Các bài toán Bất đẳng thức - Cực trị trong đề thi vào chuyên Toán năm 2020 - 2021

Mặt khác, theo giả thiết thì dấu đẳng thức trong bất đẳng thức tren phải xảy ra.. Thử lại, ta thấy thỏa mãn..[r]

(1)

C Á C B À I T O Á N

B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C - C Ự C T R Ị

T R O N G Đ Ề T H I C H U Y Ê N T O Á N

N Ă M 2 - 2 1

(2)

https://thuvientoan.net/

Bài

Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn xy z Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

3

P xyyz zx x y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quãng Nam năm 2020 – 2021 Bài

Cho ba số thực x y z, , dương thỏa mãn xyyzzx2xyz1 Chứng minh rằng:

2 2

2

1 1

x y y z z x

xyz x y z 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Dương năm 2020 – 2021 Bài

Cho số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện a  b c Chứng minh rằng:

3 3 4

a    b c a b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021 Bài

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn 2 2 2

2021

a b  b c  c a 

Chứng minh rằng:

2 2

1 2012

2

a b c

bccaab

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Ninh Bình năm 2020 – 2021 Bài

Cho x y, hai số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:    

2

x y x y

A

x y xy

 

 



Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Định năm 2020 – 2021 Bài

Cho a b, số thực dương thỏa mãn điều kiện

(ab) 4ab12 Chứng minh rằng: 1 2020 2021

1a1b ab

(3)

https://thuvientoan.net/ Bài

Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn x z2 2y z2 2 1 z

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

2

2 2

1

z P

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021 Bài

Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn x  y z Chứng minh rằng:

     

2 2 2

3

x y y z z x x y y z z x

xy x y yz y z zx z x xy yz zx

 

              

 



    

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn TP Đà Nẵng năm 2020 – 2021 Bài

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a b b c c a

P

c ab a bc b ca

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021 Bài 10

a) Cho hai số nguyên dương m n thỏa mãn 11 m

n

  Chứng minh rằng:  

3 11

11 m

n mn



 

b) Với a b c, , số thực không âm thỏa mãn a  b c abc4, tìm giá trị lớn biểu thức:

Pab bc ca 

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn TP Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 11

a) Tìm tất số thực a b c, thỏa mãn đồng thời điều kiện a2b2c2 38,a b 8 b c 7

b) Cho ba số thực không âm điều kiện a b c, , thỏa mãn a2b2c2 2a bc ca   Chứng minh rằng: a b c  3 23 abc.

(4)

https://thuvientoan.net/ Bài 12

a) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn abbcca3 Chứng minh rằng:

2 2 2

8 1

3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc

 

      

b) Xét số thực x y z, , thay đổi thỏa mãn 2

x xyy  2

21

y yzz 

Tìm giá trị lớn biểu thức: Pxyyzzx

Trích đề thi thử vào lớp 10 chun Tốn trường Archimedes năm 2020 – 2021 Bài 13

Với số thực x y, thay đổi thỏa mãn 1  x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 2  

2

P x y  x y xy 

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Dương năm 2020 – 2021 Bài 14

Với a b c, , 0 không đồng thời Chứng minh rằng:

3 a b c

bc ca  ab 

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 15

Xét a b c, , số thực dương thỏa mãn a 1 b 1 c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2 2

P a abb  b bcc  c caa

Trích đề thi vào lớp 10 mơn Tốn chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021 Bài 16

Tìm tất số thực x y z, , với 0x y z, , 1 thỏa mãn:

3

1 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

       

(5)

Với a b c, , 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 2  2  2

1 1

a b c

P

b c c a a b

  

  

  

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 18

Cho số thực x y z, , 1 thỏa mãn 1

x  y z Chứng minh rằng:

1 1

x  y z x  y  z

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Thuận năm 2020 – 2021 Bài 19

a) Với a b, số thực dương thỏa mãn: 22a3b5 8a12b2a23b25ab10 Chứng minh rằng: 3a28b210ab21

b) Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

 

      

2 2

a a bc b b ca c c ab

b ab c c bc a a ca b

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 mơn Tốn trường THPT chun KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 20

Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

1 1

3 1 a b c

a b c abc bc ca ab

   

           

   

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 21

a) Cho hai số thực dương a b, Chứng minh rằng:   2

2

a b a b

ab

a b

   

 

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q b a 20

(6)

Cho a b c, , số thực dương Chứng minh rằng:

     

2 2

1

5 5

a b c

a  b c  b  c a  c  a b 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Giang năm 2020 – 2021 Bài 23

Với số thực dương a b thay đổi, tìm giá trị lớn biểu thức:

  2 2 2 2

2

S a b

a ab b b ab a

 

 



    

      

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2020 – 2021 Bài 25

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn 1 2020

xy yz zx

2 2 2

2 2

y x z y x z

P

xy yz zx

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Gia Lai năm 2020 – 2021 Bài 26

Cho a b, hai số thực dương thỏa mãn ab ab1 Chứng minh rằng:

2

a b

a b

 



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Điện Biên năm 2020 – 2021 Bài 27

Cho a b c, , số thực lớn

 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1 3

a b c

b c c a a b

  

  

     

(7)

Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

   3

2 2

ab bc ca a b c

P

a b c abc

   

 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đắk Lắk năm 2020 – 2021 Bài 29

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a2b2c21 Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 1 

A  a  bc

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Ninh năm 2020 – 2021 Bài 30

Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức:

        

2

a b c

P

a b a c b c b a c a c b

  

     

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Yên Bái năm 2020 – 2021 Bài 31

     

