Chuyên đề khối đa diện, góc và khoảng cách đặng việt đông file word

Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian MỤC LỤC MỤC LỤC .2 HÌNH ĐA DIỆN A – KIẾN THỨC CHUNG I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN .3 B – BÀI TẬP .8 HÌNH CHĨP ĐỀU 31 HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH VNG GĨC VỚI ĐÁY 38 HÌNH CHĨP CĨ MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY 46 HÌNH CHĨP KHÁC 54 TỈ SỐ THỂ TÍCH 69 A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT 69 B - BÀI TẬP .69 HÌNH LĂNG TRỤ 82 THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG .82 THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN 97 KHOẢNG CÁCH .105 A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 105 B – BÀI TẬP 106 I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 106 II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG 121 GÓC 131 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 131 B – BÀI TẬP 131 Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian HÌNH ĐA DIỆN A – KIẾN THỨC CHUNG I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng hình không gian tạo số hữu hạn đa giác Các đa giác có tính chất a) Hai đa giác phân biệt khơng giao nhau, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện (H) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện (H) Người ta gọi hình hình đa diện Nói cách tổng qt: Hình đa diện (gọi tắt đa diện) (H) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất Mỗi đa giác gọi mặt đa diện Các đỉnh cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn bới hình đa diện (H), kể hình đa diện Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian Mỗi đa diện (H) chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao nhau: miền miền ngồi (H) Trong có miền ngồi chứa hoàn toàn đường –thẳng d Khối đa diện (H) hợp hình đa diện (H) miền II HAI HÌNH BẲNG NHAU Phép dời hình khơng gian khối đa diện • Trong khơng gian quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ xác định gọi phép biến hình khơng gian • Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm tùy ý Nhận xét: • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình • Phép dời hình biến đa diện thành ( H ) đa diện ( H ') , biến đỉnh, cạnh, mặt đa diện ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng đa diện ( H ') r uuuuu r r a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector v phép biến hình biến điểm M thành M’ cho MM ' = v b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) mặt phẳng chung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng (H) c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng (H) d) Phép đối xứng qua đường thẳng d phép biến hình điểm thuộc d thành nó, biến điểm M khơng thuộc d thành điểm M’ cho d trung trực MM’ Phép đối xứng qua đường thẳng d gọi phép đối xứng qua trục d Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành d gọi trục đối xứng (H) Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Nhận xét • Hai đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện • Hai tứ diện có cạnh tương ứng Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian III PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện ( H1 ) , ( H ) , cho ( H1 ) ( H ) điểm chung ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) , hay lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) với để khối đa diện (H) Ví dụ Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương theo thiết diện hình chữ nhật BDD’B’ Thiết diện chia điểm lại khối lập phương làm hai phần Mỗi phần với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành khối lăng trụ, có hai khối lăng trụ: ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’ Khi ta nói mặt phẳng (P) chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’ Tương tự ta chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ AA’B’D’ Nhận xét: Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện IV KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện giới hạn (H) gọi đa diện lồi (Hình 2.1) Lưu ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt (Hình 2.2) Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian Cơng thức ƠLE: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt Đ-C+M=2 V KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Quan sát khối tư diện (Hình 2.2.1), ta thấy mặt tam giác đều, đỉnh đỉnh chung ba mặt Đối với khối lập phương (Hình 2.2.2), ta thấy mặt hình vng, đỉnh đỉnh chung ba mặt Những khối đa diện nói gọi khối đa diện Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loiaj {p;q} Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó khối đa diện loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, loại {3,5} Tùy theo số mặt chúng, năm loại khối đa diện kể theo theo thứ tự gọi khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt Năm khối đa diện Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt Khối mười hai mặt Khối hai mươi mặt Nhận xét: • Hai khối đa diện có số mặt có cạnh • Hai khối đa diện có số mặt đồng dạng với Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian Kứ diện {3, 3} Khối Lập Phương 12 {4, 3} Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4} Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3} Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5} Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian B – BÀI TẬP Câu 1: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Chỉ có năm loại hình đa diện B Hình hộp chữ nhật có diện tích mặt hình đa diện C Trọng tâm mặt hình tứ diện đỉnh hình tứ diện D Hình chóp tam giác hình đa diện Hướng dẫn giải: + Trong không gian ba chiều, có khối đa diện lồi, chúng khối đa diện (xem chứng minh bài) có tất mặt, cạnh góc đỉnh Tứ diện Khối lập Khối bát diện Khối mười hai Khối hai mươi phương mặt mặt => A + Hình chóp tam giác hình tứ diện → D + Hình hộp chữ nhật có diện tích mặt khối lập phương → B + Trọng tâm mặt hình tứ diện khơng thể đỉnh hình tứ diện → C sai Chọn đáp án C Câu 2: Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? A Tứ diện Chọn đáp án A B Bát diện C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác Câu 3: Khái niệm sau với khối chóp? A hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh B phần khơng gian giới hạn hình chóp hình chóp C phần khơng gian giới hạn hình chóp D khối đa diện có hình dạng hình chóp Hướng dẫn giải: Nhiều độc giả nhầm khái niệm hình chóp khối chóp Nên khoanh ý A Tuy nhiên bạn nên phân biệt rõ ràng hình chóp khối chóp nói chung, hay hình đa diện khối đa diện nói riêng + Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thoả mãn hai tính chất: a, Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b, Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác + Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Vậy đọc vào đáp án ta thấy ý A khái niệm hình chóp Ý B khái niệm khối chóp Ý C mệnh đề bị thiếu, ý D sai Chọn đáp án B Câu 4: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung A Năm cạnh B Bốn cạnh C Ba cạnh D Hai cạnh Hướng dẫn giải: Đúng theo lý thuyết SGK Các em xem thêm dạng tốn khối đa diện sách hình học lớp 12 (các tập 1,2,3,4 trang 25 5,6 trang 26) Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian Chọn đáp án C Câu 5: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho để sau điền vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng: “Số cạnh hình đa diện ln……………….số đỉnh hình đa diện ấy” A nhỏ B nhỏ C lớn D Chọn đáp án C Câu 6: Mệnh đề sau mệnh đề ? A Tồn đa diện có mặt đa giác khơng B Nếu hình chóp tứ giác S.ABCD hình chóp đa diện C Nếu đa diện mà đỉnh đỉnh chung mặt tổng số đỉnh phải số chẵn D Nếu lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ lăng trụ đa diện Hướng dẫn giải: Đa diện có tất mặt đa giác Khơng tồn đa diện có đỉnh, chóp S.ABCD lăng trụ ABC A’B’C’ đa diện Nếu đỉnh đỉnh chung mặt đỉnh chung cạnh Giả sử số 3n đỉnh đa diện n số cạnh phải (vì cạnh tính lần), n chẵn Chọn đáp án C Câu 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Nhận định sau khơng : A Hình chóp S.ABCD có cạnh bên B Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy tâm đáy C ABCD hình thoi D Hình chóp có cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc Hướng dẫn giải: Nhắc lại kiến thức: Hình chóp đa giác đều: hình chóp có đáy đa giác hình chiếu đỉnh xuống đáy trùng với tâm đáy Như hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD hình chiếu S xuống đáy tâm hình vng ABCD Chọn đáp án C r r Câu 8: Trong không gian cho hai vectơ u v Với M điểm bất kỳ, ta gọi M ảnh M qua phép Tur M ảnh M qua phép Tvr , Khi phép biến hình biến điểm M thành đểm M là: r r r A Phép tịnh tiến theo vectơ u + v B Phép tịnh tiến theo vectơ u r C Phép tịnh tiến theo vectơ v D Một phép biến hình khác Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ uuuuur r r uuuuuur r r uuuuur r r Tur ( M ) = M ⇔ MM = u   uuuuu uuuuuur r  ⇒ MM + M1M = u + v ⇔ MM = u + v Tvr ( M ) = M ⇔ M 1M = v   r r Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm M phép tịnh tiến theo vectơ u + v Chọn đáp án A Câu 9: Có phép tịnh tiến biến đường thẳng thành nó? A Khơng có B C D Vô số Hướng dẫn giải: Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình Học Khơng Gian Chọn đáp án D Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng a b song song với Có phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b? A Khơng có B C D Vô số Chọn đáp án D Câu 11: Trong không gian cho (P) (Q) hai mặt phẳng song song Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Khơng có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) B Có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) C Có hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) D Có vơ số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) Chọn đáp án D Câu 12 : Trong không gian cho hai tam giác ABC A’B’C’ ( AB = A ' B '; AC = A ' C '; BC = B ' C ' ) Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Không thể thực phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác B Tồn phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác C Có nhiều hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác D Có thể thực vơ số phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác Hướng dẫn giải: Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực phép tịnh tiến biến ∆ABC thành ∆A ' B ' C ' phải có điều kiện, hai tam giác ABC A’B’C’ ơhair nằm hai mặt phẳng song song (hoặc trùng nhau) uuu r uuuuu r uuur uuuur AB = A ' B ', AC = A 'C' r uuuu r Khi phép tịnh tiến theo vectơ u = A ' A biến ∆A ' B ' C ' thành ∆ABC phép tịnh tiến theo vectơ r uuuu r v = A ' A biến ∆A ' B ' C ' thành ∆ABC Như có hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Gọi I, J trung điểm cạnh AD, BC r uuur Phép tịnh tiến theo vectơ u = AD biến tam giác A 'I J thành tam giác A C’CD B CD’P với P trung điểm B’C’ C KDC với K trung điểm A’D’ D DC’D’ Hướng dẫn giải: r uuur Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ u = AD Ta có T ( I ) = D, T ( J ) = C , T ( A ' ) = K Vậy T ( ∆A 'I J ) = ∆KDC Chọn đáp án C Trang 10 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Hướng dẫn giải: Xác định góc SC (ABCD) SCH = 450 a a Tính HC = ⇒ SH = 2 Vì AB / / ( SCD ) , H ∈ AB nên d ( AB; SD ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) Gọi I trung điểm CD Trong (SHI), dựng HK ⊥ SI K Chứng minh HK ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = HK Xét tam giác SHI vuông H, HK đường cao: 1 a = + = + = ⇒ HK = 2 HK SH HI 5a a 5a a Vậy d ( AB; SD ) = HK = Chọn đáp án C Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a Cạnh bên SA vng · góc với đáy, góc SBD = 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB SO a a a a A B C D Hướng dẫn giải: Ta có D SAB = D SAD ( c − g − c ) , suy SB = SD · Lại có SBD = 600 , suy ∆SBD cạnh SB = SD = BD = a Trong tam giác vuông SAB , ta có SA = SB − AB = a Gọi E trung điểm AD , suy OE P AB AE ⊥ OE Do d [ AB, SO ] = d  AB, ( SOE )  = d  A, ( SOE )  Kẻ AK ⊥ SE Khi SA AE a d  A, ( SOE )  = AK = = 2 SA + AE Chọn đáp án D Câu 12: Chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 450 Ta có khoảng cách hai đường thẳng AB SC bằng: a a a a A B C D 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có : d ( AB; SC ) = d ( AB;(SCD )) = 2d ( H ;(SCD )) = HK Mặt khác tam giác SHM ng cân H, nên ta có 1 a a HK = SM = HM = 2= 2 2 a Vậy d ( AB; SC ) = HK = File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 125 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Chọn đáp án A a 17 hình chiếu vng góc H S lên mặt (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường SD HK theo a? 3a a a 21 3a A B C D 5 Hướng dẫn giải: - Dựng HI ⊥ BD HJ ⊥ SI S - Vì HK // BD ⇒ HK // (SBD) - Chứng minh BD ⊥ ( SHI ) HJ ⊥ ( SBD ) Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = Ta có d( HK,SD ) = d( HK , ( SBD ) ) = d ( H ,( SBD ) ) = HJ 2 a 17 2 17a 5a 12a − = =a 4 1 1 25 = + = 2+ = 2 2 HJ SH HI 3a a 3a a ⇒ HJ = Chọn đáp án D SH = SD − DH = K A J D B H I B C Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC), gọi M điểm thuộc cạnh SC cho MC = MS Biết AB = 3, BC = 3 , tính khoảng cách hai đường thẳng AC BM 21 21 21 B C 7 Hướng dẫn giải: Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA N ⇒ AC || MN ⇒ AC || ( BMN ) A D 21 AC ⊥ AB, AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ ( SAB ) AC || MN ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ ( BMN ) ⊥ ( SAB ) theo giao tuyến BN Ta có: AC || ( BMN ) ⇒ d ( AC , BM ) = d ( AC , ( BMN ) ) = d ( A, ( BMN ) ) = AK với K hình chiếu A BN NA MC 2 32 3 (đvdt) = = ⇒ S ABN = S SAB = = SA SC 3 2 AN = SA = File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 126 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2S BN = AN + AB − AN AB.cos 600 = ⇒ AK = ABN = BN Vậy d ( AC , BM ) = Hình học 12 3 = 21 7 21 (đvđd) Chọn đáp án A Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC tam giác vuông, AB = BC = 1, AA ' = M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM; B'C A d = B d = C d = D d = 7 Hướng dẫn giải: Gọi E trung điểm BB' Khi ( AME ) / / B ' C nên ta có: d( B , ( AME ) ) = d( B ' C , ( AME ) ) = d ( B ' C ; AM ) Ta có: d( B ;( AME ) ) = h Tứ diện BEAM có cạnh BE, BM, BA đơi vng góc nên tốn quen thuộc 1 1 ⇔ = + + =7⇒ h= 2 h BE BA BM Chọn đáp án A Câu 16: Cho lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A lên mặt phẳng ( A1 B1C1 ) thuộc đường thẳng B1C1 Khoảng cách hai đường thẳng AA1 BC1 theo a là: 2a a a A B C Hướng dẫn giải: Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H góc AA1 D 4a ( A1B1C1 ) theo giả thiết góc AA1H 300 Xét tam giác vng AHA1 có a AA1 = a, AA1H = 300 ⇒ AH = a Xét AHA1 có AA1 = a góc AA1H = 300 ⇒ A1H = a Do A1B1C1 cạnh a, H thuộc B1C1 A1H = Suy A1H vng góc B1C1, AH ⊥ B1C1 nên B1C1 ⊥ ( AA1H ) HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có AA1.HK = A1H AH ⇒ HK = A1H AH a = AA1 Chọn đáp án A File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 127 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Góc CA ' mặt ( AA ' B ' B) 30° Gọi d(AI’,AC) khoảng cách A ' I AC, kết tính d(AI’,AC) theo a với I trung điểm AB a 210 a 210 2a 210 3a 210 A B C D 70 35 35 35 Hướng dẫn giải: CI ⊥ AB  ⇒ CI ⊥ ( AA ' B ' B) Ta có : CI ⊥ AA ' ( AA ' ⊥ ( ABC )) Trong ( AA ' B ' B) : AB ∩ AA ' = A { }  Suy góc CA’ ( AA ' B ' B) góc · ' I = 30° CA’ IA’ góc CA Do A ' I = IC 3a AB a = ; với IC = = · 'I 2 tan CA 9a a − =a 4 Kẻ Ix P AC Khi d ( AC , A ' I ) = d ( AC ,( A ' I , Ix)) = d ( A,( A ' I , Ix)) Kẻ AE ⊥ Ix E AF ⊥ A ' E F Ta chứng minh được: d ( A,( A ' I , Ix) ) = AF Suy ra: AA ' = A ' I − AI = a a Ta có: AE = AI sin ·AIE = sin 60° = 1 1 16 35 a 210 = + = + = ⇒ AF = 2 AF A' A AE 2a 3a 6a 35 a 210 Vậy: d ( AC , A ' I ) = AF = 35 Chọn đáp án B Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm thuộc SC cho MC=2MS Biết AB=3, BC= 3 Khoảng cách hai đường thẳng AC BM là: 21 21 21 21 B C D 14 28 Hướng dẫn giải: Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA N => AC / / MN => AC / / ( BMN ) AC ⊥ AB, AC ⊥ SH => AC ⊥ ( SAB),AC/ / MN => MN ⊥ (SAB) => ( BMN ) ⊥ ( SAB ) theo giao tuyến BN Ta có: AC / /( BMN ) => d ( AC; BM ) = d ( AC;( BMN )) = d ( A;( BMN )) = AK với hình chiếu A BN NA MC 2 32 3 (đvdt) AN = SA = = = => S ABN = S SAB = = SA SC 3 A File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 128 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BN = 2S AN + AB − AN AB.c os600 = => AK = ABN = BN Vậy d(AC,BM)= Hình học 12 3 = 21 7 21 Chọn đáp án A Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60o Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C) a3 a a3 3a A VB ' ABC = B VB ' ABC = ;d = ;d = 8 3 a a a a C VB'ABC = D VB'ABC = ;d = ;d = 4 Hướng dẫn giải: Theo đề kiện ta dễ dàng tính thể tích khối lăng trụ tam giác ban đầu, từ suy thể tích khối tứ diện AB’BC Để tính khoảng cách từ B đến (AB’C) thực chất tìm chiều cao tứ diện, đến toán giải quý độc giả tìm diện tích tam giác AB’C Vì đề cho kiện ((A’BC), (ABC))=60o, nên ta xác định góc cách gọi H trung điểm BC Tam giác ABC nên AH ⊥ BC (1) A’A ⊥ (ABC) ⟹A’A ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ⟹BC ⊥ A’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60o 3a ⟹A’A = AH.tan 60o= Khi 3a a 3a 3 VABC A ' B ' C ' = A ' A.S ABC = = a Và VB ' ABC = V = lúc ta loại C D Dễ thấy diện tích tam giác AB’C B’AC cân B’ có a 13  3a  B 'A = B 'C = a +  ÷ = ; AC = a  2 Dễ tính chiều cao kẻ từ B’ tam giác có độ dài a 3VBABC 3a a2 ⇒ SACB' = ⇒ d(B;(AB'C)) = = SAB'C Chọn đáp án B · Câu 20: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, ACB = 120o Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300 Gọi M trung điểm BB’ Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM CC’ theo a A a 21 B a File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 129 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C a D a Hình học 12 Hướng dẫn giải: + Kẻ đường cao CH tam giác ABC Có CH ⊥ AB ;CH ⊥ AA’ suy CH ⊥ (ABB’A’),Do góc · 'H = 300 A’C mp(ABB’A’) góc CA a2 + Ta có S ∆ABC = CA.CB.sin1200 = 2 Trong tam giác ABC : AB = AC + BC − AC.BC.cos1200 = a A ⇒ AB = a + S∆ABC = a H a2 3 = AB.CH ⇒ CH = a 2 1200 2a B + Vậy : d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C; (ABB’A’))=CH= a C M 300 Chọn đáp án D C/ A/ B/ Câu 21: Cho lăng trụ ABC A’B’C’ mặt hình vuông cạnh a Gọi D trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng A’B’ DC’ theo a a a a a A B C D 4 Hướng dẫn giải: Có cách để tiếp cận tốn hình học khơng gian thơng thường kẻ thêm hình tọa độ hóa Ở tốn này, phương pháp tọa độ có nhiều ưu điểm hẳn Gọi D ' trung điểm B ' C ' ta có DD '; DC ; DA đơi vng góc với Ghép hệ tọa độ hình vẽ với D gốc tọa độ  a  a   a  ; Ta có D(0;0;0), B  − ;0;0 ÷, C '  ;0; a ÷, A '  0; ÷   2    Gọi ( α ) mặt phẳng qua DC ' ( α ) / / A ' B suy phương trình ( α ) : x − z = − ⇒ d ( A ' B, DC ') = d ( B,(α )) = a a = Chọn đáp án C File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 130 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 GĨC A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT ¶ b ) = ( a· ', b ') a//a', b//b' ⇒ ( a, 1) Góc hai đường thẳng: Chú ý: 00 ≤ ( a,¶ b ) ≤ 900 2) Góc đường thẳng với mặt phẳng: · (P) ) = 900 • Nếu d ⊥ (P) ( d, · (P) ) = ( d, · d ') với d′ hình chiếu d (P) • Nếu d ⊥ (P) ( d, Chú ý: 00 ≤ ( d,· (P) ) ≤ 900 a ⊥ (P) · ) = ( a,¶ b ) ⇒ ( (P),(Q)  b ⊥ (Q)  a ⊂ (P), a ⊥ c · (Q) ) = ( a, ¶ b) • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng  ⇒ ( (P), b ⊂ (Q), b ⊥ c 2) Góc hai mặt phẳng Chú ý: · (Q) ) ≤ 900 00 ≤ ( (P), 3) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′ ) (H) (Q), ϕ · (Q) ) Khi đó: = ( (P), S′ = S.cosϕ B – BÀI TẬP Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi E, F trung điểm BC AD, biết EF = a Góc hai đường thẳng AB CD : A 600 B 450 C 300 D 900 Hướng dẫn giải: (· ) (· Gọi M trung điểm BD, AB,CD = MF , ME ) Áp dụng định lý cosin tam giác EMF tính · cosEMF =- · Þ EMF = 1200 Þ (·AB,CD) = 600 Chọn đáp án A Câu 2: Cho hình chóp S.ABC Người ta tăng cạnh đáy lên gấp lần Để thể tích giữ ngun tan góc tạo cạnh bên mặt đáy phải giảm số lần : A B C D Hướng dẫn giải: Gọi S đỉnh hìnhchóp, O làtrọng tâm tam giác ABC; α góc tạo cạnh bên vàmp(ABC) Chứng minh thể tích khối chóp V = a tan α 12 File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 131 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi cạnh bên tăng lên lần thể tích V = tan α ' = Hình học 12 (2a )3 tan α ' Để thể tích giữ ngun 12 tan α , tức tan góc tạo cạnh bên mặt đáy phải giảm lần Chọn đáp án A Câu 3: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi cơsin góc mặt bên mặt đáy là: A 30O B C 60O D Hướng dẫn giải: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi cơsin góc mặt bên mặt đáy là: · =ϕ Ta có ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = SIH a HI = = Khi đó: cos ϕ = SI a 3 Chọn đáp án D Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vng C có AB = 2a, · CAB = 300 Gọi H hình chiếu vng A SC Tính theo a thể tích khối chóp H.ABC Tính cơ-sin góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) 7 7 B C D 14 14 Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu vng góc A lên SB Ta có AH ⊥ SC,AH ⊥ CB(Do CB ⊥ (SAC)) => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SB · Lại có: SB ⊥ AK => SB ⊥ (AHK) Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) HKA A 1 1 a.2 = 2+ = 2+ = => AH = 2 AH SA AC 4a 3a 12a 1 1 1 = 2+ = + = => AK = a 2 AK SA AB 4a 4a 2a Tam giác HKA vuông H (vì AH ⊥ (SBC),(SBC) ⊃ HK) a.2 AH 7 = => cos HKA · · sin HKA = = = AK a Chọn đáp án A File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 132 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) H trung điểm AB, SH = HC , SA = AB Gọi α góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giá trị tan α là: A B C D 2 3 Hướng dẫn giải: a Ta có AH = AB = , SA = AB = a , 2 a SH = HC = BH + BC = Có 5a SA2 + AH = = AH ⇒ ∆SAH ⇒ SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) AC = hc ( SC ; ( ABCD ) ) Ta có: ( SC ; ( ABCD ) ) = SCA, tan SCA = Chọn đáp án A Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB cân S nằm a 15 mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích hình chóp S.ABCD Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy (ABCD) là: A 300 B 450 C 600 D 1200 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB Ta có a 15 a 15 S ABCD = a ,VS ABCD = SH a = ⇒ SH = a2 a = · , HC = SCH · = SC HC = AC + AH = a + · , ( ABCD ) ) ( ( SC · tan SCH = SH : CH = ) a 15 a · : = a ⇒ SCH = 60 2 Chọn đáp án C Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy (ABCD) Gọi H trung điểm AB, SH = HC , SA = AB Gọi α góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giá trị tan α là: A B C D 2 3 Hướng dẫn giải: a Ta có AH = AB = 2 SA = AB = a File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 133 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a SH = HC = BH + BC = Có AH + SA2 = Hình học 12 5a = SH  → ∆SAH vuông A nên SA ⊥ AB · , ( ABCD ) = SCA · Do SA ⊥ ( ABCD ) nên SC · = Trong tam giác vng SAC, có tan SCA SA = AC Chọn đáp án A Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, có SA vng góc với (ABC), a3 tam giác SBC cân S Để thể tích khối chóp S.ABC góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) là: A 600 B 300 C 450 D Đáp án khác Hướng dẫn giải: Do tam giác SBC cân S nên gọi I trung điểm BC SI ⊥ BC ; AI ⊥ BC ⇒ SIA = ( ( SBC ) ; ( ABC ) ) Do đáy ABC tam giác nên 2a S ABC = 2a = a Thể tích khối chóp tính 2 3a a3 3a 3 ⇔ SA = V = SA.S ABC = ⇔ SA = 2 2 a Khi tan SIA = SA 3a 2a 3 = : = ⇒ SIA = atc tan AI 2 2 Chọn đáp án D Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc (BA’C) (DA’C) A 300 B 1200 C 600 D 900 Hướng dẫn giải: Kẻ BH ⊥ A ' C ( 1)  BD ⊥ AC ⇒ AA ' ⊥ BD Mặt khác, ta có   AA ' ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ ( ACA ') ⇒ BD ⊥ A ' C ( 2) Từ (1), (2) suy A ' C ⊥ ( BDH ) ⇒ A ' C ⊥ DH · · ; HD Do ( ( BA ' C ) , ( DA ' C ) ) = HB ( Xét tam giác vuông BCA ' có: 1 = + ⇒ BH = DH = 2 BH BC BA2 ) a File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 134 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A · Ta có cos BHD = Hình học 12 BH − BD · = − ⇒ BHD = 1200 Vậy góc cần tìm 600 2 BH Chọn đáp án C Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy tam giác cân với AB = AC = a, góc ·ABC = 1200 , cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I)? 3 B cosα= C cosα= D cosα = 10 10 Hướng dẫn giải: Ta có: BC = a Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I: 13 Suy AI = a , AB’ = 2a , B’I = a 2 Do AI2 + AB’2 = B’I2 Vậy tam giác AB’I vuông A 10 S AB' I = AI AB ' = a , S ABC = a 4 Gọi α góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB’I 10 3 Suy : S AB' I cos α = S ABC ⇔ cos α = ⇔ cos α = 4 10 Chọn đáp án B Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có ABC tam giác vuông, AB = BC = 1, AA ' = M trung điểm cạnh BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B'C là: A d = B d = C d = D d = 7 Hướng dẫn giải: Gọi E trung điểm BB' Khi ( AME ) / / B ' C nên ta có: A cosα = Gọi E trung điểm BB’ d ( B ' C ; AM ) = d ( B 'C ;( AME )) = d ( B ';( AME )) = d ( B;( AME )) Ta có: d ( B;( AME )) = h Tứ diện BEAM có cạnh BE, BM, BA đơi vng góc nên