Đang tải... (xem toàn văn)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao... Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S ABC..[r]
(1)(2)THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
A- LÝ THUYẾT CHUNG
Trước vào phần tập bạn đọc cần trang bị cho kiến thức tối thiểu:
1 Thể tích khối chóp Cơng thức tính:
3
V B h với B diện tích đáy, h chiều cao khối chóp
2.Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác
Cho khối tứ diện SABC A B C', ', ' điểm tùy ý thuộc SA SB SC, , ta có:
' ' ' ' ' ' SABC
SA B C
V SA SB SC
V SA SB SC
Chúng ta sẽcùng vào ví dụ minh họa để thấy có liên quan đến thể tích khối
đa diện khó, địi hỏi khảnăng vận dụng cao
h
B
B A
S
C A'
(3)B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng A qua D Mặt phẳng qua CE vng góc với mặt phẳng ABD cắt cạnh AB điểm F Tính thể tích V khối tứ diện A CFE
A.
3
2 30
a
V B.
3
2 60
a
V C.
3
2 40
a
V D.
3
2 15
a V
Câu 2: Cho tứ diện ABCDcó thể tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V
của khối chóp A GBC
A. V 3 B.V 4 C. V 6 D. V 5
Câu 3: Cho tứ diện cạnh a điểm I nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện
A
2
a
B.
3
a
C.
2
a
D. 34
2
a
Câu 4: Cho khối tứ diện ABCD có BC3,CD4,ABCBCDADC900 Góc hai
đường thẳng AD BC 60 Tính cosin góc gi0 ữa hai mặt phẳng ABC ACD?
A. 43
43 B.
43
86 C.
4 43
43 D.
43 43
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SAABCD, ABCD hình thang vng A B
biết AB2a,AD3BC3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a, biết khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng3
4 a
A 6 6a3 B 2 6a3 C. 3a3 D. 3a3
Câu 6: Cho hình chóp S ABC có SAa BC, a tất cạnh cịn lại x Tìm x
biết thể tích khối chóp cho tích
3
11
a
A.
a
x B.
2
a
x C.
2
a
x D.
2
a
x
Câu 7: Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a, góc đường thẳng SA mặt phẳng
ABC 60 Gọi A, B, C tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC, A B C , A BC , B CA , C AB , AB C , BA C ,
CA B
A.
3
2 3
a
B. 3a3 C.
3
3
a
D.
3
4 3
a
Câu 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân, AB ACa, SCABC
SCa Mặt phẳng qua C, vng góc với SB cắt SA SB, E F Tính thể
(4)A.
3
2 36
SCEF
a
V B
3
18
SCEF a
V C
3
36
SCEF a
V D.
3
2 12
SCEF
a
V
Câu 9: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng qua A song song BC vng góc với SBC, góc P với mặt phẳng đáy
30 Thể tích khối chóp S ABC là:
A
3 24
a
B
3
a
C
8
a
D.
3
a
Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N P, , trung điểm cạnh SD CD BC, , Thể tích khối chóp S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x y, thỏa mãn bất đẳng thức đây:
A. x22xyy2 160 B. x22xy2y2 109
C. x2xyy4 145 D. x2xyy4 125
Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều,
SC SDa Tính thể tích khối chóp S ABCD A
3
2
a
V B
3
2
a
V C
3
2
a
V D
3
6
a V
Câu 12: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình thang vng A D AB, ; AD2 ,a CDa Góc hai mặt phẳng SBC ABCD 60 G0 ọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng SBI , SCI vng góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD
A. 15
5 a B.
3
3 17
5 a C.
3
3 19
5 a D.
3
3 23
5 a
Câu 13: Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC; mặt phẳng
SAB ; SAC ; SBC tạo với mặt phẳng ABC góc Biết
25, 17, 26,
AB BC AC đường thẳng SB tạo với đáy góc 45 Tính th0 ể tích V khối chóp SABC
A. V 680 B.V 408 C. V 578 D. V 600
Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB8, BC6 Biết SA6
và vng góc với mặt phẳng đáy ABC Một điểm M thuộc phần không gian bên hình chóp cách tất mặt hình chóp Tính thể tích khối tứ diện
M ABC
A. V 24 B 64
V C 32
3
V D. V 12
Câu 15: Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó,
(5)A nV
S B
V
nS C
3
V
S D 3
V S
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vng góc với đáy SA = a M điểm khác B SB cho AM MD Tính tỉ số SM
SB
A.
4 B.
1
4 C.
3
5 D.
5
Câu 17: Cho hình chóp S ABC có SASBSC1 Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC
A 1
3 B
6 C
4 D 12
Câu 18: Cho hình chóp S ABC có SAx BC, y,ABACSBSC1 Thể tích khối chóp
S ABClớn tổng xy bằng:
A B.
3 C.
4
3 D.
Câu 19: Nếu tứ diện chỉcó cạnh có độ dài lớn thể tích tứ diện lớn bao nhiêu?
A.
4 B.
3
4 C.
1
8 D.
5
Câu 20: Khối tứ diện ABCD có AB1 tất cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Hỏi thể tích lớn khối tứ diện là?
A.
8 B.
8 C.
24 D.
Câu 21: Khối tứ diện ABCD có ABx x 1 có tất cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Tính x thể tích khối tứ diện lớn
A.
3
x B.
2
x C.
2
x D.
3
x
Câu 22: Chotứ diện ABCD có AB4 , a CDx tất cạnh cịn lại bằng 3 a Tìm x để khối tứ diện ABCD có thể tích lớn
A x2 10 a B x 10 a C x6a D 3a
Câu 23: Cho khối tứ diện ABCD có ABx, tất cạnh lại 2x Hỏi có giá trị x để khối tứ diện cho tích
12
A. B. C. D.
Câu 24: Xét khối tứ diện ABCD có ABx cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn
(6)Câu 25: Cho khối chóp S ABC có SAa, SBa 2, SCa Thể tích lớn khối chóp
A. a3 B
6
a
C
3
6
a
D
3
6
a
Câu 26: Cho khối chóp S ABC có SAa, SBa 2, SCa Thể tích lớn khối chóp
A a3 B
6
a
C
3
6
a
D
3
6
a
Câu 27: Cho hình chóp S ABC có SASBSC1 Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC
A 1
3 B.
6 C.
4 D. 12
Câu 28: Cho hình chóp S ABC có SASBSC 2, đáy ABC tam giác vuông A, AB1
Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC
A 5
8 B.
4 C.
3 D.
Câu 29: Cho hình chóp S ABC có SASBSC BABC1 Tìm thể tích lớn khối chóp
S ABC?
A.
6 B
2
12 C
1
8 D.
3 12
Câu 30: Trong khối tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh 2a tam giác ABD vuông
D,
2
a
AD Khoảng cách lớn từ B đến mặt phẳng ACD là?
A. 2
3
a
B. a C.
3
a
D. 2a
Câu 31: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân C, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ABC Biết SC1, tìm thể tích lớn khối chóp S ABC
A.
12 B.
2
12 C.
2
27 D.
3 27
Câu 32: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C, AB2 Cạnh bên SA1và vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích lớn khối chóp S ABC là?
A.
3 B.
4 C.
12 D.
Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C, SA AB2a Cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy ABC Gọi H K, hình chiếu vng góc A
lên SB SC Tìm thể tích lớn Vmax khối chóp S AHK A
3 max
2
a
V B
3 max
3
a
V C
3 max
3
a
V D
3 max
2
a
(7)Câu 34: Cho tam giác ABC vuông cân B, AC 2 Trên đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ABC lấy điểm M N, khác phía với mặt phẳng ABC cho AM AN 1 Tìm thể tích nhỏ khối tứ diện MNBC.?
A 1
3 B.
6 C.
12 D.
Câu 35: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA1 Thể tích lớn khối chóp S ABC là?
A 1
6 B
2
12 C
3
12 D
1 12
Câu 36: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng ABC,SC a SCA,
Xác định góc để thể tích khối chóp SABC
lớn
A arcsin
B arcsin
7
C arcsin
D 3arcsin
3
Câu 37: Cho hình chóp S ABCD có SAx, cạnh cịn lại Tìm giá trị x để thể tích khối chóp lớn
A B C D 2
Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng,AB1, cạnh bên SA1và vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Kí hiệu M điểm di động đoạn CD Nlà điểm di
động đoạn CB cho MAN45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là?
A.
9
B
3
C.
6
D.
9
Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB1, cạnh bên SA1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm
di động đoạn CB cho MAN60 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN
A.
3
B 2
9
C. 3
3
D. 3
9
Câu 40: Cho hình chóp S ABC có SA,SB,SC đơi vng góc, I tâm nội tiếp tam giác ABC
Mặt phẳng P thay đổi qua I, cắt tia SA,SB,SC A B C, , Biết
SASB , SC Hỏi thể tích khối chóp S A B C có giá trị nhỏ là?
A. 243
256 . B
7
3 . C
81
256 . D
27 256
(8)A. 130
3 B. 128
3 C. 125
3 D. 250
3
Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có SBx 0 x 3 Tất cạnh lại Với giá trị x thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất?
A
3
x B
2
x C
2
x D.
2
x
Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB4 Cạnh bên SAvng góc với mặt phẳng đáy ABCD SC6 Thể tích lớn khối chóp S ABCD là?
A. 40
3 B. 80
3 C. 20
3 D. 24
Câu 44: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh 1, SOABCDvà
1
SC Thể tích lớn khối chóp S ABCD là?
A.
9 B.
2
3 C.
2
27 D.
4 27
Câu 45: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng,AB1, cạnh bên SA1và vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Kí hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm di
động đoạn CB cho MAN45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là?
A
9
B
3
C
6
D.
9
Câu 46: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB1, cạnh bên SA1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm
di động đoạn CB cho MAN30 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là?
A.
9 B.
3 C.
27 D. 27
Câu 47: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB1, cạnh bên SA1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm
di động đoạn CB cho MAN60 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN
A.
3
B 2
9
C 2 3
3
D 2 3
9
Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AD4a Các cạnh bên hình chóp a Tìm thể tích Vmax khối chóp S ABCD
A
3 max
8
a
V B
3 max
4
a
(9)Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành thể tích V Gọi M N, điểm di động cạnh AB AD cho AB AD
AM AN Gọi V'
thể tích khối chóp S MBCDN Tìm giá trị nhỏ V'
A 1
4V B
3V C.
4V D. 3V
Câu 50: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A C', ' thỏa mãn
1 '
3
SA SA
, '
SC SC
Mặt phẳng P chứa đường thẳng A C' ' cắt cạnh SB SD, lần
lượt B', 'D đặt ' ' ' ' S A B C D
S ABCD V k
V
Giá trị nhỏ k là?
A.
60 B.
30 C.
4V D.
15 16
Câu 51: Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a SA, vng góc với mặt phẳng
đáy góc SC với mặt phẳng SAB 30 G0 ọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp SABH đạt giá trị lớn bằng:
A
2
a
B
2
a
C
2
a
D
2 12
a
Câu 52: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SASBSC2a Tìm thể tích lớn khối chóp
S ABCD
A.
3
2
a
B.
3
32
a
C.
3
4
a
D.
3
32 27
a
Câu 53: Khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SASBSCa, Cạnh SD thay
đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD là:
A
8
a
B
3
4
a
C.
3
3
a
D
3
2
a
Câu 54: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA, vng góc với mặt phẳng
đáy góc SC với mặt phẳng SAB 30 G0 ọi M điểm di động cạnh CD
và H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp S ABH đạt giá trị lớn bằng:
A
2
a
B
3
2
a
C
3
2
a
D
3
2 12
a
(10)C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng A qua D Mặt phẳng qua CE vng góc với mặt phẳng ABD cắt cạnh AB điểm F Tính thể tích V khối tứ diện A CFE
A.
3
2 30
a
V B.
3
2 60
a
V C.
3
2 40
a
V D.
3
2 15
a V
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lý Menelaus: A
A
HB F EM
HM FB E
A A 2
4 F F FB FB AF AB
AE2AD Ta có: E D E D A F AB
S A AF
S A AB
3
E D
4 2
5 12 15
A CF ABC
a a
V V
Câu 2: Cho tứ diện ABCDcó thể tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích - khối chóp A GBC
A. V 3 B.V 4 C. V 6 D. V 5
Chọn B. Cách 1:
Phân tích: tứ diện ABCD khối chóp A GBC có đường cao khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD Do G trọng tâm tam giác BCD nên ta có SBGC SBGD SCGD
3
BCD BGC S S
(xem phần chứng minh) Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có:
1 1
.
3 3
1 3
ABCD BCD BCD
ABCD BCD
A GBC GBC
GBC A GBC GBC
V h S h S
V S
V h S S
V h S
1 12 3
A GBC ABCD
V V
Chứng minh:Đặt DN h BC; a Từ hình vẽ có:
+)
1
//
2 2
MF CM h
MF ND MF DN MF
DN CD
+)
2 2
//
3 3
GE BG h h
GE MF GE MF
(11)+)
1
2 3 3
1
2
BCD
BCD GBC GBC
DN BC ha S
S S
h
S GE BC a
+) Chứng minh tương tự có SBCD 3SGBD 3SGCD BGC BGD CGD
S S S
Cách 2:
; 1 1
; ;
3
;
d G ABC GI
d G ABC d D ABC DI
d D ABC
Nên . ;
3
G ABC ABC DABC
V d G ABC S V
Câu 3: Cho tứ diện cạnh a điểm I nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện
A
2
a
B.
3
a
C.
2
a
D. 34
2
a
Hướng dẫn giải: Chọn B
2 3
3 3
a a
AH AM
2
2 2
3
a a
SH SA AH a Ta có
2
1
3 12
SABC ABC
a a a
V S SH
Mặt khác, VSABC VISABVIABC VISACVISBC
1
; ; ; ;
3SABC d I SAB d I ABC d I SAC d I SBC
; ; ; ; SABC
ABC V d I SAB d I ABC d I SAC d I SBC
S
3
2
2
6 12
3
4
a
a a
Câu 4: Cho khối tứ diện ABCD có BC3,CD4,ABCBCDADC900 Góc hai
đường thẳng AD BC 60 Tính cosin góc gi0 ữa hai mặt phẳng ABC ACD?
A. 43
43 B.
43
86 C.
4 43
43 D.
43 43
H1 G
I D
C
B A
H
M
C
B A
S
(12)Hướng dẫn giải:
Ta dựng AEBCD dễ dàng chứng minh
BCDE hình chữ nhật Khi
, 60
AD BC ADE
ta suy
3 ABCD
AE V
Mặt khác ta ý cơng thức tính nhanh:
2 sin ,
3
ABC ACD ABCD
S S ABC ACD
V
AC
Do đặt ABC , ACD theo định lý Pythagoras ta suy AB 43;AD6;AC2 13
Khi đó: 13 43 12 sin
2
6 13
2 43 cos
43
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SAABCD, ABCD hình thang vng A B
biết AB2a,AD3BC3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a, biết khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng3
4 a
A
6 6a B.
2 6a C.
2 3a D.
6 3a
Hướng dẫn giải:
Dựng AM CD M Dựng AH SM H
Ta có:
4
AH a
2
ABCD
AD BC
S AB a
2
2
CD ADBC AB a
2
ABC
S AB BCa
2 ACD ABCD ABC
S S S a
2
1
2
ACD ACD
S
S AM CD AM a
CD
Ta có: 2 2 2
2
1 1
2
AH AM
AS a
AH AM AS AM AH
3
1
S ABCD ABCD
V SA S a
M
A D
B C
S
(13)Câu 6: Cho hình chóp S ABC có SAa BC, a tất cạnh lại x Tìm x
biết thể tích khối chóp cho tích
3
11
a
A.
a
x B.
2
a
x C.
2
a
x D.
2
a
x
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi E F, trung điểm cạnh BC SA,
Khi ta có FESA FE, BC BCSAE nên BCSA Và FE2 AE2 FA2 AB2BE2FA2
2 2
2
4 4
a a x a
x
Áp dụng công thức:
1
; sin ;
S ABC
V SA BC d SA BC SA BC
Suy ra:
2
1
.sin 90
6
x a
V a a
3
2
11
6 12
a
a a x a
2
a x
Câu 7: Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a, góc đường thẳng SA mặt phẳng
ABC 60 Gọi A, B, C tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC, A B C , A BC , B CA , C AB , AB C , BA C ,
CA B
A.
3
2 3
a
B. 3a3 C.
3
3
a
D.
3
4 3
a
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Cách 1:Ta tính thể tích khối chóp S ABC :
Gọi H tâm tam giác ABC cạnh a
3
a CH
Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC)
60
1 3
60 S
3 12
o
S ABC ABC
a a
SCH SH a V H S a
a
a x
x x
x
E F
A C
(14)3 ' ' ACS
2
2 2.4
3
B ACA C B S ABC a
V V V V
Cách 2:Ta tích khối chóp S ABC là:
3
3 12
S ABC a
V
Diện tích tam giác SBC là:
2
39 12
SBC a
S
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là:
,
13
a d A SBC
Tứ giác BCB C' ' hình chữ nhật có hai đường chéo cắt trung điểm đường
Có ' ' 39
3 3
a a a
SB BB B C
Diện tích BCB C' 'là:
2 ' '
39
BCB C a
S
Thể tích khối mặt cần tìm là:
3 ' '
1
2 ,
3 BCB C
a
V d A SBC S
Cách
Thể tích khối bát diện cho ' ' ' 2.4 '. . 8.1
A B C BC A SBC S ABC ABC
V V V V SG S
Ta có: SA ABC; SAG 60 Xét SGA vng G:
tanSAG SG SG AG tanSAG a
AG
Vậy
2
1 3
8
3 ABC
a a
V SG S a
Câu 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân, ABACa, SCABC
SC a Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB cắt SA SB, E F Tính thể
tích khối chóp S CEF
A.
3
2 36
SCEF
a
V B
3
18
SCEF a
V C
3
36
SCEF a
V D.
3
2 12
SCEF
a
V
Hướng dẫn giải:
Từ C hạ CF SB F, SB, CESA E, SA
H B'
A'
C'
C
A
(15)a a
a E
F
B C
A
S
Ta có
AB AC
AB SAC AB CE
AB SC
CE SAB CE SB
Vậy mặt phẳng qua C vng góc SB mặt
CEF
Ta có SCEF
SCAB
V SE SF
V SA SB
Tam giác vng SAC vng Cta có:
2
2
SA SC AC a
và
2
2
1
2
SE SC a SE
SA SA a SA
Tam giác vuông SBC vng Cta có: 2
3
SB SC BC a
và
2
2
1
3
SF SC a SF
SB SB a SC
Do 1 1 1
2 6 36
SCEF
SCEF SABC ABC
SCAB V
V V SA S a
V
Chọn C
Câu 9: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng qua A song song BC vng góc với SBC, góc P với mặt phẳng đáy 30 Th0 ể tích khối chóp S ABC là:
A
3 24
a
B
3
a
C
8
a
D.