 

2 2

3

8 27

16

a b c a b b c c a

ab bc ca a b c

    

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 – 2021 Bài 32

Cho x y z, , số thực thỏa mãn , 1,

18 2020

x y z 18 2020

18x177x62020z2021

Tìm giá trị lớn biểu thức: A18x1 7 y1 2020 z1 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021 Bài 33

Cho a b c, , số thực dương a3b5c2020 Tìm giá trị lớn biểu thức:

3 15

3 5

ab bc ca

P

a b b c c a

  

  

(8)

Cho a b c, , số thực có tổng  1 a b c, , 1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

2

Pa  b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Tây Ninh năm 2020 – 2021 Bài 35

Cho a b c, , số thực thỏa mãn 3a23b28c2 32 Tìm giá trị lớn biểu thức:

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 – 2021 Bài 35

Cho x y, số thực thỏa mãn x25y24xy3x4y27

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: M  x y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021 Bài 36

Cho a b c, , số thực thỏa mãn a b c  2020 Chứng minh rằng:

2 2

4 4 1

2020 2020 2020

a b c

a b  b c  ca  abc

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Quảng Nam năm 2020 – 2021 Bài 37

Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn a b c  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 13  13  13

T  a  b  c

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Quảng Bình năm 2020 – 2021 Bài 38

a) Tìm tất cặp số thực x y,  thỏa mãn x2y28xy2xy 3 cho y đạt giá trị lớn

b) Cho x y, hai số thực dương thỏa mãn xy4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

   

3

4

x y

Q

y x

 

 

(9)

Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz Chứng minh rằng:

2 2 2

3

3 3

x y z

y z xyz  z x xyz  x y xyz 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021 Bài 40

Cho x y z, , 0 Chứng minh bất đẳng thức:

2

1

xy yz

yz  xy yz  xy 

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021 Bài 41

Cho số thực a b c, , thỏa mãn 0, 3,

a b c

2 2

12

2

b c

a    Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

M  ab a ca c c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Long An năm 2020 – 2021 Bài 41

Cho số thực a b c d e, , , , Chứng minh rằng:

 

2 2 2

a b c d e a b c de

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Lâm Đồng năm 2020 – 2021 Bài 42

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c  ab bc ca  6abc Chứng minh rằng:

2 2

1 1

3

a b c 

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Lai Châu năm 2020 – 2021 Bài 43

Cho a b c, , số thực thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng:

     

2 2

2 2 2

1 1

a b c

a b b c c a

c a a b b c

  

       

(10)

Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx5 Chứng minh rằng:

 

2 2

3

5

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Hải Phịng năm 2020 – 2021

(11)

**********************************

Bài

Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn xy z Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

3

P xyyz zx x y

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Quãng Nam năm 2020 - 2021

Lời giải

Ta có: P3xyyz2zx2x y2 xyz xy yz2zx2x y2 xy2yz2 zx2xyz Khơng tính tổng qt giả sử 0x yz, ta có:

    2 2 2

0

xy yz yz  xy yz zx x yy zz x Khi ta có:

 2  2 2 2    

2P2 xy yz zx xyz xy yz zx x yy zz x2xyz xy yz zx Suy    

2

x y y z z x

P    Áp dúng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

 3

3

8

1

4 27

x y z x y y z z x

P            

 

Suy P4 Đẳng thức xảy x yz1

Vậy giá trị lớn P đạt xyz1

Bài

Cho ba số thực x y z, , dương thỏa mãn xyyzzx2xyz1 Chứng minh rằng:

2 2

2 1

x y y z z x

xyz x y z 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Dương năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 2

2 2 2 2 2

(1) 1

xy yz zx x y y z z x x y y z z x

x y z xy y yz z zx x xy yz zx x y z

 

     

          

(12)

Mặt khác

3 2 2 2

3

xy yz zx xyyzzx x y z x y z    

 

Đặt txyyzzx với t0, từ giả thiết suy ra:

 2  2

2 2

4 1 27

t

x y z   xyyzzx   t   t

Hay

xyyzzx Mà   4

xyz  xyyzzx    Suy

xyz

Do xyyzzx6xyzxyyzzx26xyz xy yzzx(2)

Lại có xyyzzx23xy yz yz zx  zx xy3xyz x  y z

Suy 2xyyzzx26xyz x  y z(3)

Từ (2) (3) suy xyyzzx22xyz x   y z xyyzzx(4)

Từ (1) (4) suy

2 2

2 1

x y y z z x

xyz

x  y z  Đẳng thức xảy

1

x  y z

Bài

Cho số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện a  b c Chứng minh rằng:

3 3 4

a    b c a b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

           

3 3 3

1

1 1

8a  a b  b c   c a b c b c a c ab

Ta có:

     

2 2 3

(a b c )(abbcca)a b c abc a  b c a bc Do cần chứng minh:  2 2 

8

a b c abbcca 

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2 2 2

1(a b c) a b  c 2(abbcca)2 (a b c )2(abbcca)

Suy  2 2 

a b c abbcca  Từ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy 1,

2

(13)

Bài

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn 2 2 2

2021

a b  b c  c a  Chứng minh rằng:

2 2

1 2012 2

a b c bccaab

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Ninh Bình năm 2020 – 2021

Lời giải

Đặt

2 2

a b c P

b c c a a b

  

  

2 2

b c a Q

b c c a a b

  

  

Suy ra:

2 2 2

a b b c c a P Q

b c c a a b

  

   

   Đặt x b c y,  c a z,  a b Khi ta có:

y x z z y x x z y yz zx xy  

P Q x y z

x y z x y z

  

