Đang tải... (xem toàn văn)
Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:.. A..[r]
(1)CHỦ ĐỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT
1 Hệ trục tọa độ không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , vuông góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i j k, , vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox Oy Oz, , Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian
Chú ý: i2 =j2 =k2 =1 i j i k k j = = =0 2 Tọa độ vectơ
a) Định nghĩa: u =(x y z; ; )⇔ =u xi y j zk + + b) Tính chất: Cho a=( ; ; ),a a a b b b b k1 2 3 =( ; ; ),1 2 3 ∈
• a b± = (a b a b a b1± 1; 2± 2; 3± 3)
• ka =( ;ka ka ka1 2; 3)
•
1 2 3 a b
a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
• (0;0;0),= i=(1;0;0), j =(0;1;0), k=(0;0;1)
• a phương (b b ≠0) ⇔ a kb k = ( ∈)
1
3
1
2 2
1
3
, ( , , 0)
a kb
a
a a
a kb b b b
b b b
a kb
=
⇔ = ⇔ = = ≠
=
• a b a b a b a b. = 1 1 + 2 2 + 3 3 • a b ⊥ ⇔ a b a b a b1 1+ 2 2+ 3 3 =0
• 2 2
1
a =a +a +a • 2
1 2
a = a +a +a
• 1 2 3
2 2 2
1 3
cos( , )
a b a b a b a b
a b
a b a a a b b b
+ +
= =
+ + + +
(với a b, ≠0) 3 Tọa độ điểm
a) Định nghĩa:M x y z( ; ; )⇔OM = x i y j z k.+ + (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: • M∈(Oxy)⇔ =z 0;M∈(Oyz)⇔ =x 0;M∈(Oxz)⇔ =y 0
• M Ox∈ ⇔ = =y z 0;M Oy∈ ⇔ = =x z 0;M Oz∈ ⇔ = =x y 0.
b) Tính chất: Cho ( ; ; ), ( ; ; )A x y zA A A B x y zB B B
• AB=(xB −x yA; B−y zA; B−zA)
• ( ) (2 ) (2 )2
B A B A B A
AB = x −x + y −y + z −z
• Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: ; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z
M + + + • Toạ độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC:
; ;
3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z G + + + + + +
• Toạ độ trọng tâmGcủa tứ diện ABCD:
; ;
4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z G + + + + + + + + + 4 Tích có hướng hai vectơ
(2)( )
2 3 1
2 3 1 2
2 3 1
, a a ; a a ; a a ; ;
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
= = − − −
Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số. b) Tính chất:
• [ , ]a b ⊥a; [ , ]a b ⊥b
• ,a b = −b a ,
• ,i j =k; j k,=i; k i,= j
• [ , ]a b =a b sin , ( )a b (Chương trình nâng cao)
• ,a b phương ⇔ [ , ] 0a b = (chứng minh điểm thẳng hàng) c) Ứng dụng tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
• Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a b , c đồng phẳng ⇔ [ , ].a b c =0
• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = AB AD,
• Diện tích tam giác ABC: ,
2 ABC
S∆ = AB AC
• Thể tích khối hộp ABCDA B C D′ ′ ′ ′: VABCD A B C D ' ' ' ' = [ AB AD AA, ]. ′ • Thể tích tứ diện ABCD: 1[ , ]
6 ABCD
V = AB AC AD
Chú ý:
– Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương
[ ]
[ ]
0
a b a b
a b phương a b
a b c đồng phẳng a b c
,
, , ,
⊥ ⇔ =
⇔ =
⇔ =
5 Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A x( A; y ;A zA) (,B x yB; ;z ,B B) (C x yC; ;z ,C C) (D x yD; ;zD D) w 1 (nhập vectơ AB)
q 2 (nhập vectơ AC) q (nhập vectơ AD) C q53q54= (tính AB AC, )
C q53q54q57q55= (tính [ AB AC AD, ] )
Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB AC AD, ] ) C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=
(tính 1[ , ]
6 ABCD
(3)B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi ϕ góc hai vectơ a b, với a b khác 0, cosϕ A
a b a b
B a b a b
C a b a b
−
D a b a b
+
Câu 2. Gọi ϕ góc hai vectơ a =(1;2;0) b=(2;0; 1− ), cosϕ
A B 2
5 C
2
5 D
2
− Câu 3. Cho vectơ a =(1;3;4), tìm vectơ b phương với vectơ a
A b= − − −( 2; 6; ) B b= − −( 2; 6;8 ) C b= −( 2;6;8 ) D b =(2; 6; − − ) Câu 4. Tích vơ hướng hai vectơ a= −( 2;2;5 ,) b=(0;1;2) không gian
A 10 B 13 C.12 D 14
Câu 5. Trong không gian cho hai điểm A(−1;2;3 , 0;1;1) (B ), độ dài đoạn ABbằng
A B 8. C 10 D 12.
