A. 0 cùng hướng với mọi vectơ. 0 cùng phương với mọi vectơ.. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. [r]
(1)x a
B A
CHỦ ĐỀ VEC TƠ BÀI ĐỊNH NGHĨA
1 Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B điểm cuối đoạn thẳng
AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng
Định nghĩa. Vectơ đoạn thẳng có hướng
Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu AB đọc “ vectơ AB “ Để vẽ vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng
AB đánh dấu mũi tên đầu nút B
Vectơ cịn kí hiệu a b x y, , , , không cần rõ điểm đầu điểm cuối
2 Vectơ phương, vectơ hướng
Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ
Định nghĩa. Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A B C, , thẳng hàng hai vectơ AB AC phương
3 Hai vectơ
Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài AB kí hiệu AB, AB AB
Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị
Hai vectơ a b gọi chúng hướng có độ dài, kí hiệu
a b
Chú ý. Khi cho trước vectơ a điểm O, ta ln tìm điểm A cho
OA a
4 Vectơ – khơng
Ta biết vectơ có điểm đầu điểm cuối hoàn toàn xác định biết điểm đầu điểm cuối
Bây với điểm A ta quy ước có vectơ đặc biệt mà điểm đầu điểm cuối A Vectơ kí hiệu AA gọi vectơ – không
(2)CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu Vectơ có điểm đầu D, điểm cuối E kí hiệu
A. DE B DE C. ED D DE
Câu Cho tam giác ABC Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối
các đỉnh A B C, , ?
A.3 B. C. D 9
Câu 3. Cho tứ giác ABCD Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu cuối đỉnh tứ giác?
A 4 B 6 C. D 12
Vấn đề HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4. Mệnh đề sau đúng?
A. Có vectơ phương với vectơ
B. Có hai vectơ có phương với vectơ
C. Có vơ số vectơ phương với vectơ
D. Khơng có vectơ phương với vectơ
Câu 5. Cho ba điểm A B C, , phân biệt Khi đó:
A. Điều kiện cần đủ để A B C, , thẳng hàng AB phương với AC
B. Điều kiện đủ để A B C, , thẳng hàng với M, MAcùng phương với AB
C. Điều kiện cần để A B C, , thẳng hàng với M, MAcùng phương với AB
D. Điều kiện cần để A B C, , thẳng hàng AB AC
Câu Gọi M N, trung điểm cạnh AB AC, tam giác ABC Hỏi cặp vectơ sau hướng?
A. MN CB B. AB MB C. MA MB D. AN CA
Câu Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ - không, phương với OC
có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác
A 4 B 6 C. D 9
Vấn đề HAI VECTƠ BẰNG NHAU Câu 8. Với DE (khác vectơ - khơng) độ dài đoạn ED gọi
A Phương ED B. Hướng ED
C. Giá ED D Độ dài ED
Câu Mệnh đề sau sai?
A. AA B. hướng với vectơ
C. AB D. phương với vectơ
Câu 10 Hai vectơ gọi
(3)A. Giá chúng trùng độ dài chúng
B. Chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành
C. Chúng trùng với cặp cạnh đối tam giác
D. Chúng hướng độ dài chúng
Câu 12 Cho bốn điểm phân biệt A B C D, , , Điều kiện đáp án A, B, C, D sau điều kiện cần đủ để AB CD?
A ABCD hình bình hành B ABDC hình bình hành
C AC BD D AB CD
Câu 13 Cho bốn điểm phân biệt A B C D, , , thỏa mãn AB CD Khẳng định sau sai?
A. AB hướng CD B. AB phương CD
C AB CD D ABCD hình bình hành
Câu 14 Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD Đẳng thức sau
đây sai?
A. AB DC B.OB DO C.OA OC D.CB DA
Câu 15. Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q, , , trung điểm AB, BC, CD, DA Khẳng định sau sai?
A. MN QP B. QP MN C. MQ NP D. MN AC
Câu 16. Cho hình vng ABCD Khẳng định sau đúng?
A. AC BD B. AB CD
C. AB BC D Hai vectơ AB AC, hướng
Câu 17 Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Mệnh đề sau đúng?
A.OA OC B.OB OD hướng
C. AC BD hướng D. AC BD
Câu 18 Gọi M N, trung điểm cạnh AB AC, tam giác ABC Đẳng
thức sau đúng?
A. MA MB B. AB AC C. MN BC D. BC 2MN
Câu 19 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M trung điểm BC Khẳng định sau
đúng?
A. MB MC B.
2
a
AM C. AM a D.
2
a AM
Câu 20 Cho hình thoi ABCD cạnh a BAD 60 Đẳng thức sau đúng?
A. AB AD B. BD a C. BD AC D. BC DA
Câu 21 Cho lục giác ABCDEF có tâm O Đẳng thức sau sai?
(4)A. AB ED B. AB AF C.OD BC D.OB OE
Câu 22 Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ OC có điểm đầu điểm cuối
các đỉnh lục giác
A 2 B 3 C. D 6
Câu 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định sau đúng?
A. HA CD AD CH B. HA CD AD HC
C. HA CD AC CH D HA CD AD HC OB OD
Câu 24 Cho AB điểm C Có điểm D thỏa mãn AB CD ?
A 0 B 1 C. D Vô số
Câu 25 Cho AB điểm C Có điểm D thỏa mãn AB CD ?
A 1 B 2 C. D Vô số
(5)BÀI TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 1 Tổng hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ a b Lấy điểm A tùy ý, vẽ AB a BC b Vectơ
AC gọi tổng hai vectơ a b Ta kí hiệu tổng hai vectơ a b a b Vậy
AC a b
Phép toán tìm tổng hai vectơ cịn gọi phép cộng vectơ
2 Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD hình bình hành AB AD AC
3 Tính chất phép cộng vectơ
Với ba vectơ a b c, , tùy ý ta có
a b b a (tính chất giao hoán);
a b c a b c (tính chất kết hợp);
a 0 a a (tính chất vectơ – khơng)
4 Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối
Cho vectơ a Vectơ có độ dài ngược hướng với a gọi vectơ đối vectơ a, kí hiệu a
Mỗi vectơ có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối AB BA, nghĩa AB BA Đặc biệt, vectơ đối vectơ vectơ
b) Định nghĩa hiệu hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ a b Ta gọi hiệu hai vectơ a b vectơ a b , kí
C B
A
A
B C
D
(6)hiệu a b Như a b a b
Từ định nghĩa hiệu hai vectơ, suy với ba điểm O A B, , tùy ý ta có AB OB OA
Chú ý
1) Phép toán tìm hiệu hai vectơ cịn gọi phép trừ vectơ 2) Với ba điểm tùy ý A B C, , ta ln có
AB BC AC (quy tắc ba điểm); AB AC CB (quy tắc trừ)
Thực chất hai quy tắc suy từ phép cộng vectơ
5 Áp dụng
a) Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB b) Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC
O
A
B
(7)CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu Cho ba điểm A B C, , phân biệt.Khẳng định sau đúng?