         

Áp dụng bất đẳng thức 2

,

m n p mnnppm ta có:

yz zx xy yz zx zx xy xy yz

x y z x  y  z  x  y  y  z  z  x   

Từ suy P Q hay PQ

Khi ta có:

2 2 2

2P P Q a b b c c a (1)

b c c a a b

  

    

  

 

   

2

2 2 2

2021

2

a b b c c a a b b c c a

b c c a a b a b c a b c

    

      

      

Mặt khác 2021 2 2 2 2  2

a b b c c a

a b b c c a    a b c

           

Suy ra:

 

2 2 2

2021 2021 2021 (2)

2 2

a b b c c a a b c b c c a a b

  

    

    

Từ (1) (2) suy ra: 2021 2

P hay

2 2

1 2021 2

a b c bccaab

Đẳng thức xảy 2021

(14)

Bài

Cho x y, hai số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:    

2

x y x y A

x y xy

 

 



Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Định năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:    

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

x y x y x y xy x y xy xy x y A

x y xy x y xy x y xy

      

      

  

2

xy x y x y xy



 



Suy ra: A4 Đẳng thức xảy xy

Vậy giá trị nhỏ A đạt xy

Bài

Cho a b, số thực dương thỏa mãn điều kiện

(ab) 4ab12 Chứng minh rằng: 1

2020 2021 1a1b ab

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hưng Yên năm 2020 – 2021

Lời giải

Với x y, 0 xy1, ta có: 1 1x1y1 xy

Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

     

   2    

1 1

0 1 1

0

1 1 1 1

1

0

1 1

x xy y xy

xy x xy y y x y x x y y xy x xy x xy y xy

xy y

x

x y x y

   

   

   

       

       

  

 



        

    

 

Do xy1 nên bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy xy xy1

Áp dúng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

 3  3

(15)

Đặt t ab với 0 t Áp dụng bất đẳng thức ta có: 1 2 1a1b1 ab 1t

Ta cần chứng minh 2020 2021 1t t 

Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương:

  

3 2

2020t 2020t 2021t2019  0 t 2020t 4040t2019 0

Bất đẳng thức cuối t1 Đẳng thức xảy t1 hay x y

Bài

Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn x z2 2y z2 2 1 z

     

2

2 2

1

z P

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021

Lời giải

Với a b, 0, ta có:

 2

2

1 8

a b ab ab ab

Do

 2

2

1

a b  ab Đẳng thức xảy ab

Áp dụng bất đẳng thức liên tiếp, ta có:

     

2

2 2 2

1 1 8 1 1 1

1 1 2 2

z

x z x

x x

z z z

    

     

              

  

     

  

     

 

2 2

8 64 64

1

2

2 2

y

x x y x y

z z z

  

      

              

     

  

     

Từ suy 64 2

5

P

x y z



 

    

 

 

   

2 2 2

2

3

3z x z y z x y 2x y

z z z

  

(16)

Suy ra: 2

x y x y z z z

        Do

 2

64

1

P 



Đẳng thức xảy 1,

x y z

Vậy giá trị nhỏ P đạt 1,

x y z

Bài

Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn x  y z Chứng minh rằng:

     

2 2 2

3

x y y z z x x y y z z x xy x y yz y z zx z x xy yz zx

 

              

 



    

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Đà Nẵng năm 2020 – 2021

Lời giải

   

 

2

2 2

2 x y x y

x y x y

xy x y x y xy x y x y xy x y xy

   

       



 



      

Viết hai bất đẳng thức tương tự công lai theo vế ta được:

 

2

2 x y

x y

xy x y x y xy

 

  

 

  

Do ta cần chứng minh bất đẳng thức sau tốn hồn tất

2 2

xy  yz  zx 

Thật vậy, ta có:

 

2 4

2

xy  xy   x y

Do đó:

 

2 1 9

4

2 2 6

x y x y y z z x x y z

   



      



             



Đẳng thức xảy x  y z Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a b b c c a P

c ab a bc b ca

  

  

  

(17)

Lời giải

   

3 6

3 a b b c c a ,

a b a b b c c a

P Q

c ab c ab a bc b ca c ab a bc b ca

  

   

   

      



Trong    

   

a b b c c a Q

c ab a bc b ca

   

   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

            

2

2 2

1

4 4

b a c a c

c ab a bc a c b c ab a bc

    

      

    

Viết hai bất đẳng thức tương tự ta có:

      

2

1

a b c

abc bca          

2

1

b c a cab bca   

Suy ra:         1 1 1

a b b c c a a b c cab abc cab       

Mà        

3 3

1 1 1

27 27 27

a b c a b c

a b c            

Từ suy ra: cab a bc c ab  a b b c c a Q Dẫn đến P36 Q3. Đẳng thức xảy a  b c 1.

