Đang tải... (xem toàn văn)
Tính theo a thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương.. Thể tích của khối hộp đó là.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MỤC LỤC
PHẦN A CÂU HỎI
Dạng 1.THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Dạng 1.1 Biết chiều cao diện tích đáy
Dạng 1.2 Cạnh bên vng góc với đáy
Dạng 1.3 Mặt bên vng góc với đáy
Dạng 1.4 Biết hình chiếu đỉnh lên đáy
Dạng 1.5 Thể tích khối chóp
Dạng 1.6 Thể tích khối chóp khác
Dạng THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Dạng 2.1 Biết chiều cao diện tích đáy
Dạng 2.2 Thể tích khối lăng trụ đứng 10
Dạng 2.3 Thể tích khối lăng trụ xiên 12
Dạng THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC 14
Dạng TỈ SỐ THỂ TÍCH 16
Dạng 4.1 Tỉ số thể tích khối chóp 16
Dạng 4.2 Tỉ số thể tích khối đa diện 16
Dạng 4.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để tìm thể tích 18
Dạng BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 20
PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 23
Dạng 1.THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 23
Dạng 1.1 Biết chiều cao diện tích đáy 23
Dạng 1.2 Cạnh bên vng góc với đáy 23
Dạng 1.3 Mặt bên vng góc với đáy 31
Dạng 1.4 Biết hình chiếu đỉnh lên đáy 36
Dạng 1.5 Thể tích khối chóp 38
Dạng 1.6 Thể tích khối chóp khác 43
Dạng THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 48
Dạng 2.1 Biết chiều cao diện tích đáy 48
Dạng 2.2 Thể tích khối lăng trụ đứng 48
Dạng 2.3 Thể tích khối lăng trụ xiên 53
Dạng THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC 62
Dạng TỈ SỐ THỂ TÍCH 68
(2)Dạng 4.2 Tỉ số thể tích khối đa diện 70 Dạng 4.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để tìm thể tích 78 Dạng BÀI TỐN THỰC TẾ VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 85
PHẦN A CÂU HỎI
Dạng 1.THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Dạng 1.1 Biết chiều cao diện tích đáy
Câu (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐT2018)Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B là:
A V 1Bh
2 B V Bh
1
6 C V Bh D V Bh
1
Câu (Mãđề101BGD&ĐTNĂM2018)Cho khối chóp có đáy hình vng cạnh a chiều cao
2a Thể tích khối chóp cho A 4a3 B 2
3a C
3
2a D 4
3a
Câu (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối chóp có đáy hình vng cạnh a chiều cao 4a Thể tích khối chóp cho
A 16a3 B 16
3 a C
3
4a D 4
3a
Câu (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCDcó đáyABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa 2 Tính thể tích V khối chóp
S ABCD
A
3
2
a
V B
3
2
a
V C V 2a3 D
3
2
a V
Dạng 1.2 Cạnh bên vng góc với đáy
Câu (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017)Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA4, AB6 , BC10 CA8 Tính thể tích V khối chóp S ABC
A V 32 B V 192 C V 40 D V 24
Câu (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA 2a Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
2
a
B
2
a
C 2a3 D
3
2
a
Câu (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy thể tích khối chóp
3
4
a
(3)A B C D
Câu (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết SAABC SAa Tính thể tích khối chóp S ABC
A a B a C a D 3 a
Câu (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐTNĂM2017)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB góc 30 Tính thể tích V khối chóp S ABCD
A V 3a3 B
3
6
a
V C
3
3
a
V D
3
6 18
a V
Câu 10 (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng ABC, SC a Thể tích khối chóp S ABC
A 3 a B 12 a C 3 a D 3 12 a
Câu 11 (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ABC biết đáy ABC tam giác vuông B AD10, AB10, BC24 Tính thể tích tứ diện ABCD
A V 1200 B V 960 C V 400 D 1300 V
Câu 12 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ABC Biết SAa, tam giác ABC tam giác vuông cân
A, AB2a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC A
3
6
a
V B
3
2
a
V C
3
2
a
V D V 2a3
Câu 13 (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, ABa AC, 2 ,a SAABC SAa Thể tích khối chóp cho
A
3
a
B
3
3
a
C
3
3
a
D
3
2
a
Câu 14 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017)Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC
2 a
Tính thể tích khối chóp cho
A
3
3
a
B a3 C
3 a D a
Câu 15 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho khối chóp S ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, ADa 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S ABCD
A V 3a3 B
3
3
a
V C V a3 D
3 a V a a
(4)Câu 16 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng SAB góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3
2
a
B
3
2 a
C
3
6 a
D 2a3
Câu 17 (THPT CHUN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân C, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, biết AB 4a,SB6a Thể tích khối chóp S ABC
là V Tỷ số
3
a V A
80 B
5
40 C
5
20 D
3 80
Câu 18 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB a, ACB60, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SB hợp với mặt đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp S ABC
A
3 18
a
V B
3
3 12
a
V C
3
2 a
V D
3
3
a V
Câu 19 (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy
ABCD hình chữ nhật ABa AD2a, cạnh bên SA vng góc với đáy Tính thể tích V khối chóp
S ABCD biết góc hai mặt phẳng SBD ABCD 600 A
3 15 15 a
V B
3 15 a
V C
3 15
15 a
V D
3 15 a V
Câu 20 (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABC có AC a , BC 2a, ACB1200, cạnh bên SA vng góc với đáy Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB góc
0
30 Tính thể tích khối chóp S ABC A
3 105 28 a
B
3 105 21 a
C
3 105 42 a
D
3 105 a
Câu 21 (TT HỒNG HOA THÁM - 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có AB5 3,BC3 3, góc
90
BADBCD , SA9 SA vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD 66 , tính cotang góc mặt phẳng SBD mặt đáy
A
B
C
(5)Câu 22 A 20 273
819 B
91
9 C
3 273
20 D
9 91
Câu 23 (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SAABC Mặt phẳng SBC cách A khoảng a hợp với mặt phẳng ABC góc
0
30 Thể tích khối chóp S ABC A a B a C 3 12 a D a
Dạng 1.3 Mặt bên vng góc với đáy
Câu 24 (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy; góc
SC mặt phẳng đáy 45o Tính thể tích khối chóp S ABCDbằng: A 3 12 a B 3 a C 5 24 a D 5 a
Câu 25 (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt phẳng SCD tạo với đáy góc 30 Thể tích khối chóp S ABCD là?
A 3 a B 3 a C 3 36 a D 36 a
Câu 26 (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B AB2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC
A
3 a
V B
3 3 a
V C
3 12 a
V D
3
2
3 a V
Câu 27 (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên SAD vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD
3a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD
A
h a B
2
h a C
5
h a D
3
h a
Câu 28 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên SAD vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCDbằng
3a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD
A
4
h a B
3
h a C
3
h a D
3
h a
(6)A
3 12
a
V B
3
3
a
V C
3
6 12
a
V D
3
2 12
a V
Câu 30 (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách hai đường thẳng SA
BD 21 Hãy cho biết cạnh đáy bao nhiêu?
A 21 B 21 C 7 D 7
Câu 31 (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B,
2
BC ADa Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với
đáy, góc SC mặt phẳng ABCD cho tan 15
Tính thể tích khối chóp S ACD theo a
A S ACD a
V B
3
3 S ACD
a
V C
3 S ACD a
V D
3 S ACD a
V
Câu 32 (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật; ABa AD; 2a Tam giác SAB cân tại S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng SC và mpABCD bằng 45 Gọi M là trung điểm của SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến SAC
A 1513 89 a
d B 1315
89 a
d C 1315
89 a
d D 1513 89 a
d
Dạng 1.4 Biết hình chiếu đỉnh lên đáy
Câu 33 (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu S lên mặt phẳng ABC trung điểm H BC, ABa,
3
ACa , SBa Thể tích khối chóp S ABC
A 3 a B a C 3 a D 6 a
Câu 34 (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S Hình chiếu vng góc Strên mặt phẳng đáy điểm H thuộc cạnh AD cho HA3HD Biết SA2a SC tạo với đáy góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD
A V8 6a3 B
3
8
a
V C V8 2a3 D
3
8
a
V
Câu 35 (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D, ABADa, CD2a Hình chiếu đỉnh S lên mặt ABCD trùng với trung điểm BD Biết thể tích tứ diện SBCD
3
6 a
Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng SBC là?
A
2
a
B
6
a
C
6
a
D
4
(7)Câu 36 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hình chóp S ABCD có đáy
ABCD vng cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AD; gọi M trung điểm CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABM
A 15 a B 15 a C 15 a D 15 12 a
Câu 37 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S đáy điểm H cạnh AC cho
3
AH AC; mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 60o Thể tích khối chóp S ABC là?
A 3 12 a B 3 48 a C 3 36 a D 3 24 a
Dạng 1.5 Thể tích khối chóp
Câu 38 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01)Thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a
A a B 3 a
C a3 D
3
2
a
Câu 39 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019)Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp cho
A 2 a B 8a C a D a
Câu 40 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017)Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a,cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp cho
A
3
2 a
V B
3
14 a
V C
3
2 a
V D
3
14 a V
Câu 41 (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019)Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy 2a cạnh bên a Thể tích khối chóp cho
A 4 5a3 B 4 3a3 C
4
a
D
3
4 3
a
Câu 42 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017)Cho khối chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC
A
3
11
a
V B
3
11
a
V C
3
13 12
a
V D
3
11 12
a V
Câu 43 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy
45 . Thể tích khối chóp A 3 12 a . B 12 a
C
3 36 a . D 3 36 a .
Câu 44 (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ NĂM 2018-2019)Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a 6, góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích V khối chóp S.ABC?