A. AB AC BC B. MP NM NP C.CA BA CB D. AA BB AB Câu 2. Cho a b vectơ khác với a vectơ đối b Khẳng định sau sai?
A. Hai vectơ a b, phương B. Hai vectơ a b, ngược hướng
C. Hai vectơ a b, độ dài D. Hai vectơ a b, chung điểm đầu
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A B C, , Đẳng thức sau đúng?
A.CA BA BC B. AB AC BC
C. AB CA CB D. AB BC CA
Câu 4. Cho AB CD Khẳng định sau đúng?
A. AB CD hướng B. AB CD độ dài
C. ABCD hình bình hành D. AB DC
Câu 5. Tính tổng MN PQ RN NP QR
A. MR B. MN C. PR D. MP
Câu 6. Cho hai điểm A B phân biệt Điều kiện để I trung điểm AB là:
A. IA IB B. IA IB C. IA IB D. AI BI
Câu 7. Điều kiện điều kiện cần đủ để I trung điểm đoạn thẳng AB?
A. IA IB B. IA IB C. IA IB D. IA IB
Câu Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Khẳng định sau sai?
A. AB AC B. HC HB C. AB AC D. BC 2HC
Câu 9. Cho hình vng ABCD Khẳng định sau đúng?
A. AB BC B. AB CD C. AC BD D. AD CB
Câu 10. Mệnh đề sau sai?
A. Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA MB
B. Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC
C. Nếu ABCD hình bình hành CB CD CA
D. Nếu ba điểm phân biệt A B C, , nằm tùy ý đường thẳng
AB BC AC
Câu 11. Gọi O tâm hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai?
A.OA OB CD B.OB OC OD OA
C. AB AD DB D. BC BA DC DA
(8)Câu 12 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đúng?
A. AB BC DB B. AB BC BD
C. AB BC CA D. AB BC AC
Câu 13. Gọi O tâm hình vng ABCD Tính OB OC
A.OB OC BC B.OB OC DA
C.OB OC OD OA D.OB OC AB
Câu 14. Cho tam giác ABC cạnh a Mệnh đề sau đúng?
A AB BC CA. B CA AB
C AB BC CA a D CA BC
Câu 15. Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Mệnh đề sau đúng?
A AM MB BA B MA MB AB
C MA MB MC D AB AC AM
Câu 16. Cho tam giác ABC với M N P, , trung điểm BC CA AB, , Khẳng định sau sai?
A AB BC CA B AP BM CN
C MN NP PM D PB MC MP
Câu 17. Cho ba điểm phân biệt A B C, , Mệnh đề sau đúng?
A AB BC AC B AB BC CA
C AB BC CA BC D AB CA BC
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB AC đường cao AH Đẳng thức sau đúng?
A AB AC AH B HA HB HC
C HB HC D AB AC
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH Khẳng định sau sai?
A AH HB AH HC B AH AB AH AC
C BC BA HC HA D AH AB AH
Câu 20. Gọi M N P, , trung điểm cạnh AB BC CA, , tam giác ABC Hỏi vectơ
MP NP vectơ vectơ sau?
A AP. B BP C MN D MB NB
Câu 21. Cho đường tròn O hai tiếp tuyến song song với tiếp xúc với O hai điểm A B Mệnh đề sau đúng?
A OA OB B AB OB C OA OB D AB BA
Câu 22. Cho đường tròn O hai tiếp tuyến MT MT, (T T hai tiếp điểm) Khẳng định sau đúng?
(9)A MT MT B MT MT TT C MT MT D OT OT Câu 23. Cho bốn điểm phân biệt A B C D, , , Mệnh đề sau đúng?
A AB CD AD CB B AB BC CD DA.
C AB BC CD DA D AB AD CD CB
Câu 24. Gọi O tâm hình vng ABCD Vectơ vectơ CA?
A BC AB B OA OC C BA DA D DC CB
Câu 25. Cho lục giác ABCDEF có tâm O Đẳng thức sau sai?
A.OA OC OE B.OA OC OB EB
C. AB CD EF 0. D BC EF AD
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Hỏi vectơ AO DO
bằng vectơ vectơ sau?
A BA B BC C DC D. AC
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Đẳng thức sau sai?
A OA OB OC OD B AC AB AD.
C BA BC DA DC D. AB CD AB CB
Câu 28 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Gọi E F, trung điểm AB BC, Đẳng thức sau sai?
A DO EB EO. B OC EB EO.
C OA OC OD OE OF D. BE BF DO
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mệnh đề sau đúng?
A GA GC GD BD B GA GC GD CD
C GA GC GD O D GA GD GC CD
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD Khẳng định sau đúng?
A AC BD B AB AC AD 0.
C AB AD AB AD D. BC BD AC AB
Vấn đề TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Câu 31. Cho tam giác ABC cạnh a Tính AB AC
A AB AC a B.
2
a
AB AC
C AB AC a D. AB AC 2a
Câu 32. Cho tam giác ABC vng cân A có AB a Tính AB AC
(10)A AB AC a B 2
a
AB AC
C AB AC a D. AB AC a
Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân C AB Tính độ dài AB AC
A. AB AC B. AB AC
C. AB AC D. AB AC
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông A có AB 3,AC Tính CA AB
A CA AB B CA AB 13 C CA AB D. CA AB 13
Câu 35 Tam giác ABC có AB AC a BAC 120 Tính AB AC
A AB AC a B AB AC a.
C
2
a
AB AC D. AB AC a
Câu 36. Cho tam giác ABC cạnh a, H trung điểm BC Tính CA HC
A
2
a
CA HC B
2
a
CA HC C.
3
a
CA HC D.
2
a CA HC
Câu 37. Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC 12 Tính độ dài vectơ
v GB GC
A v B v C v D v
Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC 2a BD a Tính AC BD
A AC BD a B AC BD a
C AC BD a D. AC BD a
Câu 39 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB DA
A AB DA B AB DA a C AB DA a D AB DA a
Câu 40. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính OB OC
A OB OC a B OB OC a C
2
a
OB OC D.
2
a
OB OC
Vấn đề XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
(11)Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA MB MC Xác định vị trí điểm
M
A M điểm thứ tư hình bình hành ACBM. B M trung điểm đoạn thẳng AB.
C M trùng với C.
D M trọng tâm tam giác ABC
Câu 42. Cho tam giác ABC Tập hợp tất điểm M thỏa mãn đẳng thức
MB MC BM BA
A đường thẳng AB B trung trực đoạn BC
C đường trịn tâm A, bán kính BC D. đường thẳng qua A song song với BC
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD Tập hợp tất điểm M thỏa mãn đẳng thức
MA MB MC MD
A một đường tròn B một đường thẳng
C tập rỗng D. đoạn thẳng
Câu 44. Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MB MC AB Tìm vị trí điểm M
A M trung điểm AC B M trung điểm AB
C M trung điểm BC D.M điểm thứ tư hình bình hành ABCM
Câu 45. Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn điều kiện MA MB MC Mệnh đề
sau sai?
A MABC hình bình hành B AM AB AC.
C BA BC BM D. MA BC
BÀI
3 TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1 Định nghĩa
Cho số k vectơ a Tích vectơ a với số k vectơ, kí hiệu k a, hướng với a k 0, ngược hướng với a k có độ dài k a
2 Tính chất
Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có
k a b k a k b ;
h k a h a k a;
h k a hk a ;
1.a a, a a
3 Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác a) Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có
(12)2 .
