Bài tập thể tích khối chop đều có lời giải chi tiết

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3.. Tính thể tích của khối tứ diện đóA[r]

THỂ TÍCH KHỐI CHĨP ĐỀU A BÀI TẬP

Câu Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm BC Thể tích Vcủa khối chóp

M ABC bao nhiêu? A

3 24

a

V = B

3

a

V = C

3 12

a

V = D

3 24

a

V =

Câu Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên tạo với đáy góc 60° Thể tích hình chóp là:

A 6 a B 3 a C 3 a D a Câu 3. Thể tích hình tứ diện có cạnh a là:

A 3 a B 12 a C a D 12 a

Câu 4.Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp tứ giác cho

A 2 a B a C 14 a D 14 a

Câu Cho hình chóp tứgiác có cạnh đáy a cạnh bên a Tính thể tích V của khối chóp theo a

A

3

a

V = B

3

2

a

V = C

3

2

a

V = D

3

10

a

V =

Câu 6.Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh nhau, đường cao mặt bên a Thể tích V khối chóp là:

A

6

=

V a B

9

=

V a C 2

3

=

V a D

3

=

V a

Câu 7.Cho tứ diện ABCD cạnh 2a Tính thể tích khối tứ diện

A

2 12 a

V = B

3 a

V =

C 3 a V = D a

V =

Câu Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a, khoảng cách hai đường thẳng SA CD a Thể tích khối chóp S ABCD bằng?

A 4a3 B a3 C 3 a D 3 a

Câu 9. Cho khối chóp S ABC có cạnh bên a mặt bên hợp với đáy góc 45° Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

A 15 25 a B 5 25 a C 3 a D 15 a

Câu 10 Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh nhau, đường cao mặt bên a Tính thể tích V khối chóp

A

2

a

V = B V =4a3 C

3

4

a

V = D

3

2

a

V =

A

3

a

V = B

3

3 24

a

V = C

3

2

a

V = D

3

3

a

V =

Câu 12 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên a (hình vẽ) Thể tích khối chóp

A

3

a

B

3

2

a

C

3

6

a

D

3

6

a

Câu 13 [SởGDĐTLâmĐồnglần07 - 2017] Cho ( )H khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích ( )H bằng:

A 4

5a B

3

4

3 a C

3

4

3 a D

3 3a

Câu 14. Một hình chóp tam giác có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc α Thể tích hình chóp

A 3cos sin

4 b α α B

3

sin cos

4b α α

C 3 3cos2 sin

4b α α D

3

3

cos sin b α α Câu 15.Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích

6

V = Gọi M trung điểm cạnh SD Nếu SB⊥SD khoảng cách từ B đến mặt phẳng (MAC) bằng:

A 3

4 B

1

2 C

2

3 D

1 Câu 16 Khối chóp tam giác có tất cạnh a tích bằng:

A

3 12

a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

Câu 17 Khi chiều cao hình chóp tăng lên n lần cạnh đáy giảm n lần thể tích

A Khơng thay đổi B Tăng lên n lần C Tăng lên n−1 lần D Giảm n lần Câu 18. Tính thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a

A

2 3

a

B

3

2

a

C

3

3

a

D

3

3

a

Câu 19 Cho khối chóp S ABC có cạnh đáy a, tính thể tích khối chóp S ABC biết cạnh bên

a là: A

3

4

S ABC

a

V = B

3

2 12

S ABC

a

V = C

3

3

S ABC

a

V = D

3

12

S ABC

a

Câu 20.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Thể tích V khối chóp S ABCD

A 3 a V = B 3 a V = C 6 a V = D a V = Câu 21.Cho hình chóp tam giác cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc

0

60 Tính thể tích V khối chóp

A

3

3 24 a

V  B

3

3 a

V  C

3

2 a

V  D

3

3 a

V 

Câu 22 Thể tích khối chóp tứ giác có chiều cao

a cạnh đáy

3 a bằng: A 3 2 a B 3 a C a D 3 a

Câu 23 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy a Gọi điểm O giao điểm AC

BD Biết khoảng cách từ O đến SC

a

Tính thể tích khối chóp S ABC A a B a C a D 12 a

Câu 24 Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a, góc hợp cạnh bên mặt đáy

bằng 60° Thể tích hình chóp cho A 3 a B 3 a C 3 a D 3 12 a

Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có AC=2a, mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABCD) góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

3

a

V = B

3

a

V = C

3

3

a

V = D V =a3

Câu 26. Khối chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên a 3có thể tích bằng:

A

2

a

V = B

6

a

V = C

6

a

V = D

3

a

V =

Câu 27 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp cho A 2 a

V = B

3

14

a

V = C

3

14

a

V = D

3

2

a

V =

Câu 28 Một hình chóp có đáy tam giác cạnh có chiều cao Tính thể tích hình chóp

A 2 B 2 C 4 D 4

3

Câu 29.] Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy x Diện tích xung quanh gấp đơi diện tích đáy Khi thể tích khối chóp bằng:

A 3 x B x C 12 x D x

Câu 30 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi M N, trung điểm ,

SB BC Tính thể tích khối chóp A BCNM Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng

A 3 15 48 a B 15 32 a C 3 15 32 a D 3 15 16 a

Câu 31.Người ta gọt khối lập phương gỗđể lấy khối tám mặt nội tiếp (tức khối có đỉnh tâm mặt khối lập phương) Biết cạnh khối lập phương a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó:

A a B a C a D 12 a Câu 32. Cho ( )H khối chóp tứ giác có tất cạnh a Thể tích ( )H

A 3 a B a C 3 a D 3 a

Câu 33. Một hình chóp tứ giác có đáy hình vng cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Thể

tích khối chóp A tan a α B tan a α C cot a α D sin a α

Câu 34.Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=a Tính thể tích V khối chóp S ABCD theo a.

A

9

V = a B 10

6

V = a C

3

V = a D 11

6

V = a

Câu 35 Thể tích chóp tam giác có tất cạnh a A a B 2 a C a D 12 a

Câu 36 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp cho A a B a C 3 12 a D a

Câu 37 Cho hình chóp S ABC có SA=1 Gọi D E, trung điểm hai cạnhSA SC Tính , thể tích khối chóp S ABC , biết đường thẳngBD vng góc với đường thẳngAE

A . 12

=

S ABC

V B . 21

54

=

S ABC

V C . 12

4

=

S ABC

V D . 21

18

=

S ABC

V

Câu 38 Tính thể tích khối tứ diện có cạnh a A a3 B

3 a C 12 a D 3 12 a

Câu 39 Trong tất khối chóp tứ giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính a, thể tích V khối chóp

có thể tích nhỏ A

3

32

= a

V B

3

10

= a

V C V =2a3 D

3

8

= a

V

Câu 40. Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60o Thể tích khối chóp S ABC là:

A 3 12 a B 12 a C a D 3 a

Câu 41 Cho hình chóp tam giác S ABC có AB=a, cạnh bên

=

SA a Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

3 36

=a

V B

3

4

= a

V C

3

24

= a

V D

3

12

= a

Câu 42 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm SH đến (SBC) b Thể tích khối chóp S ABCD

A 2 16 a b a − b

B

3

2

3 16

a b a − b

C 2 16 a b a − b

D 2

3 ab

Câu 43 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm SA CD Cho biết MN tạo với mặt đáy góc 30° Tính thể tích khối chóp S ABCD A 15 a B 30 18 a C 15 a D 12 a Câu 44.Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Thể tích khối chóp

A 2 a

b −a B a2 3b2−a2 C

2

2

3

a

b −a D

2

2

3 12

a

b −a

Câu 45. Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh bên cạnh đáy bằnga Khi đó, khoảng cách h đường thẳng AD mặt phẳng (SBC) là:

A

3

a

h= B

2 a

h= C

2

a

h= D 2a

5

h=

Câu 46 Cho hình chóp tam giác S ABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối chóp S ABI

A 11 a B 11 a C 11 12 a D 11 24 a

Câu 47 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a góc cạnh bên mặt phẳng đáy

60° Tính thể tích khối chóp S ABCD A a B a C a D 6 a

Câu 48 Xét tứ diện ABCD có cạnh AC=CD=DB=BA=2 AD, BC thay đổi Giá trị lớn thể tích tứ diện ABCD

A 32

27 B

16

27 C

32

9 D

16

Câu 49. Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD có diện tích 16 cm2, diện tích mặt bên

