Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 12 THPT
KIÊN GIANG NĂM HỌC 2014-2015
- -
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN TỐN
Ngày thi 26 /09 /2014
(Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang)
Bài Nội dung Điểm
Câu
(7 điểm) Đặt : 2
x a b c
y a b c
z a b c
= + +
⎧
⎪ = + + ⎨
⎪ = + + ⎩
Với a>0,b>0,c>0 x>0,y>0,z>0
Suy :
3
c z y
b x z y
a c y x
= − ⎧
⎪ = + − ⎨
⎪ + = − ⎩
dẫn đến
2 4
17 y x z y
P
x y y z
= − + + + +
Áp dụng BĐT Cô Si ⇒ ≥ − +P 17 32+ = − +17 12
1.0
1.0
1.0 1.0 Dấu đẳng thức xảy
2
2
2
2
4
y x
y x
x y
z y z y
y z ⎧ =
⎪ ⎧ =
⎪ ⇔⎪
⎨ ⎨
= ⎪⎩ ⎪ =
⎪⎩
1.0
Hay ( )
( ) ( )
2 2
3 2 2
a b c a b c
a b c a b c a b c
⎧ + + = + + ⎪
⎨
+ + = + + = + + ⎪⎩
Giải hệ với b c ẩn ta :
( )
( )
1
4
b a
c a
⎧ = + ⎪
⎨
= + ⎪⎩
Vậy MinP= − +17 12 đạt ( ; ; )a b c =(a; 1( + ; 2) (a + )a)
1.0
0.5
0.5 Câu
(6 điểm) Theo gt ta có :
a b c< <
Gọi M,L,N chân đường vng góc hạ từ điểm I xuống đường thẳng AC,BC AB.Ta có : nIBO CBO<n<90o
Giả sử nIOB=90othì O trung điểm AB nên N O≡ ΔIAO= ΔIBO Từ
đó nIAB IBA=n CAB CBAn= n ( trái gt)
Vậy tam giác BIO tam giác vng vng I Ta có
2
b c a AM = AN = + − ;
2
a c b
BN =BL= + −
0,5
0,5 0,5
2
a b c
IM =IN=IL= + −
Vì
2
b c a+ − >c nên N nằm điểm O B
Do
2 2
b c a c b a
NO= + − − = −
2 2 2
2 2 2 2
2
a b c b a a b c ac bc OI =NI +NO =⎜⎛ + − ⎟⎞ +⎜⎛ − ⎞⎟ = + + − −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0,25
0,25
(2)2 2 2 2
2 2 2
2
a c b a b c a b c bc
BI =BL +LI =⎜⎛ + − ⎟⎞ +⎜⎛ + − ⎞⎟ = + + −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
4
c BO =
0,25 0,5
n 90o 2 2 2 2 3 0
OIB= ⇒OI +BI =BO ⇔ a + b + −c ac− bc= Mà c2 =a2+b2 nên 3c2 =ac+3bc 3c a= +3b
0,5 0,5 Từ suy : 32c a2 3b2
c a b
= + ⎧
⎨
= +
⎩ Đặt x a ,y b
c c
= = hệ
2
3
1
x y x y
= + ⎧ ⎨
= +
⎩
Có nghiệm 1;4
⎛− ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ (loại)
3 ; 5
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ Suy :
a= =b c
(đpcm)
0,5
0,5
1
Câu
(7 điểm) Đặt
2014
1
(0) i
i
g x
=
= −∑ , ( )
2014 2014
1 1
( ) k i i , 2013 , (2014) i
i i k i
g k x x k g x
= = + =
=∑ − ∑ ≤ ≤ = ∑
thì g(1)−g(0) =2 x1 ≤2
1,0 0,5 0,5
( 1) ( ) k 2, 1, 2, , 2012
g k+ −g k = x + ≤ k = 0,5
2014 (2014) (2013) 2
g −g = x ≤ 0,5
Do với k , 0≤ ≤k 2013, g k( + −1) g k( ) ≤2 (1) Giả sử ngược lại ,với k mà 0≤ ≤k 2014, g k( ) 1> (2)
0,5 0,5 Nếu tồn i với 0≤ ≤i 2013 cho g i g i( ) ( + <1) 0,
Khơng tính tổng qt ,có thể giả sử g i( ) 0> ( 1) 0g i+ < Từ (2) suy : g i( ) 1> ( 1)g i+ < −1
0,5 0,5 0,5 Suy : g i( + −1) g i( ) >2 , mâu thuẫn với (1)
Do g(0), (1), , (2014)g g dấu
Mà g(0)+g(2014) 0= , Mâu thuẫn dẫn đến điều phải chứng minh
0,5 0,5 0,5 HẾT
GHI CHÚ :