MA MB MI
b) Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có
3 .
GA GB GC MG
4 Điều kiện để hai vectơ phương
Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b b phương có số k để .
a k b
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A B C, , thẳng hàng có số k khác để .
AB k AC
5 Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương
Cho hai vectơ a b khơng phương Khi vectơ x phân tích cách theo hai vectơ a b, nghĩa có cặp số h k, cho x h a k b
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA a Tính 2OA OB
A a B a C a D 2a Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA a Khẳng định sau sai ?
A 3OA 4OB a B 2OA 3OB a
C 7OA 2OB a D 11OA 6OB a
Vấn đề PHÂN TÍCH VECTƠ
Câu 3. Cho tam giác ABC có M trung điểm BC I, trung điểm AM Khẳng định sau ?
A IB 2IC IA B IB IC 2IA
C 2IB IC IA D IB IC IA
Câu 4. Cho tam giác ABC có M trung điểm BC I, trung điểm AM Khẳng định sau ?
A
4
AI AB AC B
4
AI AB AC
C 1
4
AI AB AC D 1
4
AI AB AC
Câu 5. Cho tam giác ABC có M trung điểm BC G, trọng tâm tam giácABC Khẳng định sau ?
(13)A
3
AG AB AC B
3
AG AB AC
C
3
AG AB AC D
3
AI AB AC
Câu Cho tứ giác ABCD Trên cạnh AB CD, lấy điểm M N, cho 3AM 2AB 3DN 2DC Tính vectơ MN theo hai vectơ AD BC,
A 1
3
MN AD BC B
3
MN AD BC
C
3
MN AD BC D
3
MN AD BC
Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy AB CD Gọi M N trung điểm
AD BC Khẳng định sau sai ?
A MN MD CN DC B MN AB MD BN
C
2
MN AB DC D
2
MN AD BC
Câu Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm AB Khẳng định sau ?
A
2
DM CD BC B
2
DM CD BC
C
2
DM DC BC D
2
DM DC BC
Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB cho 3AM AB N trung điểm
của AC Tính MN theo AB AC
A 1
2
MN AC AB B 1
2
MN AC AB
C 1
2
MN AB AC D 1
2
MN AC AB
Câu 10. Cho tam giác ABC Hai điểm M N, chia cạnh BC theo ba phần
BM MN NC Tính AM theo AB AC
A
3
AM AB AC B
3
AM AB AC
C
3
AM AB AC D
3
AM AB AC
Câu 11 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Tính AB theo AM BC
A
2
AB AM BC B
2
AB BC AM
C
2
AB AM BC D
2
AB BC AM
Câu 12 Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho
2
NC NA Gọi K trung điểm MN Khi
(14)A 1
6
AK AB AC B 1
4
AK AB AC
C 1
4
AK AB AC D 1
6
AK AB AC
Câu 13 Cho hình bình hành ABCD Tính AB theo AC BD
A 1
2
AB AC BD B 1
2
AB AC BD
C
2
AB AM BC D
2
AB AC BD
Câu 14. Cho tam giác ABC đặt a BC b, AC Cặp vectơ sau phương?
A 2a b a, b B 2a b a, b C 5a b, 10a b D a b a b,
Câu 15 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MA MB MC Khẳng định sau
đúng ?
A Ba điểm C M B, , thẳng hàng B AM phân giác góc BAC C A M, trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng
D AM BC
Vấn đề CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 16 Cho tam giác ABC có G trọng tâm I trung điểm BC Đẳng thức sau ?
A.GA 2GI B
3
IG IA C. GB GC 2GI D GB GC GA Câu 17. Cho tam giác ABC có G trọng tâm M trung điểm BC Khẳng định sau
sai?
A.
3
GA AM B AB AC 3AG C.GA BG CG D GB GC GM Câu 18. Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm BC Khẳng định sau
?
A. AM MB MC B. MB MC
C. MB MC D.
2
BC AM
Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Khẳng định sau sai ?
A. AB 2AM B. AC 2NC C. BC 2MN D.
2
CN AC
Câu 20. Cho tam giác ABC có G trọng tâm Mệnh đề sau ?
A.
3
AB AC AG B BA BC 3BG
C.CA CB CG D AB AC BC
(15)Câu 21. Cho tam giác ABC điểm I thỏa mãn IA IB Mệnh đề sau ?
A.
3
CA CB
CI B
3
CA CB
CI
C.CI CA 2CB D
3
CA CB
CI
Câu 22 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Mệnh đề sau ?
A 2MA MB 3MC AC 2BC B 2MA MB 3MC 2AC BC C 2MA MB 3MC 2CA CB D 2MA MB 3MC 2CB CA Câu 23. Cho hình vng ABCD có tâm O Mệnh đề sau sai ?
A. AB AD 2AO B
2
AD DO CA
C.
2
OA OB CB D AC DB 2AB
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau ?
A. AC BD 2BC B AC BC AB
C. AC BD 2CD D AC AD CD
Câu 25. Cho hình bình hành ABCD có M giao điểm hai đường chéo Mệnh đề sau
sai ?
A. AB BC AC B AB AD AC
C. BA BC 2BM D MA MB MC MD
Vấn đề XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 26 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn 2MA MB CA Khẳng định sau
đúng ?
A. M trùng A B. M trùng B
C. M trùng C D. M trọng tâm tam giác ABC
Câu 27 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt GA a GB, b Hãy tìm m n, để có
BC ma nb
A m 1,n B m 1,n C m 2,n D m 2,n
Câu 28 Cho ba điểm A B C, , không thẳng hàng điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ
MA x MB y MC
Tính giá trị biểu thức P x y
A P B P C P D P
Câu 29 Cho hình chữ nhật ABCD số thực k Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức
MA MB MC MD k
A. đoạn thẳng B. đường thẳng
C. đường tròn D. điểm
Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD I giao điểm hai đường chéo Tập hợp điểm M
(16)thỏa mãn MA MB MC MD
A. trung trực đoạn thẳng AB B. trung trực đoạn thẳng AD
C. đường trịn tâm I, bán kính
2
AC
D đường trịn tâm I, bán kính
2
AB BC
Câu 31 Cho hai điểm A B, phân biệt cố định, với I trung điểm AB Tập hợp điểm
M thỏa mãn đẳng thức MA MB MA MB
A. đường trịn tâm I, đường kính
2
AB
B. đường trịn đường kính AB
C. đường trung trực đoạn thẳng AB
D. đường trung trực đoạn thẳng IA
Câu 32 Cho hai điểm A B, phân biệt cố định, với I trung điểm AB Tập hợp điểm
M thỏa mãn đẳng thức 2MA MB MA 2MB
A. đường trung trực đoạn thẳng AB
B. đường trịn đường kính AB
C. đường trung trực đoạn thẳng IA
D. đường tròn tâm A, bán kính AB
Câu 33 Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Ttập hợp điểm M thỏa mãn
MA MB MA MC
A. đường trung trực đoạn BC B. đường trịn đường kính BC
C. đường trịn tâm G, bán kính
3
a
D. đường trung trực đoạn thẳng AG
Câu 34 Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức
2MA 3MB 4MC MB MA đường trịn cố định có bán kính R Tính bán kính R theo a
A
3
a
R B
9
a
R C
2
a
R D
6
a R
Câu 35 Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa mãn MA MB MC 3?