Vậy giá trị nhỏ P đạt a  b c

Bài 10

a) Cho hai số nguyên dương m n thỏa mãn 11 m

n

  Chứng minh rằng: 11 m 3 11 3

n mn

  

b) Với a b c, , số thực không âm thỏa mãn a  b c abc4, tìm giá trị lớn biểu thức:

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Với số nguyên a a2 chia 11 dư 0, 1, 3, 4, 5, Ta có: 11 m 11n2 m2

n

(18)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 

       

2

3 11 11 11n m 11n m 11

m m

 

      

 Nếu m3      

2

2 2

2 11 11 11

VP m     m   n Bất đẳng thức  2

 Nếu m1  1  11n3 11 8 11n 8 11 Do 2

11

n m   n nên  1

đúng

 Nếu m2  1 2 11n3 115 Do 11 2 11

n m   n nên  1

Tóm lại trường hợp ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy m3,n1

b) Ta chứng minh abbcca   a b c abc Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

       

1    a b c abbcca  1 abc  1 a 1b 1 c

Khơng tính tổng qt giả sử a b c

Ta có: 4   a b c abc3c  c3 c Ngoài 4   a b c abc3aa3 a Khi 1a1 c

 Nếu b   1 b Khi 1a1b1  c Ta có điều phải chứng minh

 Nếu b1, kết hợp với c0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

          

2

1 1 1 1 1

2

a b a b c abc a b c a b c a b          

              

   

Từ suy ra: abbcca   a b c abc4 Do P4 Đẳng thức xảy a b 2, c0 hoán vị

Vậy giá trị nhỏ P đạt a b 2,c0 hoán vị

Bài 11

a) Tìm tất số thực a b c, thỏa mãn đồng thời điều kiện a2b2c2 38,a b 8 b c 7 b) Cho ba số thực không âm điều kiện a b c, , thỏa mãn a2b2c2 2a bc ca  

Chứng minh rằng: a b c  3 23 abc.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin TP Hà Nội năm 2020 – 2021

(19)

a) Từ giả thiết thứ nhất, ta có

38 49

b   Do b7 Từ đây, kết hợp với giả thiết thứ hai thứ ba, ta có a 8 b c  7 b

Do đó: 38a2b2c2(8b2)b2(7b)

Hay 3(b5)20 Vì 3(b5)2 0 nên dấu đẳng thức đánh giá xảy ra, tức ta có b5,a3

và c2

Vậy có số ( , , )a b c thỏa mãn yêu cầu (3, 5, 2)

b) Khơng tính tổng quát, giả sử a b c

Từ giả thiết, ta có (a b c  )2 4ab Từ đó, với ý a b c  0, ta có a b c  2 ab Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

3

( ) 2 2

a b c   a b c   c ab c ab ab c abc

Đây kết cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy

4

a b c

4

b

ca

c ab

Bài 12

a) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn abbcca3 Chứng minh rằng:

2 2 2

8 1 3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc

 

      

b) Xét số thực x y z, , thay đổi thỏa mãn x2xyy2 5 y2yzz2 21 Tìm giá trị lớn biểu thức: Pxyyzzx

Trích đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Ta có: a22bc 6 a24bc2ab2aca2 b c22ab2aca b c2

Suy ra:

2

1 a b c

a bc

  

 

Mặt khác 2b22bc5c2 b24c22bcb2c2b24c24bc b 2c2 Suy ra: 2b22bc5c2  b c

(20)

  2 2  2 2 2 2

4 3 4a 3b2c  4a3b2c 3 4a 3b 2c 4a3b2 c

Từ ta có:

 

2 2 2

8

2

3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a b c b c a b c

 

     

    

Từ ta suy ra:

2 2 2

8 1 3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc a b c

  

 

      

Đẳng thức xảy a  b c b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

  

2

2 2 3 3

2 4 2 2

x z z x z

x xy y y yz z y x z y y x y

           

           

                   

 

     

   

Suy ra: 105  2 2 3 2

x xy y y yz z xy yz zx

       

Hay Pxyyzzx2 35

Vậy giá trị nhỏ P 35

Bài 13

Với số thực x y, thay đổi thỏa mãn 1  x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 2  

2

P x y  x y xy 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tốn tỉnh Bình Dương năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:  2    2    2

2 7 5

P x y  x y xy   xy  x  y x y  

Đẳng thức xảy

 

1

0;

y x y x

x x y



       

 

       

Chẳng hạn x2; y3 x3; y4

(21)

Bài 14

Với a b c, , 0 không đồng thời Chứng minh rằng:

3 a b c

bc ca  ab 

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

Khơng tính tổng qt giả sử c0, bất đẳng thức cho trở thành: a b b a 

Bất đẳng thức theo AM – GM Đẳng thức xảy ab c, 0

Xét a b c, , 0 ta cần chứng minh: a b c bc ca ab 

Đặt

3 3

,

a x b y c z

        

với x y z, , 0, bất đẳng thức trở thành:

3 3 3 3

3

2

x y z y z z x x y

  

  

Xét x y z, , 0 Ta có:

3 2

3

x x y z y z



 

Thật bất đẳng thức cần chứng minh tường đương với: yz2y2z2 y z20 Bất đẳng thức cuối x y, 0 nên ta có điều phải chứng minh

Từ ta cần chứng minh:

2 2 2 2

x y z y z z x x y

  

  

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

2

2 2

2

x x x

x y z y z x y z

 

 

Viết hai bất đẳng thức tương tự cộng lại ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy

2 2

0

x y z

y z x x y z z x y

   

      



   

Do x y z, , 0 nên đẳng thức khơng xảy Do đó:

3 3 3 3

3

2

x y z y z z x x y

  

  

Từ ta có điều phải chứng minh

(22)

Bài 15

Xét a b c, , số thực dương thỏa mãn a 1 b 1 c 1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a2abb2  b2bcc2  c2caa2

Trích đề thi vào lớp 10 mơn Tốn chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021

Lời giải

 2    

36 a 1 b 1 c1 3 a     1 b c a  b c

Suy a  b c

Mặt khác 2 3 2 1 2 3 2 2 3 

4 4

a abb  ab  ab  ab  a abb  ab

Viết hai bất đẳng thức tương tự cộng lại ta P 3a  b c Đẳng thức xảy a  b c

Bài 16

Tìm tất số thực x y z, , với 0x y z, , 1 thỏa mãn:

3 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

       

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

Từ giả thiết, ta có 1yzxx2xyxzx x( yz) Suy ra: 1 ( )

x x

y zx x x y z  x y z

     

Chứng minh tương tự, ta có: 1

y

z xy  x y z

   

1

z

x yz x y z

   

Do 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

       

(23)

Bài 17

Với a b c, , 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 2  2  2

1 1

a b c P

b c c a a b

  

  

  

Trích đề thi thử vào chun Tốn trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

 

     

2

3 9

3 2 2

a b c a b c a b c P

a b c a b c a b c

      

       

     

Đẳng thức xảy

a b c

a b c a b c

  

    

    

Bài 18

Cho số thực x y z, , 1 thỏa mãn 1

x  y z Chứng minh rằng:

1 1

x  y z x  y  z

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bình Thuận năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có: 1 1 1 1 1 1 1

x y z x y z x y z x y z

  

             

  x y z  1 12

x y z x y z x y z x y z

    



             

 

Suy ra: x  y z x 1 y 1 z1 Đẳng thức xảy

2

(24)

Bài 19

a) Với a b, số thực dương thỏa mãn:

22a3b5 8a12b2a23b25ab10 Chứng minh rằng: 3a28b210ab21

b) Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

 

      

2 2

a a bc b b ca c c ab b ab c c bc a a ca b

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 mơn Tốn trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Ta có: 8a12b2a23b25ab104 2 a3b  2a3b a  b 10  

Đặt x2a3 ,b y a b với 2 x Ta có:  1 trở thành: 10 2

y x xy

x

    

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x2y221x2 4 y225 Ta có:

2

2 2

25 4 25 25 25 25

4

y y

y

x x x x x

         

         

                  

Ta cần chứng minh: 25 42 x2

x

  

     Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

    

4

29 100 2 5

x  x    x x x x 

Bất đẳng thức cuối 2 x

Đẳng thức xảy x5, y2 hay a b Vậy ta có điều phải chứng minh

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 

         

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

3 3 2

a abc a b c abc

a a bc a b c abc

ab bc ca b ab c ab ab c ab ab c

 

   

     

    

 

    

  

Ta cần chứng minh:

2 2

3

2

a b c abc ab bc ca

  

(25)

Áp dụng dụng bất đẳng thức Schur kết hợp với a  b c 3, ta có:

 

2 2 2

3 abc

a b c abc a b c ab bc ca a b c

         

 

Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b c

Bài 20

Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

2

1 1

3 1 a b c

a b c abc bc ca ab

   

           

   

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

Bất đẳng thức cho viết lại thành

2 2 2 2

1 1 1 3( )

3 a b c

a b c a b c abc abc

                

   

 

    hay

2 2 2 2

1 1 3( 2 ) 31 a b c ab bc ca

a b c abc abc abc

      

         

 

Đặt x 1,y 1,z a b c

   ta có 1

x  y z hay xyyzzx3xyz Ta đưa chứng minh

2

3(x y z)  4 31xyz

Đặt p  x y z q, xyyzzx rxyz ta có q3r Ta cần có

2

3p  4 31 r

Theo bất đẳng thức Cơ-si (x y z xy)( yzzx)9xyz nên x  y z hay p3

Ta có xyz(x y z y)(  z x z)(  x y) nên r(p2 )(x p2 )(y p2 )z

Khai triển ta r p32p x2(   y z) (p xyyzzx)8xyz hay

3

9r p 12pr

3

12

p

r p 

Ta đưa chứng minh

3

2 31

3 , 12

p p

p

 

 quy đồng khai triển, ta có

2

(p3)(5p 12p12)0, p3 Vậy bất đẳng thức cho đúng, ta có điều phải chứng minh

(26)

Bài 21

a) Cho hai số thực dương a b, Chứng minh rằng:  

2

a b a b

ab

a b

   

 

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

20

Q b a

a b

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP HCM năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Ta có:

   

        

  

2

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

0

a b a b

a b

ab a b ab

a b a b

a b

a b a b a b a b a b

a b a b

 

      

   



        

 

   

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ab

b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

20 20

5a 20 20 a a a

    

7

7b 14 14 b b b

    

Do đó: Q  b a 205a 14 7b346a b 34  6 16 Đẳng thức xảy chi a2,b1

Vậy giá trị nhỏ Q 16 đạt a2,b1

Bài 22.

     

2 2

1 5

a b c

a  b c  b  c a  c  a b 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Giang năm 2020 – 2021

(27)

Đặt

     

2 2

5 5

a b c

P

a b c b c a c a b

  

     

 2 2    

2 2 2

1 1

2

a b c a bc a bc

                          Suy ra:         2

2 2 2 2 2

2

9

2 2

5

a a

a

a b c a bc a b c a bc a bc

b b c

                   

Chứng minh tương tự, ta được:

   

2

2 2 2 2 2

2

9 ,

2

5

b c

a b c b ac a b c c ab

b c a c a b

   

 

             

   

Khi ta có:

     

2 2 2

2 2

9 9 2

1

2 2

5 5

a b c a b c

a bc b ca c ab a b c b c a c a b

                     

Suy 2 2 2 2

bc ca ab P

a bc b ca c ab

 



       

Ta có :

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

bc ca ab b c c a a b a bc b ca c ab a bc ab cc a  abc a b

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:  

 

2

2 2

ab bc ca bc ca ab

a bc b ca c ab ab bc ca

 

   

    

