ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2013 Môn: TOÁN – Khối A, A1 ppt

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2013 Môn: TOÁN – Khối A, A 1 ; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) 1 0 . Tập xác định: }.1{\   2 0 . Sự biến thiên: * Giới hạn tại vô cực: Ta có 2lim   y x và .2lim   y x Giới hạn vô cực:     y x )1( lim và .lim )1(     y x Suy ra đồ thị (H) có tiệm cận ngang là đường thẳng , 2  y tiệm cận đứng là đường thẳng . 1   x * Chiều biến thiên: Ta có .1,0 )1( 3 ' 2    x x y Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   1;    và   .;1    0,5 * Bảng biến thiên: 3 0 . Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại ,0; 2 1       cắt Oy tại )1;0(  và nhận giao điểm )2;1(  I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 0,5 b) (1,0 điểm) Gọi 1, 1 12 ; 0 0 0 0            x x x xM là tiếp điểm. Theo bài ra ta có 2  MA hay 41 1 12 2 0 0 2 0              x x x 4 1 2 2 0 0 2 0             x x x       .2 0 )1(,0)64)(2( 0 0 00 2 000 x x xxxxx 0,5 Câu 1. (2,0 điểm) Với ,0 0  x phương trình tiếp tuyến là )0()0).(0(' yxyy    hay . 1 3   x y Với ,2 0  x phương trình tiếp tuyến là )2()2).(2(' yxyy    hay . 3 1 3 1  xy Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là 1 3   x y và . 3 1 3 1  xy 0,5 Câu 2. (1,0 điểm) Điều kiện: ,0sin  x hay .,    kkx  Khi đó phương trình đã cho tương đương với xxxx x x x cossin2sin2cos sin cos )cos1(  0)sin(cossin2cos)sin21(cos cossin2sinsin2coscoscos 222 222   xxxxxx xxxxxxx .0)1sin(cos2cos 02cossin2cos2coscos      xxx xxxxx 0,5 x 'y y     1  2   + +   2 x O y I 1  2 1  2 1 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 2 *) , 2 4 02cos   kxx  thỏa mãn. *)   2 44 2 1 4 cos01sincos kxxxx                tm.,2 2 ktm,2    kx kx Vậy phương trình có nghiệm .,2 2 , 2 4  kkxkx     0,5 Điều kiện: .002 2  yyyx Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có .3 2  xxxy Thế vào phương trình thứ hai ta được 022622)1(3)1( 222  yyxxxyx .01 2 2 2 3 0)2(232 22 22       x y x y yxyx 0,5 Câu 3. (1,0 điểm) Từ đây ta có 1 2 2  x y hay .2 2  xy Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có 03)2( 22  xxxx .10)3)(1( 2  xxx Suy ra . 3  y Vậy nghiệm của hệ là . 3 , 1    y x 0,5 Đặt tx  sin ta có txx ddcos  và khi , 2 1 6  tx  khi .1 2  tx  Khi đó    1 2 1 2 .d )1ln( t t t I 0,5 Câu 4. (1,0 điểm) Đặt , 1 d d)1ln( t t utu   . 1d d 2 t v t t v  Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có            1 2 1 1 2 1 2 1 1 d 1 11 2 3 ln22ln )1( d )1ln( 1 t tttt t t t I . 16 27 ln2ln43ln3|1|ln||ln2ln33ln2 2 1 1 2 1 1  tt 0,5 Vì 222 BCACAB  nên .90 0 BAC (1) Kẻ BC AH  tại H, vì (1) nên H thuộc đoạn BC. Vì )()( BCDABC  nên ).(BCDAH  Kẻ CD HK  tại K  đường xiên , CD AK  từ giả thiết .60 0  AKH Sử dụng định lí cosin cho 2 1 cos  ACBABC AHCACB  0 45 vuông cân ở H .323 aHCBCBHaHCAH  Câu 5. (1,0 điểm) Vì HK, BD cùng vuông góc CD nên . 3 1 //  CB CH BD HK BDHK Mà aBDBCCDaBDaAHHK 23,360cot 220  . 2 63 . 3 1 2 29 . 2 1 32 a SAHV a DCBDS BCDABCDBCD  0,5 A B D C K H ' H www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 3 Kẻ AK HH  ' tại , ' H vì )(AHKCD  nên ).('' ACDHHHHCD    Từ công thức đường cao của tam giác vuông AHK . 2 3 ' a HH  (2) Do 3 HC BC nên     )(,3)(, ACDHdACDBd  . (3) Từ (2) và (3) suy ra   . 2 33 )(, a ACDBd  Chú ý: HS có thể tính   . 3 )(, ACD ABCD S V ACDBd  0,5 Từ giả thiết ta có . 