Bài tập trắc nghiệm khối đa diện mặt nón mặt trụ và mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy .... Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy ...[r]

MỤC LỤC

CHƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN 2

BÀI KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 2

A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẰM

B CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRẮC NGHIỆM

BÀI KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 9

A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM

B CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 11

BÀI KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 13

A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM 13

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM 13

VẤN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 13

Dạng Khối chóp có cạnh bên vng góc đáy 13

Dạng Khối chóp có hình chiếu đỉnh lên mặt phẳng đáy 17

Dạng Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy 21

Dạng Khối chóp 24

Dạng Tỉ lệ thể tích 26

VẤN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 28

Dạng Khối lăng trụ đứng 29

Dạng Khối lăng trụ 33

Dạng Khối lăng trụ xiên 33

CHƯƠNG MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU 41

BÀI KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY 41

A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM 41

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIAI TOÁN TRẮC NGHIỆM 42

VẤN ĐỀ MẶT NĨN, HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN 42

VẤN ĐỀ MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ 47

BÀI MẶT CẦU 51

A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM 51

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM 52

Dạng Hình chóp có đỉnh nhìn hai đỉnh cịn lại góc vng 52

Dạng Hình chóp có cạnh bên 52

Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy 53

Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy 53

CHƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN

BÀI KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẰM

I KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP

Quan sát khối rubic hình 1.1, ta thấy mặt ngồi tạo thành hình lập phương Khi ta nói khối rubic có hình dáng khối lập phương Như xem khối lập phương phần khơng gian giới hạn hình lập phương, kể hình lập phương

Tương tự, khối lăng trụ phần không gian giới hạn hình lăng trụ, kể hình lăng trụấy, khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp ấy, khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt

Tên khối lăng trụ hay khối chóp đặt theo tên hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn Chẳng hạn ứng với hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ ta có khối lăng trụ lục giác ABCDEF.A’B’C’D’E’F’, ứng với hình chóp tứ giác S.ABCD ta có khối chóp tứ giác

S.ABCD

II KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1 Khái niệm hình đa diện

Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng hình khơng gian tạo số hữu hạn đa giác Các đa giác có tính chất

a) Hai đa giác phân biệt khơng giao nhau, có đỉnh chung, có cạnh chung.

C' D'

B' E'

E

A

B

C D

A'

B

A

E

b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi một mặt hình đa diện (H) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện (H).

Người ta gọi hình hình đa diện

Nói cách tổng quát: Hình đa diện (gọi tắt đa diện) (H) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất trên Mỗi đa giác thếđược gọi mặt đa diện Các đỉnh cạnh đa giác theo thứ tựđược gọi đỉnh, cạnh đa diện

2.Khái niệm khối đa diện

Khối đa diện phần không gian giới hạn bới một hình đa diện (H), kể hình đa diện

Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm ngoài khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện gọi điểm trong khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi

miền khối đa diện

Mỗi đa diện (H) chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao nhau: miền miền ngồi (H) Trong có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng d Khối đa diện (H) hợp hình đa diện (H) miền

Ví dụ 1: Các hình hình đa diện

Ví dụ 2: Các hình khơng hình đa diện Điểm trong

Điểm ngoài d

C' D'

B' E'

E

A

B

C D

A'

N

II HAI HÌNH BẲNG NHAU 1 Phép dời hình khơng gian và khối đa diện.

x Trong không gian quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ xác định gọi là một phép biến hình khơng gian.

x Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý.

Nhận xét:

x Thực liên tiếp phép dời hình sẽđược phép dời hình

x Phép dời hình biến đa diện thành H đa diện H' , biến đỉnh, cạnh, mặt đa diện H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng đa diện H'

a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector vv phép biến hình biến điểm M thành M’ cho MM' v

MM' v .

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M khơng thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) mặt phẳng chung trực MM’

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng (H)

c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng (H)

M'

O

M

P

M1 M

d) Phép đối xứng qua đường thẳng d phép biến hình điểm thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ cho d trung trực MM’ Phép đối xứng qua đường thẳng d gọi phép đối xứng qua trục d

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành d gọi trục đối xứng (H)

Nhận xét:

x Thực liên tiếp phép dời hình ta phép dời hình

x Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’) biến đỉnh, cạnh, mặt (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H’)

2 Hai hình nhau

Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Nhận xét

x Hai đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện

x Hai tứ diện có cạnh tương ứng

III PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện H , H1 2 , cho H1 H2 khơng có điểm chung ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện H1 H2 , hay lắp ghép hai khối đa diện H1 H2 với đểđược khối đa diện (H)

d

M' O

Ví dụ. Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương theo thiết diện hình chữ nhật BDD’B’ Thiết diện chia điểm lại khối lập phương làm hai phần Mỗi phần với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành khối lăng trụ, có hai khối lăng trụ: ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’ Khi ta nói mặt phẳng (P) chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’

Tương tự ta chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ AA’B’D’

Nhận xét: Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện

B CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Về phía ngồi khối lăng trụ ta ghép thêm khối lăng trụ tam giác với khối lăng trụđã cho, cho hai khối lăng trụ có chung mặt bên Hỏi khối đa diện lập thành có cạnh?

A. 9 B 12 C 15. D 18

Câu 2: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Về phía ngồi khối chóp ta ghép thêm khối chóp tứ diện có cạnh a, cho mặt khối tứ diện trùng với mặt khối chóp cho Hỏi khối đa diện lập thành có mặt?

A. B C. D.

Câu 3: Tứ diện có mặt phẳng đối xứng

A. B. C. D.

Câu 4: Hình lập phương có mặt phẳng đối xứng ?

A. B. C. D.

Câu 5: Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện là:

A. B. C. D.

Câu 6: Trong không gian cho hai vectơ uu vv Với M điểm bất kỳ, ta gọi M1 ảnh M qua phép TTTuu M2 ảnh M1 qua phép TTTvv , Khi phép biến hình biến điểm M thànhđểm

2

M là:

A.Phép tịnh tiến theo vectơ u vu v B.Phép tịnh tiến theo vectơ uu

A.Khơng có B.1 C. D.Vơ số

Câu 8: Trong không gian cho hai đường thẳng a b song song với Có phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b?

A.Khơng có B.1 C. D.Vơ số

Câu Trong không gian cho (P) (Q) hai mặt phẳng song song Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

A.Khơng có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

B.Có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

C.Có hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

D.Có vơ số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

Câu 10: Trong không gian cho hai tam giác ABC A’B’C’ ( AB A'B';AC A'C'; BC B'C' ) Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

A.Không thể thực phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

B.Tồn phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

C.Có nhiều hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

D.Có thể thực vơ số phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi I, J trung điểm cạnh AD, BC Phép tịnh tiến theo vectơ u 1AD

2 1

u 1AD biến tam giác A'I J thành tam giác

A.C’CD

B.CD’P với P trung điểm B’C’

C.KDC với K trung điểm A’D’

D.DC’D’

Câu 12: Cho hai mặt phẳng D E song song với Với M điểm bất kỳ, ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng ÑD M2 ảnh M1 qua phép đối xứng ĐE Phép biến hình Ñ ÑE ÑÑDD Biến điểm M thành M2

A.Một phép biến hình khác B.Phép đồng

C.Phép tịnh tiến D.Phép đối xứng qua mặt phẳng

Câu 13. Trong khơng gian tam giác có mặt phẳng đối xứng?

A. B. C. D.

Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có kích thước a, b, c a b c Hình hộp chữ nhật có mặt đối xứng

A. B. C. D.

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc với (ABCD) Hình chóp có mặt đối xứng nào?

A.Khơng có B. SAB C. SAC D. SAD

Câu 16. Trong không gian cho hai điểm I J phân biệt Với điểm M ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng tâm DI, M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm DJ Khi hợp thành

A.Phép đối xứng qua mặt phẳng B.Phép tịnh tiến

C.Phép đối xứng tâm D.Phép đồng

Câu 17. Trong hình đây, hình khơng có tâm đối xứng

A.Hình hộp B.Hình lăng trụ tứ giác

C.Hình lập phương D.Tứ diện

Câu 18 Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng

A. B. C. D.

Câu 19 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tâm O (tâm đối xứng) Ảnh đoạn thẳng A’B qua phép đối xứng tâm DO đoạn thẳng

A. DC' B. CD' C. DB' D. AC'

Câu 20 Trong không gian cho hai đường thẳng song song a b Với điểm M ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng tâm Da, M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm Db Khi hợp thành DaR Db biến điểm M thành điểm M2

A.Phép đối xứng trục B.Phép đối xứng qua mặt phẳng

C.Phép đối xứng tâm D.Phép tịnh tiến

Câu 21 Trong không gian cho hai hai mặt phẳng D E vng góc với Với điểm M ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng tâm DD, M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm

DE Khi hợp thành Đ ĐE ĐĐDD biến điểm M thành điểm M2

A.Phép tịnh tiến B.Phép đối xứng qua mặt phẳng

C.Phép đối xứng tâm D.Phép đối xứng trục

Câu 22 Tứ diện có trục đối xứng

A.Khơng có B.1 C. D. Câu 23. Hình chóp tứ giác có trục đối xứng?

A.Khơng có B.1 C. D. Câu 24. Hình vng có trục đối xứng?

A. B. C. D.

Câu 25. Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau

A. Nếu hình H có trục đối xứng có tâm đối xứng

B.Nếu hình H có mặt đối xứng có trục đối xứng

C.Nếu hình H có mặt đối xứng có trục đối xứng có tâm đối xứng

BÀI KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM

1.KHỐI ĐA DIỆN LỒI

Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện giới hạn (H) gọi đa diện lồi (Hình 2.1).

Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác, khối hộp, khối tứ diện khối đa diện lồi

Lưu ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt (Hình 2.2)

Cơng thức ƠLE: Trong đa diện lồi gọi Đ sốđỉnh, C số cạnh, M số mặt Đ-C+M=2 II KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Quan sát khối tư diện (Hình 2.2.1), ta thấy mặt tam giác đều, đỉnh đỉnh chung ba mặt Đối với khối lập phương (Hình 2.2.2), ta thấy mặt

hình vng, đỉnh đỉnh chung ba mặt Những khối đa diện nói gọi khối đa diện

Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh.

b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt.

Khối đa diện gọi khối đa diện loiaj {p;q}.

Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác

Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó khối đa diện loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, loại {3,5}

Hình 2.1

B

C

C'

A

B' A'

A

S

C

D E

B

Hình 2.2.2 Hình 2.2.1

B C D

C' A

B

C

D

A

B' A'

Tùy theo số mặt chúng, năm loại khối đa diện kể theo theo thứ tựđược gọi khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt

Năm khối đa diện

Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt

đều

Khối mười hai mặt đều

Khối hai mươi mặt đều

Nhận xét:

x Hai khối đa diện có số mặt có cạnh x Hai khối đa diện có số mặt đồng dạng với

Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện

Khối đa diện Sốđỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q}

Kứ diện {3, 3}

Khối Lập Phương 12 {4, 3}

Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4}

Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}

Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5}

Ta lưu ý thêm hai kết sau

B CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu Trong khối đa diện đây, khối có số cạnh số lẻ?

A. Khối chóp; B. Khối tứ diện;

C. Khối hộp; D.Khối lăng trụ

Câu 2. Trong khối đa diện đây, khối có số mặt số chẵn?

A.Khối lăng trụ; B.Khối chóp;

C.Khối chóp cụt; D.Khối đa diện

Câu Tìm mệnh đềsai trong mệnh đề sau:

A. Khối tứ diện có cạnh B.Khối lập phương có 12 cạnh

C. Số cạnh khối chóp chẵn D. Khối mặt có cạnh

Câu Trong khối đa diện lồi với mặt tam giác, gọi C số cạnh M số mặt hệ thức sau đúng?

A. 2M 3C B. 3M 2C C. 3M 5C D. 2M C

Câu Trong khối đa diện lồi mà đỉnh chung ba cạnh, gọi C số cạnh Đ số mặt hệ thức sau đúng?

A. 3Đ=2C B.3Đ=C C.4Đ=3C D.C=2Đ

Câu Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, mặt Vậy khối đa diện có cạnh?

A. 12 B.15 C.18 D. 20

Câu Khối 12 mặt {mỗi mặt ngũ giác đều} có cạnh?

A. 16 B.18 C. 20 D. 30

Câu Khối 20 mặt {mỗi mặt tam giác đều} có cạnh?

A. 16 B.18 C. 20 D. 30

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A.Sốđỉnh số mặt hình đa diện ln nhau;

B.Tồn hình đa diện có sốđỉnh số mặt nhau;

C.Tồn hình đa diện có số cạnh sốđỉnh

D.Tơn hình đa diện có số cạnh số mặt

Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số cạnh hình đa diện

A. Lớn B. lớn

C. lớn D. lớn

Câu 11 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số đỉnh, mặt hình đa diện ln

A. Lớn B. lớn

C. lớn D. lớn

Câu 12. Cho đa diện (H) có tất mặt tam giác Khẳng định sau đúng?

A.Tổng mặt (H) số chẵn

B.Tổng mặt (H) gấp đối tổng sốđỉnh (H)

Câu 13. Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đơi sốđỉnh

A. Khối 20 mặt B. Khối lập phương

C. Khối bát diện D. Khối 12 mặt

Câu 14. Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có sốđỉnh số mặt

A. Khối 12 mặt B. Khối lập phương

C. Khối bát diện D. Khối tứ diện

Câu 15. Cho đa diện (H) có tất mặt tứ giác Khẳng định sau đúng?

A.Tổng số cạnh (H) tổng số mặt (H)

B.Tổng mặt (H) tổng số đỉnh (H)

C.Tổng số cạnh (H) số chẵn

D.Tổng số mặt (H) số lẻ

Câu 16. Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung cạnh?

A. B. C. D.

Câu 17 Cho khối đa diện Khẳng định sau sai

A.Sốđỉnh khối lập phương

B.Số mặt khối tứ diện

C.Khối bát diện loại {4;3}

D.Số cạnh bát diện 12

Câu 18. Cho khối chóp có đáy n-giác Mệnh đề sau đúng?

A.Số mặt khối chóp 2n

B.Số cạnh khối chóp n+2

C.Sốđỉnh số mặt n+1

D.Sốđỉnh khối chóp 2n+1

Câu 19 Khối đa diện lồi có số mặt nhiều là:

A. 12 B. 30 C. D. 20

Câu 20 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A.Khối đa diện khối đa diện có tất cạnh

B.Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác

C.Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh

D.Có vơ số khối đa diện lồi khơng có số cạnh

Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A.Hình lập phương đa diện

B.Tứ diện đa diện lồi

C.Hình hộp đa diện lồi

BÀI KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM

I KHÁI NIỆM THỂ TÍCH VỀ KHỐI ĐA DIỆN

Người ta chứng minh rằng, đặt tương ứng cho khối đa diện (H) số dương H

V thỏa mãn tính chất sau

a) Nếu (H) khối lập phương có cạnh VH

b) Nếu hai khối đa diện H1 H2 VH1 VH2

c) Các khối đa diện (H) phân chia thành khối đa diện H1 H2 H H H

1

V V V

Số dương VH nói gọi thể tích khối đa diện (H) Sốđó gọi thể tích hình đa diện giới hạn khối đa diện (H)

Khối lập phương có cạnh gọi khối lập phương đơn vị Định lý

Thể tích khối hộp chữ nhật kích thước

II THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Định lý: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h V Bh

III THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

Định lý: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao hình V 1Bh

3

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

Dạng Khối chóp có cạnh bên vng góc đáy Một số ý giải tốn

ƒ Một hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy cạnh bên đường cao

ƒ Một hình chóp có hai mặt bên kề vng góc với đáy cạnh bên giao tuyến hai mặt vng góc với đáy

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 300 Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABC

A

a 13 V

2 B

3

a V

12 C

3

3a 13 V

2 D

3

5a 13 V

2

Câu Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA a Mặt đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

A

a

6 B

3

a

3 C

3

a

3 D

3

2a

Câu Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD hình vng với AC a

A. a 24 B. 3a 24 C. a D. 3a

Câu Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O, OB = a, OC = a 3, (a > 0) đường cao OA a Tính thể tích khối tứdiện theo a

A a V B a V C a V D. a V 12

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 600, cạnh SA vng góc với đáy SC tạo với đáy góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

A a V B a V C 2a V D a V

Câu Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thoi có cạnh a 3, BAD 1200 cạnh bên SA vng góc với đáy Biết mặt phẳng (SBC) đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABCD A a V B 3.a V C 9a V D. 3.a V

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B , AB 2a, BAC 600 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A. V a3 B V 3a3 C V 2a3 D V 4a3

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B có góc BAC 300 , SA a,

0

SCA 45 SAvng góc với đáy Thểtích khối chóp S.ABC V Tỉ số

3

V a

A. 13 B. 14 C. 24 D. 34

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữnhật có AB 2a,AD a Hai mặt phẳng

SAB SAD vng góc v ới đáy, góc hai mặt phẳng SAB SBD b ằng 450 Thể tích khối chóp S.ABCD V Tỉ số

3

V

a gần giá trị đây:

A. 0,25 B. 0,5 C. 0,75 D. 1,5

Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy AB = a, AC = 2a, BAC 1200 Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

A a 21 V 14 B. a 21 V 13 C. 2a 21 V 13 D. 3.a 21 V 14

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA A (ABCD), SB a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A. a 2 B. a C. a D. a

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 4a, SAA(ABCD),

A. V 20a3 B V 20a3 C V 30a3 D V 22a3

Câu 13. Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ABC AB 3a, BC 4a, AC 5a,AD 6a Thểtích khối tứ diện ABCDlà:

A. 6a3 B. 12a3 C. 18a3 D. 36a3

Câu 14. Cho tứ diện SABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , hai m ặt phẳng SAB và

SBC vng góc v ới nhau, SB a 3, BSC 45o,ASB 30o Thể tích tứ diện SABClà V Tỉsố

3

a V là:

A.

3 B.

8

3 C.

2

3 D.

4

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, cạnh bên SD vng góc với đáy, cho AB AD a,CD 3a,SA a Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A.

2a

3 B.

3

4a

3 C.

3

a

3 D.

3

2a

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt phẳng SAB

SAD vng góc v ới đáy, góc hai mặt phẳng SBC ABCD b ằng 300 Thể tích khối chóp S.ABCD V Tỉ số

3

3V a là:

A.

3

B. C.

2 D.

3

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB a, BC 3a Hai mặt phẳng SAB SAD vng góc v ới đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. a3 B. 2a3 C. 3a3 D. 3a3

Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B , AB a,ACB 600, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 450 Thể tích khối chóp S.ABC là:

A.

a

6 B.

3

a

18 C.

3

a

9 D.

3

a 12

Câu 19. Cho tứ diện ABCDcó ABClà tam giác cạnh a, AD vng góc với mặt phẳng ABC , góc BD mặt phẳng DAC 30 0 Thể tích khối tứ diện ABCD V Tỉ số

3

a V là:

A. B.3 C. D. 12

Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, cạnh BC a 2, cạnh bên

SA vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC t ạo với mặt đáy góc 450 Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A.

a

12 B.

3

a

24 C.

3

a

36 D.

3

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB 90 ,0 BSC 120 ,0 ASC 900 Thể tích khối chóp S.ABC là:

A.

a

2 B

3

a

6 C.

3

a

4 D.

3

a 12

Câu 22. Cho hình chóp SABC có tam giác SBCđều cạnh a , CA a Hai mặt ABC ASC vng góc với (SBC) Thể tích hình chóp

A.

3

a 3

12 B.

3

a 3

2 C.

3

a 3

4 D.

3

a 12

Câu 23. Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o Thểtích hình chóp

A.