8 cm Tính thể tích V khối chóp S ABCD A 32

cm

V = B 32 13

cm

V = C 32 11

cm

V = D 32 15

cm

V =

Câu 50 Cho khối chóp tam giác Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần giảm chiều cao bốn lần thể tích khối chóp sẽ:

A Giảm hai lần B Không thay đổi C Tăng lên hai lần D Giảm ba lần Câu 51. Hình chóp tứ giác có tất cạnh a Thể tích khối chóp bằng:

A 2 a B a C 3 a D 3 a

Câu 52. Khi chiều cao hình chóp tăng lên n lần cạnh đáy giảm n lần thể tích

A Không thay đổi B Tăng lên n lần C Tăng lên n−1 lần D Giảm n lần

Câu 53.Cho hình chóp S ABCD có đáy 2a, khoảng cách hai đường thẳng SA CD

a Thể tích khối chóp S ABCD

A a3 B 4a3 C

3

a

D

3

Câu 54 Thể tích khối bát diện cạnh a là: A

3 a B

3 2 a C a

D 2a3

Câu 55 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a

SA=SB=SC=SD= a Tính thể tích khối chóp S ABCD ? A 2 a B 3 a C 6 a D a

Câu 56 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h, góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)bằng α Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h α

A 3 tan h

α B

3

2

3 tan

h

α C

3

2

4 tan

h

α D

3 tan h α Câu 57. Cho tứ diện Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng Tính thể tích

của tứ diện

A B C D

Câu 58 Cho hình chóp S ABCD có AC=2a, mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABCD) góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABCD ?

A

2

a

V = B

3

2

a

V = C V =a3 D

3

2 3

a

V =

Câu 59 Thể tích hình chóp tứ giác có tất cạnh a

A 3 a B 2 a C a D a

Câu 60. Cho hình chóp S ABCD có chiều cao a độ dài cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD

A 3 a B 10 3 a C a D 10 a Câu 61. Tính thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a

A a B 3 a C 3 a D 3 a Câu 62. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a mặt bên tạo với đáy góc 45P

0

P

Thể tích V khối chóp S ABCD là:

A

6

a

V = B

3

9

a

V = C

3

2

a

V = D

24 V = a Câu 63.Tính thể tích V hình tứ diện có đường cao h=a

A

3 12

a

V = B

3

3

a

V = C

3

3

a

V = D

3

3

a

V =

Câu 64 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho?

A V =4 7a3 B

3

4

a

V = C

3

4

a

V = D

3

4

a

V =

Câu 65 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho A 34 a

V = B

3

2

a

V = C

3

2

a

V = D

3 34 a V =

ABCD A (BCD) V

ABCD

2

V = V =5 V =27 27

Câu 66 Một hình chóp tứgiác có đáy hình vng cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Thể tích khối chóp

A

sin

a α

B

3 tan

a α

C

3 cot

a α

D

3 tan

a α

Câu 67.Tính thể tích khối bát diện có cạnh

A 8

3 B

16

3 C

4

3 D

16

Câu 68. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy bằnga Gọi SH chiều cao hình chóp, khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt bên (SBC) bằngb Tính thể tích V khối chóp

S ABCD A

2

3 16

ab V

a b

=

− B

3

2

2

3 16

a b V

a b

=

−

C

2

16

ab V

a b

=

− D 2

2 16

ab V

a b

=

−

Câu 69 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính tho ể tích khối chóp S ABCD theo a

A

6

a

B

6

a

C

3

a

D

6 12

a

Câu 70 Thể tích khối tứ diện có cạnh A 2 B 4

9 C

9

4 D

Câu 71.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hợp với mặt bên góc 45° Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD

A 32

9 B

64

27 C

64

81 D

128 81

Câu 72. Người ta cắt miếng bìa hình tam giác cạnh 10cm hình bên gấp theo đường kẻ, sau dán mép lại để hình tứ diện Tính thể tích khối tứ diện tạo thành

A

250

V = cm B 125

12

V = cm C 1000

V = cm D

3

250 12

V = cm

Câu 73 Tính thể tích khối chóp tứ giác cạnh đáy a, chiều cao 3a A a3 B

3

3

a

C

3

3

a

D

3

3 12

a

Câu 74 Thể tích khối bát diện cạnh a là:

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3 3

a

Câu 75 Thể tích khối tứ diện cạnh a A 12 a B 3 12 a C 12 a D 24 a

Câu 76 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a ,diện tích mặt bên 2a2 Thể tích khối nón có đỉnh S có đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD

A 3

4 πa B

3

7

a

π

C

3

7

a

π

D

3 a π Câu 77.Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M N, trung điểm cạnh AD BD, Lấy

điểm không đổi P cạnh AB(khác ,A B) Thể tích khối chóp PMNC A 9

16 B

8

3 C 3 D

27 12

Câu 78 Tính thể tích V khối chóp tứ giác có chiều cao h bán kính mặt cầu nội tiếp r

(h>2r>0) A ( ) 2 r h V h r =

+ B ( )

2 r h V h r =

− C ( )

2 r h V h r =

− D ( )

2 r h V h r = +

Câu 79 Cho khối tứ diện ABCDcó cạnh a Gọi B C', ' trung điểm cạnh AB

và AC Tính thể tích V khối tứ diện AB C D' ' theo a A

3 24

a

V = B

3 24

a

V = C

3 48

a

V = D

3 48

a

V =

Câu 80.Thể tích khối tứ diện có cạnh 2a A 3 a B 12 a

C 2a3 D

3

2

a

Câu 81 Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a, góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 60° Gọi A′, B′, C′ tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC, A B C′ ′ ′, A BC′ , B CA′ , C AB′ , AB C′ ′, BA C′ ′, CA B′ ′

A

2 3

a

B 2 3a3 C

3 a D 3 a

Câu 82.Cho hình chóp tam giác S ABC , cạnh đáy a Mặt bên tạo với mặt đáy góc 60 Tính o thể tích V hình chóp S ABC

A

3

a

V = B

3

3 12

a

V = C

3

3 24

a

V = D

3

3

a

V =

Câu 83 Cho khối chóp S ABC cạnh đáy a, cạnh bên 3a Tính thể tích khối chóp ? A

3

26 12

a

V = B

3

11

a

V = C

3

3

a

V = D

3

11 12

a

Câu 84.Cắt miếng giấy hình vng hình bên xếp thành hình hình chóp tứ giác Biết cạnh hình vng 20cm, OM =x cm( ) Tìm x để hình chóp tích lớn

A x=8cm B x=6cm C x=7cm D x=9cm Câu 85.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC

và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD)

a Tính khoảng cách từ tâm

O đáy đến mặt bên (SCD) thể tích khối chóp S ABCD

A ( ,( ))

O SCD

a

d =

3

3

S ABCD

a

V = B ( ,( ))

4

O SCD

a

d =

3

3

S ABCD

a

V =

C ( ,( ))

O SCD

a

d =

3

3

S ABCD

a

V = D ( ,( ))

2

O SCD

a

d =

3

3

S ABCD

a

THỂ TÍCH KHỐI CHĨP ĐỀU B LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm BC Thể tích Vcủa khối chóp

M ABC bao nhiêu? A

3 24

a

V = B

3

a

V = C

3 12

a

V = D

3 24

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

3

1 2

2 12 24

M ABC ABCD

a a

V = V = =

Câu Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên tạo với đáy góc 60° Thể tích hình chóp là:

A

6

a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi O= AC∩BD⇒SO⊥(ABCD)

 60 tan 60 3 3

2

SO a

SCO SO OC

OC

⇒ = ° ⇒ ° = ⇒ = =

3

1

3

a

V a a

⇒ = =

Câu 3.Thể tích hình tứ diện có cạnh a là: A

3

2

a

B

3

2 12

a

C

3

2

a

D

3

5 12

a

Hướng dẫn giải

Gọi I trung điểm BA A, ' trọng tâm ∆ABC Ta có 3, BA'

2 3

a a

BI = = BI = ,

diện tích tam giác BCD

2

1

2

a

S = CD AI =

Trong tam giác ABA' vuông A' ta có:

2 2

' '

