Đáp án HSG Toán học lớp 9 Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2015-2016 - Học Toàn Tập

Theo nguyên lý Đi-Rich-Lê thì với 4 người bất kỳ luôn có hai người thuộc cùng một nhóm. Hai người này không quen nhau[r]

UBND HUYỆN YÊN LẠC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015- 2016

MƠN: TỐN

Bài Ý Nội dung Điểm

1 2đ

a,

1đ Ta có   

2

2015x xy yz zx x    x y x z  0,25 Tương tự 1y2 y z y x   ;1z2 z x z y   0,25 Vậy

 2  2  2  

2 4030

P x y z y z x z x y  xy yz zx  

0,25 Suy PM5, P không chia hết cho 25 Do P khơng

phải số phương

0,25 b,

1đ

Ta có

 2  2 

2015Q x 6x10 x 6x11 x 6x11 x 6x10

0,5

2 6 11 6 10 1

x x x x

      

2015

Q

  0.25

Vậy Q không phụ thuộc vào x 0,25

1,5đ

Từ giả thiết ta có a1  a2 an 2015

- Trong số ai phải có số lẻ, giả sử

n n

a a 

0,25

- Trong số a ii 1,2, ,n 1  hợp số

 

4; 1,2, ,

i

a i n

   

0,5 - Suy

  max

2010

2015 502,5 502

4

n n n n

         

0,5 - Với n=502 ta có

500 /

4 2015

c s

     

1 4

Vậy n lớn 502

0,25

3 2đ

a, 1đ

Hình 1: V- E +R= 5-5+2=2 0,25

Hình 2: V- E +R= 5-6+3=2 0,25

Hình 3: V- E +R= 6-7+3=2 0,25

Hình 4: V- E +R= 6-8+4=2 0,25

b,

1đ ĐKXĐ

1

x 

Đặt 8x  1 y , ta có 12 4 24

8

x x y x x y

x y x y

       

 

 

   

 

 

0,25

Từ ta có

  2 2

2 2

4 4 2

2 y x

x x y y x y

y x

  

         

  



Với y=2x-1, ta có

2

8 2

4 12

x

x x x

x x

  

     

  



0,25

Với y= -2x-3, ta có 8x   1 2x , giải phương trình ta thấy vơ nghiệm

Vậy nghiệm phương trình x=3

0,25

4 2,5đ

a, 1,5đ

G

N M

D H

C B

A

Gọi G giao điểm BN CM, tia AG cắt BC D Kẻ AH vng góc với BC

0,5

2 ;

BC GD AD GD

   0,5

Xét hai tam giác vng AHB AHC có

1 2

tan tan 3

BH HC BH HC BC BC GD

B C AH AH AH AH AD GD



       

0,5 b,

1đ

(d)

M C

O B

A D

Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng (d) D

Do OA=OB=OM suy tam giác BMA vuông M

0,25 Do ACD BMA g c g    0,25 Suy AD=AB, D cố định 0,25 Vậy đường thẳng d vng góc với AM C qua

điểm cố định

0,25

2,0đ a, 1đ

Xét 100 người chia làm nhóm A,B,C Mỗi nhóm A,B có 33 người, nhóm C có 34 người cho: Mỗi người

nhóm quen người nhóm khác

Theo ngun lý Đi-Rich-Lê với người ln có hai người thuộc nhóm Hai người khơng quen

0,25 Vậy lúc tồn người đôi quen

nhau

0,25 b,

1đ Ta chứng minh BĐT phụ sau  

2

1

a

a a  

 (*)

0,25

Thật BĐT (*)

2

9 1

0

4a 2a a

 

       

 

Tương tự ta có

 

3

1

b

b b  

 ;  

3

1

c

c c  



0,25

3

1

4 4

P a b c

       

Vậy GTNN P ¼ a=b=c=1/3