Chuyên đề khối đa diện góc và khoảng cách

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.. Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương đó theo một thiết diện là [r]

(1)

(2)

MỤC LỤC

HÌNH ĐA DIỆN

A – KIẾN THỨC CHUNG

I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

II HAI HÌNH BẲNG NHAU

III PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN

IV. KHỐI ĐA DIỆN LỒI

V KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

B – BÀI TẬP

THỂ TÍCH HÌNH CHĨP 29

A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT 29

B – BÀI TẬP 30

HÌNH CHĨP ĐỀU 30

HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH VNG GĨC VỚI ĐÁY 37

HÌNH CHĨP CĨ MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY 45

HÌNH CHĨP KHÁC 53

TỈ SỐ THỂ TÍCH 67

B - BÀI TẬP 67

HÌNH LĂNG TRỤ 79

B – BÀI TẬP 80

THỂTÍCH LĂNG TRỤĐỨNG 80

THỂTÍCH LĂNG TRỤ XIÊN 94

KHOẢNG CÁCH 102

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 102

B – BÀI TẬP 103

I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 103

II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG 117

GÓC 127

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 127

(3)

HÌNH ĐA DIỆN

A – KIẾN THỨC CHUNG

I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1 Khái niệm hình đa diện

Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng hình khơng gian tạo số hữu hạn đa giác Các đa giác có tính chất

2 Khái niệm khối đa diện

Khối đa diện phần khơng gian giới hạn bới hình đa diện (H), kể hình đa diện đó.

Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm ngồi khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện gọi điểm trong khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền ngoài khối đa diện

a) Hai đa giác phân biệt khơng giao nhau, có đỉnh chung, có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi là mặt hình đa diện (H) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).

Người ta gọi hình hình đa diện

(4)

Mỗi đa diện (H) chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền không giao nhau: miền miền ngồi (H) Trong có miền chứa hoàn toàn đường –thẳng d

Khối đa diện (H) hợp hình đa diện (H) miền

II HAI HÌNH BẲNG NHAU

1 Phép dời hình không gianvà khối đa diện.

 Trong không gian quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ xác định gọi là phép biến hình khơng gian.

 Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

Nhận xét:

 Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình

 Phép dời hình biến đa diện thành  H đa diện H', biến đỉnh, cạnh, mặt đa diện  H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng đa diện H'



'

  MM v

2 Hai hình nhau

Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình kia. a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector v phép biến hình biến điểm M thành M’ cho

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) mặt phẳng chung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng (H)

c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng (H)

d) Phép đối xứng qua đường thẳng d phép biến hình điểm thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ cho d trung trực MM’ Phép đối xứng qua đường thẳng d gọi phép đối xứng qua trục d

(5)

Nhận xét

 Hai đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện

 Hai tứ diện có cạnh tương ứng

III PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện H1 , H2, cho H1 H2 khơng có điểm chung ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện H1 H2, hay lắp ghép hai khối đa diện H1và H2 với để khối đa diện (H)

Lưu ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía đối Ví dụ Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương theo thiết diện hình chữ nhật BDD’B’ Thiết diện chia điểm lại khối lập phương làm hai phần Mỗi phần với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành khối lăng trụ, có hai khối lăng trụ: ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’ Khi ta nói mặt phẳng (P) chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’

Tương tự ta chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ AA’B’D’

Nhận xét: Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện IV KHỐI ĐA DIỆN LỒI

(6)

Công thức ƠLE: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt Đ-C+M=2

V KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Quan sát khối tư diện (Hình 2.2.1), ta thấy mặt tam giác đều, đỉnh đỉnh chung ba mặt Đối với khối lập phương (Hình 2.2.2), ta thấy mặt

hình vng, đỉnh đỉnh chung ba mặt Những khối đa diện nói gọi khối đa diện

Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau:

Năm khối đa diện Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt

đều

Khối mười hai mặt đều

Khối hai mươi mặt đều

Nhận xét:

 Hai khối đa diện có số mặt có cạnh

 Hai khối đa diện có số mặt đồng dạng với Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện

Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q}

a) Mỗi mặt đa giác p cạnh.

b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt.

Khối đa diệnđều gọi khối đa diện loiaj {p;q}.

Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác nhau.

Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó khối đa diện loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, loại {3,5}

(7)

Kứ diện {3, 3}

Khối Lập Phương 12 {4, 3}

Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4}

Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}

(8)

B – BÀI TẬP

Câu 1: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A.Chỉcó năm loại hình đa diện

B.Hình hộp chữ nhật có diện tích mặt hình đa diện C.Trọng tâm mặt hình tứ diện đỉnh hình tứ diện D.Hình chóp tam giác hình đa diện

Hướng dẫn giải:

+ Trong khơng gian ba chiều, có khối đa diện lồi, chúng khối đa diện (xem chứng minh bài) có tất mặt, cạnh góc đỉnh

Tứ diện Khối lập phương

Khối bát diện

Khối mười hai mặt

Khối hai mươi mặt => A

+ Hình chóp tam giác hình tứ diện → D

+ Hình hộp chữ nhật có diện tích mặt khối lập phương → B

+ Trọng tâm mặt hình tứ diện khơng thểlà đỉnh hình tứ diện → C sai

Chọn đáp án C

Câu 2: Hình đa diện khơngcó tâm đối xứng?

A.Tứ diện B. Bát diện C.Hình lập phương D. Lăng trụ lục giác

Chọn đáp án A

Câu 3: Khái niệm sau với khối chóp?

A.là hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh B.là phần không gian giới hạn hình chóp hình chóp

C.là phần khơng gian giới hạn hình chóp D.là khối đa diện có hình dạng hình chóp Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B

Câu 4: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung

A.Năm cạnh B.Bốn cạnh C.Ba cạnh D. Hai cạnh Hướng dẫn giải:

Đúng theo lý thuyết SGK Các em xem thêm dạng toán khối đa diện sách hình học lớp 12 (các tập 1,2,3,4 trang 25 5,6 trang 26)

Nhiều độc giả nhầm khái niệm hình chóp khối chóp Nên khoanh ý A Tuy nhiên bạn nên phân biệt rõ ràng hình chóp khối chóp nói chung, hay hình đa diện khối đa diện nói riêng

+ Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thoả mãn hai tính chất:

a, Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b, Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác

(9)

Câu 5: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho đểsau điền vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đềđúng:

“Số cạnh hình đa diện ln……….sốđỉnh hình đa diện ấy”

A. nhỏhơn B.nhỏhơn C. lớn D.bằng

Câu 6: Mệnh đềnào sau mệnh đềđúng ?

A. Tồn đa diện có mặt đa giác khơng

B.Nếu hình chóp tứ giác S.ABCD hình chóp đa diện

C. Nếu đa diện mà đỉnh đỉnh chung mặt tổng sốđỉnh phải số chẵn

D. Nếu lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’ lăng trụđều đa diện Hướng dẫn giải:

Đa diện có tất mặt đa giác

Khơng tồn đa diện có đỉnh, chóp S.ABCD lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ đa diện

Nếu đỉnh đỉnh chung mặt đỉnh chung cạnh Giả sử số đỉnh đa diện n số cạnh phải

 

1

M ảnh M qua phép 

u

T 2 M1 qua phép 

v

T , Khi phép biến hình biến điểm M thành đểm M2 là: A.  v B.Phép tịnh tiến theo vectơ u



v D. Một phép biến hình khác

 

1

1 2



   

      



   



 

      

  u

v

T M M MM u

MM M M u v MM u v

T M M M M v

Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm M2 phép tịnh tiến theo vectơ u v

Câu 9: Có phép tịnh tiến biến đường thẳng thành nó?

A. Khơng có B.1 C. D.Vơ số

n

(vì cạnh tính lần), n chẵn

Câu 7: Cho hình chóp tứgiác S.ABCD Nhận định sau khơng :

A.Hình chóp S.ABCD có cạnh bên

B.Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy tâm đáy

C.ABCD hình thoi

D.Hình chóp có cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc

Nhắc lại kiến thức: Hình chóp đa giác đều: hình chóp có đáy đa giác hình chiếu đỉnh xuống đáy trùng với tâm đáy Như hình chóp tứgiác S.ABCD có đáy hình vng ABCD hình chiếu S xuống đáy tâm hình vng ABCD

Câu 8: Trong không gian cho hai vectơ u v Với M điểm bất kỳ, ta gọi M ảnh

Phép tịnh tiến theo vectơ u

C.Phép tịnh tiến theo vectơ Hướng dẫn giải:

(10)

Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng a b song song với Có phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b?

A.Khơng có B.1 C. D. Vô số

Chọn đáp án D

Câu 11: Trong không gian cho (P) (Q) hai mặt phẳng song song Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

A.Khơng có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) B.Có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) C.Có hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) D.Có vơ số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

nhau) AB  A B AC' ', A'C'

'



 

u A A biến A B C' ' ' thànhABC phép tịnh tiến theo vectơ '



v A A biến A B C' ' ' thành ABC Như có hai phép tịnh tiến biến tam giác thành

1

 

u

B.CD’P với P trung điểm B’C’ D.DC’D’

1 

 

u AD Ta có

Câu 12 : Trong không gian cho hai tam giác ABC A’B’C’ (

AB A'B';AC A'C'; BCB'C' ) Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau A.Không thể thực phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác B.Tồn phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác C.Có nhiều hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác D.Có thể thực vơ số phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực phép tịnh tiến biến ABC thành A'B'C' phải có điều kiện, hai tam giác ABC A’B’C’ ơhair nằm hai mặt phẳng song song (hoặc trùng

Khi phép tịnh tiến theo vectơ  

tam giác

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Gọi I, J trung điểm cạnh AD, BC Phép tịnh tiến theo vectơ  AD biến tam giác A'IJ thành tam giác

A.C’CD

C.KDC với K trung điểm A’D’ Hướng dẫn giải:

Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ TID,TJC,TA'K Vậy TA'IJ KDC

(11)

Câu 14: Cho hai mặt phẳng     song song với Với M điểm bất kỳ, ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng Đ M2 ảnh M1 qua phép đối xứng Đ Phép biến hình f 

Đ Đ Biến điểm M thành M2

A. Một phép biến hình khác B.Phép đồng

C. Phép tịnh tiến D. Phép đối xứng qua mặt phẳng Hướng dẫn giải:

Gọi I, J trung điểm

   

 

1,   ,  

MM M M I J

Ta có:  

 

1 1

1 2

2 



  

   

D M M MM IM

D M M M M M J

Suy ra:

 

2 2 1 2 

    

MM IM M J IJ u (Không đổi) Vậy M2 ảnh M qua phép tịnh tiến u

A. B. C. D.4

B. SAB C. SAC D. SAD

Câu 15: Trong không gian tam giác có mặt phẳng đối xứng? Hướng dẫn giải:

Trong không gian, với tam giác ABC có bốn mặt phẳng đối xứng Đó là: Ba mặt phẳng trung trực ba cạnh mặt phẳng chứa ABC

Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có kích thước a, b, c abc Hình hộp chữ nhật có mặt đối xứng

Hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có mặt đối xứng, mặt phẳng trung trực AB, AD, AA’

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc với (ABCD) Hình chóp có mặt đối xứng nào?

(12)

Ta có: BDSAC O trung điểm BD.Suy SAC mặt phẳng trung trực BD.Suy SAC mặt đối xứng hình chóp, mặt phẳng

Câu 18:Trong không gian cho hai điểm I J phân biệt Với điểm M ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng tâm DI, M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm DJ Khi hợp thành DI DJ biến điểm M thành điểm M2

A.Phép đối xứng qua mặt phẳng B.Phép tịnh tiến C.Phép đối xứng tâm D.Phép đồng Hướng dẫn giải:

Ta có:

  1 12

 

I

D M M MM IM

 1 2 2

 

J

D M M M M M J

Do đó:

 

1 2 1 2

   

MM IM M J IJ (không đổi)

Vậy M2 ảnh M qua phep tịnh tiến theo vectơ u2IJ

Câu 19: Trong hình đây, hình khơng có tâm đối xứng

A.Hình hộp B.Hình lăng trụ tứgiác C.Hình lập phương D.Tứ diện

đối xứng tâm O ba đỉnh lại, DO A  B O trung điểm AB, trung điểm AB không thểlà tâm đối xứng ABCD

Câu 20: Hình chóp tứgiác có mặt phẳng đối xứng

A. B. C. D.

 Hình hộp có tâm đối xứng giao điểm bốn đường chéo

 Hình lăng trụ tứgiác đều, hình lập phương hình hộp đặc biệt nên có tâm đối xứng

 Tứ diện khơng có tâm đối xứng

Thật vậy, giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng O

(13)

Hình chóp tứgiác có mặt phẳng đối xứng là:

SAC , SBD , SMN , SIJ, với M, N, I, J trung điểm

AB, CD, DA, BC

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ tâm O (tâm đối xứng) Ảnh đoạn thẳng A’B qua phép đối xứng tâm DO đoạn thẳng

A. DC' B. CD' C. DB' D. AC'

Ta có

 '  ;   '

O O

D A C D B D

Do

 'B '

O

D A CD

Chọn đáp án B.

Câu 22: Trong không gian cho hai đường thẳng song song a b Với điểm M ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng tâm Da, M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm Db Khi hợp thành



a

D Db biến điểm M thành điểm M2

A. Phép đối xứng trục B.Phép đối xứng qua mặt phẳng C. Phép đối xứng tâm D. Phép tịnh tiến

Gọi I, J trung điểm MM M M1, 1 2

Các điểm M M M I J, 1, 2, , nằm mặt phẳng (P) vng góc với a b I J

Ta có:

 

1

1 2

2

  

   

I

J

D M M MM IM

D M M M M M J

Suy ra: 2 1 2 

    

MM IM M J IJ u (không đổi)

(14)

C.Phép đối xứng tâm D.Phép đối xứng trục Hướng dẫn giải:

Gọi I, J, O trung điểm MM M M MM1, 1 2, 2 ( với  

1 

MM I  ,M M1 2    J  )

Ta có: IO/ /M M1 2 nên IO  , gọi a giao tuyến     IOa Oa Suy hai điểm M

2

M đối xứng qua đường thẳng a

Vậy hợp thành DD biến điểm M thành điểm M2 phép đối xứng qua đường thẳng a Chọn đáp án D

Câu 24: Tứ diện có trục đối xứng

A.Khơng có B.1 C. D.

Tứ diện có ba trục đối xứng ba đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối

Câu 25: Hình chóp tứgiác có trục đối xứng?

A.Khơng có B.1 C. D.

Hình chóp tứgiác có trục đối xứng trục đường trịn ngoại tiếp đáy

Câu 26: Hình vng có trục đối xứng?

A. B. C. D.

Trong khơng gian, hình vng có trục đối xứng, là:

 Hai đường thẳng chứa hai đường chéo AC, BD

 Đường thẳng qua trung điểm AB, CD đường thẳng qua trung điểm AD BC

 Trục ngoại tiếp đường trịn ngoại tiếp hình vng

Câu 27: Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau

A.Nếu hình H có trục đối xứng có tâm đối xứng B.Nếu hình H có mặt đối xứng có trục đối xứng

C.Nếu hình H có mặt đối xứng có trục đối xứng có tâm đối xứng

D.Nếu hình H có mặt đối xứng có tâm đối xứng nằm mặt đối xứng có tâm đối xứng

 Hình chóp tứgiác có trục đối xứng, khơng có tâm đối xứng Như A sai

 Hình chóp S.ABCD có SAABCD có mặt phẳng đối xứng SAC, hình chóp khơng có trục đối xứng Như B sai

(15)

Câu 28: Cho bát diện Các khẳng định là: Bát diện có 12 cạnh

2 Bát diện có đỉnh

3 Bát diện có cạnh a nội tiếp mặt cầu có bán kính 2 a

R

4 Ghép hai khối tứ diện ta khối bát giác

A. 1; B 3; C 1; D 1; 3; 4

Bát diện chỉcó đỉnh Ngồi ghép hai tứ diện khơng đem kết

Câu 29: Hình đa diện hình vẽ có mặt?

A. B.10 C. 12 D.11

Khối đa diện A có đỉnh nên khơng thểlà đa diện Khối đa diện D khối đa diện lồi

Khối đa diện B,C khối đa diện lồi

Đếm đáy hình chóp có mặt mặt lăng trụ mặt đáy Vậy có 11 mặt

Chọn đáp án D.

Câu 30: Cho bốn hình sau Mệnh đềnào sau sai : A.Khối đa diện A khối đa diện B.Cả khối đa diện A, B, C, D khối đa diện lồi C.Khối đa diện C khối đa diện lồi

(16)

Phân tích: Ta nhớ lại kiến thức hình đa diện sau:

Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:

Lắp ghép khối hộp chưa khối đa diện lồi

Câu 33: Khối đa diện loại {3;4} khối có :

B.Mỗi đỉnh đỉnh chung mặt D.Số cạnh

A.1 B.2 C.3 D.

Câu 36: Vật thể vật thể sau không phải khối đa diện

A B

a. Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung.

b Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác.

Ta thấy hình A vi phạm tính chất thứ hai điều kiện để có hình đa diện Ta thấy cạnh cạnh chung hai đa giác mà cạnh chung bốn đa giác

Câu 32: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai ? A.Lắp ghép hai khối hộp khối đa diện lồi B.Khối tứ diện khối đa diện lồi

C.Khối hộp khối đa diện lồi

D.Khối lăng trụ tam giác khối đa diện lồi

A.Mỗi đỉnh đỉnh chung mặt C.Số đỉnh

Câu 34: Hình chóp tứ giác có số mặt phẳng đối xứng là: Chọn đáp án B

Câu 35: Trong khẳng định sau, khẳng định ? A.Hình lập phương có nhiều mặt phẳng đối xứng B.Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt C.Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh

(17)

C D

Câu 37: Sốđỉnh hình bát diện ?

A. Mười hai B.Tám C. Mười D.Sáu Hướng dẫn giải:

+ Hình bát diện hình có dạng hình bên: + Nên sốđỉnh sáu

Câu 38:Trong hình đây, hình khối đa diện?

A B C D

Chọn đáp án A.

Câu 39: Cho hình đa diện Tìm khẳng định sai khẳng định sau:

A. Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh B.Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt C. Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt D.Mỗi mặt có ba cạnh

Chọn đáp án C.

Câu 18: Hình khơng phải hình đa diện?

Hình Hình Hình Hình

A. Hình B.Hình C. Hình D.Hình

Câu 40: Trong hình bát diện số cạnh gấp lần sốđỉnh A.

3 B.

3

2 C. D.3

Hình bát diện có 12 cạnh đỉnh Nên số cạnh gấp lần sốđỉnh

(18)

Câu 41: Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung cạnh ?

A.3 B.5 C.8 D.

Ta có hình vẽ hình bát diện sau:

Câu 42: Khối đa diện loại  5;3 có tên gọi là:

A.Khối lập phương B.Khối bát diện C.Khối mười hai mặt D.Khối hai mươi mặt Hướng dẫn giải:

Dễ nhận biết khối đa diện loại  5;3 khối mười hai mặt

Câu 43: Trong mệnh đề sau, chọn mệnh đềđúng Trong khối đa diện thì:

A.Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt B Hai cạnh có điểm chung C.Hai mặt có điểm chung D Hai mặt có cạnh chung Hướng dẫn giải:

Xét hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ AB//A’B’: câu B) sai ABCD // A’B’C’D’: câu C) D) sai Vậy câu A)

Câu 44: Nếu ba kích thước khối chữ nhật tăng lên lần thể tích tăng lên: A.4 lần B.16 lần C.64 lần D. 192 lần

43= 64 nên

Câu 45: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành.Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành khối tứ diện

A.4 B.3 C.2 D.

Vậy ta có khối tứ diện : SABC SACD, Ta chọn đáp án C

Câu 46: Hình bát diện có mặt phẳng đối xứng

A.2 B.4 C.6 D.

Hình bát diện có mặt phẳng đối xứng:

(19)

Quy luật tìm mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên cứđi từtrung điểm cạnh dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng điểm S S' điểm dư lại phải đối xứng

A. Sáu B.Vô số C. Hai D.Bốn

+ Làm tương tựnhư với khối lăng trụ ADC A D C   ta chia khối tứ diện

+ Vậy, ta chia khối lập phương thành khối tứ diện

Câu 48: Thể tích khối đa diện tạo hình sau là:

ra mà tìm Đảm bảo chọn mp đối xứng điểm cịn dư phải chia phía Ví qua ABCD.Nếu chọn SBS'D cịn điểm dư A C đối xứng qua SBS'D,

Câu 47: Có thể chia khối lập phương ABCD.ABCD thành khối tứ diện mà tứ diện có bốn đỉnh thuộc tập điểm A,B,C,D,A,B,C,D?

+ Chia khối lập phương ABCD.ABCDthành khối lăng trụ ABC.ABC ADC.ADC

+ Xét khối lăng trụ ABC.ABCvà nối đường hình vẽsau Hai khối tứ diện ABCA,CBCA chúng đối xứng với qua mặt phẳng BCA

Hai khối tứ diện CBCA,CBBA chúng đối xứng với qua mặt phẳng ABC

Như khối lăng trụ ABC.ABCđược chia thành khối tứ diện

(20)

A. 328cm3 B. 456cm3 C. 584cm3 D. 712cm3

V’ khối lớn có đáy 14cmx15cm V’’ khối nhỏcó đáy 8cmx8cm

Thể tích khối cần tìm V = V’ - V’’= 584 cm3

Câu 49: Cho khối tứ diệnABCD Lấy điểm M nằm A B, điểm N nằm C D Bằng hai mặt phẳngMCDvàNABta chia khối tứ diện cho thành khối tứ diện:

A.AMCN, AMND, BMCN, BMND B.AMCN, AMND, AMCD, BMCN C.BMCD, BMND, AMCN, AMDN D.AMCD, AMND, BMCN, BMND Hướng dẫn giải:

Ta có hình vẽ:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy MN giao tuyến hai mặt phẳng (MCD) (NAB), ta thấy tứ diện cho chia thành bốn tứ diện ACMN AMND BMNC BMND, , ,

Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A, B AB=BC=a, AD=2a;

( )



SA ABCD Nhận định sau

A. SCD vuông B. SCD cân C. SCDđều D. SCD vuông cân Hướng dẫn giải:

( ) (1)

  

SA ABCD SA CD

Gọi trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó: 

45



ACI (*)

Mặt khác, tam giác CID tam giác vuông cân I =>BCI 450(**)

( )

CD SAC CDSC  SCD vuông

(21)

Câu 51: Một hình hộp chữ nhật có đường chéo thể tích lớn bằng: A 3 B 3 C 9 D 6

Gọi ba cạnh hình hộp chữ nhật a;b;c Khi đó: 2

9

  

a b c V abc Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ngay:

3

2 2

3

   

     

 

a b c V abc a b c

Vậy thể tích lớn 3 hình hộp hình lập phương

Câu 52: Số mặt phẳng đối xứng tứ diện là:

A. B.8 C. D.10

A. B. C. D.

 Ba mặt phẳng trung trực cạnh AB, AD, AA’

 Sáu mặt phẳng chứa đường chéo hình lập phương

Tứ diện có mặt phẳng đối xứng mặt phẳng tạo cạnh với trung điểm cạnh đối diện

Câu 53: Hình lập phương có mặt phẳng đối xứng ? Hướng dẫn giải:

(22)

A. B. C. D. Hướng dẫn giải:

A. B.12 C. 15 D. 18

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B

Khối lăng trụ lập thành khối lăng trụđứng tứ giác nên có 12 cạnh

Câu 54: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Về phía ngồi khối chóp ta ghép thêm khối chóp tứ diện có cạnh a, cho mặt khối tứ diện trùng với mặt khối chóp cho Hỏi khối đa diện lập thành có mặt?

Khối lăng trụ lập thành khối lăng trụ tam giác nên có mặt

(23)

Câu 56: Trong khối đa diện đây, khối có số cạnh số lẻ? A. Khối chóp; B.Khối tứ diện;

C. Khối hộp; D. Khối lăng trụ Hướng dẫn giải:

 Khối chóp n- giác có tổng số cạnh 2n

 Khối tứ diện có cạnh

 Khối hộp có 12 cạnh

 Khối lăng trụ n-giác với n số lẻ số cạnh 3n, số lẻ

Ví dụ: xét lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có cạnh số lẻ

Câu 2. Trong khối đa diện đây, khối có số mặt số chẵn? A. Khối lăng trụ; B.Khối chóp;

C. Khối chóp cụt; D.Khối đa diện Hướng dẫn giải:

 Khối lăng trụ n-giác với n số lẻ có số mặt n2 số lẻ

Ví dụ:Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có số mặt

 Khối chóp n-giác với n số chẵn, số mặt n1 số lẻ

Ví dụ: Hình chóp S ABCD có đáy tứ giá số mặt

 Khối chóp cụt: Tương tựnhư khối lăng trụ Ví dụ: Khối chóp cụt tam giác có số mặt

 Trong khơng gian ba chiều, có khối đa diện đều, chúng khối đa diện có tất mặt, cạnh gócở đỉnh Chúng giới thiệu hình đây:

Năm khối đa diện

Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt Khối mười hai mặt

(24)

Tên chúng gọi theo số mặt khối tương ứng 4, 6, 8, 12, 20 Các khối có số mặt chẵn

Câu 57: Tìm mệnh đềsai trong mệnh đề sau:

A.Khối tứ diện có cạnh B.Khối lập phương có 12 cạnh C.Số cạnh khối chóp chẵn D.Khối mặt có cạnh Hướng dẫn giải:

Vì khối mặt có tất 12 cạnh

Ta nhắc lại sau: Mỗi khối đa diện có thểxác định bới ký hiệu {p, q} đó p = số cạnh mặt (hoặc sốcác đỉnh mặt)

q = số mặt gặp đỉnh (hoặc số cạnh gặp đỉnh)

Khí hiệu {p, q} đặc trưng số lượng khối đa diện Ký hiệu {p, q} năm khối đa diện cho bảng sau

Khối đa diện Sốđỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} Khối diện {3, 3}

Khối Lập Phương 12 {4, 3}

Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4}

Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}

Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5} Lời bình: Ta dùng phương pháp loại trừnhư sau

A.Khối tứ diện có cạnh

(25)

B.Khối lập phương có 12 cạnh

Đúng vì có cạnh bên + mặt đáy (mỗi mặt cạnh) Vậy tổng 12

C.Số cạnh khối chóp chẵn Đúng. Ta lấy ví dụ sau

Chóp tam giác có cạnh, chóp tứ giác có cạnh,…

A. 2M 3C B. 3M 2C C. 3M 5C D. 2M C Hướng dẫn giải:

hai mặt nên

 M

C Vậy 2C3M

A. 3Đ=2C C. 4Đ=3C D.C=2Đ

3  D

C Vậy 2C3D

B.15 C. 18 D. 20

A. 16 B.18 C. 20 D. 30

Vì mặt ngũ giác có M mặt {M=12} Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên 5.12 30

2

 M  

C

Câu 62: Khối 20 mặt {mỗi mặt tam giác đều} có cạnh? Chọn đáp án D

Câu 58: Trong khối đa diện lồi với mặt tam giác, gọi C số cạnh M số mặt hệ thức sau đúng?

Vì mặt tam giác có M mặt, nên số cạnh 3M Nhưng cạnh cạnh chung

Câu 59: Trong khối đa diện lồi mà đỉnh chung ba cạnh, gọi C số cạnh Đ số mặt hệ thức sau đúng?

B.3Đ=C

Vì có Đ đỉnh, mà đỉnh có cạnh chung nên số cạnh 3Đ Mà cạnh có đỉnh nên ta có

Câu 60: Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, mặt Vậy khối đa diện có cạnh? A. 12

Áp dụng định lí Ơle: ĐCM 210C72C15 Chọn đáp án B

(26)

A. 16 B.18 C. 20 D. 30 Hướng dẫn giải:

Vì mặt tam giác có M mặt {M=20} Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên 3.20 30

2

 

C

Câu 63: Trong mệnh đề sau, mệnh đềnào đúng?

A.Sốđỉnh số mặt hình đa diện ln nhau; B.Tồn hình đa diện có sốđỉnh số cạnh nhau; C.Tồn hình đa diện có số cạnh sốđỉnh

D.Tơn hình đa diện có số cạnh số mặt

B.lớn

D.lớn

B.lớn

D.lớn Hướng dẫn giải:

Ví dụ hình chóp tam giác hình tứ diện cạnh số mặt

Câu 66:Cho đa diện (H) có tất mặt tam giác Khẳng định sau đúng? A.Tổng mặt (H) số chẵn

B.Tổng mặt (H) gấp đối tổng sốđỉnh (H) Hướng dẫn giải:

A. Số đỉnh số mặt hình đa diện ln Mệnh đề sai vì

Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’: Có mặt có đỉnh

B.Tồn hình đa diện có số đỉnh số cạnh Là mệnh đề đúng

Ví dụ: Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác

C, D khơng thể xảy Nên mệnh đề sai

Câu 64: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số cạnh hình đa diện ln

A.Lớn C.lớn

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A

Ví dụ hình chóp tam giác hình tứ diện cạnh Câu 65: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

Số đỉnh, mặt hình đa diện ln A.Lớn

(27)

C. Tổng số cạnh (H) số không chia hết cho D. Tổng số cạnh (H) gấp đôi tổng số mặt (H) Hướng dẫn giải:

Gọi tổng số mặt (H) M tổng số cạnh (H) C Ta có: 3M 2C Suy M số chẵn

Ví dụ: Xét hình tứ diện ABCD

A. Khối 20 mặt C. Khối bát diện

A. Khối 12 mặt C. Khối bát diện

B. C. D.

Câu 70: Cho khối đa diện Khẳng định sau sai

A. Sốđỉnh khối lập phương B.Số mặt khối tứ diện

 Tổng mặt (chẵn)

 Tổng mặt 4, tổng đỉnh Như vậy, tổng mặt khơng thể gấp đơi tổng sốđỉnh của, nên mệnh đề sai

 Tổng cạnh 6, số chia hết cho Như câu C sai

 Tổng số cạnh 6, tổng mặt Như tổng cạnh gấp đôi tổng mặt

Câu 67: Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đơi sốđỉnh B.Khối lập phương

D.Khối 12 mặt Hướng dẫn giải:

Khối bát diện có cạnh 12 có sốđỉnh

Câu 68: Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có sốđỉnh số mặt B.Khối lập phương

D.Khối tứ diện Hướng dẫn giải:

Khối tứ diện có số mặt sốđỉnh

Câu 69: Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung cạnh? A.

Ta thấy đỉnh đỉnh chung cạnh

Ví dụ: Xét đỉnh B, B đỉnh chung cạnh: BA, BS, BC, BS’

(28)

Khối bát diện loại {3;4}

Câu 71: Cho khối chóp có đáy n-giác Mệnh đềnào sau đúng?

A.Số mặt khối chóp 2n B.Số cạnh khối chóp n+2 C.Sốđỉnh số mặt n+1 D.Sốđỉnh khối chóp 2n+1 Hướng dẫn giải:

A. 12 B. 30 C. D. 20

Hình lập phương chắn chắn đa diện nên mệnh đềA Tứ diện đa diện lồi mệnh đềđúng

Hình hộp đa diện lồi, mệnh đềđúng

Hình chóp tứ giác có mặt đỉnh Hình chóp tam giác có mặt đỉnh

Câu 72: Khối đa diện lồi có số mặt nhiều là:

Đa diện lồi có số mặt nhiều đa diện 20 mặt có 30 cạnh

Câu 73: Trong mệnh đề sau mệnh đềnào đúng?

A. Khối đa diện khối đa diện có tất cạnh B.Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác

C. Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh

D. Có vơ số khối đa diện lồi khơng có số cạnh

Câu 74: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A. Hình lập phương đa diện

B.Tứ diện đa diện lồi C. Hình hộp đa diện lồi

(29)

THỂ TÍCH HÌNH CHÓP

A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1)Nếu khối chóp cho có chiều cao h diện tích đáy B thể tích tính theo cơng thức

từ đỉnh tới hình chiếu

Chú ý: Các cơng thức tính diện tích đáy

a) Tam giác:

 

  

ABC vuông A:

 ABC đều, cạnh a:

b) Hình vng cạnh a: S = a2 (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành ABCD: S = đáy  cao =

e) Hình thoi ABCD:

f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc:

1 V B.h

3 

a b c

1 1

S a.h b.h c.h

2 2

   S 1bc sin A 1ca.sin B 1ab sin C

2 2

  

abc S

4R

 Spr S p p a  p b p c   

2SAB.ACBC.AH

2

a S

4 



AB.AD.sinBAD



S AB.AD.sinBAD AC.BD

 

 

1

S a b h

 

1

S AC.BD



2)Nếu khối chóp cần tính thểtích chưa biết chiều cao ta phải xác định vịtrí chân đường cao đáy

a) Chóp có cạnh bên vng góc chiều cao cạnh bên.

b) Chóp có hai mặt bên vng góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy. c) Chóp có mặt bên vng góc đáy chiều cao mặt bên vng góc đáy.

d)Chóp chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.

(30)

HÌNH CHĨP ĐỀU

Câu 1: Thể tích (cm3) khối tứ diện cạnh

3cm : A.

3 B.

2

81 C.

2

81 D.

3 18 Hướng dẫn giải:

Gọi cạnh tứ diện a Dễdàng tinh V = a3

12 Thay a =

3 ta V = 2

81

Câu 2: Thể tích khối bát diện cạnh a là:

A

3

a B.

6

a C. 3

2

a D.

6 a Hướng dẫn giải:

Thề tích khối chóp tứgiác có cạnh a tích V1=

3

2

a

Mà thể tích khối bát diện 2V1 Do thể tích khối bát diện V= 3

a

Câu 3: Kim tự tháp Kê-ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứgiác có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m Thế tích V khối chóp là?

A. V 2592100m3 B V 7776300m3 C V 2592300m3 D V 3888150m3 Hướng dẫn giải:

+ Thể tích kim tự tháp Kê - ốp 1.147.2302 2592100 3

 

V m

Câu 4: Cho hình chóp tứgiác S.ABCD có cạnh đáy a, tất cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A

3

6

a

B

3

a

C

3

3 a

D

3

a

Gọi H giao điểm AC BD Do S.ABCD chóp nên SO (ABCD)

Theo giả thiết ta có SAO SBO SCO SDO  600

Trong tam giác OBS ta có tan 600

2

  a  a

SO OB

Thể tích khối chóp 6

3 3

 ABCD  a 

V S SO a a

(31)

A. 3( 2)

4 b h b B.

2

3

( )

4 b h h C.

2

3

( )

8 b h h D.

2

3

( )

12 b h Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm BC hinh chóp S.ABC H hình chiếu S mặt phẳng (ABC) Khi AH= 2



b h , AM= 2

2 b h Gọi x cạnh tam giác ABC suy

2

2 2

3 3

3( )

2 2



 x  b h  x   

AM x b h

Diện tích tam giác ABC:  2

2

3 3

( )

4



 b h  SABC  

S V b h h

Câu 6: Tính thể tích khối chóp S.ABCD có tất cạnh

A. B. C. D. 2 Hướng dẫn giải:

Gọi O tâm ABCD, ta có 1.1

3

 ABCD  

V SO S

Câu 7: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên tạo với đáy góc 600 Thể tích khối chóp bằng:

A 3 12 a B 3 a C 3 36 a D 3 18 a

3

tan

12 12 

 a  a

V nên

Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABCD, cạnh đáy a Mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích V hình chóp S.ABC

A 3  a V B 3  a V C 3 12  a V D 3 24 a V

Gọi điểm hình vẽ Theo đề suy 

60



SIA

Ta có 3

2

a  a  a

AI HI SH

Vậy

3

3 24 a

V

(32)

A

3

6 36 a

V B

3

6 48  a

V C

3

3 48  a

V D

3

6 12  a

V

Gọi O tâm đáy ABCD Tính SO=

a

VAMNP=

1

4VABSP=

8VABCD=

2

1 3SO AB

Chọn đáp án

Câu 10: Chohìnhchóp tứgiác S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A

3

4 3

a

B

3

a

C.

3

2 3

a

D.

3

2

a

Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm CD. Khi SO đường cao hình chóp, góc SMO góc mặt bên mặt đáy hình chóp

0

2

tan 60 2

 AD  a    

OM a SO OM a Suy

 

3

1

3 3

  

S ABCD ABCD

a

V S SO a a

Câu 11: Khối chóp S.ABCD có tất cạnh a Khi độdài đường cao h khối chóp là:

A h 3a B.

2  a

h C.

2  a

h D. ha

2

2 2

2

 

    

 

 

a a

h SO a

Câu 12: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P, Q

trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA.Cho biết diện tích tứ giác MNPQ 1, tính thể tích tứ diện ABCD

A 11 24 

V B 2

3 

V C

24 

V D 11

6 

V

Ta chứng minh MNPQ hình vuông, suy cạnh tứ diện 2, 2 

(33)

Câu 13: Cho hình chóp tứgiác có tất cạnh nhau, đường cao mặt bên a Tính thể tích V khối chóp

A. V a3 B

3

2  a

V C

3

2  a

V D

3

2  a

V

Gọi đỉnh hình chóp tứ giác hình vẽ bên đặt cạnh AB2x Khi SOx 2,OH x suy

3



SH x Vậy xa Khi

3

1

3

 a

V SO AB

A 24

 

V B

3 

V C 52 30

3  

V D

3 

V

Trong đó, 0  

2 2sin 75



  



MA

3

2  x

V ”

2 

V

Câu 14: Để làm hình chóp tứ giác từ tơn hình vng có cạnh 1 3, người ta cắt tôn theo tam giác cân

MAN,NBP,PCQ,QDMsau gị tam giác ABN,BCP,CDQ, DAM cho bốn đỉnh M,N,P,Q trùng nhau(hình vẽ)

Biết rằng, góc ởđỉnh tam giác cân 1500 Tính thể tích V khối chóp tạo thành

+ AMN DMQ150AMD600 MAD

Vì hình chóp tứgiác tạo thành có tất cạnh MA MN

+ Dễ dàng chứng minh rằng:

“Một khối chóp tứ giác có tất cạnh x tích + Với x

Câu 15: Trong thi làm đồ dùng học tập bạn Bình lớp 12S2 trường THPT trưng Vương làm hình chóp tứgiác cách lấy tơn hình vng MNPQ có cạnh a, cắt mảnh tôn theo tam giác cân MAN; NBP; PCQ; QDMsau gị tam giác ANB; BPC; CQD; DMA cho bốn đỉnh M;N;P;Q trùng (như hình)

(34)

A

3

36 a

B

3

24 a

C.

3

4 10 375

a

D

3

Gọi cạnh hình vng ABCD x đường cao mặt bên là: SM= 2



a x

suy chiều cao phối chóp SO = 2 2

2 a  ax Vậy V =

2

1

2 2

6x a  ax lập bbt suy V lớn x = 2

5

a

Ta tìm maxV =

3

4 10 375

a

A. 45 B.18 C. 54 D. 15

1

5

2

 AOB 

S S AB

1 45

15 3 h

A.

3

4 a

B.

3

6 a

C.

3

12 a

D.

3

Dựng hình bên

+ Thấy thể tích khối cần tính lần thể tích hình chóp S.ABCD

+ Nhiệm vụ tìm thể tích S.ABCD

+ ABCD hình vng có tâm O đồng thời hình chiếu S lên mặt đáy

Câu 16: Cho hình chóp lục giác SABCDEF có SA5;AB3 Tính thể tích khối chóp SABCDE

Lưu ý lục giác ABCDEF lục giác giống xếp tam giác AOB theo chiều kim đồng hồ Ta cần xác định hai yếu tố:

Chiều cao (để ý tam giác AOBđều nên OA AB3 ): hSO SA2OA2  5332 4

Diện tích để ý diện tích ngũ giác ABCDE lần diện tích tam giác AOB nên ta có:

2

sin600

 45

V  Sh Do đó, ta có:

(35)

2  a

SO ; BD cạnh hình lập phương a Suy cạnh hình vuông 2 

ABCD a

3

1 1 2

3 2 12

   

       

   

S ABCD

a

V Sh a

3

đa diên

6

 

khôi S ABCD

a

V V

A

3

2 3

a

B 3a3 C

3

a

D

3

Cách 1:Ta tính thể tích khối chóp S ABC :

Gọi H tâm tam giác ABC cạnh a 3 CH a đường thẳng SA mặt phẳng (ABC)

60



1 3

60 S

3 12

SCH  oSH aVS ABC  H SABC   a

3

' ' ACS

2

2 2.4

 B ACA C  B  S ABC  a

V V V V

3

3 12 

S ABC

a

V

2

39 12 SBC

a

 

 ,  3a

d A SBC

Có ' ' 39

3    

a a

BB B C

2 ' '

39 

BCB C

a

S

Thể tích khối mặt cần tìm là:   

3 ' '

1

2 ,

3

 BCB C  a

V d A SBC S

Cách (Tham khảo lời giải Ngọc HuyềnLB)

Thể tích khối bát diện cho ' ' ' 2.4 '. . 8.1

 A B C BC  A SBC  S ABC  ABC

V V V V SG S

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy cạnh a, góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 60 Gọi A, B, C tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC, ABC, ABC, BCA, CAB, ABC, BAC, CAB

a

Góc

a.a

3

Cách 2:Ta tích khối chóp S.ABC là: Diện tích tam giác SBC là: S 

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là: 13

Tứ giác BCB'C' hình chữ nhật có hai đường chéo cắt trung điểm đường

SB 2a

(36)

Ta có: SA ABC; SAG60 Xét SGA vuông G:

 

tanSAG SG SG AG tanSAGa

AG

Vậy

2

1 3

8

3

 ABC  a  a

V SG S a

(37)

HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH VNG GĨC VỚI ĐÁY

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh BA, BC, BD đơi vng góc với nhau:

BA = 3a, BC =BD = 2a Gọi M N trung điểm AB AD Tính thể tích khối chóp

C BDNM

A.

8 

V a B.

3

2

 a

V C.

3

 a

V D.



V a

Khối chóp C BDNM có CB đường cao nên tích

 BDNM

V BC S , + BD2a

+ Tứ giác BDNM hình thang vng B, M MN đường trung bình tam giác ABD nên có diện tích:

3

3 ( )

( ) 2

2 2

 

  

BDNM

a a a

MN BD BM a

S (đvtt)

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình cữ nhật, SA vng góc với mặt đáy (ABCD),

,

 

AB a AD a Góc cạnh bên SB mặt phẳng (ABCD) 450 Thể tích hình chóp S.ABCD

A.

3

6 18

a

B.

3

2

a

C

3

3 a

D.

3

1

.2

3 3

 ABCD   a

V SA S a a a

Câu 3: Cho khối chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a, SAa vng góc với đáy, M trung điểm SD Thể tích khối chóp MACD là:

A

3

4 a

B

3

12 a

C

3

36 a

D.

a

Khoảng cách từM đến mặt phẳng đáy nửa khoảng cách từS đến mặt phẳng đáy suy thể tích khối chóp MACD là:

3

1 1

2 12

  

MACD SACD SABCD

V V V a

(38)

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có ABa BC, a 3,ACa SA vng góc với mặt đáy, SB tạo với đáy góc

45 Thể tích khối chóp S.ABC là: A. 11

12 a B

3

12 a

C. 3

12 a D.

3

15 12 a Hướng dẫn giải:

SB tạo với đáy góc

45 nên SA ABa Áp dụng công thức Hê rơng, có

   

   

ABC

S p p AB p AC p BC

2

 

 



 

 

AB BC CA

p

    

2

11 5 5

4

a           a

(sử dụng máy tính để tính biểu thức dấu căn)

Suy

1 11

3 12

 

S ABC ABC

V SA S a

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SC  Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3 

V B

6 

V C. V  D 15

3 

V

Đường chéo hình vng AC 

Xét tam giác SAC, ta có SA SC2 AC2  Chiều cao khối chóp SA

Diện tích hình vng ABCD

1

 

ABCD

S

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

1

3

 

S ABCD ABCD

V S SA (đvtt)

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a , SA vng góc với mp đáy Góc tạo (SBC) mặt đáy 300 Thể tích S.ABC

A

3

2

a

B

3

2

a

C

3

9 a

D

3

2

a

Xét ABC vuông A

BC2 = AB2 + AC2 BC2 =  

2

2 

a a  BC = a

  

AH BC AB AC AH AB AC

BC =

a a

a AH =

a

Góc tạo (SBC) (ABC) góc SHA

A C

S

300

a

(39)

Tan 300 = SA

AH => SA = AH.tan30

0 =

3

a

3=

2

a

VS.ACB= .1 3SA AB AC=

1 3

a

a a =

3

9 a

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có SA3a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có 2a

 

AB BC , góc ABC1200 Tính thể tích khối chóp cho

A VS ABC. 3a3 B VS ABC. 2a3 C VS ABC. a3 D

3

2 3 

S ABC

a V

Ta có sin1200

ABC  

S BA BC a Vậy . S 3

3 

 

S ABC ABC

V SA a

Câu 8: Cho hình chop S.ABCD có SC(ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh a 3và



120



ABC Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chop S ABCD

A.

3

3 12

a

B.

3

a

C.

3

a

D.

3

a

Kẻ SK AB thì:

  

(SAB), (ABCD) (SK, CK) 45

    

CK AB ABC

  0

0

2

3

120 60 sin 60

2

.tan 45 (1)

3

S sin120 (2)

2

    

  

 

ABCD

a

ABC ABC CB

a SC CK

a AB BC

Từ (1) (2)

3

1 3

V S

3

 S ABCD  SC ABCD  a

Câu 9: Cho hình chóp tứgiác S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh ABa AD, a 2,

 



SA ABCD góc SC đáy 600 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng: A 2a3 B 3 2a3 C 3a3 D 6a3 Hướng dẫn giải:

Theo ta có, SAABCD, nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD)

 

  

, , 60

 

   

SC ABCD  SC AC SCA

A

B

C

(40)

Xét ABC vng B, có

2 2

2

    

AC AB BC a a a

Xét SAC vng A, có SAABCDSAAC Ta có:

 

tanSCA SA SA AC.tanSCAAC.tan 60 a 33a AC

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:

3

1

.3 2

3

  

S ABCD ABCD

V SA S a a a a

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi tâm O, ABa 5;AC4 ,a SO2 2a Gọi M trung điểm SC Biết SO vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp M.OBC

A. 2a3 B. 2a3 C.

3

2

a

D.

4a

Đểtính thể tích khối hình chóp M.OBC ta cần tính diện tích đáy OBC khoảng cách từM đến đáy

Kẻ MH / /SO H OC, SOABCDMH ABCDMH OBC Nên d M OBC ; MH Áp dụng định lý Ta lét vào tam giác SOC ta có:

1

2

   

MH MC

MH a

SO SC

Do ACBD nên O AB2AO2  5a2  2a a Diện tích đáy 2

2

  

OBC

S OB OC a a a

Thể tích khối chóp cần tính

3

1

3 3

 OBC   a

V MH S a a

Câu 11: Hình chóp tứgiác S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh ABa A, Da 2, SAABCD góc SC đáy 600 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:

A 2a3 B

6a C

3a D 3 2a3 Hướng dẫn giải:

 



SA ABCD nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD) Xét ABC vng B, có

2 2

2

    

AC AB BC a a a

Xét SAC vuông A, SAABCDSA AC Ta có:

0

tanSCA SA SA AC.tanSCAAC.tan 60 a 33a AC

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD

3

1

.3 2

3

  

S ABCD ABCD

(41)

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 SC 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD

A

3

2

a

V B

3

 a

V C

3

6

 a

V D

3

2  a

V

Vì SAABCD nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD)

 

    

, , 45

 SC ABCD  SC AC SCA

Tam giác SAC vuông A nên:

 

sinSCA SA SASC.sinSCA2 sin 45a  2a SC

2

 

ABCD

S AB a

Vậy 22

3 3

 ABCD  

V S SA a a a

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, cạnh BC = a 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 450 Thể tích khối chóp S.ABC theo a

A

3

2 

S ABC

a

V ; B

3

2 

S ABC

a

V ; C

3

2 

S ABC

a

V ; D

3

2 12 

S ABC

a V

*Ta có : AB = a 3, (SBC)  (ABC) = BC Gọi M trung điểm BC

AM  BC (  ABC cân A) SM  BC (

( SM)



ABC

AM hc 

  

((SBC),(ABC))(SM AM, )SMA45o

*  ABC vuông cân A có,BC = a  AB = BC = a AM =

2

a



2 ABC

1

S

2 2

   

a AB AC a a

*  SAM vng A có AM= 2

a

, 

45



M 

2 tan 45

2

 o  a

(42)

*

2

1

3 2 12

  

S ABC ABC

a a a

V S SA

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BC góc 300 450, khoảng cách từS đến cạnh BC a Tính thể tích khối chóp S ABC

A VS ABC. a3 B

3 ABC  S a V C ABC  S a V D  S ABC a V

Ta có SAABCnên AB hình chiếu SB mặt phẳng   

30

 

ABC SBA Gọi G trung điểm BC, ta có      

 

BC AM

BC SAM SAM

BC SA mặt phẳng trung trực BC SM hình chiếu SB   

45

   

SAM BSM SBC vuông cân S Ta có

 ,  2,

  B SC      

SM BC d SM a SB SC a BC a

Tam giác SBA vng A, ta có sin 300 2

  a

SA SB

Trong tam giác vng SAM, ta có:

2

2 2 2

2             a a

AM SM SA a

Vậy

3 6   S ABC a V BC AM SA

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với ABCD SA2a Gọi I trung điểm SC M trung điểm DC Tính thể tích khối chóp I OBM

A 24  a V B. 3 24  a V C 3 24  a V D 24 a

Ta có:     / /       IO SA IO ABCD SA ABCD

IO SAa

Diện tích OBM :

2

1 2

sin135

2 2 2

  a a  a

S OM OB

Tính thể tích khối chóp I OBM :

2

1

3  24

  

I OBM OBM

a a

V S IO a

(43)

thể tích khối chóp IABCD

A

6

a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

Ta có SA(ABCD) nên AM hình chiếu SM mặt phẳng (ABCD)

 

;( ) 60

 SM ABCD SMA

ABCcó ABBCa ABC 600 nên ABCđều Mà M trung điểm BC nên 3

2

 AB  a

AM

Khi tan tan 60 3 2

 SA   a  a

SMA SA

AM

Thể tích khối chóp I.ABCD

 

1

;( )



I ABCD ABCD

V d I ABCD S

 

3

1

;( )

6 

 d I ABCD SABCD  SA S ABC  a

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) góc đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) 300 Gọi M trung điểm SA, (P) mặt phẳng qua M vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt cạnh SB, SC, SD N, E, F Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF

A

3

2 36

a

B.

3

2 72

a

C

3

2 18

a

D

3

2

a

Từ giả thiết ta có:     300

 

BC AB

BC SAB BSC

BC SA góc SC với mp (SAB)

Từđó: 2

.cot 30 3,

    

SB BC a SA SB AB a

 



SB P E nên thể tích khối chóp S.MNEF xác định bởi:

3  MNEF

V S SE

Do SAAC SAAC a 2, nên SAC vuông cân A

 SEM vuông cân E

2

SE SM  a

Ta có:

 

    ,



  

    



  

MN CS SC P

MN SBC MN NE MN SB MN BC BC SAB

2

1

2 6 24

SMNE  MN NE a a  a

Hồn tồn tương tự ta có MF EF

2

  

MEF MNEF

a a

(44)

Vậy

3

1

3 72

 MNEF  a

V S SE (đvtt)

(45)

HÌNH CHĨP CĨ MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A.

3

2 15

a

B.

3

2

a

C

3

15

a

D

3

5

a

Ta có SA(ABCD)SCA60

0 2

.tan 60 (2 ) 15

SA AC  a  a a

3

1 15

.2 15

3

V  a a a  a

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B,

  

AB BC AD a

Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ACD A

3



S ACD

a

V B

3

2



S ACD

a

V C

3

2 

S ACD

a

V D

3

3 

S ACD

a V

Ta chứng minh tam giác ACD vuông cân C

 

CA CD a , suy SACD a2

Gọi H trung điểm AB tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy, suy SH ABCD

và

2  a

SH Vậy

3

3 

S ACD

a

S

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Các mặt phẳng (SAB), (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Tính thể tích V hình chóp S.ABCD

A

3

6  a

V B

3

6  a

V C

3

6  a

V D

3

3 a

V

Theo đề ta có SCA300 ACa suy a

SA Vậy

3

6  a

V

(46)

A

3

4 a

B

3

12 a

C

3

a

D

3

a

Kẻ SH BC SAC  ABC nên SH ABC Gọi I, J hình chiếu H AB BC

,

SJ  AB SJ BC

Theo giả thiết

45

 

SIH SJH

Ta có: SHI  SHJ HI HJ nên BH đường phân giác ABC từđó suy H trung điểm AC

3

1

2 12

  a  SABC  ABC a

HI HJ SH V S SH

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC Thể tích khối chóp S.ABM bằng:

A.

3 12

a

B

3 18

a

C

3 24

a

D

3 36

a

Diện tích đáy :

2

 a

S , chiều cao 3  a

h ,

3

18 36

   S ABC 

S ABC S ABM

a V a

V V

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, gọi M, N trung điểm AD, DC Hai mặt phẳng (SMC), (SNB) vng góc với đáy Cạnh bên SB hợp với đáy góc

60 Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. 16 15

5 a B.

3

16 15

15 a C

3

15a D. 15

Gọi H giao CM BN SH ABCD Chứng minh CH NB H

2

4

   



BC BC a

BH

BN BC CN

0 15

.tan 60

5

SH BH  a

3

1 16 15

3

VS ABCD  SH SABCD  a

(47)

Câu 7: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặ bên SAB tam giác cân S, mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy gọc 600và cách đường thẳng AB khoảng a Tính thể tích khối chop theo a?

A

3

8 a

B

3

2 a

C

3

4 a

D

3

Gọi H,I trung điểm AB CD

Do tam giác SAB cân S nên: SH  AB mà (SAB)(ABCD)do đó:

SH(ABCD)SH CD H, I CD Do đó: CD(SHI), kẻ HK SI, CDHK

Do ta có: HK (SCD)HK d(h, (SCD))d(AB, (SCD))a

   

I

CD ( ) SI (SCD),(ABCD) , 60

(SCD) (ABCD)

  

      

  



H CD

SHI CD HI SI SHI

CD

Trong tam giác HKI có 0 sin 60

 HK  a 

HI BC

Trong tam giác HIS có SH HI.tan 600 2a Diện tích ABCD là:

2

3

 

ABCD

a

S BC

Thể tích S.ABCD là:

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SBa 3và mặt bên (SAB) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Khi thể tích khối chóp S.MBND là:

A

3

a

B.

3 a C

3

a

D. a3 Hướng dẫn giải:

Gọi chiều cao khối chóp.Vì tam giác SAB vng S h a Diện tích tứ giác BMDN là: SBMDN SABCD 2SNCD 2a2

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, tam giác BCD vuông cân D nằm mặt phẳng vuông góc với ABC Tính thể tích V khối tứ diện ABCD

A

3

 a

V B

3

12

 a

V C

3

 a

V D

3

3 24

 a

V

(48)

Dựng AH BC,

ABC  BCD AH BCD

Ta có, ABC

2

AH  a

2

1

2

 

BCD

a

S DH BC

Vậy

3

1

3 24

 

ABCD BCD

a

V AH S

Câu 10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

3

 a

V B

3

12

 a

V C

3

 a

V D

3

3 24

 a

V

Dựng SH AB,

SAB  ABCDSH ABCD

Ta có, SAB

2 SH  a



ABCD

S a

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAB nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, SAB 30 , SA2 a Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

3

 a

V B

3

 a

V C

3

 a

V D.



V a

Dựng SH AB,

Ta có, SHA vng H:

 

sinSAH  SH SH SA.sinSAH a

SA

2



ABCD

S a

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

(49)

Câu 12:Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, tam giác BCD cân D nằm mặt phẳng vng góc với ABC Biết AD hợp với mặt phẳng ABC góc

60 Tính thể tích V khối tứ diện ABCD

A

3

 a

V B

3

12

 a

V C

3

 a

V D

3

3 24

 a

V

Dựng AH BC,

ABC  BCD AH BCD

Ta có, ABC

2 AH  a

 

  

DH BC DH ABC

 

  

; 60

 AD ABC HAD

Xét tam giác AHD vuông H: tanHAD HD

AH



tan

2 HD AH HAD a

Vậy

3

1

3

 

ABCD ABC

a

V HD S

Câu 13:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAB nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, SAB60 , SA2 a Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

3

 a

V B

3

 a

V C

3

2

 a

V D.



V a

Dựng SH AB,

 

SA

2



ABCD

S a

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 14:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD BC, 2AB2 ,a tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, SAB 60 , SA2 a Tính thể tích V khối chóp

S ABCD

A

3

 a

V B

3

 a

V C

3

2

 a

V D.



V a

(50)

Dựng SH AC,

SAC  ABCDSH ABCD

 

SA

2

2 

ABCD

S a

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

A

12

 a

V B

3

 a

V C

3

2

 a

V D.



V a

Dựng SH AB,

Ta có, SAB tam giác nên

2  a

SH

nên BAD Suy

2

3

2

4

 

ABCD

a a

S

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

A

3

3 a

B

3

4 a

C.

3

3 a

D

3

a

 

3

1

2a

3 2

 a  a

V a a

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, CAD300, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, SAB600

, SA2a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD

Do ABCD hình thoi cạnh a CAD300

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD biết ABCD hình thang vng A D; AB = 2a;

ADDCa Tam giác SAD vuông S Gọi I trung điểm AD Biết (SIC) (SIB) vng góc với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Ta có (SIC) (SIB) vng góc với (ABCD) nên SI vng góc với (ABCD)

(51)

Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy, ABa AD, 2a Khoảng cách hai đường thẳng AB SD a Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A

3

4 a

B. 3a3 C. a3 D.

3

gọi O giao điểm đường chéo đáy hình chóp Theo ta có

   

 

 



  



  



SAC ABCD

SBD ABCD SO ABCD

SA SAC SBD

;

       

/ /  ,  ,  ,

AB DC d AB SD d AB SCD d B SCD Ta có   

 

,

2

,  

d B SCD DB

d O SCD DO nên   

2 ,

2  a

d O SCD

Vì O chân đường cao hình chóp nên ta có cách dựng khoảng cách từO đẻn mặt phẳng SCD sau: Kẻ OH CD OK, SH ta có  , 

2

  a

OK d O SCD

Áp dụng hệ thực lượng vào tam giác SOH vng O ta có 2  12  2 SOa

OK SO OH

Thể tích hình cần tính

.2

3

 

V a a a a

Câu 18: Cho hình chópS ABCD có đáyABCD hình thang vng A D; biết AB AD2a,



CD a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp

S ABCD A.

3

a

B.

3

3 15

a

C.

3

3 15

a

D.

3

3 5

a

 2  2

4 ; 5;

    

AM a BM a a a IM a

Ta có KMI ~AMB

Như nhắc ởcâu trước hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với (ABCD) nên

SI ABCD nên SI đường cao S.ABCD Kẻ IK BC K Khi ta chứng minh

(52)

3

2 5

 IM  IK IK  a a a

BM AB a ,

0 3

.tan 60

5

  a  a

SI IK

 

3

1 3 15

2

3 5

 a   a

V a a a

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thoi; hai đường chéo AC2 ,a BD2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từđiểm Ođến mặt phẳng (SAB)

4

a

, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

A.

3

a

B.

3 a

C.

7

a

D. 3a3 Hướng dẫn giải:

+Từ giả thiết AC 2a 3;BD2a AC BD, vng góc với trung điểm O đường chéo Ta có tam giác ABO vng O AOa 3; BOa, ABD600

Hay tam giác ABDđều

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến chúng SOABCD

+Do tam giác ABDđều nên với Hlà trung điểm AB, Klà trung điểm HB ta có DH AB

3



DH a ; OK/ /DH

2

  a

OK DH OK AB ABSOK

+Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OI SK ; ABOI OI SAB, hay OI khoảng cách từOđến mặt phẳng (SAB)

Tam giác SOK vuông O, OIlà đường cao 12 2 12

2

   SOa

OI OK SO

Diện tích đáy: SABCD 4SABO 2.OA OB 2 3a2; Đường cao hình chóp

2 a

SO Thể tích khối chóp S ABCD :

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V S SO

(53)

HÌNH CHĨP KHÁC

Câu 1: Cho hình chóp tam giác có đường cao 100 cm cạnh đáy 20 cm, 21 cm, 29 cm Thể tích hình chóp

A

6000cm B

6213cm C

7000cm D

7000 2cm Hướng dẫn giải:

Nửa chu vi tam giác đáy 20 21 29 35

 

 

P

Áp dụng cơng thức Hê-rơng ta có diện tích đáy B 35 35 20 35 21 35 29210 Thể tích khối chóp cần tìm 1.210.100 7000

3

  

V B h cm

Câu 2: Cho hình chóp SABCD tích 48, đáy ABCD hình thoi Các điểm M, N, P, Q thuộc SA, SB, SC, SD thỏa: SA = 2SM, SB = 3SN, SC = 4SP, SD = 5SQ Thể tích khối chóp S.MNPQ

A.

5 B.

4

5 C.

6

5 D.

8 Hướng dẫn giải:

1 24 

SMNP SABC

V V ,

40 

SMPQ SACD

V V

1

.24 24

24 40

VSMNPQ   

Câu 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có ASBCSB60 ,o CSA90 ,o SASBSC2a Tính thể tích khối chóp S ABC

A.

6

a

B.

2

a

C.

2

a

D.

2

a

Ta có tam giác ABC vng B, Hai tam giác SAB SBC Vì SASBSC 2a Hình chiếu S trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vng B nên hình chiếu trung điểm H AB

 

3

2 1

3,

2 3

 a      a

SH a AB a V a a

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB; AC; AD tạo với góc 600 Biết AB2a ;AC 3a ;



AD a Tính thể tích ABCD A

3

2

a

(54)

Đây tốn điển hình hình học khơng gian Mấu chốt toán nằm việc lấy thêm điểm để tính tốn

Lấy điểm M, N, P thuộc đoạn AB, AC, AD cho AM  AN  APa Suy tứ diện AMNP tứ diện có độ dài cạnh a Đến toán trở dạng đơn giản Ta dễ dàng tính thể tích AMNP

3

2 12

a

Lại có:

2.3.4 24 24 2

     

ABCD

ABCD AMNP

AMNP

V AB AC AD

V V a

V AM AN AP

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V Lấy điểm A’ cạnh SA cho

' 

SA SA Mặt phẳng qua A’ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC, SD B’, C’, D’ Khi thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:

A

V

B

V

C 27

V

D 81

V

Gọi thể tích VS.ABCD = 1 2a h ha Với Sđáy =

2a ha h chiều cao hính chóp S.ABCD VS.A’B’C’D’ = 1 ' ' '

3 2a h ha mà: '

3 

h h, '

3 

a a, '

3 

a a

h h

Nên VS.A’B’C’D’ = VS.ABCD

27

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi; hai đường chéo AC2 ;a BD2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từđiểm O đến mặt phẳng (SAB)

4

a

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A. a3 B

3

3 a

C

3

a

D

3

2

a

Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có:

1

; 3; ;

2

( )

   

   

 a

DH AB DH a OK DH OK DH

OK AB AB SOK

Gọi I hình chiếu O lên SK ta có:

; ( )

   

OI SK AB OI OI SAB , hay OI khoảng

cách từO đến mặt phẳng (SAB)

Tam giác SOK vuông O, OI đường cao

2 2

1 1

2

   SO a

OI OK SO

(55)

Đường cao hình chóp AS  a

O

Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

1

.2

3

 a  a

V a

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnha, 17  a

SD , hình chiếu vng góc H S lên mặt ABCD trung điểm đoạn AB Tính chiều cao khối chóp H SBD theo a

A.

a

B.

7

a

C. 21

5

a

D. 3a

Ta có SHD vng H

2 2

2 17

3 2                       a a

SH SD HD a a

Cách Ta có  ,   , 

2

 a

d H BD d A BD

Chiều cao chóp H SBD

 

   

 

2 2 , , ,

6.2

4 . 4.5        

SH d H BD d H SBD

SH d H BD

a a a a a a a

Cách 2. 3

3

 ABCD 

S ABCD SH S a 

3

1 1

2 12

   

H SBD A SBD S ABC S ABCD

V V V V a

Tam giác SHB vuông H

2

2 2 13

3

4

SB SH HB  a a  a

Tam giác SBD có 13; 2; 17

2

a   a

SB BD a SD 

2

5 SBD 

a

S

   

,

5 

 S HBD 

SBD

V a

d H SBD S

Cách 3. Gọi I trung điểm BD Chọn hệ trục Oxyz với OH Ox; HI Oy; HB Oz; HS Ta có H0;0;0; 0; ;0

2

 

 

 

a

B ; S0;0;a 3; ;0;0

2       a I

Vì SBD  SBI

  :2 2

3

       

x y z

SBD x y z a

a a a

Suy   

3 2.0 2.0

3 3 , 4        a a

d H SBD x

(56)

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, AB = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA Góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích V hình chóp S ABCD

A

3

 a

V B.

3

 a

V C.

3

 a

V D.

3

3 12

 a

V

Gọi H trung điểm OASH ABCD Vẽ HECD E HE/ /AD

Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD

 



CD SHE nên góc (SCD) (ABCD) góc



60



ABC

3

4

  a

HE AD

0 3

.tan 60

4

  a

SH HE

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 9: Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh 

SA , tất cạnh cịn lại Tính thể tích khối chóp S ABCD

A. 39

32 B.

39

96 C.

39

32 D.

Gọi O ACBDSOBD AO, OB Đặt AC2x

ta có SO2 SB2OB2 AB2 OB2 OA2 x2 Áp dụng CT đường trung tuyến:

2 2

2 / 16 25

2 4 64

 

 SA SC  AC    a  

SO x x

2

5 39

, 2

8 4

x AC BD BO AB AO  +) 

2 25

16

    

AC SC AC SAC vuông S +) Kẻ

2

5

   



SA SC

SH AC SH

SA SC

Do BDSO BD, ACBD(SAC)AH (ABCD)

1 1 39 39

3 4 32

     

S ABCD

V SH AC BD

(57)

H

B

D

C A S (I) Kẻ DH ABC H trung điểm cạnh AC

(II)

3

3 

ABCD

a V

Hãy chọn câu

A. Chỉ (I) B.Chỉ (II) C. Cả sai D.Cả2 Hướng dẫn giải:

 



DH ABC , kẻ DEBC

EBEC (do tam giác đều), 

D 30

  

BC HE EH

Trong : HE 2a 3a

2 2

 

   

 

DHE

Gọi I trung điểm AC

2

a  

IE HE IE nên nói H trung điểm AC sai: (I) sai Trong : 3.1

2

DHE DH a  a

3 D

1 3

.2a

3 2

 

ABC

a a

V a (II)

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, góc ABC60  Cạnh bên



SD Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD điểm H thuộc đoạn BD cho



HD HB Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

24 

V B 15

24 

V C 15

8 

V D 15

12 

V

Vì ABC60 nên tam giác ABC Suy

2 

BO ; BD2BO 3; 3

4

 

HD BD

Trong tam giác vuông SHD, ta có

2

  

SH SD HD

Diện tích hình thoi ABCD 

 

ABCD ABC

S S

Vậy . 15

3 24

 

S ABCD ABCD

V S SH (đvtt)

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I có cạnh a,

60 

BAD Gọi H

là trung điểm IB SH vng góc vớiABCD Góc SC ABCDbằng450 Tính thể tích khối chóp S AHCD

A 35

32 a B.

3

39

24 a C.

3

39

32 a D.

3

(58)

Ta sẽtư nhanh sau: Nhìn vào hình dễ nhận hai khối chóp S.ABCD S.AHCD có chung chiều cao nên ta cần so sánh diện tích đáy Dĩ nhiên ta thấy

3

2 4 3

2

2 4

   

BCD

AHCD AHD

ABCD ABCD ABCD

S

S S

S S S ,

3 

SAHCD SABCD

V V

Mặt khác ta có BAD600  tam giác ABD đều, nên

     a

AB BD AD a IH Khi

2

2 13

4

 

       

   

a a a

HC IH IC Khi

13

 a

SH HC (do SCH 450 nên tam giác SCH vuông cân H)

3

1 13 3 39

.SH.S

3 4 32

VSAHCD  ABCD  a a a a

Câu 13:Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trung điểm BC SB2 a Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

3

 a

V B

3

3 24

 a

V C

3

5

 a

V D

3

3 12

 a

V

Xét tam giác SBH vuông

2 15

:

2

   a

H SH SB BH

2

3 

ABC

a S

Vậy

3

1

3

 

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trung điểm BC SA hợp với đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp

S ABC

A

3

 a

V B

3

3 24

 a

V C

3

5

 a

V D

3

3 12

 a

V

(59)

Do      

; 60

   

SH ABC SA ABC SAH

Xét tam giác SAH vuông : tan

2

  a

H SH AH SAH

2  ABC a S

Vậy

3  

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 15: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trung điểm BC SB hợp với đáy góc

60 Tính thể tích V khối chóp S ABC A 3  a V B 3 24  a V C  a V D 3 12  a V

Do      

; 60

   

SH ABC SB ABC SBH

Xét tam giác SBH vuông : tan

2

  a

H SH BH SBH

và  ABC a S

Vậy

3  

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 16: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trung điểm BC SAB hợp với đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A. 3 16  a V B 16  a V C  a V D 3 12  a V

Do HK  AB ABSHK ABSK

   

  

; 45

 SAB ABC SKH 

Gọi M trung điểm 3,

2

  a

AB HK CM

tam giác SHK vuông cân

4

   a

H SH HK

và  ABC a S

Vậy

3 16  

S ABC ABC

a

(60)

Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm H cạnh BC cho CH2HB SB, hợp với đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

12

 a

V B

3

 a

V C

3

 a

V D

3

3 12

 a

V

Do      

; 60

   

SH ABC SB ABC SBH

Xét tam giác SBH vuông : tan

3

  a

H SH BH SBH

và

2

3 

ABC

a S

Vậy

3

1

3 12

 

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 18: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm H cạnh BC cho 2 ,

 

HC BH SA hợp với đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

12

 a

V B

3

7 12

 a

V C

3

 a

V D

3

 a

V

Do      

; 60

   

Xét tam giác AHB:



2 2

2 cos

9

    a

AH AB BH AB BH ABH

 AH  a

Xét tam giác SAH vuông

 21

: tan

3

  a

H SH AH SBH

2

3 

ABC

a S

Vậy

3

1

3 12

 

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 19: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm H cạnh BC cho 2 ,

 

(61)

A 21 36  a V B 12  a V C  a V D 3  a V

Do      

; 60

   

Xét tam giác AHB:



2 2

2 cos

9

    a

AH AB BH AB BH ABH

 AH a

Do tam giác SAH vuông cân H nên SH  AH

2  ABC a S

Vậy

3 21 36  

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 20: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm H cạnh BC cho HC2BH, SAB hợp với đáy góc

60 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A 3 24  a V B 3 12  a V C 3  a V D 3  a V

Gọi M trung điểm AB Dựng

/ /

 

HK AB HK CM

1

3

  a

HK CM Ta có

 

  

AB SHK AB SK

   

  

; 60

 SAB ABC SKH 

Xét tam giác SKH vuông



: tan

2

 a

H SH KH SKH

2  ABC a S

Vậy

3 24  

S ABC ABC

a

V SH S

(62)

Câu 21: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA1,SB2,SC3,AB 3,BC CA Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

4 

V B

2 

V C

2 

V D

4 

V

Đáp án : Phương án C Lời giải:

+  

2 2

0

1

cos 60

2 2.1.2

   

 SA SB AB    

ASB ASB

SA SB +

 2 

cos 60

2 2.2.3

   

 SB SC BC    

BSC BSC

SB SC

+  

2 2

0

9

cos 60

2 2.3.1

   

 SC SA CA    

CSA CSA

SC SA

+ Trên SB lấy trung điểm D SC lấy E cho

3 

SE SC

+ Khi SADE tứ diện cạnh thể tích 12 

SADE

V

+ Mặt khác,

6

   

SADE

V SD SE

V

V SB SC

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AB cho HB = 2HA Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) góc Khoảng cách từtrung điểm K HC đến mặt phẳng (SCD) là:

A. 13

2

a

B 13

4

a

C a 13 D. 13

8

a

 

    

,  ,  60

SC ABCD SC CH SCH

2

3

13 39

; tan 60

3

1 1 39 1 39

( )

3 3 3 18

1 39

2 36

    

 

        

 

   

SHDC HDC ABCD AHD BHC

CKSD

CKSD CHSD CHSD

a a

HC BH BC SH HC

a a a a

V SH S SH S S S a a a

V a

V V

V

Tính độ dài cạnh SD, SC Khi đó:

 

2

,

2 3 13

3

   KSDC 

SDC K SDC

SDC

a V a

S d

S

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tam giác SAB tam giác cân

0

(63)

đỉnh S Góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy

45 , góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khoảng cách hai đường thẳng CD SA a

A

3

8 3

a

B

3

4 3

a

C

3

2 3

a

D

3

a

+ Gọi H hình chiếu vng góc S lờn mặt đáy, M trung điểm AB tam giác SAB cân S nên SM vng góc với AB kết hợp với SH vng góc với đáy suy AB vng góc với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: SA ABCD,( )SAH 450 SASH

+

 

  

( ), , 60

2

3

  

 

SAB ABCD SM MH SMH

SM SH

+ Từđiểm N kẻ NP vng góc với SM dễ thấy NP khoảng cách hai đường thẳng SA CD suy

6



NP a Ta có

2

3

      

SH MN NP SM SH AB a SH AB a SH a + Trong tam giác SAM ta có

2

2 2

2

3

    SH   

SA AM SM SH a SH a

2

1 3.8

3 3

  

S ABCD ABCD

a a a

V SH S

A.

3

 IBD

V AC S B.

3

 BDN

V AC S C.

3

 BMN

V BD S D.

3

 MBD

V BD S

 

;

1 ;

 d M IBD  IM 

d N IBD IN

 

1

2

 MIBD    

MIBD NIBD MNBD NIBD

V

V V V

V

Mặt khác V 1.AO D 1.AC.S  2 Từ (1) (2) Chọn đáp án A

Câu 24: Cho mặt phẳng P chứa hình vng ABCD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng P A, lấy điểm M Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng P C lấy điểm N (N phía với M so với mặt phẳng P) Gọi I trung điểm MN Thể tích tứ diện MNBD ln tích cơng thức sau ?

Ta có hình vẽ sau:

Gọi O giao điểm AC BD Suy IO song song với AM, suy IO vng góc với mặt phẳng ABCD

OI  AC

(64)

1

VMNBD  AC SIBD

Câu 25: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy AB AC5 ,a BC6a mặt bên tạo với đáy góc 600 Hãy tính thể tích V khối chóp đó?

A. V 2a3 B.V 6a3 C. V 12a3 D. V 18a3

Kẻ SOABC OD OE OF, , vng góc với , ,

BC AC AB Theo định lí ba đường vng góc ta có

, ,

  

SD BC SE AC SF AB (như hình vẽ) Từđó suy   

60

  

ABC ABC ABC Do tam giác vng , ,

SDO SEO SFO Từđó suy ODOEOF Vậy O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên OA vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến Suy A O D, , thẳng hàng Dlà trung điểm BC Suy AD AB2BD2  16a2 4a

Gọi p nửa chu vi tam giác ABC, rlà bán kính đường trịn nội tiếp

Khi 1.6 12

ABC    

S a a a pr ar Suy 

r a

Do 3

.tan 60

  a

SO OD Vậy VS ABC. 6 3a3

Câu 26: Cho hình chóp S.ABC, có tất mặt bên tạo với đáy góc , hình chiếu đỉnh thuộc miền tam giác ABC Biết AB3 ,a BC 4a AC5a Khi thể tích V khối chóp BC ?

A.

2 tan

 

V a B.

2 cos

 

V a C.

6 tan

 

V a D.

6 cot

 

V a

Công thức cần dùng S= p p.( a p)( b)(pc)  p r 6a2 Hay 6a2=6a.r hay r=a( r :bán kính nội tiếp tam giác)

Chiều caor.tan a.tan

Vậy

tan tan

   

V a a a

Phân tích : cần xác định đường cao Việc tưởng trừng đơn gian không tinh ý lại trởnên khó khăn Mấu chốt tốn la tất mặt phẳng bên tạo với đáy góc



Ta có toán phụ sau:

(65)

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có AC2BD4a, cạnh bên SAa 5, hình chiếu vng góc đỉnh S (ABCD) điểm H cạnh AC cho

4  AC

AH , M hình chiếu vng góc C SA Tính thể tích khối chóp SMBC theo a

A.

3

4 15

a

B.

3

3 a

C.

3

2 a

D. 2a3

2

3

2

4

.sin sin

5

5 10 60 15

  

      

   

    

SAC SMC

B SAC S ABCD B SMC

SH SA AH a

AH a

AM AC MCA AC ASH AC

SA

AM S

S AS

V V SH AC BD a

V

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều,

 

SC SD a Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Gọi I trung điểm AB; J trung điểm CD Gọi H hình chiếu S (ABCD) Qua H kẻđường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt DA CB kéo dài M,N Các nhận định sau

(1) Tam giác SIJ tam giác có SIJ tù (2) sin

3 

SIH

(3) MSN góc hai mặt phẳng (SBC) (SAD) (4) cos

3 

MSN

Chọn đáp án đúng: Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có IJ=a;

2

2 2 11

3

4

   a a

SJ SC JC a

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có

  

2

2 2

2

3 11

4

cos

2

0 3

 

 

    

a a

a IJ IS SJ SIJ

IJ IS a

a a

a

Suy ra, tam giác SIJ tam giác có SIJ tù Từ giả thiết tam giác SAB tam giác

SCD cân đỉnh S, ta có H thuộc IJ I nằm HJ tức tam giác vng SHI có H 900, góc I nhọn cos I cos cos

2

   

(66)

 sin

3 

SIH

Từ giả thiết giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD) đường thẳng d qua S song song với AD

Theo định lý ba đường vuông góc ta có SN BC SM,  ADSM d SN; dMSN góc hai mặt phẳng (SBC) (SAD), MN = AB = a

Xét tam giác HSM vng H có :

2

,

2 4

a  a    a a  a 

SH HM SM SH HM SN

Theo định lý cosin cho tam giác SMN cân S có



2 2

2

2 2

2

3

1

4

cos

3

2

4

 

   

a a a

a SM SN MN

MSN

a a

SM SN

Câu 29: Tính thể tích V khối chóp S ABC có độ dài cạnh SABC 5 ,a SB AC6a

 

SC AB a A 35

2 

V a B 35

2 

V a C. V 2 95 a3 D. V 2 105 a3 Hướng dẫn giải:

Qua đỉnh tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi cắt tạo thành tam giác MNPnhư hình vẽ

Dễ thấy tứ diện S.MNP tứ diện vuông đỉnh S . . 

S ABC S MNP

V V

Đặt xSM y, SN z, SP, ta có:  

   

2

2 2 2

2

2 2

2

4 76

4 24

120

    

 



   

 

 



  

 

x y a x a

y z a y a

z a

z x a

3

1

2 95

4 24

VS ABC  VS MNP  xyz a

S

M

N

P B

(67)

TỈ SỐ THỂ TÍCH

A - LÝ THUYẾT TĨM TẮT

* Cho khối chóp S.ABC, A'SA, B'SB, C'SC * MSC, ta có:

B - BÀI TẬP

Câu 1: Hình chóp S.ABC có A’B’C’ trung điểm SA, SB, SC; tỷ số thể tích hai khối chóp SA’B’C’ SABC là:

A.

4 B.

1

6 C.

1

10 D.

Sử dụng công thức ' ' '

' ' '

8

 

S A B C S ABC

V SA SB SC

Câu 2: Cho hàm số S.ABC.Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm A', B', C' cho ' 

SA SA;

1

' ; '

2

 

SB SB SC SC Gọi V V' thể tích khối chóp S.ABCD S'.A'B'C' Khi tỷ số V'

V là:

A.

8 B.

1

12 C.

1

6 D.

1 16

Áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích ta có ' ' ' ' 1 1

2 12

  

V SA SB SC

Câu 3: Cho hình chóp tứgiác S ABCD Gọi A', B', C', D' theo thứ tựlà trung điểm AB, BC, CD, DA Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S.A'B'C'D' S.ABCD ?

A.

2 B.

1

3 C.

1

4 D.

1

SABC SA ' B'C '

V SA.SB.SC V SA '.SB '.SC '

SABC SA 'B 'C '

V SA.SB.SM SM V  SA.SB.SC  SC

C

B A

S

A'

B' C'

A

C

B S

(68)

Ta thấy hình chóp S.ABCD S.A'B'C'D' Có chung chiều cao kẻ từ đỉnh S xuống đáy Vậy đểđi tìm tỉ số khoảng cách cần tìm tỉ số diện tích đáy mà ta có hình vẽnhư sau:

Ta thấy

2 'B'C'D'

2

' ' A'B'

2 2

A ABCD

a a

S A D     S

 

' ' ' '

2  A B C D 

ABCD

V V

Câu 4: Hình chóp SABC có M, N, P theo thứ tựlà trung điểm SA SB SC, , Đặt  MNPABC SABC

V k

V Khi

giá trị k A.

7 B.

7

8 C.8 D.

Ta có 1 2

  

SMNP SABC

V SM SN SP

V SA SB SC

7

8 

 MNPABC  SABC SMNP   SMNP

SABC SABC SABC

V V V V

V V V

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành, M trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD cắt SB, SD P Q.Khi tỉ số thể tích khối SAPMQ khối SABCD :

A.

9 B.

1

8 C.

1

3 D.

Vì mp song song với BD nên PQ song song với BD Gọi O tâmhình bình hành ABCD Suy luận SO,AM, PQ đồng qui G G trọng tâm tam giác SAC

Suy luận tỉ số=

 

SQ SP

SD SB ;

Chứng minh tỉ số thể tích :

 

SAQM SAPM SADC SABC

V V

V V ;

Suy được: 1

3



  



SAQM SAPM SAPMQ

SADC SABC SABCD

V V V

Câu 6: Cho hình chóp S ABC M , trung điểm SB, điểm N thuộc SC thỏa SN 2NC Tỉ số

S AMN S ABC

V V

A.

6 B.

1

5 C.

1

4 D.

1 1

2

  

S AMN S ABC

V SM SN

(69)

Câu 7: Cho khối tứ diện OABC với OA OB OC, , vng góc đơi , ,

  

OA a OB a OC a Gọi M, N trung điểm hai cạnh AC BC, Thể tích khối tứ diện OCMN tính theo a bằng:

A

3

2 a

B. a3 C.

3 a D a Hướng dẫn giải:

1   COMN COAB

V CM CN

V CA CB

3

1 1

4 4

VCOMN  VCOAB  OB OC OA a (dvtt)

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD tích 48 ABCD hình thoi Các điểm M, N, P, Q điểm đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: SA2SM SB, 3SN; SC 4SP SD; 5SQ Tính thể tích khối chóp S.MNPQ

A. B. C. D. Hướng dẫn giải:

Lưu ý công thức tỉ lệ thể tích dùng cho chóp tam giác chung đỉnh tương ứng tỉ lệ cạnh Ta có:

 SMQP  

SMNP

SABC SADC

V

V SM SN SP SM SQ SP

V V SA SB SC SA SD SC

1 1 1

 

1 1 1 1

2 2

   

       

 

SMNPQ SMNP SMQP

SABCD SABC SADC

V V V

3

5 VSMNPQ   

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng cân B, AC a 2,SAa SAABC Gọi G trọng tâm SBC, mặt phẳng   qua AG song song vsơi BC cắt SC, SB M, N Thể tích khối chóp S.AMN

A 27 a B. a C. 27 a D. 27 a Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông BAC AB 2 ABBCa Gọi I trung điểm BC, G trọng tâm tam giác SBC Nên

3 

SG

SI mà MN song song với BC suy

2

  

SM SN SG

SC SB SI

Do

4 9     S AMN

S AMN S ACB S ACB

V SM SN

V V

V SC SB

Mặt khác

3

1 1

3 

  

S ABC ABC

a

V SA S a a

Suy

3

4

9 27

  

S AMN S ACB

a a

V V

Câu 10: Cho khối chóp S ABC Lấy A', B' thuộc SA, SB cho 2SA'3 ' ; 3A A SB'B B' Tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C ' ' S ABC là:

(70)

Hướng dẫn giải: 36

5. 4=

3 20

Câu 11: Hình chop SACB có SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA=a, AC a 2, AB=3a Gọi M,N hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Đặt  SAMN

SABC

V k

V , giá trị k

A.

30 B.

1

3 C.

1

30 D.

Ta có k SM SN

SB SC



SAC vng A, có AN SC N nên

2

1

2

 



    



 



SN SC SA SN SA SN

CN CA SC

CN CS CA

Tương tự

2

1

9 10

   

SM SA SM

BM AB SB

1 1

3 10 30

k  

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có cạnh BA BC BD, , đơi vng góc với ,

  

BA a BC BD a Gọi M N trung điểm AB AD Tính thể tích khối chóp

C BDNM

A. V 8a3 B.

3

2

 a

V C.

3

 a

V D. V a3

3

1 1

2

3

1 1

4

3

  

    

   

ABDC BCD

AMNC

AMNC ABDC ABDC

BDNM ABDC AMNC

V AB S a a a a

V AM AN AC

V V a

V AB AD AC

a

V V V

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SB G trọng tâm tam giác SBC.Gọi V, V’ thể tích khối chóp M.ABC G.ABD, tính tỉ số

'

V V

A.

'2

V

V B.

4 '

V

V C.

5 '

V

V D. ' 2

V V

Vì tam giác ABC ABD có diện tích nên   

 

, 3

'  ,  

d M ABCD

V MC

V d G ABCD GC

(71)

Câu 14: Cho khối chóp S.ABC. Trên đoạn SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C’ cho

1 1

' ; ' ; '

2

  

SA SA SB SB SC SC Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S.A'B'C' S.ABC bằng: A.

2 B.

1

6 C.

1

12 D.

Ta có: ' ' '

' ' ' 1 1

2 24

  

S A B C S ABC

V SA SB SC

A . 14 . 27 

S CDMN S ABCD

V V B . .

27 

S CDMN S ABCD

V V

C

10 27  S ABCD S CDMN

V

V D

2  S ABCD S CDMN

V V

Đặt V VS ABCD. , ta có: VS.CDA 1VS.ABCD; VS.ABC 1VS.ABCD

3

 

Mặt phẳng (P) qua CD trọng tâm G tam giác SAB cắt cạnh SA, SB M, N Khi MNAB

SM SN SA  SB 3 Ta có:

2

2 2

3

2

3 27

    

 

     

 

S CDM

S CDM S CDA S CDA

S MNC

S MNC S ABC S ABC

V SC SD SM

V V V

V SC SD SA V SM SN SC

V V V

V SA SB SC

Bởi vậy: . . . 14 27 27

    

S CDMN S CDM S MNC

V V V V V V

Câu 16: Cho tứ diện ABCD Gọi B’ C’ thuộc cạnh AB AC thỏa 3AB' ABvà 3AC'AC Khi tỉ số thể tích hai khối tứ diện  AB C D' '

ABCD

V k

V bằng:

A 

k B. k 9 C

6 

k D

9 

k

Áp dụng tốn tỉ số thể tích 

k

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC Gọi M,N,P tương ứng trung điểm SA,BC AB Mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh S, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số V1

V

(72)

A.2 B.1 C

3 D

Do (MNP) (SAC) có M điểm chung AC//PN Từ M kẻ MQ//AC(QSC)=> (MNP) cắt SC Q Ta có:

1

 

 

SABC SMPBNQ AMQCNP

V V

V V V

) V

 AMQCNP VMAPN VMANC VMQCN

1 1

( ;( )) ( ;( ))

2 2

1 (A;(SBC))    ABC ABC SBC

d S ABC S d S ABC S

d S

1

1 1 1

( ) V

8 2

   SABC  VSABC VSMPBNQ  VSABC V 

V

Câu 18: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N theo thứ tựlà trung điểm cúa SA, SB Tỉ số thể tích

?  S CDMN S CDAB V V A. B. C. D. Hướng dẫn giải:

3

2



  



  

S CDMN S CDM S CMN S CDM S CMN S CDAB S ACD S ABC S ACD S ABC

V V V V V

SM SM SN SA SA SB

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B.Biết SA vng góc với mặt phẳng (ABC), ABa BC, a 3,SAa Một mặt phẳng   qua A vng góc SC H cắt SB K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a

A AHK 20  S a V B 30  S AHK a V C 60  S AHK a V D 90  S AHK a V

Ta có   

             

AK SC AK

AK BC BC SAB , suy

 

  

AK SBC AK SB

Vì SAB vng cân A nên K trung điểm SB Ta có:

S

M N

A B C D A M S Q C B

(73)

 

S AHK S ABC

V SA SK SH SH

V SA SB SC SC Ta có

2

  

AC AB BC a

2

5

  

SC AC SA a ,

2

.SC

5

  

SH SH SA

SC SC SC

1 10

 S AHK  

S ABC

V SH

V SC , lại có

3

1

3

 

S ABC

a

V SA AB BC

Vậy

3 60  S AHK a V

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC và AD đơi một vng góc với nhau;

AB = a 3, AC = 2a AD = 2a Gọi H, K hình chiếu A trên DB DC, Tính thể tích V tứ diện AHKD

A 3 21

V  a B 3

7 

V a C 3

21 

V a D 3

7 

V a

Hướng dẫn giải: Ta có :

2

2 2

1 D

2     D AHK D ABC

V SA SK DH DH B AD

V SA SC DB DB AD AB

2

1

2

   a a a

1 1

3 3

  

D ABC ABC

a

V DA S a a a

Suy 21  

AHKD D AHK

a

V V

Câu 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V với đáy hình bình hành Gọi C’ trung điểm cạnh SC.Mặt phẳng qua AC’ song song với BD cắt cạnh SB,SD B’; D’ Khi thể tích khối chóp S.A’B’C’D’

A V B. V C V D V

Phân tích:Để giải toán em cần dựng mặt phẳng qua AC’ song song với BD sau tìm giao điểm với cạnh SB, SD

Để dựng mặt phẳng qua AC’ song song với BD ta làm sau: Gọi O giao điểm AC BD, gọi I giao điểm SO AC’ Qua I kẻ B’D’ song song với BD, ta có mặt phẳng cần tìm mặt phẳng (AD’C’B’)

Ta dễ dàng nhận thấy I trọng tâm tam giác SAC nên 

SI SO

Theo định lí Ta lét ta có ' '

SD SI SB

SD  SO  SB 

Áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác (tứ diện) ta có:

' ' ' ' 1

  

SAD C

(74)

' ' ' ' 1

3

  

SAB C SABC

V SA SB SC

Mà

2

 

SADC SABC SABCD

V V V nên ' ' ' ' ' ' ' 1.2.1

2

   

SAD C B SAD C SAB C SABCD

V

V V V V

Câu 22: Cho tứ diện ABCD có DA1,DAABC ABC tam giác đều, có cạnh Trên cạnh DA DB DC, , lấy điểm M, N, P mà 1, 1,

2

  

DM DN DP

DA DB DC Thể tích tứ diện MNPD

bằng:

A

12 

V B

12 

V C. V

96

 D

96 

V

D

1 3

.1 12

 

ABC

V

1

2

  

DMNP DABC

V DM DN DP

V DA DB DC

1 3

8 12 96 VDMNP  

Câu 23: Cho hình chóp tứgiác SABCD, M trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD cắt SB, SD N, K Tính tỉ số thể tích khối S.ANMK khối chóp S.ABCD

A.

2 B.

2

9 C.

1

3 D.

Trong mặt phẳng (SAC) gọi G giao điểm AM SO Ta có G trọng tâm tam giác SAC Trong mp(SBD) kẻđường thẳng qua G song song với BD cắt SB,SD N K

Gọi VS ANMK. VS ANM. VS AKM. Ta có :

2 1

3

  

S ANM S ABC

V SN SM

V SB SC

1

3

VS ANM  VS ABC  VS ABCD

2 1

3

  

S AKM S ADC

V SK SM

V SD SC

1

3

VSAKM  VSADC  VSABCD . .

3 

S ANMK S ABCD

V V

Câu 24: Cho chóp tứgiác SABCD Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC cắt SB SC SD, , ’, ’, ’

B C D Biết AB = a, ' 

SB

SB Tính thể tích V của tứ diện SAB’C’D’

A.

2 

V a B.V 14a3 C 28

3 

V a D.

3

6 18

 a

(75)

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc (SCD) (ABCD)

45 Gọi H K trung điểm SC SD Thể tích khối chóp S.AHK là:

A

3

24 a

B

3

12 a

C

3

6 a

D.

a

Hướng dẫn: (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy SAABCD

   

  

, 45

 SCD ABCD SDA SA ADa

2

1

.S

3 

  

S ACD SCD

a a

V SA a

3

1

4 24

    

S AHK

S AHK S ACD S ACD

V SH SK a

V V

V SC SD

Câu 26: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm cạnh SC N điểm thuộc cạnh SD cho SN 2ND Tính tỉ số thể tích k hai đa diện SABMN khối chóp S ABCD

A 

k B

12 

k C

3 

k D

6 

k

+ Do ABCD hình bình hành nên

1 ABC  ADC S ABC  S ADC  S ABCD

S S V V V

+ Ta có

1

1 2 4

2

    

S ABM S ABM S ABM

S ABC S ABCD

S ABCD

V SM V V

V SC V V

và

2 1

1

2

    

S ANM S ANM S ANM

S ADC S ABCD

S ABCD

V SN SM V V

V SD SC V

V

+ Suy

1 5

4 12 12



      

S ABM S ANM S ABM S ANM SABMN

S ABC S ADC S ABCD S ABCD

V V V V V

V V V V

+ Vậy 12 

k

Câu 27: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ M trung điểm CC’ Gọi khối đa diện (H) phần lại khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau cắt bỏ khối chóp M.ABC Tỷ số thể tích (H) khối chóp M.ABC là:

A.

6 B.6 C.

1

5 D.5

Gọi M trung điểm CC’ Theo ta có: ABC '

 

M C ABC

(76)

Ta lại có ' ' ' ' 2

 

C ABC AA B C

V V a nên ta có  H VAA B C' ' 'VMABC' 2.2aa5a

Vậy  

 M ABC H V

Câu 28: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' tích V Gọi M N Q, , trung điểm AD, DC B’C’ Thể tích khối tứ diện QBMN bằng:

A. V B. V C. V D. V

Ta có:  ;   1



QBMN BMN

V d Q BMN S Rõ ràng ta nhận

thấy hình tứ diện QBMN hình hộp ABCDA B C D' ' ' ' có chiều cao Nên ta chỉđi tìm tỉ lệ BMN

ABCD

S

Ta có SABCD SDMN SABM SBNC SBMN

SBMN SABCD SDMN SAMBSBNC Mặt khác ta có 1 1;

2

  

DMN DMN

ABCD ADC

S S

1 1

2 2

ABM ABM

ABCD ABD

S S

S  S  

Tương tự 

BNC ABCD

S

S ,

1 1

8 4

 

    

  ABCD

SBMN S 3 2

8 BMN ABCD S S  

Từ (1) (2) suy 3 8

 

QBMN

ABCD

V

8 VQBMN V

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V Lấy điểm A’ cạnh SA cho

' 

SA SA Mặt phẳng qua A’ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB SC SD, , B’, C’, D’ Khi thể tích chóp S.A’B’C’D’ bằng?

A. V B. V C. 27 V D. 81 V

Vì A B C D' ' ' ' / / ABCDA B' '/ /AB B C, ' '/ /BC C D, ' '/ /CD

Mà: ' ' ' '

3

    

SA SB SC SD

SA SB SC SD Gọi V V1, VS ABC ,VS ACD

Ta có: V1V2 V

' ' '

27 27

S A B C

S A B C S ABC

V SA SB SC V

V

V  SA SB SC   

' ' '

27 27

   

S A C D

S A C D S ACD

V SA SC SD V

V

(77)

Vậy ' ' ' ' ' ' ' ' '

27 27 

   

S A BC D S A B C S A C D

V V V

Câu 30: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (MB’D’) chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A.

12 B.

7

17 C.

7

24 D.

+ Lập thiết diện khối hộp qua mặt phẳng (MB’D’) Thiết diện chia khối hộp thành hai phần có AMN.A’B’D’

+ Lấy N trung điểm AD → MN đường trung bình tam giác ABD

MN / /BD

 MN 1.BD

2 

=> MN / / B'D' MN 1.B ' D ' 

=> M,N,B’,D’ đồng phẳng với nhau=> Thiết diện MNB’D’

Nhận thấy AMN.A’B’D’ hình đa diện tách từK.A’B’D’ ( K giao điểm MB’,ND’ AA’) + Áp dụng định lý Ta lét ta có :

KA KM KN MN KA 'KB ' KD ' B ' D '2,

K.AMN K.A 'B 'D'

V KA KM KN

V KA ' KB ' KD '8

AMN.A 'B'D' K.A ' B' D'

7 1 1

V V KA '.A'B' A'D' 2AA '.A ' B '.A ' D '

8 8 24

     Shình hộp

 Tỷ lệ phần 17

Câu 31: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm cạnh SA SD, Mặt phẳng( ) chứa MN cắt cạnh SB, SC Q, P.Đặt SQ x

SB , V1 thể

tích khối chóp S MNQP , V thể tích khối chóp S ABCD Tìm x để 1 

V V

A 33   

x B. x C.

2 

x D. 41

4   

x

(HS tự vẽ hình) Ta có . .

2

 

S ABD S BCD

V

V V , V1VS MNQ. VS NPQ.

+) Vì MN//BC nên PQ//BC SP  SQ x

SC SB

+)

4

 

S MNQ

S ABD

V SM SN SQ x V SA SD SB

4

2

VS MNQ  x VS MNQ  x

V V ;

1

2

 

S NPQ

S BCD

V SN SQ SP x V SD SB SC

2

(78)

+) Ta có:

2

1

1 1

2



 VS MNQ VS NPQ   x x 

V V

V Suy đáp án.

Câu 32: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SAABCD; góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) 60o Gọi M, N trung điểm SB SC, Thể tích hình chóp S.ADNM bằng:

A

3

4 a

B.

3

a

C.

3

a

D.

3

6

a

Hướng dẫn giải: - Diện tích đáy

-Tỉ số tỉ số

-Vì nên

Câu 33: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AK cắt cạnh SB, SD M, N Gọi V, V’ thể tích khối S.ABCD S.AMKN Tỉ số V'

V có giá trị nhỏ là:

A.

5 B.

3

8 C.

1

3 D.

Hs tự vẽ hình

Đặt ; ' . .    1

4  SM  SN   S AMK  S ANK V 

x y V V V x y

SB SD

Mặt khác ' . .  2

 S AMN  S MNK  xy

V V V V

Từ (1) (2) có: x  y  3xy

 

2

1 1

, , 1

3 3 2

'

,

4

 

               

   

 

    

  

x SN x

y y x y x x

x SD x

V x

x

V x

Xét hàm số  

 

2

3

1

 

    

  

x

f x x

x F(x) đạt GTNN

1

(79)

A.

2 B.

2

3 C.

3

4 D.

+ Áp dụng định lý talet Đặt SM k

SA Áp dụng định lý Talet Tam giác SAD

có MN//AD MN SM

k MN k.AD AD  SA   

Áp dụng định lý Talet Tam giác SAB có MQ//AB AB

   

MQ SM

k MQ k

AB SA Kẻđường cao SH

hình chóp

Áp dụng định lý Talet Tam giác SAH có MM’//SH

 

'

1 '

       

MM AM SM

k MM k SH

SH SA SA

   

' ' ' ' ' D

VMNPQ M N P Q MN MQ MM  A AB SH k k Vhinh chopk k V 1

2

   

k k k

Câu 35: Cho khối tứ diện tích V Gọi V thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V

V



A

2

V V



 B

4

V V



 C

3

V V



 D

8

V V

  Hướng dẫn giải:

Ta có V V VA QEP VB QMF VC MNE VD NPF 1 VA QEP VB QMF VC MNE VD NPF

V V V V V V

   



     

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

     

HÌNH LĂNG TRỤ

Q P

N M

D

C B

A

(80)

B

h

A - LÝ THUYẾT TĨM TẮT

1 Thể tích khối lăng trụ: V= B.h

với B diện tích đáy, h chiều cao 2) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c

với a, b, c ba kích thước

3) Thể tích khối lập phương: V = a3

với a độ dài cạnh

THỂ TÍCH LĂNG TRỤĐỨNG

Câu 1:Thể tích (cm3) khối lăng trụtam giác có cạnh đáy cạnh bên cm là:

A.

2 B.

3

2 C D.

Dễdàng tính V =

Câu 2: Thể tích khối lăng trụtam giác có cạnh đáy a và cạnh bên 2a là:

A

2

a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

2

3

.AA '

4

 ABC  a a

V S a nên chọn C

Câu 3:Cho lăng trụ đứng ABC A B C   có đáy ABC tam giác vng B AB = 2a, BC = a,

 

AA a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

A

2 3

a

B

3

a

C. 4a3 D. 2a3

3

1

' 3



 ABC  

V S AA a a a a

(81)

Câu 4:Gọi V thể tích hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' V1 thể tích tứ diện A ABD'

Hệ thức sau ?

A. V 6V1 B.V 4V1 C. V 3V1 D. V 2V1

Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ sau: Ta có V SABCD.AA';

1

'

 ABD

V S AA

Mà

1

1 '

6

2

'

   ABD 

ABD ABCD

ABD

V S AA

S S

V

S AA

1

6

V  V

Chú ý nhiều độc giảtư nhanh nên xét tỉ số diện tích đáy mà quên với khối chóp cịn tích với

3

nữa, nhanh chóng chọn ý D sai Vì thế, nhanh cần phải xác bạn

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 2 2a2 Thể tích

của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là:

A. 2a3 B. 2a3 C. 2a3 D. a3

Đểtính thể tích hình lập phương ta cần biết cạnh hình lập phương đó, từ liệu diện tích mặt chéo A’ACC’ ta sẽtính cạnh hình lập phương

Gọi cạnh hình lập phương x suy ' '

A C x Diện tích mặt chéo A’ACC’ x x 2 2a2xa Thể tích hình lập phương V x32 2a3

Câu 6: Cho lăng trụđứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 45o.Thểtích lăng tru là:

A

3

2

a

B

3

a

C. a3 D. a3 Hướng dẫn giải:

- ABC450

- AC  AB 22aAB 2 ABBC AA'a

-

' 2

 

V AB BC AA a

(82)

Câu 7:Cho khối lăng trụtam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA1 Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

A

3

3 12 a

V B

3

3 24  a

V C

3

3  a

V D

3

3  a

V

ABC tam giác cạnh a nên có diện tích

2

3 

ABC

a S

Ta có AA1

2

  a

AM

Hai tứ diện MABC MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy MAB MA1B nên tích nhau, suy

1

3

1

3 24

  

M BCA M ABC ABC

a

V V AM S

Câu 8: Cho lăng trụtam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy a Gọi N, I trung điểm AB, BC; góc hai mặt phẳng (C’AI) (ABC) 60o Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?

A.

32 3a B.

32 a

C.

3 32

a

D.

3

a

Ta có C AI'  , ABCCIC60o

Mặt khác tan' ' ' tan'

CC    a

CIC CC CI CIC

CI

Ta có

2

1 3

4 4 16

  

ANI ABC

a a

S S

3

'

1 3

'

3 2 32

VC NAI  CC SNAI  a a  a

Câu 9: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy tam giác ABC vng cân , B BABCa A B, ’ tạo với (ABC) góc 600 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ là:

A

3

a

B

3

a

C 3a3 D

3

Góc A”B đáy góc

Vậy thể tích lăng trụ : Chọn đáp án A



' 60 , ' ABA  AA a

2

ABC

a S 

3

3 '

2

ABC

a

(83)

B C B' C' M A A'

Câu 10:Cho hình lăng trụđứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác cạnh a A BC 

hợp với mặt đáy ABC góc

30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   là A 3 12 a B 3 24 a C. 3 24 a D 24 a

Gọi M trung điểm cạnh BC Ta có SAABC AM hình chiếu vng góc A M ABC, nên A BC  , ABC góc



30

 

A MA

Xét A MA vng A Ta có



.tan tan 30

2

    a  a

A A AM A MA

2

1 3

2

 a a

S a

Vậy

2

1 3

3 24

     

A ABC ABC

a a a

V S A A

Câu 11: Cho lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng AB C' ' tạo với mặt đáy góc 600 Tính theo a thểtích lăng trụ ABC A B C ' ' '

A

3

3  a

V B.

3

3  a

V C

3

3  a

V D.

3

3  a

V

3 '

2  a

A M ; ' ' tan'

2

  a

AA A M AMA

Diện tích tam giác

2 ' ' '

3 A B C 

a

S

Vậy

3

3 '

8 

 ABC  a

V S AA (đvtt)

Câu 12: Cho lăng trụđứng ABC A/B/C/có đáy ABC tam giác vuông B, AB=3a, BC= , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ

A. a B a C. a D 6 a

2 a Vì ABC.A'B'C' lăng trụđứng nên AA'ABC

Gọi M trung điểm B'C' , tam giác A'B'C' Nên suy A'M B'C'

(84)

2

1

.3

2 2

ABC   

a

S AB BC a a

Đường cao AA/  ABtan 60o 3a Vậy

2

/

.AA 3

2



 ABC  a  a

V S a

Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A, ACa,

0

60 

ACB Đường chéo BC' mặt bên (BB'C'C) tạo với mặt phẳng mp AA C C ' '  góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a là:

A 34

3 

V a B.V a3 C 32

3 

V a D

3 

V a

Tính AB = a ; SABC =

2

3

a

; Góc AC’B = 300 nên AC’ = 3a Pitago cho tam giác vuông ACC’ tính CC’ = 2a Từđó

6



V a

Câu 14:Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông A,



, 60

 

AC a ACB Đuòng chéo B’C mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a

A.

15

a

B. a3 C.

3

15 12

a

D.

15 24

a

2

'  2 A C AC a Vậy

2

3

'.S 2

2 

  

LT ABC

a

V AA a a

Câu 15:Hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có độdài đường chéo a Khi thể tích khối tứ diện AA’B’C’

A

2

3 a

B

3

18 a

C

3

6 a

D

2

18 a Vì A'B'ACC' suy B'CA'300 góc tạo

đường chéo BC’ mặt bên (BB’C’C) mặt phẳng (AA’C’C) Trong tam giác ABC ta có AB ABsin 600 a

2 Mà AB A'B'A'B'a

Trong tam giác vuông A’B’C’ ta có: A'C  A'B0 3a tan 30

Trong tam giác vng A’AC ta có:

(85)

Gọi x cạnh hình lập phương ta có AA'2A C' '2  AC'2

2 2

( 2)

 

x x a xa/

V=

3 ' ' '

1

'

3 A B C 6 18 a

S AA x

Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ABa BC, 2 ,a AA'a Lấy điểm M cạnh AD cho AM 3MD Tính thể tích khối chóp M.AB’C

A.

3 '

2



M AB C

a

V B.

3 '

4



M AB C

a

V C.

3 '

3



M AB C

a

V D.

3 '

3



M AB C

a V

Thể tích khối chóp M.AB’C thể tích khối chóp B’.AMC Ta có :

2

3

4

AMC  ADC 

a

S S

Do

3

' ' AMC

3

 

M AB C B

a

V V

Câu 17:Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ tích a3 Tính độ dài A’C

A. A C' a B. A C' a C. A C' a D. A C' 2a

Ta có: 2

'    '

A C AB AD AA

Mà

', '

   

AB AD AA V AB AD AA a

, , '

  

AB a AD a AA a Suy A C' a

Câu 18:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính thể tích V hình lập phương biết khoảng cách từtrung điểm I AB đến mặt phẳng A’B’CD

(86)

A.

3

a

V B.V a3 C. V 2a3 D. V a3 Hướng dẫn giải:

Gọi điểm hình vẽbên IH I J' Đặt cạnh



AB x suy

2

 x  a  

IH x a Vậy V a3

Câu 19:Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a Khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (A’BCD’)

2

a

Tính thể tích hình hộp theo a

A. V a3 B.

3

21  a

V C. V a3 D.

3

3  a

V

Gọi H hình chiếu A lên cạnh A’B

' '

2

 AH  A BCD  AH  a

Gọi AA'x0 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác AA’B:

2 2 2

1 1 1

'

    

AH AA AB a x a

2

3

x  a xa

3

' ' ' '  '  

ABCD A B C D

V AA AB AD a a a a

Câu 20: Người ta gọt khối lập phương gỗđể lấy khối tám mặt nội tiếp ( tức khối cốcác đỉnh tâm mặt khối lập phương) Biết cạnh khối lập phương a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó:

A

3

6 a

B

3

12 a

C

3

4 a

D

3

Tính tính cạnh hình bát diện a

Thể tích hình bát diện có cạnh a

3

2

3

 

 

 

 

a

a V

nên

Nhận xét: Ta có cơng thức tính thể tích hình bát diện cạnh x

3

2  x

V

(87)

Câu 21: Đường chéo hình hộp chữ nhật d, góc đường chéo mặt đáy , góc nhọn hai đường chéo đáy  Thể tích hình hộp là:

A. os2 sin sin

2d c    B.

3

1

os sin sin 3d c   

C.

sin  os sin 

d c D.

sin os sin 2d c   Hướng dẫn giải:

Tính được: cos D=1 cos

   

BD d O d DD'dsin

Tính : cos sin cos sin

2 2

 

    

HD d CD d

Tính được: 2 cos os 

   

BC BD CD d c …

Câu 22:Chokhối lăng trụtam giác ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy a khoảng cách từA đến mặt phẳng ( 'A BC)

2

a

Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' A.

3

2 16

a

B.

3

3 48

a

C.

3

3 12

a

D.

3

3 16

a

Hướng dẫn giải: HS tự vẽ hình

Đặt chiều cao lăng trụ h gọi M trung điểm BC ta có hệ thức

 

2

2 2 2 2

1 1 4 6

, '     3 3      4  16

a a a a

h V S h

d A A BC h AM h a a a

Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, mặt phẳng () cắt cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ M, N,P,Q Biết AM=

3a, CP =

5a. Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là:

A. 11

30a B

3

3 a

C.

2 a

D. 11

15a Hướng dẫn giải:

Tứ giác MNPQ hình bình hành có tâm I thuộc đoạn OO’

Ta có: 11

2 30



 AM CP   a

OI a

Gọi O1 điểm đối xứng O qua I : OO1=2OI =

11

15a < a Vậy O1 nằm đoạn OO’ Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt cạnh AA’; BB’;CC’; DD’

A1, B1,C1, D1 Khi I tâm của hình hộp

A

B

C

D

B’ C’

M

N

P Q

(88)

ABCD.A B1C1D1 Vậy V(ABCD MNPQ)=V( MNPQ.A1 B1C1D1) =

2

1 1 1

1 11

( )

2V ABCD A B C D 2a OO 30a

Câu 24:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, D600và SA vng góc với ABCD Biết thể tích khối chóp S ABCD

3

2 a

Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng SBC

A

 a

k B

5



k a C

5

 a

k D

3



k a Hướng dẫn giải:

Diện tích đáy

2  ABCD a S 3

1 2

3 3

2

    

a

V B h B SA SA a

a

   

       BC AM BC SAM BC SA

2 2 2

1 1

3 3

    

AH SA AM a a a

2

2 3

5

 AH  a  AH ka

3 Gọi M N, trung điểm A B A C ,  Tính tỉ số thể tích A.    A AMN A ABC V    A AMN A ABC V C    A AMN A ABC V V D.    A AMN A ABC V V

Hướng dẫn giải: Ta có :

       A AMN A ABC

V A M A N

V A B A C

M trung điểm A B     A M A B

N trung điểm củaA C

2     A N A C

1 1 2     A AMN A ABC V V

BC SBC 2

Từ 1 2SAMSBC

SAMSBCSM Kẻ AH SM AH dA,SBC Xét SAM vuông A Ta có

2

Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác cạnh bàng a Mặt bên

ABBA có diện tích a2

của hai khối chóp A.AMN A.ABC

V

(89)

Câu 26: Cho lăng trụtam giác ABCD A B C ' ' ' có tất cạnh a M trung điểm cạnh

AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với CB’, cắt cạnh BC, CC’, AA’ N, E, F Xác định N, E, F tính thể tích khối chóp C MNEF

A.

3

7 128

a

B.

3

7 128

a

C.

3

21 128

a

D.

3

7 128

a Hướng dẫn giải:

Xác định N E D, , Gọi I, J trung điểm BC, CC’ Khi mp (AIJ)B C' Suy mp (P) qua M song song mặt phẳng mp(AIJ) Do

, IJ;EF J

  

MN AI NE A

Tính thể tích khối chóp C.MNEF Thấy ENC góc mặt phẳng (P) mp(ABC) Tứ giác MNCA hình chiếu vng góc tứ giác MNEF mp(ABC)

Suy ( ) ( ) cos

 dt MNCA

dt MNEF

ENC

Ta có

2

3 , ( )

4



 a

ENC dt ABC

Suy ra:

2

3

( ) ( ) 4 32

( )

1 32

cos

4

 

  



a a

dt ABC dt BMN a

dt MNEF

Mặt khác ( , ( )) 3

4

 a  a

d C mp MNFEF

Gọi V thể tích khối chóp C.MNEF, ta có:

2

1 7

3 32 128

 a a  a

V

Câu 27:Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ’ ’ ’ ’có đáy hình thoi diện tích S1, tứ giác ACC’A’ BDD’B’ có diện tích S2, S3 Thể tích khối hộp ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ tính theo S1, S2, S3 ?

A

2 S S S

B 1 2 3

3 S S S C

1

3 S S S

D. S S S Hướng dẫn giải:

Gọi đáy hình hộp có độdài đường chéo ACa BD, b đường cao hình hộp ’ ’

AA BB c Suy 1

2 

S ab ; S2 AC.AA 'ac;

2 2

3 '

2

    a b c

S BD BB bc S S S Thể tích khối hộp là:

2 2

1

2 2

   a b c  S S S

V S c abc

(90)

A.

2 V

B. 3V2 C.

V D. V

Gọi x h, cạnh đáy chiều cao lăng trụ Có V x h2 h V2

x

3

2 2 3 2

2 4 2  2.3

         

 

tp

V V V V V

S x xh x x x V

x x x x x

Dấu “=” xảy

x V x V x

Câu 29:Cho hình lập phươngABCD A B C D ’ ’ ’ ’ Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn :

A.

3 B.

1

6 C.

1

4 D.

Nhìn vào hình vẽ ta thấy phần hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’chia mặt phẳng

(BDC’) gồm hình chóp BCC’D phần cịn lại Tỉ lệ cần tính '

' ' ' ' '





BCC D

ABCD A B C D BCC D

V T

V V

Giả sử hình lập phương có cạnh

3 ' ' ' ' 1

VABCD A B C D  

Hình chóp BCC’D có đáy tam giác vuông cân DCC’, đỉnh B, đường cao BC

' '

1 1

.1.1.1

3

VBCC D  BC SDCC   ,

1

1 10

6

  



T

Câu 30:Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' I trung điểm BB’ Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập phương thành phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:

A.1:3 B.7:17 C. 4:14 D.1:2

Coi khối lập phương có cạnh

Để giải toán này, ta phải xác định thiết diện cắt mặt phẳng DIC'

Lấy M trung điểm AB IM đường trung bình tam giác ABB’ nên IM / /AB'/ /DC'

Suy bốn điểm I M C D, , ' thuộc mặt phẳng C ID'  Thiết diện cắt mặt phẳng DIC' tứ giác C DMI' Phần tích nhỏ khối đa diện C IBMDC'

(91)

1 1 1 1

3 2 24

   

IMBD BDM

V IB S IB DA MB

 

' '

1 1 1 1

' 1

3 2 2

 

      

 

D IBCC IBCC

V DC S DC IB CC BC

Suy thể tích khối tích nhỏhơn ' 1 24 24

    

n IMBD DIBCC

V V V

Thể tích phần lớn ' ' ' ' 17 24 24

    

l ABCDA B C D n

V V V

Vậy tỉ lệ cần tìm V Vn: l 7 :17

Nhận xét: Đây tốn khó địi hỏi khả dựng hình xác định điểm phù hợp thí sinh Có số bạn xác định thiết diện gặp khó khăn việc tính thể tích phần chưa chia khối thể tích thành hình nhỏ để tính cho phù hợp

Câu 31:Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’ cạnh a Trên cạnh AA’ kéo dài phía A’ lấy điểm M cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C’D’ Tính giá trị nhỏ MN?

A. 3a B. 2a C. 3a D. 2a

Lại có MD'(0; ;a am NC);'(0;an a; ) Suy    

 

a a m an

m

a n a n a

Có MN2  AB2BN2AM2 a2 m2n2

2

2 2 2

2 2

2

   

 

       

 

   

 

 



an n an a

MN n a

n a n a

n an a MN

n a Xét hàm số

2

( )   

n an a f n

n a 0;

Ta MN đạt giá trị nhỏ 3a n2a

Câu 32: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sửlượng xi măng cát khơng đáng kể )

Đây toán sử dụng phương pháp tọa độ hóa Đối với việc tọa độ hóa Đối với việc tọa độ hóa việc quan trọng cẩn thận xác

Trọn hệ trục tọa độ Axyz với A(0;0;0);B(a;0;0);A'(0;0;a);D(0;a;0) Gọi M(0;0;m) N(a;n;0) Ta có (ADD'A') / /(BCC'C')

(92)

A.1182 viên; 8800 lít B.1180 viên; 8820 lít C.1180 viên; 8800 lít D.1182 viên; 8820 lít Hướng dẫn giải:

Gọi V thể tích hình hộp chữ nhật, có V 5.1.210m3

Ta có

0,1.4, 9.2 0,98 m

 

H

V

' 0,1.1.20, H

V m

Do

' 0,98 0, 1,18

   

H H

V V m Mà thể tích viên gạch

3

0, 2.0,1.0, 05 0, 001m

 

G

V

Nên số viên gạch cần sử dụng là: ' 1,18

1180 0, 001



 

H H

G

V V

V viên gạch

Thể tích thực bồn 3

10 1,18 8,82 8820 8820

     

B B

V m V dm l

Câu 33:Một người thợ nhơm kính nhận đơn đặt hàng làm bể cá cảnh kính dạng hình hộp chữ nhật khơng có nắp tích 3,2 m3; tỉ số chiều cao bể cá chiều rộng đáy bể (hình dưới) Biết giá mét vng kính đểlàm thành đáy bể cá 800 nghìn đồng Hỏi người thợđó cần tối thiểu tiền đểmua đủ số mét vuông kính làm bể cá theo yêu cầu (coi độ dày kính khơng đáng kể so với kích thước bể cá)

A.9,6 triệu đồng B.10,8 triệu đồng C.8,4 triệu đồng D. 7,2 triệu đồng Hướng dẫn giải:

Theo hình vẽ ta có xyh3, h2xx y2 1, 6 y1, 62

x

Tổng diện tích mặt bể cá

2 2

1, 6, 4

2 4 12

           

S xy xh yh x x x

x x x x x

Đẳng thức xảy x1

A. x20 B. x15 C. x25 D. x30

Vậy tổng diện tích tối thiểu 12 m2, suy số tiền tối thiểu cần 9,6 triệu Chọn đáp án A

(93)

Ta có PN 602x, gọi H trung điểm PN suy AH  60x900

      

1

60 60 900 60 15 225

ANP       

S x x x x f x , chiều cao khối lăng trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max f(x) max

  45 20    

' 20, 20 100 3, 15

15 225

 

     



x

f x x f f

x  

max f x 100 x20

Câu 35:Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V m 3 , hệ sốk cho trước (k- tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x y h, , 0 chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x y h, , 0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu x,y,h

A.  

 

3

3 2

2

2 2

2 ; ;

4 2 1

 

  



k V kV k k V

x y h

k k

B.  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4 2 1

 

  



k V kV k k V

x y h

k k

C.  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4 2 1

 

  



k V kV k k V

x y h

k k

D.  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4 2 1

 

  



k V kV k k V

x y h

k k

Gọi x y h x y h, ,  , , 0 chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Ta có: k h hkx

x     x2

V V

V xyh y

xh k

Nên diện tích tồn phần hố ga là:

2 1

2 2x x

x



    k V 

S xy yh h k

k

Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ  

2



 k V

x

k

Khi

 

3

3 2

2

2 ,

4



 



k k V kV

y h

k

(94)

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN

Câu 1:Cho khối lăng trụ tam giácABC A B C ' ' ' tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ diện AB C C' ' là:

A.12,5 (đơn vị thể tích) B.10 (đơn vị thể tích) C.7,5 (đơn vị thể tích) D.5 (đơn vị thể tích) Hướng dẫn giải:

Khi ta so sánh trực tiếp được, nhiên ởđây ta suy luận nhanh sau: Khối B'ABC có chung đường cao kẻ từđỉnh B’ đến đáy (ABC)

chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC A'B'C' Do

' ' ' '

1 

B ABC ABCA B C

V V

Tương tự ta có ' ' ' ' ' '

1 

AA B C ABCA B C

V

V ,

' ' ' ' ' ' 'C

1 30

10

3

VAB C C  VABCA B C VAB C  

Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 300 có chiều dài Khi thể tích khối lăng trụ

A.340 B.336 C. 274 D. 124

Ta có : SABC  21(21 13)(21 14)(21 15)   84 Gọi O hình chiếu A’ (ABC)

'

A AO vuông O cho ta :

0

'  '.sin 30 4

A O AA

Vậy : VABC A B C ' ' '84.4336

Câu 3:Cho hình lăng trụABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên AA C C' '  tạo với đáy góc 450 Thể tích khối lăng trụ bằng:

A.

3 ' ' '

3 32



ABC A B C

a

V B.

3 ' ' '

3 16



ABC A B C

a

V C.

3 ' ' '

3



ABC A B C

a

V D.

3 ' ' '

3



ABC A B C

a V

Gọi H trung điểm AB  ’A H ABC Vẽ HK  AC K  góc A’KH = 45°

3

; 60 '

2 4

 AB a    a   a

(95)

2 ' ' '

3 3

'

4 16

  

ABC A B C ABC

a a a

V A H S

Câu 4:Cho hình lăng trụABC.A’B’C’, đáy ABC có ACa 3;BC 3 ,a ACB 300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 mặt phẳng (A’BC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho BC=3BH mặt phẳng (A’AH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

A

3

4

a

B

3

19

a

C

3

9 a

D

3

4 19

Từ giả thiết, áp dụng định lí cosin tam giác AHC ta tính AH=a

Do ( ' ) ( ) ( ) ' 600 ( ' ) ( )

 

   



 

A BC ABC

AH ABC A AH A AH ABC

Do AA 'H vuông H =>

0

'  ( ';( )) tan 60 

A H d A ABC AH a

3

' ' '

1

( ',( )) sin 30

2

VABC A B C SABC d A ABC  a a a  a

Câu 5:Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có A ABC' hình chóp tam giác cạnh đáy ABa Biết độdài đoạn vng góc chung AA' BC

4

a

Tính thể tích khối chóp A BB C C' ' ' A

3

5 18

a

B

3

3 18

a

C

3

18 a

D

3

15 18

a

Gọi O tâm đáy ABC M trung điểm cạnh BC.Hạ MN  A A' Do BC( 'A AM) nên MN đoạn vuông góc chung A’A BC

4 MN  a

Ta có 3 2

; ;

2 3

a   a    a

AM AO AM AN AM MN

Hai tam giác A’OA MNA đồng dạng nên

' ' ' ' ' ' '

2

'

3 '

2 3

'

3 3 18

   

  

  

A BB C C A B C ABC A ABC ABC

ABC

A O AO MN AO a

A O

MN AN AN

V V V A O S

a a a

A O S

(96)

Câu 6:Cho hình lăng trụ ABCA B C' ' ' tích 48cm3 M, N, P theo thứ tựlà trung điểm cạnh CC’, BC B’C’, thể tích khối chóp A MNP'

A.24cm3 B. 16 cm

3

C.16 cm3 D. cm3 Hướng dẫn giải:

Ta có

' ' ' '

1

.48 16

3

  

A ABC ABCA B C

V V cm

3 ' ' ' ' ' ' ' 48 16 32

VA BCC B VABCA B C VA ABC    cm

Mặt khác

3

' ' ' ' ' '

1 1

.32

4 4

    

MNP BCC B A MNP A BCC B

S S V V cm

Câu 7: Cho hình lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu C’ (ABC) trung điểm I BC Góc AA’ BC 30o Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’:

A

3

4 a

B

3

2 a

C.

3

3 a

D

3

Do AA ' song song với CC' nên góc AA ' BC góc CC' BC Nên

0

' tan 30

2

a a

C I Vậy:

2

3

6

a a  a

V

Câu 8:Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' bằng:

A.

2 a

B.

3 a

C.

3 a

D.

Gọi H, M, I trung điểm đoạn AB, AC, AM Theo giả thiết, A H' ABC BM,  AC Do IH đường trung bình tam giác ABM nên IH / /BM IH AC Ta có: ACIH AC,  A H'  ACIA'

Suy góc (ABC) (ACC’A’) 

'IH45 A

0

' tan 45

2

   a

A H IH IH MB

(97)

3

1 3

' a

2 2

   a a  a

V B h BM AC A H

Câu 9: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’, đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc H A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC Tất cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’là:

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3

2

a

Gọi I giao điểm AH BC Theo giả thiết H trực tâm tam giác đề ABC nên AH đường cao H lả trọng tâm tam giác ABC

Nên 2 3

3 3

  a  a

AH AI

Do AH'(ABC) nên A AH' 600 A H'  AH

Trong tam giác vng HA’A có

0

' tan 60 3

  a 

AH AH a

Thể tích khối chóp

3 ' ' '

1

.A'H

2

  

ABC A B C ABC

a

V S a a a

Câu 10: Cho lăng trụABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng 450 Hình chiếu a mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm A’B’ Tính thê tích V khối lăng trụ theo a

A.

3

3  a

V B.

3

3  a

V C.

3

3 16  a

V D.

3

3 24 a

V

Gọi H trung điểm A’B, theo đề ta suy :  ' ' '



AH A B C



' 45

 AA H  ' tan 450

 a

AH A H

Vậy

3

3 a

V

Câu 11:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a,BCD1200 '  a

AA

(98)

A.

12 

V a B.

3 

V a C.

9 

V a D.

6 

V a

Hướng dẫn giải: Gọi O ACBD

Từ giả thuyết suy A O' ABCD

2

0

.sin120

2

 

ABCD

a

S BC CD

Vì 

120



BCD nên 

60

  

ABC ABC

2

2 49

' '

4

 ACa A O A A AO  a a  a

Suy VABCD A B C D ' ' ' '3a3

Câu 12:Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác A’AC tam giác nằm mặt phẳng vng với đáy Tính thể tích V khối lăng trụ

’ ’ ’ ’ ABCD A B C D

A

3

6 a

V B

3

6  a

V C

3

6  a

V D

3

6 a

V

+ Gọi H trung điểm AC Do A AC tam giác nên A H  AC

+ Mặt khác, A AC   ABCD theo giao tuyến ACnên A H ABCD hay A H đường cao lăng trụ

+ Ta có

2 

   a

AC a A H

+ Vậy

3

6

2  ABCD  a

V AH S

Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ có đáy tam giác cạnh a, đỉnh A’ cách điểm , ,

A B C Mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích

2

3

a

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ A

3

a

B

3

3 16

a

C

3

3 12

a

D

3

a

Do A’A = A’B = A’C nên hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm O tam giác ABC

(99)

ABC cạnh a nên 3,

2 3

a   a

AM AO AM

Theo

2

3 3

8

    

BCH

a a a

S HM BC HM

2

2 3

4 16

   a  a  a

AH AM HM

Do hai tam giác A’AO MAHđồng dạng nên A O'  HM

AO AH

suy ' 3 4 3

 AO HM  a a  a

A O

AH a

Thể tích khối lăng trụ:

3

1 3

' '

2 12

 ABC   a a a

V A O S A O AM BC a

Câu 14: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Thểtích lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 theo a là:

A

3

a

B

3

a

C.

3 a

D

Ta có V Bh

+ Diện tích đáy B = a2

+ Ta có h = A1O ( O giao điểm AC BD)

+ Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) góc OIA1 600 I trung điểm AD

+ Ta có 

1 1

3

, 90 , ,

2

A OI A OI  OI  a A O a Vậy V =

3

3 a

Câu 15: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C 1 1 1 có tất cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng A B C1 1 1thuộc đường thẳng B C1 1 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1 bằng:

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3 16

a

Do AH A B C1 1 1 nên gócAA H1 góc AA1và A B C1 1, theo giả thiết góc AA H1

0

30 Xét tam giác vng AHA1 có AA1=a, góc

0

1 30

2

  a

AA H AH

1 1 1

2

3

2

  

ABCA B C A B C

a a a

V AH S

A

B

C

C’ B’

A’

’

H

(100)

Câu 16:Cho hình hộp với mặt hình thoi cạnh a, góc nhọn 600 Khi thể tích khối hộp là:

A.

3

3 a

V B.

3

2  a

V C.

3

3  a

V D.

3

2  a

V

Giả sử khối hộp cps C D D' ' 120 ; '0 A D D' 1200



60



ADC

Khi AD'CD'DD'a suy D ACD' tứ diện Gọi H trọng tâm tam giác ACD

2

3

' '

3

a    

DH D H DD DH a

Vậy

2

3 2

'

2

 ABCD  a  a

V S D H a

Câu 17: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng cân B AC, 2a Hình chiếu vng góc A'lên mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh AC, đường thẳngA B' tạo với mặt phẳng ABC góc 450 Cho phát biểu sau:

(1)

' ' '  , ABC A B C

V a  2 A B' B C' ,  3 BB'a 3,  4 ABa 2; Số phát biểu là:

A.1 B.2 C.3 D.

Gọi trung điểm Có

Có hình chiếu vng góc lên

Suy Do đó:

 Chứng minh (chỉ chứa Ta có:

Suy hình thoi Và

Kết luận: Từ (1) (2) suy

H AC A H' ABC

2

AC a ABBC  a

 2

1

2

ABC

S AB BC a a

  

2 AC

HB a HB '

A B ABC

' 45 ' tan 45

A BH A H HB a

      

2

' ' ' '

ABC A B C ABC

V S A H a aa

' '

A BB C A B'  P  P B C'

2

'

BB AA  AH HA A

' '

ABB A A B'  AB' 1 

   

'

' '

AC A H

AC A BH AC A B AC BH

 

   

  

   

' ' ' '

(101)

Câu 18:Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, N thuộc cạnh bên AA’, CC’ cho MAMA' NC 4NC' Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’, BB’MN, ABB’C’ A’BCN, khối tứ diện tích nhỏ nhất?

A. Khối A’BCN B.Khối GA’B’C’

C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN Hướng dẫn giải:

+ Nhận thấy khoảng cách từ G A xuống mặt phẳng (A’B’C’) ( G,A thuộc mặt phẳng (ABC)//(A’B’C’)

' ' ' ' ' ' GA B C A A B C

V V

Mà VA A B C ' ' 'VABB C' '(Do hình chóp có đáy AA’B’ ABB’ diện tích nhau;chung đường cao hạ từ C’)

' ' ' ' '

VGA B C VABB C

=> Khơng khối chóp GA’B’C’hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ → Loại B,C

A 27

8 

V a B 3

4 

V a C 3

2 

V a D.

4a Hướng dẫn giải:

Ta có ABCDEF lục giác nên góc ởđỉnh 120

ABC tam giác cân B, DEF tam giác cân E

2

1

.sin120

2

   

ABC DEF

a

S S a a

2

2 .cos

  

AC AB BC AB BC B

2

 

    

 

a a a a a

2

3

  

ACDF

S AC AF a a a

2 2

2

3 3

3

4

      

ABCDEF ABC ACDF DEF

a a a

S S S S a



' 60 ' '.sin 60

      a

B BH B H BB

2

3

'

4

ABCDEF

a

V BH S a  a

B

C D

E A

F F' A'

E'

D' C'

B'

H

+ So sánh Khối A’BCN Khối BB’MN

Nhận thấy khoảng cách từ M A’ xuống mặt BBCC’ → Khối A’BCN Khối BB’MN có đường cao hạ từ M A’ Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy BCN

=> Khối A’BCN < Khối BB’MN => Khối A’BCN có diện tích nhỏhơn

(102)

KHOẢNG CÁCH

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

+Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng a

d(M, ) = MH, , H hình chiếu M 

2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

+ Khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng ()

, H hình chiếu O () Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O () tính OH

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với () - Tìm giao tuyến  (P) ()

- Kẻ OH  ( ) Khi Cách Sử dụng cơng thức thể tích

Thể tích khối chóp Theo cách này, để tính khoảng cách từđỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S

Cách Sử dụng phép trượt đỉnh

Kết 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () M, N

Kết 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () điểm I M, N (M, N khơng trùng với I)

Đặc biệt: + M trung điểm NI + I trung điểm MN Cách Sử dụng tính chất tứ diện vng

Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O ( ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC)

Cách Sử dụng phương pháp tọa độ

Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng cơng thức sau:

+ với ,

+ với là đường thẳng qua Avà có vectơ chỉphương

+ với đường thẳng qua có vtcp

3 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó

+ d(, ()) = d(M, ()), M điểm nằm 

+ Việc tính khoảng cách từđường thẳng đến mặt phẳng () quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

d(O, ( )) OH

H d(O, ( )) OH

1 3V

V S.h h

3 S

  

d(M;( )) d(N; ( )) 

OAOB, OBOC, OCOA

2 2

1 1

OH OA OB OC

0 0

2 2

Ax By Cz D d(M;( ))

A B C

  

 

  0

M(x ; y ; z ) ( ) : Ax ByCzD0 MA u

d(M, )

u   

 

 u

u u '.AA ' d( , ')

u u '    



  

  ' A' u '



d(M; ( )) MI d(N; ()) NI

d(M; ())1d(N; ())

(103)

4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song

+d((), ) = d(M, ), M điểm nằm ()

+ Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng  cắt a, b vng góc với a, b gọi đường vng góc chung a, b + Nếu  cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vng góc chung a, b

+ Độdài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b

+ Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với

+ Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng

* Đặc biệt

+ Nếu ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạđường cao IH Khi

A

3

a

B.

3

a

C

2

a

D.a Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức đường cao tứ diện vuông SABD vng A, ta có d A SBD ;  AH với

2 2

1 1

3

   AH  a

AH AS AB AD

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết hình chóp S.ABC tích a3 Tính khoảng cách d từđiểm A đến mặt phẳng (SBC)

A. 6a 195

65 

d B. 4a 195

195 

d C. 4a 195

65 

d D. 8a 195

195 

d

Gọi điểm hình vẽ

Ta có AI BC SA, BC suy BC AK AK dA SBC, 

Ta có:

2

3

,

4 

 ABC  a  

V a S SA a Mà

2  a

AI

( ) ( )

ab

d(a, b)IH

+ Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vuông góc chung AB CD

I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

(104)

Trong tam giác vng SAI ta có 12  12  12

AK AS AI Vậy

2

195

65

  



AS AI a d AK

AS AI

Câu 3: Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B ABa SA ABC Góc cạnh bên SB mặt phẳng (ABC) 600 Khi khoảng cách từA đến (SBC) là:

A. 3a B.

2

a

C.

3

a

D.

2

a

 

 2

1

,

1 2

3

  



a

d A SBC AH

a a

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân,

AB = BC = 2a, ABC1200, SA = 3a SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm Ađến mặt phẳng (SBC)

A a

d B.

4  a

d C

4  a

d D.

2  a

d

+ sin1200

  

S AB BC a ; . 3

3 

 

S ABC ABC

V SA S a

+ Mặt khác, SB SA2AB2 a 13

2 2 2

2 cos120 12 21

       

AC AB BC AB BC a CS SA AC a

+ Áp dụng công thức hê-rông ta c

    

2

1

          



SBC

S SB BC CS SB BC CS SB BC CS SB BC CS

a

(Chú ý: Nhập vào máy tính biểu thức ấn = ta có kết

    

1

13 21 13 21 13 21 13 21

4           )

+ Vậy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

3

2

3 3

2 

 S ABC  

SBC

V a a

d

S a

(105)

A 21 

d B

4 

d C

4 

d D 24

5 

d

Áp dụng công thức He-rong ta tính diện tích tam giác ABC

       36

p p AB p AC p BC với

2

 

 AB BC CA

p

1

3

 ABC  

V SA S SA

Kẻ AH BC AI, SH ta có dA SBC,   AI Đặt BH x ta có 2 2

   

AB BH AC CH AH thay liệu toán cho vào ta tính  102x2  1729x2 x 6 suy AH 8

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có 12 12 2 25 24

576

    AI 

AI SA AH

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết khoảng cách từA đến (SBD)

7

a

Khoảng cách từC đến mặt phẳng (SBD) bằng:

A.

7

a

B.

7

a

C.

14

a

D.

7

a

Với toán ta thấy A C đối xứng qua tâm O Ta nhớ đến hệ sau:

Cho mặt phẳng (P) đoạn thẳng MN Với MN P I  

 

;

; 

d M P IM

d N P IN

Khi áp dụng vào tốn ta thấyACSBDO áp dụng hệ ta :   

 

;

1 ;

d A SBD OA

OC

d C SBD  

 

 ; 

d C SBD  a

Câu 7: Chohình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy SC = 3a Khoảng cách từđiểm A đến mp(SCD) là:

A 12

a

B 2

a

C

a

D

a

(106)

 

  

SA ABCD SA CD,

     

    

CD AD CD SAD SAD SCD mà SAD  SCDSD

nên AH SCD, d A SCD ,  AH Hình vng ABCD cạnh a có đường chéo

3

 

AC a a

Tam giác SAC vng A theo định lí Pytago ta tính

SAa

Tam giác SAD vuông A có AH đường cao nên

2 2 2 2

1 1 1

hay

3 3

      AH  a

AH SA AD AH a a a

Câu 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, ABa AC, a Tam giác SBC nằm mặt phẳng vng với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC A 39

13

a

B. a C. 39

13

a

D.

2  a

V

2

39

2

13

  



SH HK a

HE

SH HK

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, D 600và SA vng góc với ABCD Biết thể tích khối chóp S ABCD

3

2 a

Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng SBC

A

 a

k B

5



k a C

5

 a

k D

3



k a Hướng dẫn giải:

Gọi H trung điểm BC, suy SH BCSH ABC Gọi K trung điểm AC, suy HK  AC

Kẻ HE SK ESK

(107)

Diện tích đáy

2

3  ABCD

a S

3

2

3

1 2

3 3

2

    

a

V B h B SA SA a

a

   

 

 



 

BC AM

BC SAM BC SA

   



BC SBC , Từ  1  2 SAM  SBC

SAM  SBCSM

Kẻ AH SM AH d A SBC ,  Xét SAM vng A Ta có

2 2 2

1 1

3 3

    

AH SA AM a a a

2

2 3

5

 AH  a AH k a

Câu 10: Cho hình chóp tứgiác S.ABCD, đáy có tất cạnh a có tâm O gọi M trung điểm OA Tính khoảng cách d từđiểm M đến mặt phẳng (SCD)

A.

6  a

d B.

4  a

d C.

2  a

d D. d a

Kẻ OH CD H CD, kẻ OK SH K SH Ta chứng minh OK SCD

Vì  ,   , 

2 2

  M SCD  O SCD 

MO

d d OK

MC

Trong tam giác SOH ta có:

2

6

 



OH OS a OK

OH OS Vậy  , 

2

 

M SCD

a

d OK

Câu 11: Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình chữ nhật ABa AD, a Hình chiếu vng góc điểm A'

mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từđiểm B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a là:

A. 3

a

B.

a

C.

a

D.

a

Gọi H hình chiếu A' lên mặt phẳng (ABCD) Ta có: B D' '/ /BDA BD' 

 

 ', '   ', ' 

(108)

 

 ', '   , ' 

d D A BD d A A BD Gọi G hình chiếu A lên BD

 

'     '

A H AK BD AK A BD

 

 , ' 

d A A BD AK

Tính 12 2 12

   AK a

AK AD AB

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC300, tam giác SBC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

A. 39

13  a

h B. 39

13  a

h C. 39

26  a

h D. 39

52 a

h

Trong (SBC), dựng SH BC Vì SBC cạnh a nên H trung điểm BC a

SH

Ta có:

   

 

 



   



  

SBC ABC

SBC ABC BC SH ABC

SBC SH BC Vì H trung điểm BC nên

 

 , 2  ,  d C SAB d H SAB

Trong (ABC), dựng HI  AB (SHI), dựng



HK SI

     

 

   



 

AB HI

AB SHI SAB SHI AB SH

Ta có

   

 

   , 

 



     



  

SHI SAB

SHI SAB SI HK SAB d H SAB HK SHI HK SI

Tam giác HBI vuông I nên  

sin sin sin 30

2

 HI   a  a

HBI HI HB HBI

HB

Tam giác SHI vuông H, HK SI nên:

2 2

2

2 2 2 2

3

2

1 1 39

52 26

3

2

   

   

 

       

    



   

 

a a

SH HI a a

HK HK

HK SH HI SH HI a a

Vậy  ,  39 13

  a

(109)

Câu 13: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Mặt bên SAB tạo với đáy góc 600 Tính theo a khoảng cách từB đến mặt phẳng (SAD)?

A.

2  a

d B.

3  a

d C.

2  a

d D.

2  a

d

Gọi G trọng tâm tam giác ABD, E hình chiếu G lên AB

Ta có:    0

60 tan 60

AB SGE SAG SGGE

Mà

3 

GE BC nên tính SG Hạ GN  AD GH SN

 

 ,   , 

d B SAB  d G SAB  GH

2

3

2

 



GN GS a

GN GS

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng BD2 ,a SAC vng S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SCa Khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng (SAD) là:

A. 30

5

a

B. 2a 21

7 C. 2a D. a

2

2 , 2,

2

   BD    

BD AC a CD a SA AC SC a

.a 3

2

 SA SC  a a

SH

AC a

2

2 2

4

    a  a

AH SA SH a

Gọi O tâm hình vng ABCD

Ta có d B SAD , 2d O SAD , 4d H SAD , 

Kẻ / /  ,

4

   a

HI BD I BD HI CD Kẻ HK SI

tại K HKSAD

 

  2 2

2

, 4

3

2 21

4

7

3

4 16

  



 



SH HI

d B SAD HK

SH HI

a a

a

a a

(110)

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB1,AC  Tam giác SBC nằm mặt phẳng vuông với đáy Tính khoảng cách từB đến mặt phẳng (SAC)

A. 39

13 B.1 C.

2 39

13 D.

Gọi H trung điểm BC, suy

 

  

SH BC SH ABC

Gọi K trung điểm AC, suy HKAC Kẻ HESK E SK

Khi d B SAC , 2d H SAC , 

2

.H 39

2

13

  



SH K

HE

SH HK

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB2 ,a BCa Các cạnh bên hình chóp a Khoảng cách từA đến mp (SCD) là:

A. 2a B. 21

7

a

C. a D. a

Ta có      



SO AC

SO ABCD SO BD

2

5

2 2



 AC  AB BC  a

AO

2

2 2

2

4

    a  a

SO SA AO a

Gọi H trung điểm      



CD OH

CD CD SOH

CD SO Kẻ OK SH K:OK SCD

 

     2 2

2

, , 2

3

3 2

2

4

   



 



SO OH

d A SCD d O SCD OK

SO OH

a a

a

a a

(111)

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B biếtBCa 3, BAa Hình chiếu vng góc H của đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AC và biết thể tích khối chóp S.ABC

3

6

a

Khoảng cách h từCđến mặt phẳng (SAB) là A. 66

11  a

h B 30

10 a

h C. 66

11  a

h D. 30

5  a

h

Đặt SH x.suy

3

1

3

 

  

 

a V x a a

3

6

xa a

a

Ta có d C SAB , 2dH,SAB2HK mà 2 12 42 66

2 11

  HK  a

HK a a

 

 ,  66 11  a

d C SAB

Câu 18: Hình chóp có đáy tam giác vuông B, BA = 3a, BC=4a

Biết Tính khoảng cách từ đến A. 6a

7 B.

3a

7 C.

5a

7 D.

4a 7 Hướng dẫn giải:

1 SH sin 30 3

2

SB o  a a ; 1.3

2

ABC   

S AB BC a a a

Suy . 1.6 3 3

 

S ABC

V a a a Càn tính: SSAC?

Do tam giác SBA vuông B nên SA (2a 3)29a2 a 21 2

9 16

  

AC a a a

Dùng định lí cơsin SC2 SB2 BC22SB BC c os30 o

2

= 12a 16 2.2 3.4

 a  a a  a SC2a

Dùng công thức Hêrông: S  p p a p b p c(  )(  )(  ), với

  a b c

p

Ta có: 21

2 

 a a

p 

7 21 21

5

2

a a a a

p a   a 

 p2a 7aa 212a a 213a

S ABC ABC SBC  ABC



2 3, 30

(112)

 21 21 21 21

2

a a a a

pa   a  

2 2

1

28 12 7.3 21

4

ABC   

S a a a a

Vậy

3

2

3 3.2 6

7 21 

 S ABC   

SAC

V a a a

h

S a

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAC600, hình chiếu đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng (SCD) theo a

A a

B

a

C

a

D.

Trong mặt phẳng (SBD) kẻOE song song SH cắt SD E Khi ta có tứ diện OECD vuông O

3

; ;

2

 a  a  a

OC OD OE

 

2 2

1 1

;   

d O SCD OC OD OE

 

 ; 

d O SCD  a

Mà  ;   ; 

  a

d B SCD d O SCD

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 450 Khoảng cách từA đến mặt phẳng (SCD) là:

A. 3

a

B.

a

C.

a

D.

a

+ Khoảng cách từA đến mặt phẳng (SCD) độdài đoạn HK + Tính SH HC a

+ Dùng công thức: 2 2 12 32

  

HK HM HS a

+ Suy :  a

HK

(113)

A.

2  a

h B.

3 a

h C.

2 a

h D. 2a

5 

h

 

 ,   , 2  , 

d AD SBC d A SBC d O SBC với O tâm hình vng ABCD Gọi I trung điểm        

 

BC OI

BC BC SOI SBC SOI

BC SO

Ta có SBC  SOISI, kẻ OH SI H OH SBCd O SBC , OH

2

,

2 2

 AC a    a

AO SO SA AO

2 2

2

2 2

6

4

  



a a

SO OI a

OH

SO OI a a

 

 , 

3

  a

d AD SBC OH

Câu 22: Cho lăng trụđứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình chữ nhật có ABa AD, a Biết góc đường thẳng A’C mặt phẳng (ABCD) 600 Khoảng cách đường thẳng B’C C’D theo  là:

A 51

17

a

B 51 17

a

C 51 17

a

D 51 17

a

Có 2 2 2 2 12 12 172

' ' 12

    

BH B B BM B B BC AB a

2 51 17

BH  a Vậy: d(C’D,B’C)=2 51 17

a

Câu 23: Cho hình lăng trụABC.A’B’C’, đáy ABC có ACa 3;BC 3 ,a ACB 300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 mặt phẳng (A’BC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho BC=3BH mặt phẳng (A’AH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Khoảng cách từB đến mặt phẳng (A’AC) là:

A 3

a

B 3

a

C 3

a

D

a

C'D'/ /AB'C'D/ /(AB'C)d(C'D,B'C)d(C'D, (AB'C))d(C', (AB'C))d(B,(AB'C)) Do BC’ giao với mp(AB’C) trung điểm BC’ (vì

BCC’B’ hình chữ nhật)

Kẻ BM  ACAC (BB'M)(AB'C)(BB'M) theo goao tuyến B’M

Kẻ

(114)

S

H

A N

C I

B M

K Hướng dẫn giải:

Kẻ ( ' ) ( ' ) ( ' ) '

'

 

    

  

HD AC

AC A HD A AC A HD A D AC A H

Ta có: HDCH.sin 300 a Kẻ HK  A D' HK ( 'A AC)HK d H( ;(A'AC)) Xét tam giác A’HD vng H có: 2 2 2

'

  HK  a

HK HD A H

Ta lại có: ( ;( ' )) ( ;(A'AC)) 3 3 ( ;( ' ))  2   2 

d B A AC BC a a

d B

d H A AC HC

Vậy

3 ' ' '

9 3

; ( , ( ' ))

4

ABC A B C

a a

V  d B A AC 

Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc SB mặt phẳng (ABC) 60 độ Tính theo a khoảng cách từB đến mặt phẳng (SMN), với M, N trung điểm AB AC

A.

3

a

V B.

3

a

V C.

3

4

a

V D.

3

4

 a

V Hướng dẫn giải:

 



SA ABC suy AB hình chiếu vng góc SB lên (ABC)

Góc SB (ABC) góc SBA 600

0

tan 60 SAAB a

Kẻ AI MN Suy Ilà trung điểm MN, kẻ



AH SI H

 

,

   



MN SA MN AI MN AH AH SMN

Vậy AH khoảng cách từA đến (SMN),

, 

AI a

2 2 2

1 1 16 51

3 17

     AH  a

AH AS AI a a

Mà   

 

       

, 51

1 , ,

,      17

d A SMN MA

d B SMN d A SMN a

d B SMN MB

Câu 25: Cho hàm số S.ABC có ASBBSCCSA60 ,0 SA3,SB4,SC 5 Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)

A. B.

3 C.

3

3 D.

(115)

Đề cho góc

60

  

ASC ASB BSC cạnh SA3,SB4,SC 5 áp dụng công thức

 

2 2

2 cos ,

  

c a b ab a b ta tính độ dài cạnh AB, BC, CA tam giác ABC 13, 21, 19 Ta tính cos

13



SAB

Gọi H chân đường cao từ C xuống mặt phẳng (SAB), Kẻ HK SA HI,  AB (như hình vẽ) Đặt



CH x Quan sát hình vẽ ta thấy : tính độdài đoạn thẳng CK, CI, sau ta biểu diễn HK, HI theo CH, ta tìm mối quan hệ HK, HI

Tính CK:

0

1

2 .sin 60

2 2

2

 CSA  

SC SA S

CK

SA SA

2

1 75

, HK

2

 AK   x

Tương tựta tính 17 39 121

,

26 52

 

CI AI , 867

52

 

HI x

Ta lại có 2 28

2 cosSAB 13

   

IK AK AI AK AI

Mà 2  

2 cos 180

   

IK HK HI HK HI SAB

3  x

Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng

3a Khoảng cách h từB đến mặt phẳng (SCD) là:

A h =

3a B h =

3a C. h =

3a D.h = 4a

-Đặt .( 2)2

3

     

SH x V x a a x a

-Ta có

2

( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))

2

4

2

3

2

 

  



d B SCD d A SCD d H SCD a

a

a HK

a a

Câu 27: Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từđiểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

(116)

2

3



d

S a ,

2  a

h V=

3

3 a

suy

1 1

3

1

( ;( ))

  

B A BD A BD

V a

V S d B A BD ,

1

2

3 

A BD

a S

 1 

1

3 3

( ;( ))

2

B A BD A BD

V a

d B A BD

S

(117)

II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

Câu 1: Lăng trụđứng ABCA B C' ' ' đáy tam giác vuông cân B, cạnh bên CC'a Biết thể tích khối trụ

2 3a Khoảng cách hai đường thẳng AB CC’

A. a B 2a C 3a D. 3a

Ta có BC AB BC, CC' nên d AB CC ; 'BC Vì ABC vng cân B nên

3

' ' '

1

2 '

2

 ABCA B C  

a V AB BC CC BC a

2

4

BC  a BC a

 ; '

d AB CC  a

Câu 2: Cho lăng trụđứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC tam giác vuông B với AB4 ,a BC3a,AC5a, cạnh bên BB'9a Gọi M điểm thuộc BB’ cho BB' = 3B'M Khoảng cách B’C AM

A. 12a

7 B.

6a

7 C.

10a

7 D 7

a

Trong mặt phẳng BCB’, vẽ MN / / ’B C ( N thuộc BC)

 

’ / /

B C AMN d B C AM ’ , d B C AMN ’ , 

 

   , 

’,

d B AMN  d B AMN =1

2h Đểđơn giản ta coi a=1

2 2 2

2 2

1 1 1 1 12

( )

1 1

4

       

 

h

h AB BN

 ’ , 

7

 d B C AM  a

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có AS, AB, AC đơi vng góc với nhau, ABa AC, a Tính khoảng cách d từđường thẳng SA đến BC

A.

2  a

d B. d a C. d a D. d a

3  Hướng dẫn giải:

Trong tam giác ABC kẻ AH BC H, BC

Dễ dàng chứng minh AH SA Vậy  

2

, 2

3

  



SA BC

AB AC a

d AH

AB AC

(118)

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính khoảng cách hai đường thẳng SB, AC

A a

B. a

C. a

D. a Hướng dẫn giải:

(SBC) chứa SC song song với AD Đường thẳng qua O vng góc với BC cắt BC, AD E, F Vì O trung điểm È nên ta có:

d(AD,SC) = d(F, (SBC)) = 2d(O, (SBC)).Kẻ OH vng góc với SE H (1)

   

,

     

BC EF BC SO BC SEF BC OH Từ (1) (2) BC cắt SE OH (SBC) Tam giác SOE vuông O nên ta có:

2 2 2 2

1 1 1 20

3

     

OH OS OE OS OB OC a

 

15 15

;

10

OH  a d AD SC a Gọi M cho ABMC hình bình hành

Vẽ AH vng góc với BM H, AK vng góc SH K Suy ra, AK vng góc (SBM) Ta có: 2 12 2 12 42 52

2 2

    

AK SA AH a a a

Vì AC song song (SMB) suy ra:  ,   ; 

   a

d AC SB d A SBM AK

Câu 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C 1 1 1 có tất cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng A B C1 1thuộc đường thẳng B C1

Khoảng cách hai đường thẳng AA1 B C1 1 theo a bằng: A.

2

a

B.

a

C.

a

D. a Hướng dẫn giải:

Xét tam giác vng AHA1 có 

1 1

3

, 30

2

    a

AA a AA H A H Do tam giác A B C1 1 tam giác

cạnh a, H thuộc B C1 1 1  a

A H nên A H1 vng góc với B C1 1 Mặt khác AH B C1 1nên

 

1 1

B C AA H

(119)

Ta có

1

4

   A H AH  a

AA HK A H AH HK

AA

Câu 6: Cho lăng trụABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích khối lăng trụ

3

a

Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC

A.

2

a

B.

3

a

C.

4

a

D.

3

a

Gọi M trung điểm BC , dựng MNAA ' N (1) Gọi O trọng tâm ABCO hình chiếu A’ lên (ABC) A 'OBC

Mặt khác AMBC ABC

   

BC A 'MA BC MN

    Từ (1) (2) => MN đường vuông chung

Kẻ OP // MN OP AO MN AM

  

2

ABCA 'B 'C ' ABC

ABC

V 3a

S OA ' a

4 S



   

Xét A 'OA vuông tai O, đường cao OP: 12 2 2 OP a MN 3a OP OA OA '  2 

Câu 7: Cho hình lăng trụđứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD 1200 '

AC a Khoảng cách hai đường thẳng AB’ BD là:

A. 10

17 a

B.

17 a

C 17

a

D 17

Tứ giác AB’C’D hình bình hành  AB’//C’D AB’//(BC’D)  ’,   ’, ’   , ’   , ’ 

d AB BD d AB BC D d A BC D d C BC D Vì BDAC, BDCC’ BD(OCC’) (BC’D)(OCC’)

Trong (OCC’),kẻ CHOC’(H thuộc OC’) => CH(BC’D)d C BC D , ’ CH '

OCC vuông C 2 12 2 42 12

' 17

     CH  a

CH CO CC a a

Vậy d(AB’,BD)= 17

a

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAa vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC

A. dAB SC,  a B.  , 

2 

AB SC

a

d C.  , 

3 

AB SC

a

d D.  , 

4 

AB SC

(120)

Vì AB/ / DC SCDAB/ /SCD

Mà SC SCDdAB,SC dAB SC, D dA SC, D Gọi I trung điểm SDAI SD, mà AICD Suy AI SCD,  ,SC  , D

2

  

AB A SC

a

d d AI

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a 3;ABC 1200 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết sốđo góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Khoảng cách hai đường thẳng BD SC bằng:

A. 39 26

a

B 3 29 26

a

C 3 29 13

a

D. 14

a

Kẻ CM / / D,B AN BC AH, SC suy ACCM d A SCM ,  AH Gọi

 

2

   ID  DC 

I AD CM

IA AM

Theo ta có góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc SNA nên

0 3

60 tan 60

2

    a

SNA SA AN

Áp dụng hệ thức lượng tam giác SAC vng taị A ta có

2 2

1 1 13 39

27 13

   AH  a

AH SA AC a

Ta có:  ,   ,   ,   , 

  

d BD SC d BD SCM d D SCM d A SCM

Suy  ,SC 39 26  a

d BD

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H cạnh AB Góc tạo SC (ABCD) 450 Tính theo a tính khoảng cách hai đường thẳng SD AB

A. 2a

3 

d B.

13  a

d C.

3  a

d D. 15

3  a

d

Xác định góc SC (ABCD) SCH 450

Tính 5

2

a  a

HC SH

Vì AB / / SCD , H  AB nên

 ; D  , D  , D d AB S d AB SC d H SC

(121)

Chứng minh HKSCDd H SC ; DHK Xét tam giác SHI vuông H, HK đường cao:

2 2 2

1 1 a

HK HK SH HI 5a a 5a   Vậy  ; D

3

 a

d AB S HK

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc 

60

SBD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB SO A

3

a

. B

a

C.

2

a

D. 5

a

Ta có SAB SAD cgc, suy SBSD Lại có 

60



SBD , suy raSBD cạnh

  

SB SD BD a

Trong tam giác vng SAB, ta có SA SB2AB2 a Gọi E trung điểm AD, suy OE AB AEOE Do d AB SO , d AB SOE , d A SOE ,  Kẻ AK SE Khi

  2 2

,

5

  

 

 



SA AE a

d A SOE AK

SA AE

Câu 12: Chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 450 Ta có khoảng cách hai đường thẳng AB SC bằng:

A

2 a

B

2 a

C

2

a

D

4

a

Ta có : d AB SC( ; )d AB SCD( ;( ))2 ( ;(d H SCD))2HK Mặt khác tam giác SHM uông cân H, nên ta có

1 1

2

2 2

   a a

HK SM HM

Vậy ( ; ) 2

 a

d AB SC HK

(122)

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, D 17 a

S hình chiếu vng góc H S lên mặt (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường SD HK theo a?

A. 3a

5 B.

3

a

C. 21

a

D.

a

- Dựng HI BD HJ SI - Vì HK // BD  HK // (SBD)

- Chứng minh BDSHI HJ SBD Ta có dHK,SD dHK,SBD dH,SBD HJ

2 2

2 17a 5a 12a

D

4 4

     

SH S DH a

2 2 2

1 1 25

3a 3a

    

HJ SH HI a

3 HJ a

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC), gọi M điểm thuộc cạnh SC cho

2



MC MS Biết AB3,BC3 3, tính khoảng cách hai đường thẳng AC BM

A. 21

7 B.

2 21

7 C.

21

7 D.

2

2 2 3 3

3 3

   ABN  SAB  

NA MC

S S

SA SC (đvdt)

2

 

AN SA

2

3

2 2 21

2 cos 60

7

      SABN  

BN AN AB AN AB AK

BN

Vậy  ,  21 

d AC BM (đvđd)

Từ M kẻđường thẳng song song với AC cắt SA N AC||MN AC||BMN

AC AB,ACSH AC SAB AC||MN MN SABMN SAB

BMNSAB theo giao tuyến BN Ta có:

AC||BMNdAC,BMdAC,BMN

(123)

Câu 15: Cho lăng trụđứng ABC.A'B'C' có ABC tam giác vng, ABBC 1,AA' M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM; B'C

A.

7

d  B.

7

d  C. d  D.

7 

d

Gọi E trung điểm BB' Khi AME/ / 'B C nên ta có:

 

B AME,   B C AME' ,    ' ; 

d d d B C AM

Ta có:

 

B AME;  

d h

Tứ diện BEAM có cạnh BE, BM, BA đơi vng góc nên toán quen thuộc

2 2

1 1 1

7

     h

h BE BA BM

Câu 16: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C 1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt

phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A lên mặt phẳng A B C1 1 1 thuộc đường thẳng B1C1 Khoảng cách hai đường thẳng AA1 BC1 theo a là:

A.

2

a

B.

4

a

C.

3 a

D.

Do AH A B C1 1 nên góc AA H1 góc AA1

A B C1 1 theo giả thiết góc AA1H 30

Xét tam giác vng AHA1 có

0

1 , 30

2

    a

AA a AA H AH

Xét AHA1 có AA1a góc

1

3 30

2

  a

AA H A H

Do A1B1C1 cạnh a, H thuộc B1C1 1  a

A H

Suy A1H vng góc B1C1, AH B C1 1 nên B C1 1AA H1 

HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có

1

4

   A H AH  a

AA HK A H AH HK

AA

(124)

A. 210 70

a

B. 210

35

a

C. 210 35

a

D. 210 35

a

Ta có :

 

' ( ' ( )) ( ' ' )

( ' ' ) : '

 



   



  



CI AB

CI AA AA ABC CI AA B B

Trong AA B B AB AA A

Suy góc CA’ (AA B B' ' ) góc CA’ IA’ góc CA I' 30

Do



3 '

2

tan '

 IC  a A I

CA I

; với 3

2

 AB  a

IC

Suy ra:

2

' '

4

   a a 

AA A I AI a

Kẻ Ix AC Khi d AC A I( , ' )d AC A I Ix( , ( ' , ))d A A I Ix( , ( ' , ))

Kẻ AEIx E AF A E' F Ta chứng minh được: d A A I Ix ,( ' , )AF Ta có: sin sin 60

2

 a  a

AE AI AIE

2 2 2

1 1 16 35 210

' 35

     AF  a

AF A A AE a a a

Vậy:  , '  210 35

 a

d AC A I AF

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm thuộc SC cho MC=2MS Biết AB=3, BC= 3 Khoảng cách hai đường thẳng AC BM là:

A.3 21

7 B

3 21

14 C

6 21

7 D

3 21 28 Hướng dẫn giải:

2

2 2 3 3

3 3

   ABN  SAB  

NA MC

S S

SA SC (đvdt)

2

 

AN SA

2

3

2 2 21

2 c os60

7

      SABN  

BN AN AB AN AB AK

BN

Vậy d(AC,BM)= 21

Từ M kẻđường thẳng song song với AC cắt SA NAC/ /MN AC/ /BMN AC AB,AC SH AC (SAB), AC/ / MNMN(SAB)

(BMN)(SAB) theo giao tuyến BN Ta có:

(125)

Câu 19: Cho hình lăng trụtam giác ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60o Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC khoảng cách từB đến mặt phẳng (AB’C)

A.

3 '

3 ;

8

 

B ABC

a a

V d B.

3 '

3

;

8

 

B ABC

a a

V d

C.

3 B'ABC

a a

V ; d

4

  D.

3 B'ABC

a a

V ; d

4

 

Theo đề kiện ta dễdàng tính thể tích khối lăng trụtam giác ban đầu, từđó suy thể tích khối tứ diện AB’BC Đểtính khoảng cách từB đến (AB’C) thực chất tìm chiều cao tứ diện, đến toán sẽđược giải q độc giả tìm diện tích tam giác AB’C Vì đề cho kiện ((A’BC), (ABC))=60o, nên ta sẽđi xác định góc cách gọi H trung điểm BC Tam giác ABC nên AHBC (1)

A’A(ABC) ⟹A’ABC (2)

Từ (1) (2) ⟹BCA’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60o

⟹A’A = AH.tan 60o=3

a

Khi

2

' ' '

3 3

'

2

  

ABC A B C ABC

a a a

V A A S

Và

3 '

1

3

 

B ABC

a

V V lúc ta loại C D

Dễ thấy diện tích tam giác AB’C có thểđược B’AC cân B’ có

2

2 3a a 13

B' A B' C a ; AC a

2

 

     

 

Dễtính chiều cao kẻ từ B’ tam giác có độ dài a ABC

2

B ACB'

AB'C

3V

a 3a

S d(B;(AB 'C))

2 S

    

Câu 20: Cho lăng trụđứng ABCA’B’C’cóAC = a, BC= 2a, ACB 120o Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300 Gọi M trung điểm BB’ Tính thể tích khối lăng trụABCA’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM CC’ theo a

A

21 a

B

3 a

C

7 a

D

7 a

+ Kẻđường cao CH tam giác ABC Có CHAB ;CHAA’ suy CH(ABB’A’),Do góc A’C mp(ABB’A’) góc CA H' 300

+ Ta có

2

1

.sin120

2

ABC  

a

(126)

Trong tam giác ABC :

2 2

2 os120 7

   

 

AB AC BC AC BC c a

AB a

+     

2

3

2

ABC

a

S AB CH CH a

+ Vậy : d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))=CH=

7 a

Câu 21: Cho lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ mặt hình vng cạnh a Gọi D trung điểm cạnh

BC Tính khoảng cách hai đường thẳng A’B’ DC’ theo a A

6

a

B

4

a

C

a

D

a

Ta có (0;0;0), ;0;0 , ' ;0; , ' 0; 3;

 

   

 

   

 

a a a

D B C a A a

Gọi   mặt phẳng qua DC'   / / 'A B suy phương trình   :xz 0

2

( ' , ') ( ,( ))

4



    

a a d A B DC d B

Có cách để tiếp cận tốn hình học khơng gian thơng thường kẻ thêm hình tọa độ hóa Ởbài tốn này, phương pháp tọa độ có nhiều ưu điểm hẳn

Gọi D' trung điểm B'C' ta có DD';DC;DA đơi vng góc với

(127)

GÓC

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1) Góc hai đường thẳng: a//a', b//b' 

Chú ý: 00  900

2) Góc đường thẳng với mặt phẳng:

 Nếu d  (P) = 900

 Nếu = với d hình chiếu d (P) Chú ý: 00  900

2) Góc hai mặt phẳng

Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng 

Chú ý:

3) Diện tích hình chiếu đa giác

Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), 

= Khi đó: S = S.cos

Gọi M trung điểm BD, AB CD, MF ME,  Áp dụng định lý cosin tam giác EMF tính

  

cos 120 ( , ) 60

2

EMF   EMF   AB CD 

Câu 2: Cho hình chóp S ABC Người ta tăng cạnh đáy lên gấp lần Để thể tích giữ ngun tan góc tạo cạnh bên mặt đáy phải giảm số lần :

A. B. C. D.

Gọi S đỉnh hìnhchóp, O làtrọng tâm tam giác ABC;  góc tạo cạnh bên vàmp(ABC) Chứng minh thể tích khối chóp

tan 12

 

V a



a, ba ', b '



a, b



d, (P)

d  (P) d, (P) d, d '



d, (P)



   a (P)

(P), (Q) a, b b (Q)

 

 

  

a (P), a c b (Q), b c

 

 

 





(P), (Q)a, b 

 

0

0  (P), (Q) 90



(P), (Q)

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi E, F trung điểm BC AD, biết EF a Góc hai đường thẳng AB CD :

(128)

Khi cạnh bên tăng lên lần thể tích (2 ) tan '3 12

 

V a Để thể tích giữ nguyên

tan tan '

8



  , tức tan góc tạo cạnh bên mặt đáy phải giảm lần

Câu 3: Cho khối chóp tứgiác S ABCD có tất cạnh a Khi cơsin góc giữa mặt bên mặt đáy là:

A. 30O B C. 60O D.

Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi cơsin góc giữa mặt bên mặt đáy là:

Ta có SBC , ABCDSIH  

Khi đó: cos

3

2

   

a HI

SI a

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vng C có AB2 ,a



30



CAB Gọi H hình chiếu vng A SC Tính theo a thể tích khối chóp H.ABC Tính cơ-sin góc hai mặt phẳng SAB , SBC

A.

7 B.

7

14 C

3

14 D

Gọi K hình chiếu vng góc A lên SB Ta có AHSC,AHCB(Do CB(SAC)) AH (SBC) AHSB

Lại có: SBAK SB(AHK) Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAB , SBC HKA

2 2 2

1 1 1

4 12

1 1 1

2

4

      

a AH

AH SA AC a a a

AK a

AK SA AB a a a

Tam giác HKA vuông H (vì AH(SBC),(SBC)HK)

 

.2

6

7

sin os

7

2

a AH

HKA c HKA

AK a

    

(129)

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB  ABCD H trung điểm AB, SH HC SA,  AB Gọi  góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giá trị

tan là:

A.

2 B.

2

3 C.

1

3 D.

Ta có

2

  a

AH AB , SA ABa,

2

    a

SH HC BH BC

Có

 

2

4

  a       

SA AH AH SAH SA AB SA ABCD

và AChc SC ABCD ; 

Ta có:  ;  , tan

 

SC ABCD SCA SCA

Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích hình chóp S.ABCD

3

15

a

Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy (ABCD) là:

A. 300 B.450 C. 600 D.1200

Gọi H trung điểm AB Ta có

3

2

D D

1 15 15

,

3

    

ABC S ABC

a a

S a V SH a SH

2

2 2

4

   a  a

HC AC AH a

 



SC ABCD, SC HC, SCH

 15 

tan : CH : 60

2

  a a   

SCH SH a SCH

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy (ABCD) Gọi H trung điểm AB, SH HC SA,  AB Gọi  góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giá trị tan là:

A.

2 B.

2

3 C.

1

3 D.

Ta có

2

  a

(130)

2

    a

SH HC BH BC

Có

2

4

  a  

AH SA SH SAH vng A nên SAAB

Do SAABCD nên SC ABCD, SCA Trong tam giác vuông SAC, có tan

2

 SA 

SCA AC

Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, có SA vng góc với (ABC), tam giác SBC cân S Để thể tích khối chóp S.ABC

3

a

góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) là:

A. 600 B. 300 C. 450 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải:

Do tam giác SBC cân S nên gọi I trung điểm BC

   

 

; ;

   

SI BC AI BC SIA SBC ABC Do đáy ABC tam giác nên

2

1

.2

2

 

ABC

a

S a a Thể tích khối chóp tính

3

2

1 3

3 2

 ABC  a   a

V SA S SA

a

3 SA a

Khi tan :2 3

2 2

 SA a a 

SIA AI

3 tan

2 SIAatc

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Tính sốđo góc (BA’C) (DA’C)

A. 300 B.1200 C. 600 D. 900

Kẻ BH  A C'  1 Mặt khác, ta có

  '

'   

 

   

BD AC

AA BD

AA ABCD

 ' '  2

BD ACA BDA C

Từ (1), (2) suy A C' BDHA C' DH Do BA C'  , DA C' HB HD; 

Xét tam giác vng BCA' có:

2 2

1 1

3

a

(131)

Ta có  

2

0

2

cos 120

2

BH BD

BHD BHD

BH



     Vậy góc cần tìm 600

Câu 10: Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy tam giác cân với AB ACa, góc



120 ,



ABC cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I)?

A. cosα =

5 B.cosα=

10 C. cosα=

10 D.cosα = Hướng dẫn giải:

Ta có: BC =a Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I:

Suy AI =

2 a, AB ’

= 2a, B’I = 13 a Do AI2 + AB’2 = B’I2

Vậy tam giác AB’I vuông A

'

1 10

,

2 4

  ABC 

AB I

S AI AB a S a

Gọi là góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB’I

Suy : '

10 3

.cos cos cos

4 10

  ABC      

AB I

S S

Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có ABC tam giác vng, ABBC1,AA' M trung điểm cạnh BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B'C là:

A



d B

7



d C. d  D

7 

d

2 2

1 1 1

7

7 h h  BE BA BM   

Gọi E trung điểm BB' Khi AME/ /B'C nên ta có: Gọi E trung điểm BB’

dB'C;AMd(B'C;(AME))d(B';(AME))d(B;(AME)) Ta có: d(B; (AME))h

(132)

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, đáy tam giác ABC vng cân B, ABa Biết góc tạo SC (ABC)

0

45 Khoảng cách từSB đến SC bằng: A

2

a

B a C

2

a

D

a

Hướng dẫn: Gọi H trung điểm AC Tính 2 ;BH

   

AC HC a AC a

CM SH ABCSC ABC, SCH 450 SH a tam giác SHB vuông cân H SBa

Trong (SHB): Dựng HI SBtại I (1) CM ACSHB ACHItại H (2) Từ (1) (2)  , 

2

d SB AC HI  SBa

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB; Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy

60 Góc hai đường thẳng SB AC có giá trị gần với giá trị sau đây:

A.600 B.800 C.700 D.900

2

5; 7; ( )

     

        

AC a SB a SB AC SH HB AC HB AC AH AC a

0

| |

cos = 70

35

    

  SB AC SB AC

Câu 14: Cho hình vng ABCD cạnh 4a Lấy H, K AB, AD cho BH=3HA, AK=3KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) H lấy S cho góc SBH =30 Gọi E giao điểm CH BK Tính cosin góc SE BC

A 18

5 39 B.

9

5 39 C

36

5 39 D

Ta có:

 2

cos( ; )

9

( )

25 25

9 9 144

.c os

25 25 25 25



    

   

   

          

SE BC SE BC

SE BC

SE BC SH HE BC HE BC HC BC CH CB

CB a

CH CB HCB CH CB CB

(133)

Ta chứng minh HKCH E

2

2 2

2

2 2

9 9

25 25 25

81 39 144 18

3 os( ; )

25 25 39.4 39

       



         

HE HE HC HB a

HE HC HB BC

HC HC HB BC

a a a

SE SH HE a c SE BC

a a

Câu 15: Cho hình chóp tứgiác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm đáy O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) , cosin góc MN mặt phẳng (SBD) :

A.

4 B.

2

5 C

5

5 D

10

Gọi P trung điểm AO; Q giao điểm MC SO, từ Q kẽ tia song song với MN mp(MBC) cắt BC R, mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD S MP//SO nên MPABCD, suy MNP 600

Ta tính PN cách vẽ thêm hình phụnhư bên, theo định lí Ta-lét 3

4

  a

PT AB

Dễ thấy

4 a

TN , theo định lý Pytago ta tính 10 a

PN

Tam giác MPN vng P có  10

 NP  a

MN

cosMNP Dễ thấy Q trọng tâm tam giác SAC nên

3 

CQ MC

Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy 2 10

3 3

     

QR CQ CR a

QR MN

MN MC NC

Hình vng ABCD cạnh a có đường chéo 2

   a

AC a OC

0

(134)

Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy 2

3 3

    

SR BR a

SR OC

OC BC

 , / /  

  

CA SBD SR CA SR SBD , mặt khác QR//MN góc MN với (SBD) góc QR với (SBD) góc SQR

Tam giác SQR vng S có  : 10

3

 SR a a 

cosSQR QR