NGHIÊN CỨU TÍNH TỔNG QUÁT CỦA NGUYÊN LÝ HAMILTON

NGHIÊN CỨU TÍNH TỔNG QUÁT CỦA NGUYÊN LÝ HAMILTON

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU TÍNH TỔNG QUÁT CỦA NGUYÊN LÝ HAMILTON Luận văn tốt nghiệp Ngành: Sư phạm Vật lý – tin học Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Xuân Tư Dương Kim Nhật Lớp: Lý – tin K31 MSSV: 1050305 CẦN THƠ, 2009 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Xuân Tư, giáo viên hướng dẫn đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện đề tài. Tôi xin cảm ơn Bộ môn Vật lý, Trung tâm học liệu, Khoa sư phạm đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài luận văn này. Tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn cùng chuyên ngành đã đóng góp ý kiến trong quá trình tôi làm đề tài. Mặc dù tôi đã rất cố gắng và nỗ lực trong việc thực hiện đề tài, nhưng do còn thiếu kinh nghiệm và điều kiện còn hạn chế nên đề tài sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn cuả tôi được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, tôi xin một lần nữa gửi lời cảm ơn đến tất cả các quý thầy cô và các bạn đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện Dương Kim Nhật NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TÓM TẮT NỘI DUNG Nguyên lý Hamilton Phương trình Lagrange loại II tổng quát k kk Q q T q T dt d = ¶ ¶ - ¶ ¶ & Các phương trình chính tắc Hamilton k k P H q ¶ ¶ = & k k q H P ¶ ¶ -= & Định luật II Niutơn wmF r r = Phương trình chuyển động của vật rắn ï ï î ï ï í ì = = c c M dt Ld FP dt d r r rr Các định luật bảo toàn constP = r constL = r constUT i =+ Luận văn tốt nghiệp Ngành sư phạm Lý Tin SVTH: Dương Kim Nhật 1 PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình đào tạo giáo viên Vật lý – Tin học, cơ học lý thuyết là một trong những môn học thú vị và bổ ích. Môn học này mang lại cho người học hệ thống kiến thức sâu, rộng về cơ học. Ngoài ra, khi học cơ học lý thuyết, chúng ta hiểu sâu hơn các môn như: Cơ học đại cương, Toán cho vật lý,…. Bên cạnh đó, nó còn giúp ta tự bồi dưỡng nâng cao nghiệp vụ. Trong quá trình học môn cơ học lý thuyết, lớp chúng tôi đã được thầy Nguyễn Xuân Tư nhấn mạnh rằng: “Nguyên lý Hamilton là một nguyên lý tổng quát, các em hãy tìm hiểu thêm về nguyên lý này”. Vậy, tính tổng quát ở đây là như thế nào? Sau quá trình tìm đọc tài liệu có liên quan tôi quyết định chọn đề tài: “Nghiên cứu tính tổng quát của nguyên lý Hamilton”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính tổng quát của nguyên lý Hamilton, từ nguyên lý Hamilton suy ra được các phương trình và các định luật cơ bản của cơ học. 3. Phạm vi nghiên cứu Đề tài này chỉ trình bày những vấn đề cơ bản trong lĩnh vực cơ học mà từ nguyên lý Hamilton suy ra được và đối tượng là các hệ hôlônôm. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp toán học - Phương pháp thu thập tài liệu có liên quan - Phương pháp chọn lọc – phân tích – tổ hợp 5. Các bước thực hiện đề tài - Nhận đề tài - Thu thập tài liệu - Viết đề cương - Nghiên cứu lý thuyết - Viết nội dung hoàn chỉnh - Bảo vệ luận văn 6. Các thuật ngữ quan trọng trong đề tài - Liên kết lý tưởng là liên kết hình học không phụ thuộc thời gian. Luận văn tốt nghiệp Ngành sư phạm Lý Tin SVTH: Dương Kim Nhật 2 - Hệ hôlônôm là hệ trong đó các liên kết áp đặt lên hệ là những liên kết hình học và động học khả tích. - Biến phân: là di chuyển ảo, nó là một phép tính tương tự như vi phân nhưng phép tính biến phân không phụ thuộc thời gian. Luận văn tốt nghiệp Ngành sư phạm Lý Tin SVTH: Dương Kim Nhật 3 PHẦN II NỘI DUNG Chương I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC GIẢI TÍCH I.1. Các liên kết và phản lực liên kết I.1.1. Các liên kết I.1.1.1. Định nghĩa các liên kết Liên kết là những điều kiện hạn chế về vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian. I.1.1.2. Phương trình liên kết Xét cơ hệ gồm 2 chất điểm M 1 , M 2 cách nhau một khoảng không đổi r 12 . Để xác định vị trí của cơ hệ này ta cần 6 tọa độ ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 ). Nhưng 6 tọa độ này phải thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( ) 0 2 12 2 12 2 12 2 12 =--+-+- rzzyyxx (1.1) Nếu hệ cơ gồm 3 chất điểm M 1 , M 2 , M 3 không cùng nằm trên một đường thẳng và cách nhau những khoảng không đổi r 12 , r 13 , r 23 . Để xác định vị trí của cơ hệ này ta cần 9 tọa độ Descarter ( x i , y i , z i ) với ( i=1, 2, 3 ). Các tọa độ này phải thỏa mãn 3 điều