Chuyên đề mặt TRÒN XOAY đặng việt đông file word

Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 MỤC LỤC Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 HÌNH NĨN - KHỐI NĨN A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 1) Mặt nón tròn xoay + Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d, Δ cắt O chúng tạo thành góc β với < β < 900 Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β khơng thay đổi gọi mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1) + Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay mặt nón Đường thẳng Δ gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2β gọi góc đỉnh 2) Hình nón tròn xoay + Cho ΔOIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón tròn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2) + Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM đáy hình nón 3) Cơng thức diện tích thể tích hình nón Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r đường sinh ℓ có: + Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l + Diện tích đáy (hình tròn): Str=π.r2 + Diện tích tồn phần hình tròn: S = Str + Sxq 3 + Thể tích khối nón: Vnón = Str.h = π.r2.h 4) Tính chất: Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh→Thiết diện tam giác cân + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vng góc với trục hình nón→giao tuyến đường tròn + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến nhánh hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến đường parabol Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 B – BÀI TẬP Câu 1: Hình ABCD quay quanh BC tạo ra: A Một hình trụ B Một hình nón C Một hình nón cụt D Hai hình nón Hướng dẫn giải: Gọi O giao điểm BC AD Khi quay hình ABCD quanh BC tức tam giác vuông OBA quanh OB tam giác vng OCD quanh OC Mỗi hình quay tạo hình nón nên hình tạo tạo hình nón Chọn đáp án D Câu 2: Cho tam giác ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Diện tích xung quanh hình nón : πa πa 2 πa 2πa B C D A Hướng dẫn giải: a πa r = ; l = a; S xq = πrl = 2 nên Chọn đáp án C h = 20cm r = 25cm Câu 3: Một hình nón có đường cao , bán kính đáy Tính diện tích xung quanh hình nón đó: 5π 41 25π 41 75π 41 125π 41 A B C D Hướng dẫn giải: l = h + r = 41 cm Đường sinh hình nón S xq = πrl = 125π 41 cm Diện tích xung quanh: Chọn đáp án D Câu 4: Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC có cạnh a, biết B, C thuộc đường tròn đáy Thể tích khối nón là: 3a 3π 3πa a 3π a3π 24 B C D A Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 Hướng dẫn giải: a Bán kính đáy khối nón , chiều cao khối nón  a  a πa3 V = π ÷ = 2 24 , Chọn đáp án C a , suy Câu 5: Gọi S diện tích xung quanh hình nón tròn xoay sinh đoạn thẳng AC’ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b quay xung quang trục AA’ Diện tích S là: πb πb πb πb 2 B C D A Hướng dẫn giải: π π S = rl với r = b ;l=b S = b2 nên Chọn đáp án D SC = a Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón tròn xoay Thể tích khối nón tròn xoay là: 4πa a 3π πa 3 πa 3 6 A B C D Hướng dẫn giải: AC = a ⇒ SA = SC − AC = 6a − 2a = 2a Ta có Hình nón tròn xoay tạo thành hình nón tích là: 1 4π a V = π R h = π AC SA = π 2a 2a = 3 3 Chọn đáp án A Câu 7: Một hình nón có đường sinh a góc đỉnh 60 900 Cắt hình nón mặt phẳng (P) qua đỉnh cho góc (P) mặt đáy hình nón Khi diện tích thiết diện : π 2a π 2π 3π a a a 3 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi S đỉnh hình nón,O tâm đường tròn đáy; I trung