Câu 6. Trong không gian Oxyz, gọi i j k, , vectơ đơn vị, với M x y z( ; ; ) OM A − −xi y j zk − B xi y j zk− − C x j yi zk+ + D xi y j zk+ + Câu 7. Tích có hướng hai vectơ a=( ; ; )a a a1
,b=( ; ; )b b b1
là vectơ, kí hiệu a b, , xác định tọa độ
A. (a b a b a b a b a b a b2 3− 3 2; 3 1− 1 3; 1 2− 2 1) B (a b a b a b a b a b a b2 3+ 3 2; 3 1+ 1 3; 1 2+ 2 1) C (a b a b a b a b a b a b2 3− 2; 1+ 3; 2− 1) D (a b a b a b a b a b a b2 2− 3; 3− 1; 1− 2) Câu 8. Cho vectơ u=(u u u1; ;2 3) v=(v v v1; ;2 3), u v =0
A u v u v u v1 1+ 2+ 3=1 B u v u v u v1+ + + + + =1 2 3 0 C u v u v u v1 1+ 2+ 3=0 D.u v u v u v1 2+ 3+ = −1 Câu 9. Cho vectơ a =(1; 1;2− ), độ dài vectơ a
A B C − D
Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trục Oxsao cho M không trùng với gốc tọa độ, tọa độ điểm M có dạng
A M a( ;0;0 ,) a≠0 B M(0; ;0 ,b ) b≠0 C M(0;0; ,c c) ≠0 D M a( ;1;1 ,) a≠0 Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm mặt phẳng (Oxy)sao cho M không trùng với
gốc tọa độ không nằm hai trục Ox Oy, , tọa độ điểm M (a b c, , ≠0) A (0; ; b a) B (a b; ;0 ) C (0;0; c) D (a;1;1) Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho a =(0;3;4) b =2a , tọa độ vectơ bcó thể
A (0;3;4 ) B (4;0;3 ) C (2;0;1 ) D (−8;0; − )
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u v, u v ,
A u v .sin , ( )u v B u v .cos , ( )u v C u v .cos , ( )u v D u v .sin , ( )u v Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a =(1; 1;2 ,− ) b=(3;0; ,− ) c= −( 2;5;1), vectơ
m a b c= + −
có tọa độ
(4)Câu 15. Trong không gian Oxyzcho ba điểm A(1;0; , 2;4; ,− ) (B − ) (C 2; 2;0− ) Độ dài cạnh
, ,
AB AC BC tam giác ABC
A 21, 13, 37 B 11, 14, 37 C 21, 14, 37 D 21, 13, 35
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0; , 2;4; ,− ) (B − ) (C 2; 2;0− ) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
A 4; ; 3
−
B
5 4; ; 3
C (5;2;4) D ;1; 22
−
Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;0 ,) (B −1;1;3 , 0; 2;5) (C − ) Để điểm A B C D, , , đồng phẳng tọa độ điểm D
A D(−2;5;0) B D(1;2;3) C D(1; 1;6− ) D D(0;0;2)
Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a =( ; ; ),1 b= −( ; ; ),2 c= −( ; ; )1 Tìm tọa độ vectơ n a b = + +2c −3i
A n=(6;2;6) B n =(6;2; 6− ) C n =(0;2;6) D n= −( 6;2;6) Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có (1;0;2), ( 2;1;3), (3;2;4)A B − C Tìm tọa độ
trọng tâm G tam giác ABC
A ;1;3
3 G
B G(2;3;9) C G(−6;0;24) D
1 2; ;3
3 G
Câu 20. Cho điểm M(2;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;4 ) (N − ) (P ) Nếu MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q
A Q 2; 3;4(− − ) B Q(2;3;4) C Q(3;4;2) D Q 2; 3; 4(− − − )
Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M(1;1;1 ,) (N 2;3;4 , 7;7;5) (P ) Để tứ giác MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q
A Q(−6;5;2) B Q(6;5;2) C Q(6; 5;2− ) D Q(− − −6; 5; 2) Câu 22. Cho điểm A(1;2;0 , 1;0; , 0; 1;2 ) (B − ) (C − ) Tam giác ABC
A tam giác có ba góc nhọn B tam giác cân đỉnh A C tam giác vuông đỉnh A D tam giác
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A(−1;2;2 , 0;1;3 ,) (B ) (C −3;4;0) Để tứ giác ABCD hình bình hành tọa độ điểm D
A D(−4;5; 1− ) B D(4;5; 1− ) C D(− − −4; 5; 1) D D(4; 5;1− )
Câu 24. Cho hai vectơ a b tạo với góc 600 a =2;b =4 Khi a b +
A 20.+ B 2 C 2 D 2
Câu 25. Cho điểm M(1;2; 3− ), khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy)
A B −3 C D
Câu 26. Cho điểm M(−2;5;0), hình chiếu vng góc điểm Mtrên trục Oy điểm
A M′(2;5;0) B M′(0; 5;0− ) C M′(0;5;0) D M′ −( 2;0;0) Câu 27. Cho điểm M(1;2; 3− ), hình chiếu vng góc điểm Mtrên mặt phẳng (Oxy)là điểm
A M′(1;2;0) B M′(1;0; 3− ) C M′(0;2; 3− ) D M′(1;2;3) Câu 28. Cho điểm M(−2;5;1), khoảng cách từ điểm M đến trục Oxbằng
A 29 B C D 26
(5)A IA IB IC = + B IA IB CI+ + =0 C IA BI IC+ + =0 D IA IB IC + + =0. Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho vectơ →a= −( 1;1;0); →b=(1;1;0); →c =(1;1;1) Trong mệnh
đề sau, mệnh đề sai:
A. b c ⊥ B. a = C. c = D. a b ⊥ Câu 31. Cho điểm M(3;2; 1− ), điểm đối xứng M qua mặt phẳng (Oxy)là điểm
A M′(3; 2;1− ) B M′(3; 2; 1− − ) C M′(3;2;1) D M′(3;2;0)
Câu 32. Cho điểm M(3;2; 1− ), điểm M a b c′( ; ; ) đối xứng M qua trục Oy, a b c+ +
A 6 B 4 C 0 D 2
Câu 33. Cho u =(1;1;1) v=(0;1;m) Để góc hai vectơ u v , có số đo 450 mbằng A ± B 2± C 1± D
Câu 34. Cho A(1; 2;0 , 3;3;2 ,− ) (B ) (C −1;2;2 ,) (D 3;3;1) Thể tích tứ diện ABCD
A B C D
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD Độ dài đường cao vẽ từ D tứ diện ABCD cho công thức sau đây:
A. ,
3 .
AB AC AD h
AB AC
=
B. 13 ,
AB AC AD h
AB AC
=
C. ,
AB AC AD h
AB AC
=
D ,
AB AC AD h
AB AC
=
Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2;0 , 3;3;2 ,− ) (B ) (C −1;2;2 ,) (D 3;3;1) Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC)
A
7 B
9
7 C
9
2 D
9 14
Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCDcó A(1;0;2), ( 2;1;3), (3;2;4), (6;9; 5)B − C D − Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
A 9; ; 3018
4 G− −
B G(8;12;4) C
14 3;3;
4 G
D G(2;3;1)
Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), (2; 1;2)B − Điểm M trục Ox cách hai điểm A B, có tọa độ
A 1 3; ; 2 M
B
1;0;0 M
C
3;0;0 M
D
1 0; ;
2 M
Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), (3; 1;2)B − Điểm M trục Oz cách hai điểm A B, có tọa độ
A M(0;0;4) B M(0;0; 4− ) C 0;0;3 M
D
3 3; ; 2 M
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 1; 2;3), (0;3;1), (4;2;2)− − B C Cosin góc BAC A
2 35 B
9
35 C
9 35
− D
35
−
Câu 41. Tọa độ vecto n vng góc với hai vecto a =(2; 1;2),− b=(3; 2;1)−
A n=(3;4;1) B n=(3;4; 1− ) C n= −( 3;4; 1− ) D n=(3; 4; 1− − ) Câu 42. Cho a =2;b =5, góc hai vectơ a b