3

a

24 B.

3

a 6

24 C.

3

a 6

12 D.

3

a 12

Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC SBC h ợp với ABC m ột góc 60o Thểtích hình chóp

A.

a

8 B.

3

a

4 C.

3

a

8 D.

3

3a

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên SCD hợp với đáy góc 60o Thểtích hình chóp S.ABCD là

A.

a

8 B.

3

a

3 C.

3

3a

8 D.

3

Dạng Khối chóp có hình chiếu đỉnh lên mặt phẳng đáy

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC a 3, H trung điểm cạnh AB Biết hai mặt phẳng (SHC) (SHD) vng góc với mặt đáy, đường thẳng

SD tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích của khối chóp a

A

a 13 V

2 B

3

a 13 V

3 C

3

3a 13 V

2 D.

3

5a 13 V

2

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, hình chiếu vng góc S trên mặt phẳng (ABC) trung điểm đoạn AB, góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A. V a3 B V a3 C V 2a3 D V 3.a3

Câu Cho hình chóp S.ABC có góc SC mặt đáy 450, đáy ABC tam giác vng tại A cóAB 2a, góc ABC 600 hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Tính theo a

thể tích khối chóp S.ABC A

3

2.a 39 V

3 B.

3

a 39 V

3 C.

3

2.a 37 V

3 D.

3

4.a 39 V

3

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B; AB = 2a, AC = 4a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABC) trung điểm H đoạn AC Góc cạnh bên SA

và mp(ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. V 3a3 B V a3 C V 4a3 D V 3a3

Câu Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a Trên cạnh AB

lấy điểm M cho AM a

2, cạnh AC cắt MD H Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH a Tính thểtích khối chóp S HCD

A

3

4a V

5 B

3

a V

15 C

3

4a V

15 D

3

2a V

15

Câu Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác vuông B, AB a 3, ACB 600, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC, gọi E trung điểm AC biết

SE a Tính thểtích khối chóp S.ABC

A

a 78 V

18 B

3

5a 78 V

18 C.

3

a 77 V

18 D.

3

7a 78 V

18

Câu 7. Cho ABCD hình vng cạnh 1, gọi M trung điểm AB Qua M kẻđường thẳng vng góc ABCD lấy điểm S cho SM

3 Gọi thể tích khối chóp S.ADCM, khối chóp S.BCM lần lượt là x, y Giá trị xy là:

A.

321 B.

3

132 C.

5

432 D.

7 412

A.

a

6 B

3

a

18 C.

3

a

9 D.

3

12 a

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bênSAB là tam giác đều, mặt bênSCD là tam giác vng cân S Thể tích khối chóp S ABCD V Tỉ số

3 a

V :

A. B. C. D.

Câu 10. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAC 600, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng SAC hợp với mặt phẳng ABCD góc 450 Thể tích khối chóp S ABCD bằng V Giá trị

3

6V a là:

A.

2 B.

1

6 C.

1

2 D.

2

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABCD trung điểm H AB Cạnh SC tạo với đáy góc 300. Thể tích khối chóp S.ABCD V tỉ số

3

V

a gần giá trị giá trị sau:

A. 0,5 B. C. 1,5 D.

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, AB a; AD a Hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H OA. Biết góc SC mặt phẳng (ABCD) 600 Thể tích khối chóp S.ABCD là

A. V 3a3

2 B.

3

3 V a

5 C.

3

1 V a

2 D.

3

3 V a

2

Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S

trên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AD cho HD = 2HA Biết góc SB mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD

A

a 30 V

27 B

3

a 30 V

7 C

3

a V

27 D

3

5a 30 V

27

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I,AB= 2a 3, BC = 2a.Chân đường cao

H hạ từđỉnh S xuống đáy trùng với trung điểm DI Cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A. V 12a3 B V 11a3 C V 10a3 D V 9a3

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vng góc đỉnh S

lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O hai đường chéo AC BD Biết SA a 2, AC 2a, SM a

2 , với Mlà trung điểm cạnh AB Tính theo athể tích khối chóp S.ABCD

A

a V

3 B

3

a V

3 C

3

2a V

3 D

3

a V

3

A. a V B. a V C. a V D. a V

Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB AC a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt đáy trung điểm H cạnh BC, mặt phẳng (SAB) tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

A a V 12 B a V C.

a 3 V 12 D. a V 12

Câu 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh

S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh BC cho HC = 2HB , góc SA với mặt đáy (ABC) 450 Tính theo athểtích khối chóp S.ABC

A. a 21 V 36 B 2a 21 V 36 C. a 21 V D a 21 V

Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,với AB = 2a, BD = a Hình chiếu vng góc S lên (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác tam giác BCD, góc tạo SC mặt đáy 600 Thể tích khối chóp S.ABCD

A. a V B 4a V C. 2a V D. 4a V

Câu 20 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A, cạnhAC a, AB 2a, SC a Chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng ABC trùng với trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A. a V B 4a V C. 2a V D. 4a V

Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB a, BC 2a Gọi H trung điểm cạnh AB, SH vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SA a

2 Tính thể tích hình chóp S.ABCD A. a V B 2a V C. 2a V 13 D. 2a V

Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD 3a

2 Hình chiếu vng góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạnAB Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABCD A. a V B. 2a V C. 2a V 13 D. 2a V

Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang vng A D Có AD DC a AB 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm AB góc tạo hai mặt phẳng ( SBC) (ABCD ) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD đã cho

A a V B 3a V C a V D 5a V

A.

a

4 B.

3

a

2 C.

3

3a

2 D.

3

Dạng Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy

Để xác định đường cao hình chóp ta vận dụng định lí sau ( ) ( )

( ) ( ) d

a ( ) a ( )

a d

½ D A E

°

D ˆ E ° Ÿ A E ¾

 D °

°

A ¿

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông BBA 3a, BC 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB 2a SBC 300 Tính thể tích khối chóp

S.ABC.

A. V a 33 B. V a3 C. V 3a 33 D. V 2a 33

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD

Thể tích khối chóp S ABCD

A.

a

3 B.

3

a

24 C.

3

a

D. a3

Câu Cho hình chóp A.BCD có ABC tam giácđều, BCD tam giác vuông cân D , (ABC)A (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o, AD a.Thểtích khối chóp A.BCD là

A.

a

9 B.

3

a

6 C.

3

a

9 D.

3

a 3

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp SABC

A.

a

12 B.

3

a

9 C.

3

a

12 D.

3

a 3

Câu 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) Tính thểtích khối chóp SABC

A.

a

9 B.

3

a

9 C.

3

a

24 D.

3

a 16

Câu 6. Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với biết AD = a Tính thể tích tứdiện

A.

a

9 B.

3

a

9 C.

3

a

36 D.

3

a 36

Câu Cho hình chóp S.ABC có BAC 90 ; ABC 30o o; SBC tam giác cạnh a (SBC) A (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC

A.

a

6 B.

3

a

16 C.

3

a

3 D.

3

a

A. 4a 15 B. a 15 C. 4a D. a

Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABC Bi ết AB a, BC a Tính thể tích khối chóp S.ABC A. a 6 B. a 12 C. a 12 D. a

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a, AD 2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A. a 17 B. a 17 C. a 17 D. a 17

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, góc cạnh SC mặt phẳng (ABCD) 600, cạnh AC a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A. a B. a C. a 3 D. a

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, hình chiếu vng góc S đường thẳng AB điểm H thuộc đoạn AB cho BH 2AH Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A. a 3 B. a C. a D. a

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC 2a, BD 4a, tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A. a 15 B. a 15 C. 2a 15 D. a 15

Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA 3a,BC 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB 2a SBC 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. a3 B. a3 C. 2a3 D. 2a3

Câu 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, AB a, AC 2a Mặt phẳng (SBC) vng góc với đáy, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

A. a 3 B. 2a C. a D. 4a

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SD a 2, SA SB a, mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a, SB a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN

A.

a

3 B.

3

a

3 C.

3

a

2 D.

3

a

Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAC cân S,

0

SBC 60 , mặt phẳng (SAC) vng góc với (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A.

a

8 B.

3

3a

8 C.

3

a

6 D.

3

a

Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SD, CD, BC Thể tích khối tứ diện CMNP

A.

7 B.

3

5 C.

2

3 D.

Dạng Khối chóp đều A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác cạnh bên

2 Kết quả: Trong hình chóp

x Đường cao hình chóp qua tâm đa giác đáy x Các cạnh bên tạo với đáy góc x Các mặt bên tạo với đáy góc

Chú ý:

™ Đề cho hình chóp tam giác (tứ giác đều) ta hiểu hình chóp

™ Hình chóp tam giác khác với hình chóp có đáy đa giác hình chóp tam giác thân có đáy tam giác cạnh bên nhau, nói cách khác, hình chóp tam giác suy hình chóp có đáy tam giác điều ngược lại không

™ Hình chóp tứ giác hình chóp có đáy hình vng

Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A.

3

5a V

12 B

3

a V

12 C

3

a V

12 D

3

a V

10

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD có diện tích 16cm2, diện tích một mặt bên 3cm Chi2 ều cao hình chóp S.ABCD là:

A.5 11cm B 4 11cm C 2 11cm D 3 11cm

Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC là:

A.

32 B.

3

32 C.

3

32 D.

9 16

Câu 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC, góc SG mặt phẳng SBC 300 Thể tích khối chóp S.ABClà:

A.

a

4 B.

3

a

8 C.

3

a

12 D.

3

a 24

Câu Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích chóp SABC

A.

a 11

12 B.

3

a 12

11 C.

3

a

12 D.

3

a 11

Câu Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ABCD

A.

a

12 B.

3

a

12 C.

3

a

6 D.

3

a

A. 8a B. a 3 C. 4a D. 2a

Câu Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh có độ dài a Tính thể tích khối chóp S.ABCD A. a B. a C. a D. a 12

Câu 9. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABC

A. a3 2

3 B.

3

a 2

6 C.

3

a 2

9 D.

3

a 2

12

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình chóp

A. 3a 32 B. 3a 13 C. 3a 23 D. a 32

Câu 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc60o Tính thể tích hình chóp S.ABC

A.a3 3

12 B. a 2 24 C. a 3 24 D. a 24

Câu 12. Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h , góc ởđỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp

A. 3h B. h C. 2h D. h 3

Câu 13. Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc30o Tính thề tích hình chóp A. a B. a 2 C. a 12 D. a

Câu 14. Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc60o Tính thề tích hình chóp

Dạng Tỉ lệ thể tích CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho Khi học sinh thực cách sau:

x Cách 1:

o Xác định đa giác đáy;

o Xác định đường cao (phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy);

o Tính thể tích khối chóp theo công thức x Cách 2:

o Xác định đa giác đáy;

o Tình tỷ sốđộ dài đường cao (nếu đa giác đáy) diện tích đáy (nếu đường cao) khối chóp “nhỏ” khối chóp cho kết luận thể tích khối cần tìm k lần thể tích khối cho

x Cách 3: Dùng tỷ số thể tích (Chỉ áp dụng cho khối chóp (tứ diện)) Hai khối chóp S.MNK S.ABC có

chung đỉnh S góc ởđỉnh S Ta có:

S.MNK S.ABC

V SM SN SK. .

