a hay ( )2
b c+ =a
Cũng từ a b c 0+ + = ta a b+ = −c a c+ = −b
Kết hợp với ( )( )
a =2 a c a b 1+ + + − ta
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2
b c b c b c 2bc c b bc
b c 2b 2c b 2b c 2c
b b
b c
c c
+ = − − − + + = − + − −
+ − − + = − + + − + =
− = =
− + − =
− = =
Mà ta có a b c 0+ + = nên suy a 0= Do A a= 2+b2+c2 =2
Bài 20 Xác định hệ số a b để đa thức P x( )=x4−2x3+3x2+ax b+ bình
phương đa thức
• Định hướng tư duy Ta thấy đa thức P x( ) có bậc nên viết thành bình phương một đa thức đa thức phải có bậc hai Chú ý đến hệ số hạng tử bậc bốn ta suy đa thực bậc hai phải có hệ số cao Như đa thức bậc hai phải có dạng
2
x +mx n+ Đến ta có hai hướng xử lý toán.
+ Hướng Viết P x( )=(x2+mx n+ )2 rồi khai triển hai vế Sau đồng hệ số hai vế
để tìm hệ số.
+ Hướng Biến đổi đa thức P x( )=(x2+mx n+ )2+A x( ) sau xác định hệ số để đa
thức A x( ) là đa thức
Lời giải
(19)Hay ta P x( )=(x2+mx n+ )2 =x4+2mx3+(m2+2n x) 2+2mnx n+ 2
Từ ta x4 −2x3+3x2+ax b x+ = +2mx3+(m2+2n x) 2+2mnx n+
Đồng hệ số hai vế ta
2
2
2m m m
2n
m 2n n
a 2n
a 2mn a
b
b n
b n
= − = − = −
+ = = =
= = − = −
= = =
Vậy đa thức cho P x( )=x4−2x3+3x2 −2x 1+ • Lời giải Biến đổi đa thức cho sau
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 4 3 2
2
P x x 2x 3x ax b x 2x 3x 2x a x b
x x x x x x x x a x b
x x a x b
= − + + + = − + − + + + + −
= − + − − + + − + + + + − = − + + + + −
Để P x( ) bình phương đa thức khác ta cần có (a x+ ) (+ b 1− =) với x Do ta có a b 0+ = − = hay a= −2; b 1= thỏa mãn yêu cầu toán
Bài 21 Cho đa thức ( )
f x =x +ax b+ với a, b số nguyên
Chứng minh tồn số nguyên k để f k( ) (=f 2019 f 2020) ( )
• Định hướng tư Trước hết ta cần tính giá trị f 2019 f 2020( ) ( ) Tiếp theo ta cần biến đổi f 2019 f 2020( ) ( ) về dạng k2+ka b+
Dễ thấy f 2019 f 2020( ) ( )=(20192+2019a b 2020+ )( 2+2020a b+ ) ý
rằng 2020 2019 1= + ta biến đổi
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
2
f 2019 f 2020 2019 2019a b 2020 2020a b 2019 2019a b 2019 a 2019 2019a b 2019 b
= + + + +
= + + + + + + + +
Như cần đặt k 2019= 2+2019a b 2019+ + thì toán chứng minh.
Lời giải
Ta có f 2019( )=20192+2019a b+ f 2020( )=20202+2020a b+
(20)( ) 2
f 2020 =2020 +2020a b 2019+ = +2019a b 2.2019 a 1+ + + +
Do ta
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
2
2 2
f 2019 f 2020 2019 2019a b 2020 2020a b 2019 2019a b 2019 2019a b 2.2019 a
2019 2019a b 2.2019 2019 2019a b a 2019 2019a b 2019 2019a b 2019 2019a b 2019 2019a b 2019 2019 a 2019 2019a
= + + + +
= + + + + + + +
= + + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + +
( )
( 2 ) (2 2 ) ( 2 )
b 2019 b 2019 2019a b 2019 a 2019 2019a b 2019 b f 2019 2019a b 2019
+ +
= + + + + + + + + = + + +
Suy f 2019 f 2020( ) ( )=f 2019( 2+2019a b 2019+ + )
Như chọn số nguyên k 2019= 2+2019a b 2019+ + thì ta ( ) ( ) ( )
f k =f 2019 f 2020
• Nhận xét
+Để ý ( )
k=2019 +2019a b 2019 f 2019+ + = +2019 Do ta được:
( )
( ) ( ) ( )
f f 2019 +2019 =f 2019 f 2019 1+
+ Bài toán tổng quát Cho đa thức ( )
f x =x +ax b+ với a, b số nguyên Chứng
minh rằng: f f x( ( )+x)=f x f x 1( ) ( + )
Bài 22 Cho hai số thực phân biệt a, b thỏa mãn a3+b3 =a b ab 32 2( − ) Tính giá trị biểu thức: T a b ab= + −
Lời giải
Giả thiết toán viết lại thành
( ) ( )3 ( ) 3 2 3
a +b =a b ab 3− a +b + −ab =3ab −ab
Đặt c= −ab, ta có a3+b3+c3=3abc Biến đổi đẳng thức giả thiết ta
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2
3 3
2 2 2
2 2
a b 3a b 3ab c 3abc 3a b 3ab
a b c 3ab a b c
a b c a b a b c c 3ab a b c
a b c a b c ab bc ca
1
a b c a b b c c a
2
+ + + + − − − =
+ + − + + =
+ + + − + + − + + =
+ + + + − − − =
+ + − + − + − =
(21)Do a, b hai số phân biệt nên (a b− ) (2+ b c− ) (2 + −c a)2 0
Do ta suy a b c 0+ + = + = − =a b c ab Suy T a b ab 0= + − =
Bài 23 Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn a3+b3+c3=3abc
abc 0 Tính giá trị biểu thức
2 2 2 2 2 2
ab bc ca
P
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
Lời giải
Ta có a3 +b3+c3 =3abc(a b c a+ + )( 2+b2+ −c2 ab bc ca− − )=0
Ta ln có a2+b2+ c2 ab bc ca+ + Tuy nhiên a, b,c đôi khác nên không xảy đẳng thức
Do suy
a b c
a b c b c a
c a b
= − −
+ + = = − −
= − −
Từ ta
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2
ab bc ca
P
a b a b b c b c c a c a
ab bc ca a b c
0
2ab 2bc 2ca
= + +
+ − − − + − − − + − − − + +
= + + = − =
− − −
Vậy P 0=
Bài 24 Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn 2ab bc 2ca 0+ + = Tính giá trị biểu thức:
2 2
bc ca ab A
8a b c = + +
Lời giải
Do a, b, c số thực khác nên từ 2ab bc 2ca 0+ + = ta 1 2a+ + =b c
Đặt x ; y 1; z
2a b c
= = = , ta thu x y z 0+ + = Ta viết biểu thức A lại
thành
2 3 2
2 2 2
y x y z
bc ca ab bc 2ca 2ab x z
A
2 yz zx xy 2xyz
8a b c 4a b c
+ +
= + + = + + = + + =
(22)( )3 3 3 3 3 ( ) 3 3 3
x y+ = − z x y+ = − z x +y +z +3xy x y+ = 0 x +y +z =3xyz
Do suy A 3xyz
2xyz = =
Bài 25.Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời hệ thức
x y z 6+ + = (x 1− ) (3+ y 2− ) (3+ z 3− )3 =0
Tính giá trị biểu thức sau: T=(x 1− )2n 1+ +(y 2− )2n 1+ +(z 3− )2n 1+ với n số tự nhiên
Lời giải
Đặt a x 1; b y 2; c z 3= − = − = − Giả thiết toán viết lại thành
a b c 0+ + = a3+b3+c3=0 Khi ta cần tính T a= 2n 1+ +b2n 1+ +c2n 1+
Từ a b c 0+ + = ta suy a3+b3+c3=3abc Mà ta có a3+b3+c3=0 nên abc 0= hay a 0= b 0= c 0= Do vai trò a, b, c nên ta xét trường hợp a 0= , trường hợp khác hoàn toàn tương tự
Khi a 0= ta suy b c 0+ = hay ta b= −c
Thay vào biểu thức T ta T=b2n 1+ + −( )b 2n 1+ =0
Vậy với x, y, z thỏa mãn yêu cầu toán ta T 0=
Bài 26 Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng:
( ) 2 2
a +b +c +d +e a b c d e+ + +
• Định hướng tư Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự bất đẳng thức trên, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng các bình phương Để tích ab, ac, ad, ae vào bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, vai trò b, c, d, e nên ta nghĩ đến việc biến đổi
sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
a b c d e a b c d e
a kb a kc a kd a ke
+ + + + + + +
− + − + − + −
Trong trường hợp ta chọn k 2= , tức ta phải nhân hai vế với 4.