điểm AB , Góc tạo mp thiết diện đáy góc SIO Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Suy luận OA=OS= 2a Std = π a 2 Hình học 12 a ; SI= ; OI= a 6 a ; AI= 2a ; AB= ; Chọn đáp án A Câu 8: Cho tứ diện ABCD Khi quay tứ diện quanh trục AB có hình nón khác tạo thành ? A Một B Hai C Ba D Khơng có hình nón Hướng dẫn giải: Khi quay ta bên cạnh, hình tạo thành từ hai hình nón Chọn đáp án B Câu 9: Cho hình nón có chiều cao h góc đỉnh 900 Thể tích khối nón xác định hình nón trên: πh 2πh 6πh 2πh3 3 A B C D Hướng dẫn giải: Do góc đỉnh hình nón 900 nên thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân Suy R=h bán kính đáy hình nón πh3 V = πR h = 3 Thể tích khối nón : Chọn đáp án A Câu 10: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình SAO = 300 SAB = 600 nón cho khoảng cách từ O đến AB ; Tính diện tích xung quanh hình nón ? 3π 4π 2π 3π A B C D Hướng dẫn giải: OI ⊥ AB; SI ⊥ AB; OI = Gọi I trung điểm AB Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Lại có Hình học 12   AO = SA.cos SAO = SA  SA  AI = SA.cos SAI =  AI = AO Từ ta có Mặt khác AI = cos IAO ⇒ sin IAO = = ⇒ OA = AO OA SA = OA = =2 cos30 Mà S xq = π.OA.SA = 4π Diện tích xung quanh cần tính là: Chọn đáp án A Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc nón đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp ABCD là: πa 3 πa πa 12 12 A B C Hướng dẫn giải: => SA = a; Tam giác SAB 2a a 2 2 SO = SA − AO = a − = ; ∠SAB = 600 D Thể tích hình πa 3 a 2 a 2 a a3 ⇒ V = π( ) =π 2 12 R = AO = Chọn đáp án B ABCD.A’B’C’D’ Câu 12: Cho hình lập phương có cạnh a Một hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình nón là: πa πa 2 πa πa A B C D Hướng dẫn giải: Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 a a + ( a)2 = 2 Hướng dẫn: Độ dài đường sinh bằng: πrl = π a a πa = 2 Diện tích xung quanh hình nón bằng: Chọn đáp án C a 10 2a Câu 13: Trong không gian, cho tam giác ABC cân A, AB = , BC = Gọi H trung điểm BC V Tính thể tích hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH V = 2πa V = 3πa3 V = 9πa V = πa B C D A Hướng dẫn giải: l = AB = a 10 + Đường sinh BC r= =a h = l − r = 3a ⇒ + Bán kính đáy đường cao V = πhr = πa 3 + Thể tích hình nón tạo thành Chọn đáp án D Câu 14: Cho hình tròn có bán kính Cắt bỏ tròn bán kính OA, OB, ghép bán kính lại cho thành hình nón (như hình vẽ) Thể tích khối nón tương ứng : 81π B 9π hình C 81π A Hướng dẫn giải: Trang D 9π Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 12π 81π r= = ;h = l2 − r2 = ;V = πr h = 2π 2 nên Chọn đáp án A Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình nón là: πa πa 2 πa πa 2 B C D A Hướng dẫn giải: πa a a π 2 S = rl với r = ;l= S = nên Chọn đáp án C Câu 16: Một hình nón cắt mặt phẳng (P) song song với đáy Mặt phẳng chia với mặt xung quanh hình nón thành hai phần có diện tích Tỉ số thể tích hình nón phía mặt phẳng (P) hình nón cho trước số nào? 1 8 B C D A Hướng dẫn giải: Gọi O tâm đáy, mặt phẳng (P) cắt SO O’ S' S'  SO '  = = = ÷ S S '+ S '  SO  Theo đề SO ' V '  SO '  ⇒ = ⇒ = = ÷ = SO V  SO  2 Chọn đáp án C OA = OB = a, OC = a OC ⊥ ( OAB ) Câu 17: Cho tứ diện OABC có OAB tam giác vng cân Xét hình nón tròn xoay đỉnh C, đáy đường tròn tâm O, bán kính a Hãy chọn câu sai A Đường sinh hình nón B Khoảng cách từ O đến thiết diện (ABC) C Thiết diện (ABC) tam giác D Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc 450 Hướng dẫn giải: AB = a Tam giác OAB vuông cân O nên a 3a a ∆OAC : AC = OA2 + OC = a + = AC = AB ≠ AC 2 , Vì : Chọn đáp án C Câu 18: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh là: Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan S xq = πa S xq = Hình học 12 πa 2 S xq = A B Hướng dẫn giải: SO ⊥ ( ABC ) ; SH ⊥ BC ⇒ OH ⊥ BC Kẻ 2 a a OA = AH = = 3 3 Ta có: a S xq = π.OA.SA = π .a C πa 3 S xq = D πa πa Sxq = B Chọn đáp án C r = 5cm Câu 19: Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm bán kính đáy Khi thể tích khối nón là: 325 V= π cm3 V = 100 π cm3 V = 300π cm3 V = 20π cm3 A B C D Hướng dẫn giải: h = 132 − 52 = 12cm Chiều cao h khối nón V = π.52.12 = 100π cm 3 Thể tích khối nón: Chọn đáp án A Câu 20: Một phễu rỗng phần có kích thước hình vẽ Diện tích xung quanh phễu là: S xq = 360π cm S xq = 424π cm A B S xq = 296π cm S xq = 960π cm C D Hướng dẫn giải: S xq = 2.π.8.10 + π.8.17 = 296π cm Chọn đáp án C Trang 10 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 Hướng dẫn giải: * Gọi G tâm tam giác ABC, qua G kẻ đường thẳng d || A ' H cắt AA' E * Gọi F trung điểm AA', mặt phẳng (AA'H) kẻ đường thẳng trung trực AA' cắt (d) I => I tâm mặt R = IA cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bán kính a EF = AA ' = 6 Ta có: Góc AEI 60 , IF = EF tan 600 = a R = AF + FI = a 3 Chọn đáp án C a Câu 37: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh , BD = 3a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) trung điểm A’C’ biết cơsin góc tạo 21 hai mặt phẳng (ABCD) (CDD’C’) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ 3a 3a  a a A B C D Hướng dẫn giải: a BO = = A 'C ' 2 Vì nên tam giác A’BC’ vuông B B ' D ' ⊥ ( A ' BC ') Vì nên B’D’ trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’ Gọi G tâm tam giác A’C’D’ Khi GA’ = GC’ = GD’ GA’ = GB =GC’ nên G tâm mặt cầu ngoại ti ếp tứ diên A’BC’D’ m ặt 2 3a OD ' = = a 3 cầu có bán kính R = GD’= Chọn đáp án A Trang 68 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Câu 38: Cho hình chóp S ABCD Hình học 12 có đáy ABCD SA = ( α) 2, hình vng cạnh cạnh bên SA vng góc SC SB SC A với mặt phẳng đáy Mặt phẳng qua vng góc với cắt cạnh , , SD N V CMNP M P điểm , , Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện 32π 64 2π 108π 125π V= V= V= V= 3 A B C D Hướng dẫn giải: CB ⊥ ( SAD ) , AM ⊂ ( SAB ) ⇒ AM ⊥ CB ( 1) Ta có: ( α ) ⊥ SC , AM ⊂ ( α ) ⇒ AM ⊥ SC ( ) ( 1) , ( ) ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM Từ Chứng minh tương tự ta có ⊥ MC ⇒ ·AMC = 90° ·APC = 90° S N P M D A B C Có ·AMC = ·APC = APC · = 90° ⇒ mặt cầu đường kính r= Bán kính cầu Thể tích khối cầu: Chọn đáp án A AC AN ⊥ SC ⇒ ·ANC = 90° mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AC =2 32π V = πr = 3 Trang 69 Ta có: CMNP Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 Câu 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A, BC = a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp S ABC hình chóp πa πa πa3 21 7πa3 21 54 54 54 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB,G trọng tâm tam giác SAB=>G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB ABC => O Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm CB mp ( ABC ) => d / / SH Qua O dựng đường thẳng d vng góc với IA = IB = IC = ID = R Qua G dựng đường thẳng vng góc với mp(SAB) cắt d I,ta có: =>R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 1 a a a a 21 SH = = IO + OB = 3 6 Ta có: IO=GH= ,OB= , R=IB= πa 21 πR = 54 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp : V= Chọn đáp án D Câu 40: Cho hình