3
π
(6)A 6 45
− B 45
6 C 645 D 45.
6
−
Câu 43. Cho u =(2; 1;1 ,− ) v=(m;3; , w− ) =(1;2;1) Với giá trị m ba vectơ đồng phẳng A 3
8 B
3
− C 8
3 D
8
− Câu 44. Cho hai vectơ a=(1;log 5;3 m b), =(3;log 3;45 ) Với giá trị m a b ⊥
A m=1;m= −1 B m=1 C m= −1 D m=2;m= −2 Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), (3;7;4), ( ; ;6)B C x y Giá trị x y, để ba điểm
, ,
A B C thẳng hàng
A x=5;y=11 B x= −5;y=11 C x= −11;y= −5 D x=11;y=5 Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm (1;0;0), (0;0;1), (2;1;1)A B C Tam giác ABC
A tam giác vuông A B tam giác cân A
C tam giác vuông cân A D Tam giác
Câu 47. Trong khơng gian Oxyzcho tam giác ABCcó (1;0;0), (0;0;1), (2;1;1)A B C Tam giác ABC có diện tích
A 6 B
3 C
6
2 D
1 2
Câu 48. Ba đỉnh hình bình hành có tọa độ là(1;1;1 , 2;3;4 , 7;7;5) ( ) ( ) Diện tích hình bình hành
A 2 83 B 83 C 83 D 83
2
Câu 49. Cho vecto a =(1;2;1 ;) b= −( 1;1;2) c=(x x x;3 ; +2) Tìm x để vectơ a b c , , đồng phẳng
A.2 B.−1 C. −2 D.1
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a =(3; 2;4 ,− ) →b =(5;1;6), →c = −( 3;0;2) Tìm vectơ x cho vectơ x đồng thời vng góc với a b c , ,
A. (1;0;0 ) B. (0;0;1 ) C. (0;1;0 ) D. (0;0;0 )
Câu 51. Trong không gianOxyz, cho điểm B(1;2; 3)− ,C(7;4; 2)− Nếu E điểm thỏa mãn đẳng thức CE=2EB tọa độ điểm E
A. 3; ;8 3
−
B.
8 3; ;
3
C.
8
3;3;
3
−
D.
1 1;2;
3
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2; 1)− , B(2; 1;3)− ,C( 2;3;3)− ĐiểmM a b c( ; ; ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM, P a b c= 2+ 2− 2 có giá trị
A.43 B 44 C 42 D 45
Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho ba điểm A(1;2; 1)− , B(2; 1;3)− ,C( 2;3;3)− Tìm tọa độ điểmD là chân đường phân giác góc A của tam giácABC
A D(0;1;3) B D(0;3;1) C D(0; 3;1)− D D(0;3; 1)−
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 1;3;5)− , B( 4;3;2)− , C(0;2;1) Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A ( ; ; )8 3
I B ( ; ; )5 8
3 3
I C ( 8; ; )
3 3
I − D ( ; ; )8
3 3
I
Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho vectơa= −( 1;1;0 , ) b=(1;1;0 , ) c=(1;1;1) Cho hình hộp
(7)A 1
3 B C
2
3 D
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ điểm A(2; 1;1 , 1;0;0 ,− ) (B )
(3;1;0 , 0;2;1) ( )
C D Cho mệnh đề sau:
1) Độ dài AB=
2) Tam giác BCD vng B
3) Thể tích tứ diện ABCD Các mệnh đề là:
A 2) B 3) C 1); 3) D 2), 1)
Câu 57. Trong không gianOxyz, cho ba vectơ a = −( 1,1,0 ;) b=(1,1,0);c=(1,1,1) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng:
A. cos ,( )
3
b c = B. a b c + + =0 A. , ,a b c đồng phẳng D. a b =1
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD, biết A(1;0;1),B( 1;1;2)− , ( 1;1;0)
C − , D(2; 1; 2)− − Độ dài đường cao AHcủa tứ diện ABCD bằng: A.
13 B.
1 .
13 C.
13.
2 D.
3 13. 13
Câu 59. Cho hình chóp tam giác S ABC với I trọng tâm đáy ABC Đẳng thức sau đẳng thức
A 1( )
2
SI = SA SB SC+ +
B 1( )
3
SI = SA SB SC+ +
C SI SA SB SC = + + D SI SA SB SC + + + =0
Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), ( 2;1; 1)A B C D − − Thể tích tứ diện ABCD
A 3
2 B 3 C 1 D
1 2
Câu 61. Cho hình chóp S ABC có SA SB a SC= = , =3 ,a ASB CSB = =60 ,0 CSA=900 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi khoảng cách SG
A 15
a . B
3
a C
3
a D a 3
Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A(2;5;1 ,) (B − −2; 6;2 , 1;2; 1) (C − ) điểm
( ; ; )
M m m m , để MB−2AC đạt giá trị nhỏ m
A 2. B C D
Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A(2;5;1 ,) (B − −2; 6;2 , 1;2; 1) (C − ) điểm
( ; ; )
M m m m , để MA MB2− 2−MC2 đạt giá trị lớn m
A B 4. C D
Câu 64. Cho hình chóp S ABCD biết A(−2;2;6 ,) (B −3;1;8 ,) (C −1;0;7 , 1;2;3) (D ) Gọi H trung điểm CD, SH ⊥(ABCD) Để khối chóp S ABCDcó thể tích 27
2 (đvtt) có hai điểm S S1, thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I S S1
A I(0; 1; 3− − ) B I(1;0;3) C.I(0;1;3) D I(−1;0; − )
Câu 65. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;7), (4;5; 2)− B − Đường thẳng ABcắt mặt phẳng (Oyz) điểm M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số
A 1
2 B 2 C
1
3 D
(8)Câu 66. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), (3;0;1),C(2; 1;3)− B − D thuộc trục Oy Biết VABCD =5 có hai điểm D1(0; ;0 ,y1 ) D2(0; ;0y2 ) thỏa mãn yêu cầu tốn Khi y y1+ 2
A 0 B C 2 D 3
Câu 67. Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1;2;4), (3;0; 2),C(1;3;7)− B − Gọi D chân đường phân giác góc A Tính độ dài OD
A 207
3 B
203
3 C 201 D 205
Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC, biết A(1;1;1), B(5;1; 2)− ,C(7;9;1) Tính độ dài phân giác ADcủa gócA
A 2 74
3 B.
3 74.