Lời giải
(23)( ) 2 2
a +b +c +d +e −a b c d e+ + +
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
2 2 2 2 2 2
4 a b c d e ab ac ad ae
a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ae 4e
a 2b a 2c a 2d a 2e
0 + + + + − + + + = − + + − + + − + + − + = − + − + − + − =
Suy 2 2 ( )
a +b +c +d +e a b c d e+ + +
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy
a 2b 2c 2d 2e= = = =
Bài 27 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a3+b3= −a b Chứng minh rẳng:
2
a +b +ab 1
• Định hướng tư Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức
2
a +b +ab Trong giả thiết lại xuất biểu thức a b− Vậy mối liên hệ hai biểu thức nào? Dễ thấy đẳng thức (a b a− )( 2+b2 +ab)=a3−b3
Do cách tự nhiên ta nhân hai vế giả thiết với biểu thức a2+b2+ab để làm xuất a3−b3 a2+b2+ab, ta
3 2
3
a b a ab b
a b − + + =
+ Tới cần
chứng minh 3 3 a b a b −
+ xong
Lời giải
Biến đổi giả thiết ta
( )( ) ( )( )
( )( )
3 3 2 2
3 3 2 3 2
3
a b a b a b a ab b a b a ab b
a b
a b a ab b a b a ab b
a b
+ = − + + + = − + +
−
+ + + = − + + =
+
Ta cần chứng minh
3
3 3 3 3
a b
1 a b a b 2b b
a b −
− + +
Do b 0 hiển nhiên Nên bất đẳng thức chứng minh
Bài 28 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:
( ) 4
(24)• Định hướng tư Bất đẳng thức bất đẳng thức có vế trái lũy thừa bậc chẵn Để ý ta thấy abc a b c( + + )=ab.bc bc.ca ca.ab+ + , tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng bình phương.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 2 4 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c a bc b ac c ab 2a 2b 2c 2a bc 2b ac 2c ab a b 2a b b c 2b c c a 2a c 2a bc 2b ac 2c ab
a b b c c a ab bc bc ac ab ac
+ + − − − + + − − −
− + + − + + − + − − −
− + − + − + − + − + −
Suy a4+b4+c4 abc a b c( + + )
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c= =
Bài 29.Chứng minh với số thực a, b ta có:
( )( ) 2
ab a b 6− + +12a −24a 3b+ +18b 36 0+
• Định hướng tư Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái có xuất
các đại lượng a a ; b b 6( − ) ( + ) và ý thêm ta nhận thấy a a 2( − + =) (a 1− )2
( ) ( )2
b b 6+ + =9 b 3+ Đến ta thấy có hai ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên.
+ Hướng Biến đổi tương đương làm xuất bình phương (a , b 3− ) (2 + )2 + Hướng Đặt biến phụ x a a ; y= ( − ) =b b 6( + ) và sử dụng điều kiện biến phụ để chứng minh
Lời giải
Cách 1.Gọi P vế trái bất đẳng thức cho, ta có
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
P ab a b 12a 24a 3b 18b 36 a a b b 12 b b 12
b b 12 a a b 3 a
= − + + − + + +
= − + + + + +
= + + − + = + + − +
Vậy bất đẳng thức chứng minh
Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
(25)Đặt ( )
( ) (( )) 2
x a a x a
y b b y 9 b 3 0
= − + = −
= + + = +
Khi bất đẳng thức viết lại thành
( ) ( ) ( )( )
xy 12 x 1+ + +3 y 9+ − 3 x y 12+ + 0
Bất đẳng thức cuối ln x 0; y 0+ +
Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 30. Cho a, b số thực dương, tìm số k lớn thỏa mãn bất đẳng thức
( ) 2 2
k 1 2k
a b a b a b
+
+ +
+ +
• Định hướng tư Vì vai trị a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy
tại a=b, biến đổi bất đẳng thức ta cần làm xuất nhân tử (a b− )2 Khi bất đẳng thức trở thành (a b− )2(a2+4ab b+ 2)(a2+b2)−ka b2 20 Để tìm k lớn
ta cho a=b, ta 12a4−ka4 0 k 12 Đến ta cần chứng minh
k 12= bất đẳng thức
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ()( ) ) ( ()( ) )
( ) ( )
( ) ( ( )( ) ) ( ) ( )( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
k 1 2k
a b a b a b
k 2k 4
0
a b a b a a b b a b
k a b b a b 3a a b 3a b
0
a b a b a a b b a b
a b a 4ab b k a b
0
a b a b a b a b
a b a 4ab b a b ka b
+ + +
+ +
− + − + −
+ + + +
− − − + − +
+ +
+ + + +
− + + −
−
+ + +
− + + + −
Vì (a b− )2 0 nên bất đẳng thức
( 2)( 2) 2
(26)Cho a b= bất đẳng thức trở thành 12a4−ka4 0 k 12 Ta chứng
minh k 12= số lớn thỏa mãn bất đẳng thức cho Thật vậy, ta xét trường hợp sau
+ Với k 12 ta (a2 +4ab b+ 2)(a2+b2)−ka b2 0
+ Với k 12= bất đẳng thức (a2 +4ab b+ 2)(a2+b2)−ka b2 0 trở thành
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
a 4ab b a b 12a b
a b 4a b 4ab a b 2ab a b 4ab a b
+ + + −
+ − + + − − + −
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Vậy số k lớn 12
Bài 31.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
A 10x= +y +4z +6x 4y 4xz 2024− − +
• Định hướng tư Quan sát biểu thức A ta thấy biểu thức có dạng tương tự biểu thức cho tốn tìm giá trị biểu thức có điều kiện Do ta sử dụng hẳng đẳng thức để phân tích thành bình phương Chú ý bình phương khơng âm nên ta suy giá trị nhỏ A.
Lời giải
Biến đổi biểu thức A cho ta
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
A 10x y 4z 6x 4y 4xz 2024 10x y 4z 6x 4y 4xz 2019
9x 6x y 4y 4z 4xz x 2019
3x y 2z x 2019
= + + + − − + = + + + − − + +
= + + + − + + − + +
= + + − + − +
Để ý (3x 1+ )2 0; y 2( − )2 0; 2z x( − )2 0 nên ta suy A 2019
Dấu xẩy khivà
3x
1
y x ; y 2; z
3
2z x
+ =
−
− = = − = =
− =
Vậy giá trị nhỏ A 2019 đạt x 1; y 2; z
3
− = − = =
Bài 32 Cho hai số x,ythỏa mãn điều kiện (x2−y2)2+4x y2 2+x2 −2y2 =0 Tìm giá
trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x= 2+y2
(27)Biến đổi giả thiết toán ta
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 4 2 2 2
4 2 2 2 2 2
2 2
x y 4x y x 2y x y 2x y 4x y x 2y
x 2x y y x 2y x y x y 3x
x y 3x
− + + − = + − + + − =
+ + + − = + − + + = − +
+ − = − +
Để ý x2 0 nên ta 1 3x− 21 nên (x2+y2 −1)2 1
Do ta − 1 x2+y2− 1 1 hay 0 x +y2 2 nên A 2
Ta có A 0 nên giá trị nhỏ A 0, đạt x 02 2 x y
x y
=
= =
+ =
Ta có A 2 nên giá trị lớn A 2,đạt x 02 2 x 02
x y y
= =
+ = =
Bài 33.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
( )( ) 2
B xy x y 6= − + +12x −24x 3y+ +18y 2045+ Lời giải
Để ý ta có x2−2x 1+ =(x 1− )2 0 nên suy x2−2x 2+ với số thực x Ta lại có y2+6y 9+ =(y 3+ )2 0 nên suy y2+6y 12 3+ với số thực y Biến
đổi biểu thức B ta
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
2 2 2 2 2
2
B xy x y 12x 24x 3y 18y 2049
x 2x y 6y 12 x 2x y 6y 36 2013 x 2x y 6y 12 y 6y 12 2013
x 2x y 6y 12 2009
= − + + − + + +
= − + + − + + + +
= − + + + + + +
= − + + + +
Kết hợp với kết ta B 2.3 2013 2019 + =
Dấu xẩy x 1; y= = −3
Vậy giá trịnhỏ biểu thức B 2019, đạt x 1; y= = −3
Bài 34.Cho x, y, z số nguyên dương phân biệt Chứng minh rằng:
( ) (5 ) (5 )5
(28)• Định hướng tư Để chứng minh A chia hết cho B ta cần biến đổi biêu thức A về dạng kB Chú ý toán cho nhị thức bậc nên ta sử dụng nhị thức Newton để khải triển Lại thấy z x− = − − + −(x y y z) nên để giảm bớt phức tập ta có
thể đổi biến a x y; b y z = − = −
Lời giải
Đặt a x y; b y z = − = − ta z x− = − +(a b)
Bài toán quy chứng minh (a b+ )5−a5−b chia hết cho 5ab a b( + ) Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
+ − − = + + + = + + +
= + + + = + − + + +
= + + +
5 5 5 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 3 2 2
2
a b a b 5a b 10a b 10a b 5ab 5ab a 2a b 2ab b
5ab a b 2a b 2ab 5ab a b a ab b 2ab a b 5ab a b a ab b
Dễ thấy 5ab a b a( + )( 2+ab b+ 2) 5ab a b ( + )
Do (a b+ )5−a5−b 5 chia hết cho 5ab a b( + )
Vậy ta (x y− ) (5+ y z− ) (5+ z x − )5 chia hết cho x y y z z x( − )( − )( − )
Bài 35. Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương
• Định hướng tư Để chứng minh dãy số dãy số phương ta cần chứng minh số tổng quát dãy số phương Muốn ta phân tích số thành bình phương số tự nhiên khác Chú ý đến biến đổi n
n c/s
999 10= −1 Ta chuyển số tổng
quát dạng lũy thừa 10 sử dụng hẳng đẳng thức để phân tích bình phương.