vng ABCD cạnh 4a Trên cạnh AB AD lấy hai điểm H K cho AK = 3KD BH = 3HA Trên đường thẳng (d) vng góc (ABCD) H lấy điểm S cho · SBH = 30 Gọi E giao điểm CH BK Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SAHEK 54a 13 52a 13 52a 12 a 13 3 3 A B C D K D S Hướng dẫn giải: A Ta có: H + AD ⊥ AB AD ⊥ SH nên AD ⊥ SA ⇒ ∠ SAK = 90 E + SH ⊥ HK nên ∠ SHK = 900 M + CH ⊥ BK BK ⊥ SH nên BK ⊥ B C (SKE) ⇒ ∠ SEK = 900 A D Vậy SAHEK nội tiếp mặt cầu có K H đường kính SK E Theo giả thiết ta có: BH = 3a; HA = B C KD = A a; AK = 3a a ∆ SHB vuông H có ∠ SBH = 300 nên SH = BH.tan300 = Trang 70 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 Ta có SK2 = SH2 + HK2 = 3a2 + 10a2 = 13a2 ⇒ SH = 4π 4π 52πa 13 Vmc = R = (a 13)3 = 3 Vậy Chọn đáp án C a 13 SA = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) Câu 41: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Kẻ AH SD vng góc với SB AK vng góc với Mặt phẳng (AHK) cắt SC E Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK πa 4πa 8πa πa 3 3 A B C D Hướng dẫn giải: Đây tốn quen thuộc giải hình khơng gian 12, luyện tập nhi ều vẽ xong hình nhận ln AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK Tuy nhiên tơi trình bày để q độc gi ả hi ểu rõ h ơn Để xác định khối cầu ngoại tiếp đa giác, ta tìm đường thẳng mà đỉnh đa diện nhìn đường thẳng góc vng Ở ta xác định đường AC, nên tơi xin cách chứng minh nh sau: Ta nhận thấy B, D nhìn AC góc 900 AD a3 a SD = a 5, KD = = = SD a 5 Dễ tính , SC = SA2 + AC = a Do đề cho độ dài cạnh rõ ràng nên ta dùng AKC = 900 định lý Pytago để chứng minh 1 2a + = ⇒ AK = ( 1) SA2 AD AK Ta có D SC = SD + CD ⇒ Ta có tam giác SCD vng Khi tam giác 2KDC vng D a KC = CD + KD = AK + KC = AC AKC = 900 AHC = 900 Ta có Vậy Chứng minh tương tự Đến ta kết luận AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK a 4 AC = a ⇒ OA = V = π.OA3 = π.a = πa 3 2 Mà , Chọn đáp án A Trang 71 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc v ới SA = a mặt đáy ABCD Gọi E trung điểm CD Mặt cầu qua bốn điểm S, A, B, E có điện Smc tích 41πa 25πa 41πa 25πa S mc = S mc = S mc = Smc = 16 16 A B C D Hướng dẫn giải: để tính Smc ta phải xác định bán kính Muốn xác định bán kính trước hết tìm tâm mặt cầu Bài giải: tâm mặt cầu qua diểm A,B,E,S giao điểm đường trung trực SA đườg thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE Gọi I trung điểm AB M trung điểm AE Từ xác định tâm ngoại tiếp ABE điểm K, IK=3/8a Qua K kẻ Kx//SA Trung trực SA cắt Kx N N tâm hình cầu NAlàbánkinh R= 41 NA = NK + KA2 = SA2 + KA2 = SA2 + AI + KI = (a )2 + (a / 2)2 + (1a / 2)2 = a 64 Vậy Smc=4πR2=C Chọn đáp án C I R, Câu 43: Trong hình nội tiếp mặt cầu tâm bán kính hình hộp tích lớn bằng: 8 R R R 8R 3 3 3 A B C D Hướng dẫn giải: ABCD A′B′C ′D′ Hình vẽ bên minh họa hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R Vì tính đối xứng nên hình hộp nội tiếp khối cầu ln hình hộp chữ nhật Do đặt ba kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c V = abc Khi thể tích hình hộp chữ nhật Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có Trang 72 I B Hình học 12 B’ C D A C’ A’ Trường THPT Phùng Khắc Khoan D’ a + b + c ≥ 3 abc 3 ⇔ V = ( abc )   a + b + c 2   a + b + c   ( R )  64 R 2 ≤  ⇔V ≤ ÷ = ÷ =  ÷÷  ÷ ÷ 3 27        64 R 8R3 ⇒V ≤ = 27 3 Chọn đáp án B Câu 44: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác Tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón là: A B C D Hướng dẫn giải: Giả sử đường sinh hình nón có độ dài