Vậy 3

P  P Đẳng thức xảy   a b c Ta có điều phải chứng minh

Bài 23

Với số thực dương a b thay đổi, tìm giá trị lớn biểu thức:

 

2 2

1

2

S a b

a ab b b ab a

 

 



          

(28)

Lời giải

Theo bất đẳng thức mn22m2n2, ta có:

   

2

2 2

1 1

4

2 2

S a b a b

a ab b b ab a a ab b b ab a

                                

Mà  

   

2

2 2

1 1 , 2

1

a b

b b a a a b a ab b b ab a

a b a b

                      nên đặt:    

2 , 2

b b a a a b x y

a b a b

 

 

 

Ta có:    

 

2

2 2 2 2 2

2

; 2

a b ab a b a b x y xy x y xy

a b a b a b

  

        

  

Suy : 1 4 1 1

2

x y x y S

x y x y x y xy x y

                                              

Do S2 Đẳng thức xảy  a b

Vậy giá trị lớn S 2 đạt ab

Bài 24

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn abc8 Chứng minh rằng:

 2 2

1 4 16

a b c

a b c ca ab bc   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hà Nam năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có: 4

a ab ab ab ca  abc b  b   b

   

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 ,

x y x y

 

   

   ta có

   

1 1 1 1 1 2 4 4 16 32

ab bc ca ab bc ca

a b c ab bc ca

b c a b c a

 

       

             

           

        

Do ta cần chứng minh:

 2 2  

2 a b c 2 a b c  ab bc ca 

(29)

           

2 2

4 12 2 2

a b c  a b c    a b c   a b c    a b c   abc  a b c 

Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ab c

Bài 25

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn 1 2020

xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu

thức:

2 2 2

2 2

y x z y x z P

xy yz zx

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Gia Lai năm 2020 – 2021

Lời giải

     

2

2 2 2 1

3

y x y x y x x y x x y x

xy xy x y

   

            

 

Viết hai bất đẳng thức tương tự cộng lại, ta suy ra: 1

P

x y z

 

    

 

Mặt khác: 2020 1 1 1 1 1 1 1 1 4

x y y z z x x y y z z x x y z

       

                

          

Suy P 4040 4040 Đẳng thức xảy 4040

x yz Vậy giá trị nhỏ P 4040 đạt

4040

x yz

Bài 26

Cho a b, hai số thực dương thỏa mãn ab ab1 Chứng minh rằng:

2

a b a b

 



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Điện Biên năm 2020 – 2021

Lời giải

Vì ab1 nên  

2

2 2

2

2 2

a b a b a b ab

a b

a b a b a b a b

 

   

    

   

Ta có: a b 0 nên áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

2

2 a b 2

a b

a b a b



    

(30)

Đẳng thức xảy  

2

6 2 2

2 a a b ab b                     Bài 27

Cho a b c, , số thực lớn

 Chứng minh rằng:

2 2

1 1 3

a b c

b c c a a b

  

  

     

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đồng Nai năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:    

2

2 2

2 2 2

1

2 2

b

b b c

b  b    b c    c    Do đó:  

   

2

2 2

2 1

3

a a

b c b c

 



     Viết hai bất đẳng thức tương tự cộng lại ta được:

                 

2 2

2 2 2 2 2

2 2 1 1

3 3 3

a b c

b c c a a b b c c a a b

  

    

              

Đặt x 1 a2, y 1 b2, z 1 c2 với x y z, , 1 Ta cần chứng minh:

2 2 3 3 3

x y z x y z

y z z x x y   y z z x x y

Thật áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 

2

2 2 3

3 3 3 3 5

x y z xy yz zx x y z x y z

y z z x x y xy zx yz xy zx yz xy yz zx xy yz zx

   

       

         

Đẳng thức xảy ab c

Bài 28

Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

   3

2 2

3

ab bc ca a b c P

a b c abc

   

 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đắk Lắk năm 2020 – 2021

(31)

 

       

3 2 2

2 1 9

18

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c

abc abc ab bc ca ab bc ca ab bc ca

 

       

            

   

 

Suy    

2 2

9

18

a b c ab bc ca

P

a b c ab bc ca

 

  

    Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

   2 2    2 2

2 2 2

3

2

a b c a b c ab bc ca ab bc ca

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

   

    

       

Ngoài a2b2c2 ab bc ca  nên  

2 2

6

a b c ab bc ca

 



  Từ suy P  6 1830

Đẳng thức xảy abc

Vậy giá trị nhỏ P 30 đạt ab c

Bài 29

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a2b2c21 Tìm giá trị lớn biểu thức:

1 1 

A  a  bc

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Bắc Ninh năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có      2   2

1 2 a 2 bc  2 a 1b c  2 a 2a Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2

4

2 9 10 3

3 2

a

a a a



 

          

 

Suy ra:  

2

2 2

3 10 10 98

2

2 9 27

A a   a  a   a  

   

Đẳng thức xảy 2, 10

3

a b c

Vậy giá trị nhỏ A 30 đạt 2, 10

a b c

Bài 30

Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức:

        

2

a b c

P

a b a c b c b a c a c b

  

     

(32)

Lời giải

Ta có:

     

   

b ab bc c ac bc b c b a c c a b

b c a b a c b c a b a c b a b c c a c b

  

  

     

   

      

   

   

  

2

b ab bc c ac bc b c ab bc ca b a c c a b b c a b a c a b a c b c a b a c a b b c c a

        

   

   

     

Suy ra:

     

b c b c

a b a c b a b c c a c b

  

 

   

  