V SA SB SC

Câu Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC a 2, SA vuông góc với đáy ABC , SA a Gọi G trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng D qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN

A.

2a

27 B.

3

a

27 C.

3

a

27 D.

3

a 27

Câu Cho tam giác ABC vuông cân A AB a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E Tính thể tích khối tứ diện CDEF

A.

a

12 B.

3

a

36 C.

3

a

12 D.

3

a 36

Câu Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng D qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng

A.

3 B.

3

8 C.

3

5 D.

5 S

A

B

C M

Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc

o

60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF

A.

a

12 B

3

a

6 C.

3

a

9 D.

3

a 18

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA a 2 Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

A.

2a

9 B.

3

2a

9 C.

3

a

9 D.

3

a

Câu Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, C’ trung điểm SB SD Mặt phẳng AB’D’cắt SC C’.Tính tỉ số thể tích hai khối chóp SAB’C’D’ SABCD

A.

2 B.

1

4 C.

1

6 D.

1

Câu 7. Cho khối chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi B’, D’lần lượt hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính

SAB’C

’D’

V a

A.

45 B.

8

45 C.

1

45 D.

16 45

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có SA SB a, SC 2a, 60o

ASB BSC , 90o

ASC Thể tích khối chóp S.ABC V

A.

3

2 3 a

B.

3

3 6 a

C.

3

2 6 a

D.

3

2 9 a

Câu 9. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy D thoả mãn cos =1

3

D Mặt phẳng P qua AC vng góc với mặt phẳng

SADchia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là:

A.1

9 B.

1

3 C.

1

5 D.

1

Câu 10. Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác

ABC, góc SG mặt phẳng SBC 300 Mặt phẳng P chứa BC vuông góc với SA chia khối chóp S ABC thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là:

A.

6 B.

1

7 C.

6

7 D.

VẤN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

1.Định nghĩa: Cho hai mặt song song ( )D ( ')D Trên ( )D ta lấy đa giác lồi A A A1 2 n, qua đỉnh ta dựng đường thẳng song song cắt ( ')D A ,A , ,A1' '2 'n

Hình bao gồm hai đa giác A A A ,A' A' A'1 2 n 1 2 n hình bình hành A A A A , 1 2 1' ' Được gọi hình lăng trụ Kí hiệu là: A A A A' A' A'1 2 n 1 2 n

Nhận xét:

x Các mặt bên hình lăng trụ song song với x Các mặt bên hình bình hành

x Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác

2 Hình lăng trụđứng - hình lăng trụđều, hình hộp chữ nhật hình lập phương

a) Hình lăng trụđứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ Lúc mặt bên hình lăng trụđứng hình chữ nhật

b) Hình lăng trụđều: là hình lăng trụđứng có đáy đa giác Các mặt bên lăng trụ hình chữ nhật Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác ta hiểu hình lăng trụđều

c) Hình hộp : Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành

d) Hình hộp đứng: là hình lăng trụđứng có đáy hình bình hành

e) Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật

f) Hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng gọi

hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước gọi hình lập phương)

Nhận xét:

x Hình hộp chữ nhật Ÿ hình lăng trụđứng (Có tất mặt hình chữ nhật x Hình lập phương Ÿ hình lăng trụđều (tất cạnh nhau)

x Hình hộp đứngŸ hình lăng trụđứng (mặt bên hình chữ nhật, mặt đáy hình bình hành)

3 Thể tích khối lăng trụ:

V B.h: Với B diện tích đáy h chiều cao 4 So sánh khối lăng trụđứng khối lăng trụđều:

D' D

A'3

A'4

A'2

A'5

A1

A5

A4

A3

A2

ĐỊNH NGHĨA: TÍNH CHẤT

x Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy

x Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật x Các mặt bên hình lăng trụ

đứng vng góc với mặt đáy x Chiều cao cạnh bên

x Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác

x Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật

x Chiều cao cạnh bên

Dạng Khối lăng trụđứng Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tích V.

Trong khối chóp đây, khối chóp tích 2V 3 là:

A. A.A'B'C' B. C'.ABC C. A'.BCC'B' D. I.ABB'A'

Câu 2. Cho hình hộp đứng có cạnh AB 3a;AD 2a;AA' 2a hình vẽ Thể tích khối A’.ACD’ là:

A. a3 B. 2a3

C. 3a3 D. 6a3

Câu 3. Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có AC 3a,BC a,ACB 1500, đường thẳng B'C tạo với mặt phẳng ABB'A' góc Dthỏa mãn sin 1

4

D Thể tích khối lăng trụABC.A’B’C’ là:

A.

3 a 105

28 B.

3 a 105

14 C.

3 a 339

14 D.

3 a 339

28

Câu 4. Khối lập phương có độ dài đường chéo d thể tích khối lập phương là:

A. V d3 ; B. 3d3 ; C. 3d3 ;

D

3 d 3 V

9

Câu 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB AC a, BAC 1200 Mặt phẳng AB'C' tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’

A. 8 a ;3

3 B.

3 3 a ;

8 C

3 a ;

8 D. 83 a ;3

Câu 6. Cho lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A, BC a, AA' a 5

cosBA'C

6 Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’

I

B' C'

A'

C B

A

3 a 6

4 B

3 a 3

4 C

3 3a 6

4 D

3 3a 3

4

Câu Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, a 2 2

BAD 45 , AA'

2

Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’

A

3

a 2

B

3

a 2

C

3

a 2 1 4

D

3

a 2 1 2

Câu 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết AB 3cm, BC' 2cm Thể tích khối lăng trụđã cho

A 27 cm3 B 27

2 cm3 C

27

4 cm3 D

27 8 cm3

Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, BC b, AA' c Gọi M N theo thứ tự trung điểm A’B’ B’C’ Tính tỉ số thể tích khối chóp D’.DMN thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

A 1

2 B

1

5 C

1

8 D

1 4

Câu 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy ABC tam giác cân A, AB AC a, BAC D Gọi M trung điểm AA’, tam giác C’MB vng Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

A. a sin cos3 D D B. a cos sin3 D D C. a cot sin3 D D D. a tan cos3 D D

Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông B, AB a, BC 2a, AA' 3a Mặt phẳng D qua A vng góc với CA’ cắt đoạn thẳng CC’ BB’ M N Diện tích tam giác AMN

A

2 a 14

6 B

2 a 14

3 C

2 a 14

9 D

2 a 14

7

Câu 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, AB a, AD a 3, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD) a

2 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

A

3 a 2

8 B

3 3a 2

2 C

3 3a 2

4 D

3 3a 2

8

Câu 13 Cho lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A AB a, AC a 3, mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy góc 300 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

A

3 a 3

4 B

3 2a 3

3 C

3 3a 2

7 D

3 3a 2

7

A

3 a 6

3 B

3 a 6

8 C

3 a 6

6 D

3 a 6

4

Câu 15. Đáy lăng trụđứng tam giác ABC.A'B'C' tam giác ABC vng cân A có cạnh

BC a biết A'B 3a Tính thể tích khối lăng trụ

A. a 23

B

3 a 6

8 C

3 a 6

6 D

3 a 6

4

Câu 16. Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' tam giác cạnh a biết diện tích tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ

A.

B 8 3

3

C. 8 3 D

Câu 17. Cho lăng trụđứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với

BA BC a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ

A

3 a 3

4 B

3 a 3

2 C.

3

2a 3 D. a 33

Câu 18 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A với

AC a, ACB 600, biết BC' hợp với AA'C'C góc 300 Thể tích lăng trụ

A 3a 33 B 2a 63 C a 33 D a 63

Câu 19. Cho lăng trụđứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với

BA BC a ,biết A'BC hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ.

A

3 3a 3

2 B

3 a 3

2 C

3 a 3

3 D

3 a

3

Câu 20. Đáy lăng trụđứng tam giác ABC.A'B'C' tam giác cạnh x Mặt A'BCtạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A'BCbằng Tính thể tích khối lăng trụ

A

3 x 3

3

B 3x 33 C x 33

D

3 x

3

Câu 21 Cho lăng trụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng, AB BC a, cạnh bên

AA' a Tính theo a thể tích khối lăng trụ

A. 2 a3

2

B. 2a3 C. 2a3 D. 2a3

Câu 22. Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ.Tính thể tích hình hộp

A

3 3a 6

2 B

3 a 6

3 C

3 a 6

2 D

3 2a 6

3

A a 6 2 B a 6 3 C a 6 4 D 4a 6 3

Câu 24. Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích của hình hộp

A. 3a3

B a 4 C 3a 2 D. a

Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật

A 3 16a 2 B 16a 2 9 C 16a 2 3 D 16a 2 8

Câu 26 Cho lăng trụđứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng tại B, AB=a, AC=a 3, cạnh A/B = 2a Tính thể tích khối lăng trụ

A 3a 6 2 B a 6 4 C a 6 2 D 2a 6 2

Câu 27 Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vuông tại B, AB=a, BC a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ

A a 6 9 B a 6 4 C a 6 3 D a 6 6

Câu 28. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD Tính thể tích khối OBB’C’

A a 2 9 B a 2 4 C a 2 3 D a 2 12

Câu 29 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’

A a 2 B a 6 C a 3 D a 4

Câu 30 Cho hình lăng trụđứng tam giác có cạnh a.E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE

Dạng Khối lăng trụđều

Câu Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần bằng:

A 1 ;

2 B. 1 ;3 C 1 ;4 D.

3 5

Câu 2. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm cạnh AA’ Mặt phẳng (MBC) chia khối lăng trụ thành hai phần Tỉ số thể tích cua hai phần bằng:

A 1 ;

3 B 1 ;5 C 1 ;6 D

3 5

Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a chiều cao a 6 2 Thể tích khối tứ diện ACA’B’

A

3 a 2

8 B

3 a 2

4 C

3 a

8 D

3 a 2

2

Câu Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách hai đường thẳng AB A’D độ dài đường chéo mặt bên Vẽ AK A'D K A'DA  Lúc độ dài

AK

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC’) hợp với mặt phẳng (BCC’B’) góc D Diện tích xung quanh khối lăng trụ

A

2

3 3a

tan D B

2

3a

tan D C

2

3 3a

tan D D

2

3a tan D

Câu Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ

A. 8a3 B. 9a3 C. 18a3 D. 21a3

đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o Tính thể tích khối hộp chữ nhật