A 1. B 2 C 3 D Vơ số
BÀI
4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1 Trục độ dài đại số trục
a) Trục tọa độ (hay gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O gọi điểm gốc vectơ đơn vị e
Ta kí hiệu trục O e;
(17)b) Cho M điểm tùy ý trục O e; Khi có số k cho OM k e Ta gọi số k tọa độ điểm M trục cho
c) Cho hai điểm A B trục O e; Khi có số a cho AB a e Ta gọi số a độ dài đại số vectơ AB trục cho kí hiệu a AB
Nhận xét.
Nếu AB hướng với e AB AB, cịn AB ngược hướng với e AB AB Nếu hai điểm A B trục O e; có tọa độ a b AB b a
2 Hệ trục tọa độ
a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O i j; , gồm hai trục O i; O j; vng góc với Điểm gốc O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục O i; gọi trục hoành kí hiệu Ox, trục O j; gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Ox Oy i j Hệ trục tọa độ O i j; , cịn kí hiệu Oxy
Mặt phẳng mà cho hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt mặt phẳng Oxy
b) Tọa độ vectơ
Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Vẽ OA u gọi A A1, 2 hình chiếu vng góc A lên Ox Oy Ta có OA OA1 OA2 cặp số x y; để
1 ,
OA x i OA y j Như u x i y j
Cặp số x y; gọi tọa độ vectơ u hệ tọa độ Oxy viết
;
u x y u x y; Số thứ x gọi hoành độ, số thứ hai y gọi tung độ vectơ u Như
u x y; u x i y j
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ vectơ, ta thấy hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ
Nếu u x y; u x y; u u x x .
y y
M
O
O
(18)Như vậy, vectơ hoàn toàn xác định biết tọa độ
c) Tọa độ điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM hệ trục
Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục
Như vậy, cặp số x y; tọa độ điểm M OM x y; Khi ta viết
;
M x y M x y; Số x gọi hồnh độ, cịn số y gọi tung độ điểm
M Hoành độ điểm M cịn kí hiệu xM, tung độ điểm M cịn kí hiệu
M
y
M x y; OM x i y j
Chú ý rằng, MM1 Ox MM, 2 Oy x OM1, y OM2 d) Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng
Cho hai điểm A x yA; A B x yB; B Ta có
; .
B A B A
AB x x y y
3 Tọa độ vectơ u v u, v k u,
Ta có cơng thức sau:
Cho u u u1; ,v v v1;
Khi đó:
u v u1 u v2; v2 ;
u v u1 u v2; v2 ;
k u k u k u1; 2 ,k
Nhận xét. Hai vectơ u u u1; ,v v v1; với v phương có số k cho u1 k v1 u2 k v2
4 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác
a) Cho đoạn thẳng AB có A x yA; A ,B x yB; B Ta dễ dàng chứng minh tọa độ trung
điểm I x yI; I đoạn thẳng AB
O
(19)
, .
2 2
A B A B
I I
x x y y
x y
b) Cho tam giác ABC có A x yA; A ,B x yB; B ,C x yC; C Khi tọa độ trọng tâm
;
G G
G x y tam giác ABC tính theo cơng thức
, .
3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
C HIỆM
Vấn đề TỌA ĐỘ VECTƠ
Câu 1. Khẳng định sau đúng?
A. a 5;0 , b 4;0 hướng B. c 7;3 vectơ đối d 7;3
C.u 4;2 , v 8;3 phương D. a 6;3, b 2;1 ngược hướng
Câu Cho a 2; , b 5;3 Tìm tọa độ u 2a b
A u 7; B u 9; 11 C u 9; D u 1;5
Câu Cho a 3; , b 1;2 Tìm tọa độ vectơ a b
A 4;6 B 2; C 4; D 3;
Câu Cho a 1;2 , b 5; Tìm tọa độ vectơ a b
A 6; B 4; C 6;9 D 5; 14 Câu Trong hệ trục tọa độ O i j; ; , tọa độ vectơ i j
A 0;1 B 1; C 1;1 D 1;1
Câu 6. Cho u 3; , v 1;6 Khẳng định sau đúng?
A.u v a 4;4 ngược hướng B. u v, phương
C.u v b 6; 24 hướng D. 2u v v, phương
Câu 7. Cho u 2i j v i xj Xác định x cho u v phương
A. x B.
2
x C.
4
x D. x
Câu Cho a 5;0 , b 4; x Tìm x để hai vectơ a b, phương
A x B x C x D x
Câu Cho a x;2 , b 5;1 , c x;7 Tìm x biết c 2a 3b
A x 15 B x C x 15 D x
Câu 10. Cho ba vectơ a 2;1 , b 3;4 , c 7;2 Giá trị k h, để c k a h b
(20)A. k 2,5; h 1,3 B. k 4,6; h 5,1 C. k 4,4; h 0,6 D. k 3,4; h 0,2
Vấn đề TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Câu 11 Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 5;2 , 10;8 B Tìm tọa độ vectơ AB?
A AB 15;10 B AB 2;4 C AB 5;6 D AB 50;16
Câu 12 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;3 , B 1;2 , C 2;1 Tìm tọa độ vectơ
AB AC
A 5; B 1;1 C 1;2 D 1;1
Câu 13 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2; , 4;7 B Tìm tọa độ trung điểm I đoạn
thẳng AB
A I 6;4 B I 2;10 C I 3;2 D I 8; 21
Câu 14 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;5 , 1;2 , B C 5;2 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC?
A G 3; B 9; 2
G C G 9;9 D G 3;3
Câu 15 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 6;1 , B 3;5 trọng tâm G 1;1
Tìm tọa độ đỉnh C?
A C 6; B C 6;3 C C 6; D C 3;6
Câu 16 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 2;2 , 3;5B trọng tâm gốc tọa độ
0;0
O Tìm tọa độ đỉnh C?
A C 1; B C 2; C C 3; D C 1;7
Câu 17. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1; , N 5; C thuộc trục Oy, trọng tâm G tam giác thuộc trục Ox Tìm tọa độ điểm C
A C 0;4 B C 2;4 C C 0;2 D C 0;
Câu 18. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C 2; , trọng tâm G 0;4 trung điểm cạnh BC M 2;0 Tổng hoành độ điểm A B
A B 2 C 4 D 8
Câu 19 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;1 , 1;3 , B C 2;0 Khẳng định sau
sai?
A AB 2AC B A B C, , thẳng hàng.
C
3
BA BC D BA 2CA
Câu 20 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 3; , 7;1 , B C 0;1 , D 8; Khẳng định
nào sau đúng?
(21)A AB CD, hai vectơđối B AB CD, ngược hướng C AB CD, hướng D A B C D, , , thẳng hàng
Câu 21 Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 1;5 , 5;5 , B C 1;11 Khẳng định sau đúng?
A A B C, , thẳng hàng B AB AC, phương C AB AC, khôngcùng phương D AB AC, hướng
Câu 22 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 1;1 , 2; , B C 4;3 , D 3;5 Khẳng định
sau đúng?
