Một số bài toán số học tổ hợp Một số bài toán số học tổ hợp Một số bài toán số học tổ hợp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thanh Nhã MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC - TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH HÀ HUY KHOÁI HÀ NỘI, NĂM 2013 Mục lục Lời mở đầu Lời cảm ơn Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng 1.1.2 Quy tắc nhân 1.1.3 Hoán vị 1.1.4 Chỉnh hợp 1.1.5 Tổ hợp 1.1.6 Nguyên lý bù trừ 1.1.7 Nguyên lý Dirichlet 1.1.8 Khai triển nhị thức Newton 1.2 Kiến thức số học 1.2.1 Tính chia hết 1.2.2 Biểu diễn số 1.2.3 Số nguyên tố 1.2.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ 1.2.5 Thuật toán Euclid 1.2.6 Đồng dư 1.2.7 Đồng dư tuyến tính 1.2.8 Thặng dư 1.2.9 Một số định lý quan trọng Một số toán Số học - Tổ hợp 2.1 Tính chất số học 2.1.1 Tính chia hết 2.1.2 Biểu diễn số 2.1.3 Thuật toán Euclid số chung lớn 2.2 Bài toán chia kẹo Euler 2.3 Bất biến 2.4 Cực trị tập hợp rời rạc 2.5 Số phức - Tổ hợp toán liên quan đến ước 6 6 7 8 8 9 9 11 11 12 12 13 14 14 14 30 37 47 53 61 75 Một số tốn trị chơi Kết luận Tài liệu tham khảo 86 96 97 Lời mở đầu Tốn rời rạc đóng vai trị quan trọng tốn học có nội dung phong phú có nhiều ứng dụng đời sống thực tiễn Trong kì thi đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, toán tổ hợp xuất nhiều thường có nội dung khó Nhìn chung, việc phân loại tốn số học, đại số, giải tích, hình học tương đối rõ ràng việc phân loại tốn tổ hợp mơ hồ Chính đa dạng nên việc giảng dạy học tập chúng vấn đề khó khăn Hơn nữa, chương trình tốn phổ thơng, tài liệu tham khảo lĩnh vực tổ hợp ít, nên luận văn nhằm góp phần kiến thức nhỏ bé để hổ trợ cho việc học tập giảng dạy, bổ sung thêm tài liệu tham khảo tổ hợp Luận văn nhằm mục tiNhư vậy, số nguyên dương nhỏ N , số số thuộc N N N N hai dãy + Do γ, δ số vô tỷ nên , ∈ / Z Từ ta có γ δ γ δ N N N −1< < , γ γ γ N N N −1< < , δ δ δ suy N N N + γ δ −2=N −2< N N + b c − a > b − a = l − k nên theo tính chất (5) c > l a > k ; ta giảm đồng thời a, b đại lượng a − k = b − l đến vị trí (k, l) ∈ R Như vậy, để giải toán ta cần tìm tập hợp vị trí thỏa mãn tính chất từ (1) đến (5) Tập hợp ta gặp toán Thật vậy, xuất phát từ điểm (0, 0) ta xây dựng dãy an , bn , n ≥ quy nạp sau: Giả sử có (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) , , (an , bn ) Khi ta lấy an+1 số nguyên dương nhỏ chưa xuất dãy an , bn trước đó, đồng thời lấy bn+1 = an+1 + n + Dễ dàng chứng minh rằng, tập R = {(0, 0) , (an , bn ) , (bn , an ) , n = 1, 2, } tập hợp thỏa mãn điều kiện từ (1) đến (5), tập hợp vị trí thắng Vậy tập hợp cần tìm √ √ √ √ 1+ 3+ 3+ 1+ (0, 0) , n , n , n , n ,n ∈ N 2 2 96 Kết luận Đóng góp luận văn: • Tìm hiểu trình bày lại số kiến thức số học tổ hợp • Trình bày tốn tổ hợp mà lời giải yêu cầu việc sử dụng tính chất số học Hơn nữa, chúng tơi chia tốn thuộc loại theo chủ đề bao gồm: tính chất số học, toán chia kẹo Euler, bất biến, cực trị tập hợp rời rạc số phức • Trình bày số tốn trị chơi giới thiệu số toán liên quan đến "tỉ số vàng" 97 Tài liệu tham khảo [1] Hà Huy Khoái, 2005, Số học, NXB Giáo Dục Việt Nam [2] Hà Huy Khoái, 2012, Một số toán Số học - Tổ hợp, Bồi dưỡng giáo viên [3] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng, 2008, Chuyên đề chọn lọc "TỔ HỢP TOÁN RỜI RẠC", NXB Giáo Dục [4] ThS Nguyễn Văn Nho, 2002, Tuyển tập toán từ thi Trung Quốc, NXB Giáo Dục [5] ThS Nguyễn Văn Nho, 2004, Olympic toán học châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo Dục [6] PGS.TS.Vũ Dương Thụy - ThS Nguyễn Văn Nho, 2003, 40 năm Olympic toán học quốc tế 1959-2000, NXB Giáo Dục [7] Tủ sách toán học tuổi trẻ, 2007, Các toán thi Olympic tốn trung học phổ thơng Việt Nam 1990-2006, NXB Giáo Dục [8] Tạp chí tốn học tuổi trẻ [9] Tài liệu từ Internet ... 1.2.9 Một số định lý quan trọng Một số tốn Số học - Tổ hợp 2.1 Tính chất số học 2.1.1 Tính chia hết 2.1.2 Biểu diễn số 2.1.3 Thuật toán Euclid số. ..bày số tốn trị chơi giới thiệu số tốn liên quan đến "tỉ số vàng" 97 Tài liệu tham khảo [1] Hà Huy Khoái, 2005, Số học, NXB Giáo Dục Việt Nam [2] Hà Huy Khoái, 2012, Một số toán Số học - Tổ hợp, ... đời sống thực tiễn Trong kì thi đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, toán tổ hợp xuất nhiều thường có nội dung khó Nhìn chung, việc phân loại toán số học, đại số, giải tích, hình học