2

a a a a a b c a b a c a b a c a b a c a b a c

 

        

       

 

Đặt t b c a b a c

 

  với t0, ta có:

2

2 9

2

2 4

P t   t t     

Đẳng thức xảy 1 7

b c

a b c b c

a b a c

  

  



 



 



Vậy giá trị lớn P

4 đạt a7b7 c

Bài 31

     

 

2 2

3

8 27

16

a b c a b b c c a ab bc ca a b c

    

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 – 2021

Lời giải

Với a b c, , 0 ta có:     8  ,

a b b c c  a  a b c  ab bc ca  suy ra:

   

 

3

27 24

a b b c c a ab bc ca a b c a b c

    



(33)

Mặt khác 2 1 2

3

a b c  a b c  nên    

 

2

2 2

8

a b c a b c ab bc ca ab bc ca

         Suy ra:                

2 2

3

8 27 24

a b c a b b c c a a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c

        

  

       

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta lại có:

                2 2

8 24 24

2 16

3

a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c

       

   

       

Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy abc

Bài 32

Cho x y z, , số thực thỏa mãn , 1, 18 2020

x y z 18 2020 18x177y62020z2021 Tìm giá trị lớn biểu thức: A18x1 7 y1 2020 z1 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021

Lời giải

18 2020 18 2020 1

18 17 2020 2021 18 17 2020 2021 18 2020 2020

2

18 17 2020 2021 2020 2021

x y z x y z

y z y z

x y z y z

       

     

   

    

    

Từ suy ra: 18 2020 18 17 2020 2021

y z x y z

 

 

  

Chứng minh tương tự ta có:

7 18 2020

7 18 17 2020 2021

x z

y x z

 

 

  

2020 18

2

2020 2021 18 17

x y z x y

 

 

  

Từ nhân bất đẳng thức vế theo vế ta được:

   

3

18 2020 2020 18 2020 18

18 17 2020 2021 2020 2021 18 17 2020 2021 18 17 18 2020 31815

y z x z x y

x y z y z x z x y

x y z

     

        

        

    

(34)

Đẳng thức xảy 5, , 1009 14 2020

x y z

Vậy giá trị lớn A 31815 đạt 5, , 1009 14 2020

x y z

Bài 33

Cho a b c, , số thực dương a3b5c2020 Tìm giá trị lớn biểu thức:

3 15 3 5

ab bc ca P

a b b c c a

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Thái Nguyên năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 ,

x y x y

 

   

   ta có:

 

3 15 1 15 1 1

3 3 5 4 5

ab bc ca ab bc ca

a b c a b b c c a a b b c c a

     

             

        

Suy ra: 1  2020 1010

2

P a b c   Đẳng thức xảy 2020, 2020, 404

a b c Vậy giá trị nhỏ P 1010 đạt 2020, 2020, 404

3

a b c

Bài 34

Cho a b c, , số thực có tổng  1 a b c, , 1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

2

Pa  b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Tây Ninh năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có: Pa c 22b2 2ac3b22ac

Nếu ac0 P3b22ac3b2 3 Đẳng thức xảy

0,

ac b  Chẳng hạn a b c, ,   0, 1, 1 

Nếu ac0 hai số a c dấu với b Khơng tính tổng qt giả sử ab0 Khi đó: Pa b 22ab b 2c2 2c22ab b 22c2b2  2 1212 3

Đẳng thức xảy ab0, b2 1,c2 1 hay a0,b1,c 1

Tóm lại trường hợp giá trị nhỏ P đạt a c hoán vị 0; 1 

(35)

Bài 35

Cho a b c, , số thực thỏa mãn 3a23b28c2 32 Tìm giá trị lớn biểu thức:

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:

2 2 2

1 4

, , 2 4

a b b c c a

ab  bc  b c  ca  c a   Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được:

2 2 2 2 2

4 3 32 4 4

a b b c c a a b c

P           Đẳng thức xảy ab2,c1

Vậy giá trị lớn P đạt ab2, c1

Bài 35

Cho x y, số thực thỏa mãn x25y24xy3x4y27 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: Px2 y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:

     

2 2 2

2

5 4 27 4 2 28 28

x y xy x y x xy y x y y y y x y x y

             

      

Do y12 0 nên 28x2y2 3x2y0  7 x2y4 Vậy giá trị lớn x2y đạt x2, y1 Giá trị nhỏ x2y 7 đạt x 9, y1

Bài 36

Cho a b c, , số thực thỏa mãn a b c  2020 Chứng minh rằng:

2 2

4 4 1 2020 2020 2020

a b c

a b  b c  ca  abc

(36)

Lời giải

Ta có:

           

2

4 4 1 2020

1 1

a a a a

a

a b a b c a b a a c b b a a a c b b a a c b b a

c a b a b

 

      

            

  

 

Hay 2 1

2020

a

a b caba b Chứng minh tương tự ta có:

2

4 1 2020

b

b c a b cb c

4 1 2020

c

ca b c cca

Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy 2020

3

ab c

Bài 37

Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn a b c  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 13  13  13

T  a  b  c

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Quảng Bình năm 2020 – 2021

Lời giải

Nếu xy z 3

3

x y z  xyz Cho xa1, y b 1, z c ta có:

         

3 1 3

T  a b c   a b c   ab bc ca  abc  abc ab bc ca    Hay T 3ab c 1c a b  23ab c 1c3c2 

Khơng tính tổng qt giá giử cmina b c, , 0 c Khi ta có:

   

         

2 2

3 3

1 3

3 3

4 4 4

c c c a b c c c c c

T     c c              

   