Lời giải
Xét số hạng tổng quát dãy số
n c/s n 1c/s8
A 444 888
−
(29)( ) ( )
n n
n c /s n c /s n c /s n c /s n c /s n c /s
n n n n
n c /s n c /s
A 444 888 444 4.10 888 88 4.111 1.10 8.111 1
1
4.999 9.10 8.999 9 10 10 10
9
1
−
= = + + = + +
= + + = − + − +
= ( ) ( )
2 n
2n n n 2.10
4.10 4.10 2.10
9
+
+ + = + =
Dễ thấy 2.10n +1 nên ta có
n
2.10
+
là số tự nhiên Do ta A số phương Vậy tốn chứng minh
Bài 36. Cho S 1.2.3 2.3.4 n n n 2= + + + ( + )( + ) với n số tự nhiên khác Chứng minh 4S + số phương
• Định hướng tư Trước hết ta tính S n n n n 3( )( )( )
+ + +
= Như để
+
4S là số phương ta cần phân tích n n n n 3( + )( + )( + )+1 vể dạng bình phương tổng
Lời giải
Từ S 1.2.3 2.3.4 n n n 2= + + + ( + )( + ) ta có
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
4S 1.2.3.4 2.3.4 3.4.5 n n n n n 1.2.3.4 2.3.4.5 n n n n n n n n n n n n
= + − + − + + + + + − −
= + − + + + + − − + +
= + + +
Do ta
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
+ = + + + + = + + + +
= + + + + = + +
2
2
2 2
4S n n n n n 3n n 3n
n 3n n 3n n 3n
Vậy 4S + số phương
Bài 37 Cho số nguyên a, b thỏa mãn a2 +b2+ =1 ab a b( + + ) Chứng minh a b hai số phương liên tiếp
Lời giải
Ta có a2 +b2+ =1 ab a b( + + )a2 +b2+ −1 2ab 2a 2b 4a+ − = (a b 1− + )2 =4a
(30)Khi ta (x2 − +b 1)2 =4x2 x2− + =b 2x =b (x − )2
Vậy a b hai số phương liên tiếp
Bài 38.Cho p, q, r, s số nguyên tố lớn Chứng minh p2−q2 + −r2 s chia
hết cho 24
Lời giải
Trước hết ta chứng minh với p số nguyên tố lớn p2−1 chia hết cho 24.
Thật vậy, ta có 2− =( − )( + )
p p p Do p số nguyên tố lớn nên p − +
p hai số chẵn liên tiếp Suy ta 2− =( − )( + )
p p p chia hết cho Mặt khác ta lại có (p p p 1− ) ( + ) chia hết cho 3, mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Do 2− =( − )( + )
p p p chia hết cho Để ý ( )3; =1 nên ta p2− =1 (p p 1− )( + )chia hết cho 24
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta q2−1; r2 −1; s2−1 chia hết cho 24
Ta có p2−q2+ −r2 s2 =(p2− −1) (q2− +1) (r2 − −1) (s2 −1 )
Do ta p2−q2 + −r2 s 2 chia hết cho 24.
Bài 39.Tìm tất cặp số nguyên tố ( )p; q cho − =
p 2q
Lời giải
Từ p2 −2q2 =1 ta p2 =2q2+1 Do ta suy p số nguyên tố lẻ.
Từ ta đặt p 2k = + với k số nguyên dương
Khi ta (2k 1+ )2 =2q2+ 1 4k2+4k 2q+ = + 1 2k k 1( + =) q 2
Do q số chẵn nên q số chẵn Mà q số nguyên tố nên q = Thay vào p2−2q2 =1 ta suy p =
Vậy cặp số nguyên tố ( ) ( )p; q = 3; thỏa mãm yêu cầu toán
Bài 40. Tìm tất số tự nhiên có bốn chữ số biết số lập phương tổng chữ số
(31)Gọi số tự nhiên cần tìm abcd với a, b,c,d N a 9; b,c,d Theo ta có abcd=(a b c d + + + )3
Ta có nhận xét.Một số tự nhiên tổng chữ số chia cho có số dư.
Đặt m a b c d m N= + + + ( *), abcd m có số dư chia cho Từ ta abcd m − hay ta abcd m 9k k N − = ( *)
Mà ta có abcd=(a b c d + + + )3 nên ta m3−m=9k(m m m 1− ) ( + =) 9k
Do (m m m 9− ) ( + ) Ta biết ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho mà tích chúng chia hết ba số có số chia hết cho
Ta có 1000 abcd 9999 1000 m 999910 m 21
Do ta m 20;11 m 22 − + Ta xét trường hợp sau:
• Trường hợp Nếu m 9, m 18= Do ta abcd 18= 3=5832
Thử lại ta thấy 5832=(5 + + + )3
• Trường hợp Nếu m 9+ , m 18+ = nên m 17=
Do ta abcd 17= =4813 Thử lại ta thấy 4913=(4 + + + )3 đúng.
• Trường hợp Nếu m 9− , m 18− = nên m 19=
Do ta abcd 19= 3=6859 Thử lại ta thấy 6859=(6 + + + )3 không Do trường hợp loại
Vậy số thỏa mãn yêu cầu toán 5832 4913
Bài 41. Tìm số phương có bốn chữ số khác cho viết số theo thứ tự ngược lại ta số có bốn chữ số số phương chia hết cho số ban đầu
Lời giải
Gọi số cần tìm abcd x= với a, b, c, d chữ số x số tự nhiên Số
(32)Theo ta có y2 =kx 2 với k số tự nhiên lớn 1.
Vì a, d chữ số tận số phương nên a,d1; 4; 5; 6; 9 ( )*
Mặt khác k dcba=y 2 có bốn chữ số nên a = hoặc a Ta xét =
trường hợp sau
• Trường hợp Với a 1= , ta dcb1 k.1bcd= Từ suy d k số lẻ kết hợp với (*) ta suy d = k =
Do ta có 9cb1 9.1bc9 nên = c 89b 8= + =b 0; c =
Do số cần tìm abcd 1089 33= = 2 dcba 9801 99 ; 9801 9.1089 = = =
• Trường hợp Với a 4= , ta dcb4 k.4bcd= Nhận thấy không tồn chữ số tận d thỏa mãn (*) đẳng thức dcb4 k.4bcd= Vậy trường hợp khơng có số thỏa mãn
Kết luận số cần tìm 1089
Bài 42. Chia 18 vật có khối lượng 2016 ; 2015 ; 2014 ; .; 19992 2 2(gam) thành ba
nhóm có khối lượng nhau(khơng chia nhỏ vật đó)
Lời giải
Ta xó nhận xét
( )
+ + = + + = +
2
n n 2n 10n 25 X 25
( + ) (2+ + )2 = 2+ + = + n n 2n 10n 17 X 17
( + ) (2+ + )2 = 2+ + = + n n 2n 10n 13 X 13
Lần thứ chia vật có khối lượng 1999 ,2000 ,2001 ,2002 ,2003 ,2004 thành ba 2 2 2
phần sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ = + + = + + = +
+ = + + + = + + = +
+ = + + + = + + = +
2
2 2
2
2 2
2
2 2
1999 2004 1999 1999 2.1999 10.1999 25 A 25 2000 2003 1999 1999 2.1999 10.1999 A 17 2001 2002 1999 1999 2.1999 10.1999 13 A 13
Lần thứ hai chia vật có khối lượng 2005 ,2006 ,2007 ,2008 ,2009 ,2010 thành ba 2 2 2
(33)( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ = + + = + + = +
+ = + + + = + + = +
+ = + + + = + + = +
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2005 2010 2005 2005 2.2005 10.2005 25 B 25 2006 2009 2005 2005 2.2005 10.2005 17 B 17 2007 2008 2005 2005 2.2005 10.2005 13 B 13
Lần thứ ba, chia vật có khối lượng 2011 ,2012 ,2013 ,2014,2015,2016 thành ba 2 2
phần sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ = + + = + + = +
+ = + + + = + + = +
+ = + + + = + + = +
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2011 2016 2011 2011 2.2011 10.2011 25 C 25 2012 2015 2011 2011 2.2011 10.2011 17 C 17 2013 2014 2011 2011 2.2011 10.2011 13 C 13
Nhận thấy
+ + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + A 25 B 17 C 13 A 17 B 13 C 25 A 13 B 25 C 17 A B C 55
Do ta chia theo ba nhóm gồm
+ Nhóm 1: A 25 B 17 C 13 1999+ + + + + = 2+20042+20062+20092+20132+20142 + Nhóm 2: A 17 B 13 C 25 2000+ + + + + = 2+20032+20072+20082+20112+20162
+ Nhóm 3: A 13 B 25 C 17 2001+ + + + + = 2+20022+20052+20102+20122+20152
Khi khối lượng nhóm A B C 55 gam + + +
Bài 43. Cho p số nguyên tố lớn n số tự nhiên khác Chứng minh p n không thể tổng hai lập phương hai số nguyên dương khác
nhau
Lời giải
Giả sửn số nguyên dương nhỏ cho p n tổng hai lập phương hai số nguyên dương khác Tức ta có pn =a3+b với a, b Z + Khi ta pn =(a b a+ )( 2−ab b + 2)
Do p số nguyên tố nên từ pn =(a b a+ )( 2−ab b + 2) ta
− + =
− + =
k
2 n k
a b p
a ab b p