A Tứ giác ABCD hình bình hành B G 9;7 trọng tâm tam giác BCD C AB CD D AC AD, phương
Câu 23 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;1 , B 2; , C 7;7 Khẳng định
nào sau đúng?
A G 2;2 trọng tâm tam giác ABC B B hai điểm A C
C A hai điểm B C D AB AC, hướng
Câu 24 Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 3; Gọi M M1, 2 hình chiếu vng góc M Ox Oy, Khẳng định đúng?
A OM1 B OM2
C OM1 OM2 3; D OM1 OM2 3;
Câu 25 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC, điểm C thuộc trục hoành.Khẳng định sau đúng?
A AB có tung độ khác B Hai điểm A B, có tung độ khác C C có hồnh độ D xA xC xB
Câu 26 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 5; , B 5;3 , C 3;3 , D 3; Khẳng
định sau đúng?
A AB CD, hướng B ABCD hình chữ nhật
C I 1;1 trung điểm AC D OA OB OC
Câu 27 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 2;1 , 2; , B C 2; , D 2; Xét hai
mệnh đề:
I ABCD hình bình hành II AC cắt BD M 0; Khẳng định sau đúng?
A Chỉ I B Chỉ II
C Cả I II D Cả I II sai
Câu 28 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;1 , 3;2 , B C 6;5 Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành
(22)A D 4;3 B D 3;4 C D 4;4 D D 8;6
Câu 29 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 0; , 2;1 , B D 5;5 Tìm tọa độ điểmC để tứ giác ABCD hình bình hành
A C 3;1 B C 3; C C 7;9 D C 7;
Câu 30 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A 0;3 , D 2;1 I 1;0 tâm
của hình chữ nhật Tìm tọa độ tung điểm cạnh BC
A 1;2 B 2; C 3; D 4;
Câu 31 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 9;7 , 11; B C Gọi M N, trung điểm AB AC, Tìm tọa độ vectơ MN ?
A MN 2; B MN 1; C MN 10;6 D MN 5;3
Câu 32 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 2;3 , N 0; , P 1;6
trung điểm cạnh BC CA AB, , Tìm tọa độ đỉnh A?
A A1;5 B A 3; C A 2; D A 1; 10
Câu 33 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 , B 2;3 Tìm tọa độ đỉểm I cho
2
IA IB
A I 1;2 B 1;2
I C 1;
3
I D I 2;
Câu 34. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2; , 3;4 B Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho A B M, , thẳng hàng
A. M 1;0 B. M 4;0 C. 5; 3
M D. 17;0
7
M
Câu 35 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;0 , 0;3B C 3; Tìm điểm M thuộc
trục hoành cho biểu thức P 2MA 3MB 2MC đạt giá trị nhỏ
A. M 4;0 B. M 4;0 C. M 16;0 D. M 16;0
(23)Q
P N
M
D
C
B A
CHỦ ĐỀ VECTƠ BÀI ĐỊNH NGHĨA
Câu Chọn D
Câu Chọn B Đó vectơ: AB BA BC CB CA AC, , , , ,
Câu 3. Xét vectơ có điểm A điểm đầu có vectơ thỏa mãn tốn
, ,
AB AC AD có vectơ
Tương tự cho điểm lại B C D, , Chọn D.
Câu 4.Chọn A Vì vectơ - không phương với vectơ
Câu 5.Chọn A.
Câu Chọn B
Câu Chọn B Đó vectơ: AB BA DE ED FC CF, , , , ,
Câu 8.Chọn D
Câu Chọn C. Vì xảy trường hợp AB A B
Câu 10 Chọn D
Câu 11.Chọn B.
Câu 12 Ta có:
AB CD AB CD ABDC
AB CD hình bình hành
Mặt khác, ABDC hình bình hành AB CD AB CD
AB CD
Do đó, điều kiện cần đủ để AB CD ABDC hình bình hành Chọn B.
Câu 13 Chọn D Phải suy ABDC hình bình hành (nếu A B C D, , , không thẳng hàng) bốn điểm A B C D, , , thẳng hàng
Câu 14 Chọn C
Câu 15.Chọn D
Ta có MN PQ
MN PQ (do song song
1 2AC )
Do MNPQ hình bình hành
Câu 16.Chọn C.
O F E
D
C B
A
(24)N M
C B
A
O H
D
C B
A
Vì AB BC AB BC
Câu 17 Chọn D Câu 18
Ta có MN đường trung bình tam giác ABC Do BC 2MN BC 2MN
Chọn D Câu 19 Chọn D. Câu 20
Từ giả thiết suy tam giác ABD cạnh a nên BD a BD a. Chọn B
Câu 21 Chọn D Câu 22 Chọn A Đó vectơ: AB ED,
Câu 23.
Ta có AH BC DC BC (do góc DCB chắn nửa đường trịn) Suy AH DC
Tương tự ta có CH AD
Suy tứ giác ADCHlà hình bình hành Do HA CD AD HC Chọn B.
Câu 24 Ta có AB CD AB CD Suy tập hợp điểm D thỏa mãn yêu cầu tốn
đường trịn tâm C, bán kính AB. Chọn D Câu 25 Chọn A
D
C B
A
O F E
D
C B
A
O F E
D
C B
A
(25)H C B
A
D C
B A
BÀI TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ Câu Xét đáp án:
Đáp án A Ta có AB AC AD BC (với D điểm thỏa mãn ABDC hình bình hành) Vậy A sai
Đáp án B Ta có MP NM NM MP NP Vậy B Chọn B
Đáp án C Ta có CA BA AC AB AD CB (với D điểm thỏa mãn ABDC hình bình hành) Vậy C sai
Đáp án D Ta có AA BB 0 AB Vậy D sai
Câu 2.Chọn D
Ta có a b Do đó, a b phương, độ dài ngược hướng
Câu 3. Xét đáp án:
Đáp án A Ta có CA BA CA AB CB BC Vậy A sai
Đáp án B Ta có AB AC AD BC (với D điểm thỏa mãn ABDC hình bình hành) Vậy B sai
Đáp án C Ta có AB CA CA AB CB Vậy C Chọn C
Câu 4. Ta có AB CD DC Do đó:
AB CD ngược hướng
AB CD độ dài
ABCD hình bình hành AB CD không giá
AB CD
Chọn B
Câu 5. Ta có MN PQ RN NP QR MN NP PQ QR RN MN
Chọn B
Câu 6.Chọn C
Câu 7. Điều kiện cần đủ để I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB IA IB
Chọn B.
Câu Tam giác ABC cân A, đường cao AH Do đó, H trung điểm BC Ta có:
AB AC AB AC H trung điểm
2
HC HB
BC
BC HC Chọn A
Câu 9.