3
a
Hướng dẫn giải:
Tổng qt: Cho hình chóp tam giác
S ABC
có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng
qua A song song BC vng góc với
SBC,
góc P với mặt phẳng đáy
Thể tích khối chóp S ABC là:
3
cot 24
S ABC a
V
S
H F
G
M A
B
C E
(16)Áp dụng này:
3
cot 30
24 24
S ABC
a a
V
+ ABC
2
3
ABC a S
+ Gọi G trọng tâm
+ Gọi P SBC=EFEF//BC P SBC=Ax với Ax/ /EF/ /BC
+ Gọi M trung điểm BC SM, EF N
Ta có: AM BC SG, BCBCSAMAN BCAN Ax
Mà AM BC BC, / /AxAM Ax P , ABCNAM 300 Ta có: GSM NAM (cùng phụ với SMA )
Xét SGM vng G có: cot cot 300 3
3 2
a a
SGGM GSM AM
Vậy:
2
1 3
3 24
S ABC ABC
a a a
V S SG
Chọn A
Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N P, , trung điểm cạnh SD CD BC, , Thể tích khối chóp S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x y, thỏa mãn bất đẳng thức đây:
A. 2
2 160
x xyy B. 2
2 109
x xy y
C.
145
x xyy D.
125
x xyy
Hướng dẫn giải:
+ Gọi H trung điểm AB
Do ABC SAB ABCDSH ABCD
Xét ABC đều: 3
2
AB
SH
+ Ta có: SABPN SABCDSADN SCND
2 4.2 2.2
4 10
2 2
AD DN CN CP
AB
1 20 20
.10.2
3 3
S ABPN ABPN
V S SH x
+ Gọi ANHD K ta có MK đường trung bình DHS
K P
N M
H
C B
A D
(17)1 1 1 2.2 3
2 CMNP CNP 2 2 3
HK SH V S MK CN CP SH y
Thay vào đáp án
Chọn C
Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều,
SCSDa Tính thể tích khối chóp S ABCD A
3
2
a
V B
3
2
a
V C
3
2
a
V D
3
6
a V
Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm AB;J trung điểm CD từ giả thiết ta có:
;
3
a
IJ a SI
2
2 2 11
3
4
a a
SJ SC JC a
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có:
2
2 2
2
3 11
IJ +IS 4 4
cos IJ
2.IJ.IS
2
0 3
a a
a SJ S
a a a
a
Suy ra, tam giác SIJ tam giác có SIJ tù Từ
giả thiết tam giác SAB tam giác SCD
cân đỉnh S Gọi H hình chiếu S
ABCD, ta có H thuộc IJ I nằm HJ tức tam giác vng SHI có H 90 Góc I nhọn cos os os IJ 3IJ sin
3
I c SIH c S S va SIH ke bu SIH
Xét tam giác SHI ta có sin
2
a a
SH SI SIH
Vậy
3
1 2
3
S ABCD ABCD
a a
V S SH a
Chọn C
Câu 12: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình thang vng A D AB, ; AD2 ,a CDa Góc hai mặt phẳng SBC ABCD 60 G0 ọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng SBI , SCI vng góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD
I
A
B
J C
D M
N S
(18)A 3 15
5 a B.
3
3 17
5 a C.
3
3 19
5 a D.
3
3 23
5 a
Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm BC I, hình chiếu H
lên BC J, trung điểm AB
Ta có SI mp ABCD IC , ID2DC2 a
2
5
IB IA AB a
2
5
BCIB CJ JB a
2
1
3 ;
2
ABCD IAB
S AD AB CD a S IA ABa
2
CID
S DC DI a
2
3
IBC ABCD IAB DIC a
S S S S
Mặt khác ,
2 IBC
S IH BC nên 3
5
IBC S
IH a
BC
09
.tan 60
5
SI IH a
Do . 15
3
S ABCD ABCD
V SI S a
Chọn A
Câu 13: Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC; mặt phẳng
SAB ; SAC ; SBC tạo với mặt phẳng ABC góc Biết
25, 17, 26,
AB BC AC đường thẳng SB tạo với đáy góc 45 Tính th0 ể tích V khối chóp SABC
A. V 680 B.V 408 C. V 578 D. V 600
Hướng dẫn giải:
Gọi J chân đường cao hình chóp
; ,
S ABC H K L hình chiếu J cạnh AB, BC CA
Suy SHJ SLJ , SKJ góc tạo mặt phẳng ABC với mặt
z=17
x=8
x=8 y=9 y=9 z=17
K
B A
L C
J S
H
H I
B J
A
D C
(19)A C
B S
M
phẳng SAB , SAC , SBC
Theo giả thiết ta có: SHJ SLJ SKJ,
suy tam giác vuông SJH SJL SJK, ,
Từ đó, JH JLJK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Áp dụng công thức Hê- rơng, ta tính diện tích tam giác ABC S 204 Kí hiệu P nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính
đường trịn
nội tiếp ABC Ta có 204 34
S r
P
Đặt
, ,
xBH BL yCLCK z AH AK
Ta có hệphương trình:
7 25 26
x y
x z
y z
Giải hệphương trình ta x y z; ; 8;9;17
2 2
6 10
JB JH BH
Ta có SBJ SB ABC, 45 ,0 suy SJB tam giác vng cân J SJ JB10
Thể tích V khối chópS ABC 680 ABC
V SJ S
Chọn A
Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB8, BC6 Biết SA6
và vng góc với mặt phẳng đáy ABC Một điểm M thuộc phần không gian bên hình chóp cách tất mặt hình chóp Tính thể tích khối tứ diện
M ABC
A. V 24 B 64
V C 32
3
V D. V 12
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Vì BC BA BC SB
BC SA
Khi 24
2 SAB
S SA AB ,
2
1
.6 30
2
SAC
S SA AC ,
2
1
6 30
2
SBC
S SB BC , 1.6.8 24
2 ABC
S
z
z y
y
x x
L H
K
J
A C
(20)Thể tích khối chóp cho là: 48
V SA AB BC
Theo điểm M thuộc phần không gian bên hình chóp cách tất mặt hình chóp nên ta gọi khoảng cách từđiểm M đến mặt hình chóp d thì:
1
S ABC SAB SAC SBC ABC
V d S S S S S ABC
SAB SAC SBC ABC V
d
S S S S
3.48 30 30 24 24
d
Khi đó:
1 32 24 3 3
M ABC ABC
V d S
Câu 15: Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó,
tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt
A. nV
S B.
V
nS C.
3
V
S D.
V S Hướng dẫn giải:
Chọn C
Xét trường hợp khối tứ diện
Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự
1 1
; ; ;
3 3
H ABC H SBC H SAB H SAC
V h S V h S V h S V h S
3
1
1
1 4
3
3 3
; ; ;
3
V
V V V
h h h h
S S S S
V V V V V
h h h h
S S
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vng góc với đáy SA = a M điểm khác B SB cho AM MD Tính tỉ số SM
SB
A.
4 B.
1
4 C.
3
5 D.
5
Hướng dẫn giải: :
Đặt hình chóp vào hệ trục toạđộnhư
hình vẽ Suy ta có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a )
B = ; 3;
2
a a
Suy phương trình
của SB là: 2
3
x y z a
a a a
Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:
A C
B S
H
A D
B C
S
(21)0
0
3
3
y x
z a x
Mặt khác AMDN AM DM 0
x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0
8
a x
3 3
; ;
8
a a a
M
4
SM SB
hay
4
SM
SB
Chọn A
CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Câu 17: Cho hình chóp S ABC có SASBSC1 Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC
A 1
3 B.
6 C.
4 D. 12
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng SBC
Ta có
1 1
.sin
3 SBC 6
V AH S AH SB SC BSC AS SB SC
Dấu “=” xảy
, ,
sin
AH AS AS SBC
SA SB SB SC SC SA SB SC
BSC
Câu 18: Cho hình chóp S ABC có
, ,AB
SAx BCy ACSBSC Thể tích khối chóp S ABC lớn tổng xy bằng:
A B.
3 C.
4
3 D.
Hướng dẫn giải: Ta gọi M N, trung điểm SA BC,
Dễ chứng minh SA(MBC) MBC cân
M
Tính được:
2 2 2
2 2
1
4 4
BC SA BC x y
(22)Do đó:
2
1
1
6
S ABC
x y V V xy
Vì x2y2 2xy nên 1 ( ) 22
6 12
xy
V xy xy xy Dấu xảy x y
Đến đây, có hai hướng xử lý:
Thứ nhất, sử dụng BĐT Côsi:
3
2
2
32
2
( ) (2 )
2 27
xy xy
xy xy xy
xy xy xy
Dấu xảy
2 3
2
x y
x y x y
xy
xy
Thứ hai, đặt txy xét
( ) (2 )
f t t t , đạt GTLN
3
t , suy
2
3
x y x y
Câu 19: Nếu tứ diện chỉcó cạnh có độ dài lớn thể tích tứ diện lớn bao nhiêu?
A.
4 B.
3
4 C.
1
8 D.
5
Hướng dẫn giải:
Giả sử tứ diện ABCDcó cạnh lớn AB, suy tam giác ACD BCD có tất cạnh không lớn
hơn Các chiều cao AF BE chúng không lớn
2
1 ,
4
a
CDa1
Chiều cao hình tứ diện
2
AF
4
a AH
(do tam giác AHF vuông H có AF cạnh huyền) Thể tích khối tứ diện là:
2
2
1 1 1
BCD 3 24
a
V S AH BE CD AH a a a
Để tìm giá trị lớn V ta xét biểu thức a4a2 Vì 0a1 nên a4a23 4 2
24
V a a
Chọn C
F H
B
C
(23)Câu 20: Khối tứ diện ABCD có AB1 tất cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Hỏi thể tích lớn khối tứ diện là?
A.
8 B.
8 C.
24 D. Hướng dẫn giải:
Chọn B
Tứ diện ABCD có AB1, cạnh cịn lại khơng lớn Đặt CDa x, 0;1
Gọi M trung điểm BC, K hình chiếu
B lên CD H hinfhc hiếu A
mp BCD Khi ta có
1
(1)
3
ABCD BCD
V AH S x BK AH
Có
2 2
2
1
2 4
BC BD CD x
BM BM x
Tương tự ta có 2
AM x
Mà (2), 3
2
BK BM BK x AH AM x
Từ (1), (2), (3) suy 2 ; 0;1 24
ABCD
V x x x
Xét hàm số 2, 0;1 24
f x x x x hàm đồng biến nên 1 1
8 ABCD
f x f V
(Dấu xẩy hai tam giác ACD BCD, hai tam giác có cạnh H K,
trùng với M Khi
AB )
Chọn B
Câu 21: Khối tứ diện ABCD có ABx x 1 có tất cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Tính x thể tích khối tứ diện lớn
A
3
x B.
2
x C.
2
x D.
3
(24)(25)2
2
20
2 20
5
a x x
IK CD x a x
CH
ID a a
Thể tích khối tứ diện lớn CH lớn
2 2
2 20
20 10
2
x a x
x a x a CDa
Đạt x2 20a2x2 xa 10
Câu 23: Cho khối tứ diện ABCD có ABx, tất cạnh lại 2x Hỏi có giá trị x để khối tứ diện cho tích
12
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có 2 2
2
1
cos , cos
2 2(2 )
CA CB CD x
CA CB AB x
ACB BCD
CA CB x
Vậy
2
2
3 2
2
(2 ) 1 1
1 1
6 2 2 2 2
x x x
V
x x
1
2 6
0, 275842
6 12
x
x x x x
x
Câu 24: Xét khối tứ diện ABCD có ABx cạnh lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn
A x B. x 14 C. x3 D. x3 Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi E trung điểm AB, ta có tam giác
,
CAB DAB cân C D, nên ,
CE AB DE ABAB ECD Suy
1
ABCD CDE
V AB S
Ta có
2 2
12
x
CEDE AD AE
Gọi F trung điểm CD, ta có EFCD
2
2 12
12
4 4
x x
FE DE DF , Suy
2
2
CDE
x
(26)Khi
2 2
2
3 3 36
9 36 3
3 6
x x x
V x x x
Câu 25: Cho khối chóp S ABC có SAa, SBa 2, SCa Thể tích lớn khối chóp
A. a3 B
6
a
C
3
6
a
D
3
6
a
Chọn D
Gọi H hình chiếu A lên ( ) SBC
SBC V AH S
Ta có AH SA; dấu “=” xảy AS SBC
1
.sin
2
SBC
S SB SC SBC SB SC, dấu “=” xảy
SBSC
Khi đó,
1 1
3 SBC
V AH S AS SB SC SA SB SC
Dấu “=” xảy SA SB SC, , đơi vng góc với
Suy thể tích lớn khối chóp
3
1
6
a V SA SB SC
Câu 26: Cho khối chóp S ABC có SAa, SBa 2,
SC a Thể tích lớn khối chóp
A.
6
a B
3
6
a
C
3
6
a
D
3
6
a
Hướng dẫn giải: :
Gọi H hình chiếu A lên
1
( )
3 SBC
SBC V AH S
Ta có AH SA; dấu “=” xảy AS SBC
1
.sin
2
SBC
S SB SC SBC SB SC, dấu “=” xảy
khi SBSC
Khi đó,
1 1
3 SBC
V AH S AS SB SC SA SB SC
Dấu “=” xảy SA SB SC, , đơi vng góc với
a
a
a
A
S
B
C H
a
a
a
A
S
B
(27)nhau
Suy thể tích lớn khối chóp
3
1
6
a V SA SB SC
Chọn D
Câu 27: Cho hình chóp S ABC có SASBSC1 Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC
A 1
3 B.
6 C.
4 D. 12
Hướng dẫn giải: Chọn B
Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng SBC
Ta có
1 1
.sin
3 SBC 6
V AH S AH SB SC BSC AS SB SC
Dấu “=” xảy
, ,
sin
AH AS AS SBC
SA SB SB SC SC SA SB SC
BSC
Câu 28: Cho hình chóp S ABC có SASBSC2, đáy ABC tam giác vuông A, AB1
Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC
A.
8 B.
4 C.
3 D.
Hướng dẫn giải: Chọn A
Gọi H hình chiếu S lên ABC Khi H tâm
đường tròn ngoại tiếp ABC Hay H trung điểm BC
Đặt ACx Khi BC x21,
2
15
x SH
Ta có:
2
2
1 1 15
3 6
15
1
12
ABC
x
V SH S SH AB AC x
x x
Dấu “=” xảy 15 2 15
2
x x x
(28)Câu 29: Cho hình chóp S ABC có SASBSC BABC1 Tìm thể tích lớn khối chóp
S ABC?
A.
6 B.
2
12 C.
1
8 D.
3 12
Hướng dẫn giải:
Chọn C Cách 1:
Gọi H hình chiếu S lên ABC Khi H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Vì ABCcân B nên Hthuộc đường trung trực BM AC
Đặt ACx Ta có:
2
1
2 4
ABC
x x x
S BM AC x
2
1
4 ABC 4
abc R
S x
Mặt khác chiều cao khối chóp:
2
2 2
2
3
x
SH SB BH SB R
x
Thể tích khối chóp:
2
2
2
3
1
3 ABC 4 12
x x
x x x
V SH S
x
Dấu “=” xảy 3
2
x x x Cách 2:
Gọi K I, hình chiếu C lên SAB SB
Thể tích khối chóp: 3
3 SAB SAB3
V CK S CI S
Dấu “=” xảy hình chiếu C lên SAB trùng trung điểm SB
Câu 30: Trong khối tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh 2a tam giác ABD vuông
D,
2
a
AD Khoảng cách lớn từ B đến mặt phẳng ACD là?
A. 2
3
a
B. a C.
3
a
D. 2a
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có
2 ,
2
1
cos , cos , cos
2
a AB AC a AD
BAC DAB CAD x
(29)Khi
3
2
2
1 1 16 11
2
6 16 12
a a a
a x x
V x x
Khi
2
3 16 11
3
2
B
ACD
V a x x
d f x f a
S x
Câu 31: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân C, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ABC Biết SC 1, tìm thể tích lớn khối chóp S ABC
A.
12 B.
2
12 C.
2
27 D.
3 27
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt ACxSA SC2AC2 1x2
2
1
2
ABC
x S CA
Vì
2 2
2
3
2 2
2
1
3
2
2 3
27
ABC
x x x
x
V S SA x
x x x
Dấu xảy 2 2
x x x
Câu 32: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C, AB2 Cạnh bên SA1và vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích lớn khối chóp S ABC là?
A.
3 B.
4 C.
12 D.
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt CAx, CB AB2CA2 4x2
2
2
ABC
CA CB x x
(30)Suy
2 2
1 4
3 ABC 6
x x x x
V SA S
2
4
2.6
x x
Dấu đạt 2
4
x x x
Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C, SA AB2a Cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy ABC Gọi H K, hình chiếu vng góc A
lên SB SC Tìm thể tích lớn Vmax khối chóp S AHK
A
3 max
2
a
V B
3 max
3
a
V C
3 max
3
a
V D
3 max
2
a
V
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt ACx BC AB2AC2 4a2x2
Ta có
6 SABC
V SA BC AC 1.2 2
6 a x a x
2
4
ax a x
Vì S AHK S ABC
SH SK
V V
SB SC
2 2
2
1
2
SA ax a x SC
3 2
2
2
3
a x a x a
a x
3 max
2
a V
Câu 34: Cho tam giác ABC vuông cân B, AC2 Trên đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ABC lấy điểm M N, khác phía với mặt phẳng ABC cho AM AN 1 Tìm thể tích nhỏ khối tứ diện MNBC.?
A.
3 B.
6 C.
12 D.
Hướng dẫn giải: Chọn D
Tam giác ABC vuông cân B,
2
AC ABBC Ta có
1 1
3 3
MNBC ABC
V AM AN S AM AN AB BC AMAN
Sử dụng BĐT cauchy ta có
2
3 MNBC
AM AN AM AN V
A B
C S
H
(31)Câu 35: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA1 Thể tích lớn khối chóp S ABC là?
A 1
6 B.
2
12 C.
3
12 D.
1 12
Hướng dẫn giải: Chọn A
Gọi O tâm tam giác ABC Gọi ROAx0x1
Ta tính
2
1
SO SA R x
Cạnh tam giác ABC
0 3
2 sin 60 sin 60
2
ABC
a R xS a x
Vậy
2
4
1
3
3
1
8
S ABC ABC
V SO S x x
x x x x
Cách 1: Dùng Cauchy: Có
2 2 3 4
1 1
1 1
2x 2x x 4x x x x 27 VS ABC
Cách 2: Dùng hàm 0 1 ;5
2
f x x x x f x x x f x x Dùng bảng biế thiên f x đạt giá trị lớn
2
x
0
4
max
27 S ABC
x f x V
Câu 36: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng ABC,SC a SCA,
Xác định góc để thể tích khối chóp SABC
lớn
A arcsin
B arcsin
7
C arcsin
D 3arcsin
3
(32)
3
3
os ; sin
1 1
sin os
3 6
1
sin sin
SABC ABC
BC AC a c SA a
V S SA AC BC SA a c
a
Xét hàm số: f x xx3 khoảng 0;1
Ta có: ' 2, '
f x x f x x
Từđó ta thấy khoảng 0;1 hàm số f x liên tục có điểm cực trịlà điểm cực
đại, nên hàm sốđạt GTLN hay:
0;1
1
max
3 3
x f x f
hay arcsin ,
2
Chọn A
Câu 37: Cho hình chóp S ABCD có SAx, cạnh cịn lại Tìm giá trị x để thể tích khối chóp lớn
A B C D.