3

a a

A A= AB −A B = a − =

Thể tích tứ diện là: ' 3

3 12

x ABC

a a a

V = S∆ A A= =

Câu 4.Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V

khối chóp tứ giác cho A

3

2 a

B

3

6 a

C

3 14

6 a

D

3 14

2 a

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có AC=a 2

2 a AO

⇒ = 2

SO SA OA

⇒ = − 14

2 a

=

Vậy

1

S ABCD ABCD

V = SO S 14 14

3 a a

= =

Câu Cho hình chóp tứgiác có cạnh đáy a cạnh bên a Tính thể tích V của khối

chóp theo a A

3

3

a

V = B

3

2

a

V = C

3

2

a

V = D

3

10

a

V =

Hướng dẫn giải

Chọn D

O D

C

B

Gọi h chiều cao hình chóp, ta có

2

2 10

3

2

a a

h= a − =

1 ABCD

V = S h

3

1 10 10

3

a a

a

= =

Câu 6.Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh nhau, đường cao mặt bên a Thể tích V khối chóp là:

A

6 =

V a B

9 =

V a C 2

3 =

V a D

3 =

V a

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có SM =a ∆SCD nên SC=CD=2a

Suy ra: 2

2

AC a

SO= = =a

Vậy 1

2.4

3 3

= ABCD = = a

V SO S a a

Câu 7.Cho tứ diện ABCD cạnh 2a Tính thể tích khối tứ diện

A

2 12 a

V = B

3 a

V =

C

3

a

V =

D

2 a

V =

Hướng dẫn giải:

Chọn C

D A

B C

Ta có

2

3

4

ABC

AB a

S = = ; 2

3

2 3

6

a

a

AH = m = =a

2 2

3

a

SH SA AH

⇒ = − =

3

1

3 ABC

a

V SH S

⇒ = =

Câu Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a, khoảng cách hai đường thẳng SA CD a Thể tích khối chóp S ABCD bằng?

A 4a3 B a3 C

4 3

a

D

3

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi O= AC∩BD, hình chóp S ABCD ⇒SO⊥(ABCD) tứ giác ABCD hình vng Ta có CD AB// ⇒CD//(SAB)⇒d CD SA( ; )=d C SAB( ;( ))=2d O SAB( ;( ))

Bài d CD SA( ; )=a ( ;( ))

a d O SAB

⇒ =

Tứ diện vuông O SAB 12 12 12 12

h OS OA OB

⇒ = + + với ( ;( ))

2

a

h=d O SAB =

Cạnh

2

AB

OA=OB= =a 42 12 12 12

3a SO 2a 2a

⇒ = + + ⇒SO=a

Do

1

S ABCD ABCD

V = SO S

3

1

3.4

3

a

a a

= =

Câu 9.Cho khối chóp S ABC có cạnh bên a mặt bên hợp với đáy góc 45° Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

A 15

25

a

B

3 5 25

a

C

3

3 a

D

3 15

a

Hướng dẫn giải

Chọn A

O S

A

B C

Gọi O trọng tâm tam giác ABC⇒SO⊥(ABC)

I trung điểm BC⇒( (SBC) (, ABC))=SIO=45 °

x độ dài cạnh tam giác ABC (x>0 ) Ta có:

2

2 2

1 3 ; .

3

x x

OI = AI = SI = SC −IC = a −

Trong tam giác SOI có:

2

2 2

3 2 15

cos45 12

6

x x a

OI SI= ° ⇒ = a − ⇔ x = a ⇒ =x

Suy ra: ,

5

SO OI= = a 3

4

ABC

x

S∆ = = a

Vậy:

1 3. . 15.

3 5 25

S ABC

a

V = a a=

Câu 10 Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh nhau, đường cao mặt bên a Tính

thể tích V khối chóp A

3

2

a

V = B V =4a3 C

3

4

a

V = D

3

2

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi cạnh hình chóp tứ giác x

Xét tam giác vng SCH ta có SC2−HC2 =SH2

2

2

3

x

x a

⇔ − = ⇔ =x 2a

Chiều cao 2 2

3

Thể tích khối chóp

2.4

3

a

V = a a =

Câu 11.Cho hình chóp tam giác cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 ° Tính thể tích V khối chóp

A

3

a

V = B

3

3 24

a

V = C

3

2

a

V = D

3

3

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm ∆ABC

2

3

4

ABC

AB a

S∆ = =

1 3

3

AB a

GM = =

Ta có: góc mặt đáy mặt bên 60° suy SMG= °60 Xét tam giác vuông SGM :



tanSMG SG GM

=

Suy ra: tan 60 3

6

a a

SG=GM ° = =

Vậy . 3

3 24

S ABC ABC

a a a

V = SG S∆ = =

Câu 12 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên a (hình vẽ) Thể tích khối chóp

A

3

a

B

3

2

a

C

3

6

a

D

3

6

a

Hướng dẫn giải

Chọn D

M

G

B

A C

Xét hình chóp tứ giác S ABCD

Ta có:

2

a

OD= ,

2

2 2

2

2

a a

SO= SD −OD = a − =

2

1 6

3

S ABCD ABCD

a a

V = SO S = a =

Câu 13 [Sở GDĐT Lâm Đồng lần07 - 2017] Cho ( )H khối chóp tứ giác có tất cạnh

bằng2a Thể tích ( )H bằng: A 4

5a B

3

4

3 a C

3

4

3 a D

3 3a Hướng dẫn giải

Chọn C

ABCD hình vng cạnh 2a =>AC= 2a =>AO=.SO2 =SA2 –AO2 ==> SO=a

2

1

(2 )

3

V = a a = a

Câu 14. Một hình chóp tam giác có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc α Thể tích hình chóp

A 3

cos sin

4 b α α B

3

sin cos

4b α α

C 3 cos sin

4b α α D

3

3

cos sin b α α Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi M trung điểm BC, H tâm tam giác ABC Ta có: SH ⊥(ABC)

Xét tam giác ∆SHAvng H, ta có: sin sin

cos cos

SH SA b

AH SA b

α α

α α

= =



 = =

3 cos

2

AM AH b α

⇒ = =

Mà: 3 cos

2

AB AM

AM = ⇔ AB= = α

( )2

3 cos

1

sin

3

3

cos sin

SABC ABC

b

V SH S b

b

α α

α α

= =

=

Câu 15.Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích

V = Gọi M trung điểm cạnh SD Nếu SB⊥SD khoảng cách từ B đến mặt phẳng (MAC) bằng:

A 3

4 B

1

2 C

2

3 D

1 Hướng dẫn giải

Chọn D

Giả sử hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh a Khi đó, BD=a Tam giác SBD vuông cân S nên SD=SB=a

2

BD a

SO= =

Suy tam giác SCD SAD, tam giác cạnh a SD⊥(MAC) M

Thể tích khối chóp 3 ABCD

a

V = SO S =

Mà

2

1 6

a

a

= ⇒ =

Vì O trung điểm BD nên ( ,( )) ( ,( )) d B MAC =d D MAC =DM = Câu 16 Khối chóp tam giác có tất cạnh a tích bằng:

A

3 12

a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn A

Chiều cao khối chóp

2

2

3

a a

h= a −  =

  mà

2

day

a

S =

O

M

A S

D

Do thể tích khối chóp

3

1

3 day 12

a

h S =

Câu 17 Khi chiều cao hình chóp tăng lên n lần cạnh đáy giảm n lần thể tích

A Không thay đổi B Tăng lên n lần C Tăng lên n−1 lần D Giảm n lần

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

V = h S, với h chiều cao, S diện tích đáy

2

180 tan

x a S

a

=

 

 

 

 

với x độ dài cạnh đa giác đều, a sốđỉnh đa giác

Ycbt

2

1 0

1 1

3 180

4 tan

x a n

V nh h S V

n n

a

     

⇔ = = =

 

 

 

 

Câu 18. Tính thể tích khối chóp tứgiác có tất cạnh a A

3

2 3

a

B

3

2

a

C

3

3

a

D

3

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn B

Giả sử cho hình chóp tứgiác S ABCD có tất cạnh a Diện tích đáy ABCD:

ABCD

S =a

1

2

2 2

a

AO= AC = AB = ;

2

2 2 2

2

a a

SO= SA −AO = a −  =

 

Vậy thể tích khối chóp tứgiác là:

3

1 2

3 ABCD

a a

V = S SO= a =

Câu 19 Cho khối chóp S ABC có cạnh đáy a, tính thể tích khối chóp S ABC biết cạnh bên a là:

A

3

4

S ABC

a

V = B

3

2 12

S ABC

a

V = C

3

3

S ABC

a

V = D

3

12

S ABC

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn B

O

C

A B

D

Gọi H trọng tâm ∆ABCđều →SH ⊥(ABC)