A

3 a 6

2 B

3 a 6

4 C

3 a 6

3 D

3 a 6

12

Câu 8. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao h góc hai đường chéo hai mặt bên kề phát xuất từ đỉnh D Tính thể tích lăng trụ theo h D

A

3

h (1 sin ) sin

D

D B

3

h (1 sin ) sin

D

D C

3

h (1 cos ) cos

D

D D

3

h (1 cos ) cos

D

D

Câu Tính thể tích lăng trụđều ABC.A’B’C’ biết (ABC’) hợp với đáy góc 600 diện tích tam giác ABC' 3a2

A. 6 a3

4 B. 3 a8 C. 3 a4 D. 3 a2

Câu 1. Gọi V thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ V1 thể tích khối tứ diện có đáy chiều cao với khối hộp Hệ thức sau đúng:

A. V 6V1; B. V 5V1 ; C. V 4V1 ; D. V 3V1

Câu 2. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' tích V Trên đáy A'B'C' lấy điểm M Thể tích khối chóp M.ABC tính theo V

A V

2 ; B

2V

3 ; C

V

3 ; D

3V 4

Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC a 3, BC 3a, ACB 300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 mặt phẳng A'BC vng góc với mặt phẳng ABC Điểm H cạnh BC cho HC 3BH mặt phẳng A'AH vng góc với mặt phẳng ABC Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

A

3 3a

4 B

3 9a

4 C

3 9a

2 D

3 3 3a

4

Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, 'ABC có cạnh a, AA' a đỉnh A’ cách A, B, C Gọi M trung điểm cạnh BC Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

A

3 a 2

2 B

3 a 2

4 C

3 a 2

8 D

3 2a

3

Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB a, ACB 300; M trung điểm cạnh AC Góc cạnh bên mặt đáy lăng trụ 600 Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H BM Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

A

3 3a 3

4 B

3 a 3

4

C. 3a 33 D. a 33

Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB 2a, AC a, AA' a 102 , BAC 1200 Hình chiếu vng góc C’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a tính sốđo góc hai mặt phẳng (ABC) (ACC’A’)

A

3 a 3

4 B

3 3a

4 C

3 3a 3

4

D a 33

Câu Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A’ mặt phẳng ABCD trung điểm I cạnh AB Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy góc D với tan 2

5

D Thể tích khối chóp A’.ICD

A

3 a

6 B

3 a 3

6 C

3 a 3

3 D

3 a

3

A 10 B 12 C 14 D 16

Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, A'A A'B A'C a 7 12 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

A a 8 B. a 3 8 C 3a 3 8 D a 3 4

Câu 10 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân AB AC a, BAC 1200 AB’ vng góc với đáy (A’B’C’) Mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 300 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

A a 3 3 B. 8a 3 C a 3 8 D a 3 2

Câu 11 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A, AB AC a, BAC 1200, hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên AA' 2a Thể tích khối lăng trụ

A

3 3a 3

4 B

3 3a 4 C a 4 D a 3 4

Câu 12 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB' a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600, tam giác ABC vuông C BAC 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A’.ABC A 3a 208 B. 9a 208 C a 108 D 9a 108

Câu 13 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên a hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụđó

A

3 3a

8 B

3 a 3 8 C 3a 3 8 D a 8

Câu 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cạnh a hình chiếu đỉnh C mặt phẳng (ABB’A’) tâm hình bình hành ABB’A’ Tính thể tích khối lăng trụ

A a 4 B. a 2 2 C a 2 4 D a 2

Câu 15 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, BAD 600, BAA' 900,

DAA' 120 Thể tích khối hộp

A

3 a

2 B

3 a 4 C a 2 4 D a 2 2

A

3 a 2

4 B

3 a 2

8 C

3 a

8 D

3 a

4

Câu 18. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a 3 hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ

A

3 3a 3

8 B

3 a 3

8 C

3 3a

8 D

3 a

8

Câu 19. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ

A

3 a 3

3 B

3 a 3

4 C

3 a 3

8 D

3 a 3

2

Câu 20. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB 3, AD Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600.Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên

A. B. C. D.

Câu 22. Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vng góc A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ

§Ị LUYỆN TỐC ĐỘ KẾT THÚC CHƯƠNG I

Câu 1: Số mặt phẳng đối xứng hình lập phương là:

A B C D 12

Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng hình hộp chữ nhật mà khơng có mặt hình vng là: A B C D 12

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 60o, SA a 3 SA vng góc với mặt phẳng ABCD Thể tích V khối chóp S ABCD là:

A

3

3 2 a

V B

3

2 a

V C V a3 3 D

3 3

3 a

V

Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA 2a SA vng góc với mặt phẳng ABC Gọi M N, hình chiếu vng góc A lên SB SC, Thể tích V khối chóp A BCNM bằng:

A

3

3 3

50 a

V B

3

9 3

50 a

V C

3

8 3

75 a

V D

3

8 3

25 a

V

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có tất mặt bên tạo với đáy góc D , hình chiếu vng góc đỉnh S lên ABC thuộc miền tam giác ABC Biết AB 3 ,a BC 4 ,a AC 5a Tính thể tích V khối chóp S ABC

A V 2 tana3 D B V 2 cosa3 D C V 6 tana3 D D V 6 cota3 D

Câu 6: Cho hình chóp tam giác có diện tích đáy

2

3 4 a

, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 45o Tính thể tích V của khối chóp

A

3 3

4 a

V B

3

4 a

V C

3

12 a

V D

3 3

12 a

V

Câu 7: Cho khối đa diện ABCDA B C D EF' ' ' ' có AA BB CC DD', ', ', ' 18 vng góc với ABCD Tứ giác ABCD hình chữ nhật, AB 18,BC 25, EF song song B C' '; điểm E thuộc mặt phẳng ABB A' ', điểm F thuộc mặt phẳng CDD C' ', khoảng cách từ F đến ABCD 27 Tính thể tích V khối đa diện ABCDA B C D EF' ' ' '

A V 12150 (đvtt) B V 9450 (đvtt) C V 10125 (đvtt) D V 11125 (đvtt)

A V a3 B V a3 2 C

3

2 3 a

V D V 2a3

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác ABC cạnh 2a, biết thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' a3 Tính khoảng cách h hai đường thẳng AB B C' '

A 4

3 a

h B

3 a

h C h a D h a 3

Câu 10: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, SA a Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

3

6 a

V B

3

6 a

V C V 6a3 D V a3 6

Câu 11: Cho khối lăng trụ tích a3 3, đáy tam giác cạnh a Tính chiều cao h khối lăng trụ

A h 4a B h 3a C h 2a D h a

Câu 12: Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình vng cạnh a, biết AC' tạo với mặt bên BCC B' ' góc 30o Tính thể tích V của khối hộp ABCD A B C D ' ' ' '.

A V 2a3 B V a3 2 C 2

2

V a D V 2a3 2

Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, biết

3

3 6

ABCD

a

V Tính độ dài cạnh SA A SA a B

2 a

SA C 3

2 a

SA D SA a 3

Câu 14: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 60o Hình chiếu vng góc A' ABCD trùng với giao điểm AC BD Biết AA' a, tính thể tích khối đa diện ABCDA B' '

A

3

3 4 a

B

3

3 8

a

C

3

4 a

D

3

8 a

Câu 15: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm cạnh SA SB, Mặt phẳng CDMN chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A 2

3 B

2

5 C

3

5 D

5 8

Câu 16:Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' tích V Gọi E F, trung điểm DD CC', ' Khi đó, tỉ số EABD

BCDEF V

V bằng: A B 2

3 C

1

2 D

1 3

Câu 17:Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên 2a tạo với đáy góc

A

3

2 a

B

3 3

4 a

C

3 3

12 a

D

3

3 4 a

Câu 18:Cho khối chóp tích V 30 cm3 diện tích đáy S 5cm2 Chiều cao h khối chóp là:

A h 18 cm B h 6cm C h 2cm D h 12 cm

Câu 19:Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA SB SC, , lấy ba điểm cho '

SA SA , SB 3SB', SC 4SC' Gọi V' V thể tích khối chóp S A B C ' ' '

S ABC Khi đó, tỉ số

' V

V bằng:

A 12 B 24 C 1

24 D

1 12

Câu 20: Người ta cần xây hồ nước dạng khối hình hộp chữ nhật khơng nắp tích

3

500

3 m , đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá thuê nhân công xây hồ

2

500 000vnd m/ Người ta thiết kế hồ với kích thước hợp lý để chi phí bỏ thuê nhân cơng thấp nhất, tính chi phí

CHƯƠNG MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU

BÀI KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM

I SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY

Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ' đường cong C Khi quay mặt phẳng (P) quay trục 'một góc 3600 điểm rên M C vạch đường tròn tâm O thuộc ' nằm mặt phẳng vng góc với ' Như quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng ' đường C tạo nên hình gọi mặt tròn xoay

(C) gọi đường sinh mặt tròn xoay, đường thẳng ' gọi trục mặt tròn xoay

II MẶT NĨN TRỊN XOAY 1.Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường hẳng d ' cắt O tạo thành góc E với 00 E 900 Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ' đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O Người ta thường gọi mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng ' gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2E gọi góc đỉnh mặt nón

2 Hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay

a) Cho ΔOIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2)

Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón Hình trịn tâm I, bán kính r = IM mặt đáy hình nón

b) Khối nón trịn xoay phần khơng gian giới hạn hình nón kể hình nón Người ta cịn gọi tắt khối nón trịn xoay khối nón

Những điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối nón, điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón ứng với khối nón gọi điểm khối nón

3 Cơng thức diện tích thể tích hình nón

Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r đường sinh ℓ có: Diện tích xung quanh: Sxq S.r.l

Diện tích đáy (hình trịn):

Diện tích tồn phần hình trịn: S SdSxq

Thể tích khối nón:

2 1 V r h

3

S

4 Tính chất {kiến thức bổ sung SGK)

Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh→Thiết diện tam giác cân

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón

Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vng góc với trục hình nón→giao tuyến đường tròn

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến nhánh hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón→giao tuyến đường parabol

III MẶT TRỤ TRÒN XOAY 1.Định nghĩa

Định nghĩa 1: Mặt trụ hình trịn xoay sinh đường thẳng l xoay quanh đường thẳng song song cách l khoảng R Lúc đó, gọi trục, R gọi bán kính, l gọi đường sinh

Định nghĩa 2: Mặt trụ tập hợp tất điểm cách đường thẳng cốđịnh khoảng R không đổi

Đường thẳng gọi trục mặt trụ, R gọi bán kkinhs mặt trụ

2 Hình trụ

Hình trụ hình giới bạn mặt trụ hai đường tròn nhau, giao tuyến mặt trụ mặt phẳng vng góc với trục

Hình trụ hình trịn xoay sinh bốn cạnh hình hình chữ nhật quay xung quanh đường trung bình hình chữ nhật Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2π.R.l

Diện tích tồn phần hình trụ: Stp = 2π.R.l+2π.R2

3 Khối trụ

Khối trụ hình trụ với phần bên hình trụđó

Thể tích khối trụ trịn xoay có bán kính R đường cao h là:V S‚R h2

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIAI TOÁN TRẮC NGHIỆM

VẤN ĐỀ MẶT NĨN, HÌNH NĨN VÀ KHỐI NĨN

Câu 1. Gọi l,R,h độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Đẳng thức sau

A. B C D

Câu 2. Gọi l,R,h độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón (N) Diện tích xung quanh hình nón (N)

A. B C D

' '

'

'

2 2

l h R

2 2

1

l h R

2 2

R h l l2 hR

xq

S

S

xq

S Rl Sxq SRh Sxq 2SRl

2 S

xq

Câu 3. Gọi độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón (N) Diện tích tồn phần hình nón (N)

A. Stp S SRl R2 B.

C D

Câu 4. Gọi độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối nón (N) Thể tích V khối nón (N)

A. B C D

Câu 5. Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a. Diện tích xung quanh hình nón

A. B C D

Câu 6. Cho hình nón có bán kính đáy 3a, chiều cao 4a. Thể tích hình nón

A. B C D

Câu 7. Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a. Diện tích tồn phần hình nón

A. B C D

Câu 8. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và góc cạnh bên đáy , diện tích xung quanh hình nón đỉnh S và đáy hình trịn nội tiếp tam giác ABC là

A. 13 a 12 S B a 13 12 S C a 12 S D a 13 12 S

Câu 9. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và góc mặt bên đáy , diện tích xung quanh hình nón đỉnh S và đáy hình trịn nội tiếp tam giác ABC là

A. B C D

Câu 10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và góc mặt bên đáy Thể tích khối nón nội tiếp hình chóp là:

A. a 36 S B a 72 S C a 48 S D. a 24 S

Câu 11. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và góc cạnh bên đáy , diện tích xung quanh hình nón đỉnh S và đáy hình trịn ngoại tiếp hình chóplà

A. 3 aS

B a 3 S C. 2 a 3

S D 2 aS

Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp

A. Sa 22

B a 2 4 S C a 2 S D. a 2 2 S

Câu 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao 2a Diện tích xung quanh hình nón đỉnh S đáy hình trịn nội tiếp ABCD

A. B. C. D.

, ,

l h R

tp

S

2

2S 2S

tp

S Rl R

2

2

S S

tp

S Rl R Stp SRhSR2

, ,

l h R

2 S

V R h

3S

V R h

2 S

V R l

3S

V R l

2

40Sa 20Sa2 24Sa2 12Sa2

3

12Sa 36Sa3 15Sa3 12Sa3

2

38Sa 32Sa2 36Sa2 30Sa2

0 60 60 4

Sa

6

Sa

3

Sa 5

6 Sa 60 60 17

Sa 15

4

Sa 17

6

Sa 17

Câu 14. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón

A. B C. D.

Câu 15. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền 2a Thể tích khối nón

A. B C D

Câu 16. Diện tích tồn phần hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh thiết diện qua trục tam giác

A. 6S B.12S C.18S D.16S

Câu 17. Cho hình nón có đường sinh l, góc đường sinh mặt phẳng đáy Diện tích xung quanh hình nón

A. B C D.

Câu 18. Thể tích V khối nón (N) có chiều cao a độ dài đường sinh

A. B C D

Câu 19. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng

a Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc Diện tích thiết diện

A. B. C D.

Câu 20. Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón có khoảng cách đến tâm 12cm Diện tích thiết diện tạo (P) hình nón

A. B C D

Câu 21. Khối nón (N) có chiều cao Thiết diện song song cách mặt đáy đoạn

a, có diện tích Khi đó, thể tích khối nón (N)

A. B C D

Câu 22. Một khối nón tích chiều cao Bán kính đường trịn đáy hình nón

A.2

B. C D 1

Câu 23. Cho khối nón có chu vi đường tròn đáy , chiều cao Thể tích khối nón

A. B C D

Câu 24. Cho hình nón có diện tích xung quanh , bán kính đường trịn đáy Độ dài đường sinh

A.5 B 1 C 3

D

2 2

Sa 2Sa2 2

3

Sa 2

4 Sa

3

3

Sa 2

3

Sa Sa3 2Sa3

3

0 30

3

S l

2

S l 32

8

S l

6

S l

5

a

4 3S

V a

3 4S

V a

3S

V a

3S

V a

0 60

2 2

2

a 2

3

a 2a2 2

4

a

2

450(cm ) 500(cm2) 600(cm2) 550(cm2)

3a

64 Sa

48Sa 25

3 Sa

3

16Sa 16

3 Sa

4S 3

2 3

4

6S

12S 9S 7 3S 7 36S

25S 5

10

15 9

6

P

O

Câu 25. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền Thể tích khối nón

A. B C D

Câu 26. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có diện tích Diện tích xung quanh hình nón

A. B C D

Câu 27. Một khối nón tích , giữ ngun chiều cao tăng bán kính khối nón lên lần thể tích khối nón

A. B C D

Câu 28.

Cho hình nón có đáy đường trịn có đường kính Mặt phẳng vng góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn hình vẽ Thể tích khối nón có chiều cao

A. B.

C. D.

Câu 29

Cho hình nón có bán kính đáy 10, mặt phẳng vng góc với trục hình nón cắt hình nón theo đường trịn có bán kính 6, khoảng cách mặt phẳng với mặt phẳng chứa đáy hình nón Chiều cao hình nón

A. B 10

C.8,5 D.7

Câu 30. Cho hình nón có đường sinh a góc ởđỉnh 600 Diện tích xung quanh hình nón

A

2 a 2

S

B

2 3 a

2

S

C.

2 5 a

2

S

D.

2 a 3

S

Câu 31. Cho hình nón có chiều cao h đường sinh hợp với trục góc 450 Diện tích xung quanh hình nón là:

A

2 2 h

3

S B 2 hS

C

2 2 h

4

S

D.

2 3 h

3

S

Câu 32 Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF có cạnh bên 2a tạo với đáy góc 600 Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp

A. 2 a S B. 4 a S C. 6 a S D. Sa 2

Câu 33 Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF có cạnh bên 2a tạo với đáy góc 600 Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp

2 3

3S 3 S 3S 3S 2

4

8S 8S 2 2S 2 4S 2

30S

60S 120S 40S 480S

10

8S 24S

00

S

96S

N

N N

12,5

x

A

2 3 a

2

S

B

2 3 a

4

S

C

2 a 4

S

D.

2 a 2

S

Câu 34. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh hình nón có đỉnh tâm O hình vng A’B’C’D’ đáy hình trịn nội tiếp hình vng ABCD Đáp án là:

A

2 5 a

2

S

B

2 a 4

S

C

2 5 a

4

S

D.

2 a 2

S

Câu 35 Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO 300, SAB 600 Diện tích xung quanh hình nón

VẤN ĐỀ MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ

Câu 1. Gọi độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ Đẳng thức ln là:

A. B. C. D.

Câu 2. Gọi độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích xung quanh hình trụ (T)

A. B. C. D.

Câu 3. Gọi độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích tồn phần hình trụ (T)

A. B. C. D.

Câu 4. Gọi độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối trụ (T) Thể tích

V khối trụ (T)

A. B. C. D.

Câu 5. Cho hình trụ có bán kính đáy cm chiều cao cm Diện tích tồn phần hình trụ là:

A. B. C. D.

Câu 6. Cho hình trụ có bán kính đáy cm,đường cao 4cm Diện tích xung quanh hình trụ

A. B. C. D.

Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao 10 cm Thể tích khối trụ

A. B. C. D.

Câu 8. Thể tích V khối trụ có chiều cao a đường kính đáy

A. B. C. 2 aS D.

Câu 9. Hình trụ (T) sinh quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết AC a 2 Diện tích tồn phần Stp hình trụ (T)

A. Stp S4 a2 B. C. D.

Câu 10. Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao Mặt phằng song song với trục hình trụ cách trục khoảng Diện tích thiết diện hình trụ với mp

là:

A. B. C. D.

Câu 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ = 2a Tam giác ABC vng A có

. Thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là:

, ,

l h R

l h R h 2

l h R R2 h2l2

, ,

l h R

xq

S

2 S

xq

S R h Sxq SRh Sxq SRl Sxq 2SRl

, ,

l h R

tp

S

2

S S

tp

S Rl R Stp 2SRl2SR2 Stp SRl2SR2 Stp SRhSR2

, ,

l h R

2 3S

V R l

3 4S

V R V SR h2

3S

V R h

2

90 (S cm ) 92 (S cm2) 94 (S cm2) 96 (S cm2)

2

24 (S cm ) 22 (S cm2) 20 (S cm2) 26 (S cm2)

320 (S cm ) 360 (S cm3) 340 (S cm3) 300 (S cm3)

2

a

1 2S

V a

3S

V a

6S

V a

0

45

ACB

2

10S

tp

S a Stp 12Sa2 Stp 8Sa2

3

R D

2

R

D

3

2

R 2

3

R 2

2

R 2

3

R

2 3

A. B. C. D.

Câu 12. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, mặt bên hình vng.

Diện tích tồn phần hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ

A.

B. C. D.

Câu 13 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2a, AD = 4a Gọi M, N trung điểm AB CD Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN ta khối trụ tròn xoay Thể tích khối trụ là:

A. 4 aS B. 2 aS C. Sa3 D. 3 aS

Câu 14. Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng có cạnh 3a Diện tích toàn phần khối trụ là:

A. a2S 3 B. 27 aS

C.

2 a 3

2

S

D.