1 22 22 xy yxxy  Đặt 0   t xy ta được t tt 1 22 2  0)12)(1)(1(0)12(2 23  tttttt .1 2 1 0)12)(1(  ttt Với 0 ,  y x và 1  xy ta có xy yx      1 2 1 1 1 1 22 . (1) Thật vậy, ,0 )1)(1)(1( )1()( )1( 22 2     xyyx xyyx đúng do 0 ,  y x và 1  xy . Khi đó ta có . 21 3 1 4 21 3 1 4 ttxyxy P         (2) 0,5 Câu 6. (1,0 điểm) Xét hàm số tt tf 21 3 1 4 )(     trên .1; 2 1       Ta có .1; 2 1 ,0 )21()1( 125 .2 )21( 6 )1( 4 )(' 22 2 22                t tt tt tt tf Suy ra .1; 2 1 , 6 7 2 1 )(               tftf (3) Từ (2) và (3) ta có . 6 7 P Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 1 xy và y x  . 2 1  yx Vậy giá trị lớn nhất của P là , 6 7 đạt được khi . 2 1  yx 0,5 (C) có tâm .5),2;1( RI ).2;(     aaAdA Từ tính chất tiếp tuyến BC IA   tại H là trung điểm BC. Giả sử )0(,     nmnIHmIA 222 5, nIHIBBHnmHA  .85)( 2 1 2  nnmAHBHAHBCS ABC (1) 0,5 Câu 7.a (1,0 điểm) Trong tam giác vuông IBA có . 5 .5. 2 n mnmIAIHBI  (2) Thay (2) vào (1) ta có .0)12514)(1(01251391585 5 2422462         nnnnnnnn n Suy ra . 5 , 1   m n Suy ra             ).2;4( )3;1( 4 1 25)4()1(5 22 A A a a aaIA 0,5 Từ giả thiết suy ra tọa độ D thỏa mãn      .01 0 zy zyx Đặt t y  ta có      1 12 tz tx ).1;;12(     tttD 0,5 Câu 8.a (1,0 điểm)         .12 6 3 3 |3| 62 6 1 ].,[ 6 1 t t t tADACABV ABCD Suy ra ).13;12;25(),5;6;11(    DD 0,5 A C I B d H www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 4 Đặt ).R,(,    babiaz Từ giả thiết ta có 2 2 )1()1(1 aibibabia        ).1(2 )1(21 )1(2)1(21 2 2 bab ba ibabbia Suy ra )1(,0)12)(2()1(,)1(2 )1(2 1 22    bbbbb b b        . 2 1 2 1 12 ab ab Suy ra i z 2 1   hoặc . 2 1 2 1 iz  0,5 Câu 9.a (1,0 điểm) *) Với , 2 1 i z   ta có .52121 22 4 21 1 4      iii i i z z *) Với , 2 1 2 1 iz  ta có . 2 27 1 2 7 1 8 2 1 2 1 1 4      i i i z z 0,5 (C) tiếp xúc với 1  tại M I IM CM        1 )( thuộc đường thẳng 1   d tại M. Phương trình .21),3;(03:  aIMRaaIyxd 0,5 Câu 7.b (1,0 điểm) (C) tiếp xúc với 2  nên         2 3 21 25 |226| ),( 2 a a a a RId        2),1;2( 24),6;3( RI RI Suy ra 32)6()3(:)( 22  yxC hoặc .2)1()2(:)( 22  yxC 0,5 Mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P) nên có véctơ pháp tuyến ).1;1;1(],[  PQ nABn Suy ra .05:)(     zyxQ Từ giả thiết suy ra C thuộc giao tuyến (Q) và (P). Suy ra tọa độ C thỏa mãn      .052 05 zyx zyx 0,5 Câu 8.b (1,0 điểm) Đặt ).5;0;( 5 0        ttC tz y tx            ).2;0;3( )0;0;5( 3 5 14334)82(3 2 1 ],[ 2 1 2 C C t t tttACABS ABC 0,5 Ta có   4 31 )31(31. )31()31( 1 )31(31 1 22 i i i i i        . 3 sin 3 cos 2 1            i Đặt .0),sin(cos    rirz   Khi đó .) 3 sin() 3 cos( 2 )31(31 )1(              i r i zi Theo bài ra ta có . 663       Suy ra . 2 2 3 i rr z  0,5 Câu 9.b (1,0 điểm) Từ giả thiết của bài toán ta có iriri rr  33 22 3                        . 3 2 2 )1(4)1()1(3 22 3 2222 2 2 r r rrrr rr Từ đó ta có . 3 1 3 3 ,3 iziz  0,5 I 1  2  M(1; 2) www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 20 13 Môn: TOÁN – Khối A, A 1 ; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) 1 0 . Tập xác định: }.1{   2 0 hai ta được 022 622 )1(3)1( 22 2  yyxxxyx .01 2 2 2 3 0 )2( 2 32 22 22       x y x y yxyx 0,5 Câu 3. (1,0 điểm) Từ đây ta có 1 2 2  x y hay .2 2  xy Thay. (C) tiếp xúc với 2  nên         2 3 21 25 |22 6| ),( 2 a a a a RId        2) ,1 ;2( 24 ),6;3( RI RI Suy ra 32) 6()3(:)( 22  yxC hoặc .2) 1( )2( :)( 22  yxC 0,5