2 C. 74 D. 74
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4; 1)− , (1;4; 1)B − , (2;4;3)C (2;2; 1)
D − Biết M x y z( ; ; ), đểMA MB2+ 2+MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ x y z+ +
A. B. C. D.
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1), B( 1;2;0)− , (1;1; 2)C − H trực tâm tam giác ABC, đó, độ dài đoạn OH
A 870
12 B 14870 C. 16870 D 15870
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có (3;1;0)A , B nằm mặt phẳng (Oxy) có hồnh độ dương, C nằm trục Ozvà H(2;1;1) trực tâm tam giác
ABC Toạ độ điểm B, C thỏa mãn yêu cầu toán là:
A 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− + − C −
B 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− − + C +
C 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− + − C +
D 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− + + C −
Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, B(3;0;8), D( 5; 4;0)− − Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, CA CB + bằng:
A 5 10 B 6 10 C 10 D 10
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC, biết A(5;3; 1)− ,B(2;3; 4)− ,
(3;1; 2)
C − Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A 9 6.− B 6.− C 9 6.+ D 9 6.+
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(3;0;0 ,) (N m n, ,0 , 0;0;) (P p) Biết
13, 60
MN = MON = , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức A m= +2n2+p2
bằng
A 29 B 27 C 28 D 30
Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1),B( 1;2;0)− ,C(1;1; 2)− Gọi
( ; ; )
I a b c tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính giá trị biểu thức
15 30 75
P= a+ b+ c
(9)(10)C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.1
1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Gọi ϕ góc hai vectơ a b, với a b khác 0, cosϕ A
a b a b
B a b a b
C a b a b
−
D a b a b
+
Câu 2. Gọi ϕ góc hai vectơ a =(1;2;0) b=(2;0; 1− ), cosϕ
A B 2
5 C
2
5 D
2
− Câu 3. Cho vectơ a =(1;3;4), tìm vectơ b phương với vectơ a
A b= − − −( 2; 6; ) B b= − −( 2; 6;8 ) C b= −( 2;6;8 ) D b =(2; 6; − − ) Câu 4. Tích vơ hướng hai vectơ a= −( 2;2;5 ,) b=(0;1;2) không gian
A 10 B 13 C.12 D 14
Câu 5. Trong không gian cho hai điểm A(−1;2;3 , 0;1;1) (B ), độ dài đoạn ABbằng
A B 8. C 10 D 12.
Câu 6. Trong không gian Oxyz, gọi i j k, , vectơ đơn vị, với M x y z( ; ; ) OM A − −xi y j zk − B xi y j zk− − C x j yi zk+ + D xi y j zk+ + Câu 7. Tích có hướng hai vectơ a=( ; ; )a a a1 2 3 ,b=( ; ; )b b b1 2 3 vectơ, kí hiệu a b, ,
xác định tọa độ
A. (a b a b a b a b a b a b2 3− 3 2; 3 1− 1 3; 1 2− 2 1) B (a b a b a b a b a b a b2 3+ 3 2; 3 1+ 1 3; 1 2+ 2 1) C (a b a b a b a b a b a b2 3− 3 2; 3 1+ 1 3; 1 2− 2 1) D (a b a b a b a b a b a b2 2− 3 3; 3 3− 1 1; 1 1− 2 2) Câu 8. Cho vectơ u=(u u u1; ;2 3) v=(v v v1; ;2 3), u v =0
A u v u v u v1 1+ 2+ 3=1 B u v u v u v1+ + + + + =1 2 3 0 C u v u v u v1 1+ 2+ 3=0 D.u v u v u v1 2+ 3+ = −1 Câu 9. Cho vectơ a =(1; 1;2− ), độ dài vectơ a
(11)Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trục Oxsao cho M không trùng với gốc tọa độ, tọa độ điểm M có dạng
A M a( ;0;0 ,) a≠0 B M(0; ;0 ,b ) b≠0 C M(0;0; ,c c) ≠0 D M a( ;1;1 ,) a≠0 Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm mặt phẳng (Oxy)sao cho M không trùng với
gốc tọa độ khơng nằm hai trục Ox Oy, , tọa độ điểm M (a b c, , ≠0) A (0; ; b a) B (a b; ;0 ) C (0;0; c) D (a;1;1) Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho a =(0;3;4) b =2a , tọa độ vectơ bcó thể
A (0;3;4 ) B (4;0;3 ) C (2;0;1 ) D (−8;0; − ) Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u v, u v ,
A u v .sin , ( )u v B u v .cos , ( )u v C u v .cos , ( )u v D u v .sin , ( )u v Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a =(1; 1;2 ,− ) b=(3;0; ,− ) c= −( 2;5;1), vectơ
m a b c= + −
có tọa độ
A (6;0; 6− ) B (−6;6;0) C (6; 6;0− ) D (0;6; 6− )
Câu 15. Trong không gian Oxyzcho ba điểm A(1;0; , 2;4; ,− ) (B − ) (C 2; 2;0− ) Độ dài cạnh
, ,
AB AC BC tam giác ABC
A 21, 13, 37 B 11, 14, 37 C 21, 14, 37 D 21, 13, 35
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0; , 2;4; ,− ) (B − ) (C 2; 2;0− ) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
A 4; ; 3
−
B
5 4; ; 3
C (5;2;4) D ;1; 22
−
Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;0 ,) (B −1;1;3 , 0; 2;5) (C − ) Để điểm A B C D, , , đồng phẳng tọa độ điểm D
A D(−2;5;0) B D(1;2;3) C D(1; 1;6− ) D D(0;0;2)