tốn quen thuộc Ta có 1 1 = + + =7⇒h= 2 2 h BE BA BM Chọn đáp án A B' C' A' E B M C A File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 135 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, đáy tam giác ABC vuông cân B, AB = a Biết góc tạo SC (ABC) 450 Khoảng cách từ SB đến SC bằng: a a a A B a C D 2 Hướng dẫn giải: Hướng dẫn: Gọi H trung điểm AC Tính AC = HC = 2a;BH = AC = a ( ) · = 450 ⇒ SH = a CM SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SC , ( ABC ) = SCH  tam giác SHB vuông cân H ⇒ SB = a Trong (SHB): Dựng HI ⊥ SB I (1) CM AC ⊥ ( SHB ) ⇒ AC ⊥ HI H (2) a Từ (1) (2) ⇒ d ( SB, AC ) = HI = SB = 2 Chọn đáp án C Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB; Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Góc hai đường thẳng SB AC có giá trị gần với giá trị sau đây: A 60 B 80 C 70 D 90 Hướng dẫn giải: uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC = a 5; SB = a 7; SB AC = ( SH HB ) AC = HB AC = AH AC = 2a uur uuur | SB AC | cosϕ= = => ϕ = 700 SB AC 35 Chọn đáp án C Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh 4a Lấy H, K AB, AD cho BH=3HA, AK=3KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) H lấy S cho góc SBH = 30o Gọi E giao điểm CH BK Tính cosin góc SE BC 18 36 28 A B C D 39 39 39 39 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 136 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Ta có: uur uuur uur uuur SE.BC cos( SE; BC ) = SE.BC uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r SE.BC = ( SH + HE ).BC = HE.BC = HC.BC = CH CB 25 25 9 CB 144a 2 · = CH CB.cos HCB = CH CB = CB = 25 25 CH 25 25 Ta chứng minh HK ⊥ CH E HE HE.HC HB 9 9a = = = => HE = HC = HB + BC = 2 HC HC HB + BC 25 25 25 uur uuur 144a 81a 2a 39 18 SE = SH + HE = 3a + = => cos( SE ; BC ) = = 25 25 2a 39.4a 39 Chọn đáp án A Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm đáy O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600 , cosin góc MN mặt phẳng (SBD) : 10 A B C D 5 Hướng dẫn giải: Gọi P trung điểm AO; Q giao điểm MC SO, từ Q kẽ tia song song với MN mp(MBC) cắt BC R, mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD S · MP//SO nên MP ⊥ ( ABCD ) , suy MNP = 600 3a Ta tính PN cách vẽ thêm hình phụ bên, theo định lí Ta-lét PT = AB = 4 a a 10 Dễ thấy TN = , theo định lý Pytago ta tính PN = 4 NP a 10 = Tam giác MPN vng P có MN = · cosMNP File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 137 Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 CQ = MC QR CQ CR 2 a 10 Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy = = = ⇒ QR = MN = MN MC NC 3 a Hình vng ABCD cạnh a có đường chéo AC = a ⇒ OC = SR BR 2 a Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy = = ⇒ SR = OC = OC BC 3 CA ⊥ ( SBD ) , SR / /CA ⇒ SR ⊥ ( SBD ) , mặt khác QR//MN góc MN với (SBD) góc QR với (SBD) góc SQR SR a a 10 · = = : = Tam giác SQR vuông S có cosSQR QR 3 Chọn đáp án C Dễ thấy Q trọng tâm tam giác SAC nên File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 138 ... hình sau Mệnh đề sau sai : A Khối đa diện A khối đa diện B Cả khối đa diện A, B, C, D khối đa diện lồi C Khối đa diện C khối đa diện lồi D Khối đa diện B khối đa diện lồi Khối đa diện A có đỉnh... theo thứ tự gọi khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt Năm khối đa diện Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt Khối mười hai mặt Khối hai mươi... mệnh đề đúng? A Khối đa diện khối đa diện có tất cạnh B Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác C Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh D Có vơ số khối đa diện lồi khơng có số cạnh