2

3

a

AH = AM = (M trung điểm BC) SAH

∆ vng H có 2

3

a

SH = SA −AH =

ABC

∆ cạnh a nên

2

ABC

a

S =

Vậy

2

1

3 ABC 12

a a a

V = S SH = =

Câu 20.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Thể tích V khối chóp S ABCD

17T A 17T

3

3

a

V =

17T

.17T B

3

3

a

V =

.17T C 17T

3

6

a

V =

17T

.17T D

3

6

a

V =

Hướng dẫn giải

17T

Chọn C

Gọi O= AC∩BD SO⊥(ABCD)

Ta có góc cạnh bên mặt đáy góc SDO =60 Mà ABCD hình vng nên BD=AB 2=a Tam giác SBD nên

2

a

Vậy

1 6

3

S ABCD ABCD

a a

V = SO S = a =

Câu 21.Cho hình chóp tam giác cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc

0

60 Tính thể tích V khối chóp

A

3

3 24 a

V  B

3

3 a

V  C

3

2 a

V  D

3

3 a

V 

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi hình chóp tam giác S ABC , kẻ SH ⊥(ABC) H

Gọi A B C', ', ' chân đường cao hạ từ H xuống BC, CA, AB

Xét ∆SHA SHB SHC', ∆ ', ∆ ' vng H có SH chung

     

' ' ' 60 ' ' '

SB H =SC H =SA H = ⇒HSC =HSA =HSB

( )

' ' ' ' ' '

SHA SHB SHC g g g HA HB HC

⇒ ∆ = ∆ = ∆ − − ⇒ = =

Do H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Tam giác ABC cạnh

'

4

ABC

AB BC CA

a⇒S = a = + + HA

2

3 3

' '

4

a

a HA HA a

⇒ = ⇒ =

Tam giác SHA' vuông H 

' 60 ' tan 60

2 a HA S = ⇒SH =HA =

Thể tích 1 3

3 ABC 24

a

V = SH S = a = a

Câu 22 Thể tích khối chóp tứ giác có chiều cao

a và cạnh đáy

3 a bằng: A

3

3 2

a

B

3

3

a

C

3

6

a

D

3

3

a

Hướng dẫn giải

Ta có : ABCD

V = S SO 1.( )3

3

a a

=

3

a

=

Câu 23 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy a Gọi điểm O giao điểm AC

BD Biết khoảng cách từ O đến SC

a

Tính thể tích khối chóp S ABC A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3 12

a

Hướng dẫn giải

Chọn C

H hình chiếu O lên SC nên

6

a

OH = ,

ABCD hình vng có

2

a

OC = AC=

SOC

∆ vng O có OH đường cao

2 2

1 1

2

a SO

OH SO OC

→ = + → =

3

1 1

3 12

S ABCD ABC ABCD

a

V S SO S SO

→ = = =

Câu 24 Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a, góc hợp cạnh bên mặt đáy

bằng 60° Thể tích hình chóp cho A

3

3

a

B

3

3

a

C

3

3

a

D

3

3 12

a

Hướng dẫn giải

Gọi M trung điểm cạnh BC, O tâm tam giác ABC

Hình chóp tam giác S ABC có góc cạnh bên bên mặt đáy 60°, nên

 60

SAM = °

Ta có:

2

a

AM =

3

a AO

⇒ =

Diện tích tam giác ABC:

2

3

ABC

a

S =

Xét tam giác SAO vng O có: SO= AO tan 60° 3

a

a

= =

Thể tích khối chóp tam giác S ABC :

2

1

a

V = a=

3

3 12

a

Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có AC=2a, mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABCD) góc 45°

Tính thể tích V khối chóp S ABCD A

3

a

V = B

3

a

V = C

3

3

a

V = D V =a3

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi M trung điểm BC→OM ⊥BC mà BC ⊥SO nên BC ⊥(SOM)

BC SM

→ ⊥

( ) ( )

BC = SBC ∩ ABCD → Góc (SBC) (, ABCD) = SMO= °45 Do hình chóp nên đáy ABCD hình vng có

2

AC

AD= =a

SOM

∆ vng O có SMO =45° nên

2

a

SO=OM = AD=

Vậy ( )

3

1 2

3 3

S ABCD ABCD

a a

V = S SO= a =

60°

a

O M

A C

Câu 26. Khối chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên a 3có thể tích bằng:

A

2

a

V = B

6

a

V = C

6

a

V = D

3

a

V =

Hướng dẫn giải:

Chọn C

ABC cạnh a=>AM =

2 a

AO

=> =

3 a

2 2

–

SO =SA AO = a −

3

a =

3 8a2

1 2

3 2

a

V = a a

6

V a

⇔ =

Câu 27 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp

đã cho A

3

2

a

V = B

3

14

a

V = C

3

14

a

V = D

3

2

a

V =

Hướng dẫn giải

U

Chọn C

Ta có: ( )

2

2 2

2

2 a SO= SB −OB = a −  

 

14

a

=

2

1 14

ABCD

a

V = S SO= a

3

14

a

=

Câu 28 Một hình chóp có đáy tam giác cạnh có chiều cao Tính thể tích hình

chóp

O

A B

D C

A 2 B 2 C 4 D 4 3 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có diện tích tam giác cạnh 1.2.2.sin 60

S= ° =

Thể tích khối chóp 3.4

V =

3

=

Câu 29.]Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy x Diện tích xung quanh gấp đơi diện tích đáy Khi

đó thể tích khối chóp bằng: A

3 3 x

B

3 3 x

C 3 3 12 x

D

3 3 x

Hướng dẫn giải:

Chọn D

; S

ABCD xq SCD

S =x = S = SI x

Theo yêu cầu toán

2SI x =x ⇔SI=x

2 2

4

x

SO= SI −OI = x − =x

1

3

SABCD ABCD

x

V = SO S = x x =

Câu 30 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi M N, trung điểm

của SB BC, Tính thể tích khối chóp A BCNM Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt

phẳng (SBC) A

3 15

48

a

B

3 15 32

a

C

3 15

32

a

D

3 15

16

a

Hướng dẫn giải

Chọn C

O

A D

B C

S

E trung điểm BC nên CB⊥ AE CB, ⊥SH

( )

CB SAE CB SE

→ ⊥ → ⊥

SE vừa trung tuyến vừa đường cao nên ∆SBC cân S

F giao điểm MN với SE ,

SF MN SF SE

→ ⊥ =

Giả thiết ( ) ( )

( ) ( ) SF MN ( )

AMN SBC

SF AMN

AMN SBC MN

⊥

 ⊥

 → ⊥



∩ =



SE AF

→ ⊥

SF = SE nên ∆SAE cân

2

a A→ AE =AS =

2

2

3 2

a a

AH = AE = = a →SH = SA −AH =

( )2

1 15

3

S ABC ABC

a a

V = S SH = a =

3

1 15

4 32

S AMN

S AMN S ABC

V SM SN a

V

V = SB SC = → =

Vậy

3 15 32

S ABC S AMN

a

V =V −V =

Câu 31.Người ta gọt khối lập phương gỗđể lấy khối tám mặt nội tiếp (tức khối có đỉnh tâm mặt khối lập phương) Biết cạnh khối lập phương a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó:

A

8

a

B

3

6

a

C

3

4

a

D

3

12

a

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Thấy thể tích khối cần tính lần thể tích hình chóp S ABCD + Nhiệm vụ bây giờđi tìm thể tích S ABCD

+ ABCD hình vng có tâm O đồng thời hình chiếu S lên mặt đáy

a

SO= ; BD=a(cạnh hình lập phương) Suy cạnh hình vuông 2

ABCD= a

1 S ABCD

V = Sh 1 2

3 2 a    = ⋅ ⋅     

3

12

a

=

đa diên

khôi S ABCD

V = V

3

6

a

=

Câu 32. Cho ( )H khối chóp tứ giác có tất cạnh a Thể tích ( )H A

3

3

a

B

3

2

a

C

3

3

a

D

3

3

a

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Tính diện tích ABCD: SABCD =a2

Xác định chiều cao:

Gọi O= AC∩BD⇒SO chiều cao khối chóp SOA

∆ vuông O cho ta

2

2 2

2

a

SO= SA −AO = a − =a

Vậy: 1 2

3

SABCD ABCD

a a

V = S SO= a =

Câu 33.Một hình chóp tứ giác có đáy hình vng cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Thể

tích khối chóp

O D

A

C

B S

A

3

tan

a α

B

3

tan

a α

C

3

cot

a α

D

3

sin

a α

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi h đường cao hình chóp ta có tan a

h= α, Sday =a2

Vậy

3

1

tan day

a

V = h S = α

42T

Câu 34.Cho khối chóp 42TS ABCD 42Tcó đáy 42TABCD42Tlà hình vng cạnh 42Ta42T, 42TSA=a 342T Tính thể tích 42TV42Tcủa

khối chóp 42TS ABCD 42T theo 42Ta42T

A

V = a B 10

6

V = a C

3

V = a D 11

6

V = a

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒SO⊥(ABCD)42T

2

2 2 10

3

2

a a

SO= SA −OA = a − =

42T

Thể tích khối chóp S ABCD 42T 42T

1

3 ABCD

V = SO S 10 10

3

a

a a

= =

Câu 35 Thể tích chóp tam giác có tất cạnh a A

3

2

a

B

3

2

a

C

3

2

a

D

3

2 12

a

Hướng dẫn giải

Chọn D

U

Gọi O tâm mặt đáy (ABC) I trung điểm cạnh BC

S ABC hình chóp tam giác nên SO⊥(ABC) SAO

∆ vng O có:

2 3

3 3

a a

AO= AI = = ⇒SO= SA2−AO2

3 a

=

3

ABC

a

S =

Vậy thể tích khối chóp cần tìm là:

1

S ABC ABC

V = SO S

2

1

3

a a

=

12

a

=

U

Cách 2: Tính cơng thức tính nhanh

Hình chóp tam giác có tất cạnh a hình tứ diện cạnh a

2 12

a V

⇒ =

Câu 36 Cho hình chóp tứgiác có cạnh đáy cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp cho A

3

a

B

3

3

a

C

3 12

a

D

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi khối chóp S.ABCD có tâm O Vẽ hình nhanh ta thấy 2

AC

OA= =a

3

2 2

1

2

3

S ABCD ABCD

a

SO= SA −OA =a →V = S SO= a a =

Câu 37 Cho hình chóp S ABC có SA=1 Gọi D E, trung điểm hai cạnhSA SC Tính ,

thể tích khối chóp S ABC , biết đường thẳngBD vng góc với đường thẳngAE A .

12 = S ABC

V B . 21

54 = S ABC

V C . 12

4 = S ABC

V D . 21

18 = S ABC

V

Hướng dẫn giải I O

C

B A

Chọn B

Giả sử cạnh đáy có độ dài a; SH =h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:

(0; 0; 0)

I ; ; 0;

a

A− 

 ; 2; 0;

a

B 

 ;

3 0; ;

2

a C 

 ;

3 0; ;

6

a S h

 ;

3 ; ; 12

a a h

D− 

 ;

3 0; ;

3

a h

E 

 

Lại có BD⊥AE

BD AE a h

⇔ = ⇒ = 2.6

3

a

−

=

3

a h

⇒ = ⇒ =

Vậy

2

1 3 21

3 54

S ABCD

V = =

Câu 38 Tính thể tích khối tứ diện có cạnh a A a3 B

3

3

a

C

3

2 12

a

D

3

3 12

a

Hướng dẫn giải

Chọn C

17T

Ta có:

2

2 2

3

a a

SG= SA −AG = a −  =

 

17T

Vậy:

2

1

3 3 12

SABC ABC

a a a

V = SG S∆ = =

17T

Áp dụng cơng thức tính nhanh 17Tthể tích khối tứ diện có cạnh a bằng:

3

2 12

a

Câu 39 Trong tất khối chóp tứ giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính a, thể tích V khối

chóp tích nhỏ A

3

32 = a

V B

3

10 = a

V C V =2a3 D

3

8 = a

V

Hướng dẫn giải Chọn A

Giả sử SO=x ta có: SI = −x a; ( )2 2

2

= − − = −

SE x a a x ax

Xét ∆SEI∽∆SON ta có: SE = IE

SO NO

2

⇒ = =

−

IE SO ax

NO

SE x ax

Thể tích khối chóp là: ( )

2

2

1

3 2

 

=   =

− −

 

ax a x

V x

x a

x ax

Xét hàm số ( )

2 =

−

x f x

x a (0<2a<x)

( )

( )

2

2

− ′ =

−

x ax f x

x a ; ( )

′ =

f x ⇔ =x 4a (do 0<2a<x)

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ thể tích là: 32

3 = a

V

Câu 40. Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60o Thể

tích khối chóp S ABC là: A

3

3 12

a

B

3

6 12

a

C

3

8

a

D

3

3

a

Hướng dẫn giải

Gọi O trọng tâm tam giác E, SO⊥(ABC)

Ta có:

3

a

AO= ⇒SO=a

Suy ra:

2

1 3

3 ABC 12

a a

V = SO S∆ = a =

Câu 41 Cho hình chóp tam giác S ABC có AB=a, cạnh bên =

SA a Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

3 36 =a

V B

3

4 = a

V C

3

24 = a

V D

3

12 = a

V

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi O tâm tam giác ABC 3 3

= =

AO a a

Vì SO đường cao khối chóp nên

2

2 3

3 3

   

= − =   −  =

   

SO SA AO a a a

Diện tích

4

∆ABC =

S a , suy thể tích

3

1 3 12

= =

S ABC

a

V a a

Câu 42 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp

A

3

2

2

3 16

a b a − b

B

3

2

3 16

a b a − b

C

3

2

2 16 a b a − b

D 2

3 ab

Hướng dẫn giải

Chọn A

Hình chóp tứ giác H = AC∩BD tứ giác ABCD là hình vng Gọi I là trung điểm

cạnh SH

( )

( , ) ( ,( ))

d H SBC d I SBC b

⇒ = =

Tứ diện vuông

( )2 2

1 1

2

SHBC

HS HB HC

b

⇒ = + +

2

2

2 2 2

2

1 1 1 16

4 4

2 2

16

a b

a a

SH b b a a b

ab SH

a b

−

⇒ = − − = − =

⇒ =

−

3

2 2 2 2

1 2

3 16 3 16

S ABCD ABCD

ab a b

V SH S a

a b a b

⇒ = = =

− −

Câu 43 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm SA CD Cho biết MN tạo với mặt đáy góc 30° Tính thể tích khối chóp S ABCD

42T A 42T

3

15

a 42T

B 42T

3

30 18

a 42T

C 42T

3

15

a 42T

D 42T

3

5 12

a 42T

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi O= AC∩BD, ta có SO⊥(ABCD)

Gọi H trung điểm OA, ta có MH //SO ⇒MH ⊥(ABCD)

Do (MN,(ABCD))=(MN NH, )=MNH = °30 Ta có:

2

2

4

NH = AD + CD

   

2 8a

= 10

4

a NH

⇒ =

a H

N M

O B

C

A D

S

H

O N

D A



tanMNH MH NH

=

10

MH a

=

3

= 30

12

a MH

⇒ =

Mặt khác: 30

a

SO= MH =

Vậy thể tích khối chóp S ABCD là: ABCD

V = S SO 30

3

a a

= 30

18

a

=

Câu 44.Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Thể tích khối chóp A

2

2

3

a

b −a B a2 3b2−a2 C

2

2

3

a

b −a D

2

2

3 12

a

b −a

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi S ABC hình chóp tam giác G trọng tâm tam giác ABC Khi SG⊥(ABC)

và AB=a, SB=b, 3 3

a a

AG= =

2

2

3 b a

SG SA AG −

⇒ = − =

Vậy

2 2

2

1 3

3 12

S ABC ABC

a b a a

V SG S∆ b a

−

= = = −

Câu 45. Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh bên cạnh đáy bằnga Khi đó, khoảng cách h

giữa đường thẳng AD mặt phẳng (SBC) là:

A

3

a

h= B

2 a

h= C

2

a

h= D 2a

5

h=

Hướng dẫn giải:

Chọn A

( )

( , ) ( ,( )) ( ,( ))

d AD SBC =d A SBC = d O SBC với O tâm hình vng ABCD

Gọi I trung điểm BC BC OI BC (SOI) (SBC) (SOI) BC SO

⊥ 

⇒ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥



Ta có (SBC) (∩ SOI)=SI, kẻ OH ⊥SI H ⇒OH ⊥(SBC)⇒d O SBC( ,( ))=OH

2

2

,

2 2

AC a a

AO= = SO= SA −AO =

2 2

2

2 2

6

4

a a

SO OI a

OH

SO OI a a

= = =

+ +

( )

( )