(8)Câu 45 (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a, góc hợp cạnh bên mặt đáy 60 Thể tích khối chóp cho
A
3 12
a
B
3
3
a
C
3
3
a
D
3
3
a
Câu 46 (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho khối chóp tứ giác
S ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Thể tích 0 V khối chóp S ABCD A 3 a
V B
3 2 a
V C
3 a
V D
3 a V
Câu 47 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, tâm đáy O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc đường thẳng MN mặt phẳng ABCD 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD
A 10 a B 30 a C 30 a D 10 a
Câu 48 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017)Cho tứ diện ABCD có cạnh AB,AC AD đơi vng góc với nhau; AB6a, AC7a vàAD4a Gọi M ,N,Ptương ứng trung điểm cạnh
BC,CD,DB Tính thể tích V tứ diện AMNP
A V 7a3 B V 14a3 C 28
3
V a D
2
V a
Dạng 1.6 Thể tích khối chóp khác
Câu 49 (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi V thể tích khối chóp S ABCD M , N, P trung điểm đoạn thẳng
SC, SD, AD Thể tích khối tứ diện AMNP A 1
8V B
1
4V C
1
16V D
1 32V
Câu 50 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho tứ diện ABCD có cạnh
, ,
AB AC AD đôi vuông góc nhau; AB6a, AC 7a AD4a Gọi M N P, , tương ứng trung điểm cạnh BC CD DB, , Tính thể tích V khối tứ diện AMNP
A
7
V a B
3
28
a
V C
3
7
a
V D
14
V a
Câu 51 (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp S ABC có
SASBSC , AC4; ABC tam giác vuông cân B Tính thể tích V khối chóp S ABC
A V 16 B 16
V C V 16 D 16
3 V
Câu 52 (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019)Cho tứ diện ABCDcó cạnh AB AC, AD đơi vng góc với Gọi G G G1, 2, 3và G4 trọng tâm tam giác ABC ABD ACD, , BCD Biết AB6 ,a AC9a, AD12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G G G G1 2 3 4
(9)Câu 53 (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a SABSCB 90 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (MBC)
bằng
a
Tính thể tích V khối chóp S ABC A 12 a
V B
3
5
a
V C
3
4
a
V D
3 12 a V
Câu 54 (THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABC biết SASBSCa, ASB120, BSC 60 ASC90 Thể tích khối chóp S ABC
A
2 12
a
B
3
2
a
C
3
3
a
D
3
3
a
Câu 55 (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, biết khoảng cách từ A đến SBC
4 , từ B đến SCA 15
10 , từ C đến SAB 30
20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp
S ABC V
A
36 B 48 C 12 D 24
Câu 56 (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a SAB SCB900 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
MBC
7
a
Tính thể tích V khối chóp S ABC A
3
5 12
a
V B
3
5
a
V C
3
4 3
a
V D
3
7 12
a V
Câu 57 (THPT CHUN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3)Cho hình chóp S ABC có cạnh
SABC ; SB AC4; SC AB2 Tính thể tích khối chóp S ABC
A 390
12 B 390 C 390 D 390 Dạng THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Dạng 2.1 Biết chiều cao diện tích đáy
Câu 58 (Mã đề 101 - BGD - 2019)Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B có chiều cao h A Bh B 4
3Bh C
1
3Bh D 3Bh
Câu 59 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018)Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao 4a Thể tích khối lăng trụ cho
A 16a3 B 4a3 C 16
3 a D
3 3a Câu 60 (Mã 103 - BGD - 2019)Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h là:
A 1
3Bh B Bh C
4
(10)Câu 61 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao 2a Thể tích khối lăng trụ cho
A 2
3a B
3
3a C
3
2a D 4a3
Câu 62 (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho khối lăng trụ có diện tích đáy a2 3, khoảng cách hai đáy lăng trụ a Tính thể tích V khối lăng trụ
A V 3a3 B V a3 C
2
a
V D
3
3
4
a V
Dạng 2.2 Thể tích khối lăng trụ đứng
Câu 63 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019)Thể tích khối lập phương cạnh 2a
A 8a3 B 2a3 C a3 D 6a3
Câu 64 (Mã đề 104 - BGD - 2019)Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác cạnh a
'
AA a (minh họa hình vẽ bên dưới)
Thể tích khối lăng trụ cho A
3
6
a
B
3
6
a
C
3
6
a
D
3
6 12
a
Câu 65 (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐTNĂM2017)Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a
A
3 12
a
V B
3
3
a
V C
3
3
a
V D
3
3
a V
Câu 66 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho khối lăng trụ đứngABC A B C có đáy tam giác cạnh a
AA a (minh họa hình vẽ bên)
(11)A
3
a
B
3
3
a
C a3 D
3
3
a
Câu 67 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017)Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có BB a, đáy ABC tam giác vng cân B AC a Tính thể tích V khối lăng trụ cho
A
3
a
V B
3
2
a
V C V a3 D
3
6
a V
Câu 68 (Mã 103 - BGD - 2019)Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh 2a
'
AA a (minh họa hình vẽ bên)
Thể tích khối lăng trụ cho
A 6 3a3 B 3 3a3 C 2 a3 D 3a3
Câu 69 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017)Tính thể tích V khối lập phươngABCD A B C D , biết AC a
A V a3 B
3
3
a
V C V 3 3a3 D
3
V a
Câu 70 (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019)Hình lập phương có đường chéo a tích
A 3 3a3 B
4 a C
3
3
9 a D
3 a
Câu 71 (Mã đề 101 - BGD - 2019)Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnha AA' 3a(minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ cho
A
4
a
B
3
2
a
C
3
3
a
D
3
3
a
Câu 72 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017)Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân với ABACa, BAC120 Mặt phẳng (AB C ) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối lăng trụ cho
A
3
3
a
V B
3
9
a
V C
3
8
a
V D
3
3
a V
A' C'
B'
B
C A
A' C'
B'
B
(12)Câu 73 (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác vng cân B, ABa A B a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A 3 a B a C a D 2 a
Câu 74 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho lăng trụ ABC A B C Biết góc A BC ABC 30, tam giác A BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A 8 B 8 C 3 D 8
Câu 75 (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho lăng trụ tam giác ' ' '
ABC A B C có diện tích đáy
3
a
Mặt phẳng A BC' hợp với mặt phẳng đáy góc
60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
A 3 a B 3 a C 12 a D 3 a
Câu 76 (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho khối lăng trụ ' ' '
ABC A B C có cạnh đáy a Khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng AB C' '
19
a
Thể tích khối lăng trụ cho
A 3 a B 3 a C 3 a D 3 a
Dạng 2.3 Thể tích khối lăng trụ xiên
Câu 77 (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông B, đường cao BH Biết A H' ABC AB1,AC2,AA' Thể tích khối lăng trụ cho
A 21
12 B
7
4 C
21
4 D
3
Câu 78 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình lăng trụ ABC A B C có tất cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C bằng
A 3 24 a B 3 a C 3 a D a
Câu 79 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác vng cân ,A AC2 2, biết góc AC ABC 600 AC 4 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C
A
3
V B 16
3
V C
3
V D 8
Câu 80 (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019)Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt đáy
30 Hình chiếu A' lên ABC trung điểm I BC Tính thể tích khối lăng trụ
(13)Câu 81 (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy tam giác cạnh , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Khi thể tích khối lăng trụ là:
A 9
4 B
27
4 C
27
4 D
9
Câu 82 (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy
30 Hình chiếu A' xuống ABC trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
A
3 a
B
8
a
C
3 24 a
D
3 a
Câu 83 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a,
2
a
AA Biết hình chiếu vng góc A lên ABC trung điểm BC Tính thể tích V khối lăng trụ
A
V a B
3
2
a
V C
3
a
V D 3
2 V a
Câu 84 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB' CC' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ' 'A B C') trung điểm M B C' ' A M' 2 Thể tích khối lăng trụ cho
A 2
3 B 1 C D 2
Câu 85 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB' , khoảng cách từ A đến BB' CC' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ' ' 'A B C trung điểm M B C' ', ' 15
3
A M Thể tích khối lăng trụ cho A 2
3 B C
2 15
3 D
15
Câu 86 (Mãđề101BGD&ĐTNĂM2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC , hình chiếu
vng góc A lên mặt phẳng A B C trung điểm M B C
3
A M Thể tích khối lăng trụ cho
A 2 B 1 C D 2
3
Câu 87 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A B C trung điểm M B C A M Thể tích khối lăng trụ cho
A B 15
3 C
2
3 D
(14)Câu 88 (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD hình thoi cạnh a,ABC60 Chân đường cao hạ từ B trùng với tâm O đáy ABCD; góc mặt phẳng BB C C với đáy 60 Thể tích lăng trụ bằng:
A 3 a B 3 a C 3 a D 3 a
Câu 89 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác cạnha, hình chiếu vng góc điểm A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC
4
a
Tính theo a thể tích khối lăng trụ cho
A 3 a B 3 24 a C 3 a D 3 12 a
Câu 90 (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hình lăng trụ ABC A B C có
AA a, tam giác ABC vng C BAC60, góc cạnh bên BB mặt đáy ABC 60
Hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A ABC theo a
A
9 208
a
B
3
3 26
a
C
3
9 26
a
D
3
27 208
a
Câu 91 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho khối lăng trụABC A B C ,
tam giác A BC có diện tích bằng và khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC bằng Thể tích khối lăng trụ cho bằng
A 6 B 3 C 2 D 1
Câu 92 (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho lăng trụ tam giác ' ' '
ABC A B C có đáy ABClà tam giác cạnh a Hình chiếu điểm A' mặt phẳng ABC trùng vào trọng tâm Gcủa tam giác ABC Biết tam giác A BB' ' có diện tích
2
2
3
a
Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
A a B 3 a C 3 a D 3 a
Dạng THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC
Câu 93 (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐT2018)Cho hình vng ABCD ABEF có cạnh 1, nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi S điểm đối xứng Bqua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF
A 7
6 B 11 12 C D
Câu 94 (Mã đề 104 - BGD - 2019)Cho lăng trụ ABC A B C có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M N, P tâm mặt bên ABB A ACC A , BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , ,
A 8 B 6 C 20
3 D
14
(15)Câu 95 (Mã 103 - BGD - 2019)Cho lăng trụ ABC A B C có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M N P, , tâm mặt bên ABB A ACC A BCC B , , Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , ,
A 9 B 10 C 7 D 12
Câu 96 (Mã 102 - BGD - 2019)Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M N, P tâm mặt bên ABB A ACC A' ', ' ' BCC B' ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm , , ,A B C M N P, ,
A 40
3 B 16 C
28
3 D 12
Câu 97 (Mã đề 101 - BGD - 2019)Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M N, P tâm mặt bên ABB A ACC A' ', ' ' BCC B' ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , ,
A 30 B 36 C 27 D 21
Câu 98 (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Thể tích bát diện cạnh a A 6a3 B 6a3 C 4
3a D
3 a
Câu 99 (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương cạnh Gọi trung điểm , thuộc cạnh thỏa Mặt phẳng chia khối lập phương thành hai khối, gọi khối chứa điểm Thể tích khối theo là?
A 53
137 a
B 55
144 a
C 47
154 a
D 65
113 a
Câu 100 Cho hình lập phương có cạnh a Tính theo a thể tích khối bát diện có đỉnh tâm mặt hình lập phương
A 1
4a B
3
1
6a C
3
1
12a D
3
1 8a
Câu 101 (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019)Cho hình hộp chữ nhật ABCDA B C D Khoảng cách AB B C
5 a
, BC AB 5 a
, AC BD 3 a
Thể tích khối hộp
A 8a3 B 4a3 C 2a3 D a3
Câu 102 (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật ' ' ' '
ABCD A B C D có ABa BC, 2 ,a AC'3a Điểm N thuộc cạnh BB' cho BN 2NB', điểm M thuộc cạnh DD' cho D M' 2MD Mặt phẳng A MN' chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C'
A
4a B
a C
2a D
3a
Câu 103 (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a, góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 60 Gọi A, B, C tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích V khối bát diện có mặt ABC, A B C , A BC , B CA , C AB , AB C ,
BA C , CA B ' ' ' '
ABCD A B C D a M BC N CD
3
CN CD
(16)A
3
2 3
a
V B V 2 3a3 C
3
3
a
V D
3
4 3
a V
Dạng TỈ SỐ THỂ TÍCH
Dạng 4.1 Tỉ số thể tích khối chóp
Câu 104 (THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M N P, ,
lần lượt trung điểm SA SB SC, , Tỉ số thể tích S ABC S MNP V
V
A 12 B 2 C 8 D 3
Câu 105 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung điểm cạnh MN; MP; MQ Tỉ số thể tích MIJK
MNPQ
V
V
A 1
3 B
1
4 C
1
6 D
1
Câu 106 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B, C, D theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC, SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D
S ABCD A
16 B
1
4 C
1
8 D
1
Câu 107 (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABC tích V Gọi G trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng ( ) qua hai điểm A G, song song vớiBC Mặt phẳng ( ) cắt cạnh SB SC, điểm M vàN Thể tích khối chóp S AMN
A
9
V
B
2
V
C 4
9
V
D
4
V
Dạng 4.2 Tỉ số thể tích khối đa diện
Câu 108 (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐTNĂM2017)Cho khối tứ diện tích V Gọi V thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V
V
A
3 V
V
B
8 V
V
C
2 V
V
D
4 V
V
Câu 109 (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCDE có đáy hình ngũ giác tích V Nếu tăng chiều cao chóp lên lần đồng thời giảm độ dài cạnh đáy lần ta khối chóp S A B C D E tích V Tỉ số V
V
A 3 B 1
5 C 1 D
1
Câu 110 (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019)Cho khối chóp tam giác S ABC có đỉnh S đáy tam giác ABC Gọi V thể tích khối chóp Mặt phẳng qua trọng tâm ba mặt bên khối chóp chia khối chóp thành hai phần Tính theo V thể tích phần chứa đáy khối chóp
A 37
64V B
27
64V C
19
27V D
(17)Câu 111 (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho lăng trụ ABC A B C , M trung điểm CC Mặt phẳng ABM chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số
2 V V A 1
5 B
1
6 C
1
2 D
2
Câu 112 (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp
ABCD A B C D có I giao điểm AC BD Gọi V1 V2 thể tích khối
ABCD A B C D I A B C Tính tỉ số V V A
2 V
V . B
1
3 V
V C
1
2 V
V D
1
3 V V
Câu 113 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Tính tỷ số thể tích hai khối chóp ANIB S ABCD
A
16 B
1
8 C
1
12 D
1 24
Câu 114 (ĐỀ MẪU KSNL ĐHQG TPHCM NĂM 2018-2019) Cho khối lăng trụ ABC A B C Gọi E, F trung điểm AA, CC Mặt phẳng BEF chia khối lăng trụ thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần
A 1
3 B 1 C
1
2 D
2
Câu 115 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy thoả mãn cos
3
Mặt phẳng P qua AC vng góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện khối chop N ACD đa diện chứa đỉnh S Tỉ số hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau?
A 0.11 B 0.13 C 0.7 D 0.9
Câu 116 (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1)Cho tứ diện ABCD, cạnh BC, BD, AC lấy điểm M , N , P cho BC3BM,
2
BD BN, AC2AP Mặt
phẳng MNP chia khối tứ diện ABCD thành hai phần tích V1, V2 Tính tỉ số V V A
2
26 19
V
V B
1
3 19
V
V C
1
15 19
V
V D
1
26 13
V
V
Câu 117 (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD60o SA vng góc với mặt phẳng ABCD Góc hai mặt phẳng SBD ABCD 45 Gọi o M điểm đối xứng C qua B N trung điểm SC Mặt phẳng MND chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh S tích V1, khối cịn lại tích V2 (tham khảo hình vẽ bên) Tính tỉ số
1
(18)A
1
V
V B
1
2
5
V
V C
1
2
12
V
V D
1
2
7
V V
Câu 118 (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA2 a Hai mặt phẳng (SAB)và (SAD)cùng vng góc với (ABCD) Một mặt phẳng ( )P qua A vng góc SC, cắt cạnh SB SC SD, , B C D, , Gọi
1
V V2 thể tích khối chóp S AB C D khối đa diện ABCD D C B Tỉ số V
V A
15 B
8
7 C
32
13 D
1
Câu 119 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019)Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh Gọi V1 thể tích phần khơng gian bên chung hai hình tứ diện ACB D A C BD ,
2
V phần không gian bên hình lập phương cho mà khơng bị chiếm chỗ hai khối tứ diện nêu Tính tỉ số
1 V V ?
A 3 B
2 C
3
2 D 2
Câu 120 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA2 a Hai mặt phẳng (SAB)và (SAD)cùng vng góc với (ABCD) Một mặt phẳng ( )P qua A vng góc SC, cắt cạnh
, ,
SB SC SD B C D, , Gọi V1 V2 thể tích khối chóp S AB C D khối đa diện
ABCD D C B Tỉ số V
V A
15 B
8
7 C
32
13 D
1
Câu 121 Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M N P Q, , , trọng tâm tam giác SAB SBC SCD SDA, , , Gọi O điểm mặt phẳng đáy ABCD Biết thể tích khối chóp
OMNPQ V Tính thể tích khối chóp SABCD A 27
8 V B
27
2 V C
9
4V D
27 V
Câu 122 (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019)Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi M trung điểm SC Mặt phẳng chứa AM song song với BDcắt SB SD, tạiP Q, Biết thể tích khối chóp S ABCD V. Tính thể tích khối chóp S APMQ
A V
B V
C V
D V
(19)Câu 123 (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019)Cho khối lăng trụ
ABC A B C tích Gọi M trung điểm đoạn thẳng AA
N điểm nằm cạnh BB' cho BN 2 'B N Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B Q Thể tích khối đa diện lồi A MPB NQ
A 7
9 B
5
9 C
2
3 D
13
Câu 124 (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hình chóp S ABCD, đáyABCD hình vng cạnh a; SAa ;SA(ABCD) Gọi M N, trung điểm SB SD; , mặt phẳng
(AMN) cắt SC I Tính thể tích khối đa diện ABCDMIN
A
3
5 18
a
V B
3
3 18
a
V C
3
5
a
V D
3
13 36
a V
Câu 125 (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019)Cho khối hộp ABCDA B C D tích 2018 Gọi M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng MB D chia khối chóp ABCDA B C D
thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A
A 5045
6 B
7063
6 C
10090
17 D
7063 12
Câu 126 (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có
đáy hình bình hành thể tích V 270 Lấy điểm S không gian thỏa mãn SS 2CB
Tính thể
tích v phần chung hai khối chóp S ABCD S ABCD (tham khảo hình vẽ sau)
A v 120 B v 150 C v 180 D v 90
Câu 127 (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp SABC có
1, 2,
SA SB SC ASB60 , BSC120 , CSA90 Tính thể tích khối chóp S ABC
A
2 B C
2
6 D
2
Câu 128 (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019)Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành thể tích
1 Gọi M điểm đối xứng Cqua B N; trung điểm cạnh SC Mặt phẳng MDN chia khối chóp
S ABCDthành hai khối đa diện,thể tích khối đa diện chứa đỉnh S A 5
6 B
5
8 C
12
19 D
7 12
Câu 129 (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy
hình vng, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy ABCD
có diện tích 27
4 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB song song với mặt đáy
ABCD chia khối chóp S ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểmS?
(20)Câu 130 (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm cạnh SB SC, Tính thể tích khối chóp
S AMND, biết khối chóp S ABCD tích a3
A
4
a
B
8
a
C
2
a
D
3
a
Câu 131 (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABCD , gọi
, , ,
I J K H trung điểm cạnh SA SB SC SD, , , Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH
A 16 B 8 C 2 D 4
Câu 132 (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vuông cân B, ACa SA vuông góc với mặt phẳng ABC SAa Gọi G trọng tâm tam giác SBC Một mặt phẳng qua hai điểm A, G song song với BC cắt SB, SC
B C Thể tích khối chóp S AB C bằng: A
3
27 a
B
3
9 a
C
3
27 a
D
3
9 a
Câu 133 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích 48 Trên cạnh SB SD, lấy điểm M N, cho SM MB,
3
SD SN Mặt phẳng AMN cắt SC P Tính thể tích V khối tứ diện SMNP A
2
V B
3
V C V 2 D V 1
Câu 134 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành Gọi Nlà trung điểm SB, P thuộc đoạn SC cho SP2PC M, thuộc đoạn SA
sao cho
5
SM MA Mặt phẳng MNP cắt SD Q NP cắt BCtại E CQ, cắt DPtại R Biết thể tích khối chóp EPQR 18cm3 Thể tích khối chóp SMNPQ
A 65cm3 B 260
9 cm . C
3
75cm . D 70cm3
Dạng BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Câu 135 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Ông A dự định sử dụng hết
6, 7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)
A 1, 23m3 B 2, 48m3 C 1,57m3 D 1,11m3
Câu 136 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Ông A dự định sử dụng hết 5, m2 kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?:
A 1, 40 m3 B 1, 01 m3 C 1, 51 m3 D 1,17 m3
Câu 137 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01)Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật tích
125m Đáy bể bơi hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)?
(21)Câu 138 (THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019)Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích
72 dm , chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a b, (đơn vị dm ) hình vẽ Tính a b, để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể
A a 24 dm; b 24 dm B a6 dm; b4 dm
C a3 dm; b4 dm D a4 dm; b6 dm
Câu 139 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh ABx cạnh lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn
A x 14 B x3 C x D x2
Câu 140 (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân A, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC Gọi góc hai mặt phẳng SBC ABC, giá trị cos thể tích khối chóp
S ABC nhỏ A
2 B
2
3 C
3
3 D
6
3 .
Câu 141 (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD A B C D có ABx, AD1 Biết góc đường thẳng A C mặt phẳng ABB A 30 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối hộp ABCD A B C D
A 3
4
max
V B
4
max
V C
2
max
V D
2
max
V
Câu 142 (THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A mua tặng vợ quà đặt hộp chữ nhật tích 32 (đvtt) có đáy hình vng khơng nắp Để quà trở nên đặc biệt xứng tầm với giá trị nó, ơng định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ điểm hộp không đổi Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h x là?
A h2,x4 B
2
h ,x4 C h2, x1 D h4, x2
Câu 143 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Xét tứ diện ABCD có cạnh
ABBCCDDA AC, BD thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD
A 2
27 B
4
27 C
2
9 D
4
Câu 144 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp SABC có
, ,
SAx SB y ABACSBSC Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn tổng xy A
3 B C
4
3 D 4
b dm a dm
(22)Câu 145 (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Cho hình hộp chữ nhật ' ' ' '
ABCD A B C D có tổng diện tích tất mặt 36, độ dài đường chéo AC' Hỏi thể tích khối hộp lớn bao nhiêu?
A 8 B 6 C 24 D 16
Câu 146 (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S ABCD có SC x 0xa 3, cạnh lại a Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn
a m x
n
*
,
m n Mệnh đề sau đúng?
A m2n10 B m2 n 30 C 2n23m15 D 4m n 20
Câu 147 (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Cho tứ diện ABCD có AB x, CD y, tất cạnh lại Khi thể tích tứ diện ABCD lớn tính xy
A 2
3 B
4
3 C
16
3 D
1
Câu 148 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AMPN. Giá trị lớn V1
V thuộc khoảng sau đây?
A 0;1
B
1 ;
C
1 ;
D
1 ;1
Câu 149 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tơn hình vng ABCD có cạnh 5cm (tham khảo hình vẽ)
Cắt mảnh tơn theo tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA sau gị tam giác AEH, BEF, CFG
, DGH cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng tạo thành khối chóp tứ giác Thể tích lớn khối chóp tứ giác tạo thành
A 4 10
3 B 10
5 C D
Câu 150 Cho khối lập phương ABCD A B C D cạnh a Các điểm M N, di động tia ,
AC B D sao cho AM B N a 2.Thể tích khối tứ diện AMNBcó giá trị lớn
A
12
a
B
6
a
C
3
a
D
2 12
a 10
3
(23)Câu 151 (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho tứ diện SABC có G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB SC, M N, Giá trị nhỏ tỉ số
S AMN S ABC V V là?
A 4
9 B
3
8 C
1
3 D
1 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1.THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Dạng 1.1 Biết chiều cao diện tích đáy
Câu
Lời giải Chọn A
Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B là: V 1Bh
3
Câu Chọn B
Khối chóp có đáy hình vng cạnh a nên có diện tích đáy: Sđáy a2 Chiều cao h2a
Vậy thể tích khối chóp cho đáy
V S h .22 a a
3a
Câu Chọn D
Thể tích khối chóp:
V B h 2.4
3a a
3a
Dạng 1.2 Cạnh bên vng góc với đáy
Câu Chọn D
Ta có SAABCDSA là đường cao của hình chóp Thể tích khối chóp S ABCD:
3
1
3 ABCD 3
a
V SA S a a
Câu Chọn A
A B
D C
(24)Ta có BC2 AB2AC2 suy ABC vng A SABC 24,
1
32 ABC
V S SA Câu Chọn D
Ta có SABCD a2
3
D
1
3
S ABCD ABC
a
V SA S
Câu
3
1 4
3
4 S ABC S ABC ABC
ABC
a V
V S SA SA a
S a
Câu Chọn C
S
A
B
C
A C
(25)Ta có SA đường cao hình chóp Tam giác ABC cạnh a nên
2
3
ABC a S
Vậy thể tích cần tìm là:
2
1
3 4
S ABC
a a
V a
Câu Chọn C
Góc SD mp DSA300
Ta có 0
tan 30 AD
SA a
3
1
3
a V a a
Câu 10 Chọn D
a 3
a
a a
S
A C
(26)2 ABC
a S
2
1 3
3 12
S ABC
a a
V a
Câu 11 Chọn C
Ta có 1 110.10.24 400
3
ABCD
V AD AB BC
Câu 12 Diện tích tam giác ABC vng cân A là: 12 2
2
ABC
S AB AC a a a
Thể tích khối chóp S ABC là:
3
1
.2
3 3
S ABC ABC
a V SA S a a
Câu 13
Ta có 2 2
3
BC AC AB a BCa
Vậy
3
1 1
3 6
S ABC ABC
a V S SA AB BC SA a a a
Câu 14 Chọn A
A C
B S
A B
D C
S
(27)Ta có BCAB BC, SABCAH Kẻ AHSBAH SBC Suy ;
2 a d A SBC AH
Tam giác SAB vng A có: 2 12 12 SA a
AH SA AB
Vậy
3
1
3
SABCD ABCD
a
V SA S
Câu 15 Chọn.C
Ta có SABCD 3a2
Vì
, ;
SBC ABCD BC
BC SB SBC SBC ABCD SB AB SBA
BC AB ABCD
Vậy SBA60o
Xét tam giác vuông SAB có: tan 60o SA SA AB.tan 60o a
AB
Vậy
1
3
3
S ABCD ABCD
V S SA a a a
Câu 16 Chọn B
+) Do ABCD hình vng cạnh a nên: SABCDa2
60
a
a 3
D
A B
C S
300
C
A D
B
(28)+) Chứng minh BCSAB góc SC (SAB) CSB300
+) Đặt SA x SB x2a2 Tam giác SBC vuông B nên tantan 300
BC CSA
SB
Ta được: SB BC 3 x2a2 a 3x a
Vậy
3
1
2.a
3 3
SABCD ABCD
a
V SA S a (Đvtt)
Câu 17 Chọn B
Ta có:
+ ABC vng cân ,C AB4a suy
2a ACBC
Do đó:
4a
2
ABC
S AC BC
+ SAABCSA ABABC vuông A
2 2
2
6a 4a 2a
SA SB AB
+ Khối chóp S ABC có SAABC
3
1 8a
4a 2a
3 ABC 3
V S SA
Vậy tỷ số:
3
3
5
3 3.8a 40
3
a a
V
Câu 18 Chọn A
B
C A
(29)ABC tam giác vuông B, ABa, ACB60 0
tan 60
AB
BC a
SB ABC, SB AB, 450
nên tam giác SAB vuông cân S SA ABa
1 1 3
3 18
S ABC ABC
a V S SA BA BC SA a a a
Câu 19 Chọn C
Kẻ AEBD
SBD , ABCD SEA600
Xét ABD vuông A 2
2
5
AD AB a a
AE
a
AD AB
Xét SAE vuông A
0 15 tan 60
5
a a
SAAE
Khi thể tích S ABCD
3
1 15 15
.2
3 ABCD 15
a a
(30)Câu 20 Chọn C
Theo giả thiết ta có đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB góc
30 Nên ASC300
Ta
2
1 3
.sin
2 2
ABC
a S AC BC ACB a a
Xét tam giác ABC ta có AB2 AC2BC22AC BC .cosACB7a2
Gọi H hình chiếu vng góc C AB đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB góc
30 nên CSH 300 Xét ABC ta có
2
1 21
2
a a
CH AB CH
Xét SCH vuông H ta có 0 21
sin 30
CH a
SC
Xét SAC vuông A ta có 2 35 a SA SC AC
Vậy
2
1 35 105
3 42
SABC ABC
a a a
V SA S
Câu 21
Có: . 66 1.9 44
3
S ABCD ABCD ABCD ABCD
V SA S S S
Suy 44 44
2AB AD2BC CD AD CD (1)
Áp dụng định lí Pitago tam giác vuông ABD BCD; , ta có:
2 2 2 2
48
AB AD BD BC CD CD AD (2)
Từ (1) (2) suy
4 47
2 AD AD
47
AD không thỏa mãn từ (1) ta có: 44
AD AD Trong tam giác ABD, dựng AH BD lại có SABDBDSH Vậy góc SBD đáy góc SHA
A
B
C
D S
H
S
A B
(31)Dễ tính 91, 20 273 91
AB AD
BD AH
BD
, cot 20 273
819
AH SHA
SA
Câu 23
Gọi I trung điểm sủa BC suy góc mpSBC mpABC SIA 300 H hình chiếu vng góc A SI suy d A SBC , AH a
Xét tam giác AHI vuông H suy 0 sin 30
AH
AI a
Giả sử tam giác ABC có cạnh x, mà AI đường cao suy
2
a ax x
Diện tích tam giác ABC
2 2
4
4
3 ABC
a a
S
Xét tam giác SAI vuông A suy
.tan 30 a SA AI
Vậy
2
1
3 3
S ABC ABC
a a a
V S SA
Dạng 1.3 Mặt bên vng góc với đáy
Câu 24 Chọn D
Gọi H trung điểm AB, SAB cân SSH AB
; SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD SH SAB SH AB
H
300
I C
B A
(32)
SC ABCD; SCH 45o SHC vuông cân H
2 2
4
a a
SH HC BC BH a
; SABCD AB2 a2
3
1 5
3
S ABCD ABCD
a a
V S SH a
Câu 25 ChọnA
Gọi H, K trung điểm AB CD
Suy SH ABCD SCD , ABCDSKH 30
Xét SHK vng H, có 3:
tan 30
SH a a
HK
Vậy
3
1 3
3 2
S ABCD ABCD
a a a
V SH S a
Câu 26 Chọn D
Gọi H trung điểm AB suy SH a 2
1
2 2
2
ABC
AB aBC aS a a
2
1
3 3
S ABC ABC
a V S SH a a Câu 27 Chọn A
30° K H
D A
B
(33)Gọi H trung điểm AD Nên SH AD
SAD ABCD
SAD ABCD AD SH ABCD
AD SH
Ta có: SABCD 2a2
2
3 3
2
ABCD
a V
SH a
S a
Gọi I hình chiếu H lên SD
; ; ; d B SCD d A SCD d H SCD IH
Mà
2 2
2
2
2
3
2
2
a a SH HD SH HD
IH a
SD SH HD
a a
Vậy ; d B SCD a Câu 28
Lời giải Chọn C
Gọi I là trung điểm của AD Tam giác SAD cân tại S SI AD
Ta có
SI AD
SI ABCD SAD ABCD
SI
là đường cao của hình chóp
Theo giả thiết . 2
3 3
S ABCD ABCD
V SI S a SI a SI a Vì AB song song với SCD
, , , d B SCD d A SCD d I SCD
Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của I lên SD Mặt khác SI DC IH DC
ID DC
Ta có IH SD IH SCD d I SCD , IH IH DC
Xét tam giác SID vuông tại : 12 12 12 12 42
4
a
I IH
IH SI ID a a
, , ,
3
d B SCD d A SCD d I SCD a
(34)Câu 29
Kẻ SH AC, HACH suy SH ABCD
AC a, tam giác SAC vng S, góc SAC60 nên , 3,
a SAa SCa SH
Thể tích hình chóp
3
1 3
2
3
a a
V a
Câu 30 Chọn D
Giả sử ABa Gọi H trung điểm ABSH ABSH ABCD
Ta có
2
SA BD SHHA BABC HA BA a
2 2. , , sin ,
2 2
a cos SA BD a cos SA BD SA BD
2 3
1 3
3 12
SABCD SABD
a
V SH AB AD a a V a
3
,
1
.sin , 21
6SA BD dSA BD SA BD 12 a 6a a 12 a a
D
B C
A
S
(35)Câu 31
Gọi H trung điểm AB, từ giả thiết ta có: SH ABCD, SC ABCD, SCH Đặt ABx, ta có:
2
2 2
4 x
HC BH BC a ,
2
2 15
.tan
4
x
SH HC a
Mặt khác
2
x
SH Vậy ta có:
2 15
4
x x
a
xa
.
3
2
ABCD
AD BC AB a
S ; 2
3
ACD ABCD S S a ;
3
1
3
S ACD ACD a
V SH S
Câu 32
Gọi H là trung điểm đoạnAB SH ABCD Xét BCH vuông tại B, có:
2
2 17
4
4
a a CH a
Xét SHC vuông cân tại H, có: 17; 34
2
a a
SH SC
Xét SAH vuông tại H, có:
2
17
4
a a
SA a
Xét ABC vuông tại B, có: 2
4
AC a a a
89 SAC
S a
Ta có:
3
1 17
3
S ABCD ABCD
a
V V SH S ;
3
1 17
2
S ACD
a
V V
3
1 17
2 12
S ACM S ACD a
V V Mà . 89
3 12
S MAC SAC
V d S a d 1513
89 a
d
H
C A
B
(36)Dạng 1.4 Biết hình chiếu đỉnh lên đáy
Câu 33
Xét tam giác ABC vng A có:
2
2 2
3
BC AB AC a a a H trung điểm BC nên BH a
Xét tam giác SBH vuông H có: 2 2 2
SH SB HB a a a
Diện tích đáy ABC là:
2
ABC
S AB AC a
Thể tích khối chóp S ABC là:
3
1 1
3 ABC
a
V SH S a a
Câu 34
2
3
SH HD HA HD SH HD
Có:
2
tan
3
3 tan
SH SDH
SA SA
DH
SD a DA SD SA a
SA SD
SDH SD
1
DH DAa
Tam giác SHC có tan tan 30
tan 30
SH SH SH
SCH HC a
HC HC
Tam giác DHC có DC DH2HC2 2 2a
H
C
B A
S
2a
30°
B A
D C
S
H
H
D A
(37)Vậy
3
1
2
3 3
S ABCD
a
V SH AD DC a a a
Câu 35 Chọn D
Gọi M trung điểm CD ta có ABMD hình vng cạnh a BCBDa
2 2
4
CD a BC BD
tam giác BCD vuông cân B Gọi H trung điểm BD SH ABCD
Khi . 1
3
S BCD
V SH BD BC
3
2
6
6
6
2
a a SH
a
Hạ HI SB
Vì ABMD hình vng nên H trung điểm AM ta có AMCB hình bình hành AH BC//
; ; d A SBC d H SBC HI
Khi 12 12 12
HI SH HB 2
4
6a a 3a
4
a HI
hay ;
4
a d A SBC Câu 36 Chọn D
Ta có
D
1
2
ABM ABC
S S a
Gọi I hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD
2 2
2
a a
IB IA AB a
M
H D
C
A B
S
I
M
I
A B
D
(38)Ta có IB hình chiếu vng góc SB lên mp ABCD SB,ABCDSB IB, 60
Ta có tan 60 15
2
a
SI IB
2
1 15 15
3 2 12
S ABM ABM
a a a
V SI S
Câu 37
Gọi M trung điểm BC
1 :
3
CN CH
N CM
CM CA
HN AM// Mà
ABC
nên AM BCHN BCBCSHN
Nên SBC ; ABCSN HN; SNH 60o
Do ABC nên 3
2
a a
AM HN AM
SHN
vuông H có sin 3.sin 60
6
o
a a
SH HN SNH
2
1 3
3 4 48
S ABC ABC
a a a
V SH S
Dạng 1.5 Thể tích khối chóp
Câu 38
Giả sử khối chóp tứ giác cho S ABCD Khi ABCD hình vng cạnh a
SASBSCSDa
Gọi H tâm hình vng ABCD SH ABCD nên SH chiều cao khối chóp S ABCD
Tính SH:
Xét tam giác ABC vng B ta có: 2
AC AB BC a2a2 a
H C A
B
D
(39)Nhận thấy 2
AC SA SC nên tam giác SAC vuông S Suy
2
AC SH
2 a
Diện tích đáy khối chóp S ABCD SABCD a2
Vậy thể tích khối chóp S ABCD là:
3 ABCD
V S SH .2
3
a a
3
2
a
Câu 39 Chọn D
Gọi hình chóp tứ giác có tất cạnh 2a S ABCD I tâm đáy ta có:
SASCBABCDADC SAC BAC DBC SAC;BAC;DAClần lượt vuông , ,
S B D
I trung điểm ACsuy 12a 2
2
SI AC a
3
1
3 3
S ABCD ABCD
a
V S SI a a
Câu 40
Lời giải Chọn D
Chiều cao khối chóp:
2
2 2 14
4
2
a a
SI SA AI a
Thể tích khối chóp:
3
1 14 14
3 ABCD
a a
V SI S a
I A
B C
(40)Câu 41
Ta có SABCD 4a2; SO SB2OB2 5a22a2 a
Vậy
2
1 3.4
3 3
S ABCD ABCD
a a a
V SO S
Câu 42 Chọn D
Do đáy tam giác nên gọi I trung điểm cạnh BC, AI đường cao tam giác đáy Theo định lý Pitago ta có
2
2
4
a a
AI a , 2 3
3 3.2
a a
AO AI
Trong tam giác SOA vuông O ta có
2
2 11
4
3
a a
SO a
Vậy thể tích khối chóp S ABC
3
1 11 11
3 2 12
a a a
V a
Câu 43 Chọn B
O I
A C
(41)+ SA ABC; SAO45
+ tan 45
3
a SOAO
+
2
1 3
3 ABC 3 12
a a a
V SO S
Câu 44 Chọn D
Diện tích đáy là:
2
2
6
ABCD
S AB a a
Góc cạnh bên SBvà mặt đáy ABCD
, 60
SD ABCD SDOSDO
ABCD hình vng suy 1
2 2
DO BD AB a a
Xét tam giác vuông SOD SO: DO.tanSDOa 3.tan 600 3 a
Vậy . 1.3 6
3
S ABCD ABCD
V SO S a a a
Câu 45
(42)Khi SH ABC,
3
a
BH
Theo đề ta có: SB ABC, SBH 60
Xét SBH vng H Có tan 60 3
a
SH BH a
Thể tích
2
1 3
3 12
S ABC ABC
a a
V SH S a
Câu 46
Gọi O tâm đáy, gọi M trung điểm BC Ta có SO BC
OM BC
nên SOMBC, suy
, , 60
SCD ABCD SM OM SMO
Có
2
a
OM BC , tan 600
2 a SOOM
Thể tích khối chóp S ABCD
3
1 3
3
S ABCD ABCD
a a
V SO S a
Câu 47
Gọi H trung điểm AO Khi góc MN ABCD MNH Ta có HN CN2CH22CN CH .cos 450 10
4
a
Suy tan 600 10 30
4
a a
MH HN
Do 30
2
a SO MH
H
N M
O
C
A B
(43)3
1 30 30
3
S ABCD
a
V a a
Dạng 1.6 Thể tích khối chóp khác
Câu 48 Chọn A
Ta có 1 16 28
3
ABCD
V AB AD AC a a a a
Ta nhận thấy 1
2 4
MNP MNPD BCD AMNP ABCD
S S S V V a
Câu 49
Do N, P trung điểm SD, AD nên
ANP SAD
S S
Lại có, M trung điểm SC nên
, 1
2 ,
d M SAD MS
CS d C SAD
1
,
1 1
3 .