Dễ thấy a b nên + k 0 Lại thấy a2−ab b+ 2ab 1 , ta n k −
hay n k Lại có =( + )2−( − + 2)= 2k− n k−
3ab a b a ab b p p , ta 3ab chia
(34)có a b p + = k nên ta a b chia hết cho p.Đặt = = 1
a a p; b b p với
* 1
a ; b N , từ n = 3+
p a b ta n 3− = 3+ 1
p a b , điều trái với giải sử n số tự nhiên bé thỏa mãn u cầu tốn
Vậy khơng thỏa mãn số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu toán
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Tính giá trị biểu thức sau
a) A 3= 24−(274+1 9)( 6−1)
b) B 85= 2+752+652+552−452−352−252−152
Bài 2.So sánh số sau
a) A 2018.2020 2019.2021= + B 2019= 2+20202−2
b) A 10 9= ( 2+1 9)( 4+1 9)( 8+1 9)( 16+1 9)( 32+1) B 9= 64−1 c) A x y
x y − =
+
2 2
x y B
x xy y − =
+ + với x y 0 d) ( )
3 2
x y A
x y + =
−
2
x xy y
B
x y
− +
=
− với x y 0
Bài 3. Cho a b c d 0+ + + = Chứng minh a3+b3+c3+d3 =3 ab cd c d( − )( + ) Bài 4. Cho a b c 4m+ + = Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a b c b c a c a b
a b c 4m
2 2
+ − + + − + + − = + + −
Bài 5. Cho x, y số thực thỏa mãn x4+x y2 2+y4 =4 x8+x y4 4+y8 =8
Tính giá trị biểu thức A x= 12+x y2 2+y12
Bài Cho x, y số thực tỏa mãn x y 1+ = Tính giá trị biểu thức sau:
a) A 3x= 2−2x 3y+ 2−2y 6xy 100+ −
b) 3 2 ( ) ( )
B x= +y −2x −2y +3xy x y+ −4xy x y+ + +10
c) C x= 3+y3+3xy x( 2+y2)+6x y x y2 2( + )
(35)( ) (2 ) (2 )2
A= 2a 2b c+ − + 2b 2c a+ − + 2c 2a b+ −
Bài Đơn giản biểu thức sau: A=(x y z – x y – z – y z – x – z x – y+ + ) (3 + ) (3 + ) (3 + )3
Bài Cho x y a; xy+ = =b a( 4b) Tính giá trị biểu thức sau :
a) x2+y2 b) x3+y3 c) x4 +y4 d) x5+y5
Bài 10 Chứng minh đẳng thức :
a) a3+b3+c – 3abc3 =(a b c a+ + )( 2+b2+c – ab – bc – ca2 )
b) (a b c – a – b – c+ + )3 3 =3 a b b c c a( + )( + )( + )
Bài 11 Cho x y z 0+ + = Chứng minh 2 x( 5+y5+z5)=5xyz x( 2+y2+z2)
Bài 12 Cho x y z 0+ + = xy yz zx 0+ + = Tính giá trị biểu thức:
( )2018 2019 ( )2020
B= x – +y + z 1+
Bài 13 Cho a – b2 2=4c2 Chứng minh (5a – 3b 8c 5a – 3b – 8c+ )( ) (= 3a – 5b)2
Bài 14 Cho biểu thức sau
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2
2 2
A x – y y – z z – x
B x y – 2z y z – 2x z x – 2y
= + +
= + + + + +
Chứng minh A=B x y z= =
Bài 15 Cho x y z 0+ + = Chứng minh rằng:
( 3 3)( 2 2) ( 5 5)
5 x +y +z x +y +z =6 x +y +z
Bài 16 Chứng minh đằng thức sau :
a) (a b c+ + )2+a2+b2+c2 =(a b+ ) (2+ b c+ ) (2+ +c a)2
b)x4+y4 +(x y+ )4 =2 x( 2+xy y+ 2)2
Bài 17 Cho số a, b, c, d thỏa mãn a2+b2+ +(a b)2 =c2 +d2+ +(c d)2
(36)Bài 18. Cho x y 3+ = x2 +y2 =5 Tính giá trị biểu thức sau
a) 3
x +y b) 4
x +y c) 5
x +y d) 6
x +y e) 2019 2019
x +y
Bài 19 Cho a b c 0+ + = Tính giá trị biểu thức sau :
2 2 2 2 2
1 1
A
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
Bài 20 Cho số a, b, c khác thỏa mãn điều kiện a3+b3+c3=3abc Tính giá trị
của biểu thức A a b c
b c a
= + + +
Bài 21 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c 9+ + = a2+b2+c2 =53 Tính giá
trị A ab bc ca= + +
Bài 22 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c 7+ + = ab bc ca 9+ + = Tính
2 2
a +b +c
Bài 23 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn:
( ) (2 ) (2 )2 2
a +b +c = a b− + b c− + −c a ab bc ca 9+ + = Tính a2+b2+c2 (a b c+ + )2
Bài 24 Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn a b c 1+ + = 1
a+ + =b c Tính
giá trị biểu thức A a= 2+b2+c2
Bài 25 Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn a b c abc+ + = 1 a+ + =b c Tính giá trị 12 12 12
a +b +c
Bài 26 Cho số thực a, b, c x, y, z khác thỏa mãn hệ thức x y z a + + =b c a b c
0
x+ + =y z Tính giá trị
2 2 2
y
x z
A
a b c
= + +
Bài 27 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c 0+ + = ab bc ca 0+ + = Tính giá
(37)Bài 28 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a 2b 3c 0+ + = 2ab 6bc 3ca 0+ + = Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2018 2019 2020 2018 2019 2020
a 1 b 3b
A
a b c c
− − − + −
=
+ + − +
Bài 29 Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn 1
a+ + =b c Tính giá trị biểu
thức A bc2 ca2 ab2
a b c
= + +
Bài 30 Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn (a b c+ + )2 =a2+b2+c2 Chứng
minh 13 13 13
abc a +b +c =
Bài 31 Cho số thực a b thỏa mãn a – 3ab3 =10 b – 3a b 53 = Tính 2
M a= +b
Bài 32 Cho x2+y2 =2 biểu thức M=(x2−1) (2+ y2−1)2+2x y2 2 Chứng minh
rằng giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị biến số x y
Bài 33. Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức x3+2x2+3x y+ = 3
Bài 34. Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng:
( )( )2 ( )( )2 ( )( )2
a b c b c a− + − +c a b a b c− + − =b a c a c b− + −
Bài 35. Biết 4a2+b2=5ab với 2a b 0 Tính giá trị biểu thức C 2ab 2 4a b =
− Bài 36. Cho 10a2 =10b2+c2 Chứng minh rằng:
( )( ) ( )2
7a – 3b – 2c 7a – 3b 2c+ = 3a – 7b
Bài 37 Cho ba số a, b,cthỏa mãn a b c 0+ + = Chứng minh ab bc ca 0+ +
Bài 38. Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn (a b− ) (3+ b c− ) (3+ −c a)3 =210 Tính giá trị biểu thức A= − + − + −a b b c c a
Bài 39 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2+b2+c2= +a 2b 3c 14+ = Tính giá trị
của biểu thức T abc=
Bài 40. Cho a b c 0+ + = Chứng minh a4 b4 c4 1(a2 b2 c2)2
2
(38)Bài 41 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn b c; a b c + a2+b2 =(a b c+ − )2
Chứng minh ( )
( ) 2
2
a a c a c
b c
b b c
+ − −
= −
+ −
Bài 42 Cho số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn điều kiện
3 3
x =3x 1; y− =3y 1; z− =3z 1−
Chứng minh x2+y2+z2 =6
Bài 43. Cho x, y hai số thực thỏa mãn ax by c; bx cy a; cx ay b+ = + = + = Chứng minh a3+b3+c3 =3abc
Bài 44.Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn 2
a +3a b= +3b 2=
a) Chứng minh a b+ = −3
b) Chứng minh a3+b3 = −45
Bài 45 Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn ( 2 )( )2
a +b −2 a b+ + −(1 ab) = −4ab Chứng minh ab+ số hữu tỉ
Bài 46 Tìm tích
4 4 4 4
1 17
M
3 11 19
+ + + +
=
+ + + +
Bài 47 Cho a b 0
a)Biết 3a2+3b2 =10ab Tính P a b a b
− =
+ b) 2a2+2b2=5ab Tính Q a b
a b + =
−
Bài 48.Chứng minh số sau số phương:
2n c/s n c/s
A 111 444= + +4
2n c/s n c/s n c/s
B 111 111 666
+
= + + +
2n c/s n c/s n c/s
C 444 222 888
+
= + + +
Bài 49. Cho a, m, n số nguyên dương với a 1 Chứng minh (am−1)
(39)Bài 50 Chữ số hàng đơn vị hệ thập phân số M a= 2+ab b+ 2(với a, b
các số tự nhiên khác 0)
a) Chứng minh M chia hết cho 20 b) Tìm chữ số hàng chục M
Bài 51.Cho hai số nguyên dươngx, y với x 1 thỏa mãn điều kiện 2x2− =1 y 15
Chứng minh x chia hết cho 15
Bài 52.Cho số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a2+b2+c2 =(a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a )2
Chứng minh số ab; bc; ca ab bc ca + + số phương
Bài 53.Chứng minh với số nguyên tố p p3+p 1−
2 khơng phải tích
của hai số tự nhiên liên tiếp
Bài 54.Tìm số tự nhiên abcd thỏa mãnđiều kiện abcd 72+ số phương
và abd=(b d 2a+ − )2
Bài 55 Tìm chữ số a, b, c, d thỏa mãn aa abb bcc c 1+ =(dd d 1+ )3, biết số lần xuất a, b, c, d biểu thức
Bài 56.Cho a, b, c số thựcbất kì Chứng minh rằng:
2 2
1019a +18b +1007c 30ab +6b c 2008ca+
Bài 57. Cho a, b số thực dương, tìm số k lớn thỏa mãn bất đẳng thức
( ) 3 3
k 1 16 4k
a b a b a b
+
+ +
+ +
Bài 58.Cho a, b, c số thực dươngtùy ý Chứng minh rằng:
( 3 3) ( )2
2 2
2 a b c a b c
33
abc a b c
+ + + +
+
+ +
Bài 59.Cho a, b, c số thực tùy ý Chứng minh rằng:
( ) (4 ) (4 ) (4 )4 ( 4 4 4)
a b c+ + + b c a+ − + + −c a b + a b c+ − 28 a +b +c Bài 60 Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng:
( ) 2
2 2
a) a b c ab bc ca
b) a b c a b c
+ + + +
(40)Bài 61 Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng:
2 2
a b c a b c
3
+ + + +
Bài 62 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x= 2+4y2+z2−2x 8y 6z 15+ − + Ta có A x= −2x 4y+ + 2+8y z+ + 2−6z 1= x + 2y + z +1 1+ + ( − ) (2 + ) (2 − )2
Do giá trị nhỏ A 1, đạt x 1; y= = −1; z 3=
Bài 63 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a) 2
A x= +4y +z +4x 4y 8z 22+ + + b) B x= 2+4y2+9z2−2x 12y 12z 1994− − +
Bài 64. Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức x2−2xy y+ +3x 2y 2x− − + = − x2−3x 2+
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài Tính giá trị biểu thức sau
a) A 3= 24−(274+1 9)( 6− =1) 324−(312+1 3)( 12− =1) 324−(324− =1) b)
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
B 85 75 65 55 45 35 25 15 85 45 75 35 65 25 55 15
85 45 85 45 75 35 75 35 65 25 65 25 55 15 55 15 130.40 110.40 90.40 70.40 40 130 110 90 70 40.400 16000
= + + + − − − −
= − + − + − + −
= + − + + − + + − + + −
= + + + = + + + = =
Bài 2.So sánh số sau
a) A 2018.2020 2019.2021= + B 2019= 2+20202−2
Sử dụng đẳng thức đáng nhớ dạng a2−b2 =(a b a b− )( + ) ta có
( )( ) ( )( ) 2
B 2019 2020 2019 2019 2020 2020
2018.2020 2019.2021 A
= − + − = − + + − +
= + =
b) A 10 9= ( 2+1 9)( 4+1 9)( 8+1 9)( 16+1 9)( 32+1) B 9= 64−1 Ta có A=(9 9+ )( 2+1 9)( 4+1 9)( 8+1 9)( 16+1 9)( 32+1)
(41)( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
2 16 32 2 16 32 4 16 32
8 16 32
16 16 32 32 32 64
8A 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9
9 9 9 B
= − + + + + + +
= − + + + + +
= − + + + +
= − + + +
= − + + = − + = − =
Do ta 8A B= c) A x y
x y − =
+
2 2
x y B
x xy y − =
+ + với x y 0 Do x y 0 nên ta có
( )
2 2 2 2
x y x y x y
A
x y x y x 2xy y
− − −
= = =
+ + + +
Do x y 0 nên x2−y2 0 x2+2xy y+ 2x2+xy y+ 2
Do ta AB
d) ( )
3 2 x y A x y + =
−
2
x xy y
B
x y
− +
=
− với x y 0 Do x y 0 nên ta có x y 0− x2 −y2 0 Ta có ( ) ( ( )( )( ) )
3 2 2 2 2
x y x 2xy y
x y x 2xy y
A
x y x y x y
x y + + + + + + = = = − + − −
Do x y 0 nên suy x2+2xy y+ 2x2−xy y+ 20 nên suy AB
Bài 3.Từ a b c d 0+ + + = ta a b+ = − +(c d) hay ta
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 2 2 3 3 2 2
3 3
3 3 3 3
a b c d a b 3a b 3ab c d 3c d 3cd
a b c d 3ab a b 3cd c d
a b c d 3ab c d 3cd c d a b c d ab cd c d
+ = − + + + + = − + + +
+ + + = − + − +
+ + + = + − + + + + = − +
Vậy đẳng thức chứng minh
Bài 4. Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca
b c a a b c 2ab 2bc 2ca
c a b a b c 2ab 2bc 2ca
a b c a b c 2ab 2bc 2ca
+ − = + + + − −
+ − = + + − + −
+ − = + + − − +
(42)( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2
a b c b c a c a b
3 a b c ab bc ca
2 2
1
a b c 4m a b c a b c a b c ab bc ca
4
+ − + + − + + − = + + − + +
+ + + = + + + + + = + + − + +
Vậy ta
2 2
2 2
a b c b c a c a b
a b c 4m
2 2
+ − + − + −
+ + = + + −
Bài 5. Ta có (x4+x y2 2+y4)(x4−x y2 2+y4) (= x4+y4) ( )2− x y2 2 =x8+x y4 4+y8 =8
Do suy x4 −x y2 2+y4 =2 Kết hợp với x4+x y2 2+y4 =4 ta x4 +y4 =3 x y2 =1 Từ ta có
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
3
12 2 12 4 2 4 8 4 2
4 4 2
A x x y y x y x y x y x y x y x y
3 x y 3x y x y 3 3.1 18 19
= + + = + + = + + − +
= + − + = − + = + =
Bài Cho x, y số thực tỏa mãn x y 1+ = Tính giá trị biểu thức a) Ta có A 3x= 2−2x 3y+ 2−2y 6xy 100 x y+ − = ( + )2−2 x y( + )−100= −99
b) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
B x y 2x 2y 3xy x y 4xy x y 10 x y x y x y 10 12
= + − − + + − + + +
= + − + + + + =
c) Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 3 2 2
3 2 2
2 2
C x y 3xy x y 6x y x y
x y 3xy x y 3xy x y 2xy 6x y
1 3xy 3xy 6x y 6x y
= + + + + +
= + − + + + − +
= − + − + =
Bài 7. Ta có A=(2a 2b 2c 3c+ + − ) (2 + 2a 2b 2c 3a+ + − ) (2+ 2a 2b 2c 3b+ + − )2
Đặt x a b c= + + ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2
3 2 2 2 2 2 2
A 2x 3c 2x 3a 2x 3b
4x 12xc 9c 4x 12xa 9a 4x 12xb 9b
12x 12x a b c a b c a b c 9m
= − + − + −
= − + + − + + − +
= − + + + + + = + + =
Bài Đặt a x y z; b y z x; c z x y= + − = + − = + − Khi ta có a b c x y z+ + = + + Do
(43)Bài Cho x y a; xy+ = =b a( 4b) Tính giá trị biểu thức sau :
a) x2+y2 =(x y+ )2−2xy a= 2−2b
b) 3 ( )3 ( )
x +y = x y+ −3xy x y+ =a −3ab c) x4+y4 =(x2 +y2)2−2x y2 =a4−4a b 2b2 +
d) x5+y5 =(x3+y3)(x2 +y2)−x y x y2 2( + )=a5−5a b 5ab3 +
Bài 10
a) Biến đổi vế trái đẳng thức cần chứng minh ta
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 3 2 2
3 3 2
2 2 2 2 2
a b c – 3abc a b 3a b 3ab c 3a b 3ab 3abc
a b c 3ab a b c a b c a b a b c c 3ab a b c
a b c a b a b c c 3ab a b c a b c – ab – bc – ca
+ + = + + + + − − − = + + − + + = + + + − + + − + + = + + + − + + − = + + + +
b) Biến đổi vế trái đẳng thức cần chứng minh ta
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
3 3 3 3
2 2 2 2
2
a b c – a – b – c
a b c a a b c a b c a a b c b bc c b c 3a 3ab 3bc 3ca a b b c c a
+ + = + + − + + + + + + − + − + = + + + + = + + + Bài 11
+ Lời giải Từ x y z 0+ + = ta x y+ = −z Do sử dụng nhị thức Newton ta có biến đổi
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 5 3 2
5 5 2 2 5 2 2
5 5 2 5 2
x y z x 5x y 10x y 10x y 5xy y z x y z 5xy x y 10x y x y
x y z 5xy x y x y xy 10x y z x y z 5xyz x y xy 10x y z
x y z 5xyz x y xy
2 x y z 5xyz x y 2xy x + = − + + + + + = − + + + + + + = + + + + + − − = + + − + − − = + + − + + = + + − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2