(26)O
D C
B A
N
M A
B C
N P
M A
B C
ABCD hình vng AD BC CB AD CB Chọn D
Câu 10. Chọn D Với ba điểm phân biệt A B C, , nằm đường thẳng, đẳng thức
AB BC AC AB BC AC xảy B nằm A C
Câu 11. Xét đáp án:
Đáp án A Ta có OA OB BA CD Vậy A
Đáp án B Ta có OB OC CB AD
OD OA AD Vậy B sai Đáp án C Ta có AB AD DB Vậy C
Đáp án D Ta có BC BA AC
DC DA AC Vậy D Chọn B
Câu 12 Chọn A Do ABCD hình bình hành nên BC AD
Suy AB BC AB AD DB
Câu 13. Ta có OB OC CB DA Chọn B
Câu 14. Độ dài cạnh tam giác a độ dài vectơ AB BC CA a
Chọn C.
Câu 15. Xét đáp án:
Đáp án A Ta có AM MB BA 0 (theo quy tắc ba điểm) Chọn A
Đáp án B, C Ta có
MA MB 2MN AC
(với điểm Nlà trung điểm AB)
Đáp án D Ta có AB AC 2AM
Câu 16. Xét đáp án:
Đáp án A Ta có AB BC CA AA
Đáp án B Ta có 1
2 2
AP BM CN AB BC CA
1
2 AB BC CA 2AA
Đáp án C Ta có MN NP PM MM
Đáp án D Ta có 1
2 2
PB MC AB BC AC AN PM MP
Chọn D.
(27)H
B C
A
A
H
B C
P M
N C
B
A
O
B A
Câu 17. Đáp án A ba điểmA B C, , thẳng hàng B nằm giữaA C,
Đáp án B theo quy tắc ba điểm Chọn B.
Câu 18. Do ABC cân A,
AH đường cao nên H trung điểm BC Xét đáp án:
Đáp án A Ta có AB AC 2AH
Đáp án B Ta có HA HB HC HA HA
Đáp án C Ta có HB HC (do H trung điểm BC)
Đáp án D Do AB AC không phương nên AB AC. Chọn C.
Câu 19. Do ABC cân A, AH đường cao nên H trung điểm BC
Xét đáp án:
Đáp án A Ta có
AH HB AB a
AH HC AC a
AH HB AH HC
Đáp án B Ta có AH AB BH
AH AC CH BH Do B sai Chọn B. Đáp án C Ta có BC BA AC BC BA HC HA
HC HA AC
Đáp án D Ta có AB AH HB AH (do ABC vng cân A)
Câu 20.
Ta có NP BM MP NP MP BM BP. Chọn B.
Câu 21.
Do hai tiếp tuyến song song A B, hai tiếp điểm nên AB đường kính Do O trung điểm AB
Suy OA OB
Chọn A
Câu 22.
Do MT MT, hai tiếp tuyến (T T hai tiếp điểm) nên MT MT
Chọn C.
(28)O B A
D C
D B A
E O
F C
O C
A B
D
Câu 23. Ta có AB CD AD DB CB BD AD CB DB BD AD CB.
Chọn A.
Câu 24. Xét đáp án:
Đáp án A Ta có BC AB AB BC AC CA
Đáp án B Ta có OA OC OC OA AC CA
Đáp án C Ta có BA DA AD AB AC CA
Đáp án D Ta có DC CB DC BC CD CB CA
Chọn C. Câu 25. Ta có
0
OA OC OE OA OC OE OB OE Do đo A
OA OC OB OA OC OB
2
OB OB OB EB Do đo B
AB CD EF AB CD EF AB BO EF
0
AO EF AO OA AA Do C Dùng phương pháp loại trừ, suy D sai Chọn D.
Câu 26. Ta có AO DO OA OD OD OA AD BC Chọn B
Câu 27. Xét đáp án:
Đáp án A Ta có OA OB OC OD OA OC OB OD
Đáp án B Ta có AB AD AC (quy tắc hình bình hành)
Đáp án C Ta có
BA BC BD BD
DA DC DB BD
T' O
T
M
O C
A B
D
(29)O F E C A B D D C B A G C A B D A H B C M B C A I C B A Đáp án D Do CD CB AB CD AB CB
Chọn D Câu 28
Ta có OF OE, đường trung bình tam giác BCD ABC
BEOF hình bình hành
BE BF BO BE BF DO BO DO OD OB BD
Chọn D Câu 29
Vì G trọng tâm tam giác ABC nên GA GB GC O
GA GC GB
Do GA GC GD GB GD GD GB BD
Chọn A. Câu 30.
Ta có
AB AD DB BD
AB AD AC AC
Mà BD AC AB AD AB AD
Chọn C Câu 31
Gọi H trung điểm BC AH BC
Suy 3
2
BC a
AH
Ta lại có 2 3
2
a
AB AC AH a Chọn A.
Câu 32.
Gọi M trung điểm
2
BC AM BC
Ta có AB AC 2AM 2AM BC a Chọn A
Câu 33.
Ta có AB AC CB
Gọi I trung điểm 2
2
BC AI AC CI
Khi
5
2 2
2
AC AB AI AC AB AI
(30)D A
H
B C
G M
A C
B
M O
D
C B
A
O M
C D
A B
Chọn A
Câu 34. Ta có CA AB CB CB AC2 AB2 32 42 Chọn C.
Câu 35 Gọi M trung điểm BC AM BC
Trong tam giác vuông AMB, ta có sin sin 300
2
a
AM AB ABM a
Ta có AB AC 2AM 2AM a. Chọn B
Câu 36. Gọi D điểm thỏa mãn tứ giác ACHD hình bình hành
AHBD hình chữ nhật
CA HC CA CH CD CD
Ta có
2
2 2 7.
4
a a
CD BD BC AH BC a
Chọn D Câu 37.
Gọi M trung điểm BC Ta có GB GC 2GM 2GM
1 2
2
3 3
BC
AM AM BC Chọn D.
Câu 38. Gọi O AC BD M trung điểm CD
Ta có AC BD 2OC OD 2OM 4OM
2
2 2
1
4 2
2
a
CD OD OC a a
Chọn C
Câu 39 Ta có AB DA AB AD AC AC a 2.Chọn C.
Câu 40. Gọi M trung điểm BC
Ta có OB OC 2OM 2OM AB a. Chọn A
Câu 41. Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có GA GB GC M G Chọn D
M C
B
A
(31)C
A B
D
I M A
B C
C
A M
B
Câu 42. Ta có MB MC BM BA CB AM AM BC
Mà A B C, , cố định Tập hợp điểm M đường trịn tâm A, bán kính BC
Chọn C.
Câu 43. MA MB MC MD MB MC MD MA
CB AD: vơ lí
Khơng có điểm M thỏa mãn Chọn C.
Câu 44.
Gọi I trung điểm BC MB MC 2MI
AB MI M trung điểm AC
Chọn A. Câu 45.
Ta có MA MB MC BA MC MC AB
MABC hình bình hành
MA CB
Do D sai Chọn D.
(32)C
O B
A
E C
O D
A
B
I
M A
B C
I
M A
B C
G
M C
B A
BÀI TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ Câu 1.