kiện: ( ) ( ) ( ) 0 2 12 2 12 2 12 2 12 =--+-+- rzzyyxx ( ) ( ) ( ) 0 2 32 2 23 2 23 2 23 =--+-+- rzzyyxx (1.2) ( ) ( ) ( ) 0 2 13 2 31 2 31 2 31 =--+-+- rzzyyxx Các phương trình (1.1), (1.2) biểu diễn các liên kết đặt lên cơ hệ được gọi là các phương trình liên kết. Trong trường hợp tổng quát: Xét hệ gồm n chất điểm, mỗi chất điểm được xác Luận văn tốt nghiệp Ngành sư phạm Lý Tin SVTH: Dương Kim Nhật 4 định bởi vectơ bán kính i r r và vectơ vận tốc i r & r ( i = 1÷ n ). Các điều kiện ràng buộc về vị trí và vận tốc của các chất điểm trong không gian theo thời gian được biểu diễn bởi phương trình liên kết: ( ) 0,, =trrf ii & rr a với ( ) a, .,3,2,1= a và ( ) ni , .,3,2,1= (1.3) I.1.1.3. Phân loại các liên kết Khi các phương trình liên kết (1.3) không phụ thuộc vào vận tốc i r & r thì liên kết đặt lên cơ hệ lúc này được gọi là liên kết hình học. Phương trình liên kết có dạng: ( ) 0, =trf i r a (1.4) Các liên kết hình học không thay đổi theo thời gian được gọi là liên kết dừng và phương trình liên kết có dạng: ( ) 0,,, .,,, 111 = nnn zyxzyxf a trong đó ( k¸=1 a ) Các liên kết hình học thay đổi theo thời gian được gọi là các liên kết không dừng và phương trình liên kết có dạng: ( ) 0,,,, .,,, 111 =tzyxzyxf nnn a Các phương trình liên kết phụ thuộc vào vận tốc i r & r như (1.3) biểu diễn các liên kết động học đặt lên cơ hệ. Trong thực tế ta thường gặp những liên kết đặt lên cơ hệ được biễu diễn bởi n phương trình liên kết hình học (1.4) và m phương trình liên kết động học có dạng: ( ) ( ) 0,, 1 =+++= å = abbbb gzcybxatrrf N i iiiiiiii & && & rr với ( β=1, 2, 3, …, m ) Hay ( ) 0,, 1 =+= å = bb b grdtrrf N i iii & r r & rr (1.5) Trong đó i a b , i b b , i c b và b g là những hàm của r r và t và i a b , i b b , i c b cũng là 3 hình chiếu của vectơ i d b r trên 3 trục tọa độ đề các. Các phương trình (1.5) có thể viết dưới dạng tương đương: Luận văn tốt nghiệp Ngành sư phạm Lý Tin SVTH: Dương Kim Nhật 5 0 1 =+ å = dtgrdd N i i b b r r với ( β=1, 2, 3, …, m ) (1.6) Nếu các hàm ( ) trrrrd ni ,, .,,, 321 rrrr r b và ( ) trrrrg n ,, .,,, 321 rrrr b có thể biểu diễn dưới dạng: ( ) i i i r trf d r r r ¶ ¶ = , b b , ( ) t trf g i ¶ ¶ = , r b b Khi đó các phương trình (1.6) có thể viết: ( ) 0, 1 = ¶ ¶ + ¶ ¶ = å = dt t f rd r f trdf i i N i i bb b r r r (1.7) Liên kết động học được biểu diễn bởi (1.7) được gọi là liên kết động học khả tích. Liên kết động học khả tích có thể đưa về liên kết hình học được. Thật vậy, lấy tích phân hai vế của (1.7) ta có: ( ) consttrf i =, r b hay ( ) 0, =- consttrf i r b (1.8) Phương trình (1.8) chính là phương trình biểu diễn liên kết hình học đặt lên cơ hệ. Chú ý: Không phải mọi liên kết động học đều là những liên kết động học khả tích. Chúng chỉ khả tích khi vế trái của nó có thể biễu diễn vi phân toàn phần của một hàm số nào đó của các biến số i r r và t. I.1.1.4. Thí dụ về liên kết và phương trình liên kết Chất điểm chuyển động trên đường thẳng thuộc một mặt phẳng Oxy cho trước có 2 liên kết và phương trình liên kết là: î í ì =++ = 0 0 cbyax z Vật nặng được buộc vào dây có chiều dài l và treo vào điểm O cố định như hình 1 thì phương trình liên kết của nó là: 2222 lzyx =++ . Đó là liên kết dừng. Nếu dây được quấn vào trụ như hình 2 và bị tuột thì liên kết đặt lên cơ hệ bây giờ là liên kết không dừng và phương trình liên kết có dạng: ( ) ï î ï í ì = = == tyy z constRx 0 Luận văn tốt nghiệp Ngành sư phạm Lý Tin SVTH: Dương Kim Nhật 6 I.1.2. Các phản lực liên kết Xét cơ hệ gồm N chất điểm có các khối lượng m 1 , m 2 , …,m n . Mỗi chất điểm chịu tác dụng của một lực chủ động tương ứng là n FFF rrr , .,, 21 và các gia tốc tương ứng chúng thu được là n www rrr , .,, 21 thì chuyển động của hệ được mô tả bởi n phương trình sau: Fwm iii r r = ( i = 1÷ n ) (1.9) Vấn đề sẽ như thế nào nếu có a liên kết đặt lên nó? Các liên kết dạng: ( ) 0,,, .,,, 111 = nnn zyxzyxf a (a =1÷ a ) (1.10) Đạo hàm (1.10) theo thời gian ta được: 0 1 1 1 1 1 1 = ¶ ¶ +×××+ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ dt dz z f dt dz z f dt dy y f dt dx x f n n aaaa Hay ta có thể viết gọn lại là: 0 1 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ å = n i i i i i i i dt dz z f dt dy y f dt dx x f aaa (1.11) Mặt khác ta lại biết rằng: a aaa fgradk z f j y f i x f i iii = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ r rr chính là gradient của liên kết a f tại điểm thứ i. O y x j z Hình 1 y A l(t) Hình 2 O x z R