1
,
3
A M ANP
C SAD
NP SAD
d M SAD S V
V d C SAD S
Mặt khác, . . .
2
C SAD S ACD S ABCD
V V V V .
16
M ANP
V V
Câu 50 Chọn A
P N
M
D
C B
(44) AB AC
AB ACD AB AD
3
1
28
3
ABCD
a a a
V AC AD AB a
Gọi H hình chiếu A lên BCD hAH đường cao hình chóp ABCD
, ,
M N P tương ứng trung điểm cạnh BC CD DB, , MN NP PM, , tương ứng đường trung bình
BCD
MNP đồng dạng với BCD với tỉ số
2
k
4
MNP BCD S
k S
3
1
3 . 7
1 4
3 MNP
AMNP MNP
AMNP ABCD
ABCD BCD
BCD
S h
V S
V V a
V S
S h
Câu 51 Chọn D
Gọi H hình chiếu S mặt phẳng (ABC)
Do SASBSC nên SHA SHB SHC (cạnh huyền-cạnh góc vng)
HA HB HC
H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Tam giác ABC vuông cân B nên H trung điểm AC
Suy
2
HAHC AC SH SA2HA2 4
Ta có: 2
2 AC BABC
Vậy . 1 2 22 2 16
3 3
S ABC ABC
(45)Câu 52
G G G đồng dạng với ACD theo tỉ số
3và nằm hai mặt phẳng song song
1
2
1
6
9
G G G ABD
S S a
1 3
1
3
G G G G G G G
V G G S a
Câu 53 Gọi I trung điểm SB
Do SABSCB 90 nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi O tâm đáy ABC OI(ABC)
Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ABC Ta có AB(SAH)ABAH Tương tự, BCCH Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, có tâm O nên O trung điểm BH Do đó,
2 SH OI
Gọi N trung điểm BCIN//SC nên BCINBCAIN(*)
Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu G lên mặt phẳng ABC K AO
2
//
3 9
GK OIAK AO ANKN AN
10
, ,
9 21
a d K MBC d A MBC
Kẻ
(*) 10
,
21
a KEGNKEBCKE MBC d K MBC KE Tam giác GKN vuông K có
2 2
1 1 10
2 10
3
a
GK SH OI GK a
KE GK KN
Vậy thể tích khối chóp S ABC
2
1
.10
3
a a
V a
G2
A D
C
B
E G4
G3 F G1
3 4/ /
G G AB 3 4
3
(46)Câu 54
Ta có SBSCa, BSC 60 suy tam giác BSC BCa
Lại có SASC a, ASC90 suy tam giác ASC vuông cân S ACa Mặt khác, SASBa, ASB120, áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB, ta được:
2 2
2 3
AB SA SB SA SB cos ASB a ABa
Xét tam giác ABC có BC2AC2 a2 2a2 3a2 AB2 suy tam giác ABC vuông C
Vậy diện tích tam giác ABC là:
2
1
2
ABC
a S AC BC
Gọi O trung điểm cạnh AB suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Mà SASBSC SOABC
Xét tam giác vng ASO vng O có
2
2 2
2
a a
SO SA AO a
Vậy thể tích khối chóp S ABC là:
2
1 2
3 2 12
S ABC ABC
a a a
V S SO
Câu 55 Chọn B
Gọi M N P, , hình chiếu H lên cạnh AC BC AB, ,
Đặt . 3
3 12
S ABC
h SH hV h
Ta có
2 30
2 : 10
2 20
;
SAB S ABC
SAB
S V h
AP S h
AB d C SAB
(47)2 3
PH SP SH h
Ta có 1
2
ABC HAB HAC HBC
S S S S HPHM HN 3
4 12
h h
Vậy . 3
12 12 48
S ABC
V
Câu 56 Chọn B
Vì SAB SCB900 S A B C, , , thuộc mặt cầu đường kính SB
Gọi D trung điểm BC, I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có
OI ABC
Gọi H điểm đối xứng với B qua O SH ABC(vì OI đường trung bìnhSHB) Gọi BMAI J, ta có J trọng tâm SAB
Trong AID, kẻ JN / /IO Khi đó, BC JND nên JND MBC Kẻ NEJD, ta có NEMBC Do d N ;MBC NE
Ta có
, ,
d A MBC AD AD
ND AD AN
d N MBC
9
2 5
3
AD AD
AD AO AD AD
Suy ra, , , 10
9 21
a d N MBC d A MBC
Xét JND có 12 2 12
NE ND NJ nên
10
a
NJ
2
OI NJ a
SH10a
Vậy
2
1
.10
3
SABC ABC
a a
V SH S a
(48)+ Dựng hình chóp S A B C ' ' ' cho A trung điểm B C' ', B trung điểm A C' ', C trung điểm A B' '
+ Khi SBAC BA'BC'4 nên SA C' 'vng S SA'2SC'2 2.SB2 64 (1) + Tương tự SB C' ', SA B' ' vuông Svà
2
2
' ' 80 (2)
' ' 36 (3)
SA SB SB SC
+ Từ 1 ; ; ta suy SC' 10; SB' 26; SA' 54 + Ta tính ' ' ' ' .1 ' ' 390
3
S A B C
V SC SA SB . ' ' ' 390
4
S ABC S A B C
V V (đvtt)
Dạng THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Dạng 2.1 Biết chiều cao diện tích đáy
Câu 58 Chọn A
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B có chiều cao h là: V B h Câu 59 Chọn B
2
.4
day
V S ha a a Câu 60 Chọn B
Theo cơng thức tính thể tích lăng trụ Câu 61 Chọn C
Ta có: Vlangtru Sday.h
.2
a a
2a3 Câu 62 Chọn A
Thể tích khối lăng trụ V B h a2 3.a 63a3
Dạng 2.2 Thể tích khối lăng trụ đứng
Câu 63 Chọn A
Thể tích khối lập phương cạnh 2a bằng: 3
2
V a a Câu 64 Chọn B
Ta có:
2
3
ABC a S
Vậy thể tích khối lăng trụ cho
2
3
4
ABC A B C ABC
a a
V S AA a Câu 65
(49)Chọn C
3
2 .
3
4
h a
a V h S a
S
Câu 66 Chọn A
Tam giác ABC cạnh a nên
2
3
ABC a S
Do khối lăng trụ ABC A B C lăng trụ đứng nên đường cao lăng trụ AA 2a Thể tích khối lăng trụ
2
3
4
ABC
a a
V AA S a Câu 67 Chọn B
Tam giác ABC vuông cân B
2
AC
AB BC a
Suy ra:
2
ABC
S a
Khi đó:
3
1
2
ABC A B C ABC
a V S BB a a Câu 68 Chọn B
Khối lăng trụ cho có đáy tam giác có diện tích (2 )
4 a
chiều cao AA'3a (do lăng
trụ đứng) nên tích
3 (2 )
.3 3
4 a
a a Câu 69 Chọn A
a
a
C'
B'
A
B
(50)Giả sử khối lập phương có cạnh bằng x x; 0 Xét tam giác A B C' ' ' vng cân tại B' ta có:
2 2
' ' ' ' ' '
A C A B B C x2x2 2x2 A C' 'x Xét tam giác A AC' ' vuông tại A'ta có
2 2
' ' ' '
AC A A A C 3a2 x22x2 xa
Thể tích của khối lập phương ABCD A B C D là V a3
Câu 70 Xét hình lập phương ABCD A B C D ta có:
2 2 2
AC AA A C AA A B A D 3AA2 a2
3 a AA
3
3
3
ABCD A B C D a
V a
Câu 71 Chọn C Ta có
2 3 ABC
a
S ; AA'a
Từ suy
3 3
4
a V a a Câu 72 Chọn A
120°
60°
H
C
B
A'
B'
C' A
C B
A D
D
A
(51)Gọi H trung điểm B C , góc mp AB C đáy góc AHA 60 Ta có
2
1
.sin120
2
ABC
a S AC AB
2 2 . .cos120 2 2 . 3
2
B C BC AB AC AB AC a a a a a
2
ABC
S a
A H
B C
.tan
2 AAA H a
Vậy
3
3
8 ACB
a V S AA Câu 73 Chọn D
Ta có AA A B 2AB2 a 2,
2
2
ABC
a S AB Thể tích khối lăng trụ
3
2 ABC
a V AA S Câu 74 Chọn A
Đặt AB x x, 0, gọi M trung điểm BC Ta có
, 30
A BC ABC BC
AM BC A BC ABC A MA
A M BC
Xét A AM , có
cos 30
AM x
A M x
a
a
C'
B'
A
B
C A'
x
30° M
C
B A'
B'
C'
(52)2
8 16
A BC
S A M BC x x
Suy tan 30
2
A A AM ; 16 4
ABC
S
Vậy VABC A B C. A A S ABC 2.4 38
Câu 75 Chọn A
Vì đáy ABC tam giác có diện tích
2
3
a
cạnh đáy a
Gọi M trung điểmBC, ta có '
'
BC AM
BC A M BC AA
Từ ta có A BC' , ABCA M AM' , A MA' 600
Xét A AM' ta có ' tan 600
2 a
AA AM
Thể tích lăng trụ ABC A B C ' ' '
3 ' ' '
3
'
8
ABC A B C ABC a
V AA S
Câu 76 Chọn C
Gọi M trung điểm B C' '
Ta có ' ' '
' ' '
AA B C A M B C
' ' '
B C AA M
AB C' ' AA M' theo giao tuyến AM
(53)Vậy khoảng cách từ A' đến mặt phẳng AB C' ' ' 19
a A H
Ta có 2 2 2 2 2 2 12
' ' ' ' ' '
A H A A A M A A A H A M a A A' 2a
Vậy thể tích khối lăng trụ
2
' ' '
3
'
4
A B C
a a
V AA S a
Dạng 2.3 Thể tích khối lăng trụ xiên
Câu 77
Tam giác ABC vng B có AB1;AC2 nên BC 22 1
Độ dài đường cao BH :
2
AB BC BH
AC
Suy 3:
2
AH
Khi độ dài đường cao A H' hình lăng trụ : ' '2 2
4
A H AA AH
Thể tích khối lăng trụ cho : ' 1.1 21
2 2
V AB BC A H
Câu 78 Chọn B
Kẻ AHABCA A ABC , A AH 60
Xét : sin 60 sin 60
2
A H a
AHA A H AA
AA
Thể tích khối lăng trụ
2
3 3
:
4
ABC
a a a
ABC A B C V S A H
60o
H
C'
B' A'
C
(54)Câu 79
Gọi H hình chiếu C lên mặt phẳng ABC, C H đường cao
, 600
AC ABC C AH
Xét tam giác vuông AC H ta có C H C A sin 600 2
Khi
2
1
2
2
ABC A B C d
V S C H Câu 80 Chọn C
Ta có A I' ABCAI hình chiếu vng góc AA' lên ABC Nên AA',ABCAA',AIA'AI 300
Ta có
2
3
' tan 30 ,
2 ABC
a a a
AI A I AI S
Vậy
2
' ' '
3
4
ABC A B C
a a a
V
Câu 81 Chọn B
A' C'
B'
C
B
(55)Gọi H hình chiếu A lên mặt đáy Suy góc A AH 30
1
sin 30 sin 30 3
2
A H
A H A A A A
Khi đó:
3 27
3
4
ABC A B C
V
Câu 82 Chọn A
Gọi H trung điểm BC suy A H' ABC Ta có A A ABC' , A A AH' , A AH' 300
Ta có
2 a AH
Ta có
' tan 30
2
a A H AH
2 ABC
a S Vậy
3 '
8 ABC
a V A H S Câu 83 ChọnC
Gọi H trung điểm BC
Theo giả thiết, A H đường cao hình lăng trụ 2
a A H AA AH
Vậy thể tích khối lăng trụ
2
Δ
3
4
ABC
a a a
V S A H
Câu 84 Chọn D
A
B C
A
B C
(56)Gọi A A1, 2 hình chiếu A BB', CC' Theo đề AA1 1;AA2 3;A A1 2 2 Do AA12AA22 A A1 22 nên tam giác AA A1 2 vuông A
Gọi H trung điểm A A1 2 1
2
A A AH
Lại có MHBB'MH (AA A1 2)MH AH suy MH AM2AH2
nên cos(( ), ( 1 2)) cos( , ) cos
2
MH
ABC AA A MH AM HMA
AM
Suy
1
1
cos(( ), ( ))
AA A ABC
S S
ABC AA A
Thể tích lăng trụ V AM S ABC 2
(57)Kẻ AI BB', AK CC' ( hình vẽ )
Khoảng cách từ A đến BB' CC' 1; 2 AI 1, AK2
Gọi F trung điểm BC ' 15
A M 15
3
AF
Ta có ' '
'
AI BB
BB AIK
BB AK BB'IK
Vì CC'BB'd C BB( , ') d K BB( , ')IK AIK vuông A Gọi E trung điểm IK EF BB ' EFAIKEF AE