Hướng dẫn giải:
Gọi O giao điểm AC BD
Ta có OD=OB SB=SD nên
SOBD, BOSAC Mặt khác
2 2 2
SO SB OB AB OB OA
nên SOOAOC Do tam giác
SAC vng S
Ta có AC2 x2 4 4OA2 x2 4
Do 2
4OB 12x 0 x2 Và 16SSOA2 x24OA2x24x2
Để VS ABCD. đạt giá trị lớn VSOAB đạt giá trị lớn
Do VS ABCD. đạt giá trị lớn x212x2 đạt giá trị lớn Suy x2 12x2x2 6x
Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng,AB1, cạnh bên SA1và vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Kí hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm di
động đoạn CB cho MAN45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là?
A.
9
B.
3
C.
6
D.
9
(33)Hướng dẫn giải: Chọn B
Đặt DM x,BN y ta có
tan tan
tan 45 tan
1
1 tan tan
DAM BAN x y
DAM BAN xy DAM BAN
Suy
1 x y x
và AM AD2 DM2 x21,
2 2
2 2
1
1
x x
AN AB BN y
x x
Vì
2
1 1
sin 45
3 AMN 6
x
V SA S SA AM AN f x f
x
Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB1, cạnh bên SA1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm
di động đoạn CB cho MAN60 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN
A.
3
B 2
9
C 2 3
3
D 2 3
9
Hướng dẫn giải: Chọn C
Đặt DM x BN, y Ta có:
tantan
tan 60 tan
1
1 tan tan
DAM BAN x y
DAM BAN xy DAM BAN 3 x y x
2 2
1
AM AD DM x ,
2
2 2
1
3
x
AN AB BN y
x
Vì
2
3
1
.sin 60
3 6 3
S AMN AMN
x
V SA S SA AM SN
x
Ta có
2
3 2 3
2
3
6
x
f x f
x
Câu 40: Cho hình chóp S ABC có SA,SB,SC đơi vng góc, I tâm nội tiếp tam giác ABC
Mặt phẳng P thay đổi qua I, cắt tia SA,SB,SC A B C, , Biết
SASB , SC Hỏi thể tích khối chóp S A B C có giá trị nhỏ là?
A. 243
256 . B
7
3 . C
81
256 . D
27 256
(34)· Ta có
S A B C S ABC
SA SB SC
V V
SA SB SC
·Ta có SASB 2,SC
1
6
S ACB
V SA SB SC
·Từ SASB 2,SC 7AB2,BC 3 AC
· Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
nên:
BC IA CA IB AB IC
BC SA SI CA SB SI AB SC SI
BC CA AB
SI SA SB SC
AB BC CA AB BC CA AB BC CA
BC SA CA SB AB SC
SA SB SC
AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC
· Do bốn điểm A B C I, , , đồng phẳng nên
BC SA CA SB AB SC
ABBCCA SA ABBCCA SB ABBCCA SC
· Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
1 BC SA CA SB AB SC
AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC
3 3
3 AB BC CA SA SB SC
SA SB SC AB BC CA
3
3
27
1 AB BC CA SA SB SC SA SB SC AB BC CA
SA SB SC SA SB SC
AB BC CA AB BC CA
·
27 27.2.3.3 81
3 256
2 3
S A B C S ABC S ABC
SA SB SC AB BC CA
V V V
SA SB SC AB BC CA
Dấu xảy
BC SA CA SB AB SC
AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC
BC SA CA SB AB SC
AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC
(35)8
9
4
7
3
SB SA
SA SB SB SA
SC
SC SC
Câu 41: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD4, cạnh bên Tìm thể tích lớn khối chóp S ABCD
A. 130
3 B. 128
3 C. 125
3 D. 250
3
Hướng dẫn giải: Chọn B
Đặt ABx O tâm mặt đáy, ta có
SO ABCD
2 2
2
6 32
4
x x
SO
Vì sử dụng bất đẳng thức AM GM , ta co có:
2 2
2
1 2 128 128
4 32 128
3 3
x x x
V x x x
Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có SBx 0x 3 Tất cạnh lại Với giá trị x thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất?
A.
3
x B.
2
x C.
2
x D.
2
x
Hướng dẫn giải: Chọn C
Theo giả thiết ABCD hình thoi gọi O ACBD
SAC BAC c c c OS OB OD SBD
vng S
Vì SASCSD chân đường cao H khối chóp
nằm đường thẳng BD
2 2
1
SB SD x
SH
SB SD x
Ta có
2 2
1, 2
BD x AC OA AB OB x
Vì 2
2
ABCD
S AC BD x x
Suy
2
2 3 2
3
6 2.6
x x
x x x x
V
(36)Dấu xảy
x x x
Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB4 Cạnh bên SAvng góc với mặt phẳng đáy ABCD SC6 Thể tích lớn khối chóp S ABCD là?
A. 40
3 B. 80
3 C. 20
3 D. 24
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt AD=x, ta có 2
16
AC AB AD x
2 2 2
6 16 20
SA SC AC x x
Vì
2
2
1 20
20
3 ABCD 3
x x
V SA S x x
2
2 20 40
3
x x
Dấu xảy x2 20x2 x 10
Câu 44: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh 1, SOABCDvà
1
SC Thể tích lớn khối chóp S ABCD là?
A.
9 B.
2
3 C.
2
27 D.
4 27
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt OCx OB BC2OC2 1x2 SABCD 4SOBC 2x 1x2 SO SC2OC2 1x2
2
1
3 ABCD
x x
V S SO =
2 2
2 1
3
x x x
2 2
2 1
3 27
x x x
Dấu xảy 2x2 1 x2
3
x
Câu 45: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng,AB1, cạnh bên SA1và vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Kí hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm di
động đoạn CB cho MAN45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là?
A.
9
B
3
C.
6
D.
9
(37)
Đặt DM x,BN y ta có
tan tan
tan 45 tan
1
1 tan tan
DAM BAN x y
DAM BAN xy DAM BAN
Suy
1 x y x
và AM AD2 DM2 x21,
2
2 2
1
1
x x
AN AB BN y
x x
Vì
2
1 1
sin 45
3 AMN 6
x
V SA S SA AM AN f x f
x
Câu 46: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB1, cạnh bên SA1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm
di động đoạn CB cho MAN30 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là?
A.
9 B.
3 C.
27 D. 27
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt DM x BN, y Ta có:
tantan
tan 30 tan
1
1 tan tan
DAM BAN x y
DAM BAN xy DAM BAN 3 x y x
2 2
1
AM AD DM x ,
2
2 2
1
1
x
AN AB BN y
x Vì
2
1 1
.sin 30
3 6 3 1
S AMN AMN
x
V SA S SA AM SN
x
Ta có
2
1 1
9
6
x
f x f
x
Câu 47: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB1, cạnh bên SA1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm
di động đoạn CB cho MAN60 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN
A.
3
B 2
9
C. 3
3
D. 3
9
Hướng dẫn giải: Chọn C
(38)
tantan
tan 60 tan
1
1 tan tan
DAM BAN x y
DAM BAN
xy
DAM BAN
1
3
x y
x
2 2
1
AM AD DM x ,
2
2 2
1
3
x
AN AB BN y
x
Vì
2
3
1
.sin 60
3 6 3
S AMN AMN
x
V SA S SA AM SN
x
Ta có
2
3 2 3
2
3
6
x
f x f
x
Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AD4a Các cạnh bên hình chóp a Tìm thể tích Vmax khối chóp S ABCD
A
3 max
8
a
V B
3 max
4
a
V C Vmax 8a3 D Vmax 4 6a3
Hướng dẫn giải: Chọn A
Do SASBSCSDa nên hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABCD
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, ABCD hình chữ nhật H giao
điểm AC BD
Đặt ABx0 ta có:
2 2
16
AC AD AB x a ,
2
2 2
8
4
AC
SH SA a x Vì
2
1
3
ax a x S ABCD SO AB AD Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
2 2 3
2 2
max
8 8
8
2 3
x a x a a
x a x a V V
Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành thể tích V Gọi M N, điểm di động cạnh AB AD cho AB 2AD
AM AN Gọi V'
thể tích khối chóp S MBCDN Tìm giá trị nhỏ V'
A 1
4V B.
3V C.
4V D. 3V
(39)Ta có ' 1 AM AN V V AB AD
xy V Trong
, 0< , <1
4
AM AN
x y x y
AB AD x y 1
4
x y x x
Vì
2
2 '
4
x
V V V
x
2 '
3
V V
Câu 50: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A C', ' thỏa mãn
1 '
3
SA SA
, '
SC SC
Mặt phẳng P chứa đường thẳng A C' ' cắt cạnh SB SD, lần
lượt B', 'D đặt ' ' ' ' S A B C D
S ABCD V k
V
Giá trị nhỏ k là?
A.
60 B.
30 C.
4V D.
15 16
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt V VS ABCD , ta có
' '
SB SD
SB SD ' '
SA SC
SA SC
3
Mặt khác ' ' ' ' ' '
1 15
2
S A B C
V SA SB SC
x SA SB SC
V
' ' ' 30 S A B C
V xV
' ' '
' ' '
' ' ' 1
1 15 30
2
S A C D
S A C D
V SA SD SC
y V yV
SA SD SC V
' ' '
30 S A B C
V xV
Do ' ' ' '
1 30
S A B C D S ABCD V
k x y
V
, x SB'
SB
, y SD' SD
Và x y 1
x y x y
60
k
Câu 51: Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a SA, vng góc với mặt phẳng
đáy góc SC với mặt phẳng SAB 30 G0 ọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp SABH đạt giá trị lớn bằng:
(40)A
2
a
B
2
a
C
2
a
D
2 12
a
Hướng dẫn giải:
Ta có góc SC mặt phẳng SAB CSB300 Trong tam giác SBC có SBBC.cot 300 a
Trong tam giác SAB có 2
2
SA SB AB a
Thể tích khối chóp S ABH là: . 1 2
3
S ABH ABH
a
V S SA HA HB a HA HB
Ta có HA2HB2 AB2 a2 theo bất đẳng thức AM GM ta có:
2
2 2
2
2
a a HA HB HA HBHA HB
Đẳng thức xảy
45
HAHBABM M D
Khi
2
2 2
6 12
S ABH
a a a a
V HA HB
Chọn D
Câu 52: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SASBSC 2a Tìm thể tích lớn khối chóp
S ABCD
A.
3
2
a
B.
3
32
a
C.
3
4
a
D.
3
32 27
a
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có: SASBSCSD ABCDnội tiếp đường trịn bán kính R Ta có:
2 2
4
h cb R a R
2 sin2 sinsin ,
sin ,
2
2
R ABC R BAD AC DB
AC BD AC BD
S R
2 2
(0;2 )
2 32
( ) ( )
3 a 27
Sh R a R a a
V f R max f R f
Câu 53: Khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SASBSCa, Cạnh SD thay
đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD là:
A
8
a
B
3
4
a
C.
3
3
a
D
3
2
a
(41)
Khi SD thay đổi thi AC thay đổi Đặt ACx Gọi OACBD
Vì SASBSC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
H BO
Ta có
2 2 2 2 2
2 4
2
x a x a x
OB a
2 2
1 4
2 2
ABC
a x x a x
S OB AC x
2
2 2
4 4 4
4
ABC
a a x a x a
HB R
S x a x a x
4 2
2 2
2 2 2
3
4 4
a a a x
SH SB BH a
a x a x
2 2
2 2
1
2
3 4
S ABCD S ABC ABC
a a x x a x
V V SH S
a x
2 2
1
3 2
x a x a
a x a x a
Câu 54: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA, vng góc với mặt phẳng
đáy góc SC với mặt phẳng SAB 30 G0 ọi M điểm di động cạnh CD
và H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp S ABH đạt giá trị lớn bằng:
A
2
a
B
3
2
a
C
3
2
a
D
3
2 12
a
Hướng dẫn giải: Chọn D
Góc SC SBC CSBCSB 300 Ta có
2
tanCSB BC SB a 3;SA SB AB a
SB
Đặt CM x, 0 xaDM ax,
Ta có BM SH BM SAH BM AH
BM SA
Ta có
2
1 1
, ;
2 2 2
BMC ADM ABM ABCD AMC ADM
a S BC CM ax S AD DM a ax S S S S
x
a O
A
S
D C
B H
C
D
B
A S
(42)Ta có
2
2
1
ABM
a
S AH BM AH
a x
; 2
2 ax
BH AB AH
a x
Thể tích khối chóp S ABH
2
4
2 2 2
1 1
3 ABH 6
a ax x
V SA S SA BH AH a a
a x
a x a x
(*) Xét hàm số f x 2 x 2,x 0;a
a x
Ta có
2 2
2 ;
a x
f x f x x a
a x
Trên đoạn 0;a ta có f x 0, x 0;a
Vậy giá trị lớn V xa
12
mzx
V a
Cách 2: Từ (*)
3
4
2
2 2
6 12
x a
V a a
a x a
Dấu khi:xa
(43)THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
A- LÝ THUYẾT CHUNG
1 Thể tích khối lăng trụ
V B h với B diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ
2 Thể tích khối hộp chữ nhật
V a b c với a b c, , ba kích thước
3 Thể tích khối lập phương
V a với a độ dài cạnh
B
h
b c a
a
(44)B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCA B C có đáy tam giác ABC vng cân A, BC=2a Góc mặt phẳng (AB C ) mặt phẳng (BB C )
60 Tính thểtích lăng trụ ABCA B C
A. a3 B. 2a3 C. a3 D 3a3
Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’ Gọi M N, thuộc cạnh bên AA CC’, ’ cho MAMA' NC4NC' Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trong bốn khối tứ
diện GA B C BB MN ABB C’ ’ ’, ’ , ’ ’ A BCN’ , khối tứ diện tích nhỏ nhất?
A. Khối A BCN’ B.Khối GA B C’ ’ ’ C.Khối ABB C’ ’ D. Khối BB MN’
Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có BB'a, góc đường thẳng BB' ABC 60, tam giác ABC vuông C góc BAC60 Hình chiếu vng góc điểm
'
B lên ABC trùng với trọng tâm ABC Thể tích khối tứ diện A ABC' theo a
bằng
A
13 108
a
B
3
7 106
a
C
3
15 108
a
D
3
9 208
a
Câu 4: Cho hình lăng trụđứngABC A B C ' ' ', biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABCđến mặt phẳng A BC'
6
a
.Tính thể tích khối lăng trụ
' ' '
ABC A B C
A.
3
8
a
B.
3
3
28
a
C.
3
3
4
a
D.
3
3
16
a
Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cạnh a, đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt đáy là60 Tính thể tích khối lăng trụ
A 27
V a B 3
4
V a C 3
2
V a D.
4a
Câu 6: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm
'
A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai
đường thẳng AA ' BC
a
Khi thể tích khối lăng trụ là:
A
3 12
a
B
3
a
C
3
a
D
3 24
a
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a, mặt phẳng cắt cạnh
AA, BB, CC, DD M , N , P, Q Biết
3
AM a,
5
CP a Thể tích khối
(45)A. 11
30a B
3
a
C.
3
2
a
D. 11
15a
Câu 8: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bên 1.; đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh BA 3,AD 7; mặt bên ABB A' ' ADD A' ' hợp với mặt đáy
góc theo thứ tự 45 ; 60 Th0 ể tích khối hộp là:
A. (đvdt) B. 3(đvdt) C. 2(đvdt) D. 6(đvdt)
Câu 9: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài cạnh bên a; đáy hình thoi, diện tích hai mặt chéo S1 S2; góc hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo Tính thể tích V khối hộp cho
A. V S S1 2cos
a
B. 2cos
3
S S V
a
C. 2cos
4
S S V
a
D. 2cos
2
S S V
a
Câu 10: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cạnh bên a góc
' , , '
A AB BDA A AD 00 90 0 Tính thể tích V khối hộp
A 3sin cos2 os2 arcsin
a
V a c B 3sin cos2 os2
2
a
V a c
C 3sin cos2 os2
2
a
V a c D.Đáp số khác
Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa AD, b BAD,; đường chéo AC' hợp với đáy góc Tính thể tích khối hộp đứng cho là:
A. V 4ab a2b22ab c os os cos c B.V 2ab a2b22ab c os os cos c
C. V 3ab a2b22ab c os sin tan D. V ab a2b22ab c os sin tan
CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có tồng diện tích tất mặt 36, độ dài
đường chéo AC Hỏi thể tích khối hộp lớn bao nhiêu?
A. B. C. 16 D. 24
Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo
Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp chữ nhật cho?
A Vmax 8 B Vmax 12 C Vmax 8 D Vmax 6
Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cạnh 32, độdài đường chéo Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp cho
(46)Câu 15: Tìm maxV giá trị lớn thể tích khối hộp chữ nhật có đường chéo 2cm
và diện tích tồn phần 18cm2
A Vmax 6cm3 B Vmax 5cm3 C Vmax 4cm3 D Vmax 3cm3
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo
Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp chữ nhật cho?
A Vmax 8 B Vmax 12 C Vmax 8 D Vmax 6
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cạnh 32, độdài đường chéo Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp cho
(47)600
H M
I A
C
B
A'
B'
C'
B'
B C
M I
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCA B C có đáy tam giác ABC vng cân A, BC=2a Góc mặt phẳng (AB C ) mặt phẳng (BB C )
60 Tính thểtích lăng trụ ABCA B C
A. a3 B. 2a3 C. a3 D 3a3
Hướng dẫn giải:
TừA kẻAIBC Ilà trung điểm BC
AI(BCC B )AI BC (1) TừI kẻIM BC (2)
Từ (1), (2) BC(IAM)
Vậy góc (ABC) (BCB)
AMI = 600
Ta có AI=1
2 BCa; IM=
tan 60
AI a
2
3
a
BH IM ; 2 2 12 32 12 12
' 4
B B BH BC a a a
Suy BB=a 2; 1
.2
2
ABC
S AI BC a aa
2
2
ABC A B C
V a a a Chọn A
Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’ Gọi M N, thuộc cạnh bên AA CC’, ’ cho MAMA' NC4NC' Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trong bốn khối tứ
diện GA B C BB MN ABB C’ ’ ’, ’ , ’ ’ A BCN’ , khối tứ diện tích nhỏ nhất?
A. Khối A BCN’ B.Khối GA B C’ ’ ’ C.Khối ABB C’ ’ D.Khối BB MN’
Hướng dẫn giải:
+ Nhận thấy khoảng cách từ G A xuống mặt phẳng
A B C’ ’ ’ ( G,A thuộc mặt phẳng
ABC / / A B C’ ’ ’
' ' ' ' ' ' GA B C A A B C
V V
Mà VA A B C ' ' ' VABB C' '(Do hình chóp có đáy AA B’ ’
’
ABB diện tích nhau;chung đường cao hạ từ C’)
' ' ' ' ' GA B C ABB C
V V
=> Khơng khối chóp GA B C’ ’ ’ ABB C’ ’ thể thích nhỏ
G
A'
C'
B'
C
B A
(48)60°
60°
C'
A'
G
M N
B C
A B' → Loại B,C
+ So sánh Khối A BCN’ Khối BB MN’
Nhận thấy khoảng cách từ M A’ xuống mặt BBCC’ → Khối A BCN’ Khối BB MN’ có đường cao hạ từ M A’ Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy BCN
=> Khối A BCN’ < Khối BB MN’
=> Khối A BCN’ có diện tích nhỏhơn
Chọn A
Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có BB'a, góc đường thẳng BB' ABC 60, tam giác ABC vuông C góc BAC60 Hình chiếu vng góc điểm
'
B lên ABC trùng với trọng tâm ABC Thể tích khối tứ diện A ABC' theo a
bằng
A
13 108
a
B.