5 5 2 5 2
y z 5xyz x y x y
2 x y z 5xyz x y z x y z 5xyz x y z
+ + − + + + =
+ + − + + =
(44)+ Lời giải Ta có hẳng đẳng thức quen thuộc
( )( )
( ) ( )
3 3 2 2 2 2 2
x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx
x y z x y z xy yz zx
+ + − = + + + + − − −
+ + = + + + + +
Từ x y z 0+ + = ta x3+y3+z3=3xyz ( )
2 2
x y z
xy yz zx
+ +
= − + + Ta có
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2 2
5 5 2 2 2 2 5 2
2 2
5 5 2 5 2
x y z x y z 3xyz x y z
x y z x y x y y z y z z x z x 3xyz x y z
x y z xyz xy yz zx 3xyz x y z
x y z
x y z xyz 3xyz x y z
2
2 x y z 5xyz x y z
+ + + + = + +
+ + + + + + + + = + +
+ + − + + = + +
+ +
+ + + = + +
+ + = + +
Bài 12 Từ x y z 0+ + = xy yz zx 0+ + = ta
( )2 2 2 2 ( ) 2 2 2
x y z+ + = 0 x +y +z +2 xy yz zx+ + = 0 x +y +z = = = =0 x y z
Do ta B=(0 – 1)2018+02019+ +(0 1)2020 =2
Bài 13 Biến đổi vế trái biểu thức kết hợp với giả thiết toán ta
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
5a – 3b 8c 5a – 3b – 8c 5a 3b 8c 5a 3b 16 2c
5a 3b 16 a b 25a 30ab 9b 16a 16b
9a 30ab 25b 3a – 5b
+ = − − = − −
= − − − = − + − +
= − + =
Vậy ta (5a – 3b 8c 5a – 3b – 8c+ )( ) (= 3a – 5b)2
Bài 14 Dễ thấy x y z= = A B 0= =
Như ta cần chứng minh x y z= = ta có Thật vậy, xét hiệu
( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2
B A− = x y – 2z+ + y z – 2x+ + z x – 2y+ − x – y − y – z − z – x Sử dụng hẳng đẳng thức đáng nhớ có dạng A2−B2 =(A B A B− )( + ) ta có
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
x y – 2z x – y 2x 2z 2y 2z x z y z
y z – 2x y – z 2y 2x 2z 2x y x z x
z x – 2y z – x 2z 2y 2x 2y z y x y
+ − = − − = − −
+ − = − − = − −
+ − = − − = − −
(45)Mặt khác ta lại có
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
x z y z y x z x z y x y
xy zx zy z yz zx xy x zx xy yz y
x y z xy yz zx x y y z z x
2
− − + − − + − −
= − − + + − − + + − − +
= + + − − − = − + − + −
Do B A− =2 x y( − ) (2 + y z− ) (2+ z x− )2 Mà ta có A=B nên B A 0− = Suy (x y− ) (2+ y z− ) (2+ z x− )2 =0 nên ta suy x y z= =
Vậy toán chứng minh
Bài 15 Do a b c 0+ + = nên ta dễ dàng chứng minh x3+y3+z3=3xyz
Do suy x( 3+y3+z3)(x2+y2+z2)=15xyz x( +y2+z2)
Cũng từ x y z 0+ + = ta x y+ = −z Do sử dụng nhị thức Newton ta có
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 5 2 2
5 5 2 2 5 2
5 5 2 5 2
x y z x 5x y 10x y 10x y 5xy y z x y z 5xy x y x y xy 10x y z
x y z 5xyz x y xy 10x y z x y z 5xyz x y 2xy x y z 5xyz x y z x y z 5xyz x y z
+ = − + + + + + = −
+ + + + + − − =
+ + − + − − =
+ + − + + =
+ + − + + =
+ + = + +
Như ta 6 x( 5+y5+z5)=15xyz x( +y2+z2)
Kết hợp hai kết ta đẳng thức chứng minh
Bài 16
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c ab bc ca a b b c c a a b c ab bc ca
+ + + + + = + + + + +
+ + + + + = + + + + +
(46)( )
( ) ( )
4
4 4 4 2 4 2 2 2
x y x y x y x 4x y 6x y 4xy y x y x y 2x y 2x y 2xy x xy y
+ + + = + + + + + +
= + + + + + = + +
Do ta x4+y4+(x y+ )4 =2 x( +xy y+ 2)2
Bài 17 Biến đổi giả thiết toán ta
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b a b c d c d a b a 2ab b c d c 2cd d
2 a b ab c d cd a b ab c d cd
+ + + = + + + + + + + = + + + +
+ + = + + + + = + +
Tương tự toán ta chứng minh
( )4 ( )2 4 2
a +b + +a b =2 a +ab b+ c4+d4+ +(c d)4 =2 c( 2+cd d+ 2)2
Do ta a4 +b4+ +(a b)4 =c4+ d4+ +(c d)4
Bài 18. Ta có x y 2+ = + x2+y2 = +12 22
Từ ta chứng minh xn+yn =1n +2n Do ta
a) x3+y3= +13 23=9
b) x4 +y4 = +14 24 =17
c) x5+y5 = +15 25=33
d) x6+y6 = +16 26=65
e) x2019+y2019 =12019+22019 = +1 22019
Bài 19 Do a b c 0+ + = nên ta có a b+ = −c suy a2+b2+2ab c=
Từ ta a2+b2− = −c2 2ab Nên 2 12 2 c 2ab 2abc a +b −c =− = −
Hoàn toàn tương tự ta
2 2 2 2 2
1 1 a b c
A
2abc
a b c b c a c a b
+ +
= + + = − =
+ − + − + −
Bài 20 Biến đổi giả thiết toán ta
( ) ( ) (2 ) (2 )2 3
a b c 3abc a b c a b b c c a
2
+ + = + + − + − + − =
(47)Do ta a b c 0+ + = a b c= =
+ Nếu a b c 0+ + = ta a b+ = −c; b c+ = −a; c a+ = −b Khi P= −1
+ Nếu a b c= = thi ta P 8=
Bài 21 Ta có a b c 9+ + = nên (a b c+ + )2 =81 hay 2 ( )
a +b +c +2 ab bc ca+ + =81 Mà ta có a2+b2+c2 =53 nên suy ab bc ca 14+ + = .
Bài 22 Ta có a b c 7+ + = nên (a b c+ + )2 =49 hay a2+b2+c2+2 ab bc ca( + + )=49 Mà ta có ab bc ca 9+ + = nên ta a2+b2+c2 =31.
Bài 23
Từ a2+b2+c2 =(a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2 ta a2+b2+c2 =2 ab bc ca( + + )
Mà ta có ab bc ca 9+ + = nên suy a2+b2+c2=19
Cũng từ 2 ( )
a +b +c =2 ab bc ca+ + ta (a b c+ + )2 =4 ab bc ca( + + )=36
Bài 24 Do 1
a+ + =b c nên ta
ab bc ca abc
+ + =
hay ab bc ca 0+ + =
Từ a b c 1+ + = ta 2 ( )
a +b +c +2 ab bc ca+ + =1 hay A a= 2+b2+c2=1.
Bài 25 Từ a b c abc+ + = ta 1 1 ab+bc+ca =
Từ 1
a+ + =b c ta 2
1 1 1
2
ab bc ca
a b c
+ + + + + =
Do suy 12 12 12 a +b +c =
Bài 26 Đặt m x; n yp z
a b c
= = = Khi ta có giả thiết m n p 1+ + = 1
m+ + =n p
Và biểu thức cần tính giá trị A m= +n2+p2
Từ 1
m+ + =n p ta mn np pm 0+ + =
Khi A m= 2+n2+p2 =(m n p+ + )2 =1
Bài 27 Từ a b c 0+ + = ab bc ca 0+ + = ta suy a b c 0= = =
(48)Đặt x a; y 2b; z 3c= = = Khi giả thiết trở thành x y z 0+ + = xy yz zx 0+ + =
Tương tự ta suy x y z 0= = = nên suy a b c 0= = = Do thay
vào biểu thức A viết ( ) ( )
2018 2019 2020 2018
1 1
A
1
− − + −
= =
Bài 29 Đặt x 1; y 1; z
a b c
= = = Khi giả thiết viết lại thành x y z 0+ + = Biểu thức A viết lại thành
3 3 2
x y z
bc ca ab A
xyz
a b c
+ +
= + + =
Từ x y z 0+ + = dễ dàng chứng minh x3+y3+z3 =3xyz
Do ta A 3=
Bài 30 Từ (a b c+ + )2 =a2+b2+c2 suy ab bc ca 0+ + = nên 1 a+ + =b c
Đặt x 1; y 1; z
a b c
= = = Khi giả thiết viết lại thành x y z 0+ + = Từ
x y z 0+ + = dễ dàng chứngminh x3+y3+z3=3xyz
Do ta 13 13 13
abc a +b +c =
Bài 31 Từ a – 3ab3 2=10 ta (a – 3ab3 2)2 =102 a6−6a b4 2+9a b2 =100
Từ b – 3a b 53 = ta (b – 3a b3 )2 =52 b6 −6a b2 +9a b4 =25
Từ để ý a2+b2 0 ta
( )
6 2 4
6 2 2 2
a 6a b 9a b b 6a b 9a b 125
a 3a b 3a b b 125 a b 125 a b
− + + − + =
+ + + = + = + =
Vậy ta a2+b2 =25
Bài 32 Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 4 2 2
4 2 2 2 2
M x y 2x y x 2x y 2y 2x y
x 2x y y x y x y x y 2 2.2 2
= − + − + = − + + − + +
= + + − + + = + − + + = − + =
(49)Bài 33. Ta có
2 3
y x 2x 3x 2 x
4
− = + + = + +
nên suy x y Lại có ( )
2 3 2 15
x y 4x 9x 2x
4 16
+ − = + + = + +
nên suy y x 2 +
Như ta có x y x 2 + Mà ta có x y số nguyên nên y x 1= + Thay y x 1= + vào đẳng thức ban đầu ta ( ) (x; y = −1; 0)
