Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra có mặt đúng ba chữ số khác nhau... Vì tam giác ACK vuông tại K nên E là trung điểm của AC.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
(Đáp án gồm 06 trang)
ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 2019 – 2020
ĐỀ THI MƠN:TỐN – BẢNG KHƠNG CHUN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/9/2019
BÀI Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM
Bài
(2,0 điểm) a
Cho hàm số 2 2019.
y x x m x m Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng 0;.
(1,0đ) TXĐ: D ; y'x22x m 2
Hàm số đồng biến khoảng 0; y' 0, x 0; 0,25
2 2 2 0, 0; 2 2, 0;
x x m x m x x x
0,25
Xét hàm số g x x2 2x2; g x' 2x 2; g x' 0 x 1 x
'
g x + -
g x
0,25
Từ bảng biến thiên
0;
, 0;
x
m g x x m Max g x m
0,25
b
Cho hàm số
2
mx m
y
x
có đồ thị C Tìm tất giá trị
thực tham số m để đường thẳng d y: x 2 cắt C hai điểm phân biệt A B, cho góc hai đường thẳng OA OB
0 45
(1,0đ)
Phương trình hồnh độ giao điểm:
2
2,
2
mx m
x x
x
2 2 2 1 , 2
x mx m x
2
x
x m
0,25
d cắt C hai điểm phân biệt
1
2 1
1
2
2 m m
m m
0,25
Gọi A1; ; B m2 1;2m3 OA1; ; OB m2 1;2m3
.cos 45
OAOB OAOB 2 8m216m108m216m 6 0
2 m m
0,25
Kết hợp điều kiện, ta
m
m 0,25
(2)Bài
(2,0 điểm) a Giải phương trình lượng giác sau
1 2sin cos
3 2sin sin
x x
x x
(1,0đ)
ĐK:
2
2 , , ,
6 2
x k
x m k m n
x n
0,25
cos sin sin 2sin cos sin sin cos
Pt x x x x
x x x x
0,25
2
18
sin sin ,
6
2
x k
x x k
x k
0,25
Kết hợp điều kiện Pt có nghiệm , 18
x k k 0,25
b
Giải hệ phương trình sau tập số thực
2
2
3 2 (1)
4 1 (2)
x y x y y
x x y x
(1,0đ) ĐK: y0;x24x y 1 0
Từ phương trình 1 ta có
2
2
3
2 2
2
y y
x y y x
x x
Suy
2 2
y
y x
x
0,5
Thay vào phương trình 2 ta có 4x 1 2x 1 1
Đặt
3
4
0
2
u x
u
v x
Hệ phương trình cho trở thành
2
1
0
2
u v u
v
u v
0,25
Ta có:
1
4 1 2
9
2
4 x x
x y
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ có nghiệm 9;
0,25
Bài
(2,0 điểm) a
Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' ' AB a AC ; 2 ;a AA' 2 a 5 và góc BAC 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC '
a) Chứng minh MB vng góc với A M '
(3)Áp dụng định lí cosin tam giác ABC
2 2 2 . .cos 7 7
BC AB AC AB AC BAC a BC a
Trong tam giác A C M A M' ' : ' A C' '2C M' 9a2 Trong tam giác BAA A B' : ' AB2A A' 21a2 Trong tam giác BCM BM: BC2CM2 12a2
0,5
Ta có: A M' 2MB2 A B' tam giác A BM' vuông M
hay MBA M' 0,5
b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BM ' (1,0đ) Gọi A M' AC N d A A BM , ' d A A BN , '
Kẻ AK BN K, BN Kẻ AH A K H' , A K'
, '
d A A BN AH
0,5
Chứng minh CM đường trung bình tam giác A AN' '
A M MN
có BM A N' tam giác A BN' cân B
' 21
BN A B a
Diện tích tam giác ABN là:
1
.sin
2
ABN
a S AB AN BAN AK BNAK
0,25
Ta có: 2 12 2 362
' 20
a AH
AH AK A A a Vậy: , '
3 a d A A BM
0,25
Bài (1,0 điểm)
Từ tập hợp tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác 0 , lẫy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy ra có mặt ba chữ số khác
(1,0đ) Ta có: Số phần tử không gian mẫu là: n 95
0,25 Gọi A biến cố: “Trong số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số
khác nhau”
Số cách chọn chữ số phân biệt a b c, , từ chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9
9 C
Xét số thỏa mãn yêu cầu toán tạo thành từ chữ số a b c; ; Có hai trường hợp sau xảy
TH1: Một chữ số có mặt lần; chữ số cịn lại có mặt lần: Có tất cả: 3.5! 60
3! số
0,25
TH2: Hai chữ số có mặt hai lần, chữ số cịn lại có mặt lần: 0,25
N M
C' B'
A
B
C A'
(4)Có tất cả: 90 2!.2! số
Số kết thuận lợi biến cố A là:
60 90 12600
n A C
Xác suất biến cố A là:
14006561 0, 2134 n A
p A n
0,25
Bài (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Gọi H K, hình chiếu vng góc A đường thẳng BD CD Biết A 4;6 ; đường thẳng HK có phương trình 3x4y 4 0; điểm C thuộc đường thẳng d x y1: 2 0 điểm B thuộc đường thẳng
2: 2 0;
d x y điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm B C
(1,0đ)
Gọi E AC HK
Tứ giác AHKDnội tiếp HAD HKC Tứ giác ABCD nội tiếpABD ACD Tam giác ABD vuông AABD HAD
Vậy HKCACD hay tam giácECK cân tạiE
Vì tam giácACK vuông K nênE trung điểm củaAC
0,25
Ta có C d 1 C c ;2c 8;
2
c c
E
Vì EHK nên tìm c 4 C4;
0,25
: 4
KHK x y nên gọi K t t4 ;3 1
4 4;3 7
AK t t
;CK t(4 4;3t1)
Ta có: AKCKAK CK 025t2 50t 9 0
1 t t
Vì hồnh độ điểm K nhỏ ( ;4 2) 5
K
0,25
BCcó phương trình: 2x y 10 0.
2
B BC d B(6;2) Kết luận: B 6;2 ;C 4; 2
0,25 E
K
H D
B
A
(5)Bài (1,0 điểm)
Cho dãy số u xác định n
1
2
, ,
2
n n
u
u
u n n
Hai dãy số vn , w xác định sau: n
4 1n ; , ,
n n n n
v u w u u u u n n Tìm giới hạn lim ; limvn wn
(1,0đ)
Chọn 0;
sao chocos 1
Khi ta có 1 cos 2 cos cos
2
u u
( Do 0;
nên cos2
)
Tương tự ta có 3
1 cos
2 cos
2
u
Bằng quy nạp ta chứng minh 1
1 cos
2 cos
2
n
n n
u
0,25
Suy
1
4 (1 ) os 2sin
2
n n n
n n n n
v u c
Vậy
2
2 sin2 2
lim lim 2sin lim 2
2
n n
n n
n
v
0,25
Ta có 1 2 cos 1.cos 2 cos os
2 2
n n n n
w u u u c
1
1
2 sin os os os cos sin 2
2 2
2 sin sin
2
n
n n n
n n
n n
c c c
0,25
Suy
1
1
sin sin sin
lim lim lim
2
2 sin sin
2
2
n
n
n n
n
w
0,25
Bài (1,0 điểm)
Cho số thực dương a b c, , Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3 3
3 4a 3b 2c 3b c P
a b c
(1,0đ) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 3b c2 2b3c3 , dấu “=” xảy b c.
Ta chứng minh:
3
3 (1) , 0, 0.
4 b c
b c b c
(6) 3 3 3 2 2 3 2
1 4 b c b 3b c3bc c b c b c 0,b0,c0 Dấu “=” xảy b c
Áp dụng BĐT ta được:
3
3
3
4 1
4 4 1 ,
4 b c
a
P t t
a b c
với , 0;1
a
t t
a b c
0,25
Xét hàm số 4 11 3
f t t t với t 0;1
Có: 2
1
3
' 12 ; '
1
3 t
f t t t f t
t
Bảng biến thiên:
t
5
'
f t - +
f t
25
0,25
Từ bảng biến thiên suy ra: 25 P f t
Dấu “=” xảy 1
5 b c
a b c a
a b c
Vậy giá trị nhỏ P
25 2a b c
0,25