a Gọi G trọng tâm tam giác thiết diện, G cách đỉnh cạnh tam giác thiết diện, nên G tâm khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón, suy bán kính R, r khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón a a , V1 V2 Gọi , thể tích khối cầu ngoại tiếp khối cầu nội tiếp khối nón Vậy V1 R = =8 V2 r Chọn đáp án A Trang 73 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 V1 V2 Câu 45: Có hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp bóng đá Tính tỉ số , V1 tổng tích bóng đá, V2 thể tích hộp đựng bóng Biết đường tròn lớn bóng nội tiếp mặt hình vng hộp V1 π V1 π V1 π V1 π = = = = V2 V2 V2 V2 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi R bán kính mặt cầu, cạnh hình lập phương 2R Ta V2 = R Thể tích hình lập phương , thể tích bóng V1 = 4πR V π ⇒ = V2 Chọn đáp án B Câu 46: Một khối cầu nội tiếp hình lập phương có đường 3cm chéo Thể tích khối cầu là: 256π V= V = 64 3π A B 32π V= V = 16 3π C D Hướng dẫn giải: Cho đỉnh A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ hình vẽ gọi M, N tâm hình vng ABB’A’ ADD’C’ Gọi a độ dài cạnh hình lập phương Ta có A ' C = AA '2 + AC = AA '2 + AB + AD = 3a = 3.42 ⇒ a = 16 ⇒ a = MN = BC = a = ⇒ bán kính khối cầu 32π V = π.23 = 3 R=2 Thể tích khối cầu Chọn đáp án C Trang 74 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 S ( O, R ) Câu 47: Khi cắt mặt cầu mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình tròn l ớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt c ầu M ột hình tr ụ gọi n ội ti ếp n ửa m ặt c ầu S ( O, R ) đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy h R =1 r giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết , tính bán kính đáy chiều cao S ( O, R ) hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu để khối trụ tích lớn 6 6 r= ,h= r= ,h= r= ,h= r= , h= 2 2 3 3 A B C D Hướng dẫn giải: Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h + r = R ( < h ≤ R = 1) ⇒ r = − h O’ A’ R h V = πr 2h = π(1 − h ) h = f (h) Thể tích khối trụ là: O ⇒ f '(h) = π(1 − 3h ) = ⇔ h = r A h 3 f'(h) + − 2π f(h) MaxV = ( ;1] 2π Vậy: Chọn đáp án C r= (đvtt) h= 3 Câu 48: Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình tròn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Trang 75 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 S1 S2 Gọi S1 tổng diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số bằng: A B C D Hướng dẫn giải: Gọi R bán kính bóng S1 = 3.4πR S = 4π.R Diện tích bóng , suy Chiều cao hộp hình h = 3.2r trụ lần đường kính bóng bàn nên S1 =1 S2 = 2πR.3.2 R S2 Suy Do Chọn đáp án A a Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B AB = BC = , góc · · SAB = SCB = 90 a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 2πa 8πa 16πa 12πa B C D A Gọi H trung điểm SB Do tam giác SAB vuông A, HA = HB = HS = HC SBC vuông C suy Suy H tâm mặt cầu Gọi I hình chiếu H lên (ABC) IA = IB = IC Do HA=HB=HC, suy Suy I trung điểm AC Gọi P trung điểm BC, tam giác ABC vuông cân, suy IP ⊥ BC ⇒ ( IHP ) ⊥ BC , dựng IK ⊥ HP ⇒ IK ⊥ ( HBC ) d ( A, ( SBC ) ) = a ⇒ d ( I , ( SBC ) ) = Áp dụng hệ thức a a ⇒ IK = 2 1 = + ⇒ IH = a 2 IK IH IP 2  a  3a AH = AI + IH =  + = 3a ÷ ÷   Suy 2 , suy Trang 76 Trường THPT Phùng Khắc Khoan R=a , suy Chọn đáp án D Hình học 12 S = 4πR = 12πa Câu 50: Cho hình lăng trụ tam giác có chín cạnh hình lăng trụ πa 21 7πa 3 πa 54 54 54 A B C Hướng dẫn giải: 2 a 21 a  a  R =  ÷ + = ÷ 2  3 Ta có Chọn đáp án A Suy Câu 51: Cho hình chóp S.ABC