Lại có AM ABC Do góc hai mặt phẳng ABC AIK góc EF AM góc
AME FAE Ta có cosFAE AE
AF
5 15
2
FAE30
Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng AIK AIK nên ta có: SAIK SABCcosEAF
1
2
SABC
SABC
Xét AMF vuông A: tanAMF AF
AM
15
3
AM AM
Vậy ' ' '
ABC A B C
V 15
3
F
E
K I
A'
B'
M
C B
(58)Câu 86 Chọn A
Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A vng góc với AA ta thiết diện tam giác A B C 1 1 có cạnh A B 1 1; A C 1 3; B C1 12
Suy tam giác A B C 1 1 vuông A trung tuyến A H tam giác Gọi giao điểm AM A H T
Ta có:
3
A M ; A H 1
MH
Suy MA H 30 Do MA A 60
4
cos A M AA
MA A
Thể tích khối lăng trụ ABC A B C thể tích khối lăng trụ A B C AB C 1 1 2 2
1
4
2 A B C
V AA S Câu 87 Chọn D
Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB CC, H hình chiếu vng góc C lên BB
Ta có AJ BB 1 AK CCAK BB
T M
B2
H
C2
A' C1
A
B1
A
A' T
B'
C'
M
(59)Từ 1 2 suy BB AJKBB JK JK CH// JK CH Xét AJK có JK2 AJ2AK2 5 suy AJK vuông A
Gọi F trung điểm JK ta có
2
AF JF FK Gọi N trung điểm BC, xét tam giác vuông ANF ta có:
cosNAF AF
AN
5
5
2
NAF 60 (AN AM AN AM// AN AM )
Vậy ta có
2
AJK
S AJ AK 1.1.2
SAJK SABC.cos 60
1 cos 60
2
AJK ABC
S
S
Xét tam giác AMA vng M ta có MAA AMF30 hay AM A M tan 30 15
3
Vậy thể tích khối lăng trụ V AM S ABC 15.2 15
3
Câu 88 Chọn D
ABCD hình thoi nên ABBC Lại có ABC60 nên ABC tam giác OH BC Góc mặt phẳng BB C C với đáy B HO 60
Ta có 2 12 12 12 12 42 42 162
3 3
4
a a
OH OB OC a a a
3 a OH
Theo giả thiết, B O đường cao lăng trụ ABCD A B C D
3
.tan tan 60
4
a a
B O OH B HO
2
3 3
2
ABCD A B C D day
a a a
V S h Câu 89 Chọn D
H
O
D'
D
C'
A' B'
B
A
C
H O
B
(60)Ta có ' 'G
BC AM
BC AA BC A
Kẻ MH AA' H, suy MH đoạn vng góc chung hai đường thẳng AA’ BC
Tam giác MHA vng Hcó 2
4 AH AM AH a
Tam giác A GA' đồng dạng tam giác MHAnên ' '
3
A G GA MH GA a
A G
MH HA HA Thể tích khối lăng trụ
3
3 '
12
ABC
a V S A G
Câu 90 Ta có
3
sin 60
2
1 3
cos 60
2 2
B G BB a a
a
BG BB a a BI BG
Đặt AC2x x 0CIx BC; AC.tan 60 2x Khi
2 2
2 3 13 1 13 13
2 .2
2 26 ABC 2 26 26 26
a a a a a
x x x S AC BC
Vậy
2
1 9
3 26 26
A ABC
a a
V a
60o 60o
2a
I
A' C'
G
A C
(61)Câu 91
Gọi H hình chiếu vng góc A' mpABC suy A'H chiều cao lăng trụ Xét khối chóp A.A' BC có diện tích đáy BSA' BC 1, chiều cao hd A, A' BC 2 suy thể tích khối chóp A.A' BC 1 2
3 3
A.A' BC
V Bh .
Mặt khác
1
2
3
3
3 A.A' BC A' ABC ABC
ABC A' B' C' A.A' BC ABC A' B' C' ABC
V V S A'H
V V .
V S A'H
* Cách khác
Ta thấy lăng trụ ABC.A' B' C' chia thành ba khối chóp thích A' ABC, A' BCB', A' B' C' C
Mà 1 2
3 3
A' ABC A.A' BC
V V Bh . suy 3 2
3
ABC A' B' C' A.A' BC
V V .
Câu 92 Chọn B
+ Ta có AB CM AB A CM AB A M
AB A M
Nên
2
1
2 3
A AB
a a
S A M AB A M
Do ABC cạnh a nên
3
a
GM CM
H
C'
B' A'
C
(62)+ Trong A GM vng G ta có 2 21
2
a A G A M GM
Vậy
2
21 3
.dt
2
ABC A B C
a a a
V A G ABC
Dạng THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC
Câu 93 Chọn D
Ta có:ADF.BCE hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng cân Dựa vào hình vẽ ta có:
ABCDSEF ADF BCE S CDFE ADFBCE B CDFE ADFBCE B DEA
V V V V V V V
1 1 1
;
2 6
ADF BCE BCE BADE ABE ABCDSEF
V AB S V AD S V
Câu 94 Chọn B
Thể tích khối lăng trụ ABC A B C
2
4
4 16
4
V
Gọi thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , , V1 Ta có: V1VAMNCBVBMNPVBNPC
Dễ thấy
3
A ABC
V V
4
AMNCB A ABC
V V nên
4
AMNCB
V V S F
E
D
C B
A
N
P M
A' C'
B'
B
(63)1
BA B C
V V
8
BMNP BA B C
V V nên
24
BMNP
V V
1
A BCB A B CC
V V Vvà
4
BNPC BA B C
V V nên
12
BNPC
V V
Vậy 1
8
AMNCB BMNP BNPC
V V V V V Câu 95 Chọn A
Gọi DEF thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng MNP
Dễ chứng minh DEF / / ABCvà D E F, , trung điểm đoạn thẳng AA BB CC, , suy . . 12
2
ABC DEF ABC A B C
V V Ta có VABCPNM VABC DEF. VADMN VBMPEVCPMF
Mặt khác
1
9
12
ADMN BMPE CPMF ABC DEF ABCPNM ABC DEF
V V V V V V
Câu 96
Lời giải Chọn D
Ta có: ' ' ' 3.42 32 3;
ABC A B C
V '. ' ' ';
3
C ABC ABC A B C
V V . ' ' ' ' '
3
A BC B ABC A B C
V V
P N M
C
B
A' C'
B'
A
F
E D
P N
M
C' B'
A'
C B
(64)Khối đa diện cần tìm V VC ABPN. VP AMN. VP ABM.
Ta có . '. ' ' '
4
C ABPN C ABC ABC A B C
V V V
Ta có ' ' ' ' '
8 24
PAMN ABC B ABC A B C
V V V
Ta có ' ' ' ' '
4 12
PABM ABC B ABC A B C
V V V
Vậy thể tích khối cần tìm ' ' ' ' ' ' ' ' '
4 ABC A B C 24 ABC A B C 12 ABC A B C
V V V V ' ' ' 12
8VABC A B C
Câu 97 Chọn C
Gọi h chiều cao hình lăng trụ ABC A B C ' ' '
VìABC có độ dài cạnh nên
6
4
ABC
S
Thể tích lặng trụ ABC A B C ' ' ' V h S ABC 8.9 72 Gọi E trung điểm cạnh AA'
Thể tích khối chóp A EMN . , 1 .1
3 24
A EMN EMN ABC
V d A EMN S h S V
Thể tích khổi đa diện ABCMNP là:
1 1
3 27
2 24
ABCMNP A EMN
V V V V V V
Câu 98
(65)Chiều cao khối chóp là:
2
2 6 6
3
2
a a
h a
Thể tích khối chóp:
3
1 6
3
3 2
chop
a a
V a (đvtt)
Vậy thể tích khối bát diện là: V 2Vchop a3 6(đvtt) Câu 99 Chọn B
Ta có: MN cắt AB AD I J A I' cắt BB' P A J' cắt DD' Q
Do MC JD// nên MC NC
JD ND JD2MCa Do DQ AA// ' nên
'
DQ JD AA JA
'
2
AA a DQ
Do BI NC// nên BI BM
NC CM
a BI NC
Do PB AA// ' nên
'
PB IB AA IA
'
4
AA a PB
Ta có: V H VA AIJ' VJDNQ VIBMP ' 6AA AI AJ 6DN DQ DJ 6BM BP BI
3
1 55
.2
6 6 144
a a a a a a
a a a a
(66)Giả sử hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a tâm mặt P Q R S O O, , , , , hình vẽ
Ta có PQ đường trung bình tam giác B CD cạnh a nên 2 a PQ
Do 2
2
PQRS
S PQ a OO a
Vậy thể tích bát diện cần tìm 1
3 PQRS
V S OO a (đvtt)
Câu 101 Đặt ABx, ADy, AA z
Gọi H hình chiếu vng góc B B C , ta có BH đoạn vng góc chung AB B C nên
2 2
2 1
,
5
a d AB B C BH
BH z y a
(1)
Gọi I hình chiếu vng góc B AB, ta có BI đoạn vng góc chung BC AB nên
2 2
1 1
,
4
d BC AB BI
BI x z a
(2)
(67)Gọi J hình chiếu vng góc D AC, K hình chiếu vng góc D MJ , ta có
2 2
1 1
, ,
d D ACM d D ACM DK
DK x y z a
(3)
Từ (1), (2) (3) ta có 22 12
2 z a x y a
z a
Thể tích khối hộp V xyz2a3
Câu 102 Chọn C
Nhận xét: B NDM' hình bình hành B N' DM B N DM, ' //
'
MN B D O
trung điểm đoạn nên O trung điểm đường chéo A C'
Vậy thiết diện tạo mặt A MN' hình chóp hình bình hành A NCM'
Ta có: 2 2
' ' '
C A B B BA BC B B 2a Cách 1:
Thể tích phần chứa C'
' ' ' ' ' ' ' ' '
1
' ' ' '
3
A B C CN A C CMD B C CN C D MC V V V A B S A D S
3
2
2
1 3 3
.2
3
a a
a a
a a a a a
Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh Gọi thể tích phần chứa C' V'
Ta có: 3
' ' ' '
' '
' ' ' 1
'
2 2
ABCD A B C D
B N D M
V B B D D
V a a
V
Cách 3: Nhận xét nhanh đa diện chứa C' đối xứng với đa diện không chứa C' qua O nên thể tích
hai phần nhau, suy ' ' ' ' '
2 ABCD A B C D
(68)Câu 103
Gọi D D, theo thứ tự đỉnh thứ tư hình thoi ABCD A B C D, Thể tích bát diện cần tìm:
1
6
ABCD C D A B BC D A B ACD ABCD C D A B ABCD C D A B ABCD C D A B V V V V V V V
2
.2
3VABCD C D A B SO SABC
(*)
Ta có:
2
3
ABC a S
Ta có: , 60 tan 60 3
3
a
SA ABC SAO SOOA a
Do đó:
2
8 3
3
a a
V a
Dạng TỈ SỐ THỂ TÍCH
Dạng 4.1 Tỉ số thể tích khối chóp
Câu 104 Ta có
2.2.2
S ABC S MNP
V SA SB SC
V SM SN SP , suy đáp án C Câu 105 Chọn D
A C
B S
B'
A' C'
D'
D
M O
N
M P
A C
B
(69)Ta có:
1 1
2 2
M IJK M NPQ
V MI MJ MK
V MN MP MQ
Câu 106 Chọn C
Ta có
1
8
S A B D S ABD
V SA SB SD V SA SB SD
1 16
S A B D S ABCD V V
Và
1
8
S B D C S BDC
V SB SD SC V SB SD SC
1 16
S B D C S ABCD V V
Suy
1 1
16
6
S A B D S B D C S ABCD S ABCD
V V
V V
1
S A B C D S ABCD V
V
Câu 107 Chọn D
K
J I
N Q
P M
D' C'
B' A'
D
C
B A
(70)Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) // // ( )
SBC G
SBC MM BC BC
(MN quaG M; SB N; SC )
Vì G trọng tâm
3
SM SN SG SBC
SB SC SE
Ta có 2 4
3 9
SAMN
SAMN SABC
V SM SN V
V
V SB SC
Dạng 4.2 Tỉ số thể tích khối đa diện
Câu 108 Chọn C
Cách1 Đặc biệt hóa tứ diện cho tứ diện cạnh a Hình đa diện cần tính có cách cắt góc tứ diện, góc tứ diện có cạnh
2 a
Do thể tích phần cắt bỏ
8
V V V
Vậy
2
V V
V
V
Q P
N M
D
C B
A
(71)Cách2 Khối đa diện hai khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành úp lại Suy ra:
1 1
2 4
2
N MEPF N MEP P MNE
V V V V V V
Cách3 Ta có V' V VA QEP VB QMF VC MNE VD NPF
V V
. .