   

Đẳng thức xảy 3,

2

ab c Vậy giá trị nhỏ T

4

 đạt 3,

(37)

Bài 38

a) Tìm tất cặp số thực x y,  thỏa mãn 2

8

x y  xy xy  cho y đạt giá trị lớn

b) Cho x y, hai số thực dương thỏa mãn xy4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức;

   

3

4

x y Q

y x

 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Phú Yên năm 2020 – 2021

Lời giải

a) Ta có phương trình tương đương: x22y4xy2y 3

Xem phương trình bậc hai ẩn x có y tham số Phương trình có nghiệm khi:

 2   13

4

y y y y



         Với 13

9

y 23

x  Vậy  ,  13, 23 9

x y   

  cặp giá trị cần tìm

b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM , ta có:

   

3

2

3

4 8

x y x y x

y y

 

     

 

Suy ra:

 

3

3 4

x x y

y    Tương tự ta có:  

3

3 4

y y x x   

Do 5  8

Q xy    xy  Đẳng thức xảy x y2 Vậy giá trị nhỏ Q đạt xy2

Bài 39

Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz Chứng minh rằng:

2 2 2

3

3 3

x y z

y z xyz  z x xyz  x y xyz 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021

(38)

Ta có: xy yz zx 3xyz 1

x y z

       Đặt a 1,b 1,c x y z

   với a b c, , 0 a b c  3 Bài toán trở thành chứng minh:

2 3

bc ca ab a bc  b ca  cab 

    

1

3

bc bc bc bc

a b c a a bc a b c a bc a b c a

 

     

 

       

Viết hai bất đẳng thức tương tự cộng lại ta được:

1 1 1

2 2

3 3

bc ca ab bc ca ab

a b c a b c a b c a b c a bc b ca c ab

     

           

     

        

Chú ý

2 2

bc ca c a b

        

đó:

1 1 1

2 2 2

bc ca ab a b c a b c a b c a b c a b c

 

     

      

     

     

     

Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ab c hay x yz1

Bài 40

Cho x y z, , 0 Chứng minh bất đẳng thức: 2

1

xy yz

yz xy yz  xy 

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021

Lời giải

Đặt a x b, ,c z,

y

   toán quy chứng minh:

2

a b c

b c ca a b 

Ta có:

 

2 4 2

c c c

a b  c a b a b  c Mặt khác:

  1 4 

2

a b c a b

a b c

b c c a b c c a a b c

 

 

        

       

Suy ra: 4  2

a b c c a b c

b c c a a b a b c

  

    

(39)

Đẳng thức xảy abc hay x z

y

 

Ta có điều phải chứng minh

Bài 41

Cho số thực a b c, , thỏa mãn 0, 3,

a b c

2

12

b c

a    Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

M  ab a ca c c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Long An năm 2020 – 2021

Lời giải

     

2 8

2 2

a b c a c M  ab a ca c c  a b c a  c         

Hay

2 2 2

2

1 81

2 14 18 2

a b c b c

M a b c           a    

 

Đẳng thức xảy a1,b2, c9

Vậy giá trị nhỏ M 14 đạt a1,b2,c9

Bài 41

Cho số thực a b c d e, , , , Chứng minh rằng: a2b2c2d2e2a b c  de

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Lâm Đồng năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:

     

       

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

4

4 4 4 4 2 2

a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a ab b a ac c a ad d a ae e

a b a c a d a e

                

            

        

Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh

(40)

Bài 42

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c  ab bc ca  6abc Chứng minh rằng:

2 2

1 1

a b c 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lai Châu năm 2020 – 2021

Lời giải

Đặt x 1, y 1, z

a b c

   Ta có x y z, , 0 xy z xyyzzx6 Khi cần chứng minh:

2 2

3

x y z  Ta có: 1 2

3

x y z xy yz zx x y z x y z

           

Suy ra: xyz23xyy180xy z Khi 2 1 2

3

x y z  xyz 

Đẳng thức xảy xyz1 hay ab c Ta có điều phải chứng minh

Bài 43

Cho a b c, , số thực thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng:

     

2 2

2 2 2

1 1

a b c

a b b c c a c a a b b c

  

       

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Kiên Giang năm 2020 – 2021

Lời giải

Do abc1 nên ta có:

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

a b c

a b b c c a a b c c a a b b c a b c a b b c c a

  

             

Ta có: a b2 2b c2 2c a2 ab bc bc ca ca ab     abc a b c   a b c  Ngoài ra: 2

a b c ab bc ca 

(41)

Bài 44

Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx5 Chứng minh rằng:

 

2 2

3 5

x y z x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn tỉnh Hải Phòng năm 2020 – 2021

Lời giải

Ta có:

     

2 2

5

x y x y x y

x y z x y z x y x y x xy yz zx y xy yz zx

    

   

       

     

   

   

  

   

2

x xy zx y yz xy x y xy yz zx

x y

x y z x y z x y x y y z z x x y y z z x

     

  

         

Hay

  

   

  

2

5

y x z x y z

x y xy yz zx y x y z z x y z z x y z z x x y

  

 

    

     

 

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

 

3 3

2 6

6

z z z z z y x

z x z y z x z y y z z x z

   

          

         



Đặt t y x

y z z x

 

  ta có  

2

3

2

VT  t t Ta cần chứng minh:

 

2

3

2

3 2

3

t t t t t t t

      

      

Bất đẳng thức cuối suy điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy 2

3

Các bài toán Bất đẳng thức - Cực trị trong đề thi vào chuyên Toán năm 2020 - 2021

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan