Lý thuyết và bài tập trắ nghiệm chuyên đề khối đa diện

Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hìn[r]

KHỐI ĐA DIỆN

Bài 01

KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

I– KHỐI LĂNG TRỤ V1 KHỐI CHÓP

Khối lăng trụ phần không gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ

Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp

Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt

II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN V1 KHỐI ĐA DIỆN 1 Khái niệm hình đa diện

Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:

Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung

Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện

Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện

2 Khái niệm khối đa diện

Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện

Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện

Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… hình đa diện tương ứng

Điểm ngồi

Điểm trong

Miền ngoài

d

M

N

Ví dụ

- Các hình khối đa diện:

- Các hình khối đa diện:

Hình a Hình b Hình c

Giải thích: Hình a khơng phải hình đa diện tồn cạnh khơng phải cạnh chung hai mặt; Hình b khơng phải hình đa diện có điểm đặc biệt hình, điểm khơng phải đỉnh chung hai đa giác; Hình c khơng phải hình đa diện tồn cạnh cạnh chung bốn đa giác

III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 1 Phép dời hình khơng gian

Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M′ xác định gọi phép biến hình khơng gian

a) Phép tịnh tiến theo vectơ v, phép biến hình biến điểm M thành điểm M′ cho MM′ =v Kí hiệu Tv

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng ( )P phép biến hình biến điểm thuộc ( )P thành nó, biến điểm M không thuộc ( )P thành điểm M′ cho ( )P mặt phẳng trung trực MM′

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( )P biến hình ( )H thành ( )P gọi mặt phẳng đối xứng ( )H

c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M′ cho O trung điểm MM′

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( )H thành O gọi tâm đối xứng ( )H

d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng ∆ thành nó, biến điểm M không thuộc ∆ thành điểm M′ cho ∆ đường trung trực MM′

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình ( )H thành ∆

gọi trục đối xứng ( )H Nhận xét

Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình

Phép dời hình biến đa diện ( )H thành đa diện (H′), biến đỉnh, cạnh, mặt ( )H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H′)

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Khi đó:

Các hình chóp A A B C D ′ ′ ′ ′ C ABCD′ (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A A B C D ′ ′ ′ ′ biến thành hình chóp C ABCD′ )

Các hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ AA D BB C′ ′ ′ ′ (vì qua phép đối xứng

qua mặt phẳng (AB C D′ ′ ) hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ biến thành hình lăng trụ

AA D BB C′ ′ ′ ′)

D' C'

B'

A'

D C

B

A

O A

B C

D

A'

B' C'

D'

2 Hai hình

IV – PHÂN CHIA V1 LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện ( )H hợp hai khối đa diện ( )

1

H ( )

H cho ( )

H ( ) H khơng có chung điểm ta nói phân chia khối đa diện ( )H thành hai khối đa diện (H1) (H2) Khi ta nói ghép hai khối đa diện

(H1) (H2) để khối đa diện ( )H

Ví dụ Với khối chóp tứ giác S ABCD , xét hai khối

chóp tam giác S ABC S ACD Ta thấy rằng:

Hai khối chóp S ABC S ACD khơng có điểm

trong chung (tức không tồn điểm khối chóp điểm khối chóp ngược lại) Hợp hai khối chóp S ABC S ACD

khối chóp S ABCD

Vậy khối chóp S ABCD phân chia thành hai khối chóp S ABC S ACD hay

hai khối chóp S ABC S ACD ghép lại thành khối chóp S ABCD

Ví dụ Cắt khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ mặt phẳng (A BC′ ) Khi đó, khối lăng trụ phân chia thành hai khối đa diện A ABC′ A BCC B′ ′ ′

Nếu ta cắt khối chóp A BCC B′ ′ ′ mặt phẳng (A B C′ ′ ) ta chia khối chóp A BCC B′ ′ ′ thành hai khối chóp

A BCB′ ′ A CC B′ ′ ′

Vậy khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ chia thành ba khối tứ diện A ABC′ , A BCB′ ′ A CC B′ ′ ′

MỘT SỐ KẾT QUẢN QUAN TRỌNG Kết 1: Một khối đa diện có mặt

Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh Kết 3: Mỗi hình đa diện có cạnh

Kết 4: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh Kết 5: Khơng tồn hình đa diện có cạnh

Kết 6: Cho ( )H đa diện mà mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt ( )H lẻ p phải số chẵn

Chứng minh:Gọi M số mặt khối đa diện ( )H Vì mặt ( )H có p cạnh nên M mặt có p M cạnh Nhưng cạnh cạnh chung hai

đa giác nên số cạnh ( )H

2

pM

C= Vì M lẻ nên p phải số chẵn

Kết (Suy từ chứng minh kết 6): Cho ( )H đa diện có M mặt, mà mặt đa giác có p cạnh Khi số cạnh ( )H

2

pM C= Kết 8: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn

D

C B

A

S

C'

B' A'

C

Chứng minh:Gọi số cạnh số mặt khối đa diện C M

Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số cạnh đa diện

2

C M

C= ∈ℤ→M chẵn

Kết 9: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện

Kết 10: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung ba cạnh số đỉnh phải số chẵn (Tổng quát: Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh số chẵn)

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho hình khối sau:

Hình Hình Hình Hình

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình đa diện là:

A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình Lời giải Chọn A.

Câu Cho hình khối sau:

Hình Hình Hình Hình

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện là:

A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình Lời giải Chọn D.

Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện là:

A. B. C. D.

Lời giải Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình 4. Chọn C Câu Vật thể vật thể sau khối đa diện?

A B C D

Lời giải Chọn C Vì hình C vi phạm tính chất ''Mỗi cạnh miền đa giác cạnh chung hai miền đa giác''

Câu (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Hình đa diện hình vẽ bên có mặt ?

A. B. 10

C.11 D. 12

Lời giải.Chọn C.

Câu Hình đa diện hình vẽ bên có mặt ?

A. B. 10

C.11 D. 12

Lời giải.Chọn B.

Câu Hình đa diện hình vẽ bên có mặt ?

A. 11 B. 12

C.13 D. 14

Lời giải.Chọn B.

A. Khối tứ diện

B. Khối chóp tứ giác

C. Khối lập phương

D. Khối 12 mặt

Lời giải Chọn A

Câu Hình đa diện hình vẽ bên có cạnh?

A. B.

C.12 D. 16

Lời giải Chọn D

Câu 10. Cho hình đa diện Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A. Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh

B. Mỗi mặt có ba cạnh

C. Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt D. Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt

Lời giải. Ta thấy đáp án A, B, D dựa vào khái niệm hình đa diện Chọn C

Câu 11 Gọi Đ số đỉnh, M số mặt, C số cạnh hình đa diện mệnh đề sau đúng?

A Đ>4, M>4, C>6 B Đ>5, M>5, C>7

C Đ≥4, M ≥4, C≥6 D Đ≥5, M≥5, C≥7.

Lời giải. Xét hình đa diện hình tứ diện kết quan hệ số đỉnh số mặt thỏa mãn đáp án C Chọn C.

Câu 12. Một hình đa diện có mặt tam giác số mặt M số cạnh C đa diện thỏa mãn

A 3C=2M B C=M+2 C M ≥C D 3M =2C Lời giải. Tổng số cạnh hình đa diện C Tổng số mặt hình đa diện M mặt tam giác nên có tổng số cạnh 3M Vậy ta có 3M =2 C Chọn D. Câu 13 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Hình đa diện khơng có tâm đối xứng?

A. Tứ diện B. Bát diện C. Hình lập phương D. Lăng trụ lục giác

Câu 14. Gọi n1, n2, n3 số trục đối xứng khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác khối lập phương Mệnh đề sau đúng?

A. n1=0, n2 =0, n3=6 B. n1=0, n2=1, n3=9

C. n1=3, n2=1, n3 =9 D. n1=0, n2=1, n3=3

Lời giải. Khối tứ diện có trục đối xứng (đi qua trung điểm cặp cạnh đối diện) Khối chóp tứ giác có trục đối xứng (đi qua đỉnh tâm mặt tứ giác) Khối lập phương có trục đối xứng (Loại 1: qua tâm mặt đối diện; Loại 2: qua trung điểm cặp cạnh đối diện) Chọn C.

Câu 15. Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng? A. mặt phẳng B.1 mặt phẳng

C. mặt phẳng D. mặt phẳng

Lời giải. Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng bao gồm:

mặt phẳng qua đỉnh hình chóp chứa đường trung bình đáy mặt phẳng qua đỉnh hình chóp chứa đường chéo đáy Chọn A

Câu 16. Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là: A. mặt phẳng B. mặt phẳng

C. mặt phẳng D.10 mặt phẳng

Lời giải. Các mặt phẳng đối xứng hình tứ diện mặt phẳng chứa cạnh qua trung điểm cạnh đối diện

Vậy hình tứ diện có mặt phẳng đối xứng Chọn B.

Câu 17.(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng ?

A. mặt phẳng B.1 mặt phẳng

C. mặt phẳng D. mặt phẳng

Lời giải. Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới)

Câu 18. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng?

A. mặt phẳng B. mặt phẳng

C. mặt phẳng D. mặt phẳng

Lời giải. Hình hộp chữ nhật (khơng hình lập phương) có mặt phẳng đối xứng mặt mặt phẳng trung trực cặp cạnh đối

Chọn D

Câu 19 Một hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình vng) có mặt phẳng đối xứng?

A. mặt phẳng B.1 mặt phẳng

C. mặt phẳng D. mặt phẳng

Lời giải. Hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình chữ nhật) có mặt phẳng đối xứng bao gồm:

mặt phẳng chứa đường chéo đáy vng góc với đáy Một mặt phẳng mặt phẳng trung trực cạnh bên Chọn D

Câu 20. Hình lập phương có tất mặt phẳng đối xứng? A. mặt phẳng B. mặt phẳng

C.10 mặt phẳng D.12 mặt phẳng

Câu 21. Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện là: A. mặt phẳng B. mặt phẳng

C. mặt phẳng D.12 mặt phẳng

Lời giải. Gọi bát diện ABCDEF Có mặt phẳng đối xứng, bao gồm: mặt phẳng (ABCD),

(BEDF), (AECF) mặt phẳng mà mặt phẳng mặt phẳng trung trực hai cạnh song song (chẳng hạn AB CD)

Chọn B

Câu 22. Có tất mặt phẳng cách bốn đỉnh tứ diện? A. mặt phẳng B. mặt phẳng

C. mặt phẳng D. Có vơ số mặt phẳng

Lời giải. Có loại mặt phẳng thỏa mãn đề là:

Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm cạnh bên có chung đỉnh Có mặt phẳng

thỏa mãn loại (vì có đỉnh)

Nhận xét Loại ta thấy có điểm nằm khác phía với điểm cịn lại

Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm cạnh (4 cạnh thuộc cặp cạnh, cặp cạnh chéo nhau) Có mặt phẳng

Nhận xét Loại ta thấy có điểm nằm khác phía với điểm cịn lại Chọn C

Câu 23. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Mặt phẳng (AB C′ ′) chia khối lăng trụ

ABC A B C′ ′ ′ thành khối đa diện ?

A. Một khối chóp tam giác khối chóp tứ giác B. Hai khối chóp tam giác

C. Một khối chóp tam giác khối chóp ngũ giác D. Hai khối chóp tứ giác

F D

C

B A

Lời giải Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB C′ ′) chia khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ thành khối chóp tam giác A A B C ′ ′ ′ khối chóp tứ giác

A BCC B′ ′ Chọn A

C

C'

B' A'

B A

Câu 24 Lắp ghép hai khối đa diện (H1) (, H2) để tạo thành khối đa diện ( )H , (H1) khối chóp tứ giác có tất cạnh a, (H2) khối tứ diện cạnh a cho mặt (H1) trùng với mặt ( )

2

H hình vẽ Hỏi khối da diện ( )H có tất mặt?

A 5. B 7. C 8. D 9.

Lời giải Khối đa diện ( )H có mặt. Chọn A

Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác có mặt Khối tứ diện có mặt Ghép hai hình lại hình vẽ ta khối đa diện ( )H có mặt

Câu 25 Có thể chia hình lập phương thành khối tứ diện nhau?

A 2 B 4 C 6 D 8

Lời giải. Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD B′ ′) ta chia thành hai khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD A B D ′ ′ ′ BCD B C D ′ ′ ′

Với khối ABD A B D ′ ′ ′ ta dùng mặt phẳng (AB D′ ′) (AB D′ ) chia thành ba khối tứ diện

Tương tự với khối BCD B C D ′ ′ ′

Vậy có tất khối tứ diện Chọn C.

D' C'

B' A'

D C

Bài 02

KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I – KHỐI ĐA DIỆN LỒI

Khối đa diện ( )H gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm ( )H ln thuộc ( )H Khi đa diện giới hạn ( )H gọi làđa diện lồi

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt

II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Định nghĩa

Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: Các mặt đa giác n cạnh

Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh

Khối đa diện gọi khối đa diện loại {n p, } Định lí

Khối tứ diện Khối lập phương Bát diện Hình 12 mặt Hình 20 mặt

Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại

Tứ diện {3;3}

Khối lập phương 12 {4;3}

Bát diện 12 {3; 4}

Mười hai mặt 20 30 12 {5;3} Hai mươi mặt 12 30 20 {3;5}

Chú ý. Gọi Đ tổng số đỉnh, C tổng số cạnh M tổng mặt khối đa diện loại {n p; } Ta có

2

pĐ= C =nM

Xét tứ diện { } 3,

3;3 &

4

p C nM

n p nM nM

C

M p

= =

 = =



→ → = = = =

= 

Đ

Đ

Xét khối lập phương {4;3} 4, 12 & 8.

6

p C nM

n p nM nM

C

M p

= =

 = =



→ → = = = =

= 

Đ

Đ

Xét bát diện { } 3,

3; 12 &

8

p C nM

n p nM nM

C

M p

= =

 = =



↔ → = = = =

= 

Đ

Đ

Xét khối mười hai mặt

{5;3} 5, 30 & 20.

12

p C nM

n p nM nM

C

M p

= =

 = =



→ → = = = =

 =



Đ

Đ

Xét khối hai mươi mặt

{ } 3,

3;5 30 & 12

20

p C nM

n p nM nM

C

M p

= =

 = =



→ → = = = =

= 

Đ

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho hình khối sau:

Hình Hình Hình Hình

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện lồi

A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình

Lời giải Áp dụng tính chất khối đa diện lồi ( )H : ''Đoạn thẳng nối hai điểm

bất kì ( )H ln thuộc ( )H '' Chọn B. Câu Cho hình khối sau:

Hình Hình Hình Hình

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số đa diện lồi là:

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải. Có hai khối đa diện lồi là: Hình & Hình Chọn B.

Câu Tâm tất mặt hình lập phương đỉnh hình hình sau đây?

A Bát diện B Tứ diện C Lục bát D Ngũ giác Lời giải Chọn A.

Câu Chọn khẳng định khẳng định sau:

Câu Trung điểm cạnh tứ diện tạo thành A các đỉnh hình tứ diện

B các đỉnh hình bát diện C các đỉnh hình mười hai mặt D các đỉnh hình hai mươi mặt Lời giải Chọn B

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A. Tồn khối tứ diện khối đa diện B. Tồn khối lặng trụ khối đa diện C. Tồn khối hộp khối đa diện

D. Tồn khối chóp tứ giác khối đa diện

Lời giải. Trong loại khối đa diện không tồn khối chóp có đáy tứ giác Chọn D.

Câu Trong khơng gian có loại khối đa diện hình vẽ

Khối tứ diện Khối lập phương Bát diện Hình 12 mặt Hình 20 mặt Mệnh đề sau đúng?

A Mọi khối đa diện có số mặt số chia hết cho B Khối lập phương khối bát diện có số cạnh C Khối tứ diện khối bát diện có tâm đối xứng

D Khối mười hai mặt khối hai mươi mặt có số đỉnh Lời giải. Khối lập phương có mặt Do A sai

Khối tứ diện khơng có tâm đối xứng Do C sai

Khối 12 mặt có 20 đỉnh Khối 20 mặt có 12 đỉnh Do D sai

Câu Các khối đa diện mà đỉnh đỉnh chung ba mặt số đỉnh Đ số cạnh C khối đa diện ln thỏa mãn:

A. Đ= −C B. Đ≥C C. 3Đ=2C D. 3C=2Đ

Lời giải. Tổng số cạnh hình đa diện C Do đỉnh đỉnh chung

ba mặt nên suy cạnh hình đa diện Đ Vậy ta có 3Đ=2 C Chọn C.

Câu Tổng góc tất mặt khối đa diện loại {4;3} là: A. 4π B. 8π C.12π D. 10π

Lời giải. Khối đa diện loại {4;3} khối lập phương, gồm mặt hình vng nên tổng góc 6.2π=12 π Chọn C

Câu 10 Tổng góc tất mặt khối đa diện loại {3;5} là:

A. 12π B. 16π C. 20π D. 24π

Lời giải. Khối đa diện loại {3;5} khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt tam giác nên tổng góc 20.π=20 π Chọn C

Câu 11 Tổng độ dài ℓ tất cạnh tứ diện cạnh a

A ℓ=4a B ℓ=6a C ℓ=6 D ℓ=4

Lời giải. Tứ diện có tất cạnh nên có tổng độ dài cạnh 6a Chọn B

Câu 12 Tổng độ dài ℓ tất cạnh khối mười hai mặt cạnh 2.

A ℓ=8 B ℓ=16 C ℓ=24 D ℓ=60

Lời giải. Khối mười hai mặt có 30 cạnh nên có tổng độ dài tất cạnh 30.2 60

= =

ℓ Chọn B.

Câu 13 Cho hình đa diện loại {4;3} cạnh a Gọi S tổng diện tích tất

mặt hình đa diện Mệnh đề đúng?

A.

4

S= a B.

6

S= a C.

8

S= a D.

10 S= a

Lời giải. Đa diện loại {4;3} khối lập phương nên có mặt hình vng

cạnh a Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất mặt S=6a2 Chọn B.

Câu 14 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình bát diện cạnh a Gọi S

tổng diện tích tất mặt hình bát diện Mệnh đề đúng? A. 4 3 2.

S= a B. 3 2.

S= a C. 2 3 2.

S= a D. 8 2.

S= a

Lời giải. Hình bát diện hình có tám mặt mặt tam giác Gọi S0 diện tích tam giác cạnh

2

3

a a →S =

Vậy diện tích S cần tính

2

2

3

8

4

a

S= S = = a Chọn C

Câu 15 Cho hình 20 mặt có cạnh Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề đúng?

A. S=10 B. S=20 C. S=20 D. S=10

Lời giải. Hình 20 hình có 20 mặt mặt tam giác Gọi S0 diện tích tam giác cạnh

2

2

2

4

S

Bài 03

KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I – NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

Hình lăng trụ là hình có hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song với mặt bên hình bình hành

1 Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy

Tính chất. Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật vng góc với mặt đáy

2 Hình lăng trụ

Định nghĩa. Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác

Tính chất. Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật vng góc với mặt đáy

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy hình bình hành

1 Hình hộp đứng

Định nghĩa. Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt đáy

Tính chất. Hình hộp đứng có đáy hình bình hành, mặt xung quanh hình chữ nhật

2 Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật

Tính chất. Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật

3 Hình lập phương

Định nghĩa. Hình lập phương hình hộp chữ nhật đáy mặt bên hình vng

Tính chất. Hình lập phương có mặt hình vng

Hình chóp hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh

I – THEÅ TÍCH

1 Cơng thức tính thể tích khối chóp

1 . 3

V = S h

2 Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ

.

V =B h

Trong đó: B diện tích đáy, h hiều cao khối lăng trụ ●Thể tích khối hộp chữ nhật: V =a b c .

Trong đó: a b c, , ba kích thước khối hộp chữ nhật ●Thể tích khối lập phương: V =a3

Trong a độ dài cạnh hình lập phương III – TỈ SỐ THEÅ TÍCH

Cho khối chóp S ABC A', B', C' điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có

' ' '

' ' '

. .

S A B C S ABC

V SA SB SC V = SA SB SC Phương pháp áp dụng khối chóp khơng xác đinh chiều cao cách dễ dàng khối chóp cần tính phần nhỏ khối chóp lớn cần ý đến số điều kiện sau

• Hai khối chóp phải chung đỉnh • Đáy hai khối chóp phải tam giác

• Các điểm tương ứng nằm cạnh tương ứng CAÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA

vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

a

V= B

3

a

V = C

2

V=a D

3

a

V =

Lời giải Diện tích hình vng ABCD ABCD

S =a

Chiều cao khối chóp SA=a

Vậy thể tích khối chóp .

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA=

Chọn D

Câu 2. Cho hình chóp S ABC có tam giác SBC tam giác vng cân S, SB=2a

và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a Tính theo a thể tích V

khối chóp S ABC

A

2

V= a B

4

V = a C

V= a D

12

V = a Lời giải. Ta chọn (SBC) làm mặt đáy → chiều cao khối chóp d A SBC ,( ) = a

Tam giác SBC vuông cân S nên 2

SBC

S∆ = SB = a

D A

B C

S C'

B'

A' S

C

Vậy thể tích khối chóp ( )

,

3 SBC

V= S∆ d A SBC = a Chọn A.

Câu 3.(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA=4,AB=6,BC=10 CA=8 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A. V=40 B.V =192 C.V=32 D.V =24

Lời giải Tam giác ABC, có 2 2 2

6 10

AB +AC = + = =BC

→tam giác ABC vuông A 24

ABC

S∆ AB AC

→ = =

Vậy thể tích khối chóp

32

3

S ABC ABC

V = S∆ SA= Chọn C

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB=a,

2

BC= a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh SA=a 15 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A 15

a

V= B

3 15

3

a

V = C

2 15

V= a D

3 15

a

V =

Lời giải. Vì hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với (ABCD), suy SA⊥(ABCD) Do chiều cao khối chóp SA=a 15

Diện tích hình chữ nhật ABCD

ABCD

S =AB BC= a

Vậy thể tích khối chóp . 15

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA=

Chọn B

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA

vng góc với đáy (ABCD) SC=a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A 3

3

a

V= B

3

a

V = C

3

V=a D

3 15

a

V =

Lời giải Đường chéo hình vng AC=a Xét tam giác SAC, ta có 2

3

SA= SC −AC =a

Chiều cao khối chóp SA=a Diện tích hình vng ABCD

ABCD

S =a

Vậy thể tích khối chop

1

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA=

Chọn A

Câu 6. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B BA=BC=a

Cạnh bên SA=2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích V khối

chóp S ABC

A

V=a B

3

a

V = C

3

3

a

V= D

3

3

a

V =

S

A B

C

C B

A S

D

S

A

B C

Lời giải Diện tích tam giác vuông

2

ABC

a

S∆ = BA BC=

Chiều cao khối chóp SA=2a

Vậy thể tích khối chóp .

3

S ABC ABC

a

V = S SA=

Chọn C

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, AB=BC=1,

AD= Cạnh bên SA=2 vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD

A V=1. B

V = C

3

V= D.V =2.

Lời giải Diện tích hình thang ABCD

3

2

ABCD

AD BC

S = + AB=

Chiều cao khối chóp SA=2 Vậy thể tích khối chóp

1

S ABCD ABCD

V = S SA= Chọn A

Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A có AB=a,

3

BC=a Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC

A

12

a

V= B

3

a

V = C

3

12

a

V= D

3 6

a

V =

Lời giải Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥AB

Do (SAB) (⊥ ABC) theo giao tuyến AB nên SH ⊥(ABC) Tam giác SAB cạnh AB=a nên

2

a

SH=

Tam giác vng ABC, có AC = BC2−AB2 =a Diện tích tam giác vng 2

2

ABC

a

S∆ = AB AC=

Vậy .

3 12

S ABC ABC

a

V = S∆ SH= Chọn A

Câu 9. Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB

cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, SA=2a Tính theo a thể

tích V khối chóp S ABCD

A 15

12

a

V= B

3 15

a

V = C

2

V= a D

3

3

a

V =

Lời giải. Gọi I trung điểm AB Tam giác SAB cân S có I trung

điểm AB nên SI⊥AB Do (SAB) (⊥ ABCD) theo giao tuyến AB nên SI⊥(ABCD)

C

B A

S

D

C A

S

B

H

C B

Tam giác vng SIA, có

2

2 2 15

2

AB a

SI= SA −IA = SA −  =



Diện tích hình vng ABCD ABCD

S =a

Vậy . 15

3

S ABCD ABCD

a

V = S SI= Chọn B.

Câu 10. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính theo a thể tích V khối

chóp S ABC

A. 13

12

a

V= B.

3 11

12

a

V = C.

3 11

a

V= D.

3 11

a

V =

Lời giải Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S ABC khối chóp nên suy SI⊥(ABC)

Gọi M trung điểm

3

a

BC ⇒AI = AM=

Tam giác SAI vng I, có

( )

2

2 33

2

3

a a

SI= SA −SI = a −  = 

 

Diện tích tam giác ABC

2

ABC

a

S∆ =

Vậy thể tích khối chóp . 11

3 12

S ABCD ABC

a

V = S∆ SI= Chọn B

Câu 11. Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên

21

a Tính theo

a thể tích V khối chóp S ABC

A 3

8

a

V= B

3 12

a

V= C

3 24

a

V = D

3

a

V =

Lời giải Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S ABC khối chóp nên suy SI⊥(ABC)

Gọi M trung điểm

3

a

BC ⇒AI = AM=

Tam giác SAI vuông I, có

2

2 21

6

a a a

SI= SA −AI   −  =

 

 

 

   

Diện tích tam giác ABC

2

ABC

a

S∆ =

Vậy thể tích khối chóp . 3

3 24

S ABC ABC

a

V = S∆ SI= Chọn C

I

M C

B A

S I

B

D

C A S

I

M C

B A

Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a thể tích

a Tính chiều cao h hình chóp cho

A.

6

a

h= B.

2

a

h= C.

3

a

h= D. h=a

Lời giải. Xét hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a ABC

S∆ a

⇒ =

Thể tích khối chóp

2

3

1

3

S ABC

S ABC ABC

ABC

V a

V S h h a

S a

∆

∆

= → = = = Chọn D.

Câu 13. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB=a

Cạnh bên SA=a 2, hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm

của cạnh huyền AC Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC

A

12

a

V= B

3

a

V= C

3

2

12

a

V = D

3 6

a

V =

Lời giải. Gọi M trung điểm AC Theo giả thiết, ta có SM ⊥(ABC)⇒SM ⊥AC Tam giác vng ABC, có AC =AB 2=a

Tam giác vng SMA, có

2

2 2

2

AC a

SM= SA −AM = SA −  =

Diện tích tam giác vng cân ABC

2 ABC

a

S∆ =

Vậy

1

3 12

S ABC ABC

a

V = S∆ SM= Chọn A.

Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, góc 60

ABC= ° Cạnh bên SD= Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn BD thỏa HD=3HB Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

24

V= B 15

24

V= C 15

8

V = D 15

12

V =

Lời giải. Vì ABC=60° nên tam giác ABC

Suy

3 3

; 3;

2 4

BO= BD= BO= HD= BD=

Tam giác vng SHD, có 2

SH = SD −HD =

Diện tích hình thoi ABCD

ABCD ABC

S = S∆ =

Vậy thể tích khối chóp

1 15

3 24

S ABCD ABCD

V = S SH= Chọn B

Câu 15. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB

vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Hình chiếu vng góc S

trên AB điểm H thỏa AH =2BH Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A

6

a

V= B

3

a

V= C

3

a

V = D

3

a

V =

S

A

B

C M

O

S

A

C

D

B

Lời giải. Trong tam giác vng SAB, ta có

2 2

;

3

SA =AH AB= AB AB= a

2 2

a

SH = SA −AH =

Diện tích hình vng ABCD ABCD

S =a

Vậy .

3

S ABCD ABCD

a

V = S SH= Chọn D.

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Cạnh

bên SA vng góc với đáy, góc 60

SBD= Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

V=a B

3

a

V= C

3

3

a

V = D

3

3

a

V =

Lời giải. Ta có ∆SAB= ∆SAD→SB=SD Hơn nữa, theo giả thiết

60

SBD=

Do ∆SBD cạnh SB=SD=BD=a Tam giác vuông SAB, ta có SA= SB2−AB2 =a

Diện tích hình vng ABCD ABCD

S =a

Vậy .

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA= (đvtt) Chọn C

Câu 17. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, AC=2a, AB=SA=a Tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy

(ABC) Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC

A

4

a

V= B

3

4

a

V= C

V =a D

3

3

a

V =

Lời giải. Kẻ SH ⊥AC Do (SAC) (⊥ ABC) theo giao tuyến AC nên SH ⊥(ABC) Trong tam giác vng SAC, ta có

2

3

SC= AC −SA =a ,

2

SA SC a

SH AC

= =

Tam giác vng ABC, có 2

BC= AC −AB =a

Diện tích tam giác ABC

2

1

2

ABC

a

S∆ = AB BC=

Vậy .

3

S ABC ABC

a

V = S∆ SH= Chọn A.

Câu 18. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Cạnh bên SA=a

vng góc với đáy; diện tích tam giác SBC

2 2

a (đvdt) Tính theo

a thể tích V

của khối chóp S ABCD

A

V=a B

3

a

V= C

3

3

a

V = D

3

3

a

V =

Lời giải. Ta có BC⊥AB (do ABCD hình vng) ( )1 Lại có BC⊥SA (do SA vng góc với đáy (ABCD)) ( )2

H B

D

C A

S

B

D

C A

S

A

B

C S

Từ ( )1 ( )2 , suy BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB Do tam giác SBC vng B

Đặt cạnh hình vng x>0 Tam giác SAB vuông A nên

2 2

SB= SA +AB = a +x

Theo chứng minh trên, ta có tam giác SBC vuông B nên

2

2

2 1

2 ABC 2

a

S∆ SB BC a x a x a

= = = + → =

Diện tích hình vng ABCD ABCD

S =a

Vậy .

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA= Chọn C

Câu 19. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh huyền AB Hình chiếu vng góc S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm

tam giác ABC 14

2

SB= Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC

A

2

V= B

4

V= C

4

V = D.V =1

Lời giải. Gọi M N, trung điểm AB AC, Suy G=CM∩BN trọng

tâm tam giác ABC.Theo giả thiết, ta có SG⊥(ABC) Tam giác ABC vng cân C , suy

2

AB

CA=CB= = CM⊥AB

Ta có

2

CM = AB= , suy 1;

3

GM = CM=

2 10 2

;

2

BG= BM +GM = SG= SB +GB =

Diện tích tam giác ABC

2

ABC

S∆ = CA CB=

Vậy .

3

S ABC ABC

V = S∆ SG= Chọn C.

Câu 20. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với

mặt đáy góc

60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A

6

a

V= B

3

a

V= C

3

a

V = D

3

3

a V =

Lời giải. Gọi O=AC∩BD Do S ABCD hình chóp nên SO⊥(ABCD) Suy OB hình chiếu SB (ABCD)

Khi ( )

60 =SB ABCD, =SB OB, =SBO

Tam giác vng SOB, có tan

a

SO=OB SBO=

Diện tích hình vng ABC 2 ABCD

S =AB =a

Vậy .

3

S ABCD ABCD

a

V = S SO= Chọn A.

N

A B

C S

G M

S

A

C

B O

D

D

C B

Câu 21. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a,

5

AC = a Đường thẳng SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy

góc

60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A

6

V= a B

4

V = a C

2

V= a D

2

V = a Lời giải. Trong tam giác vuông ABC, ta có 2

2

BC= AC −AB = a

Vì SA⊥(ABCD) nên hình chiếu vng góc

SB mặt phẳng (ABCD) AB

Do ( )

60 =SB ABCD, =SB AB, =SBA

Tam giác vng SAB, có SA=AB tanSBA=a

Diện tích hình chữ nhật

ABCD

S =AB BC= a

Vậy

1

2

S ABCD ABCD

V = S SA= a Chọn C B C

A S

D

Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc

với mặt phẳng (ABC); góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC

A

4

a

V= B

3

4

a

V = C

3

2

a

V= D

V =a Lời giải. Do SA⊥(ABCD) nên ta có

( )

0

60 =SB ABC, =SB AB, =SBA

Tam giác vuông SAB, có SA=AB tanSBA=a Diện tích tam giác SAB

2 ABC

a

S∆ =

Vậy .

3

S ABC ABC

a

V = S∆ SA= Chọn A

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD=1200 Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD) SD tạo với đáy (ABCD) góc

60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A

4

a

V= B

3

4

a

V = C

3

2

a

V= D

V =a Lời giải. Do SA⊥(ABCD) nên ta có ( )

60 =SD ABCD, =SD AD, =SDA Tam giác vng SAD, có SA=AD tanSDA=a

Diện tích hình thoi

2

2 sin

2

ABCD BAD

a

S = S∆ =AB AD BAD=

Vậy thể tích khối chop .

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA=

Chọn C.

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Hình

chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB, góc

giữa SC mặt đáy

30 Tính thể tích V khối chóp S ABCD

C

B A

S

B

S

A

C

A 15

V= B 15

18

V = C

3

V= D

6

V =

Lời giải. Vì SH ⊥(ABCD) nên hình chiếu vng góc SC mặt phẳng đáy

(ABCD) HC.Do ( )

30 =SC ABCD, =SC HC, =SCH

Tam giác vng BCH, có 2

HC= BC +BH =

Tam giác vng SHC, có tan 15

SH=HC SCH=

Diện tích hình vuông ABCD SABCD=1

Vậy . 15

3 18

S ABCD ABCD

V = S SH= Chọn B.

Câu 25. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AC=2 , a BC=a

Đỉnh S cách điểm A B C, , Biết góc đường thẳng SB mặt phẳng

(ABCD) 60 o Tính theo

a thể tích V khối chóp S ABCD

A

4

a

V= B

3

4

a

V = C

3

2

a

V= D

V =a

Lời giải. Gọi O trung điểm AC , suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo giả thiết đỉnh S cách điểm A B C, , nên hình chiếu S xuống

đáy điểm O→SO⊥(ABCD)→hình chiếu vng góc SB mặt đáy

(ABCD) OB.Do ( )

60 =SB ABCD, =SB OB, =SBO

Tam giác vng SOB, có SO=OB tanSBO=a Tam giác vng ABC, có 2

3

AB= AC −BC =a

Diện tích hình chữ nhật

ABCD

S =AB BC=a

Vậy

1

3

S ABCD ABCD

V = S SO=a Chọn D

Câu 26 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, AB=AC=a Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC) Gọi I trung điểm BC , SI tạo với mặt phẳng (ABC) góc

60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC

A

4

V=a B

3 6

V =a C

3

2

V=a D

3 12

V =a

Lời giải Vì SA⊥(ABC) nên hình chiếu vng góc SI mặt phẳng (ABC)

AI Do 60o=SI ABC,( )=SI AI, =SIA

Tam giác ABC vuông A, suy trung tuyến

2

a

AI = BC=

Tam giác vng SAI, có tan

a

SA=AI SIA=

Diện tích tam giác vuông

2

ABC

a

S∆ = AB AC=

Vậy

3

6 12

S A CB ABC

a S

V = SA ∆ = Chọn D

H

B

D

C A

S

S

A

C

B O D

I

C

Câu 27 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu

vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABC) trung điểm H cạnh BC Góc

giữa đường thẳng SA mặt phẳng (ABC)

60 Tính theo a thể tích V

khối chóp S ABC

A 3

8

V=a B

3 3

8

V = a C

3

V=a D

3 3

V =a

Lời giải Vì SH ⊥(ABC) nên hình chiếu vng góc SA mặt đáy (ABC)

HA Do ( )

60 =SA ABC, =SA HA, =SAH

Tam giác ABC cạnh a nên

2

a

AH=

Tam giác vng SHA, có tan

a

SH =AH SAH =

Diện tích tam giác ABC

2 ABC

a

S∆ =

Vậy . 3

3

S ABC ABC

a

V = S∆ SH= Chọn A.

Câu 28 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B; đỉnh S cách

đều điểm A B C, , Biết AC=2 , a BC=a; góc đường thẳng SB mặt đáy

(ABC)

60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC

A

4

V=a B

3 6

V =a C

3

2

V=a D

3 12

V =a

Lời giải Gọi H trung điểm AC Do tam giác ABC vuông B nên H tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đỉnh S cách điểm A B C, , nên hình chiếu S mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

suy SH ⊥(ABC) Do ( )

60 =SB ABC, =SB BH, =SBH

Tam giác vuông SHB, có

.tan tan

2

AC

SH=BH SBH = SBH =a

Tam giác vuông ABC, có 2

3

AB= AC −BC =a

Diện tích tam giác vng

2

ABC

a

S∆ = BA BC=

Vậy .

3

S ABC ABC

a

V = S∆ SH= Chọn C.

Câu 29. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, BD=1 Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy (ABCD) trung điểm OD

Đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc

60 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

24

V= B

8

V = C

8

V= D

12

V =

Lời giải Vì SH ⊥(ABCD) nên hình chiếu vng góc SD mặt đáy (ABCD) HD Do ( )

60 =SD ABCD, =SD HD, =SDH

H

C B

A S

S

A

B

Tam giác vuông SHD, có

3

.tan tan

4

BD

SH =HD SDH= SDH =

Trong hình vng ABCD, có

2

BD

AB= =

Diện tích hình vng ABCD ABCD

S =AB =

Vậy .

3 24

S ABCD ABCD

V = S SH= Chọn A.

Câu 30. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Tam giác ABC

đều, hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 300 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A 3

3

a

V= B

3

3

a

V = C

3

a

V= D

3

9

a

V =

Lời giải Gọi O=AC∩BD; M trung điểm AB Suy H=BO∩CM

Theo giả thiết SH ⊥(ABCD) nên hình chiếu vng góc SD mặt đáy (ABCD) HD Do ( )

30 =SD ABCD, =SD HD, =SDH Tam giác ABC ADC cạnh a, suy

3

2

1

3

a OD

a

HD OD OH

a

OH BO

  = 

 ⇒ = + =

 

 = =



Tam giác vng SHD, có tan

a

SH=HD SDH =

Diện tích hình thoi 2 3

4

ABCD ABC

a a

S = S∆ = =

Vậy . 3

3

S ABCD ABCD

a

V = S SH= Chọn C

O H S

A

C D

B

S

A

C

D

B

Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân với cạnh đáy AD

;

BC

2 , , 60

AD= a AB=BC=CD=a BAD= Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng

(ABCD) SD tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 450 Tính theo a thể tích V khối

chóp S ABCD

A 3

6

a

V= B

3

a

V= C

3 3

2

a

V = D

3

V =a

Lời giải Ta có ( )

45 =SD ABCD, =SD AD, =SDA

Suy tam giác SAD vuông cân A nên SA=AD=2a

Trong hình thang ABCD, kẻ BH ⊥AD (H∈AD) Do ABCD hình thang cân nên

2

AD BC a

AH = − =

Tam giác AHB, có 2

a

BH = AB −AH =

Diện tích ( )

2

1 3

2

ABCD

a

S = AD+BC BH=

Vậy

1

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA= Chọn B

Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD

tam giác vng S Hình chiếu vng góc S mặt đáy điểm H thuộc

cạnh AD cho HA=3HD Biết SA=2a SC tạo với đáy góc

0

30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A

a

V= B

8

V= a C

8

V = a D

3

3

a

V =

Lời giải Hình chiếu vng góc SC mặt đáy HC nên

( )

0

30 =SC ABCD, =SC HC, =SCH

Tam giác vuông SAD, có

SA =AH AD

2 3

12

4

a AD AD AD

⇔ = =

Suy AD=4a, HA=3a, HD=a, SH = HA HD =a 3,

2

.cot , 2

HC=SH SCH= a CD= HC −HD = a

Diện tích hình chữ nhật ABCD ABCD

S =AD CD= a

Vậy thể tích khối chop .

3

S ABCD ABCD

a

V = S SH= Chọn D

Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng

góc với đáy SA=AB=a Gọi N trung điểm SD, đường thẳng AN hợp với đáy

(ABCD) góc

30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A 3

9

a

V= B

3 3

a

V= C

3

V =a D

3

a

V =

Lời giải Tam giác SAD vng A, có AN trung tuyến nên

2

AN= SD

Gọi M trung điểm AD, suy MN SA nên MN ⊥(ABCD)

H D

C B A

S

H S

D C

Do ( )

30 =AN ABCD, =AN AM, =NAM

Tam giác vuông NMA, có cos

SD

AM =AN NAM =

Tam giác SAD, có

2

2 2 2

2

SD SD =SA +AD ⇔SD =a + 

  

Suy SD=2a nên AD=a

Diện tích hình chữ nhật

ABCD

S =AB AD=a

Vậy

1

3

S ABCD ABCD

a

V = S SH= Chọn B

Câu 34 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) góc

30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A.

18

a

V= B.

3

V= a C.

3

a

V = D.

3

a V =

Lời giải ABCD hình vng suy AB⊥AD ( )1 Vì SA⊥(ABCD)→SA⊥AD ( )2 Từ ( )1 ( )2 , suy AD⊥(SAB)

Khi SA hình chiếu SD mặt phẳng (SAB)

Do ( ) ( )

30 =SD SAB; = SD SA; =DSA

Tam giác SAD vuông A, có tan

AD

SA a

DSA

= =

Vậy thể tích khối chóp . 3

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA= Chọn D

Câu 35 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3, tam giác

SBC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, đường thẳng SD tạo

với mặt phẳng (SBC) góc

60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

6

V= B V= 6. C

3

V = D.V = 3.

Lời giải Kẻ SH ⊥BC Vì (SBC) (⊥ ABCD) theo giao tuyến BC nên SH ⊥(ABCD) Ta có DC BC DC (SBC)

DC SH

 ⊥

 ⇒ ⊥

  ⊥ 

Do ( )

60 =SD SBC, =SD SC, =DSC

Từ DC⊥(SBC)→DC⊥SC

Tam giác vng SCD, có tan

DC SC

DSC

= =

Tam giác vng SBC, có

2

6

3

SB SC BC SC SC

SH

BC BC

−

= = =

Diện tích hình vng ABCD SABCD=3

Vậy .

3

S ABCD ABCD

V = S SH= Chọn C.

H S

D C

B A

N

M S

D

C B

A

A

B C

Câu 36 Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên với mặt

đáy

60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC

A 3

24

a

V= B

3

a

V= C

3

8

a

V = D

3 12

a

V =

Lời giải Gọi E F, trung điểm BC BA, vàO=AE∩CF

Do S ABC hình chóp nên SO⊥(ABC) Khi ( ) ( )

60 = SBC , ABC =SE OE, =SEO

Tam giác vng SOE, có

0

.tan tan 60

3

AE a a

SO=OE SEO= = =

Diện tích tam giác ABC

2 ABC

a

S∆ =

Vậy . 3

3 24

S ABC ABC

a

V = S∆ SO= Chọn A.

Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng

SA vng góc đáy mặt bên (SCD) hợp với đáy góc

60 Tính theo a thể

tích V khối chóp S ABCD

A 3

9

a

V= B

3

a

V= C

3

V =a D

3 3

a

V =

Lời giải Ta có SA⊥(ABCD)⇒SA⊥CDnên có CD AD CD (SAD) CD SD

CD SA

 ⊥

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

  ⊥ 

Do ( ) ( )

;

SCD ABCD CD

SD CD AD CD

 ∩ =



 ⊥ ⊥



, suy ( ) ( )

60 =SCD , ABCD =SD AD, =SDA

 

 

Tam giác vuông SAD, có SA=AD tanSDA=a Diện tích hình vng ABCD 2

ABCD

S =AB =a

Vậy thể tích khối chóp . 3

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA=

Chọn D

Câu 38.(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=a AD, =a 3, SA vng góc với đáy mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc

60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A.

3

V= a B.

3

a

V= C.

V =a D.

3

a V =

Lời giải Ta có SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BCnên có BC AB BC (SAB) BC SB

BC SA

 ⊥

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

  ⊥ 

Do ( ) ( )

;

SBC ABCD BC

SB BC AB BC

 ∩ =



 ⊥ ⊥



, suy ( ) ( )

60 =SBC , ABCD =SB AB, =SBA

 

 

A

B

C S

O

E F

D S

A

Tam giác vng SAB, có SA=AB tanSBA=a Diện tích hình chữ nhật ABCD

2

ABCD

S =AB AD=a

Vậy thể tích khối chóp

1

3

S ABCD ABCD

V = S SA=a

Chọn D

Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA

vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABCD)

60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A

12

a

V= B

V=a C

3 6

a

V = D

3

a

V =

Lời giải Vì SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD ( )1 Gọi O=AC∩BD, suy BD⊥AO ( )2 Từ ( )1 ( )2 , suy BD⊥(SAO)⇒BD⊥SO

Do ( ) ( )

,

SBD ABCD BD

SO BD AO BD

 ∩ =



 ⊥ ⊥



, suy

( ) ( )

0

60 =SBD , ABCD=SO AO, =SOA

 

 

Tam giác vuông SAO, ta có tan

a

SA=AO SOA=

Diện tích hình vng ABCD ABCD

S =a

Vậy

1

3

S ABCD ABCD

a

V = S SA= Chọn C.

Câu 40 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, đường chéo

AC =a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, góc

giữa (SCD) đáy

45 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

A

4

a

V= B

3

4

a

V= C

3

2

a

V = D

3

12

a V =

Lời giải Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥AB

Mà (SAB) (⊥ ABCD) theo giao tuyến AB nên SH ⊥(ABCD) Tam giác ABC cạnh a nên 3 3

2

CH AB CH CD

AB a CH  ⊥ → ⊥    = =   Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , ,

SCD ABCD CD

SC SCD SC CD

HC ABCD HC CD

 ∩ =   ⊂ ⊥    ⊂ ⊥  suy ( ) ( )

45 = SCD , ABCD =SC HC, =SCH

Tam giác vng SHC, có tan

a

SH=HC SCH=

Diện tích hình thoi ABCD

2 2 ABCD ADC a

S = S∆ =

Vậy thể tích khối chóp .

3

S ABCD ABCD

a

V = S SH= Chọn A

Câu 41 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D,

1

AD=DC= , AB=2; cạnh bên SA vng góc với đáy; mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) góc

45 Tính thể tích Vcủa khối chóp S ABCD

A V= 2. B 2

V= C

2

V = D

6

V =

Lời giải Gọi I trung điểm AB, suy 1

CI=AD= = AB

Do tam giác ABC vng C Suy BC⊥AC nên

( ) ( )

0

45 = SBC , ABCD =SC AC, =SCA

Ta có 2

2

AC = AD +DC =

Tam giác vng SAC, có SA=AC tanSCA=

Diện tích hình thang ( )

2

ABCD

AB DC AD

S = + =

Vậy thể tích khối chóp .

3

S ABCD ABCD

V = S SA=

Chọn C

Câu 42. Cho tứ diện ABCD có

4cm ABC

S∆ = ,

6cm ABD

S∆ = , AB=3cm Góc hai mặt phẳng (ABC) (ABD) 60ο Tính thể tích

V khối tứ diện cho

A 3

cm

V= B 3

cm

V= C

2 3cm

V = D 3

cm

V =

Lời giải. Kẻ CK⊥AB Ta có 8cm

2

ABC

S∆ = AB CK→CK=

Gọi H chân đường cao hình chóp hạ từ đỉnh C

Xét tam giác vng CHK, ta có

( ) ( )

.sin sin ,

3

CH=CK CKH=CK ABC ABD =

Vậy thể tích khối tứ diện 3

cm

3 ABD

V = S∆ CH = Chọn D

Câu 43 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB AC,

AD đơi vng góc với nhau; AB=6 , a AC=7a AD=4 a Gọi M N P, , tương ứng trung điểm cạnh BC CD BD, , Tính thể tích V tứ diện AMNP

A

V= a B

14

V= a C 28

V = a D

7

V = a Lời giải Do AB AC, AD đơi vng góc với nên

3

1

.6 28

6

ABCD

V = AB AC AD= a a a= a

Dễ thấy

4

MNP BCD

S∆ = S∆

Suy

7

AMNP ABCD

V = V = a Chọn D.

I B

S

A

C D

K H

C

B

A D

P

N M

D A

B

Câu 44.(ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho tứ diện ABCD tích 12

G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A GBC

A. V=3 B.V=4 C.V =6 D.V =5

Lời giải Vì G trọng tâm tam giác BCD nên

3

GBC DBC

S∆ = S∆

Suy . 1.12

3

A GBC ABCD

V = V = = Chọn B.

Câu 45.(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(SBC) 2

a

Tính thể tích V khối chóp cho

A.

2

a

V= B.

V=a C.

3

a

V = D.

3

a V =

Lời giải Gọi H hình chiếu A SB ⇒AH⊥SB Ta có SA (ABCD) SA BC BC (SAB) AH BC

AB BC

 ⊥ ⇒ ⊥

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

  ⊥ 

Suy ( ) ,( )

2

a AH ⊥ SBC ⇒d A SBC =AH=

Tam giác SAB vng A, có 12 12 12 SA a

AH =SA +AB ⇒ =

Vậy

3 ABCD

a

V = SA S = Chọn D

Câu 46. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC =a 2,

SA=a vng góc với đáy (ABC) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng

( )α qua AG song song với BC cắt SB, SC M , N Tính theo a thể

tích V khối chóp S AMN

A

27

V= a B

3

29

V= a C

3

9

V =a D

3

27

V =a

Lời giải Từ giả thiết suy AB=BC=a

Diện tích tam giác

2

ABC

a

S∆ = AB BC= Do

3

3

S ABC ABC

a

V = S∆ SA=

Gọi I trung điểm BC

Do G trọng tâm ∆SBC nên

3

SG SI =

Vì BC ( )α →BC song song với giao tuyến MN

AMN ABC

→ ∆ ∽∆ theo tỉ số

4

AMN SBC

S∆ S∆

→ =



Vậy thể tích khối chóp . .

9 27

S AMN S ABC

a

V = V =

Chọn A.

Nhận xét 1) bạn đọc tham khảo cách giải khác tỉ số thể tích Bài??? 2) Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k tỉ số thể tích

k

H

D

S

A B

C

S

A

B

C M

N

Câu 47. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N lần

lượt trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH

vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH =a Tính thể tích khối chóp S CDNM

A 3

8

a

V= B

3

24

a

V= C

3

8

a

V = D

3

12

a

V =

Lời giải Theo giả thiết, ta có SH =a Diện tích tứ giác SCDNM =SABCD−S∆AMN−S∆BMC

2 2

2 1

2 8

a a a

AB AM AN BM BC a

= − − = − − =

Vậy

1

3 24

S CDNM CDNM

a

V = S SH = Chọn B

Câu 48. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a

Mặt bên tạo với đáy góc

60 Gọi K hình chiếu vng góc O SD Tính

theo a thể tích V khối tứ diện DKAC

A 3

15

a

V= B

3

5

a

V= C

3

15

a

V = D

3

V =a

Lời giải Gọi M trung điểm CD, suy OM⊥CD nên

( ) ( )

0

60 = SCD , ABCD =SM OM, =SMO

Tam giác vng SOM, có SO=OM tanSMO=a Kẻ KH ⊥OD⇒KH SO nên KH⊥(ABCD) Tam giác vuông SOD, ta có

2

2

KH DK DO

SO = DS =DS

2

2

2 2

5 5

OD a

KH SO

SO OD

= = → = =

+

Diện tích tam giác

2 ADC

S∆ = AD DC= a

Vậy 3

3 15

DKAC ADC

a

V = S∆ KH= Chọn C

Câu 49*. Cho hình chóp S ABC có 0

60 , 90

ASB=CSB= ASC= SA=SB=a,

SC= a Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

a

V= B

3

12

a

V = C

3

12

a

V= D

3 a V =

Lời giải. Gọi M trung điểm AB⇒SM ⊥AB ( )1

Ta có 60 SA SB SAB ASB  =  ⇒ ∆   = 

3

2 AB a a SM  =   → = 

Tam giác SAC, có 2

10

AC = SA +SC =a

Tam giác SBC, có BC= SB2+SC2−2SB SC .cosBSC=a Tam giác SBC, có

2 2

10

cos

2

AB AC BC

2 33

2 cos

2

a

CM AM AC AM AC BAC

→ = + − =

Ta có 2 2

9

SM +MC =AC = a → ∆SMC vuông M →SM ⊥MC ( )2 Từ ( )1 ( )2 , ta có SM⊥(ABC)

Diện tích tam giác sin

2

ABC

a

S∆ = AB AC BAC=

Vậy thể tích khối chop

3

SABC ABC

a

V = S∆ SM= Chọn D

Cách 2. (Dùng phương pháp tỉ số thể tích-Bạn đọc hiểu rõ vấn đề Bài ??? đến Bài ???)

Trên cạnh SC lấy điểm D cho SD=a

Dễ dàng suy , vuong can

vuong can

,

AB CD a AD a ABD

SAD

SA SD a AD a

 = = = ∆

 →

 

 = = = ∆

 



Lại có SA=SB=SD=a nên hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABD) trung điểm I AD

Ta tính 2

a

SI=

ABD

S∆ = a

Suy .

3 12

S ABD ABD

a

V = S∆ SI=

Ta có

1 S ABD

S ABC

V SD

V =SC =

3

2

3

4

S ABC S ABD

a

V V

→ = =

Cách 3.Phương pháp trắc nghiệm. '' Cho hình chóp S ABC có , ,

ASB=α BSC=β CSA=γ SA=a, SB=b, SC=c.'' Khi ta có:

2 2

cos cos cos cos cos cos

S ABC abc

V = − α− β− γ− α β γ

Áp dụng công thức, ta

S ABC

a

V =

Câu 50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=SB, ,

SC=SD (SAB) (⊥ SCD) tổng diện tích hai tam giác SAB SCD

2

10

a Tính

thể tích V khối chóp S ABCD

A.

5

a

V= B.

3

15

a

V= C.

3

25

a

V = D.

3 12

25

a V =

Lời giải Gọi M N, trung điểm AB CD

I

2a a

a a

D

C B

A

Tam giác SAB cân S suy SM⊥AB⇒SM ⊥d, với d=(SAB) (∩ SCD) Vì (SAB) (⊥ SCD) suy SM⊥(SCD)⇒SM⊥SN (SMN) (⊥ ABCD) Kẻ SH ⊥MN →SH ⊥(ABCD)

Ta có 7

10 2 10

SAB SCD

a a a

S∆ +S∆ = ⇔ AB SM+ CD SN= →SM+SN=

Tam giác SMN vuông S nên 2 2

SM +SN =MN =a

Giải hệ

2 2

7

3 12

&

5

5 25

a

SM SN a a SM SN a

SM SN SH

MN

SM SN a



 + =

 ⇔ = = → = =



 + = 

Vậy thể tích khối chóp .

3 25

S ABCD ABCD

a

V = S SH = Chọn C

Vấn đề THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Câu 51 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a

A. 3

6

a

V= B.

3

12

a

V = C.

3

a

V= D.

3

a V =

Lời giải Xét khối lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có tất cạnh a Diện tích tam giác cạnh a

2

a S=

Chiều cao lăng trụ h=AA'=a

Vậy thể tích khối lăng trụ . 3 ABC A B C

a V ′ ′ ′=S h=

Chọn D

Câu 52. Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a tổng

diện tích mặt bên a

A. 3

6

a

V= B.

3

12

a

V = C.

3

a

V= D.

3

a V =

C' B' A'

C

B A

H N

M

D S

A

Lời giải Xét khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác AA′ ⊥(ABC) Diện tích xung quanh lăng trụ Sxq=3.SABB A′ ′

( ) ( )

2

3a AA AB′ 3a AA a′ AA′ a

⇔ = ⇔ = ⇒ =

Diện tích tam giác ABC

2

ABC

a

S∆ =

Vậy thể tích khối lăng trụ . 3 ABC

ABC A B C

a V ′ ′ ′=S∆ AA′=

Chọn D

Câu 53.(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có

BB′ =a, đáy ABC tam giác vuông cân B AC=a Tính thể tích V

khối lăng trụ cho

A.

6

a

V= B.

3

a

V = C.

3

a

V= D.

V =a Lời giải Tam giác ABC vuông cân B,

suy

2

2 ABC

AC a

BA=BC= = ⇒a S∆ =

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC

a V =S∆ BB′=

Chọn C

Câu 54. Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác với AB=a,

2

AC = a,

120

BAC= , AA'=2a Tính thể tích V khối lăng trụ cho

A

4

V= a B

15

V =a C

3 15

a

V= D

3

3

a

V =

Lời giải Diện tích tam giác ABC

2

1

.sin

2

ABC

a

S∆ = AB AC BAC =

Vậy thể tích khối lăng trụ

' ' ' ' 15

ABC A B C ABC

V =S∆ AA =a Chọn B.

Câu 55. Tính thể tích V khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ', biết AC'=a

A

V=a B

3

a

V = C

3

V= a D

V = a

Lời giải Đặt cạnh khối lập phương x (x>0 ) Suy CC'=x AC; =x

Tam giác vng ACC', có

2

' ' 3

AC = AC +CC ⇔x =a ⇒ =x a

Vậy thể tích khối lập phương

V=a Chọn A

Câu 56. Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình vng cạnh 2a

Tính thể tích V khối lăng trụ cho theo a, biết A B' =3a A

3

a

V= B

4

V = a C

2

V= a D

12

V = a

A

B

C A'

B'

C' C' B' A'

C

B A

A B

C D

A' B'

Lời giải Do ABCD A B C D ' ' ' ' lăng trụ đứng nên AA'⊥AB

Xét tam giác vuông A AB' , ta có 2

' '

A A= A B −AB =a

Diện tích hình vng ABCD SABCD=AB2=4a2

Vậy

' ' ' ' '

ABCD A B C D ABCD

V =S A A= a Chọn B

Câu 57. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB=a, AD=a 2, AB'=a Tính theo a thể tích khối hộp cho

A

10

V=a B

3 2

3

a

V = C

2

V=a D

2

V = a

Lời giải Trong tam giác vng ABB', có 2

' '

BB = AB −AB = a

Diện tích hình chữ nhật ABCD

ABCD

S =AB AD=a

Vậy

' ' ' ' ' 2

ABCD A B C D ABCD

V =S BB = a Chọn D.

Câu 58. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt xuất phát từ đỉnh

là 2

10cm , 20cm , 32cm Tính thể tích V hình hộp chữ nhật cho

A.

80cm

V= B.

160cm

V = C.

40cm

V= D.

64cm

V =

Lời giải Xét hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình chữ nhật

Theo ra, ta có

2

2

2

10 cm 10

20 cm 20 32 30 cm

ABCD

ABB A

ADD A

S AB AD

S AB AA

AA AD S ′ ′ ′ ′  =  =      = ⇔ ′=       ′  =  = 

Nhân vế theo vế, ta ( )2

6400 80

AA AB AD′ = ⇒AA AB AD′ =

Vậy

' ' ' ' 80 cm ABCD A B C D

V =AA AB AD′ = Chọn A

Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d= 21 Độ dài ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân có cơng bội q=2 Thể tích khối hộp chữ nhật

A. V=8 B.

3

V = C.

3

V= D.V =6

Lời giải Xét hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có độ dài kích thước ba cạnh

là AA′ =a AB, =b AD, =c có đường chéo AC′

Theo ra, ta có a b c, , lập thành cấp số nhân có công bội q=2 Suy b a c a  =    = 

Mặt khác, độ dài đường chéo 2 2 2

21 21 21

AC′= ⇒AA′ +AB +AD = ⇔a +b +c =

Ta có hệ

( )2 ( )2

2 2 2

1

2 4

2

21 21 21 21

4

a

c b a

c b a c b a

b

a b c a a a a

c  =   = =   = =   = =      ⇔ ⇔ ⇔ =      + + =  + + =  =          =

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD A B C D. ′ ′ ′ ′=AA AB AD′ =abc=8 Chọn A.

Câu 60. Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng B

1

BA=BC= Cạnh A B' tạo với mặt đáy (ABC) góc

60 Tính thể tích V khối

lăng trụ cho

A V= 3. B

V = C

2

V= D

2

V =

Lời giải Vì ABC A B C ' ' ' lăng trụ đứng nên AA'⊥(ABC), suy hình chiếu vng góc A B' mặt đáy (ABC) AB

Do ( )

60 =A B ABC' , =A B AB' , =A BA'

Tam giác vuông A AB' , ta có AA'=AB tanA BA' = Diện tích tam giác ABC

2

ABC

S∆ = BA BC=

Vậy '

2 ABC

V =S∆ AA = Chọn C

Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB=AA'=a, đường chéo A C' hợp với mặt đáy (ABCD) góc α thỏa mãn cotα= Tính theo a thể tích khối

hộp cho

A

2

V= a B

3

3

a

V = C

5

V= a D

3

5

a

V =

Lời giải Ta có AA'⊥(ABCD) nên

( )

' , ' , '

A C ABCD =A C AC=A CA

Tam giác vuông A AC' , ta có AC =AA'.cotα=a Tam giác vng ABC, ta có BC= AC2−AB2 =2a

Diện tích hình chữ nhật ABCD

ABCD

S =AB BC= a

Vậy

' ' ' ' '

ABCD A B C D ABCD

V =S AA = a Chọn A

Câu 62.(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có

đáy ABC tam giác cân với

, 120 ,

AB=AC=a BAC= mặt phẳng (AB C′ ′) tạo với đáy góc

60 Tính thể tích V khối lăng trụ cho

A. 3

8

a

V= B.

3

a

V = C.

3

a

V= D.

3

a V =

Lời giải Gọi M trung điểm đoạn thẳng B C′ ′ Tam giác ABC cân A→

tam giác A B C′ ′ ′ cân A′→A M′ ⊥B C′ ′

Do ( ) ( ) ( )

60 = AB C′ ′ , A B C′ ′ ′ = AM A M; ′ =AMA′ Tam giác vng A B M′ ′ , có

0 cos cos 60

2

a A M′ =A B′ ′ MA B′ ′=a =

Tam giác vng AA M′ , có

0

.tan tan 60

2

a a

AA′=A M′ AMA′= =

Diện tích tam giác sin

2

ABC

a

S∆ = AB AC BAC=

Vậy . 3

8 ABC

ABC A B C

a

V ′ ′ ′ =S∆ AA′= Chọn A.

C' B' A'

C

B A

A B

C D

A' B'

C' D'

M A

B

A' C'

C

Câu 63. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cân, AB=a

0 120

BAC= , góc mặt phẳng (A BC' ) mặt đáy (ABC)

60 Tính theo a

thể tích khối lăng trụ

A

8

a

V= B

3

8

a

V = C

3

4

a

V= D

3

24

a V =

Lời giải Tương tự 62 Chọn B.

Câu 64 Tính theo a thể tích V khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' Biết mặt phẳng (A BC' ) hợp với đáy (ABCD) góc

60 , A C' hợp với đáy (ABCD) góc

30 AA'=a

A

2

V= a B

3

3

a

V = C

2

V= a D

V =a

Lời giải Ta có ( )

30 =A C ABCD' , =A C AC' , =A CA' ;

( ) ( )

0

60 = A BC' , ABCD =A B AB' , =A BA' Tam giác vuông A AB' , có '

tan '

AA

AB a

A BA

= =

Tam giác vng A AC' , có ' tan '

AA

AC a

A CA

= =

Tam giác vng ABC,có 2

2

BC= AC −AB = a

Diện tích hình chữ nhật

2

ABCD

S =AB BC= a

Vậy

' ' ' ' '

ABCD A B C D ABCD

V =S AA = a Chọn A.

Câu 65. Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình thoi cạnh 1,

0 120

BAD= Góc đường thẳng AC' mặt phẳng (ADD A' ')

30 Tính thể tích V khối lăng trụ

A V= 6. B 6

V = C

2

V= D.V = 3.

Lời giải Hình thoi ABCD có 120

BAD= , suy

60

ADC= Do tam giác ABC

và ADC tam giác Vì N trung điểm A D' ' nên

' ' ' '

2

C N A D

C N

 ⊥

  

 =



Suy ( )

30 =AC', ADD A' ' =AC AN', =C AN' Tam giác vuông C NA' , có '

2 tan '

C N AN

C AN

= =

Tam giác vng AA N' , có 2

' '

AA = AN −A N =

Diện tích hình thoi

.sin

2 ABCD

S =AB BAD=

Vậy ' ' ' ' ' ABCD A B C D ABCD

V =S AA = Chọn C

A

B C

D A'

B' C'

D'

D' C'

B' A'

D C

B A

Vấn đề 3 THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN

Câu 66. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cạnh 2a, đáy ABCD

là hình vng Hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng đáy trùng với tâm đáy Tính theo a thể tích V khối hộp cho

A.

3

a

V= B.

3

3

a

V = C.

8

V= a D.

4

V = a

Lời giải. Gọi O tâm hình vng ABCD,

suy A O' ⊥(ABCD) Tam giác vuông A OA' , có

2 2

' ' 2

A O= AA −AO = a − a =a

Diện tích hình vng ABCD

S = a

Vậy

' ' ' ' '

ABCD A B C D ABCD

V =S∆ A O= a Chọn D.

Câu 67. Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên

'

AA =a, hình chiếu vng góc A' mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm

H AB Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho

A. 3

6

a

V= B.

3

a

V = C.

V=a D.

3

3

a

V =

Lời giải. Theo giả thiết, ta có A H' ⊥AB

Tam giác vng A HA' , có 2

' '

2

a

A H= AA −AH =

Diện tích hình vng ABCD

S =a

Vậy ' ' ' '

3

'

2 ABCD A B C D ABCD

a

V =S A H= Chọn B.

Câu 68. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông cân B

2

AC = a Hình chiếu vng góc A' mặt phẳng (ABC) trung điểm H

cạnh AB A A' =a Tính thể tích V khối lăng trụ cho

A.

3

V=a B.

3 6

a

V = C.

3

a

V= D.

2

V = a

Lời giải. Từ giả thiết suy BA=BC =a

Tam giác vuông A HA' , có ' '2

a

A H= AA −AH =

Diện tích tam giác ABC

2 ABC

S∆ = BA BC=a

Vậy '

2 ABC

a

V =S∆ A H= Chọn C

A B

C D

A'

B' C'

D'

O

H

D'

C' B'

A'

D

C B

A

H

C' B'

A'

C

Câu 69 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu

vng góc điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC, biết A O' =a Tính thể tích V khối lăng trụ cho

A. 3

12

a

V= B

3

a

V = C.

3

4

a

V= D.

3

6

a V =

Lời giải. Diện tích tam giác ABC

a

S∆ = Chiều cao khối lăng trụ A O' =a

Vậy thể tích khối lăng trụ ' 3 ABC

a

V =S∆ A O= Chọn A.

Câu 70. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh 2a

'

A A=a Hình chiếu vng góc điểm A' mặt phẳng (ABC) trùng với

trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích V khối lăng trụ cho

A.

2

a

V= B.

3

3

a

V = C.

3

6

a

V= D.

2

V = a Lời giải. Gọi M N, trung điểm AB BC,

Khi G=AN∩CM trọng tâm ∆ABC Theo giả thiết, ta có A G' ⊥(ABC)

Tam giác ABC cạnh 2a nên suy

2

3

AN =a →AG= AN= a

Tam giác vng A GA' , có 2

' '

3

a

A G= A A −AG =

Diện tích tam giác ABC ( )2 2

4 ABC

S∆ = a = a

Vậy thể tích khối lăng trụ

' ' ' '

ABC A B C ABC

V =S A G= a Chọn D

Câu 71. Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác

vng A, AB=AC =a Biết A A' =A B' =A C' =a

A.

2

a

V= B.

3

a

V = C.

3

a

V= D.

3 12

a

V =

Lời giải. Gọi I trung điểm BC Từ A A' =A B' =A C' =a, suy hình chiếu

vng góc A' mặt đáy (ABC) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy A I' ⊥(ABC)

Tam giác ABC, có BC= AB2+AC2 =a Tam giác vng A IB' , có 2

' '

2

a

A I= A B −BI =

Diện tích tam giác ABC

2

2

ABC

a

S∆ = AB AC=

Vậy ' ' ' ' ABC A B C ABC

a

V =S∆ A I= Chọn C

I C

B

A

C' B'

A' N

M G

C'

B' A'

C

Câu 72 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông B,

1,

AB= AC= ; cạnh bên AA'= Hình chiếu vng góc A' mặt đáy (ABC) trùng với chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Tính thể tích V

khối lăng trụ cho

A. 21

4

V= B 21

12

V = C.

4

V= D. 21

4

V =

Lời giải. Gọi H chân đường cao hạ từ B ∆ABC

Theo giả thiết, ta có A H' ⊥(ABC) Tam giác vng ABC, có

2

3

BC= AC −AB = ;

2

AB AH

AC

= =

Tam giác vuông A HA' , có ' '2

A H= AA −AH =

Diện tích tam giác ABC

2

ABC

S∆ = AB BC=

Vậy ' ' '

21

'

4 ABC A B C ABC

V =S∆ A H= Chọn A

Câu 73. Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ biết thể tích khối chóp

A BCB C′ ′ a

A.

6

V= a B.

3

a

V = C.

4

V= a D.

3

V = a

Lời giải. Ta tích khối chóp . .

A A B C ABC A B C V ′ ′ ′= V ′ ′ ′

Suy 3

2 3

.2

3 2

A BCB C ABC A B C ABC A B C A BCB C

V ′ ′= V ′ ′ ′ →V ′ ′ ′ = V ′ ′= a = a Chọn D.

Câu 74. Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ tích

12cm Tính thể tích V

khối tứ diện AB CD′ ′

A.

2cm

V= B 3cm

V = C. 4cm

V= D.

5cm

V =

Lời giải Gọi S diện tích mặt đáy ABCD h chiều cao khối hộp

Thể tích khối hộp

' ' ' ' 12cm ABCD A B C D

V =S h=

Chia khối hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ thành khối tứ diện

AB CD′ ′ khối chóp: A A B D ′ ′ ′, C B C D ′ ′ ′,

,

B BAC′ D DAC′ (như hình vẽ) Ta thấy bốn khối chóp tích

3

S h

Suy tổng thể tích khối chóp '

V = Sh

B A

C D

A' B'

C' D'

Vậy thể tích khối tứ diện 1

.12 4cm

3 3

AB CD

V ′ ′=Sh− Sh= Sh= = Chọn C

A

B

C A'

B'

C'

Câu 75. Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O AB=a, AD=a 3; A O' vng góc với đáy (ABCD) Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy (ABCD) góc

45 Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho

A. 3

6

a

V= B

3 3

a

V = C.

3

a

V= D.

3

V =a

Lời giải. Vì A O' ⊥(ABCD) nên

( )

0

45 =AA', ABCD =AA AO', =A AO' Đường chéo hình chữ nhật

2

2

2

AC

AC= AB +AD = a⇒AO= =a

Suy tam giác A OA' vuông cân O nên

'

A O=AO=a

Diện tích hình chữ nhật

ABCD

S =AB AD=a

Vậy

' ' ' ' '

ABCD A B C D ABCD

V =S A O=a Chọn D.

Câu 76. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh có độ dài Hình chiếu vng góc A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H BC

Góc tạo cạnh bên AA' với mặt đáy

45 Tính thể tích khối trụ ABC A B C ' ' '

A. V=3 B V =1 C.

8

V= D.

24

V =

Lời giải. Tam giác ABC cạnh nên

AH = Vì A H' ⊥(ABC) nên hình chiếu vng góc AA' mặt đáy (ABC) AH Do

( )

0

45 =AA', ABC =AA AH', =A AH' Suy tam giác A HA' vuông cân H nên A H' =HA= Diện tích tam giác ABC S∆ABC = Vậy V =S∆ABC 'A H=3 Chọn A

Câu 77.(ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy

ABC tam giác vuông cân A, cạnh AC=2 Biết AC′ tạo với mặt phẳng (ABC) góc

60 AC′ =4 Tính thể tích V khối đa diện ABCB C′ ′

A.

3

V= B. 16

3

V = C.

3

V= D. 16

3

V =

Lời giải. Gọi H hình chiếu C′ mặt phẳng (ABC) Suy AH hình chiếu AC′ mặt phẳng (ABC)

Do ( ) ( )

60 =AC′, ABC = AC AH′, =HAC′

Tam giác vng AHC′, có C H′ =AC′.sinHAC′=2 Thể tích khối lăng trụ VABC A B C. ′ ′ ′ =S∆ABC.C H′ =8 Suy thể tích cần tính . 16

3

ABCB C ABC A B C

V ′ ′= V ′ ′ ′= Chọn D A

B

C D

A'

B' C'

D'

O

A

B

C

A' B'

C'

H

H

A' B' C'

B C

Câu 78. Tính thể tích V khối lăng trụ biết đáy có diện tích 10 cm ,

S= cạnh

bên tạo với mặt phẳng đáy góc

60 độ dài cạnh bên 10cm

A.

100cm

V= B.

50 3cm

V = C.V 5 c m 3

= D.V =100 3cm

Lời giải. Xét khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác ABC Gọi H hình chiếu A′ mặt phẳng

(ABC)⇒ A H′ ⊥(ABC) Suy AH hình

chiếu AA′ mặt phẳng (ABC) Do

( ) ( )

0

60 =AA′, ABC = AA AH′, =A AH′ Tam giác A AH′ vng H , có

.sin

A H′ =AA′ A AH′ =

Vậy

50 cm ABC

V =S∆ A H′ = Chọn B

Câu 79 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O

0 120

ABC= Góc cạnh bên AA' mặt đáy

60 Đỉnh A' cách điểm A B D, , Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho

A. 3

2

a

V= B.

3

a

V = C.

3

a

V= D.

3

V =a

Lời giải. Từ giả thiết suy ∆ABD cạnh a

Gọi H tâm tam giác ABD Vì A' cách điểm A B D, , nên A H' ⊥(ABD)

Do ( )

60 =AA', ABCD =AA HA', =A AH'

Ta có 1 3

3

a a

OH = AO= =

Tam giác vuông A AH' , có A H' =AH tanA AH' =a

Diện tích hình thoi 2

ABCD ABD

a

S = S∆ =

Vậy ' ' ' ' ' 3 ABCD A B C D ABCD

a

V =S A H= Chọn C

Câu 80. Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc

60

ABC= Biết A O′ ⊥(ABCD) cạnh bên hợp với đáy góc 60 Tính thể tích V khối đa diện OABC D′ ′

A.

6

a

V= B.

3 12

a

V = C.

3

a

V= D.

3

a V =

Lời giải. Từ giả thiết, suy tam giác ABC cạnh 2

AC a

a⇒OA= =

Vì A O′ ⊥(ABCD) nên ( ) ( )

60 =AA′, ABCD = AA AO′, =A AO′

Tam giác vng A AO′ , có tan

a OA′=OA A AO′ =

Suy thể tích khối hộp 3 ABCD

a V =S OA′=

Ta có V=VO ABC D. ′ ′+VAA D BB C′ ′. ′ ′+VC BOC′. +VD AOD′. +VO CDD C. ′ ′

3

1 1

2 12 12 6

O ABC D O ABC D

V a

V ′ ′ V V V V V ′ ′

= + + + + ⇒ = = Chọn C

A

C

B C'

B' A'

H

O

D'

C' B'

A'

D

C B

A

B'

O A

B

C

D A'

C' D'

Vấn đề TỈ SỐ THỂ TÍCH

Câu 81. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc Các

điểm M N P, , trung điểm đoạn thẳng BC CD BD, , Biết

AB= a, AC=6a, AD=7a Tính thể tích V khối tứ diện AMNP

A. 7 3.

V= a B. 28 3

V = a C. 14 3.

V= a D. 21 3

V = a

Lời giải Tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD

đơi vng góc nên . . 28 3

6 ABCD

V = AB AC AD= a

Ta có

4 MNP BCD

S∆ = S∆ , suy

1

7

4 AMNP A BCD V = V = a

Chọn A.

Câu 82 Cho tứ diện ABCD tích V Gọi V' thể tích khối tứ diện có

đỉnh trọng tâm mặt khối tứ diện ABCD Tính tỉ số V' V

A ' 27 V

V = B

' 23

27 V

V = C

'

27 V

V = D

'

27 V

V =

Lời giải Gọi M trung điểm AC; E F, lượt

trọng tâm tam giác ABC ACD,

Trong tam giác MBD có

3 EF = BD

Tương tự ta có cạnh cịn lại tứ diện sinh

3 cạnh tứ diện ban đầu

Do

3

' 1

3 27

V V

   =  =

  Chọn C.

Câu 83. Cho hình chóp S ABC có chiều cao 9, diện tích đáy Gọi M

trung điểm cạnh SB N thuộc cạnh SC cho NS=2NC Tính thể tích V

của khối chóp A BMNC

A. V=15 B.V =5 C.V=30 D.V =10 Lời giải Từ giả thiết, ta có

3 SN

SC =

1 SM

SB =

Thể tích khối chóp

1

.9.5 15

3 S ABC

V = =

Ta có

1

10

3

S AMN

ABMNC S ABC S ABC

V SM SN

V V

V = SB SC = ⇒ = =

Chọn D

P N

M C

B

A

D

F E

D A

B C

M

S

A B

Câu 84. Cho khối chóp S ABC tích 16 Gọi M N P, , trung

điểm cạnh SA SB SC, , Tính thể tích V khối tứ diện AMNP

A. V=2 B V=4 C. V=6 D. V=8

Lời giải Ta có d S MNP ,( )=d A MNP ,( ) nên VAMNP=VSMNP

Mà

8 SMNP

SABC

V SM SN SP

V = SA SB SC = nên

2

AMNP S ABC

V = V = Chọn A

Câu 85. Cho tứ diện ABCD tích V Xét điểm P thuộc đoạn AB, điểm Q

thuộc đoạn BC điểm R thuộc đoạn BD cho PA 2,QB 3, RB

PB= QC = RD= Tính thể

tích khối tứ diện BPQR theo V

A.

5

BPQR

V

V = B.

4

BPQR

V

V = C.

3

BPQR

V

V = D.

6

BPQR

V

V =

Lời giải Từ giả thiết, ta có

1

, ,

3

BP BQ BR

BA= BC = BD =

Ta có

3 5

BPQR

BACD

V BP BQ BR

V =BA BC BD= =

Suy

5

BPQR BACD

V

V = V =

Chọn A

Câu 86. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD, , đơi vng góc AB=6 ,a AC=9 ,a

3

AD= a Gọi M N P, , trọng tâm tam giác ABC ACD ADB, , Tính

thể tích V khối tứ diện AMNP

A. 8 3

V= a B. 4 3.

V = a C. 6 3.

V= a D. 2 3.

V = a

Lời giải. Ta có . . 27 3.

ABCD

V = AB AC AD= a

Gọi E F G, , trung điểm BC CD DB, ,

Suy 27 3.

4

AEFG ABCD

V = V = a

Do M N P, , trọng tâm tam giác ABC, ,

ACD ADB nên ta có

AM AN AP

AE =AF =AG=

Ta có

8

27

A MNP A EFG

V AM AN AP

V = AE AF AG=

3

8

2 27

A MNP A EFG

V V a

→ = = Chọn D.

Câu 87 Cho hình chóp S ABC có SA=3, SB=4, SC=5 60 0

ASB=BSC=CSA=

Tính thể tích V khối chóp cho

A V=5 B V =5 C V=10 D V =15

G

F E

D N M

C B

A

P

R Q

P

D C

B

Lời giải. Trên đoạn SB SC, lấy

điểm E F, cho SE=SF=3

Khi S AEF khối tứ diện có cạnh a=3

Suy .

12

S AEF

a

V = =

Ta có

3

4 20

S AEF

S ABC

V SE SF

V =SB SC = =

20

5

S ABC S AEF

V V

→ = = Chọn A.

Câu 88 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho tứ diện tích V Gọi V′

thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V

V ′

A. V

V ′

= B. V

V ′

= C.

3 V

V ′

= D.

8 V

V ′

=

Lời giải Kí hiệu tứ diện điểm hình vẽ

Ta có

1

8

S A B C

S A B C S ABC

V SA SB SC V

V

V SA SB SC

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

= = ⇒ =

Tương tự . . .

8

A A MP B B MN C C NP

V V ′ =V ′ =V ′ =

Do V′ =VS ABC. −(VS A B C. ′ ′ ′+VA A MP. ′ +VB B MN. ′ +VC C NP. ′ )

8 8 2

V V V V V V

V

V

  ′



= − + + + = ⇒ =

 Chọn A

Câu 89. Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi M

là trung điểm SB, N điểm đoạn SC cho NS=2NC Tính thể tích V

khối chóp A BCNM

A 11

36 a

V= B

3 11 16 a

V = C

3 11 24 a

V= D

3 11 18 a

V =

Lời giải. Gọi O tâm ∆ABC, suy SO⊥(ABC)

Tam giác vng SOA, có 2 11

a SO= SA −AO =

Suy . 11 11

3 12

S ABC

a a a

V = =

Ta có

1

2 3

S AMN S ABC

V SM SN

V = SB SC = =

Suy .

2 11

3 18

ABCNM

ABCNM S ABC S ABC

V a

V V

V = ⇒ = = Chọn D.

Câu 90. Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Mặt phẳng ( )P song

song với mặt đáy (ABC) cắt cạnh bên SA SB SC, , M N P, , Tính

diện tích tam giác MNP biết mặt phẳng ( )P chia khối chóp cho thành hai phần có

thể tích

A.

8

MNP

a

S∆ = B.

2 3 16

MNP

a

S∆ = C

2 3 MNP a

S∆ = D.

2 3 4 MNP a

S∆ =

Lời giải Mặt phẳng ( ) (P ABC) cắt cạnh SA SB SC, , M N P, ,

Theo Talet, ta có SM SN SP x

SA =SB =SC=

Do

S MNP

S ABC

V SM SN SP

x

V = SA SB SC =

Theo giả thiết

3

1 1

2 2

S MNP

S ABC

V

x x

V = → = → =

Suy tam giác MNP tam giác cạnh

32 a

Vậy diện tích

2 2

3

3

4

2 4

MNP

a a

S∆ =  =

  Chọn D

Câu 91. Cho tam giác ABC vuông cân A AB=a Trên đường thẳng qua C

vng góc với (ABC) lấy điểm D cho CD=a Mặt phẳng ( )α qua C vng góc với

BD, cắt BD F cắt AD E Tính thể tích V khối tứ diện CDEF

A

6 a

V= B

3

24 a

V= C

3

36 a

V = D

3

54 a V =

Lời giải Ta có AB AC AB (ACD) AB CE AB CD  ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥   ⊥ 

( )1

Lại có BD⊥( )α ⇒BD⊥CE ( )2

Từ ( )1 ( )2 , suy CE⊥(ABD)⇒CE⊥AD

Tam giác vng ABC, có BC= AB2+AC2 =a

Tam giác vng DCB, có BD= BC2+CD2 =a

Tam giác vng DCB, có

2 2 DF CD

CD DF DB

DB DB

= ⇒ = =

Tương tự, ta có 22

2 DE CD

DA=DA =

Suy

1 1 1

6 6 36

D EFC

D EFC D ABC D ABC

V DE DF a

V V a a

V DA DB

  

= = → = =  = Chọn C

Câu 92. Cho tứ diện ABCD tích V điểm M N P, , thỏa mãn điều kiện

2

AM = AB, AN =3AC AP=4AD Mệnh đúng?

A.

24

AMNP

V

V = B.VAMNP=8 V C.VAMNP =24 V D.

Lời giải Từ giả thiết, suy

1 1

; ;

2

AB AC AD

AM = AN = AP =

Ta có

1 1

2 24

A BCD A MNP

V AB AC AD

V =AM AN AP = × × =

Suy VA MNP. =24.VA BCD. =24 V Chọn C

Câu 92. Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M N, trung điểm

của cạnh AB BC, E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia

khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A

tích V Tính V

A. 216

a

V= B.

3 11

216

a

V= C.

3 13

216

a

V= D.

3

18

a V=

Lời giải. Thể tích khối tứ diện ABCD cạnh a

3

12

ABCD

a

V =

Gọi P=EN∩CD Q=EM∩AD

Suy P Q, trọng tâm ∆BCE ∆ABE

Gọi S diện tích tam giác BCD, suy S∆CDE =S∆BNE =S

Ta có

3

PDE CDE

S

S∆ = S∆ =

Gọi h chiều cao tứ diện ABCD, suy

,( ) ; ,( )

2

h h

d M BCD = d Q BCD =

Khi ( )

1

, ;

3

M BNE BNE

S h

V = S∆ d M BCD = ( )

1

,

3 27

Q PDE PDE

S h V = S∆ d Q BCD =

Suy

6 27 54 18 18

PQD NMB M BNE Q PDE ABCD

S h S h S h S h

V =V −V = − = = = V

Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A

3

11 11

18 12 216

ABCD PQD NMB

a a

V =V −V = =

Chọn B

Câu 94. Mặt phẳng qua trọng tâm tứ diện, song song với mặt phẳng tứ diện chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) hai phần

A.

3 B.

5

7 C.

27

37 D.

3

D

N M

C B

A

P

Q P

N M

E D

C B

Lời giải. Gọi E F I, , trung điểm

các cạnh AC BD EF, , I trọng tâm tứ

diện ABCD Ta dựng mặt phẳng qua I song

song với (BCD)

Trong mặt phẳng (EBD) dựng đường thẳng qua I

song song với BD cắt EB ED, M N,

Qua M N, kẻ đường thẳng

song song với BC CD, cắt AB AC AD, , , ,

P Q J

Do Q trung điểm 3,

4 AQ EC

AC

⇒ = suy

4

AP AJ AQ

AB =AD=AC =

Ta có

3 3 27 27

4 4 64 37

A PQJ A PQJ

A BCD PQJBCD

V AP AQ AJ V

V = AB AC AD= = ⇒V = Chọn C

Câu 95. Cho tứ diện SABC có cạnh Mặt phẳng ( )P qua điểm S

trọng tâm G tam giác ABC cắt cạnh AB AC, M N, Tính thể

tích nhỏ Vmin khối tứ diện SAMN

A.

18

V = B

4

V = C

2 27

V = D.

2 36

V =

Lời giải Gọi E trung điểm BC Qua B C, kẻ đường thẳng song song

với MN cắt đường thẳng AE P Q,

Theo định lí Talet, ta có

AB AP

AB AC AP AQ AP AQ AM AG

AC AQ AM AN AG AG AG AN AG



 =

 +

 ⇒ + = + =

  =  

Mặt khác ∆BPE= ∆CQE→PE=QE⇒ AP+AQ=(AE−PE) (+ AE+QE)=2AE

Do 2.3 1

2 AB AC AE

AM +AN = AG = = ⇒AM +AN = Đặt

1

3 AM x

AN y x y

 =

 ⇒ + =



 =



Vì SABC tứ diện ⇒SG⊥(ABC)

3 SG=

Do 1 2

sin 60

3 12 12

SAMN AMN

V = S∆ SG=  AM AN SG= AM AN = xy

G

G E Q

P N M

C B

A

A

B

C S

M

N

J I

F

E Q

P

D A

B

C

Ta có

1 2

3

3 27

xy xy V

x y xy

= + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇒ = Chọn C

Câu 96 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích 48 Gọi M N, điểm thuộc cạnh AB CD, cho MA=MB,

2

ND= NC Tính thể tích V khối chóp S MBCN

A V=8. B V =20. C V=28. D V =40 Lời giải Gọi d khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD

Diện tích hình bình hành SABCD=AB d

Ta có SMBCN =SABCD−S∆AMN−S∆ADN

1 1

2

AB d AM d DN d AB d AB d AB d

= − − = − −

7

12AB d 12SABCD

= =

Vậy . . . 48 28

12 12

S MBCN S ABCD

V = V = = Chọn C.

Câu 97. Cho hình chóp S ABCD Gọi A', ', ', 'B C D trung điểm SA, ,

SB SC SD, Tính tỷ số k thể tích khối chóp S A B C D ' ' ' ' chia cho thể tích khối

chóp S ABCD A

2

k= B

4

k= C

8

k= D

16 k=

Lời giải. Lưu ý: Tỉ số thể tích áp dụng cho khối chóp tam giác nên đáy tứ giác ta chia đáy thành hai tam giác

Ta có VS A B C D ' ' ' '=VS A B C ' ' '+VS A D C ' ' '

Mà ' ' '

' ' ' 1 1

2 2

S A B C

S ABC

V SA SB SC

V = SA SB SC = =

Suy ' ' ' .

8 S A B C S ABC

V = V

Tương tự ta có ' ' ' .

8 S A D C S ADC

V = V

Vậy ' ' ' ' ( )

1 1

8 8

S A B C D S ABC S ADC S ABC S ADC S ABCD

V = V + V = V +V = V

Suy ' ' ' '

1 S A B C D

S ABCD V

V = Chọn C

Câu 98. Cho khối chóp S ABCD tích V Lấy điểm A' cạnh SA

cho '

3

SA = SA Mặt phẳng ( )α qua A' song song với đáy (ABCD) cắt cạnh

, ,

SB SC SD B', ', 'C D Tính thể tích V' khối chóp S A B C D ' ' ' '

A '

V

V = B '

V

V = C ' 27

V

V = D ' 81

V V =

Lời giải. Từ giả thiết suy ' ' ' ' SB SA A B AB

SB SA

⇒ = = Tương tự ' '

3 SC SD

SC = SD =

N

M

D

B

C A S

D' C'

B' A'

S

A

C

B

Ta có VS A B C D ' ' ' '=VS A B C ' ' '+VS A D C ' ' '

Mà ' ' '

' ' ' 1 1

3 3 27

S A B C

S ABC

V SA SB SC

V =SA SB SC = =

' ' '

1

27 S A B C S ABC

V V

→ =

Tương tự ta có ' ' ' .

27 S A D C S ADC

V = V

Vậy ' ' ' ' ( )

1 1

27 27 27 27 27

S A B C D S ABC S ADC S ABC S ADC S ABCD V

V = V + V = V +V = V = Chọn C.

Câu 99. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Mặt phẳng ( )α

qua A B, trung điểm M SC Mặt phẳng ( )α chia khối chóp cho thành hai

phần tích V V1, 2 với V1<V2 Tính tỉ số

V V

A

1

V

V = B

1

2

V

V = C

1

2

V

V = D

1

2

V V =

Lời giải. Kẻ MN CD (N∈CD), suy ABMN thiết diện khối chóp

Ta có VS ABMN =VS ABM +VS AMN

1 1

2

S ABM

S ABM S ABC S ABCD S ABC

V SM

V V V

V = SC = ⇒ = =

1 S AMN

S AMN S ABCD S ACD

V SM SN

V V

V = SC SD = ⇒ =

Do

1

4 8

S ABMN S ABCD S ABCD S ABCD

V = V + V = V

Suy .

8 ABMNDC S ABCD

V = V nên

2

V

V = Chọn D

Câu 100. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B,

BA=BC= , AD=2 Cạnh bên SA vng góc với đáy SA= Gọi H hình

chiếu vng góc A SB Tính thể tích V khối chóp S AHCD

A 2

3

V= B

V = C

V= D 2

V =

Lời giải Tam giác vng SAB, có 2 3.

SB= SA +AB =

Ta có VS AHCD =VS ACD +VS AHC

●

1 1

3 3

S ACD ACD

V = S∆ SA=  AD AB SA =

●

2 2

3

S AHC

S AHC S ABC S ABC

V SH SA

V V

V =SB =SB = ⇒ = =

Vậy . 2

3 9

S AHCD

V = + = Chọn B.

Câu 101. Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi N trung điểm SB, M điểm

đối xứng với B qua A Mặt phẳng (MNC) chia khối chóp S ABCD thành hai phần có

A. V

V = B.

1 11 V

V = C.

1 V

V = D.

1 13 V V =

Lời giải. Gọi h S, chiều cao

diện tích đáy khối chóp S ABCD

Khi .

3

S ABCD

V = S h

Nối MN cắt SA E, MC cắt AD

F Tam giác SBM có A N,

trung điểm BM SB suy E

trọng tâm tam giác SBM Tứ giác ACDM

là hình vng nên F trung điểm MC

Ta có VBNC AEF =VABCEN+VE ACF

2 1

3 3

S ENC

S ENC S ABC S ABC

V SE SN

V V

V =SA SB = × = → =

2 1

3 3

ABCEN S ABC S ABCD S ABCD

V V  V  V

→ = =  = ( )

1 1 1

,

3 12

E ACF ACF S ABCD

V = S∆ d E ACF = S h= V

Do . . . . . 1

3 12 12

BNC AEF ABCEN E ACF S ABCD S ABCD S ABCD

V =V +V = V + V = V =V

Suy

2

2

7

12 S ABCD

V

V V

V

= → = Chọn A

Câu 102. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=a vng

góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Điểm M thuộc cạnh SA cho SM k

SA = Xác định

k cho mặt phẳng (MBC) chia khối chóp cho thành hai phần tích

nhau

A

k=− + B

k=− + C 2

k=− + D

k= +

Lời giải Kẻ MN AD N( SD) SN SM k

SD SA

∈ → = = Khi mặt phẳng (MBC) chia

khối chóp thành hai phần S MBCN AMBDNC

Ta có VS MBCN. =VS MBC. +VS MCN.

S MBC

S MBC S ABC S ABC

V SM

k V k V V = SA = ⇒ =

2 S MCN

S MCN S ACD S ACD

V SM SN

k V k V

V = SA SD = ⇒ =

Từ giả thiết, ta có

1

2

S MBCN S ABCD S ABC S ACD S ABCD V = V ⇒k V +k V = V

2

1

2 2

S ABCD S ABCD

S ABCD

V V

k k V k k k − +

→ + = → + = → = Chọn B

Câu 103 Gọi V thể tích hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ', V1 thể tích tứ

diện A ABD' Hệ thức sau đúng?

A V=6 V1 B V =4 V1 C V=3 V1 D V =2 V1

Lời giải Ta có V =SABCD.AA' 1

' ABD

V = S∆ AA

Mà

1

6

ABD ABCD

V

S S

V

∆ = → =

Suy V =6 V1 Chọn A

Câu 104 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' Gọi D trung điểm AC Tính tỉ số k

của thể tích khối tứ diện B BAD' thể tích khối lăng trụ cho

A

4

k= B 12

k= C

k= D

k=

Lời giải. Ta có VABC A B C ' ' '=S∆ABC.BB' '

1

'

B BAD BAD

V = S∆ BB

Mà '

' ' '

1

2

B BAD BAD ABC

ABC A B C

V

S S k

V

∆ = ∆ → = =

Chọn D

Câu 105. Cho khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Đường thẳng qua trọng tâm tam giác

ABC song song với BC cắt cạnh AB AC, D E, Mặt phẳng

(A DE′ ) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) chúng

A.

3 B.

4

23 C

4

9 D.

4 27

Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC

Gọi E trung điểm BC

3 AG AE

⇒ =

Đường thẳng d qua G song song BC , cắt

các cạnh AB AC, M N,

2

AM AN AG

AB AC AE

⇒ = = =

2

4

2

3

AMN ABC

AM AB

S S

AN AC

∆ ∆

  = 

⇒ ⇒ =

 =  

( )1

Ta có VABC A B C. ′ ′ ′=S∆ABC.AA' '

'

A AMN AMN

V = S∆ AA ( )2

Từ ( )1 ( )2 , suy '. .

27

A AMN ABC A B C

V = V ′ ′ ′ . 23 .

27

BMNC A B C ABC A B C

V ′ ′ ′ V ′ ′ ′

→ =

Vậy '

4 23

A AMN

BMNC A B C

V

V ′ ′ ′ = Chọn B

A

B C

D A'

B'

C'

D'

D C'

B' A'

C

B A

E G N

M

A B

C

A' B'

Câu 106 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông cân A, 2

AC= Biết AC′ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 4

AC′ = Tính thể

tích V khối đa diện ABCC B′ ′

A. V=8 B. 16

V = C.

3

V= D. 16

3 V =

Lời giải Gọi H hình chiếu A mặt phẳng (A B C′ ′ ′) Suy HC′ hình chiếu AC′ mặt phẳng (A B C′ ′ ′)

Do 600 ,( ) , .

AC′ A B C′ ′ ′ AC HC′ ′ AC H′

= = =

Tam giác AHC′, có AH=AC′.sinAC H′ =2

Diện tích tam giác

2

ABC

AC

S∆ = =

Suy VABC A B C. ′ ′ ′ =S∆ABC.AH=8

Ta có ' ' ' ' ' ' .

3 3

A A B C A B C ABC A B C

V = S∆ AH= V ′ ′ ′ =

Suy . . 16

3

ABCC B ABC A B C A A B C

V ′ ′=V ′ ′ ′−V ′ ′ ′= Chọn D

Câu 107. Cho khối hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ tích V Các điểm M N P, , thỏa mãn

điều kiện AM =2AC , AN=3AB′ AP=4AD′ Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo V

A. VAMNP =8 V B.VAMNP=4 V C.VAMNP =6 V D.VAMNP=12 V

Lời giải. Ta có V =VAB D C' ' +(VAA B D' ' '+VCC B D' ' '+VD DAC' +VB BAC' )

Mà ' ' ' ' ' ' ' '

6

AA B D CC B D D DAC B BAC

V

V =V =V =V =

Suy ' '

3

AB D C

V

V =

Từ giả thiết, ta có 1; 1;

3

AB AC AD

AN AM AP

′ ′

= = =

Ta có

1

24

A B D C

A NPM

V AB AD AC

V AN AP AM

′ ′ = ′ ′ =

24 24

A NPM A B D C

V

V V ′ ′ V

→ = = = Chọn A

Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích khối tứ diện (4 đỉnh nằm hai đường chéo hai mặt đối diện) tích

3 khối lăng trụ tam giác

Câu 108. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' tích V Các điểm M , N, P lần

lượt thuộc cạnh AA', BB', CC' cho

' AM AA = ,

2

' '

BN CP

BB =CC = Tính thể tích

'

V khối đa diện ABC MNP

A '

V = V B '

16

V = V C ' 20

27

V = V D ' 11

18

V = V

H

C'

B' A'

C B A

A B

C D

A' B'

Lời giải. Công thức giải nhanh

3

ABC MNP

m n p

V = + + V

với , ,

' ' '

AM BN CP

m n p

AA BB CC

= = =

Áp dụng: 1, 2,

2 3

m= n= p= , ta dược

11 18

ABC MNP

V = V

Chọn D.

Câu 109. Người ta cần cắt khối lập phương

thành hai khối đa diện mặt phẳng qua A

(như hình vẽ) cho phần thể tích khối đa diện

chứa điểm B nửa thể tích khối đa diện

cịn lại Tính tỉ số

' CN k

CC =

A.

k= B.

3 k=

C.

k= D.

2 k=

Lời giải Công thức giải nhanh

' ' ' '

' ' '

2

AMNPBCD

ABCDA B C D

CN BM DP

V CC BB DD

V

+ +

= =

Theo giả thiết, ta có

' ' ' '

0

1 '

3 '

AMNPBCD

ABCDA B C D

CN

V CC CN

V CC

+

= → = → = Chọn B

Câu 110. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M điểm thuộc đoạn CC' thỏa mãn

'

CC = CM Mặt phẳng (AB M' ) chia khối hộp thành hai phần tích V1

V Gọi V1 phần có chứa điểm B Tính tỉ số

2 V k

V =

A. 32

k= B.

16

k= C.

25

k= D. 25

32 k=

Lời giải. Trong mặt phẳng (CDD C' '), kẻ MN C D' với N∈CD Suy

CN= CD

và V1 khối đa điện ABB NCM'

Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ) Khi VABB NCM'. =VABB CM' +VMACN

A

C A'

C' D'

D

M N A

B

C A'

B' C'

M N

M

D D'

C' B'

A'

C B

A

P

N M

D'

C' B'

A'

D C B

A

P M

N A

B C

A'

' ' ' '

1

0

5

4 . . .

3 12

ABB CM ABC A B C

V V V

+ + 

 

= =  

' ' ' '

1 1 1

4 16 96

MACN C ADC ADC A D C

V = V =  V = V

Vậy

1 '

2

7 25

32 32 25

ABCMB MACN

V

V V V V V

V

= + = → = → = Chọn C

Nhận xét Ta có 1 '.

4 MACN C ADC

Câu 141. Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành hình lăng trụ

theo hai cách sau:

Cách Gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác

đều tích V1 (Hình 1)

Cách Gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam

giác tích V2 (Hình 2)

Tính tỉ số

2

V k

V

=

A. 3

2

k= B.

9

k= C. 3

4

k= D. 3

8

k=

Lời giải. Gọi cạnh hình vng a

Khi

2

1

4 16

a a

V =    a=

2

2

3

3 36

a a

V =    a= Suy

2 3

V k

V

= = Chọn C.

Câu 142. Một người cần làm hình lăng trụ tam giác từ nhựa phẳng để

có thể tích 6 cm3 Để hao tốn vật liệu cần tính độ dài cạnh

khối lăng trụ tam giác bao nhiêu?

A. Cạnh đáy 6cm cạnh bên 1cm

B. Cạnh đáy 3cm cạnh bên 2cm

C. Cạnh đáy 2cm cạnh bên 3cm

D. Cạnh đáy 3cm cạnh bên 1cm

2

Lời giải Giả sử hình lăng trụ tam giác cần làm

ABC A B C′ ′ ′ có độ dài AB=x AA, ′=h

Khi

4 ABC

S∆ = x

2

3

4 ABC

ABC A B C

V ′ ′ ′=S AA′= x h

Theo giả thiết

2

3 24

6

4 x h= ⇒ =h x

Để tốn vật liệu diện tích tồn phần khối

lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ nhỏ

Gọi Stp tổng diện tích mặt khối lăng trụ

ABC A B C′ ′ ′, ta có

2

tp

3 72

2 3

2

ABC ABB A

S S S x hx x

x ′ ′

∆

= + = + = +

Khảo sát ( ) 72

2

f x x

x

= + (0;+∞), ta f x( ) nhỏ x=2

Với x=2 cm→ =h 2cm Chọn B.

Hình Hình

C'

B' A'

C

B A

Câu 143 Cho nhơm hình chữ

nhật có kích thước 80cm 50cm× Người ta

cắt bốn góc tâm nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh

bằng x(cm), gập nhơm lại

một thùng khơng nắp dạng hình hộp

Tính thể tích lớn Vmax hộp tạo

thành

A.

max 18000cm

V = B.

max 28000cm

V =

C.

max 38000cm

V = D.

max 8000cm

V =

Lời giải. Hình hộp tạo thành có kích thước: chiều dài 80−2x(cm), chiều rộng

( )

50−2x cm , chiều cao x(cm)

Suy thể tích thùng tạo thành ( )( )

80 50 260 4000

V=x − x − x = x − x + x

Khảo sát f x( )=4x3−260x2+4000x (0;25),

( ) ( ) ( )

3 0;25

maxf x = f 10 =18000cm

Chọn A

Câu 144 Cho bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm 40cm× Người ta cắt

hình vng hình vẽ, hình vng cạnh xcm, gập bìa

lại để hộp có nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn

A 20cm

3

x= B x=4cm C x=5cm D 10cm

3

x=

Lời giải Các kích thước khối hộp là: 60

2

x

− ;

40−2x; x

Khi ( ) ( )

hop

2

60

40 120 1200

2

x

V = −  − x x= x − x + x= f x



Khảo sát hàm f x( ) với 0< <x 20, ta f x( ) lớn 20

3

x=

Chọn A.

Câu 145. Một hộp không nắp làm từ mảnh tơng theo hình vẽ Hộp có đáy hình vng

cạnh x(cm) , chiều cao h(cm) thể tích

3

500cm Tìm độ dài cạnh hình vng x cho

hộp làm tốn bìa tơng

A x=2cm B x=3cm

C x=5cm D x=10cm

Lời giải Thể tích khối hộp

2 500

500

V x x h x h h

x

= = = ⇒ =

Để hộp làm tốn bìa tơng diện tích tồn phần hộp nhỏ

Diện tích tồn phần hộp (không nắp)

tp day xung quanh 4

Cosi

2 2

2

500 2000 1000 1000

4 1000

x x x x

x x x

x

+ = + = + + ≥

Dấu ''='' xảy x2 1000 1000 x3 1000 x 10.

x x

⇔ = = ⇔ = ⇔ = Chọn D.

Cách 2. Xét hàm f x( ) x2 2000 x

= + với x>0

Câu 146. Một người cắt bìa tơng đặt kích thước hình vẽ Sau bạn gấp theo đường nét đứt thành hộp hình hộp chữ nhật Hình hộp có đáy hình vng cạnh

(cm)

a , chiều cao h(cm) diện tích tồn phần

bằng 6m2 Tổng (a+h) bằng để thể

tích hộp lớn

A. x+ =h 2cm. B. x+ =h 3cm C. x+ =h 4cm D. x+ =h 6cm

Lời giải Diện tích tồn phần 2

tp

6

4

4

a

S ah a h

a

−

= + = ⇒ =

Thể tích khối hộp chữ nhật: . 2.6 2 3.

4

a a a

V a a h a

a

− −

= = =

Khảo sát hàm ( )

3

6

4

a a

f a = − 0;

3

 

 

 

 

 , ta f a( ) lớn a=1

Với a= → = 1 h → + =a h 2cm.Chọn A

Câu 147. Một xưởng sản xuất thùng nhơm hình hộp chữ nhật khơng nắp

và có kích thước x y z, , dm( ) Biết tỉ số hai cạnh đáy x y: =1 : 3, thể tích khối

hộp

18dm Để tốn vật liệu tổng x+ +y z bằng:

A.10dm B. 19dm

2 C. 26dm D.

26 dm

3

Lời giải. Ta có x y: =1 : 3⇒y=3 x

Theo giả thiết, ta có xyz 18 z 62

x

= ⇒ =

Tổng diện tích vật liệu (nhôm) cần dùng là:

tp day xungquanh

S =S +S (do hộp không nắp)

( )

2

6 48

2

xy xz yz x x x x x

x

x x

 



= + + = +  + = +



Xét hàm f x( ) 3x2 48

x

= + (0;+∞), ta f x( ) nhỏ x=2

Khi 6, 19dm

2

x= →y= z= → + + =x y z Chọn A.

Cách 2. BĐT Côsi 3x2 48 3 x2 8 3.33x2 .8 36.

x x x x x

 



+ =  + + ≥ =

Dấu ''='' xảy x2 8 x 2.

x x

⇔ = = → =

Câu 148 Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật khơng nắp có chiều cao

60cm, thể tích 96000cm3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá

thành 70.000 đồng/m2 loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m2

Tính chi phí thấp để hồn thành bể cá

A. 320.000 đồng B. 32.000 đồng C. 83.200 đồng D. 68.800 đồng

h h

a a

z

y

Lời giải Gọi x( )m , y( )m (x>0,y>0) chiều

dài chiều rộng đáy bể

Theo giả thiết, ta có: 0, 6xy 0,096 y 0,16

x

= ⇒ =

Diện tích mặt đáy: Sday xy x.0,16 0,16

x

= = =

→ giá tiền 0,16 100.000× =16.000 đồng

Diện tích xung quanh: Sxungquanh 0,6x 0, 6y 1, x 0,16

x

 



= + =  + 



→ giá tiền 1,2 x 0,16 70000 84000 x 0,16

x x

   

 +  =  + 

   

 

    đồng

Suy tổng chi phí f x( ) 84000 x 0,16 16000

x

 



=  + +



Cosi 0,16

84000.2 x 16000 83.200

x

≥ + = đồng Chọn C.

Câu 149. Người ta cắt tờ giấy hình vng cạnh

bằng để gấp thành hình chóp tứ giác

cho bốn đỉnh hình vng dán lại thành đỉnh hình chóp hình vẽ Để thể tích khối chóp lớn

nhất cạnh đáy x hình chóp bằng:

A

5

x= B 2

5

x=

C x=2 D

5

x=

Lời giải. Ta có

1

2 2

x

BM=BO−MO= AB−MO= −

Chiều cao hình chóp:

2 2

2 2 2.

2 2

x x x

h= BM −MO =  −  −    = −

 

Suy thể tích khối chóp:

4

2

1 2

3

x x x

V = x − = −

Khảo sát hàm f x( ) x4 x5 2

= − 0;

2

 

 

 

 

 , ta f x( ) lớn

2

x=

Chọn B

Cách làm trắc nghiệm Đầu tiên ta loại đáp án C 2 0;

2

x= ∉  

  Thay ba đáp

án lại vào hàm số f x( ) x4 x5 2

= − So sánh kết lớn ta chọn Nếu

đề hỏi giá trị lớn thể tích khối chóp ta không làm theo cách

y

Câu 150. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ

nhật có diện tích mặt sàn 1152m2 chiều cao

cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phịng theo kích thước để tiết kiệm chi phí (bỏ qua độ dày tường)

A.16m 24m× B. 8m 48m× C.12m 32m× D. 24m 32m×

Lời giải. Đặt x y h, , chiều dài, chiều rộng chiều cao phòng

Theo giả thiết, ta có x y.3 1152 y 384

x

= → =

Để tiết kiệm chi phí diện tích tồn phần nhỏ

Ta có Stp 4xh 6yh 3xy 4xh 6.384h 1152 4h x 576 1152

x x

 



= + + = + + =  + +



Vì h khơng đổi nên Stp nhỏ f x( ) x 576

x

= + (với x>0) nhỏ

Khảo sát f x( ) x 576

x

= + với x>0, ta f x( ) nhỏ x=24→ =y 16

Chọn A.

Cách 2. BĐT Côsi x 576 x.576 48

x x

+ ≥ = Dấu ''='' xảy x 576 x 24

x