Vậy ( ) (x; y = −1; 0) thỏa mãn yêu cầu toán
Bài 34.Đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
( )( 2) ( )( 2) ( )( 2)
a b c b c a− + − +c a b a b c− + − −b a c a c b− + − =0
Đặt x a b c; y b c a; z a c b= + − = + − = + − nên ta a x z; b x y; c y z
2 2
+ +
+
= = =
Khi ta có
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c b c a c a b a b c b a c a c b
x y y z y z x y
x z x z
.y x x y x y z
2 2 2
y z z y
x z x z
.y x x y z
2 2
1 1 1
x z y z y x x y z x y z x y z
4 4 4
− + − + − + − − − + −
+ + + +
+ +
= − + − − + −
+ − + −
= + − −
= − + − − − = − − − =
Vậy đẳng thức chứng minh
Bài 35. Biến đổi giả thiết ta
( )( )
2 a b a b
4a b 5ab a b 4a b
4a b a 4b − = =
+ = − − =
− = =
Do 2a b 0 nên 4a b= loại Như a b=
2 2 2
ab a
C
3 4a b 4a a
= = =
− −
Bài 36. Ta có (7a – 3b – 2c 7a – 3b 2c)( + ) (= 7a – 3b – 4c)2 =49a2−42ab 9b – 4c+ 2 Vậy ta (7a – 3b – 2c 7a – 3b 2c)( + ) (= 3a – 7b)2
Bài 37 Ta có a2+b2 2ab;a2+c2 2ac; b2+c2 2ac
Suy 2a2+2b2+2c22ab 2ac 2bc+ + a2+b2+ c2 ab ac bc+ +
(50)2 2 2
a +b + +c 2ab 2ac 2bc 0+ + = − −a b − =c 2ab 2ac 2bc+ + Do ta 3ab 3ac 3bc 0+ + ab bc ca 0+ +
Vậy toán chứng minh
Bài 38.Đặt a b x; b c y; c a z− = − = − = nên suy x y z 0+ + = hay z= − +(x y) Ta có x3+y3+z3 =210x3+y3−(x y+ )3 =210 −3xy x y( + )=210xyz 70= Do x, y, z số nguyên có tổng thỏa mãn xyz 70= = −( ) ( )2 −5 nên
ta x, y, z − − 2; 5; 7 Do A= − + − + − =a b b c c a x + y + z =14
Bài 39. Ta có
2 2 2
a b c 14 a b c 14
a 2b 3c 14 2a 4b 6c 28
+ + = + + =
+ + = + + =
Suy ta
( ) (2 ) (2 )2 2
a +b +c – 2a – 4b – 6c= − 14 a – + b – + c – = 0 =a 1; b 2; c 3= = Vậy ta T abc 6= =
Bài 40.Từ a b c 0+ + = ta b c+ = −a(b c+ )2 =a2 b2 +2bc c+ =a2
Do suy
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 4 2 2 2
4 4 2
a b c 2bc a b c 4b c a b c 2a b 2b c 2c a
2 a b c a b c
− − = − − = + + = + +
+ + = + +
Vậyta a4 b4 c4 1(a2 b2 c2)2
+ + = + +
Bài 41 Ta có a2 =(a b c+ − )2−b2 =(a b c b a b c b+ − + )( + − − ) (= a 2b c a c+ − )( − )
Tương tựta có b2+(b c− ) (2 = 2a b c b c+ − )( − )
Do ( )
( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
2
2
2
a a c a 2b c a c a c 2a 2b 2c a c a c
b c 2a 2b 2c b c
b b c 2a b c b c b c
+ − + − − + − + − − −
= = =
−
+ − −
+ − + − − + −
Bài 42 Ta có x3 =3x 1; y− 3=3y 1; z− 3=3z 1− nên ta ( )
( ) ( )
3 2 2 3 2 2 3
x y x y x xy y 3
y z y z y yz z
z zx x
z x z x
− = − + + =
− = −
+ + =
− = − + + =
(51)Cộng theo vế đẳng thức ta
( 2 2 2) ( ) 3( 2 2 2) 1( )2
2 x y z xy yz zx x y z x y z
2
+ + + + + = + + + + + =
Để ý rẳng x y z 0+ + = ta x2+y2+z2 =6
Bài 43.Từ ax by c; bx cy a; cx ay b+ = + = + = ta
(a b c x+ + ) (+ a b c y a b c+ + ) = + + (a b c x y 1+ + )( + − =)
Từ ta a b c 0+ + = x y 1+ =
+ Với a b c 0+ + = ta thu
(a b c a+ + )( 2+b2+ −c2 ab bc ca− − )= 0 a3+b3+c3 =3abc
+ Với x y 1+ = ta y z= − Thay vào giả thiết toán ta a b c= =
Do ta có a3+b3+c3=3abc
Vậy toán chứng minh
Bài 44.
a) Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn a2+3a b= 2+3b 2= Khi ta ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
a −b +3 a b− = 0 a b a b− + +3 a b− = 0 a b a b 3− + + =0
Do a b khác nên từ đẳng thức ta a b 0+ + = hay a b+ = −3 b) Từ a b+ = −3 ta (a b+ )3 = −27 hay 3 ( )
a +b +3ab a b+ = −27
Từ kết hợp với a b+ = −3 ta a3+b3−9ab= −27
Do a2+3a b+ +3b 4= (a b+ )2−2ab a b+ ( + )= 4 ab= −2
Do vây ta a3+b3 = −45
Bài 45 Biến đổi giả thiết toán ta
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
4 2 2
2
a b a b (1 ab) 4ab a b 2(ab 1) (a b) ab a b 2(a b) (1 ab) (1 ab) a b ab
a b ab a b ab a b ab
+ − + + − = − + − + + + + =
+ − + + + + = + − + =
+ − + = + = + + = +
(52)Bài 46 Nhận xét n4+ =4 (n 1− )2 +1 (n 1+ )2+1 Do ta
( )
( ) ( ) (( ) () ( )) (( ) () ( ))
2 2 2
2 2 2 2
1 16 18 1 1
M
401 20 18 20
+ + + + +
= = =
+
+ + + + + +
Bài 47
a) Xét
2 2 2 2 2
2 2
a b a 2ab b 3a 3b 6ab 10ab 6ab P
a b a 2ab b 3a 3b 6ab 10ab 6ab
− − + + − −
= = = = =
+ + + + + +
Mà P P =
b) Tương tự ta xét E2= =9 E
Bài 48.Kết
2 n
10 A
3 + =
2 n
10 B
3 + =
2 n
2.10 C
3 +
=
Bài 49.
• Điều kiện cần Giả sử (am −1) (an−1 , ) Do a, m , n số nguyên dương với
a nên suy am− 1
Do từ (am−1) (an −1 ) ta suy (am− 1) (an −1 nên )
m n
Đặt m qn r = + với q,r N,0 r n
Do am − =1 aqn r+ − =1 a ar( qn− +1) (ar−1 )
Nhận thấy (am−1) (an−1 ) (aqn−1) (an −1 ) nên ta suy (ar −1) (an−1 ) Mà ta có r n nên a − r an−1 nên suy ar − = =1 r
Vậy ta m qn = hay m chia hết cho n
• Điều kiện đủ Giả sử m chi hết cho n Khi đặt m nq = với q số tự nhiên
Ta có − = − =( ) − =( − ) ( ) ( ) ( ) − + − + − + +
q q q q nq
m n n n n n
a a a a a a a
Từ suy (am−1) (an−1 )
Vậy toán chứng minh
Bài 50
(53)+ Cả a b số lẻ nên a 2 b 2 đều số lẻ, suy M số lẻ, trường hợp
không xẩy
+ Một hai số a b có số chẵn số lẻ, khơng tính tổng qt ta giả sử a số lẻ, b số chẵn Khi a số lẻ b số chẵn nên M số lẻ, trường hợp khơng xẩy
Do hai số a b số chẵn Khi M chia hết cho 4, từ suy M chia hết cho 20
b) Ta có (a2+ab b+ 2)(a b− )=a3−b 53 (a3−b3)(a3+b3)
Lại có a6−a2 =a a a a2( − )( + )( 2+1 5) , tương tự ta có b6−b 2
Do ta a2−b 52 , từ ta ab a b 5( − ) nên ta có
( − )( − ) ( 2− + 2)
ab a b a b ab a 2ab b Suy abM Từ suy ab.3ab 5ab
Ta có = 2+ + = ( + )+
M a ab b bM ab a b b mà ab a b 5( + ) nên
b b Suy a2 =M b a b 5− ( + ) a 52 a nên M 25
Lại có 25 hai số nguyên tố nên M 100 hay số hàng chục
M
Bài 51.Chú ý 15 3.5 = ( )3, =1, nên ta quy toán chứng minh x chia hết cho cho
• Chứng minh x chia hết cho
Đặt y5 =a với a số nguyên dương Khi ta có 2x2− =1 a hay
( )( )
= + − +
2
2x a a a
Gọi d=(a 1,a+ 2− +a 1), ta có + − +
a d
a a d
Từ ta 2− + −( + )( − )
a a a a d nên d, suy d = d =
+ Nếu d = từ 2x2 =(a a+ )( − +a ) ta + = − + =
2
a
a a x
+ =
− + =
2
a x
a a
(54)Do ta có + = = = − + =
2
a a
x
a a x , loại không thỏa mãn x 1
+ Nếu d 3= , từ 2x2 =(a a+ )( 2− +a ) ta 2x nên 2 x 92 x
• Chứng minh x chia hết cho
Đặt y3 =b, với b số nguyên dương
Khi ta có 2x2− =1 b hay 2x2 =(b b+ )( 4−b3+b2− +b )
Gọi d=(b 1, b+ 4−b3+b2− +b 1) Do ta +
− + − +
b d
b b b b d
Khi (b4−b3 +b2− + −b 1) (b b+ )( 3−2b2+3b d nên − ) d, suy d =
= d
+ Nếu d = từ 2x2 =(b b+ )( 4−b3+b2− +b ) ta
+ =
− + − + =
2
b
b b b b x
+ =
− + − + =
2
b x
b b b b
Dễ thấy b4−b3+b2− + = b 2 b4−b3+b2− − =b khơng có nghiệm ngun
dương
Do ta có + = − + − + = = =
2
b b
x
b b b b x , loại khơng thỏa mãn x 1
+ Nếu d 5= , từ 2x2 =(b b+ )( 4−b3+b2 − +b ) ta 2x 25 nên x
Vậy ta x 15 Bài toán chứng minh
Bài 52.