3
7 106
a
C.
3
15 108
a
D.
3
9 208
a
Hướng dẫn giải:
Gọi M N, trung điểm AB AC, Glà trọng tâm ABC
'
B G ABC
', ' 60
BB ABC B BG
'
1
' '
3
A ABC ABC
V S B G AC BC B G
Xét B BG' vng G, có B BG' 600
'
2
a B G
(nửa tam giác đều)
ĐặtAB2x Trong ABC vng C có BAC600
tam giác ABC tam giác ,
2
AB
AC x BC x
Do G trọng tâm ABC 3
2
a
BN BG
Trong BNC vuông C: BN2 NC2BC2
2 2
2
3 13
9
3
16 52 13 3
2 13
a AC
a x a a
x x x
a BC
(49)Vậy,
3 '
1 3 3
6 13 13 208
A ABC
a a a a
V
Câu 4: Cho hình lăng trụđứngABC A B C ' ' ', biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABCđến mặt phẳng A BC'
6
a
.Tính thể tích khối lăng trụ
' ' '
ABC A B C
A
3
8
a
B.
3
3
28
a
C.
3
3
4
a
D.
3
3
16
a
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm BC,
ta có A AM' A BC' theo giao tuyến A M' Trong A AM' kẻ OH A M H' ( A M' )
'
OH A BC
Suy ra: , '
6
a
d O A BC OH
2
3
ABC a S
Xét hai tam giác vuông A AM' OHM có góc M
chung nên chúng đồng dạng
Suy ra:
2 2
2
1
1
6
' ' ' ' '
3 '
2
a a
OH OM
A A A M A A A A AM A A
a A A
6 '
4
a A A
Thể tích:
2
' ' '
6 3
'
4 16
ABC A B C ABC
a a a
V S A A
Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cạnh a, đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt đáy là60 Tính thể tích khối lăng trụ
A 27
V a B 3
4
V a C 3
2
V a D.
4a
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có ABCDEF lục giác nên góc ởđỉnh 120
ABC tam giác cân B, DEF tam giác cân E
2
1
.sin120
2
ABC DEF
a
S S a a
O
C'
B'
M A
B A'
(50)2
2 .cos
AC AB BC AB BC B
2
2
2
a a a a a
3
ACDF
S AC AF a aa
2 2
2
3 3
3
4
ABCDEF ABC ACDF DEF
a a a
S S S S a
' 60 ' '.sin 60
a
B BH B H BB
Suy
Câu 6: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm
'
A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai
đường thẳng AA ' BC
4
a
Khi thể tích khối lăng trụ là:
A
3 12
a
B
3
a
C
3
a
D
3 24
a
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm BC, dựng MH vng góc với AA' Suy , '
4
a
MH d BC A A
Đặt AH x, ta có:
2
'
3
a A A x
Từ ' '
3
a
A A MH A G AM x
Vậy
2
3
3 12
a a a
V
Chọn A
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a, mặt phẳng cắt cạnh
AA, BB, CC, DD M , N, P, Q Biết
3
AM a,
5
CP a Thể tích khối
đa diện ABCD MNPQ là:
A 11
30a B
3
a
C.
3
2
a
D. 11
15a
Hướng dẫn giải:
2
3
3
'
4
ABCDEF
a
V BH S a a
M
A
B'
A' C'
C B
H
60°
C'
E' F' A'
D'
E F
B
C D
A B'
(51)Tứ giác MNPQ hình bình hành có tâm I thuộc đoạn OO’
Ta có: 11
2 30
AM CP a
OI a
Gọi O1là điểm đối xứng O qua I thì:
OO1=2OI=11
15a < a Vậy O1 nằm đoạn OO’
Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt
các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’
A1, B1,C1, D1 Khi I tâm hình hộp 1
ABCD AB C D Vậy
1 1 V ABCD MNPQ V MNPQ A B C D
2
1 1 1
1 11
( )
2V ABCD A B C D 2a OO 30a
Câu 8: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bên 1.; đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh BA 3,AD 7; mặt bên ABB A' ' ADD A' ' hợp với mặt đáy
góc theo thứ tự 45 ;60 Th0 ể tích khối hộp là:
A. (đvdt) B. 3(đvdt) C. 2(đvdt) D. 6(đvdt)
Hướng dẫn giải:
Dựng A H' ABCD
' , ' ,
A I AB A J ADHI AB HJ AD
Ta có
' 45 ; ' 60
A IH A JH
Đặt A H' h
Tam giác HA J' vng có
' 60
A JH nên nửa tam giác có cạnh A J' , đường cao
' ,
A H HJ nửa cạnh
2
2 2
2 '
2
12 12 ' ' '
9
h h
A J
h h
A J AA A J
2 12 AJ
3
h
với
2
h
Tam giác HA I' vuông cân H IH A H' h
IHJ
A hình chữ nhật
Q
O1 I
O' O
A'
C'
D'
C B
D A
B' N M
P
450
600
I H J
B' A'
C'
B C D
(52)2
2
9 12
9 12
3 21
h
AJ IH h h h h
Thể tích khối hộp ' ' ' ' : ' 3 21
ABCD
ABCD A B C D V S A H (đvdt)
Chọn B
Câu 9: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài cạnh bên a; đáy hình thoi, diện tích hai mặt chéo S1 S2; góc hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo Tính thể tích V khối hộp cho
A. V S S1 2cos
a
B. 2cos
3
S S V
a
C. 2cos
4
S S V
a
D. 2cos
2
S S V
a
Hướng dẫn giải:
Gọi O O' theo thứ tự tâm hai mặt
đáy ABCD A B C D, ' ' ' '
Hai mặt chéo ACC A' ' BDD 'B' có giao tuyến OO ', có diện tích theo thứ tự
1, S S
Dựng mặt phẳng P vng góc với OO' I, cắt cạnh bên AA ',BB CC', ', DD '
theo thứ tự E F G H, , , ( P cạnh bên)
Ta có: EG HF, OO' I EIH góc hai mặt phẳng chéo ACC A' '
BDD 'B'
- EFGH thiết diện thẳng hình hộp hình bình hành
Do đó, ta tích V hình hộp là:
1
' '.sin
EFGH
V S AA EG HF AA
Ta lại có:
1 ACC A' ' AA' EG= ; BDD ' 'B '
S S
S S EG S S HF BB HF
a a
1 2cos
.sin
2
S S S S
V a
a a a
Chọn D
Câu 10: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cạnh bên a góc
' , , '
A AB BDA A AD 00 90 0 Tính thể tích V khối hộp
I
G
F H
E
B'
B
C' D'
A'
C D
(53)A 3sin cos2 os2 arcsin
a
V a c B 3sin cos2 os2
2
a
V a c
C 3sin cos2 os2 2
a
V a c D.Đáp số khác
Hướng dẫn giải:
Dựng A H' AC A K; ' AD A BD'
cân A' A O' BD
Ta có
'
'
A O BD
BD A AC BD AH
AC BD
AH ABCD HK AD
Đặt A AO' .HAA' vuông
os = '
AH
H c
AA
ABCD hình thoi AC phân giác góc BAD,KAH vng K
2
2
2
os os os os
2 ' '
os cos
os ' '.sin sin ' os cos
2
os os os
2 2
AK AH AK AK
c c c c
AH AA AH AA
c a
c A H AA a A H a c
c c c
Do ta có: 2
' ' ' ' ' sin os cos cos
2 ABCD A B C D ABCD
a
V S A H a c
3 2
2 sin cos os 2
a
a c
Chọn C
Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa AD, b BAD,; đường chéo AC' hợp với đáy góc Tính thể tích khối hộp đứng cho là:
A. V 4ab a2b22ab c os os cos c B.V 2ab a2b22ab c os os cos c C. V 3ab a2b22ab c os sin tan D. V ab a2b22ab c os sin tan
Hướng dẫn giải: 2
2 os sin tan
V ab a b ab c
K H
O
B' A'
C'
B D'
A D
(54)Ta có: CC'ABCD
'
CAC
góc AC' mặt đáy
ABCD
Xét ABC, ta có:
2 2
2 os
AC AB BC AB BC c ABC
2 2
2 os 180 os
a b ab c a b ab c
2
2 os
AC a b ab c
Do ta có:
2
' tan os tan
CC AC a b ab c
Thể tích hình hộp đứng: V SABCD.CC'absin a2b22ab c os tan
2
2 os sin tan
V ab a b ab c Chọn D
CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có tồng diện tích tất mặt 36, độ dài
đường chéo AC Hỏi thể tích khối hộp lớn bao nhiêu?
A. B 8 C 16 D 24
Hướng dẫn giải: Chọn C
Gọi chiều dài cạnh hình hộp chữ nhật là: a, b, c0
Ta có
2 2
2
36; 2 36 ( ) 72
a b c S ab bc c
AC a a b c a b c
3
3
16
3 3
a b c a b c
abc abc
Vậy VMax16
Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo
Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp chữ nhật cho?
A Vmax 8 B Vmax 12 C Vmax 8 D Vmax 6
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi a b c, , kích thước hình hộp chữ nhật Ta có
a b
B'
B A
D
C A'
(55)* Độ dài đường chéo d a2b2c2 6
* Tổng diện tích mặt S 2ab bc ca 36
Ta tìm giá trị lớn V abc
Ta có a b c a2b2c2ab bc ac6
Mà
2
4 18 18
bc bc a a b c a a a
Khi V abca18a6 2aa36 2a218a f a
Khảo sát hàm số y f a 0; 2
Ta có
3
a f a
a
So sánh f 0 0, f 2 8 2, f 3 20, f 4 28 ta Vmax 8
Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cạnh 32, độdài đường chéo Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp cho
A Vmax 16 B Vmax 16 C Vmax 6 D Vmax 12
Hướng dẫn giải: Chọn B
Gọi a b c, , kích thước hình hộp chữ nhật, ta có
2 2 2
4 32
24
a b c a b c
a b c
a b c
Suy
2 2 2 2 20
a b c a b c
ab bc ca
b c 2 4bc8a2 4 20 a8a0a4
20 8 20
V abca a a f a a a a
Suy
max 0;4
max 16
(56)Câu 15: Tìm maxV giá trị lớn thể tích khối hộp chữ nhật có đường chéo 2cm
và diện tích tồn phần 18cm2
A Vmax 6cm3 B Vmax 5cm3 C Vmax 4cm3 D Vmax 3cm3
Hướng dẫn giải: Chọn C
Đặt , ,a b c kích thước hình hộp ta có hệ
2 2
18
a b c
ab bc ac
Suy a b c Cần tìm GTLN V abc
Ta có b c 6 a bc 9 a b c 9 a6a Do b c 2 4bc6a2 4 9 a6a0a4
Tương tự 0b c, 4
Ta lại có V a9a6a Khảo sát hàm số tìm GTLN V
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo
Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp chữ nhật cho?
A Vmax 8 B Vmax 12 C Vmax 8 D Vmax 6
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi a b c, , kích thước hình hộp chữ nhật Ta có * Độ dài đường chéo d a2b2c2 6
* Tổng diện tích mặt S 2ab bc ca 36
Ta tìm giá trị lớn V abc
Ta có a b c a2b2c2ab bc ac6
Mà
2
4 18 18
bc bc a a b c a a a
Khi V abca18a6 2aa36 2a218a f a
Khảo sát hàm số y f a 0; 2
Ta có
3
a f a
a
So sánh f 0 0, f 2 8 2, f 3 20, f 4 28 ta Vmax 8
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cạnh 32, độdài đường chéo Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp cho
(57)Hướng dẫn giải: Chọn B
Gọi a b c, , kích thước hình hộp chữ nhật, ta có
2 2 2
4 32 8
24
a b c a b c
a b c
a b c
Suy
2 2 20
a b c a b c
ab bc ca
b c 2 4bc8a2 4 20 a8a0a4
20 8 20
V abca a a f a a a a
Suy
max 0;4
max 16
(58)TỈ LỆ THỂ TÍCH
A- LÝ THUYẾT CHUNG
1.Hai khối chóp S A A 1 2 An S B B Bmcó chung đỉnh S hai mặt đáy nằm mặt
phẳng, ta có: 2
1 2
n n
m m
S A A A A A A S B B B B B B
V S
V S
2.Hai khối chóp tam giác S ABC có ASA B, SB C, 'SC ta có: ' ' '
S A B C
S ABC
V SA SB SC
v SA SB SC
3.Kiến thức cần nhớ khối lăng trụ tam giác khối hộp
3 A ABC
V
V ,
2 A BCC B
V
V .
6 A ABD
V
V ,
3 BDA C
V
V
4.Một số công thức nhanh cho trường hợp hay gặp
Tam giác ABC vng Acó đường cao AH có
2
,
BH AB
BC BC
2
CH AC
CB BC
Mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp S A A 1 2 An cắt SAk điểm Mkthỏa mãn
, k k
SM p
SA ta có
1
n
n S M M M S A A A V
p
V
Hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AM x, BN y, CP z
AA BB CC có ABC MNP
x y z
V V
Hình hộp ABCD A B C D có AM x,BN y, CP z
AA BB CC Mặt phẳng MNP cắt DD' Q ta
có đẳng thức x z y t với t DQ DD
ABCD MNPQ
x y z t
V V
Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SM x,SN y,SP z
SA SB SC Mặt phẳng
MNP cắt SD Q ta có đẳng thức 1 1
xz yt với
SQ t
SD
1 1 1
4
S MNPQ
V xyzt V
x y z t
Định lí Meneleus cho điểm thẳng hàng MA NB PC
(59)B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình chópS ABC .Trên cạnh SA lấy điểm M N, choSM MN NA.Gọi
, mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC quaM N, Khi
hai mặt phẳng , chia khối chóp cho thành phần.Nếu phần tích 10dm3tích hai phần cịn lại là?
A.
80dm
190dm B.
70dm 190dm
C. 70dm3và 200dm3 D. 80dm3và 180dm3
Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi
, ,
M N P điểm cạnh SA SB SC, , cho 1, 2,
2 3
SM SN SP
SA SB SC
Mặt phẳng MNP cắt cạnh SD điểm Q Tính thể tích khối đa diện ABCD MNPQ
A.
63V B. 10
63V C. 53
63V D 58 63V
Câu 3: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB 3a, ADa, SA vng góc với
đáy
SAa Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD M , N , P
Tính thể tích khối chóp S AMNP
A.
3 3
40
a
B.
3 40
a
C.
3 10
a
D.
3 30
a
Câu 4: Cho khối chóp S ABCD tích V đáy hình bình hành Điểm S thỏa mãn
0
SS k DC k
Biết thể tích phần chung hai khối chóp S ABCD S ABCD
7
25V Tìm k
A. k9 B. k6 C. k11 D. k4
Câu 5: Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Một mặt phẳng P song song với mặt đáy ABC cắt cạnh SA, SB, SC M , N , P Tính diện tích tam giác
MNP biết P chia khối chóp cho thành hai khối đa diện tích
A
2 MNP
a
S B
3 16 MNP
a
S C
2
3
MNP a
S D
2
3
4
MNP a S
Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa AD, b cạnh bên
SAc vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M điểm cạnh SA cho
0
(60)A
3
2
c x
B
2
2
ab x
c
C
3
2
c x
D
5
ab x
c
Câu 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCDlà hình thang với AB/ /CD CD4AB.Gọi M
là điểm cạnh SA cho 0AM SA Tìm tỉ số SM
SA cho mặt phẳng CDM
chia khối chóp cho thành hai khối đa diện tích nhau:
A 13
2
SM SA
B 26
2
SM SA
C 17
2
SM SA
D 23
2
SM SA
Câu 8: Cho điểmM cạnh SA, điểm N cạnh SBcủa hình chóp tam giác S ABC tích V cho 1,
3
SM SN
x
SA SB Mặt phẳng P qua MNvà song song với SCchia khối
chóp S ABC thành hai khối đa diện tích Tính x
A
x B 10
6
x C
6
x D 10
9
x
Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, GọiM , N trung điểm cạnh AB, BC svà
E điểm thuộc tia đối DB cho BD k
BE Tìm k để mặt phẳng MNE chia khối tứ
diện thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh B tích
3 11
294
a
A
k B. k6 C. k4 D. V 5
Câu 10: Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M N P, , trọng tâm ba tam giác ABC ABD ACD, , Tính thể tích V khối chóp AMNP
A 162
V cm B 2
81
V cm C
81
V cm D
144
V cm
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng BMN
chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng:
A.
5 B.
7 C.
3 D.
Câu 12: (Hình học khơng gian) Cho tứ diện ABCD M N P, , thuộc BC BD AC, , cho
4 , ,
BC BM BD BN AC AP Mặt phẳng MNP cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng MNP
A.
3 B.
7
13 C.
5
13 D.
(61)Câu 13: Cho hình lăng trụtam giác ABC A B C ' ' ', có cạnh đáy a cạnh bên a Lấy M, N cạnh AB A C', ' cho '
' '
AM A N
AB A C Tính thể tích V khối
'
BMNC C A
3 108
a
B.
27
a
C. 3
108
a
D
6 27
a
Câu 14: Cho hình chóp tứgiác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên phẳng đáy thỏa mãn cos =
3
Mặt phẳng P qua AC vng góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau:
A. 0,11 B. 0,13 C. 0, D. 0,
Câu 15: Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA2SM ,
SN NB, ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu (H1)và (H2) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng ( ) , đó, (H1)chứa
điểm S, (H2) chứa điểm A; V1 V2 thể tích (H1) (H2) Tính tỉ số
V V
A.
5 B.
5
4 C.
3
4 D.
4
Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) qua điểm A vuông góc với SC cắt SB SC SD, , lần
lượt B C D’, ’, ’ Tính thể tích khối chóp S AB C D ’ ’ ’ theo a
A 3
20
a
B 3 20
a
C
3 3
10
a
D.
3
10
a
Câu 17: Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc
giữa hai mặt phẳng (P) (BCD) có số đo thỏa mãn tan
7
Gọi thể tích hai
tứ diện ABCE vàtứ diện BCDE V1 V2 Tính tỷ số
V V
A.
8 B.
1
8 C.
3
5 D.
5
Câu 18: Cho khối chóp S ABC có SA6,SB2,SC4,AB2 10 SBC90 , ASC120 Mặt phẳng P qua B trung điểm N SC vng góc với mặt phẳng SAC cắt cạnh SA M Tính tỉ số thể tích
S MBN S ABC
V
(62)A.
9 B.
5 C.
6 D
Câu 19: Khối tứ diện ABCD tích V , khối tứ diện A B C D1 1 1 1 tích V1, đỉnh
1, 1, 1,
A B C D trọng tâm tam giác BCD CDA DAB ABC, , , Khối tứ diện
2 2
A B C D tích V2, đỉnh A B C D2, 2, 2, 2 trọng tâm tam giác
1 1
B C D, C D A1 1 1, D A B1 1 1, A B C1 1 1 Cứ tiếp tục thếta khối tứ diện A B C Dn n n n
tích Vn, đỉnh A B C Dn, n, n, n trọng tâm tam giác B Cn1 n1Dn1, 1
n n n
C D A , Dn1A Bn1 n1, A B Cn1 n1 n1 Tính S V1V2 V2018?