Gọi C điểm đối xứng O qua A OC a
Tam giác OBC vng O, có BC OB2 OC2 a Ta có 2OA OB OC OB BC, suy
2OA OB BC a
Chọn C
Câu Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
A đúng, gọi C nằm tia đối tia AO cho OC 3OA 3OA OC
Và D nằm tia đối tia BO cho OD 4OB 4OB OD
Dựng hình chữ nhật OCED suy OC OD OE (quy tắc hình bình hành) Ta có 3OA 4OB OC OD OE OE CD OC2 OD2 a
B đúng, 2OA 3OB 2OA 3OB 2a 3a a
C sai, xử lý tương tự ý đáp án A. Chọn C
D đúng, 11OA 6OB 11OA 6OB 11a 6a a
Câu 3.
Vì M trung điểm BC nên IB IC 2IM Mặt khác I trung điểm AM nên IA IM Suy IB IC 2IA 2IM 2IA IM IA
Chọn B Câu 4.
Vì M trung điểm BC nên AB AC 2AM
Mặt khác I trung điểm AM nên 2AI AM
Từ , suy
4
AB AC AI AI AB AC
Chọn A Câu 5.
Vì G trọng tâm tam giác ABC
3
AG AM
(33)A
B
D
M
C N
N M
A B
D C
Và M trung điểm BC
2
AB AC AM AM AB AC
Do 1
3
AG AB AC AB AC
Chọn B Câu
Ta có MN MA AD DN MN MB BC CN Suy 3MN MA AD DN MB BC CN
2 2
MA MB AD BC DN CN
Theo ra, ta có MA 2MB DN 2CN
Vậy 2
3
MN AD BC MN AD BC Chọn C
Câu 7.
Vì M N, trung điểm AD BC,
0
MA MD
BN CN
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
A đúng, MD CN DC MN MD DC CN MC CN MN
B đúng, AB MD BN AB BN MD AN AM MN
C đúng, MN MA AB BN MN MD DC CN
Suy 2MN MA MD AB DC BN CN AB DC AB DC
1
MN AD BC
D sai, theo phân tích đáp án C. Chọn D
Câu Xét đáp án ta thấy tốn u cần phân tích vectơ DM theo hai vectơ DC BC Vì ABCD hình bình hành nên DB DA DC
Và M trung điểm AB nên 2DM DA DB 2DM 2DA DC
2DM 2BC DC suy
2
DM DC BC Chọn C.
Câu 9. Vì N trung điểm AC nên 2MN MA MC MA MA AC
2MN 2MA AC
3AB AC
(34)Suy 1
3
MN AB AC Chọn B.
Câu 10. Ta có 1
3 3
AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC
Chọn A
Câu 11 Ta có
2
AB AM MB AM BC Chọn C
Câu 12 Ta có 1 1 1
2 2
AK AM AN AB AC AB AC Chọn C.
Câu 13 Vì ABCD hình bình hành nên CB AD
Ta có AB AC CB 2AB AC DB CB AD AC DB
AB AD DB
1 .
2
AB AC BD Chọn A
Câu 14. Dễ thấy 10a 2b 5a b
hai vectơ 5a b, 10a 2b phương Chọn C
Câu 15 Gọi I G, trung điểm BC trọng tâm tam giác ABC Vì I trung điểm BC nên MB MC 2MI
Theo ra, ta có MA MB MC suy MA 2MI A M I, , thẳng hàng Mặt khác G trọng tâm tam giác ABC G AI
Do đó, ba điểm A M G, , thẳng hàng Chọn C
Câu 16 Vì I trung điểm BC suy IB IC
Ta có
0
2
GB GI IB
GB GC IB IC GI GI
GC GI IC Chọn C
Câu 17. Vì M trung điểm BC suy MB MC
Ta có
0
2
GB GM MB
GB GC MB MC GM GM
GC GM MC Chọn D
Câu 18. Vì M trung điểm BC nên MB MC MB MC Chọn C
Câu 19 Vì M N, trung điểm AB AC,
Suy MN đường trung bình tam giác ABC
2
MN BC
Mà BC MN, hai vectơ hướng nên BC 2MN Chọn C
Câu 20. Gọi E trung điểm AC BA BC 2BE
(35)Mà G trọng tâm tam giác ABC
2
BE BG
Từ , suy 2.3
2
BA BC BG BG Chọn B
Câu 21. Từ giả thiết IA 2IB B trung điểm IA BI AB AI; 2AB
Lại có CI CB BI 2CI CB CA BI AI CA CB AB 2AB
CI CA AI
3
CA CB AB 2CI CA CB 3CB CA 2CA 4CB CI CA 2CB
Chọn C
Câu 22 Ta có 2MA MB 3MC 2MC 2CA MC CB 3MC 2CA CB
Chọn C
Câu 23. Ta có OA OB OC OB OB OC CB (vì OA OC 0) Chọn C
Câu 24. Ta có
0
2
AC AB BC
AC BD BC AB CD BC
BD BC CD Chọn A
Câu 25. Ta có MA MB MC MD MA MD MC MB DA BC
Suy điều khơng thể xảy DA BC Chọn D
Câu 26 Ta có 2MA MB CA 2MA MB CM MA
0
MA MB MC MA MB MC
Đẳng thức suy M trọng tâm tam giác ABC. Chọn D
Câu 27 Ta có BC BG GC BG GA GB GA 2GB GA GB GC
Chọn B
Câu 28 Do AB AC không phương nên tồn số thực x y, cho
,
AM x AB yAC M AM x AM MB y AM MC
1 x y AM x MB yMC x y MA x MB yMC
Theo ra, ta có MA x MB yMC suy x y 1 x y Chọn B
Câu 29 Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, ta có ,
2
MI MA MC
M
MI MB MD
Do 2
4
k
MA MB MC MD k MI MI k MI k MI
Vì I điểm cố định nên tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức đường trịn tâm I, bán kính
4
k
R Chọn C
(36)Câu 30 Gọi E F, trung điểm AB CD,
Khi ,
2
MA MB ME
M
MC MD MF
Do MA MB MC MD 2ME 2MF ME MF
Vì E F, hai điểm cố định nên từ đẳng thức suy tập hợp điểm M trung trực đoạn thẳng EF trung trực đoạn thẳng AD Chọn B
Câu 31 Vì I trung điểm AB suy MA MB 2MI
Do
2
AB
MA MB MA MB MI BA MI
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức đường trịn tâm I, bán kính
AB
R Chọn A
Câu 32 Chọn điểm E thuộc đoạn AB cho EB 2EA 2EA EB
Chọn điểm F thuộc đoạn AB cho FA 2FB 2FB FA Ta có
2MA MB MA 2MB 2ME 2EA ME EB 2MF 2FB MF FA
0
3ME 2EA EB 3MF 2FA FB 3ME 3MF ME MF
Vì E F, hai điểm cố định nên từ đẳng thức suy tập hợp điểm M trung trực đoạn thẳng EF
Gọi I trung điểm AB suy I trung điểm EF
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn 2MA MB MA 2MB đường trung trực đoạn thẳng AB Chọn A
Câu 33 Gọi I J, trung điểm AB AC, Khi
2
MA MB MI
MA MC MJ
Theo ra, ta có MA MB MA MC 2MI 2MJ MI MJ
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB MA MC đường trung trực đoạn thẳng IJ, đường trung trực đoạn thẳng BC IJ đường trung bình tam giác ABC Chọn A
Câu 34 Gọi G trọng tâm tam giác ABC
Ta có 2MA 3MB 4MC MI IA MI IB MI IC Chọn điểm I cho 2IA 3IB 4IC IA IB IC IC IA
(37)Mà G trọng tâm tam giác ABC IA IB IC 3IG Khi 9IG IC IA 9IG AI IC 9IG CA
Do
2MA 3MB 4MC MB MA 9MI 2IA 3IB 4IC AB 9MI AB
Vì I điểm cố định thỏa mãn nên tập hợp điểm M cần tìm đường trịn tâm I, bán
kính
9
AB a
R Chọn B
Câu 35 Gọi G trọng tâm tam giác ABC nên G cố định
0
GA GB GC
Ta có MA MB MC GA GB GC 3GM 3GM GM Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm G bán kính
Chọn D.