2 13a

6

S

Câu 15. Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB = 4a, AC = 5a Thể tích khối trụ là:

A. 16 aS B. 8 aS C. 4 aS D.12 aS

Câu 16 Cho khối trụ có chiều cao 8cm, bán kính đường trịn đáy 6cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 4cm Diện tích thiết diện tạo thành là:

A. 16 5cm B. 32 3cm C. 32 5cm D. 16 3cm

Câu 17 Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AD = 12 góc ACD 600 Thể tích của khối trụ là:

A. 1296 B. C. 24S D.112S

Câu 19 Cho khối trụ có bán kính đường trịn đáy Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có A, B thuộc đáy khối trụ Biết AB = 10 Khoảng cách từ trục khối trụđến thiết diện tạo thành là:

A. 15 B. 11 C. 2 5 D. 41

Câu 20 Cho khối trụ có khoảng cách hai đáy 10, biết diện tích xung quanh khối trụ 80S Thể tích khối trụ là:

A. 160S B.164S C. 64S D.144S

Câu 21. Cho khối trụ có độ dài đường sinh 10, biết thể tích khối trụ 90S Diện tích xung quanh khối trụ là:

A. 81S B. 60S C. 78S D. 36S

Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD=2 Quay quanh hình chữ nhật ABCD quanh AD AB ta hình trụ trịn xoay tích V ,V1 2 Hệ thức sau

A. V V1 2 B. V2 2V1 C V 2V1 2 D 2V 3V1 2

Câu 23. Cho hình trụ tam giác đều, có tất cạnh a Xét hình trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụđó Xét hai mệnh đề sau:

I) Thiết diện qua trục hình trụ hình vng

3

6Sa 4Sa3 2Sa3 8Sa3

2

4Sa 2

( 1)

Sa 2Sa2 3

2

II) Thể tích hình trụ

3 a V

3

S

Hãy chọn câu

A.Chỉ I) B.Chỉ (II)

C.Cả câu sai D. Cả câu

Câu 24 Một hình trụ trịn xoay, bán kính đáy R, trục OO' R 6

2 Một đoạn thẳng AB R 2 với A O ,B O' Góc AB trục hình trụ là:

A. 300 B. 450 C. 600 D. 750

Câu 25 Một hình trụ trịn xoay bán kính R Trên đường trịn O O' lấy điểm A B cho AB góc AB trục OO’ 300 Xét hai mệnh đề sau:

I) Thiết diện qua trục hình trụ hình vng II) Thể tích hình trụ V Sa3

Hãy chọn câu

A.Chỉ I) B.Chỉ (II)

C.Cả câu sai D. Cả câu

Câu 26 Cho ABB’A’ thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A,B thuộc đường trịn tâm O) Cho biết AB 4,AA' 3 thể tích hình trụ 24 S Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng là:

A. d 3 B d 2 C. d D. d 3

Câu 27. Thiết diện qua trục hình trụ (T) hình vng có cạnh a Diện tích xung quanh hình trụ (T)

A B C D

Câu 28. Một hình trụ có diện tích xung quanh thiết diện qua trục hình trụ hình vng Diện tích toàn phần

A B C D

Câu 29. Một hình trụ có bán kính 5cm và chiều cao 7cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm Diện tích thiết diện tạo khối trụ mặt phẳng

A B. C D

Câu 30. Một hình trụ có chu vi đường tròn đáy , chiều cao Thể tích khối trụ

A B. C D

Câu 31. Hình trụ có bán kính đáy thể tích Chiều cao hình trụ

A.2 D.6 C D 1

xq

S

2 S

xq

S a

2S

xq

S a

2

2S

xq

S a Sxq a2

T 4S

T

6S 12S 10S 8S

2

56cm 54cm2 52cm2 58cm2

4Sa a

4Sa 2Sa3 16Sa3

3Sa

Câu 32. Một hình trụ có chu vi đường trịn đáy , chiều cao hình trụ gấp lần chu vi đáy Thể tích khối trụ

A D C D

Câu 33. Một khối trụ tích Nếu tăng bán kính lên lần thể tích khối trụ

A.80 D 40 C 60 D 120

Câu 34. Một hình trụ có đường kính đáy với chiều cao Nếu thể tích khối trụ 2S chiều cao hình trụ

A.2 D C D

Câu 35 Cho hình trụ có trục O O1 2 Một mặt phẳng D song song với trục O O1 2, cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm thiết diện đó, bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bán kính đường trịn đáy hình trụ Góc O OO1 2

A. 300 D. 600 C. 450 D. 900

Câu 36 Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính r chiều cao h r 2 Gọi A điểm đường tròn tâm O B điểm đường trịn tâm O’ cho OA vng góc với O’B Gọi D mặt phẳng qua AB song song với OO’ Khoảng cách trục OO’ D

A r 2

2 D.

r 2

3 C.

r 2 4

D. r 2

Câu 37 Cho hình trụ T có bán kính R chiều cao R Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD hai dây cung hai đường tròn đáy, cạnh AD BC khơng phải đường sinh hình trụ T Độ dài cạnh hình vng theo R

A R 5

5 D.

R 5

2 C.

5 R

2 D

R 5

Câu 38 Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm , đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho

AB 2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB

A

3 a

12 D.

3 a 3

12 C.

3 a 3

24 D.

3 a 3

6

Câu 39. Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Thể tích khối trụ

A

3 a 16

S

D.

3 3 a

16

S

C.

3 2 a

16

S

D.

3 3 a

16

S c

3 S

c

S

c 4Sc3

2

S

c 20

BÀI MẶT CẦU

A KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM

Kí hiệu : mặt cầu S tâm O, bán kính R

1.Định nghĩa mặt cầu: 2 Các thuật ngữ:

x Bán kính: A  S(O;R) Ÿ OA bán kính mặt cầu

x Đường kính: A, B S(O;R) O, A, B thẳng hàng Ÿđoạn thẳng AB đường kính mặt cầu

x Điểm trong: Nếu Ÿ E điểm mặt cầu x Điểm ngoài: Nếu OF > R Ÿ F điểm mặt cầu

x Mặt phẳng qua tâm mặt cầu gọi mặt kính Giao tuyến mặt cầu mặt kính đường tròn C(O,R) - gọi đường tròn lớn

x Khối cầu S(O;R) hình cầu S(O,R) tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O,R) điểm nằm mặt cầu

Ta có thểđịnh nghĩa : Khối cầu

3 Yếu tố xác định mặt cầu: Biết tâm bán kính biết đường kính mặt cầu

Chú ý: Mặt cầu đường kính AB:

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Kí hiệu: d(O, (P)) = OH khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P) đường trịn (C) tâm H bán kính r

mặt phẳng không cắt mặt cầu

mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường tròn tâm H bán kính

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

1.Xét mặt cầu S(O; R) đường thẳng (') Gọi H hình chiếu O lên (') d OH

d R! Ÿd không cắt mặt cầu

d R Ÿd tiếp xúc với mặt cầu điểm

d R Ÿd cắt mặt cầu hai điểm phân biệt

Nhận xét:

S O;R

^ `

S O,R M | OM R

OE R

^ `

S(O,R) M | OM Rd

^ `

S(AB) M | MA.MB 0MA MB 0`

C H, r

OH R! Ÿ OH R Ÿ OH R Ÿ

2

x Qua điểm A nằm mặt cầu S O;R có vơ số tiếp tuyến mặt cầu Tất tiếp tuyến vng góc với bán kính OA mặt cầu A nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm A

x Qua điểm A năm ngồi mặt cầu

S O;R có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu cho Các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A Khi độ dài đoạn thẳng kẻ từ A đến tiếp điểm

IV CÔNG THỨC

x Diện tích mặt cầu: x Thể tích khối cầu:

( bán kính mặt cầu)

V MỘT SỐĐIỂM CẦN LƯU Ý

x Điều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đa giác đáy nội tiếp đường trịn

x Hình lăng trụđứng có đáy nội tiếp đường trịn có mặt cầu ngoại tiếp x Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giao điểm trục đường tròn ngoại tiếp đa

giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên

VI MỘT SÔ DẠNG MẶT CẦU NGOẠI TIẾP THƯỜNG GẶP B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

Dạng Hình chóp có đỉnh nhìn hai đỉnh cịn lại góc vng Phương pháp

Chẳng hạn cho tứ diện có Lúc mặt cầu ngoại tiếp có:

Tâm ( trung điểm ) bán kính Thật vậy, hai tam giác vng có chung cạnh huyền Nên

Dạng Hình chóp có cạnh bên Phương pháp

2

S R S

4

V R

3

S

R

ABCD ABD ACD 900

ABCD

O O AD R AD

2

ABD ACD AD

AD OA OB OC OD

2

O A

B

C

Hình chóp có cạnh bên

ƒ Vẽ , trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

ƒ Trong mặt phẳng , đường trung trực cắt tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

ƒ Bán kính mặt cầu nói ta có: ( Hai tam giác đồng dạng), đó:

Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy Phương pháp

Hình chóp có

ƒ Vẽ trục đường trịn ngoại tiếp

đó đường thẳng qua vng góc với

ƒ Trong , đường trung trực cắt

tại tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

ƒ Bán kính mặt cầu

Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Phương pháp

Cách xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy( Giả sử ) ta thực sau:

¾ Dựng trục đường tròn nội tiếp Dựng trục đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD

¾ Ta có thuộc mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB

M S

A

B C

O

S

O A

I M

S.ABC SA SB SC

SOA ABC SO ABC

SOA SA SO I

Ÿ I S.ABC

R IA IS

SA.SM SO.SI SAO SIM R SI SM.SA SA2

SO 2SO

S.ABC

* Một cạnh bên vuông góc với đáy, chẳng han

SA ABC

* ABC nội tiếp đường tròn(O)

­ °

A ® ° ¯

ABC

d O ABC

d,SA SA d

I Ÿ I S.ABC

2

2 2 SA

R IA AO OI AO

4

SAB A ABCD

1

' 'SAB

2

'

1

' '2

d S

A

B

C O

I

2

O S

, O tâm mặt cầu ngoại tiếp

¾ Trong cách dựng ta có vng G

C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1.Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , vng góc với Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là:

A B.

C D.