có SA = a Thể tích khối cầu ngoại tiếp D πa 21 18 πa 21 V = πR = 54 a a , AB = a , AC = , SA vng góc với đáy đường a trung tuyến AM tam giác ABC Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu (S) là: V = π 6a V = π2 3a V = π2 a V = π 2a A B C D Hướng dẫn giải: ⇒ S ABC = a Từ cơng thức tính độ dài trung tuyến ta suy được: BC = a BA AC BC r= =a 4.S ABC Gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC ta có: V = π 6.a ⇒ Thể tích khối cầu  SA  R=  ÷ +r =   a Chọn đáp án A A, AB = AC = a Câu 52: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC πa πa 21πa 21πa 54 54 54 A B C D Hướng dẫn giải: Trang 77 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 SAB => G Gọi H trung điểm AB, G trọng tâm tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB ABC => O Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm CB mp ( ABC ) => d / / SH Qua O dựng đường thẳng d vng góc với IA = IB = IC = ID = R Qua G dựng đường thẳng vng góc với mp(SAB) cắt d I, ta có: => R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a 1 a a IO = GH = SH = = OB = 3 Ta có: , a 21 R = IB = IO + OB = πa 21 πR = 54 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp : V= Chọn đáp án D Câu 53: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện có bán kính là: a a a a 12 A B C D Hướng dẫn giải: BCD E CD Gọi H tâm tam giác trung điểm Ta có AH Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện có bán kính là: AH ⊥ ( BCD ) Gọi I, r tâm bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện ABCD I ∆AEB giao AH phân giác góc AEB Ta có AE = BE = AH = a BE a ; HE = = AE − HE = a Áp dụng tính chất đường phân giác: Trang 78 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 IH EH IH EH = ⇒ = IA EA IH + IA EH + EA EH AH a ⇒ r = IH = = EH + EA 12 Chọn đáp án A Câu 54: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc v ới mặt phẳng (ABCD) 300 góc đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) Gọi M trung điểm SA, (P) mặt phẳng qua M vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt cạnh SB, SC, SD N, E, F Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF a a a a A B C D Hướng dẫn giải: MN ⊥ SE   ⇒ MN ⊥ ( SNE ) ⇒ MN ⊥ SN MN ⊥ NE  MF ⊥ SF Tương tự Từ đó, SNM, SEM SFM tam giác vuông nhận SM cạnh huyền chung Suy gọi I trung điểm SM I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF bán kính mặt cầu a R = SM = Chọn đáp án B SA = a Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, Đáy ABCD hình thang AB = BC = AD = a AD vuông A B, Gọi E trung điểm Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD 19 a 30 a R=a R= R= R=a 6 A B C D Hướng dẫn giải: Phân tích: Để tính bán kính mặt cầu khối chóp mà hình dạng khơng có đặc biệt phương pháp chung là: - Xác định đường cao khối chóp SH Xác định K tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy - Dựng trục đường tròn đáy: Là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy vng góc với đáy (đường thẳng song song với đường cao khối chóp) - Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt trục đường tròn điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Trang 79 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 (Thông thường ta xác định tâm I theo cách kẻ IE vng góc với SA1 SA1 tai trung điểm E R = IA12 = IK + KA12 ( 1) ) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo cơng thức sau: 2 SA SA R = + IE = + KF + ( IK − EF ) ( ) 4 với K hình chiếu E lên đáy Quay lại với tốn trên, ta