Hướng dẫn giải Cách 1:Tính AB AC AD, =0
Cách 2: Lập phương trình (ABC) toạ độ D vào phương trình tìm
Câu 18. Trong khơng gian Oxyz, cho ba vecto a =( ; ; ),1 b= −( ; ; ),2 c= −( ; ; )1 Tìm tọa độ vectơ n a b = + +2c −3i
A n=(6;2;6) B n =(6;2; 6− ) C n =(0;2;6) D n= −( 6;2;6) Câu 19. Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;2), ( 2;1;3), (3;2;4)B − C Tìm tọa độ
trọng tâm G tam giác ABC A ;1;3
3
G
B G(2;3;9) C G(−6;0;24) D
1 2; ;3
3 G
Câu 20. Cho điểm M(2;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;4 ) (N − ) (P ) Nếu MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q
A Q 2; 3;4(− − ) B Q(2;3;4) C Q(3;4;2) D Q 2; 3; 4(− − − ) Hướng dẫn giải
Gọi Q x y z( ; ; ), MNPQ hình bình hành MN QP = ⇔
2
4 x y z
=
=
− =
(12)Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M(1;1;1 ,) (N 2;3;4 , 7;7;5) (P ) Để tứ giác MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q
A Q(−6;5;2) B Q(6;5;2) C Q(6; 5;2− ) D Q(− − −6; 5; 2) Hướng dẫn giải
Điểm Q x y z( ; ; )
(1;2;3)
MN =
, QP=(7−x;7−y;5−z)
Vì MNPQ hình bình hành nên MN QP = ⇒Q(6;5;2)
Câu 22. Cho điểm A(1;2;0 , 1;0; , 0; 1;2 ) (B − ) (C − ) Tam giác ABC
A tam giác có ba góc nhọn B tam giác cân đỉnh A C tam giác vuông đỉnh A D tam giác
Hướng dẫn giải (0; 2; 1); ( 1; 3;2)
AB= − − AC= − −
Ta thấy AB AC ≠ ⇒0 ∆ABCkhông vuông
AB ≠ AC ⇒ ∆ABCkhông cân
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A(−1;2;2 , 0;1;3 ,) (B ) (C −3;4;0) Để tứ giác ABCD hình bình hành tọa độ điểm D
A D(−4;5; 1− ) B D(4;5; 1− ) C D(− − −4; 5; 1) D D(4; 5;1− ) Hướng dẫn giải
Điểm D x y z( ; ; )
(1; 1;1)
AB= −
, DC= − −( x;4− −y z; )
Vì ABCD hình bình hành nên AB DC= ⇒D(−4;5; 1− )
Câu 24. Cho hai vectơ a b tạo với góc 600 a =2;b =4 Khi a b +
A 20.+ B 2 C 2 D 2
Hướng dẫn giải
Ta có a b + = a2+b2+2a b .cos ,( )a b = +4 16 28+ = ⇒ + =a b Câu 25. Cho điểm M(1;2; 3− ), khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy)
A B −3 C D
Hướng dẫn giải Với M a b c( ; ; )⇒d M Oxy( ,( ))= c
Câu 26. Cho điểm M(−2;5;0), hình chiếu vng góc điểm Mtrên trục Oy điểm
A M′(2;5;0) B M′(0; 5;0− ) C M′(0;5;0) D M′ −( 2;0;0) Hướng dẫn giải
Với M a b c( ; ; )⇒ hình chiếu vng góc M lên trục Oy M1(0; ;0b )
Câu 27. Cho điểm M(1;2; 3− ), hình chiếu vng góc điểm Mtrên mặt phẳng (Oxy)là điểm A M′(1;2;0) B M′(1;0; 3− ) C M′(0;2; 3− ) D M′(1;2;3)
Hướng dẫn giải
Với M a b c( ; ; )⇒ hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng(Oxy) M a b1( ; ;0) Câu 28. Cho điểm M(−2;5;1), khoảng cách từ điểm M đến trục Oxbằng
A 29 B C D 26
(13)Với M a b c( ; ; )⇒d M Ox( , )= b c2+
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S ABC với I trọng tâm đáy ABC Đẳng thức sau đẳng thức
A IA IB IC = + B IA IB CI+ + =0 C IA BI IC+ + =0 D IA IB IC + + =0. Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho vectơ →a= −( 1;1;0); →b=(1;1;0); →c =(1;1;1) Trong mệnh
đề sau, mệnh đề sai:
A. b c ⊥ B. a = C. c = D. a b ⊥ Hướng dẫn giải
Vì b c = ≠2
Câu 31. Cho điểm M(3;2; 1− ), điểm đối xứng M qua mặt phẳng (Oxy)là điểm
A M′(3; 2;1− ) B M′(3; 2; 1− − ) C M′(3;2;1) D M′(3;2;0)
Hướng dẫn giải
Với M a b c( ; ; )⇒ điểm đối xứng M qua mặt phẳng (Oxy) M a b c( ; ;− )
Câu 32. Cho điểm M(3;2; 1− ), điểm M a b c′( ; ; ) đối xứng M qua trục Oy, a b c+ +
A 6 B 4 C 0 D 2
Hướng dẫn giải
Với M a b c( ; ; )⇒ điểm đối xứng M qua trục Oy M′ −( a b c; ;− )
( 3;2;1)
M′ a b c
⇒ − ⇒ + + =
Câu 33. Cho u =(1;1;1) v=(0;1;m) Để góc hai vectơ u v , có số đo 450 mbằng A ± B 2± C 1± D
Hướng dẫn giải
( ) ( ) ( )
2
2
1
1.0 1.1 1
cos
3
2
3
2
m
m m m
m m
m
m
ϕ= + + = ⇔ + = + ⇔ ≥ −
+ = +
+
⇔ = ±
Câu 34. Cho A(1; 2;0 , 3;3;2 ,− ) (B ) (C −1;2;2 ,) (D 3;3;1) Thể tích tứ diện ABCD
A B C D
Hướng dẫn giải Tính AB=(2;5;2 ,) AC= −( 2;4;2 ,) AD=(2;5;1)
1 , . 3
6
V = AB AC AD = Sử dụng Casio
w 1 (nhập vectơ AB) q 2 (nhập vectơ AC) q (nhập vectơ AD)
C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD Độ dài đường cao vẽ từ D tứ diện ABCD cho công thức sau đây:
A. ,
3 .
AB AC AD h
AB AC
=
B. ,
3
AB AC AD h
AB AC
=
C. ,
AB AC AD h
AB AC
=
D ,
AB AC AD h
AB AC
=
(14)Vì 1 ,
3
ABCD
V = h AB AC = AB AC AD nên ,
AB AC AD h
AB AC
=
Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2;0 , 3;3;2 ,− ) (B ) (C −1;2;2 ,) (D 3;3;1) Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC)
A
7 B
9
7 C
9
2 D
9 14
Hướng dẫn giải Tính AB(2;5;2 ,) AC(−2;4;2 ,) AD(2;5;1)
1 , . 3
6
V = AB AC AD =
1 .