Từ giả thiết a2+b2 +c2 =(a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a )2
Suy a2+b2 +c2 =2 a( 2+b2+c2)−2 ab bc ca ( + + )
Hay ta a2+b2+c2 =2 ab bc ca( + + ) ( a b c+ + )2 =4 ab bc ca ( + + )
Do ab bc ca( + + ) số phường, mà số phương nên suy
+ +
ab bc ca số phương
(55)( )
+ + + − − = + − =
2 2
a b c 2ab 2bc 2ca 4ab a b c 4ab
Từ suy ab số phương
Hoàn toàn tương tự ta bc; ca số phương Vậy số ab; bc; ca ab bc ca + + số phương
Bài 53.Do p số nguyên tố nên p số chẵn p 2= , cịn p số lẻ p có dạng p 4k = + p 4k 3= + Khi ta xét trường hợp sau
• Trường hợp Nếu p suy = p3+p 1−
2 khơng ngun
• Trường hợp 2.Nếu p 4k 1= + , ta p3+p 1− =(4k 1+ )3+2k
2 số lẻ
nên p3+p 1−
2 tích hai số tự nhiên liên tiếp • Trường hợp 3.Nếu p 4k 3= + Giả sử p3+p 1−
2 tích hai số tự nhiên liên
tiếp
Khi ta có p3+p 1− =x x 1( + ) 2p 2p( 2+ =1) (2x 1+ )2 +1
2 với x số tự nhiên
Từ suy (2x 1+ )2+1 p vơ lí p 4k = +
Từ trường hợp trên, ta có điều phải chứng minh
Bài 54. Ta có a b,c,d 9 Từ suy b d 2a 16 + −
Mà ta lại có abd=(b d 2a nên suy + − )2 102 abd 16 2
Suy ta abd10 ;11 ;12 ;13 ;14 ;15 ;16 2 2 2 2
Hay ta abd100;121;144;169;196; 225; 256
Do abcd 72+ số phương nên đặt abcd 72 k+ = với k N *
Các số phương có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; nên suy
d 2; 3; 4; 7; 8;
Kết hợp với abd100;121;144;169;196; 225; 256 ta suy abd 144 =
(56)+ Với abd 144= , ta a 1; b d M= = = ta lại thấy 144(4 2.1 + − )2 nên abd 144 = không thỏa mãn yêu cầu tốn
+ Với abd 169= , ta a 1; b 6;d 9= = = Mà ta lại thấy 169=(6 2.1 + − )2 nên abd 169 = thỏa mãn yêu cầu toán
Từ ta 16c9 72 k+ = 2 nên k 2 là số lẻ, k số lẻ.
Mặt khác ta có 1609 72 16c9 72 1699 72+ + + nên suy 412k243 2
Từ suy k2=41 hay 2 16c9 72 41+ = 216c9 1609= =c 0
Vậy số cần tìm abcd 1609 =
Bài 55 Gọi số lần xuất chữ số a, b, c, d đẳng thức n Khi ta xét trường hợp sau
• Trường hợp 1: Nếu n 1= , đẳng thức trở thành abc 1+ =(d + )3 Vì 101(d 1+ )3 1000 nên ta suy d 9 Khi ta cho d nhận giá trị 4; 5; 6; 7; 8; ta số abc tương ứng bảng sau
d
+
abc 125 216 343 512 729 1000
abc 124 215 342 511 728 999
• Trường hợp 2: Nếu n =2, đẳng thức trở thành aabbcc 1+ =(dd + )3 Vì 100001(dd 1+ )3 1000000 nên ta suy d 9 Khi ta cho d nhận giá trị 5; 6; 7; 8; ta thấy có d = thỏa mãn Từ ta a b c = = =
• Trường hợp 3: Nếu n 3 , ta đặt = + = n
n
x 111 9x 10 Từ ta
( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ = + + + = + + +
+ + + + = + +
+ + − + = − + +
2n n 3 2 3 3 2 2
2 2
aa abb bcc c a.x.10 b.x.10 c.x d x 3d x 3dx
ax 9x bx 9x cx d x 3d x 3dx
81ax 18a 9b x d x 3d x 3d a b c
Từ suy 3d− + +(a b c x)
(57)Lập luận tương tự ta −( + )=
3d 18a 9b d3−81a =
Từ ta =
d 81 d Đến ta suy a b c = = =
Vậy số (a, b,c,d) thỏa mãn yêu cầu
(1, 2, 4, ; 2,1, 5, ; 3, 4, 2,6 ; 5,1,1,7 ; 7, 2,8,8) ( ) ( ) ( ) ( ) chữ số a, b, c, d xuất lần (9,9,9,9) với chữ số a, b, c, d xuất n nguyên dương lần
Bài 56.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2
1019a 18b 1007c 30ab 6b c 2008ca
15 a 2ab b b 2b c c 1004 c 2ca a 15 a b b c 1004 c a
+ + + +
− + + − + + − +
− + − + −
Vật bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b= 2=c
Bài 57.Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta
( ) 3 3
k 1 16 4k
a b a b a b
+
+ +
+ +
( ) ( ) ( )
( ) ( ( )) (( )) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) 3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 2
3 2
2 4 3 2 2 3 4 2 2 3 3
k 4k 8
0
a b a b a a b b a b
3k a b a b
a b 7b 4ab a 7a 4ab b
0
b a
a b a b a b
a b a 5a b 12a b 5ab b 3k a b
0
a b a ab b
a b a 5a b 12a b 5ab b a ab b 3ka b
− + − + −
+ + + +
− +
− + + + +
− −
+ + +
− + + + + −
−
− +
− + + + + − + −
Vì (a b− )2 0 nên bất đẳng thức
(a4+5a b 12a b3 + 2 +5ab3+b4)(a2−ab b+ 2)−3ka b3 30
Cho a=b bất đẳng thức trở thành 24a6−3ka6 0 k Ta chứng
minh k 8= số lớn thỏa mãn bất đẳng thức cho Thật vậy, ta xét trường hợp sau
+ Với k 8 (a4+5a b 12a b3 + 2 +5ab3+b4)(a2−ab b+ 2)−3ka b3 0
+ Với k 8= bất đẳng thức viết lại thành
(58)Ta có a4 +b4 2a b ; a2 2+b2 2ab nên
( )
4 2 4 2 2 2
a +5a b 12a b+ +5ab +b =a +b +5ab a +b +12a b 24a b Và a2−ab b+ 2ab
Do ta có (a4+5a b 12a b3 + 2+5ab3+b4)(a2−ab b+ 2)24a b3
Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy số k lớn
Bài 58.Bất đẳngthức cần chứng minh tương đương với
( ) ( )
2 3
2 2
2 a b c a b c
6 27
abc a b c
+ + + + − + − + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 a b c a b c
6 27
abc a b c
2 a b c a b c ab bc ca 18 a b c ab bc ca
abc a b c
a b c
2 a b c ab bc ca
abc a b c
a b b c c a a b c a b c 9abc
+ + + + − + − + + + + + + − − − + + − − − − + + + + + + − − − − + + − + − + − + + + + −
Do (a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2 0 nên ta cần chứng minh
( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
3 3 2 2 2
a b c a b c 9abc
a b c 3abc a b c b c a c a b 6abc
+ + + + −
+ + − + + + + + + −
Bất đẳng thức ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 3 a b c a b b c c a
a b c 3abc
2
+ + − + − + −
+ + − =
Và a b( 2+c2) (+b c2+a2) (+c a2+b2)−6abc a b c= ( − )2+b c a( − )2+c a b( − )20
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c= =
Bài 59.Dễ dàng chứng minh (x y− ) (4+ x y+ )4 =2 x( +6x y2 2+y4)
Áp dụng đẳng thức ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 2 4 4 2 4 4 4 2 2 4
a b c b c a b c 6a b c a
c a b a b c b c 6a b c a
b c b c b 6b c c
+ + + + − = + + + +
+ − + + − = − + − +
(59)Do ta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 4
2 4 2
4 4 2 2 2
a b c b c a c a b a b c
4 a b c 24b c 12a b c b c a b c 24 a b b c c a
+ + + + − + + − + + −
= + + + + + + −
= + + + + +
Như ta cần chứng minh
( ) ( ) ( )
4 4 2 2 2 4 2 2 2 4
4 a b c 24 a b b c c a 28 a b c
a b b c c a a b c
+ + + + + + +
+ + + +
Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c= =
Bài 60
a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
a 2ab b b 2bc c c 2ca a
a b c ab bc ca
2
a b b c c a
0 − + + − + + − + + + − + + = − + − + − =
Suy a2+b2+ c2 ab bc ca+ +
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c= =
b) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2 2 2
2 2
a b c a b c a 2a b 2b c 2c
a b c
+ + + − + + = − + + − + + − +
= − + − + −
Suy 2 ( )
a +b +c + 3 a b c+ +
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy
Bài 61 Xét hiệu hai vếcủa bất đẳng thức
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2 2
2 2
2 2
3 a b c a b c
a b c a b c
a
3
a b b c c a
9 + + − + + + + + + − = − + − + − = Suy 2 2
a b c a b c
3
+ + + +
(60)Bài 62
Ta có A x= −2x 4y+ + 2+8y z+ + 2−6z 1= x + 2y + z +1 1+ + ( − ) (2 + ) (2 − )2
Do giá trị nhỏ A 1, đạt x 1; y= = −1; z 3=
Bài 63
a) Ta có A x= 2+4x 4y+ + 2+4y z+ + +2 8z 16 1+ + = +(x 2) (2+ 2y 1+ ) (2+ +z 4)2+ 1 1
Giá trị nhỏ A 1, đạt x 2; y 1; z
= − = − = −
b) Tương tự ta có
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
B x 2x 4y 12y 9z 12z 1986 = x 2y 3z 1986 1986
= − + + − + + − + +
− + − + − +
Giá trị nhỏ B 1986, đạt x 1; y 3; z
2
= = =
Bài 64. Biến đổi đẳng thức cho ta
( ) ( )( )
2 2
2
x 2xy y 3x 2y 2x x 3x
x y x x x 2x
− + + − − + = − − +
− + + − + − − = −
Do (x y 1− + )2+ − +x (x x 2− )( − ) 0 nên suy 2x 0− 2 x 2( − ) 0 x
Với x2thì (x y 1− + )2 + − =x (x y 1− + )2+ −x 2; x x 2( − )( − ) =x2−3x 2+
Khi đẳng thức ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
x y x x x x y x 2 x 1 x
x y x 0 x 2
x y x
x y y
x
− + + − + − = − − + = − − + − = − − − + = − = =
− + + − =
− + = =
− =