(38)BÀI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Câu 1. Ta có ,
4
a b a b hướng Chọn A
Câu Ta có 4; 5; 9; 11
5;
a
u a b
b Chọn B
Câu Ta có a b ; 2; Chọn B.
Câu Ta có a b 5;2 6;9 Chọn C
Câu Ta có 1;0 1;1
0;1
i
i j
j Chọn D.
Câu 6. Ta có u v 4;4 u v 2;
Xét tỉ số 4
4 u v a 4;4 không phương Loại A
Xét tỉ số
1 u v, không phương Loại B
Xét tỉ số
6 24 u v b 6; 24 hướng Chọn C.
Câu 7. Ta có 2;
1;
u i j u
v i xj v x
Để u v phương 1
2
x x
Chọn B
Câu Hai vectơ a b, phương 5.x 0.4 x Chọn C.
Câu Ta có 2 ;4 15;7
3 15;3
a x
a b x
b
Để c 2a 3b 15 15
7
x x
x Chọn C.
Câu 10. Ta có ; ;
;4
k a k k
k a h b k h k h h b h h
Theo đề bài: 4,4
2 0,6
k h k
c k a h b
k h h Chọn C
Câu 11 Ta có AB 5;6 Chọn C
Câu 12 Ta có 2; ; 1;1
3;
AB
AB AC
AC Chọn B.
Cách khác: AB AC CB 1;1
(39)Câu 13 Ta có
2
2 3;2
3 2 I I x I y Chọn C.
Câu 14 Ta có
3
3 3;3
5 2 3 G G x G y Chọn D
Câu 15 Gọi C x y;
Vì G trọng tâm tam giác ABC nên
6 6 . x x y
y Chọn C.
Câu 16 Gọi C x y;
Vì O trọng tâm tam giác ABC nên
2 0
1
3 .
2
0
x
x
y y Chọn A
Câu 17. Vì C thuộc trục Oy C có hồnh độ Loại B
Trọng tâm G thuộc trục Ox G có tung độ Xét đáp án lại có đáp án
A thỏa mãn
3
A B C
y y y
Chọn A.
Câu 18. Vì M trung điểm BC nên 2.2 6;4
2 2.0 4
B M C
B M C
x x x
B
y y y
Vì G trọng tâm tam giác ABC nên 4;12
3 12
A G B C
A G B C
x x x x
A
y y y y
Suy xA xB Chọn B
Câu 19 Ta có 2;2
1;
AB
AB AC
AC Chọn A
Câu 20 Ta có 4;3
8;
AB
CD AB
CD AB CD, ngược hướng
Chọn B
Câu 21 Ta có 6;0 6.6 0.0
0;6
AB
AC AB AC, khôngcùng phương Chọn C
(40)Câu 22 Ta có 1;
1;
AB
AB DC
DC ABCD hình bình hành Chọn A
Câu 23 Ta có 3;
6;6
AB
AC AB
AC Đẳng thức chứng tỏ A hai điểm B
và C Chọn C.
Câu 24 Từ giả thiết, suy M1 3;0 ,M2 0;
A Sai OM1 B Sai OM2 C Sai OM1 OM2 M M2 1 3;4
Dùng phương pháp loại trừ ta Chọn D
Cách Gọi I trung điểm 1 2 3;
2
M M I
Ta có 1 2 2 ;2.3 3;
2
OM OM OI Chọn D.
Câu 25 Từ giả thiết suy cạnh OC thuộc trục hoành cạnh AB song song với trục hoành
nên yA yB AB xA xB;0 Do loại A B
Nếu C có hồnh độ C 0;0 O: mâu thuẩn với giả thiết OABC hình bình hành Loại C
Dùng phương pháp loại trừ, ta Chọn D.
Cách 2. Gọi I tâm hình bình hành OABC Suy
I trung điểm ;
2
A C A
x x y
AC I
I trung điểm ;0
2
B B
x y
OB I
Từ suy 0
2
A C B
A C B
x x x
x x x Chọn D.
Câu 26 Ta có 0;5
0;
AB
AB CD
CD suy AB CD, ngược hướng Loại A
Tọa độ trung điểm AC
5
2
2
x y
Loại C
Ta có OC 3;3 ; 5; 10;1
5;3
OA
OA OB OC
OB Loại D
Dùng phương pháp loại trừ ta Chọn B.
Câu 27 Ta có AB 0; , DC 0; AB DC ABCD hình bình hành
(41)P N
M
C B
A
Khi tọa độ trung điểm AC 0; tọa độ trung điểm BD
Chọn C
Câu 28 Gọi D x y; Ta có 2;1
6 ;5
AB
DC x y
Tứ giác ABCD làhình bình hành AB DC
2
4;4
1
x x
D
y y Chọn C
Câu 29 Gọi C x y; Ta có 2;4
5;
AB
DC x y
Tứ giác ABCD làhình bình hành AB DC
2
7;9
4
x x
C
y y Chọn C
Câu 30 Gọi M tọa độ trung điểm cạnh AD M 1;2
Gọi N xN;yN tọa độ trung điểm cạnh BC
Do I tâm hình chữ nhật I trung điểm MN
Suy 3;
2
N I M
N I M
x x x
N
y y y Chọn C.
Câu 31 Ta có 1 2; 1;
2
MN BC Chọn B
Câu 32 Gọi A x y;
Từ giả thiết, ta suy PA MN * Ta có PA x 1;y MN 2;
Khi * 3;
6
x x
A
y y
Chọn B
Câu 33 Gọi I x y; Ta có ;2
2 ;3 ;6
IA x y
IB x y IB x y
2 3 ;8
IA IB x y
Do từ giả thiết
1 3
2 8
8
3
x x
IA IB
y y Chọn C
Câu 34. Điểm M Ox M m;0 Ta có AB 1;7 AM m 2;3
(42)ĐểA B M, , thẳng hàng AB phương với AM 17
1 7
m m Chọn D
Câu 35 Ta có 2MA 3MB 2MC MI IA MI IB MI IC , I
MI IA 3IB 2IC , .I Chọn điểm I cho 2IA 3IB 2IC *
Gọi I x y; , từ * ta có
3 4; 16
2 2 16
x x x x
I
y y y y
Khi P 2MA 3MB 2MC MI MI
Để P nhỏ MI nhỏ Mà M thuộc trục hoành nên MI nhỏ M hình chiếu vng góc I lên trục hoành M 4;0 Chọn B.