,

3

a

d AD SBC = OH =

a a

O B

A D

C S

Câu 46 Cho hình chóp tam giác S ABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I

trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối chóp S ABI A

3

11

a

B

3

11

a

C

3

11 12

a

D

3

11 24

a

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi O hình chiếu S lên (ABC) ta có:

2

2 2 33

4

3

a a

SO= SB −BO = a − =

2

1 33 11

3 ABI 24

a a a

V S∆ SO

⇒ = = =

Câu 47 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a góc cạnh bên mặt phẳng đáy

bằng 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD A

3

6

a

B

3

6

a

C

3

6

a

D

3

6

a

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: SBO= °60 tan 60

SO=OB ° 2.tan 60

a

= °

2

a

=

2

ABCD

S =a

Suy

3

SABCD ABCD

V = SO S

3

a a

=

6

a

=

I A

B

C S

O

a

60°

O

D A

Câu 48 Xét tứ diện ABCD có cạnh AC=CD=DB=BA=2 AD, BC thay đổi Giá trị lớn

của thể tích tứ diện ABCD A 32

27 B

16

27 C

32

9 D

16 Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi M ,N trung điểm ADvà BC

Theo giả thiết ta có: ABD ACD tam giác cân có M trung điểm AD nên BM ⊥ AD CM ⊥ AD⇒ AD⊥(BMC) Và có BM =CM ⇒ ∆MBCcân

Trong tam giác ∆MBC có MN vừa đường cao vừa trung tuyến nên

2

2

4

BC

MN =MB −

2

2

4

AD BC

MN AB

⇔ = − − 2

4

AD BC

MN +

⇔ = −

Khi diện tích tam giác ∆MBC là: MBC

S∆ = MN BC

2

1

2

AD BC

BC +

= −

Thể tích tứ diện ABCD là:

ABCD MBC

V = AD S∆

2

1

3

AD BC

BC AD +

= −

Đặt AD=x, BC =y ta có:

2

3

ABCD

x y

V = x y − +

Ta có: x2+y2≥2xy

2

4

x +y xy

⇔ ≥ 2

4

x +y xy

⇔ − ≤ −

Do đó:

3

ABCD

xy

V ≤ x y − ( ) (2 )

6

ABCD

V xy xy

⇔ ≤ − Dấu xảy x= y

Ta lại có: ( ) (xy 8−xy) 8( ) 2

xy xy

xy

= −

3

8 2

3

xy xy

xy

 + + − 

 

≤  

 

 

3

4.8 27 =

Dấu xảy xy

xy

= − 16

3 xy

⇔ =

3

x y

⇔ = =

Vậy giá trị lớn thể tích tứ diện ABCD là: tập xác định

3

max 4.8

6 27

ABCD

V = 32

27

=

Câu 49. Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD có diện tích

16 cm , diện tích mặt bên

8 cm Tính thể tích V khối chóp S ABCD N

M A

B

C

A 32

cm

V = B 32 13

cm

V = C 32 11

cm

V = D

3

32 15 cm

V =

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có 2

16 cm cm 2 cm

ABCD

S =AB = ⇒AB= ⇒ AO=

Gọi M trung điểm AB Khi SM ⊥ AB

1

cm cm

2 SAB

S = SM AB= ⇒SM =

2

2 13 cm

SA= SM +AM = SO= SA2−AO2 =2 11 cm

1 32 11

.16.2 11 cm

3 ABCD 3

V = S SO= =

Câu 50 Cho khối chóp tam giác Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần giảm chiều cao bốn lần thể tích khối chóp sẽ:

A Giảm hai lần B Không thay đổi C Tăng lên hai lần D Giảm ba lần

Hướng dẫn giải

Chọn B

Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần diện tích đáy tăng bốn lần Vì giảm chiều cao bốn lần nên thể tích khối chóp khơng thay đổi

Câu 51.Hình chóp tứ giác có tất cạnh a Thể tích khối chóp bằng: A

3

2

a

B

3

2

a

C

3

3

a

D

3

2

a

Hướng dẫn giải:

Chọn B

M O

B

D C

A

Gọi O tâm hình vng ABCD, SO⊥(ABCD)

Ta có:

2

a

AO=

Suy ra: 2

2

a

SO= SA −AO =

Khi đó: 1 2

3 ABCD

a a

V = SO S = a =

Câu 52. Khi chiều cao hình chóp tăng lên n lần cạnh đáy giảm n lần thể tích

A Khơng thay đổi B Tăng lên n lần C Tăng lên n−1 lần D Giảm n lần

Hướng dẫn giải

Chọn D Ta có:

3

V = h S, với h chiều cao, S diện tích đáy

2

180 tan

x a S

a

=

 

 

 

 

với x độ dài cạnh đa giác đều, a sốđỉnh đa giác

Ycbt

2

1 0

1 1

3 180

4 tan

x a n

V nh h S V

n n

a

     

⇔ = = =

 

 

 

 

Câu 53.Cho hình chóp S ABCD có đáy 2a, khoảng cách hai đường thẳng SA CD

a Thể tích khối chóp S ABCD

A a3 B 4a3 C

3

a

D

3

4 3

a

Hướng dẫn giải

Ta có CD/ /AB⇒CD/ /(SAB)

Suy d CD AB( ; )=d CD SAB( ;( ))=d C SAB( ;( ))=2d O SAB( ;( )) ( ;( ))

a d O SAB

⇒ =

Gọi I trung điểm AB⇒SI ⊥ AB (tam giác SAB cân S)

Dựng OH ⊥SI (với H∈SI) Khi ta có:

( )

( ) ( ) ( ( ))

;

2

OH AB AB SOI a

OH SAB d O SAB OH

OH SI

 ⊥ ⊥

 ⇒ ⊥ ⇒ = =

 ⊥



Tam giác SOI vng O ta có:

2 2 2 2 2

2

3 a

1 1 2

3

4

a OH OI

SO a

OH SO OI OI OH a

a

= + ⇒ = = =

− −

Vậy 3

3.4

3

a

V = a a =

Câu 54 Thể tích khối bát diện cạnh a là: A

3 a B

3

2

a

C

3

2

a

D 2a3

Hướng dẫn giải Chọn A

O A

B C

D E

Vì hình bát diện ABCDEF có cạnh a⇒EF=a

Khi

1 2

2

3 3

ABCDEF E ABCD ABCD

a

V = V = EO S = a = a

Câu 55 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a

SA=SB=SC=SD= a Tính thể tích khối chóp S ABCD ? A

3

2

a

B

3

3

a

C

3

6

a

D

3

2

a

Hướng dẫn giải

Chọn A

Có: SABCD = AB2 ( )

2 a

=

3a

= Gọi O tâm hình vng ABCD

2

BO= BD 2 a

=

2

a

=

Vì S ABCD hình chóp nên SO⊥(ABCD) ⇒SO= SB2−BO2

2

2 a a

= −

2

a

=

1

S ABCD ABCD

V = SO S

.3

a a

=

2

a

= (đvtt)

Câu 56 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h, góc hai mặt phẳng (SAB)

(ABCD)bằng α Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h α A

3

2

3 tan

h

α B

3

2

3 tan

h

α C

3

2

4 tan

h

α D

3

2

8 tan

h

α

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi O tâm đáy Do S ABCD hình chóp tứgiác nên SO⊥(ABCD), cạnh bên đáy hình vng Gọi I trung điểm AB, ta có SI ⊥AB suy góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)bằng SIO=α

Ta có:

tan tan

SO h

OI

SIO α

= = suy 2

tan h

AD OI

α

= = Vậy thể tích hình chóp S ABCD :

2 3

2

1

3 ABCD tan tan

h h

V SO S h

α α

 

= =   =

Câu 57.Cho tứ diện Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng Tính thể tích tứ diện

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi cạnh tứ diện ABCD a

Gọi M trung điểm cạnh CD G trọng tâm tam giác BCD Ta có

2

2 2 2 2

6 36

3

AG +BG = AB ⇔ + BM =a ⇔ + a  =a ⇒ =a

   

Khi

4

BCD

S∆ =

Thể tích tứ diện ABCD .6 3 BCD

V = S∆ AG= =

Câu 58 Cho hình chóp S ABCD có AC=2a, mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABCD) góc 45°