3
V = B h, với ,
2 ABC
B S= ∆ = AB AC =
, h d D ABC= ( ,( ))
3 3.3
7 V
h B
⇒ = = =
Câu 37. Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCDcó (1;0;2), ( 2;1;3), (3;2;4), (6;9; 5)A B − C D − Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
A 9; ; 3018
4 G− −
B G(8;12;4) C
14 3;3;
4 G
D G(2;3;1)
Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), (2; 1;2)B − Điểm M trục Oxvà cách hai điểm A B, có tọa độ
A 1 3; ; 2 M
B
1;0;0 M
C
3;0;0 M
D
1 0; ;
2 M
Hướng dẫn giải
( ;0;0)
M Ox∈ ⇒M a
M cách hai điểm A B, nên MA2 =MB2 ⇔ −(1 a)2+2 12+ =2 (2−a)2+2 12+ 2
2
2
a a
⇔ = ⇔ =
Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), (3; 1;2)B − Điểm M trục Ozvà cách hai điểm A B, có tọa độ
A M(0;0;4) B M(0;0; 4− ) C 0;0;3
2 M
D
3 3; ; 2 M
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 1; 2;3), (0;3;1), (4;2;2)− − B C Cosin góc BAC A
2 35 B
9
35 C
9 35
− D
35
−
Câu 41. Tọa độ vecto n vng góc với hai vecto a =(2; 1;2),− b=(3; 2;1)−
A n=(3;4;1) B n=(3;4; 1− ) C n= −( 3;4; 1− ) D n=(3; 4; 1− − ) Câu 42. Cho a =2;b =5, góc hai vectơ a b
3
π
, u ka b v a= − ; = +2 b Để u vng góc với v k
A 6 45
− B 45
6 C
6 .
45 D
45.
−
(15)( )( ) ( )
50 cos
3
6 45
u v ka b a b k k a b
k
π
= − + = − + −
= − −
Câu 43. Cho u =(2; 1;1 ,− ) v=(m;3; , w− ) =(1;2;1) Với giá trị m ba vectơ đồng phẳng A 3
8 B
3
− C 8
3 D
8
− Hướng dẫn giải
Ta có: u v , = −( 2;m+2;m+6 , , w 3) u v = m+8 , , w
u v đồng phẳng , w
u v m
⇔ = ⇔ = − Câu 44. Cho hai vectơ a=(1;log 5;3 m b), =(3;log 3;45 )
Với giá trị m a b ⊥
A m=1;m= −1 B m=1 C m= −1 D m=2;m= −2 Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), (3;7;4), ( ; ;6)B C x y Giá trị x y, để ba điểm
, ,
A B C thẳng hàng
A x=5;y=11 B x= −5;y=11 C x= −11;y= −5 D x=11;y=5 Hướng dẫn giải
(1;2;1 ,) ( 2; 5;3)
AB= AC= x− y−
, ,
A B C thẳng hàng ⇔ AB AC, phương 5; 11
1
x− y− x y
⇔ = = ⇔ = =
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm (1;0;0), (0;0;1), (2;1;1)A B C Tam giác ABC
A tam giác vuông A B tam giác cân A
C tam giác vuông cân A D Tam giác Hướng dẫn giải
(1;0; ,) ( 1; 1; ,) ( 2; 1;0)
BA= − CA= − − − CB= − −
BACA= ⇒
tam giác vuông A , AB AC≠
Câu 47. Trong không gian Oxyzcho tam giác ABCcó A(1;0;0), (0;0;1), (2;1;1)B C Tam giác ABC có diện tích
A 6 B
3 C
6
2 D
1 2 Hướng dẫn giải
( 1;0;1 ,) (1;1;1)
AB= − AC=
2
ABC
S∆ = AB AC =
Câu 48. Ba đỉnh hình bình hành có tọa độ là(1;1;1 , 2;3;4 , 7;7;5) ( ) ( ) Diện tích hình bình hành
A 2 83 B 83 C 83 D 83
2 Hướng dẫn giải
Gọi đỉnh theo thứ tự A B C, ,
(1;2;3 ,) (6;6;4)
AB= AC=
( )2 ( )2
, 10 14 83
hbh
S = AB AC = − + + − =
Câu 49. Cho vecto a =(1;2;1 ;) b= −( 1;1;2) c=(x x x;3 ; +2) Tìm x để vectơ a b c , , đồng phẳng
A.2 B.−1 C. −2 D.1
Hướng dẫn giải , ,
(16)Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a =(3; 2;4 ,− ) →b =(5;1;6), →c = −( 3;0;2) Tìm vectơ x cho vectơ x đồng thời vng góc với a b c , ,
A. (1;0;0 ) B. (0;0;1 ) C. (0;1;0 ) D. (0;0;0 ) Hướng dẫn giải
Dễ thấy chỉ có x =(0;0;0)thỏa mãn x a x b x c = = =0
Câu 51. Trong không gianOxyz, cho điểm B(1;2; 3)− , (7;4; 2)C − Nếu E điểm thỏa mãn đẳng thức CE=2EB tọa độ điểm E
A. 3; ;8 3
−
B.
8 3; ;
3
C.
8
3;3;
3
−
D.