làm theo cách: cách dựng cách lại dùng phương pháp tọa độ hóa  Cách 1: Trình bày theo phương pháp hình học khơng gian AC = CD = a 2, SC = SA2 + AC = 2a Trước tiên ta tính tốn số liệu toán: Gọi K trung điểm cạnh CD Dựng trục đường tròn đáy đường thẳng qua K song song với SA (chiều cao hình chóp) Gọi E trung điểm SC, qua E kẻ đường thẳng vng góc với SC cắt trục đường tròn đáy I Ta có I tâm mặt cầu hình chóp ngoại tiếp S.CDE EF ⊥ ( ABCD ) EF / / SA Kẻ suy Theo công thức nói ta có:  a 6 SC SC 2 2 ⇒ R = a +  IK − + a ÷ R = IE + = KF + ( IK − EF ) + ÷   4 2  a 6 a2 2 2 ⇒ R = a +  IK − + a ÷ R = IK + KD = IK + ÷   2 2 4a ⇒ R =  4a  +  a ÷ = a 19  ÷ IK =    ÷  Từ phương trình ta có  Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa O≡A Trong mặt phẳng không gian cho hệ tọa độ Oxyz với , tia AD trùng với tia Oy, tia AB trùng với tia Ox, tia AS trùng với tia Oz A ( 0;0;0 ) , AB = a ⇒ B ( a;0;0 ) AD = 2a ⇒ D ( 0;2a;0 ) , AS = a ⇒ S 0;0; a Khi ta có: BC = a ⇒ C ( a; a;0 ) , ( E ( 0; a;0 ) ) , Vì E trung điểm AD nên Khi tốn trở thành viết phương trình mặt cầu qua điểm S,E,D,C biết t ọa độ c a =1 chúng Để không phức tạp tính tốn em nên cho tọa độ điểm E ( 0;1;0 ) , C ( 1;1;0 ) , D ( 0;2;0 ) , S 0;0; ( ) x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = Phương trình mặt cầu qua điểm có dạng: (với 2 d =a +b +c −R ) Lần lượt thay tọa độ điểm S,D,E,C vào phương trình ta có hệ phương trình sau: Trang 80 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Hình học 12 −1  a =   + 2b + d =    b = −3  + 6c + d =  ⇒   + 4b + d =  −2  + 2a + 2b + d = c =  19  2  d = ⇒ R = a + b + c − d = Chọn đáp án D Câu 56: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R=10 đặt khung hình hộp chữ nhật (như hình vẽ) Trong chậu chứa sẵn khối nước hình chỏm cẩu có chiều cao h=2 Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại m ặt n ước dâng lên v ừa ph ủ kín viên bi (như hình vẽ) Cho biết cơng thức tính thể tích khối chỏm cầu hình cầu (O;R) có h  = πh  R − ÷ 3  chiều cao h là: Vchỏm , bán kính viên bi: r≈ r ≈ 1,5 r≈ r ≈1 A B C D Hướng dẫn giải: Phân tích: Ta tích phần nước dâng lên thể tích viên bi ném vào Do ta có: h  V1 = πh  R − ÷ 3  Thể tích nước ban đầu: ; Khi thể tích nước sau ném viên bi vào thể tích h  V2 = V1 + πr = πh  R − ÷ + πr (1) 3  “Bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi” 2r   V2 = π.(2r )  R − ÷   Do thể tích sau kh bỏ viên bi vào tính cơng thức: (2) Trang 81 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Từ (1) (2) ta có phương trình: h  ⇔ 4r − Rr + h  R − ÷ 3  =0 Hình học 12 h 2r    πh  R − ÷+ πr = 4πr  R − ÷ 3 3    r ≈ 1.019450 Khi thay giá trị mà đề cho vào phương trình bấm máy tính gi ải ta đ ược (chọn A) Bấm máy tính ta thấy có nghiệm, nhiên việc bán kính viên bi xấp x ỉ ≈ 9.90486 chậu nước điều vơ lí ( ) Chọn đáp án A Trang 82 ... 1) Mặt trụ tròn xoay + Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ ℓ song song nhau, cách khoảng r Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ đường thẳng ℓ sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt. .. Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh→Thiết diện tam giác cân + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón Nếu cắt mặt nón tròn. .. 4) Tính chất: + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính r) mp(α) vng góc với trục Δ ta đường tròn có tâm Δ có bán kính r với r bán kính mặt trụ + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính r) mp(α)