A
2018
2018
3
2.3
V
S B
2019
2019
27
26.27
V
S
C
2018
2018
27
26.27
V
S D
2019
2019
3
2.3
V
S
Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C Gọi M N, thuộc cạnh bên AA CC,
sao cho MAMA NC; 4NC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hỏi bốn khối tứ
diện GA B C BB MN ABB C , , A BCN , khối tứ diện tích nhỏ nhất?
A. Khối A BCN B.Khối GA B C C.Khối ABB C D. Khối BB MN
Câu 21: Cho hình lăng trụtam giác ABC A B C ’ ’ ’, có cạnh đáy cạnh bên Lấy M N, cạnh AB A C’, ’ cho Tính thể tích V khối
’
BMNC C
A B C D
Câu 22: Cho khối lập phương ABCD A B C D cạnh a Các điểm E F trung điểm C B C D Mặt phẳng AEF cắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V1 thể tich khối chứa điểm A V2 thể tich khối chứa điểm C' Khi
2
V V
A. 25
47 B.1 C. 17
25 D. 17
Câu 23: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M N, trung điểm ' '
A B BC Mặt phẳng DMN chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi
H khối đa diện chứa đỉnh A H, ' khối đa diện cịn lại Tính tỉ số
'
H H V V A
'
37 48
H H V
V B
'
55 89
H H V
V C
'
2
H H V
V D
'
1
H H V
V
a a
'
' '
AM A N AB A C
3 6
108
a 2 6
27
a 3 6
108
a 6
27
(63)Câu 24: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Gọi M N, trung điểm cạnh A B BC Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A V, 2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số
2
V
V
A.
3 B. 55
89 C. 37
48 D.
Câu 25: Cho hình hộp ABCDA B C D’ ’ ’ ’ Gọi M trung điểm A’B’ Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B D’ ’ Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối tích
1,
V V (Trong V1 thể tích khối chứa A) Tính tỉ số
V F
V
A.
17 B.1 C. 17
25 D. 17
Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’. Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB,
AA’ và B’C’ Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
A. 25
47 B.1. C. 49
95 D. 17
CỰC TRỊ TỈ LỆ THỂ TÍCH
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A, C thỏa
mãn ,
3
SA S A SC SC
Mặt phẳng P chứa đường thẳng A C cắt cạnh SB SD,
lần lượt B D, đặt S A B C D
S ABCD V k
V
Giá trị nhỏ k bao nhiêu?
A
60 B.
30 C.
15 D. 15 16
Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi C trung điểm cạnh SC Mặt phẳng P chứa đường thẳng AC cắt cạnh SB SD, B D, Đặt
S B C D S ABCD
V m
V
Giá trị nhỏ m :
A
27 B
27 C
9 D
Câu 29: Cho khối tứ diện S ABC cạnh a Mặt phẳng P qua S trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB AC, M N, Đặt
S AMN
S ABC
V m
V
Giá trị nhỏ m
(64)A.
3. B.
2
9 C.
9. D.
1
Câu 30: Cho hình chóp S ABCD tích V đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng qua A
và trung điểm N cạnh SC cắt cạnh SB SD, tạiM P, Tính thể tích nhỏ khối chópS AMNP
A
V
B 3
8
V
C
4
V
D
3
V
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình hình hành Các điểm A, C thỏa
mãn ,
3
SA SA SC SC
Mặt phẳng P chứa đường thẳng A C cắt cạnh SB SD,
lần lượt B D, đặt S A B C D
S ABCD V k
V
Tính giá trị lớn k bao nhiêu?
A
105 B.
30 C.
15 D. 27
Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M N, thứ tự
các điểm di động cạnh AB AD, cho AB 2AD
AM AN Gọi V' thể tích khối
chóp S AMN Tìm giá trị nhỏ V'
A 1
4V B
1
6V C
8V D 3V
Câu 33: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M N, thứ tự
các điểm di động cạnh AB AD, cho AB 2AD
AM AN Gọi V' thể tích khối
chóp S MBCDN Tìm giá trị lớn V'
A.
4V B.
2
3V C.
3
4V D.
1 3V
Câu 34: Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy hình bình hành Mặt phẳng qua A,
trung điểm I SO cắt cạnh SB SC SD, , M N P, , Tính thể tích nhỏ khối chóp S AMNP
A 18
V
B
3
V
C
6
V
D.
8
V
Câu 35: Cho hình chóp S ABCD SA , đường cao, đáy hình chữ nhật với SAa AB, b AD, c
Trong mặt phẳng SDB lấy G trọng tâm tam giác SDB, qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N, mpAMN cắt SC K Xác định M thuộc SB cho
SAMKN
V đạt giá trị lớn nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ
A ax ,
8
SAMKN m SAMKN
abc abc
V V B ax ,
8 10
SAMKN m SAMKN
abc abc
(65)C ax , min
9 10
SAMKN m SAMKN
abc abc
V V D ax , min
10 11
SAMKN m SAMKN
abc abc
V V
Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A C', ' thỏa mãn
1 '
3
SA SA
, '
SC SC
Mặt phẳng P chứa đường thẳng A C' ' cắt cạnh SB SD, lần
lượt B', 'D đặt ' ' ' ' S A B C D
S ABCD
V k
V
Giá trị lớn k là?
A.
105 B.
30 C.
15 D. 27
Câu 37: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng song song với đáy
cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD M , N , P, Q Gọi M, N,P,Q hình chiếu M, N , P, Q mặt phẳng đáy Tìm tỉ số SM
SA để thể tích khối đa diện
MNPQ M N P Q đạt giá trị lớn
A 3
4 B.
3 C.
2 D.
1
Câu 38: Cho khối chóp S ABC Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC
lần lượt M ,N , P Gọi M, N,P hình chiếu M ,N, P mặt phẳng
đáy Tìm tỉ số SM
SA để thể tích khối đa diện MNP M N P đạt giá trị lớn
A.
4 B.
3 C.
2 D ..
Câu 39: Cho hình chóp S A BC D có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung
điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi
1
V thể tích khối chóp S AM PN Tìm giá trị nhỏ V1
V ?
A.
8 B.
3 C.
8 D.
Câu 40: Cho hình chóp S ABC có ASB BSC CSA30 SASBSCa Mặt phẳng
P qua A cắt hai cạnh SB SC, B C, cho chu vi tam giác AB C nhỏ Gọi V V1, 2 lầlượt thể tích khối chóp S AB C S ABC , Tính tỉ số
2
V V
A.
3 2
V
V B.
1
3
V
V C.
1
4
V
V D.
1
2
V
(66)Câu 41: Cho khối chóp S ABC có SASBSCa ASB60, BSC 90,ASC 120 Gọi
,
M N điểm cạnh AB SC cho CN AM
SC AB Khi khoảng cách
M N nhỏ nhất, tính thể tích V khối chóp S AMN
A. 72
a
B.
3
72
a
C.
3
432
a
D.
3 432
a
(67)C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cho hình chópS ABC .Trên cạnh SA lấy điểm M N, choSM MN NA.Gọi
, mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC quaM N, Khi
hai mặt phẳng , chia khối chóp cho thành phần.Nếu phần tích 10dm3tích hai phần cịn lại là?
A. 80dm3và 190dm3 B. 70dm3và 190dm3
C. 70dm3và 200dm3 D. 80dm3và 180dm3
Hướng dẫn giải: Chọn B
Đặt V VS ABC. ,V1 SS MNP. ta có:
3
1
1
3 27
SM SP SQ
V V V V
SA SB SC
3
270
V dm
Tương tự ta có :
3
3
2
80
3 27
SN SE SF
V V V V V dm
SA SB SC
Do đó:V2 80V170dm3,V3 V V 1V2 190dm3
Chọn B
Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi
, ,
M N P điểm cạnh SA SB SC, , cho 1, 2,
2 3
SM SN SP
SA SB SC
Mặt phẳng MNP cắt cạnh SD điểm Q Tính thể tích khối đa diện ABCD MNPQ
A
63V B. 10
63V C. 53
63V D. 58 63V
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt
2 SM
x
SA ,
2 SN
y
SB ,
1 SP
z
SC ,
SQ
t
SD
Ta có 1 1 3
2
t
x z y t t
F Q
E P
B
C S
(68)Do . . . 1
2 2 63
S MNPQ S MNP S PQM
V V V xyz V zxt V xz y t V V
Suy . 58
63 63
ABCD MNPQ
V V V
Câu 3: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB 3a, ADa, SA vng góc với
đáy
SA a Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD M , N, P Tính thể tích khối chóp S AMNP
A.
3
3 40
a
B.
3
3 40
a
C.
3
3 10
a
D.
3
3 30
a
Hướng dẫn giải: Chọn B
Ta có
, ,
SC SC AM SC AN SC AP
Mặt khác
CB SAB AM CB AM SBC AM SB
Tương tự ta có APSD Thể tích khối chóp ban đầu
3
1
3
3
a
V a a
Tính tỉ số x SA1
SA ,
2
2
SM SA a
y
SB SB a a ,
2
2 2
3
SN SA a
z
SC SC a a a ,
2
2 2
SP SA a
t
SD SD a a
Vậy
3 1 1 3
4 40 40
xyzt a
V V V
x y z t
Câu 4: Cho khối chóp S ABCD tích V đáy hình bình hành Điểm S thỏa mãn
0
SS k DC k Biết thể tích phần chung hai khối chóp S ABCD S ABCD
7
25V Tìm k
A. k 9 B. k6 C. k11 D. k 4 Hướng dẫn giải:
(69)Ta có AB//CD//SS nên BS A SB C, S D SC Theo Thales ta có
,
1
B S C S S S SB SC k SD
k t
B B C C DC SB SC k SD
Do
2
1 1 1
.1.1
4 1 1
1
S ADC B
k k
k k
V V V
k k
k k k k
k k
Vậy thể tích phần chung
2
2
1
25
S ADC B
k k
V V V V V k k
k k
Câu 5: Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Một mặt phẳng P song song với mặt đáy ABC cắt cạnh SA, SB, SC M , N , P Tính diện tích tam giác
MNP biết P chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. A MNP a
S B
3
16
MNP a
S C
2 MNP a
S D
2 4 MNP a S
Hướng dẫn giải: Chọn D
S MNP
S ABC
V SM SN SP SM
V SA SB SC SA
Theo ra:
2 S MNP S ABC V V
Từ 1 , 2 ta có
3 SM SA SM SA
Lại có:
,
3 = 3
1 , MNP S MNP S ABC ABC d S MNP S V
V
d S ABC S
Mà
, 1
=
,
d S MNP SM SA
d S ABC
Từ 3 , 4 ta có
3 = MNP ABC S S 2 3
2
=
2 4
MNP ABC
a a
S S
(70)Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa AD, b cạnh bên
SAc vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M điểm cạnh SA cho
0
AM x x c Tìm x để mặt phẳng MBC chia khối chóp thành hai khối đa diện tích
A 3 2
c x
B 2 3
2
ab x
c
C 3 5
2
c x
D 1
2
ab x
c
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta có SM SN c x
SA SD c
Vì
S MBC
S MBC S ABCD S ABC
V SM c x c x
V V
V SA c c
Và
2 2
2
SMNC
S MNC S ABCD
SADC
c x c x
V SM SN
V V
V SA SD c c
Vậy
2 2
2
1
2
SMNBC SABCD SABCD
c x c x c x c cx
V V V
c c c
Từ giả thiết ta có
2
2
2
3
1
2
c c x c cx
c cx x x
c
Câu 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCDlà hình thang với AB/ /CD CD4AB.Gọi M
1 điểm cạnh SA cho 0AM SA Tìm tỉ số SM
SA cho mặt phẳng CDMchia
khối chóp cho thành hai khối đa diện tích nhau:
A 13
2
SM SA
B. 26
2
SM SA
C 17
2
SM SA
D 23
2
SM SA
Hướng dẫn giải: Chọn B
Đặt x SM SN, x
SA SB
D
A B
C S
(71)Ta có
4
4
,
5
SADC ADC SABC ABC
SADC SABDC SABC SABDC
V S AD
V S AB
V V V V
Ta có
5 SMCD
SMCD SABDC SACD
V SM x
V V
V SA
2
5
SMNC
SMNC SABC SABC
V SM SN x
x V V
V SA SB
Vậy
2
4
5
SABCD
SMNCD SABCD
V x x
V V
Suy
2
4 26
5 2
x x
x
Câu 8: Cho điểmM cạnh SA, điểm N cạnh SBcủa hình chóp tam giác S ABCcó thể tích V cho 1,
3
SM SN
x
SA SB Mặt phẳng P qua
MNvà song song với SCchia khối
chóp S ABCthành hai khối đa diện tích Tính x
A
x B 10
6
x C
6
x D 10
9
x
Hướng dẫn giải: Chọn B
Trong ABS:MNABE ,
SAC:MQ/ /SC Q, AC, ABC:EQBC P
Khi / / / / 1,
3
SM CQ SN CP
NP SC MQ x
SA CA SB CB
Trong tam giác
:
1
2 1
NB MS EA SAB
NS MA EB
x EA EA x AB x
x EB EB x EB x
Ta có
2 2 8
3 3 9 EAMQ
EAMQ S ABC
V AM AQ EA x x x
V V
V AS AC BA x x x
E P
Q A
B
C S
M
(72) 3 3 1
3 3
1
8 8 10
9 3 3
EBNP
EBNP S ABC
AMQBNP
x x
V BN BP EB x
x V V
V BS BC AB x x x
x x
x x
V V V V x
x x x x
Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, GọiM , N trung điểm cạnh AB, BC svà E điểm thuộc tia đối DB cho BD k
BE Tìm
k để mặt phẳng MNE chia khối
tứ diện thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh B tích
3
11 294
a
A
5
k B. k 6 C. k 4 D. V 5
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta có diện tích khối tứ diện cạnh
a
3 12 a V BMNE ABCD BMQE
V BM BN BE
V BA BC BD
V V
Theo ta let ta có:
2
1
1 2 1
1
k
EP EQ k
EN EM k k
2
4 1
4
2
EDPQ BMQE
k
EP EQ DE k
V V V
EN EM BE k k
Do
2
0 0
4 1
4 4
BMNPQD
k k
k k k
V V V V
k
k k k
22 49 BMNPQD
V V hay
3
0
4
1
4 2 1
k
k k
V V k
k k
Câu 10: Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M N P, , trọng tâm ba tam giác ABC ABD ACD, , Tính thể tích V khối chóp AMNP
(73)P N M
H K
F E
A
B
C
D A
162
V cm B 2
81
V cm C
81
V cm D
144
V cm
Hướng dẫn giải: Chọn C
Tam giác BCD 3
3
DE DH
2 2
AH AD DH
EF , D,BC
1 1
2 2
K E FK
S d FK d BC
EF
1
3 3
SKFE K
V AH S
Mà
3
AM AN AP
AE AK AF
Lại có:
8
27 27 81
AMNP
AMNP AEKF AEKF
V AM AN AP
V V
V AE AK AF
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng BMN
chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng:
A.
5 B.
7 C.
3 D.
Hướng dẫn giải: Chọn A
Giả sửcác điểm hình vẽ
E SDMNE trọng tâm tam giác SCM ,
//
DF BCF trung
điểm BM Ta có:
, 60
6
SD ABCD SDO
a SO
,
E N
M F
O
A B
C D
S
(74)2
2
a
SF SO OF
2
6
, ;
2
2 SAD
a a
d O SAD OH h S SF AD
1 MEFD
MNBC
V ME MF MD
V MN MB MC
5 1 5
,
6 18 72
BFDCNE MNBC SBC SAD
a
V V d M SAD S h S
3
1
3 36
S ABCD ABCD SABFEN S ABCD BFDCNE
a a
V SO S V V V
Suy ra:
5 SABFEN BFDCNE
V
V
Câu 12: (Hình học khơng gian) Cho tứ diện ABCD M N P, , thuộc BC BD AC, , cho
4 , ,
BC BM BD BN AC AP Mặt phẳng MNP cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng MNP
A.
3 B.
7
13 C.
5
13 D.
1
Hướng dẫn giải:
Gọi I MNCD Q, PIAD,
kẻ DH / /BC H IM,DK / /AC K IP
ID DH BM
NMB NDH
IC CM CM
1
3 3
IK DK ID DK
DK
IP CP IC AP
APQ DKQ
Suy
3
AQ AP AQ
DQ DK AD
Đặt V VABCD Ta có: 1;
ANPQ ANCD
V AP AQ
V AC AD
1
2 10 ANCD DACN
ANPQ ABCD DABC
V V DN
V V
V V DB
1
2
1 1
2
CDMP
CDMP CDBA
V ABMP DABMP CDMP
V CM CP
V V
V CB CA
V V V V V
Q K
I P
M N
B
C A
(75)
7
20 13
ABMNQP ABMNQP ANPQ N ABMP
CDMNQP
V
V V V V
V
Vậy mặt phẳng MNP chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích 13 Chọn B
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ', có cạnh đáy a cạnh bên a Lấy M, N cạnh AB A C', ' cho '
' '
AM A N
AB A C Tính thể tích V khối
'
BMNC C
A
6 108
a
B.
2
27
a
C.
3
108
a
D
6 27
a
Hướng dẫn giải:
Gọi G, K tâm hình chữ
nhật ABB A' ' AA 'C C'
Ta có:
' 3
AM AM
AB AG
(Do G trung điểm AB’)
Xét tam giác ABA' có AG trung tuyến
3
AM
AG Suy M trọng
tâm tam giác ABA' Do BM q ua trung điểm I AA’
Ta có: ' '
' '
A N A N
A C A K
(Do K trung điểm A’C)
Xét tam giác AA 'C' có A K' trung tuyến '
'
A N
A K Suy N trọng tâm tam giác AA 'C' Do C N' qua trung điểm I
của AA’
Từ M trọng tâm tam giác ABA' N trọng tâm tam giác AA 'C' Suy ra:
1 '
IM IN
IB IC
Gọi V V1, 2 thể tích khối chóp IMNC IBCC; ' Ta có:
1
'
V IM IN IC V IB IC IC
Mà 2
8
V V V V V
K G N
M
I
H A'
B'
C'
B
(76)Hạ AH vng góc với BC H thuộc BC Ta AH vng góc với mặt phẳng
BB C C' ' AA ' song song với mặt phẳng BB C C' ' nên khoảng cách từI đến mặt phẳng
BB C C' ' khoảng cách từA đến BB C C' ' AH
Ta có:
2
2 '
3 1
; , ' '
2 BCC 2 12
a a a a
AH V d I BB C C S
Suy ra:
3
8
9 27
a V V Chọn B
Câu 14: Cho hình chóp tứgiác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên phẳng đáy thỏa mãn cos =
3
Mặt phẳng P qua AC vuông góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa
diện gần với giá trị giá trị sau:
A. 0,11 B. 0,13 C. 0, D. 0,9
Hướng dẫn giải:
S ABCD hình chóp tứgiác
SO ABCD
Gọi N trung điểm CD
, ,
CD SN CD ON
SCD ABCD CD
SCD ABCD SNO
Kẻ CM SD Ta có:
AC BD
AC SBD AC SO
AC SD SD ACM ACM SAD
nên mặt phẳng P ACM + Xét tam giác SON vuông N có:
3 cos
ON a
SN
SNO
2
2
2
2
a a
SO SN ON a
+ Xét tam giác SOD vng O có:
N O
C B
A
D S
(77)
2
2 2 10
2 `
2
a a
SD SO OD a
Ta có: 10
2 10
SCD
SN CD a
S CM SD SN CD CM
SD
Xét tam giác MCD vuông M có:
2
2 2 10 10
D
10 10
a a
M CD CM a
Ta có:
10
1 10 1
2 2 10 10 10
2
M ACD MACD
MACD SABCD SABCD SACD
a
V V DM DA DC
V V
V V DS DA DC a
Mặt phẳng P chia khối chóp S ABCD thành hai khối M ACD
9
10 SABCD MACD SABCM SABCM SABCD
S ABCM V V V V V
Do đó: 0,11
9
MACD SABCM V
V
Chọn A
Câu 15: Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA2SM ,
2
SN NB, ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu (H1)và (H2) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng ( ) , đó, (H1)chứa
điểm S, (H2) chứa điểm A; V1 V2 thể tích (H1) (H2) Tính tỉ số V V A.
5 B.
5
4 C.
3
4 D.
4
Hướng dẫn giải:
Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P, Q giao điểm ( ) với
các đường thẳng BC, AC
Ta có NP MQ SC// // Khi chia khối (H1) mặt phẳng (QNC), ta hai khối chóp
N SMQCvà N QPC Ta có:
( , ( )) (B, ( ))
N SMQC SMQC
B ASC SAC
V d N SAC S
V d SAC S ;
( , ( ))
(B, ( ))
d N SAC NS
d SAC BS ; P
N Q M
A
B
(78)2
4
9
AMQ SMQC
ASC ASC
S AM S
S AS S
Suy
2 10 27
N SMQC B ASC V
V
.QP
( , (QP )) (S, (A ))
1 2 3 27
QPC N C
S ABC ABC
S
V d N C
V d BC S
NB CQ CP SB CA CB
.QP
1
1
10 4
5
27 27 9
N SMQC N C B ASC S ABC
V V
V V
V V
V V V V V
1 V V
Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC cắt SB SC SD, , lần
lượt B C D’, ’, ’ Tính thể tích khối chóp S AB C D ’ ’ ’ theo a
A. 3 20 a B. 3 20 a C 3 10 a D. 3 10 a
Hướng dẫn giải:
, ( ) '
BCAB BC SABC SAB BC AB
( ) ' ' ( ) '
SC P SCAB AB SBC AB SB
Tương tự AD'SD
' ' ' ' ' ' ' S AB C D S AB C S AD C
V V V
' ' 2 2 2 ' ' ' '
3
4 20 S AB C
S ABC
V SB SC SB SB SC SC
V SB SC SB SC
SA SA SB SC (1) 2 ' '
2 2
' ' ' ' 3
4 20
S AD C S ADC
V SD SC SD SD SC SC SA SA
V SD SC SD SC SD SC (2)
Do
3
1
3
S ABC S ADC
a
V V a a
Cộng (1) (2) theo vếta
3
' ' ' '
' ' '
3
9 9 3
20 20 10 20
3
6
S AB C S AD C
S AB C D
V V a a
V
a a
Chọn A
(79)Câu 17: Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc
giữa hai mặt phẳng (P) (BCD) có số đo thỏa mãn tan
7
Gọi thể tích hai
tứ diện ABCE tứ diện BCDE V1 V2 Tính tỷ số V V A.
8 B.
1
8 C.
3
5 D.
5
Hướng dẫn giải:
+) Gọi M trung điểm BC
Khi BC(MAD) nên (P)(AMD);
(P)(AMD) =ME
Kẻ AHME AH(BCE) (do AH
(AMD))
Kẻ DKME nên DK(BCE) (do DK
(AMD)) Hiển nhiên AH song song DK
Khi
2 A BCE D BCE V
V AH
V V DK
+) Gọi góc (P) (ABC) (
2
) Hiển nhiên DME ;
AME
Vì AM = DM nên:
2
sin
sin sin sin
sin
V AH
t
DK V
(1)
+) Trong tam giác OMA: os( ) os cos sin
3
MO
c c sin
MA
(2)
Từ (1) có: cos sin 2 1t2.sin2 1t x2 ; với x=sin2
Thay vào (2) ta có: (1 )(1 )
3
t x x t x t x x t x
+) Giải phương trình có: 2
(9 9)
x
t t
Vì
2
2
2 2
8 9
sin tan
1 9 9
x t t
x
x t t t t t t
Theo giả thiết suy 2 2
3
8 50 196 171
9
19
9 49 25 25
15
t
t t t t
t t
t
M A
B
C
D E
H
(80)Vậy ABCE DBCE V V
Chọn C
Câu 18: Cho khối chóp S ABC có SA6,SB2,SC 4,AB2 10 SBC90 , ASC120 Mặt phẳng P qua B trung điểm N SC vng góc với mặt phẳng SAC cắt cạnh SA M Tính tỉ số thể tích
S MBN S ABC V V A.
9 B.
5 C.
6 D.
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta có: S MBN S ABC
V SM SN
k V SA SC với
SM k
SA
Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:
90 ; 60 ; 120
ASB BSC ASC
Đặt
6, 2,
; ;
0; 4; 12
a b c
SA a SB b SC c
a b b c a c
Vì BMN SAC nên kẻ
,
BH MN HMN BH SAC
Khi đó: BH x BM.1x BNx SM SB1xSN SB
1 1
2
x x k a b x c b kxa b c
Lại có:
1
0
1
0
x
a kxa b c
BH SA BH SA
BH SAC
BH SC BH SC x
c kxa b c
36 3
1
12
3 k kx x kx x x
Vậy
1 1
2
S MBN S ABC
V SM SN
k
V SA SC
(81)Câu 19: Khối tứ diện ABCD tích V , khối tứ diện A B C D1 1 tích V1, đỉnh 1, 1, 1,
A B C D trọng tâm tam giác BCD CDA DAB ABC, , , Khối tứ diện
2 2
A B C D tích V2, đỉnh A B C D2, 2, 2, 2 trọng tâm tam giác
1 1
B C D , C D A1 1 1, D A B1 1 1, A B C1 1 1 Cứ tiếp tục thếta khối tứ diện A B C Dn n n n
tích Vn, đỉnh A B C Dn, n, n, n trọng tâm tam giác B Cn1 n1Dn1,
1 1 n n n
C DA , Dn1A Bn1 n1, A B Cn1 n1 n1 Tính S V1V2 V2018?
A
2018
2018
3
2.3
V
S B
2019
2019
27
26.27
V
S
C
2018
2018
27
26.27
V
S D
2019
2019
3
2.3
V
S
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta có
3
1
1 27
V V V
3
2 1
1 1
3 27 27
V V V V
…
3 2018
2018 2017
1
3 27
V V V
2018
2018
2 2018
2018
1
27
1 1 27
1
27 27 27 27 1 26.27
27
V
S V V
Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C Gọi M N, thuộc cạnh bên AA CC,
sao cho MAMA NC; 4NC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hỏi bốn khối tứ
diện GA B C BB MN ABB C , , A BCN , khối tứ diện tích nhỏ nhất?
A. Khối A BCN B.Khối GA B C C.Khối ABB C D.Khối BB MN
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi V thể tích khối lăng trụđã cho
Ta có:
2 M BB C C A BB C C A BB C C
(82)Và
1 1
2
BB N CBB BB C C A BB C A BB C C
S S S V V V
Và
1 1
2
BB N CBB BB C C BB MN M BB C C
S S S V V V
Chú ý:
4 2
5 3 15
BCN BCC BB C C A BCN A BB C C
S S S V V V
Chọn A
Câu 21: Cho hình lăng trụtam giác ABC A B C ’ ’ ’, có cạnh đáy cạnh bên Lấy M N, cạnh AB A C’, ’ cho Tính thể tích V khối
’
BMNC C
A B C D
Hướng dẫn giải:
Gọi G, K tâm hình chữ nhật ABB’A’ AA’C’C
Ta có: (Do G trung điểm AB’)
Xét tam giác ABA’ có AG trung tuyến Suy trọng tâm tam giác ABA’ Do BM qua trung điểm I AA’
Ta có: (Do K trung điểm
A’C)
Xét tam giác AA’C’ có A’K trung tuyến Suy N trọng tâm tam giác AA’C’ Do C’N qua trung điểm I AA’
Từ trọng tâm tam giác ABA’ N trọng tâm tam giác AA’C’ Suy ra:
Gọi thể tích khối chóp IMNC; IBCC’ Ta có:
a a
'
' '
AM A N AB A C
3 6
108
a 2 6
27
a 3 6
108
a 6
27
a
1
' 3
AM AM
AB AG
2 AM AG M
' '
' '
A N A N
A C A K
'
'
A N A K
M
1
'
IM IN IB IC
1;
V V
H K
G M
N
I B'
C'
A C
(83)Mà Suy
Hạ AH vng góc với BC H thuộc BC Ta AH vng góc với mặt phẳng
(BB’C’C) AA’ song song với mặt phẳng nên khoẳng cách từI đến mặt phẳng (BB’C’C) khoẳng cách từA đến (BB’C’C) AH Ta có:
Suy
Chọn B
Câu 22: Cho khối lập phương ABCD A B C D cạnh a Các điểm E F trung điểm C B C D Mặt phẳng AEF cắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V1
thể tich khối chứa điểm A V2 thể tich khối chứa điểm C' Khi V V A. 25
47 B.1 C. 17
25 D. 17
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng EF cắt A D N, cắt
A B M , AN cắt DD P, AM cắt
BB Q Từđó mặt phẳng AEF cắt khối lăng trụ thành hai khối
ABCDC QEFP AQEFPB A D Gọi V VABCD A B C D , V3 VA A MN ,
4 PFD N, QMB E
V V V V
Do tính đối xứng hình lập phương nên
ta có V4 V5
3
1 3
6 2
a a a
V AA A M A N a ,
3
1
6 2 72
a a a a V PD D F D N
3
25
72
a V V V ,
3
2
47 72
a
V V V Vậy
25 47
V
V Chọn A
1
1
'
V IM IN IC
V IB IC IC V1 V V2
8 V V
BB C C' '
3
a
AH
2 '
1
; ' '
3 BCC 2 12
a a a
V d I BB C C S 2
9 27
a
(84)Câu 23: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M N, trung điểm
' '
A B BC Mặt phẳng DMN chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi
H khối đa diện chứa đỉnh A H, ' khối đa diện cịn lại Tính tỉ số
'
H H V V A
'
37 48
H H V
V B
'
55 89
H H V
V C
'
2
H H V
V D
'
1
H H V
V
Hướng dẫn giải:
, '
ANNDJ JMBB K Ta có: BK 2 ' ;B K IA D' ' Ta có: ' ' '
4
A I D D Suy thiết diện KMIDN
H ABA KMIDN' D ABKMA ' D BKN D MA I '
V V V V V
3
3
3 '
'
1 1 1 55
3 3 2 3 2 144
55 89 55
144 144 89
H H
H
a a a a a a a
a a a a
V
a a
V a
V
Chọn B
Câu 24: Cho hình lập phương ABCD A B C D
cạnh a Gọi M N, trung điểm cạnh A B BC Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A V, 2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số
2
V
V
A.
3 B. 55
89 C. 37
48 D.
N M
K I
C'
C D
A B
D'
A' B'
(85)Hướng dẫn giải
Gọi H ABDN; MH cắt B B' K, cắt A A' S; SD cắt A D' ' E Thiết diện tương ứng ngũ giác DNKME
Phần đa diện chứa A tích là: V1VS ADH VS A EM ' VK BNH
Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BABH ; AH 4 'A M; AD4 'A E
1 ' ' '
3
SA B K A A
Đặt độ dài cạnh hình lập phương 1thì: ' 1;
3
SA KB
Ta có: . 1 1.2
6
S ADH
V SA AD AH
'
1
64 144 S A EM S ADH
V V ;
1
8 18 K BNH S ADH
V V
Vậy phần đa diện chứa A tích là: 1 55
914418144
Suy phần đa diện khơng chứa A tích là: 13 55 89 144 144
Chọn B
Câu 25: Cho hình hộp ABCDA B C D’ ’ ’ ’ Gọi M trung điểm A’B’ Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B D’ ’ Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối tích
1,
V V (Trong V1 thể tích khối chứa A) Tính tỉ số V F
V
A
17 B.1 C. 17
25 D. 17
Hướng dẫn giải:
*Gọi N trung điểA’D’ Khi P BDNM)
E
K
N M A'
A
N M A'
A
D C
B B'
C'
D' D' C'
B'
B
C D
S
(86)Thấy BMDNAA’=I
Khi đó: V1=V(A’MNABD); V2=V-V1 (Với V thể tích hình hộp)
* Ta có: ( ' ) ( )
( A'B'D') ( ' ' ')
V IA MN S AMN V A S A B D
* Mà: (AA'B'D')
6
V
V nên có:
1 ( ' )
24
V IA MN V
* Lại có: ( ' ) '
( )
V IA MN IA IM IN V IABD IA IB ID
*Vậy: ( )
V IABD V
* Do đó: 1 1
3 24 24
V V V V nên 2 1 17
24
V VV V
Vậy:
7 17
V V Chọn A
Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’. Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB,
AA’ và B’C’ Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
A. 25
47 B.1. C. 49
95 D. 17
Hướng dẫn giải:
Chứng minh EI = IJ = JF Từđó suy
'
' '
EB EM FA
EB EK FB Lại từđó suy
1
FN
FK
Ta có: d(K, A'B') = (1/2)d(C', A'B'), FB' = (3/2)A'B' Suy
SKFB’ = (3/4)SA’B’C’
Mặt khác
'
EB
EB nên suy d(E, (KFB’)) = (3/2)h (h
chiều cao lăng trụ)
Do VEKFB’ = (3/8)V (V thểtích lăng trụ) '
1 1
' 3 27
EBIM EB FK
V EI EM EB
V EF EK EB nên VEBIM =
27 8V 72V '
'
' 1 1
' 3 18
FA JN FB EK
V FJ FA FN
V FE FB FK nên VFA’JN =
1
18 8V 48V
Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa điểm B'
V2 thể tích phần chứa điểm C
C I
N
M
D
B C'
A'
B' D'
A
N F
M E
K J
I
B'
C' A'
C
(87)Ta có V1 = (3/8 – 1/72 – 1/48)V = (49/144)V nên V2 = (95/144)V.
Do
2
49 95
V
V Chọn C
CỰC TRỊ TỈ LỆ THỂ TÍCH
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A, C thỏa
mãn ,
3
SA S A SC SC
Mặt phẳng P chứa đường thẳng A C cắt cạnh SB SD, B D, đặt
S A B C D
S ABCD V k
V
Giá trị nhỏ k bao nhiêu?
A.
60 B.
30 C.
15 D.
15 16
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đặt V VS ABCD. , ta có: SB SD SA SC
SBSD SASC
Đặt x SB 0,y SD
SB SD
x y 1
x y
1
1 15 30
2
S A B C
S A B C
V SA SB SC
x V xV
SA SB SC V
1
1 15 30
2
S A D C
S A D C
V SA SD SC
y V yV
SA SD SC V
Do
1 30
S A B C D S ABCD V
k x y
V
1
8 60
x y k
Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi C trung điểm cạnh SC Mặt phẳng P chứa đường thẳng AC cắt cạnh SB SD, B D, Đặt
S B C D S ABCD V m
V
Giá trị nhỏ m :
A
27 B.
27 C.
9 D.
(88)Đặt
1
1
2
S B C D S ABCD
V SB SC SD
V V xy
SB SC SD V
1
;
SB SD
m xy x y
SB SD
;
1
1
SA SC x y SA SC
Sử dụng bất đẳng thức AM GM ta có 1
9
xy m
x y xy
Câu 29: Cho khối tứ diện S ABC cạnh a Mặt phẳng P qua S trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB AC, M N, Đặt
S AMN S ABC V m
V
Giá trị nhỏ m
bằng
A.
3. B.
2
9 C.
9. D.
1
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta có AMN
ABC
S AM AN
m xy
S AB AC
Gọi O trọng tâm tam giác ABC, đặt
; , 0;1
AM AN
x y x y
AB AC
Ta có D trung điểm AB, giả sử
AM AD đặt ABa
Áp dụng định lí Meneleuys cho tam giác
ACD có MD OC NA
MA OD NC
2
a xa
ya
xa a ya
2x1yx1y3xy x y2 xy
4
m xy
Câu 30: Cho hình chóp S ABCD tích V đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng qua A trung điểm N cạnh SC cắt cạnh SB SD, tạiM P, Tính thể tích nhỏ khối chópS AMNP
A
V
B.
8
V
C
4
V
D
3
V
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta có 1, , 1,
2
SA SN
x y z t
SA SB SC
M
S
S SP
D
D
O
B C
A
(89)Và 1 1 1
x z y t y t
Do . 1 1 13 3
4 4
S AMNP
xyzt V
V V yt ytV
x y z t
Mặt khác .
3 S AMNP
yt
y t V
yt yt V
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình hình hành Các điểm A, C thỏa
mãn ,
3
SA SA SC SC
Mặt phẳng P chứa đường thẳng A C cắt cạnh SB SD, B D, đặt
S A B C D
S ABCD V k
V
Tính giá trị lớn k bao nhiêu?
A.
105 B.
30 C.
15 D. 27
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt V VS ABCD , ta có:
SB SD SA SC
SBSD SASC
Đặt x SB 0,y SD
SB SD
1
1 15 30
2
S A B C
S A B C
V SA SB SC
x V xV
SA SB SC V
1
1 15 30
2
S A D C
S A D C
V SA SD SC
y V yV
SA SD SC V
Do
1 30
S A B C D S ABCD V
k x y
V
1
x y
Khơng tính tổng qt, giả sử x 1 y
, từ 1
8
y x
x y y
1
30 30
y
k x y y
y
với 1
4y Ta có 2
1
1 0, y ;1
30
k
y
Vậy max
1
1
30 105
k k
(90)Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M N, thứ tự
các điểm di động cạnh AB AD, cho AB 2AD
AM AN Gọi V' thể tích khối
chóp S AMN Tìm giá trị nhỏ V'
A 1
4V B.
1
6V C.
1
8V D.
1 3V
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt
1 1 2
;
4
AB AD x
y x
AM x AN y x y x
2
1
'
2 4
SAMN S ABCD
V AM AN x x
xy V V
V AB AD x x
2
1 ;1
1
min
4
x
x x
Câu 33: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M N, thứ tự
các điểm di động cạnh AB AD, cho AB 2AD
AM AN Gọi V' thể tích khối
chóp S MBCDN Tìm giá trị lớn V'
A 1
4V B.
2
3V C.
3
4V D.
1 3V
Hướng dẫn giải: Chọn C
Đặt
1 1 2
;
4
AB AD x
y x
AM x AN y x y x
2
1
'
2 4
SAMN S ABCD
V AM AN x x
xy V V
V AB AD x x
2
1 ;1
3
max
4
x
x x
Câu 34: Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy hình bình hành Mặt phẳng qua A,
trung điểm I SO cắt cạnh SB SC SD, , M N P, , Tính thể tích nhỏ khối chóp S AMNP
A 18
V
B
3
V
C
6
V
D.
8
V
D
A B
C S
N
M D
A B
C S
N
(91)Hướng dẫn giải:
Chọn C
Với x SA
SA
,
3
SM y
SB
,
2
SN z
SC
,
SP t
SD
ta có 1 1
xz yt Xét tam giác SAC
ta có
1
2
1
4
SO SC
SO SA SC SI SA SN
SI SN
SI SA SN
z
Mặt khác điểm A I N, , thẳng hàng nên
1 1
1
44z z3
Vậy
2
1
;1
1 1
min
4
S AMNP
xyzt t V
V V f t V f t f
x y z t t
Dấu xảy 1;
2
t y tức qua trung điểm SB SD,
Câu 35: Cho hình chóp S ABCD SA , đường cao, đáy hình chữ nhật với SAa AB, b AD, c Trong mặt phẳng SDB lấy G trọng tâm tam giác SDB, qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N, mpAMN cắt SC K Xác định M thuộc SB cho
SAMKN
V đạt giá trị lớn nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ
A ax , min
8
SAMKN m SAMKN
abc abc
V V B ax , min
8 10
SAMKN m SAMKN
abc abc
V V
C ax , min
9 10
SAMKN m SAMKN
abc abc
V V D ax , min
10 11
SAMKN m SAMKN
abc abc
V V
Hướng dẫn giải:
Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD
Ta có:
3
SG SO K AGSC K trung điểm
SC
1 1
2 12
SMAK
SMAK SBAC SBAC
SBAC
V SM SA SK SM SM SM
V V V a b c
V SB SA SC SB SB SB
Tương tự
12 SNAK
SN
V a b c
SC
M
G K
O
C D A
B S
N
P N
I
O
C
A D
B
S
(92)Do đó: 12
SAMKN
SM SN
V a b c
SB SC
Trong mp SBD:
2 2
SMN SMG SGN SMG SGN
SBD SBO SBO SBO
S SM SN S S S S SG SM SG SN SM SN SM SN
S SB SC S S S SO SB SO SB SB SC SB SC
Do M, N nằm cạnh SB, SD nên: 1
2
SB SM
SM SB
SB
Đặt , 1
2
SM
t t
SN
1
3
SN SN SN t
t t
SC SC SC t
Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN, GTNN nếu:
3
SM SN t
f t t
SB SC t
với
1 2 t
Ta có
2
2
1
'
3
t t f t
t t
Nên ' 2,
3
f t t t (loại)
1 3
, ,
2 2 3
f f f
Do
8 SAMKN
abc
V GTLN M trung điểm SB M trùng với B
9 SAMKN
abc
V GTNN MB chiếm phần SB Chọn A
Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A C', ' thỏa mãn
1 '
3
SA SA
, '
SC SC
Mặt phẳng P chứa đường thẳng A C' ' cắt cạnh SB SD, lần
lượt B', 'D đặt ' ' ' ' S A B C D
S ABCD V k
V
Giá trị lớn k là?
A.
105 B.
30 C.
15 D. 27
Hướng dẫn giải: Chọn A
H
M G
O
D
B S
(93)Đặt V VS ABCD. , ta có
' '
SB SD
SB SD ' '
SA SC
SA SC 3
Mặt khác ' ' ' '. '. '
1 15
2
S A B C
V SA SB SC
x SA SB SC
V
' ' '
30 S A B C
V xV
' ' '
' ' '
' ' '
1 15
2
1 30
S A C D
S A C D
V SA SD SC
y SA SD SC
V
V yV
Do ' ' ' '
1 30
S A B C D S ABCD V
k x y
V
,
'
SB x
SB
, y SD' SD
Và
1 ;1
1
( ) max ( ) (1)
30 105
x
k f x x f x f
x
Câu 37: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng song song với đáy
cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD M , N, P, Q Gọi M, N,P,Q hình chiếu M , N, P, Q mặt phẳng đáy Tìm tỉ số SM
SA để thể tích khối đa diện
MNPQ M N P Q đạt giá trị lớn
A 3
4 B.
3 C.
2 D.
1
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Đặt SM x
SA 0x1, kí hiệu V , h
là thể tích chiều cao khối chóp cho, theo Thales ta có: MN NP PQ SM x
AB BC CD SA ;
và
,
1 ,
d M ABCD AM
x SA
d S ABCD
, 1
d M ABCD x h
Vì vậy: VMNPQ M N P Q. MN MQ d M ,ABCD
1
x x AB AD h
3x21x V
P' Q'
N' A
P M'
Q
D
C B
N M
(94)Sử dụng bất đẳng thức AM GM ta có:
1
x x 2 2x x x
3 2
2 27
x x x
Do .
9 MNPQ M N P Q
V V Dấu " " xảy x 2 2x
2
x
Chọn B
Câu 38: Cho khối chóp S ABC Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC
lần lượt M ,N, P Gọi M, N,P hình chiếu M ,N, P mặt phẳng
đáy Tìm tỉ số SM
SA để thể tích khối đa diện MNP M N P đạt giá trị lớn
A 3
4 B.
3 C.
2 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Đặt SM x
SA 0x1, kí hiệu V , h
là thể tích chiều cao khối chóp cho, theo Thales ta có: MN NP MP SM x
AB BC CA SA ;
và
,
1 ,
d M ABC AM
x SA
d S ABC
, 1
d M ABC x h
;
MNP ABC
S x S
Vì vậy: VMNP M N P. SMNP.d M ,ABC
1 ABC
x x S h
2
3x x V
Sử dụng bất đẳng thức AM GM ta có:
1
x x 2 2x x x
3 2
2 27
x x x
Do
9 MNPQM N P
V V Dấu " " xảy x 2 2x
2
x
Chọn B
Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung
điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi
1
V thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ V1
V ?
A.
8 B.
3 C.
8 D. B
N'
P' A
P
M' N
C M
(95)Hướng dẫn giải: Chọn D
Gọi O tâm hình bình hành ABCD G trọng tâm tam giác SAC
Ta có M G N, , thẳng hàng Do ABCDlà hình bình hành nên . . .
2 S ADC S ABC S ABCD
V V V
Theo công thức tỉ số thể tích ta có:
1
1
2
S AMP S AMP S AMP
S ADC S ABCD
S ABCD
V SM SP V SM V SM
V SD SC SD V SD
V Tương tự 1
1 2 4
2
S ANP S ANP S ANP
S ABC S ABCD
S ABCD
V SN SP V SN V SN
V SB SC SB V SB
V
Từđó suy
4
S AMP S ANP S ABCD S ABCD
S AMNP S ABCD
V V SM SN
V V SD SB
V SM SN
V SD SB
Hay 1
4
V SM SN
V SD SB
Ta chứng minh SD SB
SM SN
Thậy vậy, qua B D, kẻcác đường song song với MN cắt SO E F,
Ta có: SD SF SB; SE SD SB SE SF
SM SG SN SG SM SN SG
2 3
2
SD SB SO
SM SN SG
Đặt SD x;SB y
SM SN Ta có xy3
Mặt khác
2
1 1 3
4 4
V SM SN x y
V SD SB x y xy xy x y
Vậy V1
V nhỏ
1
Câu 40: Cho hình chóp S ABC có ASB BSC CSA30 SASBSCa Mặt phẳng
P qua A cắt hai cạnh SB SC, B C, cho chu vi tam giác AB C nhỏ Gọi V V1, 2 lầlượt thể tích khối chóp S AB C S ABC , Tính tỉ số
2 V V A.
2
3 2
V
V B.
1
3
V
V C.
1
4
V
V D.
1
2
V
V
Hướng dẫn giải: Chọn C
S
B O D
(96)Đặt
, V
SB SC SB SC
x y x y
SB SC V SB SC
Khi đó:
2 2
2
2 2
2 .cos
2 .cos 30
AB SA SB SA SB ASB
a ax a ax a x x
2
1
AB a x x
Tương tự: AC a 1 3yy2 ,
2
3
B C a x xyy
Ta có:
2 2
2
1 3
p AB AC B C
a x x y y x xy y
2 2 2
2
3
1
2 2
a y y x x x x
2 2
2 2
3 1
1 ( 1 )
2 2
a x x a x x a x x x x
2 2
2
1 3 1
2
2 2 2 2
a x x a a
Dấu xảy khi:
2
2
3
2 , 3 1 3 1 3 1 4 3
3
y x
V
x x x y
V y
Câu 41: Cho khối chóp S ABC có SASBSCa ASB60, BSC90,ASC 120 Gọi ,
M N điểm cạnh AB SC cho CN AM
SC AB Khi khoảng cách M N nhỏ nhất, tính thể tích V khối chóp S AMN
A.
2 72
a
B.
3
5 72
a
C.
3
5 432
a
D.
3
2 432
a
Hướng dẫn giải:
Chọn C
S
A
C
B
(97)Ta tích khối chóp S ABC
2
3
0
1
1
6 2 12
a a
V
Đặt CN AM m0 m 1
SC AB , ta có
, ,
SAa SBb SCc
, a b c a,
2
, 0,
2
a a
a b b c a c
Theo đẳng thức ta có đẳng thức vectơ
1 ,
SN m c SM SAAM am ABam b a
1
1
MN SN SM m c a m b a
m a mb m c
Do
2
2
2
1
11
3
12
MN m a mb m c
a
m m a
Dấu xảy
3
0
5
6
5
1
6 12 432
S AMC
SN SN AM
m V V V
SC SC AB
a a
m m V
b c
a
C A
B S
(98)1,8dm
1dm
1dm
1,2m
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144m, đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230m Các lối
và phòng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10
xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 3
2,5.10 kg m/ Số lần vận chuyển đá đểxây đủ dựng kim tự tháp là:
A. 740600 B. 76040 C. 7406 D. 74060
Câu 2: Một hộp đựng chocolate kim loại có hình dạng lúc mở nắp hình vẽdưới Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ sữa ngọt, phần cịn lại phía chứa
đầy chocolate ngun chất Với kích thước hình vẽ, gọi xx0 giá trị làm cho hộp
kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V0 Tìm V0
A. 48 đvtt B.16 đvtt C.64 đvtt D. 64
3 đvtt
Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt rubic có ô vuông), biết chu vi ô (ô hình vuông mặt) 4cm
A. 27 cm3 B.1728 cm3 C.1 cm3 D. cm3
Câu 4: Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình2 Biết cạnh hình vng 20cm, OM x cm Tìm x để hình chóp tích lớn nhất?
A. x9cm B. x8cm
C. x6cm D. x7cm
Câu 5: Người ta muốn xây bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp
3m; 1, 2m; 1,8m (người ta xây hai mặt thành bể hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi
người ta sử dụng viên gạch để
xây bể thể tích thực bể chứa
(99)kể)
A. 738 viên, 5742 lít B 730 viên, 5742 lít
C. 738 viên, 5740 lít D 730 viên, 5740 lít
Câu 6: Cho nến hình lăng trụ lục gác có chiều cao độ dài cạnh đáy 15cm
và 5cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Thể tích hộp
A. 1500 ml B. 600 ml C. 1800 ml D. 750 ml
Câu 7: Một miếng bìa hình trịn có bán kính 20cm Trên biên miếng bìa, ta xác định điểm , , , , , , ,
A B C D E F G H theo thứ tựchia đường tròn thành phần Cắt bỏ theo nét liền hình vẽđểcó hình chữ thập ABNCDPEFQGHM gấp lại theo nét
đứt MN NP PQ QM, , , tạo thành khối hộp khơng nắp Thể tích khối hộp thu là:
A
4000 2 2
2
B
3
4000 2
2
C. 4000 2 2 2 D 4000 2
Câu 8: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD60cm, AB40cm Ta gập nhôm theo hai cạnh MN PQ vào phía AB DC trùng hình vẽ
bên để dược hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi tạo khối lăng trụ với thể
tích lớn
A 4000 cm3 B 2000 cm3 C 400 cm3 D 4000 cm3 Câu 9: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD60cm Ta gấp nhôm theo cạnh
(100)A. x20 B. x15 C. x25 D. x30
Câu 10: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x cm Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương, cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập
phương có độ dài y cm hình vẽ bên Tìm thể tích V khối gỗ sau đục biết x80cm y; 20cm
A. 490000cm3 B. 432000cm3 C. 400000cm3 D. 390000cm3
Câu 11: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằngx cm .Ở mặt hình lập
phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện,tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập
phương có độ dài y cm (như hình vẽ bên).Tính tỉ số S
V ,trong V khối gỗ sau đục S tổng diện tích mặt (trong ngồi)khối gỗsau đục
A.
2
x y
S
V x y x y
B.
3
2
x y
S
V x y x y
(101)C.
2
x y
S
V x y x y
D.
2
x y
S
V x y x y
Câu 12: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V m 3 , hệ số k cho trước (k - tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x y h, , 0 chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x y h, , 0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu x y h, ,
A
3
3 2
2
2 2
2 ; ;
4
k V kV k k V
x y h
k k
B
3
3 2
2
2 2
; ;
4
k V kV k k V
x y h
k k
C
3
3 2
2
2 2
; ;
4
k V kV k k V
x y h
k k
D
3
3 2
2
2 2
; ;
4
k V kV k k V
x y h
k k
Câu 13: Cho nhôm hình vng cạnh 1m hình vẽdưới Người ta cắt bỏ tam giác cân bên nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứgiác có cạnh đáy
bằng x m , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để
khối chóp nhận tích lớn
A. 2
5
x B.
2
x C.
4
x D.
3
x
Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện tất cạnh a, người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp đểchia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bịcưa mặt phẳng nói
A
3
4
a
B
2
3
4
a
C
2
3
4
a
. D
2
3
4
a
(102)Câu 15: Người thợ cần làm bểcá hai ngăn, khơng có nắp
phía với thể tích 1, 296m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a b c, , hình vẽ Hỏi người thợ
phải thiết kế kích thước a b c, , để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính khơng đáng
kể
A. a3, ;m b0, ;m c0, 6m B. a2, ;m b0,9 ;m c0, 6m C. a1,8 ;m b1, ;m c0, 6m D. a1, ;m b1, ;m c0,9m
Câu 16: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng
đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h tích Hãy tính chiều cao hồnước cho chi phí xây dựng thấp nhất?
A. m B. h2 m C
2
h m D
2
h m
Câu 17: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72dm3 chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích
thước a b, (đơn vịdm) hình vẽ
Tính a b, để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính
như khơng ảnh hưởng đến thể tích bể
A. a 24, b 24 B a3, b8 C. a3 2, b4 D a4, b6
Câu 18: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, nắp phía với thể tích 1,296 m3
Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, cnhư hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kếcác kích thước a, b, c đểđỡ
tốn kính nhất, giả sửđộ dầy kính khơng đáng kể A. a3, ;m b0, ;m c0, 6m
B. a2, ;m b0, ;m c0, 6m C. a1,8 ;m b1, ;m c0, 6m D. a1, ;m b1, ;m c0,9m
b dm a dm
3 dm
c
(103)Câu 19: Từ tôn có kích thước 90cmx3m người ta làm máng xối nước mặt cắt hình thang ABCDcó hinh Tính thể tích lớn máng xối
A 40500 3cm3 B 40500 2cm3 C 40500 6cm3 D 40500 5cm 3 Câu 20: Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước 0,9m3m người ta gấp tơn
như hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt
đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tơn Hỏi x m bằng thể tích máng xối lớn nhất?
A. x0,5m B. x0, 65m C. x0, 4m D. x0, 6m
Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bểnước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d m và chiều rộng r m với d 2 r Chiều cao bểnước h m và thể
tích bể 2m3.Hỏi chiều cao bểnước chi phí xây dựng thấp nhất?
A. 3
2 m B.
3
3 m C.
3
2 m D.
2
3 m
Câu 22: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để
làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ
A
xV B.
x V C
1
xV D. x V
Câu 23: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ơng A định mua tặng vợ quà
đặt vào hộp có thểtích 32 ( đvtt) có đáy hình vng khơng có nắp
Để q trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị
phải là?
A B C D
3m 90cm
3m
30cm
30cm 30cm
D
B C
A
h; x h; x
x2; h4 x4; h2 4;
2
x h x1;h2
3m
0, 9m 0, 3m
0, 3m x m
0, 3m
3m
0, 3m
x
x
(104)Câu 24: Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 m đặt song song cách mặt đất h m Nhà có trụ A B C, , vng góc với ABC Trên trụ A người ta lấy hai
điểm M N, cho AM x AN, y góc MBCvà NBCbằng 90để mái phần chứa đồbên Xác định chiều cao thấp nhà
A. B.10 C. 10 D. 12
Câu 25: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thểtích xác định V cho
trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án
A 3 2V2 B 63V2 C 3 63 V2 D 3 23 V2
Câu 26: Một bác thợ gò hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích
3
665,5 dm Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh x dm( ), chiều cao h dm( ) Để làm thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng ngun liệu
A. 10, 5(dm) B.12(dm) C. 11(dm) D. 9(dm)
Câu 27: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứgiác tích V Để
làm thùng hàng tốn nguyên liệu chiều cao thùng đựng đồ
A
xV B.
x V C
1
xV D. x V
Câu 28: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sửlượng xi măng cát khơng đáng kể)
A. 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít
C. 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8800 lít
Câu 29: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứgiác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng
trụtam giác (như hình vẽ) Gọi V V1, 2lần lượt thể tích lăng trụ tứgiác lăng
trụtam giác So sánh V1 V2
h h
h h
x
(105)A. V1V2 B V1 V2 C V1V2 D.Không so sánh
(106)B – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144m, đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230m Các lối
và phòng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10
xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2,5.103kg m/ Số lần vận chuyển đá đểxây đủ dựng kim tự tháp là:
A. 740600 B. 76040 C. 7406 D. 74060
Hướng dẫn giải: Chọn D
Gọi cạnh hình chóp a230,chiều cao h144
Thể tích kim tự tháp: 2 539 002 3
V ha m
Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V 1777 440m3 Gọi x số lần vận chuyển Đểđủđá xây dựng kim tự
tháp
Câu 2: Một hộp đựng chocolate kim loại có hình dạng lúc
mở nắp hình vẽ Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ
sữa ngọt, phần lại phía chứa đầy chocolate nguyên chất Với kích thước hình vẽ, gọi xx0 giá trị làm cho hộp kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V0 Tìm V0
A. 48 đvtt B.16 đvtt C.64 đvtt D. 64
3 đvtt
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Đây dạng tốn ứng dụng thực thể kết hợp với phần tính thể tích khối
đa diện hình học phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đa thức học chương I phần giải thích
Trước tiên ta nhận thấy
2
6 12 2
V x x x x x
2x x 12x 36 2x 24x 72x
Xét hàm số
2 24 72
(107)
' 48 72; '
2
x
f x x x f x
x
Khi
0;6
max f x f 64 đvtt Đến nhiều quý độc gỉ vội vã khoanh C mà khơng
đắn đo Tuy nhiên, vội vã bạn sai, đề u cầu tìm thể tích chocolate ngun chất mà khơng phải thể tích hộp ta cần Tức 1
4
thể tích hộp tức 3.64 48
4 đvtt
Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt rubic có vng), biết chu vi (ơ hình vng mặt) 4cm
A. 27 cm3 B.1728 cm3 C.1 cm3 D.9 cm3
Hướng dẫn giải:
Đây tốn ăn điểm, đọc khơng kĩ câu chữtrong đềbài độc giả
rất sai
Ta có khối rubic sau:
Hướng sai 1: Nghĩ cạnh ô vuông nên chiều dài cạnh khối rubic
3
4.3 12 12 1728
a V B
Hướng sai 2: Nghĩ chu vi ô vuông tổng độ dài 12 cạnh nên chiều dài cạnh
3, nên độ dài khối rubik
3
.3 1
a V C
Hướng sai 3: Nhầm cơng thức thể tích sang cơng thức tính diện tích nên suy ý D
Cách làm đúng: Chu vi ô nhỏ cm nên độ dài cạnh nhỏ 1cm, độ dài cạnh khối rubic
3
3.1 3.3.3 27
a cmV cm
Chọn A
Câu 4: Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình2 Biết cạnh hình vng 20cm, OM x cm Tìm x để hình chóp tích lớn nhất?
A. x9cm B. x8cm
C. x6cm D. x7cm
(108)1,8dm
1dm
1dm
3m
1,2m
Ta có: OM x AC2x, AM 2x Suy ra:
2
x OH ,
2
x
MH , 10 2
x
SH
2
2 10
20 10
2 2
x x
SO SH OH x
2
1 20
20 10 40
3 đáy 3
V SO S x x x x
5 15
2
20 20 40 20
40
3
x x x x x
V x x x x
Dấu " " xảy 40 4 xxx8
Câu 5: Người ta muốn xây bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp
3m; 1, 2m; 1,8m (người ta xây hai mặt thành bể hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi
người ta sử dụng viên gạch để
xây bể thể tích thực bể chứa
lít nước? (Giả sửlượng xi măng cát khơng đáng
kể)
A. 738 viên, 5742 lít B 730 viên, 5742 lít
C. 738 viên, 5740 lít D 730 viên, 5740 lít
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Thể tích bể V 18.11.295742 l
Thể tích viên gạch 1dm3, thể tích cần xây dựng (30 11).18 738dm3, suy số
viên cần dùng 738 viên
Câu 6: Cho nến hình lăng trụ lục gác có chiều cao độ dài cạnh đáy 15cm
và 5cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Thể tích hộp
A. 1500 ml B. 600 ml C. 1800 ml D. 750 ml
Hướng dẫn giải:
Ta có AB10 cm,AD=5 cm 50
ABCD
S
H x
O
M
D
A
(109)750 ABCD
V S h
Chọn D
Câu 7: Một miếng bìa hình trịn có bán kính 20cm Trên biên miếng bìa, ta xác định điểm , , , , , , ,
A B C D E F G H theo thứ tựchia đường tròn thành phần Cắt bỏ theo nét liền hình vẽđểcó hình chữ thập ABNCDPEFQGHM gấp lại theo nét
đứt MN NP PQ QM, , , tạo thành khối hộp khơng nắp Thể tích khối hộp thu là:
A
4000 2 2
2
B
3
4000 2
2
C. 4000 2 2 2 D 4000 2
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Theo giả thuyết ta có
2 sin
8.2
(110)1 cos
40sin 40 20 2
8
Và
10 2
AH
MH MANBNCPDPEQGQH
Vì
2
20 2 10 2 4000 2 2
V MN MQ MA
Câu 8: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD60cm, AB40cm Ta gập nhơm theo hai cạnh MN PQ vào phía AB DC trùng hình vẽ
bên để dược hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi tạo khối lăng trụ với thể
tích lớn
A 4000 cm3 B. 2000 cm3 C 400 cm3 D. 4000 cm3
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đáy lăng trụ tam giác cân có cạnh bên x, cạnh đáy
60 2 x
Đường cao tam giác
2 60
60 900
2
x
AH x x
,
với H trung điểm NP
Diện tích đáy
1
60 900 30 60 900 900 30 900 30
2 30
ANP
S S AH NP x x x x x
3
2
1 900
100
30
S cm
Diện tích đáy lớn 100 3cm2 nên thể tích lớn V 40.100 34000 3cm3
Câu 9: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD60cm Ta gấp nhôm theo cạnh
(111)A. x20 B x15 C x25 D. x30
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta có PN 60 2 x, gọi H trung điểm PN suy AH 60x900
1
60 60 900 60 15 225
ANP
S x x x x f x , chiều cao khối lăng trụkhơng đổi nên thể tích khối lăng trụ max f x max
45 20
' 20, 20 100 3, 15
15 225
x
f x x f f
x
max f x 100 x20
Câu 10: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x cm Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương, cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập
phương có độ dài y cm hình vẽ bên Tìm thể tích V khối gỗ sau đục biết x80cm y; 20cm
A.
490000cm B.
432000cm C.
400000cm D.
390000cm
(112)Thể tích cần tìm thể tích khối lập phương ban đầu trừđi khối hộp chữ nhật có đáy
hình vng cạnh y cm , chiều cao ;
x y
cm
trừđi thể tích khối lập phương có độ dài cạnh y cm Vì vậy,
3 3 80 20 3
6 80 .20 20 432000
2
x y
V x y y cm
Câu 11: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằngx cm .Ở mặt hình lập
phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện,tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập
phương có độ dài y cm (như hình vẽ bên).Tính tỉ số S
V ,trong V khối gỗ sau đục S tổng diện tích mặt (trong ngồi)khối gỗsau đục
A.
2
x y
S
V x y x y
B.
3
2
x y
S
V x y x y
C.
2
x y
S
V x y x y
D.
2
x y
S
V x y x y
Hướng dẫn giải: Chọn A
Thể tích hình cần tính thể tích khối lập phương ban đầu trừđi khối hộp chữ nhật có
đáy hình vng cạnhy cm,chiều cao
2
x y
cm
,rồi trừ thể tích khối lập phương có độ
dài cạnh bằngy cm
Vì vậy: 2
2
x y
V x y y xy x y
Tổng diện tích mặt khối gỗ sau đục
2 ( )
6 6.4
2
y x y
V x y xy x y
Vậy
2
x y
S
V x y x y
(113)Câu 12: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V m 3 , hệ số k cho trước (k - tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x y h, , 0 chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x y h, , 0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu x y h, ,
A
3
3 2
2
2 2
2 ; ;
4 2 1
k V kV k k V
x y h
k k
B
3
3 2
2
2 2
; ;
4 2 1
k V kV k k V
x y h
k k
C
3
3 2
2
2 2
; ;
4 2 1
k V kV k k V
x y h
k k
D
3
3 2
2
2 2
; ;
4 2 1
k V kV k k V
x y h
k k
Hướng dẫn giải: Chọn C
Gọi x y h x y h, , , , 0 chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Ta có: k h h kx
x
V xyh y V V2
xh kx
Nên diện tích tồn phần hố ga là:
2 1
2 k V
S xy yh xh kx
kx
Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ
2
4
k V
x
k
Khi
3 2
2
2
2 ,
4
2
k k V
kV
y h
k
Câu 13: Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽdưới Người ta cắt bỏ tam giác cân bên ngồi nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứgiác có cạnh đáy
bằng x m , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để
khối chóp nhận tích lớn
x
(114)A 2
5
x B.
2
x C.
4
x D.
3
x
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2
2
x
y z y
Chiều cao hình chóp:
2
2 2 2
2 2
h z x y x x
2
1
3 2 chop
V x x
chop
V lớn hàm số 2
2
yx x đạt GTLN
2 '
1
2
x x
y
x
2
0
' 2 2
5
x
y x x
x
Chọn A
1
x x
z y
(115)Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện tất cạnh a, người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp đểchia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bịcưa mặt phẳng nói
A
3
4
a
B
2
3
4
a
C
2
3
4
a
. D
2
3
4
a
Hướng dẫn giải: Chọn D
Từ giả thiết . .
2 S A B C D S ABCD
V V
. .
2 S A B C S ABC
V V
( Do khối chóp tứgiác đều)
1
S A B C S ABC V
V
3
3 2
SA SA a
SA SA
A B SA
3
2
a
2
3
4
td
a S A B
.
Câu 15: Người thợ cần làm bểcá hai ngăn, khơng có nắp
phía với thể tích 1, 296m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a b c, , hình vẽ Hỏi người thợ
phải thiết kế kích thước a b c, , để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính không đáng
kể
A. a3, ;m b0, ;m c0, 6m B. a2, ;m b0,9 ;m c0, 6m C. a1,8 ;m b1, ;m c0, 6m D. a1, ;m b1, ;m c0,9m
Hướng dẫn giải:
Với a chiều dài cả2 ngăn bể cá Ta có: V abc1, 296 1
3
2 2 3
2 2
a a a a abc abc abc
S c bc b c bc b ac bc ab abc
b a c abc
B'
A'
O
D'
C'
D
C B
A
S
c
(116)b dm a dm
3 dm
Dấu “=” xảy
3
2
2
a b
b a a c
c
Thay vào 3 1, 296.4
1 : 1, 296 ; 1,8; 0, 4b b b a c Chọn C
Câu 16: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng
đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h tích Hãy tính chiều cao hồnước cho chi phí xây dựng thấp nhất?
A. m B. h2 m C
2
h m D
2
h m
Hướng dẫn giải:
Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp
Theo đề ta có y3x 2
3
V V
V hxy h
xy x
Để tiết kiệm nguyên vật liệu ta cần tìm kích thước cho diện tích tồn phần hồ
nước nhỏ
Khi ta có:
2
8 2 2.3 x
3 3
tp
V V V
S xh yh xy x x x x
x x x
Ta có
2
2 3
8 4 16
3 3 36
3 3
Cauchy tp
V V V V
S x x
x x x
Dấu “=” xảy
2
4
3
3
V V V
x x h
x x
Vậy chọn C
Câu 17: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72dm3 chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bểcá thành hai ngăn, với
các kích thước a b, (đơn vị dm) hình vẽ
Tính a b, để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày
tấm kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể
A. a 24, b 24 B a3, b8 C. a3 2, b4 D a4, b6
(117)Có: V 72 3.ab 72 a 24 b
(1)
Bể cá tốn nguyên liệu nghĩa diện tích tồn phần nhỏ
Ta có diện tích tồn phần bể cá là: Stp 3.3a ab 3b 216 6b 24
b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Stp 216 6b 24 216.6b 24 96
b b
Dấu xảy khi: 216 6b b 6b 0
b Từ (1), ta suy ra: a4
Câu 18: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1,296 m3
Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, cnhư hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kếcác kích thước a, b, c đểđỡ
tốn kính nhất, giả sửđộ dầy kính khơng đáng kể A. a3, ;m b0, ;m c0, 6m
B. a2, ;m b0, ;m c0, 6m C. a1,8 ;m b1, ;m c0, 6m D. a1, ;m b1, ;m c0,9m Hướng dẫn giải:
Thể tích bể cá là: V abc1, 296
Diện tích tổng miếng kính Sab2ac3bc (kể miếng giữa) Ta có:
3
3
1 3 , ,
1 3 6
3
1, 296
Cauchy cho so c b a S
abc cba c b a abc
Dấu “=” xảy
1,8
1, 1, 296 0,
a b
c b a
abc c
Chọn C
Câu 19: Từ tơn có kích thước 90cmx3m người ta làm máng xối nước mặt cắt hình thang ABCDcó hinh Tính thể tích lớn máng xối
A.
40500 3cm B.
40500 2cm C.
40500 6cm D.
40500 5cm
3m 90cm
3m
30cm
30cm 30cm
D
B C
(118)Thể tích máng xối: 300 ( ) ABCD
V S cm
Vậy thể tích lớn diện tích hình thang lớn
1
( )
ABCD
S BCAD CE
CECDsin 30.sin
2 30 60
ADBC ED cos
90
90
2 ABCD
S sin sin
Đặt ( ) 90 90 , [0; ]
f sin sin
90 '( ) 90 2
2
f cos cos
2
1 cos
'( ) cos cos 2 cos cos
cos
f
(0) ( ) 0; 135
3
f f f
Vậy GTLN diện tích ABCD
2
135 3cm Vậy thể tích máng xối lớn 40500 3cm3 ta cạnh CD tạo với BC góc 60
Câu 20: Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước 0,9m3m người ta gấp tơn hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt
đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tôn Hỏi x m bằng thể tích máng xối lớn nhất?
A. x0,5m B. x0, 65m C. x0, 4m D. x0, 6m
Hướng dẫn giải: Chọn D
Gọi h chiều cao lăng trụ
Vì chiều cao lăng trụ chiều dài tơn nên thể tích máng xối lớn diện tích hình thang cân (mặt cắt) lớn
Ta có 0,3
2
h
S x
3m
0, 9m 0, 3m
0, 3m x m
0, 3m
3m
0, 3m
x
x
(a) Tấm tôn (b) Máng xối (c) Mặt cắt
θ θ
30cm
30cm 30cm
E D
B C
(119)h
0.3m 0.3m
B
A
C
2
0,3
0,3
0,3 0,3
4
x
BC x
x h
ĐK:
2 0,3
0,3 0; 0,3 0,9
4
x
x
Khi đó:
2 2
0,3 0,3 0,3
S x x
Xét hàm số
0, 3 0, 3 2 0, ; 0, 3 2 0, 9
f x x x x
2
2
2 0,3
4 0,3 0,3 0,
4 0,3 0,3
x
f x x x
x
2
2 2
4 0,3 0, 0,3 0,3 0,36 0,3
4 0,3 0,3 0, 0,3
x x x x x
x x
0,
0 0,3 0,18
0,
x
f x x x
x
x 0,3 0, 0,9
f x 0
f x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x lớn x0, Vậy thể tích máng xối lớn x0, 6m
Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bểnước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d m và chiều rộng r m với d 2 r Chiều cao bểnước h m và thể
tích bể
2m Hỏi chiều cao bểnước chi phí xây dựng thấp nhất?
A. 3
2 m B.
3
3 m C.
3
2 m D.
2
3 m
Hướng dẫn giải:
(120)2
2
V x h h
x
Diện tích xung quanh hồvà đáy bể
6 2
S x h x x x
x
Xét hàm số f x 2x2 x
với x0
Hàm sốđạt giá trị nhỏ 3.
2
x
Vậy chiều cao cần xây 2
2
1 2
3
3
h m
x
Câu 22: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứgiác tích V Để
làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ
A
xV B
x V C
1
xV D x V
Hướng dẫn giải:
Gọi a độ dài cạnh đáy, x độdài đường cao thùng đựng đồ a x, 0
Khi đó, V a x2 a V Stp 2a2 4ax 2V Vx
x x
Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu thìStp nhỏ 2V Vx x
nhỏ Cách : Xét hàm số f x 2V Vx
x
0;
Ta có
1
2
2
2
' V V ; '
f x f x x V V x x V
x x
Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn nguyên liệu chiều cao thùng đựng đồ
bằng
1 V
f x( ) f' x( )
x
f(V
1
3)
0 +∞
0 +
V
1
(121)Cách 2: ta có 2V Vx 2V Vx Vx V
x x
Dấu " " xảy 3 x
V
V x V x V
x
Chọn B
Câu 23: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A định mua tặng vợ quà
đặt vào hộp có thểtích 32 ( đvtt) có đáy hình vng khơng có nắp
Để q trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị
phải là?
A B C D
Hướng dẫn giải: Chọn B
Ta có , đểlượng vàng cần dùng nhỏ
nhất Diện tích S phải nhỏ ta có
,
Câu 24: Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 m đặt song song cách mặt đất h m Nhà có trụ A B C, , vng góc với ABC Trên trụ A người ta lấy hai
điểm M N, cho AM x AN, y góc MBCvà NBCbằng 90để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà
A. B.10 C. 10 D. 12 Hướng dẫn giải:
Đáp án B
h; x h; x
x2; h4 x4; h2 4;
2
x h x1;h2
x
x h
S xh x
S x. x x
V x
V x h h x
x x
2
2
2
2
4
32 128
4 32
S x f x f ' x x x
x x
2
2
128 128
(122)Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn N nằm mặt đất Chiều cao nhà
NM x y
Gọi I trung điểm BC Ta có ABC AI BC,
MN ABC MN BC, từđó suy BC MNI MI BC MIN 900
NI BC
IMN
vuông I nhận AI đường cao nên
2
2 10
75
2
AM AN AI xy
Theo bất đẳng thức Côsi: xy2 xy 2 7510 3x y5
Do chiều cao thấp nhà 10
Câu 25: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thểtích xác định V cho
trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án
A 3 2V2 B. 63V2 C. 63 V2 D. 23 V2
Hướng dẫn giải: Chọn D
Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ
Thểtích khơng đổi V R h2 h V2 ,Stp R2 Rh R2 2V
R R
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba sốdương 2 R ,V V,
R R
Ta có 2 3 23 2. . 3 23
tp
V V V V
S R R V
R R R R
(*)
Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thểtích khơng đổi
h
b a
(123)
; tp 2 2
V V V V V
V abh h S ab a b h ab a b ab
ab ab ab b a
Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba sốdương ab;V V;
a b
Ta có 2.33 . . 63
tp
V V
S ab V
a b
(**)
Xét hai kết ta thấy (*) nhỏhơn
Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé Stp 3 23 V2 (đvdt)
Câu 26: Một bác thợ gị hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích
3
665,5 dm Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh x dm( ), chiều cao h dm( ) Để làm thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng nguyên liệu
A. 10, 5(dm) B.12(dm) C. 11(dm) D. 9(dm)
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta tích hình hộp là:
2 665,5 665,
V x h h
x
Diện tích toàn phần S x2 4xh x2 2662 S' 2x 26622
x x
;
' 11
S x
Lập bảng biến thiên ta thấy x11 S đạt giá trị nhỏ
Vậy để sử dụng ngun liệu bác thợ xây phải cắt miếng tơn có đáy hình vng cạnh 11(dm)
Câu 27: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để
làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ
A
xV B
x V C
1
xV D x V
Hướng dẫn giải:
Gọi a độ dài cạnh đáy, x độdài đường cao thùng đựng đồ a x, 0
Khi đó, V a x2 a V Stp 2a2 4ax 2V Vx
x x
Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu thìStp nhỏ 2V Vx x
nhỏ Cách : Xét hàm số f x 2V Vx
x
0;
h h
h h
x
(124)Ta có
1
2
2
2
' V V ; '
f x f x x V V x x V
x x
Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ
bằng
1 V
Cách 2: ta có 2V Vx 2V Vx Vx 63V2
x x
Dấu " " xảy 3 x
V
V x V x V
x
Câu 28: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn
thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát không đáng kể)
A. 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít
C. 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8800 lít
Hướng dẫn giải:
Phân tích:
* Theo mặt trước bể:
Số viên gạch xếp theo chiều dài bể hàng 500 25 20
x viên
Số viên gạch xếp theo chiều cao bể hàng là: 200 40
5 Vậy tính theo chiều cao
có 40 hàng gạch hàng 25 viên Khi theo mặt trước bể N 25.40 1000 viên
f x( ) f' x( )
x
f(V
1 3)
0 +∞
0 +
V
1
5m 2m
1dm
1dm
1m
VH'
(125)* Theo mặt bên bể: ta thấy, hàng mặt trước bể xây viên hoàn chỉnh
đoạn nối hai mặt mặt bên viên gạch lại sẽđược cắt
2 viên Tức mặt bên
sẽ có
1 100 20
.40 40 180 20
viên
Vậy tổng số viên gạch 1180 viên
Khi thể tích bờtường xây 1180.2.1.0,5 1180 lít
Vậy thể tích bốn chứa nước là:
50.10.20 1180 8820 lít
Câu 29: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứgiác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng
trụtam giác (như hình vẽ) Gọi V V1, 2lần lượt thể tích lăng trụ tứgiác lăng
trụtam giác So sánh V1 V2
A V1V2 B V1 V2 C V1V2 D.Không so sánh
được
Hướng dẫn giải:
Ta có
3
4 16
a a a V a
và
3
1 3
2 3 36
a a a
V a Do V1 V2