1 1;2;
3
Hướng dẫn giải
( ; ; ) E x y z , từ
3
2
3 x
CE EB y
z
=
= ⇒ =
= −
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2; 1)− , B(2; 1;3)− ,C( 2;3;3)− ĐiểmM a b c( ; ; ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM, P a b c= 2+ 2− 2 có giá trị
A.43 B 44 C 42 D 45
Hướng dẫn giải ( ; ; )
M x y z , ABCM là hình bình hành thì
1 2
2 ( 3;6; 1) P 44
1 3
x
AM BC y M
z
− = − −
= ⇒ − = + ⇒ − − ⇒ =
+ = −
Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho ba điểm A(1;2; 1)− , (2; 1;3)B − , ( 2;3;3)C − Tìm tọa độ điểmD là chân đường phân giác góc A của tam giácABC
A D(0;1;3) B D(0;3;1) C D(0; 3;1)− D D(0;3; 1)−
Hướng dẫn giải
Ta có AB= 26,AC= 26⇒ tam giác ABCcân ở A nên D là trung điểm BC (0;1;3)
D ⇒
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 1;3;5)− , B( 4;3;2)− , C(0;2;1) Tìm tọa độ điểm I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
A ( ; ; )8 3
I B ( ; ; )5 8
3 3
I C ( 8; ; )
3 3
I − D ( ; ; )8
3 3
I
Hướng dẫn giải
Ta có: AB BC CA= = =3 ⇒ ∆ABC Do tâm I đường trịn ngoại tiếp ∆ABC trọng tâm Kết luận: 8; ;
3 3
I−
Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho vectơa= −( 1;1;0 , ) b=(1;1;0 , ) c=(1;1;1) Cho hình hộp
OABC O A B C′ ′ ′ ′ thỏa mãn điều kiện OA a OB b OC c= , = , '= Thể tích hình hộp nói bằng:
A 1
3 B C
2
3 D
Hướng dẫn giải
, ( 1;1;0), (1;1;0), ' '(1;1;1)
(17)(2;0;0) ' ( 1;1;1) ' AB OC= ⇒C ⇒CC = − =OO
' ' ' ' , ' OABC O A B C
V OA OB OO
⇒ = Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ điểm A(2; 1;1 , 1;0;0 ,− ) (B )
(3;1;0 , 0;2;1) ( )
C D Cho mệnh đề sau:
1) Độ dài AB=
2) Tam giác BCD vng B
3) Thể tích tứ diện ABCD Các mệnh đề là:
A 2) B 3) C 1); 3) D 2), 1)
Câu 57. Trong không gianOxyz, cho ba vectơ a = −( 1,1,0 ;) b=(1,1,0);c=(1,1,1) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng:
A. cos ,( )
3
b c = B. a b c + + =0 A. , ,a b c đồng phẳng D. a b =1
Hướng dẫn giải
cos( , ) b c b c
b c
=
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD, biết (1;0;1)A , ( 1;1;2)B − , ( 1;1;0)
C − , (2; 1; 2)D − − Độ dài đường cao AHcủa tứ diện ABCD bằng: A.
13 B.
1 .
13 C.
13.
2 D.
3 13. 13 Hướng dẫn giải
Sử dụng công thức ,
13
AB AC AD h
AB AC
= =
Câu 59. Cho hình chóp tam giác S ABC với I trọng tâm đáy ABC Đẳng thức sau đẳng thức
A 1( )
2
SI = SA SB SC+ +
B 1( )
3
SI = SA SB SC+ +
C SI SA SB SC = + + D SI SA SB SC + + + =0
Hướng dẫn giải
( )
3 SI SA AI
SI SB BI SI SA SB SB AI BI CI
SI SC CI
= +
= + ⇒ = + + + + +
= +
Vì I trọng tâm tam giác 1( )
3
ABC⇒ AI BI CI+ + = ⇒SI= SA SB SC + +
Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), ( 2;1; 1)B C D − − Thể tích tứ diện ABCD
A 3
2 B 3 C 1 D
1 2 Hướng dẫn giải
Thể tích tứ diện: ,
6 ABCD
V = AB AC AD
Câu 61. Cho hình chóp S ABC có SA SB a SC= = , =3 ,a ASB CSB = =60 ,0 CSA=900 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi khoảng cách SG
A 15
a . B
3
a C
3
(18)Hướng dẫn giải
Áp dụng cơng thức tổng qt: Cho hình chóp S ABC có SA a SB b SC c= , = , = có
, ,
ASB=α BSC=β CSA=γ Gọi G trọng tâm tam giác ABC,
2 2
1 2 cos 2 cos 2
3
SG= a b c+ + + ab α + ac γ + bcβ Chứng minh:
Ta có: 1( )
3
SG= SA SB SC+ +
( )2 2
2
SA SB SC+ + =SA SB+ +SC + SA SB+ SA SC+ SB SC
Khi 2 2 cos 2 cos 2
3
SG= a b c+ + + ab α + ac γ + bcβ
Áp dụng cơng thức ta tính 15
3 a
SG=
Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A(2;5;1 ,) (B − −2; 6;2 , 1;2; 1) (C − ) điểm
( ; ; )
M m m m , để MB−2AC đạt giá trị nhỏ m
A 2. B C D
Hướng dẫn giải
( 1; 3; ,) ( ; ;2 )
AC − − − MB − −m − −m −m
( )2 ( )2
2 2
2 12 36 24
MB− AC = m m+ + m− = m − m+ = m− +
Để MB−2AC nhỏ m=2
Câu 63. Trong khơng gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A(2;5;1 ,) (B − −2; 6;2 , 1;2; 1) (C − ) điểm
( ; ; )
M m m m , để MA MB2− 2−MC2 đạt giá trị lớn m
A B 4. C D
Hướng dẫn giải
(2 ;5 ;1 ), ( ; ;2 ), (1 ;2 ; )
MA= −m −m −m MB= − −m − −m −m MC= −m −m − −m
( )2
2 2 3 24 20 28 3 4 28
MA MB− −MC = − m − m− = − m− ≤ Để MA MB2− 2−MC2đạt giá trị lớn m=4
Câu 64. Cho hình chóp S ABCD biết A(−2;2;6 ,) (B −3;1;8 ,) (C −1;0;7 , 1;2;3) (D ) Gọi H trung điểm CD, SH ⊥(ABCD) Để khối chóp S ABCD tích 27
2 (đvtt) có hai điểm S S1, thỏa mãn yêu cầu toán Tìm tọa độ trung điểm I S S1
A I(0; 1; 3− − ) B I(1;0;3) C.I(0;1;3) D I(−1;0; − ) Hướng dẫn giải
Ta có ( 1; 1;2 ,) (1; 2;1) , 3
2
ABC
AB= − − AC= − ⇒S = AB AC =
( 2; 2;4 ,) ( 1; 1;2)
DC= − − AB= − − ⇒DC= AB
ABCD
⇒ hình thang
9 3
2 ABCD ABC
S = S =
Vì VS ABCD =13SH S ABCD ⇒SH =3
Lại có H trung điểm CD⇒H(0;1;5)
(19)Suy 3 3= 9k2+9k2+9k2 ⇒ = ±k 1 +) Với k= ⇒1 SH=(3;3;3)⇒S(− −3; 2;2) +) Với k= − ⇒1 SH= − − − ⇒( 3; 3; 3) S(3;4;8) Suy I(0;1;3)
Câu 65. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;7), (4;5; 2)− B − Đường thẳng ABcắt mặt phẳng (Oyz) điểm M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số
A 1
2 B 2 C
1
3 D
2 Hướng dẫn giải
Đường thẳngABcắt mặt phẳng (Oyz) điểm M ⇒M(0; ; )y z
(2; ;7 ), (4;5 ; )
MA y z MB y z
⇒= − − − = − − −
Từ MA kMB= ta có hệ ( )
( )
2
1
1
2
7
k
y k y k
z k z
=
− − = − ⇒ =
− = − −
Câu 66. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có (2;1; 1), (3;0;1),C(2; 1;3)A − B − D thuộc trục Oy Biết VABCD =5 có hai điểm D1(0; ;0 ,y1 ) D2(0; ;0y2 ) thỏa mãn yêu cầu toán Khi y y1+
A 0 B C 2 D 3
Hướng dẫn giải (0; ;0)
D Oy∈ ⇒D y
Ta có: AB=(1; 1;2 ,− ) AD= −( 2;y−1;1 ,) AC=(0; 2;4− )
( )
0; 4;
AB AC AB AC AD y
⇒ = − − ⇒ = − +
1
5 7;
6 ABCD
V = ⇔ − y+ = ⇔ = −y y= ⇒D1(0; 7;0 ,− ) D2(0;8;0)⇒ +y y1 2 =1
Câu 67. Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1;2;4), (3;0; 2),C(1;3;7)− B − Gọi D chân đường phân giác góc A Tính độ dài OD
A 207
3 B
203
3 C 201 D 205
Hướng dẫn giải Gọi D x( ; y;z)
2 14 14
DB AB
DC AC= = =
Vì D nằm B, C (phân giác trong) nên
( ) ( )
( )
5
3 3
2
4
2
x
x x
DB DC y y y
z
z z
=
− = − −
= − ⇔ − = − − ⇔ =
− − = − − =
Suy 5;2;4 205
3
⇒ =
D OD
Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC, biết A(1;1;1), B(5;1; 2)− ,C(7;9;1) Tính độ dài phân giác ADcủa gócA