1 VA QEP VB QMF VC MNE VD NPF
V V V V
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
Câu 109 Chọn D
Hai đa giác đáy đồng dạng nên Sau giảm độ dài cạnh đáy lần diện tích đáy giảm lần
1
A B C D E ABCDE S S
Do
1
1
3
1
B h V
V
Bh
Câu 110
Gọi G G G1; 2; 3 trọng tâm tam giác SAC; SBC; SAB Khi G G G1 2 3 SABMN với MN/ /AB/ /G G1 2, G3MN
G G G1 3 SACMP với MP/ /AC/ /G G2 3, G1MP G G G1 3 SBCNP với NP/ /BC/ /G G1 3, G2NP
(72)Ta có: 2
3 3 27
SMNP SABC
V SM SN SP
V SA SB SC
8 19 19
27 27 27
MNPABC SABC SMNP SABC SABC SABC
V V V V V V V
Câu 111
V thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức 1 .
M ABC ABC V V S MC
2
V thể tích khối đa diện lại 2 . 1
6
ABC A B C ABC ABC ABC
V V V S CC S CC S CC
Khi ta có tỉ số
1
1
1
3
5 5
6
ABC ABC
ABC ABC
S MC S CC
V
V S CC S CC
Câu 112 ABCD A B C D A B C D
V V h S
2 ' '
1 1
, h
3
I A B C A B C A B C D A B C D V V d I A B C S h S S
1
2
6
A B C D
A B C D h S V
V h S
(73)Câu 113 Ta có
ANIB AIB N S ABCD ABCD S
V S h
V S h
Trong h hN; S chiều cao kẻ từ đỉnh N S; nên
2
N S h NC
h SC (1)
Ta có AO BM; trung tuyến tam giác ABD nên I trọng tâm từ
3
AI AO AC
từ
2
AIB AIB ABCD ABC
S S AI
S S AC (2)
Từ (1) (2) ta có
1 1
6 12
ANIB AIB N S ABCD ABCD S
V S h
V S h
Câu 114
Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC A B C ; V1 thể tích khối chóp B AEFC ; V2 thể tích khối đa diện BB EFC A ; I trung điểm cạnh BBvà h chiều cao khối lăng trụ ABC A B C
Ta có: EIF // ABC nên ,
h d B EIF
1 1
3 6
B IEF ABC ABC h
V S h S V
Do 1 . . 1
2
ABC EIF B EIF
V V V V V V
2
1
3
V V V V V V
Vậy 1
2
(74)Câu 115
Gọi M trung điểm CD H, hình chiếu vng góc lên S , mặt phẳng (SCD) kẻ CHSD N ta có:
CD SO
CD SM CD OM
, ( )
, ( )
( ) ( )
CD SM SM SCD
CD OM OM ABCD SMO SCD ABCD CD
SOM
vuông O cosSMO OM SM 3OM
SM
; SO SM2OM2 a
SOD
vuông , 2, 10
2
a a SD
SO a OD SD
OD
Có: CD(SOM)CDOH mà OH SM OH (SCD)(ACN)(SCD) hay ( )P (ACN) Khi hình chóp S.ABCD chia thành hai khối đa diện S.ABCN N.ACD , gọi
N.ACD S.ABCN
V V; V V
Có SOD vng O, ON đường cao nên
2
2 D
D D D ND
D O
O N S
S
2
D D D
D
D
D D
5
D D 10 10
S AC S AC S ABC
N AC N AC
V S S V V V V
V V
V N O
Vậy:
1
0.11
V
(75)Câu 116
Gọi I giao điểm MN CD, Q giao điểm IP AD Khi thiết diện tứ diện ABCD tứ giác ABC
Ta có:
NB ID MC ND IC MB
1
ID IC
ID PC QA
IC PA QD
QA QD
2
5 ANPQ
ANCD
V AP AQ
V AC AD
2
5 15
ANPQ ANCD
V V V
.
3 15
N PQDC
V V V V
Và
3
CMNP ABCD
V CM CP
V CB CA
1
3
CMND CBNA
V V V
Suy 2 19
45
NPQDC CMNP
V V V V
Do đó, V1V V2 26
45V
Vậy
26 19
V
V
Câu 117
Q
I N
P M
A
D B
(76)Trong tam giác SMC, SB MN hai trung tuyến cắt trọng tâm K
3
SK SB
BI đường trung bình tam giác MCDI trung điểm AB
1 S AID S IKN S IND V V V V
Đặt:VS ABCD. V
1
S AID
V V
; . . 1
3 12
S IKN S IBC SK SN
V V V V
SB SC
; . . 1
2
S IND S ICD SN
V V V V
SC
1
1 1
4 12 12
V V V
5 12
V V
2
7
V V
Câu 118
Gọi OACBD I, SOACB I D, , thẳng hàng B D BD
2
2 ,
3
a a
ACa SCa AC SC
Ta có 4
5
AO C C IS IS SI SB SD
AC C S IO IO SO SB SD
1
2 8
2 15
S AB I S ABCD S ABC
V
V SA SB SC V
V V SA SB SC V
Câu 119
Gọi I,I,M ,N ,P,Q tâm hình vng ABCD, A B C D , AA D D , ABB A , BB C C ,
CDD C Ta V1 thể tích khối bát diện với đỉnh I,I,M ,N ,P,Q cạnh 2
MN
1 I MNPQ
V V
2.1 , 3d I MNPQ SMNPQ
1
3 2
I
O
D' C'
B'
C
D
B
(77)1 1
2
ABIN ABCB
V AI AN
V AC AB
2 ABIN V V 8.1
4VABCB
= .1 1
4
Vậy
1
2
V V Câu 120 Chọn B
Gọi OACBD I, SOACB I D, , thẳng hàng B D BD
2
2 ,
3
a a
ACa SCa AC SC
Ta có 4
5
AO C C IS IS SI SB SD
AC C S IO IO SO SB SD
1
2 8
2 15
S AB I S ABCD S ABC
V
V SA SB SC V
V V SA SB SC V
Câu 121
Ta có MNPQ // ABCDd S MNPQ , 2d O MNPQ , VSMNPQ 2VOMNPQ 2V
2 2 8
3 3 27 27
SMNQ
SMNQ SEFK SEFK
V SM SN SQ
V V
V SE SF SK
2 2 8
3 3 27 27
SNPQ
SNPQ SFGK SFGK
V SN SP SQ
V V
V SF SG SK
8 8 27 27
27 27 27
SMNQ SNPQ SEFK SFGK SMNPQ SEFGK SEFGK SMNPQ
V V V V V V V V V
I
O
D' C'
B'
C
D
B
A S
O N
P Q M
F
K
G E
D
B C
(78)Ta có:
1
.sin
1 1
2
1 4 4 8
.sin
2
EBF
EBF ABC ABCD ABC
BE BF B S
S S S
S BA BC B
Khi đó, SEFGK SABCDSABF SFCG SGDK SKAESABCD4SEBF
1
EFGK ABCD
S S
Nên
1 ,
1 27
3 2
1 2
,
EFGK SEFGK
SABCD SEFGK SABCD
ABCD d S EFGK S V
V V V
V
d S ABCD S
Câu 122 Chọn C
Gọi OACBD; ISOAM
Do P chứa AM song song BD nên P qua I song songBD Kẻ đường thẳng qua I song song BD
cắt SB taiP, cắt SD Q P (APMQ); Ta có I trọng tâm tam giác SAC nên
SI SP SQ
SO 3 SBSD;
Ta có S.AMQ SAMQ
S.ACD
V SM SQ 1 V V
V
V SC SD2 3 3 3
S.AMP
SAMP S.ACB
V 1 V V
V
V 3 3 ; Vậy SAPMQ
V V
V
6
Dạng 4.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để tìm thể tích
(79)Ta có: '
' ' ' '
1 ' 13 13
3 ' ' ' 18
ABC MNC
ABC MNC ABC A B C
V AM BN CC
V
V AA BB CC
Lại có:
' ' '
1 7
3 ' ' ' 18
ABC MNC
ABC MNC ABC A B C
V AM BN CC
V
V AA BB CC
Suy ra: . ' . ' .
3
C MNC ABC MNC ABC MNC
V V V
Mà: '
' ' * ' C MNC C PQC
V CM CN CC
V CP CQ CC
Ta có:
1
' '
2 ' ' CM CM AM
CMA PMA PM A M CP
CN BN CN
CNB QNB
QN B N CQ
Thay vào * ta có: '
' ' '
1
.1
2 3
C MNC
C PQC C MNC C PQC
V
V V
V
Có: ' ' '. . 11
9
A B C MNC LT ABC MNC
V V V
' ' ' ' ' '
7
VA MPB NQ VC PQC VA B C MNC
Câu 124
Gọi O tâm hình vng ABCD, SO cắt MN K I giao điểm AK với SC Vì MN đường trung bình tam giác SBD nên K trung điểm SO
Gọi A' điểm đối xứng A qua S, H giao điểm AK với SC
Vì SO A C ' K trung điểm SO H trung điểm A C' I trọng tâm tam giác AA C'
1 SI SC Ta có
1
,
3
S ABCD ABCD S ABC S BCD S ABCD a
V SA S V V V
1 1 1 1 1
1 2 2 12
S AMIN S AMN S MIN S ABC S BCD S ABCD S ABCD
V V V V V V V
Do
3
5
6 18
ABCDMIN S ABCD S AMIN S ABCD a
V V V V
Câu 125 Chọn D
(80)+) Gọi BM AA E ; EDADN Ta có M trung điểm AB
M
trung điểm EB N
trung điểm ED AD +) Ta có
1
8
E AMN E A B D
V EA EM EN
V EA EB ED
7 7 7063
.2
8 24 12
AMN A B D E A B D A A B D ABCD A B C D
V V V V
Câu 126 Chọn A
Gọi H I, giao điểm cặp đường thẳng SC S B , SD S A Vì SS 2CB
nên BC ||SS SS
BC
Suy SI SS
IC BC
Tương tự, ta có SH
HD
Do
3
SI SH
SC SD
Dễ thấy hai khối chóp S ACB S ACD có diện tích đáy chiều cao nên thể tích
của chúng 135
2V
Mà: 2 135 90
3 3
S AIB
S AIB S ACB
S ACB
V SI
V V
V SC
Và 2 4 135 60
3 9
S AIH
S AIB S ACD
S ACD
V SI SH
V V
V SC SD
Suy thể tích khối đa diện phần chung hai khối chóp S ABCD S ABCD bằng: N
M
E
D
C B
A
D'
C' B'
(81) 270 90 60 120
S ABCD S AIB S AIH
V V V
Câu 127 Chọn A
Trên cạnh SB, SC lấy điểm M N, thỏa mãn SM SN 1 Ta có AM 1,AN 2,MN tam giác AMN vng A Hình chóp S AMN có SASM SN 1
hình chiếu S (AMN) tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, ta có I trung điểm MN
Trong , 2
2
SIM SI SN IN
1 2
3 2 12
S AMN
V
Ta có ,
1 S AMN
S ABC
V SM SN
V SB SC
2
S ABC
V
Câu 128 Chọn D
+) Gọi P MNSBPlà trọng tâm SCM giao hai đường trung tuyến SB MN, +) Gọi Q MDABQlà trung điểm MD
+) Ta có D D D D D 1 D D
D 2
BC QNP M C N M C N M C N M C N M C N M C N
MB MQ MP
V V V V V V V
MC M MN
+) Mặt khác
D
D D D D D
D
1 D
, D 2 1 1 1
, ( D) D 2
MC
M C N N MC S ABC S ABC S ABC
ABC
C CM d N ABC
S
V V V V V
S d S ABC C CB
+) Vậy DQNP D . D D
12 12 12
BC SANPQ S ABC BC QNP
V V V V
Câu 129 Chọn C
Q
A D
B C
M
S
Q
P N
M G
H A
B
D
(82)Gọi G trọng tâm tam giác SAB, H trung điểm AB SH ABCD Ta có
2
3 27
3
4
ABC
AB
S AB
Qua G kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB N, qua N kẻ song song với BC cắt SC P, qua P kẻ đường thẳng song song với CD cắt SD Q
Ta có: VS MNPQ. VS MNP. VS MPQ. 2VS MNP.