Tính thể tích V khối chóp S ABCD ? A

3

2

a

V = B

3

2

a

V = C V =a3 D

3

2 3

a

V =

Hướng dẫn giải

ABCD A (BCD) V

ABCD

2

V = V =5 V =27 27

2 V =

6

a M

G

D

C B

Chọn B

Ta có ABCD hình vng nên AC=AB 2

AC

AB a

⇒ = =

Gọi M trung điểm BC

Ta có góc mặt bên (SBC) đáy góc SM MO hay SMO= °45

Do ∆SOM vuông cân O 2

AB a

SO OM

⇒ = = =

Ngoài 2

2

ABCD

S =AB = a

Vậy 1 2

.2

3 3

ABCD ABCD

a a

V = SO S = a =

Câu 59 Thể tích hình chóp tứ giác có tất cạnh a

A

2

a

B

2

a

C

6

a

D

2

a

Hướng dẫn giải Chọn D

1

2

AO= AC= ; SO= SA2−AO2

2

2 a a

= −

2

a

=

3 ABCD

V = SO S 2

a a

=

6

a

=

Câu 60. Cho hình chóp S ABCD có chiều cao a độ dài cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD

O

A D

B C

A

8 3

a

B

3

10 3

a

C

3

8

a

D

3

10

a

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có BO= SA2−SO2 =2a Vậy BD=4a, suy

2

AB= a

Vậy 1

3 3

= ABCD = = a

V S SO AB SO

Câu 61.Tính thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a A

3

2

a

B

3

2 3

a

C

3

3

a

D

3

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử cho hình chóp tứgiác S ABCD có tất cạnh a Diện tích đáy ABCD:

ABCD

S =a

1

2

2 2

a

AO= AC = AB = ;

2

2 2 2

2

a a

SO= SA −AO = a −  =

 

Vậy thể tích khối chóp tứgiác là:

3

1 2

3 ABCD

a a

V = S SO= a =

Câu 62.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a mặt bên tạo với đáy góc 45P

0

P

Thể

tích V khối chóp S ABCD là: A

3

6

a

V = B

3

9

a

V = C

3

2

a

V = D

24 V = a Hướng dẫn giải:

O

C

A B

D

Chọn A

Gọi H hình chiếu vng góc A (ABCD), M trung điểm củaBC



45

2 S ABCD

a a

SMH = ⇒SH =HM = ⇒V =

Câu 63.Tính thể tích V hình tứ diện có đường cao h=a A

3

3 12

a

V = B

3

3

a

V = C

3

3

a

V = D

3

3

a

V =

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi x độ dài cạnh tứ diện Ta có chiều cao

2 3

3 2

x a

h= x −  = x⇔ =x h=

 

Suy diện tích tam giác đáy

2

3 3

4

x a

S = = Vậy

2

1 3

3 8

a a

V = a=

Câu 64 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên 3a Tính thể tích V

khối chóp cho?

A V =4 7a3 B

3

4

a

V = C

3

4

a

V = D

3

4

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn D

Trong mặt phẳng ABCD, gọi O= AC∩BD, hình chóp S ABCD nên SO⊥(ABCD)

Đáy hình vng vạnh 2a 2

AC

AO a

⇒ = =

Trong tam giác vng SAO có SO= SA2−AO2 =a

Thể tích V khối chóp

3

1

3 ABCD 3

a

V = SO S = a a =

Câu 65 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp

đã cho A

3

34

a

V = B

3

2

a

V = C

3

2

a

V = D

3

34

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi O tâm mặt đáy (ABCD) hình chóp tứ giác S ABCD Ta có SO⊥(ABCD) ⇒SO đường cao hình chóp

Tam giác SAO vng O có

2

a

OA= AC= , SA=3a 2 34

2

a

SO SA OA

⇒ = − =

Khi thể tích khối chóp tứ giác 34 ABCD

a

V = S SO=

Câu 66 Một hình chóp tứ giác có đáy hình vng cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Thể tích khối chóp

A

sin

a α

B

3 tan

a α

C

3 cot

a α

D

3 tan

a α

Hướng dẫn giải

Chọn C

Xét hình chóp tứgiác S.ABCD, có đáy ABCD hình vng tâm O Gọi M trung điểm AB suy OM AB AB (SMO)

SO AB

⊥ 

⇒ ⊥

 ⊥



Khi (SAB) (, ABCD)=( SM OM, )=SMO=α

S

A

B C

D

Tam giác SMO vng O, có tan tan

SO a

SMO SO

MO

α

= ⇒ =

Thể tích khối chóp S.ABCD

3

1

.tan

3

S ABCD ABCD

a

V = SO S = α

Câu 67.Tính thể tích khối bát diện có cạnh A 8

3 B

16

3 C

4

3 D

16 Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi ABCDEF hình bát diện có tâm H (như hình vẽ) có cạnh

Ta có 2

2

AC

EH =AH = = =

Thể tích bát diện cho

2 E ABCD

V = V .1 SABCD EH

=

2 .2

3

= =

Câu 68. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy bằnga Gọi SH chiều cao hình chóp,

khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt bên (SBC) bằngb Tính thể tích V khối chópS ABCD

A

2

3 16

ab V

a b

=

− B

3

2

2

3 16

a b V

a b

=

−

C

2

16

ab V

a b

=

− D 2

2 16

ab V

a b

=

−

Hướng dẫn giải:

Chọn B

E

A

B

D

F

Vì S ABCD hình chóp tứgiác suy H tâm hình vngABCD

Gọi M trung điểmBC,K hình chiếu vng góc H lên SM Ta có: BC SH BC (SHM)

BC HM

⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

(SBC) (SHM)

⇒ ⊥ , mà HK ⊥SM ⇒HK ⊥(SBC) Suy HK =2IJ =2b, ta có

2

2 2 2

16

HK HM ab

SH

HM HK a b

= =

− − Vậy

3

2

2

3 16

a b V

a b

=

−

Câu 69 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính tho ể tích khối chóp S ABCD theo a

A

6

a

B

6

a

C

3

a

D

6 12

a

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi O tâm mặt đáy ⇒(SO ABCD,( ))=SBO = °60

Ta có SO=BO

2

a SO

⇒ = Vậy thể tích khối chóp

3 ABCD

V = SO S

3

6

a

=

Câu 70 Thể tích khối tứ diện có cạnh A 2 B 4

9 C

9

4 D Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách1:Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều:

3 12

V = =

H A

D

C S

B M K I

Cách2:Khối tứ diện S ABC có đáy tam giác đường cao SG

3

4

ABC

AB

S∆ = = , 2

3

3

AB

AG= = ⇒SG= SA −AG = − =

Vậy

1

3

S ABC ABC

V = S∆ SG=

Câu 71. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hợp với mặt bên góc 45° Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD A 32

9 B

64

27 C

64

81 D

128 81 Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt AB=a Gọi O tâm ABCD, E trung điểm AB Khi (SAB ABCD, )=SEO= °45 Suy

2 a SO=OE=

2

3

2

a a a

SA= + =

Mà

2

3

3

4 2

2 2.

2

S ABCD

a

SA a

R a

a SO

= = = = ⇒ =

Nên . 2 32 64

3 3 81

S ABCD ABCD

V = SO S = =

Câu 72.Người ta cắt miếng bìa hình tam giác cạnh 10cm hình bên gấp theo đường kẻ, sau

đó dán mép lại đểđược hình tứ diện Tính thể tích khối tứ diện tạo thành

E

O

B C

A D

A V =250 2cm3 B 125 12

V = cm C 1000 3

V = cm D

3

250 12

V = cm

Hướng dẫn giải Chọn B

Tứ diện tạo thành tứ diện ABCD có tất cạnh 5cm Diện tích đáy

2

2

3 25

4

a

S = = cm

Đường cao

2

2 2 5

5

3

AH = AD −DH = − ⋅  =

  , với H tâm đáy

Thể tích 25 125 12

V = ⋅ ⋅ =

Ghi nhớ: Thể tích khối tứ diện cạnh a

2 12

a

V =

Câu 73 Tính thể tích khối chóp tứ giác cạnh đáy a, chiều cao 3a A a3 B

3

3

a

C

3

3

a

D

3

3 12

a

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: . 1.3

3

S ABCD ABCD

V = h S = a a =a

Câu 74 Thể tích khối bát diện cạnh a là: A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3 3

a

Hướng dẫn giải

Khối bát diện khối ghép khối chóp tứ giác S.ABCD cạnh a, với O tâm đáy

3

2 2

2 2

2

2 S ABCD ABCD

a a a

SO= SA −OA = a −  = → =V V = S SO=

 

Câu 75 Thể tích khối tứ diện cạnh a A

3 12

a

B

3 12

a

C

3 12

a

D

3 24

a Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi tứ diện cạnh a ABCD

Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có: AG⊥(ABC)