A 2 74
3 B.
3 74.
2 C. 74 D. 74
(20)( ; ; )
D x y z là chân đường phân giác góc A của tam giácABC
Ta có ( ; ; 1)17 11 74
2 3
DB AB DC DB D AD
DC AC= = ⇒ = − ⇒ − ⇒ =
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4; 1)− ,B(1;4; 1)− , C(2;4;3) (2;2; 1)
D − Biết M x y z( ; ; ), đểMA MB2+ 2+MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ x y z+ +
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Gọi G trọng tâm ABCD ta có: 14; ;0
3 G
Ta có: MA MB2+ 2+MC2+MD2 =4MG GA GB GC2+ 2+ 2+ 2+GD2
≥ GA GB GC2 + 2+ 2+GD2 Dấu xảy M ≡ 14; ;0 7 3
G ⇒ + + = x y z
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1), B( 1;2;0)− , (1;1; 2)C − H trực tâm tam giác ABC, đó, độ dài đoạn OH
A 870
12 B 14870 C. 16870 D 15870
Hướng dẫn giải ( ; ; )
H x y z trực tâm ∆ABC ⇔BH AC CH AB H⊥ , ⊥ , ∈(ABC)
2 29
; ;
15 15
,
BH AC
CH AB x y z
AB AC AH
=
⇔ = ⇔ = = = −
=
⇒
2 29 1; ; 870
15 15 15
H − ⇒OH =
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có (3;1;0)A , B nằm mặt phẳng (Oxy) có hồnh độ dương, C nằm trục Ozvà H(2;1;1) trực tâm tam giác
ABC Toạ độ điểm B, C thỏa mãn yêu cầu toán là:
A 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− + − C −
B 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− − + C +
C 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− + − C +
D 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− + + C −
Hướng dẫn giải Giả sử B x y( ; ;0) (∈ Oxy C), (0;0; )z Oz∈
H trực tâm tam giác ABC ⇔
, ,
⊥
⊥
AH BC
CH AB
AB AC AH đồng phẳng
⇔
,
AH BC CH AB
AB AH AC
=
=
=
⇔
0
2x
3x
x z y
y yz z
+ =
+ − =
− + − =
⇔ 177; 17 177; 177
4
x= − − y= + z= +
⇒ 177 17; 177;0 , 0;0;3 177
4
B− − + C +
(21)Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, B(3;0;8), D( 5; 4;0)− − Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa đợ là những sớ ngun, CA CB + bằng:
A 5 10 B 6 10 C 10 D 10
Hướng dẫn giải
Ta có trung điểmBD I( 1; 2;4)− − ,BD=12và điểmAthuộc mặt phẳng (Oxy) nên ( ; ;0)
A a b
ABCD hình vng ⇒
2 2 2 AB AD AI BD = =
2 2 2
2 2
( 3) ( 5) ( 4)
( 1) ( 2) 36
a b a b
a b − + + = + + + ⇔ + + + + = 2
( 1) (6 ) 20
b a a a = − ⇔ + + − = a b = ⇔ =
17 14 a b = − =
⇒ A(1; 2; 0) 17 14; ;0
5
A −
(loại) Với A(1;2;0) ⇒C( 3; 6;8)− −
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC, biết A(5;3; 1)− ,B(2;3; 4)− , (3;1; 2)
C − Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A 9 6.− B 6.− C 9 6.+ D 9 6.+
Hướng dẫn giải
Ta có AC2+BC2 = + =9 9 AB2 ⇒ tam giác ABC vuông tại C Suy ra:
( )
1CA.CB
3.3
2 9 6
1 3 2 3 3
2 ABC S r
p AB BC CA
= = = = −
+ +
+ +
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(3;0;0 ,) (N m n, ,0 , 0;0;) (P p) Biết
13, 60
MN = MON = , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức A m= +2n2+p2
bằng
A 29 B 27 C 28 D 30 Hướng dẫn giải
(3;0;0 ,) ( ; ;0)
OM= ON= m n ⇒OM ON = m
2
1
cos60
2
OM ON m
OM ON OM ON
OM ON m n
= ⇒ = ⇒ =
+
( )2 2
3 13
MN = m− +n = Suy m=2;n= ±2
1
, 6 3
6
OM ON OP p V p p
= ⇒ = = ⇒ = ±
Vậy A= +2 2.12 29.+ =
Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1),B( 1;2;0)− , (1;1; 2)C − Gọi
( ; ; )
I a b c tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tính giá trị biểu thức 15 30 75
P= a+ b+ c
A. 48 B 50 C. 52 D. 46
Hướng dẫn giải ( ; ; )
(22)2
2
,
AI BI CI BI
AB AC AI
=
⇔ =
=
14; 61; 14 61 1; ; 50.
15 30 15 30
x y z I P
⇔ = = = − ⇒ − ⇒ =