3
2
3 27
S MNP S ABC
V SM SN SP
V SA SB SC
2
8 8 3
3
27 27 27 2
S MNP S ABC ABC
V V SH S
12
S MNPQ
V
Câu 130 Chọn D
Ta có
3
1
2
S ABD S BCD S ABCD a
V V V
3
1
2
S AMD
S AMD S ABD
V SM a
V
V SB ,
3
1
4
S MND
S AMD S BCD
V SM SN a
V
V SB SC
Từ suy
3 3
3
4 8
S AMND S AMD S MND
a a a
V V V
A D
B
C S
M
(83)Câu 131 Ta có :
1
8
S IJK S ABC
V SI SJ SK
V SA SB SC VS ABC 8VS IJK Tương tự :
1
8
S IKH
S ACD S IKH S ACD
V
V V
V
Suy : VS ABCD VS ABC VS ACD 8VS IJK VS IKH 8VS IJKH 8
Câu 132
Xét tam giác vng cân ABC có AB2BC2 AC2 2
2AB a
2
AB a
ABa
Ta có
2
ABC
S AB BC
2 a
1
3
S ABC ABC V SA S
3
3 a
Gọi I trung điểm BC Ta có
3
SB SC SG SB SC SI
Ta có
S AB C S ABC
V SA SB SC V SA SB SC
2
3
9
3
4 S AB C
a V
3
27 a
Câu 133 Gọi O tâm ABCD, I giao điểm MN SO Khi P giao điểm AI SC
H
K J
I
A D
B
C S
C'
B' G
I
A C
(84)+) Mặt phẳng AMN cắt hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành theo thiết diện tứ giác AMPN nên
ta có
4
SA SC SB SD SC SP
SA SP SM SN SP SC
+) Xét hình chóp S ABCD có: . . 24
2
S BCD S ABCD
V V
Ta có
1 1
2 24
S MNP
S MNP S BDC
V SM SN SP
V
V SB SD SC
Câu 134
Gọi O ACBD I, MPSOQNISD
ÁP dụng định lí Menelauyt cho tam giác SBC với cát tuyết NPE, ta NB PS EC
NS PC EB CECB
(1)
Do MIP nên (1 ) (1 )4
3
SI xSP x SM x SC x SA
1
,
2 15
SI k SOk SC SAx k
Tương tự với ba điểm thẳng hàng N I Q, , ta có
7
SQ SD
(2)
ÁP dụng định lí Menelauyt cho tam giác SCQ với cát tuyết PRD, ta 3
7
RQ RC
Từ (1), (2) (3) ta có
6
13 13 13 91
PRQ PQC SQC SDC SDC
S S S S S
8
91 91 91
EPQR ESDC SBDC SABCD
V V V V
18.91
4
SABCD V
(85)Do
2
SABCD SMNPQ SMNP SMPQ
V SM SN SP SM SP SQ
V V V
SA SB SC SA SC SD
3 2 4
65cm
9 3
SABCD V
Dạng BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Câu 135 Chọn C
Gọi x chiều rộng, ta có chiều dài 2x
Do diện tích đáy mặt bên 6, 7m2 nên có chiều cao
2
6,
6
x h
x
,
ta có h0 nên 6, x
Thể tích bể cá
3
6,
3
x x
V x
2
6,
x
V x 6,
6 x
Bảng biến thiên
Bể cá có dung tích lớn 1,57m Câu 136 Chọn D
Gọi x, ,x h chiều rộng, dài, cao bể cá Ta có 2x22xh2xh5,5
2
5,5
x h
x
( Điều kiện 5,5
2 x
)
Thể tích bể cá
2
2 5,5
2 (5, )
6
x
V x x x
x
/
(5,5 )
3
V x / 5,5
6 V x
Lập BBT suy max 11 33 1,17 54
V m
Câu 137 Thể tích bế cá: 72 dm3 72 24
V ab b
a a
, với a b, 0
Diện tích kính để làm bể cá hình vẽ:
24 24
3.3 2.3
S a b ab a a
a a
9a 144 24 a144 24
a a
S96
144
96
S a a b
a
(86)Gọi M N, trung điểm CD AB
Ta có CD MB CD MAB CD MN
CD MA CD AB
Tam giác MAB cân M nên MN AB
1
, sin , .sin 90
6
ABCD
V AB CD d AB CD AB CD x MN
2
2
2 36
1 3
.2 3 36 3
6 6
x x
x
x x x
Dấu "" xảy x 36x2 x
Câu 140 Đặt SAh AB, ACa Ta có
3
2 2 2 2
1 1 1 1 1
; 3;
9
d A SBC AH a h
AH SA AB AC a a h a h
SBC , ABC SMA
1
1
S ABC
V a h Thể tích nhỏ
2
ahSM a os 2
2 3
AM a c
SM a
2 3
2 3 2 3
2 3
2 3
x
M N
A
D
(87)Câu 141
Ta có
BC BB
CB ABB A
BC AB A B hình chiếu vng góc A C mặt phẳng ABB A góc đường thẳng A C mặt phẳng ABB A góc A B A C , BA C (vì BA C nhọn BA C
vuông B) Vậy BA C 30
Ta có
tan 30 tan
BC A B
BA C ;
2 2
3
A A A B AB x
2
2
3 3
2
ABCD A B C D
x x
V AB AD AA x x
Dấu xảy 2 3
2
x x x x x (vì x0)
Vậy
2
max
V .
Câu 142 Ta tích hộp: V x h2 32 (đvtt), với x h, 0 Suy h 322 x
Phần mạ vàng hộp: S2x28xh 2x2 x 322 x
2x2 256
x
Cách
Ta có 2x2 256 x
2x2 128 128 3 3 x2 128 128. 96
x x x x
(BĐT AM-GM)
Đẳng thức xảy 2x2 128 x
hay x4, h2 Cách
Xét hàm số 256
2
f x x x
với x0
D'
C'
A'
D
B C
A
(88)Ta có
3
2
256 256
4 x
f x x
x x
, f x 0 4x3256 x4; f 4 96 BBT
x
f x
f x
96 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN x4, h2
Vậy phương án A Câu 143 Chọn A
Gọi M N, trung điểm BD, AC Đặt BD2x, AC 2y x y, 0 Ta có CM BD AM, BD BDAMC
Ta có MAMC 1x2 , MN 1x2y2 ,
AMC
S MN AC 2
2y x y
1
3
ABCD AMC
V DB S 1.2 2
3 x y x y
2 1 2
3 x y x y
3
2 2
1
3 27
x y x y
2 27
ABCD V
Dấu đẳng thức xảy
3
x y
Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD
27
(89)Gọi M N, trung điểm SA BC, đặt 2ax b, y
,
1
2
3
SABC BSAN CSAN BSAN SAN BC AN BC SN BC SAN
V V V V BC S
2 2
2 2 2 2
2
3
2 2
2 2 2 2
2
1
2
1
2
1
2
3 9
4 243 SAN
SABC SABC
SABC
AB AC BC
AN b MN AN MA b a
S SA NM a a b
a b a b
V ab a b V a b a b
V
Dấu xảy 2 2
3 3
a b a b a b x y x y
Câu 145 Chọn A
+) Gọi độ dài ABa AD, b AA c
Ta có tổng diện tích tất mặt 36 nên 2ab2bc2ca36ab bc ca 18 1 Do độ dài đường chéo AC' nên a2b2c2 36 2
+) Thể tích khối hộp Vabc
Ta có a b c 2 a2b2c22ab bc ca 72a b c 6 Từ 1 ab18c a b 18c6 2cc26 2c18
Nên Vabc c 36 2c218c f c c , 0;6 2
Ta có 12 18
2 c f c c c
c
Lập bảng biến thiên ta
0;6 2
2
(90)Câu 146 Gọi I trung điểm SC, OACBD
Ta có BI SC BD SC
DI SC
Mà ABCD hình thoi nên BDAC Khi đó, BDSAC
S ABCD S ABC B SAC
V V V
2 2 2
AO AB BO AB BI OI
2
2 2
4 x a
AB SB SI OI
2 2 2
4
AC AO x a SA SC
SAC vuông S
2
2
2 a x BO AB AO
1
2
3
S ABCD B SAC
V V BO SA SC
2 2
1 3
3
a x ax a x
a x
Ta có
2 2 2
2 2 2 3
3
2
x a x a
x a x x a x
4 S ABCD
a V
Dấu “=” xảy 2
2 a
x a x x
Vậy, thể tích khối chóp S ABCD lớn a
x m6;n2
2 10
m n
Câu 147
Gọi M N, trung điểm AB CD,
Tam giác ADB CAB, hai tam giác cân cạnh đáy AB nên DM AB CM AB Suy
AB MCD
a a
a a
x
a
I
O C B
A D
(91)
1
3
ABCD B MCD A MCD MCD MCD
V V V BM S AM S
3 MCD x
S
Tam giác ABC ABD c c c nên CM DM MN CD
2 2 2
1 1
2 2
MCD
S CD MN y MC CN y BC BM CN
2
4
2 4
x y y
2
16
4 y x y
2
16 16 16
12 12 12
ABCD
xy xy
V x y xy xy xy xy
3
16
1 16
12 12
xyxy xy
Dấu xảy 16
16
3
x y x y
xy xy xy
Vậy thể tích ABCD đạt giá trị lớn 16 xy
Câu 148
Gọi OACBD, G AP SO , suy G trọng tâm tam giác SAC Gọi P mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Dễ thấy:
P SBD MN P SAC AP SBD SAC SO
MN, AP, SO đồng quy hay M, N , G thẳng hàng
Đặt: x SM SD
0x1 y SN SB
0y1
1
1 1
2
S AMP S ANP S ADC S ABP
V V
V SA SM SP SA SN SP
x y
V V V SA SD SC SA SB SC
Từ tỷ lệ:
2
SMN SMG SNG
SBD SDO SBO
S S S SM SN SM SG SN SG SM SN
S S S SD SB SD SO SB SO SD SB
1
3
(92)Từ suy ra: 2
3 x y
hay
2
xy Vậy V1
V lớn
3
Câu 149
Gọi trung điểm , đặt
Ta có ;
Suy
Ta có
,
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có Câu 150 Chọn A
K AD ,
2
HK x x
5
2
EFFGGH HE x
2 HD x
2
2 2 5
2
SO SH OH HD OH x x
2 2
2
1 5 5
.2
3 2
V x x x x x
2
2 5
2
3 2
V x x x
x
5
1 x V
x
max
4 10
V
2
(93)Ta có ,
AB MN AB M
V d N AB M S
Do ACB D tứ diện nên sin,
B D AB M , sin B AM
Suy 1 sin, .1 sin
3
AB MN
a
V B N B D AB M AB AM B AM AM B N
2
6 12
a AM B N a
Vậy
3
max 12 AB MN
a
V
Câu 151
Gọi , ,E F G trung điểm BC SA EF, , suy G trọng tâm tứ diện SABC Điểm I giao điểm AG SE Qua I dựng đường thẳng cắt cạnh SB SC, M N, Suy AMN mặt
phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu toán
N
M
D' C'
B' A'
D C
(94)Kẻ GK // SE K, SA suy K trung điểm FS
3
KG AK
SI AS Mà
1
2
KG SI
SE SE
Cách 1:
Kẻ BP // MN CQ, // MN; P Q, SE
Ta có: SM SI SN; SI
SB SP SC SQ
BEP CEQ E trung điểm PQSPSQ2SE (đúng trường hợp PQE)
Ta có:
2
2
2
4
9
AM GM S AMN
S ABC
V SA SM SN SI SI SI SI SI
V SA SB SC SP SQ SP SQ SE SE
Dấu "" xảy SPSQSE Hay PQEMN // BC
Cách 2:
Ta chứng minh SB SC 3
SM SN
Thật vậy, qua I kẻ đường thẳng song song SB SC, cắt SC SB, tương ứng D L,
Ta có:
3
3
SB DB
SB IQ NI SB NI
IQ DI
IQ SM NM SM NM
IQ NI SM NM
, 1
Lại có:
3
3
SC LC
SC IP MI SC MI
IP LI
IP MI IP SN MN SN MN
SN MN
, 2
Từ 1 2 ta có: 3 3
SB SC NI MI
SM SN NM MN
Đặt x SB ;y SC
SM SN Suy xy3
Ta có:
2
1
9
AM GM S AMN
S ABC
V SA SM SN
V SA SB SC xy x y
Dấu "" xảy //
2
x y MN BC
Cách 3:
Đặt SB x
SM ;
SC y
(95)Ta có 1( ) 1( )
3 3 3
x y
SI SE SB SC xSM ySN SM SN
Do I, M , N thẳng hàng nên
33
x y
x y Ta có
2
1 1
9
( )
2
S AMN S ABC
V SM SN
x y
V SB SC x y xy
Vậy S AMN S ABC V
V đạt giá trị nhỏ
4