Câu Cho tứ diện có vng góc với , vng , Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

A B C D

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a SA A(ABC) Tam giác ABC vuông cân B, Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A

B. C D

Câu 4 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy , cạnh bên hợp với đáy góc 300 Thể tích mặt ngoại tiếp hình chóp

A B C D

Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên 2 3 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A 3 6

2 B

3 6

4 C

3 6

6 D.

3 6 8

Cơng thức tính nhanh: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên b Lúc bán kính mặt cầu ngoại tiếp tính theo cơng thức:

2 2

b R

2 3b a

Chứng minh

Gọi O hình chiếu S lên mp(ABC) O tâm đường tròn ngọai tiếp

Mặt phẳng trung trực SA cắt SA I cắt SO K Khi SK = KA = KB = KC K tâm mặt cầu ngọai tiếp

Hai tam giác đồng dạng SIK SOA cho ta: O

Ÿ ' ˆ '

SGO

' R OS

S.ABCD ABCD a SA 2a

ABCD S.ABCD

Sa 63 Sa3

6 S

3

4 a

S

3 a

ABCD DA 5a ABC 'ABC B AB 3a

BC 4a

S

36 a 25 aS 50 aS 100 a S

AB a

2a a 2

2

2a a

a S

8 3a

27 276 3Sa 327 Sa S

27 a3

6

ABC

'

2

SK SI SK SI.SA SA

SA SOŸ SO 2SO

b

a O

K I

C

B A

Tam giác vuông SOA: SO2 = SA2 – AO2 = b2 -

Suy ra: SO = Vậy SK = R =

Từđó ta suy cơng thức tính nhanh thể tích khối cầu diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác cạnh đáy a, cạnh bên b sau:

V = ;

S =

Câu Cho khối chóp có đáy ABC vng A, mặt bên hợp với đáy góc Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

A B C D

Câu 7. Cho tứ diện ABCD có cạnh a Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD

A B a

12 C a 312 D a 6

Câu 8. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp :

A. B. C. D

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác vng góc với đáy Xác định bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A B C D

Câu 10 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cânAB AC SA SB a;

SC b b 3a , (SBC) (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a b

A. B. C D

Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với, góc cạnh bên SB với đáy

60 ABC' vuông B, AB a 3, ACB 300 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A 21a

2 B

21a

4 C 21a D

21a

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính r, SA h Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình

2

2

a b a

3 Đ Ã ă ă â a b 2

2 2

2

b b

a 3b a

2 b 3

2 2

4 .R . b b

3 2 3b a 2( 3b a )

§ · S

S Săă áá

â

4

2 2

b b

4

a 3b a

2(b ) S S

S.ABC AB a, AC 2a, SA SB SC

SAB ABC 600 S.ABC

S

48 a 489

S

289 a

48 489 324 Sa S

2 389 a 12 a 12 S

448 a 14 1029 S 448 a 1029 S a 14 1029 S

448 a 14

A. 2 4r2h

B

2

4r h

C

2

4r h

D. 4r2h

Câu 13 Trong mặt phẳng (P) cho nửa lục giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính

AD 2R Qua A kẻ đường thẳng Ax vng góc với (P), Ax lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (SDC) (P) 600 Bán kính hình cầu qua năm điểm S, A, B, C, D

A 2 13R

B 13R

4 C.

13R

2 D

13R

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, AB AD a, CD 2a Cạnh bên SDAABCD SD a Gọi E trung điểm DC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE

A. 2 11a B 11 a

2 C 411 a D. 11 a2

Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có SAAABC Gọi M, N hình chiếu A SB, SC Biết BAC D, BC a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN

A 42 a2

sin

S

D B

2 4 a cos

S

D C

2 2 a cos

S

D D

2 2 a sin

S D

Câu 16 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy AB a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A R 4a

3 B

2a R

3 C. R 2a 33 D.

2a R

3

Câu 17 Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O H hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) Tỉ lệ k OA

OH

A. k B. k C. k D. k

Câu 18 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO h, SAB 450 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A. R 3h B. R 3h

C. R 2h

3 D

3

R h

2

Câu 19 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 2a, mặt bên tạo với đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A

3 4 a

63

S

B

3

a 63 21

S

C.

3

4 a 63 21

S

D.

3

4 a 21

S

Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD 600 cạnh bên

SA SB SD, BSD 900 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SBCD

A 6 a

Câu 21 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 450 Một mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) A tiếp xúc với cạnh bên BS kéo dài H Gọi D mặt phẳng qua tâm I mặt cầu trung điểm đường cao BD đáy Bán kính mặt cầu

A

a 2 R

3

B. a 2 3

C

a 2 R

2

D

a 2 R

4

Câu 22 Cho tứ diện ABCD có AB AC AD a, BAC 1200, CAD 600, DAB 900 Xác định bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

A a

1 2 3 B

a

2 1 2 3 C

2a

1 D

2a 2 1 2 3

Câu 23 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a ASB D Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là:

A a sin

2 sin cos

2

D

Đ D DÃ

ă

â

B a cos

2 sin cos

2

D

Đ D DÃ

ă

â

C a cos

sin cos

2

D

D D D

a sin sin cos

2

D

D D

Lưu ý: Cho hình chóp tích V diện tích tồn phần S Trong hình chóp nội tiếp hình cầu có bán kính r Chứng minh rằng: r 3V

S

Giải

Gọi O tâm hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABCDE

Hình cầu tiếp xúc với mặt đáy tất mặt bên Vẽ OF, OG, OH … OK vng góc với mặt đáy mặt bên

Ta có: OF OG OH OK r

Vậy, thể tích hình chóp S.ABCDE tổng thể tích hình chóp có chung đỉnh O có đáy đáy hình chóp lớn mặt bên

Ta có:

H

O

E D

C

B A

S

F G

J I

O.ABCDE O.SBC O.SCD O.SAB S.ABCDE

ABCDE SBC SCD SAB

ABCDE SBC SCD SAB

V V V V V

1 1

S r S r S r S r V

3 3

1

S S S S V

3

r 3V

.S V r

3 S

œ

œ

œ œ

Câu 24 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO cạnh đáy tam giác ABC 2 6 Điểm M, N trung điểm cạnh AB, AC tương ứng Bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp S.AMN

A

3

2 2 3 B

1

2 2 3 C 3 2 3

D 2 3

Câu 25 Cho tứ diện ABCD, biết AB BC AC BD a, AD b, hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vng góc với Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b

A 2 a 3a b S B. 2 a 3a b S

C 2

4 3a b

S

D

Câu 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, , mặt bên SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

A B C D

Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật , , Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

A B C D

Câu 28 Cho tứ diện SABC có cạnh , hai mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc với Biết Bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

A B C D

Câu 29 Trong mặt phẳng cho hình vng ABCD có cạnh a Trên đường thẳng Ax vng góc với ta lấy điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng SC Mặt phẳng cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Diên tích mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCDB’C’D’

A B C D

Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC ABC tam giác cạnh a, Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

2 2 a 3a b S SA SB a ASB D

a R sin D a R sin D a R cos D a R cos D

AB a AD 2a SAB A ABCD SA SB a

3

4 aS a3

3

S 3

a

S

3 aS

SAA ABC

0

SB a , BSC 45 , ASB D D 90

a 2a 3a 4a

D

D E

E

2

4 aS Sa2 aS aS

A B C D

Câu 31 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SH 3a cạnh đáy a Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp

A 2 37 a

12

B 1 37 a

12

C 1 37 a

12 D

2 37 a 12

Cơng thức giải nhanh: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao cạnh đáy

x Lúc bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tính theo cơng thức:

2

xh r

x 4h x

Chứng minh

Gọi H tâm hình vuông cạnh x, SH = h Gọi I trung điểm BC

Trong phân giác

SIH SH O, từ O kẻ OK , ta có OK

và OH = OK nên O cách mặt đáy mặt bên (SBC) Tương tự O cách mặt bên lại

Vậy O tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp

OH OK r Ta có: Trong có:

2

2 2 x x 2

SI SH HI h SI h 4h x

4

Ÿ

Vậy :

2 2

x h xh

2 r OH

x 1 4h x x 4h x

2 2

Câu 32 Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA 1, SB 2, SC 3 ba cạnh SA, SB, SC đôi vng góc Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A 14

2 B.

14

4 C.

14

6 D.

14 8

Cơng thức giải nhanh: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp: 2

S S a b c

Thể tích khối cầu ngoại tiếp: a

2

a 2

a a

2

SH h

SHI

'

SI

A A(SBC),

OH IH OH IH OH IH.SH

OS IS Ÿ OS IS IH Ÿ SI IH

SHI

'

2 2

2 2

a b c

R a b c

4

S1 2 2 2

V (a b c ) a b c

6

O K I H

D C

B A

Chứng minh

Gọi I trung điểm AB Kẻ vng góc với mp(SAB) I Dựng mp trung trực SC cắt O OC = OS (1) I tâm đường trịn ngoại tiếp SAB (vì SAB vuông S) OA = OB = OS (2)

Từ (1) (2) OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)

;

Câu 33. Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác có cạnh đáy 2 3 , cạnh bên 5 Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ

A 19 273

15 B

71 273

35 C

92 273

53 D.

91 273 54

Cơng thức tính nhanh: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên b

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp Thể tích mặt cầu ngoại tiếp

Chứng minh

Gọi O O’ tâm ∆ABC ∆A’B’C’ OO’ trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ∆A’B’C’ Gọi I trung điểm OO’ IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Bán kính mặt cầu R = IA

Tam giác vng AOI có: AO = ;

֜ ֜

'

' Ÿ

' ' Ÿ

Ÿ

§ · § ·

ă á ă á

â â ¹

2 2 2 2

2 SC AB a b c

R OI AI

2

c

b

a

O

C

S

A

B

2 2

2 2

a b c

S (a b c )

4

Đ Ã

ă

S S

ă

â

3 2

2 2 2

4 a b c

V (a b c ) a b c

3

Đ Ã

ă

S S

ă

â

b

a

I

O' O

A1'

A1

C' B'

A

B

C

A'

2

4a 3b

R

2

§ ·

ă

â

3

2

1

V 4a 3b

18

a a

2AA

1

3 3 OI 12OO' 12AA' b2

2 2 a2 b2 7a2

3 AI OA OI

12 AI a 72 3

S S

S Sa 7 a 28 7 a3 3 21.a3

4 R .

Ÿ 4a2 3b2 AI 4a2 3b2

A

12 2 3

I R

§ ·

S S ă á

ạ â

3

3

3 2 2 2

4 R (4a 3b )2 .

V (4a 3b ) 4a 3b