Các ứng dụng của nguyên lý Hamilton trong cơ học

Các di chuyển 1. Di chuyển thực

Ta lưu ý rằng khái niệm di chuyển có thể rộng hơn khái niệm di chuyển thực, di chuyển thực cũng chỉ là một di chuyển có thể mà thôi. Xét viên bi m coi như chất điểm có trọng lượng P chuyển động trên mặt phẳng nghiêng của lăng trụ tam giác A cố định. Như đã nói ở trên, biến phân tọa độ có được là do sự biến thiên của vectơ bán kính nhưng sự biến thiên này không phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc vào sự đổi dạng của hàm vectơ bán kính mà thôi.

Trong khái niệm biến phân,ta có hai hàm, nhưng chỉ lấy tại một giá trị của biến số t, còn trong khái niệm vi phân, chúng ta chỉ có một hàm nhưng lấy hai giá trị khác nhau của biến số t. Liên kết được gọi là lý tưởng nếu tổng công nguyên tố của các phản lực liên kết trên bất kỳ di chuyển ảo nào cũng bằng không. Do đó khi chuyển các đại lượng phụ thuộc qua các đại lượng độc lập thì trong (1.18) còn có (3n-a) số hạng độc lập và khi cho các hệ số bằng 0 thì ta thiết lập được (3n-a) phương trình cho các tọa độ và các phản lực liên kết.

Một chất điểm chuyển động trên một mặt nhẵn ( không ma sát ) thì phản lực liên kết vuông góc với dịch chuyển ảo nên Rr rr=0. Thanh là liên kết đặt lên hai chất điểm, và khoảng cách M1, M2 không đổi chính là liên kết lý tưởng ( hình 7 ).

Nguyên lý D’alembert Lagrange

Lực suy rộng và các phương pháp tính lực suy rộng 1. Lực suy rộng Q K

Nghĩa là ta phải biểu diễn các tọa độ xi, yi, zi sang các tọa độ suy rộng qk để đưa vào các phép tính trên và thực hiên các phép tính ta được biểu thức của lực suy rộng. Còn vế trái vẫn là tổng công nguyên tố của các lực chủ động trên các di chuyển qk. Nếu các lực chủ động tác dụng lên hệ là lực thế, thì biểu thức của lực có dạng U.

Vật A có khối lượng m được buộc vào đầu một sợi dây không giãn , có khối lượng. Trong khi A tụt xuống thì B quay quanh trục cố định nằm ngang trùng với trục của trụ như hình. Giữa chúng có liên kết: Rj=x-x0 Suy ra hệ có một bậc tự do ta chọn là x.

Các phương trình chính tắc Hamilton

Khi giải hệ s phương trình vi phân hạng hai như trên ta sẽ tìm được 2s biến số qkvàPk. Về nguyên tắc, để có thể xác định 2s biến số chính tắc trên ta có thể dùng 2s phương trình vi phân hạng một để thay thế cho s phương trình vi phân hạng hai dạng phương trình Lagrange loại hai như trên. Để tìm 2s phương trình vi phân hạng một thay thế cho s phương trình vi phân hạng hai, ta hãy quay lại phương trình (4.4).

Hệ 2s phương trình vừa tìm được ở trên được gọi là các phương trình chính tắc Hamilton, chúng hoàn toàn tương đương với s phương trình Lagrange loại II đối với hệ bảo toàn.

Từ nguyên lý Hamilton suy ra được phương trình Lagrange loại II cho hệ bảo toàn

Các dqklà độc lập và khác không nên đẳng thức trên chỉ thực hiện khi từng hệ số bằng không. Phương trình trên chính là phương trình Lagrange cho hệ bảo toàn, đã được rút ra từ nguyên lý Hamilton.

Từ nguyên lý Hamilton suy ra được phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng định luật II Niuton

Vậy từ nguyên lý Hamilton ta đã suy ra được các phương trình chính tắc Hamilton. Đây chính là phương trình mô tả chuyển động của chất điểm dưới dạng định luật II Niuton. Như vậy từ nguyên lý Hamilton ta đã suy ra được phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng định luật II Niuton.

Từ nguyên lý Hamilton suy ra được phương trình chuyển động cơ bản của vật rắn

Ta đã suy ra được phương trình Lagrange loại II tổng quát từ nguyên lý Hamilton. Vậy bây giờ ta đi tìm các phương trình chuyển động cơ bản của vật rắn từ phương trình Lagrange loại II tổng quát. Để tìm lực suy rộng Qrrc ta tìm tổng công nguyên tố của các lực Frk.

Để tìm lực suy rộng Qjr ta tìm tổng công nguyên tố của các lực chủ động Frk trên di chuyển tương ứng djr. Khi jr thay đổi một lượng djr thì drrkthay đổi lượng tương ứng drrk =djrÙrrk. Nếu có các liên kết ngoài đặt lên hệ thì ngoài lực tác dụng Fr ,Mrc.

Để giải quyết các phương trình này ta cần biết thêm các phương trình liên kết đặt lên vật rắn. Trong trường hợp cân bằng của vật rắn thì vận tốc của mọi điểm của vật rắn đều bằng không, khi đó xung lượngPr. Hệ lực tác dụng lên vật rắn thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hệ lực cân bằng.

Dưới tác dụng của hệ lực cân bằng vật rắn có thể đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Điều này có thể xảy ra khi có một ngẫu lực tác dụng lên vật rắn.

Từ nguyên lý Hamilton suy ra được định lý biến thiên động năng

Vậy từ nguyên lý Hamilton ta đã suy ra được định lý biến thiên động năng.

Từ nguyên lý Hamilton suy ra được các định luật bảo toàn

• Một số bài toán thí dụ

Nếu hệ ta đang xét là hệ kín thì tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn ( hay cơ hệ ) bằng không. Vậy từ nguyên lý Hamilton ta đã suy ra được định luật bảo toàn mômen động lượng. Vậy từ nguyên lý Hamilton ta đã suy ra được định luật bảo toàn cơ năng.

Con lắc đơn có chiều dài l= const, dao động bé trong trường trọng lực có gia tốc g. Lực chủ động là lực thế nên ta áp dụng phương trình Lagrane cho hệ bảo toàn. Từ hai bài toán trên đã cho ta thấy: một bài toán có thể giải bằng nhiều cách: có thể giải bằng các phương trình Lagrange, phương trình chính tắc Hamilton, định luật bảo toàn cơ năng, định lý biến thiên động năng, phương trình chuyển động cơ bản của vật rắn, và nguyên lý Hamilton.

Điều đó chứng tỏ, nguyên lý Hamilton là một nguyên lý rất tổng quát và dễ sử dụng trong giải bài tập.