Xét ∆ABG vng G, ta có: AG= AB2−BG2

2

2

3

a

a  

= −  

 

6 a

=

Thể tích khối tứ diện là: BCD V = S AG

2

1

3

a a

=

12 a

=

Câu 76 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a ,diện tích mặt bên 2a2 Thể

tích khối nón có đỉnh S có đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD A 3

4 πa B

3

7

a

π

C

3

7

a

π

D

3

7

a

π

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

2

2

1 63

; 16

2

SCD

a a

S = a SI = a ⇒SI = a SO= a − =

Khối nón có 7;

2

a a

h=SO= r =

2

1 7

3 2

a a a

V = π =π

Câu 77.Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M N, trung

điểm cạnh AD BD, Lấy điểm không đổi P trên cạnh AB(khác ,

A B) Thể tích khối chóp PMNC A 9

16 B

8

3 C 3 D

27 12 Hướng dẫn giải

Chọn A

a a

B

C

D A

G

O I A D

Do AB(CMN) nên d P CMN( ,( ))=d(A,(CMN))=d(D,(CMN))

Vậy

4

PCMN DPMN MCND ABCD

V =V =V = V

(Do diện tích đáy chiều cao nửa) Mặt khác

2

2

2

1 27

3 12 12

ABCD

a a a

V = a −  = =

  nên

1 27

4 12 16

MCND

V = =

Câu 78 Tính thể tích V khối chóp tứ giác có chiều cao h bán kính mặt cầu nội tiếp

r (h>2r>0) A

( )

2

4

r h V

h r

=

+ B ( )

2

4

r h V

h r

=

− C ( )

2

3

r h V

h r

=

− D ( )

2

4

r h V

h r

=

+ Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ∆SMM' Nên I tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ∆SMM' Mặt khác, S ABCD hình chóp tứ giác nên I tâm mặt cầu nội

tiếp hình chóp

Xét ∆SMO có MI đường phân giác ta có:

SM SI MO = IO

2

h x h r

x r

+ −

⇒ = (vớix=MO)

2

2

hr x

h r

⇒ =

−

2

4

hr AB

h r

⇒ =

−

Vậy thể tích cần tìm (4 2 )

.4

3

h r

V h x

h r

= =

−

Câu 79 Cho khối tứ diện ABCDcó cạnh a Gọi B C', ' trung điểm cạnh

AB AC Tính thể tích V khối tứ diện AB C D' ' theo a A

3 24

a

V = B

3 24

a

V = C

3 48

a

V = D

3 48

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn D

N M

B D

C A

P

x I

M O

C B

A D

S

Ta có ' '

4

′ ′ = ′ ′= ⇒ =

AB C D

AB C D ABCD

ABCD

V AB AC

V V

V AB AC

Khối tứ diện ABCD có cạnh bằnga

3

' '

2

12 48

ABCD AB C D

a a

V = ⇒V =

Câu 80.Thể tích khối tứ diện có cạnh 2a A

3

3

a

B

3

2 12

a

C 2a3 D

3

2

a

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Giả sử khối tứ diện ABCD hình bên

Tam giác ABC cạnh a có

3 ABC

S a

2 2 3

3 3

a a

AO AM  

Tam giác SAO vng O có

2

2 2

4

3

a a

SO SA AO  a  

Thể tích cần tìm

3

1 2

3 3

a a

V  a 

Câu 81 Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a, góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC)

bằng 60° Gọi A′, B′, C′ tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích

khối bát diện có mặt ABC, A B C′ ′ ′, A BC′ , B CA′ , C AB′ , AB C′ ′, BA C′ ′, CA B′ ′ A

3

2 3

a

B 2 3a3 C

3

3

a

D

3

4 3

a

Hướng dẫn giải

Cách1:Ta tính thể tích khối chóp S ABC :

Gọi H tâm tam giác ABC cạnh a

3

a CH

⇒ = Góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60 

2

1 3

60 S

3 12

o

S ABC ABC

a a

SCH SH a V H S a

⇒ = ⇒ = ⇒ = = =

3 ' ' ACS

2

2 2.4

3

B ACA C B S ABC

a

V = V = V = V =

Cách2:Ta tích khối chóp S ABC là:

3

3 12

S ABC

a

V =

Diện tích tam giác SBC là:

2

39 12

SBC

a

S∆ =

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: ( ,( )) 13

a

d A SBC =

Tứ giác BCB C' ' hình chữ nhật có hai đường chéo cắt trung điểm đường

Có ' ' 39

3 3

a a a

SB= ⇒BB = ⇒B C=

Diện tích BCB C' 'là:

2 ' '

39

BCB C

a

S =

Thể tích khối mặt cần tìm là: ( ( )) ' '

1

2 ,

3 BCB C

a

V = d A SBC S =

Cách3(ThamkhảoHướng dẫn giảicủaNgọcHuyềnLB) Thể tích khối bát diện cho ' ' ' '

1

2 2.4 8

3

A B C BC A SBC S ABC ABC

V = V = V = V = SG S

Ta có: ( SA ABC;( ))=SAG=60 Xét ∆SGA vuông G:

 

tanSAG SG SG AG tanSAG a AG

= ⇔ = =

Vậy 8.1 .1 3

3 ABC

a a

V = SG S = a =

H B'

A'

C'

C

A

Câu 82. Cho hình chóp tam giác S ABC , cạnh đáy a Mặt bên tạo với mặt đáy góc o 60

Tính thể tích V hình chóp S ABC A

3

3

a

V = B

3

3 12

a

V = C

3

3 24

a

V = D

3

3

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi điểm hình vẽ Theo đề suy  60 SIA=

Ta có 3

2

a a a

AI = ⇒HI = ⇒SH =

Vậy 3

24

a

V =

Câu 83 Cho khối chóp S ABC cạnh đáy a, cạnh bên 3a Tính thể tích khối chóp ? A

3

26 12

a

V = B

3

11

a

V = C

3

3

a

V = D

3

11 12

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi G trọng tâm tam giác ABC

3 ABC

V = SG S∆ (do khối chóp S ABC đều)

Ta có AG=2.a =a ⇒SG= SA2−AG2 = a 26 ;

2

3

ABC

a

S∆ = ;

H A

B

C S

I

a a

a

3a

3a

3a

H

N M

A C

B

Suy

2

1 26 26

3 12

a a a

V = = (đvtt)

Câu 84.Cắt miếng giấy hình vng hình bên xếp thành hình hình chóp tứ giác Biết cạnh hình vng 20cm, OM =x cm( ) Tìm x để hình chóp tích lớn

A x=8cm B x=6cm C x=7cm D x=9cm Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử hình chóp tứ giác hình vẽ

Ta có OM =x

2

x

OH HM

⇒ = = 10

2

x SH

⇒ = − nên

( )

2

2

10 20 10

2

x x

SO= SH −OH =  −  −  = −x

    Suy cạnh đáy x

Thể tích MNPQ

V = S SO 1.2 20 10( )

3 x x

= − 20

40

3 x x

= − , (với 0≤ ≤x 10)

Tìm GTLN V ta Vmax =90, 51 x=8

* Cách – tìm GTLN: Áp dụng BĐT Cauchuy cho số khơng âm, ta có:

40 40

4

x x x x x x x x x x  − + + + + 

− ≤  

 

2 40 x x 10

⇔ − ≤

2

20 20

40 10

3 x x

⇔ − ≤ Dấu xảy 40 4− x= ⇔ =x x

* Cách – tìm GTLN: Có thể sử dụng máy tính – phần bảng (mode 7) để tìm GTLN cho nhanh:

x H O

N

Q M

P

Câu 85.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC

và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD)

a

Tính khoảng cách từ tâm O đáy đến

mặt bên (SCD) thể tích khối chóp S ABCD A ( ,( ))

2

O SCD

a

d =

3

3

S ABCD

a

V = B ( ,( ))

4

O SCD

a

d =

3

3

S ABCD

a

V =

C ( ,( ))

O SCD

a

d =

3

3

S ABCD

a

V = D ( ,( ))

2

O SCD

a

d =

3

3

S ABCD

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi I trung điểm CD

( ) ( ) ( )

OI CD SOI CD SOI SCD

⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Kẻ OK, GH⊥SI⇒OK ⊥(SCD GH), ⊥(SCD) ( )

(0,SCD)

d OK

⇒ = , mà 3

2

a

OK = GH ⇒OK=

2

2

2

OI OK a

SO

OI OK

= =

− Vậy

3

3

S ABCD

a